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Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP

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Chapitre 2 : Etude théorique des transferts thermiques dans une

suspension chargée en MCP

2.1. EQUATIONS DE BASE 89

2.2. MODÈLES 90

2.2.1. CHALEUR LATENTE PRISE EN COMPTE PAR UN TERME SOURCE S 912.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990) 912.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000) 932.2.2. CAPACITÉ THERMIQUE ÉQUIVALENTE EN RÉGIME STATIONNAIRE 942.3. MODÉLISATION 97

2.3.1. POSITION DU PROBLÈME 972.3.2. DÉTERMINATION DU TERME SOURCE 992.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules 992.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (rc < r < Rp) 1002.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule 1012.3.2.1.3 Changement de phase 1022.3.2.1.4 Conditions aux limites 1022.3.2.2. Résolution 1032.3.2.3. Application : calcul du terme source S 1052.3.3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE 1062.4. LIMITES DU MODÈLE 110

2.4.1. EFFETS DES PARTICULES 1102.4.2. PROPRIÉTÉS PHYSIQUES 1112.4.3. CONGÉLATION 1112.4.4. GÉNÉRALISATION DU MODÈLE 1122.5. RÉSULTATS DU MODÈLE 112

2.4.2. PROPRIÉTÉS DU FLUIDE 1122.4.3. MAILLAGE 1132.4.4. CAS DE RÉFÉRENCE 1142.5.4.1. Profil de vitesses 1142.5.4.2. Profil de concentration 1142.5.4.3. Profil de températures 1152.4.5. INFLUENCE DE LA VITESSE 1172.4.6. INFLUENCE DE LA TAILLE DES PARTICULES 1172.4.7. INFLUENCE DE LA CONCENTRATION 1202.4.8. INFLUENCE DU DEGRÉ DE SURFUSION 1222.4.9. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE DE PAROI 123


88


89

Dans ce chapitre, nous analysons de manière locale les transferts de chaleur des fluides

frigoporteurs diphasiques en écoulement laminaire lors d’un refroidissement afin de mettre au

point un modèle. Nous présentons, dans un premier temps, trois modèles de la littérature qui ont

une approche différente du problème avant de présenter notre propre approche. Des hypothèses

restrictives ont du être posées pour résoudre le système d’équations. Les limites de cette

modélisation sont donc exposées. Pour finir, les résultats obtenus en faisant varier certains

paramètres importants, comme la taille des particules, leur concentration, la température de

paroi, le degré de surfusion, … sont présentés.

2.1. Equations de base

Les équations locales nécessaires à cette étude sont :

− la conservation de la masse pour calculer la vitesse :

0=udiv&

(2-1)

− la quantité de mouvement, qui permet d’associer le gradient de pression à la vitesse.

Cette équation découle des équations de Navier-Stokes :

( ) uPuut

u &

&

&

&

&

&

∆+∇−=

∇+ µ

∂∂ρ *. (2-2)

avec P* la somme de la pression statique et de la gravité : P* = P + wz .

− la conservation de l’énergie pour calculer la température :

( ) STkdivTut

TCp fff

f +∇=

∇+

&&

&

.∂

∂ρ (2-3)

le terme de gauche représente l’inertie thermique du fluide et le transport de cette

énergie (dérivée convective), et les termes de droite, le flux de chaleur diffusée (loi de

Fourier) et S, une source ou un puits de chaleur au sein du fluide.

− l’équation de transport d’un constituant :

0. =∇∇−∇+ vpvv cDcut

c &&&

&

∂∂

(2-4)

avec cv la concentration volumique en particules et Dp, la diffusivité de la particule

dans le fluide porteur.

Cependant la particularité de cette étude provient de la présence de particules en suspension.

Lorsqu’elles se congèlent, elles absorbent de l’énergie sous forme de chaleur latente. L’équation

de conservation de l’énergie est modifiée. Cette énergie est prise en compte :


90

− soit par l’ajout d’un terme source S qui est le produit du taux de chaleur absorbée par

particule par le nombre de particules par unité de volume de frigoporteur ;

− soit en utilisant une capacité thermique équivalente prenant en compte la chaleur

latente absorbée par les particules.

2.2. Modèles

La littérature proposent de nombreux modèles. Trois d’entre eux sont présentés ci-dessous. Ils

sont intéressants par leur approche différente du problème. Charunyakorn et al. (1990) et Royon

et al. (2000) introduisent un terme source dans l’équation de l’énergie. Les premiers abordent le

problème de manière locale en étudiant les transferts autour et au sein de la particule alors que

les seconds préfèrent une approche plus phénoménologique devant la difficulté à évaluer

localement tous les paramètres des échanges entre la particule et le fluide porteur. Alisetti et

Roy (2000) n’utilisent pas de terme source mais ils déterminent une capacité thermique

équivalente et considèrent que la congélation des particules ne se fait pas à la température de

fusion mais s’étale sur une plage de température.

Le problème étant complexe, très généralement des hypothèses simplificatrices sont posées afin

de résoudre les équations de transfert de chaleur. Elles ont également été faites par les auteurs

dont les travaux sont étudiés ici :

− l’écoulement est permanent, laminaire et incompressible ; les propriétés du

mélange sont constantes (à quelques exceptions près) ;

− l’hydrodynamique de l’écoulement est supposée complètement développée ;

− les particules rentrent dans la section d’essais à l’état liquide ;

− la dissipation visqueuse est négligée dans l’équation de l’énergie ;

− le fluide est newtonien ;

− les particules sont des sphères rigides et inertes avec une densité proche de celle du

fluide porteur ;

− l’épaisseur de paroi d’encapsulage est suffisamment fine pour considérer que la

totalité de la particule participe au changement de phase.

Ces hypothèses ne sont toujours pas justifiées mais elles sont indispensables à la résolution

relativement simple du problème.


91

2.2.1. Chaleur latente prise en compte par un terme source S

2.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990)

L’équation de l’énergie tient compte d’un terme source S provenant de la congélation des

particules. En régime stationnaire, elle s’écrit :

( ) STdivkTuCpfsafss+∇=∇

&&

&

.ρ (2-5)

NS pϕ=

34

3

p

v

R

cN

π=

avec Tf, la température du milieu fluide, ϕp, le taux de chaleur généré par particule, N, le nombre

de particules par unité de volume, Rp le rayon de la particule, cv la concentration volumique en

particules et ksa la conductivité apparente du mélange qui tient compte des effets micro-

convectifs (elle est calculée par l’équation (1-27), (1-28) ou (1-29), suivant le nombre de

Péclet).

Dans leur modèle Charunyakorn et al. ont étudié des microcapsules de 5 à 200 µm de diamètre.

Ils ont évalué le taux de chaleur généré par particule par la solution asymptotique de la

congélation d’une sphère [Tao – (1967)] :

( )p

c

p

c

fcpp

Rr

Bi

rTTk

−−

−=1

11

4πϕ (2-6)

avec rc la position de l’interface solide/liquide au sein de la particule, Tc la température de

congélation et Tf la température du fluide porteur. La conductivité de la particule, kp est prise

constante quel que soit l’état des particules.

Le nombre de Biot, Bip compare les échanges convectifs entre la paroi de la particule et la phase

porteuse (hpf) avec les échanges par conduction au sein de la particule (p

p

R

k) :

p

ppf

p k

RhBi = (2-7)

Le nombre de Nusselt, pour une sphère submergée, sans mouvement relatif par rapport à la

phase porteuse, est égal à 2 (Bird et al. – 1960). Ainsi :


92

p

f

pf

ppf

k

kBi

k

RhNu =⇒== 2

2

Cependant, les particules soumises aux contraintes de cisaillement en paroi sont en rotation sur

elles-mêmes et engendrent des effets micro-convectifs qui améliorent les échanges convectifs.

