delta - estrella y asociacion de elementos

Instituto Tecnológico de La Paz

Departamento de Metal-Mecánica

Ingeniería Electromecánica

Trabajo realizado para la materia

Análisis de Circuitos de C.D.

Ejercicios: Transformación Delta – Estrella y Asociación de Elementos Serie - Paralelo

Alumno: Jairo Zuriel Hernández Aguirre

Docente: Ing. Diego García Molleda

Fecha de entrega: 18 / Octubre / 2015

Análisis de Circuitos de C.D.Ejercicios

Índice1. Introducción .....................................................................................................3

2. Marco teórico..............................................................................................4 - 5

3. Desarrollo de Ejercicio..............................................................................6 - 40

4. Resultados..............................................................................................41 - 43

5. Conclusiones y recomendaciones ................................................................40

Jairo Zuriel Hernández Aguirre 2/44


1.- INTRODUCCIÓN

En múltiples materias de la carrera Electromecánica es vista la problemática referente a los circuitos ya sea de Corriente Continua (Cc), también llamada Corriente Directa (Cd) y Corriente alterna (Ca); y en muchos de los casos existe la dificultad de asociar elementos o hacer transformaciones para que el circuito a analizar quede simplificado y posteriormente, sea posible el cálculo de incógnitas requeridas.

Es por esto, que en este apartado se hace referencia al análisis, simulación y resolución matemática paso a paso de una ejercicio de circuitos con Transformación Delta – Estrella (Δ – Y) y asociación de elementos serie paralelo; así mismo la comparación última de resultados obtenidos con los esperados, de acuerdo a lo previamente simulado en el Software Qucs.



2.- MARCO TEÓRICO

Para poder cumplir con el objetivo de este ejercicio es necesario conocer algunas definiciones y procedimientos generales para aplicar fórmulas; es por ello que a continuación se presentaran algunas definiciones fundamentales.

- CORRIENTE:Se define en un punto específico y que fluye en una dirección específica, como la rapidez instantánea, a la cual la carga neta positiva se mueve a través de ese punto en la dirección especificada.

- VOLTIOEs el trabajo requerido para mover una carga positiva de un Coulomb (C), de una terminal a la otra a través del dispositivo.

- POTENCIASe usa para definir la cantidad de energía absorbida o entregada por cualquier elemento de un circuito en un determinado tiempo y en función del voltaje y sus terminales.

- RESISTENCIA (R)-

La diferencia de potencial en bornes o terminales de un elemento resistivo puro, es directamente proporcional a la intensidad de corriente que circula por él. La constante de proporcionalidad R se llama resistencia eléctrica del elemento.

Un ohmio (1 Ω) es la resistencia de un elemento que al aplicarle una diferencia de potencial de un volt (1 V), circula por él un ampere (1 A).

- LEY DE TENSIONES DE KIRCHOFFLa suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a cero.

- LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFFLa suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo, es cero.



- REDUCCION SERIE

RT=R1+R2

- REDUCCIÓN PARALELO

RT=R1∗R2R1+R2

- REDUCCIÓN PARALELO

RT= 11R1

+ 1R2

+ 1R3


FIGURA #2 Reducción en serie FIGURA #1 Resistencias en serie

FIGURA #4 Resistencias en Paralelo

FIGURA #5 Reducción en Paralelo

FIGURA #6 Resistencias en Paralelo

FIGURA #7 Reducción en Paralelo


3.- DESARROLLO DE EJERCICIO

Determina las corrientes del siguiente circuito y las caídas de tensión indicadas mediante transformación de resistencia Delta-Estrella y asociación de resistencias en serie-paralelo.

Figura #8 Ejercicio de Transformación



3.1.- Para comenzar con los cálculos como primer paso se realizara las reducciones necesarias en el circuito planteado; por lo tanto se emprenderá la reducción inicial de los circuitos que estén en serie:


Resistencias en Serie




FIGURA #9 Localización de resistencias en serie

- Para reducir las resistencias 5 y 6 aplicaremos la sumatoria de estas. Para evitar cuestiones de confusión se llamarán como R18:

- Posteriormente se pasa a reducir las resistencias 7 y 8, se llamarán R19:

- Después se reducirá las resistencias 15 y 16, se llamarán R20:

- Prosiguiendo toca reducir las resistencias 17 y 18, se llamarán R21:


R18 = R5+ R6

R18 = 61 Ω + 86 Ω

R18 = 147 Ω

R19 = R7+ R8

R19 = 97 Ω + 99 Ω

R19 = 196 Ω

R20 = R15+ R16

R20 = 97 Ω + 64 Ω

R20 = 161 Ω

R21 = R17+ R18

R21 = 55 Ω + 98 Ω

R21 = 153 Ω


- Ahora se reducirán las resistencias enumeradas 9 y 10 y se llamarán R22:

