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SISTEMAS LINEALES

Ing. Diego A. Patio G. M. Sc. Ph. D.

2

MODELOS DE SISTEMAS

Objetivos:Revisar modelos de sistemas linealesPlantear descripcin por Lagrange

Referencias:BAY J.S. " Fundamentals of Linear State Space Systems", Mc Graw Hill International Edition, New York. 1999. Chapter 1ZAK S.H. Systems and Control. Oxford University Press, New York. 2003. Chapter 1

3

SISTEMA

Sistema es una coleccin de componentes que tienen dos propiedades fundamentales:Las componentes internas o subsistemas, interactan entre si.Las fronteras del sistema separan a las componentes internas del mundo externo.

ENTRADA SISTEMA SALIDA

4

SISTEMA DINMICO

Un sistema dinmico es aquel en el cual las salidas actuales son el resultado de las entradas actuales y la historia pasada.El modelo de un sistema dinmico consiste de un conjunto de estados posibles junto con una regla que determina el estado presente en trminos de los estados pasados y las entradas

5

ESTADO

Las variables de estado describen la condicin del sistemaEl estado de un sistema en el tiempo t0 es la mnima cantidad de informacin que junto con la entrada u[t0 , ) determinan la respuesta del sistema para todo t t0.Las cantidades del sistema cuya conducta se puede medir u observar se denominan salidas.

6

CONTROL

En ingeniera de control se est interesado en especificar las ENTRADAS [u(t)] que fuerzan a los estados [x(t)] o a las salidas [y(t)] a comportarse de una manera predeterminada.El problema del control incluye:

Definir un objetivo de controlModelar el sistema dinmico a controlarIdentificar un conjunto de controladoresMedir y comparar el rendimiento de los controladores

7

OBJETIVO DE CONTROL

Un controlador debe REALIZAR una tarea especfica expresada como una combinacin de restricciones de las entradas, salidas, estados y del tiempo disponible.

8

MODELOS

Modelo matemtico: Es un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema y que se obtienen a partir de las leyes de interconexin, las leyes de los elementos y de los principios fsicos fundamentales. A partir de un modelo que incluye todas las caractersticas relevantes del proceso se obtiene un modelo de diseo, que captura las caractersticas esenciales del proceso que se requieren para controlarlo.

9

MODELOS

Conjunto finito de ecuaciones de la forma:

f y h son funciones vectoriales:

Para discreto:

qpn yuxtutxthty

x)x(ttutxtftx

===

,,))(),(,()(

))(),(,()( 00

qpn

npn

hf

::

))(),(,()()( )(),(,()1( 00

kukxkhkyxkxkukxkfkx

===+

10

CONTROLADORES

La entradas u(t) o u(k) provienen de dispositivos fsicos con capacidad finita de energa: el conjunto de controladores posibles es limitado.REGULADOR: cuando el objetivo es mantener la salida en un valor constante.SERVOMECANISMO: cuando el objetivo es forzar la salida para que siga una trayectoria deseada.

11

CONTROLADORES

RENDIMIENTO: ndice o funcin de costo definida tal que su valor numrico decrece cuando la calidad del controlador mejora.OPTIMO: controlador que satisface los objetivos de control y minimiza el ndice de funcionamiento.

12

DEFINICIN DE SISTEMA

1. Sea X un espacio de estado y T un intervalo de tiempo.

2. Sea U un espacio de funciones en T que representa a las entradas del sistema

3. Para cualquier t0 en T, x0 en X y cualquier entrada u en U definida para t t0, los estados futuros del sistema estn determinados por la transformacin:

)())();(,,(:

:

1001 txtutxttcomoescrita

XUXT

=

13

PROPIEDADES DE LA DEFINICIN

4. Identidad:

5. Semigrupo:

Para ir de x (t0) a x (t2) el sistema puede ir por pasos : x (t0) x (t1) x (t2) o ir directamente