Ces auteurs prennent en compte ces effets en ajoutant au nombre de Biot un terme

supplémentaire dépendant de la concentration volumique :

( )

+−

−=

vv

v

p

f

p

cc

c

k

kBi

3

1

32

12(2-8)

L’évolution du front de congélation d’une particule unique est déterminée par l’équation de

conservation de l’énergie :

( ) ∫=−t

ppcpdtHrR

0

33

34

ϕρπ (2-9)

avec H la chaleur latente du MCP contenu dans la particule. Le membre de gauche de cette

équation représente l’énergie dégagée par le changement de phase au sein de la particule et le

membre de droite la quantité totale de la chaleur transmise par la particule au fluide

environnant. En remplaçant ϕp par l’expression donnée dans l’équation (2-6), l’équation (2-9)

peut être réarrangée pour donner :

( )3

1

0

3

111

3

−−

−−= ∫t

p

c

p

c

fcp

p

pcdt

Rr

Bi

rTT

H

kRr ρ (2-10)

Puisque la convection naturelle est négligeable dans des sphères de petites tailles, le transfert de

chaleur est essentiellement conductif. Ainsi, dans le cas de petites sphères, la solution de cette

équation, obtenue initialement dans le cas de la congélation, reste valable dans le cas de la

fusion. Des travaux expérimentaux, pour vérifier ce modèle dans le cas de la fusion des

particules, ont été réalisés par Goel et al. (1994) et Roy et al.(1997). Ces auteurs montrent que

les résultats expérimentaux sont en accord qualitativement avec les prédictions théoriques mais

ils trouvent des différences significatives quantitativement. Quatre facteurs peuvent être à

l’origine de ces déviations :

− la température de la suspension est légèrement inférieure à la température de

fusion en entrée des sections d’essais ;


93

− le changement de phase se fait sur une plage de température et non à la

température de fusion ;

− les suspensions ne sont pas parfaitement homogènes ; elles ont des problèmes de

flottabilité des particules et des problèmes de migration radiale ;

− la paroi des particules est une résistance thermique aux transferts de chaleur.

Concernant les deux derniers facteurs, Goel et al. ont étudié des microcapsules de résine

renfermant 70 % de n-eicosane en suspension dans de l’eau. Pour éliminer les phénomènes de

flottabilité, ils ont rajouté de l’alcool dans l’eau. Ainsi ils ont mis en évidence que les effets de

différence de densités sont négligeables. Roy et al. ont étudié une émulsion de n-octodécane

(dp<10 µm) dans de l’eau s’écoulant dans un cylindre. En comparant leurs résultats

expérimentaux avec les prévisions du modèle théorique, ils ont mis en évidence que les effets de

paroi des microcapsules sont faibles (de l’ordre de 5-10 % ou moins). Les différences entre les

résultats expérimentaux et le modèle viennent donc très probablement de l’étalement en

température du changement de phase. Dans le modèle, l’équilibre thermique est supposé établi

alors que ce n’est pas le cas expérimentalement.

2.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000)

Royon et al. ont étudié le comportement thermique de particules millimétriques dispersées dans

une phase liquide. Le fluide est disposé dans un réacteur agité immergé dans un bain

thermostaté maintenu à température constante, Tb. L’originalité de leur modèle repose sur une

approche phénoménologique du changement de phase qui consiste à introduire le nombre de

Stefan, défini par l’expression :

( )H

TTCpSte

fcp −= (2-11)

Le nombre de Stefan est une fonction du temps puisque la température du fluide, Tf est

dépendante du temps. La taille des particules étant millimétrique, il n’est pas possible de

considérer leur isothermie pendant toute la durée du changement de phase. L’échelle de temps

pour le transfert de chaleur est introduite au moyen de la diffusivité thermique α et de la

dimension caractéristique d’une particule définie à partir du rapport volume surface, soit pour

une particule sphérique, Rp/3.

Royon et al. posent l’hypothèse que la quantité de chaleur perdue par une particule pendant un

intervalle de temps dt correspond à :


94

( ) dtR

Stefq

dq

pp

p

2

3

−= α

(2-12)

avec qp la quantité de chaleur latente d’une particule à l’instant t. En tenant compte de la

solution de référence du problème de Stefan ( SteAStef =)( ), avec A une constante, cette

expression devient :

( )dt

RH

tTTCpA

q

dq

p

fcp

p

p

2

3

)(

−−= α

(2-13)

Si chaque particule libère le même flux de chaleur pendant l’intervalle de temps dt, le flux total

de chaleur dq libéré par n particules, s’écrit :

pdqndq = (2-14)

Pour la phase liquide, le bilan thermique s’écrit :

( ) ( )bfp

p

fcpf

ff TThSqRH

tTTCpnA

dt

dTCpm −−

−=

2

3

)( α(2-15)

avec h le coefficient d’échange entre le fluide porteur et le bain thermostaté et mf la masse de

fluide porteur contenue dans le réacteur agité. Les équations (2 –13) et (2-15) forment un

système de deux équations non-linéaires de premier ordre avec pour inconnues qp(t) et Tf(t). Les

conditions initiales sont qp(0) = qi et Tf(0) = Tc, où qi est la quantité de chaleur latente d’une

particule. Ces équations étant non-linéaires, les auteurs les ont résolues numériquement en

utilisant la méthode des éléments finis.

Leurs résultats numériques et expérimentaux sont superposables, ce qui valide leur approche

théorique dans le cadre de ces suspensions de particules millimétriques. Pour un type de

suspension donné et des conditions de transfert données, leur modèle offre la possibilité

d’évaluer l’influence de la fraction massique en particules et de la température de paroi du

réacteur agité.

2.2.2. Capacité thermique équivalente en régime stationnaire

Le problème peut être abordé différemment. Au lieu d’ajouter un terme source à l’équation de

l’énergie pour prendre en compte le changement de phase, Alisetti et Roy (2000) utilisent une


95

capacité thermique équivalente. Cette approche du problème permet de considérer que le

changement de phase se fait sur un intervalle de température [T1 ; T2] et non à une température

de fusion donnée.

Ils ont étudié la fusion de microcapsules dans une conduite cylindrique à température de paroi

constante, Tw. Le fluide rentre dans la section chauffée à une température Ti égale ou inférieure à

la température de fusion.

L’équation de l’énergie s’écrit :

( ) )(. TkdivTuCp sass ∇=∇&&

&ρ (2-16)

La conductivité thermique ksa est fonction de la position radiale pour prendre en compte les

effets micro-convectifs. Suivant le nombre de Péclet, elle est calculée avec les équations (1- 27),

(1- 28) et (1-29). Dans une conduite cylindrique, pour un écoulement laminaire établi, la vitesse

suivant l’axe de l’écoulement s’écrit :

−=

2

0

12)(R

rUru (2-17)

avec U la vitesse moyenne. L’équation (2-16) s’écrit alors :

∂∂

∂∂=

∂∂

−

r

Trk

rrx

T

R

rUTCp sass

11)(2

2

0

ρ (2-18)

La capacité thermique équivalente doit être déterminée avec précaution car c’est l’originalité de

ce modèle. Dans un premier temps, la capacité thermique Cpp0 du MCP sous forme solide ou

liquide est supposée égale. Par conséquent, en l’absence de changement de phase, la capacité

thermique de la suspension, Cps0, est calculée en utilisant la concentration massique en MCP,

cm :

fmpms CpcCpcCp )1(00 −+= (2-19)

avec )1( vfvp

vp

m cc

cc

−+=

ρρρ

Pendant le changement de phase, la capacité thermique équivalente de la particule est fonction

de la température et est reliée à sa chaleur latente, H par l’équation suivante :

dTTCpHT

T p)(

2

1∫= (2-20)


96

La fonction Cpp(T) dépend du processus du changement de phase. Ne connaissant pas, a priori,

l’allure de cette fonction, Alisetti et Roy ont étudié quatre fonctions différentes, pour voir si leur

forme affecte les transferts thermiques.

Les fonctions carrées et sinusoïdales représentent une distribution symétrique de la capacité

thermique équivalente et les fonctions triangulaires orientées à gauche ou à droite, une

distribution asymétrique. Ces fonctions ont été choisies pour leur relative facilité à être intégrées

dans un modèle numérique. Elles sont représentées Figure 2-1.

