chapitre 4: cinematique du corps rigide - cours, examens

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CHAPITRE 4:CINEMATIQUE DU CORPS RIGIDE

4.1 INTRODUCTION

• La structure du robot = chaîne cinématique de membres rigides articulés au moyen de joints.

• Besoin d’un formalisme adapté à la description de la chaîne cinématique du support jusqu’à l’effecteur?

• Un point crucial: la description des rotations finies!

• Relations donnant la position, la vitesse et l’accélération d’un point attaché à un corps rigide dans un mouvement arbitraire.

• Concept de transformation homogène.– Notation de vecteur homogène unifie les translations et les rotations de corps rigide en une

multiplication matricielle unique.– Cinématique d’une chaîne ouverte = séquence de produits matriciels

2

4.2 OPERATEUR DE ROTATION

• Rotation d’un corps rigide avec angle φ autour d’un axe de direction spécifiée l

• Soit le point P dont les coordonnées sont regroupées dans le vecteur colonne s

• Soit s les coordonnées absolues du point P après rotation• Soit s0 les coordonnées du point P avant rotation ou

encore les coordonnées de P dans le système de coordonnées relatif liés au corps (système matériel ou système corps)

• La rotation est décrite par le changement de repère entre les systèmes Oxyz et Ox’y’z’

• La transformation de s0 en s est une transformationaffine caractérisée par la matrice de rotation R

x

z

yx’

z’

y’

o

φ

P

s

l

s0

s = R s 0


• Propriété fondamentale de l’opérateur de rotation R– La conservation de la longueur du vecteur s

Implique

– C’est-à-dire que la matrice R est une matrice orthogonale

• Autres propriétés– dét ( R ) = +1– La rotation préserve les angles

RTR = I

R¡1 = RT

s T s = s

T

0 R T R s 0

= s T

0 s 0

3


• Convention

– Soit p les coordonnées absolues du point P après rotation– Soit p’ les coordonnées initiales du point P avant rotation ou encore les

coordonnées relatives du point P dans le système matériel attaché au corps.

Il vient

p = R p 0 w i t h R

¡ 1 = R T

4.3 POSITION ET ORIENTATION D’UN CORPS RIGIDE

• Soient– Oxyz un repère absolu– O’x’y’z’ un repère attaché au corps– r vecteur position du point O’ dans le repère cartésien Oxyz– p vecteur position du point P dans le repère cartésien Oxyz– p’ vecteur position de P dans le repère lié au corps O’x’y’z’

• La transformation de coordonnées de P dans le repère absolu

– où R est la matrice de rotation décrivant la rotation finie permettant de passer du repère Oxyz au repère O’x’y’z’.

• le premier terme = translation de O en O’• le second terme = rotation des vecteurs positions relatives dans le corps rigide

p = r + R p0

4

4.4 EXPRESSION ALGEBRIQUE DE L’OPERATEUR DE ROTATION

• Techniques de représentation de l’opérateur R en forme matricielle

• Plusieurs ensembles de paramètres :– Cosinus directeurs, angles d’Euler, de Bryant, paramètres d’Euler…

• Une rotation arbitraire peut être exprimée à l’aide de 3 paramètres indépendants– Soit l’opérateur de rotation

– Les relations d’orthogonalité entre colonnes (propriété d’orthogonalité de R) imposent 6 contraintes entre les éléments de R

– Il ne reste que 3 paramètres indépendants

R =£r1 r2 r3

¤

rTi rj = ±ij

R = R(®1 ; ®2 ; ®3)

4.5 OPERATEUR DE ROTATION PLANE

• Cas d’une rotation d’angle φ autour de l’axe z

– Le changement de coordonnées s’écrit

– En notation matricielle

– Avec

x = x0 cosÁ ¡ y0 sinÁy = x0 sinÁ + y0 cosÁz = z0

r = R r0

R(z; Á) =

24 cosÁ ¡ sinÁ 0sinÁ cosÁ 00 0 1

35

5

4.5 OPERATEUR DE ROTATION PLANE

• Cas d’une rotation d’angle θ autour de l’axe y

• Cas d’une rotation d’angle ψ autour de l’axe x

R(y; µ) =

24 cos µ 0 sin µ0 1 0

¡ sin µ 0 cos µ

35

R(x; Ã) =

24 1 0 00 cosÃ ¡ sinÃ0 sinÃ cosÃ

35

4.6 ROTATION FINIE EN TERMES DES COSINUS DIRECTEURS

• Soit les vecteurs unitaires i, j, k et i’, j’, k’ des repères Oxyz et O’x’y’z’

