appunti di analisi in nitesimale - liceocopernico.edu.it l’intenzione che ha sostenuto questo...

Appunti di analisi infinitesimale

di Fabio Maria Antoniali

– versione del 18 maggio 2011 –

L’intenzione che ha sostenuto questo lavoro e stata di mettere a disposizione in futuroun libro di analisi rigoroso e gratuito, che possa essere adottato unico testo di matematicaper il quint’anno di liceo scientifico. Al momento cio non e pensabile, perche gli appuntisono molto carenti di esempi ed esercizi, elemento indispensabile di ogni testo di matema-tica. Inoltre, nel presentare alcuni argomenti, si e preferito un taglio che, privilegiandosintesi ed eleganza, in taluni casi puo essere andato a discapito di una comprensione piuimmediata. Quindi, allo stato delle cose, gli appunti rappresentano solo un supportodell’indispensabile lavoro svolto in classe con gli studenti. Spero tuttavia che l’obiettivodi creare un testo piu completo e valido didatticamente possa essere raggiunto in unafutura versione.

Un elemento che caratterizza questi appunti e la presenza delle dimostrazioni dellamaggior parte dei teoremi, anche quelli che nei testi scolastici tipicamente vengono soloenunciati. Nel corpo degli appunti sono presentati i principali teoremi dell’analisi infi-nitesimale e le dimostrazioni che tradizionalmente vengono proposte agli allievi di liceoscientifico. Le dimostrazioni piu complesse ed alcuni teoremi di approfondimento sonoinvece riportati in appendice e rivolti a quei lettori che vogliono formarsi un quadro piucompleto della materia, cosa che, a mio avviso, non puo prescindere dalle dimostrazio-ni di alcuni teoremi chiave (ad esempio i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi),tipicamente sorvolate nei testi scolastici. Allo scopo di rendere queste dimostrazioni mag-giormente accessibili, dove possibile, pur nel rispetto del necessario rigore logico e formale,ho preferito un approccio piu diretto ed elementare di quello seguito dai testi di analisi.

Due scelte non tanto consuete nei testi scolastici sono state quelle di anteporre ilconcetto di continuita a quello di limite e l’introduzione dell’integrale definito mediantele funzioni a scalino, invece delle tradizionali successioni di Cauchy. La prima scelta estata fatta principalmente mirando all’eleganza delle dimostrazioni; la seconda per dareuna definizione di integrale alla Riemann che non richieda l’introduzione (esplicita odimplicita) del concetto di limite di una rete, ma si basi solo sull’assioma di continuita deinumeri reali.

Un ringraziamento va a Pietro Donatis e Carlo Cassola per avermi aiutato a darforma a questi appunti, discutendone assieme i punti piu delicati e dando un generosocontributo al lavoro di revisione. Ogni volta che sfoglio le pagine di questo testo m’imbattoin qualche errore sfuggito alle precedenti letture. In questo lavoro di revisone che sembranon avere mai fine, saro grato a ciascun lettore per l’aiuto che potra dare nel comunicarmile eventuali manchevolezze riscontrate nel testo.

Nell’intento di dare a quest’opera la piu ampia diffusione, essa viene pubblicata sotto unalicenza Creative Commons. Tale licenza consente a chiunque di modificare, riprodurre, di-stribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico quest’opera alle condizioni riportatenella pagina web:

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/it/

Udine, marzo 2009

Fabio Maria Antoniali [email protected].

Indice

Notazioni 5

1 Funzioni 71.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Successioni 242.1 Successioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Successioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Numeri reali 263.1 Assiomatica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Massimo ed estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Topologia canonica di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Continuita 364.1 Alcuni teoremi sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Operazioni sulle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Continuita delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Limiti 445.1 Definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Limiti a destra e a sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Operazioni e teoremi sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Estensioni della retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Infinitesimi ed infiniti 62

7 Asintoti all’infinito 68

8 Funzioni continue su un intervallo 72

9 Funzioni continue su insiemi compatti 74

10 Calcolo differenziale 7610.1 Definizione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.2 Significato geometrico della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3 Operazioni e teoremi sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.4 Derivate elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11 Funzioni derivabili su un intervallo 86

INDICE 2

12 Funzioni concave e convesse 94

13 Formule di Taylor 96

14 Teoria elementare dell’integrazione 10214.1 L’area del cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.2 Il trapezoide e i plurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10314.3 Le funzioni a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.4 Definizione dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.5 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni positive . . . . 10714.6 Proprieta fondamentali dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . 10814.7 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni di segno alterno 10914.8 Integrale in un intervallo orientato: teoremi di additivita e della media . . 11014.9 Integrazione di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11214.10Volume dei solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.11Lunghezza di un arco di curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.12Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

15 Integrazione numerica 12215.1 Metodo dei rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.2 Metodo dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16 Integrale indefinito 12616.1 Integrazione di funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12616.2 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.3 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

17 Metodi numerici per equazioni 13217.1 Metodo di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13217.2 Metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517.3 Metodo delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A Teoremi sulle funzioni continue 139A.1 Teorema sulle funzioni continue definite in intervalli . . . . . . . . . . . . . 139A.2 Teorema di Weierstrass e continuita uniforme sui compatti . . . . . . . . . 140

B Teoremi sulle funzioni convesse 145

C Teoremi dell’integrazione elementare 149

D Formulario 155D.1 Proprieta di esponenziali e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D.2 Formule trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D.3 Relazioni nei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156D.4 Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3

D.5 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159D.6 Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5

Notazioni

N = {0, 1, 2, . . . }: insieme dei numeri naturali

N0 = N− {0}

Z = {0,±1,±2, . . . } : insieme dei numeri interi

Q = {mn

: m ∈ Z, n ∈ N0} : insieme dei numeri razionali

Q+ = {x ∈ Q : x ≥ 0}

Q− = {x ∈ Q : x ≤ 0}

Q0 = Q− {0}

Q+0 = {x ∈ Q : x > 0}

Q−0 = {x ∈ Q : x < 0}

R: insieme dei numeri reali

R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}

R− = {x ∈ R : x ≤ 0}

R0 = R− {0}

R+0 = {x ∈ R : x > 0}

R0 = {x ∈ R : x < 0}

Gli intervalli generalizzati sono i seguenti sottoinsiemi di R, al variare di a, b ∈ Rcon a ≤ b

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}

]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}

]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

]−∞, b[= {x ∈ R : x < b}

[a, +∞[= {x ∈ R : a ≤ x}

]a, +∞[= {x ∈ R : a < x}

1 FUNZIONI 7

1 Funzioni

In questa sezione introduttiva vengono richiamati gli elementi essenziali delle funzioni efornita una rapida panoramica delle funzioni reali elementari.

1.1 Definizione

Il concetto di funzione viene introdotto a partire da quello di relazione, che in questatrattazione verra assunto come noto.

Definizione 1 Dati due insiemi non vuoti X e Y , una relazione f che associa a ciascunelemento x dell’insieme X uno ed un solo elemento y di Y si dice funzione di X in Y ,l’elemento y di Y prende il nome di immagine di x tramite f e viene indicato in simbolicon f(x).

L’insieme X prende il nome di dominio della funzione f , mentre Y si dice codo-minio della funzione f . Indichiamo in simboli con Imf o ,equivalentemente, con f(X),l’ immagine di f, ovvero l’ insieme delle immagini degli elementi di X tramite f . Pertanto

f(X) = { y ∈ Y | f(x) = y, per qualche x ∈ X }.

Per indicare in modo non ambiguo una funzione sono state introdotte nel tempo varienotazioni, ma in questo lavoro verra adottata la seguente:

f : X → Yx 7→ f(x).

Inoltre, quando X e Y sono sottoinsiemi di R si dira che f e una funzione reale.

Definizione 2 Data una funzione f : X → Y , di dice grafico di f il sottoinsieme Gf delprodotto cartesiano X × Y definito ponendo

Gf = { (x, y) ∈ X × Y | y = f(x) per qualche x ∈ X }.

Evidentemente, se f e una funzione reale il suo grafico Gf puo essere rappresentato sul pia-no cartesiano in modo canonico da una curva Γf , che, con un piccolo abuso di linguaggio,verra chiamata anch’essa grafico di f .

1 FUNZIONI 8

x

y

Γf : y=f(x)

x

y

Figura 1: grafico della funzione f

Definizione 3 Data una funzione f : X → Y , e un elemento y ∈ Y , si dice contro-immagine di y l’insieme denotato con f←(y) e formato dagli elementi x di X che hannocome immagine y, ovvero

f←(y) = {x ∈ X | y = f(x) }.

x

y

Γf : y=f(x)

x1

x2

x3

y

f←(y)={x1, x

2, x

3}

Figura 2: la controimmagine f←(y) di y

Definizione 4 Si dira che una funzione f : X → Y e

• suriettiva, quando f(X) = Y ;

• iniettiva, quando ∀x1, x2 ∈ X : x1 6= x2 → f(x1) 6= f(x2);

• biettiva, quanto e suriettiva ed iniettiva.

1 FUNZIONI 9

Proposizione 1 Valgono le seguenti caratterizzazioni:

• f suriettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , si ha f←(y) 6= ∅;

• f iniettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , l’insieme delle controimmmagini f←(y)contiene al piu un elemento;

• f biettiva se e solo se, per ogni y ∈ Y , l’insieme delle controimmmagini f←(y)contiene esattamente un elemento, che in tal caso viene denotato con il simbolof−1(y).

Definizione 5 Dato un insieme non vuoto X si dira funzione identita su X, la funzioneidX definita ponendo

idX : X → Xx 7→ x.

Definizione 6 Date due funzioni f : X → Y e g : Y → Z, e possibile definire in modounico una funzione

g ◦ f : X → Z,

detta funzione composta di g con f , ponendo

g ◦ f(x) = g(f(x)),

per ogni x ∈ X.

1 FUNZIONI 10

Figura 3: funzione composta f ◦ g

Definizione 7 Se f : X → Y e biettiva, in virtu della proposizione dimostrata sopra,e possibile definire in modo univoco una funzione f−1 : Y → X ove f−1(y) e l’unicacontroimmagine di y ∈ Y . Questa funzione si dice funzione inversa di f , ed e altresıcaratterizzata dalle due relazioni

f ◦ f−1 = idY e f−1 ◦ f = idX ,

o, equivalentemente, da

∀y ∈ Y : f(f−1(y)) = y e ∀x ∈ X : f−1(f(x)) = x.

Due insiemi X e Y per i quali esiste una funzione biettiva f : X → Y si dicono incorrispondenza biunivoca.

1 FUNZIONI 11

Figura 4: funzione f e sua inversa f−1

Definizione 8 Data f : X → Y e un insieme non vuoto A ⊆ X, si dice restrizione di fad A la funzione

f |A : A→ Y,

definita ponendof |A(x) = f(x),

per ogni x ∈ A.

Esempio Si consideri la funzione f : N → N in cui f(n) e il resto della divisione delnumero naturale n per 3. Chiaramente l’immagine e f(N) = {0, 1, 2}. Gli insiemi dellecontroimmagini degli elementi del codominio N sono

f←(0) = {3k | k ∈ N},f←(1) = {3k + 1 | k ∈ N},f←(2) = {3k + 2 | k ∈ N},f←(m) = ∅, per ogni m ≥ 3.

Se si pone A = {3, 4, 5} e B = {0, 1, 2}, allora la restrizione f |A : A→ B e evidentementebiettiva. Questa e tale che f |A(n) = n−3, per ogni n ∈ A, pertanto la sua funzione inversa

1 FUNZIONI 12

risultaf |−1A : B → A

n 7→ n+ 3.

Definizione 9 Si dice che una funzione f : I → R definita su un intervallo I ⊆ R emonotona

• crescente, quando ∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) < f(x2);

• debolmente crescente, quando ∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2);

• decrescente, quando ∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) > f(x2);

• debolmente decrescente, quando ∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) ≥ f(x2).

x

y

x2

x1

f(x1)

f(x2)

x

y

x2

x1

g(x1)

g(x2)

Figura 5: grafici di funzione crescente (f) e debolmente crescente (g)

Per le funzione monotone in senso forte, vale la seguente proposizione di immediatadimostrazione.

Proposizione 2 Ogni funzione monotona decrescente (o crescente) e anche iniettiva.

1 FUNZIONI 13

Definizione 10 Si consideri una funzione f : A → R definita su un insieme A ⊆ Rsimmetrico rispetto allo zero, ovvero tale che ∀x ∈ A : −x ∈ A. Si dira che f e

• pari, quando ∀x ∈ A : f(x) = f(−x);

• dispari, quando ∀x ∈ A : f(x) = −f(−x).

x

y

y=x2

x −x

f(x)=f(−x)

x

y y=x3

x−x

f(−x)

f(x)=−f(−x)

Figura 6: grafici di funzioni pari e dispari

1 FUNZIONI 14

Per le funzioni pari e dispari vale la seguente caratterizzazione:

Proposizione 3 Data una funzione f : A → R e indicato con Γf il suo grafico, si hache f e

• pari se e solo se Γf e simmetrico rispetto l’asse y;

• dispari se e solo se Γf e simmetrico rispetto all’origine O(0, 0).

Definizione 11 Data una funzione f : A → R, definita su un insieme A ⊆ R, si dirache f e periodica se esiste un minimo numero reale T > 0 tale che

∀x ∈ A, k ∈ Z : f(x) = f(x+ kT ).

In tal caso T prende il nome di periodo della funzione. La richiesta dell’esistenza di unminimo valore T per la data funzione permette di escludere tra le funzioni periodiche lefunzioni costanti e funzioni dall’andamento bizzarro, come la funzione caratteristica deirazionali χQ.

x

y

y=f(x)

x x+T

f(x)=f(x+kT)

x+2T

Figura 7: grafico di una funzione periodica

1 FUNZIONI 15

1.2 Funzioni elementari

Potenze ad esponente intero

Si dividano le funzioni potenza potn ad esponente intero n ∈ Z∗ in due gruppi:

• se n > 0 sono del tipo

potn : R→ Rx 7→ xn

e hanno le seguenti proprieta:

– se n e pari: potn e pari con immagine e potn(R) = R+;

– se n e dipari: potn crescente, dispari, con immagine e potn(R) = R e quindibiettiva.

x

y

y=xn (n pari )

y=xm (m dispari)

x

y

y=x−n (n pari )

y=x−m (m dispari)

Figura 8: grafici di funzioni potenza con esponenti interi

• Le potenze ad esponente negativo −n < 0 sono del tipo

pot−n : R0 → R0

x 7→ x−n =1

xn

e godono delle seguenti proprieta:

– se n e pari: pot−n e pari con immagine e pot−n(R0) = R+∗ ;

– se n e dispari: pot−n e decrescente in ciascuno degli intervalli R+∗ e R−∗ , dispari,

con immagine pot−n(R0) = R0 e quindi biettiva.

1 FUNZIONI 16

Funzioni irrazionali

Si considerino le funzioni irrazionali elementari del tipo sqrtn, ovvero le funzioni inversedelle funzioni potenza potn ad esponente intero positivo. Queste si possono suddividerein due gruppi in base alla parita dell’indice dell’indice del radicale.

• se n ≥ 2 pari sono del tipo

sqrtn : R+ → R+

x 7→ n√x

la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R+ in se stesso ed e inoltre crescente;

• se n ≥ 3 dispari sono del tipo

sqrtn : R→ Rx 7→ n

√x

la funzione irrazionale stabilisce una biezione di R in se stesso ed e inoltre crescentee dispari.

x

y

y=sqrtn(x) (n pari )

y=sqrtm

(x) (m dispari)

Figura 9: grafici di alcune funzioni irrazionali

1 FUNZIONI 17

Potenze ad esponente realeLe funzioni potenza ad esponente reale α > 0 sono del tipo

potα : R+ → R+

x 7→ xα.

Esse sono crescenti e biettive. Per esponenti α > 1 hanno grafici con concavita versol’alto, mentre per 0 < α < 1 la concavita e verso il basso.

x

y y=xα (α>1)

y=xβ (1>β>0)

y=x

Figura 10: grafici di alcune funzioni potenza ad esponente reale

1 FUNZIONI 18

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

Dato un reale 0 < a 6= 1 la funzione esponenziale di base a e del tipo

expa : R→ R+∗

x 7→ ax.

Essa risulta biettiva crescente se a > 1, decrescente altrimenti; il suo grafico e asintoticoall’asse x.La funzione inversa di expa si chiama logaritmo di base a:

loga : R+∗ → Rx 7→ loga x.

Essa risulta biettiva crescente se a > 1, decrescente altrimenti; il suo grafico e asintoticoall’asse y. Nella figura 11 i grafici di alcune funzioni esponenziali e logaritmiche.

x

y

y=expa x (a>1)

y=expb x (0<b<1)

x

y

y=loga x (a>1)

y=logb x (0<b<1)

Figura 11: grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche

1 FUNZIONI 19

Funzioni circolari e loro inverse

La funzioni circolari seno, coseno, tangente e cotangente sono definite come segue.

Si consideri la circonferenza γ di raggio uni-tario con centro nell’origine di un sistema diriferimento cartesiano ( γ e detta circonferen-za trigonometrica) e dato un qualunque rea-le x ∈ [0, 2π[ si individui sulla circonferenzaquell’unico punto P = (xP , yP ) tale che la

misura in radianti dell’angolo AOP sia x. Siponga quindi

cosxdef= xP , senx

def= yp.

x

y

xAx

P

PyP

O

Le funzioni senx e cos x vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodichecon periodo T = 2π. Si osservi, in particolare, che per costruzione vale la seguentefondamentale identita:

cos2 x+ sen2x = 1.

Si sono quindi costruite le due seguenti funzioni:

• funzione coseno

cos : R→ Rx 7→ cos x.

e pari, non iniettiva, periodica di periodo T = 2π, e con immagine cos(R) = [−1, 1].Viene resa invertibile restringendone il dominio all’intervallo [0, π], su cui risultadecrescente, e il codominio a [−1, 1];

• funzione seno

sen : R→ Rx 7→ sen x.

e dispari, non iniettiva, periodica di periodo T = 2π, e con immagine sen(R) =[−1, 1]. Viene resa invertibile restringendone il dominio all’intervallo [−π/2, π/2],su cui risulta crescente, e il codominio a [−1, 1].

1 FUNZIONI 20

x

y

y=sen(x)

y=cos(x)

Figura 12: grafici di seno e coseno

Le funzioni sen e cos, opportunamente ristrette, risultano invertibili con inverse

• funzione arcoseno:

arcsen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2]

x 7→ arcsen x,

• funzione arcocoseno:

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

x 7→ arccosx.

x

y

y=arcsen(x)

y=arccos(x)

−π/2

π/2

π

Figura 13: grafici di arcoseno e arcocoseno

1 FUNZIONI 21

Le funzioni tangente e cotangente sono definite sulla circonferenza trigonometrica nelseguente modo.

Nel piano cartesiano tracciamo le rette c :y = 1 e t : x = 1. Dato un qualunque rea-le x ∈ [0, π[ si individui sulla circonferenzaquell’unico punto P = (xP , yP ) tale che la

misura in radianti dell’angolo AOP sia x e siconsideri la retta OP . Se x 6= π/2 allora OPincontra t in un punto T = (1, yT ), mentrese x 6= 0 la retta OP incontra c in un puntoC = (xC , 1).Si ponga quindi

tg xdef= yT , ctg x

def= xC .

x

y

xA

T

xC

P

C

O

yT

c

t

Le funzioni tg x e ctg x vengono quindi estese su tutto R di modo che siano periodichecon periodo T = π. Si osservi in particolare che per costruzione valgono le seguentiidentita

tg x =senx

cosx, tg x =

cosx

senx.

Si e quindi costruito la coppia di funzioni:

• funzione tangente

tg : A→ Rx 7→ tg x,

con A = {x ∈ R | ∀k ∈ Z : x 6= π/2 + kπ},

• funzione cotangente

ctg : B → Rx 7→ ctg x,

ove B = {x ∈ R | ∀k ∈ Z : x 6= kπ}.

Tali funzioni risultano suriettive, dispari, periodiche di periodo π e con grafici aventiinfiniti asintoti verticali corrispondenti ai punti di frontiera dei rispettivi dominii.

La funzione tangente puo essere resa biettiva restringendone il dominio a ]−π/2, π/2[,mentre la funzione cotangente restringendolo a ]0, π[.

1 FUNZIONI 22

x

y

y=tg(x)y=ctg(x)

−3π/2

−π/2

π/2

3π/2

Figura 14: grafici di tangente e cotangente

Le funzioni inverse delle restrizioni di tangente e cotangente sono

• funzione arcotangente:

arctg : R→]− π/2, π/2[

x 7→ arctg x,

• la funzione arcocotangente

arcctg : R→]0, π[

x 7→ arcctg x.

x

y

y=arctg(x)y=arcctg(x)

−π/2

π/2

π

Figura 15: grafici di arcotangente e arcocotangente

1 FUNZIONI 23

Funzione valore assoluto

La funzione valore assoluto e di particolare importanza per lo sviluppo dei prossimicapitoli, pertanto se ne richiamano definizioni e proprieta fondamentali.La funzione valore assoluto, indicata con il simbolo | · |, e una funzione reale definitaponendo per ogni x ∈ R

|x| def=

{x per x ≥ 0,

−x per x < 0.

Il suo grafico e riportato in figura ?? e, per ogni x, y ∈ R, la funzione assoluto gode delleseguenti relazioni:

1. |x| ≥ 0,

2. |x| ≥ x ≥ −|x|,

3. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (disuguaglianza triangolare),

4.∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x− y|.

x

y

y=|x|

x −x

|x|=|−x|

Figura 16: grafico della funzione valore assoluto

2 SUCCESSIONI 24

2 Successioni

Questa sezione e dedicata ad una classe particolarmente interessante di funzioni, dettesuccessioni.

Definizione 12 Si dice successione di numeri reali ogni funzione con dominio l’insiemedei numeri naturali (o un suo sottoinsieme) a valori reali. In pratica, una successione facorrispondere ad ogni numero naturale n un ben preciso numero reale an. Un successionen 7→ an, verra denotata indifferentemente con uno dei seguenti simboli

{an}n∈N o {an}n.

Le nozioni di crescenza e decrescenza si estendono in modo del tutto naturale alle succes-sioni, ed e immediato costatare che

Proposizione 4 Un successione {an}n risulta

• crescente ⇔ ∀n ∈ N : an+1 > an;

• decrescente ⇔ ∀n ∈ N : an+1 < an.

Tra le successioni, occupano un posto di particolare rilievo le successioni aritmetiche egeometriche, che verranno trattate nelle seguenti sezioni.

2.1 Successioni aritmetiche

Definizione 13 Dato un numero reale d, una successione {an}n si dice aritmetica diragione d quando

∀n ∈ N : an+1 − an = d.

Dalla definizione e immediato provare che il termine generale an di una successionearitmetica soddisfa

an = a0 + nd.

2.2 Successioni geometriche

Definizione 14 Dato un numero reale q tale che q 6= 0 e q 6= 1, una successione {an}nsi dice geometrica di ragione q quando

∀n ∈ N :an+1

an= q.

2 SUCCESSIONI 25

Dalla definizione e immediato provare che il termine generale an di una successionegeometrica soddisfa

an = a0qn.

Per le successioni geometriche e di particolare interesse una formula che ci da la sommadei suoi primi N + 1 termini:

Proposizione 5 Sia {an}n una successione geometrica di ragione q, allora la somma deiprimi N + 1 termini della successione, quantita indicata con SN , soddisfa

SN = a0 + · · ·+ aN = a01− qN+1

1− q.

Dim. Per definizione si e posto

SN = a0 + a1 + · · ·+ aN−1 + aN ,

e, dato che qan = an+1, moltiplicando per q i membri della precedente uguaglianze si puoscrivere

qSN = a1 + a2 + · · ·+ aN + aN+1.

Sottraendo, membro a membro, i termini della prima a quelli della seconda uguaglianzadi ottiene

(q − 1)SN = aN+1 − a0,

da cui si ottiene

SN =aN+1 − a0

q − 1.

Tenuto conto che per una successione geometrica di ragione q si ha aN+1 = a0qN+1, si ha

infine

SN = a0qN+1 − 1

q − 1.

3 NUMERI REALI 26

3 Numeri reali

In questa sezione vengono innanzitutto presentati gli assiomi dei numeri numeri reali,mostrando che essi costituiscono un campo ordinato e completo. Successivamente si in-troducono i concetti di massimo e minimo e di estremo superiore ed inferiore di un datosottoinsieme dei numeri reali. Infine vengono presentate le linee essenziali della topologiacanonica dei numeri reali, a partire dalla nozione d’intorno di un punto.

3.1 Assiomatica dei numeri reali

Gli assiomi che ora verranno presentati specificano tutte le proprieta dei numeri reali, epossono essere riassunti affermando che l’insieme dei numeri reali e un campo ordinato ecompleto.

Assiomi algebrici:

In R e definita un’operazione interna, detta addizione e indicata con il segno +, tale che

1. ∀ a, b : a+ b = b+ a (propr. commutativa),

2. ∀ a, b, c : (a+ b) + c = a+ (b+ c) (propr. associativa),

3. esiste un elemento neutro per l’addizione, detto zero e indicato con 0, cioe tale che:∀ a : a+ 0 = 0 + a = a,

4. per ogni a ∈ R esiste un elemento detto opposto di a e indicato con −a, tale chea+ (−a) = 0.

In R e definita un’altra operazione interna, detta prodotto e indicata con ·, tale che

1. ∀ a, b : a · b = b · a (propr. commutativa),

2. ∀ a, b, c : (a · b) · c = a · (b · c) (propr. associativa),

3. esiste un elemento neutro per il prodotto, detto unita e indicato con 1, cioe tale che:∀ a : a · 1 = 1 · a = a,

4. per ogni a ∈ R0 esiste un elemento detto reciproco di a e indicato con a−1, tale chea · a−1 = 1.

Inoltre le operazioni di somma e prodotto si combinano tra loro in accordo alla seguentelegge distributiva

∀ a, b, c : a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Si dimostra facilmente che l’elemento neutro dell’addizione e quello della moltiplicazionesono unici. Sono inoltre unici l’opposto e il reciproco di un numero reale. Vale inoltre:

Proposizione 6 L’operazione di prodotto soddisfa le seguenti proprieta:

3 NUMERI REALI 27

1. ∀ a : a · 0 = 0,

2. ∀ a, b : a · b = 0↔ a = 0 ∨ b = 0 (legge di annullamento del prodotto).

Assiomi d’ordinamento:

In R e definita una relazione di ordine totale ≤ compatibile con le operazioni di addizionee prodotto, cioe tale che:

1. ∀ a, b, c : a ≤ b→ a+ c ≤ b+ c,

2. ∀ a, b ∀ 0 ≤ c : a ≤ b→ a · c ≤ b · c.

Assioma di completezza ordinale:

Se A e B sono due sottoinsiemi non vuoti di R tali che ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ b (si dira in talcaso che A e B sono una coppia di classi separate e scriveremo A ≤ B) esiste allora almenoun elemento ξ ∈ R che separa le due classi, cioe tale che ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ ξ ≤ b. Nelcaso in cui le classi separate soddisfano la proprieta

∀ε > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b− a < ε,

l’elemento separatore delle classi e unico, e si parla di classi contigue.

Si enuncia qui un’importante teorema che stabilisce una sorta di unicita dell’insieme deinumeri reali.

Teorema 7 Ogni campo ordinato e completo e isomorfo a R, ovvero puo essere stabilitatra questo ed R una corrispondenza biunivoca che rispetta l’ordine e le operazioni di sommae prodotto.

Si ricorda infine che mediante gli assiomi dei numeri reali sopra citati, in particolarequello di completezza ordinale, e possibile definire le radici n−esime di un numero realepositivo, costruire le funzioni circolari e le loro inverse, nonche le funzioni esponenziali elogaritmiche. Qui di seguito, per esemplificare l’importanza della completezza dei numerireali, viene dimostrata l’esistenza (e unicita) di

√2.

Esempio 1 Gli insiemiA =

{q ∈ Q+ | q2 ≤ 2

}e B =

{q ∈ Q+ | q2 ≥ 2

},

sono una coppia di classi contigue che ammette in R un unico elemento separatore ξ, non razionale, soddisfacente ξ2 = 2.

Innanzitutto i due insiemi formano una coppia di classi separate, piu precisamente si ha A ≤ B. Infatti se a2 < 2 eb2 > 2, si puo scrivere a2 < 2 e −b2 < −2, pertanto, sommando membro a membro le due disequazioni, segue a2 − b2 < 0,ovvero (a− b)(a+ b) < 0. Dato che a, b > 0, dovra essere per forza a− b < 0, cioe a < b.

Per l’assioma di continuita dovra esistere un elemento ξ ∈ R che separa le due classi, ovvero tale che A ≤ ξ ≤ B. Siprova ora che deve essere xi2 = 2. Si osservi che tale argomento implica anche l’unicita dell’elemento separatore, infatti, seesistesse un altro elemento separatore ξ′ soddisfacente ξ′2 = 2, ne dedurremmo che xi2− ξ′2 = 0, da cui (ξ− ξ′)(ξ+ ξ′) = 0,quindi, dato che ξ, ξ′ sono positivi, ξ − ξ′ = 0, cioe ξ = ξ′.

3 NUMERI REALI 28

Si supponga per assurdo che l’elemento separatore non soddisfi ξ2 = 2. Dovra essere quindi ξ2 < 2 o ξ2 > 2. Nel primocaso, si scelga innanzitutto un n ∈ N tale che

5

n< 2− ξ2,

e sfruttando la densita di Q in R, si prenda un intero q ∈ Q tale che

ξ < q < ξ +1

n.

Elevando al quadrato i membri della precedente disequazione si ottiene

q2 < ξ2 +2ξ

n+

1

n2= ξ2 +

1

n

(2ξ +

1

n

).

Poiche ξ < 2 e 1n≤ 1 segue

q2 < ξ2 +5

n,

quindi, tenuto conto di come e stato scelto inizialmente n, si puo scrivere

q2 < ξ2 + 2− ξ2 = 2.

Ne discende che q2 < 2, cioe q ∈ A, ma essendo anche ξ < q si ottiene una contraddizione con l’ipotesi che ξ e elementoseparatore.

Il secondo caso e analogo a quello ora trattato, quindi e lasciato ai lettori volenterosi. Si puo quindi concludere chel’elemento separatore delle due classi e unico e soddisfa xi2 = 2.

3.2 Massimo ed estremo superiore

In questa sezione si introdurra il concetto di punto estremante, definendo estremo supe-riore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale.

Definizione 15 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R, un numero λ ∈ R si dice maggioranteo limitazione superiore di A se

1. ∀ a ∈ A : a ≤ λ (in simboli si puo scrivere anche A ≤ λ)

Definizione 16 Un insieme non vuoto A ⊆ R si dice superiormente limitato quandoammette una limitazione superiore; viceversa l’insieme si dira superiormente illimitato.

Tra i possibili maggioranti di un insieme superiormente limitato ve ne sono due moltoparticolari: il massimo, che non sempre esiste, e l’estremo superiore che invece esistesempre.