)())(),(,,( 00000 txtutxtt =

))()),(,;(,;())(),(,;( 0112002 tututttttutxtt =

14


6. Un sistema es causal si la salida en t = t0depende de los valores de la entrada y de la salida para t t0 :

Tttutu

Ttttutxtttutxtt

=

=

)()(:si soloy si

,))(),(,;())(),(,;(

21

0200100

15


7. Las salidas son funciones de la forma:

8. Las transformaciones y h son funciones continuas.Si adicionalmente cumple con:

Es invariante con el tiempo.

yUXTh :

Ttttutxtttutxtt

++=

10

001001

,))(),(,;())(),(,;(

16


Un sistema dinmico es una 5-tupla

que cumple los 8 axiomas anteriores.Los sistemas se pueden representar por:

qjuuuxxxthy

nixtxuuuxxxtfx

pnjj

iipnii

...2,1 );...,;....,;(

...2,1 )();...,;....,;(

2121

002121

==

===

},,,,{ yUXT

17


En notacin matricial:

X es el vector de estado, U el vector de entradas y Y el vector de salidas:

qpn

npn

HF

UXtHYXtXUXtFX

===

::

),,()( ),,( 00

qpn YUX ,,

EJEMPLO

La siguiente ecuacin diferencial representa un sistema?

0 0( ) ( ), ( )x t ax t x x t= =&

18

19

DESARROLLO DE MODELOS

El sistema dinmico y el modelo que lo describe son equivalentes.A mayor exactitud, mayor complejidadPara llegar a un modelo de diseo se debe hacer un balance entre exactitud y complejidadLa comprobacin del modelo requiere comparar los datos experimentales y los resultados del modelo

20

DESARROLLO DE MODELOSFORMULAR

PLANTEAR ECUACIONES

SIMPLIFICAR ECUACIONES

RESOLVER

EVALUAR E INTERPRETAR RESULTADOS

ES ADECUADO?

DISEAR CONTROLADOR

NO

REVISAR

21

REVISION DE TRABAJO Y ENERGIA

A partir de los conceptos de trabajo y energa se derivan las ecuaciones de Lagrange de movimiento.Las ecuaciones se pueden emplear para desarrollar modelos matemticos de sistemas dinmicos.Segunda ley de Newton:

madtdvmF ==

22


Respecto a sus componentes bsicas:

La ley de Newton:

[ ]

[ ]T

Tzyx

Tzyx

zyxvvvv

FFFF

==

=

=

=

dtdvdt

dvdt

dv

mFFF

F

z

y

x

z

y

x

23


Si F acta sobre una partcula ubicada en A y que se desplaza hasta B el diferencial de trabajo es:

[ ]

zFyFxFzyx

FFF

sFw

zyx

Zyx

T

++=

=

=

24


El trabajo hecho a lo largo de la trayectoria A B es:

Pero:

( )

++=

++=

B

A

B

AzzyyxxAB

dzzmdyymdxxm

FFFW

=

=

xdx

dtdxd

dtdxdx

dtdx

dtd )(

25


El trabajo realizado est asociado al cambio de energa cintica:

=

++=

++=

22

222

22

2)(

2)(

2)(

(

AB

B

A

B

AAB

vvm

zyxm

zdzydyxdxmW

26


Donde:

El trabajo requerido para cambiar la velocidad de una partcula de vA a vB es:

Una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre una partcula que se mueve de A B no depende de la trayectoria seguida.

vvvzyxv TAAAA =

=

2y

ABAB KKW =

27


Cuando la energa cintica cambia K la energa potencial debe cambiar una cantidad igual pero de signo opuesto U.

K + U = 0La suma de energa de la partcula permanece constante:

K + U = Constante

28


La energa potencial de una partcula representa una forma de energa almacenada que se puede convertir en energa cintica.

Por el teorema trabajo energa:W = K = - U

29


En forma integral:

En forma derivada.