• La position d’un point s’écrit dans les deux systèmes:

• Les coordonnées des x, y et z s’écrivent

r = x~i + y~j + z~k

= x0~i0 + y0~j 0 + z0~k0

x =~i ¢ r=~i ¢~i0x0 + ~i ¢~j 0y0 + ~i ¢ ~k0z0y = ~j ¢ r= ~j ¢~i0x0 + ~j ¢~j0y0 + ~j ¢~k0z0

z = ~k ¢ r= ~k ¢~i0x0 + ~k ¢~j0y0 + ~k ¢ ~k0z0

6


• On en déduit l’expression de l’opérateur de rotation

• REMARQUES– La dépendance de l’opérateur de rotation R vis-à-vis de 3 paramètres indépendants n’est

pas clairement apparente.

R =

264 cos(~i;~i0) cos(~i;~j 0) cos(~i; ~k0)cos(~j;~i0) cos(~j;~j0) cos(~j;~k0)cos(~k;~i0) cos(~k;~j 0) cos(~k;~k0)

375


• La relation d’orthogonalité est évidente– On part de

– On a de manière similaire

– Le produit scalaire étant commutatif, on a

r0 = R¡1 r

x0 = (~i0 ¢~i)x + (~i0 ¢~j)y + (~i0 ¢ ~k)zy0 = (~j0 ¢~i)x + (~j0 ¢~j)y + (~j 0 ¢ ~k)zz0 = (~k0 ¢~i)x + (~k0 ¢~j)y + (~k0 ¢~k)z

R¡1 = RT

7

4.7 ROTATION FINIE EN TERMES DE PRODUITS DYADIQUES

• Expression de l’opérateur de rotation: Un résultat complémentaire à l’expression de l’opérateur de rotation en termes des cosinus directeurs est que l’on peut écrire la matrice de rotation sous la forme d’un produit dyadique tel que

où (l,m,n) et (l’,m’,n’) sont des ensembles de vecteurs orthonormaux définissant deux bases

R = l l0T + m m0T + n n0T

R T l = l

0

R T m = m

0

R T n = n

0

4.7 ROTATION FINIE EN TERMES DE PRODUITS DYADIQUES

PREUVE:• Soient (l,m,n) et (l’,n’,m’) deux bases orthonormées qui se correspondent par la

rotation. • On remarque d’abord que

• Compte tenu de

on montre que

I = l 0 l 0 T + m

0 m 0 T + n

0 n 0 T

R T l = l

0

R T m = m

0

R T n = n

0

I = ( R T l ) l 0 T

+ ( R T m ) m

0 T + ( R

T l ) n 0 T

I = R T ³

l l 0 T + m m

0 T + n n

0 T ´

8

4.8 REGLE DE COMPOSITION DES ROTATIONS

• Soient deux rotations successives du repère oxyz– R1 caractérise la transformation de oxyz vers ox1y1z1

– R2 caractérise la transformation de ox1y1z1 vers ox2y2z2

• La transformation R qui caratérise la transformation de oxyz vers ox2y2z2 est donnée par:

• La règle de composition des rotations

productisaRR

x = R1 x1

x1 = R2 x2

x = R 1 x 1 = R 1 ( R 2 x 2 ) = ( R 1 R 2 ) x 2

x = R x2 with R = R1 R2

4.8 CARACTERE NON-COMMUTATIF DES ROTATIONS

• Exemple: un corps soumis à deux rotations de 90°:

• Le produit matriciel étant non commutatifon a:

