calcul dallage pour olam
TRANSCRIPT
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 10.8 m
largeur L1= 5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 5950.63021872474 mm
L2(angle-bordure)= 5400 mm
L2(bordure-partie courante)= 2500 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.0004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.063245553203 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.01404 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.001351058594 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=G+Q= 36.75 kN/m²
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-4=
G1= hxg=
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 26.39594787678 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.254731944444445 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.0004 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.05 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.000628571428571429 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 mm/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 mm/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPaMt=σtxh²/6= 0.00281770833333333 MN.m5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 41.8957047978113 kN.m
σ=6M/h²= 4.02198766058989 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 20 kNQ3= 20 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.80659223971 m
8.960042 mm
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=((2/3)Lsa= 1.87106149313995 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 6.66666666666667 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 6.66666666666667 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 5.66666666666667 kN
Qe3=0,5Qe= 3.33333333333333 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 5.666666666667 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
Qe-Qs= -131.515833333333 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.001269182835 m
wc= -0.0076150970080593 m
Qe<Qs, la flèche ascendante résiduelle vaut, war= wsa(1-Qe/Qs)²= 8.235096666841 mm
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 2.83333333333333 kN.m
0.272 MPa0.15
0 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.0641571519638343Mc= 0 kN.m
0 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
3.04641428 mm
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 20 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d=(Lsb/2)= 0.784466379139349 m
Qe= 10 kN
0.5
Qe= 5 kN
202.7601192173 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 2.8980195913 mm
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 1.69143839194726 kN.m
0.162378085626937 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.5 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.97531510936 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.7 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.25 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.447740314997022 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.00108357142857143 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wra+7w= -6.88403807297342 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.22249029438711 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.33177838797044 mm
Abs(w3-W2)= 4.6615477785863 mm
Abs(w1-W3)= 2.67023060938413 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 0.447740314997022 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.33177838797044 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.6615477785863 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.67023060938413 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=6M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0472134131311446 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.0658313385706592
250 MPa
3.73044251900402
40.6058668193588
A= 9.13632003435573 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0472134131311446 MN.m/m
3.73044251900402
40.6058668193588
A= 9.13632003435573 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.00283333333333333 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
250 MPa
0.223868312757202
2.43680658436214
A= 0.548281481481482 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.00169143839194726 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
250 MPa
0.13364451491929
1.45472054489647
A= 0.327312122601705 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 10 cm²/m
Prenons un HA16 14 mm
S(HA12)= 1.539380400259 1.54 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 6.49350649350649 7 barres
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 15 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 4.69486574621682 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 9 m
largeur L1= 5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 5147.8150704935 mm
L2(angle-bordure)= 4500 mm
L2(bordure-partie courante)= 2500 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.063245553203 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0117 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.001351058594 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleN24=Q3= 297.23 kNN15=Q3= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.80659223971 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q1(1-(d/Lsa))= 287.757637388167 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 143.878818694083 kN
Qe3=0,85Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 143.8788186941 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 6.69631869408326 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 6.462227799E-05 m
wc= 0.0003877336679537 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 71.9394093470416 kN.m
1.15103054955267 MPa0.5
3.348159347 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 1.33154265344124 kN.m
6.7125880947 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.568932758279 m
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 227.07 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 227.07 kN
0.5
Qe= 113.535 kN
202.7601192 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0005899268 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 38.4074915659464 kN.m
3.68711919033086 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.5 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.57390753525 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.25 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.25 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 1.73879226182177 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0.0856024505877249 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 1.17070409960253 mm
Abs(w3-W2)= 1.65318981123405 mm
Abs(w1-W3)= 0.482485711631519 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 1.73879226182177 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 1.17070409960253 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 1.65318981123405 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.482485711631519 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0699227926534412 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
6.99227926534412
76.1109598032708
A= 15.2221919606542 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0384074915659464 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
3.84074915659464
41.8065545695327
A= 8.36131091390653 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 15.222192 cm²/m
Prenons un HA 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 7.57322983117122 8 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 12.85714285714 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 16.8323789118278 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 10.1 m
largeur L1= 5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 5634.93566955294 mm
L2(angle-bordure)= 5050 mm
L2(bordure-partie courante)= 2500 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.01313 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleN24=Q3= 297.23 kNN15=Q3= 273.03 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 287.757637388167 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 264.328862282041 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,85Qe= 244.593991779942 kN
