Ángulos asociados a la circunferencia
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ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INSCRITO ÁNGULO SEMI-INSCRITO
ÁNGULO EX-INSCRITO
A
B
O a b
a = b
A
B
C a b
b = 2a
A
Tb q
2q
2b
T: pto. de tangencia
a
q
b
q = 2α β+
secante
ÁNGULO INTERIOR ÁNGULO EXTERIOR
xa b
x = 2α β+
A
B C
D
AAA
C
D
DC
CB
B B
x xx
aa
a
bb b
x = 2α β-
x + b = 180°
A y C: Puntos de tangencia
A: Puntos de tangencia
A E
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UN CIRCUNFERENCIA
En la figura, ABCD está inscrito, entonces:
A D
CB
a
b
a + b = 180°
AD
CBa
b
a = b
En la figura, ABCD está inscrito, entonces:
A D
CB
a b
a = b
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
Trabajando en claseIntegral
1. Calcula «a», si B y D son pun-tos de tangencia y ABCD es un romboide.
Aa
B
40° C
D
2. Calcula «a», si C y D son puntos de tangencia y AB es diámetro.
A B
CD
E
O140°
a
3. Si ABCD es un romboide. Cal-cula x, si AE es diámetro.
A
B C
D E
40°
xO
E
PUCP
4. Calcula «a», si mAE = b y mBD= f.
A
aB
CD
EResoluciónSe traza BE, entonces m∠BED = f/2 por ángulo inscrito y m∠ABE = b/2 también por ángulo inscrito. En el 9EBC se tiene por ángulo exterior
2 2 2&α φ β α β φ+ = = -
b ff/2b/2
A
aB
CD
E
5. Calcula «a», si mAE = 80º y mBD = 30°.
A
aB
CD
E
6. Calcula «x».
140°
x
100°
A
B
C
7. Calcula «b».
100°
150°
b
AB
C
DE
F
UNMSM
8. Calcula «b».
O
3b
2bA
BC
D
ResoluciónSe traza CD, se tiene un trián-gulo rectángulo isósceles. El lABCD está inscrito en la circunferencia, entonces:
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
A D
C
B
a
b
a + b = 180°
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
A D
C
B
a
b
a = b
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
A D
C
B
a b
a = b
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
2b + 3b + 45° = 180°
b = 27°
O
3b
2bA
BC
D
45°
45°
9. Calcula «b». (AD: Diámetro)
O
7b
3bA
BC
D
10. Calcula m∠DAC, si A y C son puntos de tangencia, además AD // BC y m∠ABC = 40°
A B
C
D
11. Calcula «a», si AB = BE y mBC= 50°.
A
B
C
DEa
UNI
12. Calcula «a» en función de «b», si O es centro de la semicircunfe-rencia y B es punto de tangencia.
a
b
C
B
DA
E OResoluciónSe traza BD, entonces m∠BDE = b y por ángulo seminscrito m∠ABE = b. Entonces: a + b = 90° – ba = 90° – 2b
a
b
C
B
DA
E O90°–b
b
b
13. Calcula «a», si ED es diámetro y «b» es punto de tangencia
a
C
B
DA
E O
30°
14. Calcula «a», si A, C, D y F son puntos de tangencia.
93°A
B
C
DF
Ea