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Die Kreiszylinderschale unter konzentrierten Belastungen* Von K. W. Bieger

1. Einleitung. Die Berechnung yon Kreiszylinderschalen Ffix beliebige Oberflfichenlasten wird in der Literatur im wesentlichen nach zwei Methoden behandelt.

Die erstere nach der genaueren Theorie yon Fliigge 1 erfordert die LSsung der drei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen fiir die Yerschiebungsfunktionen u, v und w. Zur LSsung werden hierbei meist Doppelreihen 2 herangezogen, die vor allem bei konzentrierten Belastungen zu erheb- lichem Rechenaufwand fiihren. Koepcke 3 15st das Problem der konzentrierten Belastungen durch t~berlagermlg zweier Lastf~lle am unendlich langen Rohr, wobei die Kontinuit~t dutch die Be- nutzung des RandstSrungsproblems erz~,~ngen wird.

Die zweite MSglichkeit ist die u mehr oder weniger vieler Glieder in den Zu- sammenh/ingen zwischen Schnittlasten und Verschiebungen a, so dab man die drei gekoppelten Differentialgleichungen auf eine einzige achter Ordnnng fiir die Verschiebungsfunktion w zuriick- fiihren kann. Es hat sich gezeigt 5, dab diese Vernachl/issigungen vor allem bei konzentrierten Be- lastungen zum Tell unzul~ssige Ungenanigkeiten mit sich bringen.

In der vorliegenden Arbeit soil dargetan werden, dab es mSglich ist, durch EinFfihrung einer LSsungsfunktion,/ihnlich der Spannungsfunktion bei der Berechnung der Scheiben, die drei Fliigge- schen Differentialgleichungen zu einer einzigen achter Ordnnng fiir die LSsungsfunktion znsammen- zufassen. Dadurch ist die Berechnung der Kreiszylinderschalen vor allem Fdr konzentrierte Be- lastungen wesentlich vereinfacht. Die Zusammenhhnge z~-ischen den drei Verschiebungen - - und damit zwischen den Schnittkr~iften - - und der Lfsungsfunktion sind im dritten, vierten und fiinften Abschnitt angegeben.

Fiir den Sonderfall der radialen Belastung und mit der Annahme, dal~ der Schalenparameter k gegeniiber 1 vernachlfissigt werden kann, was im praktischen Gebrauch fast immer mSglich ist, sind diese Zusammenh/inge auch bei Wlassow 6 angegeben. Da jedoch Wlassow nicht die yon Fliigge aufgestelhen Differentialgleichungen als Ausgangsbasis benntzt, ergeben sich noch einige Unter- schiede, so vor allem in der Differentialgleichung der LSsungsfunktion.

An Hand des Beispiels einer radialgerichteten, im Gleichgewicht stehenden Einzellastgruppe am unendlich langen geschlossenen Rohr ~ird im sechsten Abschnitt gezeigt, dab dieser LSsungsweg eine explizite Darstellung der Konstanten der Greenschen Funktion der Kreiszylinderschale er- mSglicht und darnit eine vereinfachte Berechnung yon EinfluBfl~chen gestattet.

2. Grundlagen. Es gehen die in der Schalentheorie iiblichen und schon yon Fliigge angegebenen Voraussetzungen. Die Schnittlasten~ Verschiebungen, Belastungen und Koordinaten sind nach Abb. 1 positiv angenommen.

Werden fiir die Differentialquotienten zur Abkiirzung die Bezeichnungen

~f - - f " und a ~ - = f '

eingefiihrt, so ergeben sich mit den yon Fliigge aufgestellten Zusammenh~ngen zwischen den Schnitt- lasten und Verschiebnngen die drei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen der isotropen Kreiszylinderschale

u" + ~ - ~ u " + v w ' ' l + ~v + k ( ~ u : - - w " ' + 1 - ~ ''\--~-w')=-~,'Ta~ ( la)

* Auszug aus der Dissertation des Verfassers, EinfluBfl~chen der Kreiszylinderschalen, T. U. Berlin 1959; Berichter: Prof. Dr.-Ing. IV. Koepcke und Prof. Dr.-Ing. J. Szab6.