Qe3=0,85Qe= 224.679532939735 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 244.59399177994 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 107.411491779942 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0010365658504 m
wc= 0.0062193951021204 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 122.296995889971 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.95675193423953 MPa0.5
53.70574589 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 21.3584492179438 kN.m
8.6351711249 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 240.85 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 240.85 kN
0.5
Qe= 120.425 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0005023358 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 40.7382936700497 kN.m
3.91087619232478 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.5 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.817467834776 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.525 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.25 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 7.57045369598846 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0.173193504059528 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.00236553376922 mm
Abs(w3-W2)= 7.39726019192893 mm
Abs(w1-W3)= 0.394894658159716 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 7.57045369598846 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.00236553376922 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 7.39726019192893 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.394894658159716 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0899496992179438 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.99496992179438
97.9102475987318
A= 19.5820495197464 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0407382936700498 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
4.07382936700497
44.3436326598491
A= 8.86872653196983 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 19.5820495 cm²/m
Prenons un HA 16 mm
S(HA12)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 9.74231319390366 10 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 10 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 18.9787189440139 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 8.7 m
largeur L1= 5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 5017.22034596847 mm
L2(angle-bordure)= 4350 mm
L2(bordure-partie courante)= 2500 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.01131 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 212.5 kNQ3= 258.6 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 205.727880580646 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 250.358729026612 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 174.868698493549 kN
Qe3=0,5Qe= 125.179364513306 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 174.86869849355 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 37.686198493549 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0003636875882 m
wc= 0.002182125529068 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 87.4343492467745 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.39894958794839 MPa0.15
32.03326872 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 12.7394365703859 kN.m
7.8077459108 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 257.03 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 257.03 kN
0.5
Qe= 128.515 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0004084696 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 43.4750409882204 kN.m
4.17360393486916 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.5 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.508610172984 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.175 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.25 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 3.53318412293631 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0.267059730364136 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 2.96509596071706 mm
Abs(w3-W2)= 3.26612439257217 mm
Abs(w1-W3)= 0.301028431855109 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 3.53318412293631 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 2.96509596071706 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 3.26612439257217 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.301028431855109 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0813306865703859 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.13306865703859
88.528452331865
A= 17.705690466373 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0434750409882204 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
4.34750409882204
47.3225821156779
A= 9.46451642313558 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.7056905 cm²/m
Prenons un HA16 16 mm
S(HA16)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.80880122705124 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 18.4140214723927 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.4 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4036.08721412211 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2700 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 258.04 kNQ2= 257.03 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 249.816575553082 kNQe2=Q3(1-(d/Lsa))= 248.838763038322 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 212.344089220119 kN
Qe2=0,7Qe= 174.187134126825 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 212.34408922012 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 75.1615892201195 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0007253407932 m
wc= 0.0043520447590552 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 106.17204461006 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.69875271376096 MPa0.15
63.887350837 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 25.407611716608 kN.m
9.0238907248 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.7 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.018043607061 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.35 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 5.70310335292327 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 5.13501519070402 mm
Abs(w3-W2)= 8.07398833598925 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 5.70310335292327 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 5.13501519070402 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 8.07398833598925 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.093998861716608 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
9.3998861716608
102.317760978528
A= 20.4635521957056 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 20.4635522 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA12)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 10.180871739157 11 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 9 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 15.4565623515609 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.4 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4036.08721412211 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2700 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ2= 257.03 kNQ3= 227.03 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe2=Q1(1-(d/Lsa))= 248.838763038322 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 219.794826956348 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe2=0,7Qe= 174.187134126825 kN
Qe3=0,5Qe= 109.897413478174 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 174.18713412683 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 37.0046341268253 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0003571102068 m
wc= 0.0021426612407139 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 87.0935670634127 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.3934970730146 MPa0.3
25.903243889 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 10.3015628963043 kN.m
