目 次

1 複素数と複素数の級数 1

1.1 複素数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1.1.1 複素数の定義 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1.1.2 複素数の加減乗除 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1.2 複素平面 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1.2.1 複素平面と複素数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1.2.2 平面上の図形 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1.2.3 複素数の極表示 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1.2.4 複素数のベき乗とべき根 : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

1.2.5 複素数を使いこなすこと：交流回路と複素インピーダンス 11

1.3 複素数の数列と級数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

1.3.1 数列と極限 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13

1.3.2 級数と級数の収束 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15

1.4 第 1章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19

2 複素関数と正則性 21

2.1 複素関数とその連続性 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22

2.1.1 複素関数および連続の定義 : : : : : : : : : : : : : : : : 22

2.2 複素関数の微分可能性と正則関数 : : : : : : : : : : : : : : : : 24

2.2.1 複素関数の微分 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

2.2.2 コーシー・リーマンの関係式と調和関数 : : : : : : : : 27

2.2.3 電磁気学、流体力学への調和関数の応用 : : : : : : : : 31

2.3 等角写像 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34

2.3.1 等角写像の定義 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34

i

ii 目 次

2.3.2 2次元の流れ I ： 境界のあるラプラス方程式の解法へ

の等角写像の応用 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37

2.4 第 2章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

3 初等複素関数 43

3.1 1次分数関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

3.1.1 1次分数関数とその写像 : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

3.1.2 無限遠点 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46

3.2 べき級数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

3.2.1 べき級数の絶対収束 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

3.2.2 収束半径 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

3.3 指数関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

3.3.1 指数関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

3.3.2 3角関数、双曲線関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

3.4 対数関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

3.4.1 対数関数の定義と主値 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

3.4.2 対数関数の多価性とリーマン面 : : : : : : : : : : : : : 57

3.4.3 2次元の流れ II： 循環のある場合の流れの問題に対す

る対数関数の応用 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58

3.5 一般のべき関数と多価性 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

3.5.1 べき関数の定義 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

3.5.2 多価関数 w = z1=nの写像とリーマン面 : : : : : : : : : 61

3.6 第 3章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

4 特異点 65

4.1 孤立特異点 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66

4.1.1 除き得る特異点 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66

4.1.2 極 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

4.1.3 真性（孤立）特異点 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

4.2 分岐点 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

4.3 第 4章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

5 複素積分 75

5.1 ジョルダン閉曲線と正則領域の形 : : : : : : : : : : : : : : : : 76

目 次 iii

5.2 複素積分 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

5.2.1 複素積分の定義 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

5.2.2 複素積分の性質 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82

5.3 コーシーの積分定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83

5.3.1 コーシーの積分定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

5.3.2 不定積分とその正則性 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89

5.3.3 対数関数の多価性と 1=zの積分 : : : : : : : : : : : : : 90

5.4 留数定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92

5.4.1 留数定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92

