cours cinetique

7/17/2019 Cours Cinetique

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CPGE –Meknès- SI / S2I MP et PSI Cinétique

A Balga

1

CINETIQUE

I- CENTRE D’INERTIE : (voir cours de statique )Le centre d’inertie d’un ensemble matériel (E) de

masse m est le point G tel que :

P E

mOG = OP dm

Le centr e d’inertie G de (E) vérifie aussi : P E

GP dm = 0

;

Si (E) est une partition de n sous ensembles matériels :

E = i ni 1 iE tel que chaque Ei est de masse mi et de centre d’inertie Gi

Alors :

1 2 3

n

i 1P E P E E E ... P Ei

mOG OP dm OP dm OP dm

Donc n

ii

i=

n

i

11 i=

m avec m =O = mG m OG ( m : masse de l’ensemble matériel (E) ) ;

Si (E) admet un élément de symétrie matérielle (plan , axe , centre ) alors son centre d’inertie G appartientà cet élément de symétrie.

II- OPERATEUR D’INERTIE – MATRICE D’INERTIE :2.1. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe : . Soit (S) un solide ;

. Soit )z,y,x,R(O

un repère ;

. Soit )u,O(

un axe d’origine O (origine du repère R) etde vecteur unitaire u

.

. Soit P un point courant de (S) de masse élémentaire dm .

Par définition le moment d’inertie du solide (S) par rapport

à l’axe () est le scalaire positif :

dmHPI2

SP

On a : sinOPHP or u

est un vecteur unitaire donc 1u

Alors sinOPuHP

= OPu

et 2 2

A

HP u OP u OP u OP

OPuOP.uAOP.uHP2

Donc dmOPuOP.uI

SP

Comme u

est indépendant de m alors dmOPuOP.uI

SP

D’où OΔI = u.J (S, u) (à retenir)

x

y

z

O

P

dmG

(E)

..

x

y

z

O

P

dm

( )

u

H(S)

.

.



CPGE –Meknès- Cinétique

A Balga

2

2.2. Opérateur d’inertie d’un solide :L’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O est l’opérateur linéaire qui à tout vecteur u

fait

correspondre le vecteur : O

P S

J (S,u) = OP u OP dm

dmOPuOP)u,S(Ju

SP

OJO

2.3. Matrice d’inertie d’un solide :

L’opérateur d’inertie est linéaire donc on peut lui associer une matrice : O OJ (S,u)= I (S) u (à retenir)

Cherchons la matrice d’inertie OI (S) .

On a : O

(x,y,z)

I (S)

. . .

. . .

. . .

Soit P un point courant de (S) de masse élémentaire dm , soit zzyyxxOP

.

On a O

P S

J (S,x) OP x OP dm

(x , y,z) (x , y,z)

1 x 0

x OP 0 y z

0 z y

donc

2 2

(x,y,z) (x,y,z)

x 0 y z

OP x OP y z xy

z y xz

Donc

2 2O

P S P S P S P S

J (S,x) OP x OP dm (y z )dm x xydm y xzdm z

De même : 2 2O

P S P S P S P S

J (S, y) OP y OP dm xydm x (x z )dm y yzdm z

2 2O

P S P S P S P S

J (S,z) OP z OP dm xzdm x yzdm y (x y )dm z

D’ou

2 2

P S P S P S

2 2O

P S P S P S

2 2

P S P S P S(x , y , z)

y + z dm - xy dm - xz dm

I (S) = - xy dm x + z dm - yz dm

- xz dm - yz dm x + y dm

(à retenir)

[IO(S)] est la matrice d’inertie du solide (S) au point O, exprimée dans la base (x,y,z) ,

[IO(S)] est associée à l’opérateur d’inertie )u,S(JO

. On note :

)x,S(JO

)y,S(JO

)z,S(JO

O

(x,y,z)

A F E

I (S) F B D

E D C

OJ (S,x) OJ (S,y) OJ (S,z)

x

y

z

O

P

dm

(S)

.




