Ángulos circunferencia psu

Prof. Guillermo Corbacho C. [email protected]

Parinacota, Quilicura. 1

NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ejercicios Psu

Presentacin:

Los ejercicios que se exponen son extractos de diversas publicaciones escritas en Chile,

orientadas al apoyo de postulantes a la prueba de seleccin universitaria (PSU). Sin embargo, por

lo general, las publicaciones vistas no contienen la publicacin de las soluciones de los mismos,

sino que en muchos casos, solo sealan la respuesta final, indicando para ello la alternativa

correcta. Para compensar aquello, el presente trabajo es una recopilacin en la cul se ilustran las

respectivas soluciones a los mismos. Con lo cual los postulantes podrn interiorizarse de las

propiedades y de los procedimientos que suelen intervenir en su solucin.

Este trabajo est ideado tambin para ser consultado por profesores, dado que, segn mi

experiencia personal, la formacin universitaria est orientada ms a las matemticas superiores

en lugar de las necesidades prcticas de la educacin bsica y media.

A continuacin -y volviendo por fin a lo que aqu nos atae. La presentacin de ejercicios PSU

considerados bajo este titulo.



Consideracin Importante: Convendremos que para indicar el nombre de un arco, lo haremos mencionando los puntos extremos del mismo, en sentido contrario a las agujas del reloj.

1. Con respecto a la figura, es falso que:

A) EB es cuerda.

B) EBA es ngulo inscrito.

C) CD

es cuerda.

D) OA es radio.

E) AB es dimetro.

Solucin:

Presentamos en la siguiente figura, alguno de los elementos que componen una . O es centro de la ; QOB y BOT son ngulos del centro;

OBA es ngulo inscrito;

BT es el arco subtendido por el BOT ;

OT , OQ y OB son radios de la ; AB cuerda de la ; QT dimetro de la ; 1 2L y L son rectas secantes a la ; 3L es recta tangente a la ; es ngulo interior de la ; es ngulo exterior a la .

A primera vista, todas las alternativas parecen correctas, pero toda cuerda es un segmento rectilneo que une dos puntos de la y no se extiende ms all de ella. Es decir, no es una recta como seala C). La alternativa falsa es C), pues toda cuerda es un segmento rectilneo cuyos puntos que la conforman no quedan fuera de la frontera del circulo definido por la circunferencia, sino que une dos puntos de la misma, sin extenderse ms all de ella. Mientras que C) seala a una recta secante, la cul se extiende ms all de los puntos de una circunferencia.

2. El arco de la figura mide: A) 31,5

B) 63

C) 90

D) 126

E) Otro valor.

Solucin: Todo arco mide el doble que el ngulo inscrito que lo subtiende, por lo tanto, = 126. Alternativa D).



3. En la figura el arco 260=BA (medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas

de un reloj), mientras que PB es tangente a la . Entonces, mide: A) 260

B) 130

C) 100

D) 65

E) 50

Solucin: Convendremos que para sealar los puntos extremos del arco y la direccin a travs de el, que determina su medida en grados, ser en sentido contrario a las agujas del reloj. Todo ngulo del centro mide el doble que el ngulo semi inscrito e inscrito- del arco que subtiende. Por lo tanto, AOB = 2 PBA = 2 . Tal como se ilustra en la siguiente figura. Adems:

:

BA +2 = 360

260+2 = 360

2 = 360 260=100 / 2

= 50

Alternativa E).

4. En la figura ,AB BC entonces es verdad que:

I. = II. + =

III. 2

=

A) Solo I.

B) I y II.

C) II y III.

D) I y III

E) I, II y III.

Solucin: I. y son ngulos inscritos que subtienden el mismo arco de circunferencia, por lo que son

iguales. = . I. es verdadera. II. Todo ngulo del centro mide que su ngulo inscrito.

Entonces: 2

y por ser

=

= + =

= +

II. Es verdadera. III. Como = 2 III. Es falsa. Solo I y II. Alternativa B).



5. En la figura, AC = 5 [cm] y CB = 10 [cm]. Cunto mide el arco BC ?

A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) Falta informacin.

Solucin: El tringulo ABC tiene al dimetro de la por uno de sus lados, por lo tanto, es rectngulo en C y con AB como hipotenusa. Esto significa que hay 90 en C y 90 a repartir entre los ngulos y .

Como los lados AC y CB estn en la razn 1:2, entonces los ngulos que se oponen a ellos estn respectivamente, en la misma razn:

Los valores son nicos: = 30 y = 60 BC =120 . Pues todo arco mide el doble que el ngulo inscrito que lo subtiende. Alternativa D).

6. En la figura, .AB BC La medida del ngulo es: A) 10

B) 40

C) 54

D) 72

E) Otro valor.

Solucin: Entonces, el ABC es issceles y = 3x por ser ngulo basal con 3x. Luego, como la suma de los ngulos interiores es igual a 180, se tiene:

10x = 180 x = 18. y = 4x tienen igual medida, por subtender el mismo arco de . = = 4 18 = 72 Alternativa D).