5.4.2 無限遠点の留数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

5.4.3 有理型関数と偏角の原理 : : : : : : : : : : : : : : : : : 100

5.5 第 5章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103

6 複素積分の応用 105

6.1 留数定理の応用:定積分の計算 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106

6.2 分岐点のある場合の定積分 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113

6.3 第 6章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 119

7 コーシーの積分公式と複素関数のべき級数展開 123

7.1 コーシーの積分公式 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124

7.1.1 コーシーの積分公式 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124

7.1.2 コーシーの積分公式から導かれる諸定理 : : : : : : : : 125

7.2 グルサの定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130

7.2.1 グルサの定理とモレラの定理 : : : : : : : : : : : : : : 130

7.2.2 グルサの定理の応用 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132

7.3 テイラー展開およびローラン展開 : : : : : : : : : : : : : : : : 133

7.3.1 テイラー展開：正則点のまわりのべき級数展開 : : : : 133

7.3.2 ローラン展開 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135

7.4 第 7章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 138

8 解析接続とリーマン面 141

8.1 一致の定理 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

8.2 解析接続とリーマン面 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144

8.3 第 8章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 148

iv 目 次

9 複素解析の応用 149

9.1 ガンマ関数とベータ関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 150

9.1.1 ガンマ関数とその解析接続 : : : : : : : : : : : : : : : : 150

9.1.2 ベータ関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153

9.1.3 スターリングの公式とガンマ関数の漸近展開 : : : : : : 155

9.2 有理型関数の部分分数展開と整関数の無限乗積表示 : : : : : : 157

9.2.1 有理型関数の部分分数展開 : : : : : : : : : : : : : : : : 157

9.2.2 整関数の無限乗積表示 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 158

9.3 楕円積分および楕円関数 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159

9.4 弾性体力学への応用：薄板の応力場と重調和関数 : : : : : : : 164

9.5 微分方程式の初期値・境界値問題への応用：フーリエ変換とラ

プラス変換 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 168

9.5.1 フーリエ変換 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 168

9.5.2 ラプラス変換 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 173

9.6 線形応答の理論：クラマース・クローニッヒの関係 : : : : : : 177

9.7 第 9章問題 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180

10 問題解答 183

第 1章

複素数と複素数の級数

展望：

複素数の関数 (複素関数）の様々な性質を知るためにはまず複素数の性質

を知らなくてはならない。本章の目的は、複素数および複素数の級数の性質

を知ることである。無限級数はそれ自身意味のあるものであるばかりでなく、

複素関数を議論するために欠くことができない。たとえば 3角関数の初等的

な定義は 2次元の幾何の上で直角 3角形の 2辺の長さの比として与えられる。

一方、一般の場合には複素数の無限級数によって 3角関数を定義する。こう

して便利な関数を手にすることができる。この例が示すように、よく用いら

れる初等複素関数が無限級数の形で定義されることが多いこと、複素関数の

性質が無限級数の形で表現されると大変分かり易いこと、さらに級数の形が

実用上最も便利であることなどが、無限級数を先ず学ぶ理由である。

本章では、複素数の定義と加減乗除を定義することから始める。これは多

くの読者にとっては復習であるかもしれない。その後、複素数と 2次元ベク

トルとの関係、電気回路論における簡単な応用などにふれ複素数に慣れるこ

とにしばらくの時間を割こう。本章の後半で、複素数列の極限と級数の収束

について学ぶ。極限や級数の収束は、実数の極限や級数論とほとんど本質的

な差はないのですでに実数でこれらの面に習熟した読者にとっては繰り返し

になるだろう。本章では実数列の級数で学んだことも既知とせず、初めから

述べるように努める。

1

2 第 1章 複素数と複素数の級数

1.1 複素数

1.1.1 複素数の定義

2乗して �1 となる `数'を虚数単位といいこれを i と書く。

i2 = �1 (1.1)

i を用いると、実数を拡張し新しい種類の数を定義することができる。

定義 1 複素数: 2つの実数 x, y をとり

z = x + iy (1.2)

という組を考える。この z を複素数といい、xを複素数 z の実部あるいは実数

部あるいは real part, y を複素数 z の虚部あるいは虚数部あるいは imaginary

part という。虚部のみからなる複素数 iy を（純）虚数という。実部、虚部を

それぞれ x =Rez、y =Imz と書く。1

今後特に断らない限り z; w あるいはこれらに下付きの添え字を付けたも

のを複素数とし、x; y; u; v あるいはこれらに下付きの添え字を付けたものを

実数とする。したがって z = x+ iy と書けば x は実部、y は虚部を表す。２

つの実数 xと yの組を複素数 zと定義したから、これを

z = (x; y) (1.3)

と書くこともある。実部、虚部ともゼロである複素数を、ゼロである複素数

という。

z = x+ iy = 0, x = 0 ; y = 0 (1.4)

定義 2 等しい複素数：２つの複素数 z1 および z2 の実部および虚部が各々等

しいとき複素数 z1 と z2 は等しいという。逆に２つの複素数 z1 と z2 が等し

いのは z1 および z2 の実部および虚部が各々等しいときに限られる。

z1 = z2 ,(Rez1 = Rez2Imz1 = Imz2

(1.5)

1虚数の発見はイタリアの G. カルダノ（Cardano） (1501-1576) による。カルダノはこの他にも 3次方程式の解法の発見でも知られている。その後 L.オイラー（Euler）によって指数関数に関係づけられ、 C. F. ガウス（Gauss）によって大きく活躍の場を広げられた。