Figure 2-1 : Variation de la capacité thermique équivalente de la particule en fonction de la température :quatre fonctions de distribution de la capacité thermique avec une surface équivalente et une largeur

constante

La capacité thermique de la suspension Cps lorsqu’il y a un changement de phase est calculée

par l’équation suivante :

fmpms CpcTCpcTCp )1()()( −+= (2-21)

En introduisant la fonction de la capacité thermique dans l’équation de l’énergie et en

adimenssionnant les variables, les équations obtenues dépendent de quatre paramètres :

− le nombre de Stefan ;

− l’intervalle de température où a lieu le changement de phase

−−

iw TT

TT 12 ;

− le degré de surfusion

−−

iw

i

TT

TT1 ;

Cpp0 Cpp0

T1 T2

Cpp

Fonction carré

Fonction sinusoïdale

Fonction triangulaire gaucheFonction triangulaire droite

Domaine de fusion

T


97

− le rapport des capacités thermiques

0s

pm

Cp

Cpc.

Les résultats du modèle montrent, dans un premier temps, que l’allure de la fonction de Cps(T) a

une faible influence sur le transfert thermique. Ainsi la nature exacte du processus de

changement de phase n’est pas importante pour la modélisation. Le nombre de Stefan, lorsqu’il

est inférieur à 10, est le paramètre le plus influent. Pour des valeurs supérieures, les transferts

thermiques dépendent principalement des effets micro-convectifs.

Le degré de surfusion est également un paramètre important : les transferts thermiques

augmentent lorsque le degré de surfusion diminue.

L’intervalle de températures où s’effectue le changement de phase a un impact moins important

que les deux premiers paramètres. Les transferts thermiques restent inchangés pour

3,00 12 <−−

<iw TT

TT.

Le dernier paramètre, le rapport des capacités thermiques, n’affecte pas les caractéristiques du

transfert thermique de manière significative.

Comme observé par Goel et al. l’augmentation des transferts thermiques n’est pas aussi

importante que celle prédite par le modèle de Charunyakorn et al. où le degré de surfusion et

l’intervalle de températures nécessaire au changement de phase étaient négligés.

2.3. Modélisation

Au sein du GRETh, un logiciel a été développé (TRIO) qui permet une modélisation fine des

phénomènes thermo-hydrauliques dans une géométrie 3D. Il résout les équations de Navier-

Stokes, l’équation de transport d’un constituant et l’équation de conservation de l’énergie. Ce

logiciel permet d’introduire facilement un terme source à l’équation de l’énergie mais ne permet

pas de faire varier les propriétés physiques de la suspension. Par conséquent, nous nous sommes

orientés vers un modèle où la chaleur latente est prise en compte par un terme source et nous

nous sommes inspirés des travaux de Charunyakorn et al. (1990). Cependant, pour améliorer

leur modèle, nous avons introduit le phénomène de surfusion et la possibilité d’un étalement en

température au cours du changement de phase.

2.3.1. Position du problème

Le modèle a été programmé et testé pendant la période où la première section d’essais devait

être usinée. Par conséquent, c’est cette géométrie qui a été étudiée (cf. chapitre 3). Elle est


98

représentée sur la Figure 2-2. Le fluide chaud circule dans un canal rectangulaire de 170 mm de

large et 1,5 m de long. L’épaisseur étudiée dans le modèle est de 5 mm. Les échanges de chaleur

se font avec les deux parois prises dans la largeur du canal qui sont à température constante. Les

parois prises dans l’épaisseur du canal sont adiabatiques.

Figure 2-2 : Schéma du contexte de l'étude

Pour simplifier le problème, la suspension est considérée comme un milieu homogène

équivalent et ses propriétés physiques, lorsque les particules ne changent pas de phase, sont

calculées avec les équations (1-24) pour la masse volumique, (1-25) pour la capacité thermique

et (1-26) pour la conductivité thermique d’une suspension au repos. Pour prendre en compte les

effets micro-convectifs, la conductivité apparente est calculée par l’équation (1-29). Pour des

concentrations en particules inférieures à 15 %, les différentes corrélations proposées dans la

littérature pour calculer la viscosité donnent le même ordre de grandeur. Celle utilisée est celle

de Vand (1945) (Tableau 1-2).

Les particules sont des sphères, de rayon Rp, homogènes lorsqu'elles sont monophasiques,

plongées dans un liquide de température Tf.

Le thermogramme théorique de cette suspension lorsqu’elle est soumise à un refroidissement est

représenté sur la Figure 2-3 et se divise en quatre phases. Initialement les températures des

particules et du fluide sont équivalentes et supérieures à Tc. Au contact des parois froides, la

suspension se refroidit jusqu'à atteindre (Tc-∆Tsurf) [Phase 1]. Les particules et le fluide sont

toujours à la même température (l'inertie que peut avoir un milieu sur l'autre en raison des

différences de diffusivité n'est pas prise en compte). Le terme ∆Tsurf représente le degré de

Coupe AA

z

x = 170 mm2b = 5 mm

Profils detempérature

Fluide frigoporteurA

A

Paroi froide

Paroi adiabatique


99

surfusion. Effectivement, le changement de phase ne débute pas à Tc mais à une température

inférieure en raison des difficultés à initialiser la nucléation des cristaux [Phase 2]. Par contre,

dès que les premiers cristaux apparaissent, la chaleur latente libérée entraîne une remontée en

température jusqu’à Tc. Si la puissance froide apportée par le fluide froid est supérieure à la

chaleur latente, la suspension continue à refroidir doucement et le changement de phase a lieu

sur un intervalle de températures [Phase 3]. Une fois la totalité des particules congelées, la

suspension est de nouveau considérée comme un milieu homogène qui se refroidit en stockant

du froid par chaleur sensible [Phase 4].

Les particules sont considérées comme suffisamment petites pour négliger la convection interne.

Figure 2-3 : Evolution théorique des températures du fluide porteur lors du refroidissement d'unfrigoporteur à changement de phase

2.3.2. Détermination du terme source

La détermination du terme source est inspirée des travaux de Charunyakorn et al. Quelques

améliorations sont apportées sur la mise en équations des transferts de chaleur au niveau des

particules, notamment sur la prise en compte de la surfusion et sur l’évaluation du coefficient

d’échange entre la particule et la paroi.

La congélation au sein d'une sphère est un problème indépendant de celui des transferts de

chaleur dans le fluide, mais les deux sont couplés par la température du fluide.

2.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules

Les mécanismes de transfert ont lieu entre le fluide porteur et les particules (convection forcée)

et au sein des particules (conduction).

temps

Ti

Tc

Tc-∆Tsurf

Phase 1

Phase 2

Phase 3

Phase 4

Ts


100

Les parois des plaques commencent à être réfrigérées en z = 0. Les hypothèses suivantes sont

posées :

• le fluide est incompressible et newtonien. l'écoulement est permanent et laminaire ;

• le fluide diphasique rentre dans l’échangeur à une température homogène, supérieure

à la température de fusion du MCP. Les particules sont entièrement liquides ;

• les particules sont des sphères rigides dont le volume est constant ;

• la densité des particules est uniforme même près des parois. En réalité, à proximité

des parois, dans la zone de cisaillement il y a moins de particules sur une épaisseur de

l'ordre du diamètre des particules. En fonction de l'écartement des plaques et du

diamètre de particules choisi, cette hypothèse est plus ou moins justifiée.

2.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (rc < r < Rp)

Pour éviter de surcharger l’écriture, on prendra T pour la température des particules et Tf pour la

température du fluide porteur. Le raisonnement se fait sur une tranche dr de la particule, comme

indiqué sur la Figure 2-4.

