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Verfasser: Wipf Mario
Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen
Fach: Maschinendynamik
Umfang: Hauptstudium
Fassung vom: 04.10.13
WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG
Maschinen- dynamik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 3 04.10.13
Maschinendynamik
Harmonische Analyse in der Maschinenmechanik
Einführung in die Schwingungslehre
∑−
=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+=
1
10
2sin2cos)(N
nnn t
TnBt
TnAAtF ππ Merke: Diese Darstellung kann als eine
Summenschreibweise der altbekannten Fourierreihe betrachtet werden
( ) ( )∑∑−
=
−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=
12
0
12
0
cos12cos1 N
i
N
iin i
NniF
Nt
TniF
NA ππ
( ) ( )∑∑−
=
−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=
12
0
12
0
sin12sin1 N
i
N
iin i
NniF
Nt
TniF
NB ππ
( )∑−
=
⋅=12
00 2
1 N
iiF
NA
Pi= 3,14159265N= 6 An Bn A0n= 1T= 6,28318531
i F(i)0 0,5 0 0,5 0 0,51 0,33 0,523598776 0,285788383 0,165 0,332 0,19 1,047197551 0,095 0,164544827 0,193 1 1,570796327 6,12574E-17 1 14 1,54 2,094395102 -0,77 1,333679122 1,545 0,67 2,617993878 -0,580237021 0,335 0,676 -0,5 3,141592654 0,5 -6,12574E-17 -0,57 -0,67 3,665191429 0,580237021 0,335 -0,678 -0,54 4,188790205 0,27 0,467653718 -0,549 -1 4,71238898 1,83772E-16 1 -1
10 -1,19 5,235987756 -0,595 1,030570231 -1,1911 -0,33 5,759586532 -0,285788383 0,165 -0,33
1,9984E-15 5,996447897 4,996E-16
Divided by N= 6 An= 3,33067E-16 Bn= 0,999407983 Divided by 2N= 12 4,16334E-17
F(T)= 0,908759107 t= 2
Cn= 0,999407983 Phin= 3E-16 ° 1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 2 4 6 8 10 12
Reihe1
iNn ⋅⋅π ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πcos ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πsin
∑−
=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+=
1
10
2s in2c o s)(N
nnn t
TnBt
TnAAtF ππ
( )iF
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅+= nn t
TnCAtF ϕπ2sin)( 0 T
n⋅⋅ π2
Merke: Für eine effiziente Erstellung der entsprechenden Summanden ist es von Vorteil, sich eine Excel-Tabelle, wie die links abgebildete zu generieren
Typische Bauformen einer Schwingung
( )( )( ) )(sinˆ)(
cosˆ)(sinˆ)(
2000
20
000
00
tytyty
tytytyty
⋅−=+⋅⋅⋅−=
+⋅⋅⋅=+⋅⋅=
ωϕωω
ϕωωϕω
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tBtAty
tBtAtytBtAty
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
0000
0000
0000
sincos)(cossin)(sincos)(
ωωωωωωωω
ωωωω
ϕϕϕ
cossintan ==
BA
22ˆ BAy +=
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Seite 4 04.10.13
Maschinendynamik
Harmonische Analyse in der Maschinenmechanik
Einführung in die Schwingungslehre
∑−
=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+=
1
10
2sin2cos)(N
nnn t
TnBt
TnAAtF ππ
( ) ( )∑∑−
=
−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=
12
0
12
0
cos12cos1 N
i
N
iin i
NniF
Nt
TniF
NA ππ
( ) ( )∑∑−
=
−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=
12
0
12
0
sin12sin1 N
i
N
iin i
NniF
Nt
TniF
NB ππ
( )∑−
=
⋅=12
00 2
1 N
iiF
NA
Pi= 3,14159265 i Auszuwertende Stelle (Teilung) F(i) bzw. F(t)N= 15n= 3 0 0 4,5 0 4,5 0 4,5T= 6,28318531 1 0,20943951 4,75317635 0,62831853 3,84540044 2,79384696 4,75317635
2 0,41887902 3,97650777 1,25663706 1,22880848 3,78188362 3,976507773 0,628318531 2,6465737 1,88495559 -0,81783625 2,51704116 2,64657374 0,837758041 1,54079352 2,51327412 -1,24652814 0,90565571 1,540793525 1,047197551 1,23205081 3,14159265 -1,23205081 6,9808E-16 1,232050816 1,256637061 1,80252419 3,76991118 -1,45827271 -1,05949714 1,802524197 1,466076572 2,97295562 4,39822972 -0,91869381 -2,82744882 2,972955628 1,675516082 4,37109428 5,02654825 1,35074242 -4,1571577 4,371094289 1,884955592 5,60984504 5,65486678 4,53845997 -3,29738418 5,60984504
10 2,094395102 6,23205081 6,28318531 6,23205081 -7,0622E-15 6,2320508111 2,303834613 5,82364262 6,91150384 4,71142585 3,42305125 5,8236426212 2,513274123 4,33860499 7,53982237 1,34070267 4,12625854 4,3386049913 2,722713633 2,28447648 8,1681409 -0,70594206 2,17266624 2,2844764814 2,932153143 0,47032725 8,79645943 -0,38050274 0,27645142 0,4703272515 3,141592654 -0,5 9,42477796 0,5 -1,8377E-16 -0,516 3,351032164 -0,51541222 10,0530965 0,41697725 0,3029517 -0,5154122217 3,560471674 0,17043855 10,681415 -0,05266841 -0,16209669 0,1704385518 3,769911184 1,20647999 11,3097336 0,37282282 -1,14743065 1,2064799919 3,979350695 2,22144235 11,9380521 1,79718462 -1,30573105 2,2214423520 4,188790205 2,76794919 12,5663706 2,76794919 -6,2733E-15 2,7679491921 4,398229715 2,43523994 13,1946891 1,97015049 1,43139812 2,4352399422 4,607669225 1,17399069 13,8230077 0,36278307 1,1165315 1,1739906923 4,817108736 -0,51804059 14,4513262 0,16008335 -0,49268588 -0,5180405924 5,026548246 -1,84760917 15,0796447 1,49474721 -1,08599742 -1,8476091725 5,235987756 -2,23205081 15,7079633 2,23205081 -1,3673E-15 -2,2320508126 5,445427266 -1,58587849 16,3362818 1,28300265 0,93215599 -1,5858784927 5,654866776 -0,19165867 16,9646003 0,05922579 0,18227823 -0,1916586728 5,864306287 1,5685772 17,5929189 0,48471701 -1,49180557 1,5685772
imax 29 6,073745797 3,29190862 18,2212374 2,66321002 -1,93493534 3,29190862
37,5 5 60Schrittweite (T/(imax+1)): 0,20943951 Divided by N An 2,5 Bn 0,33333333 A0 2
Cn 2,52212433
Phin(rad) 1,43824479 Phin° 82,4053566
Konzept:
1.) In der Spalte F sind ganzzahlig nummeriert die Messpunkte der Reihe nach aufgelistet2.) Nun muss die "Schrittweite" zwischen den einzelnen Messpunkten errechnet werden S=T/(imax+1) 3.) (Falls Funktion gegeben)In einem nächsten Schritt sind in Spalte G die Auswertepunkte aufzulisten jedes Feld errechnet sich aus dem Inhalt des direkt darüberliegenden plus eine Schrittweite4.) (Falls Funktion gegeben) Es soll nun in Spalte H die zu rekonstruierende Funktion in Abhängigkeit der entsprechenden Zelleninhalte aus Spalte H einzutragen
(Falls Messwerte gegeben) sollen diese direkt hier eingetragen werden5.) Nun ist der Quotient in Spalte J gemäss darüber stehender Formel zu bilden6.) Es können nun die Spalten L und N unter zuhilfenahme des in Punkt 5 errechneten Quotienten ermittelt werden7.) Nun soll die Summe der beiden zuletzt erstellten Spalten (L, N) gebildet werden8.) Diese Summe ist durch N zu dividieren9.) Durch verändern des Wertes n können nun die Frequenzabhängigen Anteile ermittelt werden10.) Die Koeffizienten sind gemäss dieser Formel zu verwenden (Achtung: Ausdruck in Klammern von Sin und Cos beachten!!!)