7.573710038 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.7 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.018043607061 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.35 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 3.4937198345819 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 2.92563167236265 mm
Abs(w3-W2)= 5.86460481764788 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 3.4937198345819 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 2.92563167236265 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 5.86460481764788 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0788928128963043 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.88928128963043
85.8748268376273
A= 17.1749653675255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.1749654 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.54475888931615 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.0063816648118 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 4.5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 3750 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2250 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ2= 227.07 kNQ3= 297.23 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe2=Q1(1-(d/Lsa))= 219.833552204458 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 287.757637388167 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe2=0,7Qe= 153.88348654312 kN
Qe3=0,5Qe= 143.878818694083 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 153.88348654312 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 16.7009865431204 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.00016117151 m
wc= 0.0009670290597925 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 76.9417432715602 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.23106789234496 MPa0.3
11.69069058 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 4.64931669678549 kN.m
7.0310944029 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.25 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.875 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.125 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 2.3180876536605 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 1.74999949144125 mm
Abs(w3-W2)= 4.68897263672648 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 2.3180876536605 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 1.74999949144125 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.68897263672648 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0732405666967855 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.32405666967855
79.722356849451
A= 15.9444713698902 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 15.9444714 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 7.9325728208409 8 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 12.857142857143 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 13.4637660296579 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.75 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4155.19253464867 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2875 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ2= 240.85 kNQ3= 297.23 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe2=Q1(1-(d/Lsa))= 233.174400178111 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 287.757637388167 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe2=0,7Qe= 163.222080124678 kN
Qe3=0,5Qe= 143.878818694083 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 163.22208012468 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 26.0395801246776 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0002512928465 m
wc= 0.0015077570789212 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 81.6110400623388 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.30577664099742 MPa0.3
18.227706087 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 7.24904809295939 kN.m
7.2806686169 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.875 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.077596267324 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.4375 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 2.85881567278923 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 2.29072751056999 mm
Abs(w3-W2)= 5.22970065585521 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 2.85881567278923 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 2.29072751056999 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 5.22970065585521 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0758402980929594 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.58402980929594
82.5521644741863
A= 16.5104328948373 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 16.5104329 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.21414571882451 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 13.7133402436906 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 4.35 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 3705.48579811069 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2175 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ2= 240.85 kNQ3= 258.56 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe2=Q1(1-(d/Lsa))= 233.174400178111 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 250.320003778503 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe2=0,7Qe= 163.222080124678 kN
Qe3=0,5Qe= 125.160001889251 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 163.22208012468 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 26.0395801246776 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0002512928465 m
wc= 0.00150775707892119 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 81.6110400623388 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.30577664099742 MPa0.3
18.227706087 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 7.24904809295939 kN.m
7.2806686169 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.175 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.852742899055 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.0875 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 2.85881567278923 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 2.29072751056999 mm
Abs(w3-W2)= 5.22970065585521 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 2.85881567278923 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 2.29072751056999 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 5.22970065585521 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0758402980929594 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.58402980929594
82.5521644741863
A= 16.5104328948373 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 16.5104329 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.21414571882451 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 13.7133402436906 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 4.35 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 3705.48579811069 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2175 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 212.5 kNQ2= 238.4 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 205.727880580646 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 230.802478731416 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 174.868698493549 kN
Qe2=0,7Qe= 161.561735111991 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 174.86869849355 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 37.686198493549 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0003636875882 m
wc= 0.0021821255290683 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 87.4343492467745 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.39894958794839 MPa0.15
32.03326872 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 12.7394365703859 kN.m
7.8077459108 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.175 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.852742899055 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.0875 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 3.53318412293631 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 2.96509596071706 mm