A Balga

3

*

SP

22Ox dmzyIA : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )x,O(

( )x,S(J.xA O

) ;

*

SP

22Oy dmzxIB : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )y,O(

;

*

SP

22Oz dmyxIC : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe )z,O(

;

*

SP

Oxy dmxyIF : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )x,O(

et )y,O(

( O OF x .J (S, y) y.J (S, x) )

*

SP

Oxz dmxzIE : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )x,O(

et )z,O(

;

*

SP

Oyz dmyzID : produit d’inertie de (S) par rapport aux axes )y,O(

et )z,O(

.

2.4. Application : (S) : tige rectiligne ,homogène , de masse m , de longueur l ,de diamètre négligeable et de centre d’inertie G ;

R(G , x , y , z) repère lié à (S).

1) déterminer en fonction de m et l la matrice d’inertie de (S)

au point G dans la base )z,y,x(

.

2) déterminer le moment d’inertie de la tige (S) par rapport à

l’axe )u,G(

tel que le vecteur unitaire u est situé dans le

plan (G , y , z) et (y , u)

2.5. Base principale d’inertie :

La matrice d’inertie [IO(S)] est à coefficients réels et elle est symétrique , donc elle estdiagonalisable. Il existe donc une base de vecteurs propres )z,y,x( 111

dans laquelle on a :

1 1 1

1

O 1

1 (x , y , z )

A 0 0

I (S) 0 B 0

0 0 C

* )x,(O 1

, )y,O( 1

et )z,(O 1

sont les axes principaux d’inertie de (S) au point O

0 1 0 1 1 1J (S,x ) I (S) x A x ;

* A1 , B1 et C1 sont les moments d’inertie principaux de (S) au point O .

2.6. Symétrie matérielle d’un solide :On a la symétrie matérielle si on a à la fois la symétrie géométrique

et la symétrie de répartition de masse.

a) Solide (S) ayant (O,x,y)comme plan de symétrie matérielle :

A tout point P(x , y , z) de masse dm correspond son symétrique

P’(x , y , – z) de masse dm également .

On a :

SP

Oyz dmyzID

Soit S = S1 S2 avec S1 la partie de S située au dessus du plan )y,x,O(

et S2 la partie située au dessous .

Alors

21 SSPSP

Oyz dmyzdmyzID

21 SPSP

dmyzdmyz

G

(S)

-l /2

l /2

( )

α

z

y

x

u

Ox

y

z

-z

P

P’

(S)

(S1)

(S2)

z

y

x




A Balga

4

1 1P S P S

yz m y z m 0

Donc D=0 et de même on montre que 0dmxzIE

SP

Oxz

;

D’où : 0

(x,y,z)

A F 0

I (S) F B 00 0 C

; (O,z) est un axe principal d’inertie de (S) .

b) Solide (S) ayant (O,x,z) et (O,y,z) comme plans de symétrie matérielle :

. (O,x,z) plan de symétrie matérielle donc

P S P S

xydm yzdm 0

. )z,y,O(

plan de symétrie matérielle donc :

0dmxzdmxy

SPSP

D’où 0

(x,y,z)

A 0 0

I (S) 0 B 0

0 0 C

;

(x,y,z) est une base principale d’inertie de (S)

Remarque : il suffit que le repère )z,y,x,R(O

présente deux plans de symétrie matérielle pour (S)

pour que sa matrice d’inertie au point O soit diagonale dans la base )z,y,x(

.

c) Solide (S) ayant (O ,z) comme axe de symétrie matérielle de révolution :

Tout plan contenant l’axe )z,O(

est un plan de symétrie

matérielle de (S) donc :

2.7. Théorème de Huygens généralisé :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G.

. Soit A un point.

. Le théorème de Huygens permet de mettre en relation les

matrices d’inertie de (S) aux points A et G : [IA(S)] et [IG(S)]

exprimées dans la même base )z,y,x(

.

On a : A

P SAG GP

J (S, u) AP (u AP)dm

SP SP

A dm)APu(GPdm)APu(AG)u,S(J

SPSPdm)APu(GP)dmAPu(AG

Or AGmdmAP

SP

(G est le centre d’inertie de (S))

dans toute base orthonormée dont

le 3eme

vecteur unitaire est z

)z,y,x(

ou (u,v,z)

0

( , , z)