-
iNn ⋅⋅π ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πcos ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πsin
22 TNNT =⇒=
Periode wird in 2N gleiche Teile zerlegt. Dies bedeutet, wenn zwölf Teile vorhanden sind wird N=6 gesetztbzw. in diesem Beispiel 30Teile also N=15
∑ ∑
2.)
1.) 3.) 4.)5.) 6.) 6.)
7.)8.)
Merke: Um sinnvole Werte (Amplituden für Cos und Sin Terme) erhalten zu können muss die Auflösung bzw. die Anzahl Messpunkte entsprechend hoch gewählt werden.Es kann keine sinvolle Berechnung erfolgen, wenn überlagerte Oberwellen zwischen zwei Messpunken Nulldurchgänge haben, somit würden diese nicht berücksichtigt
9.)
∑−
=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅⋅+=
1
10
2sin2cos)(N
nnn t
TnBt
TnAAtF ππ10.)
)( tf
∑
f(t)=2+2*SIN(G7)+1/3*SIN(3*G7)+2,5*COS(3*G7)+1/8*SIN(6*G7)
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Maschinendynamik
Längsschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)
Freie ungedämpfte Schwingung
FstatFFF
TF
GF
m
y
Für die Bewegung des Massenpunktes gilt allgemein:
D‘Alembertsche Trägheitskraft:
Federkraft dynamisch:
Federkraft statisch (fst steht für statische Auslenkung):
Gewichtskraft:
ymF ⋅=
ymFT ⋅=
ycFF ⋅=
stFstat fcF ⋅=
gmFG ⋅=
gmfcycymFFFF
F
st
GFstatFT
⋅−⋅+⋅+⋅=−++⇒
=∑
0
0
Da die Feder durch die Gewichtskraft statisch verlängert wird, gilt folgender Sachverhalt:
0=+⇒
⋅=⋅=
ymcy
fcgmF stG
Da es sich in der Oben aufgeführten Gleichung um eine DGL 2.Ordnung handelt ist bekannt dass:
Des weiteren wird im Skript hergeleitet, dass in diesem Fall für die Koeffizienten folgendes gilt:
Dies kann durch Einsetzen in die Gleichung in ihrer Grundform oder ihrer Ableitungen verifiziert werden
mc=0ω
( ) ( )tBtAty ⋅⋅+⋅⋅= 00 cossin)( ωω
0
0
ωvA = 0yB =
Merke:
- Eine Schwingung erfolgt immer um die statische Ruhelage
- Der Schwingungsvorgang wird nicht durch eine Vorspannung des elastischen Elementes beeinflusst (z.B. Gewichtskraft)
- Wird eine Schwingung auf die Null-Lage bezogen, dann brauchen Vorspannkräfte nicht berücksichtigt zu werden
- Soll der Einfluss der mitschwingenden Federmasse berücksichtigt werden, so kann mit Faktoren hinreichend genau gerechnet werden
( ) ( ) ( ) Energiekinetische
0
Energiepot.
0 000 vyvyy ===Anfangsbedingungen
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Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung
Längsschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)
y
l/2
F Ziel
Ziel dieses Beispieles ist es, die Eigenfrequenz eines beliebigen Balkens zu ermitteln. Da es sich hierbei ebenfalls um einen Feder-Masse-Oszillator handelt, wird diese identisch zum vorangehenden Beispiel ermittelt. Da diese kritische Frequenz von zwei Grössen abhängig ist (c,m) und die Masse bereits bekannt ist, soll nun die Federkonstante für den Biegebalken errechnet werden, um über diese wiederum auf die Resonanzfrequenz schliessen zu können.
Konzept
• Zu Beginn muss die für die vorliegende Einspannsituation entsprechende Durchbiegung infolge angreifender Kraft ermittelt werden (für den vorliegenden Fall wäre dies):
• Es kann nun gemäss unten stehender Beziehung die Federkonstante errechnet werden. Wobei anzumerken ist, dass es sich bei Ff um die angreifende Kraft handelt. Es kann demnach der oben ermittelte Term nach F aufgelöst und im unten stehenden mathematischen Zusammenhang eingefügt werden:
• Um diese Federkonstante nun als konkreten Wert ermitteln zu können, muss vorab noch das Flächenträgheitsmoment (die Grösse des geometrischen Widerstandes gegen Verbiegung) errechnet werden. Dargestellt für den oben illustrierten Fall:
• Da nun alle Grössen bekannt sind, kann die kritische Kreisfrequenz gemäss unten stehender Formel errechnet werden:
• Über die bekannten mathematischen Zusammenhänge kann entsprechend auf verwandte Grössen geschlossen werden:
IElFy⋅⋅
⋅=48
3
yFc F= 3
48lIE ⋅⋅=
b
h
12
3hbI ⋅=
211101,2mNE ⋅=
mc=0ω ml
IE⋅⋅⋅= 3
48
Tfn πππω ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 222
3
48l
IEyF ⋅⋅⋅=⇒
Achtung: SI-Einheiten !!!
64
4 π⋅= dI
b
h
12
3hbI ⋅=
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung
Drehschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)
d
l
0J
ϕFM
ϕ⋅J
Ziel
Es soll die Kreisfrequenz dieses Feder-Masse-Drehschwingers eruiert werden. Vereinfachend wird hier das Massenträgheitsmoment der Welle vernachlässigt [Verdrehwinkel f(l) ], dies ist insofern zulässig als in praktischen Fällen der Wellendurchmesser im Vergleich zur Scheibe sehr dünn ist und dieser in der 4.Potenz in das MTM hineinverrechnet wird.
Konzept
• Die angreifenden Momente an der Scheibe sind:
• Durch aufstellen der Momentengleichung kann die unten aufgestellte Form erreicht werden, die wiederum die Gestalt einer DGL 2.Ordnung aufweist
• Hieraus kann gemäss dem linearen Massefederoszillator auf die Kreisfrequenz geschlossen werden:
ϕ
ϕ
⋅=
⋅⋅=
0:omentTrägheitsm
:omentRückstellm
JMlIGM
T
PF ( ) GE
dI KreisP
⋅+⋅=
⋅=
ν
π
1232
4
210101,8mNGStahl ⋅=
0
:0
0
00
=⋅⋅
+
=⋅
+⋅
ϕϕ
ϕϕ
lJIG
JlIG
J
p
p
lJIG
Jc P
⋅⋅==00
ω
lIG
c p⋅=
l
Mathematisches Pendel
lg=ω
Merke: Beim mathematischen Pendel hat die Masse keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer bzw. die Eigenfrequenz
20 2
1 rmJ ⋅⋅=
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Physisches Pendel
srgmJT⋅⋅
⋅= 02π
Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung
00 J
rgm s⋅⋅=ωsr
mJ ,0mrJJ sS ⋅+= 20
][tan:][.:
][.:2
20
mtrumSchwenkzenzutSchwerpunkdAbsrmkgtSchwerpunkbzglMTMJmkgtrumSchwenkzenbzglMTMJ
s
S ⋅
⋅
Feder-Masse (Rolle)-Oszillator yyy ,,
Ziel
Es soll die Resonanzfrequenz des obigen Schwingkreises eruiert werden.
Konzept
• Es wird die Summe aller am System vorhanden Energien gebildet und konstant gesetzt
• Mit dem Einsetzen der entsprechenden Gleichungen ergibt sich hieraus:
.,,, constEEE Federpottranskinrelrot =++
( )
( ) ( ) ( )
0
32
23:0
23
:02212
43
)('))(('))((.21
43
.21
43
.21
42
4
.21
21
221
.21
21
21
2
22
'22
222
2222
222
=⋅⋅⋅+
=⋅+⋅
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=′=′⋅+⋅′
=⋅+⋅
=⋅++
=⋅+⋅+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⋅⋅
=⋅+⋅+⋅
ymcy
mycym
yyycyym
xhxhgxhgconstycmy
constycmy
constycymym
constycymryrm
constycvmJ
ω
ω
ry=ω yv =
2
2mrJWalze =
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Berücksichtigung der Federmasse
Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung
Fm m
Fers mmm41+=
2Fm m
2Fm
Fers mmm21+=
Konzept: Gemäss dem bekannten Feder-Masse-Schwinger kann nun die Masse durch eine Ersatzmasse ersetzt werden, welche das Eigengewicht der Feder berücksichtigt. Hierbei ist zu erwähnen, dass vernünftige Ergebnisse nur dann erzielt werden können, wenn die Masse der Feder die eigentliche Masse nicht übersteigt.
mc=0ω
Kombinationen von Federn
c1
c2
c1 c2
Serieschaltungen Parallelschaltungen
ners cccc1...111
21
+++= ners cccc +++= ...2121
21
cccccers +⋅=
Merke: Beide Federn gleiche Auslenkung è Parallelschaltung
Beide Federn gleiche Kraft è Serieschaltung
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅
⋅⋅=Fmml
IE
21
483
0ω
!!!
