dijital kontrol sistemleri

PID Parametrelerinin Deneysel Olarak Ayarlanması

Endüstriyel uygulamalarda, PID kontrolörler genellikle deneysel olarak ayarlanır. PID

kontrolör esnek olarak ayarlanabilen üç adet parametre oransal kazanç Kp , integral zaman

sabiti Ti ve türev zaman sabiti Td ‘ye sahiptir. Kp nin arttırılması sistem cevap hızını arttırır

ancak cevap osilasyonuda artar. Aynı durum Ti, azaltıldıı zamanda söz konusudur. Td nin

arttırılması ile sistem cevabı daha yava ancak daha kararlı olur. Bu bilgiler ııı altında,

matematik modeli mevcut olmayan sistemlerin kontrolünde PID kontrolör parametreleri

deneme yanılma yöntemine dayalı olarak ayarlanabilir, ancak bu yöntemim baarısı tamamen

tasarımcının deneyimine ve kiisel becerisine balıdır. PID kontrolör parametrelerinin daha

basit pratik ayarlanabilmesi için Ziegler ve Nichols iki yöntem sunmulardır.

Ziegler-Nichols metodları ile PID Tasarımı

Bu metodların avantajı sistem modeli ile ilgili bilgiye ihtiyaç duymamasıdır. PID

parametreleri Kp, Ti ve Td ayarlamak için, kullanılacak yönteme göre, sadece sistemin açık

çevrim veya kapalı-çevrim cevabı yeterli olmaktadır. Ayar kuralları sürekli-zaman sistemlere

dayanmaktadır ve eer örnekleme zamanı T yeteri kadar küçük seçilirse ayrık-PID kontrolöre

de uygulanabilir. ki adet yöntem vardır.

Transient Cevap Metodu ile PID Tasarım (Transient response method)

Önce sistemin basamak giri için açık-çevrim cevabı elde edilir. Bu yöntemin

uygulanabilmesi için sistem açık-çevrim cevabının S-eklinde olması gerekir. Yoksa bu

yöntem uygulanamaz. Kontrol edilecek olan sistemin açık-çevrim transfer fonksiyonunda

integratör ve/veya kompleks elenik kutuplar bulunmamalıdır. Sistem I. dereceden ölü

zamanlı sistem olarak modellenir.

A

Kontrol edilen

sistem

c(t)u(t)

KA

τL

C(t)

t

1

Kontrol edilecek olan sistemin açık transfer fonksiyonu ( )G s Cevap erisi ( )c t

( )1

sLKeG s

sτ

−

=+

K

τ ! "# $ #

L ! "%&$&

cevap erisinden;

0.2ξ = civarında olacak

ekilde

, ,p i dK T T tabloya göre seçilir.

'"$() )*+,!( ( )c t (-))()(

.

Transient cevap yöntemine göre, PK , iT dT PID parametre tablosu.

Kontrolör KP Ti TD

Oransal(P)

KL

τ - -

Oransal-ntegral(PI)

0.9

KL

τ 3L -

Oransal-integral-türevsel(PID) 1.2

KL

τ 2L 0.5L

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bu kurallar PID parametrelerinin seçiminde ilk deer vermeyi salar. Parametrelere son

deerler aaıda ekilde gösterildii gibi, kapalı-çevrim sisteminde gerçek zamanda ince

ayar iK yava-yava azaltılarak ve dK arttırılarak yapılır.

1 1(1 )

1p d

i

z zK T

T z z

−+ +

−1 sTe

s

−−sistem

r(k) c(t)

! /,01!" / $

Örnekleme frekansı, pratik olarak en yüksek band genilii frekansının takriben 20 katı seçilmelidir.

Eer örnekleme frekansı yeteri kadar büyük seçilmezse ayrık-zaman PID kontrolör elverili cevap

vermez.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Limit Kararlılık Metodu ile PID Tasarım ( The Stability Limit Method)

Bu yöntem kapalı-çevrim kontrol olarak uygulanır. PID parametre ayarına, yalnızca oransal

kontolör pK ile balanır, , 0I dT T→ ∞ → olmak üzere. Sistem sürekli osilasyon yapıncaya

kadar pK yava-yava arttırılır. Sürekli osilasyon baladıında, bu noktada kazanç sK ve

karılık gelen osilasyon periyodu ise wT sK ve wT ye göre PID !arametreleri PK , iT

, dT aaıda verilen tablodan seçilir.

2

Limit kararlılık yöntemine göre PK , iT dT PID parametre tablosu.

Kontrolör pK Ti Td

P 0.5 sK - -

PI 0.45 sK /1.2wT -

PID 0.6 sK / 2wT / 8wT

Limit kararlık yönteminin uygulaması için aaıda ayrık-zaman kapalı çevrim kontrol blok

diyagramından görüldüü basamak giri için çıkı cevabı osilasyona gelinceye kadar

oransal kontrol katsayısı artırılır, Osilasyona gelmeyen sistemlerde bu yöntem uygulanamaz.

1 1(1 )

1p d

i

z zK T

T z z

−+ +

−1 sTe

s

−−sistem

r(k) c(t)

iT → ∞ 0dT →

Limit kararlılık yöntemi için kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı.

Sistem aaıda gösterildii gibi osilasyona geldiinde tablodan sınır kazanç ve osilasyon

periyoduna göre, PID parametreleri hesabı için gerekli katsayılar tablodan okunur .

3

Örnek:

4+ 55 )*2

( )

( ) ( )( )

s K

V s Js b Ls R K

Ω=

+ + +

,! 6( ,6

Rotor atalet momenti 2 20.01 /J km s=

Mekanik sistem sönüm oranı 0.1b Nms=

Elektromotor kuvvet sabiti 0.01 /e tK K K Nm Amp= = =

Rotor direnci 1R = Ω

Rotor endüktansı 0.5L H=

Rotor giri gerilimi ( )v t volt

Motor açısal hız: ( ) /w t rad sn

DC motor PID kontrol kurallı olarak kapalı-çevrim kontrol edilecektir. PID kontrolör parametre

katsayılarını 7 /8%transient cevap metodu&bulunuz.

Çözüm: Motor sabiteleri transfer fonksiyonunda ilgili parametrelerde yerine koyulur.

2

( ) 0.01

( ) (0.01 0.1)(0.5 1) 0.01

s

V s s s

Ω= →

+ + +

2 2

( ) 0.01 2

( ) 0.005 0.06 0.1 12 20

s

V s s s s s

Ω= =

+ + + +

( ) 2

( ) ( 2)( 10)

s

V s s s

Ω=

+ + elde edilir. Birim basamak giri için,

1( )V s

s=

2( )

( 2)( 10)s

s s sΩ =

+ +"&)(),!/6$

+) /,## ,#

+ /, 55 )

( )sΩ2

2

12 20s s+ +( )V s

+#/# ,!(

( )w t %&(%# /6

7 /8%&)%)

55 )1&

( )sΩ( )V s

+)1& # & L ,

#τ #9)*,! ( )w t ## ,!(

-)(6( !

1 2( )

( 2)( 10)w t L

s s s−

= + +

( )w t s=2

s0

( 2)( 2)( 10)

st

s

e ss s

=

+ ++ +

2

( 2)s s +2

( 10)( 10)

st

s

e ss

=−

+ ++

2

( 2) ( 10)s s s+ +10

st

s

e=−

2 101 1 1( )

10 8 40t tw t e e− −= − + 5 ( )w t (6-)

(&, *

2 10( ) 1 1

4 4t tdw t

e edt

− −= − 11, 5 6-)(

22 10 10 2 8

2

( ) 1 5 5 10 0.2

2 2 2 2t t t t td w t

e e e e edt

− − − − −= − + = → = → = * ln(0.2) /( 8)t = − *

ln(0.2) /( 8)t = − 0.2011t =

0.2011 0.2011)2( ) 10(( ) 1 10.1337

4

0.2011

4

dwe e

dt− −= − = -)(

0.2011) 0.2011)2( 10(1 1 1( ) 0.0197

10 8 400.2011w e e− −= − + = -)( ( )w t (

: !(,!( %& 6( ,6

; <!

