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8/16/2019 Apuntes Tensiones y deformaciones Tensión E.pdf

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GEOTECNIA – GICO UPCTema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva

1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑAGRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

___________________________________________________

GEOTECNIA

APUNTES TEMA 3 ____________________________________________________

TEMA 3. TENSIONES Y DEFORMACIONES. TENSIÓN EFECTIVA

3.1 DEFINICIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ............................................................... 2

3.1.1 Definición clásica de tensión ........................................................................ .............................. 2

3.1.2 Adaptación de la definición clásica a Mecánica de Suelos ...................................................... 3

3.1.3 Definición de deformaciones ........................................................................ .............................. 4

3.2 PRINCIPIO DE TENSIONES EFECTIVAS ......................................... ........................................... 5

3.3 ESTADOS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN. CÍRCULOS DE MOHR .................................... 8

3.3.1 Tensor de tensiones ..................................................................................................................... 8

3.3.2 Estados bidimensionales de tensiones ...................................................................... ............... 10

3.3.3 El círculo de Mohr ........................................................... ......................................................... 15

3.3.4 Estados tensionales en totales y efectivas .......... ...................................................................... 19

3.3.5 Estados deformacionales ...................................................................... .................................... 20

3.4 VARIABLES TENSIONALES Y DEFORMACIONALES. TRAYECTORIAS ........................ 21

3.5 ESTADO TENSIONAL EN CONDICIONES UNIDIMENSIONALES ...................................... 25


2/27


2

CCaappí í ttuulloo 33.. TTeennssiioonneess yy ddeef f oorrmmaacciioonneess.. TTeennssiióónn eef f eeccttiivvaa

33..11 DDeef f iinniicciióónn ddee tteennssiioonneess yy ddeef f oorrmmaacciioonneess

33..11..11 DDeef f iinniicciióónn cclláássiiccaa ddee tteennssiióónn

A continuación se presenta la definición clásica de tensión, propia de enseñanzas de resistenciade materiales o mecánica de medios continuos. En dichas materias se supone que los materialesestán compuestos por una única fase. Como se vio en el capítulo anterior, el suelo es un mediomultifásico, lo que implica ciertas peculiaridades de la Mecánica de Suelos, como se verá en elsiguiente apartado.

Para introducir la definición de tensión se considera un cuerpo sólido sometido a la acción de unsistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, y se realiza un corte

por una sección cualquiera S . Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes, (A) y (B),deben existir unas ciertas fuerzas de interacción en la superficie S , a las que llamaremos F. Lasfuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, sobre lassecciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de acción y reacción. Así la partederecha ejerce sobre la izquierda una fuerza F, y la fuerza por unidad de área resulta:

S

mF

t

A esta fuerza por unidad de área se le llama tensión media sobre la superficie S . Si el área seexpresa en forma diferencial de área dS , se obtiene lo que se define como tensión en un puntosegún la superficie S :

0

dlim

dS S S

nF Ft

Invirtiendo la definición de la tensión se desprende que la fuerza F es igual a la integral de lastensiones en toda el área.

Figura 3.1 Esquema definición de tensión.

La definición de tensión presentada requiere las siguientes observaciones:

La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así en un puntodado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada, y para una secciónS dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.

S (A)

(A)

(B)

(B)

1P

1P

2P

2P

3P

4P

F

S

S S

F

S 4P

3P


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3

En general la tensión no es normal al plano considerado sino que puede descomponersesegún dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, (sigma), y la tensióntangencial a dicho plano, (tau).

Las dimensiones de la tensión son [FL-2], fuerza por unidad de superficie.

Figura 3.2 Componentes normal y tangencial de la tensión

La unidad de tensión en el SI es el Pa (Pascal) que se define como:

Pa = 1 N/m2

del que pueden usarse múltiplos como el kPa (1000 Pa), el hPa (100 Pa) o el MPa (10 6

Pa).

El Pa tiene las siguientes equivalencias con otras unidades de tensión:

1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2 1 kp/9.81 N 1m2 / 10000 cm2 10-5 kp/cm2 (1 MPa 10kp/cm2)

1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2 1 kp/9.81 N 1 t /1000 kp 10-4 t/m2

33..11..22 AAddaappttaacciióónn ddee llaa ddeef f iinniicciióónn cclláássiiccaa aa MMeeccáánniiccaa ddee SSuueellooss

Como se anunciaba anteriormente el suelo es un medio multifásico, pero el estudio en detalle delas tensiones a las que se ve sometido cada una de las fases del suelo, en especial la fase sólida através del esqueleto mineral del suelo, no corresponde a la escala de trabajo en la que sedesarrollan los trabajos ingenieriles.

Así a escala geotécnica se trabaja con tensiones totales, éstas son las tensiones resultantes dereferir todos los esfuerzos provenientes de la estructura y que sufre una sección de terreno, a susuperficie total, prescindiendo de la superficie real existente de contacto entre partículas en esasección.

Utilizando las variables de la figura 3.3 la tensión total se define como:

S

N

Así se introduce una de las primeras simplificaciones en el tratamiento del comportamientomecánico del suelo, considerarlo un medio continuo, cuando realmente no lo es.

t

τ

σ

1P

2P


4/27


4

A este nivel es importante tener en cuenta que las tensiones medias sobre el suelo son siempremuy inferiores a las tensiones entre partículas de suelo. De hecho estas últimas son tanto más

elevadas cuanto menor es el contacto entre partículas. En la práctica no pueden ser infinitamentegrandes ya que a partir de un cierto valor se rompe el contacto y su área aumenta con lo que latensión en el contacto disminuye.