1.1 複素数 3

複素数 z = x+ iy に対して虚部の符号を変えたもの z0 = x� iy を zの共

役複素数あるいは複素共役といい、 �z とあらわす。2

�z = x� iy (1.6)

複素数 z = x+ iy に対してpx2 + y2 を z の絶対値といい jzjと書く。

jzj =qx2 + y2 (1.7)

複素数 z = x+ iyの絶対値がゼロであるのは zがゼロであるときに限る。

jzj = 0,(x = 0

y = 0(1.8)

zの絶対値と�zの絶対値は等しい。

jzj = j�zj (1.9)

1.1.2 複素数の加減乗除

定義 3 複素数の加減算：２つの複素数 z1 = x1+iy1, z2 = x2+iy2の加減算は

z1 � z2 = (x1 � x2) + i(y1 � y2) （複号同順） (1.10)

と定義される。

定義 4 複素数の乗算：複素数の掛け算は

z1z2 = (x1x2 � y1y2) + i(x1y2 + y1x2) (1.11)

と定義される。

これは i2 = �1に注意すれば実数の掛け算と同じにおこなうことができる。

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 + i2y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

= (x1x2 � y1y2) + i(x1y2 + y1x2) (1.12)

2物理学の分野では複素共役を z� と書くことが多い。

4 第 1章 複素数と複素数の級数

定義 5 逆数：z = x+ iy がゼロでないとき、zz0 = 1 となる複素数 z0 を考え

ることができる。これを zの逆数といい z�1と書く。具体的に書くと

z�1 =x� iy

x2 + y2=

�z

jzj2 (1.13)

である。

zz�1 = (x+ iy) � (x� iy)=(x2 + y2) = 1であることからこれは直ぐに理解

できよう。

定義 6 複素数の除算：複素数 z2がゼロでないとき割り算 z1=z2は次のように

定義される。

z1z2

= z1z2�1 = z1

�z2jz2j2

=(x1x2 + y1y2) + i(�x1y2 + y1x2)

x22 + y22(1.14)

定理 1 複素数の足し算（引き算）に対する結合法則、交換法則

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)（結合法則）

z1 + z2 = z2 + z1（交換法則）; (1.15)

および掛け算に対する結合法則、交換法則

(z1z2)z3 = z1(z2z3)（結合法則）

z1z2 = z2z1（交換法則） (1.16)

が成り立つ。また分配法則

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3（分配法則） (1.17)

が成り立つ。

これらは足し算および掛け算の定義から簡単に示すことができるので読者の

演習に残しておこう。

絶対値は zとその複素共役 �zをもちいて

jzj = pz�z (1.18)

1.2 複素平面 5

と書くことができる。

また複素数の足し算およびかけ算の絶対値に対して

jz1 + z2j � jz1j+ jz2jjz1z2j = jz1j � jz2j (1.19)

が成り立つ。

1.2 複素平面

1.2.1 複素平面と複素数

複素数とは 2つの実数の組であるから、実数を表すのに数直線を用いたよ

うに、複素数を表すには 2次元平面を用いる。

定義 7 複素平面の定義：2次元平面の x座標と y座標をそれぞれ複素数 zの

実部 xと虚部 yに対応させて、2次元平面上の点 (x; y) に複素数 z = x+ iyを

対応させる。この 2次元平面を複素平面またはガウス (Gauss) 平面という。

また複素平面の x軸を実軸、y軸を虚軸と呼ぶ。3

複素平面を用いると複素数相互の関係などが理解し易くなる。たとえば複

素共役�zは zの虚部の符号を変えたものであるから、点 zと点�zは実軸に対して

互いに対称な位置にある。2つの複素数 z1，z2の和 z1 + z2は、原点から２点

z1と z2 向かう 2次元ベクトルを考えたとき、その 2 つのベクトルの和が示

す点が対応する複素数である (図 1.1)。4また複素数 zの絶対値 jzjは複素平面上で、原点 (0; 0)から点 z = (x; y) までの距離である。

同じようにして 2つの複素数 z1，z2の差の絶対値 jz1 � z2jは２点 z1と z2

のあいだの距離である。このように考えると 2つの複素数 z1と z2およびその

和または差の絶対値の間に成り立つ関係

jz1 � z2j � jz1j+ jz2j (1.20)

も単に「３角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さより長い」ということに

なる。3複素数を平面上の 1点に対応させることはガウスによって行なわれた。4複素数が実 2次元ベクトル空間の点、加減算が 2次元ベクトル加減算に其々対応した。

しかし掛け算はベクトルの内積（掛け算）には対応していない。

6 第 1章 複素数と複素数の級数

図 1.1 複素平面と複素数の加算 z1 + z2.

