bolcmanova jednacina iˇ h-teoremaprodanvc/seminari/srboljub... · 2016-02-19 · bolcmanova...

Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi

Bolcmanova jednacina i H-teorema:od kineticke teorije gasova do neravnotežne termodinamike

Srboljub Simic

Departman za mehaniku, Fakultet tehnickih nauka, Novi Sad

Seminar iz fizike/astrofizikeDepartman za fiziku, 19. februar 2016.

S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema


Ciljevi

Kineticka teorija gasova (KTG)

Proucava dinamiku razredjenih gasovaStanje je opisano funkcijom raspodele brzinaInterakcija cestica – elasticni sudari⇒ reverzibilnostBolcmanova jednacina – H-teorema⇒ ireverzibilnost

Neravnotežna termodinamika (TIP)

Makroskopska analiza – jednacine bilansa mase, kolicinekretanja i energijeKonstitutivne relacije – Njutnovski fluidi, Furijeov zakonEntropijska nejednakostPretpostavka o lokalnoj ravnoteži – Gibsova relacija



Ciljevi

Cilj (za danas)

Uspostavljanje veze izmedju kineticke teorije gasova ineravnotežne termodinamikeKTG: Bolcmanova jednacina, ravnotežna, lokalno ravnotežna ineravnotežna raspodela brzinaTIP: lokalna ravnoteža, Gibsova relacija, entropijska nejednakostBonus: hidrodinamicka aproksimacija, konstitutivne relacije,jednacine momenata



Sadržaj

1 Bolcmanova jednacinaFunkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema

2 Neravnotežni procesiMakroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija



Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema

Sadržaj






Funkcija raspodele

Stanje cestice atoma

Stanje atoma (molekula) u trenutku t odredjeno je njegovimpoložajem x i njegovom brzinom ξ, (t,x, ξ).

Interakcija cestica

Gas je razredjen – podrazumevaju se samo binarne interakcije(sudari) izmedju cestica.Vreme trajanja interakcije je mnogo krace od srednjeg vremenaslobodnog leta cestice.Sudari su elasticni.Promena stanja cestica je odredjena zakonima održanja kolicinekretanja i energije.




Funkcija raspodele

Koliziona transformacija

(ξ, ξ∗) brzine čestica posle sudara(ξ′, ξ′∗) brzine čestica pre sudara

Zakoni održanja

ξ′ + ξ′∗ = ξ + ξ∗

|ξ′|2 + |ξ′∗|2 = |ξ|2 + |ξ∗|2

Transformacija brzina (ω-notacija, ω ∈ S2)

ξ′ = ξ − ω(ω · (ξ − ξ∗))ξ′∗ = ξ∗ + ω(ω · (ξ − ξ∗))




Funkcija raspodele

Funkcija raspodele brzina

f(t,x, ξ)

f(t,x, ξ)dxdξ – broj cestica u elementarnoj zapremini dxdξ faznogprostora

N =

∫R3

∫R3

f(t,x, ξ)dxdξ – ukupan broj cestica

n(t,x) =

∫R3

f(t,x, ξ)dξ – broj cestica u jedinici zapremine (brojna gustina)




Funkcija raspodele

Ravnotežna (Maksvel-Bolcmanova) raspodela

fM =ρ

m

(m

2πkBT

)3/2

exp

{− |ξ − v|2

2(kB/m)T

}Makroskopske velicine

ρ =

∫R3

mfMdξ

ρv =

∫R3

mξfMdξ

1

2ρ|v|2 + ρε =

∫R3

1

2m|ξ|2fMdξ




Funkcija raspodele

Relativna brzina

Ci = ξi − vi, i = 1, 2, 3

Pritisak i temperatura (jednoatomski gas)

p =1

3

∫R3

m|C|2fM (v + C)dC = ρkBmT

ρε =

∫R3

1

2m|C|2fM (v + C)dC =

3

2ρkBmT

3p = 2ρε ⇒ T =2m

3kBε =

m

3kBρ

∫R3

m|C|2fM (v + C)dC




Sadržaj






Bolcmanova jednacina

Kako se ponaša funkcija raspodele ako zavisi i od t i x?


∂f

∂t+

3∑i=1

ξi∂f

∂xi= Q(f, f)

Kolizioni integral

Q(f, f) =

∫R3

∫S2

(f ′f ′∗ − ff∗)B(ξ − ξ∗,σ)dσdξ∗

Kolizioni presek B(ξ − ξ∗,σ) – opisuje model interakcije izmedjucestica (krute kuglice, odbojna potencijalna sila,...)





