ラプラス変換 - 情報制御数学 - control systems...
TRANSCRIPT
ラプラス変換情報制御数学
ラプラス変換の性質復習
微 分: s をかけること 積 分:1
sをかけること
L[dx(t)
dt] = sX(s) − x(0) L[
∫t
0
x(τ)dτ ] =1
sX(s)
� �表の世界 入力 u(t) −→ 微分方程式 −→ 出力 y(t)
↓ ↑
ラプラス変換 逆ラプラス変換↓ ↑
裏の世界 U(s) −→ 代数方程式 −→ Y (s)
� �
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
� �例題 1. x(t) + 2x(t) = 0, x(0) = 3 の解を求める.
X(s) = 31
s + 2x(t) = 3e−2t
� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0)
L[ e−at ] =1
s + a
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
� �例題 2. x(t) + 2x(t) = u(t), x(0) = 3 の解を求める.
X(s) =3s + 1
s(s + 2)=
1
2
1
s+
5
2
1
s + 2
x(t) =1
2u(t) +
5
2e−2t
� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0)
L[ u(t) ] =1
sL[ e−at ] =
1
s + a
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
� �例題 3. x(t) + 3x(t) + 2x(t) = 0, x(0) = 2, x(0) = 1 の解を求める.
X(s) =s + 5
(s + 1)(s + 2)= 4
1
s + 1− 3
1
s + 2
x(t) = 4e−t − 3e−2t
� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0) L[ x(t) ] = s2X(s) − sx(0) − x(0)
L[ e−at ] =1
s + a
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
� �例題 4. x(t) + 3x(t) + 2x(t) = u(t), x(0) = 2, x(0) = 1 の解を求める.
X(s) =s2 + 5s + 1
s(s + 1)(s + 2)=
1
2
1
s+ 3
1
s + 1−
5
2
1
s + 2
x(t) =1
2u(t) + 3e−t −
5
2e−2t
� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0) L[ x(t) ] = s2X(s) − sx(0) − x(0)
L[ u(t) ] =1
sL[ e−at ] =
1
s + a
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換� �例題 5. x(t) + 2x(t) + x(t) = 0, x(0) = 3, x(0) = 1
X(s) =s + 5
(s + 1)2=
1
s + 1+ 4
1
(s + 1)2
x(t) = e−t + 4te−t
� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0) L[ x(t) ] = s2X(s) − sx(0) − x(0)
L[ e−at ] =1
s + a
L[ te−at ] =1
(s + a)2L[
tn−1
(n − 1)!e−at ] =
1
(s + a)n
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
� �例題 6. x(t) + 2x(t) + x(t) = u(t), x(0) = 3, x(0) = 1
X(s) =s2 + 5s + 1
s(s + 1)2=
1
s+ 3
1
(s + 1)2
x(t) = u(t) + 3te−t
� �L[ x(t) ] = sX(s) − x(0) L[ x(t) ] = s2X(s) − sx(0) − x(0)
L[ u(t) ] =1
sL[ e−at ] =
1
s + a
L[ te−at ] =1
(s + a)2L[
tn−1
(n − 1)!e−at ] =
1
(s + a)n
複素積分を用いない逆ラプラス変換5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換� �例題 7. x(t) + 2x(t) + 10x(t) = 0, x(0) = −1, x(0) = 1 の解を求める.
