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Aula 01

Raciocnio Lgico p/ STJ - Todas as reas

Professor: Marcos Pion

Raciocnio Lgico p/ STJ Teoria e exerccios comentados

Prof Marcos Pion Aula 01

Prof. Marcos Pion www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 68

AULA 01: Lgica (Parte 1)

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SUMRIO PGINA 1. Resoluo das questes da Aula 00 1 2. Conceitos bsicos 37 3. Exerccios comentados nesta aula 59 4. Exerccios propostos 62 5. Gabarito 68 Na aula 00, vimos as operaes com conjuntos. Hoje comearemos com o contedo de lgica. Porm, antes disso, vamos resoluo das questes da aula passada. 1 Resoluo das questes da Aula 01 (Texto para as questes 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e no-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes nmeros inteiros: S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A B; S4: quantidade de elementos do conjunto A B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A. Com base nessas informaes, correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condies especificadas, 15 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S1 + S6. Soluo: Para facilitar o entendimento, temos: S3 = S1 + S6




n(A B) = n(A) + n(B \ A) Vimos na aula passada que n(B \ A) = n(B) n(B A). Assim, substituindo n(B \ A) na equao de cima, temos: n(A B) = n(A) + n(B \ A) n(A B) = n(A) + n(B) n(B A) Ora, essa equao j deve estar decorada, no mesmo? Assim, o item est correto! Se voc no se lembrasse de nenhuma dessas equaes na hora da prova, bastava desenhar os diagramas para verificar. Veja que as informaes so para Quaisquer conjuntos A e B. Assim, podemos escolher a situao em que A e B possuem elementos em comum e elementos s deles para verificar a equao: Com isso, n(A B) = n(A) = n(B \ A) = Portanto, n(A B) = n(A) + n(B \ A)

A B

B / A

A B

A

=

A A B B / A

+




Assim, basta juntar os pedaos. Isso mostra que a equao est correta! 16 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 + S4 = S1 + S2. Soluo: Vamos l: S3 + S4 = S1 + S2 n(A B) + n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) Mais uma vez, chegamos na mesma equao. Item correto! 17 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S5 + S6. Soluo: S3 = S5 + S6 n(A B) = n(A \ B) + n(B \ A) Lembrando que n(A \ B) = n(A) n(A B) e n(B \ A) = n(B) n(B A), temos, n(A B) = n(A \ B) + n(B \ A) n(A B) = n(A) n(A B) + n(B) n(B A) n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) n(B A) Podemos perceber pelo destaque em azul e vermelho que existe o termo n(B A) sobrando na equao. Portanto, o item est errado! (Texto para as questes 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e possuem casa prpria, julgue os itens seguintes. 18 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria. Soluo: Podemos montar a seguinte tabelinha para ajudar na resoluo:




Casados Solteiros Total Possuem casa prpria No possuem casa prpria Total Total de Empregados: 110 Casados Solteiros Total Possuem casa prpria No possuem casa prpria Total 110 Total de Casados: 80 Casados Solteiros Total Possuem casa prpria No possuem casa prpria Total 80 110 Com isso, podemos concluir que o total de solteiros era igual a 110 80 = 30 Casados Solteiros Total Possuem casa prpria No possuem casa prpria Total 80 30 110 Total que possui casa prpria: 70 Casados Solteiros Total Possui casa prpria 70 No possui casa prpria Total 80 30 110 Com isso, podemos concluir que o total de pessoas que no possuem casa prpria era igual a 110 70 = 40 Casados Solteiros Total Possui casa prpria 70 No possui casa prpria 40 Total 80 30 110 30 so solteiros e possuem casa prpria




Casados Solteiros Total Possui casa prpria 30 70 No possui casa prpria 40 Total 80 30 110 Com isso, podemos concluir que o total de casados que possuem casa prpria era igual a 70 30 = 40. Casados Solteiros Total Possui casa prpria 40 30 70 No possui casa prpria 40 Total 80 30 110 Para finalizar, podemos concluir que 80 40 = 40 empregados casados no possuem casa prpria e que 30 30 = 0 empregados solteiros no possuem casa prpria. Casados Solteiros Total Possui casa prpria 40 30 70 No possui casa prpria 40 0 40 Total 80 30 110 Portanto, este item est errado, j que exatamente a metade dos empregados casados possuem casa prpria. 19 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados. Soluo: Utilizando a tabela que fizemos para o item anterior, podemos concluir que este item est errado, pois a quantidade de casados que possuem casa prpria (40) maior que a quantidade de solteiros que possuem casa prpria (30). Casados Solteiros Total Possui casa prpria 40 30 70 No possui casa prpria 40 0 40 Total 80 30 110 (Texto para as questes 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D so tais que A e B so disjuntos de C e D e suas partes tm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir.




subconjunto elemento

[A / B] [C / D] 15 C 18

[A B] [C D] 24 A B 8 A B 32

[C / D] [D / C] 25 Com relao a esses conjuntos e subconjuntos e aos nmeros de elementos, julgue os itens seguintes. 20 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C D tem mais de 40 elementos. Soluo: Nessa questo, no meu modo de ver, o CESPE cometeu um equvoco na notao da diferena entre conjuntos. Em todos os livros de matemtica que conheo, a diferena entre os conjuntos A e B representada por (A B) ou (A \ B). Nessa questo essa diferena foi escrita como A / B (a barra deveria ser invertida). Feita essa observao, vou comear desenhando os diagramas que nos ajudaro a entender melhor a explicao. Sabendo que A e B so disjuntos de C e D, temos: A partir da tabela, podemos ir preenchendo as reas com as quantidades de elementos: n(A B) = 8 = y

A

B

C

D

A

B

C

D

8

x

y

z

j

k

i

x

z

j

k

i




n([A B] [C D]) = 24 8 + j = 24 j = 24 8 j = 16 n(C) = 18 i + 16 = 18 i = 18 16 i = 2 n([C / D] [D / C]) = 25 2 + k = 25 k = 25 2 k = 23 Aqui j podemos responder esta questo, pois queremos saber quantos elementos possui C D: n(C D) = 2 + 16 + 23 n(C D) = 41 elementos. Portanto, o item est correto! 21 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) [A / B] [B / A] tem mais de 25 elementos. Soluo: Vamos responder esta questo, aproveitando o que j fizemos na questo anterior:

A

B

C

D

8 16

A

B

C

D

8 16

2

k

i

A

B

C

D

8 16

2

23

x

z

x

z k

x

z




n(A B) = 32 x + 8 + z = 32 x + z = 32 8 x + z = 24 Como n(A \ B) = x; n(B \ A) = z e (A \ B) no possui nenhum elemento em comum com (B \ A), ento n([A \ B] [B \ A]) = x + z = 24. Assim, podemos concluir que este item est errado! 22 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos. Soluo: Olhando diretamente para o que j encontramos anteriormente, n(C \ D) = i = 2. Portanto, este item est errado! 23 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos. Soluo: Olhando diretamente para o que j encontramos anteriormente, n(D \ C) = k = 23. Portanto, este item est correto! (Texto para as questes 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veculos parados, 60 foram flagrados com extintor de incndio com data de validade vencida. Alm disso, em 45 veculos, o motorista estava sem o documento de habilitao para dirigir. O total de veculos em pelo menos uma dessas duas situaes foi de 90. Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes. 24 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O nmero de veculos que no apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50. Soluo: Organizando as informaes, temos:

A

B

C

D

8 16

2

23

x

z




Total de veculos (T): 150 Veculos com problemas de extintor (Ve): 60 Veculos com problemas de documentao (Vd): 45 Veculos com pelo menos uma dessas infraes (Ve Vd): 90 Veculos sem nenhuma infrao (Vn): ??? Desenhando o diagrama, temos: Bom, a questo pede o total de veculos que no apresentaram nenhuma infrao. Temos o total de veculos parados na blitz (150) e o total de veculos com pelo menos uma infrao (90). Assim, o total de veculos que no teve nenhuma infrao corresponde rea amarela do diagrama e dado por: n(Vn) = n(T) n(Ve Vd) n(Vn) = 150 90 n(Vn) = 60 Portanto, o item est correto, pois mais de 50 veculos no apresentaram as irregularidades mencionadas no texto. 25 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O nmero de veculos flagrados simultaneamente nas duas situaes foi inferior a 20. Soluo: Bom, agora a questo pede o nmero de veculos flagrados simultaneamente nas duas infraes. Esse grupo de veculos corresponde interseo dos conjuntos Ve e Vd (ou seja, Ve Vd). Lembrando aquela equao da aula passada, temos: n(Ve Vd) = n(Ve) + n(Vd) n(Ve Vd) 90 = 60 + 45 n(Ve Vd) n(Ve Vd) = 105 90 n(Ve Vd) = 15

T

Ve Vd




Assim, conclumos que o item est correto, pois menos de 20 veculos foram flagrados simultaneamente nas duas infraes. (Texto para as questes 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importncia da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educao Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reunies, seminrios, palestras, capacitaes de professores e treinamento de servidores. A atuao abrangeu 27 municpios capixabas.

