cascadas de feigenbaum

DINÁMICA NO LINEAL:

CAOS Y FRACTALES

Trabajo final

José Venancio García García.Nº expediente: 03 – 01573


Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales

Cascadas de Feigenbaum en aplicaciones discretas

1. Aplicación logística en el intervalo [ 1 , 3.57 ]Uno de los fenómenos que se pueden visualizar con el diagrama de Feigenbaum es el

de duplicación del periodo. Esta duplicación de periodo , para la familia de sistemas dinámicos asociados a la curva logística, comienza en a = 3 y se puede ver que diverge a infinito antes de llegar a 4. El valor de a que sirve de frontera , entre la zona donde se producen fenómenos de duplicación de periodo y la zona de caos se representa por a y se llama punto de Feigenbaum.

Los primeros valores críticos obtenidos de forma analítica en el libro son a1 = 3 y a2 = 1+ . A partir de este punto, con la ayuda de una hoja de cálculo para efectuar las iteraciones, se obtienen los siguientes valores:

a3 = 3.544057 (periodo 8) a4 = 3.564395 (periodo 16)


En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 4 obtenido para a = 3.544056

Las distancias entre los sucesivos puntos críticos son:

d1 = a2 – a1 = 0.44940

d2 = a3 – a2 = 0.094567

d3 = a4 – a3 = 0.020338

d4 = a5 – a4 = 0.000436

d5 = a6 – a5 = 0.000934

de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ.

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a 3,544056 F(x)=ax(1-x)xo 0,2 0,56704896

····································

0,363303190,819789700,523579500,884043530,363303190,819789710,523579500,884043530,36330319



Con estos datos se puede estimar el punto de Feigenbaum de entrada al caos

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2. Aplicación logística en el intervalo [ 3.83 , 3.86 ]

En este intervalo aparece un ciclo de periodo 3 que experimenta sucesivas duplicaciones. Realizando las iteraciones con la hoja de cálculo, se obtienen los primeros

valores del parámetro a para los que se producen las duplicaciones.

a1 = 3.841492 (periodo 6)

a2 = 3.847607 (periodo 12)

a3 = 3.849035 (periodo 24)

a4 = 3.849348 (periodo 48)

a5 = 3.849415 (periodo 96)

En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 6 obtenido para a = 3.841493

De forma análoga al caso anterior se obtienen las distancias entre los puntos críticos y las aproximaciones para la constante δ.

d1 = a2 – a1 = 0.006115

d2 = a3 – a2 = 0.001428

d3 = a4 – a3 = 0.000313

d4 = a5 – a4 = 0.000067

4

a 3,841493 F(x)=ax(1-x) xo 0,2 0,61463888

····································

0,959657560,148723140,486350560,959657550,148723150,486350590,959657560,148723140,486350560,959657550,148723150,486350590,95965756



3. Exponentes de Lyapunov de la aplicación logísticaMiden la sensibilidad del sistema dinámico a las condiciones iniciales. El exponente

de Lyapunov es negativo cuando la solución es estable, positivo en las regiones caóticas, cero en los puntos de bifurcación y presenta una singularidad, es decir, tiende a - ∞ para los valores correspondientes a ciclos superestables.

Los primeros valores del parámetro a para los que se presentan singularidades son a1 = 2 y a2 = 3.236068, determinados analíticamente en el libro. Mediante el programa LYAPUNOV se pueden obtener los exponentes en intervalos de amplitud 10-5, lo que permite la determinación de las siguientes singularidades:

a3 = 3.498561 ; a4 = 3.554640 ; a5 = 3.566665

En la figura se observan los puntos fijos de un 16-ciclo superestable obtenido para

a = 3.566665 Uno de los puntos del ciclo es 0.5.

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Las distancias entre los sucesivos puntos singulares son:

d1 = a2 – a1 = 1.236068 d2 = a3 – a2 = 0.262493 d3 = a4 – a3 = 0.056079

d4 = a5 – a4 = 0.012025

de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ’.

4. Aplicación seno 4.1. Cascada de Feigenbaum

En la figura se muestra el diagrama de bifurcación de la función f(x) = (a/π)·sen(π x) en el intervalo [1 , 3 ]. Se puede observar la cadena de bifurcaciones a partir de a = 2.26. Realizando las iteraciones con una hoja de cálculo se obtienen los siguientes valores críticos:

a1 = 2.261660 (periodo 2)

a2 = 2.617716 (periodo 4)

a3 = 2.697372 (periodo 8)

a4 = 2.714590 (periodo 16)

a5 = 2.718283 (periodo 32)


d1 = a2 – a1 = 0.356056 d2 = a3 – a2 = 0.079656 d3 = a4 – a3 = 0.017218

d4 = a5 – a4 = 0.003693


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4.1. Exponentes de Lyapunov

El primer valor del parámetro a para el que se presenta una singularidad puede ser obtenido analíticamente, ya que se corresponde con un punto fijo superestable que debe ser x* = 0.5. Resolviendo la ecuación

f (0.5) = (a / π) ·sen (π· 0.5) = 0.5

Se obtiene a1 = π/2 = 1.570796....

Mediante el programa LYAPUNOV se obtienen las siguientes singularidades:

a2 = 2.443322 ; a3 = 2.658988 ; a4 = 2.706326 ; a5 = 2.716517

Las distancias entre los sucesivos puntos singulares son:

d1 = a2 – a1 = 0.872526 d2 = a3 – a2 = 0.215666 d3 = a4 – a3 = 0.047338

d4 = a5 – a4 = 0.010191

de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ’.

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5. Aplicación de HénonEs una aplicación iterativa en dos dimensiones dada por

Xn+1 = 1 + Yn – aXn2

Yn+1 = bXn

Los puntos fijos obtenidos al resolver el sistema

x = 1 + y – ax2 ; y = bx

vienen dados por

Fijado el parámetro b, se puede ver que x* es inestable para cualquier valor de a y que

a*+ es estable para

Para b = 0.3, existe un punto fijo estable para valores de a entre ao = –0.1225 y a1 = 0.3675. A partir de este valor se inicia una cascada de bifurcaciones. Realizadas las iteraciones con una hoja de cálculo se obtienen los siguientes valores críticos:

a2 = 0.912421(periodo 4) a3 = 1.025820 (periodo 8) a4 = 1.051110 (periodo 16)


En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 4 obtenido para a = 0.92.

a 0,92 Xn Ynb 0,3 1 0,25x0 1 0,33 0,3y0 0,25 ..................... .....................

1,13253618 -0,15284585-0,33287299 0,339760851,23782078 -0,09986190

-0,50948616 0,371346231,13253618 -0,15284585

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d1 = a2 – a1 = 0.544921 d2 = a3 – a2 = 0.113399 d3 = a4 – a3 = 0.025290

d4 = a5 – a4 = 0.005448 d5 = a6 – a5 = 0.001171


6. Constante de FeigenbaumEn todos los casos anteriores se observa que los puntos críticos para los que se

producen duplicaciones del periodo están cada vez más próximos y que los cocientes(an – an-1)/(an+1 – an) se aproximan cada vez más a la constante de Feigenbaum, δ = 4.669201609. Esta constante es "universal", es decir, aparece en los sistemas dinámicos en los que se alcanza el régimen caótico a través de bifurcaciones (duplicaciones) de periodo.

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