7. El valor de es: A) 180

B) 94

C) 54

D) 50

E) Otro valor.

Solucin: En todo cuadriltero inscrito en una circunferencia, los ngulos opuestos en son suplementarios. = 94 y = 54 - = 40. Alternativa E).



8. Con respecto a la figura, es verdadero que:

I. > II. 115 + =

III. 23 =

A) Solo II.

B) I y II.

C) I y III.

D) II y III.

E) I, II y III.

Solucin:

Analicemos cada alternativa:

I. 115 23 138

692 2

+

= = = 115 23 92

462 2

= = = > II. Utilizando I: 69 46 115 + = + = III. 69 46 23 = = I, II y III son verdaderas.

Alternativa E)

9. Con respecto a la figura es falso que:

A) 90ACB =

B) 90 + = C) ACO = D) 2COB = E) OAC =

Solucin: Viendo cada alternativa:

A) El tringulo ABC tiene por uno de sus lados al dimetro AB de la circunferencia. Esto implica que el ngulo opuesto al dimetro es rectngulo. A) es correcta.

B) Lo anterior implica que 90 + = debido a que la suma de los ngulos interiores es igual a 180. B) es correcta.

C) AO OC R= = El AOC es issceles con y AO OC lados basales y sus respectivos ngulos opuestos iguales. C) es correcta.

D) 2COB = es cierta debido a que el primero es ngulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia que .

E) Claramente por descarte, debe ser la alternativa falsa. Alternativa E).



10. Con respecto a la figura, es verdadero que:

I. 30DBC =

II. ACB ABD=

III. 60ADB =

A) Solo I.

B) Solo II.

C) I y II.

D) I y III.

E) II y III.

Solucin: El ngulo semi inscrito mide 90 El tringulo ABC es rectngulo en B con 90 y 60ABC ACB DCB= = = para completar

180. (*) Adems, el ABD tiene por uno de sus lados al dimetro de la circunferencia, por lo tanto, es rectngulo en D, con el

90ADB = . As, en el DBC, 90CDB = pues es rectngulo en D y por (*), 60DCB = con lo que no queda ms que el 30DBC = , para completar los 180 en el DBC. Al completar ngulos, la figura de la derecha ilustra lo indicado.

I. es verdadero. II) De lo indicado en e ilustrado en la figura, se desprende que II. Es verdadero. III) Y 90ADB = , con lo cual, III. Es falso. Slo I y II son verdaderas. Alternativa C)

11. 15 ;ACB = AOB =

A) 30

B) 9

C) 18

D) 72

E) Otro valor.

Solucin: AOB = 2 ACB = 30 Alternativa A).

12. Segn la figura, es falso que:

A) = B) = C) 2 = D) = E) 2 =

Solucin:

Todos los ngulos inscritos y/o semi-inscritos subtienden el mismo arco de circunferencia, por lo tanto, son iguales: = = . Sin embargo, es ngulo del centro, por lo que mide el doble que , y . Por lo que = es falso. Alternativa D).



13. Las cinco cuerdas de la figura son congruentes, el DAB = mide: A) 108

B) 72

C) 60

D) 36

E) Otro valor.

Solucin:

La circunferencia es dividida en cinco partes congruentes. Por lo tanto, cada ngulo del centro

mide 360

=725

cada ngulo inscrito -entre ellos el DAB = , miden la mitad que cada

ngulo centro, es decir, miden: 72/2 = 36. Alternativa E).

14. La medida del BCD en la figura tiene un valor de:

A) 55

B) 125

C) 148

D) 157

E) Otro valor.

Solucin: Podemos completar las medidas de los arcos de circunferencia, teniendo presente que estos miden el doble que cada ngulo inscrito que lo subtiende y viceversa, -mutatis mutandi, cambiando lo que hay que cambiar- que los ngulos inscritos son a su vez la mitad que los arcos que subtienden, entonces:

23 y 32DBC CAB= =

Como los ngulos opuestos de todo cuadriltero inscrito son suplementarios,

Alternativa B).

15. El valor de + en la figura es: A) 64

B) 116

C) 128

D) 232

E) Otro valor.

Solucin: La medida del ngulo interior que resulta de promediar las medidas de los respectivos ngulos del centro es el suplemento de 116, esto es: 64.

Por lo tanto, 64 1282

+= + =

Alternativa C).

BCD =180 (23+ CAB)

=180 (23+32 )

=180 55

=125



16. En la figura, 2 . = Cunto mide ? A) 18

B) 36

C) 72

D) 144

E) Otro valor.

Solucin: Los ngulos interiores suman 10x = 180 x = 18 x es ngulo exterior

Alternativa C).