Figure 2-4 : Particule diphasique

L'équation de l'énergie, dans la partie déjà congelée de la particule, est :

( )t

TCpdrrdrrr ppes ∂

∂=+− 222 444 πρϕπϕπ

t

TCpdrrrdrrr ppees ∂

∂=−− 222 42444 πρϕπϕπϕπ avec 22 rdr <<

or r

ps r

Tk

∂∂−=ϕ

drrpe r

Tk

+

∂∂−=ϕ

drϕe

ϕs

Rp

r

MCP solide

MCP liquiderc


101

donc ( ) rr

Tk

r pes ∂

∂∂

∂∂=− ϕϕ

d’où t

TCpdrr

r

Tkdrrr

r

Tk

rr pppp ∂

∂=

∂∂+∂

∂∂

∂∂ 22 2 ρ

Le logiciel TRIO ne permettant pas de faire varier la conductivité de la particule en fonction deson état, celle-ci est donc prise constante. L'équation de l'énergie s'écrit alors :

r

T

rCp

k

r

T

Cp

k

t

T

pp

p

pp

p

∂∂+

∂∂=

∂∂ 12

2

2

ρρ(2-22)

2.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule

Le transfert de chaleur entre le fluide porteur et la paroi de la particule se fait par convection

forcée. Pour une sphère individuelle, le nombre de Nusselt est calculé par la relation donnée par

Chandarana et al. [cité par Ahmad et al. (1999)] :

89,06,12 Pr1082,222

pf

ppf

pf Rek

RhNu −×+== avec

s

gsp

p

Ud

µρ

=Re et s

ss

k

Cp µ=Pr (2-23)

Cette relation est valable pour : 1,23 ≤ Rep ≤ 27,38 et 9,74 ≤ Pr ≤ 376,2.

La vitesse, Ug utilisée dans le calcul du nombre de Reynolds est la vitesse de glissement entre le

fluide porteur et la particule. Les particules étant plus lourdes que la phase porteuse et la

suspension s’écoulant verticalement vers le bas, les particules descendent plus vite. Dans notre

étude, le régime de sédimentation étant celui d’Allen, la vitesse de glissement se calcule par la

relation :

( )[ ]29,043,0

14,171,0

54,6 ss

pspg

dgU

ρµρρ −

= (2-24)

Dans le cas d’une sédimentation collective, l’interaction des particules entre elles ralentit leur

vitesse de glissement. Celle-ci est prise en compte en utilisant les propriétés physiques de la

suspension au lieu de celle du fluide pour calculer les nombres adimenssionnels et Ug.

On écrit ensuite que le flux convectif apporté par le fluide porteur est égal au flux conductif à

l'intérieur de la particule

( )pRr

pfpf rT

kTTh=

∂∂

−=−


102

( )TTk

h

rT

fp

pf

Rr p

−=

∂∂

=

(2-25)

2.3.2.1.3 Changement de phase

A r = r c, au niveau du front de solidification, le flux de chaleur apporté pendant un temps dt est

utilisé intégralement pour le changement de phase (il n'y a pas de flux sortant). Il permet une

progression du front de solidification de drc :

Hdrrdtr ccpec22 44 πρϕπ =

Hdt

dr

p

ec

ρϕ

=

En fonction de la position du front, le flux, ϕe est de différente nature. Au commencement du

changement de phase, pour rc = Rp, le flux est apporté par convection par le fluide porteur :

( )fRrpfe TThpc

−−= =ϕ

Le changement de phase débute à surfcRr TTT pc ∆−== . Ainsi, la variation du rayon de la partie

liquide de la particule est :

( )fsurfcp

pfc TTTH

h

t

r−∆−−=

∂∂

ρ(2-26)

Ensuite, lorsque le changement de phase a lieu au sein de la particule (rc < Rp) le flux entrant est

apporté par conduction dans la partie déjà congelée :

crpe r

Tk

∂∂−=ϕ

d'oùcrp

pc

r

T

H

k

t

r

∂∂−=

∂∂

ρ(2-27)

2.3.2.1.4 Conditions aux limites

Initialement, les particules sont toutes liquides : t = 0, r = Rp

Au niveau du front de solidification, r = rc, le phénomène de surfusion ne disparaît qu'après la

formation de plusieurs cristaux. Ceci est pris en compte en considérant que la congélation dans

le cas de la surfusion a lieu sur une plage de variation de rc (Rp-∆Rsurf < r c <Rp) :

T=Tc-∆Tsurf lorsque Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp,


103

Dans le reste de la particule, lorsque rc ≤ Rp-∆Rsurf le front de solidification est à la température

de congélation, Tc.

2.3.2.2. Résolution

Pour résoudre ces équations, il faut distinguer le cas où le changement de phase se fait à Tc-

∆Tsurf (Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp) et le cas où il se fait à Tc (rc≤ Rp-∆Rsurf). Pour pouvoir écrire des

équations adimensionnelles qui soient toujours valables, il suffit d'utiliser deux types de

variables adimensionnelles suivant le cas.

− Dans le cas de la surfusion (Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp) :

( )ppp

fsurfcp

fc

fsurf

R

rr

HR

TTTktt

TT

TTTT =

−∆−=

−−∆+

= *

2

**

ρ

L’équation (2-22) devient :

( )( ) ( ) ( )*

*

*22*

*2

2*

*

2

2

r

T

rR

TT

Cp

k

r

T

R

TT

Cp

k

t

TTT

HR

TTTk

p

fc

pp

p

p

fc

pp

p

fc

pp

fsurfcp

∂∂−

+∂∂−

=∂∂−

−∆−ρρρ

soit après simplification :

( )*

*

*2*

*2

*

* 2

r

T

rr

T

t

T

H

TTTCp fsurfcp

∂∂+

∂∂=

∂∂−∆−

En posant ( )

H

TTTCpSte fsurfcp −∆−

= , on obtient :

*

*

*2*

*2

*

* 2

r

T

rr

T

t

TSte

∂∂+

∂∂=

∂∂

pour rc* < r* < 1 (2-28)

L’équation (2-26) valable pour rc* = r* = 1, donne sous forme adimensionnelle :

( ) ( )fsurfcpp

fpfc

pp

fsurfcpp TTTHR

kNu

t

r

HR

TTTkR−∆−−=

∂∂−∆−

ρρ 2*

*

2

soit après simplification :p

fpfc

k

kNu

t

r

2*

*

−=∂∂

(2-29)


104

− Dans les autres cas (rc≤ Rp-∆Rsurf), les variables adimensionnelles sont :

( )ppp

fcp

fc

f

R

rr

HR

TTktt

TT

TTT =

−=

−−

= *

2

**

ρ

L’équation (2-22) devient :

12 **

*

*

*2*

*2

*

*

<<+= rrpourr

T

rr

T

t

TSte c∂

∂∂

∂∂∂

avec ( )fc

pTT

H

CpSte −=

On retrouve bien la même expression que l’équation (2-28).

L’équation (2-25), valable lorsque rc* < 1 et r* = 1 devient :

( ) ( )fcpp

fpf

p

fc TTTkR

kNu

r

T

R

TT−−=

∂∂−

*

*

*

2

soit après simplification : *

*

*

2T

k

kNu

r

T

p

fpf−=∂∂

(2-30)

L’équation (2-27), valable lorsque r* = rc* devient :

( ) ( )crp

fc

p

pc

pp

fcp

r

T

R

TT

H

k

t

r

HR

TTk

∂∂−

−=∂∂−

ρρ *

*

soit après simplification :*

*

*

*

r

T

dt

drc

∂∂= (2-31)

Les conditions limites sont :

111 **** ≤<∆

−== cp

surf

c rR

RetrrpourT (2-32)

01 ** == tpourr (2-33)

Pendant le changement de phase de la particule, la température du fluide est proche de la

température de congélation. Ainsi la chaleur sensible est faible devant la chaleur latente ; le

nombre de Stefan, Ste, peut être considéré comme nul (pour le gel organique étudié à l’état

liquide, 013,0<H

Cpp K-1). L'équation de conduction dans la partie solide de la particule [éq. (2-

28)] devient une équation différentielle du second degré :

02

*

*

2*

*2

=+dr

dT

rdr

Td

En posant, *

*

dr

dTy = , cette équation devient,

*2dr

rydy

−= qui, après résolution, en prenant

comme condition limite l’équation (2 –30), donne :


105

2**

1*

12

rT

y

kNu

k

rfpf

p −==

En remplaçant y, on obtient :

2*

**

*

1*

2

r

drdT

kNuT

k

fpfr

p −==

La résolution de cette équation donne :