Achtung!!!
64
4 π⋅= dI
b
h
12
3hbI ⋅=
Achtung: Dieses FTM-Moment und nicht das polare verwenden
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅
⋅⋅=Fmml
IE
41
33
0ω
!!!
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Seite 10 04.10.13
Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 11 04.10.13
Freie gedämpfte Schwingung
Maschinendynamik Freie gedämpfte Schwingung
portional)igkeitspro(geschwindxkFD ⋅=
mc=0ω
δ
mk⋅
=2
δ
Der Dämpfungsgrad wird als praktisch wichtigster Begriff eingeführt. Mittels diesem können einzelne Fälle unterschieden werden:
0ωδϑ =
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
20
220 1 ϑωδωω −⋅=−=d
Logarithmisches Dekrement:
2122
ϑϑπ
ωπδδ
−⋅⋅=⋅⋅=⋅=Λ
ddT
02 20 =⋅+⋅⋅+ yyy ωδ
FallherAperiodisc1GrenzfallherAperiodisc1FallerPeriodisch1
>=<
ϑϑϑ
Homogene DGL eines Feder-Masse-Schwingers mit Geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
0=⋅+⋅+⋅ ycykym 0=⋅+⋅+ ymcy
mky
Die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung lauete:
Weiter wird der Abklingkoeffizient mit der Dämpfungskonstanten k definiert:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡s1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡s1 Hinweis: Der Abklingkoeffizient beschreibt
die Abnahme der Amplituden der Schwingung
Zusammenhang Eigenkreisfrequenz gedämpft / ungedämpft und Dämpfungsgrad
122
0
220
2 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒−= ϑ
ωωδωω d
d
2
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωωd
2ϑ1
1 Hinweis: Aus diesem, über eine Kreisfunktion des mit Radius eins gegebenen Kreises, wird ersichtlich, dass für kleine Werte des Dämpfungsgrades die Kreisfrequenz des gedämpften Systems nicht gross von der, des ungedämpften Systems, abweicht.
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220 dωδω +=
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 12 04.10.13
Maschinendynamik Freie gedämpfte Schwingung
Periodischer Fall 0=ϑ( ) ( )tBtAy ⋅⋅+⋅⋅= 00 cossin ωω
( )ϕω +⋅⋅= tyy 0sinˆ
10 <<ϑ nur sehr geringe Dämpfung vorhanden
mc
mk =<⋅
= 02:geltees ωδ
( ) ( )[ ]tBtAex ddt ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− ωωδ sincos
( )ϕωδ +⋅⋅⋅= ⋅− txex dt sinˆ
20
220 1: ϑωδωω −⋅=−=dwobei
1=ϑ
( )tCCey t ⋅+⋅= ⋅−21
δ
1>ϑ
( ) ( ) tt eCeCy ⋅+−⋅−− ⋅+⋅= κδκδ21
0ωδϑ =
Aperiodischer Grenzfall
Aperiodischer Fall
( )212 CCtCey t +⋅−⋅⋅−⋅= ⋅− δδδ
Unterscheidung der Bauform der Lösungsgleichung in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad
( ) ( )tBtAy ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 0000 sincos ωωωω
( )ϕωω +⋅⋅⋅= tyy 00 cosˆ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⋅⋅⋅=
2sinˆ 00
πϕωω ty
( )ϕωω +⋅⋅⋅−= tyy 020 sinˆ ( )ty⋅−= 2
0ω
BA=ϕtan
22ˆ BAy +=
1:geltees 0 =⇒= ϑωδ
( ) tt eCtCCey ⋅−⋅− ⋅+⋅+⋅⋅−= δδδ 221
( ) ( ) 000für 0 == yundyy 02
01
yCyC⋅=
=δ
( ) ( ) 000für 0 == yundyy 0
0
yB
yA
d
⋅=
=
ωδs t
e i
g e
n d
e r
D ä
m p
f u
n g
s g r
a d
( ) ( ) 000für 0 == yundyy
02
01
2
2
yC
yC
⋅⋅−=
⋅⋅+=
κκδκκδ
0:geltees ωδ >20
2 ωδκ −=
( ) ( ) teyty ⋅−−⋅⋅+⋅= κδ
κκδ
20
Für ist das zweite Glied vernachlässigbar klein und es kann vereinfacht werden:
10 >⋅tω
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 13 04.10.13
2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
6
0∈y
2∈y4∈y
4∈y6∈y 8∈y
10∈y
1∈y3∈y
( )Perioden6z =⋅ zTd
Logarithmisches Dekrement
Maschinendynamik Freie gedämpfte Schwingung
( )d
zn
n
d
Tyy
z⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
−⋅⋅=⋅⋅=Λ
⋅+∈
∈ δϑϑπ
ωπδ
22
ln1122
[ ]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
∈
sSystemsgedämpftendesenzKreisfrequ
sSystemsgedämpftendesuerPeriodendaTnStelleanertFunktionswy
PeriodenAnzahlz
d
d
n
1:
::
][:
ω
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅=
⇓
⋅+∈
∈
zn
n
d yy
Tz 2
ln1δ
Die Dämpfung des Systems errechnet sich:
Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems:
dd T
πω ⋅= 2
0=⋅+⋅+⋅ ycykym
Differentialgleichungen lösen mit CAS (TI-89)
0=⋅+⋅+ ymcy
mky
Es sei eine homogene Differentialgleichung von folgender Form gegeben:
Für aufwändige Terme von k und c ist sie in die Normalform zu überführen:
Und kann wie folgt in den Taschenrechner (TI-89) eingegeben werden:
deSolve(m*y‘‘+k*y‘+c*y=0,t,y)
Sind des weiteren Randbedingungen definiert und Werte für k und c bekannt, so wird die Eingabe erweitert zu:
deSolve(m*y‘‘+k*y‘+c*y=0 and y‘(0)=0 and y(0)=y0,t,y) | m=5 and c=6 and k=7
ny∈
2nz =
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Seite 14 04.10.13
Maschinendynamik Gedämpfte Schwingung
2GF
1GF
FF
DF
ϕTrägheitM
ϕ sin⋅⋅=⋅= lkxkFD ϕϕϕ cossincos 2 ⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅= lkxklFM DD
Das Moment verursacht durch die Dämpfung errechnet sich wie folgt:
Das Moment verursacht durch die Federkraft wobei hier zu beachten ist, dass zwei Federn vorhanden sind (daher Faktor zwei):
ϕsin2
22 ⋅⋅⋅=⋅⋅= lcxcFF ϕϕϕ cossin2
cos2
2
⋅⋅⋅=⋅⋅= lclFM FF
In vertikaler Richtung greifen zwei Momente in folge der an den beiden Punktmassen wirkenden Gewichtskräfte an:
gmgmFG ⋅+⋅= 2112 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
2sinsin
2sin 2
12112mmlglgmlgmMG ϕϕϕ
Um das Trägheitsmoment errechnen zu können muss zuerst das MTM des exzentrischen(mit Satz vom Steiner aus Rotationsachse rechnen) Stabes und das der Punktmasse gerechnet werden.