Definizione 17 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R, un numero m ∈ R si dice massimodi A se

1. m e limitazione superiore di A, ovvero A ≤ m

2. m ∈ A

3 NUMERI REALI 29

Il campo reale e totalmente ordinato, pertanto, se un suo sottoinsieme A ammette massimom, e immediato costatare che questo massimo e necessariamente unico. Infatti, se sisupponesse per assurdo che m1 e m2 siano massimi distinti, dato che entrambi devonoessere elementi di A, dalla definizione si potrebbe dedurre sia m1 ≤ m2 sia m2 ≤ m1, dacui deriverebbe m1 = m2, in contraddizione con l’ipotesi. Pertanto, quando un insieme Aammette massimo m, si potra scrivere in modo univoco

m = maxA.

Insiemi che non ammettono massimo, pur essendo superiormente limitati, sono ad esempiogli intervalli aperti a destra, come A = [0, 1[. In questo caso e facile rendersi conto che1 pur non essendo un massimo, dato che non appartiene all’insieme A, e la piu piccolalimitazione superiore di A; si potrebbe dire che 1 e, tra tutte, la limitazione superiore piuaddossata all’intervallo [0, 1[.

Puo essere sempre trovata una minima limitazione superiore? La risposta e affermativae discende dall’assioma di completezza ordinale dei numeri reali.

Teorema 8 Dato un insieme A ⊆ R non vuoto e superiormente limitato esso ammetteuna e una sola minima limitazione superiore.

Dim. La dimostrazione e semplice. Sia Λ l’insieme delle limitazioni superiori di A. Si hachiaramente A ≤ Λ, cioe i due insiemi formano una coppia di classi separate. Dunque,per l’assioma di continuita, esiste un elemento ξ che separa le due classi, cioe A ≤ ξ ≤ Λ.La prima disequazione ci dice che tale ξ e un maggiorante di A, dunque deve essere ξ ∈ Λ.La seconda, ξ ≤ Λ, dice che tale ξ e proprio il minimo elemento di Λ, come volevasidimostrare. L’unicita di tale elemento deriva evidentemente dall’argomento sull’unicitadel minimo dell’insieme Λ, a cui si e accennato precedentemente.

Si puo quindi dare la seguente definizione di estremo superiore:

Definizione 18 Dato un insieme A ⊆ R non vuoto e superiormente limitato, si diraestremo superiore di A la minima limitazione superiore λ ∈ R di A; in formule scriveremo

supA = λ

Altrimenti, nel caso in cui l’insieme A e superiormente illimitato, in formule si scrivera

supA = +∞

E’ immediato costatare che se A ammette massimo questo e anche estremo superiore,viceversa l’esistenza dell’estremo superiore non implica l’esistenza di un massimo, comenel caso dell’insieme [0, 1[.

Quando si vuole verificare operativamente se un punto e estremo superiore di uninsieme, la definizione sopra introdotta non e comoda, e ci si rivolge alla seguente carat-terizzazione:

3 NUMERI REALI 30

Teorema 9 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R superiormente limitato, un numero λ ∈ Re estremo superiore di A se e solo se

1. A ≤ λ

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : λ− a < ε

Dim. Se si pone λ = supA, tale numero soddisfa per definizione la proprieta 1. Se perassurdo la 2 non fosse soddisfatta, esisterebbe un ε > 0 tale per cui per ogni a ∈ A siavrebbe λ − a ≥ ε, ovvero a ≤ λ − ε. Si avrebbe dunque l’esistenza di una limitazionesuperiore λ − ε dell’insieme A strettamente inferiore a λ, in contraddizione con il fattoche quest’ultimo e estremo superiore.

Viceversa, detto s = supA l’estremo superiore di A, e dato un numero reale λ soddi-sfacente le condizioni 1 e 2 si supponga per assurdo che λ 6= s. In tal caso dovra esseres < λ, dato che λ e una limitazione superiore di A in virtu della 1. Fissato dunque ilnumero positivo ε = λ− s, in virtu della proprieta 2, esistera un elemento a ∈ A tale percui a > λ− ε, ma cio significa che s < a, in contraddizione con il fatto che s e l’estremosuperiore di A.

Si definiscono in modo del tutto analogo il minimo e l’estremo inferiore di un sottoinsiemedi R, e si indicano con minA e inf A, rispettivamente.

Vale la pena di enunciare, senza pero darne la dimostrazione, la seguente caratterizzazionedell’estremo inferiore:

Teorema 10 Dato un insieme non vuoto A ⊆ R inferiormente limitato, un numeroλ ∈ R e estremo inferiore di A se e solo se

1. λ ≤ A

2. ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a− λ < ε

Esempio 2 Dati k ∈ N0 e b ∈ R+∗ , esiste un unico reale a > 0 tale che ak = b.

Sia A = {x ∈ R |xk ≤ b}. Una limitazione superiore di tale insieme e b, infatti preso un qualunque reale z con b < z segueb ≤ bk < zk, quindi zk > b, cioe z non appartiene ad A. Si ponga a = supA e si scelga una successione xn di elementi diA convergente ad a. Essendo xkn ≤ b, passando al limite per n → ∞, seguira che ak ≤ b. Si consideri ora la successionedefinita ponendo

yn = a+1

n,

evidentemente costituita da elementi yn non appartenenti ad A e convergente ad a; poiche b ≤ ykn, passando al limiteper n → ∞, seguira che b ≤ ak. Si e quindi provato che sussistono ak ≤ b ≤ ak, ma cio implica che ak = b. L’unicitadell’elemento a e di facile deduzione e viene lasciata al lettore volenteroso.

3 NUMERI REALI 31

3.3 Topologia canonica di RLa nozione di intorno e il concetto centrale di tutta l’analisi infinitesimale, in quantoconsente di formalizzare nozioni intuitive come quella di x e prossimo a y o ancora xtende a y. Si definisce innanzitutto l’intorno circolare di un punto della retta reale:

Definizione 19 Dato un punto x0 e un numero reale ε > 0, si dira intervallo o intornocircolare di centro x0 e raggio ε l’intervallo aperto Ix0, ε definito da

Ix0, ε =]x0 − ε, x0 + ε[= {x ∈ R : |x− x0| < ε}

La definizione generale di intorno di un punto della retta reale e la seguente:

Definizione 20 Dato un punto x0, un insieme A ⊆ R si dira intorno (completo) dix0 se esso contiene al suo interno almeno un intervallo circolare di centro x0, cioe se

∃ ε > 0 : Ix0, ε ⊆ A, oppure

∃ ε > 0 : |x− x0| < ε→ x ∈ A.

L’insieme degli intorni del punto x0 si indica con F(x0) e viene chiamato filtro degliintorni di x0.

La definizione d’intorno qui proposta definisce quella che si suole chiamare topologia cano-nica su R. Si osservi che alla base della nozione di intorno vi e la ben nota distanza euclideatra punti della retta reale (d(x, y)

def= |x− y|).

L’insieme degli intorni di un punto soddisfa le proprieta indicate nella seguente proposi-zione di cui si omette la semplice dimostrazione:

Proposizione 11 Dato un numero reale x0 ∈ R, valgono allora:

1. ∀ U ∈ F(x0) : U 6= ∅;

2. ∀ U ∈ F(x0) : U ⊆ A→ A ∈ F(x0);

3. ∀ U, V ∈ F(x0) : U ∩ V ∈ F(x0).

Rispetto alla topologia introdotta, l’insieme dei numeri reali risulta separato, ovvero:

Teorema 12 (Separatezza di R) L’insieme R e uno spazio separato, cioe se x 6= yallora esistono un intorno U di x e un intorno V di y tali da non intersecarsi in alcunpunto, ovvero

∀ x 6= y ∃ U ∈ F(x), V ∈ F(y) : U ∩ V = ∅.

3 NUMERI REALI 32

Dim. Senza perdita di generalita si puo supporre y > x. Si ponga ε = (y − x)/3, e siconsiderino i seguenti intorni circolari U = Ix, ε e V = Iy, ε. E immediato costatare che Ue V sono due intorni disgiunti di x e y rispettivamente, come volevasi dimostrare.

La topologia definita su R permette di descrivere in modo oggettivo alcune proprieta chemettono in relazione i punti della retta reale con i suoi sottoinsiemi:

Definizione 21 Sia D un sottoinsieme non vuoto di R e x0 un punto di R non necessa-riamente appartenente a D, si dice allora che x0 e

1. punto interno a D se esiste un intorno di x0 completamente contenuto in D,ovvero

∃ U ∈ F(x0) : U ⊆ D;

2. punto esterno a D se esiste un intorno di x0 completamente disgiunto a D, ovvero

∃ U ∈ F(x0) : U ∩D = ∅;

3. punto di chiusura o di aderenza di D se ogni intorno del punto x0 interseca Din qualche punto, ovvero

∀ U ∈ F(x0) : U ∩D 6= ∅;

l’insieme di tutti i punti di chiusura di D si dice chiusura di D e si indica con D;

4. punto di accumulazione per D se ogni intorno del punto x0 interseca D inqualche punto diverso da x0, ovvero

∀ U ∈ F(x0) : (U − {x0}) ∩D 6= ∅;

5. punto isolato di D se esiste un intorno di x0 che interseca D nel solo punto x0,ovvero

∃ U ∈ F(x0) : U ∩D = {x0};

6. punto di frontiera per D se ogni intorno del punto x0 interseca sempre sia puntidi D che del suo complementare D{, ovvero

∀ U ∈ F(x0) : U ∩D 6= ∅ ∧ U ∩D{ 6= ∅.

E facile provare che sostituendo al termine “intorno” il termine “intorno circolare”,si ottengono definizioni del tutto equivalenti a quelle sopra date.

Di particolare interesse e la classificazione dei sottoinsiemi della retta reale in base alleproprieta topologiche dei loro elementi:

Definizione 22 Un sottoinsieme D della retta reale si dice

3 NUMERI REALI 33

1. aperto se ciascun suo punto e interno all’insieme;

2. chiuso se D contiene tutti i propri punti di chiusura, cioe D = D;

3. discreto se ciascun suo punto e isolato;

4. denso in R se la sua chiusura coincide con la retta reale, cioe D = R.

Si osservi qui che gli intervalli chiusi sono tutti e soli quelli del tipo [a, b], [a, +∞[ e]−∞, a], mentre quelli aperti sono tutti e soli quelli del tipo ]a, b[, ]a, +∞[ e ]−∞, a[.Se un intervallo contiene solo uno dei due estremi invece non e ne aperto, ne chiuso.

A volte potra essere utile ricorrere al concetto di intorno destro e sinistro, e di intornoforato, che sono definiti come segue:

Definizione 23 Dato un punto x0, si dira intorno destro di x0 ogni insieme U che con-tiene un intervallo del tipo [x0, x0 + ε [, per qualche ε > 0. L’insieme F+(x0) degli intornidestri di x0 e definito da

F+(x0)def= {U ∩ [x0, +∞[ : U ∈ F(x0)},

e in modo del tutto analogo si definisce il filtro F−(x0) degli intorni sinistri del punto x0.Se U e un qualunque intorno (completo, destro, sinistro) di x0, si dira intorno forato(completo, destro, sinistro) di x0 l’insieme U r {x0}.

Seguono alcuni esempi sullo studio dei punti estremanti dei sottoinsiemi della retta reale:

Esempio 3 Si studino i punti estremali dell’insieme A = {1 + e−n + e−2n|n ∈ N}.Poiche le funzioni y = e−x = ( 1

e)x e y = e−2x = ( 1

e2)x sono decrescenti, il massimo valore dell’insieme A si otterra in

corrispondenza a n = 0, dunque maxA = 3. Cio accade se e solo se

{3 ∈ A3 ≥ A

La prima asserzione e banalmente vera dato che 3 si ottiene in corrispondenza di n = 0. La seconda richiede di studiare ladisequazione 3 ≥ e−n + e−2n, cioe (e−n)2 + e−n − 2 ≤ 0, che puo scriversi anche

(e−n + 2)(e−n − 1) ≤ 0

Quest’ultima e vera se e solo se (e−n − 1) ≤ 0, ovvero quando e−n ≤ 1, dunque per ogni n ∈ N.Poiche y = e−x e y = e−2x sono funzioni i cui valori tendono a zero quando x cresce, ci sia aspetta che sia inf A = 1, ovvero

{1 ≤ A∀ε > 0 ∃a ∈ A : a ≤ 1 + ε

La prima asserzione deriva dal fatto che gli esponenziali e−n e e−2n sono strettamente positivi, inoltre, per il medesimoargomento, si puo dire che 1 non appartiene ad A, dunque il minimo di tale insieme non potra esistere. Per quanto concernela seconda asserzione si prenda ε arbitrario reale positivo e si consideri la disequazione

(D) 1 + e−n + e−2n ≤ 1 + ε,

3 NUMERI REALI 34

che puo scriversi anche(e−n)2 + e−n − ε ≤ 0.

Il discriminante dell’equazione associata alla disequazione e ∆ε = 1 + 4ε, che risulta strettamente positivo. Con semplicimanipolazioni algebriche si prova che una condizione sufficiente e affinche (D) sia soddisfatta e

n ≥ ln

(−1 +

√∆ε

2

).

Pertanto (D) e vera senz’altro per qualche n ∈ N, come volevasi dimostrare.

Esempio 4 Si studino i punti estremali dell’insieme A ={

sen(nπ2

)(1− 1n

)|n ∈ N}

.

Si noti che per x ∈ R la funzione y = 1 − 1x

risulta positiva, crescente e tendente a 1 al crescere di x, inoltre il terminesen(nπ

2) assume periodicamente i valori 0, 1, 0,−1 al crescere di n. Pertanto ci si aspetta che A abbia estremo superiore 1,

estremo inferiore −1. Si osservi ora che∣∣∣∣ sen(nπ

2

)(1−

1

n

)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣ sen(nπ

2

)∣∣∣ · ∣∣∣∣1− 1

n

∣∣∣∣ ≤ 1 ·∣∣∣∣1− 1

n

∣∣∣∣ < 1,

quindi ogni elemento di A e limitato inferiormente da −1 e superiormente da 1, valori che, tenuto conto della disuguaglianzastretta, non possono appartenere all’insieme A.Il punto 1 risulta estremo superiore di A se {

1 ≤ A∀ε > 0 ∃n ∈ A : a ≥ 1− ε

La prima asserzione e gia stata provata col ragionamento precedente. Per quanto concerne la seconda asserzione, si consideriun arbitrario reale positivo ε e si prenda in esame la disequazione

(D) sen(nπ/2)(1− 1/n) ≥ 1− ε,

che per gli n del tipo 1, 5, 9, ..., 4k + 1, ... puo scriversi anche 1− 1n≥ 1− ε, da cui si ottiene

n >1

ε.

Poiche la precedente puo essere soddisfatta da infiniti interi n del tipo 4k + 1, anche la disequazione (D) risulta vera per

qualche n ∈ N, come volevasi dimostrare. Analogamente si prova che −1 e estremo inferiore di A. Naturalmente, per quanto

detto all’inizio della dimostrazione i punto −1 e 1 non possono essere minimo e massimo di A, perche non appartengono a

tale insieme.

Le seguenti proprieta topologiche dei sottoinsiemi della retta reale vengono lasciate comeesercizio:

Esercizio 1 Se A e un aperto allora A{ e chiuso; viceversa se C e chiuso allora A e aperto.

Esercizio 2 Detti IA, DA, FA,◦A, rispettivamente, gli insiemi dei punti isolati, di accumulazione, di frontiera ed interni

dell’insieme A, allora valgono le seguenti relazioni

IA ⊆ FA,◦A ⊆ DA,A = IA ∪ DA,A = FA ∪

◦A.

3 NUMERI REALI 35

Esercizio 3 L’insieme Z dei numeri razionali e denso in R, ovvero per punto ogni x0 ∈ R ed ogni ε > 0, esistera un qualche

razionale q ∈ Q tale che |x0 − q| < ε.

Esercizio 4 Dato un insieme A e una sua limitazione superiore λ > A non appartenente all’insieme, vale la seguenteequivalenza:

λ e di accumulazione per A ⇔ λ = supA.

Esercizio 5 Dati gli insiemi A ={

2 + e−n | n ∈ N0

}e B =

{n2−1n2 | n ∈ N0

}, se ne individuino i punti estremanti. Verifi-

cato che A ≥ B, si determini l’insieme degli elementi separatori delle due classi.

Esercizio 6 Dato l’insieme A ={x2 − 2x− 1 | 3 ≥ x ≥ 0

}si dimostri che maxA = 2 e minA = −2.

Esercizio 7 Dato l’insieme A ={√

1 + 1x2| x 6= 0

}si dimostri che supA = +∞ e inf A = 1.

4 CONTINUITA 36

4 Continuita

In questa sezione viene introdotta una proprieta cruciale delle funzioni reali che prendeil nome di continuita. Si cerchera innanzitutto di dare una nozione intuitiva di cosas’intenda con per continuita. Sia f : D → R una funzione e x0 un punto del suo dominioD. In termini grossolani, si dice che la funzione f e continua nel punto x0 quando, incorrispondenza a punti x opportunamente vicini a x0, i valori y = f(x) possono essereresi arbitrariamente vicini al valore y0 = f(x0). La nozione di vicinanza tra due puntiviene precisata in termini topologici mediante l’uso del concetto d’intorno, giungendo allaseguente formulazione:

Definizione 24 Sia f : D → R una funzione reale e x0 ∈ D, con y0 = f(x0), si dira chela funzione f e continua nel punto x0 se

∀V ∈ F(y0) ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ U ∩D → f(x) ∈ V.

La funzione f si dice continua in D se essa e continua in ogni punto di D. Una funzionebiettiva f si dice omeomeorfismo se e continua, con inversa f−1 anch’essa continua.

Esempio 5 In figura 17 sono riportati i grafici delle funzioni f e g, una continua e l’altra discontinua nel medesimo puntox0. Si noti che per quanto riguarda la funzione g, relativamente all’intorno V di y0 rappresentato in figura, qualunqueintorno U di x0, per quanto piccolo lo si voglia prendere, conterra infiniti punti x > x0 tali che f(x) /∈ V .

x

y

y=f(x)

x0

y0

V

U

x

y

x0

y0

V

U

Figura 17: grafici di una funzione f continua in x0 e di g discontinua in x0

E facile provare che la continuita puo essere espressa anche utilizzando i soli intornicircolari. A questo proposito si presenta, omettendone la facile dimostrazione, la seguentecaratterizzione della continuita:

4 CONTINUITA 37

Proposizione 13 Sia f : D → R una funzione reale e x0 ∈ D. La funzione f e continuanel punto x0 se e solo se

∀ ε > 0 ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ D ∩ U → | f(x)− f(x0)| < ε

A titolo di esempio, viene riportata qui di seguito la dimostrazione della continuita di unafunzione elementare:

Esempio 6 La funzione x 7→ x2 e e continua su R.

Sia dunque x0 un arbitrario punto della retta reale e ε un arbitrario reale positivo. Occorre provare che in corrispondenzaa tale ε esiste un intorno U di x0 tale che per ogni x ∈ U si ha

(D) |x2 − x20| < ε.

Conviene considerare tre casi distinti: x0 = 0, x0 > 0 e x0 < 0. Nel primo caso la disequazione (D) ci da |x2| < ε, cheequivale a |x| <

√ε. Pertanto l’intorno U =]− ε, ε[ soddisfa la richiesta di continuita in 0. Si consideri ora il caso x0 > 0.

La disequazione (D) puo scriversi anchey0 − ε < x2 < y0 + ε.

Senza perdita di generalita si puo supporre ε < y0 = x20, pertanto, prendendo le radici dei membri della precedentedisequazione, si ottiene √

y0 − ε < |x| <√y0 + ε.

In particolare, se x ∈ U =]√y0 − ε,

√y0 + ε[ la disequazione (D) e soddisfatta. Ora e facile verificare che U e intorno di

x0, da cui la continuita in x0. Analogamente si procede nel caso x0 < 0, che viene lasciato al lettore volenteroso.

Un punto x0 del dominio D puo essere isolato o di accumulazione per D. Nei punti isolatidel dominio, le funzioni risultano sempre continue, vale infatti:

Proposizione 14 Una funzione f : D → R e continua in tutti i punti isolati del suodominio D.

Dim. Sia x0 ∈ D punto isolato, esistera dunque un intorno U ∈ F(x0) tale per cuiU ∩D = {x0}. Quindi, in corrispondenza ad un arbitrario ε > 0, si ha che se x ∈ U ∩D,cioe se x = x0, allora |f(x)− f(x0)| = |f(x0)− f(x0)| = 0 < ε, come volevasi dimostrare.

Si osservi che come conseguenza della precedente proposizione segue che una funzione puoessere discontinua solo in un punto di accumulazione del proprio dominio. L’andamentodel grafico della funzione in prossimita dei punti di discontinuita verra studiato in seguitoper studiare uan possibile classificazione delle discontinuita.

4.1 Alcuni teoremi sulle funzioni continue

Un teorema di importanza fondamentale sulle funzioni continue di variabile reale riguardala continuita della composizione di funzioni continue:

4 CONTINUITA 38

Teorema 15 Date due funzioni di variabile reale f e g

Dg−→ E

f−→ Rx0 7−→ y0 7−→ z0

se g e continua in x0 e f e continua in y0 allora f ◦g : D → R e continua in x0. Pertantose f e g sono continue allora f ◦ g e continua.

Dim. Per definizione f ◦ g(x0) = f(g(x0)) = f(y0) = z0, dunque se V e un arbitrariointorno di z0, per continuita di f in y0, esistera un intorno W di y0 tale per cui

y ∈ W ∩ E → f(y) ∈ V.

D’altronde, essendo y0 = g(x0), per continuita della g in x0 esistera un intorno U di x0

tale per cuix ∈ U ∩D → g(x) ∈ W.

Si puo quindi concludere che

x ∈ U ∩D → f(g(x)) ∈ V,

per cui la funzione composta f ◦ g e continua in x0.

Valgono inoltre i seguenti fondamentali risultati sulle funzioni continue:

Teorema 16 [Teorema di limitatezza locale] Se f e continua in x0 ∈ D allora esiste unintorno di x0 in cui f e limitata.

Dim. Siano f(x0) = y0 e V =]y0 − 1, y0 + 1[. L’intervallo V e un intorno di y0, dunque,tenuto conto della continuita di f in x0 esiste un intorno U di x0 tale che

∀x ∈ U ∩D : f(x) ∈ V.

L’intorno V e limitato, pertanto su U ∩D la funzione e necessariamente limitata.

Teorema 17 [Teorema di permanenza del segno] Se f e continua in xo ∈ D e f(x0) =y0 > 0, allora esiste un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩D : f(x) > 0.

Dim. Si consideri l’intorno V di y0 definito ponendo V =]y0 − y0/2, y0 + y0/2[. Poiche fe continua in x0 esistera un intorno U di x0 tale che ∀x ∈ U ∩D : f(x) ∈ V ; si veda aquesto proposito la figura 18. Dato che inf V = y0/2 > 0, in U ∩D la funzione f risultastrettamente positiva.

4 CONTINUITA 39

x

y

y=f(x)

x0

y0

y0−y

0/2

y0+y

0/2 V

U

Figura 18: permanenza del segno di una funzione continua

4.2 Operazioni sulle funzioni continue

Vengono definite di seguito un certo numero di operazioni algebriche sulle funzioni:

Definizione 25 Siano f e g due funzioni reali definite su uno stesso dominio D. Sidefiniscono allora le funzioni

• somma f + g ponendo

(f + g)(x)def= f(x) + g(x);

• prodotto fg ponendo

(fg)(x)def= f(x)g(x);

• opposto −f ponendo

(−f)(x)def= −f(x);

• reciproco 1f

ponendo1

f(x)

def=

1

f(x);

• rapporto fg

ponendo

f

g(x)

def=f(x)

g(x);

• modulo |f | ponendo

|f |(x)def= |f(x)|.

Se le funzioni f e g sono continue, allora sono continue anche tutte le funzioni da loroottenute con le operazioni nella definizione di sopra. Piu precisamente valgono i seguentiteoremi:

4 CONTINUITA 40

Teorema 18 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominioD. La funzione somma f + g e continua su D.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f(x0) e z0 = g(x0). Fissato unarbitrario ε > 0, occorre determinare un intorno U di x0 in cui∣∣(f(x) + g(x))− (y0 + z0)

∣∣ < ε.

Si osservi qui che vale la relazione∣∣f(x) + g(x)− (y0 + z0)∣∣ ≤ |f(x)− y0|+ |g(x)− z0|. (1)

In virtu della continuita di f e g si puo determinare due intorni W1 e W2 di x0 tali chese x ∈ W1 ∩D allora |f(x) − y0| < ε

2e se x ∈ W2 ∩D allora |g(x) − z0| < ε

2. Pertanto,

tenuto conto della eq. 1, per ogni x che appartiene a D e all’intorno U = W1 ∩W2 di x0

si ha ∣∣f(x) + g(x)− (y0 + z0)∣∣ < ε

2+ε

2= ε,

come volevasi dimostrare.

Teorema 19 Siano f una funzione di variabile reale continua sul dominio D. La fun-zione opposto −f e continua su D.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D e si ponga y0 = f(x0). Fissato un arbitrario ε > 0,in virtu della continuita di f in x0 esiste un intorno U tale che se x ∈ D ∩ U si ha|f(x) − y0| < ε che equivale a |(−f(x)) − (−y0)| < ε. Pertanto la funzione opposto −frisulta necessariamente continua in x0.

Teorema 20 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue su un medesimo dominioD. La funzione prodotto fg e continua su D.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D, poniamo y0 = f(x0) e z0 = g(x0). Fissato unarbitrario ε > 0, occorre determinare un intorno U di x0 in cui

|f(x)g(x)− y0z0| < ε.

Si osservi che valgono le relazioni

|f(x)g(x)−y0z0| =∣∣[f(x)−y0]g(x)+[g(x)−z0]y0

∣∣ ≤ |f(x)−y0)| |g(x)|+|g(x)−z0| | y0|. (2)

Per il teorema di limitatezza locale si puo determinare un intorno W0 di x0 in cui |f(x)| ≤M per qualche costante reale M > 0. Sempre in virtu della continuita di f e g si possonodeterminare due intorni W1 e W2 di x0 tali che se x ∈ W1 ∩D allora |f(x)− y0| < ε

2Me

se x ∈ W2 ∩D allora |g(x) − z0| < ε2(|y0|+1)

. Pertanto, tenuto conto della eq. 2, per ognix ∈ D appartenente all’intorno U = W0 ∩W1 ∩W2 di x0 si ha

|f(x)g(x)− y0z0| ≤ εM

2M+ ε

|y0|2(|y0|+ 1)

< ε/2 + ε/2 = ε,

come volevasi mostrare.

4 CONTINUITA 41

Teorema 21 Se f una funzione di variabile reale continua sul dominio D, allora lafunzione modulo |f | e continua su D.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f(x0) 6= 0. Fissato un arbitrario ε > 0,dobbiamo determinare un intorno U di x0 in cui∣∣|f(x)| − |y0|

∣∣ < ε.

In virtu della continuita di f in x0, esiste un intorno U tale che se x ∈ D ∩ U si ha|f(x)− y0| < ε, pertanto, utilizzando una nota disequazione sui valori assoluti, segue∣∣|f(x)| − |y0|

∣∣ ≤ |f(x)− y0| < ε,


Teorema 22 Sia f una funzione di variabile reale continua sul dominio D. La funzionereciproco 1

fe continua su tutti i punti x di D in cui f(x) 6= 0.

Dim. Sia x0 punto arbitrario in D in cui y0 = f(x0) 6= 0. Fissato un arbitrario ε > 0,occorre determinare un intorno U di x0 in cui∣∣∣∣ 1

f(x)− 1

y0

∣∣∣∣ < ε.

Si osservi che valgono le relazioni∣∣∣∣ 1

f(x)− 1

y0

∣∣∣∣ =|f(x)− y0||y0||f(x)|

. (3)

La funzione |f | e continua in x0, quindi per il teorema di permanenza del segno si puodeterminare un intorno W0 di x0 in cui |f(x)| ≥ |y0|/2 > 0 . Sempre in virtu dellacontinuita di f si puo determinare un intorno W1 tale che se x ∈ W1∩D allora |f(x)−y0| <ε|y0|2/2. Pertanto, tenuto conto della eq. 3, per ogni x ∈ D appartenente all’intornoU = W0 ∩W1 di x0 si ha ∣∣∣∣ 1

f(x)− 1

y 0

∣∣∣∣ < ε|y0|2/2|y0||y0|/2

= ε,

come volevasi mostrare.

Come immediato corollario dei precedenti teoremi, segue che le operazioni di differenza ereciproco trasformano funzioni continue in funzioni continue. Qui di seguito l’enunciatodel teorema, la cui facile dimostrazione viene lasciata al volenteroso lettore.

Teorema 23 Siano f e g due funzioni di variabile reale continue sul medesimo dominioD. La funzione differenza f − g e continua su D e la funzione rapporto f

ge continua su

tutti i punti x di D in cui g(x) 6= 0.

4 CONTINUITA 42

4.3 Continuita delle funzioni elementari

Si dimostra ora la continuita delle principali funzioni reali:

Proposizione 24 Ogni funzione costante e continua sul proprio dominio.

Dim. Sia χ : x 7→ k funzione costante su D. Se x0 e un arbitrario punto nel dominio D eV un qualunque intorno di k = χ(x0) si avra che χ(x) = k ∈ V per ogni x ∈ D. Pertantoqualunque intorno U di x0 verra mappato in V .

Proposizione 25 La funzione identita e continua sul proprio dominio.

Dim. Sia id : x 7→ x la funzione identita su D. Sia x0 un punto qualunque di D e Vun arbitrario intorno dell’immagine id(x0) = x0. Evidentemente l’intorno U = V di x0 emappato dalla funzione χ in V , come volevasi dimostrare.

Proposizione 26 Una funzione polinomiale reale p(x) = anxn+ · · ·+a1x+a0 e continua

su R.

Dim. Si osservi che la funzione x 7→ amxm con m ≥ 1 e ottenuta come prodotto della

funzione costante x 7→ am per m volte la funzione identita x 7→ x, pertanto e una funzionecontinua. La funzione p(x) e quindi continua essendo somma di funzioni continue.

Proposizione 27 Le funzioni trigonometriche sen(·) e cos(·) sono continue su R.

Dim. Si dimostra questa proprieta solo per la funzione sen(·), essendo del tutto analogoil procedimento per la funzione cos(·). Si richiama qui un’importante disuguaglianza veraper ogni x ∈ R: | senx| ≤ |x|. Da questa relazione e dalle note formule di prostaferesi sipossono scrivere le seguenti relazioni:

| senx− senx0| =∣∣∣∣2 cos

(x+ x0

2

)sen

(x− x0

2

)∣∣∣∣ =

= 2

∣∣∣∣cos

(x+ x0

2

)∣∣∣∣ ∣∣∣∣ sen

(x− x0

2

)∣∣∣∣ ≤ 2 · 1 · |x− x0|2

≤ |x− x0|.

Da cio risulta evidente che qualunque sia l’intorno V di y0 = senx0, si puo determinareun intorno U di x0 sufficientemente piccolo di modo che per ogni x ∈ U sia senx ∈ V .

Proposizione 28 Le funzioni trigonometriche tg (·) e ctg (·) sono continue sui lorodomini.