• Renverser l’ordre des rotations conduità une géométrie finale différente

R1 = R(z; 90±)R2 = R(y;90±)

productisaRR

R1 R2 6= R2 R1

9

z , z'2z, z1

y'

y2

y1

y

x'

x , x1 2x

φψ

θ

4.9 ANGLES D’EULER

• Les angles d’Euler fournissent un système de 3 paramètres indépendants pour R• Consiste à exprimer la transformation de Oxyz à O’x’y’z’ comme une suite de 3

rotations élémentaires exprimées dans les axes liés au corps:– une rotation d’angle φ autour de Oz:

– une rotation d’angle θ autour de Ox1:

– une rotation d’angle ψ autour de Oz2:• Transformation de repère résultant:

– avec

R(z; Á)

R(x1; µ)

R(z2 ; Ã)

r = R(z; Á) R(x1 ; µ) R(z2 ; Ã) r0 = R r0

R = R(z; Á) R(x1 ; µ) R(z2 ; Ã)


• Expression explicite de l’opérateur de rotation

• Existence de singularités: lorsque les axes z originaux et transformés deviennent co-linéaires:

• Inversion cinématique: une solution satisfaisante est obtenue en utilisant la fonctiontan-1 (fonction ATAN2 en FORTRAN ou en MATLAB par exemple)

R =

24 cosÁ cosÃ ¡ sinÁ cosµ sinÃ ¡cosÁ sinÃ ¡ sinÁcosµ cosÃ sinÁ sin µsinÁcosÃ + cosÁ cosµ sinÃ ¡ sinÁ sinÃ + cosÁcosµ cosÃ ¡ cosÁ sinµ

sin µ sinÃ sinµ cosÃ cos µ

35

µ = 0 ou ¼

Ã = ATAN2(r31 ; r32)

µ = ATAN2(qr231 + r

232 ; r33)

Á = ATAN2(r13; r23) Ã = ATAN2(r21 ; r11)

Si θ = 0 ou π

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Fonction ATAN2(u,v)

• BUT: retrouver de manière systématique la valeur exacte de l’arc tangent de u/v

• EN PRATIQUE: utiliser la fonction ATAN2(u,v) en FORTRAN ou MATLAB par exemple

• ATAN2(u,v): calcule la valeur de ATAN(u/v) et utilise les signes de u et de v pour déterminer le quadrant de la solution

µ = A T A N 2 ( u ; v )

µ = A T A N 2 ( u ; v ) =

8< :

t a n ¡1 uv

i f v > 0

t a n ¡1 uv+ ¼ s i g n ( u ) i f v < 0

+ ¼2 s i g n ( u ) i f v = 0


Utilisation des angles d’Euler pour la réalisation de gyroscopes

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4.10 ANGLES DE BRYANT

• Système de 3 paramètres indépendants, variantes des angles d’Euler

• Exprime la rotation finie comme la succession de 3 rotations élémentaires dans 3 axes distincts (roll=roulis, pitch=tangage, yaw=lacet):

– une rotation ψ autour de Oz :

– une rotation θ autour de Oy1 :

– une rotation φ autour de Ox2 :

• Rotation résultante:

– avec

R(z; Ã)

R(y1 ; µ)

R(x2 ; Á)

r = R(z; Ã) R(y1 ; µ) R(x2; Á) = Rr0

R = R(z; Ã) R(y1 ; µ) R(x2 ; Á)


Cincinnati Milacron T3

12


• Expression explicite de la matrice de rotation:

• Existence de singularités: lorsqu’il y a collinéarité des axes z et x2

• Inversion cinématique: une solution numériquement satisfaisante est obtenue en utilisant:

µ = §¼2

(Ã = ATAN2(r12; r22) if µ = ¼

2 ;

Ã = ATAN2(¡r12; r22) if µ = ¡¼2 :

R =

24 c o s µ c o s Ã s i n µ s inÁ cosÃ ¡ sinÃ cosÁ sin µ cosÁ cosÃ + sinÃ s i n Á c o s µ s i n Ã s i n µ s inÁ sinÃ + cosÃ cosÁ sin µ cosÁ sinÃ ¡ sinÁ c o s Ã ¡ s i n µ sinÁcos µ cosÁ cosµ

3 5

µ = A T A N 2 ( ¡ r 3 1 ; q

r 2

1 1 + r

2

2 1 )

Ã = A T A N 2 ( r 2 1 ; r 1 1 )