Ar

TkNuT

k

fpfr

p +==

**

*

1*

12

avec A une constante d’intégration. *1* =r

T et A sont déterminés en utilisant comme conditions

limites (2–32) et *

1**

==

rTT pour r*=1 et 1

*

=T pour r*= r c* :

+

==

Ar

kNu

kT

c

fpf

p

r

*

*

1*1

12 et 1

2−=

fpf

p

kNu

kA

En remplaçant les valeurs trouvées pour *

1* =rT et A et en simplifiant l’expression, on obtient :

*

*

*

*

12

1

11

cfpf

p

c

rkNu

kr

r

T

−+

−−= (2-34)

En introduisant cette relation dans l’équation (2-31) on obtient :

*

*

*

*

12

1

1

cfpf

p

cc

rkNu

k

r

dt

dr

−+

−= (2-35)

La résolution de cette équation différentielle, en utilisant l’équation (2-33) comme condition

initiale donne :

−

−+

−= 1

2

3

1

2

13*2*

*

fpf

pcc

kNu

krrt (2-36)

2.3.2.3. Application : calcul du terme source S

Les particules créent dans le fluide une source S qui vaut :


106

dt

drrH

R

c

dt

drrHNNS c

cp

p

vccpp

2

3

2 34 ρπρϕ −=−==

où ϕp est l'énergie fournie (ou absorbée) par une particule par unité de temps, N la densité

volumique de particules, et 3

3

4pv RNc π= la fraction volumique occupée par les particules.

Après adimensionnement, le terme source s'écrit :

− dans le cas de la surfusion :

*

*)(

dt

drHR

TTTk

dtdr

c

pp

fsurfc

p

c

ρ−∆−

= (2-37)

( )*

*2*

2

3

dt

drrTTTk

R

cS c

cfsurfcp

p

v −∆−−= (2-38)

En introduisant l’équation (2-35) dans l’équation (2-38) on obtient :

( )fsurfc

p

pfv TTTR

hcS −∆−=

3pour rc = Rp (rc

* = 1) (2-39)

( )

−+

−∆−=

cppf

p

p

cfsurfcp

p

v

rRh

kR

rTTTk

R

cS

1

32

pour Rp-∆Rsurf < r c < Rp (2-40)

− pour les autres cas :

*

*)(

dt

drHR

TTk

dtdr

c

pp

fc

p

c

ρ−

= (2-41)

( )*

*2*

2

3

dt

drrTTk

R

cS c

cfcp

p

v −−=

( )

−+

−=

cppf

p

p

cfcp

p

v

rRh

kR

rTTk

R

cS

1

32

pour rc < Rp-∆Rsurf (2-42)

2.3.3. Traitement numérique

Dans un premier temps, seules les équations de Navier-Stokes sont résolues afin d'établir le

profil des vitesses et des pressions. Ce n'est qu'une fois que le régime hydraulique est établi, que


107

l’équation de l’énergie est résolue. Les informations concernant les propriétés physiques sont

données dans le paragraphe 2.4.2.

La résolution des équations locales se fait par intégration à l'aide du théorème de Gauss sur des

volumes de contrôle pour aboutir à des équations macroscopiques de bilan.

Les variables principales ne sont pas situées au même point, c'est la technique du maillage

décalé.

Les équations de bilan sont discrétisées de manière semi-implicite, c'est-à-dire qu'elles sont

discrétisées :

• en temps, de manière standard en utilisant le schéma d'Euler du premier ordre ;

• en espace en utilisant deux types de schéma numérique. L'équation de continuité

est discrétisée de manière implicite (instant n+1), tandis que, dans les équations de

quantité de mouvement, le gradient de pression est discrétisé au temps (n+1) (implicite)

et les autres termes (vitesse, flux diffusifs et convectifs) au temps (n) (explicite).

La vitesse au temps (n) est éliminée des équations de quantité de mouvement et de continuité de

manière algébrique afin d'obtenir un système linéaire en pression qui est résolu directement ou

itérativement. Le champ de pression ainsi calculé est réinjecté dans l’équation de quantité de

mouvement pour déterminer le champ de vitesse. Ce champ de vitesse, une fois que les calculs

ont convergé, est ensuite utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer le champ de

température.

Les termes convectifs et diffusifs des équations sont estimés de manière explicite. Il en résulte

des limitations du pas de temps de calcul. L'analyse de Fourier donne une expression du pas de

temps optimum à utiliser pour s'assurer d'une bonne stabilité.

Le terme source dans l’équation de l’énergie est calculé suivant l’organigramme présenté dans

la Figure 2-5. L’utilisateur fixe les propriétés physiques de la suspension. Le degré de surfusion

(∆Tsurf) et l’épaisseur de particule où a lieu la surfusion(∆Rsurf) sont choisis de manière

arbitraire. L’évolution du rayon du front de congélation rc dépend de deux phénomènes :

− du changement de phase, pris en compte dans le terme drc2. Il est calculé à partir de

l’équation (2-37) dans le cas de la surfusion et l’équation (2-41) dans les autres cas ;

− du transport de la particule, pris en compte dans le terme drc1. La particule qui change

de phase vient de la maille précédente. Comme elle a passé moins de temps dans

l’échangeur, son front de fusion a un rayon plus important.

Les paramètres ∆X, ∆Y et ∆Z utilisés dans l’organigramme sont les dimensions d’une maille.


108

A chaque pas de temps, le rayon de congélation et le terme source sont calculés pour

chaque maille. Le terme source trouvé est utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer

la température du fluide. Le calcul passe ensuite au temps suivant et rc et S sont de

nouveau calculés avec cette nouvelle température du fluide. rc old est le rayon du front de

fusion au pas de temps précédent.


109

Figure 2-5 : Organigramme du calcul du terme source utilisé dans l’équation de l’énergie dans lelogiciel TRIO pour un pas de temps.

Température de congélationdes particules : Tc

Température de congélation desparticules : Tc-∆Tsurf

Pour z=0(entrée section d’essais)

Tf < Tc et rc > 0

oui non

Calcul de rc

( )oldcpc rRdz

Udtdr −=1

rc < Rp-∆Rsurf

( )

−+

−−=

oldcppf

p

ppoldc

pfcp

c

rRh

kRHr

RdtTTkdr

12

ρ

rc =Rp et Tf < Tc-∆Tsurf

( )p

surffcpf

c H

dtTTThdr ρ

∆−−−=

2

oui non

rc ≥ Rp-∆Rsurf et Tf < Tc-∆Tsurf

drc2 = 0( )

−+

∆−−−=

oldcppf

p

ppoldc

psurffcp

c

rRh

kRHr

RdtTTTkdr

12

ρ

rc = rc old +drc1+drc2

rc ≥ 0

rc = 0S=S ZYX

R

r

dt

drHcSS

p

ccpv ∆∆∆−=

3

223 ρ

nonCas lorsque

oldcccrdrdr >+

21

oui

oui non

rc

Rp-∆RsurfRp

rc

Rp-∆RsurfRp

Calcul du terme source

Pour z > 0(le reste de la section d’essais)

( ))()(1 zrzzrdz

Udtdr oldcoldcc −∆−=


110

2.4. Limites du modèle

Le modèle proposé ci-dessus a été construit en posant certaines hypothèses restrictives. Celles-ci

sont indispensables à la modélisation du phénomène physique, mais peuvent entraîner une

divergence entre le modèle et la réalité physique. Les différentes hypothèses faites touchent

principalement :

− l’homogénéité de la suspension ;

− l’effet des particules sur la rhéologie du fluide ;

− les propriétés physiques imposées dans le modèle ;

− la congélation des particules qui dépend de nombreux paramètres.

2.4.1. Effets des particules

De nombreuses hypothèses ont été posées concernant les particules.

Le fluide est considéré comme newtonien alors que Royon et al. ont montré, en faisant une

rhéométrie en ligne, qu’il avait un comportement rhéofluidifiant. Ils ont trouvé pour des

concentrations massiques de 25 % et 35 % des indices de comportement, n respectivement de

0,51 et 0,59.