Internet: (com adaptaes). Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraram pblico e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram s palestras, 1.500 pessoas, aos seminrios e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere tambm que 500 pessoas participaram de palestras e seminrios, 800 pessoas participaram apenas de seminrios, 200 pessoas no participaram de palestras ou seminrios e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situao hipottica e com o texto acima, julgue os itens a seguir. 26 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Menos de 1.400 pessoas participaram apenas de palestras. Soluo: Como sempre fazemos, vamos comear organizando as informaes: Estudantes que no foram a nenhum evento (N): 0 Estudantes que compareceram a Palestras (P): 2.000 Estudantes que compareceram a Seminrios (S): 1.500 Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500 Estudantes que compareceram a Palestras e Seminrios (P S): 500 Estudantes que compareceram apenas a Seminrios (S (P D)): 800 Estudantes que no compareceram a Palestras ou Seminrios (D (P S)): 200 Estudantes que compareceram a todos eventos: (P S D): 25 Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades:

P

D

S




Estudantes que compareceram a todos eventos: (P S D): 25 Estudantes que compareceram apenas a Seminrios (S (P D)): 800 Estudantes que no compareceram a Palestras ou Seminrios (D (P S)): 200 Estudantes que compareceram a Palestras e Seminrios (P S): 500 Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, apenas 500 25 = 475 compareceram apenas a Palestras e Seminrios.

P

D

S

25

P

D

S

25

800

P

D

S

25

800

200




Estudantes que compareceram a Seminrios (S): 1.500 Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminrios, 800 compareceram apenas a Seminrios, e 1.500 compareceram a Seminrios, podemos concluir que 1500 800 475 25 = 200 compareceram apenas a Seminrios e Demais Eventos. Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500 Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 200 compareceram apenas a Seminrios e Demais Eventos, 200 compareceram apenas a Demais Eventos, e 500 compareceram a Demais Eventos, podemos concluir que 500 200 200 25 = 75 compareceram apenas a Palestras e Demais Eventos. Estudantes que compareceram a Palestras (P): 2.000

P

D

S

25

800

200

475

P

D

S

25

800

200

475

200

P

D

S

25

800

200

475

200 75




Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 75 compareceram apenas a Palestras e Demais Eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminrios, e 2.000 compareceram a Palestras, podemos concluir que 2000 75 475 25 = 1.425 compareceram apenas a Palestras. Portanto, podemos concluir que o item est errado, pois mais de 1.400 pessoas participaram apenas de Palestras. 27 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos. Soluo: Bom, usando o diagrama preenchido na questo anterior, temos: A rea pintada de amarelo corresponde justamente ao grupo que a questo pediu, que so aqueles que participaram de dois ou mais eventos. Assim, temos: Pessoas que participaram de dois ou mais eventos = 475 + 200 + 75 + 25 = 775 Portanto, o item est correto, pois mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais eventos. (Texto para as questes 28 a 30) Um instituto de ensino oferece trs cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informtica e de administrao. As matrculas dos alunos desse instituto esto assim distribudas: 100 em

P

D

S

25

800

200

475

200 75

1.425

P

D

S

25

75

475

200

1.425

200

800

25




contabilidade, 70 em informtica, 55 em administrao, 30 em contabilidade e informtica e 25 em informtica e administrao. Com base nessas informaes e sabendo que nenhum aluno est matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administrao, julgue os itens que se seguem. 28 - (MEC - 2011 / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administrao igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informtica. Soluo: Organizando as informaes, temos: Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100 Total de alunos matriculados em informtica (I): 70 Total de alunos matriculados em administrao (A): 55 Total de alunos matriculados em contabilidade e informtica (C I): 30 Total de alunos matriculados em informtica e administrao (I A): 25 Total de alunos matriculados em contabilidade e administrao (C A): zero Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades: Total de alunos matriculados em contabilidade e administrao (C A): zero Total de alunos matriculados em contabilidade e informtica (C I): 30

C

A

I

C

A

I

0 0




Total de alunos matriculados em informtica e administrao (I A): 25 Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100 Como 30 desses alunos tambm esto matriculados em informtica, 100 30 = 70 esto matriculados apenas em contabilidade. Total de alunos matriculados em informtica (I): 70 Como 30 desses alunos tambm esto matriculados em contabilidade e 25 desses alunos tambm esto matriculados em administrao, 70 30 25 = 15 esto matriculados apenas em informtica.

C

A

I

0 0

30

C

A

I

0 0

30

25

C

A

I

0 0

30

25

70




Total de alunos matriculados em administrao (A): 55 Como 25 desses alunos tambm esto matriculados em informtica, 55 25 = 30 esto matriculados apenas em administrao. Portanto, podemos concluir que o item est correto, pois o nmero de alunos matriculados apenas em administrao igual a 30, que o dobro de 15 (total de alunos matriculados apenas em informtica). 29 - (MEC - 2011 / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administrao e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem tambm em informtica, ento informtica ser o curso com o maior nmero de alunos matriculados. Soluo: Bom, usando o diagrama preenchido na questo anterior, temos:

C

A

I

0 0

30

25

70 15

C

A

I

0 0

30

25

70

30

15

C

A

I

0 0

30

25

70

30

15




Agora, vamos realizar as modificaes propostas na questo: 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administrao 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem tambm em informtica Calculando o nmero de alunos em cada curso, temos: Contabilidade = 45 + 40 = 85 Informtica = 40 + 15 + 25 = 80 Administrao = 45 + 25 = 70 Portanto, o curso que fica com mais alunos contabilidade. Item errado.

C

A

I

0 0

30

25

70-15= 55

30+15 = 45

15

C

A

I

0 0

30+10=40

25

55-10=45

45

15

C

A

I

0 0

40

25

45

45

15




30 - (MEC - 2011 / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos trs cursos. Soluo: Bom, usando o diagrama preenchido anteriormente, temos: Total de alunos = 70 + 30 + 15 + 25 + 30 = 170 Portanto, o instituto possui menos de 200 alunos. Item errado. (Texto para as questes 31 e 32) Em uma pgina da Polcia Federal, na Internet, possvel denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o trfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianas para explorao sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explcitas, reais ou simuladas, ou exibio dos rgos genitais do menor para fins sexuais. Com referncia a essa situao hipottica e considerando que, aps a anlise de 100 denncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como trfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 no se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relao a 60 dessas denncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denncias analisadas. 31 - (Polcia Federal - 2012 / CESPE) Dez denncias foram classificadas apenas como crime de trfico de pessoas. Soluo: Nessa questo, vamos comear desenhando o diagrama, onde queremos encontrar o valor de x:

C

A

I

0 0

30

25

70

30

15




Onde T o total de denncias, TP o total de denncias referentes ao Trfico de Pessoas e PI o total de denncias referentes Pornografia Infantil. Agora, vamos analisar as informaes da questo e preencher o diagrama com as quantidades correspondentes: tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como trfico de pessoas e como pornografia infantil Com isso, podemos concluir que a interseo dos conjuntos TP e PI possui 30 elementos: outras 30 no se enquadravam em nenhum desses dois crimes Com isso, podemos concluir que a rea laranja do diagrama acima possui 30 elementos, pois essas trinta denncias no fazem parte nem de TP nem de PI: em relao a 60 dessas denncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil

T

TP PI

T

TP PI

30

T

TP PI

30

30

x

x

x




Como ns j sabemos que 30 denncias se tratavam de Pornografia Infantil e tambm de Trfico de Pessoas, podemos concluir que 60 30 = 30 denncias se tratavam apenas de Pornografia Infantil: Por fim, como o total de denncias era igual a 100, podemos calcular o total de denncias que se tratavam apenas de Trfico de Pessoas: x = 100 30 30 30 x = 10 Portanto, item correto. 32 - (Polcia Federal - 2012 / CESPE) Os crimes de trfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Soluo: Utilizando o diagrama da questo anterior, temos: Total de denncias de Trfico de Pessoas = 10 + 30 = 40 Total de denncias de Pornografia Infantil = 30 + 30 = 60 Portanto, os crimes de Trfico de Pessoas foram menos denunciados que os crimes de Pornografia Infantil. Item errado. (Texto para a questo 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que j participaram de pelo