ϕ⋅= ersTrägheit JM
( )212
21
22
22
222
2
222
2
211
331
31
123
12212
mmlJJJ
mlmllmmllmJ
lmJ
ers +⋅⋅⋅=+=
⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⋅=
⋅= Satz von Steiner
Es kann nun aufgrund der in der Graphik dargestellten Pfeilrichtungen das Momentengleichgewicht erstellt werden:
∑ +++= GDFTrM MMMM0
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅
2sincossincossin
42
12
2 mmlglklcJers ϕϕϕϕϕϕ
Für kleine Auslenkungen also kleine Phi kann sin Phi =Phi und cos Phi =1 gesetzt werden
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
222
12
2 mmlglklcJers ϕϕϕϕ
Es wird nun durch das Ersatzmassenträgheitsmoment dividiert. Dieses wird jetzt auch effektiv angeschrieben:
( )( )
( ) 032
23333
21
21
21
=⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+ ϕϕϕ
mmlmmglc
mmk
( ) ( ) ( ) 033
32
3
323
2121
21
21
=⋅+⋅⋅+
+⋅⋅
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⋅
⋅+⋅+⋅⋅
⋅+ ϕϕϕϕ mmk
mml
mmg
mmc
20ωδ⋅2
Beispiel eines Feder-Dämpfer-pendels
Hinweis: Hier kommt die Formel für einen dünnen Stab zum Zug. Der zweite Summand ist für die Verschiebung des Stabes aus der Schwerpunktsachse zuständig (Satz von Steiner)
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Seite 15 04.10.13
Maschinendynamik Reibungsformen
Formen der Reibung
- Coulomb‘sche Reibung
Flüssige Reibung (im laminaren Bereich)
- Flüssige Reibung (im turbulenten Bereich)
yyk
yyFF nD
⋅=⋅⋅= µ y
+F
−F
ykFD ⋅=
y
DF
DF
yyykFD
⋅⋅= 2
νlw ⋅=
>
Re
2320Rewennturbulent,
y
DF
νlw ⋅=
<
Re
2320Rewennlaminar,
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Seite 16 04.10.13
Achtung: Gemäss Skript soll diese Formel nur Gültigkeit haben für kleine Werte von Theta
Federkrafterregung
Maschinendynamik
12
0
22
0
1
21
1ˆV
Nry ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
ωωϑ
ωω
( )[m]egungErregerbewderRadius:r
ktionErregerfun:tonungsfunktiVergrösser:V
winkelNullphasen:equenzResonanzfr:
SchwingunggedämpftenderenzEigenfrequ:ungedämpftfrequenzEigenkreis:
nzreisfreque /ErregerkenzKreisfrequ aktuelle:plitudeResonanzam:ˆ
1
d
0
η
ϕωωωω
r
y
2
12
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⇒ωω
ϑ
2
0
0
1
2arctan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⋅=
ωωωωϑ
ϕ
Merke: Die Resonanzfrequenz zeichnet sich dadurch aus, dass sich an dieser Stelle ein Amplitudenmaximum einstellt. Der letzte Formelausdruck wurde aus der Maximumssuche (Ableitung=0) ermittelt
Erzwungene Schwingung (Federkrafterregt)
( ) ( )trt ⋅⋅= ωη sin
( )( ) 0sin =⋅⋅−+⋅+⋅ trycykym ω
( )tryyy ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ωωωδ sin2 20
20
( )trmcy
mcy
mky ⋅⋅⋅=+⋅+ ωsin
Die Phasenverschiebung in Funktion von der Erregerkreisfrequenz ergibt (Phasengang):
Die Amplitude bezogen auf den Erregerradius und die Resonanzfrequenz (Frequenzgang) (Vergrösserungsfunktion V1) y-Dach ist der Betrag der Amplitude, die sich im eingeschwungenen Zustand einstellen wird
Siehe nächste Seite
Bewegt sich nun das System im Resonanzbereich d.h. Dann kann der obige Ausdruck vereinfacht werden zu: 0ωω =
ϑωω ⋅=
→ 21ˆ
lim0 ry
Die Resonanzfrequenz berechnet sich wie folgt:
2
0
21 ϑωω ⋅−=r
(2)
(1)
Hinweis:Die Resonanzamplitude gewinnt man durch einsetzen des errechneten Quotienten in Gleichung (2)
0ωωrDurch Einsetzen von (3) in (2) erhält man:
(3)
2121ˆ
ϑϑ −⋅⋅=
ry
121 2 <<⋅
= ϑϑwenn
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
Merke: Die Federanteile müssen unbedingt als Differenz vom Weg der Masse und demjenigen der Erregung formuliert werden.(Eingang – Ausgang)
Hinweis: Diese Funktion gibt an um wie viel die Masse gegenüber der Erregung phasenverschoben ist.
Die Lösungsfunktion setzt sich zusammen aus einem Lösungsanteil der homogenen DGL (zuvor behandelt) und einem partikulären Anteil:
ph yyy +=( )ϕω −⋅⋅= tyy ep sinˆ
( )SchwingunggedämpftesiehevonabhängigBauform ϑhy
2
0
12
1
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⇒<<
ωω
ϑe
V
!
220
2arctanωωωδϕ
−⋅⋅=
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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1 2 3 4
w
w0
1
2
3
4
5
6
ymr
1 2 3 4
w
w0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ymr
Maschinendynamik
2=ϑ
8,1=ϑ6,1=ϑ
4,1=ϑ
2,1=ϑ
1=ϑ
8,0=ϑ 6,0=ϑ
4,0=ϑ
2,0=ϑ
0=ϑ
0=ϑ
1,0=ϑ
2,0=ϑ
3,0=ϑ
4,0=ϑ5,0=ϑ
Frequenzgang bei Federkrafterregung
Erzwungene Schwingung (Federkrafterregt)
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 18 04.10.13
Frequenzgang bei Federkrafterregung
Maschinendynamik
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
=1/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)
we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 1,0101 1,0093 1,0068 1,0028 0,9972 0,9901 0,9365 0,8638 0,7856 0,71070,2 1,0417 1,0381 1,0275 1,0106 0,9882 0,9615 0,8002 0,6507 0,5359 0,45080,3 1,0989 1,0895 1,0626 1,0218 0,9720 0,9174 0,6640 0,4958 0,3896 0,31900,4 1,1905 1,1695 1,1125 1,0336 0,9469 0,8621 0,5534 0,3933 0,3023 0,24470,5 1,3333 1,2883 1,1765 1,0412 0,9119 0,8000 0,4682 0,3234 0,2457 0,19780,6 1,5625 1,4630 1,2500 1,0381 0,8667 0,7353 0,4026 0,2735 0,2065 0,16570,7 1,9608 1,7188 1,3203 1,0176 0,8126 0,6711 0,3514 0,2364 0,1778 0,14250,8 2,7778 2,0761 1,3618 0,9753 0,7521 0,6098 0,3105 0,2077 0,1560 0,12490,9 5,2632 2,4566 1,3429 0,9119 0,6885 0,5525 0,2774 0,1851 0,1388 0,11111 50,0000 2,5000 1,2500 0,8333 0,6250 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250 0,1000
1,1 4,7619 2,0511 1,1053 0,7482 0,5642 0,4525 0,2270 0,1514 0,1136 0,09091,2 2,2727 1,5357 0,9469 0,6641 0,5077 0,4098 0,2075 0,1386 0,1041 0,08331,3 1,4493 1,1574 0,8012 0,5862 0,4563 0,3717 0,1906 0,1277 0,0959 0,07681,4 1,0417 0,8998 0,6779 0,5168 0,4103 0,3378 0,1760 0,1183 0,0890 0,07131,5 0,8000 0,7212 0,5771 0,4563 0,3695 0,3077 0,1632 0,1101 0,0829 0,06641,6 0,6410 0,5931 0,4956 0,4042 0,3336 0,2809 0,1518 0,1028 0,0776 0,06221,7 0,5291 0,4979 0,4295 0,3596 0,3019 0,2571 0,1417 0,0964 0,0728 0,05851,8 0,4464 0,4250 0,3755 0,3214 0,2741 0,2358 0,1326 0,0907 0,0686 0,05511,9 0,3831 0,3679 0,3311 0,2885 0,2496 0,2169 0,1244 0,0855 0,0648 0,05212 0,3333 0,3221 0,2941 0,2603 0,2280 0,2000 0,1170 0,0808 0,0614 0,0494
2,1 0,2933 0,2847 0,2631 0,2358 0,2089 0,1848 0,1103 0,0766 0,0583 0,04702,2 0,2604 0,2538 0,2367 0,2146 0,1920 0,1712 0,1042 0,0727 0,0555 0,04482,3 0,2331 0,2279 0,2142 0,1960 0,1769 0,1590 0,0985 0,0692 0,0529 0,04272,4 0,2101 0,2059 0,1948 0,1797 0,1635 0,1479 0,0933 0,0659 0,0506 0,04092,5 0,1905 0,1871 0,1780 0,1654 0,1515 0,1379 0,0885 0,0629 0,0484 0,0391
ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d !
