Capítulo 3. INTRODUCCION A LA OPTIMIZACION.

BIBLIOGRAFIA Barbolla, Cerdá y Sanz Sydsaeter

M. Vázquez Podéis consultar el texto de Barbolla, Cerdá y Sanz “Optimización” ED. Garceta.

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Conjunto de soluciones factibles (CSF)

PROGRAMA MATEMATICO

2 2

f(x,y) min f(x,y)(x,y) R (x,y) R Max

S S∈ ⊂ ∈ ⊂

Función objetivo

Se trata de buscar, de entre todos los puntos posibles, aquellos que asignen “el mejor” valor a nuestra función. Definimos más formalmente

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Definición. Decimos que un punto (x*, y*) es solución del problema de Máximo global si es el punto que le asigna el mayor valor a la función objetivo de entre todos los puntos factibles, es decir

Si la desigualdad es estricta, el Máximo global es único. Al valor de la función objetivo evaluado en el punto de Máximo se denominará valor óptimo (Máximo) y por tanto representa el valor mas grande que puede tomar la función.

( *, *) es Max global ( *, *) ( , ) ( , ) x y S f x y f x y x y S∈ ⇔ ≥ ∀ ∈

Si la desigualdad se da en sentido contrario entonces tendremos un mínimo global que será estricto si la desigualdad es estricta. Igualmente, si se verifica en un entorno pero no en todo punto, el mínimo será local.

( *, *) es min global ( *, *) ( , ) ( , ) x y S f x y f x y x y S∈ ⇔ ≤ ∀ ∈

Si la desigualdad anterior se verifica en un entorno de (x*, y*) y no en todo punto factible, diremos que el Máximo es local.

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Max Global

min local

Max Local

Observa . En este caso no existe mínimo global pues la función toma valores arbitrariamente pequeños. El conjunto de soluciones factibles es toda la recta real.

Para una función en el plano:

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Si ahora suponemos que el conjunto de puntos candidatos es el intervalo [1,5]

1 5

min global

Observa que el mínimo que antes era local ahora es global, pues hemos cambiado el conjunto de soluciones factibles.

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En tendríamos 3R

mínimos globales

Máximos globales

Cuándo podemos asegurar que existe solución? Bajo qué condiciones la solución es global?

Cuándo podemos asegurar que la solución es única?

Queremos saber….

Nuestro objetivo es estudiar bajo qué condiciones podemos asegurar que existe una única solución global. Dichas condiciones afectarán tanto al OBJETIVO como al CSF.

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EXISTENCIA DE SOLUCIONES

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EXISTENCIA DE SOLUCIONES. Teorema de Weierstrass.

Si la función objetivo es continua en el conjunto de soluciones factibles y el conjunto de soluciones factibles es compacto, entonces existe AL MENOS UN MÍNIMO GLOBAL y UN MÁXIMO GLOBAL .

RECUERDA Un conjunto se dice compacto si es cerrado y acotado

Ejemplo. Sea el programa 1- -x +y 1, 0, y 0

Opt x yx≤ ≥ ≥

Analizamos el conjunto de soluciones factibles. El conjunto es cerrado (contiene su frontera) . Para ver si es acotado, representamos gráficamente las inecuaciones.

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Ejemplo 2 Sea el programa ¿Qué podemos decir sobre la existencia de óptimos?

2 2

2

( , )

x yopt ex y R

+

∈

(0,0) mínimo global

x +y 1, 0, y 0x≤ ≥ ≥

Y por tanto el conjunto es compacto. Como la función objetivo es continua, seguro que el programa tiene un máximo y un mínimo global.

El conjunto factible es evidentemente no acotado, luego no se cumplen las hipótesis del teorema. Por tanto, puede haber óptimo o no.