T

TP PI

30

30

30 x

T

TP PI

30

30

30 10




menos x procedimentos licitatrios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos. 33 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se x e y forem nmeros inteiros no negativos e x y, ento Ey Ex. Soluo: A dificuldade dessa questo entender exatamente quais so os conjuntos informados na questo. Para facilitar o entendimento, vamos supor uma situao prtica. Digamos que existam 5 empresas A, B, C D e E. Digamos, tambm, que A no tenha participado de nenhuma licitao, que B e C tenham participado de 2 licitaes e que D e E tenham participado de 3 licitaes. Assim, teremos os seguintes conjuntos: E0 = {A, B, C, D, E}, pois todas as empresas participaram de zero ou mais licitaes. E1 = {B, C, D, E}, pois apenas A no participou de pelo menos uma licitao. E2 = {B, C, D, E}, pois apenas A no participou de pelo menos duas licitaes. E3 = {D, E}, pois A, B e C no participaram de pelo menos trs licitaes. Assim, considerando que x e y so nmero inteiros no negativos (ou seja, 0, 1, 2, 3, ...), e que x menor ou igual a y, podemos concluir que Ey est contido em Ex. Utilizando a situao prtica descrita acima, podemos supor que x = 1 e y = 3, assim teremos dois nmero inteiros no negativos e teremos tambm x menor que y. Resta verificar se E3 est contido em E1, ou seja, se {D, E} est contido em {B, C, D, E}. Lembrando que um conjunto K est contido em outro conjunto J, se todos os elementos de K tambm pertencerem a J, e exatamente isso que acontece acima. Se ainda tiverem dvida, s perceber que uma empresa que participou de 2 licitaes ser elemento dos conjuntos E0, E1 e E2. Se a Empresa participou de 3 licitaes, ela far parte dos conjuntos E0, E1, E2, e E3, e assim sucessivamente, fazendo com que o conjunto En sempre seja subconjunto de En-1, En-2, En-3... Portanto, podemos concluir que o item est correto. (Texto para as questes 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivduos do conjunto E que so clientes de pelo menos x operadoras de telefonia mvel e Nx, quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informaes, julgue os itens que se seguem.




34 - (Anatel - 2012 / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 Nx. Soluo: Aqui, devemos entender que cada pessoa do conjunto E pode ser cliente de nenhuma, de uma, de duas, de trs ou de quatro operadoras. O conjunto E0 representa todas as pessoas do conjunto E, pois todo mundo cliente de pelo menos zero operadoras, ele pode ser cliente de uma, de duas, de trs, de quatro ou de nenhuma operadora que ele far parte deste conjunto. J o conjunto E1 composto por todas as pessoas que so clientes de pelo menos uma operadora. O elemento deste conjunto pode ser cliente de uma, duas, trs ou quatro operadoras, mas no pode ser cliente de zero operadoras Assim, podemos concluir que o nmero de elementos do conjunto E1 ser menor ou igual ao nmero de elementos do conjunto E0, pois todos os elementos de E1 pertencem a E0, sendo que E0 ainda pode possuir as pessoas que no so clientes de nenhuma operadora. Assim, podemos perceber que isso se aplica a E2, E3 e E4, ou seja, o nmero de elementos de E4 menor ou igual ao nmero de elementos de E3, o qual possui um nmero de elementos menor ou igual a E2, que possui um nmero de elementos menor ou igual a E1. Assim, temos: N4 N3 N2 N1 N0 Com isso, podemos perceber que o item est errado, j que o x ir variar entre 0 e 4, o que far com que o N4 seja menor ou igual a Nx e no maior ou igual a Nx. Item errado. 35 - (Anatel - 2012 / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x y, ento, Ey ser um subconjunto de Ex. Soluo: Essa questo parece uma cpia da questo do TCDF acima. Como x menor ou igual a y, podemos concluir que todos os elementos de Ey iro pertencer ao conjunto Ex, ou seja, Ey um subconjunto de Ex (Ey Ex). Item correto (Texto para as questes 36 e 37) Em razo da limitao de recursos humanos, a direo de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administrao pblica que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informaes, considerando P = conjunto dos processos em anlise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos




valores, CP(X) = processos de P que no esto no conjunto X, e supondo

que, dos processos de P, 32

so de A e 53

so de B, julgue os itens a seguir.

36 - (MPU - 2013 / CESPE) O conjunto CP(A) CP(B) corresponde aos processos da unidade que no so prioritrios para anlise. Soluo: Nessa questo, devemos analisar se CP(A) CP(B) igual ao conjunto dos processos que no so prioritrios para anlise. Para isso, vamos inicialmente desenhar os conjuntos para facilitar nosso entendimento: Sabemos que P representa o total dos processos em anlise na unidade, A representa o conjunto dos processos que envolvem autoridades influentes e B representa o conjunto dos processos que envolvem desvio de altos valores. Veja que possvel que um processo envolva autoridade influente e desvio de altos valores, ou seja, possvel que existam processos na rea branca do desenho, que representa a interseo dos conjuntos A e B. Agora, vamos representar no desenho o conjunto CP(A) CP(B). Vejamos: CP(A) O complementar de A em relao a P est representado pela rea verde, ou seja, envolve todos os elementos de P que no pertencem ao conjunto A.

P

A B

P

A B




CP(B) O complementar de B em relao a P est representado pela rea roxa, ou seja, envolve todos os elementos de P que no pertencem ao conjunto B. Unindo as duas reas, temos o seguinte: CP(A) CP(B) Esse conjunto representa todos os elementos de P que no pertencem ao mesmo tempo a A e a B. Veja que existem elementos de A e elementos de B neste conjunto, o que faz com que CP(A) CP(B) no represente os processos da unidade que no so prioritrios para anlise. Item errado. 37 - (MPU - 2013 / CESPE) A quantidade de processos com prioridade de anlise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores inferior de processos que no so prioritrios para anlise. Soluo: Essa uma questo bastante interessante. Temos a informao de que dos

processos de P, 32

so de A e 53

so de B. Vamos olhar o desenho da questo

anterior:

P

A B

P

A B

P

A B




Essa questo quer saber se a quantidade de processos da rea branca inferior quantidade de processos da rea cinza. Sabemos que: n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

n(A B) = 3P.2

+ 5P.3

n(A B)

n(A B) = 15

P.9P.10 + n(A B)

n(A B) = 15

P.19 n(A B)

Chamando que K o total de processos que no so prioritrios, podemos tambm escrever a seguinte equao: P = n(A B) + K n(A B) = P K Igualando as duas equaes, temos:

15P.19

n(A B) = P K

15P.19

P = n(A B) K

15P.15P.19

= n(A B) K

n(A B) K = 15

P.4

Como 15

P.4 um nmero positivo, j que no podemos ter uma quantidade

negativa de elementos de um conjunto, podemos concluir que n(A B) > K, para que o resultado encontrado seja positivo. Assim, conclumos que a quantidade de processos da rea branca SUPERIOR quantidade de processos da rea cinza. Item errado. (Texto para as questes 38 e 39) Considerando que seja o conjunto de todos os nmeros inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m , o




conjunto A(m) seja o subconjunto de formado por todos os nmeros divisveis por m, julgue os itens a seguir. 38 - (ANS - 2013 / CESPE) O conjunto A(15) A(10) contm o conjunto A(60). Soluo: Foi dito na questo que A(m) representa o conjunto dos nmeros que so divisveis por m. Dizemos que um nmero divisvel por m quando o quociente da diviso deste nmero por m um nmero inteiro e o resto desta diviso igual a zero. Assim, vamos listar A(15), A(10), A(15) A(10) e A(60): A(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...} A(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...} A(15) A(10) = {30, 60, 90, 120, 150, 180 ...} A(60) = {60, 120, 180, ...} Portanto, podemos ver que todos os elementos do conjunto A(60) pertencem ao conjunto A(15) A(10), o que faz com que a afirmao do enunciado seja verdadeira. Outra forma de resolver esta questo verificando que para um nmero pertencer ao conjunto A(15) A(10) ele deve ser divisvel por 10 e por 15 ao mesmo tempo. Assim, resta verificar se todos os nmeros divisveis por 60 sero sempre divisveis por 10 e por 15 ao mesmo tempo: 60: divisvel por 10 e por 15 ao mesmo tempo 120: divisvel por 10 e por 15 ao mesmo tempo 180: divisvel por 10 e por 15 ao mesmo tempo ... Item correto. 39 - (ANS - 2013 / CESPE) O conjunto A(6) A(8) contm o conjunto A(14). Soluo: Essa questo semelhante questo anterior. Vamos listar os conjuntos: A(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...} A(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}