4 CONTINUITA 43

Dim. Le funzioni in esame, come noto, sono rapporto delle funzioni continue sen(·) ecos(·), pertanto, in virtu del teorema 23, sono continue sul proprio dominio.

Proposizione 29 La funzione esponenziale x 7→ ex e continua su R.

Dim. Sia x0 un arbitrario punto in R e si ponga y0 = ex0 . Preso un qualunque ε > 0occorre dimostrare che esiste un intorno U di x0 tale che |ex − y0| < ε. La disequazionesopra puo essere scritta

−ε < ex − y0 < ε,

cioey0 − ε < ex < y0 + ε.

Senza perdita di generalita si puo supporre che ε < y0, pertanto i termini della precedentecatena di disequazioni sono positivi, ed applicando ad essi la funzione crescente ln siottiene

ln(y0 − ε) < x < ln(y0 + ε).

Sia ora U =] ln(y0 − ε), ln(y0 + ε)[. E immediato costatare che x0 risulta elemento di U .Pertanto U e un intorno di x0 soddisfacente la condizione che se x ∈ U allora |ex−ex0| < ε,come volevasi dimostrare.

Per quanto riguarda le piu comuni funzioni inverse, invece di fornire una dimostrazionediretta, ci si rifa ad un noto risultato che verra presentato piu avanti nella sezione dedicataalle funzioni continue definite su intervalli. Vale il seguente teorema:

Proposizione 30 La funzioni inverse m√·, arcsin(·), arccos(·), arctg (·), arctg (·), ln(·)

sono continue sui loro dominii.

Dim. Le funzioni in esame sono inverse di funzioni continue e monotone definitesu intervalli della retta reale, pertanto, in virtu del teorema 60, risultano continue suirispettivi dominii.

5 LIMITI 44

5 Limiti

In questo capitolo viene introdotto un concetto fondamentale nell’analisi infinitesimale: illimite. Questo, come si vedra tra breve, e strettamente legato al problema dell’esistenza diun’estensione continua di una funzione. Prima di addentrarsi nei dettagli della definizione,si richiama qui il concetto di estensione di una funzione:

Definizione 26 Sia f : D → R una funzione, x0 un punto della retta reale non appar-tenente a D, ` un qualunque numero reale. Sia ora la funzione f definita su D ∪ {x0}ponendo

f(x) =

{f(x) x ∈ D e x 6= x0,

` se x = x0.

La funzione f verra detta estensione o, equivalentemente, prolungamento della funzionef nel punto x0 con il valore `.

Data una funzione f : D → R e un punto x0 non appartenente a D, ci si puo porre ilseguente quesito:

si puo estendere la funzione f nel punto x0 assegnandole un opportunovalore ` di modo che l’estensione f risulti continua in x0?

x

y

x0

lV

U

x

y

x0

V

U

f(x0)

Figura 19: esempio di estensione continua di una funzione f in x0

5 LIMITI 45

5.1 Definizione di limite

Come osservato nella sezione sulle funzioni continue, se x0 e un punto isolato nel nuovodominio D ∪ {x0}, un qualunque valore ` potra rendere continua in x0 l’estensione f .Pertanto il caso in cui x0 risulta isolato nel dominio e ben poco interessante.

Se invece x0 e un punto di accumulazione per D, si puo dimostrare che tale estensionecontinua in x0 esiste solo per certe funzioni, come quella il cui grafico e riportato infigura 19. Per le funzioni prolungabili per continuita, tuttavia, esiste un’unica estensionecontinua. In altre parole, se e possibile estendere per continuita la funzione f in x0, allorail valore ` che dobbiamo assegnarle in x0 e necessariamente unico. Vale quindi il seguenteteorema:

Teorema 31 Data una funzione f : D → R e un punto x0 di accumulazione per D, seesiste un numero reale ` tale che la funzione f definita ponendo

f(x) =

{f(x) x ∈ D e x 6= x0,

` se x = x0,

sia continua in x0, allora tale valore e unico e prende il nome di limite di f(x) al tenderedi x a x0 e si scrive

limx→x0

f(x) = `.

Dim. Si supponga per assurdo che vi siano due distinti valori `1 e `2 che estendano f percontinuita nel punto x0, e si indichino con f1 e f2 le due rispettive estensioni.

Dato che R e separato e `1 6= `2, si possono scegliere due intorni disgiunti V1 e V2

rispettivamente di `1 e `2 in corrispondenza ai quali, esisteranno due intorni U1 e U2 dix0 tali per cui

x ∈ D ∩ U1 → f1(x) ∈ V1,

x ∈ D ∩ U2 → f2(x) ∈ V2.

La situazione e rappresentata nella figura ac-canto. L’insieme U = U1 ∩ U2, intersezionedi intorni di x0, e intorno di x0. Siccome x0

e di accumulazione per D dovra esistere nel-l’intorno U qualche punto z appartenente aldominio D tale che z 6= x0. Ma allora do-vrebbe valere simultaneamente le condizionif1(z) = f(z) ∈ V1 e f2(z) = f(z) ∈ V2, incontraddizione con V1∩V2 = ∅. Cio concludela dimostrazione.

x

y

y=f(x)

x0

l1

V1

U1

z

l2

V2

U2

E importante osservare che la precedente dimostrazione continua a valere anche nel casoin cui il punto x0 e elemento del dominio D della funzione f . In tal caso, piuttosto che

5 LIMITI 46

ad un’estensione, sarebbe opportuno riferirci a f come alla funzione ottenuta da f ridefi-nendone con ` il valore da essa assunto in x0. A parte questa precisazione terminologica,il fatto cruciale e che il valore assunto eventualmente in x0 dalla funzione f non influenzain alcun modo ne l’esistenza, ne il valore dell’eventuale limite in x0.

Questo fatto appare con maggior chiarezza nella seguente caratterizzazione1 del con-cetto di limite:

Teorema 32 Il limite limx→x0

f(x) esiste e vale ` ∈ R se e solo se

∀ V ∈ F(`) ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f(x) ∈ V (4)

Dim. La dimostrazione e banale, infatti, se f e ottenuta da f ponendo f(x0) = `, perogni x 6= x0 vale l’uguaglianza

|f(x)− f(x0)| = |f(x)− `|,

inoltre il primo membro e nullo per x = x0. Pertanto, la continuita di f in x0, equivalealla relazione in equazione 4.

La Eq. 4 puo essere equivalentemente riformulata con intorni circolari:

Proposizione 33 Sono equivalenti alla proposizione in Eq. 4 le seguenti proposizioni:

∀ ε > 0 ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → |f(x)− `| < ε (5)

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x ∈ D − {x0} ∧ |x− x0| < δ → |f(x)− `| < ε (6)

Introdotto il concetto di limite, e necessario stabilire se esso esiste per qualsiasi funzione epunto di accumulazione. La risposta e negativa, come si scoprira nel successivo esempio.

1Questa caratterizzazione e spesso assunta come definizione di limite nelle trattazioni in cui il concettodi limite precede quello della continuita.

5 LIMITI 47

Esempio 7 La funzione f : R→ R definita ponendo

f(x) =

{1 x < 0,

−1 x > 0.

non puo essere in alcun modo estesa per continuita in 0.

Si supponga per assurdo che esista

limx→0

f(x) = `.

E facile intuire che vi sono due sole possibilita per il limite: ` = 1oppure ` = −1, e, senza perdita di generalita, si supponga che sia` = 1. Secondo la definizione in Eq. 5, in corrispondenza al valoreε = 1/2 deve esistere un intorno U ∈ F(0) tale per cui

se x ∈ U−{0} allora |f(x)− 1| < 1/2.

Nell’intorno U dovranno cadere sia numeri negativi che positivi. Per ivalori x < 0 la disequazione e soddisfatta avendosi |f(x)−1| = |1−1| =0 < 1/2. Viceversa, per x > 0 si ha |f(x)− 1| = | − 1− 1| = 2 > 1/2,in contraddizione con l’ipotesi d’esistenza del limite.

x

y

x0

l

l−ε

l+εV

U

Dalla definizione di limite discende immediatamente la seguente caratterizzazione dellacontinuita2

Teorema 34 Data una funzione reale f definita su D, x0 punto di accumulazione di D,allora

f continua in x0 ⇔ limx→x0

f(x) = f(x0).

Dim. La dimostrazione e banale. Se la funzione f e continua in x0, in tale punto l’unicovalore che la rende continua e proprio f(x0), quindi deve essere f(x) → f(x0). D’altraparte, se f(x) → f(x0), significa che il valore che renderebbe f continua in x0 e propriof(x0), quindi f e gia continua in x0.

2Questa caratterizzazione e spesso assunta come definizione di continuita nelle trattazioni in cui ilconcetto di limite precede quello della continuita.

5 LIMITI 48

5.2 Limiti a destra e a sinistra

In questa sezione si vogliono estendere i concetti di continuita e limite in modo da disporredi strumenti piu acuminati per studiare il comportamento di funzioni in prossimita deipunti di accumulazione. S’introducono innanzitutto la continuita a destra e a sinistra inun punto:

Definizione 27 Sia f una funzione definita su un dominio D e x0 un punto del dominio.Ripartito il dominio negli insiemi

D− = {x ∈ D | x ≤ x0}, D+ = {x ∈ D | x ≥ x0},

si dira che

f e continua a sinistra in x0def⇔ f |D− e continua in x0;

f e continua a destra in x0def⇔ f |D+ e continua in x0.

E facile rendersi che possono esservi funzioni discontinue che sono continue solo a destrao solo a sinistra, oppure ne a destra e ne a sinistra; si vedano a tal proposito i graficiriportati in figura 20. Tuttavia, se in un punto una funzione e continua sia a destra sia asinistra, necessariamente lı essa deve essere continua in senso ordinario; vale infatti:

Proposizione 35 Sia f una funzione definita su un dominio D e x0 un punto del domi-nio, allora

f e continua in x0 ⇔ f e continua a destra e a sinistra in x0

Dim. Direttamente dalla definizione di continuita, si osservi che che se U e un intorno dix0 allora

D ∩ U = (U ∩D−) ∪ (U ∩D+),

pertanto, verificare la relazione |f(x)−f(x0)| < ε per ogni x ∈ U∩D, equivale a verificarlaper ogni x ∈ U ∩D+ relativamente alla restrizione f+ ed ogni x ∈ U ∩D− relativamentea f−, come volevasi dimostrare.

Dalle nozioni di continuita a sinistra e a destra in un punto, seguono le analoghe nozionidi limite destro e di limite sinistro.

Definizione 28 Data una funzione f : D → R e un punto x0 di accumulazione per D,

analogamente a quanto fatto per la continuita a destra e a sinistra, siano D−def= {x ∈

D | x ≤ x0} e D+ def= {x ∈ D | x ≥ x0}. Qualora x0 sia di accumulazione per D+, si

dira limite destro della funzione f per x→ x0, il limite della funzione f |D+ per x→ x0.In simboli, la definizione puo essere scritta

limx→x+0

f(x)def= lim

x→x0f |D+(x).

5 LIMITI 49

Se x0 e di accumulazione per D−, si puo definire in modo analogo il limite sinistrodella funzione f per x→ x0. In questo caso, la definizione e

limx→x−0

f(x)def= lim

x→x0f |D−(x).

Il legame tra limiti e continuita stabilito nel teorema 34, si estende immediatamente aglianaloghi concetti di continuita e limite a destra e a sinistra:

Teorema 36 Data una funzione f con dominio D e x0 ∈ D, valgono le seguenti carat-terizzazioni:

f e continua a destra in x0 ⇔ limx→x+0

f(x) = f(x0),

f e continua a sinistra in x0 ⇔ limx→x−0

f(x) = f(x0).

In virtu del teorema 35, si puo quindi affermare che se f(x) tende a ` al tendere di x a x0,allora esistono anche il limiti destro e sinistro in x0 ed entrambi valgono `, e viceversa.Vale quindi la seguente proposizione:

Proposizione 37 Data una funzione f : D → R e un punto x0 ∈ R di accumulazioneper D− e D+, valgono le seguenti relazioni di limite

limx→x0

f(x) = ` ⇐⇒ limx→x−0

f(x) = limx→x+0

f(x) = `.

5 LIMITI 50

Si consideri ora una funzione f : D → R discontinua in un punto x0 del suo dominio. Lostudio del limite destro `+ e sinistro `− in x0 determina varie tipologie di discontinuita,esemplificate nei grafici in figura 20, che possono essere classificate come segue:

• I limiti `+ e `− esistono entrambi finiti e sono coincidenti: in questo caso si dice chein x0 vi e una discontinuita eliminabile o di prima specie.

• I limiti `+ e `− esistono entrambi finiti ma distinti: in questo caso si dice che in x0

vi e una discontinuita non eliminabile di tipo salto o di seconda specie.

• Almeno uno dei due limiti e infinito o non esiste: in questo caso si parla di di-scontinuita non eliminabile di terza specie.

x

y

x0

l− = l+

y0

y=f(x)

x

y

x0

l− = y0

l+

y=g(x)

x

y

x0

l−=y0

l+=+∞

y=h(x)

x

y

x0

l−=y0

y=i(x)

Figura 20: discontinuita di prima specie (f), di seconda specie (g) e di terza specie (h, i)

5 LIMITI 51

5.3 Operazioni e teoremi sui limiti

Inizia ora la rassegna dei principali risultati sui limiti con una coppia di importanti teoremidi cambiamento di variabile:

Teorema 38 (Teorema di cambiamento della variabile dipendente) Siano f e gdue funzioni di variabile reale che mappano

Dg−→ E

f−→ R.

Se esiste limx→x0

g(x) = ` e la funzione f e continua nel punto ` ∈ E, allora valgono le

seguenti relazioni di limite

limx→x0

f ◦ g(x) = f

(limx→x0

g(x)

)= f(`).

Dim. La funzione g definita ponendo

g(x) =

{` se x = x0,

g(x) altrimenti

risulta continua in x0 per definizione di limite. La funzione f ◦ g e pertanto continua inx0 essendo composizione di funzioni continue. Quindi

limx→x0

f ◦ g(x) = f ◦ g(x0) = f(`),

da cui si ottienelimx→x0

f ◦ g(x) = limx→x0

f ◦ g(x) = f(`).

Teorema 39 (Teorema di cambiamento della variabile indipendente) Siano f eg due funzioni di variabile reale che mappano

Dg−→ E

f−→ R.

Sia inoltre g omeomorfismo, cioe g e continua con inversa g−1 continua, e x0 di accumu-lazione per D. Posto y0 = g(x0), vale l’equivalenza

limy→y0

f(y) = ` ↔ limx→x0

f ◦ g(x) = `,

nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Valgono inoltre i seguenti teoremi:

5 LIMITI 52

Teorema 40 Se limx→x0

f(x) = 0 e g e limitata in un intorno di x0, allora

limx→x0

fg(x) = 0.

Dim. Per ipotesi g e localmente limitata, pertanto esistono un intorno U e una costanteM > 0 tali che per ogni x ∈ U0 e x 6= x0 si ha |g(x)| < M . Inoltre, dato chelimx→x0 f(x) = 0, in corrispondenza ad un arbitrario ε > 0 e possibile determinare unintorno U1 di x0 tale che per ogni x ∈ U1 e x 6= x0 sia |f(x)| < ε/M . Pertanto, postoU = U0 ∩U1, si ha che se x ∈ U e x 6= x0 allora |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| < ε/M ·M = ε.Cio conclude la dimostrazione.

Vale anche il seguente teorema di permanenza del segno, la cui semplice dimostrazionelasciamo come esercizio al lettore, essendo essa pressoche identica a quella dell’analogoteorema 17 dimostrato per le funzioni continue:

Teorema 41 (Teorema di permanenza del segno) Se per una funzione f si ha

limx→x0

f(x) > 0,

allora esiste un intorno U di x0 tale che

x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 −→ f(x) > 0.

x

y

x0

l

l−l/2

l+l/2V

U

f(x0)

x0

l

l−l/2

l+l/2V

U

f(x0)

Figura 21: teorema di permanenza del segno

5 LIMITI 53

Un teorema d’importanza cruciale nel calcolo di molti limiti e il seguente:

Teorema 42 (Teorema del confronto) Siano f, g, h tre funzioni reali tali che in unintorno di x0, eccettuato al piu x0, sia: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se limx→x0 f(x) =limx→x0 h(x) = `, allora limx→x0 g(x) = `.

Dim. Sia V un arbitrario intorno circolare di `. In corrispondenza a V per ipotesi epossibile determinare due intorni U1 e U2 di x0 tali che

x ∈ U1 ∧ x 6= x0 → f(x) ∈ V,

x ∈ U2 ∧ x 6= x0 → h(x) ∈ V.

L’insieme U = U1∩U2, poiche intersezione diintorni di x0, e intorno di x0; inoltre, senzaperdita di generalita, si puo assumere che sex ∈ U r {x0} si ha f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).Pertanto, se x ∈ U , eccettuato al piu x0, siavra f(x) ∈ V e h(x) ∈ V . L’intorno V eun intervallo, quindi contiene tutti i valoricompresi tra f(x) e h(x); avendo fatto l’i-potesi che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) dovra essereg(x) ∈ V . Si e dunque provato che esiste unintorno U di x0 tale che

x ∈ U ∧ x 6= x0 −→ g(x) ∈ V.

Cio conclude la dimostrazione del teorema.

x

y

y=h(x)

y=g(x)

y=f(x)

x0

lV

U

5 LIMITI 54

Dai teoremi delle operazioni sulle funzioni continue si deduce immediatamente:

Teorema 43 Siano f e g due funzioni reali e si supponga che

limx→x0

f(x) = `, limx→x0

g(x) = m.

Valgono allora le seguenti relazioni di limite:

limx→x0

(f + g)(x) = `+m;

limx→x0

(fg)(x) = `m;

limx→x0

−f(x) = −`;

limx→x0

1

g(x)=

1

m(purche m 6= 0);

limx→x0

f(x)

g(x)=

`

m(purche m 6= 0);

limx→x0

|f(x)| = |`|.

5.4 Estensioni della retta reale

La necessita di studiare il comportamento asintotico delle funzioni porta a considerareun ampliamento topologico di R che permetta di dare un senso a limiti in cui la varia-bile indipendente tende all’infinito. A questo proposito sono comunemente usate diverseestensioni della retta reale. In questa trattazione viene presentata l’estensione ottenutaaggiungendo alla retta reale i simboli +∞ e −∞. Piu precisamente si considera l’insieme

R def= R ∪ {+∞,−∞},

in cui si pone per definizione ∀x ∈ R : x < +∞ e ∀x ∈ R : −∞ < x. L’estensionetopologica si ottiene assegnando il filtro degli intorni dei due nuovi punti +∞ e −∞:

F(+∞)def= {U ⊆ R | ∃M > 0 : [M,+∞] ⊆ U}

e

F(−∞)def= {U ⊆ R | ∃M > 0 : [−∞,−M ] ⊆ U}.

5 LIMITI 55

Questa estensione R e ancora uno spazio separato, totalmente ordinato, ma perde lastruttura algebrica di corpo. Come e facile provare, ad esempio, non si possono definirein maniera coerente l’inverso di +∞ od operazioni algebriche del tipo x · (+∞). Tuttavia,al prezzo di questa rinuncia, si possono estendere le definizioni di continuita e limite afunzioni definite su R a valori in R.

Una prima proprieta topologica della retta estesa e espressa dalla seguente proposizione,la cui facile dimostrazione e qui omessa:

Proposizione 44 Dato un insieme D superiormente (risp. inferiormente) illimitato inR, allora D, pensato come sottoinsieme dell’estensione R, ammette +∞ (risp. −∞) comepunto di accumulazione.

Data una funzione f : D → R il cui dominio D e superiormente (risp. inferiormente)illimitato, e possibile dare un significato alla scrittura limx→x0 f(x) = `, con ` finito,anche per x0 = +∞ (risp. x0 = −∞). Per la Prop. 44 risulta che +∞ e di accumulazioneper il dominio, dunque per definizione di limite si ha

limx→+∞

f(x) = `def⇐⇒ ∀ V ∈ F(`) ∃ U ∈ F(+∞) : x ∈ D ∩ Ur{+∞} → f(x) ∈ V.

Senza perdita di generalita, sostituendo all’intorno V di ` un intorno circolare e all’intornoU di +∞ una semiretta del tipo [M,+∞], si ottiene la seguente definizione operativa:

limx→+∞

f(x) = `def⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃M > 0 : x ∈ D ∧ x > M → |f(x)− `| < ε.

Analogamente, per x→ −∞, si avra

limx→−∞

f(x) = `def⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃M > 0 : x ∈ D ∧ x < −M → |f(x)− `| < ε.

Sinora si e considerato il caso in cui il limite ` e finito. Tuttavia nella retta reale estesa sipuo dare significato anche al caso in cui il valore del limite ` e +∞ o −∞. La definizione,in sostanza, e sempre la medesima:

limx→x0

f(x) = +∞ def⇐⇒ ∀ V ∈ F(+∞) ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f(x) ∈ V.

Senza perdita di generalita, sostituendo all’intorno V di +∞ una semiretta del tipo[M,+∞], si ottiene la seguente caratterizzazione operativa per i limiti infiniti:

limx→x0

f(x) = +∞⇐⇒∀M > 0 ∃ U ∈ F(x0) : x ∈ D ∩ U ∧ x 6= x0 → f(x) > M.

Infine, si possono considerare anche limiti in cui sia il valore x0 che il limite ` sono infiniti.Operando come nei casi precedenti, dalla definizione di limite si ottengono le seguenti

5 LIMITI 56

caratterizzazioni

limx→+∞

f(x) = +∞ def⇐⇒ ∀M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x > N)→ f(x) > M,

limx→−∞

f(x) = +∞ def⇐⇒ ∀M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x < −N)→ f(x) > M,

limx→+∞

f(x) = −∞ def⇐⇒ ∀M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x > N)→ f(x) < −M,

limx→−∞

f(x) = −∞ def⇐⇒ ∀M > 0 ∃ N > 0 : (x ∈ D ∧ x < −N)→ f(x) < −M.

Spesso risulta comoda un’altra estensione della retta reale in cui si considera l’insieme:

R def= R ∪ {∞}.

La struttura topologica si ottiene in questo caso definendo come intorno di ∞ qualunqueinsieme che contenga una coppia di semirette di verso opposto del tipo ] − ∞,−M [ e[M,+∞[, cioe, in formule,

F(∞)def= {U ⊇ R | ∃M > 0 : |x| > M → x ∈ U}.

Ad esempio in R non esiste il limite

limx→0

1

x,

che invece esiste nell’estensione R in cui e facile provare che

limx→0

1

x=∞.

Verra ora presentato un risultato molto utile sui limiti delle funzioni monotone:

Teorema 45 (Limite di una funzione monotona) Sia f una funzione monotona de-bolmente crescente (risp. decrescente) definita su un intervallo I della retta reale e siaf(I) l’immagine di f . Posto x0 = sup(I) e ` = sup(f(I)) allora vale

limx→x0

f(x) = `,

eventualmente nella topologia estesa R, se uno o entrambi x0 e ` sono infiniti.

Dim. Si considera qui per semplicita solo il caso in cui x0 e ` sono entrambi finiti. Si fissidunque un arbitrario ε > 0. In base alla definizione di estremo superiore di f(I) dovraesistere un qualche y ∈ f(I) tale che ` ≥ y > ` − ε. Dato che y appartiene all’insiemeimmagine dovra esistere x ∈ I tale che y = f(x), pertanto ` ≥ f(x) > ` − ε. Datoche f e debolmente crescente e il punto x0 e l’estremo superiore di I allora per ognix ∈]x, x0[ si avra ` ≥ f(x) ≥ f(x) > `− ε, da cui |f(x)− `| < ε. Siano ora δ = x0 − x eU =]x0 − δ, x0 + δ[, allora per quanto visto sopra si ha che se x ∈ U ∩ I ∧ x 6= x0 allora|f(x)− `| < ε, come volevasi provare.

5 LIMITI 57

5.5 Limiti notevoli

In questa sezione vengono presentati due gruppi di limiti fondamentali di forme indeter-minate. Il primo gruppo e riconducibile al seguente teorema:

Teorema 46 Sussiste il seguente limite

limx→0

senx

x= 1.

Dim.

Dalla costruzione delle funzioni circolari efacile dedurre che se x ∈]− π/2, π/2[ allora

| senx| ≤ |x| ≤ | tg x|. (7)

Infatti, nel caso π/2 > x > 0, in accordo allafigura qui a fianco, valgono le seguenti ugua-glianze: senx = HP , tg x = AT ,

x =_

AP , e ovviamente vale la seguentecatena di diseguaglianze:

HP <_

AP < AT.

Il caso in cui x e negativo deriva dal pre-cedente ricordando che tg x e senx sonofunzioni dispari.

x

y

x

A

T

H

P

Considerando i reciproci di ciascun termine nella catena eq. 7 ( con x 6= 0) si ottiene

1

| senx|≥ 1

|x|≥∣∣∣ cosx

senx

∣∣∣,quindi, moltiplicando tutto per | senx|, si deduce

1 ≥∣∣∣ senx

x

∣∣∣ ≥ |cosx| .

Tenuto conto che i termini entro i valori assoluto sono positivi, si puo infine scrivere

1 ≥ senx

x≥ cosx.

La conclusione viene dal teorema del confronto, osservato che per continuita cos x tendea 1 al tendere di x a 0.

Ricordando che tg x =senx

cosx, e la continuita di cos, segue immediatamente:

5 LIMITI 58

limx→0

tg x

x= 1

In un intorno di 0, escluso x = 0, valgono le seguenti uguaglianze

1− cosx

x2=

1− cosx

x2· 1 + cos x

1 + cos x=

sen2x

x2· 1

1 + cos x=( senx

x

)2

· 1

1 + cos x,

pertanto, facendo tendere x a 0, si ottiene il seguente limite:

limx→0

1− cosx

x2=

1

2Tenuto conto x 7→ seny e x 7→ tg y stabiliscono omeomorfismi dal dominio ]π/2, π/2[ai codomini ] − 1, 1[ e R rispettivamente, dai limiti precedenti, mediante il teorema dicambiamento della variabile indipendente, seguono immediatamente:

limx→0

arcsen x

x= 1 e lim

x→0

arctg x

x= 1.

Il secondo gruppo di limiti deriva invece dal seguente teorema:

Teorema 47 Esiste finito il limite

limn→+∞

(1 +

1

n

)n= e.

La costante e risulta compresa nell’intervallo ]2, 3[ e prende il nome di numero di Neperoo di Eulero.

Dim. Innanzitutto si prova che la successione di termine generale an = (1 + 1n)n e

crescente. Sviluppando il binomio, si ottiene

an = 1 +

(n

1

)1

n+ · · ·+

(n

n

)1

nn= 2 +

1

2!

n(n− 1)

n2+ · · ·+ 1

n!

n(n− 1)(n− 2) . . . 1

nn=

= 2 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ · · ·+ 1

n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

)Pertanto an risulta somma di n addendi che vengono indicati con

φn0 = 2,

φn1 =1

2!

(1− 1

n

),

φn2 =1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

),

. . .

φnn−1 =1

n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

).

5 LIMITI 59

E immediato costatare che φnk ≤ φn+1k per ogni k = 0, . . . , n− 1, pertanto

an+1 = φn+10 + · · ·+ φn+1

n ≥ φn+10 + · · ·+ φn+1

n−1 ≥ φn0 + · · ·+ φnn−1 = an.

Questo argomento prova che n 7→ an e una successione monotona crescente. Inoltrevalgono le seguenti relazioni

φn1 ≤1

2!≤ 1

2,

φn2 ≤1

3!≤ 1

22,

. . .

φnn−1 ≤1

n!≤ 1

2n−1,

pertanto, ricordando la formula per la somma delle successioni geometriche riportata inprop. 5), si ha

an ≤ 2 +1

2

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

2n−1

)= 2 +

1

2·

1− 1

2n−1

1− 1

2

= 3− 1

2n−1< 3.

Cio prova che la successione n 7→ an e monotona e superiormente limitata, dunque l’in-sieme {an | n ∈ N} ammette estremo superiore finito, che si indica con il simbolo e. Peril teorema sul limite di una funzione monotona crescente si ha

limn→+∞

an = supn∈N{an},

da cui seguelim

n→+∞an = e,


Si vuole ora provare che la funzione n 7→ an puo essere naturalmetne estesa sui numerireali dell’insieme ] − ∞, −1[∪]0, +∞[ e anche tale estensione converge alla costante equanto x tende all’infinito. Si ha infatti:

Teorema 48 Vale il seguente limite:

limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e.

Dim. Si consideri innanzitutto il caso in cui x → +∞. Senza perdita di generalita sipuo considerare x > 0. Sia [x] la parte intera di x, e sia an = (1 + 1

n)n. Valgono allora le

seguenti disequazioni(1 +

1

x

)x≤(

1 +1

[x]

)x≤(

1 +1

[x]

)[x]+1

=

(1 +

1

[x]

)a[x]

5 LIMITI 60

e (1 +

1

x

)x≥(

1 +1

[x] + 1

)x≥(

1 +1

[x] + 1

)[x]

=a[x]+1(

1 + 1[x]+1

) .Quindi si ha

[x] + 1

[x] + 2a[x]+1 ≤

(1 +

1

x

)x≤ [x] + 1

[x]a[x].

Per il teorema 47, al tendere di x a +∞, le funzioni a[x]+1 e a[x] tendono alla costante e,inoltre

limx→+∞

[x] + 1

[x] + 2= lim

x→+∞

[x] + 1

[x]= 1.

Pertanto, in virtu del teorema del confronto, anche il termine centrale della precedentecatena di disequazioni dovra tendere alla costante e.Il caso x→ −∞ puo essere ricondotto al precedente mediante il cambiamento di variabileindipendente indotto dall’omeomorfismo y = −x. La facile verifica di quest’affermazioneviene lasciata al lettore.

Ponendo y =1

xsi ha

(1 + x)1x =

(1 +

1

y

)y,

da cui, in virtu del teorema del cambiamento della variabile indipendente, segue il seguentelimite

limx→0

(1 + x)1x = e.

Dalle regole dei logaritmi, segue l’identita

ln(1 + x)1x =

1

xln(x+ 1),

pertanto, tenuto conto della continuita di ln, vale il seguente limite

limx→0

ln(x+ 1)

x= 1.

Infine, ponendo y = ex − 1, che equivale a x = ln(y + 1), si ha

ex − 1

x=

y

ln(y + 1),

pertanto, in virtu del teorema di cambiamento della variabile indipendente, vale il seguentelimite

limx→0

ex − 1

x= 1

6 INFINITESIMI ED INFINITI 62

6 Infinitesimi ed infiniti

In questa sezione si vuole confrontare il comportamento di quelle funzioni che tendono a0, chiamate infinitesimi, e di quelle che tendono a infinito, chiamate infiniti. Lo studiodei limiti porta spontaneamente a stabilire gerarchie tra gli infiniti e tra gli infinitesimi.Ad esempio, e intuitivo supporre che al tendere di x a +∞ il polinomio x2 + x tenderaad infinito con un comportamento che e prevalentemente determinato dal monomio digrado maggiore x2, la cui crescita e piu veloce di quella di x. Per precisare questi con-cetti vengono introdotte opportune relazioni tra infiniti ed infinitesimi e dimostrati unaserie di teoremi che consentono di semplificare notevolmente lo studio di alcune formeindeterminate di limite.E possibile introdurre vari tipi di relazioni, alcune molto raffinate, per confrontare tra lorogli infinitesimi gli infinitesimi. Qui si presentera solo quella piu comune, qui di seguitointrodotta:

Definizione 29 Date due funzioni α e β definite suo stesso dominio D e infinitesimeper x tendente a x0, si dira che α e infinitesimo di ordine superiore a β quando

limx→x0

α(x)

β(x)= 0;

si dira che α ha stesso ordine di infinitesimo di β quando

limx→x0

α(x)

β(x)= K finito e non nullo;

si dira infine che α e infinitesimo equivalente a β quando

limx→x0

α(x)

β(x)= 1.