En mecánica de suelos, las tensiones de compresión se consideran positivas debido a que lossuelos suelen soportar tracciones pequeñas o nulas. Por tanto, las tracciones se consideran consigno negativo. Este criterio es el opuesto al criterio habitual en mecánica de medios continuos.Las tensiones tangenciales se definen también con criterio de signos opuesto al de mecánica demedios continuos. Posteriormente, al describir el círculo de Mohr, se indicará el criterio designos referente a las tensiones tangenciales.

33..11..33 DDeef f iinniicciióónn ddee ddeef f oorrmmaacciioonneess

Para introducir el concepto de deformación se considera una masa de terreno sometida a unsistema de fuerzas (figura 3.4). Dado que no hay terrenos que sean infinitamente rígidos, laacción de las fuerzas se traduce en que el cuerpo se deforma.

Figura 3.4 Esquema introductorio al concepto de deformación

dz

dxdyy

z

dz

x dydx y

z

x x x

z z

y y

Figura 3.3 Definición de tensión total

2

1

N

S

(a) (b) (c)

N

S


5/27


5

La deformación de un elemento diferencial de volumen (de tamaño: d x, d y, d z ) puededescomponerse en tres partes: rotación, traslación (ambos son movimientos de sólido rígido) ydeformación pura (cambio de forma). En este apartado únicamente se tratará la deformación

pura.

Los lados del paralelepípedo elemental (figura 3.5) modifican sus longitudes iniciales d x, d y, d z de manera que proyectadas sobre los tres ejes originales pasan a valer (1+ x)d x, (1+ y)d y,(1+ z )d z , respectivamente. Asimismo las proyecciones de los ángulos rectos que forman entre sílas caras del elemento antes de la deformación varían para pasar a valer /2 xy, /2 yz , /2 zx.

Así se definen:

Deformaciones (alargamiento o acortamiento unitario) a los valores de x , y y z .

Distorsiones o deformaciones angulares a los valores xy , yz , zx.

Figura 3.5 Esquema de deformaciones.

De la misma forma que las tensiones se consideran con signo positivo si son de compresión, lasdeformaciones de acortamiento también se consideran positivas. Esto implica que el tamaño del

elemento de suelo antes indicado se obtendrá como: (1- x)d x, (1- y)d y, (1- z )d z .

33..22 PPrriinncciippiioo ddee tteennssiioonneess eef f eeccttiivvaass

En cualquier punto y dirección de un suelo saturado existe una tensión total ( ) y una presiónintersticial (u), esta última corresponde a la de la fase líquida. Con estas variables y en el marcode los suelos saturados, se define tensión efectiva ( ’ ) como la diferencia entre el valor de latensión total y la presión intersticial:

u

Esta variable, obtenida por Terzaghi, es quizá la más importante de la Mecánica de Suelos, ya

que controla en gran medida la compresión del esqueleto y la resistencia al esfuerzo cortante deun suelo. Así el principio de Terzaghi o de principio de tensiones efectivas, ampliamentedemostrado experimentalmente, enuncia que un terreno sólo se deforma si varían sus tensionesefectivas.

La publicación de este principio en 1925 en la obra Erdbaumechanik de Karl Terzaghi, seconsidera la fecha del nacimiento de la Mecánica de Suelos como una ciencia moderna.

El principio de tensiones efectivas no tiene una demostración analítica, simplemente se hademostrado experimentalmente, pero a continuación se presenta una interpretación física delvalor de la tensión efectiva (figura 3.6), con la que se podrá justificar.

1

1(1 )


6/27


6

N : fuerza normal total.

N c: fuerza normal intergranular.

u: presión intersticial.

S c: área de contacto entre partículas.S : área total

Figura 3.6 Esquema de las fuerzas normales actuantes en un plano que contiene lasuperficie de contacto entre dos partículas

En primer lugar se expresa el equilibrio de fuerzas normales sobre un plano que pasa entre elcontacto de dos partículas de un suelo saturado:

cc N S S u N )(

A continuación se divide entre la superficie S para convertir las fuerzas en tensiones:

S

N

S

S u

S

N cc

1

Finalmente se introduce la definición de tensión total ( = N/S ), teniendo en cuenta que ensuelos y con el nivel de tensiones normalmente empleados en ingeniería S c/S es muy pequeño yse puede despreciar frente al valor de 1. Resulta:

uS

N

S

N c

u ' Esta pequeña justificación teórica permite mostrar que la tensión efectiva se puede interpretarcomo el valor aproximado de la fuerza transmitida por el esqueleto mineral dividida entre elárea total de la superficie.

Gracias a esta interpretación el principio de tensiones efectivas se puede justificar en base a quelas tensiones efectivas, proporcionales a las fuerzas en los contactos, son las responsables de los

procesos deformacionales de un suelo. Al cambiar éstas, cambian los esfuerzos entre partículasque se reordenan y giran produciendo deformaciones.

No se debe olvidar que el principio de tensiones efectivas no se ha demostrado teóricamente,aunque está ampliamente probado de forma experimental. Sin embargo, no es válido en elestudio de rocas y de suelos no saturados.