- Se prosigue con las resistencias 11 y 12, se llamarán R23:

- Se continúa con las resistencias 13 y 14, se llamarán R24:


R22 = R9 * R10

R22 = 67 Ω + 90 Ω

R22 = 157 Ω

R23 = R11 * R12

R23 = 66 Ω + 96 Ω

R23 = 162 Ω

R24 = R9 + R10

R24 = 67 Ω + 90 Ω

R24 = 157 Ω


De tal forma, el circuito con las reducciones en serie queda, de la siguiente manera:

FIGURA #10 Circuito reducido



3.2.- Posteriormente, habiendo ya hecho la reducción de las resistencias en serie, se prosigue a hacer la reducción de las resistencias en Paralelo:

FIGURA #11 Localización de resistencias en Paralelo


Resistencias en Paralelo



- Aplicando la fórmula de reducción de resistencias en paralelo (Figura # 6 y 7), se procede a reducir las resistencias 2,3 y 4. Prosiguiendo con la numeración, para evitar confusiones se llamará R25:

- Posteriormente se tiene en paralelo las resistencias 21, 22 y 23. Para este caso en especial se aplicará la fórmula que se muestra en las figuras # 4 y 5, debido a que la problemática del ejercicio nos pide calcular la intensidad de corriente que pasa por las ramas donde se encuentran dichas resistencias; entonces se reducirá por partes, en primera instancia tenemos las resistencias # 21 y 22, se llamará R26:

- De la resistencia que se redujo queda una nueva asociación en paralelo de solamente de 2 resistencias:


R25= 11

94Ω+ 1

108Ω+ 1

116Ω

R25 = 35.0652 Ω

R26=(157Ω)∗(162Ω)

157Ω+162Ω

R26 = 79.7304 Ω

FIGURA #12 Resultado de la reducción paralelo


- Consecuentemente se pasa a reducir el circuito una vez más para que así solo quede una sola resistencia; se llamará R27:

- Habiendo reducido el circuito tanto en serie como en paralelo, quedará de la siguiente manera:


R27=(138Ω)∗(79.7304Ω)138Ω+79.7304Ω

R27 = 50.5340 Ω

FIGURA #13 Resultado de las Reducciones Serie - Paralelo


3.3.- Habiendo hecho las reducciones en serie y paralelo se tiene un nuevo circuito que como se nota claramente, nos da la conexión de resistencias Delta (Δ); para continuar con la simplificación del circuito, se tienen unas ecuaciones para transformar una conexión Delta a Estrella (Δ – Y).

Conociendo dichas ecuaciones se procede a hacer los cálculos como se muestra a continuación:

- Del circuito resultante se localiza las conexiones deltas existentes:

- Habiendo localizado las conexiones, se escoge una de ellas para aplicar la


Conexiones en Delta Δ

FIGURA #14 Localización de las conexiones Delta Δ


fórmula de transformación. Para este caso el alumno optó por analizar la conexión Delta inferior; por lo tanto se procede a realizar los cálculos, respetando la numeración ascendente que se lleva para evitar confusiones:

- Aplicando la transformación Delta – estrella (Δ – Y) al circuito, queda de la


R28= (161Ω∗50.5340Ω)(161Ω+50.5340Ω+153Ω)

R28 = 22.3188 Ω

R29= (153Ω∗50.5340Ω)(161Ω+50.5340Ω+153Ω)

R29 = 21.2098 Ω

R30= (161Ω∗153Ω)(161Ω+50.5340Ω+153Ω)

R30 = 67.5739 Ω


siguiente manera:

FIGURA #15 Transformación de las conexiones Delta (Δ) a Estrella (Y)

3.4.- Simplificando aún más el circuito se puede localizar ahora conexiones en serie:



FIGURA #16 Localización de resistencias en serie

- Habiendo localizado las resistencias en serie se procede a aplicar los pasos anteriores sobre la reducción en serie, para este caso reduciremos R18 Y R28 y se llamarán R31:



R31 = R18 + R28

R31 = 147 Ω + 22.3188 Ω

R31 = 169.3188 Ω


- Prosiguiendo se tiene en serie a las resistencias R19 y R29, y se reducirán para tener ahora a la resistencias R32:

- Ahora el resultado en el circuito es el siguiente:

3.5.- Habiendo simplificado las resistencias en serie, se encuentra nuevamente un circuito con resistencias en paralelo:


R32 = R19 + R29

R32 = 196 Ω + 21.2098 Ω

R32 = 217.2098 Ω


FIGURA #17 Reducción de resistencias en serie


- Se aplica la fórmula para reducir resistencias en paralelo, tenemos a las resistencias R31 y R32 y se llamarán R33:

- Habiendo hecho la reducción el circuito queda de la siguiente manera:


R33=(22.3188Ω)∗(21.2098Ω)22.3188Ω+21.2098Ω

R33 = 95.1487 Ω

FIGURA #18 Localización de resistencias en Paralelo


- Analizando el circuito resultante, se tiene las ultimas 4 resistencias, y todas estas están en serie, esto quiere decir que aplicando la reducción en serie quedará una sola resistencia:

- Habiendo hecho los cálculos el circuito queda de la siguiente forma:


RT = R1 + R25 + R32 + R33

RT = 110 Ω + 35.0652 Ω + 95.1487 Ω + 67.5739 Ω

RT = 307.7878 Ω

FIGURA #19 Reducción de resistencias en serie


3.6.- A continuación el procedimiento a seguir es el cálculo de la Intensidad total en el circuito:


Figura # 20 Ultima reducción de resistencias en serie


- Esta intensidad total se calcula de la siguiente manera:

T


IT

V = I * R

Donde V = Voltaje

I = Corriente o intensidadR = Resistencia

Despejando I:V = I * RI = V/ R

I T=159V

307.7878Ω

I_T = 0.5165 A

Figura # 21 Localización de la corriente total.


- Esto quiere decir que la corriente total que circula por el circuito es de 0.5165 Amperes.

Figura # 22 Cálculo de la corriente Total

NOTA: Esta no es la resolución final del circuito, simplemente se hizo la reducción máxima para conocer la corriente total que fluye por el circuito.

3.7.- Siguiendo con la resolución del problema, se pide calcular las corrientes


IT = 0.5165


ubicadas en las siguientes partes del circuito:

Figura #23 Localización de las incógnitas de corriente

Para poder calcular dichas corrientes en los lugares específicos, se regresará a


Se pide calcular la corriente 1 y 2

Se pide calcular la corriente 3,4 y 5

Corriente total ya calculadaIT = 0.5165


circuitos anteriores, por ejemplo para calcular las corrientes 1 y 2 se toma como modelo la figura # 18:

Figura # 24 Localización de las corrientes 1 y 2 en fig. #18

- Para esto, el procedimiento es simple; se aplicará la siguiente fórmula para conocer dichas corrientes:

- Aplicando la fórmula para conocer I1:


I 1= R32R32+R31 (IT)

I 2= R31R32+R31 (IT)

I2

IT = 0.5165

I1


- Aplicando la fórmula para conocer I2:

- El circuito entonces tiene las siguientes corrientes:

- Prosiguiendo con el cálculo de corrientes 3, 4 y 5, se tiene que regresar a la


I 1= R32R32+R31 (IT)

I 1= 217.2098Ω217.2098Ω+169.3188Ω (0.5165 A)

I1 = 0.2902

I 2= R31R32+R31 (IT)

I 2= 169.3188Ω217.2098Ω+169.3188Ω (0.5165)

I2 = 0.2262

IT = 0.5165

I2 = 0.2262 AI1= 0.2902 A

Figura # 25 Cálculo de corrientes 1 y 2


figura # 13 para localizar el flujo de corrientes:

- Antes de encontrar dichas corrientes se tienen que hacer unos cálculos


Figura # 26 Localización de corriente 3, 4 y 5

IT = 0.5165 A

I2 = 0.2262 AI1 = 0.2902 A

I3

I4

I5


necesarios, uno de ellos es calcular la corriente total que entra por esa rama y se divide en 3 que son las corrientes I1, I2 e I3; y para esto se toma como modelo la figura # 13 y se llamará a la corriente que entra por las 3 ramas IL:

3.8.- Aplicación del Método de Corriente por Mallas para resolver la corriente IL


IT = 0.5165 A

I2 = 0.2262 A

Figura # 27 Localización de la corriente IL


NOTA: Este método dice que una malla es un camino cerrado formado por elementos de circuitos. En este caso hay 3 mallas. Para aplicar el método de mallas se llamaran IA, IB e IC.