1 W. Fliigge, Statik und Dynamik der Schalen, 2. Aufl., S. 150. Berlin-GSttingen-tIeidelberg 1957. 2 z. B. Fr. Dischinger, Beton und Eisen 1935, S. 260, oder G. B. Biezeno u. R. Grammel, Teehnische Dynamik,

2. Aufl., Bd. 1, S. 524, Berlin-GSttingen-Heidelberg 1953. a IV. Koepcke, Die Berechnung yon Kreiszylinderschalen unter Fl~ehen-, Linien- und Einzellasten, Habili-

tationsschrift der T. H. Berlin 1949. - - W. Koepcke, ~)ber kreiszylindrische Schalentr~ger unter Flfichen-, Linien- und Einzellasten. UnverSffentlichte Arbeit zum 60. Geburtstag yon Prof. Dr.-Ing. Disehlnger, Berlin 1947.

a vgh z. B. K. Girkmann, Fl~chentragwerke, 4. Aufl., S. 475 und S. 490, Wien 1956. a vgl. auch die Dissertation des Yerfassers. 6 IV. S. Wlassow, Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Teehnik, S. 210, Berlin 1958.

58 K.W. Bieger: Die Kreiszylinderschale unter konzentrierten Belastungen Ingenieur-Archiv

2 ~- v: ~- v ~ -~ w" ~- k v" 2 w'/" ~ - - - Y ~ - ' !

vu' + v"-~-w-~-k{~-u ' : - u"' 3--~v"'2 + w" -}-2w !': -~w:: A - Z w : - } - w ) = - - z a - - - D .

Hierbei ist v die Querkontrakt ionszahl und K t z

k : D-~a i - - 12 a 2

der sogenannte Schalenparameter , worin E t a

K - - 12 (1 - - v 2) die Biegesteifigkeit und

E t D - -

1 __V2

die Dehnsteif igkei t der Schale bezeichnen.

( ib)

( lc)

Der Schalenparameter k l iegt fiir die im Bauwesen auf t re tenden F~lle zwischen 10 -~ nnd 10 -6 und kann daher fiir prakt ische Berechnungen gegeniiber 1 vernachlassigt werden 1.

a,

./ "%.1 "~ ~

Abb. 1. Schalenelement, a) Dehnungskr~fte, Querkr~fte und Belastungen; b) biomente und Verschiebungen.

3. Liisungsansatz Fir Lasten in Richtung der Erzeugenden. Die drei gekoppel ten Differential- gleichungen (1) lassen sich mit Hilfe der L5sungsfunktion F(x, 9) dann am iibersichtlichsten 16sen, wenn die Oberfliichenlasten in den drei Haupt r ich tungen fiir sich untersucht werden. Da sich die fiir jede dieser Belastungen aufgestellten Differentialgleichungen fiir F(x, 9) allein in den A_b- solutgliedern ~ndern, ist hierdurch nur eine geringe Mehrarbei t verbunden. Bei gleichem funk- t ionalem Aufbau der drei Belastungsar ten und der LSsungsfunktion unterscheiden sich die fiir die jeweilig be t rachte te Lastr ichtung ermit te l ten Funkt ionen F (x ,9 ) nur durch eine Konstante . Die ent- sprechend den fo lgendenAngabeuerrechnetenVerschiebungen der einzelnenBelastungszust~nde sind dann nur zu summieren. Zum anderen sind in der Praxis meist die Lasten in Richtung der Erzeu- genden Null und die Lasten in Ringrichtung klein, so dab sie zum Teil vernachl~ssigt werden k6nnen.

Setzt man fiir Lasten in Richtung der Erzeugenden die Verschiebungen in Abh~ngigkeit yon der noch zu bes t immenden LSsungsfunktion F(x, 9) in folgender Form an

2a4 l . (5 v 3(1- -~)k)kF. : :kF: U(x, ~) ~- ( 1 2 - ~ K [-- /~ F: : : - - 2 k F: : - - - ~ +

- - [2 ( 2 - - v ) -{- 3(1 v) k] k F " : - - [ ( 2 - - v ) - ~ 3--6:--V2k]kF"":

1 - - v (1 ~- 4 k ~ 3k 2) F " - - 1 - - ~ ( 1 -~ 3k) kF""" t 2 2 ' ] (2)

v(~,~)--(1--v)K + kF'::'§ 3~kF':'+ (l+v) d-a--4~+V2k4 kF"':

q _ ( ~ f ~ _ l 2+_~k)F , . _~ 2 q - 3 1 - - , , 2 k F .. . . q _ ( l ~ v 37Vk)kF,,,,,.},

w(.,r +kF'::--F':-[- k~F .... +(l ~-3k)~,F"'--(1--3k)kF""' ]

x Es darf jedoeh nieht allgemein k = 0 gesetzt werden.