A continuación se muestra un ejemplo de los datos obtenidos experimentalmente, mediante unensayo de laboratorio típico en geotecnia: el ensayo edométrico (figura 3.7). Aunque lascaracterísticas de este ensayo se estudiarán en detalle en el tema de consolidación de suelossaturados de la asignatura, cabe destacar que este ensayo se caracteriza fundamentalmente porel impedimento de desplazamientos laterales de la muestra en el proceso de carga (ε x = 0, ε y = 0),dando únicamente resultados no nulos en los desplazamientos verticales (ε z ≠ 0) a lo largo deltiempo. En la figura se puede apreciar dos estados distintos del ensayo en los cuales se aplican

cargas distintas y produce una variación de la presión intersticial y del índice de poros.

S

S c

N

c N uu

N c


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7

Figura 3.7 Representación esquemática del ensayo edométrico

La figura 3.8 representa los resultados obtenidos para los puntos de estudio (de A a M) mediantegráficas que ilustran la evolución de la tensión vertical y presión del agua, la de la tensiónefectiva obtenida y la del índice de poros en función del tiempo de cada uno de los puntosobjeto de estudio, así como la relación entre la tensión efectiva vertical y el índice de porosobtenida entre los mismos para el proceso de carga y descarga descrito.

Figura 3.8.a Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales

1 2

1e

2e

2u

h1

u

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 10 20 30 40 50Tiempo

T e n s i ó n v

e r t i c a

y

p r e s i ó n d

e

a g u a

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

0.81

0 10 20 30 40 50

Tiempo

I n d

i c e

d e

p o r o s

AB CD EFG

HIJ

K L

Tension total

Presión de agua

A

B

C

DE

FG

H I

J K

L M

M


8/27


8

Figura 3.8.b Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales

33..33 EEssttaaddooss ddee tteennssiioonneess yy ddeef f oorrmmaacciioonneess.. CCí í rrccuullooss ddee MMoohhrr

En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición detensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la secciónelegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto sinestablecer una orientación. Sin embargo, si se conoce el estado tensional completo en un punto,esto supone conocer la información suficiente para poder calcular la tensión en cualquier

orientación.

33..33..11 TTeennssoorr ddee tteennssiioonneess

En el caso de estudiar el estado tensional completo de un punto la información requerida pararepresentar el estado tensional son las componentes de las tensiones según tres planoscoordenados que pasen por el punto (figura 3.9).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 10 20 30 40 50

Tiempo

T e n s i ó n e

f e

c t i v a

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

0.81

0 0.5 1 1.5 2

Tension efectiva verti cal

I n d i c e

d e

p o r o s

A

B

C

D

E

F

H

G

I

J

L

K

A

B-C

D-E

F-G

J-K

H-I

L-M

M


9/27


9

t1 = ( x , xy , xz ) t2 = ( yx , y , yz ) t3 = ( zx , zy , z )

Figura 3.9 Esquema de la información necesaria para conocer el estado tensional de un punto.

De las nueve componentes que representan a esas tres tensiones, únicamente seis sonindependientes, y definen el tensor de tensiones en un punto, que permite calcular la tensiónsobre cualquier plano que pase por dicho punto, o sea representa el estado tensional del punto.

Veámoslo a continuación suponiendo que queremos calcular las componentes de la tensión t según una orientación arbitraria definida por la cara ABC (figura 3.10). Se define un tetraedrodiferencial OABC, con vértice en O y con tres caras paralelas a los ejes coordenados. En ellímite todas las caras pasan por O y las tensiones sobre las caras son tensiones en el punto Osegún diferentes planos. La cara ABC, de área d A, está definida por los cosenos directores (l, m,n) de su normal exterior n. Las componentes de t (t x , t y , t z ) se pueden calcular en función de lastensiones sobre las otras caras, imponiendo que el elemento diferencial esté en equilibrio defuerzas.

Figura 3.10 Esquema del tetraedro diferencial de Cauchy.

Imponiendo equilibrio de fuerzas en dirección x:

0 x

F

; d ( d ) ( d ) ( d ) 0

x x yx zx

t A l A m A n A

x x yx zxt l m n

x

x x

t1

e 1

t2

2e

t3

3e

x

yz

yxy

z

zy

zx

x

xy

xz

y

z

t

n

A

B

C

O


10/27


10

De igual forma imponiendo equilibrio de fuerzas en direcciones y, z se obtiene:

y xy y zyt l m n

z xz yz z t l m n

Si escribimos matricialmente las expresiones obtenidas:t t n

donde t y n son los vectores tensión y normal, respectivamente, y es el tensor de tensiones quees igual a:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ

El tensor de tensiones es simétrico en virtud del principio de reciprocidad de las tensionestangenciales que establece las igualdades:

xy = yx , xz = zx , yz = zy La demostración de este principio se verá más adelante.

De esta forma se ve cómo conociendo el tensor de tensiones en un punto se puede conocer latensión en él según cualquier plano, sin más que conocer los cosenos directores de éste.

33..33..22 EEssttaaddooss bbiiddiimmeennssiioonnaalleess ddee tteennssiioonneess

Existen ciertas ocasiones en que el estado tensional de un punto se puede simplificar de tres ados dimensiones, debido a que la propia geometría y condiciones de contorno del problema

permiten identificar el comportamiento en una dirección como despreciable.

Estas situaciones conocidas con el nombre de estados bidimensionales de tensión se agrupan endos familias, los problemas de tensión plana y los de deformación plana:

Problemas de tensión plana.Se caracterizan porque en cierta dirección las tensiones son nulas y el valor del resto detensiones no depende de esta dirección.

