1Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.

Circuiti Elettrici

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Capitolo 2Elementi circuitali elementari

(bipoli adinamici)

Prof. Cesare Svelto(traduzione e adattamento)

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Elementi circuitali elementari‐ Cap. 22.1 Introduzione

Soluzione di un circuito e classificazione dei componenti2.3 Resistore e legge di Ohm2.2 Elementi attivi: i generatori2.4 Connessione (in) serie e (in) parallelo di elementi semplici:

2.4.1 resistori in serie e partitore di tensione2.4.2 resistori in parallelo e partitore di corrente

2.5 Connessione serie e parallelo di generatori indipendenti2.6 Bipoli equivalenti di Thevenin e di Norton2.7 Generatori reali2.8 Trasformazioni stella‐triangolo (cenni)

Sommario

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2.1 Introduzione

• Vedremo adesso le caratteristiche di elementi circuitali semplici (bipoli adinamici) e di conseguenza le loro proprietà e possibili combinazioni in un circuito.

• Partiremo dalla descrizione matematica (caratteristica) del componente ideale che spesso approssima bene il funzionamento anche del componente reale, pur con le sue non‐idealità, impiegato nei circuiti elettrici.

• Abbiamo visto le proprietà del circuito (elettrico) come interconnessione di più elementi o componenti (elettrici)

• Impareremo a risolvere la rete in presenza di generatori(di tensione o di corrente) e di resistori.

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Sistema risolvente di un circuito• Un metodo risolutivo teoricamente possibile ma sconveniente per

calcoli svolti a mano, si basa sul ’’sistema risolvente del circuito’’. In un circuito con R rami e N nodi si individuano R correnti di ramo e R tensioni di ramo, per un totale di 2R incognite da determinare. Per risolvere il circuito occorrono 2R equazioni che formano il sistema risolvente del circuito. (a calcolatore il sistema è agevolemnte risolvibile)

• Le relazioni caratteristiche devono essere compatibili con le equazioni topologiche: non devono violare nè replicare KCL e KVL.

01

N

nni

01

M

mmv

correnti ai nodi [N]

tensioni alle maglie [M]

relazioni constitutive o caratteristichedei rami o componenti [R]

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Classificazione dei componenti

• I componenti di un circuito possono essere classificati in base a diversi criteri:‐ numero di terminali (in genere n‐poli)bipoli (2 terminali), tripoli (3 terminali), quadripoli (4 terminali)‐ impiego energeticoattivi (generano energia) o passivi (assorbono energia)‐ linearitàlineari o non‐lineari nella caratteristica tensione‐corrente‐ memoriaadinamico/resisitivo/senza memoria o dinamico/con memoriase la caratteristica coinvolge o meno derivate delle grandezze v‐i‐ tempo invarianzatempo‐invarianti o tempo‐variantise la caratteristica dipende o meno esplicitamente dal tempo

• La relazione caratteristica descrive matematicamente i legami tra correnti e tensioni ai terminali di un componente elettrico.

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Classificazione dei componenti(( caratteristiche ))

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Elementi circuitali attivi e passiviElementi attivi (generatori) Elementi passivi

(utilizzatori)

Sorgentiindipendenti

Sorgentidipendenti

(o controllate)

• Una sorgente dipendente è un elemento attivo nel quale la grandezza erogata (tensione o corrente) è controllata da un’altra tensione o corrente.

• Le sorgenti controllate sono di 4 tipi diversi: VCVS, CCVS, VCCS, CCCS.Occorre considerare anche il segno delle sorgenti indipendenti che controllano le dipendenti.

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Resistore: legge di Ohm

• La legge di Ohm dice che la tensione v ai capi di un resistore è direttamente proporzionale alla corrente i che attraversa il resistore.

• L’espressione matematica della legge di Ohm è:

iR v

• Il resistore è un bipolo caratterizzato da una tensione direttamente proporzionale alla corrente.

Fig. 2.1b PERFETTI

Fig. 2.2 PERFETTI

resistore variabile• R>0 è la resistenza e si misura in ohm (Ω) o (V/A).

caratteristica tensione‐corrente di un resistore

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Resistore: resistività

AlR

• In un conduttore cilindrico di lunghezza l e sezione Ala resistenza dipende da una caratteristica propria del materiale [capacità di opporre resistenza al passaggio della corrente] detta resistività misurata in ohm per metro (Ωm).