17. En la circunferencia, CB y CD tangentes a ella y el BOD mide 90. Entonces, es verdad

que:

I. OBCD es cuadrado. II. 2

DCBBAD =

III. ABO ADO BAD+ =

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y III

E) I, II y III

Solucin: Analizaremos cada aseveracin:

I. CB y CD son tangentes a la , por lo que los ngulos del vrtice de la figura OBCD son, en los puntos de tangencia a la , rectos. Completamos estos datos en la fig. del enunciado.

Por ser OBCD un cuadriltero, la suma de sus ngulos interiores es igual a 360, con lo que concluimos que el BCD mide 90 y por tanto, todos los ngulos son rectos. Esto ltimo implica que las prolongaciones de los segmentos jams se desvan hacia el lado opuesto. Los lados opuestos son //s entre s.

Como adems, CB y CD son tangentes a la originadas desde un mismo punto exterior CB = CD. Y OB = OD por ser radios de la . Lo que asegura que la figura OBCD sea un cuadrado es:

i. que tiene dos parejas contiguas de distinto tamao. Descartando a todo otro cuadriltero que no sea el rombo.

ii. Todos sus ngulos son iguales o recto. Lo que descarta al rombo, dejando solo el cuadrado. Por lo tanto, I) es verdadera.

II. Por definicin de ngulo inscrito:

2

BODBAD =

por ser BOD del centro, que subtiende el mismo arco.

2

DCB=

por ser BOD del centro, que subtiende el mismo arco.

II) es verdadera. III) En el tipo de figuras que se ilustra a continuacin, siempre se cumple la relacin:

B C = + Por lo que III) es verdadera. I, II y III) son ciertas. Alternativa E).

2

2 y ahora reemplazamos 2 y 18

36

72

x

x x

=

= = =

=

=



18. En la circunferencia, el polgono inscrito es regular. Cunto mide x?

A) 80

B) 75

C) 60

D) 45

E) Faltan datos.

Solucin:

El polgono regular de seis lados divide a la circunferencia en seis

arcos congruentes cada uno de medidas iguales a 360/6 = 60.

x es ngulo exterior, por lo que su medida es l a semirrecta entre el

mayor y menor arco que subtienden las secantes a la circunferencia.

Alternativa C).

19. La medida del ngulo es: A) 170

B) 95

C) 85

D) 42,5

E) falta informacin.

Solucin: Hemos exagerado la forma de la figura para sealar que en ilustraciones de esta forma, el mayor ngulo inscrito es siempre igual a la suma de los otros dos ngulos inscritos. O tambin, el mayor ngulo inscrito es igual a la suma de los respectivos ngulos opuestos por el vrtice a los otros ngulos inscritos como en este caso-. Alternativa C). La razn estriba en lo siguiente: es ngulo inscrito, por tanto

( op. por vrtice) ' '

2 2

sBOC B OC

= =

( ) ( )B'A + AC' 245+240 2= = =

2 2

(45+40 )

2= 85

Alternativa C)

20. PA y PB son tangentes a la . Las medidas del AB y del APB son respectivamente: A) 140 y 40

B) 140 y 80

C) 220 y 40

D) 280 y 40

E) 280 y 80

Solucin:

AB + BA = 360 AB + 140 = 360

AB = 220 Y el APB es exterior, por tanto:

220 140 80

APB = = = 402 2

Alternativa C).

180 60 12060

2 2 2

AB CDx

= = = =



21. La medida del BOC es:

A) 50

B) 60

C) 75

D) 105

E) 150

Solucin: x y CAB subtienden el mismo arco de circunferencia, con la diferencia que el primero es ngulo del centro y el segundo, inscrito. Por lo tanto, 2x = CAB Como la suma de los ngulos interiores de un tringulo suman 180, en el ABC: CAB = 30 , por lo tanto x = 60. Alternativa B).

22. El arcoBA es la octava parte del arcoAB , entonces = ? A) 36

B) 40

C) 45

D) 60

E) Ninguna de las anteriores.

Solucin:

BA 1=

8AB

BA 1= /Composicin lado a lado en el denominador de la proporcin

8+1AB+ BA

BA 1=

360 9

9BA = 360

360 BA = = 40

9

Como un ngulo del centro tiene igual medida angular que el arco que subtiende, = 40. Alternativa B).

23. La cuerda AB tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia de centro O, entonces

el ngulo x mide:

A) 30

B) 45

C) 60

D) 90


Solucin:

La cuerda AB es congruente junto con los otros dos lados del ABO. Es decir, el ABO es issceles, por lo tanto, cada uno de los ngulos interiores del mismo, en particular x, mide 60. Alternativa C).



24. La superficie achurada representa un 12,5% del crculo, cunto mide el AOB ?

A) 8

B) 11,25

C) 12,5

D) 22,5

E) 45

Solucin:

El 12,5% representa la octava parte del total. Por lo tanto el AB y el ngulo del centro miden: 360

= 458

Alternativa E).

25. La circunferencia de centro O esta dividida en 6 arcos congruentes por los puntos A, B, C, D,

E y F. Cunto mide EAC ?