No existe Máximo Global

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GLOBALIDAD Y UNICIDAD DE SOLUCIONES

PROGRAMAS CONVEXOS

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CONJUNTOS CONVEXOS

Definición. Sean dos puntos de . Definimos el segmento de extremos y lo denotamos por como el conjunto de la forma

x e y nR x e y [ ] , x y

[ ] { [ ] , : (1 ) , 0,1 }nx y z R z x yλ λ λ= ∈ = + − ∈

Por tanto, un conjunto S se dice convexo si [ ]( , ) , x y S x y S∀ ∈ ⇒ ∈

Un conjunto es convexo cuando, dados dos elementos del conjunto, todos los elementos que pertenecen al segmento que los une también están en el conjunto. Más formalmente:

Observación La intersección de conjuntos convexos es siempre un conjunto convexo, pero no ocurre lo mismo con la unión. (Ver dibujo)

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Es convexo

No es convexo No es convexo

Es convexo (estricto)

Observación. En ocasiones conviene distinguir entre conjuntos convexos y conjuntos estrictamente convexos. La diferencia se encuentra en que, cuando el conjunto es estrictamente convexo, no puede haber tramos rectos. (ver gráficos )

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FUNCIONES CONVEXAS Y CONCAVAS Definición. Sea donde S es un conjunto convexo. Diremos que f es cóncava en S si y sólo si

: nf S R R⊂ →

, , ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), [0,1]x y S f x y f x f yλ λ λ λ λ∀ ∈ + − ≥ + − ∈

Diremos que la función es estrictamente cóncava cuando la desigualdad es estricta para valores de lamda entre (0,1).

Por tanto, una función es cóncava cuando la gráfica comprendida entre los dos extremos del segmento queda por encima del segmento que une los valores por f de los puntos extremos. Gráficamente:

13 Estrictamente cóncava en 2R Cóncava en 2R

14

Función estrictamente cóncava en 3R

Función cóncava en 3R 14

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Definición. Sea donde S es un conjunto convexo. Diremos que f es convexa en S si y sólo si

: nf S R R⊂ →

, , ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), [0,1]x y S f x y f x f yλ λ λ λ λ∀ ∈ + − ≤ + − ∈

Diremos que la función es estrictamente convexa cuando la desigualdad es estricta para valores de lamda entre (0,1). Análogamente al caso anterior, diremos que una función es convexa cuando la gráfica comprendida entre los dos extremos del segmento queda por debajo del segmento que une los valores por f de los puntos extremos. Gráficamente:

15

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Función estrictamente convexa

Función estrictamente convexa

Función convexa

Función convexa 3R 3R

2R 2R

16

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Si suponemos que la función que estamos estudiando tiene primeras y segundas parciales continuas, tenemos un criterio muy útil para estudiar la concavidad-convexidad de la misma. Se puede probar:

•La función f es cóncava si y sólo si su matriz hessiana es semidefinida negativa en todo punto del conjunto S (dominio)

•La función f es convexa si y sólo si su matriz hessiana es semidefinida positiva en todo punto del conjunto S (dominio)

•Si la matriz hessiana es definida negativa entonces la función es estrictamente cóncava

•Si la matriz hessiana es definida positiva entonces la función es estrictamente convexa

CARACTERIZACION 2C

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Podemos decir alguna cosa más sobre las funciones cóncavas y convexas. Geométricamente, una función cóncava se caracteriza porque la diferencial siempre aproxima por exceso (es decir, los planos tangentes están siempre “encima” de la gráfica de la función)

0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), ,f x f x f x x x f x f x f x x x x x S− ≤ ∇ − ⇒ ≤ +∇ − ∀ ∈

Plano tangente

19 19

Plano tangente

0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), ,f x f x f x x x f x f x f x x x x x S− ≥ ∇ − ⇒ ≥ +∇ − ∀ ∈

En el caso de las funciones convexas, la diferencial siempre aproxima por defecto (es decir, los planos tangentes están siempre “debajo” de la gráfica de la función)

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Función ni cóncava ni convexa

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¿Cómo trabajaremos entonces?

Estudia la matriz Hessiana. Las derivadas segundas deben ser continuas.

Estudia el signo de la matriz (por el criterio de los menores o autovalores).

Utiliza el criterio anterior para decidir si la función es cóncava, convexa o ninguna de las dos cosas.

Para analizar la concavidad/convexidad de una función

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•Sea f una función cóncava. Entonces el conjunto

es un conjunto convexo.

{ }: ( )cN x S f x c= ∈ ≥

RELACION ENTRE FUNCIONES Y CONJUNTOS

•Sea f una función convexa. Entonces el conjunto

es un conjunto convexo.

{ }: ( )cN x S f x c= ∈ ≤

•Sea f una función lineal. Entonces el conjunto es un conjunto convexo.