1

11

1( ) ( ) ( )

( 1)! i

mnm st

im s si

dc t s s F s e

m dz

−

− ==

= − −

( )dw t

dt

') ,( ( )y t (* ( ) 0.1371* 0.079y t t= −

( ) 0.1371* 0.079 0.1dy ∞ = − = , t &! * 1.3056d sn= #)))

=* 1.3056 0.0574d Lτ = − = − 1.2482 snτ =

( ) (0) 0.1 0

( ) ( )0.1

0 1 0

y yK K

V V

∞ − −= = →

∞ − −=

1& ## ,#

: !*&, #(01!6(

! 6

0.1

0.0574

1.2483

Kazanç

ölü za

K

L sn

sn

man

zaman sabitiτ

=

=

=

DC motor I.dereceden ölü zamanlı

sistem olarak,

0.0574( ) 0.1

( ) 1.2482 1

ss e

V s s

−Ω=

+

i

dd

i

i

d

260.94

T=0.1

1.2 1.2*1.2482

0.1*0.0574

T=2 148 =2273.1

T =0.0

LT

T =0.5L T287 7.4892

p p p

pi

d

p

dp

i

K K KK L

KK

K KK

K

K

τ= =

→

→

=

=

max

( ) 0.0197tan( )

dw t

dt xα = =

0.1337=

0.0197

0.1337x→ =

0.1437x sn=

#) )&

0.2011 0.2011 0.1437L x= − = −

0.0574 nL s=

>

+! /,#% 6( ,6

1

iT s

dT s

pK2

2

12 20s s+ +

( )V s( )R s ( )sΩ

6( *1&) ) +)

! /,## ,# ,6

&5(%#*7 /8%)

(,7 /8% 0.2ξ = *)

,!!5 6 * iK azaltılarak ve dK arttırılarak yeni deerlere

göre birim basamak giri için cevap aaıda verilmitir,.

?

PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.

2

( ) 2

( ) 12 20

s

V s s s

Ω=

+ +

!!"#$%&

$

!"+)) ( )tθ %6% ( )v t 5

5 )#( )

( )d t

w tdt

θ= *

( )( ) ( ) ( )

ss s s s

sθ θ

Ω= Ω → = @ 5

5 )) *2

( ) 1 2

( ) 12 20

s

V s s s s

θ=

+ +

'$ $+

! ! /,#%6( ,6

pK 2

2

12 20s s+ +

1

s

( )sθ( )ref sθ ( )sΩ

+ ) ! /,)

; *

#6% ( *

01!

(6( ,+

,#

,6

260.94

= 239.26

11.60

p

i

d

K

K

K

=

=

A

Kapalı-çevrim sistemini osilasyona getirecek olan sınır kazanç sK #)) 9)

Routh kararlılık kriteri kullanılır. Karakteristik denklem ,

2

2( ) 1 ( ) 1 0

( 12 20)pK

F s G ss s s

= + = + = →+ +

3 2( ) 12 20 2 0pF s s s s K= + + + =

4)# ))6)))

3

2

1

0

(240

1

2 ) 2 0

2 0

20

12 2

p p

p

p

s

s

K K

K

sKs

−

Sınır kazanç 120sK = B 5 dw *)# )2s

! 212 2 0ss K+ =

212 240 0ss + = 1,2 3.61s j= ±

1,2 3.61 /ds jjw rad sn=±= ± )()$$%&$'$ 3.61 /d rad nw s=

B !) *2 2

3.61w w

d

T Tw

π π= → = 1.9869 .w snT dir=

( )tθ

( )ref tθ

120sK = *## %6+ ( )tθ ,#

6#1 )

!5

/240 2

02

p

p

K

K

−> 120pK <

/ 2 0pK > 0pK > 0 120pK< <

') ,6*

) +!

%66*

( ) ( )ref t u tθ = , +

)))(6

,6

! 1.9869w nT s= , 120sK =

i w

i

i

dd w d

0.6

T=0.5TT

72 72

T=0.9935 =72.47

T =0.125T T =0.2484 17. 8T 8

pp s p p

pi

d

p

i

dp

K K

K

K

K K K K

KK

K K

= →

→

→

= =

=

C

) +! )! /,#%6(

1

iT s

dT s

pK2

2

12 20s s+ +

( )V s( )R s

( )sΩ 1

s

( )sθ

9# 5 %6+ ( )tθ %&(66( ,6

Birim basamak DC motor konum cevabı.

,!!5 6 * iK azaltılarak ve dK arttırılarak yeni deerlere

göre birim basamak giri için cevap aaıda verilmitir,(.

&5(

%#*7 /8%)

(

,7 /8%

0.2ξ =

*6%&(%#

6 *

)

PID parametrelerinde yapılan ayar sonrası sistem cevabı.

Deneysel PID parametre ayar yöntemleri Nichol-Ziegler , aynı zamanda ayrık-zaman PID

kontrolörlerde uygulanabilir.

Sıfırıncı dereceden tutucu 21 TsT

see

s

−−≅ * ,

2

T&%(

6 ( *&2sistem

TL L= + %01

# )) #7/8%&*01&

#6% (,(* !5 ( %6#

, %&

() /01& & ) #

6( + ,) /! /,

#% ,6

; *#6%

( *

01

! (6( ,

+,# ,6

72

= 22.3

49.17

p

i

d

K

K

K

=

=

01) + 55 !* 2j = ( ) ( )ref t tu tθ = !%6

0sse = )

9 %6+! *010)

)%)

.

2

2

12 20s s+ +

( )sΩ1 1

1(1 )p d

i

z z

T z zK T

−

−+ +

2

2

12 20s s+ +( )sθ1 1

1(1 )p d

i

z z

T z zK T

−

−+ +

@&*+ ,)%! #*

& * /, , !)

#)()&,D, 6

E #) ! ) ))

& # !5 ( 01

! 5&)#

Dijital Kontrol Sistemleri. Doç. Dr. Ayhan Özdemir

1

Örnek:

q

mg

d

F

r

K

PID

pervane

Güç

kuvvetlendirici

Kontrolör

Karşılaştırma

Konum ölçer

refq

q

DC-motor

a) Sarkaç sistemi b) Basitleştirilmiş sarkaç kontrol gösterimi.

Şekil a) da verilen sistemde, DC motor ile tahrik edilen sarkaç sisteminde çıkış q açısı, istenen refq konumunda tutulmaya çalışılmaktadır. Sisteme ait dinamik denklemleri yazınız.

[ ]d m

[ ]m kg

2.J kg m Atalet Momentié ùë û

NmsC Viskoz Sönüm Katsayısı

rad

é ùê úë û

olmak

üzere,

a) Sistemi 0q = denge noktasında lineerleştirin.

b) %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ξ=0.707 olması istenmektedir. PID kontrolör katsayılarını bulunuz.

sarkaç hareket denklemi;

2

2sin

d dJ C mgd T

dt dt

q qq+ + =

Lineerleştirilmiş model; 0q = civarında sinq q» olduğu aşağıda verilmiş olan ( ) sinf q q=

eğrisinden görülebilir. Şekilden, 4 4

p pq- < < aralığı için sinq q» yaklaşıklığı doğru sonuç verir,

ancak aralık dışında bu lineer model kullanılması hatalı sonuçlar verir. Yeni çalışılacak nokta etrafında

sistem doğrusallaştırılmalıdır.


2

sinq q» alınarak sarkaç hareket denklemi yeniden,

2

2mKd C d mg

d Vdt J dt J J

q qq+ + =

olarak yazılabilir.

mm

NK

volt

é ùê úë û

[ ]V volt

bilindiğine göre,

.mT K V MotorMomenti= ® olmak üzere,

2 ( )

( )C mg T s

s s s dJ J J

q é ù+ + = =>ê úë û

i) 2

1( )

( )

s JC mgT s s s dJ J

q=

+ + ii) ( ) . ( )mT s K V s= elde edilir. Sarkaç sistem modeline

ait blok diyagram aşağıda verilmiştir.

Km

1

J

+ +mgd

Js

C

Js2

V(s) T(s) ( )sq

Sayısal değerler yerlerine koyulur ise transfer fonksiyonu,


3

2

0.017 /

0.023

0.009

0.43

0.00035 /

m m

ms

K N V

d m

J kgm

m kg

C N rad

=

=

=

=

=

2

( ) 1.89

( ) 0.039 10.77

s

V s s s

q=

+ + elde edilir.

2

1,2

0.039 10.77 0

0.0019 3.28

s s

s j

+ + =

= - ±

Tasarım: %2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67sn ξ=0.707 olması istenmektedir. Bu kriterleri sağlayacak olan kapalı-çevrim kutupları (kontrol kutupları) aşağıda elde edilmiştir.

4 4 41.67

0.707 1.67 0.7073.3878ns n

n n

t ww w

radw

snx= ==> = => = =>

*

0.707x = ise 1 1cos cos (0.707)q x- -= = ise, 45q = dir. Kontrol kutuplarının s-kompleks

düzleminde gösterimi aşağıda verilmiştir.

2.4j

-2.4j

jw

s 45

2.4s = -

S-kompleks düzlemi

Kontrol-kutupları

İstenen geçici rejim kriterlerini sağlayan karakteristik denklem, ξ ve nw için

2 2( ) 2 n nF s s w s wx= + + = 2 22 0.707 3.3878 3.3878 0s s+ * * + =

2( ) 4.8 11.52 0F s s s= + + =

2 4.8 11.52 0s s+ + = => 1,2 2.4 2.4s j= - 2.4j olarak elde edilir. Yada kompleks kontrol kutupları

21,2 1n ns w jwx x= - ± - ifadesi ile doğrudan hesap edilebilir.