A(6) A(8) = {6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48, ...} A(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84 ...} Portanto, podemos ver que nem todos os elementos do conjunto A(14) pertencem ao conjunto A(6) A(8), o que faz com que a afirmao do enunciado seja falsa. Outra forma de resolver esta questo verificando que para um nmero pertencer ao conjunto A(6) A(8) ele deve ser divisvel por 6 ou por 8. Assim, resta verificar se todos os nmeros divisveis por 14 sero sempre divisveis por 6 ou por 8: 14: no divisvel por 6 nem por 8 (aqui j podemos concluir que A(6) A(8) no contm A(14)) Item errado. (Texto para as questes 40 e 41) Os convnios celebrados por um rgo enquadram-se em uma das seguintes situaes:

em execuo: quando o convenente ainda no est obrigado a prestar contas ao concedente;

aguardando prestao de contas: quando, aps o perodo de vigncia

do convnio, o convenente tem determinado prazo para prestar contas;

prestao de contas em anlise: quando, aps a entrega da prestao

de contas pelo convenente, o rgo concedente tem determinado prazo para analisar;

concludo: quando a prestao de contas foi analisada e aprovada;

em instruo de tomada de contas especial (TCE): quando a prestao

de contas foi analisada e rejeitada. Considere que, dos 180 convnios celebrados pelo referido rgo neste ano, 21 esto concludos, 10 esto em fase de instruo de TCE, 35 esto com a prestao de contas em anlise, 80 esto em execuo e o restante est aguardando prestao de contas. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes. 40 - (FUNASA - 2013 / CESPE) Mais de 30 convnios j tiveram suas prestaes de contas analisadas. Soluo: S temos duas situaes em que podemos afirmar que a prestao de contas foi analisada:




concludo: quando a prestao de contas foi analisada e aprovada;

em instruo de tomada de contas especial (TCE): quando a prestao

de contas foi analisada e rejeitada. Assim, temos as seguintes informaes: 21 esto concludos 10 esto em fase de instruo de TCE Total de convnios com prestaes de contas analisadas = 21 + 10 = 31 Portanto, item correto. 41 - (FUNASA - 2013 / CESPE) O complementar do conjunto dos convnios que esto aguardando prestao de contas tem mais elementos que o complementar do conjunto dos convnios em execuo. Soluo: Nessa questo, temos as seguintes informaes: 180 convnios celebrados pelo referido rgo neste ano (vou chamar de T) 21 esto concludos (vou chamar de C) 10 esto em fase de instruo de TCE (vou chamar de I) 35 esto com a prestao de contas em anlise (vou chamar de A) 80 esto em execuo (vou chamar de E) O restante est aguardando prestao de contas (vou chamar de P) Assim, temos: T = C + I + A + E + P 180 = 21 + 10 + 35 + 80 + P P = 180 21 10 35 80 P = 34 Assim, temos: Nmero de elementos do complementar de P: CP = 180 34 = 146 Nmero de elementos do complementar de E: CE = 180 80 = 100 Como CP > CE, conclumos que o item est correto.




(Texto para as questes 42 a 45) No trinio 2011-2013, 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes pases: Brasil, Estados Unidos da Amrica (EUA) e Frana. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na Frana; 27 patentearam seus produtos nos trs pases; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na Frana; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na Frana. Com base nessa situao hipottica, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos. 42 - (INPI - 2014 / CESPE) Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na Frana e nos EUA. Soluo: Nessa questo, vamos comear desenhando os diagramas: Agora, vamos preencher as regies do diagrama com as informaes da questo: 27 patentearam seus produtos nos trs pases; 50 patentearam produtos somente no Brasil e na Frana;

Brasil EUA

Frana

Brasil EUA

Frana

27




36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na Frana; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil;

Brasil EUA

Frana

27 50

Brasil EUA

Frana

27 50

36

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40




130 patentearam seus produtos na Frana. Como 50 + 27 + 40 = 117 tambm patentearam seus produtos em outros pases, conclumos que apenas 130 117 = 13 patentearam seus produtos apenas na Frana. Por fim, do total de 240 grupos, podemos calcular o total de grupos que patentearam seus produtos apenas nos EUA (vou chamar esta quantidade de x): 240 = 36 + 60 + 50 + 27 + 40 + 13 + x x = 240 36 60 50 27 40 13 x = 14

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

14




Agora, voltando ao enunciado da questo, temos: Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na Frana e nos EUA. Esta quantidade representada pela regio amarela da figura abaixo: Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos na Frana e nos EUA foi de 27 + 40 = 67 grupos. Item errado. 43 - (INPI - 2014 / CESPE) Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na Frana. Soluo: Essa quantidade representada pela rea verde do diagrama: Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos somente na Frana foi de 13 grupos. Item errado.

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

14

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

14




44 - (INPI - 2014 / CESPE) Menos de 110 grupos no patentearam nenhum de seus produtos nos EUA. Soluo: Essa quantidade representada pela rea azul do diagrama abaixo: Portanto, o total de grupos que no patentearam nenhum de seus produtos nos EUA foi de 36 + 50 + 13 = 99 grupos. Item correto. 45 - (INPI - 2014 / CESPE) Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil. Soluo: Essa quantidade representada pela rea laranja do diagrama: Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos no Brasil foi de 36 + 60 + 27 + 50 = 173 grupos. Item correto.

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

14

Brasil EUA

Frana

27 50

36

40

60

13

14




(Texto para as questes 46 a 48) Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 tcnicos do MPU a respeito da atividade I planejamento estratgico institucional e da atividade II realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem. 46 - (MPU - 2013 / CESPE) A quantidade mxima de tcnicos desse grupo que no gosta de nenhuma das duas atividades inferior a 7. Soluo: Aqui ns temos o seguinte: Total de tcnicos (T)= 35 Tcnicos que gostam da atividade I = 29 Tcnicos que gostam da atividade II = 28 Com isso, temos o seguinte: Batizando as regies do diagrama, temos: Assim, podemos montar as seguintes equaes: Total de tcnicos (T)= 35 a + b + c + d = 35 (equao 1) Tcnicos que gostam da atividade I = 29

T

I II

T

I II

a b c

d




a + b = 29 a = 29 b (equao 2) Tcnicos que gostam da atividade II = 28 b + c = 29 c = 28 b (equao 3) Substituindo os valores de a e de b na equao 1, temos: a + b + c + d = 35 29 b + b + 28 b + d = 35 29 b + b + 28 b + d = 35 57 b + d = 35 d = b + 35 57 d = b 22 Queremos saber qual o maior valor possvel para d. Assim, como b ser sempre um nmero 0, por representar uma quantidade de elementos, e ser 28, para que o c no seja um nmero negativo na equao 3 (j que o c tambm representa uma quantidade de elementos), temos o seguinte: d = b 22 Olhando para essa equao, podemos concluir que d ser maior quando o b for o maior possvel, ou seja, quando o b for igual a 28. Assim, temos: Maior valor de d = 28 22 = 6 Portanto, o maior valor possvel de tcnicos desse grupo que no gosta de nenhuma das duas atividades inferior a 7. Item correto. 47 - (MPU - 2013 / CESPE) Se 4 tcnicos desse grupo no gostam de nenhuma das atividades citadas, ento mais de 25 tcnicos gostam das duas atividades. Soluo:




Utilizando o que vimos na questo anterior, temos: d = b 22 Para d = 4, temos: 4 = b 22 b = 4 + 22 b = 26 tcnicos Portanto, mais de 25 tcnicos gostam das duas atividades. Item correto. 48 - (MPU - 2013 / CESPE) Infere-se dos dados que a quantidade mnima de tcnicos desse grupo que gostam das duas atividades superior a 20. Soluo: Mais uma vez, utilizando o que vimos anteriormente, temos: d = b 22 Como d no pode ser um nmero negativo, j que ele representa uma quantidade de elementos, conclumos que o b no pode ser menor que 22, ou seja, o menor valor possvel para o b 22. Como o b representa a quantidade de tcnicos que gostam das duas atividades, e sua quantidade mnima superior a 20, conclumos que o item est correto.

T

I II

a b c

d




2 Conceitos Bsicos de Lgica Vamos comear lembrando desse assunto que cobrado em praticamente todos os concursos em que a disciplina Raciocnio Lgico abordada. Trata-se do que aprendemos na escola simplesmente com o nome de Lgica (voc deve lembrar: p e q, se p ... ento q, ... etc.). Era um dos assuntos mais detestados pelos alunos, mas , sem dvida alguma, o mais importante para voc que se prepara para passar no concurso. Por isso, vamos deixar o preconceito de lado e passar a amar a boa e velha Lgica! No estudo da lgica matemtica, estaremos em muitas ocasies diante da linguagem corrente, como vemos no seguinte exemplo: "Arnaldo alto ou Beto baixo" Usar essa linguagem, porm, no adequado para resolvermos questes de concurso. Para isso, deveremos transformar essa linguagem em outra que indique apenas smbolos, a qual denominamos linguagem simblica. A linguagem simblica possui dois elementos essenciais: as proposies e os operadores. Antes de definirmos as proposies, devemos saber que elas so constitudas de sentenas. As sentenas so um conjunto de palavras, ou smbolos, que exprimem um pensamento de sentido completo. So compostas por um sujeito e por um predicado (no, isso no aula de portugus!). Vamos a alguns exemplos: Pedro ganhou na loteria. Carlos no comprou uma Ferrari. Que horas voc chegou ao trabalho? Que dia lindo! Tome um caf. Podemos perceber que elas podem ser: Afirmativas: Pedro ganhou na loteria. Negativas: Carlos no comprou uma Ferrari. Interrogativas: Que horas voc chegou ao trabalho? Exclamativas: Que dia lindo! Imperativas: Tome um caf. Ai voc me diz: mas professor, isso t parecendo aula de portugus!. E eu lhe digo: calma, que j j eu chego l!. Analisando estas frases, qual delas ns podemos julgar se verdadeira ou falsa? O que realmente interessa nessas sentenas identificar quais so proposies e quais no so proposies.