{ }: ( )cN x S f x c= ∈ =

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RECUERDA. La propiedad anterior podría enunciarse así. EL CONJUNTO SOBRE NIVEL DE UNA CONCAVA ES CONVEXO EL CONJUNTO BAJO NIVEL DE UNA CONVEXA ES CONVEXO LA CURVA DE NIVEL DE UNA LINEAL ES CONVEXO

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Para analizar la convexidad de un conjunto

Si el conjunto es de la forma , prueba que la función es convexa. Sus conjuntos bajo nivel serán convexos.

Si el conjunto es de la forma , prueba que la función

es cóncava. Sus conjuntos sobre nivel serán convexos.

Si el conjunto es de la forma ,prueba que la función es lineal. Sus curvas de nivel serán convexas (serán rectas, planos).

( )f x c≤( )f x

( )f x c≥

( )f x

( )f x c=

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24

Gráficamente:

2 2( , )F x y x y= +

Función convexa

2 2 1x y+ ≤

Conjunto

convexo 24

2 0( , ) ( , )

0 2HF x y x y DP

= ∀ ⇒

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1/ 2 1/ 2 1x y ≥conjunto convexo

1/ 2 1/ 2( , )F x y x y=

Función cóncava

25

3/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 3/ 2

1 14 4( , ) SDN ( , )

1 14 4

x y x yHF x y x y

x y x y

− − −

− − −

− = ∀ −

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Observa que, sin embargo, los conjuntos anteriores NO SON convexos si se permite sólo la igualdad:

2 2 1x y+ =

NO convexo

1/ 2 1/ 2 1x y =

NO convexo

26

27

Ejercicio 1. Analiza la concavidad/convexidad de las funciones:

2 2

2 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

2 2 2

1. ( , ) 2. ( , ) 3.. ( , ) log( )

4. ( , ) 5. ( , ) +2 6. ( , ) x y

f x y x y f x y x y f x y x y

f x y y x f x y x y xy f x y e +

= − = =

= − = + =

Ejercicio 2. Estudia la convexidad de los conjuntos: 2 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

2 2 2

1. 1 2. 5 3. log( ) 04. =1 5. +2 4

x y x y x yy x x y xy+ ≥ ≥ ≥

− + ≤

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FUNCIONES CUASICONCAVAS Y CUASICONVEXAS

Analicemos la convexidad del conjunto de puntos en el primer cuadrante que verifican . Puesto que el conjunto viene definido con mayor o igual, basta con que el campo escalar que lo define sea cóncavo. Analizamos el signo de su matriz hessiana.

1xy ≥

0 1( , ) ( , )) ( , ); ( , )

1 0F x y xy F x y y x HF x y

= ⇒ ∇ = =

Los autovalores son 1 y -1 y por tanto la matriz es indefinida. La función NO ES CONCAVA.

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29

Sin embargo, el conjunto de puntos que estamos analizando es convexo (ver gráfica).

Las funciones cuyos conjuntos sobre-nivel en el primer cuadrante son siempre convexos se denominan FUNCIONES CUASICONCAVAS (poseen una de las propiedades más interesantes de las funciones cóncavas). Si el conjunto es estrictamente convexo, diremos ESTRICTAMENTE CUASICONCAVAS.

F(x,y) NO es cóncava pero sus conjuntos sobre-nivel son todos convexos.

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Definición Sea siendo S un conjunto convexo. Entonces: f es cuasicóncava si y sólo si los conjuntos son convexos.

2:f S R R++⊂ →{ }: ( )x S f x α∈ ≥

Se puede probar que si tenemos una función compuesta por una cuasicóncava y una creciente, la función es cuasicóncava. Esta propiedad es muy útil para detectar la cuasiconcavidad de funciones. Veamos un ejemplo.

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Ejercicio. Estudia la cuasiconcavidad de la función ( , )F x y xy=

30

Solución Si escribimos la función anterior de la manera tenemos que F(x,y) es la composición de una cóncava (y por tanto cuasicóncava) con una función creciente y por tanto es cuasicóncava.