La concentration est considérée comme homogène alors que la densité des particules et celle de

la phase suspendante ne sont pas équivalentes ; la sédimentation ou la stratification ne peut être

négligée.

Dans tout écoulement de suspensions de particules la présence obligée d’un gradient de vitesse

au niveau d’une paroi immobile s’accompagne d’un changement dans la répartition radiale des

particules : une couche appauvrie en particules (voire complètement vide) se forme dans le

voisinage de la paroi. La formation de cette couche pariétale plus fluide prend l’apparence d’un

glissement de la suspension le long de cette paroi. En réalité cela signifie que près de la paroi, la

vitesse varie très vite sur une très petite distance, c’est-à-dire que le gradient y est beaucoup plus

élevé qu’au sein de la suspension. Une telle augmentation de gradient entraîne à son tour une

nouvelle baisse de la viscosité puisque la suspension à un comportement rhéofluidifiant. L’effet

pariétal s’en trouve donc renforcé et on conçoit facilement que les écoulements de suspensions

concentrées aient lieu très souvent sous la forme d’écoulement « bouchons ». Si c’est le cas, cet

effet peut avoir des répercussions considérables au niveau des échanges thermiques.

Malheureusement, il est impossible de modéliser tous ces phénomènes.


111

2.4.2. Propriétés physiques

Les propriétés physiques utilisées sont celles de la suspension (phase suspendante et particules)

et sont évaluées à partir de corrélations données dans le chapitre 1. Elles sont considérées

comme constantes au cours du refroidissement alors que la gamme de températures étudiée est

assez étendue et qu'il y a un changement de phase.

Pour évaluer l’impact de cette hypothèse, une étude comparative a été effectuée pour une

suspension concentrée à 15 % en particules, sur un intervalle de température compris entre 10 et

–10 °C . Les propriétés physiques de la suspension fonction de la température sont comparées

avec celles moyennées :

− sur la masse volumique, l’erreur commise n'est que de 0,6 %. Elle est négligeable ;

− sur la conductivité d'une suspension au repos (sans considérer les effets micro-

convectifs) l’erreur commise est de 8 %. Cette erreur reste faible devant celles

introduites par l’utilisation de corrélations empiriques pour évaluer la conductivité

apparente (prenant en compte les effets micro-convectifs). Les effets micro-convectifs

dépendent du taux de cisaillement qui varie suivant la position de la particule par

rapport à la paroi. Les corrélations proposées par la littérature [(1-27), (1-28), (1-29) et

(1-30)] varient en fonction de la valeur du nombre de Péclet et introduisent des

constantes expérimentales déterminées pour des types de suspension particulière ;

− sur la chaleur massique, l’erreur commise est de 11 % ;

− sur la viscosité, l’erreur commise est de 20 %. D’après les corrélations de la littérature,

pour un régime d’écoulement laminaire, en cours d’établissement thermique, le nombre

de Nusselt dépend du produit des nombres de Reynolds et Prandtl qui sont à la même

puissance. Par conséquent la viscosité disparaît.

2.4.3. Congélation

La cristallisation dépend de nombreux paramètres qui sont difficiles à définir.

Les nucléations peuvent se faire soit au sein de la particule (nucléation homogène), soit sur un

corps étranger ou sur la matrice poreuse (nucléation hétérogène). Les deux nucléations ne se

font pas à la même température. La congélation s'étale donc sur une gamme de température. A

ceci vient s'ajouter le caractère stochastique des ruptures de surfusion. Il est difficile de

modéliser tous ces phénomènes sachant qu'ils sont mal définis. Ils n'ont pas pu être pris en

compte dans le modèle.


112

2.4.4. Généralisation du modèle

Le modèle a été construit pour des particules sans paroi (structure poreuse) dans le cas de la

congélation. Sans trop de modifications, il peut être utilisé dans le cas de la fusion : le

phénomène de surfusion disparaît et la conduction au sein de la particule ne se fait plus dans la

partie solide mais dans la partie liquide. Il faut donc utiliser la bonne conductivité dans les

équations du modèle.

Par contre, pour étendre l’application du modèle à des particules de type capsules (avec une

paroi), des modifications plus importantes doivent être apportées : il faut prendre en compte la

résistance thermique de la paroi et lors de la décongélation, le front de fusion n’est pas

concentrique. Lorsque le MCP est encapsulé, il est « libre » de se déplacer dans la capsule. La

masse volumique du MCP à l’état solide étant différente de celle à l’état liquide, le front de

fusion n’est plus concentrique. Le MCP solide sédimente ou flotte et se délocalise vers la paroi.

Cette décentralisation a pour effet d’entraîner des variations de températures sur les parois qui

génèrent de la convection naturelle dans la partie fondue ; les transports par conduction sont

modifiés puisque une zone du MCP solide reste très proche de la paroi. Fomin et Saitoh (1999)

ont étudié numériquement et analytiquement ce phénomène. Ils ont prouvé que l’hypothèse de

température de paroi constante sur une capsule entraîne des différences significatives sur les

conditions réelles de fusion quand les parois sont non-isothermes. Le fait de négliger les

courants convectifs dans la zone fondue conduit à une surestimation du taux de fusion. 85-90 %

du MCP solide fond par proche contact avec la paroi chaude et le reste fond par conduction ou

convection naturelle dans la partie liquide.

2.5. Résultats du modèle

2.4.2. Propriétés du fluide

Le fluide frigoporteur étudié dans le modèle est un « coulis de glace stabilisé » fabriqué au

LBHP. La structure des particules est une matrice poreuse remplie d’eau. La phase suspendante

est un mélange d’huile (89 % d’huile Clavius 15 et 11 % d’huile Rhodorsil 550) ayant une

masse volumique proche de celle de l’eau. Par la suite, la phase suspendante utilisée dans les

expériences a été changée au profit d’une huile moins visqueuse afin de réduire les pertes de

pression. Cependant, faute de temps, ces modifications n’ont pu être apportées au modèle. Les

propriétés physiques du « coulis de glace stabilisé » données par le LBHP sont :


113

− une masse volumique identique de 1000 kg.m-3 pour la phase suspendante et les

particules ;

− une viscosité de 27 mPa.s à 0 °C;

− une conductivité de 0,137 W.m-1.K-1 ;

− une capacité thermique de 1673 J.kg-1.K-1 ;

− une température de congélation de 0 °C.

Le fluide rentre dans l'échangeur à 1°C pour pouvoir observer la cassure de pente sur le profil de

température au début du changement de phase.

Les variables étudiées sont :

− la vitesse de passage ;

− la concentration massique en particules ;

− le degré de surfusion ;

− la température des parois ;

− le diamètre des particules.

2.4.3. Maillage

La géométrie a été décrite dans le paragraphe 2.3.1. Le canal se compose de :

− 200 mailles dans la longueur (Z) ;

− 14 mailles dans la largeur (X) ;

− 10 mailles dans l’épaisseur (Y) (Figure 2-6).

Figure 2-6 : Représentation du maillage dans le plan YZ du canal (épaisseur)

Axe de symétrie

N° de maille : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Paroi froide

YX

Z

Paroi froide

Particule liquide

Particule solide


114

2.4.4. Cas de référence

Les différentes variables ont été choisies de manière à ce que toutes les particules sortent

congelées de l'échangeur.

− la vitesse de passage : 0,03 m.s-1 ;

− la concentration massique en particules : 15 % ;

− le degré de surfusion : 5 K ;

− la température des parois : -40 °C ;

− le diamètre des particules : 400 µm (il est choisi pour être inférieur à la

taille d'une maille suivant Y, soit 500 µm).

2.5.1.1. Profil de vitesses

Figure 2-7 : Profil des vitesses dans l'épaisseur et la largeur des plaques.

L’écoulement étant laminaire, le profil des vitesses (Figure 2-7) est une parabole dans le sens de

la hauteur des plaques. Dans la largeur du canal, le profil est aplani sur ses 4/5 car les effets de

paroi dans l’épaisseur sont très supérieurs à ceux dans la largeur en raison de l’écart important

entre ces deux dimensions.