Á = A T A N 2 ( r 3 2 ; r 3 3 )

4.11 ROTATION FINIE COMME UNE ROTATION UNIQUE AUTOUR D’UN AXE ARBITRAIRE

• Basés sur le théorème d’Euler– Toute rotation finie peut être exprimée comme une

rotation unique d’angle φ autour d’un axe de directionapproprié l

• 4 paramètres: lx, ly, lz et φ avec une contrainte

• Une expression explicite de l’opérateur de rotation est

jlj =ql2x + l

2y + l

2z = 1; Á 2 [0; ¼]

R =hcosÁ I + (1¡ cosÁ) l lT + sinÁ ~l

i

13


• Preuve:– Forme de l’opérateur de rotation

– Les vecteurs m et n se transformant selon

– On obtient:

– Prenant en compte maintenant que:

– Et que

– On obtient le résultat annoncé

R =hl l0T + m m0T + n n0T

i

~l =

24 0 ¡lz lylz 0 ¡lx¡ly lx 0

35llT + mmT + nnT = I

l 0 = l

m 0 = R

T m = m c o s Á ¡ n s i n Á

n 0 = R

T n = m s i n Á + n c o s Á

R =

£ l l T + c o s Á ( m m T + n n T ) + s i n Á ( ¡ m n T + n m T )

¤

n m T ¡ m n

T = ~ l

R =

h

c o s Á I + ( 1 ¡ c o s Á ) l l T + s i n Á ~ l i


• Inversion cinématique:– On note

– On tire:

trace(R) = r11 + r22 + r33

= (l2x + l2y + l

2z )(1¡ cosÁ) + 3 cosÁ

= 1 + 2cosÁ

vec(R) = ¡²ijk rjk =

24 r32 ¡ r23r13 ¡ r31r21 ¡ r12

35 = 2 l sinÁ

l =vec(R)

jvec(R)j

²123 = ²231 = ²312 = 1

²132 = ²321 = ²213 = ¡1²ijk = 0 otherwise

Á = A T A N 2 ( j v e c ( R ) j ; t r ( R ) ¡ 1 )

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4.12 ROTATION FINIE EN TERMES DES PARAMETRES D’EULER

• Définition:

avec la contrainte

• Expression de l’opérateur de rotation:

ou encore

e0 = cosÁ

2

e1 = lxsinÁ

2

e2 = ly sinÁ

2

e3 = lz sinÁ

2

e20 + e21 + e

22 + e

23 = 1

R =

24 1¡ 2(e22 + e23) 2(e1e2 ¡ e0e3) 2(e1e3 + e0e2)2(e1e2 + e0e3) 1¡ 2(e21 + e23 ) 2(e2e3 ¡ e0e1)2(e1e3 ¡ e0e2) 2(e2e3 + e0e1) 1¡ 2(e21 + e22)

35R = (2e0

2 ¡ 1)I + 2eeT + 2e0 ~e


• Pas de singularité• Inversion cinématique

– R donne lieu à la matrice 4x4 S

qui est une forme quadratique des paramètres d’Euler

– L ’algorithme d’inversion est alors facile

skk = maxj(sjj ) ek =12

pskk ei =

si k4ek

i = 0; 1;2; 3

S =

26641 + r11 + r22 + r33 r32 ¡ r23 r13 ¡ r31 r21 ¡ r12

r32 ¡ r23 1 + r11 ¡ r22 ¡ r33 r12 + r21 r13 + r31r13 ¡ r31 r12 + r21 1¡ r11 + r22 ¡ r33 r32 + r23r21 ¡ r12 r13 + r31 r32 + r23 1¡ r11 ¡ r22 + r33

3775

S = 4

26 6 4

e 2 0 e 0 e 1 e 0 e 2 e 0 e 3

e 0 e 1 e 2 1 e 1 e 2 e 1 e 3

e 0 e 2 e 1 e 2 e 2 2 e 2 e 3

e 0 e 3 e 1 e 3 e 2 e 3 e 2 3

37 7 5

15


• Avantage et attractivité des paramètres d’Euler– Pas de singularité dans la procédure d’inversion– Quantités algébriques (pas de fonction trigonométrique)– Obéissent à l’algèbre des quaternions

