第一章 晶体的结构及其对称性 - fudan...
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绪论
• 凝聚态物质:液体、固体以及介于其间的软物质(如液晶、凝胶等),
是原子、离子、分子的聚集体。
• 固体:在压强和温度一定,且无外力作用时,形状不变。根据组成粒子
在空间排列的有序度和对称性可分为晶体、准晶体和非晶体。
• 晶体:组成粒子在空间周期性排列,长程有序;无任意的平移和旋转对
称性,对称性破缺。
• 非晶体:组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序;高度
对称性,物理性质各向同性。
• 准晶体:介于晶体与非晶体之间,组成粒子分布完全有序,但不具有周
期性,仅仅具有长程取向序;可具有晶体不允许的旋转对称性。
1.1 晶格及其平移对称性
一、晶体结构及基元
1.晶体结构
• 晶格(Lattice):晶体中原子的规则排列
• 晶体结构(Crystal Structure):晶体中原子的具体排列形式
关于常见晶体结构的一些定义:
• 配位数:每个原子周围的最近邻原子数
• 堆积密度:原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
(1)简单立方(sc)晶体结构
配位数:6
原子半径:
原子数:
堆积密度:
2
ar
3
23
4
aV atom
aV sc
3
18
18
6
VV
sc
atomf
Simple cubic lattice
(2)体心立方(bcc)晶体结构
配位数:
原子半径:
原子数:
堆积密度:
具有此结构的金属原子:碱金属Li、Na、K、Rb、Cs;难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。
Body centered cubic lattice
(2)体心立方(bcc)晶体结构
配位数:8
原子半径:
原子数:
堆积密度:
具有此结构的金属原子:碱金属Li、Na、K、Rb、Cs;难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。
ar4
3
3
4
3
3
4
aV atom
aV bcc
3
218
18
8
32
VV
bcc
atomf
Body centered cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数:12
原子半径:
原子数:
堆积密度:
具有此结构的金属原子:Cu、Ag、Au、Al、Ni等
Face centered cubic lattice
ar4
2
3
4
2
3
4
aV atom
aV fcc
3
42
16
8
18
6
24
VV
fcc
atomf
• 六角密堆(hcp)晶体结构
配位数:12
原子半径:
原子数:
堆积密度:
具有此类结构的原子:Be、Mg、Zn、Cd、Ti等
请列出推导过程
Hexagonal close-packed lattice
2
ar
632
12
6
112
3
23
4
aV atom
32 233
626
4
3aaaV hcp
6
26
VV
hcp
atomf
(5)NaCl结构
将钠离子和氯离子交替排放在
一个简单立方晶格上
配位数:6
例:LiF、KCl、LiI
(6)氯化铯(CsCl)晶体结构
配位数:8
例:TlBr、TlI、NH4Cl
2
1
2
10,
2
10
2
1,0
2
1
2
1,000:Cl
002
1,0
2
10,
2
100,
2
1
2
1
2
1:Na
(7)闪锌矿结构
每种离子位于异类离子构成的正四面体中心
配位数:4
例: ZnS、CuF、CuCl、AgI、ZnSe
(8)钙钛矿(ABO3)结构
立方体结构中,
顶角位置:A,体心位置:B,面心位置:O
例:铁电晶体BaTiO3、LiNbO3、PbZrO3,
高温超导体的稀土铜氧化物等。
上述几种为化合物晶体。
2、简单晶格和复式晶格
(1)、简单晶格(布拉维格子)
• 在这一类晶体结构中,所有原子是完全等价的。作为一个原子到另一个
任意原子的平移,晶格完全复原。例:sc、bcc和fcc结构形成的晶格。
(2)、复式晶格
• 从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子作平移,晶格不能复
原。
• 一个复式晶格可以看作两个或两个以上布拉维格子套构而成。
• 例:金刚石结构,可看成沿体对角线相互错开1/4长度的两个面心立方
布拉维格子套构而成;NaCl晶格由两个面心立方布拉维格子套构而成;
CsCl由两个sc套构而成;ABO3由五个sc套构而成。
3、基元
• 在理想情况下,晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成,
这样的原子团称为基元,而这些点的集合称为晶格。
• 基元可以是一个原子(简单晶格),也可以是一个原子群(复式晶
格)。原子群的原子可以相同,也可以不同。
二、结点和点阵
• 忽略内部分布,用一个几何点代表一个基元,称为结点。
• 晶格被抽象成这些结点的几何结构,称为点阵。点阵完全反映了晶格
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构: <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞
对于一个给定的点阵,总可以选择三个不共面的基本平移矢量𝒂1、𝒂2、𝒂3
(称为点阵的基矢),使任意一个结点
(𝑙𝑖:取正负整数包括零)
空间密度函数:
那么如果平移
应是 的周期函数。