1.2.2 平面上の図形

平面上の図形の式も複素数を用いて書くことができる。

例 1 直線の式：2次元平面上の直線は a; b; c を実数として ax + by + c = 0

と書ける。したがって複素平面上の点は、 � = a+ ib, z = x+ iy として

��z + ��z + 2c = 0 (1.21)

である。

例 2 円の方程式：点 (x0; y0)を中心として半径 a である円の方程式は (x �x0)

2 + (y � y0)2 � a2 = 0である。これは複素数 z0 = x0 + iy0と z = x+ iyを

用いて

jz � z0j2 = (z � z0)(�z � �z0) = a2 (1.22)

あるいは cを c = z0�z0 � a2である実数として

z�z � �z0z � z0�z + c = 0 (c� jz0j2 < 0) (1.23)

と書くことができる。

1.2.3 複素数の極表示

以下の式で定義されている複素数 i�の関数 ei�を導入しよう。

ei� =1Xn=0

1

n!(i�)n (1.24)

1.2 複素平面 7

これを実部と虚部に整理し、それぞれに実数の 3角関数に関するテーラー展

開の公式を用いて書き換えると

ei� =1Xn=0

1

n!(i�)n =

1Xn=0

(�1)n�2n(2n)!

+ i1Xn=0

(�1)n�2n+1

(2n+ 1)!

= cos � + i sin � (オイラーの公式) (1.25)

を得る。無限級数 (1.24)の収束性などに関しては後で議論する。

2次元平面上の点 (x; y)に対して極座標表示を用いて書いてみよう。

x = r cos �

y = r sin �: (1.26)

このときオイラーの公式により複素数 zは

z = x+ iy = r(cos � + i sin �) = rei� (1.27)

となる。

定義 8 複素数の絶対値と偏角：複素数 z = x + iy に対する r と �をもちい

た表示

z = rei� (1.28)

を複素数の極形式という。ここで rは原点 (0; 0)から点 (x; y)までの距離

r =qx2 + y2 = jzj (1.29)

を、�は x軸（実軸）から時計と反対周りに計ったベクトル (x; y)の回転角

� = arctany

x0 � � � � (mod 2�) : y � 0 ;

� < � < 2� (mod 2�) : y < 0 (1.30)

を表す。rは複素数 zの絶対値である。また�を複素数 zの偏角といい、argzと

書く。

� = argz (1.31)

しかし式（1.30）のように書いたのでは、偏角は 2�の整数倍だけの不定性が

あり一意的には定まらないので、�の値を不定性がないようにあらかじめ決め

ておく必要がある。z = 0は、絶対値が 0で偏角は不定である。

8 第 1章 複素数と複素数の級数

図 1.2 複素数の極表示.

偏角を特に�� から�（または 0から 2�）に限って示すことがある。この

ときは argの頭文字を小文字の aではなく大文字Ａを用いて Argz と表す。す

なわち (z 6= 0として)

argz = Argz + 2n� (nは適当な整数)

�� < Argz � � (1.32)

である。Argz を偏角の主値という。

極形式を用いると複素数の掛け算・割り算が幾何学的な意味を持っている

ことが理解できる。z1 = r1 exp(i�1), z2 = r2 exp(i�2)と書いたとき、掛け算は

z1z2 = r1r2 expfi(�1 + �2)g (1.33)

である。5したがって z1z2の絶対値はそれぞれの絶対値の積であり、偏角はそ

れぞれの偏角の和に等しい。

jz1z2j = jz1jjz2jarg(z1z2) = argz1 + argz2 : (1.34)