Agora chegamos onde eu queria, que no conceito de proposio. Trata-se de uma sentena fechada, algo que ser declarado por meio de palavras ou de smbolos (expresses matemticas) e cujo contedo poder ser considerado verdadeiro ou falso. Ou seja, poderemos atribuir um juzo de valor acerca do contedo dessa proposio. Ex: Pedro pedreiro. Caso ele realmente seja pedreiro o valor lgico desta proposio ser verdadeiro, caso ele no seja pedreiro, o valor lgico da proposio ser falso (por exemplo, se ele for bombeiro). Nas cinco frases apresentadas, apenas as duas primeiras so proposies, pois podemos julg-las com V ou F. Frases como: Que horas voc chegou ao trabalho?, Que dia lindo! ou Tome um caf., no so proposies, pois, como vimos acima, no podemos atribuir um juzo de valor a respeito delas. Fica a dica, sentenas interrogativas, exclamativas ou no imperativo no so proposies. Apenas as sentenas afirmativas e negativas podero ser proposies. Perceberam o podero ser? isso mesmo, no basta a frase ser afirmativa ou negativa para ser considerada uma proposio. preciso que ela possa ser julgada com F ou V. Vejamos mais alguns exemplos: 2 + 3 = 4 A metade de oito E ento, esses dois exemplos so proposies? Bom, voltando ao conceito algo declarado por meio de palavras ou de smbolos (expresses matemticas) e cujo contedo poder ser considerado verdadeiro ou falso. Portanto, s o primeiro exemplo considerado uma proposio, pois sabemos que 2 + 3 = 5 e no 4, o que torna essa proposio falsa. J o segundo exemplo, ele no apresenta algo que poder ser julgado com V ou F, pois a informao no possui sentido completo, falta o predicado. Chamamos esse segundo exemplo apenas de expresso. Devemos saber tambm que existem expresses matemticas e sentenas afirmativas ou negativas s quais no podemos atribuir um valor lgico verdadeiro ou falso. Isso mesmo, pode acontecer de uma sentena no ser nem exclamativa, nem interrogativa e nem mesmo uma ordem, e, ainda assim, ns no conseguimos atribuir um valor lgico verdadeiro ou falso para ela. Vejamos dois exemplos: Ele campeo mundial de futebol com a seleo brasileira x + 5 = 10 No primeiro caso, apesar de termos uma frase afirmativa, no podemos avaliar sobre quem est se afirmando ser campeo mundial de futebol. O sujeito uma




varivel que pode ser substituda por um elemento qualquer que transformar a sentena em verdadeira ou falsa. Ou seja, se esse Ele se referir a Pel (por exemplo) a sentena ser verdadeira, caso se refira a Zico (por exemplo) a sentena ser falsa. No segundo caso, a depender do valor atribudo para o x, a sentena ser verdadeira ou ser falsa. Essas sentenas so denominadas sentenas abertas. Existe a possibilidade de essas sentenas serem transformadas em proposies com a utilizao de um quantificador (todo, existe, etc). Mas isso assunto para a prxima aula. Assim, podemos classificar as sentenas em abertas e fechadas. A sentena aberta aquela em que existe uma varivel que faz com que ns no consigamos avaliar se so verdadeiras ou falsas. J a sentena fechada aquela que no possui nenhuma varivel, todas as informaes so bem claras. Por enquanto basta saber que mesmo as sentenas afirmativas e negativas podem ser sentenas abertas e assim no serem consideradas proposies. Isso ocorrer sempre que houver uma varivel e ns no conseguirmos atribuir um valor lgico para elas (vimos isso nesses dois ltimos exemplos). O ltimo ponto que vale destacar a sentena contraditria, o que chamamos de paradoxo. So frases que sero falsas se a considerarmos verdadeiras e sero verdadeiras se a considerarmos falsas. Confuso? Vejamos um exemplo: eu sempre falo mentiras Bom, se eu realmente sempre falo mentiras, essa frase verdadeira, mas contradiz o que est escrito nela, j que eu estaria falando uma verdade, o que a torna falsa. Por outro lado, se eu no falo mentiras, essa frase falsa, mas contradiz o que est escrito nela, o que a torna verdadeira. Portanto, uma frase como essa chamada de paradoxo e no considerada proposio lgica. Resumindo: Sentenas abertas: Possuem uma varivel e por isso no podemos atribuir um valor lgico para elas. No so proposies. Frases interrogativas, exclamativas ou imperativas: No conseguimos atribuir um valor lgico para elas. No so proposies. Paradoxos: No so considerados proposies. Expresses sem sentido completo: No so consideradas proposies. Proposies: So sentenas as quais podemos atribuir um valor lgico Verdadeiro ou Falso.




Princpios Existem alguns princpios que regem o estudo da lgica que devem ser vistos aqui:

Uma proposio verdadeira verdadeira; uma proposio falsa falsa. (Princpio da identidade);

Nenhuma proposio poder ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(Princpio da No Contradio);

Uma proposio ou ser verdadeira, ou ser falsa: no h outra possibilidade. (Princpio do Terceiro Excludo). Em funo desse princpio, a lgica que estamos estudando tambm chamada de Lgica Bivalente.

Esses princpios parecem bem bvios. E so mesmo! Mas toda a teoria parte destes princpios. No preciso decor-los, foi s pra voc ir perdendo o preconceito e vendo que o assunto bem simples! Vamos s questes!!! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Texto para as questes 49 e 50) Entende-se por proposio todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto , que afirmam fatos ou exprimam juzos a respeito de determinados entes. Na lgica bivalente, esse juzo, que conhecido como valor lgico da proposio, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lgica apenas as proposies que atendam ao princpio da no contradio, em que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princpio do terceiro excludo, em que os nicos valores lgicos possveis para uma proposio so verdadeiro e falso. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. 49 - (TER/ES - 2011 / CESPE) Segundo os princpios da no contradio e do terceiro excludo, a uma proposio pode ser atribudo um e somente um valor lgico. Soluo: Isso mesmo, no podemos ter uma proposio que seja verdadeira e falsa ao mesmo tempo (Princpio da No Contradio), e no h um terceiro valor lgico possvel para uma proposio (Princpio do Terceiro Excludo). Item correto.




50 - (TER/ES - 2011 / CESPE) A frase Que dia maravilhoso! consiste em uma proposio objeto de estudo da lgica bivalente. Soluo: Vimos que frases no exclamativo no podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, e por isso no so consideradas proposies. Item errado. 51 - (TRT - 2009 / CESPE) Na sequncia de frases abaixo, h trs proposies. - Quantos tribunais regionais do trabalho h na regio Sudeste do Brasil? - O TRT/ES lanou edital para preenchimento de 200 vagas. - Se o candidato estudar muito, ento ele ser aprovado no concurso do TRT/ES. - Indivduo com 50 anos de idade ou mais no poder se inscrever no concurso do TRT/ES. Soluo: Vimos que para uma frase ser considerada uma proposio, devemos poder atribuir um valor lgico para ela, ou seja, devemos poder consider-la verdadeira ou falsa. Vamos analisar cada uma: - Quantos tribunais regionais do trabalho h na regio Sudeste do Brasil? Temos aqui uma frase interrogativa. Vimos acima que no conseguimos atribuir um valor lgico verdadeiro ou falso para as frases interrogativas. Assim, esta frase no uma proposio. - O TRT/ES lanou edital para preenchimento de 200 vagas. Nesta frase, estamos diante de uma afirmao. Caso o TRT/ES tenha lanado edital para preenchimento de 200 vagas, esta frase ser valorada como verdadeira. Caso contrrio, a frase ser valorada como falsa. Assim, estamos diante de uma proposio, pois poderemos atribuir um valor lgico para ela. - Se o candidato estudar muito, ento ele ser aprovado no concurso do TRT/ES. Mais uma vez, estamos diante de uma frase afirmativa. Assim, se o candidato estudar muito e no for aprovado no concurso do TRT/ES, essa frase ser falsa. Caso o candidato estude muito e realmente passe no concurso do TRT/ES, essa frase ser verdadeira. Assim, temos mais uma proposio. Veremos a seguir que se trata de uma proposio composta.