En estas circunstancias el tensor de tensiones tiene la siguiente forma:

0

0

0 0 0

x xy

yx y

σ

Estas circunstancias se dan en elementos en los que una dimensión es sensiblementeinferior a las otras dos y las acciones están contenidas en el plano conformado por esasdos direcciones.

No existen problemas geotécnicos asimilables a estas circunstancias, pero sí estructuralescomo las vigas de gran canto o las placas cargadas en su plano medio.

Problemas de deformación plana.Se caracterizan porque en cierta dirección los desplazamientos y deformaciones sonnulos.

Los ejemplos típicos, en los que se puede aplicar esta hipótesis, son aquellos problemas

donde la geometría se caracteriza por generarse a partir de una sección bidimensional que


11/27


11

se traslada sobre una generatriz recta perpendicular a la misma, y las acciones no tienencomponentes en la dirección de la generatriz.

En este caso el tensor de tensiones queda:

0

0

0 0 0

x xy

yx y

σ

Pero únicamente se trabaja en dos dimensiones, dado que z se suele calcular con lacondición de desplazamientos impedidos en dicha dirección.

En Geotecnia existen muchos problemas que se pueden resolver bajo estas hipótesiscomo son las presas de tierras o las cimentaciones corridas.

Veamos a continuación como en los estados bidimensionales de tensión el estadotensional es conocido a partir de las tensiones en dos planos ortogonales (figura 3.11):

d d cos d sin AB l AO l OB l

Figura 3.11 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado ( ) en un punto

Como en el caso tridimensional el estado tensional sobre un elemento diferencial cualquieradebe estar en equilibrio y, si se impone dicho equilibrio, es posible determinar las tensionesnormal y tangencial sobre cualquier plano de inclinación genérica en función de las tensionesen los planos vertical y horizontal.

Equilibrio de fuerzas horizontales:

d cos d sin d sin d cos 0n n yx x

l l l l (1)

Equilibrio de fuerzas verticales:

d sin d cos d cos d sin 0n n xy y

l l l l (2)

Las siguientes relaciones trigonométricas auxiliares son útiles para despejar la tensión normal yla tensión tangencial sobre el plano de inclinación :

A

BO

n x

y

n

yx

xy


12/27


12

2 2

2 2

2

2

sin cos 1

sin(2 ) 2sin cos

cos(2 ) cos sin

1 cos(2 )

cos 2

1 cos(2 )sin

2

sin( ) (sin 2 cos 2 ) (cos 2 sin 2 )

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Para despejar la tensión tangencial basta hacer ((1) y (2) se refiere a las ecuaciones anteriores):

(1)·sin (2)·cos 0

2 2

2 2

cos sin sin sin cos sin

sin cos cos cos sin cos 0

n n yx x

n n yx y

2 2 2 2sin cos sin cos 2cos sin 0n yx x y

usando las relaciones (a), (c) y (b) respectivamente

cos(2 ) sin(2 ) 02

x y

n yx

xcos(2 ) sin(2 )2

y

n xy

(3)

Y para despejar la tensión normal basta hacer:

(1)·cos (2)·sin 0

2 2

2 2

cos sin cos sin cos cos

sin cos sin cos sin sin 0

n n yx x

n n yx y

2 2 2 2sin cos 2 sin cos cos sin 0n yx x y usando las relaciones (a), (b), (d) y (e) respectivamente

1 cos(2 ) 1 cos(2 )sin(2 ) 0

2 2n yx x y

cos(2 ) cos(2 )

sin(2 ) 02

x x y x

n yx

cos(2 )sin(2 ) 0

2

x y x y

n yx

sin(2 ) cos(2 ) 02 2

x y x y

n yx


13/27


13

x xsin(2 ) cos(2 )2 2

y y

n xy

(4)

En las expresiones (3) y (4) se observa que las tensiones normal y tangencial calculadasdependen de:

x x 22 2

y y

xy

Llegados a este punto puede ser de gran utilidad relacionar el estado tensional objeto de estudiocon su posible representación mediante una circunferencia que dará lugar a una útil herramienta

para representar estados tensionales planos, el círculo de Mohr (que se presenta con más detalleen el próximo apartado) según se muestra en la figura 3.12.

Figura 3.12 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado ( ) en un punto, y su posiblerepresentación en el Círculo de Mohr (que dependerá de las magnitudes σ x y σ y

A partir del Círculo de Mohr definimos:

2

2 x Máxima

x

radio: R ( *)2

centro: 2

y

xy

y

y con objeto de obtener una forma alternativa las expresiones obtenidas utilizar el siguientecambio de variable:

22 x

x

R 2

tan 2

2

y

xy

xy

y

Del que se puede derivar:

σ

τ

(σ x, τ xy)

(σ y, τ yx)

2 β

2α

(σ n, τ n)

σ 1σ 3

α

σ n τ n

τ xy

τ yx

σ x

σ y

β B

A

O

(τ *)


14/27


14

2

x2

x

R R sin(2 )2

R cos(2 )2 tan 2

y

xy

y xy

Con estas definiciones, junto con la relación trigonométrica (f) es posible transformar (3) y (4)en:

x R cos 2 cos 2 R sin 2 sin 2 )2

R sin 2 cos 2 R sin 2 cos 2 )

y

n

n

Y finalmente:

x R cos(2 2 )2

R sin(2 2 )

y

n

n

(5)

La ecuación (5) corresponde a la expresión parametrizada del Círculo de Mohr.

A las mismas expresiones que hemos llegado para n y n a partir de equilibrio también podemos llegar a través de cálculos matriciales con el tensor de tensiones de una forma másrápida.