A 0 0

I (S) 0 A 0

0 0 C

A

G

(S)

x

x

y

y z

z

y O

(S)

x

z

u

v

x

O(S)

y

z




A Balga

5

Donc A

P SAG GP

J (S, u) mAG (u AG) GP (u AP ) dm

SPSP

A dm)GPu(GPdm)AGu(GP)AGu(AGm)u,S(J

SP

)AGu()dmGP( )u,S(JG

Or 0dmGP

SP

(G est le centre d’inertie de (S))

Donc

Soit sous forme matricielle : A G AI (S) u I (S) u I (m,G) u et comme u

est quelconque alors :

Soit (x,y,z)

a

AG = b

c

alors :

G G G

2 2

G G G

2 2

G G G(x,y ,z) (x,y ,z) (x,y,z)

A -F -E A -F -E m(b + c ) -mab -mac

-F B -D = -F B -D + -mab m(a + c ) -mbc

-E -D C -E -D C -mac -mbc m(a + b )

Remarques :

1. On a C = CG + m(a2 + b

2)

IAz = IGz + m(a2 + b2)

a2 + b

2 représente le carré de la distance entre les

axes )z,A(

et )z,G(

2. Soit G un axe passant par le centre d’inertie G de (S) et

A un axe passant par le point A tel que A// G alorson a de même :

Avec d = distance (A , G)

m : masse du solide (S) .

AI (m,G) représente la matrice d’inertie de (S) au

point A en supposant sa masse concentrée en G

GI (S) AI (S)

A = AG + m(b + c ) D = DG + mbc

B = BG + m(a2 + c2) E = EG + mac

C = CG + m(a2 + b2) F = FG + mab

A

G

a

b

c

x

y

z z

A G AI (S) = I (S) + I (m,G)

2

A GΔ Δ

I = I + md

)AGu(AGm)u,S(J)u,S(J GA

( Th de Huygens généralisé )

( Th de Huygens )

( A) ( G)

d

GA (S)




A Balga

6

III- TORSEUR CINETIQUE : . Soit (E) un ensemble matériel de masse m et

de centre d’inertie G en mouvement par rapport

à un repère )z,y,x,R(O

.

* Définition : Le torseur cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement rapport aurepère R , en un point A quelconque est :

C

(E/R) =

CP E

A

P E

A

A

V(P / R)dmR (E / R)

(E / R)AP V(P / R)dm

. c

P E

R (E / R) V(P / R)dm

: est la résultante cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son

mouvement par rapport au repère R.

. A (E / R) =P E

AP V(P / R)dm

: est le moment cinétique au point A de l’ensemble matériel

(E) dans son mouvement par rapport au repère R.

* Expression de cR (E/ R) :

G étant le centre d’inertie de (E) donc

EP

dmOPOGm

En dérivant par rapport à t dans R

R EPR

dmOPdt

dOG

dt

dm

dmOPdt

ddmOP

dt

d

R EPR EP

(valable pour un ensemble matériel (E)

a masse conservative)

Donc dmOPdt

dOG

dt

dm

R EPR

D’où dm)R /P(V)R /G(Vm

EP

cR (E / R) dm)R /P(V

EP

)R /G(Vm

Donc

(E/R) A A

mV(G / R)=

(E / R)σ

x

y

z

O

P

dmG

(E)

..




A Balga

7

* Remarques :

Le torseur cinétique est aussi appelé torseur des quantités de mouvement ;

C (E/R) est un torseur donc : A B(E / R) = (E / R)+ AB mV(G / R)σ σ

( A et B deux points de l’espace )

Si la masse de (E) est supposée concentrée en son centre d’inertie G alors :

C (E/R) =

G A

mV(G / R) mV(G / R)

0 AG mV(G / R)

Si (E) se réduit à une masse ponctuelle P alors :

C (P/R) =

P A

mV(P / R) mV(P / R)

0 AP mV(P / R)

IV- TORSEUR DYNAMIQUE :

* Définition : Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement rapport aurepère R , en un point A quelconque est :

D (E/R) =dP E

A

P E

A

A

(P / R)dmR (E / R)

(E / R)AP (P / R)dm

. dm)R /P()R /E(R

EP

d

: est la résultante dynamique de l’ensemble matériel (E) dans son

mouvement par rapport au repère R.

. )R /E(A = dm)R /P(AP

EP

: est le moment dynamique au point A de l’ensemble matériel (E)

dans son mouvement par rapport au repère R.