Erzwungene Schwingung (Federkrafterregt)
∞
0ωωe
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 19 04.10.13
Frequenzgang bei Massenkraft oder Fliehkrafterregung
Maschinendynamik
f
g
e
e
mMassedertSchwerpunk:
[m]standerpunktsabGesamtschw:SFliehkraftftErregerkra:F̂
s1 hzahlErregerdre:n
isfrequenzErregerkre:
S
e
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ω
ee n⋅⋅= πω 2
( )22 2ˆeeeee nememF ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= πω
( )tFycykymym eeef ⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ ωsinˆ
Bewegungsgleichung in vertikaler Richtung:
( )tmm
emymmcy
mmky e
ef
ee
efef
⋅⋅+⋅⋅=⋅
++⋅
++ ωω sin
2
Darstellung in Normalform:
( )tsyyy e ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ωωωδ sin2 220
Für die Koeffizienten der Normalform gilt unter Berücksichtigung der zuvor angeschriebenen Gleichung:
ef mmk+
=⋅δ2ef mm
c+
=20ωef
e
mmems
+⋅=
S ist der Abstand des Gesamtschwerpunktes Sg von dem Schwerpunkt S der Masse mf, wenn man den Drehpunkt der Scheibe aus Abb. 4.4 auf den Schwerpunkt der Masse mf legt.
ef
e
mmems
+⋅=
tot
e
ef
e
mm
mmm
es =
+=
eS gS fS
se
Die Lösung der oben angeschriebenen Differentialgleichung lautet:
( ) ( )ϕω −⋅⋅= tyty esinˆ22
0
2tane
e
ωωωδϕ
−⋅⋅= ( ) ( )2222
0
2
2ˆ
ee
esyωδωω
ω
⋅⋅+−
⋅=
Und bezogen auf den Schwerpunktsabstand s und die Erregerkreisfrequenz auf die Eigenkreisfrequenz:
2
0
0
1
2arctan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⋅=
ωωωωϑ
ϕe
e
2
0
22
0
2
0
21
ˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ωωϑ
ωω
ωω
ee
e
sy
Siehe nächste Seite
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
Die Resonanzfrequenz errechnet sich über die Extremalstellen der Funktion aus Gleichung (2) und es gilt demzufolge:
(2)
(1)
20 21
1ϑω
ω⋅−
=r(3)
Erzwungene Schwingung (Massenkrafterregt)
Achtung: me repräsentiert die Gesamtmasse, die häufig noch durch zwei dividiert werden muss für die Einzelmassen ! !
2
0
2
01
2
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⇒<<
ωω
ωω
ϑe
e
V
!
totef mmm =+
220
2arctane
e
ωωωδϕ
−⋅⋅=
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Seite 20 04.10.13
Maschinendynamik
Die Resonanzamplituden können errechnet werden durch einsetzen des Quotienten aus (3) in (2) die ergibt:
2121ˆ
ϑϑ −⋅⋅=
syr
01 ωωϑ ≈⇒<< rfür
Es wird, wie bei der Federkrafterregung, die Vergrösserungsfunktion V3 definiert
2
0
22
0
2
0
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ωωϑ
ωω
ωωe
2
013
ˆ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⋅+
=ωωe
fe
eV
emm
myV
Es wird des weiteren die Unwucht eingeführt:
iii rmU ⋅= Definition:Unwucht ist definiert als das Produkt aus einer Punktmasse und deren Abstand von der Drehachse
Die resultierende Fliehkraft einer rotierenden Punktmasse errechnet sich gemäss der folgenden Beziehung:
22 ωω ⋅=⋅⋅= iiii UrmF
Zur Kennzeichnung des Wuchtzustandes wird die massenunabhängige Exzentrizität eingeführt
mU
mrms uu =⋅=
Erzwungene Schwingung (Massenkrafterregt)
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 21 04.10.13
we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,1 0,0101 0,0101 0,0101 0,0100 0,0100 0,0099 0,0094 0,0086 0,0079 0,00710,2 0,0417 0,0415 0,0411 0,0404 0,0395 0,0385 0,0320 0,0260 0,0214 0,01800,3 0,0989 0,0981 0,0956 0,0920 0,0875 0,0826 0,0598 0,0446 0,0351 0,02870,4 0,1905 0,1871 0,1780 0,1654 0,1515 0,1379 0,0885 0,0629 0,0484 0,03910,5 0,3333 0,3221 0,2941 0,2603 0,2280 0,2000 0,1170 0,0808 0,0614 0,04940,6 0,5625 0,5267 0,4500 0,3737 0,3120 0,2647 0,1449 0,0985 0,0743 0,05970,7 0,9608 0,8422 0,6469 0,4986 0,3982 0,3289 0,1722 0,1158 0,0871 0,06980,8 1,7778 1,3287 0,8716 0,6242 0,4813 0,3902 0,1987 0,1330 0,0998 0,07990,9 4,2632 1,9899 1,0878 0,7387 0,5577 0,4475 0,2247 0,1499 0,1125 0,09001 50,0000 2,5000 1,2500 0,8333 0,6250 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250 0,1000
1,1 5,7619 2,4818 1,3374 0,9053 0,6827 0,5475 0,2747 0,1832 0,1375 0,11001,2 3,2727 2,2115 1,3636 0,9564 0,7310 0,5902 0,2987 0,1996 0,1498 0,11991,3 2,4493 1,9560 1,3541 0,9907 0,7712 0,6283 0,3222 0,2158 0,1621 0,12981,4 2,0417 1,7635 1,3287 1,0130 0,8043 0,6622 0,3450 0,2318 0,1744 0,13971,5 1,8000 1,6227 1,2985 1,0267 0,8315 0,6923 0,3671 0,2476 0,1865 0,14951,6 1,6410 1,5182 1,2686 1,0348 0,8539 0,7191 0,3886 0,2632 0,1985 0,15921,7 1,5291 1,4388 1,2412 1,0392 0,8725 0,7429 0,4095 0,2786 0,2105 0,16901,8 1,4464 1,3770 1,2167 1,0412 0,8880 0,7642 0,4297 0,2937 0,2223 0,17861,9 1,3831 1,3280 1,1952 1,0417 0,9010 0,7831 0,4492 0,3087 0,2341 0,18822 1,3333 1,2883 1,1765 1,0412 0,9119 0,8000 0,4682 0,3234 0,2457 0,1978
2,1 1,2933 1,2557 1,1601 1,0401 0,9212 0,8152 0,4864 0,3378 0,2573 0,20732,2 1,2604 1,2286 1,1458 1,0386 0,9291 0,8288 0,5041 0,3521 0,2687 0,21672,3 1,2331 1,2057 1,1333 1,0370 0,9359 0,8410 0,5211 0,3661 0,2800 0,22612,4 1,2101 1,1862 1,1222 1,0353 0,9418 0,8521 0,5375 0,3798 0,2912 0,23542,5 1,1905 1,1695 1,1125 1,0336 0,9469 0,8621 0,5534 0,3933 0,3023 0,2447
Massenkraft- oder Fliehkrafterregung (Vergrösserungsfunktion V3)
Maschinendynamik
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
=$A2^2/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)
ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d !