Se α e infinitesimo di ordine superiore a β scriveremo α = o(β), che si legge α e “opiccolo” di β. Se α e equivalente a β scriveremo invece α ∼ β.

Occorre qui osservare che, rispetto alla relazione introdotta, non tutte le coppie di infini-tesimi sono tra loro confrontabili. Si prendano ad esempio gli infinitesimi x e x senx, ilcui limite del rapporto non esiste al tendere di x a 0.Risultano particolarmente utili nel calcolo dei limiti le seguenti equivalenze per x tendentea 0:

x ∼ senx ∼ tg x ∼ arcsen x ∼ arctg x ∼ ln(x+ 1) ∼ (ex − 1).

Infatti si vedra poco oltre che vale un principio che permette di sostituire nel calcolo deilimiti gli infinitesimi o gli infiniti tra loro equivalenti.

Anche per le funzioni che tendono all’infinito si puo introdurre una analoga relazione chepermetta un confronto delle velocita con cui crescono (decrescono) gli infiniti3:

3Occorre qui precisare che la nozione di “o grande” appena introdotta, differentemente da quella di“o piccolo”, non corrisponde a quella presentata nella maggior parte dei libri di analisi.


Definizione 30 Date due funzioni f e g definite suo stesso dominio D e tendenti all’in-finito per x tendente a x0, si dira che f e infinito di ordine superiore a g quando

limx→x0

g(x)

f(x)= 0;

si dira che f ha stesso ordine di infinito di g quando

limx→x0

f(x)

g(x)= K finito e non nullo;

si dira infine che f e infinito equivalente a g quando

limx→x0

f(x)

g(x)= 1.

Se f e infinito di ordine superiore a g si scrivera f = O(g), che si legge f e “o grande”di g. Se f e equivalente a g si scrivera invece f ∼ g.

Nelle classi di infinitesimi ed infiniti, le potenze ad esponente reale formano una scalacontinua nella quale la gerarchia e determinata proprio dal valore dell’esponente che vie-ne pertanto identificato con l’ordine d’infinitesimo o infinito. Piu precisamente, per gliinfinitesimi:

Definizione 31 Data r ∈ R+0 , un infinitesimo α per x tendente a x0 si dice di ordine

reale r quando

• e dello stesso ordine di (x− x0)r, nel caso di x0 finito;

• e dello stesso ordine di1

xr, nel caso di x0 infinito.

Invece, per gli infiniti:

Definizione 32 Data r ∈ R+0 , un infinito α per x tendente a x0 si dice di ordine reale r

quando

• e dello stesso ordine di1

|x− x0|r, nel caso di x0 finito;

• e dello stesso ordine di xr, nel caso di x0 infinito.

Si riporta di seguito l’enunciato di un teorema sul confronto tra infinitesimi ed infinitireali. La banale dimostrazione e lasciata al lettore volenteroso.


Teorema 49 Per ogni coppia di reali r, s > 0, al tendere di x a 0 si ha che

xr = o(xs)↔ r > s,

invece, al tendere di x a +∞, si ha che

xr = O(xs)↔ r > s.

Oltre alle potenze reali vi sono anche altre funzioni reali interessanti che tendono all’in-finito al tendere di x a +∞, ad esempio la funzione logaritmica e quella esponenziale.Come si puo intuire dai grafici nella figura 22, ci si aspetta che la funzione esponenziale ex

cresca molto piu velocemente di una qualunque funzione potenza xr, viceversa la funzionelogaritmica lnx mostrera una crescita molto lenta delle funzioni polinomiali.

x

y

y=ex

y=ln(x)

y=xα (con 0<α<1)

y=xβ (con β>1)

y=x

Figura 22: infiniti a confronto


Le precedenti considerazioni vengono precisate nel seguente teorema:

Teorema 50 Per ogni numero reale r > 0, al tendere di x a +∞ valgono le seguentirelazioni tra infiniti:

1. xr = O(lnx)

2. ex = O(xr)

Pertanto si suole dire che la funzione esponenziale ha ordine d’infinito sovrareale, mentrequella logaritmica ha ordine sottoreale.

Dim. Applicando la regola di l’Hospital per i limiti nella forma ∞∞ (verra presenta-

ta successivamente alla sezione d’introduzione al calcolo differenziale nel teorema 81) siottengono le seguenti relazioni di limite

limx→+∞

lnx

xr= lim

x→+∞

1x

rxr−1= lim

x→+∞

1

rxr= 0,

pertanto, dalla definizione di ordine d’infinito, si ha xr = O(lnx). Sia [r] la parte interadi r e poniamo s = r− [r]. Applicando la regola di l’Hospital per [r]+1 volte si ottengonole seguenti relazioni di limite

limx→+∞

xr

ex= lim

x→+∞

rxr−1

ex= · · · = lim

x→+∞r(r − 1) . . . (r − [r])

x−s

ex= R lim

x→+∞

1

xsex= 0,

ove si e posto R = r(r − 1) . . . (r − [r]). Dunque ex = O(xr), come si voleva dimostrare.

Nel calcolo dei limiti, coppie di infinitesimi o di infiniti equivalenti tra loro sono in qualchesenso interscambiabili. Vale infatti:

Teorema 51 (Principio di sostituzione) Siano f ∼ p e g ∼ q due coppie di infinite-simi o infiniti equivalenti al tendere di x a x0. Vale la seguente relazione di limite

limx→x0

f(x)

g(x)= ` ⇐⇒ lim

x→x0

p(x)

q(x)= `,

nel senso che i limiti esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Dim. Si osservi che vale l’uguaglianza

f(x)

g(x)=f(x)

p(x)

p(x)

q(x)

q(x)

g(x).

Pertanto, in virtu del teorema del limite del prodotto e della definizione di infiniti oinfinitesimi equivalenti, se esiste il limite

limx→x0

p(x)

q(x),


allora esiste anche

limx→x0

f(x)

g(x),

e tali limiti sono necessariamente uguali. Dato che in tutti i ragionamenti prodotti fpuo essere scambiata con p e g con q, deve valere anche il viceversa. Cio conclude ladimostrazione.

L’intuizione porta a ritenere che nelle somme di infinitesimi si possano trascurare gliinfinitesimi di ordine superiore, in quanto convergono piu rapidamente degli altri a zero.Questo fatto viene formalizzato nel seguente principio di eliminazione:

Teorema 52 (Principio di eliminazione degli infinitesimi) Siano α, β, γ e δ infi-nitesimi al tendere di x a x0, tali che β = o(α) e δ = o(γ). Vale allora la seguenterelazione di limite

limx→x0

α(x) + β(x)

γ(x) + δ(x)= ` ⇐⇒ lim

x→x0

α(x)

γ(x)= `,

nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

Dim. Si osservi che valgono le uguaglianze

α(x) + β(x)

α(x)= 1 +

β(x)

α(x),

γ(x) + δ(x)

γ(x)= 1 +

δ(x)

γ(x).

I secondi membri delle due uguaglianze convergono a 1 per x tendente a x0 essendoβ = o(α) e δ = o(γ). Valgono quindi le seguenti equivalenze tra infinitesimi

α(x) + β(x) ∼ α(x), γ(x) + δ(x) ∼ γ(x),

che in virtu del teorema di sostituzione conducono direttamente alla tesi cercata.

Allo stesso modo, nelle somme d’infiniti e intuitivo aspettarsi che prevalgano gli infinitidi ordine maggiore. Viene qui presentato l’enunciato del principio di eliminazione degliinfiniti, omettendone la facile dimostrazione:

Teorema 53 (Principio di eliminazione degli infiniti) Siano f , g, h e l infiniti altendere di x a x0, tali che f = O(g) e h = O(l). Vale allora la seguente relazione di limite

limx→x0

f(x) + g(x)

h(x) + l(x)= ` ⇐⇒ lim

x→x0

f(x)

h(x)= `,

nel senso che essi esistono solo simultaneamente e in tal caso sono uguali.

7 ASINTOTI ALL’INFINITO 68

7 Asintoti all’infinito

In questa sezione si studiano le funzioni che presentano un comportamento asintotico altendere della variabile indipendente all’infinito. Il concetto di comportamento asintontoviene precisato nella seguente definizione:

Definizione 33 Siano f, g due funzione reale definita in un intorno di +∞. si dira chef e g sono asintotiche per x→ +∞ se

limx→+∞

(f(x)− g(x)) = 0.

In particolare, se f e asintotica ad una funzione lineare g : x 7→ mx + q, si dira che laretta y = mx+ q e un asintoto del grafico di f per x→ +∞.

La presenza di asintoti all’infinito e molto utile in quanto caratterizza in modo abbastanzapreciso l’andamento del grafico della funzione per valori di ascissa tendenti all’infinito.Vale infatti la seguente caratterizzazione geometrica:

Proposizione 54 Sia f una funzione definita in un intorno di +∞ con grafico Γf e runa retta del piano. Allora r e asintoto di Γf se e solo se

limx→+∞

d(Px, r) = 0,

ove Px = (x, f(x)) e il punto di Γf di ascissa x e d(Px, r) la distanza punto-retta secondola norma euclidea.

Dim.

Posto che sia r : y = mx+ q, si ha che

d(Px, r) =|f(x)−mx− q|√

1 +m2,

pertanto

limx→+∞

d(Px, r) = 0⇔ limx→+∞

(f(x)−mx−q) = 0,

che equivale al fatto che f sia asintotica a g :x 7→ mx+ q, cioe che f abbia come asintotola retta r al tendere di x a +∞.

x

y

Γf

r

x

Px

f(x)−mx−q Hd

Dal punto di vista operativo, la ricerca di asintoti all’infinito di una funzione si conduceper mezzo della seguente utilissima caratterizzazione:


Proposizione 55 Sia f una funzione definita in un intorno di +∞ con grafico Γf er : y = mx + q una retta del piano. Allora la retta r e asintoto di Γf per x → +∞ se esolo se

limx→+∞

f(x)

x= m e lim

x→+∞(f(x)−mx) = q.

Dim.Nel caso in cui sussistono i limiti della precedente caratterizzazione, dal teorema di limitedi una somma si ottiene che

limx→+∞

(f(x)−mx− q) = 0,

cioe che f e asintotica alla funzione g : x 7→ mx + q, ovvero che f ha come asintoto laretta r.Viceversa, se si suppone che la retta r : y = mx + q sia asintonto di f per x → +∞,allora si ha

limx→+∞

(f(x)−mx− q) = 0,

che puo scriversi anchef(x)−mx− q = α(x),

con α(x) infinitesimo al tendere di x a +∞. Da cio si ottiene

f(x)

x= m+

q

x+α(x)

x,

che, passando al limite per x→ +∞, conduce a

limx→+∞

f(x)

x= m.

Il secondo limite della caratterizzazione risulta conseguenza banale del teorema sul limitedi una somma.

Infine, ecco alcune utili osservazioni sulla ricerca degli asintoti:

• f ammette un asintoto orizzontale, cioe del tipo y = q, per x→ +∞ se e solo se

limx→+∞

f(x) = q;

• f ammette un asintoto verticale per x→ c+, cioe una retta del tipo x− c = 0, se esolo se limx→c+ f(x) = ±∞;

• condizione necessaria affinche f ammetta un asintoto obliquo di pendenza m 6= 0per x→ +∞ e che sussista

limx→+∞

f(x) = ±∞.


Di seguito viene presentato un esempio di ricerca di asintoti:

Esempio 8 Determiniamo gli asintoti della funzione

f(x) = xex

x−1 .

Il dominio della funzione e D = R r {−1} e, con semplici considerazioni sugli ordini d’infinitesimo ed infinito, sideducono i seguenti limiti alla frontiera di D:

limx→±∞ f(x) = ±∞,limx→1− f(x) = 0,limx→1+ f(x) = +∞.

Vi e dunque la possibilita che per x → ±∞ la funzione possegga un asintoto obliquo del tipo y = mx + q. Affinche cioaccada, devono esistere finiti i seguenti due limiti

limx→±∞xe

xx−1

x= m,

limx→±∞(xex

x−1 −mx) = q

Il primo limite esiste e si ha m = e, mentre il secondo

limx→±∞

(xex

x−1 − ex) = limx→±∞

(xe(ex

x−1−1 − 1) =

= limx→±∞

(xe(e1

x−1 − 1) = limx→±∞

ex1

x− 1= e.

Pertanto la funzione ammette un asintoto verticale h : x = −1 per x→ 1+ e un asintoto obliquo y = ex+ e per x→ ±∞.

8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO 72

8 Funzioni continue su un intervallo

In questa sezione vengono presentati alcuni risultati fondamentali che riguardano le fun-zioni continue definite su intervalli. Il teorema centrale, da cui discenderanno tutti glialtri, e il seguente:

Teorema 56 4 Una funzione continua di variabile reale a valori reali manda intervalliin intervalli.

Dal precedente teorema si deducono immediatamente i seguenti due celebri risultati, lecui semplici dimostrazioni vengono affidate al lettore volenteroso:

Teorema 57 (Teorema dei valori intermedi) Se una funzione continua definita suun intervallo a valori reali assume i valori y1 e y2, allora assumera anche tutti i valoriintermedi.

Teorema 58 (Teorema degli zeri) Se una funzione continua a valori reali definita suun intervallo assume sugli estremi di questo due valori (non nulli) di segno opposto alloraesistera un punto interno in cui essa di annulla.

x

y

y=f(x)

y1

y2

x1

x2

x

y

x

y

y=f(x)

y1<0

y2>0

x1

x2

x

Figura 23: teoremi dei valori intermedi e degli zeri

Si considerano ora le funzioni monotone definite su intervalli reali. Valgono per questaclasse di funzioni alcuni importanti risultati a cui si premette il seguente lemma:

Teorema 59 5 Se una funzione suriettiva f : I → J definita su un intervallo I a valoriin un intervallo J e monotona in senso debole o forte, allora essa e anche continua.

4Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A5Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A

8 FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO 73

Teorema 60 (Teorema della funzione inversa) Se f : I → R e una funzione defi-nita su un intervallo I continua e monotona crescente (risp. decrescente), allora essa hacome immagine un intervallo J e la sua funzione inversa f−1 : J → I risulta continua emonotona crescente (risp. decrescente).

Dim. Il teorema 56 garantisce che l’immagine di f sia un intervallo J . La funzione fessendo monotona in senso stretto e anche iniettiva, pertanto ammette come inversa unafunzione f−1 : J → I con medesimo tipo di monotonicita di f . La continuita di f−1

discende dal precedente lemma 59.

Il precedente teorema ammette una teorema inverso, sempre dipendente dal teorema 56,di cui si omette la (semplice) dimostrazione:

Teorema 61 Se f : I → J e una funzione continua e biettiva da un intervallo I ad unintervallo J allora essa risulta monotona crescente o decrescente.

Pertanto, dai teoremi 61-60, si puo concludere che:

Teorema 62 Dati due intervalli I, J della retta reale e una funzione biettiva f : I → J ,si ha che tale funzione f e continua con inversa continua (cioe e un omeomorfismo) se esolo se essa risulta monotona crescente o decrescente.

9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI 74

9 Funzioni continue su insiemi compatti

In questo capitolo vengono presentati alcuni fondamentali risultati sulle funzioni conti-nue definite sui sottoinsiemi chiusi e limitati della retta reale, che vengono anche detticompatti :

Definizione 34 Ogni sottoinsieme chiuso e limitato della retta reale si dice compatto.

Il risultato centrale del capitolo e il celebre teorema di Weierstrass:

Teorema 63 (Teorema di Weierstrass) 6 Ogni funzione continua definita su un sot-toinsieme compatto della retta reale ammette massimo e minimo.

Un’immediata conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema 57, o dei valoriintermedi, riguarda il caso di una funzione continua definita su un intervallo chiuso elimitato:

Teorema 64 Sia f : I → R continua sull’intervallo chiuso e limitato I, allora f assumeun massimo valore yM e un minimo valore ym. Inoltre, l’immagine f(I) della funzione el’intervallo chiuso e limitato [ym, yM ].

Dim.

L’intervallo I = [a, b] e chiuso e limita-to, dunque compatto. Quindi, per il teo-rema di Weierstrass, esisteranno due puntixm, xM ∈ I tali che

ym = f(xm) = minx∈I

f(x),

yM = f(xM) = maxx∈I

f(x).

Evidentemente ym ≤ f(I) ≤ yM , d’altron-de, per il teorema 57 dei valori intermedi, fdovra assumere tutti i valori dell’intervallo[ym, yM ]. Pertanto f(I) = [ym, yM ], comevolevasi dimostrare.

x

y

y=f(x)

xM

xm

a

b

x

yM

ym

Dal teorema di Weierstrass si deduce il seguente risultato, la cui non difficile dimostrazioneviene omessa:

Teorema 65 Ogni funzione continua e biettiva definita su un sottoinsieme compatto dellaretta reale ammette inversa continua.

6Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A

9 FUNZIONI CONTINUE SU INSIEMI COMPATTI 75

Un concetto che risultera cruciale nella sezione dedicata all’integrazione elementare equello di uniforme continuita:

Definizione 35 Sia f una funzione reale su un dominio D. si dira che f e uniforme-mente continua su D quando

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x, y ∈ D ∧ |x− y| < δ → |f(x)− f(y)| < ε.

Grossolanamente, si puo dire che se f e uniformemente continua su D allora la differenza|f(x) − f(y)| puo essere resa arbitrariamente piccola purche la differenza |x − y| siasufficientemente piccola, questo indipendentemente dalla scelta dei particolari x, y ∈ D.E evidente che se f e uniformemente continua allora e anche continua. Il viceversa non ein generale vero. Si consideri ad esempio la funzione ex, continua su R, per la quale, fissatala differenza |x− y| piccola a piacere, la differenza |ex− ey| tende a divergere quando x, ytendono a +∞. La continuita e l’uniforme continuita pero si equivalgono sugli insiemicompatti:

Teorema 66 7Sia f funzione reale continua sul dominio D. Se D e compatto allora f euniformemente continua.

7Una dimostrazione del teorema si puo trovare in appendice A

10 CALCOLO DIFFERENZIALE 76

10 Calcolo differenziale

In questa sezione viene presentata la nozione di derivata di una funzione reale, le sueprincipali proprieta e le regole di derivazione. La prima nozione che viene introdotta equella di rapporto incrementale:

10.1 Definizione di derivata

Definizione 36 Sia f una funzione reale definita in un intorno aperto U di un punto x0

della retta reale. La funzione definita in U − {x0} da

x 7→ f(x)− f(x0)

x− x0

,

si dice rapporto incrementale di f nel punto x0.

Si dice derivata di f nel punto x0 il limite del rapporto incrementale al tendere di x a x0,cioe

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Se il precedente limite esiste finito, si dira che la funzione f e derivabile in x0 e s’indicheratale limite con i simboli:

Df(x0) o f ′(x0).

Mediante il cambiamento della variabile indipendente si ottiene la equivalenza tra limiti

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= ` ⇐⇒ limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= `,

che, operativamente, risulta particolarmente comoda per il calcolo delle derivate dellefunzioni reali.

Definizione 37 Si dice derivata a destra (risp. a sinistra) della funzione f in x0 il limitedel rapporto incrementale al tendere di x a x0 da destra (risp. da sinistra). La derivataa destra (risp. a sinistra) della funzione f in x0 si indica in simboli con

Df+(x0) o f ′+(x0) ( risp. Df−(x0) o f ′−(x0) ).

Definizione 38 Se una funzione f definita su un aperto U e derivabile in tutti i puntidi U si dice derivabile in U. S’indica con f ′ la funzione definita su U da x 7→ f ′(x). Laderivata n−esima di f , viene indicata con il simbolo f (n), ed e definita per induzione,qualora sia possibile, ponendo f (n) = D(f (n−1)) per ogni n ≥ 2.


10.2 Significato geometrico della derivata

Il calcolo differenziale si e sviluppato in parte sotto la spinta di alcuni problemi tipici dellacinematica, come la definizione e il calcolo della velocita di variazione di una grandezzamisurabile, ad esempio la posizione di un corpo in movimento; tuttavia, come si vedratra breve, il concetto di derivata si lega ad un problema tipico della geometria: la ricercadella retta tangente ad una curva in un assegnato punto.Per comprendere questo aspetto, si consideriuna funzione f definita in un intorno apertoU di x0 e indichiamo con γ il suo grafico nelpiano cartesiano. Sia ora x ∈ U − {x0}; ilrapporto incrementale

f(x)− f(x0)

x− x0

,

e evidentemente il coefficiente angolare del-la retta rx passante per i punti P (x0, f(x0))e Qx(x, f(x)) della curva γ. Intuitivamente,quando si fa tendere x a x0, il punto Qx tendeal punto P , mentre la retta secante rx tendealla retta tangente t a γ nel punto P .

x

y

y=f(x)P

Qx

xx0

f(x)

f(x0)

t

rx

Se la funzione f e derivabile in x0, il coefficiente angolare della secante rx, ovvero ilrapporto incrementale di f in x0, tende al valore finito f ′(x0), che puo essere assunto comecoefficiente angolare della retta tangente in P . Si giunge cosı alla seguente definizione:

Definizione 39 Sia f una funzione derivabile in x0, la retta di equazione

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0),

si dice retta tangente al grafico di f nel punto P (x0, f(x0)).

Qualora in x0 esistano distinte derivata de-stra e sinistra, come nel caso della funzio-ne il cui grafico e riportato qui accanto, sichiameranno semitangenti destra e sinistrain P (x0, f(x0)), rispettivamente, le rette r+

e r− aventi equazioni

r+ : y = f ′+(x0)(x− x0) + f(x0),

r− : y = f ′−(x0)(x− x0) + f(x0).x

yy=f(x)

P

r+r−

x0

f ’−(x

0)=−1f(x

0)

f ’+(x

0)=+1


Prima di dimostrare la derivabilita delle funzioni elementari, si osservi che la continuitadi una funzione e condizione necessaria alla sua derivabilita; vale cioe il seguente teorema:

Teorema 67 Se f e una funzione reale derivabile in x0 allora essa e continua in x0.

Dim. Dalla definizione di derivata segue

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= `,

con ` finito. La funzione α definita ponendo

α : x 7→ f(x)− f(x0)

x− x0

− `,

e infinitesima al tendere di x a x0. Per costruzione vale l’uguaglianza

f(x) = (α(x) + `)(x− x0) + f(x0);

al tendere di x a x0 il secondo membro dell’uguaglianza e infinitesimo, poiche il suo primofattore tende a ` (che e finito), mentre il secondo fattore e chiaramente infinitesimo.Pertanto segue che f(x) tende a f(x0), come volevasi dimostrare.

A questo punto ci si puo chiedere se le funzioni continue siano tutte derivabili. La rispostae negativa, come dimostra il seguente esempio.

Esempio 9 Si studi la derivabilita della funzione x 7→ 3√x.

Come e noto, essendo composizione di funzioni continue, f risulta continua su tutto il suo dominio R. Si provi a calcolarela sua derivata in x = 0:

Df(0) = limx→0

3√x− 3√

0

x− 0= limx→0

3√x

3√x3

= limx→0

13√x2

= +∞,

pertanto la derivata e +∞ e la funzione f non e derivabile in x0 = 0, pur essendo continua.

Il significato geometrico della derivata come pendenza della retta tangente al grafico estato ben chiarito nella definizione 39. Ci si domanda ora cosa si puo dire in merito alcomportamento di una funzione continua in un punto in cui essa non e derivabile, ma incui esistono comunque, finite o infinite, le sue derivate a destra e a sinistra. Si consideriquindi f una siffatta funzione, continua in x0 e con derivate a destra e a sinistra in x0

indicate, rispettivamente, con D+ e D−. I casi possibili sono esemplificati nei grafici infigura 24, e forniscono la seguente classificazione dei punti di non derivabilita:

• I limiti D+ e D− sono distinti e almeno uno e finito: in questo caso si dice che inx0 vi e un punto angoloso.

• D+ = D− = +∞ oppure D+ = D− = −∞: in questo caso si dice che in x0 vi e unpunto di inflessione verticale.

• D+ e D− sono entrambi infiniti ma opposti di segno: in questo caso si dice che inx0 vi e un punto cuspidale.


x

y

y=f(x)

P

r+

r−

x0

D−f(x

0)=+∞

f(x0)

D+f(x

0)=+∞

x

yy=g(x)

P

r+r−

x0

D−g(x

0)=−1g(x

0)

D+g(x

0)=+1

x

y

y=h(x)

P

r+= r−

x0

D−h(x

0)=−∞

h(x0)

D+h(x

0)=+∞

Figura 24: punto di inflessione verticale (f), punto angoloso (g), punto cuspidale (h)

10.3 Operazioni e teoremi sulle derivate

Le funzioni costruite a partire da funzioni derivabili mediante le operazioni algebricherisultano anch’esse derivabili. Vale infatti:

Teorema 68 Siano f e g due funzioni reale derivabili in x0, k una costante reale, allorale funzioni kf , f + g, f − g e f · g sono derivabili in x0, se g(x0) 6= 0 allora lo e anchef/g. Valgono inoltre le seguenti relazioni:

1.(kf)′(x0) = kf ′(x0),

2.(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

3.(f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),


4.(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),

5.

(f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

g2(x0).

Dim. Il rapporto incrementale di kf nel punto x0 soddisfa

(kf)(x0 + h)− (kf)(x0)

h= k

f(x0 + h) +−f(x0)

h,

pertanto, al tendere di h a 0 si ottiene (kf)′(x0) = kf ′(x0).Il rapporto incrementale di f + g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze

(f + g)(x0 + h)− (f + g)(x0)

h=f(x0 + h) + g(x0 + h)− f(x0)− g(x0)

h=

=f(x0 + h)− f(x0)

h+g(x0 + h)− g(x0)

h.

Pertanto, ricordando che g e continua in x0, in quanto derivabile, al tendere di h a 0 illimite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).Il rapporto incrementale di f − g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze

(f − g)(x0 + h)− (f − g)(x0)

h=f(x0 + h)− g(x0 + h)− f(x0) + g(x0)

h=

=f(x0 + h)− f(x0)

h− g(x0 + h)− g(x0)

h.

Pertanto, ricordando che g e continua in x0, in quanto derivabile, al tendere di h a 0 illimite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0).

Il rapporto incrementale di f · g nel punto x0 soddisfa le seguenti uguaglianze

(f · g)(x0 + h)− (f · g)(x0)

h=

(f(x0 + h)− f(x0))g(x0 + h) + f(x0)(g(x0 + h)− g(x0))

h=

= g(x0 + h)f(x0 + h)− f(x0)

h+ f(x0)

g(x0 + h)− g(x0)

h.

Pertanto, ricordando che g e continua in x0, in quanto derivabile, al tendere di h a 0il limite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) +f(x0)g′(x0).

Si noti che essendo g continua e g(x0) 6= 0, esistera un intorno aperto U di x0 in cui gnon si annulla mai. In U − {x0} il rapporto incrementale di f/g nel punto x0 soddisfa leseguenti uguaglianze:

(f/g)(x0 + h)− (f/g)(x0)

h=

(f(x0 + h)g(x0)− f(x0)g(x0 + h))

g(x0 + h)g(x0) · h=


=(f(x0 + h)− f(x0))g(x0)− f(x0)(g(x0 + h)− g(x0))

g(x0 + h)g(x0) · h=

=1

g(x0 + h)g(x0)

(g(x0)

f(x0 + h)− f(x0)

h− f(x0)

g(x0 + h)− g(x0)

h

).

Pertanto, ricordando che g e continua in x0, in quanto derivabile, al tendere di h a 0 illimite del rapporto incrementale considerato esiste e si ha

(f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

g2(x0).

Teorema 69 (Derivazione funzione composta) Sia f una funzione definita in un in-torno aperto U di x0 e g una funzione definita in un intorno aperto V di y0 = f(x0) taleche f(U) ⊆ V , allora la funzione composta g ◦ f e derivabile in x0 e vale la relazione

(g ◦ f)′(x0) = g′(y0) · f ′(x0).

Dim. Poiche g e derivabile in y0, esistera8 un infinitesimo α al tendere di y a y0 tale cheg(y) − g(y0) = g′(y0)(y − y0) + α(y)(y − y0). Pertanto il rapporto incrementale di g ◦ fpuo anche scriversi come

(g ◦ f)(x0 + h)− (g ◦ f)(x0)

h=g(f(x0 + h))− g(f(x0))

h=

= (g′(f(x0)) + α(f(x0 + h)))(f(x0 + h)− f(x0))

h,

Al tendere di h a 0 si ha α(f(x0 + h)) → 0, pertanto il limite del rapporto incrementaleesiste e si ha

(g ◦ f)′(x0) = g′(y0) · f ′(x0).

Teorema 70 (Derivazione funzione inversa) Sia f una funzione definita su un in-tervallo aperto I continua e monotona in senso forte e x0 un punto di I in cui f ′(x0) 6= 0.La funzione f−1 risulta derivabile nel punto y0 = f(x0) e vale la relazione

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

8Vedi la dimostrazione del teorema 67


Dim. Poiche vale la relazione y = f(x)↔ x = f−1(y), il rapporto incrementale di f−1 iny0 soddisfa

f−1(y)− f−1(y0)

y − y0

=x− x0

f(x)− f(x0)=

1f(x)−f(x0)

x−x0

.

Per il teorema 60, la funzione f risulta un omeomeorfismo, pertanto, in virtu del teore-ma 39, vale la relazione di limite

limy→y0

f−1(y)− f−1(y0)

y − y0

= limx→0

1

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Poiche f ′(x0) 6= 0, il limite al secondomembro esiste, dunque si ha

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

Una giustificazione di questo fatto puo esse-re trovata dallo studio dei grafici di f e f−1,e delle loro tangenti nei punti P (x0, y0) e, ri-spettivamente, Q(y0, x0). Infatti, come appa-re intuibile nella figura qui accanto, tali rettetangenti risultano simmetriche rispetto allabisettrice y = x, pertanto i loro coefficientiangolari devono essere reciproci.

x

y

P

Q

y0

x0

x0

y0

x=f −1(y)

y=f(x)

10.4 Derivate elementari

In questa sezione ci si occupa della derivazione delle piu comuni funzioni reali. Notele derivate delle funzioni elementari, mediante le regole di derivazione presentate nellaprecedente sezione, si possono calcolare le derivate di funzioni molto complesse senzadover ricorrere direttamente al limite del rapporto incrementale, che in molti casi puorisultare estremamente arduo da calcolare.Si consideri la funzione costante k : x 7→ k. Evidentemente il rapporto incrementale inqualunque punto x0 ∈ R soddisfa

k(x)− k(x0)

x− x0

=k − kx− x0

= 0,

pertanto

Dk = 0.