A) 15

B) 30

C) 60

D) 120

E) 200

Solucin: Cada ngulo del centro as como tambin cada arco- que abarque dos puntos cercanos de la circunferencia de la derecha mide:

360= 60

6

Como el EOC suma dos de tales ngulos, entonces su medida es de 120 y el ngulo x =EAC subtiende el mismo arco, pero por ser semi-inscrito, mide su mitad, es decir, 60. Alternativa C).

26. El rea achurada representa el 20%, entonces, el triple de x es:

A) 18

B) 36

C) 54

D) 72

E) 144

Solucin:

El 20% representa la quinta parte del total, pues 2 0

20=10 0

2=

1

105

1=

5.

Y la quinta parte del total de grados en la de 360 es 360 = 725

Por lo tanto el arco y el ngulo del centro de la regin achurada miden 72

Y el ngulo x subtiende el mismo arco, pero por ser semi-inscrito, mide la mitad, es decir, 36. Alternativa B).



27. En la figura 15 la circunferencia tiene centro O y radio 12. Si = 15. Entonces el rea

sombreada es:

A) pi B) 2pi C) 6pi D) 24pi E) 12pi

Solucin: El ngulo del centro siempre mide el doble que el ngulo inscrito con el cul subtiende el

mismo arco de circunferencia.

Por lo tanto, el ngulo del centro mide 30.

28. El tringulo ABC es equiltero e inscrito en la circunferencia de centro O, luego la medida

del ngulo x es:

A) 30

B) 60

C) 90

D) 120

E) No se puede determinar.

Solucin: Como x es ngulo del centro, entonces mide el doble que el ngulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco. Y como cada ngulo semi-inscrito mide 60 -por pertenecer a un tringulo equiltero-, entonces x mide 120. Alternativa D).

28. En la figura, AC y AE son secantes a la circunferencia. De acuerdo con los datos de la

figura, la medida del CBA es:

A) 80

B) 47,5

C) 40

D) 32,5

E) 15

Solucin: Los 15 son la medida de un ngulo exterior, el cul es igual a la semirrecta:

6515

2

30 65 95

AC

AC AC

=

= =

Como x es un ngulo semi inscrito que subtiende al arco AC , entonces mide la mitad de este, es decir, 47,5 Alternativa B)



29. De acuerdo con los datos de la figura, el ngulo x mide:

A) 35

B) 70

C) 130

D) 140


Solucin: Tal como se vi en el ejerc. 19, para figuras de la forma que se presenta, el ngulo inscrito es igual a la suma de los ngulos x e y. En este caso en particular, = 40 + 30 = 70. Como x es un ngulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia que el ngulo inscrito , entonces mide el doble que el, es decir, 140. Alternativa D).

30. De un total de 150 personas, un 30% dice haber salido del pas. Si dicha respuesta se desea

representar en un grfico circular, cuntos grados medir el ngulo que corresponda al

porcentaje de personas que dice haber salido del pas?

A) 30

B) 108

C) 120

D) 330

E) 352

Solucin:

La circunferencia mide en total 360 y su 30% es 3 0

30% 360 =10 0

36 0 108= .

Alternativa B).

31. En la figura, el doble de x es:

A) 90

B) 120

C) D) 2 E) 4

Solucin: ngulos opuestos por el vrtice son congruentes -de igual medida. Esto lo indicaremos en la 2da. figura del costado. El x subtiende los mismos puntos de arco que el inscrito , solo que desde el centro, por lo que x -con tal arco- miden el doble que , es decir 2. Alternativa D).



32. Si //AC DE y AOB =142, entonces ?x = A) 71

B) 109

C) 142

D) 152

E) 161

Solucin: Si 142 71AOB ACB= = por ser ngulo inscrito que subtiende el mismo arco que el ngulo del centro.

Como //AC DE , tenemos -por correspondencia de ngulos entre paralelas cortadas por una transversal- que el ngulo adyacente a x mide 71. As como se observa que x es suplementario al de 71. Luego,

x +71=180

x =180 71=109 Alternativa B)

33. En la figura, = 80, = 50. ?x = A) 50

B) 100

C) 115

D) 120

E) 130

Solucin: En el ABC, ACB = 50 (pues la suma de los s interiores en todo suman 180) Luego, x = 2ACB x es del centro; ACB semi inscrito y ambos subtienden el mismo arco. x = 100 Alternativa B).

34. En la circunferencia de centro O, x =

A) 4 90 B) 180 4 C) 90 4 D) 2 45 E) 90 2

Solucin: Si sealamos al interior del tringulo el ngulo de 90, adyacente al que se ilustra en el enunciado, tal como se ilustra en la siguiente figura. As como recordamos que los dos ngulos agudos en un tringulo rectngulo son complementarios suman 90. Tenemos: x + 2 = 90 x = 90 2 Alternativa E).



35. En la circunferencia de centro O, AB // CD , 30COE = y el 70EOD = . Cunto mide

el DOB ?