4

Klasik PID İçin Genel Kontrol Blok Diyagramı:

D(s)=0 için, sarkaç sistemine ait kapalı-çevrim kontrol blok diyagram;

2

3 2 6

( )*1.89( )

( ) (0.039 1.89 ) (3.61 10 ) 1.89D P I

r D P I

K s K s Ks

s s K s K s K

qq -

+ +=

+ + + ´ + + elde edilir.

PID li sistemin Karakteristik denklemi,

3 2 6( ) (0.039 1.89 ) (3.61 10 ) 1.89 0D P IF s s K s K s K-= + + + ´ + + = dır ve 3. derecedendir.

İstenen davranışı sağlayacak olan karakteristik denklem ise,

2( ) 4.8 11.52 0refF s s s= + + = dır ve 2. derecedendir.

Dolayısıyla pK , IK ve DK nin hesap edilebilmesi için ( )refF s ’in derecesi bir artırılacaktır. Ancak

ilave kutup sistem cevabında baskın olmayacaktır. Bu amaç için, Tasarlanan sistemin örnek 2. dereceden sistem gibi davranabilmesi için, ilave 3.kutup “x” s-kompleks düzleminde reel eksen üzerinde kontrol-kutuplarının reel kısımlarının 5-10 kat arası uzağına şekilde verildiği

gibi yerleştirilir.


5

2.4j

-2.4j

jw

s

S-kompleks düzlemi

Kontrol-kutupları

-24 -2,4

ilave kutup

xs

< x <10s5s

Kutup ilaveli karakteristik denklem: x=-2.4*10=-24 alınırsa

2 2( ) ( 4.8 11.52)( ) ( 4.8 11.52)( 24) 0refxF s s s s x s s s= + + + = + + + =

3 2( ) 28.8 126.72 276.48 0refxF s s s s= + + + = karakteristik denklem elde edilir.

( ) ( )refxF s F s= eşitlenerek polinom katsayılarından PID katsayıları elde edilir.

3 2 6 3 2(0.039 1.89 ) (3.61 10 ) 1.89 28.8 126.72 276.48 0D P Is K s K s K s s s-+ + + ´ + + = + + + =

0.039 1.89 28. 1 1758 5.2DDK K =+ = =>

63.61 10 1.89 126.72 67.0476PPK K-´ + = = =>

1.89 276.4 146.8 2857II KK = = =>

Yukarıda klasik PID için verilmiş olan kapalı-çevrim transfer fonksiyonu,

2

3 2

( ) 28.74 126.705 276.4692

( ) 28.8 126.72 276.48r

s s s

s s s s

qq

+ +=

+ + + elde edilir.

Aşağıda modifiye edilmiş PID için kapalı-çevrim kontrol blok diyagram verilmiştir.


6

D(s)

C(s)146.2857

s2

1.89

0.039 11.52s s+ +

67.0476 15.21s+

( )r sq

Modifiye PID için transfer fonksiyonu: ]2

( )( )

( )I P

D P I P

K G sC s

R s s K s K s K G=

é+ + +ë

%2 kriterine göre yerleşme zamanı ts=1.67 sn ξ=0.707 için olması istenen örnek 2. dereceden sistemin transfer fonksiyonu,

1- 2

( ) 11.52

4.8 11.(

) 5)

( 2r s

sT s

s s

qq + +

= =

dır.

Klasik PID konfigürasyonu kullanıldığında elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonu.

2- 2 2

23 2

( ) 28.74 126.705 276.4692 28.74 126.705 276.4692( )

( ) 28.8 126.72 ( 4.8 11.52276.48 ( 24) )r

s s s s sT s

s s s s s s s

qq

+ + + += = =

+ + +++ +

Modifiye edilmiş PID konfigürasyonu kullanıldığında elde edilen kapalı çevrim transfer

fonksiyonu

3-

3 2 2

( ) 276.48 276.48( )

( ) 28.8 126.72 (276.48 4.8 (11. 2 2 )5 ) 4r

sT s

s s s ss ss

qq

= = =+ + ++ ++

Aşağıdaki grafikte, örnek 2.dereceden sistem (istenen), Klasik PID ve modifiye PID için

basamak cevapları verilmiştir.


7

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir.

1

MODERN KONTROLE GİRİŞ Klasik kontrol sistemlerinde, analiz, sentez ve tasarımda transfer fonksiyonu kullanılmaktadır. Transfer fonksiyonu, lineer zamanla değişmeyen (sabit katsayılı) kontrol sistemlerine ilişkin

dinamiği sadece giriş ve çıkış büyüklükleri ile (aracılığı ile) verir. Sistemin giriş ve çıkış işaretleri belli koşullar altında kontrol edilirken sistemin durum değişkenleri hiçbir şekilde kontrol edilememektedir. Örneğin, çıkışında kararlı değişim özelliği gösteren bir kontrol sisteminde, içinde bulunan bir elemanın gerilimi, akımı, basıncı ve hızı… vb. elemanın dayanabileceği büyüklükleri üzerine çıkarak sistemin çalışamaz

duruma gelmesine yol açabilir. TRANSFER FONKSİYONU VE DURUM UZAY DENKLEM KARŞILAŞTIRMA

1

1

22

( )( )0 1 0

( )( )( ) 2 1 1

dx tx tdt u tx tdx t

dt

æ öç ÷ æ öæ ö æ ö

= +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ è ø è øè øç ÷è ø

( ) 1

2

( )( ) 1 1

( )

x ty t

x t

æ ö= - ç ÷

è ø

1 1 1

( 1)( 2) (

2)

)(G

s

s sC sI A B

ss - -

= =- +

-+

= ve impuls giriş için çıkış yazılır ise,

( ) ( ) ( ) 1u t t u sd= ® = için çıkı ş 1

( )2

Y ss

=+

ve

Çıkış t-domeninde 2( ) ty t e-= olur. Eğer, sadece çıkışa bakılır ise hiç bir problem

olmadığı gözükür. BiBO (Bounded Input Bounded Output) kararlılık kriterine göre sistem

kararlıdır. Sınırlı giriş için sınırlı çıkış vermektedir. Oysa durum değişkenlerine bakılır ise,

12

( )( )

dx tx t

dt= 1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( )sx s x s x s x s

s= ® = dir.

21 2

( )2 ( ) ( ) ( )

dx tx t x t u t

dt= - + ise 2 2 2

2( ) ( ) ( ) ( )sx s x s x s u s

s= - +

22 2 2( ) ( ) 2 ( )s x s sx s x s s+ - = 2 2

( )2 ( 2)( 1)

s sx s

s s s s= =

+ - + -

1 2

1( ) ( )

( 2)( 1)

sx s x s

s s s s= =

+ - ise 1

1( )

( 2)( 1)x s

s s=

+ - olarak elde edilirler.

Zaman domeninde sırası ile durum değişkenleri,

( )21

1( ) 2

3t tex t e-= -


2

( )22

1( ) 2

3t tex t e-= + elde edilir. Durum değişkenlerine bakıldığında ise, durumlar zamanla

sonsuza gitmektedir. Buda , eğer önlem alınmamış ise, devrenin yada sistemin bozulması yada bazı elemanların yanması anlamına gelmektedir. Halbuki transfer fonksiyonu ile çıkışa bakıldığında her hangi bir problem görülmemektedir. ÖRNEK: Aşağıda verilen R,L,C devresini göz önüne alalım.

LR

C

IL

IC

Eort Vo

Kontrol edilen sistem

Şekil 1. R, L ve C devresi

Önce t-domeninde dinamik denklemler yazılır ise ,(ilk koşullar sıfır)

( ) 1

1) ( ) ( )di t

Eort Ri t L i t dtdt C

= + + ò (1)

1

2) ( ) ( )Vo t i t dtC

= ò elde edilir. (2)

s-domeninde

2( ) 11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I s RCs s LCEort s RI s sLI s Eort s I s

sC sC

é ù+ += + + = = ê ú

ë û( )( )( )( )( )( )

( )2) ( )

I sVo s

sC=

2

( )( )

( ) 1( )

I sVo s sC

Eort s s LC RCsI s

sC

=é ù+ +ê úë û

é 2s L2 son ifade düzenlenir ise transfer fonksiyonu,

2

1( )

1( )

Vo s LCREort s s sL LC

=+ +2

LCR

olarak elde edilir.

R,L,C devresinde kondansatör gerilimi V0(t) kontrol edilmek istensin. Geribeslemeli sistem klasik kontrole göre aşağıdaki işlem basamaklarına göre verilebilinir.