Abs(w3-W2)= 5.90406910600229 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 3.53318412293631 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 2.96509596071706 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 5.90406910600229 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0813306865703859 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.13306865703859
88.528452331865
A= 17.705690466373 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.7056905 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.80880122705124 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.2404175375236 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.4 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4036.08721412211 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2700 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 299.1 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 289.568042737276 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 246.132836326685 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 246.13283632668 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 108.950336326685 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0010514163443 m
wc= 0.0063084980656706 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 123.066418163342 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.96906269061348 MPa0.15
92.607785878 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 36.8295544373783 kN.m
10.120397226 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.7 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.018043607061 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.35 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 7.65955665953865 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.37088498306598 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.09146849731941 mm
Abs(w3-W2)= 10.0304416426046 mm
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 7.65955665953865 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.09146849731941 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 10.0304416426046 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.93897314528522 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.105420804437378 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
10.5420804437378
114.750545630086
A= 22.9501091260173 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 22.9501091 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 11.4179647393121 12 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 8.1818181818182 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 16.5530688527549 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 4.5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 3750 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2250 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 411.66 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 398.540890916841 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 199.27044545842 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 199.27044545842 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 62.0879454584205 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0005991746592 m
wc= 0.0035950479551661 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 99.6352227292102 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.59416356366736 MPa0.5
31.043972729 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 12.3459995587528 kN.m
7.7699759576 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.25 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.875 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.125 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 4.94610654903415 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 4.37801838681491 mm
Abs(w3-W2)= 4.94610654903415 mm
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 4.94610654903415 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 4.37801838681491 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.94610654903415 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0809372495587528 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.09372495587528
88.1001961447024
A= 17.6200392289405 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.6200392 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.76618867111467 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.2026475844068 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.75 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4155.19253464867 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2875 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 403.88 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 391.008830159582 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 195.504415079791 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 195.50441507979 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 58.3219150797912 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0005628308899 m
wc= 0.00337698533911689 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 97.7522075398956 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.56403532063833 MPa0.5
29.16095754 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 11.5971358453619 kN.m
7.6980850412 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.875 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.077596267324 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.4375 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 4.72804393298493 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 4.15995577076569 mm
Abs(w3-W2)= 4.72804393298493 mm
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 4.72804393298493 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 4.15995577076569 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.72804393298493 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0801883858453619 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.01883858453619
87.2850579926764
A= 17.4570115985353 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.4570116 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.68508039728123 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.1307566679213 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 4.35 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 3705.48579811069 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2175 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 288.65 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 279.451071668722 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 237.533410918414 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 237.53341091841 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 100.350910918414 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.00096842829 m
wc= 0.005810569739949 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 118.766705459207 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.90026728734731 MPa0.15
85.298274281 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 33.9226060342597 kN.m
9.8413301793 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.175 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.852742899055 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.0875 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 7.16162833381701 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 6.59354017159776 mm
Abs(w3-W2)= 7.16162833381701 mm
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 7.16162833381701 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 6.59354017159776 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 7.16162833381701 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.10251385603426 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
10.251385603426
111.586332293292
A= 22.3172664586583 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 22.3172665 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 11.1031176411236 12 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 8.1818181818182 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 16.2740018060555 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 6 m