- A continuación se hará el análisis y cálculos con ecuaciones para encontrar las corrientes:


Figura # 28 Localización de las mallas existentes


- De modo que las ecuaciones finales quedan de la siguiente manera:

- Ahora estas ecuaciones se pueden expresar de forma matricial:


147 IA – 147 IB + 161 IA – 161 IC + 110 IA – 159 VS + 35. 0652 IA = 0

Simplificando y ordenando términos tenemos:

453.0652 IA – 147 IB – 161 IC = 159 VEcuación 1

196 IB + 50.534 IB – 50.534 IC + 147 IA = 0


-147 IA + 393.534 IB – 50.534 IC = 0Ecuación 2

50.534 IC – 50.534 IB + 153 IC + 161 IC – 161 IA = 0


-161 IA – 50.534 IB + 364.534 IC = 0Ecuación 3

453.0652 IA – 147 IB – 161 IC = 159 V

-147 IA + 393.534 IB – 50.534 IC = 0

-161 IA – 50.534 IB + 364.534 IC = 0

Sistema de Ecuaciones


453.0652 – 147 – 161 IA 159

-147 393.534 50.534 IB = 0

-161 – 50.534 364.534 IC 0

Para esta ocasión se aplicará el método de Gauss – Jordán con un programa Online y a IA se le llamará X1, a IB, X2 y a IC se le llamará X3:


Figura # 29 Solución de Ecuaciones


- De modo que la solución de corrientes en mallas queda de la siguiente manera:

NOTA: Nótese que el cálculo de la corriente en IA es la misma que se calculó para la corriente total IT. Ver figura # 22


X 1=IA=23902500597123544626981155919107

=0.5165 A

X 2=IB= 516744105125535522835280637035452

=0.2262 A

X 3=IC=20849472692905918033648139065869

=0.2595 A

Solución del sistema de Ecuaciones

Figura # 30 Solución de Ecuaciones


- De modo que el cálculo de corrientes por mallas queda de la siguiente forma:

- Habiendo calculado dichas corrientes, interesa de manera especial la corriente que entra a la resistencia R27 que es IL; por tanto se calcula usando las corrientes de las mallas IB e IC:

3.9.- Cálculo de las corrientes 3, 4 y 5 con respecto a sus resistencias y a las


IA = 0.5165 A

IB = 0.2262 A

IC = 0.2595 A

Figura # 31 Cálculo de corrientes por mallas

IB = 0.2262 A

IC = 0.2595 A

IL IL = IB – IC

IL = 0.2262 A - 0.2595 A

IL = - 0.0333 A


resistencias totales entrantes. Figura #12

- Se calculará la corriente en IL 1 de la siguiente forma:

- Para IL 2 se toma la misma fórmula solo se cambian los valores:

- Habiendo hecho el cálculo se tiene lo siguiente:


IL = - 0.0333 A

IL 1 =I

IL 2

IL1= R24R24+R26 (IL)

IL1= 138Ω138Ω+79.7304Ω (-0.0333 A)

IL 1 = -0.0211059

IL2= R26R24+R26 (IL)

IL2= 79.7304Ω138Ω+79.7304Ω (-0.0333 A)

IL 2 = - 0.012194

Figura # 31 Localización de las corrientes a calcular


NOTA: Al calcularse las dos corrientes que se dividen de la corriente IL, recuérdese que la resistencia R24 está en la rama original, solo se aplicó reducción de resistencias en serie (Figura # 12, pág. 35), a diferencia de la rama donde está la resistencia R26 que fue producto de una reducción en paralelo.En resumen, la corriente IL 1 que entra a la resistencia R26 se divide en 2 ramas debido a la reducción en paralelo hecha antes.

- Habiendo calculado las corrientes IL 1 e IL 2, conociendo el circuito se sabe


IT = 0.5165 AI1 = 0.2902 A I2 = 0.2262 A

IL = - 0.0333 A

IL 1 = -0.0211059 A

IL 2 = - 0.012194 A

Figura # 32 Cálculo de las corrientes IL 1 e IL 2


que falta un cálculo de corrientes en el circuito que sería el de las corrientes 3 y 4 (Fig. # 26). Para entender esto se tiene el siguiente circuito:

- Para calcular las corrientes IL 3 se aplica la siguiente ecuación:

- Para calcular la corriente IL 4, se hace el mismo procedimiento aplicando la fórmula sustituyendo los valores:


IL = - 0.0333 A

IT = 0.5165 A

I1 = 0.2902 A I2 = 0.2262 A

IL 2 = I5 = -0.012194 A

IL 1 = -0.0211059 A

IL 3

IL 4

IL3= R23R23+R22 (IL 1)

IL3= 162Ω162Ω+157Ω (-0.0211059 A)

IL 1 = -0.010387 A

Figura # 33 Localización de las corrientes IL 3 e IL 4


- Teniendo el cálculo de todas las corrientes que se piden en el ejercicio, el circuito queda de la siguiente manera:

3.10.- Habiendo obtenido las reducciones y el cálculo de las corrientes, se procede


IL4= R22R23+R22 (IL 1)

IL4= 157Ω162Ω+157Ω (-0.0211059 A)

IL 4 = -0.010718 A

IT = 0.5165 A

I1 = 0.2902 A I2 = 0.2262 A

IL = - 0.0333 A

I5 = -0.012194 A

IL 1 = -0.0211059 A

I3 = -0.010387 A

I4 = -0.010718 A

Figura # 34 Circuito con el cálculo de intensidades


a calcular el voltaje en ciertos segmentos o ramas del circuito (Fig. # 8).

