die anfänge der mathematik als wissenschaft
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© 2010 Prof. Dr. Fridtjof Toenniessen
Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft –Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I)
© 2010 Prof. Dr. Fridtjof Toenniessen
Thales von Milet (um 624 – 546 v.Chr.)
Pythagoras von Samos (um 570 – 510 v.Chr.)
Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft –Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I)
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VermutungAlle Dreiecke am Halbkreisbogen sind rechtwinklig.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
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Beweis des Satzes von Thales:1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks stimmen überein.
Diese Konstruktion kann auch nach rechts durchgeführt werden.Die beiden Basiswinkel gehen durch Spiegelung auseinander hervor und stimmen also überein.
L B
C
L B
C
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Beweis des Satzes von Thales:2. Schritt: Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen
Dreiecks beträgt 180o.
B
C
A
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Beweis des Satzes von Thales:Schritt 1 und Schritt 2 werden auf geniale Weise kombiniert.
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Beweis des Satzes von Thales:Schritt 1 und Schritt 2 werden auf geniale Weise kombiniert.
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Beweis des Satzes von Thales:Was ist hier passiert?
Die Basiswinkel gleichschenkligerDreiecke stimmen überein.
Die Winkelsumme im DreieckBeträgt 180 Grad.
Satz von Thales: Alle Winkel amHalbkreisbogen sind rechte Winkel.Wahre Aussage
Wahre Aussage
Wahre Aussage Geniale Idee
Zulässige Umformungen
Direkter BeweisWahre Aussage
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Das Prinzip des direkten Beweises
Eine Aussage ist wahr, wenn sie durch zulässige logische Schlüsse und Konstruktionen (also durch „gesunden Menschenverstand“)aus anderen wahren Aussagen hergeleitet werden kann.(Alles Wahre folgt aus Wahrem, Satz vom zureichenden Grund.)
Die „anderen Aussagen“ des Beweises waren - der Satz über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck- der Satz von der Winkelsumme im Dreieck
Die „zulässigen Schlüsse und Konstruktionen“ waren- das Finden der gleichschenkligen Dreiecke- Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Wissen
TechnikIntuition, Kreativität, Freude am Tüfteln
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Die Technik der Äquivalenzumformungen
Praktische Anwendung:Lösung von Gleichungen mitUnbestimmten
Nach einer Äquivalenzumformung ist eine mathematische Gleichung genau dann richtig, wenn die Gleichung vor dieserUmformung richtig war.
Auf beiden Seiten der Gleichung• dasselbe addieren oder subtrahieren• dasselbe multiplizieren oder dividieren, falls nicht 0
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Worauf kommt es beim Beweisen an?Die Technik der Äquivalenzumformungen
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Was haben wir gelernt?
Der direkte Beweis: Alles Wahre folgt aus Wahrem.Satz vom zureichenden Grund.
… und noch viel wichtiger: Mathematik ist eine Kunst, wie Musik und Malerei
Der Satz von Thales