• Difficulté des paramètres d’Euler– Ensemble de paramètres dépendants (liés par une contrainte)

• Paramètres d’Euler souvent utilisés en robotique

4.13 PARAMETRES DE RODRIGUES

• Définition

• 3 paramètres indépendants• Singularité pour • Opérateur de rotation

b1 =e1e0= lxtan

Á

2

b2 =e2e0= ly tan

Á

2

b3 =e3e0= lz tan

Á

2

jbj = tan Á2

R = I +2

1 + bT b(~b+ ~b~b)

Á = §¼

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4.14 VITESSE DE TRANSLATION ET VITESSE ANGULAIRE

• Soit un corps rigide en mouvement.• La position d’un point P sur le corps

• Le vecteur vitesse du point P

– en éliminant

• Cette expression est l’analogue de l’expression bien classique

p = r + Rp0

p0 = RT (p¡ r)_p = _r+ _Rp0

_p = _r+ _RRT (p¡ r)

d~p

dt=d~r

dt+ ~! £ (~p¡ ~r)

_ p = _ r + _ R p

0 + R _ p 0

4.14 VITESSE DE TRANSLATION ET VITESSE ANGULAIRE

• Preuve:– On note que implique

– On déduit la matrice des vitesses angulaires

– L’expression de la vitesse du point P prend la forme

• Vecteur vitesse associé à la matrice vitesse angulaire

RRT = I _RRT = ¡R _RT

~! = _RRT =

24 0 ¡!z !y!z 0 ¡!x¡!y !x 0

35

_p = _r+ ~!(p¡ r)

!T =£!x !y !z

¤

17

4.15 EXPRESSION EXPLICITE DES VITESSES ANGULAIRES

• En termes des angles d’Euler– Superposition de 3 vitesses angulaires

• une vitesse angulaire dφ/dt autour de Oz

• une vitesse angulaire dθ/dt autour de Ox1

• une vitesse angulaire dψ/dt autour de Oz2

– La vitesse résultante est

– Et son expression explicite

! =

24 _µ cosÁ+ _Ã sinÁ sin µ_µ sinÁ¡ _Ã cosÁ sin µ

_Á+ _Ã cos µ

35

! =

£0 0 _ Á

¤ T + R (z; Á)

£_µ 0 0

¤T+ R(z; Á) R(x; µ)

£0 0 _ Ã

¤ T

4.15 EXPRESSION EXPLICITE DES VITESSES ANGULAIRES

• En termes des angles de Bryant– Superposition de 3 vitesses angulaires

• une vitesse angulaire dψ/dt autour de Oz

• une vitesse angulaire dθ /dt autour de Oy1

• une vitesse angulaire dφ /dt autour de Ox2

– Vitesse angulaire

• En termes des paramètres d’Euler

! =

24 ¡ _µ sinÃ + _Á cosÃ cos µ_µ cosÃ+ _Á sinÃ cos µ

_Ã¡ _Á sin µ

35

! = 2

24 ¡e1 e0 ¡e3 e2¡e2 e3 e0 ¡e1¡e3 ¡e2 e1 e0

352664_e0_e1_e2_e3

3775

18

± ~ ® = ± R R T =

24

0 ¡ ± ® z ± ® y

± ® z 0 ¡ ± ® x

¡ ± ® y ± ® x 0

35

4.16 DEPLACEMENT INFINITESIMAL

• La variation de la position d’un point P situé sur le corps rigide

• En tenant compte de la rigidité du corps et en éliminant p’, on a

• En invoquant l’orthonormalité de la matrice R

• On suggère que la matrice anti-symétrique représente la rotation infinitésimale du corps

• Le déplacement infinitésimal prend la forme

±p = ±r+ ±Rp0 +R±p0

±p = ±r+ ±RRT (p¡ r)

±RRT +R±RT = O

±p = ±r + ±~®(p¡ r)

4.17 ACCELERATIONS

• Après deux dérivations de l’équation de la position du point P situé sur le corps rigide

• En éliminant p’

• Interprétation de

Äp = Är+ ÄRp0

Äp = Är+ ÄRRT (p¡ r)