Si consideri ora la funzione identica id : x 7→ x. Il rapporto incrementale in qualunquex0 ∈ R soddisfa

id(x)− id(x0)

x− x0

=x− x0

x− x0

= 1,

quindi passando al limite per x tendente a x0 si ha Did(x0) = 1. Si scrivera quindi

Dx = 1.

Si consideri ora la funzione potenza ad esponente reale r, potr : x 7→ xr. Il rapportoincrementale in qualunque x ∈ R soddisfa

potr(x+ h)− potr(x)

h=

(x+ h)r − xr

h= xr

(x+hx

)r − 1

h= xr

er ln(1+hx) − 1

h.

Poiche valgono le seguenti equivalenze d’infinitesimi

er ln(1+hx) − 1 ∼ r ln

(1 +

h

x

)∼ r

h

x=r

xh,

passando al limite per h→ 0 si ottiene

Dxr = rxr−1.

Si derivera ora la funzione esponenziale. Il limite che si considera e analogo al precedente.Infatti rapporto incrementale in x soddisfa

ex+h − ex

h= ex

eh − 1

h.

come noto eh − 1 ∼ h, pertanto, passando al limite per h tendente a 0, segue

Dex = ex.

Si derivera ora la funzione logaritmica. Il rapporto incrementale in x soddisfa

ln (x+ h)− lnx

h=

ln(x+hx

)h

=ln(1 + h

x

)h

.

Come noto ln(1 + h

x

)∼ h

x, pertanto, passando al limite per h tendente a 0, segue

D lnx =1

x.

Tramite cambiamenti della variabile indipendente, in virtu del teorema di derivazionedelle funzioni composte, si ottengono:


Dax = ax ln a e D loga x =1

x ln a.

Ci si occupa ora delle funzioni circolari. In virtu delle note formule di prostaferesi, ilrapporto incrementale in x soddisfa della funzione seno risulta

sen(x+ h)− sen(x) = 2 cos

(2x+ h

2

)sen

(h

2

).

Come noto sen(h2

)∼ h

2, mentre cos

(2x+h

2

)→ cos(x) al tendere di h, pertanto, passando

al limite, si ottiene

D senx = cosx.

In modo del tutto analogo si prova che

D cosx = − senx.

Dalle due precedenti derivate, mediante le regole di derivazione dei rapporti di funzioni siottengono:

D tg x =1

cos2 xe D ctg x = − 1

sen2x.

Mediante il teorema dei derivazione della funzione inversa si ottengono inoltre le seguentiderivate delle funzioni inverse:

D arcsen x =1√

1− x2e D arccosx = − 1√

1− x2;

mentre, per le inverse di tangente e cotangente, valgono:

D arctg x =1

1 + x2e D arcctg x = − 1

1 + x2.

11 FUNZIONI DERIVABILI SU UN INTERVALLO 86

11 Funzioni derivabili su un intervallo

In questa sezione si vengono presentati i principali risultati sulle funzioni continue e de-rivabili su intervalli compatti (cioe chiusi e limitati) della retta reale. Tutti i teoremipresentati si reggono sul teorema di Weierstrass, enunciato e dimostrato nella sezionesulle funzioni continue definite sugli insiemi compatti.Il primo risultato e il teorema di Fermat, che indica una condizione necessaria per l’esi-stenza di un minimo o massimo locali. Il significato geometrico di questo teorema e moltoevidente: nei punti si massimo e minimo locale del grafico di una funzione ci si aspettache la tangente, qualora esista, sia orizzontale.

Teorema 71 (Teorema di Fermat) Sia f : D → R che assume un massimo (o unminimo) locale in un punto x0 interno a D. Se f e derivabile in x0 allora deve esserenecessariamente f ′(x0) = 0.

Dim. Dato che x0 e punto interno a D, posso trovare un intervallo I aperto centrato inx0 interamente contenuto in D. La funzione h definita su I ponendo per ogni x ∈ I:

h(x)def=

{f(x)−f(x0)

x−x0 se x 6= x0,

f ′(x0) se x = x0,

risulta continua in x0. Se si assume che x0 sia di massimo locale, eventualmente restrin-gendo opportunamente il raggio dell’intorno I, si puo supporre che

f(x0) ≥ f(x), per ogni x ∈ I.

Da una semplice analisi del segno ne con-segue che h(x) ≥ 0 per x < x0, mentreh(x) ≤ 0 per x > x0. Pertanto, passandoai limiti si ottiene

limx→x−0

h(x) ≤ 0 e limx→x−0

h(x) ≥ 0.

Dato che h e continua in x0 tali limiti esistonoe coincidono con f ′(x0); dalle disequazioniscritte sopra si ottiene percio 0 ≤ f ′(x0) ≤ 0,cioe f ′(x0) = 0, come volevasi dimostrare.

x

y

y=f(x)

U

ba

f(x)

x

r

x0

f(x0)


Teorema 72 (Teorema di Rolle) Sia f : [a, b] → R continua su [a, b] e derivabilenell’aperto ]a, b[. Se f(a) = f(b) esistera almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che f ′(ξ) = 0.

Dim.

La dimostrazione e immediata perche f unafunzione contiunua definita su un compattodi R, pertanto in virtu del teorema di Weier-strass essa ammette massimo M e minimo massoluti.Se M = m ne discende che f e costante sututto l’intervallo e quindi la sua derivata eovunque nulla. Se m < M , dato che sugliestremi dell’intervallo la funzione ha il mede-simo valore, almeno uno dei due estremantie assunto in un qualche punto ξ interno al-l’intervallo. Per ipotesi, la funzione f risultaderivabile nel punto ξ, pertanto dal teoremadi Fermat si deduce che f ′(ξ) = 0.

x

y

y=f(x)

ba

f(a)=f(b)

t

ξ

Teorema 73 (Teorema di Lagrange o del valor medio) Sia f : [a, b] → R conti-nua su [a, b] e derivabile nell’aperto ]a, b[. Esistera allora almeno un punto ξ ∈]a, b[ taleche

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a.

Dim.

Sia k una costante arbitraria e poniamog(x) = f(x) − kx per ogni x ∈ [a, b]. Lafunzione g ha la medesima regolarita di f ,inoltre valgono le equivalenze

g(a) = g(b)↔ f(a)−ka = f(b)−kb↔ k =f(b)− f(a)

b− a.

Scelta k in modo da soddisfare la precedenterelazione, la funzione g soddisfa il teorema diRolle, dunque esistera ξ ∈]a, b[ tale che

g′(ξ) = 0.

x

y

y=f(x)

ba

f(b)

f(a)

s

t

ξ

Dato che per ogni x si ha g′(x) = f ′(x)− k, si deduce che

f ′(ξ) = k =f(b)− f(a)

b− a,



L’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange e abbastanza chiara. Detta s lasecante passante per i punti estremi del grafico della funzione f , il teorema stabiliscel’esistenza di almeno una tangente t a detto grafico parallela alla secante s.Un’ulteriore generalizzazione del teorema di Rolle e di Lagrange e il teorema di Cauchy:

Teorema 74 (Teorema di Cauchy) Siano f, g : [a, b] → R continue su [a, b] e de-rivabili nell’aperto ]a, b[. Siano inoltre g′(x) 6= 0 per ogni x ∈]a, b[. Allora si ha cheg(a) 6= g(b), inoltre esiste almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

Dim. Se per assurdo si supponesse g(a) = g(b), per il teorema di Rolle dovrebbe esistereun punto x in ]a, b[ in cui g′(x) = 0, ma cio e in contrasto con le ipotesi. Si ponga ora

h(x)def= f(x) − kg(x) per ogni x ∈ [a, b]. La costante k ∈ R puo essere definita in modo

che risulti h(a) = h(b), ponendo calcoli si ottiene che

kdef=f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

La funzione h cosı costruita soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, pertanto esisteraalmeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che h′(ξ) = 0. Derivando h in ξ si ottiene h′(ξ) =f ′(ξ)− kg′(ξ), da cui, dividendo ambo i membri per g′(ξ), che e un valore non nullo peripotesi, si ottiene

f ′(ξ)

g′(ξ)= k =

f(b)− f(a)

g(b)− g(a),


Il teorema di Lagrange e fecondo di conseguenze; innanzitutto si si dimostra il seguentecriterio di costanza:

Teorema 75 Se f : ]a, b[→ R e una funzione continua con derivata ovunque nulla alloraessa e una costante.

Dim. Se si prendono infatti due arbitrari punti distinti x1 e x2 nell’intervallo aperto, peril teorema di Lagrange esistera un qualche ξ ∈]x1, x2[ tale che

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

= f ′(ξ) = 0,

da cui f(x2) = f(x1), come volevasi dimostrare.

Il secondo risultato e un fondamentale criterio di monotonia:

Teorema 76 Se f : ]a, b[→ R e una funzione continua con derivata ovunque positiva(risp. negativa) allora essa e crescente (risp. decrescente) .


Dim. Se si prendono due arbitrari punti distinti x1 e x2, nell’intervallo aperto, conx1 < x2, per il teorema di Lagrange esistera un qualche ξ ∈]x1, x2[ tale che

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

= f ′(ξ) > 0,

da cui segue che f(x2) − f(x1) = f ′(ξ)(x2 − x1) > 0, cioe f(x2) > f(x1), come volevasidimostrare.

Infine, seguono due risultati che garantiscono condizioni sufficienti per la derivabilita dellefunzioni continue:

Proposizione 77 Se f : ]a, x0] → R e una funzione continua e derivabile in ]a, x0[ edesiste finito o infinito

Ldef= lim

x→x−0f ′(x),

allora la funzione ammette derivata sinistra in x0 e

D−f(x0) = L.

Dim. Sia x un punto arbitrario nell’intervallo con x < x0, allora in [x, x0] vale il teoremadi Lagrange; esistera pertanto un qualche ξx ∈]x, x0[ tale per cui

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(ξx).

Se si fa tendere x a b−, anche ξx dovra tendere a x0, pertanto, tenuto conto delle ipotesidel teorema, dalla uguaglianza precedente si ottiene

D−f(x0)def= lim

x→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limx→x−0

f ′(ξx) = limz→x−0

f ′(z) = L,


Dal precedente risultato segue immediatamente il criterio di derivabilita:

Teorema 78 Sia f : ]a, b[→ R e una funzione continua e derivabile in tutti punti tranneche in x0 ∈]a, b[. Se esiste finito

limx→x0

f ′(x) = L,

allora in x0 la funzione e derivabile e f ′(x0) = L.

Dim. Per ipotesi si ha che

limx→x−0

f ′(x) = limx→x+0

f ′(x) = L,


pertanto, in virtu della proposizione 77, segue che

D−f(x0) = D+f(x0) = L,

da cui si deduce che f e derivabile in x0 e f ′(x0) = L, come volevasi dimostrare.

In genere una funzione derivabile non ammette necessariamente derivata continua, tut-tavia le funzioni derivate hanno una proprieta comune a quella delle funzioni continue:mandano intervalli in intervalli. Vale infatti:

Teorema 79 Se f : ]a, b[→ R e una funzione continua e derivabile allora la sua derivataf ′ ha come immagine un intervallo.

Dim. Si supponga per assurdo che la derivata f ′ mandi un intervallo ]a, b[ in un insiemenon convesso. Esistera allora un punto k ∈ R, tale che y′1 < k < y′2 ove y′1 = f ′(x1) ey′2 = f ′(x2), per qualche coppia x1, x2 ∈]a, b[. Si definisca la funzione h ponendo per ognix ∈ [x1, x2]

h(x)def= f(x)− kx.

Evidentemente h e continua e derivabile nell’intervallo [x1, x2] e per costruzione h′(x1) < 0e h′(x2) > 0. Per il teorema di Weierstrass, tale funzione ammettera massimo e minimoassoluti nell’intervallo [x1, x2], indicati con m e M , rispettivamente. Si provera ora chealmeno uno di questi due punti e assunto internamente all’intervallo [x1, x2]. Si suppongaper assurdo che entrambi cadano sugli estremi. Vi sono qui due casi possibili. Nel primosi ha m = f(x1) e M = f(x2), ma allora, per definizione di massimo e minimo assoluti,per ogni x ∈]x1, x2[ varranno le disequazioni

h(x)− h(x1)

x− x1

≥ 0,h(x2)− h(x)

x2 − x≥ 0.

Passando ai limiti nella prima disequazione per x→ x+1 nell’altra per x→ x−2 si ottengono

D+f(x1) ≥ 0, D−f(x2) ≥ 0,

ma h e derivabile in x2 pertanto D+f(x1) = h′(x1), in contraddizione col fatto cheh′(x1) < 0.

Nel secondo caso si ha M = f(x1) e m = f(x2). Con un analogo ragionamento siperviene alla contraddizione che D−f(x2) ≤ 0 in contrasto con h′(x2) > 0. Il teoremarisulta cosı provato.

Dal teorema di Cauchy derivano alcune risultati utili per il calcolo dei limiti delle formeindeterminate, che prendono il nome di Regole di L’Hospital. Si incomincia con la regolaper il calcolo delle forme indeterminate del tipo 0

0:

Teorema 80 (Regola di L’Hospital per la forma 00) Siano f, g funzioni reali defini-

te su un intervallo [x0, b] su di esso continue e derivabili nell’intervallo aperto ]x0, b[ in


cui si supponga sia g′ 6= 0. Sia inoltre f(x0) = g(x0) = 0. Se esiste finito o infinito illimite

limx→x+0

f ′(x)

g′(x)= L,

allora esiste anche il limite limx→x+0f(x)g(x)

e coincide con L.

Dim. Si consideri innanzitutto il caso in cui L e finito. Sia ora x un arbitrario punto taleche x0 < x < b. Nell’intervallo [x0, x] le funzioni f e g soddisfano il teorema di Cauchy,pertanto esistera un ξx, dipendente dall’elemento x scelto precedentemente, tale per cui

f(x)

g(x)=f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)=f ′(ξx)

g′(ξx). (8)

E evidente che se x→ x+0 allora ξx → x+

0 , quindi

limx→x+0

f ′(ξx)

g′(ξx)= lim

x→x+0

f ′(x)

g′(x)= L.

Dunque, tenuto conto della catena di uguaglianze in eq. 8, dovra essere

limx→x+0

f(x)

g(x)= L,

come volevasi dimostrare.Il caso in cui L e infinito richiede argomenti analoghi. La dimostrazione viene qui omessae lasciata al lettore volenteroso.

La seconda regola riguarda la forma indeterminata ∞∞ . Qui se ne presenta solo l’enunciato,essendo la dimostrazione simile a qualla della regola precedente.

Teorema 81 (Regola di L’Hospital per la forma ∞∞) Siano f, g funzioni reali defi-

nite su un intervallo ]x0, b] su di esso continue e derivabili nell’intervallo aperto ]x0, b[ incui si supponga sia g′ 6= 0. Si supponga inoltre che

limx→x+0

f(x) = ±∞, limx→x+0

g(x) = ±∞.

Se esiste finito o infinito il limite

limx→x+0

f ′(x)

g′(x)= L,

allora esiste anche il limite limx→x+0

f(x)

g(x)e coincide con L.

La regole di L’Hospital appena introdotte possono essere estese anche al caso in cui xtende all’infinito. Per quanto riguarda la forma [0

0], vale:


Teorema 82 Siano f, g funzioni reali definite su un intervallo ]a, +∞] su di esso conti-nue e derivabili in tutto l’intervallo in cui si supponga anche g′ 6= 0. Si supponga inoltreche

limx→+∞

f(x) = 0, limx→+∞

g(x) = 0.

Se esiste finito o infinito il limite

limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= L,

allora esiste anche il limite limx→+∞

f(x)

g(x)e coincide con L.

12 FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE 94

12 Funzioni concave e convesse

Il concetto di convessita di una funzione si richiama a quello di sottoinsieme convesso delpiano:

Definizione 40 Sia A sottoinsieme non vuoto del piano. si dira che A e convesso se perogni coppia di punti P1, P2 dell’insieme A il segmento P1P2 e incluso in A.

La definizione di convessita per le funzioni e la seguente:

Definizione 41 Sia f funzione reale definita su un intervallo I. si dira epigrafico dif l’insieme dei punti del piano appartenenti alla striscia verticale individuata da I esoprastanti il grafico di f , ovvero

Ef = {(x, y) |x ∈ I, f(x) ≤ y}.

La funzione f si dice convessa se il suo epigrafico e convesso, ovvero se per ogni coppiadi punti A,B ∈ Ef il segmento [A, B] e interamente contenuto in Ef .La funzione f si dice invece concava quando e convesso il suo ipografico

If = {(x, y) |x ∈ I, f(x) ≥ y}.

Nel caso in cui f e derivabile, si ottiene la seguente caratterizzazione della convessita:

Teorema 83 9Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Si ha che f econvessa se e solo se la derivata f ′ e una funzione debolmente crescente.

Dai teoremi sulle funzioni monotone derivabili su un intervallo e dalla precedente caratte-rizzazione (l’analoga valida per le funzioni concave) si ottiene immediatamente il seguenterisultato:

Teorema 84 Sia f funzione reale derivabile due volte su un intervallo aperto I. Si hache f e convessa se e solo se f ′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I. Mentre f e concava se e solo sef ′′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ I.

Definizione 42 Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Un puntox0 ∈ I si dice punto di flesso se divide I in due intervalli in uno dei quali f risultaconvessa, nell’altro concava.

Osservazione 1 Se f e derivabile due volte su I e x0 e un punto di flesso interno adI allora f ′′(x0) = 0. Infatti I viene diviso da x0 in due intervalli J1 e J2, aventi comeestremo comune x0, tali che f ′ e debolmente crescente J1 e debolmente decrescente inJ2. Pertanto f ′ ammette in x0 un punto di massimo o minimo locale. Per il teorema diFermat si conclude quindi che Df ′(x0) = f ′′(x0) = 0.

9La dimostrazione del teorema e riportata in appendice B

12 FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE 95

Per le funzioni convesse valgono alcuni risultati interessanti di seguito esposti per com-pletezza, omettendone pero la dimostrazione:

Teorema 85 Una funzione reale convessa definita in un intervallo e continua in tutti ipunti interni.

Teorema 86 Una funzione reale convessa definita in un intervallo e derivabile in tutti ipunti interni, eccetto che per un insieme di punti al piu numerabile.

13 FORMULE DI TAYLOR 96

13 Formule di Taylor

Un’importante applicazione dei teoremi sulle funzioni derivabili in un intervallo riguardauna tecnica per l’approssimazione di una data funzione mediante polinomi di grado op-portuno. Per introdurre il problema, si puo innanzitutto osservare che la retta tangenteal grafico di una funzione fornisce, attorno al punto di tangenza, un’approssimazione delgrafico stesso. Questo fatto puo essere reso piu preciso nel seguente modo. Si consideriuna funzione f derivabile nel punto x0 interno al suo dominio, e si costruisca il seguentepolinomio di primo grado:

p(x) = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

Il grafico di p e la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0. Dalla definizionedi derivata in x0 si deduce facilmente che al tendere di x a x0 si ha

α(x)def=f(x)− p(x)

x− x0

→ 0,

pertanto si puo scrivere che

f(x) = p(x) + α(x)(x− x0).

Il termine α(x)(x−x0) costituisce lo scarto tra la funzione f e il polinomio approssimantep; tale scarto tende a zero al tendere di x a x0. In questo senso si puo affermare che ilpolinomio p costituisce un’approssimazione di f localmente a x0.Si osservi che il polinomio di primo grado p costruito sopra e individuato dalle due con-dizioni p(x0) = f(x0) e p′(x0) = f ′(x0). E facilmente intuibile che un polinomio di gradomaggiore potra dare approssimazioni migliori di quella fornita dal polinomio di primo gra-do p. Supponendo di considerare a tale scopo un polinomio p di grado n, generalizzandoquanto osservato precedentemente, si potrebbero scegliere i suoi coefficienti in modo dasoddisfare le condizioni

p(x0) = f(x0), p′(x0) = f ′(x0), . . . , p(n)(x0) = f (n)(x0).

Si lascia al lettore volenteroso la facile dimostrazione che esiste un unico polinomio digrado n soddisfacente le condizioni precedenti, e che tale polinomio puo essere scrittonella forma:

Tx0,n(x)def= f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +

1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(x0)(x− x0)n.

Il polinomio Tx0,n(x) prende il nome di polinomio di Taylor di ordine n della funzione fsviluppato nel punto x0.Nella figura 25 sono riportati i grafici della funzione f : x 7→ ln(x+1) e dei suoi polinomidi Tayolor di ordine 1, . . . , 4, rispettivamente T1, . . . , T4, sviluppati nel punto x0 = 0.Da un punto di vista meno qualitativo, in termini in cui il polinomio Tx0,n(x) approssimala funzione f e precisato dal seguente teorema:


x

y

x0=0

y=f(x)

y=T1(x)

y=T2(x)

y=T3(x)

y=T4(x)

Figura 25: Polinomi di Taylor di y = ln(x+ 1)

Teorema 87 [Formula di Taylor con resto di Peano] Sia f : I → R una funzione definitasu un intervallo aperto I in cui e derivabile fino all’ordine n−1 e avente derivata n−esimanel punto x0 ∈ I. Allora vale la formula

f(x) = Tx0,n(x) +Rx0,n(x),

ove la funzione resto Rx0,n(x) e esprimibile nella forma

Rx0,n(x)def= α(x)

(x− x0)n

n!

in cui α(x) e una funzione infinitesima al tendere di x a x0.

Dim. La dimostrazione e molto semplice e si basa sulla regola di L’Hospital per le formeindeterminate 0

0. La tesi sara dimostrata se si prova che

α(x) = n!f(x)− Tx0,n(x)

(x− x0)n→ 0,

al tendere di x a x0. Si consideri quindi il limite

limx→x0

n!f(x)− Tx0,n(x)

(x− x0)n.

Le ipotesi per applicare il teorema 80 sono soddisfatte, pertanto sussiste

limx→x0

n!f(x)− Tx0,n(x)

(x− x0)n= lim

x→x0n!f ′(x)− T ′x0,n(x)

n(x− x0)n−1.


purche il limite al secondo membro esista. Da semplici calcoli si ottiene che

T ′x0,n(x) = f ′(x0) + f ′′(x0)(x− x0) + · · ·+ f (n)(x0)

(n− 1)!(x− x0)n−1.

Dunque il secondo limite e ancora una forma indeterminata del tipo 00. E facile provare

che sussistono le ipotesi per applicare ripetutamente la regola di L’Hospital fino a n − 1volte, giungendo all’uguaglianza

limx→x0

n!f(x)− Tx0,n(x)

(x− x0)n= lim

x→x0n!f (n−1)(x)− f (n−1)(x0)− f (n)(x0)(x− x0)

n!(x− x0).

Portando fuori il termine costante, il limite al secondo membro puo essere scritto

−f (n)(x0) + limx→x0

f (n−1)(x)− f (n−1)(x0)

(x− x0),

Il secondo addendo e il limite del rapporto incrementale della funzione f (n−1) nel puntox0, che per ipotesi esiste ed e la derivata n−esima di f in x0, cioe f (n)(x0). Cio prova chela funzione α(x) e infinitesima al tendere di x a x0, come volevasi dimostrare.

Il precedente teorema permette di stabilire che la funzione resto Rx0,n(x) e un infini-tesimo di ordine superiore a n, tuttavia non consente di stimarne il valore, essendo lafunzione α non nota. Volendo quantificare l’errore di stima, e possibile ricorrere ad un’al-tra espressione del resto, detta di Lagrange, che viene presentata nel seguente teoremala cui dimostrazione, qui omessa, si basa sostanzialmente sull’applicazione reiterata delteorema di Cauchy:

Teorema 88 (Formula di Taylor con resto di Lagrange) Sia f : I → R una fun-zione definita su un intervallo aperto I in cui e derivabile fino all’ordine n + 1 e sia x0

in I. Allora vale la formula

f(x) = Tx0,n(x) +Rx0,n(x),

ove la funzione resto Rx0,n(x) e esprimibile nella forma

Rx0,n(x)def= f (n+1)(ξ)

(x− x0)n+1

(n+ 1)!

per qualche ξ tale che x < ξ < x0 (o x0 < ξ < x).

L’importanza del resto di Lagrange risiede nel fatto che permette di fornire stime quanti-tative dell’errore di approssimazione. Per esempio, se si sviluppa la funzione ex in 0 finoall’ordine 4 si ottiene il polinomio di Taylor

T4(x) = 1 + x+x2

2+ · · ·+ x4

4!,


con resto di Lagrange

R4(x) = eξx5

5!.

Indicata con e = T4(1) l’approssimazione del numero e1 = e fornita dal polinomio diTaylor, l’errore di approssimazione risulta

Edef= |e− e| = |R4(1)| = eξ

1

5!.

Poiche ξ deve essere compreso in ]0, 1[ ed inoltre e < 3, si puo sovrastimare l’errore diapprossimazione nel seguente modo:

E ≤ 3

120= 0.025.

Dal teorema 87 discende un utile criterio che specifica condizioni sufficienti affinche talepunto sia di massimo locale forte o minimo locale forte:

Teorema 89 Sia f : I → R una funzione definita su un intervallo aperto I in cui ederivabile fino all’ordine n− 1 e avente derivata n−esima nel punto x0 ∈ I. Si suppongainoltre che

f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 e f (n)(x0) 6= 0.

Si hanno i seguenti tre casi:

• se n e dispari, allora x0 non e ne di massimo ne di minimo locale;

• se n e pari ed e f (n)(x0) > 0, allora x0 e di minimo locale forte;

• se n e pari ed e f (n)(x0) < 0, allora x0 e di massimo locale forte.

Dim. Per il teorema 87, tenuto conto delle n− 1 derivate nulle in x0, vale la formula

f(x) = f(x0) + (f (n)(x0) + α(x))(x− x0)n

n!.

Per il teorema della permanenza del segno posso determinare un intorno aperto U di x0

in cui g(x)def= f (n)(x0) + α(x) abbia lo stesso segno di f (n)(x0). La formula puo quindi

essere scritta

f(x)− f(x0) = g(x)(x− x0)n

n!.

Il polinomio (x − x0)n per n dispari ha segno positivo se x > x0, negativo se x < x0

pertanto il segno di f(x) − f(x0) dovra per forza mutare passando per x0 da positivo anegativo o viceversa. Questo implica che per n dispari x0 non puo essere ne di massimone di minimo locale. Se invece n e pari, allora f(x)− f(x0) si annulla in x0 e il suo segnoper x ∈ U e x 6= x0 e quello di g, ovvero della derivata f (n)(x0). Pertanto se f (n)(x0) > 0,


per x ∈ U e x 6= x0 si avra f(x)− f(x0) > 0, cioe x0 e di minimo locale forte. Se invecef (n)(x0) < 0, per x ∈ U e x 6= x0 si avra f(x) − f(x0) < 0, cioe x0 e di massimo localeforte, come volevasi dimostrare.

I polinomi di Taylor sviluppati nel punto x0 = 0 si dicono anche polinomi di Mac Laurin.Si riporta di seguito lo sviluppo in polinomi di Mac Laurin di alcune funzioni elementari:

ex ≈ 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n+ . . . (9)

ln(x+ 1) ≈ x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

!n+ . . . (10)

cos(x) ≈ 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)k

x2k

(2k)!+ . . . (11)

sen(x) ≈ −x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)k

x2k+1

(2k + 1)!+ . . . (12)

14 TEORIA ELEMENTARE DELL’INTEGRAZIONE 102

14 Teoria elementare dell’integrazione

In questo capitolo s’introduce la teoria elementare dell’integrazione secondo Riemann.Verra presentata la definizione di integrale esteso ad un intervallo chiuso, o integraledefinito, evidenziandone l’importante significato geometrico che rimanda al problema piugenerale della misura dell’estensione di figure piane.

14.1 L’area del cerchio

Prima d’introdurre il problema generale della misura dell’estensione delle figure piane,che ci condurra in seguito alla definizione dell’integrale definito, in questa sezione si deli-neera un metodo per dedurre formalmente la ben nota formula dell’area del cerchio dalladefinizione dell’area del rettangolo, e quindi dei poligoni10.Se si considera un cerchio qualunque, ad esempio quello in figura 26, appare chiaro cheesistono infiniti poligoni come P ∗ che lo includono ed infiniti poligoni come P∗ che sonoinvece inclusi in esso. Assumendo che l’area del cerchio sia il numero reale A(C), dovraessere per ciascuna coppia di tali poligoni

A(P ∗) ≥ A(C) ≥ A(P∗).

C

P*

P*

Figura 26: poligoni inclusi e includenti il cerchio

Quindi, se si considerano l’insieme Σ∗ delle aree dei poligoni che contengono il cerchio el’insieme Σ∗ delle aree dei poligoni che invece sono contenuti nel cerchio, dovra essere

Σ∗ ≥ A(C) ≥ Σ∗.

Si ha quindi che gli insiemi Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi separate e l’area delcerchio A(C) deve essere quindi uno degli elementi separatori. Pertanto, se le due classisono contigue, A(C) viene ad essere necessariamente l’unico elemento separatore. Equesto, come si vedra tra breve, e esattamente cio che accade nel caso considerato.

10Infatti i poligoni risultano somma di triangoli, e l’area di ogni triangolo e riconducibile a quella di unopportuno rettangolo


Tra tutti i poligoni contenenti il cerchio e tra quelli in esso contenuti si considerino soloquelli regolari circoscritti ed inscritti al cerchio. Nella figura 27 e riportato il caso in cuitali poligoni hanno 8 lati, da cui si trarra la generalizzazione al caso di n lati.

O HKα

α

AB

Figura 27: poligoni inscritti e circoscritti al cerchio

Si indichino con An e Bn l’area dei poligono regolare di n lati circoscritto e, rispettiva-mente, inscritto nel cerchio. Osservato che

α = π/n,

con semplici considerazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli (AOH) e (BOK), sideduce che

An = n(OH · AH) = nr2 tg (πn)

Bn = n(OK ·BH) = nr2 sen(πn) cos(π

n)

All’aumentare del numero n di lati, si intuisce che i poligoni tendono sempre di piual cerchio, nel senso che gli spazi tra cerchi e poligoni tendono a diventare sempre piuesigui. Ora si provera a studiare il limite per n → ∞ delle aree An e Bn. Tenuto contodell’equivalenza d’infinitesimi tg z ∼ z e senz ∼ z, si ottiene facilmente che

limn→∞

An = limn→∞

Bn = πr2,

pertanto si deduce che Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi contigue il cui elementoseparatore e A(C) = πr2. Con questo procedimento si e quindi ottenuta la ben notaformula dell’area del cerchio.Astraendo il procedimento, e possibile introdurre una definizione precisa e coerente delconcetto di misura dell’estensione spaziale di una figura piana. Il vantaggio nel avertradotto un problema di misura di regioni in un problema topologico (cioe la ricercadell’elemento separatore di opportune classi contigue) risiede nel fatto che a quest’ultimopossono essere applicati con successo i potenti strumenti dell’analisi matematica sinorasviluppati.