ただし、偏角 arg については注意を要する。簡単な例を考えよう。z1 = z2 =

�1 = ei� の場合、 z1z2 = 1 であるから arg(z1z2) = 0 とするのが普通か

も知れない。しかし argz1 + argz2 = 2� である。すなわち (1.34) の第 2式

5ei� = cos � + i sin �とすると ei(�1+�2) = cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2) = (cos �1 cos �2 �sin �1 sin �2) + i(sin �1 cos �2 + cos �1 sin �2) = (cos �1 + i sin �1)(cos �2 + i sin �2) = ei�1ei�2である。

1.2 複素平面 9

は arg の示す無限個の値の組が等しいということで個々の関数値としては

2n�; (n = 0� 1;�2; � � �) だけの差がある。偏角の主値については 2� を法と

して両者は等しい。

Arg(z1z2) = Argz1 +Argz2 (mod 2�) (1.35)

例 3 複素数 zに虚数単位 i = ei�=2を掛けると複素平面上で点 (x; y)は原点を

中心として�=2だけ（時計と反対周りに）回転する。一方�i = e�i�=2を掛け

ると��=2だけ回転（時計周りに�=2だけ回転）する。

1.2.4 複素数のベき乗とべき根

極表示を用いると複素数のべき乗も簡単である。nを正の整数（自然数）

として

z = rei� ! zn = rnein� (1.36)

となる。

例 4 (ei�)n = ein�と書いて左右両辺を３角関数で書くとド・モアブル (de

Moivre)の定理

(cos � + i sin �)n = cosn� + i sinn� (1.37)

が導かれる。

複素数のベき根（べき乗根）はどうなるだろうか。zの n乗根 (nは自然

数)wを考えよう。

w = z1=n ; wn = z (1.38)

z = rei� , w = �ei�として第２式両辺を比べることにより

�n = r ; ein� = ei�

を得る。ここで第 2式の指数関数の肩に乗った偏角には 2m�だけの不定性が

あることを考えると in� = i(� + 2m�)であるから

� = n

pr ; � =

�

n+

2m�

n(1.39)

10 第 1章 複素数と複素数の級数

図 1.3 べき根の分布.

となる。ただし m は適当な整数（m = 0; 1; 2; 3; � � � ; n � 1）である。m が

m � n となると m� nの場合と、複素 w-平面上の同じ点に戻ることに注意

しよう。これから zの n乗根 w = z1=nは、複素平面上で原点を中心とした半

径 n

prの円周上に等間隔に n個並んでいることが分かる。したがって n 乗根

w = z1=n は複素 z 平面上の１点を複素 w 平面上の n 個の点に対応させる n

価の多価関数（n価関数）である。

例 5 複素数 i1=2 を考える。

i1=2 = ei(�=2+2n�)=2

であるから

i1=2 = cos�

4+ i sin

�

4(n = 0); cos

5�

4+ i sin

5�

4(n = 1)

となり、

i1=2 =1p2+ i

1p2; � 1p

2� i

1p2

と書き直される。

例 6 次のような計算をしたとしよう。

1

i=

1p�1 =

p1p�1 =

s1

�1 =p�1 = i (1.40)

この結果は i2 = 1となってしまう。これはもちろん誤りだが、答案などにた

まに見かける、あまり笑ってばかりもいられない間違いである。

1.2 複素平面 11

(1) i =p�1の意味を明確に理解しよう。本書では混乱を避けるため、以後はp�1の偏角は�=2、

p1の偏角は 0と決める。一方 (�1)1=2と書いただけでは

偏角が定まらない。

(�1)1=2 =(i (偏角 �=2)

�i (偏角 3�=2)

(2)p1と (1)1=2をはっきり区別しなくてはいけない。

p1 の偏角は上の約束に

より 0である。一方

(1)1=2 =

(1 (偏角 0)

�1 (偏角 �)