ÄRRT

_~! =d

dt(~!) = ÄRRT + _R _RT

= ÄRRT + ~!~!T

ÄRRT = _~! ¡ ~! ~!T

19

4.17 ACCELERATIONS

• Interprétation de – la matrice des accélérations angulaires

– la matrice des accélérations centrifuges

• L’expression des accélérations

ÄRRT = _~! ¡ ~! ~!T

~! ~!T = !2 I ¡ ! !T

=

24 !y2 + !z

2 ¡!x!y ¡!x!z¡!x!y !x2 + !z 2 ¡!y!z¡!x!z !y!z !x

2!y2

35

Äp = Är+ ( _~! ¡ ~!~!T )(p¡ r)

_~! =

24 0 ¡ _!z _!y_!z 0 ¡ _!x¡ _!y _!x 0

35

4.19 REPRESENTATION HOMOGENE DES VECTEURS

• Définition– La représentation homogène du vecteur p est constituée des 4 scalaires obtenus en ajoutant

aux trois coordonnées cartésiennes un facteur d’échelle

– Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de l’espace 3D peuvent être retrouvées par simple mise à échelle

– Pour les vecteurs liés, la représentation n’est pas affectée par un chanement de facteur d’échelle

pT =£x? y? z? w?

¤

x =x?

w?; y =

y?

w?; z =

z?

w?

p =

2664x?

y?

z?

w?

3775 =

2664xyz1

3775

20

4.19 REPRESENTATION HOMOGENE DES VECTEURS

• Les vecteurs liés (w≠0) tels que les vecteurs position:

– Attention : vecteur origine

• Les vecteurs libres (w=0) tels que les vecteurs vitesse– Par exemple le vecteur déplacement relatif de P1 vers P2

uT =£0 0 0 1

¤

d = p2 ¡ p1 =

2664x2 ¡ x1y2 ¡ y1z2 ¡ z10

3775

p =

2664x?

y?

z?

w?

3775 =

2664xyz1

3775

4.20 REPRESENTATION HOMOGENE DES CHANGEMENT DE REPERES

• Transformation de coordonnées en 3D : une addition + une multplication matricielle

• Transformation en coordonnées homogènes : une multiplication matrcielle seulement

– avec

• R sous matrice (3x3) de rotation de O’x’y’z’ par rapport à Oxyz• r vecteur translation de O en O’

• Paramètres indépendants: 3 paramètres de translation + 3 paramètres de rotation

p = r+Rp0

p = Ap0

A =

·R roT 1

¸

21

4.20 REPRESENTATION HOMOGENE DES CHANGEMENT DE REPERES

• Matrice de transformation A repérant la localisation (position + orientation) de l’effecteur

– r la position du point de référence O’ attaché à l’effecteur– le vecteur d’approche a, adopté comme axe local z de l’effecteur– le vecteur d’orientation o choisi comme axe local y de l’effecteur– le vecteur normale n = o x a donnant l’axe local x de l’effecteur

• Les vecteurs n, o, a sont orthonormaux

A =

2664nx ox ax rxny oy ay rynz oz az rz0 0 0 1

3775

• Soit p0, p1, p2 sont les vecteurs position du même point P dans des repères Ox0,y0,z0, Ox1,y1,z1, Ox2,y2,z2 liés à des corps de la chaîne articulée

• De manière générale, on définit par iAj la transformation permettant de passer du repère Oxiyizi au repère Oxjyjzj

• On a

• Et ainsi de suite

• La transformation combinée

• De manière récursive pour toute la chaîne cinématique

4.21 TRANSFORMATIONS HOMOGENES SUCCESSIVES

p1 =1A2 p2

0An = 0A1:1A2 : : :

n¡1An

0A2 =0A1

1A2

p0 =0A1 p1 =

0A11A2 p2

22

4.22 MANIPULATION D’OBJET DANS L’ESPACE

• Représentation de la géométrie d’un objet par les coordonnées en axes locaux d’un ensemble de ses points

• La manipulation de l’objet par le robot ou sa description dans un autre système de référence est décrite par une séquence de transformations homogènes