* Expression de )R /E(R d :

On a

EP

dm)R /P(V)R /G(Vm

En dérivant par rapport à t dans R

R EPR

dm)R /P(Vdt

d)R /G(V

dt

dm

dm)R /P(Vdt

ddm)R /P(Vdt

d

R EPR EP

Donc dm)R /P(Vdt

)R /G(Vdt

m

R EPR

D’où dm)R /P()R /G(m

EP

)R /E(R d dm)R /P(

EP

)R /G(m

Donc

D

(E/R) A A

mγ(G / R)=

δ (E / R)




A Balga

8

* Remarques :

Le torseur dynamique est aussi appelé torseur des quantités d’accélération ;

D (E/R) est un torseur donc : A Bδ (E / R) = δ (E / R) + AB mγ(G / R)

( A et B deux points de l’espace )

Si la masse de (E) est supposée concentrée en son centre d’inertie G alors :

D (E/R) =

G A

m (G / R) m (G / R)

0 AG m (G / R)

Si (E) se réduit à une masse ponctuelle P alors :

D (P/R) =

P A

m (P / R) m (P / R)

0 AP m (P / R)

V- RELATION ENTRE LE MOMENT CINETIQUE ET LE MOMENT DYNAMIQUE :

On a A

P E

(E / R) AP V(P / R)dm

, en dérivant par rapport à t dans R :

A

R P E R

d d(E / R) AP V(P / R)dm

dt dt

= dm)R /P(VAPdt

d

EP R

= dm)R /P(VAPdt

EP R

+ dm)R /P(V

dtAP

EP R

= dm)R /P(V)R /A(V)R /P(V

EP + dm)R /P(AP

EP

= dm)R /P(V)R /A(V

EP

+ )R /E(A

Or )R /G(Vmdm)R /P(V

EP

D’où

A A

R

dδ (E / R) = (E / R) + V(A / R) mV(G / R)

dtσ

( A est un point quelconque de l’espace )

* Cas particuliers :

Le point A est fixe dans R : A A

R

d(E / R) (E / R)

dt

Le point A est confondu avec G (A G) :

G G

R

dδ (E / R) = (E / R)

dtσ

)R /G(V//)R /A(V : A A

R

d(E / R) (E / R)dt




A Balga

9

VI- MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G

en mouvement par rapport à un repère )z,y,x,R(O

;

. Soit A un point de (S) ;

On a A

P S

(S / R) AP V(P / R)dm

A et P sont deux points de (S) donc :

AP)R /S()R /SA(V)R /SP(V)R /P(V

Alors A

P S

(S / R) AP V(A S / R) (S / R) AP dm

dmAP)R /S(APdm)R /SA(VAP

SP SP

)R /SA(VdmAP

SP

))R /S(,S(JA

( )R /SA(V est indépendant de m )

Et AGmdmAP

SP

D’où

AA

A

(S / R)=J (S, Ω(S / R)) + mAG V(A S / R)

= I (S) Ω(S / R) + mAG V(A S / R)

σ

( A est un point du solide (S) )

* Cas particuliers : Le point A est fixe dans R : AA A(S/ R) J (S, (S/ R)) I (S) (S/ R)

Le point A est confondu avec G (A G) : GG G(S / R)=J (S,Ω(S / R))= I (S) Ω(S / R)σ

Solide (S1) en rotation autour d’un axe fixe dans le repère R :)z,y,x,R(O

repère lié au bâti (S0) ;

1 1 1R (O , x , y , z) repère lié à (S1) ;

L(S1/S0) = pivot d’axe (O, z) , soit )y,y()x,x( 11

.

Soit O 1

1 1(x ,y ,z)

A F E

I (S ) F B D

E D C

, (S1) est supposé quelconque .

x

y

z

O

P

dm

A.

.

(S)

O

(S1)(S0)

x x 1x

z y

1y z




A Balga

10

Le point O est fixe dans R donc O 1 O 1 1(S / R) I (S ) (S / R)

Or z)R /S( 1

donc O 1

1 1 1 1(x ,y ,z) (x ,y ,z)

A F E 0 E

(S / R) F B D 0 D

E D C C

O 1 1 1(S / R) E x D y C z

Remarques concernant ce cas particulier :

. Rq1 : pour un solide (S1) en rotation autour de l’axe )z,O(

fixe dans R , O 1(S / R)

n’est porté par l’axe de rotation z

( O 1(S / R) C z ) que si E = D = 0 ,

donc que si )z,O(

est un axe principal d’inertie de (S1 ) .