1/ 4 1/ 4 4( , ) ( )F x y x y=

{ }2( , ) : 2xyx y R e++∈ ≥Ejercicio. Estudia la convexidad del conjunto Solución Hemos probado en el ejercicio anterior que F(x,y)=xy es estrictamente cuasicóncava. Como la función exponencial es creciente, por la propiedad de la composición tenemos que también lo es. Entonces su conjunto sobrenivel 2 es convexo (de hecho estrictamente, sin tramos rectos).

Definición Sea siendo S un conjunto convexo. La función f es cuasiconvexa si y sólo si los conjuntos son convexos.

2:f S R R++⊂ →

{ }: ( )x S f x α∈ ≤

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1/ 4 1/ 4( , ) (estrictamente cóncava )F x y x y=

Si y=x, 1/ 2( , ) (estrictamente cóncava )F x x x=

31

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1/ 2 1/ 2( , ) (cóncava no estricta)F x y x y=

Si x=y, F(x,x)=x (cóncava no estricta)

32

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( , ) (estrictamente cuasicóncava, no cóncava )F x y xy=

Si y=x, F(x,x)=x2 convexa

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Observación: tenemos un criterio, mucho más general que el que hemos visto aquí, para decidir si una función es cuasicóncava o no lo es. Es el criterio del hessiano orlado. Si estas interesad@, puedes consultar el texto de Barbolla,Cerdá y Sanz.

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AMPLIACIÓN FUNCIONES CUASICONCAVAS

Hemos visto que la definición de función cuasicóncava está ligada a la convexidad de sus conjuntos sobrenivel. Por otra parte, si analizas las curvas de nivel de las funciones cuasicóncavas que hemos presentado, verás que todas comparten una característica: las curvas de nivel son convexas.

Ejercicio. Sean las funciones

Prueba que son estrictamente cuasicóncavas

1/ 2 1/ 2( , ) log , ( , ) , ( , ) logf x y xy g x y x y h x y x y= = + = +

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Sus curvas de indiferencia son todas estrictamente convexas

log 2xy =

1/ 2 1/ 2 1x y+ =

35

36

log 1x y+ =

¿Es casualidad?. No. Se puede probar que una función definida en el primer cuadrante con derivadas positivas es estrictamente cuasicóncava si y sólo si sus curvas de nivel son decrecientes y estrictamente convexas.

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¿Qué implicaciones económicas tiene este asunto sobre las preferencias de un individuo cuando la función de utilidad es cuasicóncava?

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Como sabes, las rectas tangentes tienen por pendiente el cociente de las marginales cambiado de signo. Explican la cantidad que estamos dispuestos a ceder del bien y por una unidad del bien x (relación marginal de sustitución).

RMS decreciente Las funciones de utilidad cuasicóncavas tienes curvas de indiferencia convexas. La convexidad de las curvas de indiferencia hace que dichas pendientes decrezcan con x. Estamos dispuesto a ceder menos y cuanto más x tengamos. Además, el conjunto de los preferidos (pintado en rojo) es convexo, puesto que el conjunto de los preferidos es el conjunto sobrenivel de una función cuasicóncava. Prefieres una combinación de dos cestas indiferentes a cualquiera de ellas. Tus preferencias se dirán CONVEXAS.

x

y

ff−

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Por tanto, tendremos que encontrar una manera más sencilla de determinar las soluciones. Lo veremos más adelante. GLOBALIDAD Y UNICIDAD DE SOLUCIONES.

2

f(x,y) (x,y) R

MaxS∈ ⊂

El programa se dice convexo para Máximo si la función es ccva (cva) y el conjunto S es convexo.

2

min f(x,y) (x,y) R S∈ ⊂

El programa se dice convexo para mínimo si la función es ccxa (cxa) y el conjunto S es convexo.

En un programa convexo para Máximo, todo Máximo es global. Además, si el objetivo es estricto, el Máximo es único. Si existe más de un Máximo, hay todo un conjunto convexo de Máximos.

Análogamente, puedes formular el teorema en el caso de mínimo.

Teorema fundamental de la programación Convexa (local-Global)

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En los capítulos siguientes veremos condiciones necesarias y suficientes de óptimo (Máximo y mínimo) en distintos programas matemáticos. Clasificaremos dichos programas en función de su conjunto de soluciones factibles: programas sin restricciones, programas con restricciones de igualdad y programas con restricciones de desigualdad.