cinematique du point 2015-2016

1

1

សុ៊ីនេម៉ា ទិចនេចំេុរបូធាតុុCINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

នេនរៀេទ៊ី១Chapter1

2

សុ៊ីនេម៉ា ទិចCinématique

• និយមនយ័៖ ស ៊ីននម៉ា ទចិគជឺាការសិក្សាចលនាទងំឡាយក្សន ងលំហ ន ៀបនឹងនេល នោយមនិគតិេ៊ីប េវនហត ដែលបងកឲ្យមនចលនា និងបាត ភតូដិែលមនឥទ ធេិលនលើចលនានទ។ ទ៊ីតងំចនំ ចរបូធាត Aត្តូវបានក្សណំតក់្សន ងលំហរនៅខណៈនិមយួៗននចលនា។La cinématique est l’étude des mouvements dans l’espace et le

temps indépendamment des causes qui les a produit et des

phénomènes qui les influencent. La position du point matériel A est

déterminée dans l’espace à chaque instant du mouvement.

3

ុម្េុយលំហ េិងុម្េុយនេលRepère d’espace et repère de temps

• នែើមប ៊ីសិក្សាចលនាចនំ ចរបូធាត Aណាមួយ អ្នក្សសនងកតត្តវូដតក្សណំតទ់៊ីតងំរបសវ់ា៖– ក្សន ងលំហ (ជាលំហអឺ្គល៊ីែ (លំហប៊ីទសិ))– និងតមនេល (ជានេលនវលាោចខ់ាតមនិអាស័សយ័នឹងអ្នក្សសនងកត)

Pour étudier le mouvement d’un point matériel A un observateur

doit repérer leur position :

- dans l’espace (l’espace est Euclidien ( à trois dimensions));

- dans le temps (le temps est absolu (indépendant de

l’observateur))

4

ម្បធេ័េធនោង( Référentiels)

• នែើមប ៊ីសិក្សាឲ្យបាននេញនលញនវូចលនាស ៊ីននម៉ា ទចិ នគត្តវូក្សណំត់អ្នក្សសនងកតឲ្យបានចាសល់ាស៖់– តត្មុយលំហ ត្តូវនៅជាបនឹ់ងអ្នក្សសនងកត នោយមនOជាគល ់និងមនបាសដក្សងមយួ

Afin d’étudier complètement le mouvement cinématique,

l’observateur doit définir :

- un repère d’espace, lié à l’observateur, avec une origine O et une

base orthonormée

2

5

ទ៊ីតងំចំេុចរបូធាតុុក្នុ ងលំហរPosition d’un point dans l’espace

( )r t

ក្សន ងតត្មយុ ទ៊ីតងំចនំ ចរបូធាត A នៅខណៈ tណាមួយ ត្តវូបានក្សណំតន់ោយវ ៉ិចទរ័ នៅថាវ ៉ិចទរ័ទ៊ីតងំDans un référentiel , la position d’un point matériel A à

l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur

position.

( )r t OA

6

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេរនេកាុ (= Oxyz )

Coordonné cartésiennes

A (x,y,z)

P

(c)

y

x

z

Oux

uz

uy

7

( ) x y z

Oxyz

x

r t OA xu yu zu y

z

ដែល 0, 0, 0yx z

dudu du

dt dt dt

ក្នុងប្រព័ន្ធកូ្អរដោដន្ដែកាតទីតាំងចាំនុ្ចររូធាតុ A មួយដៅខណៈ t ក្ាំណត់ដោយ៖

, ,x y zu u u ជាវុ ៉ិចទ័រឯក្តដលើអ័ក្សOx, Oy, Oz

( , , )x y zu u u ដៅថាបាសដែកាត

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេរនេកាុ…(ុ)

8

ឧទាហរណ៍

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេនេកាុ…(ុ)

3

9

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេរសុ៊ីឡងំ ( = Oz )Coordonnées cylindrique

A

A

10

( ) 0

c

z

O z

r t OA u zu

z

ក្នុងប្រព័ន្ធកូ្អរដោដន្សីុឡាំងទីតាំងចាំនុ្ចររូធាតុ A មួយដៅខណៈ t ក្ាំណត់ដោយ៖

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេរសុ៊ីឡងំ…(ុ)

( , , )zu u u ដៅថាបាសសីុឡាំង(base locales des

coordonées cylindriques)

u ជាវុ ៉ិចទ័រឯកាតរ៉ាែាល់ (vecteur unitaire radial)

u ជាវុ ៉ិចទ័រឯកាតអរតូរ៉ាែាល់(vecteur unitaire ortho

radial)