En la figura 3.13 se representa el estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado (α)en un punto cualquiera del medio y los vectores en las direcciones normal y tangencial en un punto cualquiera del medio.

Figura 3.13 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto cualquiera del

medio (izquierda). Vectores normal y tangencial al plano (α)

El tensor de tensiones en un punto del suelo de acuerdo con las orientaciones indicadas en lafigura 3.13 es:

x xy

yx y

σ

Para el cálculo de las tensiones normal y tangencial en dicho plano puede operarse de la formasiguiente:

A

BO

n

x

y

n

yx

xy

( cos , sin ) n

( sin ,cos ) t

y

x


15/27


15

2 2

2 2

cos( ) cos sin

sin

cos 2 cos sin sin

cos sin 2 sin

x xyt

n

yx y

x xy y

x xy y

n n

2 2

sincos sin

cos

cos sin sin cos cos sin

1sin 2 cos 2

2

x xyt

n

yx y

x xy xy y

x y xy

n t

Que son idénticas a las Eq. (3) y (4) anteriormente obtenidas.

En todos los desarrollos de este apartado se ha utilizado la igualdad xy = yx, o lo que es lo

mismo la propiedad de simetría del tensor de tensiones, que se anunciaba en el apartado anterioren virtud del principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Este establece que “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes de las tensiones tangenciales normales a laarista común en un punto son iguales en módulo, y ambas concurren o se separansimultáneamente de la arista”.

Su demostración se consigue estableciendo equilibrio de momentos en un paralelepípedoinfinitesimal (figura 3.14), si se toman momentos respecto el eje x, sólo las resultantes de lascomponentes xy y yx producen momento, así:

Figura 3.14 Esquema de las tensiones tangenciales

Donde:

d d d d d d 0 yz zy yz zy x z y x y z

De forma análoga se obtiene: yx xy

xz zx

33..33..33 EEll ccí í rrccuulloo ddee MMoohhrr

Como se ha visto en el apartado anterior las expresiones que nos permiten calcular las parejas devalores de tensión normal y tangencial que aparecen en un punto en función de la orientación aestudiar representan la ecuación paramétrica de una circunferencia, definida por:

y

z

x

yz

zy

zy

yz

z

y


16/27


16

2

2 x Máxima

x

radio: ( *)2

centro:2

y

xy

y

R

Así el estado tensional de un punto, trabajando en estados de tensiones bidimensionales, quedarepresentado por una circunferencia en el plano - , en la que cada uno de sus puntoscorresponde a las tensiones según una orientación, esta construcción geométrica recibe elnombre de círculo de Mohr (figura 3.15).

Figura 3.15 Círculo de Mohr

El criterio de signos utilizado en Mecánica de Suelos para trabajar con los círculos de Mohr esel siguiente (figura 3.16):

Tensiones normales positivas si son de compresión. Tensiones tangenciales positivas si definen un giro antihorario respecto al plano, o girohorario respecto a un punto exterior al medio.

Ángulos positivos antihorarios.

Figura 3.16 Criterio de signos

En el apartado anterior se explicaba que un estado tensional bidimensional queda definido porlas tensiones en un par de planos perpendiculares, en la figura 3.17 se ve cómo construir uncírculo de Mohr a través de esta información. Para ello es muy útil la propiedad que estableceque las tensiones en planos perpendiculares corresponden a puntos diametralmente opuestos delcírculo.

σ

τ

c

x y

yx

xy


17/27


17

Figura 3.17 Construcción del círculo de Mohr con la información de las tensiones en dos planos perpendiculares

De las muchas propiedades del círculo de Mohr quizá la más importante es la existencia en él deun punto denominado polo, que se caracteriza por que si por él trazamos una paralela al planosobre el que actúan las tensiones, corta al círculo en un punto cuyas coordenadas son las

tensiones que actúan sobre el plano. La figura 3.18 muestra cómo obtenerlo:

Figura 3.18 Obtención del polo a partir del estado tensional e inclinación del plano sobre el que actúanlas tensiones

Se puede observar como en ambos casos el modo de obtención del polo es el mismo:

1.- Se representan los puntos de coordenadas (σ A , τ A) y (σ B , τ B).2.- Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.

3.- Se traza una línea por el punto (σ A , τ A), paralela al plano sobre el cual actúa elesfuerzo (σ A , τ A).4.- La intersección de la línea trazada con el círculo de Mohr es el polo. (Nótese que laobtención del polo es análoga en procedimiento y localización a que la intersección seobtenga con la paralela al plano donde actúan el otro par de valores (σ B , τ B), es decir, laintersección de ambas paralelas resulta en un mismo punto P).

σ

τ

B

3

5

2

30º

c

5

3

2

‐2

BA

A

30º

σ

τ

P(σA, τA)

(σB, τB)

σA

σB

τA

τB

c

σ

τ

P

(σB, τB)

σAσB

τAτB

∆θ

c

(σA, τA)

∆θ


18/27


18

De esta forma si se quiere representar el estado tensional de un punto a través de un círculo deMohr, no simplemente se requiere obtener el centro y el radio de la circunferencia, ya queentonces únicamente tenemos las parejas de valores - que actúan sobre los diferentes planos,sino que debemos conocer el polo, para así también conocer dichos planos, y tener el estadotensional del punto completamente definido.

Es necesario introducir la definición de dos puntos singulares del círculo de Mohr, son los puntos de corte con el eje horizontal. Corresponden a las tensiones en orientaciones en las que lacomponente tangencial es cero, a estas orientaciones se las conoce con el nombre de direcciones principales y al valor de las tensiones normales que en ellas actúan como tensiones principales.

