clase 1 - introduccón al programa de matemáticas

3009353 Introducción al Programa de MatemáticasClase 1: Introducción al cursoSistemas de numeración

Juan D. Vélez

U. Nacional

4 febrero 2013

Juan D. Vélez (U. Nacional) Lunes 2-4 pm 4 febrero 2013 1 / 20

Información general

1 Profesor: Juan D. Vélez2 O�cina: Bloque 43, ofc 253 (4309359)3 Correo: [email protected] Horas de o�cina: Lunes 4-6 pm


Objetivos del curso

El curso está concebido como una asignatura introductoria a lacarrera de matemáticas en la cual los estudiantes puedan enterarse delcontenido general de las distintas asignaturas que la conforman.

Seguiremos una línea histórica, que va desde las matemáticas griegashasta las matemáticas contemporáneas, haciendo un rápido recorridopor toda su historia. Durante este viaje, los estudiantes tendrán laposibilidad de conocer algunas de las "joyas" del pensamientomatemático, descubrimientos que pasarán a la posteridad por subelleza y profundidad.

El énfasis se ha puesto en el desarrollo de las grandes ideas que daríanlugar a las distintas ramas del saber matemático. Se pretende que losestudiantes se familiaricen con ellas, mientras ejercitan elrazonamiento, el ingenio y la creatividad, a la vez que vanadquiriendo una cultura matemática básica.


Evaluación

1 Por medio de la participación activa, y de la solución y discusión (enclase) de problemas y artículos previamente asignados (40%).

2 Dos examenes de escogencia múltiple sobre el material cubierto enclase, uno a mitad del semestre y otro al �nal (60%) (las fechas sede�nirán pronto)


Metodología

1 Presentaciones con video-beam, y exposiciones en el tablero de cadatema.

2 Ejercicios participativos: solución de problemas asignados.3 Discusión en clase de lecturas previamente asignadas.


Metodología


2 Ejercicios participativos: solución de problemas asignados.

3 Discusión en clase de lecturas previamente asignadas.


Metodología


2 Ejercicios participativos: solución de problemas asignados.3 Discusión en clase de lecturas previamente asignadas.


Malla curricular


Componentes

Componente de fundamentación: cuarenta y ocho (48) créditosexigidos, de los cuales el estudiante deberá aprobar cuarenta (40)créditos correspondientes a asignaturas obligatorias y ocho (8)créditos correspondientes a asignaturas optativas.

Componente de Formación Disciplinar o Profesional: Sesenta y cuatro(64) créditos exigidos, de los cuales el estudiante deberá aprobarcuarenta y ocho (48) créditos correspondientes a asignaturasobligatorias y dieciséis (16) créditos correspondientes a asignaturasoptativas.

Componente de Libre Elección: Veintiocho (28) créditos exigidos, quecorresponden al 20% del total de créditos del plan de estudios.


Origen de las matemáticas

Es natural pensar que la matemática surgió con el �n de llevar lacontabilidad en el comercio, para medir la Tierra y para predecir losacontecimientos astronómicos.Paleontólogos sudafricanos descubrieron dos pedazos de roca ocredecorados con motivos geométricos. El sitio, llamado Cueva Blombos, seencuentra cerca de Ciudad del Cabo, Sudáfrica. Los artefactos datan dehace más de 70.000 años.

Estos hallazgos sugieren que desde aquella época el Homo sapiens ya eracapaz de pensar en forma abstracta.Su signi�cado es desconocido


Matemáticas en Mesopotamia

Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barroPlimpton 322 (1900 a. C.),el papiro de Moscú (1850 a. C.), el papiro deRhind (1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (800 a. C.). Entodos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser elmás antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritméticabásica y la geometría.

Tablilla Plimpton Sistema decimalJuan D. Vélez (U. Nacional) Lunes 2-4 pm 4 febrero 2013 9 / 20

Papiro de Rhind

Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas,cálculo de áreas, volúmenes y progresiones, reglas de tres, ecuacioneslineales y trigonometría básica.

Figure: Papiro Rhind


Sistemas de numeración

Antes del año 1.700 a.C los babilonios idearon un sistema de numeraciónposicional (las cifras valen según su posición dentro del número) ysexagesimal (en base 60 cada unidad grande está formada por 60 unidadesmás pequeñas). El sistema utiliza dos signos básicos: la unidad, una cuñaen posición vertical. La decena, una cuña en posición horizontal.Combinando éstas se pueden escribir los 59 primeros números (Noutilizaron el cero hasta el 400 aC.,utilizando dos cuñas oblícuas).

116.503 = 32� 602 + 21� 60+ 43


Numeración Maya

Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (base 20)(aunque mixto, en base 5 para representar los primeros 19 números)similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.También desarrollaron el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.Números del 0 al 19

Figure: Numeración Maya 0-19Juan D. Vélez (U. Nacional) Lunes 2-4 pm 4 febrero 2013 12 / 20

Representación de números arbitrarios


Detalle de la Estela 1, encontrada en el sureste de Veracruz (México).


Sistemas de numeración

Base b = 10

Potencias de 10

5139 = 5� 103 + 1� 102 + 3� 10+ 9� 100

21074 = 2� 104 + 1074= 2� 104 + 1� 103 + 74= 2� 104 + 1� 103 + 7� 10+ 4


Ejemplo (base 7)


Base 7

Potencias de 7 :

70 = 1, 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401, 75 = 16807...

5139 = 2� 74 + 337= 2� 74 + 6� 72 + 43= 2� 74 + 6� 72 + 6� 7+ 1

En base 7, el número 5139 se escribe como 20661.


Ejemplo (base 12)


En base b = 12,

Símbolos para los "dígitos" f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,D,Og .

Potencias de 12:120 = 1, 121 = 12, 122 = 144, 123 = 1728, 124 = 20736, ...

5139 = 2� 123 + 1683= 2� 123 + 11� 122 + 99= 2� 123 + 11� 122 + 8� 12+ 3

En base 12, el número 5139 se escribe como 2O83

Primeros enteros positivos en el sisetma binario (base b = 2):0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, ...


Multiplicación "maya", "veda", japonesa o grá�ca

a = 321b = 542


Calculadora digital

Se ponen las manos con las palmas vueltas hacia arriba, se numeranmentalmente los dedos, comenzando por el pulgar izquierdo y terminandoen el pulgar derecho (véase �gura siguiente, parte izquierda), puedeobtenerse de allí una calculadora manual que permite recordar la tabla delnueve. Si, por ejemplo, se desea multiplicar 4 por 9, simplemente se doblahacia adentro el cuarto dedo contados de izquierda a derecha, en este casoel anular izquierdo


Tarea

1 Extender la multiplicación maya cuando los dos númerosno poseen necesariamente el mismo número de cifras

2 Extender la multiplicación maya a cualquier base3 Explicar por qué funciona la "tabla manual" del nueve4 Otros problemas que serán asignados por internet


clase 1 - introduccón al programa de matemáticas

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