. Rq2 : La projection du moment cinétique O 1(S / R) sur l’axe de rotation z

est :

O 1 Ozz. (S / R) C I

avec IOz = C : moment d’inertie de (S1) par rapport à l’axe )z,O(




A Balga

11

VII- ENERGIE CINETIQUE :L’énergie cinétique de l’ensemble matériel (E)

dans son mouvement par rapport aurepère R est le scalaire positif :

P E

21T(E / R) V(P / R) dm

2

IIX- ENERGIE CINETIQUE D’UN SOLIDE :. Soit (S) un solide de masse m et de centre d’inertie G

en mouvement par rapport à un repère )z,y,x,R(O

;

. Soit A un point de (S) ;

Par définition l’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport au repère R est :

dm)R /P(V2

1)R /S(T

SP

2

A et P sont deux points de (S) donc :

AP)R /S()R /SA(V)R /SP(V)R /P(V

Donc

SPSP

2

dm)R /P(V.)R /P(Vdm)R /P(V)R /S(T2

SP

dmAP)R /S()R /SA(V.)R /P(V

SP SP

dmAP)R /S(.)R /P(Vdm)R /SA(V.)R /P(V

SP SP

dm)R /P(VAP.)R /S(dm)R /P(V.)R /SA(V

SP SP

dm)R /P(VAP.)R /S(dm)R /P(V.)R /SA(V

( )R /SA( et )R /S( sont indépendant de m)

Donc A2T(S / R) V(A S/ R).mV(G / R) (S/ R) . (S/ R)

D’où 2T(S/R) = V (S/R) (S/R)

Comoment exprimé au même point A :

AA A

(S / R) mV(G / R)2T(S/ R)

V(A S / R) (S / R)

donc A2T(S/ R) V(A S/ R).mV(G / R) (S/ R). (S/ R)

Comoment exprimé au même point G (centre d’inertie de (S)) :

GG G

(S/ R) mV(G / R)2T(S/ R)

V(G / R) (S / R)

donc 2

G2T(S/ R) m V(G / R) (S/ R) . (S/ R)

Torseur cinématique du

mouvement de (S) par rapport à R

Torseur cinétique de (S) dans

son mouvement par rapport à R

.G

x

y

z

O

P

dmA.

.

(S)x

y

z

O

P

dmG

(E)

..




A Balga

12

* Cas particuliers :

Le point A est fixe dans R : A2T(S/ R) (S/ R) . (S/ R)

Solide (S1) en rotation autour d’un axe fixe dans le repère R :

Le point O est fixe dans R donc O1 1 1 1 O 1 12T(S / R) (S / R). (S / R) (S / R).J (S , (S / R))

Or z)R /S( 1

donc :

)z,S(J.z)z,S(J.z)R /S(T2 1O2

1O1

Car l’opérateur d’inertie est linéaire

Et Oz1O I)z,S(J.z : moment d’inertie de (S1 ) par rapport à l’axe )z,O(

Donc 2Oz1 I)R /S(T2

2Oz1 I

2

1)R /S(T

Le mouvement de (S1) par rapport à R est tel que 1Ω(S / R)=θz

(mouvement plan sur plan ou hélicoïdal …)

2

G1 1 12T(S / R) m V(G / R) (S / R). (S / R)

))R /S(,S(J.)R /S()R /G(Vm 11G1

2

Or z)R /S( 1

donc

)z,S(J.z)R /G(Vm)R /S(T2 1G

2

1

)z,S(J.z)R /G(Vm 1G2

2

Gz2

2

I)R /G(Vm

Donc 2Gz

2

1 I2

1)R /G(Vm

2

1)R /S(T

Avec IGz : moment d’inertie de (S1) par rapport à l’axe )z,G(

Le solide (S1) est en mouvement de translation par rapport au repère R : 2 2

1 1

1 1T(S / R) m V(G / R) m V(A S / R)

2 2 ( A (S1))

O

(S1)(S0)

x x 1x

z y

1y z

O

G

(S1)

x

y

1x

1y

x

y

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