Fig. 2.3PERFETTI

Tab. 2.1 PERFETTI

Rameealluminiopericavielettricimentreilvetroèisolante lineealtatensione .

Tab. 2.2 SADIKU

(corrente uniforme nella sezione Adel conduttore; NO effetto pelle)

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Resistore: caratteristica• La caratteristica del resistore può essere:

lineare (resistore ideale) non‐lineare (resistore reale)

• Nei conduttori metallici aumenta con la temperatura.(un resistore reale ha un dato di targa importante che è la potenza massima dissipata per mantenere valori di resistenza vicini a quello nominale)

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Resistori

Fig. 2.12 SADIKU

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• La conduttanza è la capacità di un elemento di condurre corrente elettrica; è il reciproco della resistenza R (Ω) e si misura in siemens (S) o (A/V).

RRiip

22 vv

vi

RG

1 v Gi Fig. 2.4 PERFETTI

Legge di Joule

Resistore: conduttanza e potenza

• La potenza dissipata da un resistore percorso da corrente è:

E’ sempre p≥0 e dunque il resistore può solo assorbire potenza e non può erogare potenza al circuito.

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• Il corto circuito è un resistore di valore R=0 (G=).La sua caratteristica è v=0 indipendentemente dal valore di i.

Fig. 2.8a PERFETTI

Corto circuito e circuito aperto

Fig. 2.8b PERFETTI

• Il circuito aperto è un resistore di valore R= (G=0).La sua caratteristica è i=0 indipendentemente dal valore di v.

Fig. 2.9a PERFETTI

Fig. 2.9b PERFETTI

La corrente in un corto circuito può essere qualsiasi come la tensione in un circuito aperto può essere qualsiasi. I valori dipendono dal resto del circuito.

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• Tramite I concetti di corto circuito e circuito aperto è possibile rappresentare gli interruttori spesso utilizzati per connettere o disconnettere parti del circuito tra loro

Interruttori

• L’interruttore chiuso è sostituibile con un corto circuito.L’interruttore aperto è sostituibile con un circuito aperto.

Fig. 2.10a PERFETTI

Fig. 2.10c PERFETTI

• Esistono anche interruttori a due vie (un chiuso e un aperto).

Fig. 2.10b PERFETTI

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• La dualità è una proprietà generale dei circuiti secondo cui definizioni, formule, e teoremi hanno una doppia versioneuna duale dell’altra e ricavabili l’una dall’altra scambiando alcuni termini o alcuni simboli.

Principio di dualità

• Ad esempio corto circuito e circuito aperto sono duali (uno è il duale dell’altro) perchè dalle proprietà dell’uno si ricavano quelle dell’altro scambiando i termini tensionecorrente e resistenzaconduttanza.

Un resistore di resistenza nulla ha una tensione nulla per qualsiasi valore di corrente. Un resistore di resistenzanulla viene chiamato corto circuito. Caratteristica del corto circuito è v=0 indipendentemente dalla corrente.

corto circuito circuito apertoUn resistore di conduttanza nulla ha una corrente nulla per qualsiasi valore di tensione. Un resistore di conduttanzanulla viene chiamato circuito aperto. Caratteristica del circuito aperto è i=0 indipendentemente dalla tensione.

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Fig. 2.12bPERFETTI

• Il generatore indipendente di tensione ha una caratteristica v=vs(t) indipendente dal valore di i.

Fig. 2.11abcPERFETTI

Generatori indipendenti

Nei generatori indipendenti ideali, la potenza erogata è vsi =(vs)2/R che comporta p=∞ per R=0. Oppure vis=R(is)2 ancora con p=∞ per R=∞. Ciò non può avvenire realmente.

• Il generatore indipendente di corrente ha una caratteristica i=is(t) indipendente dal valore di v.

Fig. 2.12a

PERFETTI

• Un generatore ideale indipendente è un elemento attivo che mantiene una tensione o corrente specificata

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• I generatori dipendenti sono indicati con un simbolo a rombo. La dipendenza dalla variabile esterna è scritta esplicitamente.

Fig. 2.3 SADIKU

Generatori dipendenti

I generatori impongono una specifica quantità (v o i) e lasciano completamente libera la variabile complementare (i o v).