A) 20

B) 40

C) 60

D) 70

E) 80

Solucin:

El DOC es issceles, pues CO = DO = radio , donde DCO = CDO (pues son los ngulos opuestos a dichos lados, los ngulos basales). En el COD, el ngulo no basal mide: Luego, cada ngulo basal mide 40 para completar los 180 en tal tringulo.

Como AB // CD , tenemos, por ngulos alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal, lo que se ilustra en la figura de la derecha. Alternativa B).

36. AB es el dimetro de la circunferencia de centro O, Cul es la medida del ngulo x?

A) 20

B) 40

C) 70

D) 110

E) 160

Solucin: Basta recordar que: Todo ngulo inscrito que subtiende media circunferencia, mide 180. La suma de los ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180.

90 70ACB x= = Alternativa C).

37. AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Si AOC = 120 y AC // OD , entonces

COD =

A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 75

Solucin: El tringulo AOC es issceles, pues dos de sus lados son iguales -al ser radios de la circunferencia-. Por lo tanto, los ngulos inscritos de tal tringulo son basales, por lo tanto, si lo que falta para completar los 180 son 60, estos se distribuyen en partes iguales entre ambos ngulos, resultando 30 para cada uno.

Por ser AC // OD y por ngulos alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal, COD = OCD = 30. La figura de la derecha ilustra tal situacin, los ngulos escritos en negrita sealan los ngulos alternos internos. Alternativa B).

COD = COE + EOD

= 30+70

=100



38. El cuadriltero ABCD est inscrito en la circunferencia de centro O.

Si PDB = 80 y ACD = 110, entonces x =

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) No se puede determinar

Solucin: Por ser x ngulo exterior, su medida viene dada por la semirrecta de los arcos que determinan las secantes sobre la circunferencia:

2 2

BD CA r tx

= =

Recordemos que todo cuadriltero inscrito en una circunferencia tiene ngulos opuestos suplementarios y que cada arco mide el doble que el ngulo inscrito que lo subtiende. Las medidas de los restantes arcos presentan un sistema de ecuaciones, como ilustramos a continuacin:

220 (I)

200 (II)

140 (III)

160 (IV)

u r

r s

s t

t u

+ =

+ =

+ =

+ =

Si observamos la frmula, a nosotros nos interesa r t porque es la recta de los arcos que se presentan en ella. Para ello, notamos que se obtiene restando (III) a (II), pues desaparecen los arcos s: (II) (III) = 200 160 r t = 60 x = 30 Recordemos una vez ms que x es igual a la semirrecta de tales arcos. Alternativa C).

39. En la figura, la circunferencia tiene centro 0 y dimetro AB .

Cul es la medida del ngulo ? A) 20

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

Solucin:

El AC es subtendido no solo por el ADC sino que tambin por el ABC, razn por la que el ABC =ADC = 30 Pero es necesario no olvidar que todo ngulo inscrito que subtiende media circunferencia, mide 90. Por lo que el ABC es rectngulo en C. Y debido a que los dos ngulos agudos en todo rectngulo son complementarios suman 90, entonces = 60. Alternativa D).



40. Se puede determinar la medida del x inscrito en la circunferencia, si:

(1) ABC = 70.

(2) AB es dimetro.

A) (1) por s sola.

B) (2) por s sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por s sola, (1) (2).

E) Se requiere informacin adicional

Solucin: Son tres los ngulos, por lo que requerimos conocer la medida de dos de ellos para conocer al restante. Ello porque el faltante se obtendra por la diferencia con 180, que es la suma inevitable de la medida de todos los ngulos interiores de un tringulo, en la geometra euclidiana. As que (1) no es suficiente por s sola. Por la misma razn, (2) no es suficiente por s sola, ya que tambin nos entrega solo la medida de un ngulo el ngulo inscrito que subtiende el arco de circunferencia que une los extremos del dimetro mide siempre 90. Siendo que requerimos de los otros dos ngulos para hallar al faltante x. Sin embargo, ambas juntas nos proporcionan dos ngulos, 70 y 90 respectivamente y la suma es de 160, el cul difiere de 20 con los 180. Por lo que x = 20. Alternativa C).

41. AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Si BD OC y CAB = 40, entonces ABD =

A) 10

B) 20

C) 22,5

D) 30

E) 40

Solucin: En el ACO: por ser el AOC issceles -dos lados son iguales, por ser radios de la -, los ngulos opuestos a ellos tienen igual medida -son los ngulos basales: CAB = ACO = 40 AOC = 100 Para lograr la suma de s interiores en un = 180 En el DOB: DOB = 80 adyacente suplementario con AOC de 100 Y de la fig. se desprende que BDO = 90 Con lo que tenemos 170 contabilizados hasta el momento en este . OBD = 10 = ABD Para lograr la suma de s interiores en un = 180 Alternativa A).