Kolizione invarijante ∫R3

ψ(ξ)Q(f, f)dξ = 0

ψ(ξ′) + ψ(ξ′∗) = ψ(ξ) + ψ(ξ∗)

Elementarne kolizione invarijante

ψ0 = 1; ψi = ξi (i = 1, 2, 3); ψ4 = |ξ|2

Makroskopske velicine ρρvi

ρ|v|2 + 2ρε

=

∫R3

m

1ξi|ξ|2

f(t,x, ξ)dξ





Unutrašnja energija, tenzor pritiska i toplotni protok

unutrašnja energija ρε =

∫R3

1

2m|C|2f(t,x,v + C)dC

tenzor pritiska pij =

∫R3

mCiCjf(t,x,v + C)dC = −tij

toplotni protok qi =

∫R3

1

2m|C|2Cif(t,x,v + C)dC




Bolcmanova jednacinaMakroskopske jednacine

∂

∂t

∫R3

ψαf dξ +

3∑i=1

∂

∂xi

∫R3

ξiψαf dξ = 0 α = 0, . . . , 4

Masa∂ρ

∂t+

3∑i=1

∂

∂xi(ρvi) = 0

Kolicina kretanja∂

∂t(ρvj) +

3∑i=1

∂

∂xi(ρvjvi + pji) = 0

Energija∂

∂t

(1

2ρ|v|2 + ρε

)

+

3∑i=1

∂

∂xi

(

1

2ρ|v|2 + ρε

)vi +

3∑j=1

pjivj + qi

= 0




Sadržaj






H-teorema

Entropijska nejednakost

gustina entropije h = −kB∫R3

f log f dξ

protok entropije hi = −kB∫R3

ξif log f dξ

produkcija entropije Σ = −kB∫R3

log f Q(f, f) dξ≥ 0

Teorema (Entropijska nejednakost)

Za ma koje rešenje f Bolcmanove jednacine važi:

∂h

∂t+

3∑i=1

∂hi∂xi

= Σ ≥ 0.




H-teorema

Ireverzibilnost

Sudari cestica su (mikro)reverzibilni.Produkcija entropije je nenegativna⇒ ireverzibilnost.Kako reverzibilnost na mikro skali implicira ireverzibilnost namakro skali?

Hipoteza o molekularnom haosu

Brzine cestica pre sudara nisu ni u kakvoj korelaciji. Zbog velikogbroja sudara pretpostavlja se da brzine cestica ni posle sudara nisu niu kakvoj korelaciji.

Q(f, f) =

∫R3

∫S2

(f ′f ′∗ − ff∗)B(ξ − ξ∗,σ)dσdξ∗




H-teorema

Funkcional produkcije entropije

D(f) =

∫R3

log f Q(f, f) dξ≤ 0

H-teoremaNeka je kolizioni presek B pozitivan skoro svuda i neka je f ≥ 0 takvafunkcija da su Q(f, f) i D(f) dobro definisani. Tada važi:

Produkcija entropije je nepozitivna, D(f) ≤ 0.Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna:

1 Za ma koje ξ ∈ R3, Q(f, f) = 0;2 Produkcija entropije je jednaka nuli, D(f) = 0;3 Postoje ρ > 0, T > 0 and v ∈ R3 takve da je:

f =ρ

m

(m

2πkBT

)3/2

exp

{− |ξ − v|2

2(kB/m)T

}.




H-teorema

Lokalno ravnotežna raspodela

f locM (t,x, ξ) =ρ(t,x)

m

(m

2πkBT (t,x)

)3/2

exp

{− |ξ − v(t,x)|2

2(kB/m)T (t,x)

}Svojstva fMloc

Q(f locM , f locM ) = 0

D(f locM ) = 0

f locM ne zadovoljava Bolcmanovu jednacinu!




H-teorema

Tenzor pritiska i toplotni protok u lokalnoj ravnoteži

pij =

∫R3

mCiCjflocM dC = p δij qi =

∫R3

1

2m|C|2Cif locM dC = 0

Ojlerove jednacine gasne dinamike

∂ρ

∂t+

3∑i=1

∂

∂xi(ρvi) = 0

∂

∂t(ρvj) +

3∑i=1

∂

∂xi(ρvjvi + p δji) = 0

∂

∂t

(1

2ρ|v|2 + ρε

)+

3∑i=1

∂

∂xi

(1

2ρ|v|2 + ρε+ p

)vi = 0




H-teorema

Entropija u lokalnoj ravnoteži

h = ρsE = −kB∫R3

f locM log f locM dξ

= −kρ(t,x)

m

[log

(ρ(t,x)

m

(m

2πkBT (t,x)

)3/2)− 3

2

]

Gibsova relacija

dsE =1

T

{dε− p

ρ2dρ

}Pitanje konvergencije

f(t,x, ξ)→ fM ili f(t,x, ξ)→ f locM ?



Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija

Sadržaj






Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama




Makroskopske velicine van ravnoteže

Makroskopske velicine

Makroskopske velicine se odredjuju pomocu ekvivalentne lokalnoravnotežne raspodele ciji su momenti jednaki momentimaneravnotežne funkcije raspodele.∫

R3

mψi(ξ)f(t,x, ξ) dξ =

∫R3

mψi(ξ)f locM (t,x, ξ) dξ




Sadržaj






Skalirana Bolcmanova jednacina

Bezdimenzijske promenljive

t0 – makroskopsko referentnovremel – makroskopska referentnadužinav =

√2(kB/m)T0 –

referentna brzinata = l/v – akustickoreferentno vreme

bezdimenzijske promenljive

t = t/t0 xi = xi/l ξi = ξi/v

funkcija raspodele

f = (mv3/ρ0)f

kolizioni presek

B =B√

2πd2v






Sh∂f

∂t+

3∑i=1

ξi∂f

∂xi=

1

KnQ(f , f)

Sh =tat0

– Struhalov broj Kn =λ

l– Knudsenov broj

λ =m√

2πρ0d2– srednja dužina slobodnog puta

Bardos, Golse, Levermore (1991,1993); Saint-Raymond (2009)

Kn . 0.01 – hidrodinamicki režim0.01 . Kn . 0.1 – “slip flow” režim0.1 . Kn . 10 – prelazni režim→ jednacine momenata i BJKn & 10 – “slobodni let”→ DSMC






∂f ε

∂t+

3∑i=1

ξi∂f ε

∂xi=

1

εQ(f ε, f ε)

ε ∼ Kn – mali parametar

Asimptotski razvoj

f ε = f (0) + εf (1) + ε2f (2) + · · · =∞∑k=0

εkf (k)

Uslov kompatibilnosti∫R3

mψjf(k) dξ = 0; ∀k ≥ 1




Skalirana Bolcmanova jednacinaJoš asimptotskog razvoja

Protoci

p〈ij〉 =

∫R3

mCiCjfε dξ =

∞∑k=1

εkp(k)〈ij〉

qi =

∫R3

m

2|C|2f ε dξ =

∞∑k=1

εkq(k)i

Materijalni izvod

Df ε +

3∑i=1

Ci∂f ε

∂xi=

1

εQ(f ε, f ε) D =

∂

∂t+

3∑i=1

vi∂

∂xi

D = D0 + εD1 + ε2D2 + · · · =∞∑k=0

εkDk




Cepmen-Enskogov metod – formalni raazvoj

Asimptotski razvoj makroskopskih jednacina

D0ρ+ ∂ivi = 0 Dkρ = 0

ρD0vi + ∂ip = 0 ρDkvi + ∂jp(k)〈ij〉 = 0 ∀k ≥ 1

3

2ρkBmD0T + p∂ivi = 0

3

2ρkBmDkT + p

(k)〈ij〉∂jvi = 0

Asimptotski razvoj Bolcmanove jednacine

Q(f (0), f (0)) = 0

2Q(f (0), f (1)) = D0f(0) +

3∑i=1

Ci∂f (0)

∂xi




Cepmen-Enskogov metod

Prva aproksimacija (Lokalno ravnotežna raspodela)

f (0) =ρ

m

(m

2πkBT

)3/2

exp

{− |ξ − v|2

2(kB/m)T

}= f locM

ρ = ρ(t,x) v = v(t,x) T = T (t,x)

pij = p δij p = ρkBmT ε =

3

2

p

ρqi = 0




Druga aproksimacija

f (1) = f (0)φ = f (0){−ATCi∂T

∂xi− m

kBTBCiCj

∂v〈i

∂xj〉

}Protoci

p(1)〈ij〉 = −2µ

∂v〈i

∂xj〉q(1)i = −λ ∂T

∂xi

Hidrodinamicke jednacine su Navije-Stoks-Furijeovog tipa.




Literatura

S. Chapman, T.G. Cowling, The mathematical theory of nonuniformgases, CUP 1991.

C. Cercignani, The Boltzmann Equation and its Applications, Springer1988.

W.G. Vincenti, C.H. Kruger, Introduction to physical gas dynamics, Wiley1965.

Y. Sone, Molecular Gas Dynamics, Birkhäuser, 2007.

H. Grad, On the kinetic theory of rarefied gases, Comm. Pure Appl.Math., 2(4), 1949.

S. de Groot, P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics, DoverPublications

B. Milic, Statisticka fizika

I. Živic, Statisticka mehanika

M. Pavic, Mathematical modelling and analysis of polyatomic gases andmixtures in the context of kinetic theory of gases and fluid mechanics,doktorska disertacija


bolcmanova jednacina iˇ h-teoremaprodanvc/seminari/srboljub... · 2016-02-19 · bolcmanova...

Documents