COMPORTAMENTO DEL CONDENSATORE IN UN TRANSITORIO: ANALISI DAL PUNTO DI VISTA FISICO E DIFFERENZIALE

LEZIONE DEL 16/03/2010 – GIULIANO LAMBERTO

Per capire il fenomeno, prendiamo in esame un circuito chiamato convenzionalmente passa-alto o derivatore (impropriamente, successivamente spiegheremo perchè): esso è composto da una batteria di tensione costante pari a V0, da un condensatore di capacità C, da una resistenza di valore R e da un deviatore.

Consideriamo un deviatore ideale e cioè che richieda un tempo zero di transizione da un morsetto all’altro. Ci chiederemo come varia Vu(t) quando il deviatore passa da 1 a 2 e da 2 a 1, e quindi tracceremo un diagramma dell’uscita Vu rispetto al tempo t.

Al tempo 0- (prima del passaggio del deviatore da 1 a 2) la configurazione del circuito è quella mostrata in figura 1; in particolare supponiamo esauriti tutti i transitori, quindi entrambe le armature del condensatore (A e B di fig.1) si trovano a 0V, e anche l’uscita è a 0V. Inoltre la differenza di potenziale e la carica accumulata nel condensatore sono: V=VA-VB=(0-0)=0 e Q=C*V=0.

Per t=0+, la configurazione del circuito è quella di figura 2, con il deviatore posizionato sul morsetto 2. L’armatura A del condensatore

Figura 1

Figura 2

passerà a V0 ma nello stesso preciso istante il condensatore si troverà sottoposto ad un transitorio rapidissimo, il quale sviluppato in serie di Fourier contiene tutte le frequenze, compresa la frequenza infinito; quest’ultima determina che la reattanza del condensatore tenda a zero (solo per un istante infinitesimo), ma allora è come se ci fosse un ponte diretto (un cortocircuito) tra le due armature che fa si che anche l’armatura B salti a V0, così Vu(0+)=V0.

Inoltre, per t=0+ , la differenza di potenziale e la carica accumulata nel condensatore sono: V=VA-VB=(V0-V0)=0 e Q=C*V=0; il condensatore è ancora scarico.

Per t>0, facendo riferimento sempre a figura 2, nella maglia comincerà a circolare una corrente di spostamento che tenderà a scaricare l’armatura B del condensatore da V0 fino a 0V.

Il tempo necessario per il fenomeno fisico descritto è infinitamente lungo; per la nostra trattazione considereremo la scarica esaurita dopo un tempo di 4-5 volte con =R*C, osservabile da figura 3 essendo pari alla distanza misurata sull’asse dei tempi dell’intersezione tra la tangente a Vu(t) in t=0+(in verde) e l’asse t stesso.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

Vu(

t)

tensione di uscita in risposta ad un transitorio

Figura 3: V0=10V, =50

Esaurita la scarica, la differenza di potenziale e la carica accumulata nel condensatore sono: V=VA-VB=(V0-0)=V0 e Q=C*V=C*V0; quindi il condensatore dopo 4-5 volte risulta carico.

A questo punto saremo ancora ad uno stadio intermedio, per completare il fenomeno il deviatore deve tornare al morsetto 1 (fig.1). L’armatura A da V0 passa a 0V ma la carica presente nel condensatore si deve conservare in un istante infinitesimo cioè V deve rimanere costante. Quindi anche il potenziale dell’armatura B deve scendere da 0V a –V0 così V=VA-VB=0 -(-V0)=V0. L’uscita avrà quindi un fronte negativo inatteso e passerà a –V0 (vedi fig.3).

Successivamente gli elettroni cominceranno a defluire attraverso la resistenza determinando una caduta di tensione in uscita. Tale caduta persisterà fintanto che il transitorio non sarà ultimato e il condensatore risulti scarico. Si può notare da figura 3 come il condensatore blocchi la componente continua del segnale in uscita, infatti:

∫0

∞

Vu (t )dt=0

In un circuito passa-basso o integratore (definizione impropria) di figura 4, il discorso da fare cambia; mi aspetto infatti una componente continua in uscita che non viene bloccata dal condensatore, cioè

∫0

∞

Vu (t )dt ≠0 .

Prima dell’istante iniziale il deviatore è posizionato sul morsetto 1 (fig.4); tutti i componenti sono a potenziale zero quindi V=0 e Q=0.

Al tempo t=0, il deviatore passa istantaneamente al morsetto 2(fig.5) e c’è la comparsa di un gradino che ha al suo interno tutte le frequenze, compresa quella infinito che mi fa considerare il condensatore come un cortocircuito per un istante infinitesimo. Così in uscita mi trovo sempre potenziale zero con V=0 e Q=0.

Figura 4

Per t>0, il condensatore comincia a caricarsi attraverso la resistenza tramite

l’espressione: Vu (t )=V 0∗(1−e−tτ ) , τ=R∗C ; (vedi fig.6)

L’armatura B del condensatore resterà a 0V, mentre l’armatura A tenderà a portarsi ad un valore V0 dopo un tempo infinitamente lungo (per la nostra trattazione 4-5 Così V=VA-VB=V0 - 0V=V0 e Q=V0*C ; inoltre nel condensatore sarà immagazzinata un’energia E=1/2*C*(V0)2.