42. DC 100= y el DFC es el cudruplo del BAD, entonces BE =

A) 20

B) 40

C) 30

D) 60

E) 80

Solucin: Sean x e y los ngulos Exterior e Interior, respectivamente. Entonces:

2

DC BEx

= e

2

DC BEy

+= (I)

Dividiendo lado a lado cada una de las igualdades anteriores, obtenemos:

x DC BE

y DC BE

=

+ (II)

Esto es siempre conveniente hacerlo cuando tenemos dos incgnitas que equivalen a fracciones. Y en este ltimo caso, si los denominadores son iguales, entonces ellos se simplifican entre s. Por qu hemos considerado el ngulo interior si nos preguntan por el ngulo exterior? Se debe a que ambos ngulos estn formados por los mismos arcos de circunferencia.

Y del enunciado, DC 100= , e 4y x= reemplazando en (II)

x

1

4 x

( )

100 BE= /simplificando las x y haciendo producto cruzado

100+BE

100+BE = 4 100 BE

100 0

+ BE = 400

300

4BE /Cancelando 100 a ambos lados

300 5BE = 300 BE = = 60

5

Finalmente, reemplazamos este valor de BE = 60 y con el del enunciado, 100DC = en la frmula para el ngulo exterior x de (I), obteniendo (mentalmente si se desea):

x = 20 Alternativa A).

43. En la circunferencia de centro O, OD OC. COD = AOB + 38. Si AOB = BOC, cunto mide el DOA?

A) 104

B) 142

C) 166

D) 176

E) 256

Solucin: COD = AOB + 38 Dato del enunciado. 90 = AOB + 38 Dato que se desprende de la figura. 90 - 38 = AOB 52 = AOB y BOC = 52 Por enunciado e igualdad anterior. La figura de la derecha ilustra las medidas halladas. El ngulo pedido ledo en sentido contrario a las manecillas del reloj-, es la cantidad faltante para completar los 360 de la . As, si tenemos 194 grados contabilizados, nos faltan 166. Alternativa C).



44. El ngulo del centro correspondiente al PQ mide 110. Si R es un punto cualquiera de tal

arco, el x mide:

A) 55

B) 70

C) 110

D) 125

E) 220

Solucin:

360

110 360 250

PQ QP

QP QP

+ =

+ = =

Como x es un ngulo inscrito que subtiende al arco

QP xQP 110

= = = 552 2

Alternativa A)

45. 75DC = y AOB = 120. Entonces el valor del BEC es:

A) 75

B) 105

C) 82,5

D) 97,5

E) 22,5

Solucin:

Sea x el ngulo interior formado por 75DC = y AOB = 120. Luego,

75 120 2 19597,5

2 2x

+= = =

Como x y el BEC son adyacentes suplementario, entonces suman 180. Luego, x + BEC = 180 97,5 + BEC = 180 BEC = 180 - 97,5 = 82,5. Alternativa C).



46. En la circunferencia, EAD = 48, entonces la medida del DAB es:

A) 30

B) 42

C) 60

D) 84

E) 96

Solucin:

Si no se indica el centro de la circunferencia no sabramos si AB es dimetro, a no ser por el ngulo recto, que es inscrito. El nos indica que:

1. la medida del arco que subtiende el C, mide su doble, esto es, 180.

Bueno, tal arco es AB.

2. Debido a que AB = 180, los puntos A y B sobre la forman un dimetro, AB es dimetro.

Observemos ahora que los ngulos inscritos EAD y DAB subtienden entre s un arco de media . Entonces, la suma de sus medidas equivale a la mitad de 180. Tambin podemos notar EAD y DAB subtienden entre s el mismo arco que el ngulo recto e inscrito en C. En cualquier caso: EAD + DAB = 90 Y reemplazando del enunciado: EAD = 48, tenemos 48 + DAB = 90 DAB = 90 - 48 = 42 Alternativa B). Observe como los ngulos al interior del ABC y 2 resultaron ser intiles, distractores.

47. En una circunferencia de centro O, AB es uno de sus dimetros y

AOC = 68. A partir de ello y de los datos de la figura, el DCE

mide:

A) 44

B) 56

C) 62

D) 68

E) 124

Solucin: El ngulo pedido es igual al ngulo ACO, por ser opuestos por el vrtice. (*)

Como AO = OC = R, radios de la circunferencia. Entonces, sus ngulos opuestos tambin son iguales llamados basales en un tringulo issceles. Es decir, CAO = ACO. (**) Adems, la suma de los ngulos interiores suma 180, as que tenemos en definitiva: CAO + ACO + AOC = 180 Usando (**) y dato del enunciado: 2ACO + 68 = 180 Despejando 2ACO = 112 ACO = 56 Y como se indic en (*) DCE = ACO = 56 Alternativa B).



48. Con respecto a la figura, es falso que:

A) CB es una cuerda.

B) DE

es tangente.

C) CBA es inscrito.

D) AB es dimetro.

E) OB es radio.