11

ការបធម្េែង នេកាុ-សុ៊ីឡងំ

2 2

cos

sin tan( )

x yx

yy Arcx

2. ការរដមែងបាសcos sin

sin cos

x y

x y

u u u

u u u

1. ការរដមែងចាំនុ្ច

12

នេរ ៊ីនវ ៉ាវុចិទរ័ឯក្ត uេិង u ន ៀបធេឹងនេល

, du du

u udt dt

4

13

P

x

y

O

u

u

Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriques

s’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេ (= Or )

Coordonnées polaire

14

r

A(r,)

x

y

O

ur

u

En générale ( )0

P

r

Or

rr t OA ru

(cos sin )

( sin cos )

rx y

x y r

du du u u

dt dt

du du u u

dt dt

cos

sin

x r

y r

2 2

tan( )

r x y

yArc

x

vecteur unitaire ortho radialu

vecteur unitaire radialru

r : rayon polaire

: angle polaire

ម្បធេេ័ធក្អូរនោនេបធ៉ាមូ្លរ…(ុ)

15

សេ៊ីការប៉ា រ៉ា ម្េ៉ាម្ុ ឬសេ៊ីការនេលl’équation paramétrique ou l’équation horaire

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

Dans coordonnées cartésiennes:

)(

)(

)(

tzz

t

t

Dans coordonnées cylindrique:

Dans coordonnées polaire: ( )

( )

r r t

t

16

សេ៊ីការគេែងL’équation de la courbure trajectoire

0),,( zyxfDans coordonnées cartésiennes:

( )r f Dans coordonnées polaire:

Dans coordonnées cylindrique: 0),,( zf

5

17

អាបធសុ់៊ីសម្សែនកាងabscisse curviligne

O (t = 0)

A(t)

S(t)

( )r t

( ) appelée abscise curvilignea l'istant S t t

( ) appeléedéplacement du pendant r t A t

(C)

(+)trajectoire

18

ការគណនាអាបធសុ់៊ីសម្សែនកាងCalculer abscisse curviligne

•En utilisant coordonnées cartésiennes:

222dzdydxds

•En utilisant coordonnées cylindrique:

2222dzddds

•En utilisant coordonnées polaire:

222 ddds

19

O

A(t)

A’(t’)

' ' appelée déplacement

' ( ) ( ') appelée parcours

A A OA OA

A A S S t S t

ចមា យចរ េិងបធមែ ស់ទ៊ីparcours et déplacement

Distance ou parcours

Déplacement

20

Exemple

Parcours et déplacement… (suite)

6

21

Vitesse moyenne de parcours

Par définition, la vitesse moyenne de parcours est:

Sv

t

Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1

នលបឿេេ យេ - Vitesse moyenne

22

Vitesse moyenne de déplacement

Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:

( ) ( )OA OA t t OA tv

t t

Vitesse moyenne… (suite)

23

នលបឿេសណៈ - Vitesse instantanée

2 1

/ limAA A

dOAv v

dt

La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée)

d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée

sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps

calculée dans ce référentiel

24

Composantes cartésiennes

Comme

( )

( ) ( )

( )

x t

OA t y t

z t

, il vient :

2 2 2

/ ;A

x

v y v v x y z

z

Vitesse instantanée …(suite)

7

25

Composantes cylindriques

Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques

s’exprime:

/ / ρ z

ρ

ρu + u + zu

C

A Av v

z


26

Composantes polaires

Pour Z = 0 => dans coordonnées polaire :

/ / u + u

P

A A r

rv v r r

r

/Av


27

Composantes de Frenet

tu

nu

Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini

en un point de la trajectoire (c) par les trois

vecteurs unitaires suivantes:

tangent à la trajectoire

normal à la trajectoire , tel que:

vecteur unitaire

bi- normaleb t nu u u


plan osculateur

28

Composantes de Frenet…

t ndu u

dS

Où S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté

- le rayon de courbure

/A t t

dSv u Su

dt


Relation de Frenet

8

29

Accélération d’un point par rapport àun

référentiel

Définition

Composantes cartésiennes

Composantes polaire

Composantes polaire

Composantes Frenet

30

Définition

L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel

est le vecteur suivant

2

// 2

d d OA

dt dt

AA

va

31

Composantes cartésiennes de l’accélération

/

Comme OA ,

on a: A

Oxyz

x

y

z

x

a y

z

32

Composantes polaire

/

2

/

/

2

/

OA0

d d

dt dt 2

Donc:2

P P

P P P

P

A

A

A

A

rrv

r

r r rva

r r r

r ra

r r

9

33

Composantes de Frenet

// /

/

n

2

/ n

d( )

dt

dd

dt dt

d d dSMais = = u

dt dS dt

dDonc: u

dt

Frenet

AA t A

tA t

t t

A t

vv v t u a

uva u v

u u v

R

v va u

R

34

Composantes de Frenet de

2

n

daccélération tangentielle

dt

u accélération normale

t t

n

va u

va

/ n

2 2

/ n

Donc:

et :