3

İlk adım olarak, ( )Eort t giriş geriliminin elde edilmesi prensip olarak ve basit devresi ile

beraber açıklanacaktır.

i) Vort(t) gerilimi E(t) dc gerilim kaynağı ile beslenen bir D.C kıyıcıdan elde edilsin.

E(t)

S(t)

Eort

Güç

kaynakAnahtarlama

elemanı

S(t)=1: Anahtar açık

S(t)=0: Anahtar kapalı

ont offt

T

E(t)

t

Eort

ES(t)=1 S(t)=0

Şekil 2. a) Basitleştirilmiş DC kıyıcı b) DC kıyıcı çıkış

C

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

K

Güç Kuvvetlendirici

U(t) :Kotrol işareti

E(t)

KU(t) Eort

Eort

Şekil 3. Güç Kuvvetlendirici DC-Kıyıcı’nın a) basit devre şeması b) Kontrol blok gösterimi.

Şekilde anahtar T periyodu ile ont süresince kapalı offt süresince açık tutulur ise, çıkış

geriliminin ortalama değeri,

0

1( ) ( ) ( ) ( )

ontont

Eort t E t dt Eort t E tT T

= = =ò ( )( )( )( )E ( )( )( )( )( ) elde edilir.

S(t) anahtarı bir statik anahtar tranzistörden oluşsun. R,L,C devresinde V0(t) gerilim

kontrolüne ait güç devresini basit olarak aşağıda verildiği gibi çizilebilir. ( )u t üretilecek

olan kontrol işaretidir. Sürücü devre üzerinden transistor base ne uygulanmış olsun.


4

L

Uort

C

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

K


U(t)

R

C Vo

IL

IC

Iy


Kotrol işareti

Güç işareti

Yük

(bozucu)

Ry

Vo: KontroL edilen

büyüklük.

Şekil 4. Güç devresinin basit devre şeması

Güç katı bir güç elektroniği devresidir. Kontrol blok gösteriminde sadece bir Güç

kuvvetlendirici kazancı K olarak gösterilir. Bazı durumlarda K kazancının dışında 1. veya 2. dereceden bir sistem olarak modellenmesi gerekebilir. Şekil 4’te basit güç şeması verilen sistem yine basitleştirilmiş kapalı-çevrim kontrol devresi ile beraber şekil 5 teki gibi verilebilir.

L

Uort

C

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

K


U(t)

R

C Vo

IL

IC

Iy


Yük(bozucu)

Ry

Vo

KontrolörVoref

e(t)

Şekil 5. RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait basitleştirilmiş güç ve kontrol devresi

RLC devresinde çıkış gerilim kontrolüne ait basitleştirilmiş güç ve kontrol devresi ile ilgili negatif geri beslemeli kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir.

Kontrolör KVoVoref e(t) u(t) Eort 1

LC

RL

+s2

s 1LC

+

Şekil 6. Kapalı-çevrim kontrol blok diyagramı


5

Şekilde 6. daki kontrol sisteminde çıkış gerilimi 0 ( )V t ölçülmekte ve kontrol

edilmektedir. Dikkat edilir ise, sadece çıkış büyüklüğü olan kondansatör gerilimi

ölçülmekte, buna karşılık endüktans akımı ( )I t ölçülmemekte ve kontrol edilmemektedir.

Yukarıda 2 nolu denklemden görüleceği üzere çıkış gerilimi akıma bağlıdır. Gerilim kontrol amacı ile eğer aşırı akım çekilir ise transistor zarar görebilir. En önemlisi ise akım

dinamiği ile ilgilenilmemektedir, sadece gerilim dinamiği kontrol edilmektedir. Örnekten görüldüğü gibi, transfer fonksiyonu, sistemin durumları ile ilgili dinamik yerine, sadece

giriş-çıkış dinamiğini göz önüne almaktadır. Verilen örnekte durum değişkenleri ( )LI t

ve ( )cV t iken sadece çıkış gerilimi ( )cV t (aynı zamanda ( )cV t = 0 ( )V t ‘dir.) ölçülmekte

ve dinamiği ayarlanmaktadır. Bundan başka, transfer fonksiyonu ile analiz ve tasarımda bütün ilk koşullar ihmal edilmekte böylece sistemin geçmiş ve başlangıç durumuna ilişkin bilgiden yararlanılmış olunmamaktadır. Klasik analiz ve inceleme yöntemleri sistemin lineer olmaması, zamanla değişmesi, çok-giriş, çok-çıkış olması hallerinde uygulanmaz. Transfer fonksiyonu basitliği nedeni ile hala kullanılmaktadır ve kullanılmaya devam

edecektir. Kontrol sistemlerinin modern inceleme ve tasarımda, durum değişkenleri ve sistemin

başlangıç koşullarından oluşan durum uzayı yaklaşımı kullanılır. Durum uzayı modeli, başlangıç koşulları verilmiş, birinci mertebeden diferansiyel denklemler sisteminden oluşur. Durum-Uzay Denklemleri: Durum-uzay analizinde dinamik sistem modellemesinde üç tip değişken göz önünde bulundurulur. i) Giriş değişkenleri, ii) Çıkış değişkenleri, iii) Durum değişkenleri Aynı bir sistem için tek bir durum-uzay gösterimi yoktur. Durum değişken sayısı aynı kalmakla beraber aynı sistem için çok farklı sayıda durum-uzay gösterimi elde edilir. Kullanılan durum uzay elde etme yöntemlerine ve kullanılabilecek lineer dönüşümlere bağlı olarak farklı katsayılar matrisleri elde edilecektir. Ancak aynı bir sistem için katsayılar matrisleri farklı olmakla beraber karakteristik denklemleri aynıdır. Eğer durum denklem elde etme yöntemi veya lineer dönüşüm sonunda karakteristik denklem değişir ise o sistem zaten başka bir sistem demektir, hata yapılmıştır.


6

Lineer zamanla değişen ayrık-zaman ve sürekli-zaman durum denklemi sırası ile;

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )x k G k x k H k u k+ = + durum denklemi

Ayrık-Zaman ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y k C k x k D k u k= + çıkış denklemi

( )

( ) ( ) ( ) ( )dx t

A t x t B t u tdt

= + durum denklemi

Sürekli-Zaman ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t C t x t D t u t= + çıkış denklemi

gibi verilebilir. Değişkenler ve katsayı matrisleri aşağıda açıklanmıştır. x(k)=n-vektör (durum vektörü) y(k)=m-vektör (çıkış vektörü) u(k)=r-vektör (giriş vektörü) A(t),G(k)=nxn matris (durum matris) B(t),H(k)=nxr matris (giriş matris) C(t),C(k)=mxn matris (çıkış matris) D(t),D(k)=mxr matris (doğrudan iletim matrisi, direct transmission matrix) Matris argümanlarındaki ( )k ve ( )t , ( )G k ve ( )A t deki gibi matrislerin zamanla

değiştiğini gösterir. Eğer zamanla değişmeyen bir sistem ise, durum ve çıkış denklemleri;

( 1) ( ) ( )x k Gx k Hu k+ = +

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= +

Ve

.

( ) ( ) ( )x t Ax t Bx t= +

( ) ( ) ( )y t Cx t Du t= + olarak yazılabilir. Katsayı matrisleri sabittir, zamanla

değişmez.

Aşağıda şekil 7-8 de sırası ile sürekli-zaman ve ayrık-zaman durum denklemlerinin blok diyagram gösterimi verilmiştir.


7

A

B C

Sistem

D

y(t)u(t)x(t)

dtòdx(t)

dt

Şekil 7 Sürekli-zaman zamanla -değişmeyen sistemin durum uzay blok diyagramı gösterimi

G

H C

Sistem

D

y(k)u(k)x(k)x(k+1)

z-1I

Şekil 8 Ayrık-zaman zamanla değişmeyen sistemin durum uzay blok diyagram gösterimi;

ÖRNEK-1:

M

Sürtünme

katsayısı

f

Kütle

Yay

y(t):konum

u(t):Kuvvet

K:yay sabiti

M

u(t)

Mdy

dt

2

2

ky Bdy

dt

Şekil 9 a) Kütle-yay mekanik sistemi. b) Serbest cisim gösterimi. Şekil 9 da, denge konumun da bulunan sisteme ait, i- Sistemin davranışını tanımlayan dinamik denklemleri yazınız. ii- Durum denklemlerini elde ediniz. (sistem denge konumunda iken ( )u t

uygulanıyor.) i- Sistem davranışını ifade eden diferansiyel denklem,


8

2

2

( ) ( )( ) ( )

d y t dy tM f Ky t u t

dt dt+ + = (3)

olarak yazılır. Sistem durum değişkenlerini konum ve hız olarak alırsak ve sırası ile 1( )x t

ve 2 ( )x t ile gösterelim.