Solucin: Presentamos en la siguiente figura, alguno de los elementos que componen una . O es centro de la ; QOB y BOT son ngulos del centro;

OBA es ngulo inscrito;

BT es el arco subtendido por el BOT ;

OT , OQ y OB son radios de la ; AB cuerda de la ; QT dimetro de la ; 1 2L y L son rectas secantes a la ; 3L es recta tangente a la ; es ngulo interior de la ; es ngulo exterior a la .

Si identificamos los elementos del enunciado tenemos que:

A) es correcto. CBes cuerda.

B) Es falsa, pues DE

es secante. y no es necesario seguir, pues hallamos la alternativa falsa. Alternativa B).

49. En la figura, CD DE es falso que:

A) = B) 2 = C) = +

D) 2

=

E) 2

=Solucin: Los ngulos inscritos y subtienden arcos congruentes de igual medida, por lo tanto, ellos tambin tienen igual medida entre s. Adems, el ngulo del centro mide el doble que el ngulo inscrito con el cul subtiende el mismo arco, luego, tenemos las siguientes relaciones de igualdad en las medidas:

2 2

2

2

= = =

= =

=

= +

= +

De lo que se tiene que

Y de

Revisando las alternativas, e) seala que el ngulo del centro mide la mitad que el ngulo inscrito. Alternativa E).



50. En la circunferencia de la figura, AC BO , luego el doble de x es: A) 90

B) 120

C) D) 2 E) 4

Solucin: El ngulo del centro x y el ngulo inscrito subtienden el mismo arco de , luego:

x = 2. El doble de x es:

2 x = 2(2) = 4

Alternativa E) Observacin: en este ejercicio, la perpendicularidad indicada en el enunciado es un dato insignificante, un distractor

51. Con respecto a la figura, si BC 47= y DE 103= .

Entonces es verdadero que:

I) 28 = II) 75 = III) 103 + =

A) Slo I.

B) Slo II.

C) I y II

D) I y III

E) I, II y III

Solucin: y son los ngulos exterior e interior respectivamente, entonces

2

DE BC

=

103 47 56= = = 28

2 2 e

2

DE BCy

+=

103+47 150= = = 75

2 2

Luego, I), II) y III) son verdaderas. Alternativa E)

52. Si = 34 y = 28, entonces DAB mide: A) 118

B) 62

C) 104

D) 60

E) 112

Solucin: La suma + y el DAB suman, por separado, 180 con el DCB [Suma de s int. a un y s opuestos dentro de un cuadriltero inscrito a una ] Por lo tanto, DAB = + = 62 pues cumplen la misma relacin numrica con otro valor, en este caso, el DCB . Alternativa B).



53. En la figura, ABCDEF es un polgono regular inscrito en la . Entonces, el xEPB = mide:

A) 30

B) 45

C) 60

D) 75

E) 80

Solucin: El polgono regular de 6 lados divide a la en 6 arcos congruentes, iguales a:

360= 60

6

Como x es ngulo exterior, su valor viene dado por la diferencia de arcos formados por la prolongacin de las secantes que lo forman.

x

EB CD=

2

Como EB abarca 3 arcos congruentes, su medida es 3 60=180

Mientras que CD = 60 es en s un solo arco congruente.

x180 60 120

= = = 602 2

Alternativa C)

54. De acuerdo a la informacin de la figura, se puede afirmar que:

A) x = B) x = C) + = D) x = E) =

Solucin: Recordemos que el ngulo del centro x es igual al doble que cualquier ngulo inscrito o semi inscrito que subtienda el mismo arco que el, sean estos ltimos , , . Lo anterior equivale tambin a indicar que x es igual a la suma de dos cualquiera de tales ngulos inscritos o semi inscritos, que subtiendan el mismo arco que el. Analizamos cada alternativa:

x x

x

=

= +

A) y si despejamos al ngulo del centro

Obtenemos

Que es lo indicado anteriormente. Alternativa A)



55. BT es tangente a la y CD 86= , entonces, el valor de es: A) 78

B) 86

C) 92

D) 98

E) 102

Solucin: Recordemos que en un cuadriltero inscrito en una , los ngulos opuestos suman 180 -son suplementarios. Por lo tanto, el ABC =102 Los ABC y SBC son adyacentes suplementarios -suman 180, por lo tanto, dado que ABC = 102 , entonces SBC = 78. Adems: SBC = SBT + TBC 78 = 29 + TBC

78 - 29 = TBC 49 = TBC

Pero TBC es un ngulo semi inscrito, por lo que el arco BC que subtiende, mide el doble, esto es, 98. Vamos a ilustrar lo que hemos conseguido hasta ahora sin olvidar

el dato del enunciado, CD = 86 : Con todos los datos graficados, vemos que el ngulo pedido ,

subtiende al arco BD = BC +CD =184 , medido desde el centro. Como no es del centro, sino inscrito en la , por lo que mide la mitad que el arco que subtiende. Esto es, 92. Alternativa C).