A t

A t

a a a

a a a

35

រនបធៀបធគណនាកាកំំ្នោង -Les formules de calcul de rayon de courbure

2 2

n

22 2

22

On a u et

,

n n t n t

n

n t t

v va a a a a a a

a

dv va a a a

dt dva

dt

Si le trajet est exprimé sous la forme y = f (x), le rayon de courbure de

quelconque point de la trajectoire est déterminé à partir de l'équation

36

Dans cette partie, nous étudions le mouvement d'un cadre

par rapport à un repère fixe. Pour étudier ce cas, nous

supposons un point A qui est fixé dans le référentiel mobile

’ . Le mouvement de A présente le mouvement de ’ .

x

z

y

O

ចលនា’ន ៀបធ

Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un

référentiel

A

10

Movements possible de ’ par rapport a à

37

Chemin de translation rectiligne Chemin de translation curviligne

Rotation autour d'un axe fixe Mouvement plan général

38

mouvement de translation

Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à

un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de

mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB

est en constante dans

x

y

z

O

A’’

B’’

A’

B’A

B

/ /

AB A'B' .....

dABAB 0

dt

AB OB OA

dOB dOA0

dt dt

, A B

Cte

Cte

Donc v v

39

Mouvement de rotation autour

d’un axe de

Les points situé sur cet axe commun

à ’ et , noté OZ, ont une vitesse nulle.

Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport

à , un cercle de centre H et de rayon

HA, H étant la projection A sur l’axe de

rotation

d

ɛ

A

d

R

O O’

H

z z’

40

Mouvement de rotation autour d’un axe de …(suite)

/

/

/ '/

dS dHA ;

dt dt

dS= HA.d

R

Sou la form vectoriel:

OA

A t t

A t

A

v u u

v u

v

11

41

/ O'/

/ '

dOA dOO' dO'AOA OO' O'A

dt dt dt

dOA dOO';

dt dt

dO'ADéterminer ?avecO'A vect.posit.de

dt

Lev

Mv v

A

2

ecteur O'A étant fixe dans '.

Il évolue par rapport a en conservant sa norm.

Donc: O'A.O'A O'A

d O'A d O'A2O'A 0 O'A 0

dt dt

Cte

x

z

y

O

z’

x’

y’

O’

’

A

Mouvement le plus général de ’ par rapport à (1)

42

[M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/

Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

m m m

[M] = m m m

m m m

Mouvement le plus général de ’ par rapport à (2)

dO'A dO'AOn a : O'A 0 O'A

dt dt

Dans ,la dérivée temporelle de O'A peut s e metre

dO'Asou la forme M O'A

dt

43

'' ' ' ' '

11 12 13

21 22 23

31 32 33' '

11

21 11

31'

' ' 22

dOn a : 1 0 [ ] 0

dt

m m m1 1

0 m m m 0 0

0 0m m m

m 1

0 m 0 m 0

0 m

Pour 1 m 0

Pour

xx x x x x

y y

z

uu u u u M u

u u

u

' ' 221 m 0zu

mouvement le plus général de ’ par rapport à (3)

44

''' ' ' '

' ' ' '

11 12

21 22

31 32' '

21 12 12 21

' ' 13 3

ddOn a : 0 0

dt dt

[ ] [ ] 0

m m 0 1

m 1 0 m 0

0 0m m

m m 0 m m

Pour 0 m m

yxx y y x

x y x y

x z

uuu u u u

M u u u M u

u u

1

' ' 32 23Pour 0 m my zu u


12

45

12 13

12 23

13 23 '

12 13

12 23

13 23

dO'ADonc : [ ]O'A

dt

0 m m '

= -m 0 m '

'-m -m 0

m ' + m '

-m ' m ' (1)

-m ' m '

M

x

y

z

y z

x z

x y


46

23 ' 13 ' 12 '

23 12 13

13 12 23

12 13 23' '

M -m m - m par le vecteur O'A :

-m m ' + m ''

M O'A m ' -m ' m ' (2)

'- m -m ' m '

Par (1) et (2)

Donc: [M]O'A M O

x y zu u u

y zx

y x z

z x y

'A

En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent


47

/ O'/

dOA dOO'Donc: M O' A

dt dt

M O' AAv v


48

Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :

/ '/

/ '/

/ /

/ /

M OA

M OB

M (OB OA)

M AB

A O

B O

B A

B A

v v

v v

v v

v v


13

49

/ /

/ /

'/

Mais M AB

M 0 ω 0

B A

B A

v v

v v

ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à

i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans

/ '/

/ O'/

O'/

'/

/ O'/ '/

OA

M O'A

Mais O O' 0 ; OA O'A

M

Donc: O'A

A

A

A

v

v v

v

v v


50

បធងំុ្ចលនាComposition de mouvements

នេនរៀេទ៊ី២Chapter 2

51

Nous appellerons :

- mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ;

- mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’;

- mouvement entraînement, le mouvement de ’ par

rapport à .

x

z

y

O

z’

x’

y’

O’

’

ចលនា ោចខ់ាុ ចលនាន ៀបធ េិងចលនានាំMouvement absolu, mouvement relative et

mouvement entraînement

52

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’

x

z

y

O

z’

x’

y’

O’

’

A

Soient deux référentiels et

’ayant respectivement les trièdres orthogonaux Oxyz et O’x’y’z’

En considérons un vecteur

A

de composantes (x,y,z)

dans et de composantes

(x’,y’,z’) dans ’

14

53

' ' '

' ' ' ' '

''

OA = et O'A ' ' '

dOA d

dt dt

dO'A d' ' ' ' '

dt dt

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y

xu yu zu x u y u z u

x

xu yu zu xu yu zu y

z

x u y u z u x u y u

'

'

'

' '

'

dO'ANous voulons exprimer

dt

z

x

z u y

z

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’

54

' ' '

'' '' ' '

'/ ' '/ ' '/ '

'

dO'A d' ' '

dt dt

' ' ' ' ' 'dt dt dt

dO'A'( ) '( ) '( )

dt

dO'

x y z

yx zx y z

x y z

x u y u z u

dudu dux u y u z u x y z

x u y u z u

'/ ' ' '

'

'/

'

'/ ' ' '

A' ' '

dt

dO'AO'A

dt

et O'A seront xprimés dans la base , ,

x y z

x y z

x u y u z u

u u u

Dérivé temporelle d’un vecteur dans et ’ …

55

/

'/ '/

'

/ ' '/ '/

/

/ '

dOA dOO' dO'A

dt dt dt

dO'Aω O'A

dt

ω O'A

dOA. vitesse absolue

dt

dO'A.

dt

A

O

A O

a A

r A

v

v

v v

v v

v v

'

/ ' '/ '/

vitesse relative

. ω O'A vitesse d'entraînemente A Ov v v

Loi de composition des vitesses

56

a r ev v v

Loi de composition des vitesses …

15

57

/ / ' '/ '/

//

/ ' '/ '/

/ ' / ''/ / '

'

/ ' '/

On a :

ω O'A

d

dt

d d d(ω O'A)

dt dt dt

d dAvec: + ω

dt dt

ω

A A O

AA

A O

A AA

A

v v v

va

v v

v vv

a

/ '

'/'/

d

dt

A

OO

v

va

Loi de composition des accélérations

58

'/

'/'/

'/'/ '/

'

'/ '/ / ' '/

d(ω O'A)

dt

dω dO'AO'A ω

dt dt

dω dO'AO'A ω ω O'A

dt dt

ε O'A ω ω OAv

'/ '/ / ' '/ '/

'A

ε O'A ω ω ω O'AAv

Loi de composition des accélérations …

59

/ / ' '/ / ' '/ '/

'/ / ' '/ '/

/ '

'/ '/ '/ '/

'/ / '

ω ε O'A

ω ω ω O'A

ε O'A ω ω O'A

2ω

A A A O

A

A

O

A

a a v a

v

a

a

v


60

2

// 2

2

/ '/ ' 2

' '

'/ '/ '/ '/

d d OA. accélération absolue

dt dt

d d O'A. accélération relative

dt dt

. ε O'A ω ω O'A

Aa A

Ar A

e O

va a

va a

a a

'/ / '

accélération d'entraînement

. 2ω accélération de Coriolisc Aa v

2'/'/

dωε - vecteur accélération angulaire (rad/s ).

dt

Sa direction est perpendiculaire au

:

plan de rotation

Note


16

61

a r e ca a a a

'/ A/ '

'/

A/ '

accélération de coriolis 2ω est null dans les cas :

i). ω 0 - le repère ' est en translation par rapport à

ii). 0 - la point M est en fixe dans '

:

cNot a ve

v


62

2 1

1 0

2 0

1 0

0 1

/ 2 1

/ 1 0

/ 2 0

/

On pose :

ω vitesse angulaire de /



Pour les deux points A and B dans d'espace

d AB d AB= + ω AB

dt dt

2 0

0 2

/

d AB d AB= + ω AB

dt dt

Loi de composition des vitesses angulaire

63

1 0 2 0

1 2

2 1

1 2

1 0 2 1

1 1

/ /

/

/ /

d AB d AB+ ω AB = + ω AB (1)

dt dt

d AB d AB+ ω AB (2)

dt dt

d AB d AB+ ω AB = - ω AB+ ω

dt dt

2 0

1 0 2 1 2 0

2 0 2 1 1 0

/

/ / /

/ / /

AB

ω AB + ω AB = ω AB

ω ω + ω

Loi de composition des vitesses angulaire …

cinematique du point 2015-2016

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