1( ) ( )x t y t Konum= ®

2

( )( )

dy tx t hız

dt= ®

12

( )( )

dx tx t

dt= 1. durum denklemi,

(3) denkleminde düzenlemeler yapılır Þ

22 1

( )( ) ( ) ( )

dx tM fx t Kx t u t

dt+ + = =

22 1

( ) 1( ) ( ) ( )

dx t f Ku t x t x t

dt M M M= - - 2. durum denklemi elde edilir.

Elde edilen 1. ve 2. durum denklemleri vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi

yazılabilir.

1

1

22

( )

( )0 1 0

( )( )1

( )( )

xBAx t

dx tx tdt u tK fx tdx t

M M Mdt

é ùé ù é ùê ú é ùê ú ê ú= +ê ú ê úê ú ê ú- - ë ûê ú ë û ë ûê úë û

( )x t( )( )

ëMMûë 2 ( )( )2 ( )( )

xA

ë ûM MM Mx

x t

ë ûdtê úê údt( )x t( )( )

ë

Kontrol edilen sistem göz önüne alındığında, çıkış olarak alınan fiziksel büyüklük

konumdur.

1( ) ( )y t x t= olarak yukarıda tanımlanmıştı. Çıkış denklemi durum değişkenleri cinsinden

matris formunda aşağıda verilmiştir.

[ ]1( )

( ) 1 02( )

C

x

x ty t

x t

é ù= ê ú

ë ûx

ë û2( )x2(2(ê úê ú)x2(2(

Kütle-yay sistemine ait

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

dx tAx t Bu t

dty t Cx t Du t

= +

= + durum denklemleri yukarıda

vektör-matris formunda elde edilmiştir.


9

ÖRNEK-2:

R LB

C

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

Kİf=sbt

Güç Kuvvetlendirici Rotor Kontrollu DC Makina

J

U(t)

e (t)a

e (t)b

( )tq

i (t)a

TL

Şekil 10 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı

i- Basitleştirilmiş rotor kontrollü DC-makineye ait dinamik denklemleri yazınız. ii- Durum-uzay modelini vektör matris formunda elde ediniz.(La≈0 alınacak) t-domeni denklemler

1) ( ) ( )ae t Ku t=

( )2) ( ) ( ) ( )a

a a a a b

di te t L R i t e t

dt= + +

3) ( ) ( )e a aT t K i t=

2

24) ( ) ( )m L

d dT t J B T t

dtd t

q q= + +

( )5) ( )b b

d te t K

dt

q=

( )6) ( )

d tw t

dt

q=

7) ( ) ( )m eT t T t= (sürekli rejimde, üretilen elektriki moment=Mekanik moment)

s- domeninde

( ) ( )) ( ) a b

a

a a

E s E si I s

sL R

-=

+

) ( ) ( )e a aii T s K I s=

2) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

m L

m L

iii T s T s s J Bs s

T s T ss

s sJ B

q

q

- = + =

-=

+

) ( )b biv E K s= W


10

) ( ) ( )m ev T s T s=

Ea(s)Ka

ia Tm

Kb

q1sL +R

aa

Te

1Js+B

TL

1s

wKU(s)

Bozucu moment

Rotor kontrollu DC-makine

GüçKuvvetlendirici

Şekil 11 Rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı kontrol blok diyagramı.

Rotor kontrollü DC-makinenin basitleştirilmiş modeli ( 0aL = için) aşağıda verilmiştir.

Ea(s)Ka

ia Tm

Kb

qTe

1Js+B

TL

1s

wKU(s)

Bozucu moment

Rotor kontrollu DC-makine

GüçKuvvetlendirici

1

aR

Şekil 12 Basitleştirilmiş rotor kontrollü DC-makine ve DC-Kıyıcı kontrol blok diyagramı.

olarak elde edilir. ii- Durum-uzay denklemleri için, (1-7) denklemleri kullanılır ve makine çıkışı olan ( )tq

nın davranışını tanımlayan denklem elde edilir (La≈0 alındı).

1)’ nolu denklemden; ( ) ( )

( ) a b

a

e t e ti t

R

-=

2) ‘den

( )( )( ) ( )

( )a b

a be a a

a a

d te t Ke t e t dtT t K K

R R

q--

= =

sürekli rejimde ( ) ( )e mT t T t= ==

2

2

( ) ( ) ( )( ) a a b

a

a a

K K K d t d t d te t J B

R R dt dt dt

q q- = + =

2

2

( )( )a b a

a

a a

K K Kd t dJ B e t

dt R dt R

q qæ ö= - + + =ç ÷

è ø


11

2

2

( ) ( )( )a a b a

a

a a

BR K K Kd t d te t

dt R J dt R J

q qæ ö+= - +ç ÷

è ø

Basitleştirilmiş model yardımı ile, rotor kontrollu DC-makine çıkışı ( )tq ifadesi elde

edildi. Durum değişkenleri tanımlanarak durum denklemleri 2

2

( )d t

dt

q denkleminden elde

edilecektir.

1

2

( ) ( )

( )( )

x t t konum

d tx t hız

dt

q

q

= ®

= ® durum değişkenleri olarak belirlenir ise;

12

( )( )

dx tx t

dt= 1. durum denklemi

22

( )( ) ( )a a b a

a

a a

BR K K Kdx tx t e t

dt R J R J

æ ö+= - +ç ÷

è ø 2. durum denklemi

Durum denklemlerini vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi yazılır.

1

1

22

( ) 0 1 0( )

( )0 ( )( ) aaa a b

aa

dx tx tdt e tKBR K Kx tdx t

R JR Jdt

é ù é ù é ùê ú é ùê ú ê ú= +æ öê ú + ê úê ú ê ú-ç ÷ ë ûê ú ê ú ê úë ûè øë ûê úë û

Hız ve Konum çıkış olmak üzere seçilir ise, çıkış denklemi olarak C1 ve C2 ölçme ile ilgili sabitler olmak üzere,

u(s) Ks/(sTs+1) 1/s

C2 C1

Y1(t)Y2(t)

(hız) (konum)

X1(t)1

s

s

K

T s +

2c 1c

2 ( )y t 1( )y t

1

s1( )x t2 ( )x t

1 1 1

2 2 2

( ) 0 ( )( )

( ) 0 ( )

y t C x ty t

y t C x t

é ù é ù é ù= =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

tanımlanabilir.


12

Basitleştirilmemiş DC-makine durum denklemleri (1-7) dinamik denklemleri düzenlenir ise,

( )( ) ( ) ( )ort b

di tu t Ri t L K w t

dt= + + ®

( ) 1( ) ( ) ( )b

ort

Kdi t Ri t w t u t

dt L L L= - - +

( )( ) ( )i y

dw tK i t J T t

dt= + ®

( )( ) ( )i

y

Kdw t ni t T t

dt J J= - ve durum değişkenleri

tanımlanır

1( ) ( )x t i t= akım

2( ) ( )x t tq= konum

3

( )( ) ( )

d tx t w t

dt

q= = Açısal hız

ve durum denklemleri vektör matris formunda yazılır.

1

1

22

33

( )1

0( )

( )0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 0( ) 0 0

b

ort

i

dx tKR

dt x tL L Ldx t

x t U tdt

K x tdx t

Jdt

é ùé ù é ùê ú - -ê ú ê úé ùê úê ú ê úê úê ú = +ê ú ê úê úê úê ú ê úê úê ú ë ûê ú ê úê ú ë ûë ûê úë û

Durum denklemleri

Ve Çıkış denklemi, 1( ) ( ) ( )y my t t C tq q= =

[ ]1

1 2

3

( )

( ) 0 0 ( )

( )

x t

y t C x t

x t

é ùê ú= ê úê úë û

elde edilir.

Durum denklemleri elde edilmiş olan rotor kontrollü DC-makine’ye ait tüm durum geri

beslemeli sayısal tabanlı kontrol yapısına ait basitleştirilmiş kontrol devresi fikir vermesi (ön bilgi) için aşağıda verilmiştir. Amaç SayısaL Kontrolör’ün tasarlanmasıdır.

Sayısal İşlemciADC ADC ADCDAC

X2(t)

Konum

Hız

X3(t)

Ölçme

R LB

C

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

Kİf=sbt


J

U(t)

e (t)a

e (t)b

( )tq

i (t)a

SayısaL Kontrolör

X1(t)

YÜK

akım

Şekil 13 Tüm durum geri beslemeli Rotor kontrollü DC-makineye ait sayısal kontrol


1

MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR

i- Klasik PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim trasfer fonksiyonu,

R(s) IP D

KK K s

s+ +

D(s)

( )PG s C(s)E(s)

D(s)=0 için ( )

( )

C s

R s ifadesi gerekli ara işlemlerden sonra,

]2

2

( ) 1( )

( ) ( ) ( )

D PI P

I I

D P I P

K KK G s s s

K KC s

R s s K s K s K G s

é+ +ê

ë=+ + +

olarak elde edilir.

ii- Modifiye edilmiş PID ile kontrol edilen sisteme ait kapalı çevrim transfer fonksiyonu

aşağıda verilen ara işlemlerden sonra elde edilmiştir.