56. En la fig. AB BC CD DE EA= = = = , entonces el valor del EBC es:

A) 36

B) 60

C) 72

D) 120

E) 144

Solucin: La est subdividida en 5 arcos congruentes, donde la medida de cada uno es:

360= 72

5

El EBC subtiende 2 arcos de 72, pero por ser un ngulo inscrito, su medida es igual a la mitad de lo que subtiende. Es decir, EBC tiene una medida equivalente a 1 arco de 72. Alternativa C)

57. Las 5 cuerdas formadas en la figura son congruentes; en tal caso, el valor del ngulo x es:

A) 36

B) 72

C) 108

D) 192

E) 216

Solucin:

Cada uno de los 5 arcos de miden: 360 = 725

.

x es ngulo interior. Su medida es igual al promedio de los arcos formados por las cuerdas

CD y EB , que a su vez, forman al ngulo x. As:

xEB+CD 2

= =2

1

72+7236

21

=108

Alternativa C)



58. La figura muestra una circunferencia con centro en O. Si x mide 55, se puede determinar

el ROS si:

(1) POQ = 50

(2) y = 125

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

Solucin: El ROS tiene vrtice en el centro, llamado el en s como un ngulo del centro. Y su medida

es igual al arco RS que subtiende.

Mientras que x es ngulo interior a la . Su medida es igual al promedio de los arcos PQ y RS , determinados por las cuerdas que a su vez tambin forman el ngulo interior x. Esto queda expresado como:

x

=

PQ+RS =

2O bien, reemplazando el dato del x :

PQ+RS 55= 110= PQ+RS

2

Como RS ROS, tenemos por consiguiente, en la expresin anterior :

110= PQ + ROS ROS =110 PQ

Esta es una ecuacin para el ngulo pedido, pero lamentablemente, requerimos del valor del

arco PQ = POQ .

Y (1) nos ofrece tal valor. Mientras que (2) no nos ofrece ayuda alguna, pues conocido x, el valor del ngulo interior y era deducible por ser su ngulo adyacente suplementario, pero luego qu con el. La alternativa es A) (1) por s sola.

59. En la de centro O, AB y DE son dimetros. Si el AOE = 70 , entonces el x mide: A) 65

B) 110

C) 115

D) 145

E) 155

Solucin: El ngulo inscrito en C es rectngulo, dado que circunscribe media . Por lo tanto, entre los s CAB y ABC se reparten los 90 grados faltantes para completar los 180 del ABC.

Adems, tal es issceles, dado que los s AOC y OBC son congruentes. Criterio de congruencia L.A.L. Dos de sus respectivos lados tienen igual medida por ser radios de la y el ngulo comprendido entre ellos es de 90. Esto implica que entre ambos s: AC = CB . Los ngulos opuestos a dichos lados: el CAB y el ABC tambin tienen igual medida, por ser los ngulos basales. As que se reparten entre s los 90 faltantes en 45 cada uno. El siguiente punto a notar es que el DOB del AOB, es opuesto por el vrtice con DOB = 70 el de 70 de la figura del enunciado. Por consiguiente, el DOB = 70 La figura de la derecha resume todo lo indicado: Por ltimo, la suma de los s interiores igual a 180 en todo nos indica que ( )x =180 70+45 =180 115= 65 Alternativa A).



60. En la figura se tienen dos circunferencias congruentes y tangentes exteriormente, de radio 6

[cm]. Si AB contiene los centros de las circunferencias y BD es tangente en D, entonces la

medida de la cuerda BD es:

A) 12 2

B) 8 2

C) 6 2

D) 4 2

E) 3 2

Solucin: A estas alturas, la nominacin de las letras da lo mismo para los puntos que componen la figura. Lo que importa realmente es notar que el punto Potencia de la figura, es el punto del cul se desprenden las rectas secante y la tangente. Ese punto en la figura es el punto B. Ahora bien, si llamamos E al punto de tangencia de las dos circunferencias, tenemos, en virtud del punto potencia que:

( )( )

( )

2

2

12 2

2

12 24

12 24

12 2

12 2

BE BA BD

BD

BD

BD

BD

=

=

=

=

=

/

Es fcil notar que 24 = 12 2 y muy conveniente expresarlo asi.

Alternativa A)

61. En relacin al enunciado anterior: Cul es la medida de BC ?

A) 12 2

B) 8 2

C) 6 2

D) 4 2

E) 3 2

Solucin:

Si trazamos los segmentos OD y CE notaremos que la figura ahora nos queda con dos tringulos semejantes por criterio AA (por tener 2 s de igual medida).

En el ODC: 90ODB = por ser BD tangente a la en D y

por tanto perpendicular al radio OD En el ODB:

90EDB = por ser inscrito que subtiende media

Y la medida del 2do

ngulo que tienen de igual es el que comparten ambos, el del vrtice B. Establecido y probado que son semejantes, relacionamos en una proporcin, los lados homlogos de cada uno de los s:

12 2 24 2

3 24 2 8 218 3 312 2

BC BE BCBC BC

BD BO= = = = = = Alternativa B).

Ángulos circunferencia psu

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