X(s) =s + 1
s2 + 2s + 10=
s + 1
(s + 1)2 + 32
x(t) = e−t cos 3t� �
L[ x(t) ] = sX(s) − x(0) L[ x(t) ] = s2X(s) − sx(0) − x(0)
L[ e−at sin ωt ] =ω
(s + a)2 + ω2
L[ e−at cos ωt ] =s + a
(s + a)2 + ω2
ラプラス変換情報制御数学
5/20 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか5.1 ラプラス変換の定義5.2 基本的な時間関数のラプラス変換(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5/27 5.4 ラプラス変換の性質5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
6/3 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/10 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic10/
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
教科書 例題 5.10, 11 と同様のマス-バネ-ダンパ系:
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m
-
x = 0
-f(t)
x
d
k
運動方程式:
バネはのびに比例した抵抗力: kx(t)ダンパは速度に比例した抵抗力: dx(t)
mx(t) = f(t) − kx(t) − dx(t)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
運動方程式: mx(t) + kx(t) + dx(t) = f(t)
ラプラス変換して:
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s)
+ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
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x = 0
-f(t)
x
d
k
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 3, k = 2 の時の解� �
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m
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 3, k = 2 の時の解� �
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m
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
X(s) =s + 3
s2 + 3s + 2=
s + 3
(s + 1)(s + 2)= 2
1
s + 1−
1
s + 2
x(t) = 2e−t − e−2t
d = 3 6= 0: 減衰ありms2 + ds + k = 0 が, 相異なる実数根 (s = −1,−2 をもつ場合)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 0, k = 4 の時の解� �
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m
-
x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 0, k = 4 の時の解� �
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m
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
X(s) =s
s2 + 4=
s
s + 22
x(t) = cos 2t
d = 0: 減衰なしms2 + ds + k = 0 が, 虚数 (の共役) 根 (s = ±2j) をもつ場合
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解� �
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解� �
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
X(s) =s + 2
s2 + 2s + 5=
s + 2
(s + 1)2 + 4
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
X(s) =s + 2
s2 + 2s + 5=
s + 2
(s + 1)2 + 4
L[ e−at sin ωt ] =ω
(s + a)2 + ω2
L[ e−at cos ωt ] =s + a
(s + a)2 + ω2
X(s) =s + 2
(s + 1)2 + 4
=s + 1
(s + 1)2 + 22+
1
2
2
(s + 1)2 + 22
x(t) = e−t cos 2t +1
2e−t sin 2t
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式� �
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解� �
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s) +
ms + d
ms2 + ds + kx(0) +
m
ms2 + ds + kx(0)
X(s) =s + 2
s2 + 2s + 5=
s + 1
(s + 1)2 + 22+
1
2
2
(s + 1)2 + 22
x(t) = e−t cos 2t +1
2e−t sin 2t
d = 2 6= 0: 減衰ありms2 + ds + k = 0 が, 複素 (共役) 根 (s = −1 ± 2j をもつ場合)
情報制御数学
情報工学・計測工学・制御工学において必要とされる基礎的な数学手法として, 複素解析, 行列とベクトル, フーリエ解析, ラプラス変換について学習する. 定理や公式を理解するだけでなく, 例題や演習を通して問題に対する解法を習熟する.
情報制御数学
4/15, 22, 5/6 複素解析 (平田, 田中)
5/13, 20, 27, 6/3 ラプラス変換 (平田, 田中)
6/10 試験 1
6/17, 24, 7/1 フーリエ解析 (明田川, 錦)
7/8, 15, 22 行列とベクトル (明田川, 錦)
7/29 試験 2
成績評価 前半分 50 点 (宿題レポート 20 %, 試験 80 %)後半分 50 点 (宿題レポート 20 %, 試験 80 %)
複素解析情報制御数学
4/15 複素数複素数, 絶対値, 偏角, 極座標表示, Euler の公式2.1 記法, 2.2 複素数の復習, 2.5.1 指数関数, 2.5.4 対数関数
4/22 複素関数, 複素関数の微分Cauchy-Riemann の関係式, 正則関数2.3 複素関数, 2.4 複素微分と正則関数, 2.5.2 三角関数
5/6 複素関数の積分複素関数の積分, Cauchy の積分定理2.6 複素微分と正則関数
6/10 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic10/
ラプラス変換情報制御数学
5/20 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか5.1 ラプラス変換の定義5.2 基本的な時間関数のラプラス変換(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5/27 5.4 ラプラス変換の性質5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
6/3 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/10 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic10/
試 験複素解析, ラプラス変換
複素数, 複素関数 極座標表示, Euler の公式
複素関数の微分 Cauchy-Riemann の関係式
複素関数の積分 簡単な複素関数の積分
教科書 例題 5.7-11 などは, 必ず一度解いておくこと
試 験複素解析, ラプラス変換
複素数, 複素関数 極座標表示, Euler の公式
複素関数の微分 Cauchy-Riemann の関係式
複素関数の積分 簡単な複素関数の積分
ラプラス変換の定義を把握しておくと
基本的な時間関数のラプラス変換が計算できること
部分分数展開により, 微分方程式を解くことができることラプラス変換表 (表 5.1, 2, 3) を使いこなすことができること
教科書 例題 5.7-11 などは, 必ず一度解いておくこと
試 験複素解析, ラプラス変換
複素数, 複素関数 極座標表示, Euler の公式
複素関数の微分 Cauchy-Riemann の関係式
複素関数の積分 簡単な複素関数の積分
ラプラス変換の定義を把握しておくと
基本的な時間関数のラプラス変換が計算できること
部分分数展開により, 微分方程式を解くことができることラプラス変換表 (表 5.1, 2, 3) を使いこなすことができること
ラプラス変換表を暗記する必要はない
教科書 例題 5.7-11 などは, 必ず一度解いておくこと
試験 6 月 10 日, 複素解析 および ラプラス変換成績評価: レポート 20 % + 試験 80 %