Erzwungene Schwingung (Massenkrafterregt)
∞
0ωωe
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Durchlässigkeit, Schwingungsleitfähigkeit VD
Maschinendynamik Erzwungene Schwingung
Es wird der Begriff der Durchlässigkeit VD eingeführt. Dieser repräsentiert den Zusammenhang zwischen der Erregerkraft Fe und der, auf die Umgebung übertragenen, Kraft Fg
][gkeitDurchlässi:][Krafeübertragen:ˆ
[N]FliehkraftftErregerkra:F̂
s1 hzahlErregerdre:n
isfrequenzErregerkre:
e
e
−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
D
G
e
VNtF
ω
e
GD F
FV ˆˆ
=
Ein weiterer Zusammenhang wird in folgender Formel dargestellt (Durchlässigkeit):
2
0
21 41 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+⋅=ωωϑ e
D VV
2
0
2
22
0
2
0
2
41
41
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
=
ωωϑ
ωω
ωωϑ
ee
e
DV
Die Phasenverschiebung von Erregerkraft zu der an die Umgebung übertragenen Kraft beträgt:
2
0
2
0
3
0
21
2arctan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=
ωωϑ
ωω
ωωϑ
ϕee
e
Anstelle von Durchlässigkeit wird auch vom Isolierfaktor i gesprochen:
DVi −=1e
G
FFˆˆ
1−=
2
0
2
1
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⇒<<
ωω
ϑe
DV
! Siehe nächste Seite
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
Merke: Mit einer kleinen Dämpfung ist keine bzw. nur eine schlechte Schwingungsisolierung realisierbar
Merke: i repräsentiert den prozentualen abgeschirmten Teil der Erregerschwingung, somit ist die Differenz zwischen 100 und i gleich dem effektiv weitergeleiteten Teil der Schwingung
V1: Definiert in Federkrafterregung
Merke: über die Eigenfrequenz ist die Federrate R bzw. die Federkonstante c errechenbar über die bekannte Beziehung
Merke: Soll bei einer bestimmten Dämpfung (Bsp.: 0,2) der Resonanzfall bei einer bestimmten Erregerfrequenz eintreten, so ist über die Graphik auf der Nachfolgeseite das Verhältniss von Erreger zu Eigenkreisfrequenz gleich 0,9(bei Dämpfungsgrad 0,2) und dementsprechend kann über diese Beziehung die Eigenkreisfrequenz bestimmt werden
mc=20ω
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Durchlässigkeit, Schwingungsleitfähigkeit VD
Maschinendynamik Erzwungene Schwingung
=WURZEL(1+4*B$1^2*$A2^2)/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)
we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 1,0101 1,0101 1,0100 1,0100 1,0098 1,0097 1,0087 1,0074 1,0061 1,00500,2 1,0417 1,0414 1,0406 1,0393 1,0376 1,0356 1,0248 1,0165 1,0112 1,00790,3 1,0989 1,0973 1,0927 1,0860 1,0781 1,0699 1,0372 1,0209 1,0130 1,00870,4 1,1905 1,1843 1,1681 1,1465 1,1243 1,1040 1,0441 1,0225 1,0134 1,00880,5 1,3333 1,3138 1,2671 1,2142 1,1678 1,1314 1,0468 1,0226 1,0131 1,00850,6 1,5625 1,5046 1,3865 1,2791 1,2015 1,1486 1,0468 1,0218 1,0125 1,00810,7 1,9608 1,7849 1,5132 1,3290 1,2201 1,1547 1,0447 1,0205 1,0116 1,00750,8 2,7778 2,1798 1,6169 1,3520 1,2216 1,1505 1,0411 1,0186 1,0105 1,00680,9 5,2632 2,6110 1,6548 1,3422 1,2070 1,1376 1,0364 1,0164 1,0092 1,00591 50,0000 2,6926 1,6008 1,3017 1,1792 1,1180 1,0308 1,0138 1,0078 1,0050
1,1 4,7619 2,2409 1,4724 1,2390 1,1420 1,0935 1,0243 1,0109 1,0061 1,00391,2 2,2727 1,7035 1,3127 1,1643 1,0990 1,0656 1,0172 1,0077 1,0044 1,00281,3 1,4493 1,3045 1,1560 1,0863 1,0531 1,0356 1,0095 1,0043 1,0024 1,00151,4 1,0417 1,0312 1,0179 1,0104 1,0066 1,0045 1,0012 1,0005 1,0003 1,00021,5 0,8000 0,8411 0,9015 0,9396 0,9608 0,9730 0,9925 0,9966 0,9981 0,99881,6 0,6410 0,7041 0,8049 0,8751 0,9168 0,9417 0,9833 0,9924 0,9957 0,99721,7 0,5291 0,6021 0,7250 0,8170 0,8750 0,9111 0,9738 0,9880 0,9932 0,99561,8 0,4464 0,5237 0,6584 0,7649 0,8356 0,8812 0,9640 0,9833 0,9905 0,99391,9 0,3831 0,4620 0,6024 0,7184 0,7987 0,8524 0,9539 0,9785 0,9877 0,99212 0,3333 0,4125 0,5549 0,6768 0,7643 0,8246 0,9436 0,9735 0,9848 0,9902
2,1 0,2933 0,3719 0,5143 0,6394 0,7323 0,7980 0,9331 0,9683 0,9818 0,98822,2 0,2604 0,3381 0,4792 0,6058 0,7025 0,7726 0,9224 0,9629 0,9786 0,98612,3 0,2331 0,3097 0,4486 0,5755 0,6747 0,7484 0,9116 0,9574 0,9753 0,98402,4 0,2101 0,2855 0,4218 0,5480 0,6488 0,7253 0,9008 0,9518 0,9719 0,98172,5 0,1905 0,2646 0,3980 0,5230 0,6247 0,7033 0,8898 0,9460 0,9684 0,9794
ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d
0ωωe!
∞
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,2
1
5
2
immer Verstärkung immer Dämpfung
Merke: Schwingisolierung erst ab diesem Bereich möglich
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Energie und Lagrange
Maschinendynamik Energie und Lagrange
Die gesamte Energie setzt sich im Reibungsfreien System stets aus kinetischer und potentieller Energiezusammen:
pkges WWW +=Hierbei ist die kinetische Energie:
2
21 ymW ntranslatiok ⋅⋅=
und die potentielle Energie:
2
21
21
21 ycyycyFW
ntranslatiop ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=
2
21 ϕ⋅⋅= JW
rotationk
2
21 ϕ⋅⋅= cW
rotationp
Ist nun, wie oben erwähnt, das System nicht gedämpft oder erregt, dann kann geschrieben werden:
constycym =⋅⋅=⋅⋅ 22
21
21
Für konservative Systeme erhält man die Lagrange‘schen Gleichungen zweiter Art durch partielle Differentiation:
0=∂∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ii qL
qL
dtd
0=
∂∂−
′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ii qL
qL
Merke: Die Koordinaten qk können Längen, Winkel, irgendwelche Verhältnisse usw. sein.
Betrachtung von Lagrange am Feder-Masse-Schwinger
Die Lagrange‘sche Funktion lautet mit den verallgemeinerten Koordinaten qi und den Freiheitsgraden f, dabei ist i=1…f:
( ) ( ) ( )fffpffk qqqqLqqWqqqqW ...;.........;... 11111 =−
22
21
21 ycymWWL pk ⋅⋅−⋅⋅=−= Merke: Hier gibt es nur einen Freiheitsgrad:
q=y
1. Es sind die Zuordnungen der Freiheitsgrade zu den Systemparametern zu erstellen:
2. Durch partielle Differentiation ist der erste Quotient zu bilden:
3. Nun ist der oben aufgeführte Term gemäss der Grundformel nach der Zeit abzuleiten:
4. Ebenso ist die Grundgleichung von Lagrange nach dem nicht abgeleiteten Freiheitsgrad qi abzuleiten:
5. Die Einzelnen Terme gemäss der Grundgleichung nun wieder zusammengefügt ergeben:
ymymqL
i
⋅=⋅⋅⋅=∂∂ 2
21
yqyq =
=
( ) ymymdtd
qL
dtd
i
⋅=⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ycycycqL
i
⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−=∂∂ 2
21
21 2
( ) 00 =⋅−−⋅=∂∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂= ycym
qL
qL
dtd
ii
0=⋅+⇒ y
mcy
Achtung:Vorzeichen aus der Lagrange Gleichung berücksichtigen !!!
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Beispiel zu Energie und Lagrange (über kombinierten aus Ansatz Translation + Rotation)
Maschinendynamik Energie und Lagrange
SJm,1l 2lS
1c 2c
1l 2l
Sϕ
1F2F
y
Konzept: In dieser Lösungsvariante wird ein kombinierter Ansatz aus Translationsbewegung des ganzen Balkens und Rotationsbewegung um den Balkenschwerpunkt zu Hilfe genommen. Es sind die potentiellen und kinetischen Energien unter Berücksichtigung dieses Ansatzes zu Hilfe zu ziehen.