14.2 Il trapezoide e i plurirettangoli

L’integrale definito, che tra breve verra introdotto, e strettamente legato al problemageometrico del calcolo dell’area della regione di piano racchiusa tra l’asse x e il grafico


di una funzione f positiva, definita su un intervallo I = [a, b]. Tale regione viene dettatrapezoide sotteso dal grafico di f e insiemisticamente corrieponde a

T = {(x, y) |x ∈ I, 0 ≤ y ≤ f(x)}.In figura 28 sono rappresentati il grafico di una siffatta funzione e del trapezoide che essaindividua.

x

y

T

y=f(x)

a b

Figura 28: il trapezoide T

Se per determinare l’area del cerchio si sono utilizzati poligoni, nel caso del trapezoide econveniente utilizzare plurirettangoli, ovvero figure formate dall’unione di rettangoli aventiun lato sull’asse x come quelli in figura 29.

x

y

R*

R*

a b

Figura 29: plurirettangoli inclusi ed includenti il trapezoide T

In analogia a quanto fatto nel caso del cerchio, si considera l’insieme Σ∗ delle aree deiplurirettangoli R∗ che contengono il trapezoide e l’insieme Σ∗ delle aree dei plurirettangoliR∗ inclusi nel trapezoide. Se le classi Σ∗ e Σ∗ formano una coppia di classi contigue,l’elemento separatore potra definire in modo univoco l’area del trapezoide. Di seguitoquesto procedimento verra precisato ed esteso anche al caso di funzioni di segno qualunque.


14.3 Le funzioni a scalino

I plurirettangoli, rispetto ad altri poligoni, hanno il vantaggio di poter essere pensati aloro volta come trapezoidi di funzioni costanti a tratti, dette anche a scalino. Ad esempio,il piu elementare plurirettangolo, cioe quello costituito da un solo rettangolo, puo esseredescritto mediante una funzione caratteristica:

Definizione 43 Dato un insieme A, si dice funzione caratteristica dell’insieme A lafunzione reale χA definita ponendo per ogni x ∈ R

χA(x) =

{1 x ∈ A,0 altrimenti.

E facile intuire che combinando opportunamente funzioni caratteristiche di intervalli,si potra ottenere una funzione costante a tratti che sottende all’asse x un qualunqueplurirettangolo. In generale, si puo dare la seguente definizione:

Definizione 44 Dato un intervallo chiuso e limitato I, si dice funzione a scalino asupporto in I ogni funzione che puo essere scritta nella forma

s =n∑i=1

anχIi ,

ove {I1, . . . , In} e un insieme finito di sottointervalli dell’intervallo I, due a due disgiunti,a1, . . . , an una n−upla di numeri reali e, per ogni i = 1, . . . , n, χIi e la funzione caratte-ristica dell’intervallo Ii. Per esemplificare, un grafico di funzione a scalino e riportato infigura 30.Si indichi con SI l’insieme delle funzioni a scalino con supporto in I. Inoltre, si associalla funzione a scalino s un numero reale σ(s), detto somma della funzione a scalino,ponendo

σ(s) =n∑i=1

aidi,

ove il numero reale di e il diametro, eventualmente nullo, dell’intervallo Ii, per i =1, . . . , n.

Alcune importanti osservazioni sulle funzioni a scalino sono le seguenti:

• se la funzione a scalino s e positiva, la sua somma σ(s) e l’area del trapezoide cheessa sottende all’asse x;

• se la funzione a scalino s assume valori di segno opposto, la sua somma σ(s) ela differenza algebrica tra l’area del plurirettangolo giacente nel semipiano delleordinate positive e l’area del plurirettangolo giacente nel semipiano delle ordinatenegative;


x

y

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

s=Σ ak χ

Ik

Figura 30: grafico di una funzione a scalino

• nella definizione di funzione a scalino gli intervalli Ii possono avere indifferen-te estremi chiusi o aperti o essere addirittura degeneri, questo cambia di fatto ilplurirettangolo, ma non la sua area;

• tanto combinazioni lineari, quanto i prodotti di funzioni a scalino di SI , risultanoancora funzioni a scalino di SI .

14.4 Definizione dell’integrale definito

Definizione 45 Dato un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] e una qualunque funzionereale limitata f : I → R si indichino con S∗ e S∗, rispettivamente, gli insiemi (non vuoti)delle funzioni a scalino a supporto in I che maggiorano e minorano f , ovvero

S∗ = {s ∈ SI |∀x ∈ I : s(x) ≥ f(x)}, S∗ = {s ∈ SI |∀x ∈ I : s(x) ≤ f(x)}.

Per brevita, S∗ e S∗ verranno detti, rispettivamente, insieme delle funzioni a scalinosuperiori e inferiori.Data una funzione a scalino inferiore s∗ ∈ S∗ il trapezoide ad essa associato viene dettoun prulirettangolo superiore e indicato con R(s∗), mentre per una funzione ad funzionea scalino superiore s∗ ∈ S∗ il trapezoide ad essa associato viene detto un plurirettangoloinferiore e indicato con R(s∗).Infine, si indichi con Σ∗ e Σ∗, rispettivamente, gli insiemi delle aree dei plurirettangoli su-periori ed inferiori, che si diranno, per brevita, insiemi delle somme superiori ed inferiori.Formalmente valgon ole seguenti uguaglianze

Σ∗ = {σ(s)|s ∈ S∗}, Σ∗ = {σ(s)|s ∈ S∗}.

Si dice integrale superiore della funzione f il numero reale∫ ∗f = inf Σ∗


e integrale inferiore della funzione f il numero reale∫∗f = sup Σ∗.

Quando le classi Σ∗ e Σ∗ sono contigue, l’integrale inferiore e superiore coincidono in unvalore che viene detto integrale della funzione f esteso ad I e indicato con uno qualunquedei seguenti simboli ∫ b

a

f(x) dx,

∫ b

a

f,

∫[a, b]

f.

Le funzioni per cui vale questa proprieta si dicono integrabili (alla Riemann) nell’intervalloI.

Tenuto conto della definizione di classi contigue, l’integrabilita di una funzione si puoquindi immediatamente esprimere anche nel seguente modo:

Proposizione 90 Una funzione f e integrabile su un intervallo I se e solo se in cor-rispondenza ad ogni ε > 0 e possibile di determinare due funzioni a scalino s∗ e s∗ consupporto in I tali che s∗ ≤ f ≤ s∗ e σ(s∗)− σ(s∗) < ε.

Esempio 10 Non tutte le funzioni sono integrabili alla Riemann. Si prenda ad esempio la funzione di Dirichlet, ovvero la

funzione χQ che vale 1 sui reali razionali e 0 sui reali irrazionali. Considerata la densita di Q in R, in ogni intervallo, anche

di dimensioni piccolissime, esisteranno infiniti punti in cui χQ vale 1 ed infiniti punti in cui vale 0. Pertanto, nell’intervallo

[0, 1], le funzioni a scalino inferiori s∗ ≤ χQ avranno tutte somma 0, mentre quelle superiori s∗ ≥ χQ avranno tutte somma

1. Avendo integrale superiore pari a 1 e integrale inferiore pari a 0, la funzione χQ non e integrabile.

Esempio 11 Una fatto ormai chiaro e che ogni funzione a scalino s definita in [a, b] risulta sempre integrabile in taleintervallo e la sua somma coincide con il suo integrale, cioe si ha

∫ b

as(x) dx = σ(s).

Infatti, dato che s e a scalino essa e funzione a scalino superiore ed inferiore di se stessa, ovvero s ∈ §∗(s)∩ S∗(s), pertanto

la sua somma σ(s) risulta l’unico elemento che separa le classi Σ∗(s) e Σ∗(s) delle somme superiori ed inferiori di s.

14.5 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzionipositive

Nel caso in cui la funzione f , definita sull’intervallo I = [a, b], risulta positiva e limitata,ogni funzione a scalino superiore s∗ ed ogni funzione a scalino inferiore (positiva) s∗soddisfano

R(s∗) ⊆ T ⊆ R(s∗),


inoltre e immediato costatare che

σ(s∗) = Area(R(s∗)) e σ(s∗) = Area(R(s∗)).

Pertanto, se la funzione f e integrabile, il suo integrale esteso ad I risulta l’unico elementoseparatore tra l’insieme Σ∗ delle aree inferiori e l’insieme Σ∗ delle aree superiori. In altreparole:

per un arbitrario ε > 0 e possibile trovare due plurirettangoloidi R∗ e R∗, ilprimo contenente T , l’altro contenuto in T , le cui aree differiscono a meno diε, ovvero

Area(R∗)− Area(R∗) < ε.

Questa situazione e rappresentata nella figura 29, in cui si puo notare che la superficiepiu scura e la differenza tra i due plurirettangoli. Ammesso che si sappia calcolare l’areadel trapezoide T , le aree dei plurirettangoli R∗ e R∗ ne costituiscono un’approssimazionesuperiore e, rispettivamente, inferiore, con un errore di approssimazione inferiore a ε.Pertanto, in accordo all’intuizione geometrica e coerentemente con la misura delle areedei poligoni, si puo definire univocamente l’area del trapezoide T come l’integrale di festeso ad I. Piu precisamente:

Definizione 46 Data una funzione f definita su I, positiva e integrabile, si dice area deltrapezoide sotteso da f il numero reale

Area(T )def=

∫ b

a

f(x) dx.

14.6 Proprieta fondamentali dell’integrale definito

Si presenteranno ora alcune fondamentali proprieta dell’integrale definito. Un primo risul-tato e che combinando linearmente funzioni integrabili si ottiene una funzione integrabileil cui integrale e combinazione lineare degli integrali delle funzioni di partenza. Questaproprieta puo essere espressa con un linguaggio piu tecnico dicendo che l’integale definitoe un operatore lineare sullo spazio vettoriale delle funzioni integrabili. Piu precisamentevale il seguente teorema:

Proposizione 91 (Linearita dell’integrale definito) 11Siano f e g integrabile su [a, b],α, β ∈ R due numeri reali arbitrari, allora la funzione αf + βg e integrabile su I e∫ b

a

(αf + βg) = α

∫ b

a

f + β

∫ b

a

g.

L’operatore integrale gode inoltre della proprieta di monotona crescenza espressa nelseguente teorema:

11Dimostrazione in appendice C.


Proposizione 92 (Monotonicita dell’integrale definito) 12 Siano f e g integrabilesu [a, b], se f ≤ g allora ∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.

Se si seziona verticalmente un trapezoide si ottengono due trapezoidi la cui somma e equi-valente al trapezoide iniziale. A partire da questa considerazione geometrica e possibiledimostrare il seguente risultato che riveste grande importanza:

Teorema 93 (Addittivita nei sottointervalli) 13Sia f integrabile su [a, b], e sia c unpunto interno all’intervallo. Allora f risulta integrabile sui sottointervalli [a, c] e [c, b] evale la seguente relazione ∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f.

L’ultimo risultato che viene presentato in questa sezione si basa sulla seguente osserva-zione. La somma definito per le funzione a scalino non dipende dai valori che questeassumono negli eventuali intervalli degeneri, cioe di lunghezza nulla, e tanto meno dalvalore che queste assumono agli estremi degli intervalli non degeneri. Ci si aspetta quindiche una qualunque modifica effettuata ad un numero finito di valori di una funzione in-tegrabile la mantenga integrabile e non ne alteri l’integrale. Cio e stabilito formalmentedal seguente teorema:

Teorema 94 14Se una funzione integrabile su un intervallo I viene arbitrariamente ride-finita in uno numero finito di punti del suo dominio, allora rimane integrabile in I, conintegrale immutato.

14.7 Significato geometrico dell’integrale definito per le funzionidi segno alterno

Quanto stabilito sul significato geometrico dell’integrale definito per le funzioni positive,puo essere in qualche modo esteso al caso di funzioni di segno alterno.Si consideri innanzitutto il caso di una funzione f integrabile su I = [a, b], tale che f ≥ 0su [a, c] e f ≤ 0 su [c, b], per un punto c interno ad I. Dal teorema 93 segue che∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx,

12Dimostrazione in appendice C.13Si puo dimostrare anche un teorema inverso, ovvero che se f e integrabile nei due sottointervalli

allora risulta integrabile in quello iniziale. In appendice C viene riportato un teorema che si estende intal senso e inoltre e applicabile al caso in cui l’intervallo si ripartisce in piu due sottointervalli.

14Dimostrazione in appendice C.


che puo scriversi anche∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx−∫ b

c

(−f(x)) dx.

E immediato riconoscere nei due integra-li al secondo membro, in accordo alladefinizione 46, l’area dei trapezoidi

T+ = {(x, y) |x ∈ [a, c], 0 ≤ y ≤ f(x)},

T− = {(x, y) |x ∈ [c, b], f(x) ≤ y ≤ 0},

che f individua con l’asse x nei semipiani y ≥0 e, rispettivamente, y ≤ 0. Pertanto si puoscrivere∫ b

a

f(x) dx = Area(T+)− Area(T−).

x

y

T−

y=f(x)

a b

T+

c

La generalizzazione della precedente formula e ovvia: l’integrale di f esteso ad I risultala somma algebrica delle aree dei trapezoidi che f sottende con l’asse delle x prendendolecon segno positivo se questi trapezoidi giacciono nel semipiano delle ordinate positivo,con segno negativo altrimenti.

14.8 Integrale in un intervallo orientato: teoremi di additivitae della media

Data una funzione f integrabile su un intervallo J , per ogni coppia (a, b) ∈ J × J , aventea < b, in virtu del corollario 121, e ben definito l’integrale∫ b

a

f(x) dx,

che pertanto puo essere pensato come funzione dei due estremi a, b prescelti. Per tutte lealtre coppie (a, b) ∈ J × J , poniamo invece∫ b

a

f(x) dxdef= −

∫ a

b

f(x) dx nel caso in cui a > b,

e ∫ b

a

f(x) dxdef= 0 nel caso in cui a = b.

Questa estensione della definizione di integrale prende il nome di integrale di f estesoall’intervallo orientato (a, b). Vale la seguente estensione del teorema 93 al caso degliintegrali estesi su intervalli orientati:


Teorema 95 [Teorema di additivita nei sottointervalli orientati] Data una funzione fintegrabile su un intervallo J e presa una qualunque terna di punti a, b, c ∈ J si ha che∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

Dim. Se a = b la tesi risulta banale conseguenza della definizione di integrale estesoad un intervallo orientato. Senza perdita di generalita si puo assumere a < b, infatti, incaso contrario, si puo comunque scambiarne tutti gli estremi nell’uguaglianza integraleottenendone una del tutto equivalente. Se c e interno ad [a, b] la tesi discende dal teore-ma 93. Se c = a oppure c = b, uno dei due integrali nel secondo membro dell’uguaglianzaintegrale e nullo e la tesi risulta banale conseguenza. Rimangono da considerare due casi:c < a e c > b. Si dimostra qui il primo caso, lasciando il secondo al lettore volenteroso.Si assuma quindi c < a < b. Per il teorema 93 segue∫ b

c

f(x) dx =

∫ a

c

f(x) dx+

∫ b

a

f(x) dx,

cioe ∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

c

f(x) dx−∫ a

c

f(x) dx,

che, per definizione d’integrale su intervallo orientato, puo scriversi∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

c

f(x) dx+

∫ c

a

f(x) dx,


Teorema 96 (Teorema della media) Sia f funzione integrabile in I allora il suo valormedio integrale e compreso tra gli estremi inferiore e superiore di f su I, ovvero

infx∈I

f(x) ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ supx∈I

f(x).

Dim. La tesi equivale a

(b− a) infx∈I

f(x) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ (b− a) supx∈I

f(x),


che puo essere scritta in termini di sommesuperiori ed inferiori nella forma equivalente

σ(s∗) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ σ(s∗),

ove si e posto s∗ e s∗ sono, rispettivamente,la funzione costante su I di valore infx∈I ela funzione costante di valore supx∈I ; ovvia-mente s∗ e s∗ sono, rispettivamente, funzio-ne a scalino inferiore e superiore. Dal fattoche l’integrale

∫ baf(x) e (l’unico) elemento se-

paratore delle classi delle somme superiori edi quelle inferiori, segue immediatamente latesi.

x

y

y=f(x)

a b

sup(f)

inf(f)y=s

*(x)

y=s*(x)

Osservazione 2 Se la funzione f e continua, nell’intervallo I sono soddisfatte le ipotesidel teorema dei valori intermedi; sotto queste ipotesi il il teorema della media implical’esistenza di un valore x0 ∈ I tale per cui

f(x0) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.

14.9 Integrazione di funzioni continue

In questa sezione ci si occupera dell’integrazione delle funzioni continue. Il primo risultatoche verra presentato e l’integrabilita di tutte le funzioni continue. Si mostrera in seguitoil profondo legame tra l’integrazione e il problema della ricerca di primitive di una datafunzione, pervenendo al teorema fondamentale del calcolo integrale e alla utile formula diNewton-Leibniz.

Teorema 97 Ogni funzione continua definita su un intervallo I = [a, b] e integrabile.

Dim. La funzione f e continua su un intervallo chiuso limitato di R pertanto risultalimitata e uniformemente continua su I (vedi teorema 66). Dunque, dato un qualunqueε > 0 esistera un qualche δ > 0 tale che per ogni x1, x2 ∈ I

|x1 − x2| < δ → |f(x1)− f(x2)| < ε

b− a. (13)

E possibile scegliere una suddivisione di I costituita da n intervalli I1, . . . , In di ugualediametro d = (b − a)/n < δ. Per il teorema di Weierstrass, la funzione f assume suciascun sottointervallo Ik un massimo valore Mk = f(xk) e minimo valore mk = f(wk),per qualche xk, wk ∈ Ik, per ciascun indice k = 1, . . . , n.


Dato che tutti gli intervalli della suddivisionehanno diametro inferiore a δ, dalla relazioneeq. 13 si deduce che |Mk − mk| < ε

b−a , perogni k = 1, . . . , n.Si considerino ora le seguenti funzioni ascalino

s∗ =n∑k=1

Mk · χIk ,

s∗ =n∑k=1

mk · χIk .x

y

d

I4

y=f(x)

a b

M4

m4

< ε/(b−a)

Per costruzione si avra che s∗ e s∗ sono, rispettivamente, due funzioni a scalino superioreed inferiore, inoltre vale la seguente catena di disuguaglianze

σ(s∗)− σ(s∗) = (M1 −m1)d+ · · ·+ (Mn −mn)d = dn∑k=1

(Mk −mk) <

< dn∑k=1

ε

b− a= dn

ε

b− a= ε.

Pertanto, in virtu del teorema 90, la funzione f risulta integrabile in I.

La presenza di discontinuita in una funzione non comporta necessariamente la sua nonintegrabilita. Ad esempio, si puo stabilire il seguente teorema:

Teorema 98 15 Se f e una funzione definita su un intervallo chiuso I, continua ovunquetranne che in un insieme finito di punti in cui ammette discontinuita di tipo salto, cioenei quali esistono finiti i limiti destro e sinistro, allora f risulta integrabile su I.

Il risultato cruciale della sezione, noto come teorema fondamentale del calcolo integrale,mostra come l’integrale di Riemann sia strettamente connesso al problema della ricercadi primitive di una funzione f , cioe di quelle funzioni la cui derivata e la funzione f :

Teorema 99 (Teorema fondamentale del calcolo integrale) 16 Sia f una funzionecontinua su un intervallo aperto I e c un qualunque punto di I. La funzione integrale Fdefinita ponendo per ogni x ∈ I

F (x)def=

∫ x

c

f(t) dt.

15Dimostrazione in appendice C.16Nel teorema si fa l’ipotesi che f sia definita in un intervallo aperto, tuttavia in molte circostanze si vo-

gliono considerare anche funzioni definite su intervalli chiusi. Con minimi cambiamenti alla dimostrazionepresentata per intervalli aperti, si puo dedurre la seguente generalizzazione:Supposto che f sia continua su un intervallo chiuso [a, b], la funzione integrale F (x) risulta continua

su [a, b], derivabile nei punti interni dell’intervallo con DF (x) = f(x) e, negli estremi a, b, esistono lederivate destra e sinistra di F che soddisfano le relazioni D+F (a) = f(a) e D−F (b) = f(b).


e derivabile su I e si ha F ′(x) = f(x) per ogni x ∈ I.

Dim. Sia c = x0 scelto arbitrariamente in I. Per ogni x ∈ I r {x0}, il rapportoincrementale di F in x0 soddisfa l’uguaglianza

F (x)− F (x0)

x− x0

=

∫ xcf(t) dt−

∫ x0cf(t) dt

x− x0

=

∫ cx0f(t) dt+

∫ xcf(t) dt

x− x0

,

che, mediante il teorema 95, puo scriversi equivalentemente∫ xx0f(t) dt

x− x0

.

Si studia innanzitutto il caso in cui x0 < x.Per il teorema della media integrale (si vedain particolare l’osservazione 2), esistera unvalore x0 ≤ zx ≤ x, tale che

F (x)− F (x0)

x− x0

= f(zx).

Quanto x viene fatta tendere a x0 anche ilpunto zx necessariamente tendera a x0 e,in virtu della continuita di f in x0, si avraquindi

limx→x+0

f(zx) = f(x0).

x

y

y=f(x)

a b

yz

x0

xzx

Tale limite implica

D+F (x0) = limx→x+0

F (x)− F (x0)

x− x0

= f(x0).

Procedendo in modo analogo nel caso in cui x < x0, si perviene all’uguaglianzaD−F (x0) =f(x0), da cui si conclude che DF (x0) = f(x0), come volevasi dimostrare.

Esempio 12 Se si considera la funzione costante f(x) = k, e si fissa un punto c qualunque della retta reale, tenuto conto delsignificato geometrico dell’integrale definito, e facile costatare che per ogni x in R, la funzione integrale definita nel teoremaprecedente risulta

F (x) =

∫ x

ck dt = k(x− c).

Si ha ovviamente DF (x) = D[k(x− c)] = k = f(x), per ogni x ∈ R.

Si vedra ora come la primitiva determinata nel teorema precedente permette di generaretutte le altre primitive della funzione f :


Teorema 100 Sia f una funzione continua su un intervallo aperto I. L’insieme di tuttele primitive di f su I e dato dalla famiglia di funzioni

F (x)def=

∫ x

c

f(t) dt+ k,

al variare di k ∈ R, con c un qualunque punto fissato in I.

Dim. Sia F la primitiva definita nel teorema 99 e G una qualunque altra primitiva dif su I. Per definizione si avra D(G − F )(x) = DG(x) − DF (x) = f(x) − f(x) = 0 perogni x ∈ I. Ma una funzione la cui derivata e nulla in tutti i punti di un intervallo enecessariamente costante (vedi il teorema 75). Pertanto esistera k ∈ R tale che per ognix ∈ I si ha

(G− F )(x) = k,

cioe

G(x) = F (x) + k =

∫ x

c

f(t) dt+ k,


Se e nota una primitiva di una funzione continua f su un intervallo I allora si puo calcolarciimmediatamente l’integrale di f esteso ad I grazie al seguente risultato:

Corollario 101 (Formula di Newton-Leibniz) Sia f una funzione continua su [a, b]e F una sua qualunque primitiva, allora∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Dim. Se F e una primitiva di f allora per il teorema 100 esistera k ∈ R tale che

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt+ k,

pertanto

F (b)− F (a) =

(∫ b

a

f(t) dt+ k

)−(∫ a

a

f(t) dt+ k

)=

∫ b

a

f(t) dt,


Infine, viene presentata una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo inte-grale:


Corollario 102 Sia f una funzione continua su I =]a, b] e α, β due funzioni reali definitesu un intervallo J =]c, d[ a valori in I continue e derivabili, la funzione G definita ponendoper ogni x ∈ J

G(x) =

∫ β(x)

α(x)

f(t) dt,

e continua e derivabile su J , con derivata soddisfacente

G′(x) = f(β(x))β′(x)− f(α(x))α′(x).

Dim. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzione f ammette unaprimitiva F in I, che per ogni z ∈ I puo scriversi nella forma

F (z) =

∫ z

c

f(t) dt.

Ora, per le proprieta dell’integrale definito, e evidente che

G(x) = F (β(x))− F (α(x)),

pertanto, in virtu del teorema di derivazione delle funzioni composte, G risulta derivabilein I con derivata G′ soddisfacente

G′(x) = f(β(x))β′(x)− f(α(x))α′(x),

per ogni x ∈ J , come volevasi dimostrare.

14.10 Volume dei solidi di rotazione

Sia f una funzione positiva e continua sull’intervallo [a, b]. Detto T il trapezoide che essaindividua con l’asse x, si vuole determinare il volume del solido ottenuto da una rotazionedel trapezoide T attorno all’asse x. In figura 31 e rappresentato il solido ottenuto tramiteuna rotazione di un angolo α = 15

8π.

Per semplificare le cose, si supponga che la figura solida F sia ottenuta tramite unarotazione completa del trapezoide. Se si considera una funzione a scalino (positiva) s deltipo

s(x) = Σni=1aiχIi ,

tramite una rotazione attorno all’asse x essa genera un pluricilindro il cui volume e

µ(s) = Σni=1πa

2i di.

Se s e funzione a scalino superiore, allora il pluricilindro includera il solido F , altrimenti,se e funzione a scalino inferiore, il pluricilindro sara contenuto nel solido F . Pertanto, segli insiemi dei volumi dei pluricilindri superiori ed inferiori formano una coppia di classicontigue, non resta che concludere che l’elemento separatore deve essere necessariamente


x

y=f(x)

T

z

y

Figura 31: figura solida generata dalla rotazione del trapezoide T attorno all’asse x

x

y=f(x)

y=s*(x)

z

y

Figura 32: pluricilindro generato dalla funzione a scalino s∗

il volume del solido F . In figura 32 sono rappresentati i primi tre cilindri del pluricilindroindividuato dalla funzione a scalino inferiore s∗.Si osservi ora che il volume µ(s) del pluricilindro individato da s soddisfa

µ(s) = Σni=1πa

2i di = πΣn

i=1a2i di = σ(πs2).

Si osservi inoltre che, formalmente, il volume del pluricilindro individuato da s corrispondeall’area del plurirettangolo individuato dalla funzione a scalino πs2.Se s e funzione a scalino positiva superiore (risp. inferiore) di f allora πs2 e funzione ascalino superiore (risp. inferiore) della funzione πf 2, viceversa se s e funzione a scalinopositiva superiore (risp. inferiore) della funzione πf 2 allora

√sπ

e funzione a scalinosuperiore (risp. inferiore) di f . Tenuto conto della continuita di f , da cui segue quelladi πf 2, si puo quindi dedurre che il volume di F corrisponde formalmente all’area deltrapezoide individuato da funzione πf 2, ovvero sussiste la relazione

vol(F) =

∫ b

a

πf 2(x) dx.


Riprendendo il ragionamento nel caso di una generica rotazione α, si perviene facilmentead una generalizzazione della formula precedente17:

vol(F) =α

2

∫ b

a

f 2(x) dx.

14.11 Lunghezza di un arco di curva

Si considera in questa sezione il problema della misura della lunghezza di un generico arcodi curva γ, grafico di una funzione reale continua f : [a, b]→ R.Il problema della misura della lunghezza di γ puo essere affrontato in modo analogo a quel-lo della misura dell’area del trapezoide, ovvero ricorrendo a curve particolari di lunghezzanota che approssimano l’arco γ. Se per il trapezoide si e fatto ricorso ai plurirettango-li, per l’arco di curva si ricorrera a poligonali, ovvero curve ottenute giustapponendo unnumero finito di segmenti.Si premette innanzitutto la seguente definizione: un qualunque sottoinsieme finito

D = {x0, x1, . . . , xn},

costituito da punti consecutivi dell’intervallo [a, b], tali che x0 = a e xn = b, prende ilnome di suddivisione dell’intervallo [a, b].

x

y

y=f(x)

x0

xn

x1

x2

xk

P0

Pn

P1

P2

Pk

Figura 33: arco di curva e poligonale approssimante

Come esemplificato in figura 33, fissata una qualunque suddivisione D, si indicano con P0,P1, . . . , Pn i relativi punti sul grafico γ e con `D la lunghezza della poligonale individuatada tali punti, ovvero

`D = Σnk=0PkP k+1.

17Tale generalizzazione puo ovviamente essere dedotta anche per mezzo dal Principio di Cavalieri,tenuto conto del rapporto di proporzionalita esistente tra area di uno spicchio di cerchio e ampiezza delsuo angolo al centro.


In virtu della disuguaglianza triangolare, e facile provare che se in una data suddivisioneD intercaliamo un nuovo punto, la poligonale che cosı andiamo ad ottenere avra lunghezzamaggiore della precedente. Infatti, un segmento di estremi A e B di quest’ultima, vienesostituito nella nuova poligonale da due segmenti contigui AC e CB, e ovviamente AB <AC + CB. In questo senso, commettendo un piccolo abuso di linguaggio, si puo dire chele poligonali crescono in lunghezza all’aumentare del numero di punti della suddivisione,tendendo ad approssimarsi sempre piu all’arco γ.

Per quanto sopra detto, si dira lunghezza `(γ) dell’arco continuo γ, l’estremo superiore del-le lunghezze `D delle poligonali al variare di tutte le possibili suddivisioni D dell’intervallo[a, b], ovvero:

`(γ)def= sup

D`D;

si dira inoltre che l’arco γ e rettificabile quando `(γ) <∞.

Si consideri ora la figura 34, in cui e rappresentato un segmento di poligonale PP ′ relativoai due punti x e x+ dx dell’intervallo [a, b] di definizione della funzione f .

x

y

y

y+dy

y=f(x)

x x+dx

P

P’

Figura 34: arco di curva e poligonale approssimante

Si osservi che la lunghezza d` del segmento PP ′ soddisfa:

d` =√dx2 + dy2 =

√1 +

(dy

dx

)2

dx.

Se la funzione f e derivabile, quando l’incremento dx tende a zero, la lunghezza d` delsegmento di poligonale anch’essa tende a zero, e vale la seguente relazione di equivalenza

d` ∼√

1 + (f ′(x))2 dx.

Pensando all’arco γ come alla somma di infiniti segmenti di poligonale di lunghezzainfinitesima, si giunge a al seguente teorema, di cui si omette la dimostrazione18.

18Una dimostrazione del teorema puo essere trovata in G. Prodi, Analisi matematica, collezioneProgramma di Matematica, Fisica, Elettronica, ed. Bollati Boringhieri.


Teorema 103 Data una funzione continua f : [a, b]→ R continua, derivabile nei puntiinterni, con derivata continua in ]a, b[ ed estendibile per continuita anche sugli estremi,l’arco si curva γ, grafico di f , e rettificabile e la sua lunghezza ` soddisfa:

` =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

14.12 Integrali impropri

Si considera in questa sezione una funzione f continua definita su un intervallo [a, b[ apertoad un estremo, che eventualmente puo essere infinito. Per il teorema d’integrabilita dellefunzioni continue, f risulta integrabile in ogni intervallo chiuso limitato del tipo [a, c]contenuto in [a, b[. Se esiste finito od infinito il limite

limc→b−

∫ c

a

f(x) dx,

allora tale limite viene detto integrale improprio della funzione f nell’intervallo [a, b[. Insimboli, si scrivera ∫ b

a

f(x) dxdef= lim

c→b−

∫ c

a

f(x) dx.