largeur L1= 5.75 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4155.19253464867 mm
L2(angle-bordure)= 3000 mm
L2(bordure-partie courante)= 2875 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0078 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 397.68 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 385.006416702641 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 192.503208351321 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 192.50320835132 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 55.3207083513206 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0005338679888 m
wc= 0.0032032079330108 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 96.2516041756603 kN.m
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
1.54002566681056 MPa0.5
27.660354176 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 11.0003549940735 kN.m
7.6407940794 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 m
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.875 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.077596267324 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.5 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.4375 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 4.55426652687887 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 0 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 3.98617836465962 mm
Abs(w3-W2)= 4.55426652687887 mm
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 4.55426652687887 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 3.98617836465962 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.55426652687887 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.568088162219244 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0795916049940735 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.95916049940735
86.635462036049
A= 17.3270924072098 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 17.3270924 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 8.62044398368647 9 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 11.25 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.0734657061976 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 11.05 m
largeur L1= 5.4 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 6149.44103150847 mm
L2(angle-bordure)= 5525 mm
L2(bordure-partie courante)= 2700 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.014365 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 0 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 0 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= -137.1825 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00132386854 m
wc= -0.00794321123799868 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 0 kN.m
0 MPa0.15
#DIV/0! kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= #DIV/0! kN.m
#DIV/0! MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 413.6 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 413.6 kN
0.5
Qe= 206.8 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 1.209375E-06 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 3.89865403544637E-05 mwc= 9.74663508861593E-05 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 69.9578918909387 kN.m
6.71595762153011 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 87.4460563934232 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= 0.8079761565334 kN.mMoment global= 88.2540325499566 kN.m
8.47238712479583 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.7 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 13.074720515754 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.7625 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.35 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 0 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w+wc= 0.77299564782018 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 0.568088162219244 mm
Abs(w3-W2)= 0.77299564782018 mm
Abs(w1-W3)= 0.204907485600936 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 0.77299564782018 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 0.568088162219244 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 0.77299564782018 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0.204907485600936 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0882540325499566 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
8.82540325499566
96.0645144306277
A= 19.2129028861255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 19.2129029 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 9.55865815230127 10 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 10 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 14.9050587515624 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 7.35 m
largeur L1= 5.4 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 4560.22203406808 mm
L2(angle-bordure)= 3675 mm
L2(bordure-partie courante)= 2700 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.009555 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1= 241.4 kNQ2= 413.6 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 233.706872339614 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 400.419065450142 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 198.650841488672 kN
Qe2=0,7Qe= 280.293345815099 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 280.2933458151 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 143.110845815099 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.001381079558 m
wc= 0.00828647734775203 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 140.14667290755 kN.m
2.24234676652079 MPa0.3
70.998342487 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 28.2356099416747 kN.m
9.2953785544 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 234.91 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 234.91 kN
1
Qe= 234.91 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 7.6591861E-05 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.000310259805166111 mwc= 0.000775649512915278 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 79.4671585304662 kN.m
7.62884721892475 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 87.4460563934232 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= 6.4299761565334 kN.mMoment global= 93.8760325499566 kN.m
9.01209912479583 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.7 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.280111017034 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.8375 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.35 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.193008370552577 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 9.63753594162007 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= 1.4511788098493 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 9.4445275710675 mm
Abs(w3-W2)= 8.18635713177078 mm
Abs(w1-W3)= 1.25817043929672 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 9.63753594162007 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 9.4445275710675 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 8.18635713177078 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 1.25817043929672 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure non conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0968268599416747 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
9.68268599416747
105.396037046513
A= 21.0792074093026 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0938760325499566 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
9.38760325499566
102.184061430628
A= 20.4368122861255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 21.0792074 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 10.4871678653247 11 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 9 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 24.7401493059631 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 13.1 m
largeur L1= 4.5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 6925.67686222798 mm