.

Klasik PID olduğu gibi ''I'', integratör ileri yoldadır. Ancak, oransal kontrolör ''P'' ve türevsel

kontrolör ''D'', geri-besleme yolu üzerindedir.

D(s)=0 için ( )

( )

C s

R s elde edilir.

] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )IP D P

KR s C s C s K K s G s C s

s

ìé - - + = =>íêëî

2I P I P P P D PRK G CK G CK sG K s CG sC- - - = =>

] 2I P D P I PRK G C s K sK K G sé= + + + =>ë


2

]2

( )( )

( )I P

D P I P

K G sC s

R s s K sK K G s=é + + +ë

Klasik, PID, kontrolörlü sisteme bakıldığında, transfer fonksiyonunda iki adet sıfır (Pay kısmında 2. dereceden polinom) olduğu görülür. Bu sıfırların etkilerinden dolayı, basamak

girişe karşılık sistem cevabını ayarlamak zor olabilir. Bu sıfırlar sistem cevap çıkışında erken bir pik'e veya aşımın artmasına neden olurlar. Bu aşım değeri kayda değer olabilir ve sıfırlar

orjine yaklaştıkça aşım artar. Alternatif ise, Modifiye PID kontrol transfer fonksiyonunda olduğu gibi pay’daki sıfırları yok etmektir.

]2

2

( )

( )

(

( ) (

1)

)

D P

I I

I P

D P I P

K G s

s K s K

K Ks

s

C s

R s

s

s

K

K

K

G

é+ +

+ +

ê

+= ë

]2)

)) ((

(I P

D P I P

K G s

s K s K s K

C s

R s G=

é+ + +ë

Klasik PID Modifiye PID

Örnek: Sarkaç probleminde elde edilmiş olan PID katsayılarına karşılık cevaplar karşılaştırma amacı ile

aşağıda verilmiştir.

67.0476PK = , 146.2857IK = , 15.2175DK =


3

AYRIK-ZAMAN MODİFİYE EDİLMİŞ PID KONTROLÖR

Aşağıda verilen kapalı-çevrim kontrol sisteminde görüldüğü gibi, PID kontrolörün integral

kısmı ileri yolda, oransal ve türev kısmı ise geri-yol üzerindedir.

R(z) 1I

zK

z -

PK 1D

zK

z

-

1 sTe

s

-- ( )PG s

( )PG z

Y(s)T

T

'

'

( )1)

( )

Y z

R z

PID

( )

( )

Y z

R z yine kapalı çevrim transfer fonksiyonunun elde edilmesine dair işlem basamakları aşağıda

verilmiştir.

'

'

( )( )1)

1( )1 ( )

P

P P D

G zY z

zR zG z K K

z

=-æ ö+ +ç ÷

è ø iç çevrimin transfer fonksiyonudur.

Sadeleştirilmiş kontrol bloğu,

R(z)1I

zK

z -

( )

11 ( )

P

P P D

G z

zG z K K

z

æ - ö+ + ÷çøè

T

Y(s)

Elde edilir. ( )

( )

Y z

R z elde etmek amacı ile indirgenmiş blok aşağıda verildiği gibi düzenlenirse,


4

( )1

1 ( )1( )

1( )( )

11

1 ( )

P I

P P D

P I

P P D

zG z K

z

zG z K K

zY z

zR zG z K

zz

G z K Kz

æ öç ÷-è ø

æ öé ù+ +ç ÷ê ú-ë ûè ø=-æ ö

ç ÷è ø+

-æ ö+ +ç ÷è ø

( )( ) 1

1( )1 ( )

1

P I

P P D I

zG z K

Y z zz zR z

G z K K Kz z

æ öç ÷-è ø=

-æ ö+ + +ç ÷-è ø

Þpay ve payda 1z

z

- ile çarpılırsa;

2

( )( )

( ) 1 1 1( )

P I

P D P I

G z KY z

R z z z zG z K K K

z z z

=æ ö- - -æ ö æ ö+ + +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

Modife edilmiş PID kontrolör ile denetlenen sisteme ait kapalı-çevrim transfer fonksiyonu

elde edilir. Klasik ve modifiye edilmiş PID kontrollü her iki sistem karşılaştırılır ise,

Karakteristik denklemlerinin aynı olduğu görülmektedir.

21 1 1

( ) ( ) 0P D P I

z z zF z G z K K K

z z z

æ ö- - -æ ö æ ö= + + + =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

Sürekli-zaman PID kontrolörde ifade edildiği gibi, Klasik PID’ li kontrollü sistemde kapalı-

çevrim transfer fonksiyonun pay kısmında klasik PID konfigürasyonundan dolayı iki adet sıfır

gelmektedir. Buda kapalı-çevrim kontrol sistem cevabında aşımın artmasına sebep

olmaktadır.

Ayrık-Zaman II. Dereceden Örnek Sistem

Otomatik kontrol sistem cevabı geçici rejim kriterleri, birim basamak giriş için ve II. dereceden

örnek sistem için verilmiştir. Doğal açısal frekans nw ve sönüm oranı x ye bağlı II. Dereceden

örnek sistem transfer fonksiyonu ( )T s ’in T örnekleme zamanına göre ayrık-zaman ifadesi

sıfırıncı mertebeden tutucusuz olarak elde edilişi 0 1x< < aralığı için aşağıda verilmiştir.


5

2

( 2 )n

n

w

s s wx+

R(s) C(s)

2

( 2 )n

n

w

s s wx+R(s) C(s)

II. dereceden sistem. Örneklenmiş II. dereceden sistem.

Örneklenmiş II. dereceden sistem rezidü teoremi ile T örnekleme zamanaı için ayrıklaştırılacaktır.

2 22 0n ns w s wx+ + = karakteristik denklem kökleri 0 1x< < için 2

1,2 1 )n ns w jwx x= - ± -

olduğu göz önünde bulundurulur ise,

2 2

2 2 2 2( )

2 ( 1 ) ( 1 )

n n

n n n n n n

w wT s

s w s w s w jw s w jwx x x x x= =

+ + + + - + - - yazılır. Rezidü

teoremi kullanılır ise,

2( 1 )

( ) ( )n ns w jw

Z T s T zx x+ + -

= =2

2( 1 )

n

n n

w

s w jwx x+ + -2

2

1( 1 )

n n

sT

n n s w jw

z

z es w jwx x

x x=- - -

+-+ - -

2( 1 )n ns w jwx x+ - - 2

2 2( 1 ) ( 1 )

n

n n n n

w

s w jw s w jwx x x x+ + - + - -21n n

sT

s w jw

z

z ex x=- - -

-

2

( ) nwT z =

( nwx- 2 21 1n n njw jw wx x x- - - - +21) n nw T jw T

z

z e x x- - -× +-

2

2

2 2 1( 1 1 ) n n

n

w T jw Tn n n n

w z

w jw w jw z e x xx x x x - + -×

- + - + + - -

2 22 1 1( )

1 2 n n n n

n

w T jw T w T jw T

w z zT z

j z e z ex x x xx - + - - - -

é ù= × -ê ú

- × - -ë û


6

2

2( )

2 1

nw zT z

j x= ×

× -

21 2n nw T jw Tze zx x- - -- -2

2 2

1

1 1 22 (

n n

n n n n n

w T jw T

w T jw T w T jw T w T

ze

z z e e e

x x

x x x x x

- + -

- + - - - - -

é ù+ê úê ú- + +ë û

222( )

( )1 2

n d d

n d d n

w T jw T jw Tn

w T jw T jw T w T

w e e eT z

z ze e e ej

x

x xx

-

- - -

-= ×

- + +- × Olarak elde edilir.

21d nw w x= - sönüm osilasyon açısal frekansı ve periyot olarak, 2

2

1d

n

Tw

p

x=

- olmak

üzere

Osilasyon sönüm periyodu.

222

sin( )

2 cos1

n

n n

w Tn d

w T w Td

w e z w TT z

z ze w T e

x

x xx

-

- -=- +-

2

22 2 2

sin( 1 )( )

1 2 cos( 1 )

n

n n

w Tnn

w T w Tn

ze w TwT z

z ze w T e

x

x x

x

x x

-

- -

-= ×

- - - + ayrık-zaman örnek II. Dereceden

sistem elde edilir. Bu transfer fonksiyonunu daha sadeleştirirsek,

2

2

sin( 1 )

1

wnTn nw e w T

cx x

x

- -=

-

22 c o s ( 1 )w n Tnd e w Tx x-= - ve

2 nw Te e x-= olarak

tanımlanırsa , 2( )

czT z

z dz e=

- + olarak elde edilir.