La definizione di integrale improprio e coerente con quella di integrale definito, infatti siha:

Proposizione 104 Sia f funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora∫ b

a

f(t) dt = limx→b

∫ x

a

f(t) dt.

Dim. La dimostrazione e banale conseguenza del teorema fondamentale del calcolo in-tegrale. Infatti, la funzione integrale F (x) =

∫ xaf(t) dt e continua a sinistra in x = b,

pertanto F (x)→ F (b) quando x→ b−.Si presentano di seguito alcuni esempi di un integrale improprio e del suo significativogeometrico:

Esempio 13 Si calcoli l’integrale improprio della funzione x 7→ e−x nell’intervallo [0, +∞[.

Si osservi che ∫ b

0e−x dx = [−e−x]b0 = 1− e−b,

pertanto, passando al limite per b→ +∞, ∫ +∞

0e−x dx

def= lim

b→+∞(1− e−b) = 1.

L’interpretazione geometrica di questo fatto e che l’area della regione illimitata del primo quadrante racchiusa tra l’asse xla retta x = 0 e la curva y = e−x ha area finita unitaria. Nella figura 35 e rappresentato il grafico di tale regione.


x

y

y=e−x

0 b

Figura 35: trapezoide illimitato e integrale improprio

Esempio 14 Si calcoli l’integrale improprio della funzione x 7→ 1√x

nell’intervallo ]0, 1].

Si osservi che ∫ 1

a

1√xdx = [2

√x]a1 = 2−

√a,

pertanto, passando al limite per a→ 0+,

∫ 1

0

1√xdx

def= lim

a→=+(2−

√a) = 2.

E possibile estendere gli integrali impropri anche a funzioni definite su intervalli apertidel tipo ]a, b[. Per fare questo, fissato un qualunque punto a < c < b, si definisce∫ b

a

f(t) dtdef= lim

x→a+

∫ c

x

f(t) dt+ limx→b−

∫ x

c

f(t) dt,

intendendo con tale relazione che l’integrale improprio su ]a, b[ e definito quando esistonoentrambi i limiti e nel caso in cui siano entrambi infiniti si richiede che abbiano lo stessosegno. A questo proposito si consideri attentamente il seguente esempio:

Esempio 15 L’integrale improprio di senx esteso a R non esiste.

Fissato c = 0, integrando cos t nell’intervallo [0, x] si ottiene∫ x

0sent dt = [− cos t]x0 = 1− cosx,

pertanto, tenuto conto del comportamento oscillante di 1 − cosx al tendere di x → +∞, l’integrale improprio esteso a[0, +∞[ non esiste, e quindi nemmeno quello esteso a ]−∞, +∞[.Tuttavia, se si considera l’integrale definito nell’intervallo ]− x, x[, si ha∫ x

−xsent dt = [− cos t]x−x = 0.

Questo fatto e abbastanza ovvio, se teniamo conto che sent e una funzione dispari, e potrebbe erroneamente indurre ad

affermare che esiste l’integrale ] − ∞, +∞[ ed e nullo; infatti questo approccio e in contrasto con quanto previsto dalla

definizione di questa tipologia di integrali impropri.

15 INTEGRAZIONE NUMERICA 122

15 Integrazione numerica

Vengono presentati in questa sezione i metodi d’integrazione numerica dei trapezi e deirettangoli per il calcolo approssimato dell’integrale definito di una funzione, e la relativastima dell’errore di approssimazione.

15.1 Metodo dei rettangoli

Data una funzione f a integrabile nell’intervallo chiuso I = [a, b] e fissato un natu-rale n > 1, si consideri la suddivisione dell’intervallo I in n intervallini contigui I1 =[x0, x1], . . . , In =]xn−1, xn], ciascuno dei quali di ampiezza d = b−a

n. Posto yk = f(xk); si

consideri quindi la funzione a scalino

sn =n∑k=1

yk · χIk ,

il cui integrale e

In =

∫ b

a

sn = σ(sn) =b− an

n∑k=1

yk.

Si ponga ora

I =

∫ b

a

f(x) dx,

al crescere del numero n di intervalli della suddivisione ci si aspetta che la funzione ascalino approssimi sempre piu accuratamente l’andamento della funzione f e quindi cheIn converga verso I. Tale fatto risulta senz’altro vero per le funzioni continue. Un graficoche rappresenta il procedimento sopra descritto e riportato in figura 36.

x

y

d

I4

y=f(x)

a b

f(x3)

f(x4)

Figura 36: grafico di f e della funzione a scalino sn


Per valutare la bonta dell’approssimazione si introduce l’errore di approssimazione Edefinito ponendo:

Edef= |I − In|.

Per le funzioni continue e derivabili con derivata limitata, cioe le funzioni per le qualiesiste una costante L1 tale che |f ′(x)| ≤ L1 per ogni x ∈]a, b[, si puo fornire la seguentestima dell’errore di approssimazione

E ≤ L1

2

(b− a)2

n,

oveL1

def= sup

x∈]a, b[

f ′(x),

pertanto, al tendere di n all’infinito, l’errore di approssimazione, come previsto, tendea zero con l’ordine di infinitesimo di 1/n. Come era prevedibile l’errore dipende dallacostante L1, che e tanto maggiore quanto piu accentuato e il carattere oscillante dellafunzione integranda, cosa che rende via via meno accurata l’approssimazione di f con lafunzione a scalino sn a parita del numero n di scalini.La dimostrazione della validita della stima dell’errore e abbastanza semplice. Innanzituttooccorre ricavare una stima dell’oscillazione della funzione f . Per il teorema di Lagrange,per ogni coppia u1, u2 ∈ I, esiste un qualche ξ ∈]a, b[ tale che

f(u2)− f(u1)

u2 − u1

= f ′(ξ),

da cui discende|f(u2)− f(u1)||u2 − u1|

= |f ′(ξ)|,

che equivale a|f(u2)− f(u1)| = |f ′(ξ)||u2 − u1|.

Se |f ′(x)| ≤ L1, l’oscillazione dei valori della funzione f puo essere stimata da

|f(u2)− f(u1)| ≤ L1|u2 − u1|. (14)

Si osservi ora che applicando (14) nel k−esimo intervallino si puo scrivere |yk − f(x)| ≤L1(xk − x), cioe

−L1(xk − x) ≤ f(x)− yk ≤ L1(xk − x).

Si osservi che la precedente relazione si puo esprimere dicendo che, relativamente allastriscia individuata dall’intervallino k−esimo, il grafico y = f(x) e compreso tra le duerette passanti per il punto (xk, yk) aventi coefficienti angolari L1 e −L1, come illustratonella figura 37.

Integrando i tre membri nell’intervallino Ik, si ottiene quindi

−1

2L1d

2 ≤∫ xk

xk−1

f(x) dx− ykd ≤1

2L1d

2.


x

y

Ik

y=f(x)

a b

yk

yk−L

1d

yk+L

1d

Figura 37: stima nel k-esimo intervallino

Considerando la precedente catena di disuguaglianze per ciascuno degli n intervallini esommando i corrispondenti membri si ottiene

−n1

2L1d

2 ≤ I − In ≤ n1

2L1d

2,

da cui segue la seguente stima dell’errore di approssimazione

|I − In| ≤ nL1

2

(b− a)2

n2=L1

2

(b− a)2

n.

15.2 Metodo dei trapezi

Data una funzione f a integrabile nell’intervallo chiuso I = [a, b] e fissato un natu-rale n > 1 si consideri la suddivisione dell’intervallo I in n intervallini contigui I1 =[x0, x1], . . . , In =]xn−1, xn], ciascuno dei quali di ampiezza d = b−a

n. Al posto della fun-

zione a scalino adottata nel metodo dei rettangoli, ora si cerchera un’approssimazione delgrafico di f mediante la spezzata che ne congiunge i punti di ascissa x0, . . . , xn. Postoyk = f(xk), la funzione approssimante puo essere scritta come segue

tn(x)def=

y0 +

y1)− y0

d(x− x0) se x ∈ I1,

. . .

yn−1 +yn − yn−1

d(x− xn−1) se x ∈ In.

L’integrale di tn fornisce un’approssimazione dell’integrale di f e da semplici calcoli risulta

In =

∫ b

a

tn =b− an

n∑k=1

yk−1)− yk2

,


che puo scriversi anche

In =b− an

(y0 + yn

2+

n−1∑k=1

yk

).

Un grafico che rappresenta il procedimento sopra descritto e riportato in figura 38.

x

y

d

I2

y=f(x)

a b

f(x1)

f(x2)

x1

x2

x3

x4

Figura 38: grafico di f e della funzione a trapezi tn

La convergenza a zero dell’errore di approssimazione fornita dal metodo dei trapezi ein genere migliore di quella del metodo dei rettangoli all’aumentare del numero n deisottointervalli della suddivisione. In particolare, per le funzioni continue e derivabilidue volte con derivata seconda limitata in ]a, b[, vale la seguente stima dell’errore diapprossimazione

E = |I − In| ≤K

12

(b− a)3

n2,

oveK

def= sup

x∈]a, b[

|f ′′(x)|,

di pero non viene qui presentata la laboriosa dimostrazione.

16 INTEGRALE INDEFINITO 126

16 Integrale indefinito

Si introduce in questa sezione il concetto d’integrale definito, che si richiama a quello diprimitiva di una funzione, e quindi al calcolo dell’integrale definito.

Definizione 47 Data una funzione f definita su un intervallo aperto I si dice integraleindefinito di f l’insieme di tutte le primitive della funzione f e lo si indica in simboli con∫

f(x) dx.

Una prima immediata considerazione discende dal teorema fondamentale del calcolo in-tegrale. Infatti, se f e continua sull’intervallo I e x0 un arbitrario punto di I, alloral’integrale indefinito di f su I e dato dalla famiglia di funzioni integrali:

Fk(x) =

∫ x

x0

f(x) dx+ k, al variare di k ∈ R.

16.1 Integrazione di funzioni elementari

Dalle derivate delle funzioni elementari si deducono immediatamente i seguenti integraliindefiniti ∫

xr dx =xr+1

r + 1+ k, (r 6= 1)

∫1

xdx = ln |x|+ k,

∫ex dx = ex + k,

∫senx dx = − cosx+ k,

∫cosx dx = senx+ k,

∫1

cos2 xdx = tg x+ k,

∫1

1 + x2dx = arctg x+ k,

∫1√

1− x2dx = arcsen x+ k.

∫−1√

1− x2dx = arccosx+ k.

Le funzioni sotto il segno d’integrale possono avere come dominio di esistenza insiemi chenon sono intervalli. Ad esempio, la funzione 1

xche e definita in R0. Occorre pero qui

osservare che, in accordo con la definizione di integrale indefinito, l’uguaglianza∫1

xdx = ln |x|+ k,

individua l’insieme di tutte le primitive di 1x

definite nell’intervallo ]−∞, 0[, oppure l’in-sieme di tutte le primitive definite nell’intervallo ]0, +∞[, ma non l’insieme delle funzioniderivabili su R0 con derivata 1/x.


Se si volesse estendere la nozione di integrale indefinito considerando tutte le primitive di1x

sul dominio R0, dovremmo scrivere allora∫1

xdx =

{ln(x) + k se x > 0,

ln(−x) + k′ se x < 0,

ove k, k′ sono due costanti arbitrarie in R.

16.2 Integrazione per sostituzione

Analogamente al caso dei limiti, vi sono anche per il calcolo degli integrali due tecni-che di cambiamento di variabile, una per la variabile dipendente e una per la variabileindipendente. Per il cambiamento della variabile dipendente vale:

Teorema 105 (Integrazione con cambiamento della variabile dipendente) Sia Funa primitiva della funzione f definita su un intervallo aperto I e g una funzione derivabilesu un intervallo aperto J a valori in I, allora nell’intervallo J si puo scrivere:∫

f(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + k.

Dim. La dimostrazione discende immediatamente dalla regola di derivazione delle fun-zioni composte, infatti si ha che

D[F ◦ g(x))] = D[F ◦ g(x))] = DF (g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x),

pertanto F ◦ g(x) e una primitiva della funzione integranda, come volevasi dimostrare.

Per effettuare un cambiamento di variabile, nella pratica risulta particolarmente comodala notazione dei differenziali qui di seguito presentata.Se y = g(x) e una funzione reale derivabile in x, si dicono differenziale di g calcolato inx, le due equivalenti espressioni

dy = g′(x) dx, dg = g′(x) dx.

Tenuto conto di tale definizione, se nell’integrale∫f(g(x))g′(x) dx,

si effettuano le seguenti sostituzioni formali di variabile dipendente e differenziale

y = g(x), dy = g’(x) dx ,

si trova la seguente uguaglianza formale∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(y) dy,


che puo scriversi anche∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(y) dy = F (y) + k = F (g(x)) + k,

ove F e una qualunque primitiva di f . In altre parole, senza scendere nei complessi detta-gli del significato matematico del differenziale, le sostituzioni effettuate sono equivalentiall’applicazione del teorema del cambiamento della variabile dipendente sopra presentato,la cui regola puo quindi essere scritta nella forma:∫

f(g(x))g′(x) dx =

∫f(y) dy

∣∣∣∣y=g(x)

.

Di seguito si presenta un esempio d’applicazione della regola d’integrazione per sostituzione:

Esempio 16 Si risolva seguente integrale indefinito ∫1

ex + 1dx.

Si consideri la sostituzione y = ex, il differenziale di g e quindi dy = D[ex] dx = ex dx, pertanto, nella nuova variabile, ilprecedente integrale puo essere scritto come

∫1

(ex + 1)exex dx =

∫1

(y + 1)ydy

∣∣∣∣y=ex

.

Si osservi che quest’ultimo integrale si calcola per scomposizione

∫1

(y + 1)ydy =

∫1

2

(1

y + 1−

1

y

)dy =

1

2[ln |y + 1| − ln |y|] + k,

Pertanto, ricordando che y = ex, si ha infine∫1

ex + 1dx =

1

2(ln |ex + 1| − ln |ex|) + k =

1

2[ln(ex + 1)− x] + k.

Per quanto concerne la sostituzione della variabile indipendente vale:

Teorema 106 (Integrazione con cambiamento della variabile indipendente) SiaF una primitiva della funzione f definita su un intervallo aperto I e g : J → I una fun-zione biettiva e derivabile su un intervallo aperto J , allora vale la seguente relazioneintegrale ∫

f(x) dx =

∫f(g(y))g′(y) dy

∣∣∣∣y=g−1(x)

.


Dim. Dal teorema di cambiamento della variabile dipendente, si sa che che∫f(g(y))g′(y) dy = F (g(y)) + k,

ove F e una primitiva di f nell’intervallo I. Sostituendo y = g−1(x) si trova quindi∫f(g(y))g′(y) dy

∣∣∣∣y=g−1(x)

= F (x) + k,

e quindi ∫f(g(y))g′(y) dy

∣∣∣∣y=g−1(x)

=

∫f(x) dx,


Un esempio di applicazione della regola e il seguente:

Esempio 17 Si risolva seguente integrale indefinito ∫1

1 +√xdx.

Si consideri la sostituzione x = g(t) = t2, con t ∈ R. Differenziando g si ottiene dx = D[t2] dt = 2t dt, pertanto, nella nuovavariabile, il precedente integrale puo essere scritto come∫

1

1 +√xdx =

∫2t

1 + tdt

∣∣∣∣t=√x

.

Si osservi che quest’ultimo integrale si calcola per scomposizione∫2t

1 + tdt =

∫2

(1−

1

1 + t

)dt = 2t− 2 ln |1 + t|+ k,

Pertanto, ricordando che t =√x, si ha infine∫

1

1 +√xdx = 2

√x− 2 ln(1 +

√x) + k.

Dalla formula di Newton-Leibniz e dalla regola di sostituzione della variabile dipendentesi ottiene la seguente uguaglianza per gli integrali definiti∫ g(d)

g(c)

f(x) dx =

∫ d

c

f(g(t))g′(t) dt.

In particolare, se a, b ∈ I sono immagini di qualche elemento di J tramite la funzione g(questo accade, ad esempio, se g e biettiva, ma non e necessario), ovvero esistono α, β ∈ Jtali che a = g(α) e b = g(β), allora si puo scrivere∫ b

a

f(x) dx =

∫ d

c

f(g(t))g′(t) dt.


16.3 Integrazione per parti

Siano u e v due funzioni derivabili su I. Allora dalla regola di derivazione del prodottouv si ottiene l’uguaglianza

D[u]v = D[uv]− uD[v].

da cui, integrando ambo i membri, si ottiene la relazione integrale∫D[u]v dx = uv(x)−

∫uD[v] dx.

che, nella compatta notazione differenziale, puo anche essere scritta∫v du = uv −

∫u dv.

L’utilita della precedente relazione deriva dal fatto che in alcune circostanze l’integralea secondo membro e piu semplice da calcolare rispetto a quello del primo membro. Siconsideri ad esempio il seguente integrale:∫

xexdx,

che puo evidentemente scriversi anche∫xD[ex] dx.

Utilizzando la regola d’integrazione per parti, si ottiene∫xD[ex] dx = xex −

∫exD[x]dx = xex −

∫ex dx = xex − ex + k.

17 METODI NUMERICI PER EQUAZIONI 132

17 Metodi numerici per equazioni

In questa sezione vengono presentati alcuni metodi per il calcolo approssimato delle radicidi un’equazione del tipo

f(x) = 0, (15)

con l’incognita x vincolata in un intervallo limitato [a, b]; si ricorda che tali radici vengonoanche chiamate zeri della funzione f .Se la funzione f : [a, b] → R e continua e assume valori di segno opposto sugli estre-mi, ovvero f(a)f(b) < 0, in virtu del teorema degli zeri (58) esiste almeno una radicedell’equazione, ovvero un punto x0 ∈]a, b[ tale che

f(x0) = 0.

Quando un metodo numerico fornisce una stima di una radice e necessario valutare l’entitadell’errore di stima. Piu precisamente, dato un arbitrario ε > 0, si dira che x ∈]a, b[ eun’approssimazione di una radice ξ di 15 con errore di stima inferiore a ε se e soddisfattala disequazione

|x− ξ| ≤ ε. (16)

ovveroξ − εx < ξ + ε.

Verranno proposti tre metodi numerici iterativi per la ricerca degli zeri: il metodo dibisezione, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti, o di Newton. Il primo richiedela sola continuita della funzione f , mentre gli altri due necessitano di condizioni piu fortisulla regolarita della funzione f , permettendo pero, a parita di errore di stima, una piurapida convergenza.

17.1 Metodo di bisezione

Il metodo di bisezione si basa su una reiterata applicazione del teorema degli zeri inintervalli via via piu piccoli (piu precisamente ciascuno con diametro meta del precedente,di qui il nome bisezione) i cui estremi forniscano stime per eccesso e per difetto semprepiu accurate di uno zero, fino al raggiungimento della precisione desiderata.Il metodo richiede la semplice continuita di f , ipotesi che come si e gia detto garantiscel’esistenza di almeno una radice dell’equazione 15. Piu precisamente, affinche sia garantitala convergenza dell’algoritmo, si richiede:

[IB] f : [a, b]→ R una funzione reale continua tale per cui f(a)f(b) < 0.

Si supponga che ε > 0 sia l’errore di approssimazione con cui si vuole calcolare una19

radice dell’equazione.

19Si noti bene che le ipotesi non garantiscono l’unicita dello zero.


Per comodita si pone

a0def= a,

b0def= b,

x0def=a0 + b0

2,

I0 = [a0, b0].

• Se (b0 − a0) < 2ε un’approssimazione che soddisfa le richieste e il punto medio x0

dell’intervallo iniziale, e in questo caso fortunato l’algoritmo termina al passo k = 0.

• Se b0 − a0 ≥ 2ε si itera il seguente algoritmo fino all’ottenimento dell’errore diapprossimazione voluto:

– se f(xk−1) = 0: il punto xk−1 e una radice esatta e l’algoritmo termina

restituendo l’approssimazione xdef= xk−1;

– se f(xk−1)f(ak−1) < 0: si pone

akdef= ak−1,

bkdef= xk−1,

xkdef=ak + bk

2,

Ik = [ak, bk];

– se f(xk−1)f(ak−1) > 0: si pone

akdef= xk−1,

bkdef= bk−1,

xkdef=ak + bk

2,

Ik = [ak, bk].

In figura 39 e riportato uno schema che esemplifica alcune iterazioni successive dell’algo-ritmo. Si noti che in ciascuno degli intervalli Ik sono soddisfatte le ipotesi del teoremadegli zeri, pertanto in ciascuno di essi esistera una radice ξ tale che ∀k : ξ ∈ Ik.


x

y

I0

x0

I1

x1

I2

x2

ε

y=f(x)

y(a)<0

y(b)>0

a b

Figura 39: metodo di bisezione

E evidente che da un’iterazione alla successiva l’intervallo Ik in cui cade lo zero vienediviso a meta, pertanto alla k-esima iterazione dell’algoritmo il diametro di Ik sara

dkdef= bk − ak =

b− a2k

,

quindi la radice ξ soddisfera

|ξ − xk| <dk2

=b− a2k+1

. (17)

Pertanto il valore dk2

rappresenta la stima dell’errore di approssimazione della radice ξdata da xk all’iterazione k = 0, 1, . . . , N . A questo punto, fissato N pari al piu piccolonaturale tale che

b− a2N+1

< ε,

tenuto conto della disequazione 17, sempre che non ci s’imbatta prima in una radice

esatta, alla N−esima iterazione si ottiene l’approssimazione xdef= xN avente l’accuratezza

richiesta.


17.2 Metodo delle secanti

Il metodo delle secanti richiede ipotesi piu forti della sola continuita di f , in parti-colare pretende che la funzione sia convessa20. Affinche sia garantita la convergenzadell’algoritmo, si richiede:

[IS] f : [a, b]→ R una funzione reale convessa, continua con derivata secondacontinua in ]a, b[ e tale per cui f(a) < 0 e f(b) > 0.

Innanzitutto, si dimostra che nelle ipotesi qui specificate l’equazione f(x) = 0 ammetteun’unica radice, cioe che vale:

Teorema 107 Sia f una funzione soddisfacente le ipotesi [IS], allora esiste un unicovalore ξ ∈]a, b[ tale che f(ξ) = 0. Inoltre si ha f ′(x) > 0 per ogni xi ≤ x < b.

Dim. Dato che f e continua, per il teorema degli zeri, l’equazione f(x) = 0 ammetteraalmeno una radice. Dal teorema 84 sulle funzioni convesse segue necessariamente chef ′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈]a, b[, pertanto f ′ dovra essere debolmente crescente in ]a, b[. Nediscende che esistera un punto c ∈]a, b[ tale che

x ∈]a, c[→ f ′(x) ≤ 0,

x ∈]c, b[→ f ′(x) > 0, .

La funzione f risulta quindi debolmente crescente in [a, c], pertanto f(x) ≤ f(a) < 0 perogni a ≤ x ≤ c. Le radici di f(x) = 0 devono pertanto appartenere tutte nell’intervallo]c, b[. Ma in ]c, b[, dato che f ′ > 0, la funzione f risulta crescente e quindi assumera ilvalore zero esattamente una e una sola volta in un punto che indichiamo con ξ. Infine,dato che ξ > c, la disequazione f ′(x) > 0 e soddisfatta per ogni x ≥ ξ.Sia ora x0 una qualunque approssimazione per difetto di ξ, ovvero tale che f(x0) < 0,e si consideri la corda che congiunge i punti (x0, f(x0)) e (b, f(b)) del grafico di f . Perconvessita di f , questa corda sta sopra il grafico di f e taglia l’asse delle x in un punto diascissa x1 tale che ξ > x1 > x0. Inoltre, dato che l’equazione della corda e

y =f(x0)− f(b)

x0 − b(b− x0)f(x0) + f(x0),

si puo quindi scrivere

x1 = x0 −b− x0

f(b)− f(x0)f(x0).

Il punto x1 cosı costruito e ancora un’approssimazione per difetto di ξ, e il procedimentoappena descritto puo essere reiterato ottenendo stime sempre piu accurate dello zero.Nella figura 40 e riportata un’esemplificazione del procedimento.

20Per semplicita qui si considera solo il caso di funzione convessa, ma e evidente che se f fosse concavasi potrebbe applicare ugualmente il metodo alla funzione −f


x

y

x0

x1

x2

y=f(x)

y(a)<0

y(b)>0

a b

Figura 40: metodo delle secanti

Mediante le seguenti equazioni

x0 un qualunque punto in cui f(x0) < 0, (18)

xn+1 = xn −b− xn

f(b)− f(xn)f(xn) per n ≥ 1. (19)

si puo quindi definire per ricorsione una successione di punti (xn)n. Questa per costru-zione e monotona crescente e limitata superiormente da ξ, pertanto ammette limite cheindichiamo con x.Passando al limite nell’equazione 21, tenuto conto che per ipotesi f e continua, si ottiene

x = x− b− xf(b)− f(x)

f(x),

da cui si deduce che f(x) = 0, e quindi x = ξ. Dunque

limn→+∞

xn = ξ.

Per la stima dell’errore del metodo delle secanti si rimanda alle considerazioni conclusivedella sezione successiva che e dedicata al metodo delle tangenti.


17.3 Metodo delle tangenti

Il metodo delle tangenti si applica nelle stesse condizioni del metodo delle secanti, ovveronell’ipotesi che:

[IT] f : [a, b]→ R una funzione reale convessa, continua con derivata secondacontinua in ]a, b[ e tale per cui f(a) < 0 e f(b) > 0.

Si descrive ora l’algoritmo per la costruzione di un’approssimazione per eccesso dell’unica21

soluzione ξ dell’equazione f(x) = 0.Sia x0 una qualunque approssimazione per eccesso di ξ, ovvero tale che f(x0) > 0, e siconsideri la tangente al grafico di f nel punto (x0, f(x0)). Per convessita di f , questaretta tangente deve stare sotto il grafico Γf e tagliare l’asse delle x in un punto di ascissax1 tale che ξ < x1 < x0. Inoltre, dato che l’equazione della tangente e

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0),

si puo scrivere

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0).

Il punto x1 cosı costruito e ancora un’approssimazione per eccesso di ξ, e il procedimentoappena descritto puo essere reiterato per ottenere approssimazioni piu accurate. Nellafigura 41 e riportata un’esemplificazione del procedimento.Mediante le seguenti equazioni

x0 un qualunque punto in cui f(x0) > 0, (20)

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)per n ≥ 1. (21)

si puo quindi definire per ricorsione una successione di punti (xn)n. Questa successione emonotona decrescente e limitata inferiormente da ξ, pertanto ammette limite x. Passandoal limite nell’equazione 21, tenuto conto che per ipotesi f e f ′ sono continue, si ottiene

x = x− f(x)

f ′(x),

da cui si deduce che f(x) = 0, e quindi x = ξ. Dunque

limn→+∞

xn = ξ.

In genere la convergenza del metodo delle tangenti e piu rapida rispetto a quella del me-todo di bisezione, ma non si dispone in questo caso di espressioni semplici per stimarel’errore in funzione del numero di iterazioni dell’algoritmo. Nella pratica, per stimarel’errore di approssimazione si usare la seguente regola: indicato con ε l’errore di appros-simazione desiderato, se per un qualche n si ha f(xn + 2ε) < 0, allora il teorema deglizeri garantisce che la radice x sara compresa nell’intervallo ]xn, xn + 2ε[, pertanto allasuccessiva iterazione si avra che |xn+1 − x| < ε.

21La dimostrazione dell’esistenza ed unicita della radice e svolta nella sezione sul metodo delle secanti.

x

y

x0

x1

x2

y=f(x)

y(a)<0

y(b)>0

a b

Figura 41: metodo delle tangenti

A TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE 139

A Teoremi sulle funzioni continue

Vengono riportate in questa appendice le dimostrazioni dei principali risultati sulle fun-zioni continue definite su intervalli e su insiemi compatti.

A.1 Teorema sulle funzioni continue definite in intervalli

Teorema 108 Una funzione continua di variabile reale a valori reali manda intervalli inintervalli.

Dim. Sia f : I → R una funzione continua su I intervallo della retta reale. Occorreprovare che l’insieme f(I) = {f(x) ∈ R |x ∈ I } e un intervallo. Si procede per assurdonel seguente modo. Si supponga che f(I) non sia un intervallo.

Esisteranno pertanto due immaginif(x1), f(x2) ∈ f(I) e un terzo punto ξ nonappartenente all’immagine di f che vi cadein mezzo, cioe tale che f(x1) < ξ < f(x2);la situazione e rappresentata nella figura ac-canto. Inoltre, si puo supporre senza perditadi generalita che sia x1 < x2. Definiamo orai seguenti insiemi

Adef= {x ∈ [x1 , x2] | f(x) ≤ ξ},

Bdef= {x ∈ [x1 , x2] | f(x) ≥ ξ}. x

y

y=f(x)

f(x1)

f(x2)

x1

x2

ξ

I

E immediato costatare che A e B sono non vuoti, disgiunti (dato che ξ non e elementodell’immagine f(I)) e A ∪B = {x ∈ [x1 , x2] | f(x) ≤ ξ o f(x) ≥ ξ} = [x1 , x2]. Sia ora

wdef= supA.

Tale punto w appartiene necessariamente all’intervallo chiuso [x1 , x2] pertanto sara ele-mento di A o elemento di B. Se si supponga che w ∈ A, e quindi sia il massimo elementodi A, ne consegue che nell’intervallo considerato ogni x maggiore di w dovra appartenerea B, pertanto B conterra l’intervallo ]w , x2]. Infatti, se cosı non fosse dovrebbe esisterea ∈ A con a > w, in contraddizione col fatto che w e una limitazione superiore di A.Ricordando la definizione di B, per x ∈]w , x2] si ha f(x) ≥ ξ, quindi, passando al limitedi f(x) per x→ w+, che esiste e coincide con f(w) essendo f continua, si ottiene

f(w) = limx→w+

f(x) ≥ ξ.

Da cio segue pero che w e elemento di B, in contrasto con il fatto che A e B sonodisgiunti. Viceversa, se si suppone che w sia elemento di B, con un analogo ragionamentosi prova che se x ∈ [x1 , w[ segue f(x) ≤ ξ. Considerando questa volta il limite di f(x) per


x → w− si ottiene la disequazione f(w) ≤ ξ, che porta alla contraddizione che w risultasimultaneamente elemento di A e B. Il teorema e quindi dimostrato.

Teorema 109 Se una funzione suriettiva f : I → J definita su un intervallo I a valoriin un intervallo J e monotona in senso debole o forte allora essa e anche continua.

Dim. Per semplicita si dimostrera il teorema solo nel caso in cui f e debolmente crescente.Si consideri innanzitutto il caso in cui x e interno all’intervallo. Si definisca ora

Adef= {f(x) |x < x} e B

def= {f(x) |x > x}.

Gli insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti. Si ponga ora

a∗def= supA, b∗

def= inf B.

