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Fisica II - Informatica

Capacità

Capacità elettrica Condensatore

Condensatore = sistema per immagazzinare energia (elettrica)


Capacità

La capacità è una misura di quanta carica debba possedere un certo tipo di condensatore per avere una data differenza di potenziale tra le armature:maggiore capacità, maggiore è la carica necessaria.(la capacità è sempre positiva !)

Unità di misura1 Farad = 1 F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V

QC

V

Definizione


Capacità di una sfera isolataTesi:La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche geometriche dei conduttori.

04sfera ee

e

Q Q Q RV k C R

QR V kk R

Dimostrazione:Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q. Per simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un guscio sferico concentrico di raggio infinito. Essendo V=0 sul guscio di raggio infinito, la capacità della sfera sarà:

La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla differenza di potenziale.


Carica di un condensatore

•Inizialmente potenziale nullo•Chiusura interruttore•Campo elettrico “spinge” gli elettroni

•Piatto h perde elettroni•Piatto l acquisisce elettroni•Al crescere della carica (su C) cresce d.d.p. fino a V

•h e (+) batteria allo stesso potenziale, campo nullo, flusso elettroni nullo

•Il condensatore è carico


Calcolo capacità elettrica

0

0 0

0

Legge di Gauss d q

qquindi

A

d e cost q EA

E A

E

E A E

0 = 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)

0

0 0

. . .f d

f i id d p V V d da cui V E ds E ds Ed

Aq CV EA C E d C

d

E s


Condensatore cilindrico

0

0

0 0

0

2

2

ln2 2

2 .ln

E

b b

b a ra a

Legge Gauss sup. cilindrica E cost e radiale

qd E dA E rL

qda cui E

rL

q dr q aV V E dr

L r L b

q LC C L lungh cilindro

V b a

E A


Condensatore sferico

20 0 20

20

0 0

0

14

4

4

1 1

4 4

4

b b

b a ra a

Legge Gauss sup. sferica

qq EA E r E

r

q drV V E dr

r

q q a b

a b ab

q abC

V b a

0

0

41

4

aSfera isolata C

a b

per b e ponendo a R

C R


Collegamento di condensatori simboli circuitali

esempio di circuito


Condensatori in parallelo

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1

eq

n

eq jj

q CV q C V q C V

q q q q C C C V

qC C C C

V

C C n condensatori in parallelo


Condensatori in serie

1 1 2 2 3 3

1 2 31 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

eq

eq

n

jeq j

V q C V q C V q C

V V V V qC C C

qC

V C C C

C C C C

n condensatori in serieC C


Energia di un Condensatore

QC

V

• Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ? – Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare

un condensatore a +/- Q:

• Calcolare il lavoro incrementale dW necessario per aggiungere una carica dq al condensatore alla tensione V :

( )q

dW V q dq dqC

- +

• Il lavoro totale W per caricare a Q è quindi dato da:

• In termini della tensione V usando si ha:

21

2W CV

2

0

1 1

2

QQ

W qdqC C

0piatti paralleli

AC

d


Dove è immagazzinata l’energia ?• Tesi: l’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso.

Pensiamo all’energia necessaria per caricare il condensatore come all’energia necessaria per creare il campo.

• Il campo elettrico è dato da:

0 0

QE

A

20

1

2U E Ad

• La densità di energia u nel campo è data da:

20

1

2

W Wu E

volume Ad

3m

JUnità:

Questa è la densità di energia, u, del campo elettrico….

• Per calcolare la densità di energia nel campo, si consideri prima il campo costante generato da un condensatore piano parallelo, dove

2 2

0

1 1

2 2 ( / )

Q QU

C A d ++++++++ +++++++

- - - - - - - - - - - - - -- Q

+Q

Il caso è del tutto generale anche se calcolato per un condensatore ad armature piane e parallele.


Dielettrici• Osservazione sperimentale:

Inserendo un materiale non-condutore tra i piatti di un condensatore si modifica il VALORE della capacità.

• Definizione:La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le capacità in presenza ed in assenza di un dielettrico, cioè

0r

C

C

– i valori di r sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78) (acqua molto pure e non-conduttrice (de-ionizzata)

– essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto “positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)

– essi permettono di immagazzinare una maggiore quantità di energia (rispetto al caso del vuoto ovvero aria)


Rigidità DielettricaIl valore massimo del campo elettrico che un materiale dielettrico può sopportare prima di una rottura distruttiva.

Per esempio la rigidità dielettrica dell’aria è 3 kV/mm e quella del Pyrex è 14 kV/mm.

• Essa limita la tensione che può essere applicata al condensatore. La tensione massima è chiamata potenziale di rottura (breakdown).

• Se i due piatti di un condensatore sono separati da 1 mm, il potenziale di rottura è di 3 kV se lo spazio tra i piatti è costituito da aria, mentre è di 14 kV se lo spazio è riempito di Pyrex.

Rigidità Dielettrica



Piatti Paralleli: Esempio• Carichiamo un condensatore a piatti

piani e paralleli separati dal vuoto (aria) alla d.d.p. V0.

• Una quantità di carica Q = C0V0 viene a trovarsi su ciascun piatto.

• Inseriamo ora un materiale con costante dielettrica r.

– La carica Q rimane costante (piatti isolati)

• QUINDI !!!

Q+++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - -

E0V0

- - - - - - - - - - - - - - -

+++++++++++++++Q

V E

+

- +

-

+

-+

-

+

-

+

-+

-

0

r

VV

– Si trova che V0 diminuisce a

0

r

EE

– il campo elettrico diminuisce :

– Quindi, C = Q0/V = r C0 0r

Condensatore piano

AC

d


Piatti Paralleli: Esempio

• MODIFICHE ALLA LEGGE DI GAUSS ?– Come può diminuire il campo se la

carica rimane la stessa ?

0

r

VV

0

rE

E

Q

Q

E

V0

V

E0

+++++++++++++

- - - - - - - - - - - - -

+++++++++++++

- - - - - - - - - - - - -

++

-

+

- +

-

+

- +

-

+

-

+

-+

-+

-

– Risposta: il dielettrico si polarizza in presenza del campo dovuto a Q. • Le molecole si allineano parzialmente

con il campo in maniera che la loro carica negativa si sposta verso il piatto positivo.

• Il campo dovuto a questa redistribuzione all’interno del dielettrico (orientazione dipoli) si oppone al campo originale ed è quindi responsabile della riduzione del campo effettivo.


Polarizzazione indotta

Polarizzazione indotta

Dipolo elettrico permanente


Dielettrici nei condensatori !

• Condensatore a piatti paralleli separati da vuoto

oε

σE vuoto

+ + + + + + + +

- - - - - - - -

dielettrico

+ + + + + + + +

- - - - - - - -

σ

εrE

o

la costante dielettrica relativa può essere grande

• Condensatore con dielettrico tra i piatti– intensità del campo E ridotta

dalla “costante dielettrica relativa”

• Perchè ?– la polarizzazione dielettrica determina

una carica superficiale sul dielettrico che cancella parzialmente l’effetto delle cariche libere (sui piatti)


Modifiche alla Legge di Gauss(in presenza di dielettrici)

Riscrivendo la legge di Gauss in presenza del dielettrico:

Questa forma della Legge di Gauss può essere usata nel vuoto o nel dielettrico, q rappresenta la carica “libera".

(la carica libera è la carica che si può muovere, p.es. sulle armature)

0 r dS

E q

Nel vuoto:0 0 d

E S q

Con un dielettrico il campo si riduce: 0

rE

E


Condensatori reali: come sono fatti


Capacità: fenomeni naturali e

applicazioni

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