Tab. 2.1 SADIKU

• Un generatore ideale dipendente è un elemento attivo la cui tensione o corrente è controllata da un’altra tensione o corrente.

ix vvx iix vx

C CT

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Esempio sui generatori indipendenti

ESEMPIO 2.1 SADIKU

EsempioI4

+

V4

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Esempio sui generatori

Esempio

Si ricavi la tensione v nel ramo mostrato in Figura quando i2 = 2 A.

v

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Soluzione

La tensione v è la somma della tensione del generatore indipendente di tensione da 10 V e della tensione vx del generatore dipendentecontrollato in corrente.

Si osservi che il fattore 15 che moltiplica la corrente di controllo ha unità di ohm (Ω).

Dunque v = 10 V + vx = 10 V + 15 Ω 2 A = 40 V

Esempio sui generatori

v

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• La connessione in parallelo di più generatori di tensione è possibile solo se tutte le tensioni sono uguali.(naturalmente la tensione risultante è quella di uno qualsiasi dei generatorima la corrente nelle maglie di più generatori in parallelo è indeterminabile)

Connessione di generatori• La connessione in serie di più generatori di tensione è

equivalente ad un unico generatore con tensione pari alla somma delle tensioni dei singoli generatori.

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• La connessione in serie di più generatori di corrente è possibile solo se tutte le correnti sono uguali.(naturalmente la corrente risultante è quella di uno qualsiasi dei generatorima la tensione tra i nodi interni alla serie di generatori è indeterminabile)

Connessione di generatori

• La connessione in parallelo di più generatori di corrente è equivalente ad un unico generatore con corrente pari alla somma delle correnti dei singoli generatori.

Invocando il principio di dualità, e scambiando i termini corrente tensione e serieparallelo, otteniamo anche:

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• Per ottenere questo utile risultato occorre prima imparare a combinare tra loro le resistenze disposte in serie (ottenendo un singolo valore di Req,SER) e/o combinare tra loro le resistenze disposte in parallelo(ottenendo un singolo valore di Req,PAR)Si ripete la procedura sino a ottenere un’unica resistenza.

Connessione di resistori e Req• Spesso risulta possibile e conveniente combinare resistori

in serie e in parallelo, riducendo una rete resistiva a una singola resistenza equivalente Req tale che ai capi di Reqsi abbia la stessa caratteristica i‐v della rete originaria.

• Se presenti anche dei generatori, vedremo che per calcolare Reqoccorre “spegnere” tutti i generatori sostituendo a ogni gen.tens. un corto circuito e a ogni gen.corr. un circuito aperto.

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Calcolo Req con generatori indipendenti

Rin o Req è la resistenza di ingresso o resistenza equivalente vista ai morsetti a‐b (una volta spenti tutti i generatori indipendenti).

Req si ottiene sostituendo e semplificando la rete passiva attraverso combinazioni (e.g. serie e parallelo) delle resistenze.

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Calcolo Req con generatori indipendenti

• Considerato un circuito fatto di bipoli adinamici (resistori e generatori) si può calcolare la resistenza equivalente tra due morsetti del circuito spegnendo i generatori indipendenti ma prestando attenzione a non spegnere i generatori dipendenti. Per tenere conto del loro effetto si può applicare una sorgente forzante (v0 o i0 se si sceglie tensione o corrente), ad esempio v0=1 V, e poi si calcola la grandezza duale corrispondentemente risultante alla coppia di morsetti (ix o vxse prima si era scelto gen.tens. o gen.corr).

• A questo punto si calcola Req = v0 / ix oppure Req= vx / i0.

• Se decidiamo ci chiamare sempre v0 e i0 i valori di tensione e corrente ai morsetti, indipendentemente da quale sia il termine forzante e quale il termine risultante, allora è sempre Req= v0 / i0.

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• Un circuito a una singola maglia ha elementi tutti percorsi dalla stessa corrente i (elementi in serie).

Fig. 2.14 PERFETTI

Circuiti a singola maglia

• Applicando KVL:v1 + v2 + v3 + v4 = 0

Quando gli elementi sono generatori di tensione e resistori, possiamo calcolare la corrente i, utilizzando la somma delle tensioni sulla maglia uguale a zero e la legge di Ohm.

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2.4.1 Serie di resistori e partitore di tensione• Serie: due o più resistori sono in serie se sono connessi uno di

seguito all’altro e quindi sono percorsi dalla stessa corrente.

• La resistenza equivalente di un numero (N) di resistori connessi in serie è la somma delle singole resistenze (Rk):

N

kkN RRRRR

121SEReq,

La resistenza serie è sempre maggiore del più grande dei resistori. Se tutti i resistori sono uguali (Rk=R), Req,SER=NR.