Lösung:
1. Es wird die kinetische Energie, wiederum zusammengesetzt aus Translation in vertikaler Richtung und Rotation um den Schwerpunkt aufgestellt:
2. Das selbe wird nun auch für die potentielle Energie durchgeführt, hier wird erkennbar, das die Stauchungen bzw. die Dehnungen der Federn entsprechend den Längenverhältnissen der Hebel zum Ausdruck gebracht werden müssen:
3. Der oben aufgeführte Ausdruck wird nun über die Längen und Winkelbeziehungen neu formuliert es ist anzumerken, dass hier vereinfachend die Winkelfunktionen ausser acht gelassen werden somit die resultierende Differentialgleichung aber nur als gute Näherung für kleine Winkel gelten wird:
4. Nun wird die Lagrange Funktion gemäss Definition auf der Vorseite angewendet: Gemäss dem auf der Vorseite beschriebenen Beispiel wird nun vorgegangen wie folgt:
22
21
21 ϕ ⋅⋅+⋅⋅= sk JymW
222
2112211 2
121
21
21 ycycyFyFWp ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
( ) ( )2222
1122
11
21
21 lyclycW
lyylyy
p ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅=⎭⎬⎫
⋅−=⋅+=
ϕϕϕϕ
( ) ( )2222
1122
21
21
21
21 lyclycJymWWL spk ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−= ϕϕϕ
myyL ⋅=∂∂
myyL
dtd ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
( ) ( )2211 lyclycyL ⋅−⋅+⋅+⋅−=∂∂ ϕϕ
( ) ( ) 022111 =⋅−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∂∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ lyclycycmy
yL
yL
dtd ϕϕ
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
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Maschinendynamik Energie und Lagrange
Lösung:
5. Der gleiche Ansatz hat nun auch für die zweite Systemvariablen (Phi) durchgeführt zu werden: Durch umformen der beiden zum Schluss erhaltenen Systemgleichungen (nach y und nach Phi) erhält man:
6. Und diese überführt in Matrizenschreibweise ergibt demnach:
( ) ( )2222
1122
21
21
21
21 lyclycJymWWL spk ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−= ϕϕϕ
ϕϕ
⋅=∂∂
sJL
ϕϕ
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
sJL
dtd
( ) ( ) 222111 llycllycL ⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅−=∂∂ ϕϕϕ
( ) ( ) 0222111 =⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅=∂∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ llycllycJLL
dtd
s ϕϕϕϕϕ
( ) ( )( ) ( ) 0
0222
2112211
221121
=⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅
=⋅⋅−⋅+⋅++⋅
ϕϕϕlclcylclcJ
lclcyccym
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
00
00
222
2112211
221121
qitsmatrixSteiffigkeqmatrixMassen
s
ylclclclclclcccy
Jm
ϕϕ
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 27 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Mehrmassenschwinger (Mehrfach besetzte Welle) Masseloser dünner Stab: (J=0)
Starre Scheibe; (l=0 bzw. c=unendlich)
Kombiniertes Stück:
Getriebepaarung:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛=
10
1
10
11pa IG
lcU
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
==101
212 ωJUUa
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅−⋅−
⋅=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−==
p
pa
IGlJJ
IGl
cJJ
cUU 22
22
12
1
1
1
11
ωωωω
Beispiel Mehrmassenschwinger 1J 2J
c
0 1 2
Gesucht: Ua=?, Ub=?
Konzept:
1. Es ist die Übertragungsfunktion der Starren Scheibe und des kombinierten Stückes aufzustellen:
2. Um die Gesamtübertragungsfunktion bestimmen zu können, sind die einzelnen Matrizen in umgekehrter Reihenfolge in Matrizenmultiplikation miteinander zu verrechnen:
3. Die Ausgangsgrösse z2 in Abhängigkeit von z0 lässt sich nun formulieren gemäss unten aufgelisteter Beziehung:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
=103,001
101
221 ωωJ
Ua⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=
1,6015,01015,0
1,611
1
112
22
222
ωωωωc
JJ
cUb
NmckgmJkgmJ
1,6015,0
03,02
2
21
==
=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−−⋅
⋅−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=⋅=
222
2
222 002459,01610000074,0
163934,0004918,01103,001
1,6015,01015,0
1,611
ωωωω
ωωωabges UUU
02 zUz ges ⋅=
!!!umgekehrt!!!
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−==
iiiJJiUUa
22
12 '
01
ω
J
'J
'r
r
rri ':wobei =
1 2
1 2
1 2
1 2
Achtung Vorzeichen beachten !!!
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 28 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Mehrmassenschwinger (Mit Verlauf der Eigenform)
l [m] d [m] J [kgm2] 1/c [m/N] 0-1 Ua 0 - 0,4 0
1-2 Ub 0,1 0,04 0 4,97359*10-6
2-3 Uc 0,3 0,05 0,9 6,11155*10-6
3-4 Ud 0,5 0,05 0,6 1,0060164*10-5
32
4dI KreisP⋅= π
210101,8mNGStahl ⋅=
pIGl
c ⋅=1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
=14,001
101
22 ωωJUa
0 1 2 3 4
0 100 300 500
aU bU cU dU
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛=
−
101097359,41
10
11 6
cUb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅−
⋅=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=
−
−
262
6
22 105004,519,0
1011155,61
1
11
ωωωωc
JJ
cUc
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⋅−
⋅=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=
−
−
262
5
22 1011155,616,0
100060164,11
1
11
ωωωωc
JJ
cUd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⋅⋅=
2221
1211
uuuu
UUUUU abcdGesGemäss Randbedingungen ist u21=0 (Tabelle S.71)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−⋅⋅−
=⋅⋅⋅= −22
10242111211
107904,759846910439,2 uuu
UUUUU abcdGes ωωω
( )0444,437053,638
0107904,759846910439,2
0
321
102421121
===⇒
=⋅+⋅−⋅⋅−
=−
xxx
u
CAS
ωωω
Dies sind die Eigenkreisfrequenzen des Gesamtsystems
Achtung Vorzeichen beachten !!!
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 29 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Weiteres Vorgehen:
Es sollen nun die entstehenden Winkeldifferenzen zwischen Eingang und Ausgang (des Gesamtsystems) aufgrund der Superposition der einzelnen Winkelauslenkungen ermittelt werden.
Dazu muss in den zuvor aufgestellten Übertragungsmatrizen die jeweilige Frequenz (in diesem Fall zwei an der Zahl: 638 und 437 eingefügt werden)
Es wird nun willkürlich ein Eingangsspaltenvektor z0 angenommen mit Nullphase=1 und Nullmoment = 0, damit am Schluss aufgrund der resultierenden Phasenlage ein Verhältniss mit dem Eingang gebildet werden kann:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
==19.7654201
14,001
44,437 2ωωaU
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⋅==9,76542
119.7654201
01
19.7654201
444,4370
001 MzUz a
ϕω
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=⋅==
−
9,76542619307,0
9,765421
101097359,41
444,4376
12 zUz b ω
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅=⋅==
−
102636151511,0
9,76542619307,0
052541,01722221011155,61
444,4376
13 zUz c ω
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅=⋅==
−
0788.0881,0
102636151511,0
169489.01148141000601,11
444,4375
14 zUz d ω
Merke: Da wir als Randbedingung festgelegt haben, dass weder am Eingang noch am Ausgang ein Moment anliegen soll, muss dieser Wert zwingen wieder in der Grössenordnung von NULL zu liegen kommen, was aber aufgrund von Rundungsungenauigkeiten mit dem Taschenrechner nie exakt erreicht werden wird.