XXX. Band 1961 K.W. Bieger: Die Kreiszylinderschale unter konzentrlerten Belastungen 59

dann ergibt sich nach Einsetzen der Verschiebungen (2) in die Gleichung (la) die Differential- gleichung des Problems

(l+2k__Zk2) F,l,~:,~,+(4+ll--ZVk ~ ) ,1: + k 2 F"" + [ 6 + ( 6 - - 3 v ) k - - v s k s ] F ' ' : :

+ +Tz3--Vk + (l+k)F::::+(2v+6vk)Fl"1"+[6+3(2--v+vS)k]F I''

-r-[8--2v +(7--5v) k + Z(1--v)kS]Fl':: + Z(l +k) F::: + [ l k v2 ] - - + ( 4 - - 3 v s) + 3 k F I''

+ 4 - - 2 v + z k + 3 ( 1 2 F " : + ( 1 + k ) F : : = +X(~,v ). (3)

Die Gleichungen (lb) und (lc) werden durch (2) identisch erfiillt, wenn man beriicksichtigt, dab wegen der Aufspahung der Belastung fiir den betrachteten Fall Y(x, ~) = Z(x, 9) = 0 zu setzen ist.

4. Lilsungsansatz fiir Lasten in Ringriehtung. Fiir Oberfl/ichenlasten irt Ringrichtung sind die Verschiebungen folgendermaf~en anzusetzen:

U(x,~)= (1--v) K - t - -~ - - + - - " + 3--4v+V~k kF .....

- - ~ - - - ~ - k + 2 2 '

2a~ { ~_ [ 4 k] I~FII~: v(x,~) -- (1 - -v )K - - (1 +k)kF:::--(1--v)(1 +k)kF::--r(2--v) -~ 3--2v--v%q. J

1--v2 ( l + k ) 2 F : - ( 2 - v + v s ) k F ' : - ( 5 2 ~v+3(1-v )k )kF ' ' :2

- - [(1 - - v s) + k] F" --2~,k F""--(1 --k) k F"""},

/ (4)

i I

In diesem Fall ergibt sich die Differentialgleichung der Kreiszylinderschale aus der Gleichung (lb)

F - - r ( 4 + ~ k S ) F ' ' ' + [ 6 + ( 6 3v) k--vSkS]F '':' (1 + 2 k - - 3 k 2) """" ' +ll2Z-~Vk : - -

+ ( 4 + 723--vk + ~ k S ) F":::+(l+k)F::::+(2v+6vk)F"""+[6+3(2--v+v2)k]F T M

+ [ 8 - - 2 v T ( 7 - - 5 v ) k + 3 ( 1 v) k s ]F H : : + 2 ( 1 + k ) F : : : + [ l k v2 - - - - - + ( 4 - - 3 v 2) + 3 k ] F " "

+(4--2v-~ 7(12f)k + ~ k S ) F " : +(l +k)F::-=+ u (5)

wahrertd die Gleichungen (la) und (lb) wiederum identisch erfiillt sind, wenn voraussetzungs- gem/iB X(x, qg) = Z(x, ~o) = 0 angenommen wird.

5. Liisungsansatz fiir Lasten in radialer Richtung. Fiir Radialbelasturtgen liefern die Ver- schiebungen = a4{ / ]

u(~,~) ~ k F ' : : - - F ' : + ~ k S F " ' : + ( l + 3 k ) v F " ' - - ( l + 3 k ) k F ",', ,

v(~,~) -- ~ - /(l + k) F: - - 2 + ~ kF":'+(2+v) F"'--2kF""" , (6)

[ j / w(~,v ) =-~- - - (1 + k) F : : - - 2 + 12~v(4 + 3 k) k F":--(1 + 3 k)F"" ]

60 K.W. Bieger: Die Kreiszylinderschale unter konzentrierten Belastungen Ingenleur-Archiv

aus der Gleichung (1 c) die Differentialgleichung achter Ordnung fiir die Lfsungsfunktion F(x, q~) (1 q - 2 k - - 3 k ~ ) F ""'1" + ( 4 +11 2 3---Vk + ~ k 2 ) F " " " : - ~ [6 +(6--3v)'k--v2k2]F ~'::

-4-(4 + 7 23-------~v k + ~ k ~ ) F ":': +(1-]-k) F ~::" +(2v+6vk) F""" + [ 6 @ 3(2--v+v~)k]F '':

+ [ a - - 2 v + ( 7 - - Z v ) k ~-3(1--v)k~]F"::+ 2(1 + k)F::'-~[l~ y-~2 k] + ( 4 - - 3 v 2 ) + 3 F""