Las tensiones principales se denotan como 1 y 3, mayor y menor respectivamente, ycorresponden a los límites del intervalo de los valores que puede tomar la componente normalen el punto de estudio (figura 3.19).

Figura 3.19 Tensiones principales, incrementos y representación mediante Círculos de Mohr

El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales, se puedeobtener gráficamente a partir del Círculo de Mohr. Para encontrar las expresionescorrespondientes al Círculo de Mohr en función de las tensiones principales (σ 1 y σ 3), basta consaber que en este estado (u orientación de la porción infinitesimal bidimensional) las tensionestangenciales resultan nulas (τ xy= τ yx =0) y también β =0 (ó =180º según la tensión principal menorσ 3).

Para las tensiones normales, partiendo de las expresiones obtenidas en el apartado anteriortenemos:

1 3 1 3cos(2 )2 2

n

1 3 1 3cos(2 ) cos(2 )

2 2n

1 1 3 3cos(2 ) cos(2 )

2n

usando las relaciones(d) y (e) respectivamente2 2

1 3cos sinn

Y para las tensiones tangenciales:

1 3 sin(2 )

2n

usando la relación (b)

τ

σ

1 1 1

3 3 3

1

3

3 3

1 1


19/27


19

1 3 2sin cos2

n

1 3 sin cosn

También, directamente del Círculo de Mohr se demuestra que ambas tensiones pueden ser

expresadas según:2

3 3 3

1 cos(2 )R R cos(2 ) 2R 2R cos

2

R sin(2 ) 2R sin cos

n

n

Y que resultan equivalentes a las anteriores (6) y (7).

(Nótese que en el ejemplo representado en la Figura inicial, para el análisis según tensiones principales ( β =0), α adopta valores positivos entre 90º y 180º, luego su coseno resulta negativo).

El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales puedeobtenerse también analíticamente diagonalizando el tensor de tensiones. En este último caso elvalor de las tensiones principales corresponde al de los autovalores o valores propios y lasdirecciones principales correspondientes al de los vectores propios.

Existen unos estados tensionales en los que todas sus direcciones son principales y con elmismo valor de tensión principal, así en todas las direcciones actúa la misma tensión normal ( )con tensión tangencial nula. Se les conoce como estados tensionales esféricos o isótropos.

El tensor de tensiones que los representa es invariante frente cambios de base y siempre tieneforma diagonal:

00

00

00

σ

En el caso de estados isótropos bidimensionales el círculo de Mohr que los representa es un punto.

33..33..44 EEssttaaddooss tteennssiioonnaalleess eenn ttoottaalleess yy eef f eeccttiivvaass

La expresión con la que se definió en el apartado 3.2 tensión efectiva se puede generalizar

expresándola tensorialmente de la siguiente forma:Iσσ' u

'ij ij ij

u

En esta expresión se observa como la presión intersticial corresponde a un estado tensionalesférico, así su tensor de tensiones únicamente no es nulo en la diagonal principal, por tanto ladiferencia entre el tensor en totales y en efectivas en un mismo punto, únicamente está en loselementos de la diagonal, así las tensiones tangenciales no se ven afectadas.

Si trabajamos con círculos de Mohr estas deducciones se traducen en que el círculo en efectivasy en totales tiene el mismo diámetro pero el de efectivas está retrasado respecto el de totales elvalor de la presión intersticial como puede verse en la figura 3.20.


20/27


20

Figura 3.20 Círculo de Mohr de un mismo punto en tensiones efectivas y totales

33..33..55 EEssttaaddooss ddeef f oorrmmaacciioonnaalleess

Todos los instrumentos presentados en los apartados anteriores para representar estadostensionales se repiten para estados deformacionales.

Así en primer lugar tenemos el tensor de deformaciones, que en estudios bidimensionales tomala siguiente forma:

x xy

yx y

ε

Los elementos de la diagonal representan los alargamientos unitarios definidos en el apartado

3.1.3, y los elementos exteriores a la diagonal la mitad de las distorsiones angulares definidas enel mismo apartado. La razón de esta división entre dos es debida a la interpretación representadaen la figura 3.21.

xy xy 2

1

Figura 3.21 Definiciones de deformación angular

Y al igual que en tensiones se define el círculo de Mohr en deformaciones (figura 3.22), queverifica las mismas propiedades que el presentado en el apartado anterior.

3 11 3

n n n nu

Círculo de Mohren tensiones efectivas

Círculo de Mohr en tensiones totales

xy xy


21/27


21

Figura 3.22 Círculo de Mohr en deformaciones

33..44 VVaarriiaabblleess tteennssiioonnaalleess yy ddeef f oorrmmaacciioonnaalleess.. TTrraayyeeccttoorriiaass

En la mayoría de estudios geotécnicos interesa estudiar la evolución del estado tensional dediferentes puntos característicos del terreno frente a una evolución de estados de carga. Porejemplo en el estudio de una cimentación superficial en primer lugar se estudiará el estado delsuelo, luego la evolución de las tensiones durante la excavación para la construcción de lazapata, y finalmente durante la fase de construcción, en la que se irán transmitiendo cargascrecientes progresivamente con la construcción del edificio hasta finalizarlo.

En muchos de estos problemas en los que el suelo se ve sometido a una evolución de estadostensionales conviene representar todos estos sobre un diagrama único.