– où A est la matrice de transformation homogène

B0 =

26641 ¡1 ¡1 1 1 ¡10 0 0 0 4 40 0 2 2 0 01 1 1 1 1 1

3775

B = AB0

4.22 MANIPULATION D’OBJET DANS L’ESPACE

• Exemple:– Translation de 4 unité selon x– Rotation de 90° autour de Ox– Rotation de 90° autour de Oz

– On trouve finalement

A =

26641 0 0 40 1 0 00 0 1 00 0 0 1

37752664

0 0 1 00 1 0 0¡1 0 0 00 0 0 1

377526640 ¡1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

3775

=

26640 0 1 41 0 0 00 1 0 00 0 0 1

3775

B =

2 6 6 4

4 4 6 6 6 4

1 ¡ 1 ¡ 1 1 1 ¡ 1

0 0 0 0 4 4

1 1 1 1 1 1

3 7 7 5

23

4.23 INVERSION EN COORDONNEES HOMOGENES

• Transformation inverse

– représente un changement de position et d’orientation sans altération de la forme

• La matrice de transformation est de la forme

• Vérifie

• Donc

p0 = A¡1p

A¡1 =·R0 r0

oT 1

¸

AA¡1 = I

R0 = RT

r0 = ¡RT r

4.24 BOUCLE DES TRANSFORMATIONS HOMOGENES

• On a les différentes transformations– Position et orientation du support du manipulateur dans Oxyz– Position et orientation du poignet dans le repère Z– Repère attaché à l’outil par rapport à l’extrémité du poignet– Localisation du corps à saisir:– Transformation d’accorchage, décrivant la position et l’orientation de l’accrochage

• Du point de vue du robot

• Du point de vue du monde extérieur

• Identité des 2 points de vue

ZT

Z

E = Z:ZT :TE

TEB

BG

E = B:BG

Z:ZT :TE = B:BG

24

4.24 BOUCLE DES TRANSFORMATIONS HOMOGENES

• Utilisation– Par exemple, étant donné une tâche et la localisation du manipulateur, on a la configuration

du robot

• Graphe de transformation– Chaque noeud = un repère– Chaque branche =

une transformation directeou indirecte selon le sens de parcours

ZT = Z¡1 :B : BG :E¡1

4.25 REPRESENTATION HOMOGENE DES VITESSES

• Il est possible d’exprimer les vitesses et les transformations au moyen d’une seule transformation matricielle

• Avec la matrice de transformation des vitesses angulaires

• On peut montrer que celle peut s’exprimer

• Au moyen de l’opérateur différentiel de vitesse

_A =

·_R _roT 0

¸

_A = _¢ A

_p = _¢ p

_p = [ _px _py _pz 0 ]T = _A p0

25

4.25 REPRESENTATION HOMOGENE DES VITESSES

• De manière analogue avec la matrice des vitesses angulaires, on trouve explicitement

• où on retrouve

– la matrice vitesse angulaire:

– la vitesse d’un point coïncidant avec l’origine de Oxyz (p=0):

_¢ = _A A¡1 =·~! voT 0

¸

v = _r ¡ ~! r

~!

4.26 REPRESENTATION HOMOGENE DES ACCELERATIONS

• Il est possible d’exprimer les accélérations et les transformations au moyen d’une seule transformation matricielle

• Avec la matrice de transformation des accélérations angulaires

• On peut montrer que celle peut s’exprimer

• Au moyen de l’opérateur différentiel des accélérations

Äp =£Äpx Äpy Äpz 0

¤T= ÄA p0

ÄA =

·ÄR ÄroT 0

¸

ÄA = Ä¢A

Äp = Ä¢p

26

4.26 REPRESENTATION HOMOGENE DES ACCELERATIONS

• De manière analogue avec la matrice des accélérations angulaires, on trouve explicitement

– avec la matrice des accélérations angulaires et centrifuges:

– la vitesse d’un point du corps qui coïnciderait avec l’origine de Oxyz:

Ä¢ =

·B aoT 0

¸

B = ÄRRT = _~! ¡ ~! ~!T

a = Är¡ ( _~!¡ ~!~!T ) r

chapitre 4: cinematique du corps rigide - cours, examens

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