である。

(3)q

1�1 =

p�1 = i は (1) に述べた意味で偏角 �=2 である。

(4) 1i= 1p�1 =

p1p�1の偏角は、0� �=2 = ��=2である。絶対値 1、偏角��=2

の複素数は�iである。べき根あるいは一般に多価関数の偏角は無造作に扱ってはならない。この例

にあげた混乱は、偏角をきちんと決めないでp1=p�1と

q1=(�1) を等しいと

考えたたために生じた。

1.2.5 複素数を使いこなすこと：交流回路と複素インピーダンス

複素数を用いるといろいろな場合に計算が簡便になりまた幾何学的な意味

もはっきりすることが多い。力学における単振動、電磁気学の交流理論など

多くの例で複素数を使うと便利なことが知られている。交流回路を考えてみ

よう。

正弦的に振動する交流起電力E = E0 cos!tを考える。回路には １つのコ

イル L, 抵抗 R, コンデンサー C が直列に継っているとしよう。回路の方程

式は電流を Iとすると

E = LdI

dt+RI +

1

C

Z t

Idt (1.41)

である。交流起電力を複素数で表せば

E = E0 cos!t =1

2E0(e

i!t + e�i!t) (1.42)

12 第 1章 複素数と複素数の級数

である。ここで

E = E+ + E�

E+ =1

2E0e

i!t

E� =1

2E0e

�i!t (1.43)

とおいて、E+, E�に対応する電流を I+, I�とする。さらに

I+ =1

2I0

+ei!t

I� =1

2I0�e

�i!t (1.44)

とおいて添字+,�のついたものについてそれぞれ式（1.41）を解くと I0�と

して

I0� =

E0

R� i!L� 1i!C

= jI0je�i� (1.45)

と求められる。ここで I0�は実数ではなく複素数でありその絶対値は等しい

（jI0+j = jI0�j = jI0j）ことに注意する。

Z = R+ i!L+1

i!C(1.46)

と定義すると E�と I�の関係は

E+ = ZI+ ; E� = �ZI� (1.47)

となり、形式的にオームの法則 E = RIと等しくなる。実際の電流は

I = I+ + I� = jI0j cos(!t+ �) (1.48)

と計算できる。Zを複素インピーダンスという。jI0jも�も（1.45）から求め

られる。

複素インピーダンスを用いると直流の場合の直列,並列に関する結合定理

やキルヒホッフの法則がそのままなり立つ。したがって複素数を用いること

によって交流回路も直流回路と形式的に同じに取り扱うことができる。

1.3 複素数の数列と級数 13

1.3 複素数の数列と級数

1.3.1 数列と極限

定義 9 数列の極限：複素数の数列 fzng (n = 1; 2; 3 � � �)を考える。これは複素平面上の点列である。この数列に対して

limn!1 jzn � cj = 0 (1.49)

が成り立つとき「数列 fzngは複素数 cに収束する」といいまた

limn!1 zn = c (1.50)

とも書く。複素数 cを数列 fzngの極限値という。収束しない数列を「発散する」という。

式（1.49）あるいは（1.50）は次のように書いてもよい。すなわち、任意

の正数 " に対して適当な自然数 N が存在し、n > N である全ての zn に対

して

jzn � cj < " (1.51)

である。

定義より

limn!1 jzn � cj = 0

,(limn!1Re(zn � c) = 0

limn!1 Im(zn � c) = 0

,(limn!1Rezn = Rec

limn!1 Imzn = Imc

である。つまり複素数列 fzngの収束は２つの実数列 fxng fyng の収束と同じである。したがって複素数列の収束判定の条件は実数列のそれと変わりが

ない。

定理 2 (数列に対するコーシーの収束判定定理) : 数列 fzngが与えられたとき、任意の正数"に対して自然数 N (")を適当に選ぶと N (")より大きい全て

の自然数 n;mに対して

jzn � zmj < " (n;m > N(")) (1.52)

14 第 1章 複素数と複素数の級数

図 1.4 複素数列 fzngの収束. 中心 c, 半径"の円内に無限個の点が存在し、円外の点は有限個.

