cours de mécanique des fluides

Cours de mcanique des fluides

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MECANIQUE DES FLUIDESGnralits Dynamique des fluides incompressibles (F1) Viscosit (F2) Pertes de charge (F3) Tension superficielle (F4) Liens : Expriences de mcanique des fluides Cours de Mcanique des Fluides (BTS Industriels) Terminale STL : Physique de Laboratoire et Procds Industriels

GNRALITS1 - DfinitionUn fluide peut tre considr comme tant form d'un grand nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et qui peut s'couler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

2 - Liquides et gazLes liquides et gaz habituellement tudis sont isotropes, mobiles et visqueux. La proprit physique qui permet de faire la diffrence entre les deux est la compressibilit. l'isotropie assure que les proprits sont identiques dans toutes les directions de l'espace. la mobilit fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du rcipient qui les contient. la viscosit caractrise le fait que tout changement de forme dun fluide rel s'accompagne d'une rsistance (frottements).

3 - Forces de volume et forces de surfaceComme tout problme de mcanique, la rsolution d'un problme de mcanique des fluides passe par la dfinition du systme matriel S, particules de fluide l'intrieur d'une surface ferme limitant S. ce systme on applique les principes et thormes gnraux de mcanique et thermodynamique : principe de la conservation de la masse. principe fondamental de la dynamique. principe de la conservation de l'nergie.

DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES (F1)1 - DEFINITIONSLe dbit est le quotient de la quantit de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la dure de cet coulement. 1.1 - Dbit-masse Si Dm est la masse de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps Dt, par dfinition le dbit-masse est : unit : kgs-1 1.2 - Dbit-volume Si DV est le volume de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps Dt, par dfinition le dbit-volume est : unit : m3s-1. 1.3 - Relation entre qm et qV La masse volumique est donne par la relation : d'o :

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Remarques : Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'coulements isovolumes. Pour les gaz, la masse volumique dpend de la temprature et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limite) et pour des tempratures constantes on retrouve le cas d'un coulement isovolume. 1.4 - coulements permanents ou stationnaires Un rgime d'coulement est dit permanent ou stationnaire si les paramtres qui le caractrisent (pression, temprature, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

2 - quation de conservation de la masse ou quation de continuit2.1 - Dfinitions Ligne de courant : En rgime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se dplace un lment de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point. Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe ferme. Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit lment de surface DS. La section de base DS du tube ainsi dfinie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la mme en tous ses points (rpartition uniforme).

2.2 - Conservation du dbit Considrons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps Dt, infiniment petit, la masse Dm1 de fluide ayant travers la section S1 est la mme que la masse Dm2 ayant travers la section S2. En rgime stationnaire, le dbit-masse est le mme travers toutes les sections droites d'un mme tube de courant. Dans le cas d'un coulement isovolume ( = Cte) : En rgime stationnaire, le dbit-volume est le mme travers toutes les sections droites d'un mme tube de courant 2.3 - Expression du dbit en fonction de la vitesse v Le dbit-volume est aussi la quantit de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur gale v, correspondant la longueur du trajet effectu pendant l'unit de temps, par une particule de fluide traversant S. Il en rsulte la relation importante : 2.4 - Vitesse moyenne

En gnral la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse ( cause des forces de frottement). Le dbit-masse ou le dbit-volume s'obtient en intgrant la relation prcdente :

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne v m la vitesse telle que : La vitesse moyenne vmoy apparat comme la vitesse uniforme travers la section S qui assurerait le mme dbit

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que la rpartition relle des vitesses. Si l'coulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle l'aire de la section droite. C'est l'quation de continuit. La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

3 - Thorme de BERNOULLI3.1 - Le phnomne Observations Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air inclin. Une feuille de papier est aspire lorsqu'on souffle dessus. Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente. 3.2 - Thorme de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible Un fluide parfait est un fluide dont l'coulement se fait sans frottement. On considre un coulement permanent isovolume dun fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il ny a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine). Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe travers la section S1 entre les instants t et t+Dt. Pendant ce temps la mme masse et le mme volume de fluide passe travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide tait pass de la position (1) la position (2). En appliquant le thorme de lnergie cintique ce fluide entre les instants t et t+Dt (la variation dnergie cintique est gale la somme des travaux des forces extrieures : poids et forces pressantes), on obtient :

p est la pression statique,

est la pression de pesanteur,

est la pression cintique.