2.5.1.2. Profil de concentration

L’équation de la quantité de mouvement utilisée dans TRIO ne fait intervenir que la diffusivité

moléculaire. Lorsque le régime s’établit, la répartition des particules dans la conduite est

homogène. Les effets de lift au niveau des parois qui tendent à ramener les particules au centre

de la conduite ne peuvent être pris en compte dans ce logiciel de calcul.

Epaisseur2b = 5 mm

Largeur170 mm

YZ

X


115

2.5.1.3. Profil de températures

Les parois du canal dans le plan (YZ) étant adiabatiques, les échanges thermiques ne se font

qu’avec les parois dans le plan (XZ) : le profil de température dépend uniquement de Y et de Z.

La Figure 2-8 représente les profils de température le long du canal (suivant Z) pour différentes

côtes dans l'épaisseur (Y). La longueur Z est intrinsèquement liée à un temps de séjour dans le

canal par la vitesse débitante. Sur l'épaisseur, divisée en 10 mailles, seules les cinq premières

mailles sont étudiées, puisque les profils de température sont symétriques. La maille 1 est

accolée à la paroi tandis que la maille 5 est située au centre du canal (Figure 2-6).

La Figure 2-8 met en évidence que le temps nécessaire au changement de phase augmente au fur

et à mesure que l’on pénètre au cœur de l'écoulement. Dans la première maille, ce temps semble

nul : les particules se congèlent très rapidement puisqu'elles sont en contact direct avec les

parois (fort gradient de température) et que leur vitesse est faible. La chaleur dégagée par le

changement de phase est négligeable devant le flux convectif échangé avec les parois. Par

contre, plus on s'éloigne des parois, plus le « palier » du changement de phase est visible. Les

mailles situées au centre de la conduite, échangent par conduction avec les mailles précédentes.

Le flux échangé ne dépend que du gradient de température entre deux mailles successives. Ce

gradient s’atténuant, le flux échangé faiblit. Une partie du flux thermique est utilisée pour

refroidir la suspension déjà congelée (capacité thermique). Tant que le flux de chaleur dégagé

par le changement de phase reste très inférieur au flux échangé aux parois, le profil de

température n’est pas trop perturbé (maille 1). Par contre, en se rapprochant du cœur de la

conduite, les flux s'égalisent, puis s'inversent.

La rupture du phénomène de surfusion (voir Figure 2-8 mailles 3, 4 et 5) se manifeste par la

remontée en température en début de changement de phase. Dans la maille 2, la chaleur dégagée

par le changement de phase entraîne un ralentissement du refroidissement. Le flux de chaleur

étant évacué par les parois froides, le profil de température de la maille 1 est perturbé. Par contre

les profils de températures des mailles 3, 4 et 5 sont très faiblement perturbés. Dans la maille 2,

le changement de phase se fait sur 10 cm de plaques, soit environ en 3 s (1ère zone hachurée

dans la Figure 2-8). Dans la maille 3, le flux dégagé par le changement de phase devient

supérieur au flux apporté par conduction par le fluide de la maille 2. On observe une légère

remontée en température de +0,75 K. Ensuite les flux s'équilibrent, puis s’inversent, permettant

une légère décroissance en température pendant le changement de phase.


116

Figure 2-8 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pourU = 0,03 m/s ; cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm.

Maille n°1 : y=0,5 mm

Maille n°2: y=1 mm


Changement de phase

Changement dephase

Changementde phase

Changementde phase

Changement de phase

Z

Z

Z

Z

Z

Maille n°5 : y=2,5 mm(Centre de la conduite)

Maille n°4 : y=2 mm


117

Le changement de phase se fait sur 25 cm de plaques, soit en un peu plus de 8 s (2ème zone

hachurée). Le temps nécessaire pour extraire l’énergie dégagée par le changement de phase

augmente puisque cette énergie est identique quelle que soit la maille (concentration homogène)

alors que le flux échangé diminue. Dans la maille 4, la remontée en température (+1,25 K) et le

temps nécessaire au changement de phase des particules (12 s) continue à augmenter (3ème zone

hachurée). La chaleur dégagée perturbe les profils de température des deux mailles avoisinantes.

Dans la maille 5, la remontée en température est de +2,1 K et le temps de congélation de 17 s

(4ème zone hachurée).

Ces résultats montrent que le changement de phase est une barrière thermique qui empêche le

flux de pénétrer plus au cœur des plaques. Ainsi les changements de phase se font en cascade.

2.4.5. Influence de la vitesse

Par rapport au cas de référence, la vitesse moyenne de l'écoulement devient 0,05 m/s au lieu de

0,03 m/s. Les autres variables ne sont pas modifiées. Comme le régime thermique n’est pas

établi, le nombre de Nusselt dépend du nombre de Reynolds qui passe de 11 à 18. Avec les

propriétés physiques utilisées dans le modèle, le nombre de Nusselt moyen sur la longueur totale

des plaques, calculé avec l’équation (1-47), augmente de 27 %. Mais comme l’augmentation de

la vitesse de passage réduit de 40 % le temps de séjour dans l’échangeur, la longueur des paliers

augmente. Par conséquent, pour les mailles placées au cœur de l'écoulement, le changement de

phase débute plus en aval dans l'échangeur par rapport au cas de référence. Par exemple, le

changement de phase de la maille 4 pour U = 0,05 m/s débute à la même côte Z que celui de la

maille 5 pour U = 0,03 m/s et les particules de la maille 5 pour U = 0,05 m/s n'ont pas le temps

de congeler.

2.4.6. Influence de la taille des particules

Deux diamètres de particules ont été étudiées : 200 µm et 400 µm. Les résultats sont

représentés sur les courbes de la Figure 2-9. La concentration reste à 15 %, seul le nombre de

particules varie afin de conserver la quantité de matière qui change de phase.


118

Figure 2-9-a : Profils de température dans la longueur Z endifférentes épaisseurs y des plaques, pour U= 0,03 m/s ; cm =

15 % ; ∆Tsurf=5 K ; Tw = -40°C ; dp = 200 µm

Figure 2- 9-b : Profils de température dans lalongueur Z en différentes épaisseurs y des plaques,pour U = 0,03 m/s ; cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -

40 °C ; dp = 400 µm

Z

Maille n°2: y=1 mm




Z

Z

Z

Z

Z

Maille n°5 : y=2,5 mm(Centre de la conduite)


119

La quantité d’énergie absorbée lors de la congélation des particules étant identique, les

températures de chaque maille à la sortie de l’échangeur ne dépendent pas de la taille des

particules. Cependant, les profils le long de l'échangeur sont complètement différents. On

remarque que plus les particules sont petites, plus la remontée en température en début du

changement de phase est importante et plus les "paliers" sont courts et horizontaux. Par contre,

le changement de phase dans chaque maille débute à la même côte Z quelle que soit la taille

des particules.

La vitesse de congélation dépend de deux paramètres :

− du rapport de la surface d'échange des particules sur la masse à congeler ;

− du flux froid disponible.

Tant qu'il n'y a pas équilibre entre le flux chaud dégagé et le flux froid reçu, le facteur limitant

la vitesse de congélation est le rapport (surface/masse). Plus les particules sont petites, plus le

rapport surface d'échange sur masse à congeler augmente et plus la vitesse de congélation est

importante. Les pentes des courbes de la Figure 2-10 confirme cette interprétation. Ainsi, la

chaleur latente dégagée par unité de temps est plus importante. La remontée en température et

les paliers horizontaux traduisent une augmentation du rapport entre le flux dégagé par le

changement de phase et le flux absorbé par les parois. Ce dernier dépend de l’écart entre la

température du fluide dans la première maille et la température de paroi. Le profil de

température dans la première maille est sensiblement perturbé par la variation de la taille des

particules, mais moyenné sur la longueur de l’échangeur, l’écart avec la température de paroi

est du même ordre de grandeur pour des particules de 200 µm ou 400 µm. Le flux absorbé par

les parois semble donc moins dépendant de la taille des particules que le flux dégagé lors du

changement de phase. Ainsi, le rapport des deux flux augmente. La forte remontée en

température intervient comme une barrière thermique pour les mailles situées plus dans le cœur

de l'écoulement. Elles restent à des températures proches de -2,5 °C pour dp = 200 µm. Ainsi,

les changements de phase dans les mailles ne peuvent pas se chevaucher. A la fin du

changement de phase d'une maille, le fort gradient thermique avec la maille voisine permet de

bons échanges et donc une chute rapide en température. Dans le cas de plus grosses particules,

le phénomène est inversé. La progression du front de congélation dans la particule se fait plus

lentement puisque le rapport surface d'échange sur masse de fluide à congeler est plus faible et

que le flux pour arriver au cœur de la particule doit traverser une tranche congelée plus épaisse

qui agit comme une résistance thermique. La quantité de chaleur latente dégagée par unité de

temps est plus faible et se retrouve largement compensée par le flux froid des parois. Le fluide,


120

malgré le changement de phase, continue à baisser en température. Ainsi, deux mailles peuvent

se chevaucher dans leur changement de phase.