が成り立つならば fzngは収束する。逆もまた成り立つ。式（1.52)のような

数列をコーシー (Cauchy)の基本数列 とよぶ。

この定理の条件が必要条件であることすなわち収束するならば基本数列を

なすことは容易に示すことができる。実際、fzngが cに収束するならば、任

意の正数"に対して適当な自然数 N(")が存在して n;m > N(")であるすべて

の n;mに対して

jzn � cj < "

2; jzm � cj < "

2

が成り立つ。したがって

jzn � zmj = j(zn � c)� (zm � c)j � jzn � cj+ jzm � cj < "

となる。すなわち基本数列である。これで必要条件であることが示された。

充分条件の方は以下のとおりである。複素数列 fzng が基本数列であればその実部がなす数列 fxng も虚部がなす数列 fyngもともに基本数列である。

jzn � zmj < "! jxn � xmj < " ; jyn � ymj < "

あとは fxng, fyngがそれぞれ収束することをいえばよい。実数列が基本数列をなすことがその実数列が収束する必要充分条件（実数列に対するコーシー

の収束判定定理）であること6を認めれば証明は完了する。

6実数列についての証明の核心を思い出すために jxn� xmj < ") limxn = a を示してお

1.3 複素数の数列と級数 15

定理 3 ２つの数列 fzngと fwngが収束するとき

limn!1(zn � wn) = lim

n!1 zn � limn!1wn （複号同順） (1.53)

が成り立つ。

定理 4 ２つの数列 fzngと fwngが収束するとき

limn!1 znwn = lim

n!1 zn limm!1wm (1.54)

limn!1

znwn

=limn!1 znlimm!1wm

(1.55)

が成り立つ。

これらの証明は難しくないので読者の演習にまかそう。

1.3.2 級数と級数の収束

定義 10 級数と級数の収束：

1Xm=1

zm = z1 + z2 + z3 + � � � � � � (1.56)

こう。まず xn が有界であることを示す。n > N (") であるとき任意の整数"に対して

jxn � xN j < "; xN � " < xn < xN + "

だから n > N である xn は有界である。したがって有限個の xm (m � N）を付け加えたfxng は有界である。いま任意の nに関して xn; xn+1; xn+2; � � � の上限下限を其々un, lnとおくと、

l1 � l2 � � � � � ln � � � � � � � � un � � � � � u2 � u1

である。flng;fungはそれぞれ有界単調数列ゆえ収束する。さらに

un � ln � "

であり nを充分大きくすることによって"は任意に小さくできる。以上によって ln，unは収束し、ln ! a, un ! a である aが存在する。これで

limm!1

xn = a

が示された。

16 第 1章 複素数と複素数の級数

を（複素）級数という。複素級数の部分和

Sn =nX

m=1

zm (1.57)

が Sに収束するとき「級数P1

n=1 znは Sに収束する」という。また部分和の列

fSng が発散するとき「級数P1n=1 znは発散する」という。

級数P1

n=1 znが収束するということと２つの実級数P1

n=1 xn,P1

n=1 yn が収

束するということは同等である。

定理 5 部分和に対するコーシーの収束判定定理：級数P1

n=1 znが収束するな

らば、任意の正数"に対して適当な N(") を選ぶと

jzn+1 + zn+2 + � � � � � �+ zn+pj < " (n > N(") ; p > 0) (1.58)

を満たす。逆もまた成り立つ。

zn+1 + zn+2 + � � � � � � + zn+p = Sn+p � Sn であるから、この定理は部分和

の列 fSng に関する収束判定定理の言い直しである。証明はきわめて容易であろう。

定理 6P1

n=1 znが収束するなら limn!1 zn = 0である。

収束判定定理で p = 1の場合である。

定義 11 絶対収束：級数P1

n=1 znの各項の絶対値を各項とする級数P1

n=1 jznjが収束するとき、「複素級数

P1n=1 znは絶対収束する」といい、級数

P1n=1 znを絶

対収束級数という。

定理 7 級数P1

n=1 znが絶対収束するなら級数P1

n=1 znも収束する。

一般の複素数の組 zn+1，zn+2，� � � ; zn+p に対して

jzn+1 + zn+2 + � � � � � �+ zn+pj � jzn+1j+ jzn+2j+ � � � � � �+ jzn+pj

である。級数P1

n=1 znが絶対収束なら

jzn+1j+ jzn+2j+ � � � � � � + jzn+pj < "

1.3 複素数の数列と級数 17

でありしたがって

jzn+1 + zn+2 + � � � � � �+ zn+pj � "