+ (4- -2v + ~ k -}- ~ k ~) F " : + (1 q- k)F"" ---- + Z(x, q~). (7) %

Aus den Gleichungen (2), (4) und (6) l~flt sich ablesen, dab - - wie fiir jeden elastischen KSrper - - so auch fiir die Kreiszylinderschale der Satz yon der Gegenseitigkeit der Verschiebungen nnd Lasten (Maxwell-Betti) gilt, sofera man noch beachtet, dab es bei dem unendlich langen geschlos-

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Abb. 2. Rad ia l e E inze l las tg ruppe .

senen Rohr hinsichflich des Verschiebungszustandes des Punktes (x, ~0) nur auf die Differenz der Ordinaten dieses Punktes und des Lastangriffspunktes (also nut auf ( x - xv) und (~ - -qe ) ) ank~ Denn mit den Bemerkungen zu Abschnitt 3 folgt: Fiir eine Last X -= 1 in Richtung der Er- zeugenden wird die Verschiebung v(x, qo) in Ringrichtung gleich der Verschiebung in x-Richtung u(x, q~) infolge einer Last Y = 1. Es gehen somit folgende Identitiiten:

v(x, ~V)x = ~ = u(x, ~ ) x = ~,

W ( X , ~9)X= I = / t ( X , ~9)Z = 1 '

w(~, ~ ) r = ~ = v(x, ~)z = , "

6. Beispiel flit eine radiale Einzellastgruppe. Um eine yon allen Randbedingungen unabh~ingige Lfsung fiir radiale Lasten aufKreiszylinderschalen zu erhahen, wird eine im G1eichgewicht stehende Einzellastgruppe nach Abb. 2 auf das unendlich lange geschlossene Rohr aufgebracht. Aus diesem l~iflt sieh, je nach tier Art des zu untersuchenden Tragwerkes, das vorhandene Gebiet herausschneiden und mit Itilfe der bekannten Randst6rungstheorien die notwendigen Randbedingungen befriedigen.

Um die interessierende Einzellastgruppe als stetige Funktion der Koordinaten x und ~0 darzu- stellen, wird diese vorerst in ~0-Richtung in eine Fouriersche Reihe mit der Periode 2 ~r und an- schliegend in x-Richtung in ein Fouriersches Integral entwickelt:

, c o s cosn cos a . (8) a n = 2 , 4 , 6 . . .

e r ~ r

Wird als Beispiel der zweite Summand in der geschweiften Klammer betrachtet - - die Behandlung des ersten Summanden, der dem in Ringrichtu~g konstanten Anteil der Last entspricht, unter- bleibt bier - - und wird fiir die Lfsungsfunktion der yon den Ver/inderlichen x und ~ in gleicher Weise abhiingige Ansatz

co

2P ~ j'c~,,cosaXda (9) - - COS /$ ~0 F ( x , q)) aS ~ n = 2, , 6 . . .

o ~ = q

gew/ihlt, dann folgt nach Ausfiihrung der Differentiationen und Einsetzen in Gleichung (7), wenn man noch zur Vereinfachung k gegeniiber 1 vernachliissigt,

oo co

2 2 ~ c o s n ~ ~ C~,,CH(a,n) cosa da=a~-~Xoosn~o cosaXda. (10) a ~ tt n a

Hierln ist

CH(~, n)~_o~ s + 2 (2 ,~--~,) ~ § 6 n4--6 ~ § I

-~212n 6 - ( 4 - v ) n 4-4-(2-v) n 2]a ~+(n s - 2 n " + n 4) (II)

1 tterrn Priv.-Doz. Dr.-Ing. R. Trostd bin ich fiir einen Hinweis bei diesen Zusammenh/ingen dankbar.

XXX. Band 1961 K.W. Bieger: Die Kreiszylindersehale unter konzentrierten Belastungen 61

identisch ,nit der charakteristischen Gleichnng der isotropen Kreiszylinderschale nach Biezeno- GrammeP.

Die Gleichung (10) ist nut dana fiir jedes x/a und ~0 erfiillt, wean

1 Ca, ,, = C H(~, n)

ist. Setzt man dieses Ergebnis in den Ansatz (9) ein und verf~hrt in gleicher Weise mit dem ersten kusdruek der Klammer in (8), dann ist mit der LSsungsfunktion

2 P 1 cos ~ - - ~t a

F(x, ~v) = ~ \Ya at0 C H (a, 0) d~ -t-n=2,4,6... ~ cos n 9 ,Z0 c--H-~(~, ~)) da (12)

unter Benutzung der Gleichungen (6) der gesamte Spannungszustand des kreiszylindrischen Rohres infolge der betrachteten Einzellastgruppe bestimmt.