Tous les termes sexpriment en pascal. En divisant tous les termes de la relation prcdente par le produit g, on crit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimes en mtres de colonne de fluide). H est la Hauteur totale, Hauteur cintique, est la Hauteur pizomtrique. est la Hauteur de Pression, z est la cote, est la

3.3 - Cas d'un coulement (1)(2) sans change de travail Lorsque, dans un coulement dun fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une mme ligne de courant, la relation de Bernoulli peut scrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

ou 3.4 - Cas d'un coulement (1)(2) avec change dnergie Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il change de lnergie avec cette machine sous forme de travail DW

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pendant une dure Dt. La puissance P change est Units : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s). P > 0 si lnergie est reue par le fluide (ex. : pompe) ; P< 0 si lnergie est fournie par le fluide (ex. : turbine).

Si le dbit-volume est qv, la relation de Bernoulli scrit alors :

4 - Application du Thorme de Bernoulli :Tube de pitot On considre un liquide en coulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un dbouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrmits tant la mme hauteur. Au point B, le liquide a la mme vitesse v que dans la canalisation et la pression est la mme que celle du liquide pB = p. En A, point d'arrt, la vitesse est nulle et la pression est pA. D'aprs le thorme de Bernoulli,

En mesurant la dnivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en dduire la vitesse v d'coulement du fluide. 4.2 - Phnomne de Venturi Un conduit de section principale SA subit un tranglement en B o sa section est SB. La vitesse dun fluide augmente dans ltranglement, donc sa pression y diminue : vB > vA pB < pA Le thorme de Bernoulli s'crit ici :

D'aprs l'quation de continuit,

et

donc

La diffrence de pression aux bornes aux extrmits du tube de Venturi est proportionnelle au carr du dbit ; application la mesure des dbits (organes dprimognes). On peut citer aussi la trompe eau, le pulvrisateur... 4.3 - coulement d'un liquide contenu dans un rservoir - Thorme de Torricelli Considrons un rservoir muni d'un petit orifice sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant l'orifice au point (2). En appliquant le thorme de Bernoulli entre les points (1) et (2),

Or p1 = p 2 = pression atmosphrique ett v10 si le fluide reoit de l'nergie de la machine (pompe), P 90, le liquide ne mouille pas le solide (par exemple le mercure sur du verre). Le mme angle de raccordement se retrouve la surface libre d'un liquide prs des bords du rcipient et provoque la formation d'un mnisque dans les tubes.

3 - Tube capillaire - loi de JurinUn tube capillaire (du latin capillus : cheveu) est un tube de petit diamtre intrieur. Lorsqu'on plonge un tube capillaire, ouvert aux deux extrmits, dans un liquide, celui-ci "monte" (si q < 90 ) ou "descend" (si q > 90 ) dans le tube d'une hauteur h telle que :

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r : rayon intrieur du tube r : masse volumique du liquide g : intensit de la pesanteur g : tension superficielle du liquide q : angle de raccordement liquide/solide

4 - Mesurages de tension superficielle4.1 - Mthode du capillaire On applique la loi de Jurin. On mesure la dnivellation h et connaissant les autres paramtres, on en dduit une valeur de g. 4.2 - Mthode de la lame immerge ou de l'anneau immerg Une lame de platine, parfaitement propre, de longueur L, plonge dans un liquide de tension superficielle g, est soutenue par le levier d'une balance de torsion qui permet de mesurer la force F exerce sur la lame (le zro est rgl lorsque la lame est dans l'air). On soulve doucement la lame jusqu' ce qu'elle affleure le liquide (la pousse d'Archimde est alors nulle) et on mesure alors la force . On en dduit une valeur de g.

La lame peut tre remplace par un anneau de rayon R, soutenu par un dynamomtre. On soulve lentement l'anneau et, au moment de son arrachement de la surface du liquide, on mesure la force . On en dduit une valeur de g.

4.3 - Mthode du stalagmomtre Lorsqu'un liquide, de masse volumique r, s'coule par un tube fin, le poids des gouttes obtenues est proportionnel la tension superficielle g du liquide et au rayon extrieur R du tube : mg = kRg On compte le nombre N de gouttes qui s'coulent pour un volume V donn dlimit par deux traits de jauge gravs sur le tube. : N = Vrg/(kRg) Le stalagmomtre est talonn avec de l'eau pure 20 C : N0 = Vr0g/(k Rg0) On obtient : 4.4 - Applications : agents tensioactifs Le rle des agents tensioactifs est d'abaisser la valeur de la tension superficielle des liquides dans lesquels ils sont ajouts pour les rendre mouillants, moussants, dtergents, mulsifiants...Annexes

Bibliographie : Mcanique 2 AGATI (Dunod) Mcanique exprimentale des fluides - COMOLET (Masson) Mcanique des fluides HANAUER (Breal) Mesure des dbits et vitesses des fluides LEFEBVRE (Masson) Mcanique des fluides (cours et exercices rsolus) MEIER (Masson) Mcanique des fluides applique OUZIAUX (Dunod Universits) Mcanique / Phnomnes vibratoires PRUNET (Dunod) La Mcanique des fluides SALIN (Natan Universits) Avertissement :

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