L2(angle-bordure)= 6550 mm
L2(bordure-partie courante)= 2250 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.01703 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 0 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Qe2=0,7Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 0 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= -137.1825 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00132386854 m
wc= -0.00794321123799868 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 0 kN.m
0 MPa0.5
0 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 0 kN.m
6.58476 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00195672001115919 mwc= -0.00489180002789797 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 87.4460563934232 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= -40.55202384347 kN.mMoment global= 46.8940325499566 kN.m
4.50182712479583 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.25 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 13.462838431114 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 13.275 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.125 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= -6.59215264413064 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -4.21627073096394 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.16024080634989 mm
Abs(w3-W2)= 2.3758819131667 mm
Abs(w1-W3)= 4.78435889318319 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 0.568088162219244 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.16024080634989 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 2.3758819131667 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 4.78435889318319 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0468940325499566 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
4.68940325499566
51.0441544306277
A= 10.2088308861255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 13.9740079 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 6.95224276091975 7 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 15 cm
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 3.4 m
largeur L1= 2.55 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 2125 mm
L2(angle-bordure)= 1700 mm
L2(bordure-partie courante)= 1275 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.00442 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0013510585939 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 0 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 0 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 0 kN
Qe2=0,7Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 0 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= -137.1825 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00132386854 m
wc= -0.00794321123799868 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 0 kN.m
0 MPa0.5
0 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.795387862658188Mc= 0 kN.m
6.58476 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0030464143 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00195672001115919 mwc= -0.00489180002789797 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 87.4460563934232 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= -40.55202384347 kN.mMoment global= 46.8940325499566 kN.m
4.50182712479583 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 21.275 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 11.0625 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 10.85 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 10.6375 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= -6.59215264413064 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -4.21627073096394 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.16024080634989 mm
Abs(w3-W2)= 2.3758819131667 mm
Abs(w1-W3)= 4.78435889318319 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 0.568088162219244 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.16024080634989 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 2.3758819131667 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 4.78435889318319 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
0.113275213727326
250 MPa
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0641892877788181 MN.m/m
6.41892877788181
69.8700397472435
A= 13.9740079494487 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
0
0
A= 0 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0468940325499566 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
4.68940325499566
51.0441544306277
A= 10.2088308861255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 13.9740079 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 6.95224276091975 7 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 15 cm
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 13.1 m
largeur L1= 4.5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 6925.67686222798 mm
L2(angle-bordure)= 6550 mm
L2(bordure-partie courante)= 2250 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 120 MPa/mEs=0,405xKw= 48.6 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0070958333333 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 4.29173428044976 mDeq/8= 0.53646678505622 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 12.909466519 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.00010767180240797 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0007537026169 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0003768513 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 29.029558906355 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.156283246527778 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.539130434782609 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.24 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.24 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 34.4140349218684 kN.m
σ=6M/h²= 3.30374735249937 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 1536.77 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.8065922397099 m
0.008960042 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 6976.88 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 6976.88 kN
Qe2=0,7Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 6976.88 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 6839.6975 kNwar=wsa[1-Qe/Qs]²= 22.2733944502407w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0368221278875 m
wc= 0.220932767325087 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 3488.44 kN.m
55.81504 MPa0.5
3419.84875 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.76324457878583Mc= 1305.0905093525 kN.m
131.8734489 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
0.00304641428 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 244.1 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 244.1 kN
0.5
Qe= 122.05 kN
202.76011922 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0004827029 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.000434510200434619 mwc= -0.00108627550108655 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 41.2880111474326 kN.m
3.96364907015353 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 87.4460563934232 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= -16.14202384347 kN.mMoment global= 71.3040325499566 kN.m
6.84518712479583 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.25 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= min(L/5; 0,85(L²/h))= 6.885 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 0 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.125 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.10767180240797 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 221.686469941942 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -0.709424192658652 mm
8.3) Tassements différentiels
17.9721387441733
Abs(w3-W2)= 0 mm
Abs(w1-W3)= 0 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 221.686469941942 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 0 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 0 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 0 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 4.29173428044976 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0025 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