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2.4.1 Serie di resistori e partitore di tensione

• Il partitore di tensione di una serie di N resistori, ovvero la tensione vk su un singolo resistore Rk, è esprimibile come:

dove v è la tensione complessiva ai capi della serie di resistori.

vvN

kk RRR

R

21

Infatti i=v/Req,SERe la tensione sul singolo resistore Rk della serie sarà vk = Rki = Rk v/(R1+R2+…+RN) Rk

La tensione si ripartisce tra i resistori in maniera proporzionale al valore di resistenza di ciascun resistore: vkRk.

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• Un circuito con due soli nodi ha elementi tutti sottoposti alla stessa tensione v (elementi in parallelo).

Fig. 2.22 PERFETTI

Circuiti con una coppia di nodi

• Applicando KCL ad uno dei nodi:i1 + i2 + i3 + i4 = 0

Quando gli elementi sono generatori di corrente e resistori, possiamo calcolare la tensione v, utilizzando la somma delle correnti nel nodo uguale a zero e la legge di Ohm.

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n

K kN RRRRR 121PAReq,

11111

• Parallelo: due o più resistori sono in parallelo se sono connessiagli stessi due nodi e quindi hanno ai capi la stessa tensione.

• La conduttanza equivalente di N resistori in parallelo è:

• La resistenza equivalente di N resistori in parallelo è:

N

kkN GGGGG

121PAReq,

La resistenza parallelo è sempre minore del più piccolo dei resistori. Se tutti i resistori sono uguali (Rk=R), Req,PAR=R/N.

2.4.2 Parallelo di resistori e partitore di corrente

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2.4.2 Parallelo di resistori e partitore di corrente

• Il partitore di corrente del parallelo di N resistori, ovvero la corrente ik nel singolo resistore Rk, è esprimibile come:

dove i è la corrente complessiva nel parallelo di resistori.

iiN

kk GGG

G

21

Infatti v=i/Geq,PARe la corrente sul singolo resistore Rk della serie sarà ik = Gkv = Gk i/(G1+G2+…+GN) Gk

La corrente si ripartisce tra i resistori in maniera proporzionale al valore di conduttanza di ciascun resistore: ikGk.

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2.4.2 Parallelo di resistori e partitore di corrente

NRRRR1111

21PAReq,

iRR

RiR

RR

i21

2

1

//eq,

11

v

21

21

21//eq,

111RRRR

RRR

Un caso particolare ma di grande importanza pratica è ilparallelo di due soli resistori, R1 e R2

21

21//eq, RR

RRR

iRR

RiR

RR

i21

1

2

//eq,

22

v

Le due correnti nei resistori sono:

la resistenza equivalente è il prodotto diviso la somma delle due resistenze di partenza:

La corrente in una resistenza è proporzionale al valore dell’altra resistenza.

N=2

se R1=R2=R

Req,//=R/2

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Calcolo resistenza equivalente

Req = 14.4 Ω

Esempio Ricavare Req per il circuito indicato

34

Calcolo resistenza equivalenteEsempio Ricavare Req per il circuito indicato

Req = 6 Ω

12 3

3

6

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2.6 Bipoli di Thevenin e di Norton• Due importanti collegamenti da considerare sono le connessioni:

serie tra generatore di tensionee resistore(bipolo di Thevenin)

parallelo tra generatore di correntee resistore(bipolo di Norton)

• Le caratteristiche sono formalmente identiche (bipoli duali) scambiando tensionecorrente e resistenzaconduttanza

• Quando i due bipoli (Thevenin e Norton) sono equivalenti?

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2.6 Trasformazione di generatori• Tranne casi particolari (RTh=0 o GN=0) è possibile trasformare un

bipolo di Thevenin in uno di Norton circuitalmente equivalenti(identiche relazioni i‐v ai morsetti dei bipoli)

La freccia del gen. di corrente è sempre diretta verso il terminale + del gen. di tensione.

• Una trasformazione di generatori è la sostituzione di un gen. di tensione vs in serie a un resistore R con un gen. di corrente is in parallelo a un resistore R (da Thevenin a Norton), o viceversa (da Norton a Thevenin). N.B. La resistenza R è la stessa.