Si en el caso de trabajar en dos dimensiones se dibujan todos los círculos de Mohr en un mismo

diagrama es fácil imaginar la dificultad de entender lo que está representado en ese diagrama. Ytodavía peor si el problema requiere una modelización en tres dimensiones y lo querepresentamos es una sucesión de tensores.

Por ello se definieron las variables tensionales que consisten en conjuntos de dos o tresfunciones que dependen del tensor de tensiones y representan el estado tensional, así de su valor podemos conocer aproximadamente el estado tensional, y su situación frente rotura u otrosfenómenos que nos interese controlar.

En la figura 3.23 se representan los estados de esfuerzos de los puntos A, B, C, D y E, medianteCírculos de Mohr (a) y mediante la línea que denominamos trayectoria de esfuerzos

representada en un diagrama p-q (b). La trayectoria de esfuerzos proporciona una representacióncontinua de sucesivos estados de esfuerzos. Este método equivale a representar un punto únicode un círculo de Mohr: el punto más alto si q es positiva o el más bajo si q es negativa. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador (Lambe o Cambridge). p y q sondos variables tensionales de mucha utilidad que se definen en el presente apartado. En ambosdiagramas los puntos representan estados idénticos.

1

2

1( , )

2 x xy

1( , )

2 y xy


22/27


22

Figura 3.23 Representación de sucesivos estados de esfuerzos al aumentar σ 1 manteniendo constante σ 3.(a) Círculos de Mohr (b) Diagrama p-q

Pero al ser funciones del tensor, interesa que no varíen con los cambios de coordenadas. Unosvalores función del tensor de tensiones que no dependen de las coordenadas en las que estéexpresado son sus valores propios, las tensiones principales, por lo que el primer conjunto devariables tensionales que se utilizaron fueron las tensiones principales.

Así el estado tensional de un punto se puede representar en el denominado espacio de tensiones principales, ver figura 3.24.

Figura 3.24 Espacio de tensiones principales

De la obtención algebraica de las tensiones principales se obtiene un segundo grupo de variablestensionales que son los invariantes principales. El desarrollo matemático a través del que seconsigue su definición parte de la obtención de los valores y vectores propios del tensor detensiones, para ello se impone que existan unos vectores n tales que:

0Iσn

0nσn

nσn

t

t t

t t

Es decir, se trata de resolver un sistema de ecuaciones. Si la matriz de este sistema tienedeterminante no nulo, la única solución posible será n=0. Por tanto para que existan otrassoluciones además de la trivial (n=0) debe cumplirse que:

0det Iσ

A

B

CD

E

( )a

q

pAB

C

D

E

( )b

P

A3

2

1

t oct

oct

Eje de tensión

hidrostática

O


23/27


23

es decir:

det 0 x xy xz

yx y yz

zx zy z

Este determinante da lugar a la siguiente ecuación de 3er grado:3 2 0a b c

que permite determinar los valores propios del tensor de tensiones o tensiones principales, esdecir:

1 1 2 2 3 3

Dichos valores son invariantes frente a cualquier cambio de coordenadas. Por tanto, loscoeficientes de la ecuación de tercer grado (a, b y c) también son invariantes. Se puedecomprobar que estos coeficientes de la ecuación de tercer grado valen lo siguiente:

1

2 2 22

2 2 2

3

( )

2

x y z

x y y z z x xy yz zx

x y z xy yz zx z xy x yz y zx

a I

b I

c I

Estos invariantes son los denominados invariantes principales y se corresponden con:

I 1= traza del tensor de tensiones

I 2= suma de los determinantes de los menores de 2º orden del tensor detensiones

I 3= determinante del tensor de tensiones

En el caso particular en que el tensor de tensiones se encuentre expresado en función de losvalores propios o tensiones principales, dichos invariantes valen:

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

I

I

I

En función de estos invariantes se puede definir cualquier nuevo invariante, por ejemplo lasvariables tensionales o invariantes del plano de octaédrico, que son aquellos planos igualmenteinclinados en relación a los ejes principales del punto considerado. (Cos α= cos β = cos γ=√3/3α= β = γ= 54º43`).

1

2 2 2 2 2 21 2

1 1

3 3

1 12 3 6( )3 3

oct x y z

oct x y y z z x xy yz zx

I

I I

Que se denominan tensión normal octaédrica o tensión media y tensión tangencial octaédrica,respectivamente.

Estas variables tienen sentido físico:

oct informa de la distancia entre el origen O y el plano perpendicular a la recta definida por 1= 2= 3, denominada eje de tensión hidrostática, que pasa por el punto P. Así nosda una idea del confinamiento del estado tensional, por ejemplo una oct =0 corresponde aun estado puramente desviador, cuyas características son: traza nula, sus autovalores

suman cero y su primer invariante es nulo.


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24

oct informa de la distancia entre el punto P y el eje de tensión hidrostática. Así nosinforma de lo lejos que está el estado tensional de un estado isótropo, así un valor nulo de oct indica que estamos frente un estado puramente esférico.

A continuación se presentan las dos parejas de variables tensionales más utilizadas en Mecánica

de Suelos:

Invariantes del plano de Lambe.Son propios de estados tensionales en dos dimensiones. Están definidos por una tensiónmedia ( s) y una tensión de corte (t ), que corresponden respectivamente con el centro y elradio del círculo de Mohr. Sus expresiones son:

1 3

2

2

1 3

1 1

2 2

1

2 2

x y

x y

xy

s

t

Invariantes del plano de Cambridge.