- Indivduo com 50 anos de idade ou mais no poder se inscrever no concurso do TRT/ES. Mais uma frase afirmativa. Para saber se ela verdadeira ou falsa, basta saber se existe essa limitao para inscrio no concurso do TRT/ES. Caso exista, a sentena ser verdadeira, caso contrrio, ser falsa. Portanto, temos mais uma proposio. Voltando para o enunciado da questo: Na sequncia de frases abaixo, h trs proposies. - Quantos tribunais regionais do trabalho h na regio Sudeste do Brasil? (no proposio) - O TRT/ES lanou edital para preenchimento de 200 vagas. ( proposio) - Se o candidato estudar muito, ento ele ser aprovado no concurso do TRT/ES. ( proposio) - Indivduo com 50 anos de idade ou mais no poder se inscrever no concurso do TRT/ES. ( proposio) Portanto, temos trs proposies. Item correto! 52 - (TRT - 2009 / CESPE) A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies. - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. - Por que existem juzes substitutos? - Ele um advogado talentoso. Soluo: Mais uma questo direta. Vamos analisar cada frase e verificar se estamos diante de uma proposio ou no: - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. Para esta frase ser considerada verdadeira, a sede do TRT do Esprito Santo deve ser localizada em Cariacica. Caso esta sede seja localizada em qualquer outro municpio, esta frase ser falsa. Portanto, trata-se efetivamente de uma proposio. - Por que existem juzes substitutos? No conseguimos atribuir um valor lgico para esta frase, pois no se trata de uma afirmao nem de uma negao. Trata-se de uma interrogao, que como vimos, no podemos atribuir um juzo de valor. Portanto, esta frase no uma proposio.




- Ele um advogado talentoso. Nesse caso, como no sabemos sobre quem est se afirmando ser um advogado talentoso, no temos como saber se a afirmao verdadeira ou falsa. Assim, estamos diante de uma sentena aberta, que no pode ser considerada uma proposio. Voltando ao enunciado, A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies. - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. ( proposio) - Por que existem juzes substitutos? (no proposio) - Ele um advogado talentoso. (no proposio) Portanto, o item est errado! 53 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Considere as seguintes sentenas. (i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hbil, todos os documentos que ainda no foram assinados. (ii) Carlos, como secretrio escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria. (iii) Organize e mantenha em dia as cpias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e todos os outros documentos. correto afirmar que, entre as sentenas apresentadas, apenas uma delas proposio. Soluo: Vamos checar cada sentena: (i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hbil, todos os documentos que ainda no foram assinados. Temos uma frase no imperativo, uma ordem. Assim, no podemos atribuir um valor lgico para ela. Logo, esta frase no uma proposio. (ii) Carlos, como secretrio escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria. Temos aqui uma afirmao. Caso Carlos seja o secretrio escolar e coordene e execute as tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria, esta frase ser verdadeira, caso contrrio, ser falsa. Portanto, esta frase uma proposio. (iii) Organize e mantenha em dia as cpias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e todos os outros documentos.




Temos mais uma ordem, que no podemos atribuir um valor lgico. Logo, esta frase no uma proposio. Como a questo afirma que correto afirmar que, entre as sentenas apresentadas, apenas uma delas proposio., podemos concluir que este item est correto. 54 - (MRE - 2008 / CESPE) Considere a seguinte lista de sentenas: I Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores? II O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so, respectivamente, x e y. IV O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel. Nessa situao, correto afirmar que entre as sentenas acima, apenas uma delas no uma proposio. Soluo: Mais uma vez, vamos analisar cada sentena: I Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores? Temos nesse item uma sentena interrogativa, a qual j sabemos que no pode ser valorada com V ou com F. Logo, no uma proposio. II O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX. Temos nesse item uma sentena afirmativa. Caso o Palcio do Itamaraty em Braslia seja uma bela construo do sculo XIX, a sentena ser verdadeira, caso contrrio, ser falsa. Portanto, trata-se de uma proposio. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so, respectivamente, x e y. Nesse item temos uma sentena afirmativa. Os mais afoitos iriam logo assinalar que se trata de uma proposio. Ocorre que no temos como julg-la com V ou com F, pois no sabemos os valores de x e de y. Assim, temos uma sentena aberta, que vimos acima que no uma proposio. IV O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel. Por fim, mais uma sentena afirmativa. Caso o baro do Rio Branco tenha sido um diplomata notvel, a sentena ser verdadeira, caso no tenha sido um diplomata notvel, ser falsa. Logo, temos mais uma proposio.




Resumindo, temos duas proposies e duas sentenas que no so proposies. Logo, o item est errado. 55 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposio Ningum ensina a ningum um exemplo de sentena aberta. Soluo: Essa questo pede que analisemos se a proposio Ningum ensina ningum um exemplo de sentena aberta. Ora, se estamos tratando de uma proposio, sabemos que s teremos sentenas fechadas. Se uma sentena aberta, no se trata de proposio. Por isso, o item est errado! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Voltando teoria, devemos saber que as proposies podem ser simples ou compostas: A proposio simples o elemento bsico da lgica matemtica. Ao dizer Arnaldo alto estamos fazendo uma nica afirmao (ser alto) a respeito de uma nica pessoa (Arnaldo). Se dissssemos, por exemplo, Arnaldo alto e magro, estaramos diante de duas informaes (ser alto e ser magro) a respeito de uma pessoa (Arnaldo). Esse segundo exemplo o que chamamos proposio composta que o conjunto de duas ou mais proposies simples. Podemos ver pela definio de proposio composta que ela pode possuir duas ou mais proposies simples, que o que normalmente encontramos em questes de concurso. Costumamos denominar as proposies simples por letras (A, B, C, P, Q ...). Arnaldo alto A: Arnaldo Alto Quando estamos diante de uma proposio composta, denominamos cada proposio simples contida nela por uma letra distinta. Arnaldo alto e magro A: Arnaldo Alto B: Arnaldo magro Outro importante elemento da lgica matemtica so os operadores lgicos. Eles so os elementos que unem as proposies. A seguir, apresentamos os operadores utilizados na lgica:




~: negao : conjuno (chamado de e ou mas) v: disjuno (chamamos pela palavra ou) : condicional (lemos "se... ento...") : bicondicional (l-se "...se e somente se...") v: disjuno exclusiva (sua leitura "ou...ou...")

Os mais comuns em questes de concurso so: ~, , v, . Os outros dois ( e v) tambm aparecem, s que com menos frequncia. Devemos saber, agora, que toda e qualquer proposio deve possuir um valor lgico Verdade ou Falsidade. Se uma proposio verdadeira, seu valor lgico verdade e se uma proposio falsa seu valor lgico falsidade. Nunca poder existir uma proposio que seja falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Assim, para dizer que uma proposio composta verdadeira ou falsa, devemos analisar dois itens: o valor lgico de suas proposies simples e o tipo de operador lgico que as une. Vamos ver agora, como funciona cada operador. Para isso, utilizaremos umas tabelinhas chamadas de tabelas-verdade. Essas tabelas indicam qual o resultado da operao para cada possibilidade de valor lgico de suas proposies.

~: negao Vamos ver sua tabela verdade:

A ~A V F F V

A negao transforma o valor lgico da proposio em seu valor oposto, ou seja, se p verdadeiro, ~p falso, ou se p falso, ~p verdadeiro. Assim, a negao de p igual a ~p e a negao de ~p igual a p.

: conjuno (e ou mas) Fazendo sua tabela verdade:

A B A B V V V V F F F V F F F F

Vemos que na conjuno, o valor lgico resultante da operao s ser verdadeiro quando todas as suas proposies forem verdadeiras. Caso contrrio, se alguma proposio for falsa, o valor lgico resultante ser falso, ou seja, basta uma proposio falsa para o resultado ser falso.




v: disjuno (ou)

Construindo sua tabela verdade:

A B A v B V V V V F V F V V F F F

Percebemos que na disjuno, o valor lgico resultante da operao s ser falso quando todas as suas proposies forem falsas. Caso contrrio, se alguma proposio for verdadeira, o valor lgico resultante ser verdadeiro, ou seja, basta uma proposio verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

: condicional (se ... ento ..., ...pois..., quando..., ...)