sd=12,8pL/((43,6Eh³/L^4)+kw)=
0.00441176470588235
250 MPa
0.25
2.72125
A= 0.54425 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0025 MN.m/m
0.25
2.72125
A= 0.54425 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 1.3736817593525 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
137.36817593525
1495.2525950552
A= 299.050519011039 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0713040325499566 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
7.13040325499566
77.6144394306277
A= 15.5228878861255 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 299.050519 cm²/m
Prenons un HA20 20 mm
S(HA20)= 3.14159265358979 3.14 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 95.2390187933245 96 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 0.9473684210526 cm
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 7.1 m
largeur L1= 4.5 m
épaisseur h= 0.4 m
L2 (angle-partie courante)= 4202.9751367335 mm
L2(angle-bordure)= 3550 mm
L2(bordure-partie courante)= 2250 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 120 MPa/mEs=0,405xKw= 48.6 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
10 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 10.5 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.0632455532034 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.0038458333333 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 6.86677484871961 mDeq/8= 0.858346856089952 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 8.0684165741 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 6.72948765049814E-05 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.0004710641355 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0002355321 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 59.175 kN/m²
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 50.792675209123 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.170904340277778 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.4 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-3=
G1= hxg=
Retrait final εr=
épaisseur de la chape e= 0.02 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.5 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 8 °C
εr'= 0.00008 m/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000488 m/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.4328 MPa
5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 2.5 kN.m
0.09375 MPa
1
Mt= 2.5 kN.m
0.09375 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 96.3421265371957 kN.m
σ=6M/h²= 3.61282974514484 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ3= 1612.47 kNQ2= 0 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
3.6765757982122 m
0.0103068723 m
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=(0,063²+0,063²)^0,5= 0.0894427190999916 mQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 1573.24227583958 kNQe2=Q2(1-(d/Lsa))= 0 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe3=0,5Qe= 786.621137919788 kN
Qe2=0,7Qe= 0 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 786.62113791979 kN
Charge annulant le soulèvement
0.37665792 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 376.65792 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Qe-Qs= 409.963217919788 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= 0.0013794212061 m
wc= 0.00827652723644907 m
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
7.062336 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 393.310568959894 kN.m
2.45819105599934 MPa0.5
204.98160896 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.812828405142669Mc= 83.3074371472244 kN.m
10.186364893 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr= lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= ltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
2.0552683523083 m
0.0035043365888 m
Charge équivalente en bordure de dalleQ= 0 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d= 0 m
Qe= 0 kN
0.5
Qe= 0 kN
596.57543271 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 0.0035043366 mQe> Qs , le tassement complémentaire vaut wc= 2,5wo(Qe-Qs)wo(Qe-Qs)= 0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.00200732350352064 mwc= -0.00501830875880161 m7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
7.062336 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 0 kN.m
0 MPa
Moment Ms= (Qs/2)x[Lsb/(3h+Lsb)]= 249.692178345708 kN.mMoment complémentaire après annulation du soulèvement M'=0,2(Qe-Qs)= -119.3150865429 kN.mMoment global= 130.377091802853 kN.m
4.889140942607 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.25 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.101487568367 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 11.775 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.125 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.238199216782759 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.488 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wc+7w= 8.74759137198394 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -4.78277669103418 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 8.50939215520118 mm
Abs(w3-W2)= 13.5303680630181 mm
Abs(w1-W3)= 5.02097590781694 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 8.74759137198394 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 8.50939215520118 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 13.5303680630181 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 5.02097590781694 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 6.86677484871961 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,ser= 0.0025 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.32 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
La contrainte correspondante σ=6(Ms+M')/h²=
0.00172334558823529
250 MPa
0.09765625
1.06298828125
A= 0.34015625 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,ser= 0.0025 MN.m/m
0.09765625
1.06298828125
A= 0.34015625 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,ser= 0.271636397147224 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.32 m
250 MPa
10.6107967635635
115.498522771388
A= 36.9595272868442 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,ser= 0.130377091802853 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.2 m
250 MPa
13.0377091802853
141.915464427406
A= 28.3830928854812 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 16 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 36.9595273 cm²/m
Prenons un HA20 16 mm
S(HA20)= 2.01061929829747 2.01 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 18.387824520818 19 barres
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 5 cm
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
1) données
dimension du dallage
Longueur D= 10.8 m
largeur L1= 5 m
épaisseur h= 0.25 m
L2 (angle-partie courante)= 5950.63021872474 mm
L2(angle-bordure)= 5400 mm
L2(bordure-partie courante)= 2500 mm
Modules de déformation à long terme des différentes couches support
module de réaction du sol Kw= 50 MPa/mEs=0,405xKw= 20.25 MPa
Module de déformation du béton selon la durée de l'application des charges
fc28= 25 MPa
1
1.5
fbc= 14.1666666666667 MPa
25
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi=11000xfcj^(1/3)= 32160 MPa
Module de déformation longitudinale différée Ebv= 3700xfcj^(1/3)= 10820 MPa
0.0004 m/m
enrobage 5 cm
2) Actions
2.1)charges permanentes G
6.25 kN/m²
G2= 0.5 kN/m²
G=G1+G2= 6.75 kN/m²
2.2) charges d'exploitation Q (dallage relevant de la partie 2)
charge uniformément répartie Q1=p= 30 kN/m²
charge concentrée Q2= 20 kN
surface d'impact : elle correspond à une pression de 5 MPa
Pression= 5 MPa
surface d'impact S=Q2/Pression= 0.004 m²soit un côté de longueur= (S)^0,5= 0.063245553203 m3) calcul des tassements
3.1) Tassement dû aux charges (d'exploitation) uniformes
majorant du tassement w=0,8775pD/Es= 0.01404 m
3.2) Tassement dû à une charge concentrée en partie courante
calcul du diamètre d'impact Deq