となる。（証明終わり）

以下に絶対収束級数に関するいくつかの定理を述べる。いずれも難しくな

いので証明は読者の演習に委ねる。

定理 8 絶対収束級数は項の順番を入れ替えても絶対収束級数であり、その値

は元の級数の和の値と同じである。

定理 9 絶対収束級数の続いている項をいくつかづつまとめて 1項として作っ

た級数も絶対収束し、その値は元の級数の和の値と等しい。

定理 10 級数Pznおよび

Pwnが絶対収束級数ならば

P(zn + wn)も絶対収束

でP(zn + wn) =

Pzn +

Pwnである。

定理 11 jznj �MnおよびPMnが収束するような非負な実数列 fMngが存在

すればPznは絶対収束する。

例 7 jzj < 1 であれば1Xn=1

zn

は絶対収束する。Mn = xn, jzj = x < 1である実数列（等比数列 xn）を考え

ればよい。

例 8

1Xn=0

zn

n!

は絶対収束する。Mn = jzjn=n!, jzj = xである実数列 ex =P1

n=0 xn=n!は絶対

収束するからである。これを ez, exp z と書く。

定理 12 級数Pznおよび

Pwnが絶対収束級数ならば其々の項の積のすべての

組み合わせ znwmをとりそれらを任意の順序で並べた級数Pznwmを考えたと

き、この級数も絶対収束しその和は其々の級数和の積に等しい。1X

n;m=1

znwm =1Xn=1

zn1X

m=1

wm (1.59)

18 第 1章 複素数と複素数の級数

最後の定理 12の証明を述べよう。級数Pznwmの部分和に含まれる添え字

n, mの最大値をK, Lとする。するとその部分和について

X jznwmj �KXn=1

jznjLX

m=1

jwmj

ところでP jznj, P jwmjは絶対収束するから上の右辺も有限である。したがっ

て部分和P jznwmjは有界で、無限級数の和P znzmは絶対収束する。これによ

り項の並べ方の順序にはよらない一定の値をとる。

例 9

ez =1Xn=1

zn

n!(1.60)

と定義し、(z1 + z2)

n

n!=

X`+m=n

zl1zm2

`!m!

に注意すれば定理 12から直ぐに

ez1+z2 = ez1ez2 (1.61)

が導かれる。

1.4 第 1章問題 19

1.4 第 1章問題

問 1. 次の複素数の計算をせよ。

(1) (2� i)2 (2) (2� i)(1 + i=2) (3) (2� i)=(1� 2i)

問 2. 複素数 z1; z2について次の式を示せ。

(1)jz1 + z2j � jz1j+ jz2j (2)jz1z2j = jz1j � jz2j

問 3. 複素平面上の 4点�; �; ; �が同一円周上にあるための必要充分条件は

��

� �

.�� �

� � �=実数

であることを示せ。（直線も円周のうちに含むとする。）

問 4. 次の複素数を極表示で表せ。

(1) (1 +p3i)4=3 (2) (1 + i)1=3

問 5. ２つの数列 zn,wnが収束するとき次の関係式を示せ。（定理３、定理４）

(1) limn!1(zn � wn) = lim

n!1 zn � limn!1wn

(2) limn!1 znwn = lim zn limwn

(3) limn!1 zn=wn = lim zn= limwn;但し lim

n!1wn 6= 0

問 6. 絶対収束級数は項の順番を入れ換えても絶対収束であり、その値は元

の級数の和に等しいことを示せ。（定理８）

問 7. 絶対収束級数の続いている項をいくつかづつまとめて１項として作った

級数も絶対収束し、その値は元の級数の値に等しいことを示せ。（定理９）

問 8.P

n znおよびP

n wnが絶対収束級数なら、P

n(zn + wn) も絶対収束級

数であり、P

n(zn+wn) =P

n zn+P

n wnであることを示せ。（定理１０）

20 第 1章 複素数と複素数の級数

問 9. jznj � MnおよびP

nMnが収束するような非負な実数列 fMng が存在すれば、

Pn znも絶対収束することを示せ。（定理１１）

問 10.

(1+z

n)n = 1+z+

nXk=2

1(1� 1

n) � � � (1�k � 1

n)zk

k!

と書けることを示し、これから

ez = limn!1(1 +

z

n)n

を導け。