==x

x

dssFWU0

)(

dzFdyFdxFUz

zz

y

yy

x

xx =

000

)()(

)()(

xUzU

yU

xUxF

dxxdUxF

T

=

=

=

30


La 2da ley de Newton tambin se puede escribir como:

=

=

=

++=

==

zmz

Kymy

Kxmx

KparcialesderivadasLas

zyxmK

xxmxm

K

T

; ;

:

)(2

2)(

2222

2

31


Derivando respecto al tiempo:

zy, scomponente las para mismo lo

)(

:comoescribir puede seNewton deley La

:;;:es derecho lado del terminoEl

; ;

xUx

Kdtd

FFF

zdtdm

z

Kdtdy

dtdm

y

Kdtdx

dtdm

x

Kdtd

Zyx

=

=

=

=

32


Se define el Lagrangiano:L = K-U

posicin la de depende no cintica energa la porque

velocidadla de depende no potencial energa la porque

x

U

x

U

x

K

x

L

x

K

x

U

x

K

x

L

=

=

=

=

33


Reemplazando las dos ltimas ecuaciones en la ley de Newton:

Ecuacin de Lagrange del movimiento en coordenadas cartesianas.

0

0

0

=

=

=

zL

z

Ldtd

yL

y

Ldtd

xL

x

Ldtd

34

ECUACIONES DE LAGRANGE

La ecuacin de Lagrange se puede representar en coordenadas generalizadas.Una partcula sin restricciones puede tomar cualquier posicin en el espacio.Grados de libertad = nmero de variables independientes necesarias para definir exactamente la posicin de un sistema

35


Para un sistema de p partculas, sin restricciones, el nmero de grados de libertad es 3pSi se imponen k restricciones sobre las partculas:

n (grados de libertad) = 3p kUna partcula confinada a una lnea : 1 grado de libertadUn cuerpo rgido tiene 6 grados de libertad: 3 de rotacin y 3 de translacin

36


Para describir la posicin de un sistema se necesitan tantas coordenadas como grados de libertad tenga el sistema.Estas coordenadas se pueden escoger arbitrariamente:

),,(),,(),,(

321

321

321

qqqzzqqqyyqqqxx

===

37


La derivada de x:

Si las funciones x, y, z son continuamente derivablesdos veces:

+

+

= 33

22

11

qqxq

qxq

qxx

afecta nocin diferencia deorden el Czy, x,Si 2

2

=

=

xf

yyf

xyxf

38


Para describir la posicin de una partcula que est en una superficie en un espacio de 3 dimensiones slo se requieren dos coordenadas generalizadas:

22

11

22

11

22

11

212121

qz

qz

;qy

qy

;qx

qx

:lesdiferencia las),();,();,(

qqz

qqy

qqx

qqzzqqyyqqxx

+

=

+

=

+

=

===

39


La derivada respecto al tiempo:

El diferencial de trabajo hecho por una fuerza sobre una distancia infinitesimal es:

+

== 22

11

qqxq

qx

dtdxx

zFyFxFw zyx ++=

40


Por el teorema trabajo energa, el trabajo hecho es igual al cambio en K:

Ecuacin de Dalembert

zFyFxFzzyyxxm zyx ++=++

)(

41


Para p partculas sobre las cuales actan p fuerzas y que se desplazan s1 , sp el trabajo total hecho por las fuerzas es:

Los s referidos a las dos coordenadas generalizadas q son:

iziy

p

iix zFyFxFw iii ++=

=1

zy, scomponente las para mismo Lo

22

11

qqxq

qx

x

+

=

42


Reemplazando en la ecuacin de Dalambert:

Reuniendo trminos:

)()()(

)()()(

22

11

22

11

22

11

qqzq

qzzmq

qyq

qyymq

qxq

qxxm

zzmyymxxmw

+

+

+

+

+

=

++=

2222

1111

qqzz

qyy

qxxmq

qzz

qyy

qxxmw

+

+

+

+

+

=

43


Empleando la segunda ley de Newton:

El cambio de energa definido respecto a las coordenadas generalizadas es:

2222

1111

qqzF

qyF

qxFq

qzF

qyF

qxFW zyxzyx

+

+

+

+

+

=

21 21qFqFw qq +=

44

=

+

=

111

111

qx

dtdx

qxx

dtd

qxx

qx

dtdx

qxx

qxx

dtd


La derivada del producto de funciones:

A

45


La derivada de x respecto al tiempo es:

: a respecto derivando 1

22

11

+

=

q

qqxq

qxx

B

=

11 qx

qx&

&

46

ECUACIONES DE LAGRANGELa derivada parcial de respecto a q1

x

+

=

21212

1

2

1

121 de ntesindependieson y

qx

qqq

qx

qx

qdt

dqdt

dq

21

2

22

122

1

2

11

11

22

1111

qqxq

dtdq

qqx

qxq

dtdq

qqx

qqxq

qx

qqx

+

+

+

=

+

=

47


Como las funciones son continuamente derivables:

Pero:

+

=

212

121

2

1

qqx

qq

qx

qx

+

=

=

212

11111

qqx

qq

qx

qdtdx

qqx

dtd

48


Por lo tanto:

Derivada parcial de velocidad respecto a q = derivada respecto al tiempo del gradiente de x respecto a q

=

11 qx

dtd

qx C

49


Reemplazando B y C en A:

1

2

1

2

11

2

1

111

22

21 :

q

x

q

x

dtd

qxx

q

xxq

xpero

q

xxq

xxdtd

qxx

=

=

=

50


Considerando el incremento de trabajo, slo en la direccin q1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1222222

qz

q

z

qdtdm

y

q

y

qdtdm

x

q

x

qdtdmw

+

+

=

22 1

222

1

222

1

qzmymxm

q

zmymxm

qdtdw

+

+

+

+

=

51


Se define la fuerza generalizada Fqr tal que:

La fuerza generalizada es tal que el producto es el trabajo hecho por la fuerza sobre una partcula que se desplaza r.La fuerza generalizada puede corresponder a un torque, cuando las coordenadas son angulares

1

1111

1

qF

qqzF

qyF

qxFw

q

zyx

=

+

+

=

rq qF r

52


Empleando la definicin de energa cintica:

La ecuacin de movimiento de Lagrange para la coordenada q1

UNA PARTICULA TENDRA TANTAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO COMO GRADOS DE LIBERTAD

)(2

222 ++= zyxmK

11

1

qFqK

q

Kdtd

=

53


La versin general debe tener en cuenta a las fuerzas conservativas y a las no conservativas.

{KWW

CNC=+ 321

Cpor hecho TrabajoNCpor

hecho Trabajo

54


Para el caso de friccin: la energa mecnica final es menor que la energa mecnica inicial:

La energa disipada se transforma en energa interna:

La ley de conservacin de energa:

fWEEE == 0

0int =+ UE

0..int =+++ FOUUK

55


De la segunda Ley de Newton la fuerza generalizada Fqi

Si se asume conservativa:

+

+

=i

zi

yi

xq qzF

qyF

qxFF

i

+

+

=

=

iiiq

ii

qz

zU

qy

yU

qx

xUF

dqdUqF

i

)(

56


La ecuacin de Lagrange para fuerzas conservativas:

Reemplazando el Lagrangiano: L = K-U y como la energa potencial no depende de la velocidad:

( ) 0=

=

iii

ii q

UK

q

Kdtd

qU

q

K

q

Kdtd

=

ii q

L

q

K

57


La ecuacin de Lagrange en presencia de fuerzas conservativas:

La ecuacin de Lagrange en presencia de fuerzas no conservativas:

( )iqNC

ii

Fq

L

q

Ldtd

=

0=

ii q

L

q

Ldtd

Considere un pendulo simple como un cuerpo idealizado con un puntode masa M suspendida por una cuerda de longitud l. Si el pendulotiene un grado de libertad, halle el modelo en espacio de estadosdel pendulo.

EJEMPLO 1

Robot manipulador: Hallar el modelo del sistema. Asuma que las entradas son el torque angular yla fuerza traslacional.

EJEMPLO 2

60

Referencias

1. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems. New York: McGraw Hill International. 1999. Chapter 1.

2. ZAK S.H. Systems and Control. New York: Oxford University Press. 2003. Chapter 1

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