Riposizionando il deviatore sul morsetto 1 il condensatore si scaricherà attraverso la resistenza con legge esponenziale (fig.6).

Figura 5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-5

0

5

10

15

t

Vu(

t)

tensione di uscita in risposta ad un transitorio

Figura 6: V0=10 ; =50

Osservando le forme d’onda di uscita delle figure 3 e 6 si capisce perché i circuiti di passa-alto e passa-basso analizzati non possono essere chiamati rispettivamente derivatore e integratore. Se così fosse infatti nel caso del passa-alto, integrando l’uscita dovrei ritrovare la V0 di ingresso e nel caso del passa basso derivando l’uscita dovrei trovare sempre la V0 di ingresso; ciò non avviene. Quindi chiamare i circuiti visti derivatore e integratore è certamente improprio.

Detto questo c’è da notare che in un passa-alto, se la costante di tempo =R*C è molto piccola, la tangente dei fronti di discesa e di salita(in verde in figura 3) tende ad essere verticale; ciò significa che la risposta in uscita del circuito passa-alto in questione, ad un’onda quadra in ingresso, è un treno di impulsi (fig.7). Gli impulsi rappresentano la derivata dei fronti d’onda di salita e di discesa, sono di dirac. Quindi il passa-alto descritto, con una costante di tempo piccolissima può essere considerato come un derivatore; lo chiameremo infatti like-derivator.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Vin

(t)-

Vu(

t)

like-derivator

Figura 7

Viceversa se in un passa-basso la t è molto grande, la fase di carica del condensatore è molto lenta ed è assimilabile ad una rampa (fig.8). La derivata di una rampa è una costante quindi il circuito analizzato potrebbe funzionare da integratore. Il passa-basso descritto, con una costante di tempo molto grande può essere considerato come un integratore; lo chiameremo infatti like-integrator.

Si può dire in generale che il like-derivator si avvicina sempre più ad un derivatore tanto più si avvicina a zero, e il like-integrator si avvicina sempre più ad un integratore tanto più aumenta.

Passiamo adesso ad un’analisi differenziale dei circuiti passa-alto e passa-basso:

0 100 200 300 400 500 600 700-5

0

5

10

15

t

Vu(

t)=

V0*

(1-e

xp(-

t/10

00))

like-integrator

Figura 8

In generale, attraverso un condensatore:

i (t )=dQdt

=d (C ∙V )dx

=C ∙ dVdt

+V ∙ dCdt

Per noi:

i (t )=C ∙ dVdt ⇔

V= 1C∙∫0

t

i (t )dt

Avendo trascurato la porzione V ∙dCdt per C pressoché costante

Consideriamo un passa-alto. Osservando figura 9, la caduta di tensione ai capi del generatore è pari alla somma delle cadute ai capi di R e di C:

V 0=1C∙∫0

t

i ( t )dt+R ∙i ( t )derivandoambo imembri⇒

0=i(t)C

+R ∙di(t)dt

∫ di (t )i ( t )

=−∫ dtR ∙C

con τ=R ∙C⇒

ln i ( t )=−tτ

+k⇒i ( t )=A ∙e

−tτ

Quanto vale A? Imponiamo la condizione all’istante iniziale

per t→0 ; i ( t )=A

A è la corrente all’istante iniziale:

A=V 0R ⇒

i ( t )=V 0

R∙e

−tτ Quindi: V u ( t )=R ∙i (t )=V 0 ∙ e

−tτ

CRV0

+

-

Figura 9

Ora consideriamo una Vin(t) funzione del tempo qualunque, però variabile, al posto della V0 costante (fig.10):

V i(t)=1C∙∫0

t

i ( t )dt+R ∙ i (t )derivandoamboimembri⇒

dV i(t)dt

=i(t)C

+R ∙di (t)dt

Assumendo R e C molto piccoli, 1/C è dominante rispetto a R, allora:

dV i( t)dt

≅i (t )C

⇔

i(t)≅C ∙dV i( t)dt

Da cui:

V u ( t )=R ∙i (t )≅ RC ∙d V i(t)dt

Con l’approssimazione fatta la tensione di uscita è proporzionale alla derivata del segnale di ingresso.

CRVin(t)

CC

R

Vin(t)

Figura 10

Figura 12

C

RV0

+

-

Figura 11

Ora osserviamo il passa-basso (fig.11 e 12):

i (t )=R ∙(V i−V u)⇔V u=

1C∙∫0

t

i (t )dt

Come per il passa-alto, la caduta di tensione ai capi del generatore è pari alla somma delle cadute ai capi di R e di C:

V i(t)=1C∙∫0

t

i ( t )dt+R ∙ i (t )derivandoamboimembri⇒

dV i(t)dt

=i(t)C

+R ∙di(t)dt

Assumendo stavolta R e C molto grandi, R è dominante rispetto a 1/C, allora:

dV i( t)dt

≅ R ∙di (t )dt

⇔

di(t)≅d V i(t)R

Da cui:

V u ( t )= 1C∙∫0

t

i ( t )dt ≅ 1RC∙∫0

t

i ( t )dt

Con l’approssimazione fatta la tensione di uscita è proporzionale all’integrale del segnale di ingresso.

In conclusione si può notare come l’analisi dal punto di vista fisico sia stata confermata dai risultati dell’analisi differenziale.