注意: 对一个给定的点阵,基矢的选择非唯一,但是每种选择必须满足
𝒂1、𝒂2、𝒂3所构成的平行六面体体积相等,其中只包含一个结点。
𝑖=1
3
𝑙𝑖𝒂𝒊𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑=
iR
lRrr
lR
rRr l
r lR
2、元胞
对于一个点阵,通常定义三种元胞:初基元胞、单胞和维格纳-塞茨(Wigner-
Seitz)元胞。
(1)初基元胞
• 最小空间体积元,只包含一个结点
• NΩ=1,N为单位体积结点数目,Ω为初基元胞的体积。
• 初基元胞与基矢的选择有关,基矢非唯一,初基元胞也不唯一。
• 对于每一种点阵,通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式。
321 aaa
简单立方点阵
a为立方胞边长, 为直角坐标系中的单位矢量
初基元胞的体积为
体心立方点阵
iaa
1 jaa
2 kaa
3
kji
,,
k
j
i
A
k
j
i
a
a
a
a
100
010
001
3
2
1
100
010
001
aA
3321 aAaaa
kjia
a
2
1
kjia
a
2
2
kjia
a
2
3
111
111
111
2
aA
2
3
321
aAaaa
面心立方点阵
初基元胞的体积为
• 基矢𝒂1、𝒂2、𝒂3往往不构成正交系
• 初基元胞不能直观反映点阵的宏观对称性,但完全反映点阵的平移对称性
kja
a
2
1
ika
a
2
2
jia
a
2
3
011
101
110
2
aA
4
3
321
aAaaa
(2)单胞
为了能直观地反映点阵的宏观对称性,往往选择一个非初基的元胞,称为单胞。单胞的
三条棱,记为a、b、c,称为晶轴,通常选择c为主要对称轴方向。
• 单胞是一个扩大了的元胞,只能通过点阵平移矢量的一个子集做平移,不能完全反映
点阵的平移对称性。
• 单胞可包含多个结点:
sc点阵→ 1个结点,初基元胞和单胞一致
bcc 点阵→ 2个结点,单胞体积为初基元胞体积的两倍,是非初基的
fcc 点阵 → 4个结点,单胞体积为初基元胞体积的四倍,是非初基的
• 单胞虽然不是初基的,但可以充分反映点阵的宏观对称性,在结晶学中常常采用。
(3)维格纳-塞茨(W-S)元胞
• 既反映点阵平移对称性,又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元。
• W-S元胞点阵的结点处于元胞的中心,一个W-S元胞只包含一个结点,它是
初基的。
• 适用:固体物理学的理论研究。
1.2晶列和晶面
一、晶列及其晶向标志
• 晶列:点阵的结点可以看成分布在一系列相互平行的直线上,称这些直
线为一族晶列。(一族晶列应包含点阵中所有结点。)点阵中应有无穷
多族晶列。
• 晶向:每一族晶列定义了一个方向,称为晶向。
• 从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的最短平移矢量为
那么 𝑙1 𝑙2 𝑙3 就是晶向指数。𝑙1、𝑙2、𝑙3
为互质的整数,可以是正或负整数,负指数用头顶上加一横表示。
• 用 𝑙1 𝑙2 𝑙3 表示点阵中一组对称的晶向。
𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑
• 在sc点阵中,
二、晶面及有理指数定律
• 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上,这些平面
称为一族晶面(包括所有结点)。同一点阵有无限多方向不同的晶面族。
• 如何建立一个平面的方位:
111
,111,111,111,111,111,111,111表示111
的截距该平面在三个坐标轴上
弦该平面的法线的方向余
晶面上任意一点的位矢为 ,从原点算起第𝜇个晶面到原点的距离为𝜇d,
晶面方程为
设该晶面与三个坐标轴交点的截距为𝑟𝜇𝒂𝟏,𝑠𝜇𝒂𝟐,𝑡𝜇𝒂𝟑,取天然长度单位,
则有
可以得到
可见,三个方向余弦和三个截距倒数等价。
• 通常用三个截距的倒数 来标志该晶面。
den
X
X
deacosr n1
deacoss n2
deacost n3
t
1:
s
1:
r
1eacos:eacos:eacos n3n2n1
t
1,
s
1,
r
1
• 证明:𝑟𝜇、𝑠𝜇、𝑡𝜇必为有理数
因为在该族晶面中必有三个或小于三个晶面过𝒂1、𝒂2、𝒂3的端点所对应的结
点,那么对应为第ℎ1、ℎ2、ℎ3个晶面,取天然长度单位,则第𝜇个晶面的截
距为
又𝜇𝑖、ℎ𝑖均为整数,故整数之比为有理数。
• 晶面有理指数定律:晶体中任一晶面,在基矢天然坐标系中的截距为有理
数。它是点阵周期性的必然结果。
• 从原点算起的第一个晶面的截距 的倒数去
标志这一族晶面,记为 ,称为该族晶面的晶面指数。
321 ht,
hs,
hr
3
1
2
1
1
1h
1t,
h
1s,
h
1r
321 h h h
• 证明:ℎ1、ℎ2、ℎ3必为互质的整数
在 中取𝜇=1,
得到第一晶面满足的方程组:
在该晶面上的某结点位矢为 ,𝑙1、𝑙2、𝑙3为整数。则有
消去方向余弦,得
如果ℎ1、ℎ2、ℎ3不互质,有公因子m,m为大于1的整数,可令ℎ1=mℎ1’,
ℎ2=mℎ2’,ℎ3=mℎ3’,ℎ1’、ℎ2’、 ℎ3’为互质整数。代入 得
因括号中整数求和为非零整数,则上式不成立。所以ℎ1、ℎ2、ℎ3必为互质的整数
den
X
deacosh
1
deacosh
1
deacosh
1
n3
3
n2
2
n1
1
𝑹𝒍=𝑙1𝒂𝟏+𝑙2𝒂𝟐+𝑙3𝒂𝟑
deacosleacosleacosl n33n22n11
1hlhlhl 332211 7.2.1
7.2.1
1)'hl'hl'hl(m 332211