Deq=1,97h(Eb/Es)^(1/3)= 5.74605668066052 mDeq/8= 0.718257085082565 >0,063 donc la charge Q2 peut être considérée comme ponctuellemodule de réaction conventionnelle Kdeq=1,14Es/Deq= 4.0175378147 MPa/m
w= 0,57Q/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.000193008370552577 m
En angle, le majorant du tassement vaut 7w= 0.001351058594 m
En bordure, le majorant du tassement vaut 3,5w= 0.0006755293 m
3.3) Tassement dû à une charge uniformément répartie sur une aire quelconque
qd=1,35G+1,5Q= 54.1125 kN/m²
résistance de calcul fbc=0,85xfcj/(qxgb)
q=
gb=
poids volumique g= kN/m³
retrait final εr= 4x10^-4=
G1= hxg=
Charge ponctuelle élémentaire Qi=qdxDeq/8= 38.86668651653 kN
w2= 0,57Qi/[h(EbxEs^2)^(1/3)]= 0.375079791666667 mm
4) déformation complémentaires
4.1) Retrait linéaire et variation de température
0.0004 mm/m
Coefficient de dilatation thermique du béton K= 0.00001 /°C
Pour les dallages sous abri, les incidences de la variation de température sur les contraintes peuvent être négligées
épaisseur de la chape e= 0.05 mεr'=εr[1+1/(1+(0,15h/e))]= 0.000628571428571429 mm/m
4.3) Gradient thermique
Un gradient thermique agit comme un retrait différentiel εr'= 10^-5xδt
Dallage abrité au soleil: gradient thermique C= 20 °C/m
δt=Ch= 5 °C
εr'= 0.00005 mm/m
4.4) Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr''= εr+1,1x10^-5xδt= 0.000455 mm/m
5) Contrainte en partie courante
5.1) Contrainte due à un gradient de température
σt= 0,5Ebvx10^-5xδt= 0.2705 MPaMt=σtxh²/6= 0.00281770833333333 MN.m5.2) Contrainte due à une charge concentrée isolée Qc
1
Mr= 3.75 kN.m
0.36 MPa
1
Mt= 3.75 kN.m
0.36 MPa
5.3) Contrainte due à une charge concentrée sur une bande du dallage
M=0,134qh²(Eb/Es)^(2/3)= 61.6892877788181 kN.m
σ=6M/h²= 5.92217162676653 MPa
6) Charge concentrée dans un angleQ1=1,5Qc 30 kNQ3=1,5Qc 30 kN6.1) Déformation à un angle de dalle
2.80659223971 m
8.960042 mm
Charge équivalente au sommet des angles Qe
d=((2/3)Lsa= 1.87106149313995 mQe1=Q1(1-(d/Lsa))= 10 kNQe3=Q3(1-(d/Lsa))= 10 kN
il y a un seul angle adjacent au droit d'un coin, et 3 angles adjacent au droit d'un autre coin du dallage
Qe1=0,85Qe= 8.5 kN
Qe3=0,5Qe= 5 kN
Le Qe à retenir est: Qe=max(Qe1;Qe3)= 8.5 kN
Charge annulant le soulèvement
0.1371825 MNQs=0,15εr"xEbxh²= 137.1825 kNDéformation complémentaire en angle de dalle
Qe>Qs d'où il se produit un tassement complémentaire égal à : wc=6w0(Qe-Qs)
Retrait final εr=
4.2) Retrait différentiel εr'
Différence de température entre les faces supérieure et inférieure du dallage δt
Moment radial Mr=1,5x lrxQc/8
lr=
Contrainte σr= 6Mr/h²=
Moment tangentiel Mt= 1,5xltxQc/8
lt=
Contrainte σt= 6Mt/h²=
Longueur Lsa=(0,16εr"Ebvxh/g)^0,5=
Le soulèvement à l'angle vaut,en l'absence de : wsa=0,1Ebvx(εr")^2/g=
Qs=0,15εr"xEbxh²=
Qe-Qs= -128.6825 kN
w0(Qe-Qs)=0,57(Qe-Qs)/[h(EbxEs²)^(1/3)]= -0.001241839982 m
wc= -0.00745103989308961 m
Qe<Qs, la flèche ascendante résiduelle vaut, war= wsa(1-Qe/Qs)²= 7.884090456446 mm
6.2) Contrainte due à une charge appliquée dans un angle (dallage de catégorie 1)
6.58476 MPa
Moment unitaire vaut M=Qe/2= 4.25 kN.m
0.408 MPa0.15
0 kN
δ=1-1,64(d/Deq)^0,5= 0.0641571519638343Mc= 0 kN.m
0 MPa7) Charge concentrée en bordure de dalle
7.1) Déformation concentrée en bordure de dalle
1.5689327582787 m
3.04641428 mm
Charge équivalente en bordure de dalleQ=1,5Qc 30 kNQe=(6h/L+6h)Q(1-(d/Lsb))
L: distance entre charges extrême L= 0 m
d=(Lsb/2)= 0.784466379139349 m
Qe= 15 kN
0.5
Qe= 7.5 kN
202.7601192173 kN
Déformation complémentaire en bordure de dalle
Qe<Qs d'où le soulèvement résiduel sur le bord wrb=wsb(1-Qe/Qs)^2= 2.8252116401 mm
7.2) Contrainte due à une charge concentrée en bordure de la dalle
6.58476 MPa
Moment unitaire M=(Qe/2)xLsb/(3h+Lsb)= 2.53715758792089 kN.m
0.243567128440405 MPa
8) Vérification du tassement
8.1) calcul des déformations limites
déformation limite absolue =(L1/2000)+20= 22.5 mm
déformation limite différentielle angle-partie courante= (L2/2000)+10= 12.97531510936 mm
déformation limite différentielle angle-bordure= (L2/2000)+10= 12.7 mm
déformation limite différentielle partie courante-bordure= (L2/2000)+10= 11.25 mm
8.2) Déformations absolues
Tassement dû à une charge concentrée en partie courantew1= 0.568088162219244 mm
Effet conjugué du retrait et du gradient thermique
εr"= 0.455628571428571 mm/m
Tassement dû à une charge concentrée à l'angle
W2= wra+7w= -6.5330318625783 mm
Tassement dû à une charge concentrée en bordure
W3=3,5w-wrb= -2.14968234321473 mm
8.3) Tassements différentiels
Abs(w1-W2)= 7.10112002479755 mm
Abs(w3-W2)= 4.38334951936358 mm
Abs(w1-W3)= 2.71777050543397 mm
8.4) Comparaison avec les valeurs limites
max(W1;W2;W3)= 0.568088162219244 mm< 22,5 ; donc les tassements absolus sont admissibles
Abs(w1-W2)= 7.10112002479755 mm< 12,98 mm; donc le tassement différentiel entre la partie courante et l'angle considéré est admissible
Abs(w3-W2)= 4.38334951936358 mm< 12,7 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure et l'angle considérés est admissible
Abs(w1-W3)= 2.71777050543397 mm < 11,25 mm; donc le tassement différentiel entre la bordure considérée et la partie courante considérés est admissible
9)détermination des armatures
sous Qs, on a σs=0,45Ebxεr"=
Contrainte σ=6M/h²=w=Chaque charge Q intervient pour sa valeur résiduelle Qc=Q(1-w)[1-(Qs/Qe)]=
Elle introduit un moment complémentaire Mc= (Qc/2)δ
Il en résulte une contarinte complémentaire σc=6((Qs/2)+Mc)/h²=
Largeur intéressée Lsb=(0,05εr"xEbvxh/g)^0,5=
wsb=0,034xEbvxε²r"/g=
Bordure conjuguée d'où w=
Charge annulant le soulèvement en bordure Qs=0,15εr"xEbxh²(1+3h/Lsb)=
Sous Qs, σs=0,45εr"xEb=
La contrainte est égale à σ= 6M/h²=
9.1) en partie courante
Module de déformation longitudinale instantanée Ebi= 32160 MPa
Diamètre équivalent correspondant Deq= 5.74605668066052 m
9.1.1) Armatures inférieures
Moment maximal radial Mr,u= 0.0682569961121514 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.095173153620429K= 24.242
A=KxMu/d= 7.35416044333677 cm²/m0 MPa
0
0
A= 0 cm²/m9.1.2) Armatures supérieures
Moment maximal tangentiel Mt,u= 0.0682569961121514 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.095173153620429K= 24.242
A=KxMu/d= 7.35416044333677 cm²/m
9.2) en angle
Moment maximal radial Mr,u= 0.00425 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.00592592592592593 MPaK= 23.0695
A=KxMu/d= 0.435757222222222 cm²/m0
A= 0.435757222222222 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
9.3) Au bord
Moment maximal radial Mr,u= 0.00253715758792089 MN.m/m
hauteur utile des armatures du dallage d= 0.225 m
fbu= 14.1666666666667 MPa
0.00353764892433414 MPaK= 23.0414753959889
A=KxMu/d= 0.259821573945892 cm²/m0
A= 0.259821573945892 cm²/m à placer en nappe supérieure dans chaque sens
10) Choix et disposition des barres
Pourcentage minimal d'armature= 0,4h= 10 cm²/m dans chaque sens. Cette section est supérieure à celles calculées en partie courante et au bord
Nous retiendrons comme section d'armature, aussi bien en partie courante, au bord qu'en angle, A= 10 cm²/m
Prenons un HA16 14 mm
S(HA12)= 1.539380400259 1.54 cm²
Nombre de barres au mètre linéaire= 6.49350649350649 7 barres
Moment réduit mbu= Mr,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Contrainte limite de l'acier σs=
10^3xMr/(d²xσs)=
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Moment réduit mbu= Mt,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
Moment réduit mbu= Mt,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
Moment réduit mbu= Mt,u/(d²xfbu)=
Φ>= 6mm
A/d= 10,885x(10^3xMr/(d²xσs)=
espacement des armatures d'une même nappe= min(2h;22 cm)= 15 cm
11) Vérification des contrainte
Limite d'élasticité des aciers fe= 500 MPa
25 MPa
Résistance caractéristique à la traction du béton ftj= 0,6+0,06fcj= 2.1 MPa
1.6 (HA)
250 MPa
σ= 6.79623875520694 MPa
250 MPa d'où la contrainte de traction dans le béton demeure admissible.
La contrainte de traction σ dans le béton doit être inférieure ou égale à la valeur limite suivante:
Contrainte de traction limite des armatures x
Résistance caractéristique en compression du béton fcj=
Coefficient numérique h=
x=Min{(2/3)*fe; Max(0,5fe; 110x(hftj)^0,5)}=
Max(σ;x)=