Elde edilen ayrık-zaman II. Dereceden örnek sistem sürekli-zaman örnek II. dereceden sistem ile

aynı kazanca sahip olabilmesi için birim basamak girişe karşılık son değerin “1” e gitmesi gerekir.

Bunun için son değer teoremi uygulanır ise, tanımlanan “K” kazancı elde edilmiş olur.


7

2

( )( )

( )

C z czT z K

R z z dz e= =

- + olduğuna göre ve giriş ( )

1

zR z

z=

- için,

21

1( ) lim( 1) 1z

zK

zc zz dz e®

-¥ = - = =- +

1 d eK

c

- += Olarak elde edilir. II.Dereceden sürekli-zaman örnek sisteme karşılık gelen ayrık-

zaman II. dereceden örnek sistem, T örnekleme zamanı olmak üzere,

2

1( ) ( )

d e czT z

c z dz e

- +=

- + elde edilir.

Örnek:

0.707

2.82wn

x ==

İçin örnek II. Dereceden sürekli-zaman ve ayrık-zaman transfer fonksiyonlarını

elde ediniz. Örnekleme zamanı T ’yi seçiniz.

Osilasyon açısal frekansı 2 21d n

d

w wT

px= - = = buradan osilasyon periyodu,

2

2

1d

n

Tw

p

x=

- dir. Örnekleme zamanı ise yaklaşık olarak, (0.1 0.05) dT T= 0.05) dT0.05) d arasında

seçilebilinir.

21.9943

3.1506

0.02 3.1506

wdTd

Td sn

T

p= = =

=

= * = örnekleme zamanı

0.063T sn= olarak hesaplanır.

Sürekli-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer fonksiyonu, 2.82wn = ve 0.707x = için,

2

2 2( )

2n

n n

wT s

s w s wx=

+ + Olmak üzere,

2

7.9524( )

3.9875 7.9524

sT s

s s=

+ + Olarak elde edilir.


8

0.063T sn= , 2.82wn = ve 0.707x = değerleri için,

2

2

sin( 1 )

1

wnTn nw e w T

cx x

x

- -=

- = 0.4408

22 cos( 1 )wnT

nd e w Tx x-= - =1.75

2 nw Te e x-= = 0.7778

Ve son değer teoreminden kazanç hesaplanır ise,

ise 0.0632K = elde edilir.

Veya 1

( )d e

Kc

- += den aynı sonuç elde edilebilir.

2

0.4408( ) 0.0632

1.75 0.7778

zT z

z z=

- + ise Ayrık-zaman II. Dereceden örnek sistem transfer

fonksiyonu

2

0.02785( )

1.75 0.7778

zT z

z z=

- +

2

7.9524( )

3.9875 7.9524

sT s

s s=

+ + olarak elde edilir.

II. dereceden örnek sistem birim basamak-giriş ve 0.063T sn= , 2.82wn = ve 0.707x = değerleri ve

birim basamak giriş için,

sürekli-zaman ve ayrık-zaman cevap çıkışları aşağıda verilmiştir.

21

1( ) lim( 1) 11.75 0.7778z

zK

zc zz z®

-¥ = - =- +


9

II. dereceden sürekli ve ayrık-zaman Matlab blok diyagramı

Birim basamak giriş için Ayrık zaman ve sürekli zaman cevapları, T=0.0632 sn.


10

Dijital Kontrol Sistemleri Doç. Dr. Ayhan Özdemir

1

Ayrık-Zaman Sistemlerinin Durum Uzay Gösterimleri

Sürekli-zaman

sistem

Diferansiyel Denklem

Sürekli-zaman

Durum Denklemleri

Ayrık-zaman

Durum Denklemleri

Z-dönüşümü

S-domeni

Laplace

Dönüşümü

Z-domeni Fark (diferans) denklemi

Ayrık-zaman sistem

Ayrık-zaman durum uzay denklemlerinin kanonik formları: Ayrık zaman sistemlerin

durum-uzay gösterimlerini elde etmek için birçok teknik mevcuttur.

k. örnekleme anında u(k) giriş y(k) çıkış olmak üzere ayrık-zaman sistem;

1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )n ny k a y k a y k a y k n b u k bu k b u k n+ - + - + + - = + - + - (1)

fark denklemi ile verilsin.

Darbe transfer fonksiyonu olarak;

( ) ( )y k Y z® ( ) ( )u k U z® (şimdiki değer)

1( 1) ( )y k z Y z-- ® 1( 1) ( )u k z U z-- ® (bir örnek önceki değer)

( ) ( )ny k n z Y z-- ® ( ) ( )nu k n z U z-- ® (n örnek önceki değer)

Olmak üzere;

1 2 11 2 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )n n

n nY z a z Y z a z Y z a z Y z b U z b z U z b z U z- - - - -+ + + + = + + +

=> [ [1 2 11 2 0 1( ) 1 ... ( ) ...n n

n nY z a z a z a z U z b b z b z- - - - -ù ù++ + + + = + + +û û

Açıklama:

-Darbe transfer fonksiyonu: çıkış darbe dizilerinin z-dönüşümünün giriş darbelerinin z-dönüşümüne oranına denir (ilk koşullar sıfır).


2

[[

10 1

1 21 2

...( )

( ) 1 ...

nn

nn

b b z b zY z

U z a z a z a z

- -

- - -

ù+ + + û=ù+ + + + û

(2) Veya pay ve payda n

n

z

zile çarpılır =>

10 1

1 21 2

...( )

( ) ...

n nn

n nn

b z b z bY z

U z z a z a z a

-

- -

+ + +=

+ + + + (3)

(1),(2),(3) denklemlerinin durum uzay gösterimleri bir çok yoldan elde

edilebilinir. Aşağıda sırası ile anlatılacaktır.

1. Kontroledilebilir Kanonik Form (Controllable Canonical Form) (Faz-Değişken Kanonik

Form: phase-veriable canonical form): Doğrudan programlama metodu ile elde edilebilir.

10 1

1 21 2

...( ) ( )

( ) ... ( )

n nn

n nn

b z b z bY z X z

U z z a z a z a X z

-

- -

+ + +=

+ + + + pay ve payda X(z) ile çarpılır ve ayrı ayrı yazılır

ise,

• 1 21 2( ) ( ... ) ( )n n

nU z z a z a z a X z- -= + + + + (*)

• 10 1( ) ( ... ) ( )n n

nY z b z b z b X z-= + + + olur.

( ), ( ) ..., ( )nX z zX z z X z nin ters dönüşümleri kullanılır ise;

1)( )) ( (x k x kX z =® olsun. 1. durum değişkeni

2( 1)) )( (x kz z x kX + =® olsun. 2. durum değişkeni

23( ) ( 2) ( )z X z x k x k® + = olsun. 3. durum değişkeni

. 2 3( 1) ( )x k x k+ =

. 3

4( ) ( 3) ( )z X z x k x k® + =

3 4( 1) ( )x k x k+ =

4. durum değişkeni

----------------------------------------

11( ) ( 1) ( 1) ( )n

nnz X z x kk n k xx -

- + =® + - ®

n. durum değişkeni

( ) ( ) ( 1)n

nz X z x k n x k® + = +

yeni durum değişkenleri 1 2( ), ( ),..., ( )nx k x k x k olarak tanımlanmıştır.


3

( 1)nx k + ifadesi ise yeni durum değişkenleri kullanılarak, 1 2

1 2( ) ( ... ) ( )n nnU z z a z a z a X z- -= + + + + denkleminden elde edilir.

1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n n n

nU z z X z a z X z a z X z a X z- -= + + + + =>

1 1 2 1( ) ( 1) ( ) ... ( ) ( )n n n nu k x k a x k a x k a x k-= + + + + + =>

1 1 2 1( 1) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n n nx k u k a x k a x k a x k-+ = - + + +

yeni durum değişkenleri kullanılarak çıkış ifadesi olarak ,

10 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n

nY z b z X z b z X z b X z-= + + + yazılır.

NOT:

pay derecesi=payda derecesi-1 olsun 1 ( ) ( 1) ( )nnz X z x k n x k- ® + - = olur.

0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )n n ny k b x k b x k b x k-= + + +

Elde edilen durum denklemleri vektör-matris formunda yazılır.

1 1

2 2

1 2 1

( 1) 0 1 0 ...0 ( ) 0

( 1) 0 0 1 ...0 ( ) 0( )

. . . . .... . .

( 1) ... ( ) 1n n n n n

x k x k

x k x ku k

x k a a a a x k- -

+é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ê ú ê ú ê ú ê ú= + ®ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú

+ - - - - ë ûë û ë û ë û

kontrol edilebilir Kanonik form

çıkış denklemi ise,

[ ]

1

21 2 1 0

( )

( )( ) ...