E v o lu t io n d e l a m a s s e d e P C M c o n g e lé e d a n s l e c a s 1 ( c = 1 5 % , v = 0 ,0 3 m /s , d p = 4 0 0 µ m )

0 , 0 0 E + 0 0

1 , 0 0 E - 0 5

2 , 0 0 E - 0 5

3 , 0 0 E - 0 5

4 , 0 0 E - 0 5

5 , 0 0 E - 0 5

6 , 0 0 E - 0 5

7 , 0 0 E - 0 5

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0

Z

Mas

se c

onge

lée

m a il le 1

m a il le 2

m a il le 3

m a il le 4

m a il le 5

E v o lu t io n d e la m a s s e c o n g e lé e d a n s l e c a s c = 1 5 % , v = 0 ,0 3 m /s , d p = 2 0 0 µ m

0 ,0 0 E + 0 0

1 ,0 0 E - 0 5

2 ,0 0 E - 0 5

3 ,0 0 E - 0 5

4 ,0 0 E - 0 5

5 ,0 0 E - 0 5

6 ,0 0 E - 0 5

7 ,0 0 E - 0 5

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0

Z

Mas

se c

onge

lée

m a il le 1

m a il le 2

m a il le 3

m a il le 4

m a il le 5

Figure 2-10 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où dp =400 µm et dp = 200 µm. La pente de ces courbes représente la vitesse de congélation (les unités sont en cm

en abscisse et en kg en ordonnée)

2.4.7. Influence de la concentration

La nouvelle concentration étudiée est de 30 % au lieu de 15 % (Figure 2-11). Comme dans les

cas précédents, les autres paramètres sont conservés, à l’exception de la viscosité qui

augmente avec la concentration. Elle est égale à 60 mPa.s (calculée suivant la formule de

Vand). L’augmentation de la concentration entraîne une augmentation de la matière à

congeler. Tant que le flux froid disponible reste supérieur à la chaleur latente dégagée par le

changement de phase, le nombre de particules se congelant augmente et la remontée en

température en début du changement de phase est plus importante. La vitesse de congélation


augmente. Par conséquent, il ne faut pas deux fois plus de temps pour congeler le double de

matière. Si on veut atteindre la vitesse maximale de congélation il faut que les deux flux

s'équilibrent. Cet équilibre se caractérise par des paliers horizontaux de changement de phase

qui tendent vers 0 °C sans jamais l'atteindre puisqu'un gradient de température doit être

conservé entre le fluide autour de la particule et la température de fusion pour qu'il y ait des

échanges thermiques.

Pour des concentrations de 50 %, ces paliers ne sont toujours pas atteints : la température

remonte à -0,8 °C et décroît de 0,2 K pendant le changement de phase. Pour utiliser le

maximum de flux froid, il existe une concentration et un rayon critique. Le rayon ne doit pas

être trop faible afin d'avoir un degré de surfusion raisonnable.

Figure 2-11 : Profils de températuU = 0,03 m/s ; cm

Maille N°2
Maille N°1
Maille N°3Maille N°4

Maille N°5

121

re dans la longueur Z en différentes épaisseurs Y des plaques, pour= 30 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm


122

2.4.8. Influence du degré de surfusion

Figure 2-12 : Profils de température dans la longueur Z endifférentes épaisseurs Y des plaques, pour U = 0,03 m/s ;

cm = 30 % ; ∆Tsurf = 1 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm

Les résultats expérimentaux du LBHP

montrent que le MCP ne présente pas de

surfusion lorsque les particules ont une

taille millimétrique. Pour des particules

de 400 µm, il est plus délicat de

s'affranchir de la surfusion avec

certitude. Il est donc intéressant d'étudier

son influence sur les profils de

température. Les résultats représentés sur

la Figure 2-12 ont été obtenus avec un

degré de surfusion faible de 1 K.

Par rapport au cas de référence, les

paliers observés sur les Figure 2-12 sont

plus longs et moins marqués. Les

changements de phase se chevauchent

entre deux mailles successives. Les

Figure 2-13 montrent que la vitesse de

congélation diminue avec le degré de

surfusion. Effectivement, la différence

entre la température du fluide et la

température de fusion est de l'ordre du

degré de surfusion. Dans ce cas de

figure, il est seulement de 1 K au départ.

Les échanges sont très faibles. Mais

comme le flux froid est supérieur à la

chaleur dégagée, le gradient augmente

permettant des meilleurs échanges

thermiques et donc une accélération de la

vitesse de congélation.


123

Evolution de la masse congelée lorsque le degré de surfusion est de 1 K

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Z

Massecongelée

maille 1

maille 2

maille 3

maille 4

maille 5

Figure 2-13 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où∆Tsurf = 1 K et ∆Tsurf = 5 K

2.4.9. Influence de la température de paroi

Les résultats portés sur la Figure 2-14 et la Figure 2-15 sont obtenus pour une température de

paroi respectivement de –25 °C et de –40 °C (cas de référence). La variation de ce paramètre

influence le flux froid fourni par les plaques de l'échangeur. Le flux dépend de l'écart entre la

température du fluide en contact avec la paroi (maille 1) et la température de paroi. Les

températures de la maille 1 ne décroissent pas de la même façon lorsque Tw = -40 °C ou Tw = -

25 °C. Le gradient de température reste plus faible lorsque Tw = -25 °C et le flux est jusqu'à 1,8

fois moins fort. Par conséquent, les vitesses de congélation sont plus lentes (le facteur de

décroissance est le même dans les mailles 2, 3 et 4) et les remontées en température en début de

changement de phase sont plus importantes. Cependant, on remarque que la chaleur latente

dégagée ne permet pas de remonter jusqu'à 0 °C et que le "palier" du changement de phase n'est

pas horizontal (température constante). Par conséquent, le flux froid apporté reste supérieur au

flux chaud issu du changement de phase. Les transferts sont limités par les capacités d’échange

de la particule avec le fluide porteur (surface d’échange et coefficient d’échange, hpf) et non pas

par le flux échangé au niveau des parois. Ainsi, la longueur de plaque nécessaire au changement

de phase n'est pas augmentée de manière proportionnelle à la diminution du flux : elle est

seulement 1,38 fois plus longue.

Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 (c= 15%, v=0,03 m/s, dp=400 µm, surfusion 5 K)

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Z

Massecongelée

maille 1

maille 2

maille 3

maille 4

maille 5


124

Figure 2-14 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où Tw = -25°C et Tw = -40°C

Figure 2-15 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pourU = 0,03 m/s – cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -25°C ; dp = 400 µm=


Maille n°2: y=1 mm



(Centre de la conduite)


Evolution de la masse congelée en fonction de la longueur de la plaque pour Tp=-25°C

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Z

Mas

se c

onge

lée

maille 1

maille 2

maille 3

maille 4

maille 5

Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 (c=15%, v=0,03 m/s, dp=400µm, surfusion 5°C)

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Z

Mas

se c

onge

lée

maille 1

maille 2

maille 3

maille 4

maille 5

chapitre 2 - insa de lyondocinsa.insa-lyon.fr/these/2002/demasles/chapitre2.pdf · frigoporteurs...

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