- Para lograr hacer esto una vez más se recurre a circuitos ya reducidos en este caso se toma como modelo la figura # 26.


Voltaje en resistencias R9 y R10

Voltaje entre nodos principales

Voltaje V1 en resistencia R22

Figura # 35 Localización de incógnitas de voltaje en el circuito


- Para realizar el cálculo de dicha tensión (V1) se realiza la siguiente operación, dado que se conoce la corriente que pasa por la resistencia:

- Para hacer el cálculo del voltaje V2 se toma como referencia la figura #19.


Figura # 36 Localización de voltaje 1 en circuito reducido

V1 = I3 * R22

V1 = (- 0.010387 A) (157 Ω)

V1 = - 1.6827 (-1)

V1 = 1.6827 V


- Para poder hacer el cálculo del voltaje simplemente se aplica la sumatoria de las resistencias R33 y R30, se llamará R34:

- Posteriormente, habiendo obtenido el resultado, se calcula la tensión que pasa por la resistencia R34:

4.- Resultados de cálculos


Voltaje V2 en el circuito reducido

R34 = R33 + R30

R34 = 95.1487 Ω + 67.5739

R34 = 162.7226

V2 = IT + R34

V2 = 0.5175 A + 162.7226 Ω

V2 = 84.2089 V

Figura # 37 Localización de V2 en circuito reducido


Como resultado de los cálculos se tiene las siguientes tablas:

Voltaje Total VT Voltaje 1 V1 Voltaje 2 V2159 V 1.6827 V 84.2089 V

Intensidad total (IT)

Intensidad 1 (I1)

Intensidad 2 (I2)

Intensidad 3 (I3)

Intensidad 4 (I4)

Intensidad 5 (I5)

0.5165 A 0.2902 A 0.2262 - 0.010718 A - 0.010387 A - 0.0120 A

4.1.- Simulación en Qucs:


Figura # 38 Simulación


4.2.- Simulación de la reducción Delta – Estrella y asociación de elementos:

4.3.- Tabla de resultados de simulación en Qucs

4.4.- Comparación de resultados


Figura # 39 Simulación con reducción de circuito

Figura # 40 Tabla de resultados de simulación


1) Comparación de resultados de intensidades:

Cálculos a Mano

Intensidad total (IT)

Intensidad 1 (I1)

Intensidad 2 (I2)

Intensidad 3 (I3)

Intensidad 4 (I4)

Intensidad 5 (I5)

0.5165 A 0.2902 A 0.2262 - 0.010718 A - 0.010387 A - 0.0120 A

2) Comparación de resultados de Tensiones:

Voltaje Total VT Voltaje 1 V1 Voltaje 2 V2159 V 1.6827 V 84.2089 V

5.- Conclusiones



De esto se puede concluir que en muchas ocasiones para los cálculos a mano, conviene tomar 4 dígitos o más después del punto decimal, ya que si no es así, pierde exactitud el cálculo.

A pesar de esto se pudo notar que los resultados no varían mucho si no que son muy acertados y acercados.

Gracias a este ejercicio se pudo practicar la asociación de elementos serie y paralelo y la transformación Delta – Estrella (Δ – Y); y en lo personal, para el escritor resulta bastante divertido e interesante el hacer este tipo de ejercicios ya que hacen recordar temas anteriores y al mismo tiempo llevar la continuidad de lo que se está viendo actualmente.

Para concluir con este escrito, se deja a continuación una pequeña reflexión, esperando que sea de agrado al lector:

"Muchos estudiantes pasan sus años de estudios estresados, con ansiedad y su-friendo mucho antes, durante e incluso después de los exámenes. Creen que es lo más importante de la vida y se les olvidan que hay cosas mucho más importantes. Ser consciente de esto, de que estudiar es solo una parte de la vida, y que hay co-sas más importantes -como la salud, relaciones, familia- te ayudará a sentirte más relajado e incluso disfrutarás más del estudio."


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