Fazendo sua tabela verdade, temos:

A B A B V V V V F F F V V F F V

Aqui, vemos que na condicional o valor lgico resultante s ser falso se a primeira proposio for verdadeira e a segunda proposio for falsa. Existe uma denominao utilizada na condicional que muito importante no estudo para concursos que saber quem a condio necessria e quem a condio suficiente. Numa condicional A B, dizemos que: A condio suficiente para B B condio necessria para A importante destacar que tem sido comum em provas do Cespe a utilizao de outros formatos para a condicional, que geralmente aparece como se ... ento .... Podemos ter as seguintes situaes: A B = Se A ento B A B = B desde que A A B = B pois A A B = B uma vez que A




A B = B quando A

: bicondicional (... se e somente se ...)

Fazendo sua tabela verdade:

A B A B V V V V F F F V F F F V

Agora, vemos que na bicondicional o valor lgico da operao ser verdadeiro se as duas proposies tiverem o mesmo valor, ou seja, se as duas forem verdadeiras ou as duas forem falsas. Caso contrrio, se as duas proposies tiverem valores lgicos diferentes, o valor lgico resultante da operao ser falso. Aqui tambm existe uma denominao particular. Numa bicondicional A B, dizemos que: A condio necessria e suficiente para B B condio necessria e suficiente para A Podemos olhar para uma bicondicional como sendo a unio de duas condicionais. Vejamos: A B o mesmo que (A B) (B A).

v: disjuno exclusiva (ou ... ou ..., ou ..., ou ..., mas no ambos) Fazendo sua tabela verdade:

A B A v B V V F V F V F V V F F F

Para esse operador devemos observar que seu resultado ser verdadeiro se os valores lgicos das duas proposies forem diferentes. Caso contrrio, se os valores lgicos das duas proposies forem iguais, seu valor lgico ser falso. Vale destacar que este operador v difere do operador v, pois se as duas proposies (A e B) forem verdadeiras, o resultado ser verdadeiro para a disjuno simples (ou) e ser falso para a disjuno exclusiva (ou ... ou ...).




Uma observao importante que o CESPE j considerou o ou...ou... como uma disjuno simples, como nesta questo da prova do INSS de 2008: Sabe-se que uma proposio na forma Ou A ou B tem valor lgico falso quando A e B so ambos falsos; nos demais casos, a proposio verdadeira. Portanto, a proposio composta Ou A ou B, em que A e B so as proposies referidas acima, verdadeira. Nessa questo, A e B eram dados, sendo A verdadeiro e B falso. A questo foi considerada verdadeira, j que V ou F realmente tem valor lgico verdadeiro. Ocorre que a definio apresentada para o ou...ou... causou muita polmica, e com razo. E ento, o que eu fao na hora da prova? Bom, eu aconselho prestar muita ateno ao enunciado das questes. O CESPE costuma introduzir as questes de lgica mostrando alguns conceitos. Veja por exemplo como comeava essa questo da prova da Unipampa de 2009: Uma proposio uma sentena declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como V e F simultaneamente. As proposies so representadas por letras maisculas A, B, C etc. A partir de proposies dadas, podem-se construir novas proposies usando smbolos lgicos, como nos exemplos seguintes.

- conjuno: A B (l-se A e B), que ter valor lgico V se as proposies A e B forem ambas V, caso contrrio, ser F;

- disjuno: A v B (l-se A ou B), que ter valor lgico F se as proposies A e B forem ambas F, caso contrrio, ser V;

- condicional: A B (l-se se A, ento B), que ter valor lgico F se A for V e B for F, caso contrrio, ser V;

- disjuno exclusiva: A v B, que ser V sempre que as proposies A e B tiverem valores lgicos distintos.

A negao da proposio A, simbolizada por ~A (l-se no A), ser V se A for F e, F se A for V Vejam que a questo citou expressamente a disjuno exclusiva, mas no disse como devemos ler. Assim, como faremos uma prova elaborada pelo CESPE, vale ficar atento, pois para esta banca, o ou...ou... j foi considerado como disjuno simples. De qualquer forma, para que voc fique mais tranquilo, aps aquela fatdica questo de 2008, no vi mais o Cespe considerar o ou.. ou... como disjuno simples. Antes das questes, vamos aprender a construir uma tabela-verdade qualquer.




Para construir a tabela-verdade, primeiro importante saber quantas linhas e quantas colunas ter esta tabela. Para ilustrar melhor essa explicao, vamos construir a tabela-verdade da proposio (A v B) (C ~A). Para comear, o nmero de linhas vai depender da quantidade de variveis distintas da proposio. Essa quantidade dada por 2n, onde n a quantidade de variveis. Ou seja, quando temos 2 variveis, teremos 22 = 4 linhas. Para 3 variveis, teremos 23 = 8 linhas, e assim por diante. No caso do nosso exemplo, temos 3 variveis (A, B e C), portanto, teremos 23 = 8 linhas. Agora, precisamos saber quantas colunas ter nossa tabela. Esse nmero de colunas pode variar, mas deve ter no mnimo uma coluna para cada varivel e uma coluna para o resultado a ser calculado. No nosso exemplo teramos 4 colunas (3 variveis + 1 resultado). Essa a quantidade mnima. De forma mais didtica, fazemos uma coluna para cada varivel e uma coluna para cada operao. No nosso exemplo temos 3 variveis (A, B e C) e 4 operaes (~A, v, e ), um total de 3 + 4 = 7 colunas. Temos, tambm, que adicionar uma linha para o cabealho, que ter primeiro as variveis e depois as operaes, prevalecendo a ordem da matemtica. Vamos partir para o desenho:

A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A)

Agora, s preencher a tabela. Comeamos pelas variveis, listando todas as possveis combinaes. No nosso exemplo A, B e C podem ser: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF.

A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

7 colunas

Cabealho

8 linhas




Por fim, fazemos as operaes, sempre na ordem da matemtica (primeiro o que est dentro dos parnteses, em seguida, o que est dentro dos colchetes e, por fim, o que est fora):

A B C ~A A v B C ~A (A v B) (C ~A) V V V F V F F V V F F V F F V F V F V F F V F F F V F F F V V V V V V F V F V V F F F F V V F V V F F F V F F V

Para fixar, vamos s questes! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 - (SERPRO - 2010 / CESPE) A proposio No precisa mais capturar nem digitar o cdigo de barras pode ser, simbolicamente, escrita como A B, em que A a proposio No precisa mais capturar o cdigo de barras e B a proposio No precisa mais digitar o cdigo de barras. Soluo: Nessa questo devemos transformar a linguagem corrente em linguagem simblica. Primeiro, sempre vlido reescrever a sentena colocando o sujeito e o complemento para cada afirmao, separando cada proposio simples. Nessa questo temos: No precisa mais capturar nem digitar o cdigo de barras Essa proposio pode ser reescrita da seguinte forma: No precisa mais capturar o cdigo de barras e no precisa mais digitar o cdigo de barras Elas no dizem a mesma coisa? Sem dvida! Agora, separamos as proposies simples e batizamos seus componentes: No precisa mais capturar o cdigo de barras e no precisa mais digitar o cdigo de barras

Percebemos que se trata de uma proposio composta do tipo A B, com A sendo No precisa mais capturar o cdigo de barras e B sendo No precisa mais digitar o cdigo de barras. Portanto, o item est correto! A voc me pergunta: Professor, no seria ~A ~B?.

A B




E eu respondo: At poderia ser, caso tivssemos batizado A como precisa capturar o cdigo de barras e B como precisa digitar o cdigo de barras. Como batizamos o A como No precisa mais capturar o cdigo de barras e B como No precisa mais digitar o cdigo de barras, ento, nesse caso, no seria ~A ~B. 57 - (SERPRO - 2010 / CESPE) Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposies simples que formam a proposio Se Pedro for aprovado no concurso, ento ele comprar uma bicicleta, correto afirmar que h apenas uma possibilidade de essa proposio ser verdadeira. Soluo: Nessa questo, para podermos saber o valor lgico da proposio composta devemos primeiro transform-la em linguagem simblica. Vamos l: Se Pedro for aprovado no concurso, ento ele comprar uma bicicleta. Podemos perceber que se trata de uma proposio do tipo A B (se A ento B). Agora, devemos saber quais os possveis valores lgicos para uma proposio desse tipo. Relembrando sua tabela verdade:

A B A B V V V V F F F V V F F V

Olhando a terceira coluna da tabela, vemos que para todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposies simples A e B, o resultado ser verdadeiro em trs ocasies e falso em apenas uma ocasio. Portanto, o item est errado! 58 - (SERPRO - 2010 / CESPE) Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposies simples que formam a proposio O SERPRO processar as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso, correto afirmar que h apenas uma possibilidade de essa proposio ser julgada com V. Soluo: Na mesma prova tivemos uma questo muito parecida, onde o que mudou foi a operao. Vamos resolv-la: Transformando em linguagem simblica, temos:

B A




O SERPRO processar as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso Percebemos que se trata de uma proposio do tipo A B (A se e somente se B). Agora, devemos saber quais os possveis valores lgicos para uma proposio desse tipo. Relembrando sua tabela verdade:

A B A B V V V V F F F V F F F V

Mais uma vez, olhamos para a terceira coluna e observamos que a proposio composta verdadeira em duas ocasies e falsa em outras duas. Portanto, este item tambm est errado! 59 - (TRT - 2008 / CESPE) Considere as proposies seguintes. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cair para a segunda diviso; A: O Estrela Futebol Clube vence; B: O Estrela Futebol Clube perde; C: O Estrela Futebol Clube cair para a segunda diviso. Nesse caso, a proposio Q pode ser expressa, simbolicamente, por A B C. Soluo: O que essa questo est pedindo simplesmente transformar a linguagem corrente em linguagem simblica. Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder , cair para a segunda diviso A proposio Q do tipo (P R), onde: P: O Estrela Futebol Clube vencer ou perder R: Cair para a segunda diviso Reescrevendo P e R temos: P: O Estrela Futebol Clube vencer ou o Estrela Futebol Clube perder R: O Estrela Futebol Clube cair para a segunda diviso

A B

P R




Podemos perceber que o P uma proposio composta do tipo (S v T): O Estrela Futebol Clube vencer ou o Estrela Futebol Clube perder S: O Estrela Futebol Clube vencer T: O Estrela Futebol Clube perder Agora, analisando as proposies A, B e C, vemos que o S o mesmo que o A, o T o mesmo que o B e que o R o mesmo que o C. Voltando para a linguagem simblica, temos: Q: P R , Q: (S v T) R Vimos que S = A, T = B e R = C, ento: Q: (A v B) C Que diferente de A B C. Logo, o item est errado. 60 - (UNIPAMPA - 2008 / CESPE) O artigo 5., XL, da Constituio Federal de 1988 estabelece que a lei penal no retroagir, salvo para beneficiar o ru, isto , se a lei penal retroagiu, ento a lei penal beneficiou o ru. luz dessa regra constitucional, considerando as proposies P: A lei penal beneficiou o ru e Q: A lei penal retroagiu, ambas verdadeiras, e as definies associadas lgica sentencial, correto afirmar que a proposio Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal no beneficiou o ru tem valor lgico F. Soluo: O que essa questo quer saber se o valor lgico da proposio Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal no beneficiou o ru Falso. Vamos l! Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal no beneficiou o ru Transformando em linguagem simblica, temos: Q v ~P Substituindo Q e P pelos valores lgicos informados na questo (ambos verdadeiros), temos: V v ~(V), que o mesmo que V v F, possui valor lgico verdadeiro. Logo, o item est errado!

S v T

Q ~P v




61 - (TRT - 2009 / CESPE) Para todos os possveis valores lgicos atribudos s proposies simples A e B, a proposio composta [A (~B)] v B tem exatamente 3 valores lgicos V e um F. Soluo: Aqui, a questo quer saber o resultado da tabela verdade para a proposio composta [A (~B)] v B. Vamos l: Vimos que para desenhar a tabela verdade, primeiro importante saber quantas linhas ter esta tabela. O nmero de linhas vai depender da quantidade de variveis distintas da proposio. Essa quantidade dada por 2n, onde n a quantidade de variveis. No caso da nossa questo, temos 2 variveis (A e B), portanto, teremos 22 = 4 linhas. Agora, precisamos saber quantas colunas ter nossa tabela. A tabela dever ter, no mnimo, uma coluna para cada varivel e uma coluna para a proposio desejada. De forma mais didtica, fazemos uma coluna para cada varivel e uma coluna para cada operao. Na nossa questo temos 2 variveis (A e B) e 3 operaes ( , ~B e v), um total de 2 + 3 = 5 colunas. Temos, tambm, que adicionar uma linha para o cabealho, que ter primeiro as variveis e depois as operaes, prevalecendo a ordem da matemtica. Vamos partir para o desenho:

A B ~B A (~B) [A (~B)] v B

Agora, s preencher a tabela. Comeamos pelas variveis, listando todas as possveis combinaes. No nosso exemplo A e B podem ser: VV, VF, FV e FF.

A B ~B A (~B) [A (~B)] v B V V V F F V F F

Por fim, fazemos as operaes, sempre na ordem da matemtica (primeiro o que est dentro dos parnteses, em seguida, o que est dentro dos colchetes e, por fim, o que est fora):

4 linhas

5 colunas

Cabealho




A B ~B A (~B) [A (~B)] v B V V F F V V F V V V F V F F V F F V F F

Voltando para a questo, Para todos os possveis valores lgicos atribudos s proposies simples A e B, a proposio composta [A (~B)] v B tem exatamente 3 valores lgicos V e um F. Conforme vemos na ltima coluna da tabela, conclumos que a questo est correta! 62 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) A proposio simbolizada por (~A) (~B) ter 3 valores lgicos V e 1 valor lgico F, para todos os possveis valores lgicos V e F atribudos a A e a B. Soluo: Mais uma vez, basta montar a tabela verdade e correr pro abrao! Temos 2 variveis (A e B) e 3 operaes (~A, ~B e ). Assim, teremos 4 linhas (22 = 4) e 5 colunas (2 variveis + 3 operaes).

A B ~A ~B (~A) (~B) V V F F V V F F V V F V V F F F F V V V

Mais uma vez, conforme vemos na ltima coluna, item correto! 63 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Considerando os smbolos lgicos ~ (negao), (conjuno), v (disjuno), (condicional) e as proposies: S: (p ~q) v (~p r) q v r T: ((p ~q) v (~p r)) (~q ~r) Podemos concluir que as tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. Soluo: Essa direta hein? Lembrando que o nmero de linhas da tabela-verdade dado por 2n, onde n igual ao nmero de variveis distintas da proposio.




S: 3 varveis (p, q e r), logo, o nmero de linhas = 23 = 8 T: 3 varveis (p, q e r), logo, o nmero de linhas = 23 = 8 Portanto, o item est errado! 64 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Considere como V as proposies Carla mais alta que Janice e Janice foi escolhida para o time de basquete. Nesse caso, a proposio Se Carla no mais alta que Janice, ento Janice no foi escolhida para o time de basquete tambm ser V. Soluo: Para facilitar o entendimento da questo, vamos passar as sentenas para a linguagem simblica: A: Carla mais alta que Janice B: Janice foi escolhida para o time de basquete Temos a informao de que tanto A quanto B devem ser consideradas verdadeiras. Agora, vamos para o que a questo est pedindo, que o valor lgico da proposio composta Se Carla no mais alta que Janice, ento Janice no foi escolhida para o time de basquete. Passando para a linguagem simblica, temos: Se Carla no mais alta que Janice, ento Janice no foi escolhida para o time de basquete Assim, devemos encontrar o valor lgico de ~A ~B: ~ A ~B (sabendo que tanto A quanto B so verdadeiros) ~V ~V F F Vimos que na condicional, apenas quando a primeiro termo verdadeiro e o segundo termo falso, que a condicional falsa. Portanto, F F tem valor lgico verdade. Item correto! 65 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Considere que a proposio O professor Carlos participou do projeto ou a aluna Maria eleitora seja falsa. Nesse caso, a proposio Se o professor Carlos participou do projeto, ento a aluna Maria eleitora ser verdadeira. Soluo: Organizando as informaes, temos:

~A ~B




A: O professor Carlos participou do projeto B: A aluna Maria eleitora Assim, as proposies compostas podem ser escritas como: - O professor Carlos participou do projeto ou a aluna Maria eleitora: (A v B) - Se o professor Carlos participou do projeto, ento a aluna Maria eleitora: (A B) Foi dito que (A v B) possui valor lgico falso. Com isso, lembrando que uma disjuno (v) s falsa quando todos os seus elementos so falsos, podemos concluir que tanto A quanto B so falsos. Assim, olhando para a segunda proposio composta (A B), podemos concluir que ela verdadeira, pois (F F) possui valor lgico verdadeiro. Logo, este item est correto! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Por hoje s! Mas no deixem de fazer os exerccios propostos que sero corrigidos na prxima aula. Tambm no deixem de aproveitar o curso para tirar suas dvidas utilizando o nosso frum. At a prxima aula! Um abrao e bons estudos!




3 - Questes comentadas nesta aula (Texto para as questes 49 e 50) Entende-se por proposio todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto , que afirmam fatos ou exprimam juzos a respeito de determinados entes. Na lgica bivalente, esse juzo, que conhecido como valor lgico da proposio, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lgica apenas as proposies que atendam ao princpio da no contradio, em que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princpio do terceiro excludo, em que os nicos valores lgicos possveis para uma proposio so verd

aula 01 - rl

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