Éstos ya representan estados tridimensionales y son muy semejantes a los del espaciooctaédrico:

1

2 2 2 2 2 2

1 1

3 3

3 16( )

2 2

oct x y z

oct x y y z z x xy yz zx

p I

q

En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición detensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la sección

elegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto, loque debe conocerse es el estado tensional del punto, esto supone conocer la informaciónsuficiente para poder calcular la tensión en cualquier orientación.

Deformación volumétrica.

Sea un elemento diferencial de volumen definido por:

0 d d dV x y z

al producirse una deformación, el nuevo volumen se calcula como:

1 1 d 1 d 1 d 1 d d d x y z x y z V x y z x y z

en la que se han despreciado todos los términos de segundo (productos x z ) y tercer orden(producto x z z ), y se ha considerado el criterio de compresiones positivas.

La deformación volumétrica será (disminución de volumen positivo):

1 0

1

0 0

1 d d d d d d( )

d d d

x y z

vol x y z

x y z x y z V V V I

V V x y z

Es decir, que la deformación volumétrica equivale al primer invariante de la matriz dedeformaciones.

Deformación tangencial o deformación de corte.Igualmente podemos definir una deformación de corte octaédrica como:


25/27


25

12 2 22 2 2 2

12 2 2 2

1 2 2 3 3 1

26

3

2

3

oct x y y z z x xy xz yz

Por último, cada pareja de invariantes de tensión se puede asociar con una pareja de invariantesde deformación. Si se escribe en tensiones y deformaciones principales resulta:

Tensiones totales Tensiones efectivas DeformacionesCambridge p =1/3( 1+ 2+ 3)

q =( 1 3) p’ = p u

q’ =q vol =( 1 + 2+ 3) d =2/3( 1 3)

Lambe (deformación plana)

s=1/2( 1+ 3)t =1/2( 1 3)

s’ = s u t’ =t

vol = ( 1 + 3) t = ( 1 3)

33..55 EEssttaaddoo tteennssiioonnaall eenn ccoonnddiicciioonneess uunniiddiimmeennssiioonnaalleess

La figura 3.25 muestra una idealización del terreno saturado y con superficie horizontal.

Figura 3.25 Elemento de suelo en terreno saturado y con superficie horizontal

Por simetría, y suponiendo el suelo material homogéneo, las tensiones tangenciales son nulas enel elemento de suelo representado y, por tanto, solo se tendrán tensiones normales. Porequilibrio de tensiones verticales, la variación de tensión con la profundidad debido al peso delterreno resulta ser:

d dv n

z

Integrando:z

v n0= d =

n z z

Por otro lado, la presión de agua en régimen hidrostático y nivel freático en superficie es:

wu z

El cálculo de las tensiones efectivas resulta de restar las leyes de tensiones totales y presiones deagua:

' 'v v

u z

Así la tensión en un punto, en terreno saturado y con superficie horizontal, evoluciona segúnmuestra la figura 3.26, obteniéndose un mayor confinamiento en los puntos que se encuentran amayor profundidad.

z

N.F.

d z n

n


26/27


26

Figura 3.26 Tensiones en terreno saturado con superficie horizontal y su posible evolución en función dela profundidad. Representación mediante Círculos de Mohr con la localización de las tensiones

principales (σ i,z) y los polos (Pi).

Si el suelo está estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzosverticales pueden calcularse adecuadamente por medio de la sumatoria, como se verá másadelante:

σ v= ∑γ·∆ z Las tensiones horizontales son más difíciles de calcular ya que no es posible su determinación por equilibrio. Se ha comprobado que en condiciones de deformación lateral nula (el suelo sedeforma solamente en vertical), se cumple que:

0

'

'h

v

K

y al coeficiente K 0 se le denomina coeficiente de empuje al reposo.

Puede ocurrir que tengamos un suelo con tensión vertical efectiva y tensión horizontal efectivasuperior. Esto es debido a que a veces se descargan los suelos (debido por ejemplo a la erosión),las tensiones horizontales no se descargan igual que se cargan, sino que se genera una rama dedescarga. Mientras que las tensiones verticales efectivas sí se descargan igual que se cargan.

Hay que tener en cuenta que a un terreno que sólo ha sido cargado se le llama terrenonormalmente consolidado, mientras que un terreno que ha sido cargado y descargado (máscompacto), se le llama terreno sobreconsolidado ( K 0 entre 1 y 2).

La figura 3.27 muestra el estado de tensiones en un talud indefinido con superficie inclinada ( β ):

Figura 3.27 Análisis de un talud indefinido

u( z ) = γω z

A

B

C

z

σ ' ( z )

σ A ( z )

σ B ( z )

σ C ( z )

σ ( z )

N.F.

τ

A B

C

σ A ( z ) σ B ( z ) σ C ( z )

PA PB PC

σ

confinamiento- +

a

γn

z W


27/27


La tensión vertical sobre un plano paralelo a la superficie del terreno (inclinación ) se calculacomo:

coscosn

n

zaW z

a a

siendo z la profundidad de dicho plano, a la anchura de una rebanada, y la inclinación deltalud. Dicha tensión se puede descomponer en una componente normal y una componentetangencial:

2cos cos

sin cos sin

n n

n n

z

z

Esta pareja de tensiones permite representar en círculo de Mohr este estado tensional ydeterminar la orientación de las tensiones en otros planos, pero no su módulo ya que estedepende de la naturaleza del suelo.

apuntes tensiones y deformaciones tensión e.pdf

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