A gen. spenti: stessa R nei due circuitiCon a-b in c.c. stessa ic.c.=is=vs/RCon a-b in c.a. stessa vc.a.=vs=Ris

is=vs/R da tens. a corr. (da sx a dx)

vs=Ris da corr. a tens. (da sx a dx)

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2.6 Trasformazione di generatoriEsempio Calcolare vo mediante trasformazioni di generatori

vo = 3.2 V

X

X

X

X

x

x

x

x

x

x

X

X

i = 0.4 A

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2.7 Generatori reali• Un generatore reale è modellizzabile con un generatore ideale

con aggiunta la resistenza interna RINT del generatore.

‐‐‐ per gen.tens. RINT=Rs è una resistenza serie‐‐‐ per gen.corr. RINT=Rp è una resistenza parallelo

• I generatori reali tenderanno ad avere un comportamento ideale quando Rs0 e Rp∞

Nella realtà se gen.tens. alimenta carico troppo basso (rispetto alla sua Ri=Rs) allora non riesce ad erogare la corrente sufficiente per mantenere il suo valore di tensione nominale vs. Se gen.corr. con carico troppo alto rispetto a Ri=Rp allora la corrente sul carico è inferiore al valore nominale is.

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2.7 Generatori reali• Nel generatore reale è la partizione di tensione o di corrente su

RINT esul carico, detta “effetto di carico sul generatore”, che comporta una diminuzione della grandezza erogata al carico rispetto al valore nominale in condizioni ideali.

sLs

LL v

RRRv

sR LsL Rvv per

sLp

pL i

RRR

i

pR LsL Rii per

• I generatori reali tenderanno ad avere un comportamento ‘’praticamente’’ ideale per Rs<<RL e Rp>>RL (‘’Rs piccola’’ ma non occorre zero e ‘’Rp grande’’ ma non occorre infinito).

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2.8 Trasformazioni Stella‐Triangolo

)(1cba

cb

RRRRR

R

)(2cba

ac

RRRRR

R

)(3cba

ba

RRRRR

R

1

133221

RRRRRRR

Ra

2

133221

RRRRRRR

Rb

3

133221

RRRRRRR

Rc

Triangolo -> Stella Stella -> Triangolo

(per solo riferimento)

Rc

Ra Rb

ab ab R1 R2

R3

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2.8 Reti a Stella(Y, T) e a Triangolo(, )

42

2.8 Trasformazioni Stella‐Triangolo

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Sommario Ogni elemento circuitale (un bipolo se ha due terminali) è descritto da una

equazione caratteristica che lega corrente e tensione.

Bipolo passivo (pASS,media>0) resistore: v=Ri oppure i=Gv con R resistenza e G conduttanza. Se R=0 corto circuito (c.c.) e se R= circuito aperto (c.a.).

Gli interruttori funzionano come un c.c. o c.a..

Bipolo attivo (pASS,media anche <0) generatore: gen. indipendente di tensione(vs indip. da i) o di corrente (is indip. da v); gen. dipendente di tensione (vs) o gen. dip. di corrente (is) se comandata da una vx o ix presente nel circuito.

Il principio di dualità consente di descrivere un fenomeno/dispositivoscambiando tra loro le grandezze elettriche coinvolte (tensionecorrente, resistenzaconduttanza, etc.).

La serie di più generatori di tensione è un unico generatore con tensione somma delle tensioni. Il parallelo di più generatori di corrente è un unico generatore con corrente somma delle correnti.

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Sommario

Definizione e calcolo della resistenza equivalente Req = v0 / i0.

La serie di più resistori è una resistenza equivalente somma delle resistenze con partizione di tensione proporzionale ad Rk considerato:

l parallelo di più resistori (conduttanze) è una conduttanza equivalentesomma delle conduttanze con partizione di corrente proporzionale a Gk:

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Sommario ll parallelo di due resistori da una resistenza equivalente prodotto diviso

somma delle resistenze e partizione di corrente proporzionale all’altra R:

Bipolo di Thevenin è la serie tra generatore di tensione e resistore RTh.

Bipolo di Norton è il parallelo tra generatore di corrente e resistore RN.

Trasformazione di generatori: R=RTh=RN ma VTh=RNiN e IN=VTh /RTh.

Generatore reale è un generatore ideale con una resistenza interna:Rs serie per gen.tensione (quasi ideale per Rs0)Rp parallelo per gen.corrente (quasi ideale per Rp)Caricado con RL, a causa della resistenza interna si ha un “effetto di carico”.

Trasformazione StellaTriangolo (Y,T,) esistono apposite formule.