Poiche f e crescente dovra essere A ≤ f(x) ≤ B, pertanto a∗ ≤ f(x) ≤ b∗. Se siassumesse per assurdo che a∗ 6= b∗ allora nell’intervallo ]a∗, b∗[, sottoinsieme dell’intervalloJ , l’unico valore eventualmente assunto dalla funzione sarebbe f(x), in contrasto l’ipotesidi suriettivita. Dunque deve essere a∗ = b∗ = f(x). Per un noto risultato sui limiti dellefunzioni monotone vale:

limx→x−

f(x) = a∗, limx→x+

f(x) = b∗,

pertanto limite destro e sinistro in x coincidono con f(x), la qual cosa prova la continuitadi f in x.Nel caso in cui x e l’estremo sinistro (risp. destro) di I si procede in modo simile, perodefinendo a∗ (risp. b∗) con il valore assunto dalla funzione in x. Con i medesimi argomentiusati sopra si deduce che se x→ x+ (risp. x→ x−) allora f(x)→ f(x). Cio conclude ladimostrazione.

A.2 Teorema di Weierstrass e continuita uniforme sui compatti

L’impalcatura della dimostrazione del teorema di Weierstrass si regge su un noto risultatotopologico dei numeri reali:

Teorema 110 (Teorema di Bolzano) Ogni sottoinsieme infinito e limitato della rettareale ammette un punto di accumulazione.

Dim. Sia X un sottoinsieme infinito e limitato di R. Detto I0 un qualunque intervallolimitato contenente X, si ripartisca tale intervallo come unione disgiunta di due intervallidi uguale diametro. Almeno uno di questi due sottointervalli di I0 conterra infiniti punti diX, e indichiamo tale intervallo con I1. Il medesimo ragionamento puo essere ripetuto su I1

e cosı via fino a costruire una successione di intervalli incapsulati I0 ⊆ I1 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ . . .aventi la proprieta che ciascuno ha diametro la meta del precedente e contiene infiniti


punti di X. Si indichino con A e B l’insieme degli estremi inferiori e rispettivamentedegli estremi superiori degli intervalli I0, I1, . . . , In, . . . ; questi insiemi sono chiaramentenon vuoti e separati (A ≤ B), pertanto, per l’assioma di completezza dei numeri reali,esistera un reale x che li separa, cioe tale che A ≤ x ≤ B. Viene provato ora che x e diaccumulazione per X. Sia ε un arbitrario reale positivo, occorre provare che esiste almenoun punto x ∈ X diverso da x soddisfacente la disequazione

|x− x| < ε. (22)

I diametri dn della sequenza di intervalli sono una successione geometrica di ragione 12

convergente a zero, pertanto e possibile trovare un intervallo In con diametro dn <ε2.

Chiaramente x e elemento di ciascun intervallo della sequenza, compreso In, pertanto sex e un elemento qualunque di In dovra essere

|x− x| < dn = 2ε

2= ε,

ma tra gli elementi di In ve ne sono infiniti che appartengono a X, pertanto ve n’e almenouno diverso da x che soddisfa la disequazione 22, come volevasi dimostrare.

Per rendere piu comprensibile la dimostrazione del teorema di Weierstrass e convenienteintrodurre il concetto di sottosuccessione di una data successione, quindi un piccolo e utilelemma.

Definizione 48 Data una successione {xn}n e una funzione crescente k 7→ nk da N inN, si dice sottosuccessione di (o successione estratta da) {xn}n la successione k 7→ xnk ,che viene indicata in simboli con {xnk}k.

Lemma 111 Se una successione (xn)n ammette un punto di accumulazione x allora daessa puo essere estratta una sottosuccessione {xnk}k convergente a x.

Dim. Si definisca per ogni k ∈ N

nk = min

{n ∈ N

∣∣∣ |xn − x| < 1

k + 1e n > nk−1

}.

Viene lasciata al lettore volenteroso la facile dimostrazione che, essendo x di accumulazio-ne, la successione k 7→ nk e crescente, con la proprieta che xnk converge a x come richiestodall’enunciato.


Segue la dimostrazione del Teorema di Weierstrass:

Teorema 112 (Teorema di Weierstrass) Ogni funzione continua definita su un sot-toinsieme compatto della retta reale ammette massimo e minimo.

Dim. Sia f : X → R una funzione continua su un sottoinsieme X chiuso e limitato diR. Verra dimostrata solo la parte del teorema che riguarda l’esistenza di una massimoper la funzione f , essendo l’altra parte del tutto analoga. Si supponga per assurdo chel’insieme immagine f(X) non abbia un massimo e si indichi con s l’estremo superiore deivalori di f(X). L’estremo superiore potra essere finito o infinito. Nel caso in cui s e finito,tale punto esso dovra essere necessariamente di accumulazione per f(X), pertanto potraessere costruita una successione (xn)n in X tale per cui

f(xn) ≥ s− 1

n+ 1, per ogni n ∈ N.

L’insieme dei valori della successione {xn ∈ X |n ∈ N} e necessariamente infinito elimitato, pertanto per il teorema di Bolzano esso ammettera un punto di accumulazione xche dovra appartenere necessariamente ad X, essendo questo un insieme chiuso. In virtudel lemma 111 si puo costruire una sottosuccessione xnk convergente a x soddisfacente

f(xnk) ≥ s− 1

nk + 1, per ogni k ∈ N.

Facendo tendere k all’infinito, in virtu della continuita di f e della crescenza di k 7→ nk,dalla precedente disequazione si ottiene

f(x) ≥ s,

in contraddizione con l’ipotesi di aver assunto che s fosse estremo superiore, ma nonmassimo dell’insieme immagine f(X).Se invece si assume che l’immagine sia superiormente illimitata, procedendo in modosimile al precedente caso, si potra costruire una successione (xk) convergente ad un puntox di X tale per cui f(xk) ≥ k per ogni k ∈ N. Dato che f e continua, passando al limiteper k →∞ si ottiene una contraddizione dal fatto che f(x) dovrebbe essere maggiore diqualunque numero reale. Cio conclude la dimostrazione del teorema.

Dal teorema di Weierstrass si ottiene il seguente teorema che rappresenta la chiave divolta nella dimostrazione dell’integrabilita delle funzioni continue:

Teorema 113 Sia f funzione reale continua sul dominio D. Se D e compatto allora f euniformemente continua.

Dim. Si procede per assurdo supponendo che esista un reale ε > 0 tale per cui qualunquesia22 δ = 1

ncon n ∈ N0 esistano due punti xn e yn in D tali che

|xn − yn| ≤1

ne |f(xn)− f(yn)| > ε. (23)

22E evidente che negando l’uniforme continuita di f si puo scegliere δ a piacimento tra i reali positivi,in particolare anche nella forma 1

n , che risulta particolarmente utile per estrarre delle successioni di puntiin D a cui applicare il teorema di Bolzano-Weierstrass.

B TEOREMI SULLE FUNZIONI CONVESSE 145

B Teoremi sulle funzioni convesse

Una caratterizzazione operativa della convessita e data da:

Proposizione 114 Sia f funzione reale definita su un intervallo I. La funzione f econvessa se e solo se per ogni coppia x1, x2 e ogni λ, µ ≥ 0 tali che λ+ µ = 1 si ha

f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2).

Dim. E intuitivo comprendere che l’epigrafico Ef risulta convesso se e solo se per ognicoppia P1, P2 di punti del grafico di f si ha [P1, P2] ⊆ Ef . In sostanza, la convessitadell’epigrafico puo essere studiata guardando ai soli punti che delimitano l’epigrafico dalbasso, ovvero con i punti del grafico di f . La dimostrazione formale id questa fatto vienelasciata al lettore volenteroso.Siano ora x1 < x2 due punti qualunque di I e λ, µ ≥ 0 due reali tali che λ + µ = 1. Si

osservi che il reale xdef= λx1 + µx2 appartiene necessariamente all’intervallo [x1, x2]. Si

indichino con P1 e P2 i punti del grafico di f di ascissa x1 e x2, rispettivamente. Il puntoQ(x, λf(x1) + µf(x2)) risulta invece il punto di ascissa x del segmento [P1, P2].

Pertanto la disequazione

f(λx1 + µx2) ≤ λf(x1) + µf(x2),

puo scriversi anche f(xQ) ≤ yQ, cio equivalead affermare che Q appartiene all’epigraficodi f . Dato che al variare di λ e µ il punto xassume tutti i valori dell’intervallo [x1, x2], equindi anche Q assume tutti i punti del seg-mento [P1, P2], la relazione equivale all’inclu-sione [P1, P2] ⊆ Ef . Tenuto conto che in baseall’osservazione iniziale e sufficiente verificarela convessita per quella tipologia di segmenti,il teorema e dimostrato.

x

y

y=f(x)

λ f(x1)+µ f(x

2)

f(λ x1+µ x

2)

x1

x2

f(x2)

f(x1)

P1

λ x1+µ x

2

P2

Q

La convessita di una funzione puo essere ricondotta alla monotonia del suo rapportoincrementale. Vale infatti:

Teorema 115 Sia f funzione reale su un intervallo I. Si ha che f e convessa se e solose il rapporto incrementale a partire da un qualunque punto x0 ∈ I, negli intervalli in cuiI viene diviso da x0 risulta una funzione debolmente crescente.

Dim. Sia x0 ∈ I e si indichi con J uno dei due intervalli in cui I viene diviso da x0.Senza perdita di generalita si puo supporre che J sia l’intervallo dei due avente x0 comeestremo inferiore; infatti la funzione x 7→ f(−x) ha epigrafico simmetrico rispetto all’asse


y rispetto a quello di f , per cui l’uno e convesso se e solo se e convesso l’altro. La funzionerapporto incrementale R e definita ponendo per ogni x ∈ J

R(x)def=f(x)− f(x0)

x− x0

.

Si supponga per assurdo che R(x) non sia debolmente crescente, cioe e vero se e solo seesistono due punti x1 < x2 ∈ I tali che R(x1) > R(x2), disequazione che puo scriversianche

f(x1)− f(x0)

x1 − x0

>f(x2)− f(x0)

x2 − x0

.

Sia ora

λ =x1 − x0

x2 − x0

,

con tale posizione, dalla precedente disequazione, moltiplicando per (x2 − x0) > 0 i suoimembri, si ottiene equivalentemente

f(x1)− f(x0) > (f(x2)− f(x0))λ,

cui corrispondeλf(x2) + (1− λ)f(x0) < f(x1).

Posto µ = 1− λ, e osservato che x1 = µx0 + λx2, la precedente equivale a

λf(x2) + µf(x0) < f(µx0 + λx2),

in contraddizione con la caratterizzazione di convessita trovata nella proposizione 114.Evidentemente tutte le implicazioni del ragionamento valgono anche in senso inverso,pertanto si e cosı dimostrato il teorema.

Dal precedente teorema, nel caso in cui f e derivabile, si ottiene la seguente utilissimacaratterizzazione della convessita:

Teorema 116 Sia f funzione reale derivabile su un intervallo aperto I. Si ha che f econvessa se e solo se la derivata f ′ e una funzione debolmente crescente.

Dim. Sia I =]a, b[ intervallo aperto eventualmente illimitato. Per ogni punto x0 ∈ I siindichi con Rx0 il rapporto incrementale a partire da x0. Dato che f e derivabile, ognirapporto incrementale Rx0 puo essere esteso per continuita in x0 assegnandogli il valoref ′(x0). In tal caso, dal teorema precedente si deduce che f e convessa se e solo se, perogni fissato x0 ∈ I, il rapporto incrementale (esteso per continuita in x0) Rx0 e continuoe debolmente crescente su tutto I.Si supponga ora che f sia convessa. Se x1, x2 sono due punti qualunque di I tali chex1 < x2, occorre dimostrare che f ′(x1) ≤ f ′(x2). Siano ora z, w tali che x1 < z < w < x2.


Dalla monotonia dei rapporti incrementali, e dal fatto che se x 6= y si ha Rx(y) = Ry(x),si ottengono le le relazioni

Rx1(z) = Rz(x1) ≤ Rz(z) ≤ Rw(z) = Rz(w) ≤ Rz(x2) = Rx2(w),

dalle quali si haRx1(z) ≤ Rx2(w).

Passando al limite nella precedente per z → x+1 e w → x−1 , tenuto conto che in ogni punto

derivata destra e sinistra sono uguali, si ottiene f ′(x1) ≤ f ′(x2).Si supponga ora f ′ sia debolmente crescente su I. Preso un qualunque x0 in I si proveraora che Rx0 e debolmente crescente. A tale scopo si scelga una qualunque coppia di puntix1, x2 in I tali che x1 < x2. Il punto x0 potra essere interno all’intervallo individuato dax1 e x2, oppure esterno. Dato che i tre casi vanno trattati in modo simile, qui ci si occupadella dimostrazione nel caso in cui x1 < x0 < x2. Applicando il teorema di Lagrange agliintervalli [x1, x0] e [x0, x2], si deduce l’esistenza di due punti ξ ∈]x1, x0[ e η ∈]x0, x2[ taliche

Rx0(x1) =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

= f ′(ξ) e Rx0(x2) = Rx2(x0) =f(x2)− f(x0)

x2 − x0

= f ′(η).

La derivata f ′ e debolmente crescente, dunque f ′(ξ) ≤ f ′(η). Il rapporto incrementaleRx0 dovra quindi soddisfare la relazione

Rx0(x1) ≤ Rx0(x2).

Cio conclude la seconda parte della dimostrazione.

C TEOREMI DELL’INTEGRAZIONE ELEMENTARE 149

C Teoremi dell’integrazione elementare

Proposizione 117 (Linearita dell’integrale definito) Siano f e g integrabile su [a, b],α, β ∈ R due numeri reali arbitrari, allora la funzione αf + βg e integrabile su I e∫ b

a

(αf + βg) = α

∫ b

a

f + β

∫ b

a

g.

Dim. Si lascia al volenteroso lettore la semplice prova che la proprieta di linearita valeper le funzioni a scalino, ovvero che

σ(αu+ βw) = ασ(u) + βσ(w),

per ogni coppia di funzioni a scalino u e w a supporto in [a, b].Verra dimostrato innanzitutto che se f e integrabile allora anche αf e integrabile e

∫αf =

α∫f . Senza perdita di generalita ci si puo limitare al caso in cui α > 0. E facile

comprendere che s ∈ S∗(f) se e solo se αs ∈ S∗(αf), e, analogamente, s ∈ S∗(f) see solo se αs ∈ S∗(αf). Tenuto conto di queste equivalenze e del fatto che per unaqualunque funzione a scalino s e ogni reale α, come si e sottolineato inizialmente, deveessere σ(αs) = σ(s), si deduce che

αΣ∗(f) = Σ∗(αf) e αΣ∗(f) = Σ∗(αf).

Pertanto se Σ∗(f) e Σ∗(f) formano una coppia di classi contigue allora lo formano ancheΣ∗(αf) e Σ∗(αf) e l’elemento separatore di quest’ultima coppia, cioe l’integrale di αf inI, soddisfera l’uguaglianza ∫

αf = α

∫f.

Per dimostrare la tesi sara quindi sufficiente provare che se f e g sono integrabili lo eanche f + g e

∫(f + g) =

∫f +

∫g. A tale scopo si prenda un qualunque reale ε > 0, e

si scelgano due funzioni a scalino u∗ ∈ S∗(f) e u∗ ∈ S∗(f) tali per cui σ(u∗)− σ(u∗) <ε2

e altre due funzioni a scalino w∗ ∈ S∗(g) e w∗ ∈ S∗(g) tali per cui σ(w∗) − σ(w∗) <ε2.

Posto s∗ = u∗ + w∗ e s∗ = u∗ + w∗, si ha

s∗ = u∗ + w∗ ≤ f + g e f + g ≥ u∗ + w∗ = s∗,

dunque s∗ ∈ S∗(f + g) e s∗ ∈ S∗(f + g). Per la linearita dell’integrale sulle funzioni ascalino, segue la relazione

σ(s∗)− σ(s∗) = σ(u∗) + σ(w∗)− σ(u∗) + σ(w∗) < ε,

da cui si deduce il fatto che S∗(f + g) e S∗(f + g) formano una coppia di classi contigue.Dato che

σ(u∗) ≤∫f ≤ σ(u∗)


e

σ(w∗) ≤∫g ≤ σ(w∗),

sommando membro a memebro i termini delle due catene di disequazioni si avra

σ(s∗) ≤∫f +

∫g ≤ σ(s∗),

da cui si deduce che l’elemento separatore di S∗(f + g) e S∗(f + g), cioe l’integrale dif + g, soddisfa ∫

(f + g) =

∫f +

∫g,


Proposizione 118 (Monotonicita dell’integrale definito) Siano f e g integrabile su[a, b], se f ≤ g allora ∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.

Dim. Siano f e g integrabile su I = [a, b]. In virtu del teorema sulla linearita dell’integraledefinito, la funzione h definita ponendo h = f − g risulta integrabile su I. Poiche f ≥ g,segue h ≥ 0, dunque la funzione reale costantemente nulla, 0 : x 7→ 0, risulta elementodi S∗(f). Ne consegue che 0 = σ(0) ≤ sup Σ∗(f) ≤

∫ bah. Pertanto, ricordando ancora il

teorema di linearita summenzionato, segue∫ b

a

(f − g) =

∫ b

a

f −∫ b

a

g ≥ 0,

che equivale a ∫ b

a

f ≥∫ b

a

g,


Proposizione 119 Sia f integrabile su [a, b], allora |f | risulta anch’essa integrabile esussiste la relazione ∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f |.

Dim. La dimostrazione del fatto che |f | sia integrabile e piuttosto macchinosa e qui, persemplicita, se ne omettono i dettagli. L’idea generale e la seguente. Date due funzionidefinite in I con g ∨ h e g ∧ h si considerino le funzione definite ponendo

g ∨ h(x)def= max{g(x), h(x)}, e g ∨ h(x)

def= max{g(x), h(x)},

per ogni x ∈ I.


Una proprieta delle operazioni ∨ e ∧ e che se si prendono due qualunque funzioni ascalino u∗, w∗ ∈ S∗(f) allora u∗ ∧ w∗ ∈ S∗(f) e, analogamente, se u∗, w∗ ∈ S∗(f) allorau∗ ∨ w∗ ∈ S∗(f). Con un po’ di calcoli, da queste considerazioni si puo dedurre che se fe g sono due funzioni integrabili allora lo sono anche le funzioni f ∨ g e f ∧ g.Ora, se f e integrabile lo e anche −f , in virtu del teorema di linearita dell’integrazionedefinita, e quindi e integrabile anche la funzione f ∨ −f , che coincide proprio con |f |.La reazione integrale dell’enunciato e invece diretta conseguenza della disequazione−|f | ≤f ≤ |f |, da cui, per il teorema di monotonia dell’integrale definito, segue

−∫ b

a

|f | ≤∫ b

a

f ≤∫ b

a

|f |,

cioe ∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f |,


Teorema 120 Se una funzione integrabile su un intervallo I viene arbitrariamente ride-finita in uno numero finito di punti del suo dominio, allora rimane integrabile in I, conintegrale immutato.

Dim. Sia f una funzione integrabile su I e f la funzione ottenuta da f ridefinendone ivalori y1 = f(x1), . . . , yn = f(xn) assunti nei punti x1, . . . , xn con i nuovi valori y1, . . . , yn.Se s∗ e s∗ sono due funzioni a scalino tali che s∗ ≤ f ≤ s∗, allora le funzioni definiteponendo

s∗(x) =

{f(x) x ∈ {x1, . . . , xn},s∗(x) altrimenti.

e s∗(x) =

{f(x) x ∈ {x1, . . . , xn},s∗(x) altrimenti.

,

sono anch’esse a scalino, ed essendo ottenute modificando un numero finito di punti,dovranno valere la seguente uguaglianze per le loro somme

σ(s∗) = σ(s∗) e σ(s∗) = σ(s∗).

Inoltre, per costruzione, vale la relazione

s∗ ≤ f ≤ s∗,

ne consegue in particolare che

Σ∗(f) = Σ∗(f) e Σ∗(f) = Σ∗(f).

Poiche le classi delle somme superiori ed inferiori di f coincidono con quelle di f , la tesie provata.


Teorema 121 Se f e integrabile sull’intervallo chiuso I = [a, b] allora risulta integrabilein un qualunque sottointervallo chiuso di I. Inoltre, se (c, d) e un qualunque sottoin-tervallo di I (con estremi indifferentemente chiusi od aperti), la funzione χ(c, d)f risultaintegrabile in I e sussiste l’uguaglianza∫ b

a

χ(c, d)f =

∫ d

c

f.

Dim. Si dimostrera innanzitutto che χ(c, d)f e integrabile su [a, b]. Sia ε un arbitrarioreale positivo, per l’integrabilita di f esisteranno due funzioni a scalino σ∗ e sigma∗ taliche σ∗ ≤ f ≤ σ∗ e |µ(σ∗) − µ(σ∗)| < ε. Si osservi che le restrizioni di funzioni a scalinosono ancora funzioni a scalino, pertanto σ∗ = χ(c, d)σ∗, σ∗ = χ(c, d)σ

∗ risultano funzionia scalino con supporto in (c, d) tali che σ∗ ≤ χ(c, d)f ≤ σ∗, inoltre sussistono le seguentidisuguaglianze

|µ(σ∗)− µ(σ∗)| ≤ |µ(σ∗)− µ(σ∗)| < ε,

che provano l’integrabilita di χ(c, d)f . La seconda parte della tesi e semplice e viene lasciataal lettore volenteroso.

Teorema 122 (Addittivita dell’integrale definito) Sia f integrabile su [a, b], e siac un punto interno all’intervallo. Allora f risulta integrabile sui sottointervalli [a, c] e[c, b] e vale la seguente relazione ∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f.

Dim. La funzione f puo essere scomposta come segue

f = χ[a,c]f + χ]c,b]f.

Per il teorema 121 le funzioni χ[a,c]f e χ]c,b]f risultano integrabili in I, inoltre, applicandola linearita dell’integrale definito, si ottiene∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

χ[a,c](x)f(x) dx+

∫ b

a

χ]a,c](x)f(x) dx,

e infine, sempre per il teorema 121, segue∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx,


Vale un risultato piu generale del precedente teorema a cui premettiamo la seguentedefinizione.


Definizione 49 Dato un intervallo I = [a, b], una qualunque sequenza di intervalli nonvuoti I1, . . . , In, eventualmente degeneri, a due a due disgiunti e tali che

n⋃k=1

Ik = I,

formano quella che si dice suddivisione dell’intervallo I.

Proposizione 123 Data una una funzione f limitata definita sull’intervallo chiuso I =[a, b] e una suddivisione di I negli intervalli non degeneri I1, . . . , In, si ha che f risultaintegrabile in I se e solo se risulta integrabile nella chiusura Ik di ciascuno degli intervalliniIk, e inoltre sussiste l’uguaglianza ∫

I

f =n∑k=1

∫Ik

f.

Teorema 124 Se f e una funzione continua su un intervallo chiuso I eccetto un insiemefinito di punti in cui ammette discontinuita di tipo salto, cioe nei quali esistono finiti ilimiti destro e sinistro, allora f risulta integrabile su I.

Dim. La tesi puo essere derivata dal teorema 123, ma qui se ne vuole fornire una dimo-strazione diretta nel caso di un unico punto di discontinuita. La generalizzazione a unnumero finito di discontinuita e del tutto ovvia. Innanzitutto, essendo la discontinuita in cdi tipo salto, e possibile definire su [a, c] e [c, b] due funzioni, qui indicate rispettivamentecon f1 e f2 che coincidono con f nei punti interni dei relativi intervalli di definizione esiano continue anche negli estremi di tali intervalli. Tali funzioni risultano integrabili,pertanto, fissato un arbitrario ε > 0, si puo trovare due funzioni a scalino u∗ e u∗ consupporto in [a, c] tali che u∗ ≥ f1 ≥ u∗ e σ(u∗) − σ(u∗) < ε/2 e due funzioni a scalinow∗ e w∗ con supporto in [c, b] tali che w∗ ≥ f2 ≥ w∗ e σ(w∗)− σ(w∗) < ε/2. Si consideriquindi le funzioni a scalino s∗ e s∗ ottenute ponendo s∗ = u∗ + w∗ e s∗ = u∗ + w∗; even-tualmente ridefinendole nel solo punto c di modo che s∗(c) ≥ f(c) e s∗(c) ≤ f(c), si avrache s∗ ≥ f ≥ s∗ e

σ(s∗)−σ(s∗) = [σ(u∗) +σ(w∗)]− [σ(u∗)−σ(w∗)] = [σ(u∗)−σ(u∗)] + [σ(w∗)−σ(w∗)] < ε.

cio prova che Σ∗(f) e Σ∗(f) sono classi contigue il cui unico elemento separatore el’integrale di f esteso ad [a, b] e si ha inoltre∫ b

a

f =

∫ c

a

f1 +

∫ b

c

f2,

che, in virtu della proposizione 121, puo scriversi anche∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f.

D FORMULARIO 155

D Formulario

D.1 Proprieta di esponenziali e logaritmi

Per ogni coppia di basi a, b > 0, e di esponenti x, y ∈ R valgono le seguenti proprieta

1. a0 = 1,

2. axay = ax+y,

3. (ax)y = axy,

4. axbx = (ab)x,

5. a−x = 1/ax = (1/a)x,

6. (a/b)x = ax/bx.

Per ogni coppia di basi a, b ∈ R+0 r {1}, e di argomenti x, y ∈ R+

∗ valgono le seguentiproprieta

1. loga 1 = 0,

2. loga x+ loga y = loga xy,

3. loga x− loga y = logax

y,

4. k loga x = loga xk per ogni k ∈ R,

5. loga x =loga x

loga b.

D.2 Formule trigonometriche

Teoremi fondamentali

sen2x+ cos2 x = 1, tg x =senx

cosx, ctg x =

cosx

senx.

Archi associati

Angoli opposti Angoli supplementari Angoli antisupplementari

sen(−α) = − senα sen(π − α) = senα sen(α + π) = − sen(α)cos(−α) = cosα cos(π − α) = − cosα cos(α + π) = − cos(α)tg (−α) = − tg α tg (π − α) = − tg α tg (α + π) = tg (α)

D FORMULARIO 156

Formule di addizione e sottrazione

sen(α + β) = senα cos β + senβ cosα sen(α− β) = senα cos β − senβ cosα

cos(α + β) = cosα cos β − senα senβ cos(α− β) = cosα cos β + senα senβ

tg (α + β) =tg α + tg β

1− tg α tg βtg (α− β) =

tg α− tg β

1 + tg α tg β

Formule di duplicazione e bisezione

sen(2α) = 2 senα cosα sen2(α

2

)=

1− cosα

2

cos(2α) = cos2 α− sen2α cos2(α

2

)=

1 + cosα

2

tg (2α) =2 tg α+

1− tg 2αtg(α

2

)=

senα

1 + cosα=

1− cosα

senα

Formule di prostaferesi

senα + senβ = 2 senα + β

2cos

α− β2

senα− senβ = 2 cosα + β

2sen

α− β2

cosα + cos β = 2 cosα + β

2cos

α− β2

cosα− cos β = −2 senα + β

2sen

α− β2

Formule parametriche

Posto t = tg(α

2

), per ogni α 6= kπ si ha

senα =2t

1 + t2, cosα =

1− t2

1 + t2, tg α =

2t

1− t2.

D.3 Relazioni nei triangoli

Teorema dei seni

a

senα=

b

senβ=

c

senγ= 2Rc,

ove Rc e il raggio della circonferenzacircoscritta al triangolo.

α β

γ

c

ab

D FORMULARIO 157

Teorema delle proiezioni

a = b cos γ + c cos β,

b = a cos γ + c cosα,

c = a cos β + b cosα.

Teorema del coseno

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα,

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β,

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Area del triangolo

A =ab senγ

2=bc senα

2=ac senβ

2,

A =√p(p− a)(p− b)(p− c) (Formula di Erone),

A = pRI ,

A =abc

4RC

,

ove p e il semiperimetro e RI e RC sono, rispettivamente, i raggi delle circonferenzeinscritta e circoscritta al triangolo.

D FORMULARIO 158

D.4 Limiti fondamentali

limx→0

senx

x= 1 lim

x→0

tg x

x= 1

limx→0

1− cosx

x= 0 lim

x→0

1− cosx

x2=

1

2

limx→0

arcsen x

x= 1 lim

x→0

arctg x

x= 1

limx→±∞

(1 +

1

x

)x= e, lim

x→0

(1 + x

) 1x

= e,

limx→0

ln(x+ 1)

x= 1, lim

x→0

ex − 1

x= 1,

limx→±∞

(1 +

a

x

)x= ax, lim

x→0

ax − 1

x= ln a,

limx→0

xc lnx = 0 (c > 0), limx→+∞

lnx

xc= 0 (c > 0),

limx→+∞

ex

xc= +∞ (∀c), lim

x→−∞xcex = 0 (∀c).

D FORMULARIO 159

D.5 Calcolo differenziale

Derivate elementari Regole di derivazione

Dk = 0, Dkf(x) = kDf(x)

Dxa = axa−1, D[f(x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x),

D senx = cosx, D[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

D cosx = − senx, Df(x)

g(x)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x),

D tg x =1

cos2 x= 1 + tg 2x, D[f(g(x))] = f ′(g(x))g′(x),

D ctg x = − 1

sen2x= −1− ctg 2x, D[fn(x)] = f ′(x)fn−1(x),

D loga x =1

x ln a, D ln |f(x)| = f ′(x)

f(x),

Dax = ax ln a, Def(x) = f ′(x)ef(x),

D arcsen x =1√

1− x2,

D arccosx = − 1√1− x2

,

D arctg x =1

1 + x2,

D arcctg x = − 1

1 + x2,

D FORMULARIO 160

D.6 Calcolo integrale

Integrali elementari

∫xc dx =

xc+1

c+ 1+ k (c 6= −1),

∫1

xdx = ln |x|+ k,

∫senx dx = − cosx+ k,

∫cosx dx = senx+ k,

∫1

cos2 xdx = tg x+ k,

∫1

sen2xdx = − ctg x+ k,

∫tg x dx = − ln | cosx|+ k,

∫ctg x dx = ln | senx|+ k,

∫ex dx = ex + k,

∫ax dx =

ax

ln a+ k,

∫1√

1− x2dx = arcsen x+ k,

∫1√

a2 − x2dx = arcsen

x

|a|+ k

∫ √a2 − x2 dx =

1

2

(a2 arcsen

x

|a|+ x√a2 − x2

)+ k,

∫1√

1 + x2dx = arctg x+ k,

∫1√

a2 + x2dx =

1

aarctg

x

a+ k,

∫1√

x2 ± a2dx = ln |x+

√x2 ± a2|+ k

∫1

sen2xdx = ln

∣∣∣ tg (x2

)∣∣∣+ k,

∫1

cos2 xdx = ln

∣∣∣ tg (x2

+π

4

)∣∣∣+ k

∫sen2x dx =

1

2(x− senx cosx) + k,

∫cos2 x dx =

1

2(x+ senx cosx) + k.

D FORMULARIO 161

Regole d’integrazione

∫kf(x) dx = k

∫f(x) dx,

∫(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx,

∫fα(x)f ′(x) dx =

fα+1(x)

α + 1+ k con α 6= −1,

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ k,

∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x) + k,

∫u(x) dv(x) = u(x)v(x)−

∫v(x) du(x),

∫f(u(x))u′(x) dx = F (u(x)) + k ove

∫f(x) dx = F (x) + k

appunti di analisi in nitesimale - liceocopernico.edu.it l’intenzione che ha sostenuto questo...

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