0 1 2 3 4
1 0,619
0151511
-0,881
Merke: Einzelne Punkte sind mit Geraden zu verbinden
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 30 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Energiemethode von Rayleigh
∑
∑=
=
=
=
⋅
⋅⋅= ni
iii
ni
iii
ym
ymg
1
2
10ω
Konzept:
1. Als erstes muss die für den Einspannfall der gegebenen Problemstellung zutreffende Biegelinie w(x) aus der entsprechenden Literatur herbeigezogen werden, oder aber selbst hergeleitet werden. Es handelt sich in diesem Beispiel um Folgenden mathematischen Zusammenhang
2. In einem nächsten Schritt muss die gegebene Problemstellung diskretisiert werden. Sind mehrere Massen wirkend, so sind die Einzelformänderungen zu bestimmen. Das heisst es ist die Durchbiegung an mehreren Stellen aufgrund der Masse 1 zu ermitteln, danach die Durchbiegung an den selben Stellen wie zuvor, jedoch jetzt aber hervorgerufen durch die Masse zwei usw. Speziell muss hier auf die Indizes geachtet werden: 1. Index à der Ort der Formänderung 2. Index à der Ort des Kraftangriffes
3. Nun resultiert die Gesamtdurchbiegung an den jeweiligen Stellen durch das Superpositionsprinzip der Einzelformänderungen an den gerade erwähnten Stellen gemäss unten aufgeführtem Zusammenhang:
4. Die nun resultierende niedrigste Eigenfrequenz errechet sich gemäss folgendem Zusammenhang:
5. Für den Fall von kontinuierlichen Lastverteilungen z.B. in Form eine Linienlast, kommt folgender Zusammenhang zu Zuge:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
⋅⋅⋅⋅⋅=
22
16 s
xsb
IExsbFxw
n
n
n
yyyy
yyyyyyyy
321
2322212
1312111
12111 yyy +=
22212 yyy +=
32313 yyy +=
21 nnn yyy +=
( )nn
nn
mymymymymymyg⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅= 2
2221
21
2211
......
+
=
( )
( )∫
∫
⋅=
⋅⋅=
dmxyW
dxIExMW
k
y
bp
2
2
21
21
k
p
WW
=0ω
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 31 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Energiemethode von Rayleigh (Beispiel)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
22
16 s
xsb
IExsbFy
a b s
x
y
200 400 300
m1 m2
gmFmxmb
sx
sb
IExsbFy
⋅===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
2
22
12 2,03,0
16
gmFmxmb
sx
sb
IExsbFy
⋅===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
2
22
22 6,03,0
16
gmFmxmb
sx
sb
IExsbFy
⋅===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
1
22
11 2,07,0
16
gmFmxmb
sx
sb
IExsbFy
⋅===
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
1
22
21 3,02,0
16
Auslenkungen infolge des Kraftangriffes durch die Masse 2
Auslenkungen infolge des Kraftangriffes durch die Masse 1
m1 m2
m1 m2
m1 m2
Die die Biegelinie nur korrekte Werte liefert für x-Werte bis zum Kraftangriff, muss für die Berechnung der Durchbiegung hinter der Masse 1 die Laufvariable x von der Gegenseite her laufen gelassen werden. Dementsprechend müssen auch a und b miteinander vertauscht werden
m1 m2
b
x
b
x
b
b
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
y12
y22
y11
y21
x
y
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 32 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Biegeschwingungen mit Übertragungsmatrizen
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
IEm
IEmmm
IEIE
IEIE
Uem
61
2
100
210
621
232222
2
32
ωωωω
m1
211101,2
04,02
mNE
mdm
⋅=
==
Konzept:
1. In einem ersten Schritt muss das vorliegende System diskretisiert werden. Dies muss so geschehen, dass entweder nur Balkenstücke m=0 vorliegen, oder nur Massenelemente l=0 vorliegen, oder nur kombinierte Elemente m,l !=0. Angewandt auf den obigen Fall, ist es nun am einfachsten, das System in ein Kombiniertes Element und ein Balkenstück aufzuteilen:
2. Nun müssen die Zustandsvektoren am Anfang des Systems und am Schluss des Systems aufgestellt werden. Dies geschieht unabhängig von der Anzahl der Elemente, in die das Gesamtsystem aufgeteilt wird. Es müssen immer nur der Zustandsvektor am linken und derjenige am rechten Rand aufgestellt werden.
3. Durch Einsetzen der Randbedingungen von Seite 92 oder bekannt aus der technischen Mechanik ergeben sich für den obigen Fall folgende beiden Vektoren.
4. Es müssen nun die beiden Teilübertragungsmatrizen aufgestellt werden, welche danach in umgekehrter Reihenfolge (von rechts nach links) miteinander multipliziert werden.
0 1 2
0 1 1 2
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0
0
0
0
0
q
b
FM
w
zϕ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
2
2
2
2
2
q
b
FM
w
zϕ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00 0
0
qF
zϕ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
22 0
0
qF
zϕ Merke: Bei den Randbedingungen
sind immer zwei von insgesamt vier Merkmalen gleich Null
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
IEm
IEmmm
IEIE
IEIE
U
61
2
100
210
621
232222
2
32
01
ωωωω
Merke: Da von Punkt Null nach eins ein kombiniertes Stück gewählt wurde, bleiben in der Übertragungsmatrix sämtliche Parameter erhalten
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 33 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Konzept:
5. Die Übertragungsmatrix für Das Balkenstück:
6. Die Gesamtübertragungsmatrix errechnet sich nun wie folgt:
7. Die obige Matrizenrechnung mit dem Taschenrechner, dem CAS oder sonstigen Hilfsmitteln ausgeführt ergibt:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
01000
100
210
621
2
32
12
IEIE
IEIE
U
Merke: Da das Balkenstück masselos ist, können sämtliche Einträge, in welchen m vorkommt, Null gesetzt werden
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=⋅=⋅=
IEm
IEmmm
IEIE
IEIE
IEIE
IEIE
UUUUU ab
61
2
100
210
621
01000
100
210
621
232222
2
32
2
32
0112
ωωωω
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
44434241
34333231
24232221
14131211
uuuuuuuuuuuuuuuu
U
( )( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
=
162
6121
2
12242
41
22
36482
122
61
6
232222
2323222
22
232
22
242322
22
2332
22
252423
IEm
IEmmm
IEIEm
IEmmm
IEIEm
IEIEm
IEm
IEm
IEIEm
IEIEml
IEml
IEml
U
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
Seite 34 04.10.13
Maschinendynamik Torsionsschwingungen
Konzept:
8. Um den Zustand am rechten Ende beschreiben zu können, muss lediglich die Gesamtübertragungsfunktion mit dem Zustandsvektor an der Stelle Null multipliziert werden
9. Die oben aufgestellte Matrizengleichung lautet in ausmultiplizierter Form:
10. Um die Eigenkreisfrequenz bestimmen zu können, muss nun die Determinante einer noch aufzustellenden Matrix Null gesetzt werden. Die noch aufzustellende Matrix beinhaltet vier Koeffizienten, die aus der obigen Darstellung zu entnehmen sind. Und zwar handelt es sich hierbei um diejenigen Koeffizienten, die sich in einer Gleichung befinden, die Null gesetzt wird.
11. Wenn nun noch die Eigenformen zu den entsprechenden Eigenfrequenzen gesucht sein sollten, so muss lediglich die Kreisfrequenz, zu welcher die Eigenform gesucht ist, in die einzelnen Übertragungsfunktionen übernommen werden (nicht in Gesamtübertragungsfunktion) und dann kann Schritt für Schritt gemäss dem Verfahren aus dem Kapitel Drehschwingungen, vorgegangen werden.
- Im Zustandsvektor an der Stelle Null sind alle Grössen, die nicht gleich Null sind durch eine eins zu substituieren.
Dieser Wert steht für 100 %, um zu sehen, wie die Amplituden relativ zu dieser Stelle stehen
- Zustandsvektor an der Stelle Null multiplizieren mit Übertragungsmatrix von Null nach eins
- Das erhaltene Ergebnis wiederum multiplizieren mit der Übertragungsmatrix von eins nach zwei… usw.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
0
0
0
0
Fuuuuuuuuuuuuuuuu
F
ϕϕ
0440422
034032
0240222
0140120141301211
0
000
FuuFFuuFuuFuuFuuuu
⋅+⋅==⋅+⋅==⋅+⋅==⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=
ϕϕϕϕϕϕ
…
…
… ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3432
1412
uuuu
Uω
nuuuuuuuu
U ωωωω ,...,0det0)det( 10143234123432
1412 ⇒=⋅−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
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