Die Integrale in (12) lassen sich mittels Partialbruchzerlegung geschlossen 16sen. Werden die Wurzeln ~' der charakteristischen Gleichung (11) mit

0~1,2 = _]L ~1 ~ i~tl und a5.6 = i u~ • i /q 3 ,4 7 ,8

bezeichnet und zur Vereinfachung

2 u ~ / z ~ + 5 u ~ + f f ~ - - l O 2 2 6 ~ - - 2 f f ~ # ~ + 6 ~ # ~ + 2 ~ f f 2 ) ,

: 6 ff ff + :

eingeftihrt, dann l~iBt sich nach einiger Zwischenrechnung die L~isungsfunktion in folgender Form angeben:

F(x,~) = a~-- ~ l - - ~ e ~eos ~0 a + sing~

x .

+ oos,, 13 - - - n = 2 , 4 , 6 . . . . t t 7)~ + 6z sm~aa}

--~,~-~/ 2~ x 2~_zs inx ~ x l l 1 + e k ~ cos ~z o . (13) a r ~-~p- a l j l

Hierin ist - - wieder ,nit der N/iherung k ~ 1 - - fiir den in Ringriehtung konstanten Anteil der Belastnng

"0 a t - ~ - zu setzen.

7. Auswertung.. Es I/iflt sich zeigen, dab fiir das unendlich lange gesehlossene Rohr die Eia- flullfl/ichen der statischen Gr6Ben fiir eine radiale Einzellastgruppe - - bis auf das Vorzeichen bei einigen Schnittlasten und Verschiebungen - - identisch mit den entsprechenden Zustandsfl/ichen sind.

Am Lehrstuhl fiir Stahlbetonbau der Technisehen Universit/it Berlin wurden auf Grund der im vorstehenden in groben Ziigen angegebenen Theorie fiir die beiden extremen Schaleaparameter k = 10 -4 und k = 10 -G die Binflullfl~ichen der Versehiebungen und wesentlichen Schnittlasten numerisch berechnet 3 und in Form yon Hiihenschichtpl~inea dargestellt a (A_bb. 3 amd Abb. 4). Wegen des groBen Einflusses des SchMenparameters auf die Ordinatengr6Ben und die Gestalt der Einflugfl~ichea ist beabsichtigt, in Kiirze aueh den zwisehenliegenden Schaleaparameter k = 10 -5 auszuwerten.

1 C. B. Biezeno u. R. Grammel, S. 528, FuBnote 2 yon S. 57. ttber die Wurzeln der eharakteristischen Gleiehung vgl. F. Dischinger, Beton und Eisen 1935, S. 263 und

J. Moe, Abh. Int. Ver. f. Briickenb. u. Hoehbau 1953, S. 283. Hierbei wurde die Querkontraktionszahl zu v = 1/6 angenommen.

4 Diese sind in der Dissertation des Verfassers abgedruekt.

62 K.W. Bieger: Die Kreiszyiinderschaie unter konzentrierten Beiastungen ingenieur-Archlv

Es bereitet mit den nulimehr bekannten EinfluBfl~chen keine Schwierigkeiten, fiir beliebige radiale Oberfl~chenlasten die statischen Gr6Ben an interessierenden Stellen zu ermitteln. Die Ver- schiebnngen und Schrtittlasten art den Rartdern des aus dem unendlich langen geschlossenen Rohr herausgeschnittenen interessierenden Gebietes werden nicht mit den Randbedingungen des gegebe- hen Schalendaches in Einklang stehen. Sie werden jedoch l~ngs der R~nder nach verh~ltnism~$ig

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Abb. 3, Einflultfl/iche des Biegemomentes m~ (100~- f ach )k = ~ = 10_ -~.

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glatten Kurven verlaufen, sofern nicht eine Einzellast in unmittelbarer N/ihe eines dieser R~nder steht. Es k6nnen daher mit geniigender Genauigkeit N~herungsverfahren benutzt werden, die es gestatten, an Hand yon Tabellen 1 verh~ltnism~Big schnell die geforderten Randbedingungen zu erfiillen.

(Eingegangen am 7. MZirz 1960.) Anschrift des u Dr.-Ing. Klaus-IVolfgang Bieger, Lehrstuhl ffir Stahlbetonbau

(Prof. Dr.-Ing. IV. Koepeke), Teetmisehe Universitfit Berlin, Berlin-Charlottenburg, Harclenbergstr. 34

1 D. Riidiger u. J. Urban, Kreiszylindersehalen, Leipzig 1955; A. Aas-Jacobsen, Die Berechnung der Kreis- zylinderschalen, Berlin 1958.