.

( )

n n n

n

x k

x ky k b b b b b

x k

- -

é ùê úê ú=ê úê úë û yazılır.

•Eğer pay ve payda derecesi eşit ise;

0 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ..( 1) . ( ) ( )n nn n ny k b b x k b x k b x k b x kx k - -+ + + + ++=

( 1)nx k + yerine yazılır ve düzenlenir,

[ ] [ ] [ ]0 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n n n ny k b u k b a b x k b a b x k b x k b a b x k- -= + - + - + + + -

[ ] [ ]1

0 1 0 1 0

( )

( ) ........... ... ( )

( )n n

n

x k

y k b b a b b a b u k

x k

é ùê ú= - - +ê úê úë û


4

durum değişkenlerinin sırasını değiştirirsek, eski durum değişkenlerine göre yenilerini;

^

11

^

22

^

( ) ( )0 0 . 0 1

( )0 0 . 1 0( ).. . . . ....( )1 0 . 0 0

( )n

n

x k x k

x kx k

x kx k

é ùé ùé ùê úê úê úê úê úê úê ú =ê úê úê úê úê úê ú

ë û ë ûê úë û

tanımlarsak durum denklemleri;

^ ^

1 11 2 1

^ ^

2 2

^^

( 1) ( ). 1

1 0 . 0 0 0( 1) ( ) ( ). . . . . .....0 0 . 1 0 0

( )( 1)

n n

nn

x k x ka a a a

x k x k u k

x kx k

-

é ù é ù+ - - - -é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê ú

+ ê ú ê úê ú ê ú= +ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë ûê ú ê ú+ ë ûë û

çıkış denklemi; [ ]

^

1

^

21 1 0 2 2 0 0 0

^

( )

( )( ) . ( ).

( )

n n

n

x k

x ky k b a b b a b b a b b u k

x k

é ùê úê úê ú= - - - +ê úê úê úë û

olarak yazılabilir.

ÖRNEK: ( 2) ( ) 1.7 ( 1) 0.72 ( )y k u k y k y k+ = + + - fark denklemi ile verilen sistemin durum

denklemlerini kontrol edilebilir kanonik form (faz-değişken kanonik form) da elde ediniz.

1. yol; Z- dönüşüm transfer fonksiyonundan ayrık-zaman durum denklemlerinin elde

edilmesi;

Ayrık-zaman

Durum DenklemleriZ-domeni

İlk koşullar sıfır alınarak transfer fonksiyonu elde edilir……… ( 2) ( ) 1.7 ( 1) 0.72 ( )y k u k y k y k+ = + + -

2 ( ) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )z Y z U z zY z Y z= + - =>

2

( ) 1

( ) 1.7 0.72

( )

( )

Y z

U z

X

zz

z

z X=

- +

Önce durum değişkenleri tanımlanır:

1( ) ( ) ( )X z x k x k® = 1( )x k , 1. Durum değişkeni


5

1( ) ( ) ) )( ( ) (Y z y k x k y k x k=® = ® çıkış denklemi

1 22( ) ( 1 ( 1) ( )) ( )zX z x k x k x k x k® + == + =

1. Durum denklemi, 2 ( )x k 2. Durum değişkenidir.

22 ( 2)( ) ' .( 1)z X z dirx k x k+ = +=

( ) ( )Y z X z=

2( ) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )U z z X z zX z X z= - + =>

2 ( ) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )z X z U z zX z X z= + -

2 2 1( 1) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )x k u k x k x k+ = + - 2. Durum denklemi

2. Dereceden diferans(fark) denkleminden 1.dereceden iki adet diferans(fark) denklemi

elde edilmiştir. 1. Dereceden elde edilen fark denklemleri vektör-matris formunda yazılır =>

[ ]

1 1

2 2

1

2

( 1) ( )0 1 0( )

( 1) ( )0.72 1.7 1

( )( ) 1 0

( )

x k x ku k

x k x k

x ky k

x k

+é ù é ùé ù é ù= +ê ú ê úê ú ê ú+ -ë û ë ûë û ë û

é ù= ê ú

ë û olarak elde edilir.

2.yol doğrudan fark denklemleri kullanılabilinir;

Ayrık-zaman

Durum Denklemleri

Ayrık-zaman

sistem

Fark (diferans) denklemi

1( ) ( )y k x k= çıkışın şimdiki değeri 1( )x k olsun. 1. Durum değişkeni.

2( 1) ( )y k x k+ = çıkışın bir örnek sonraki değeri 2 ( )x k olsun. 2. Durum değişkeni.

Yukarıdaki tanımlara göre,

1 2( 1) ( )x k x k+ = 1. Durum denklemi .

2( 1) ( 2)x k y k+ = + olur. Tanımlanan durum değişkenleri

( 2) ( ) 1.7 ( 1) 0.72 ( )y k u k y k y k+ = + + - denkleminde yerlerine konulur =>

2 2 1( 1) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )x k u k x k x k+ = + -

2. Durum denklemi .

Elde edilen durum ve çıkış denklemleri vektör-matris formunda aşağıda verildiği gibi yazılır.


6

[ ]

1 1

2 2

1

2

( 1) ( )0 1 0( )

( 1) ( )0.72 1.7 1

( )( ) 0 1

( )

x k x ku k

x k x k

x ky k

x k


é ù= ê ú

ë û

GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM(OBSERVABLE CANONICAL FORM):

Darbe transfer fonksiyonu, 1 2

0 1 21

1

...( )

( ) 1 ..( )

.

nn

nn

b b z b z b zY z

UG

z a zz

a z

- - -

- -

+ + + +=

+ + += olarak verilsin, G(z)

yeniden düzenlenir ise, içler-dışlar çarpımı yapılır.

1 11 0 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )n n

n nY z a z Y z a z Y z b U z b z U z b z U z- - - -+ + + = + + + =>

[ ] [ ] [ ]1 20 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( 0)n n

nY z b U z a Y z bU z a Y z b U z a Yz z U zz z b- - -- + - + + + - =-

Veya

[ ]2

1

0 1 1 2 2 3 31 1

( )

( )

( )

1( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...... )

n

n

n

X z

X z

X z

Y z b U z bU z a Y z b U z a Y z b U z a Y zz z z

-

-

- - -ì üï ï

= + - + - + - +í ýï ïî þ

)ü2 ( )nX z2 ( )( )n-

ï[ ]1

üü2n

ý))ïï[ ]1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ]( ) (([1

( )X z( )( )

ïîïï

1 ( )nX z1 ( )n-

( )( )( )

( )X z( )( )( )( )( )( )( )( )( )

ïïþïï

(*)

yeni durum değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanır =>

[ ]11 1 1( ) ( ) ( ) ( )n nX z z bU z a Y z X z-

-= - + n. Durum değişkeni

[ ]11 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nX z z b U z a Y z X z-- -= - +

(n-1). Durum değişkeni

...............................................................

[ ]12 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n nX z z b U z a Y z X z-

- -= - +

2. Durum değişkeni

[ ]11( ) ( ) ( )n nX z z b U z a Y z-= -

1. Durum değişkeni

(*) Y(z) denklemi, 0( ) ( ) ( )nY z b U z X z= + olarak yazılır ise ve " taraf ''z'' ile çarpılır ise ;

1 1 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nzX z X z a X z b a b U z-= - + -

1 2 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nzX z X z a X z b a b U z- -= - + -


7

...

2 1 1 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nzX z X z a X z b a b U z- - -= - + -

1 0( ) ( ) ( ) ( )n n n nzX z a X z b a b U z= - + - ters z- dönüşümü alınır ve çıkan denklemler ters sıra

ile yazılır ise;

1 0( 1) ( ) ( ) ( )n n n nx k a x k b a b u k+ = - + - 1. Durum denklemi

2 1 1 1 1 0( 1) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nx k x k a x k b a b u k- - -+ = - + - 2. Durum denklemi

...

1 2 2 2 2 0( 1) ( ) ( ) ( ) ( )n n nx k x k a x k b a b u k- -+ = - + - (n- 1). Durum denklemi

1 1 1 1 0( 1) ( ) ( ) ( ) ( )n n nx k x k a x k b a b u k-+ = - + - n. Durum denklemi

çıkış denkleminin ters z-dönüşümü alınarak , 0( ) ( ) ( )ny k x k b u k= + olarak yazılır.

Durum denklemleri GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ da vektör-matris olarak

01 1

1 1 02 21

21 1 2 2 0

1 1 1 0

( 1) ( )0 0 ... 0 0

( 1) ( )1 0 ... 0 0

. . ... . . .... ... ...

( 1) ( )0 0 ... 1 0

( 1) ( )0 0 ... 0 1

n nn

n nn

n n

n n

b a bx k x ka

b a bx k x ka

ax k x k b a b

ax k x k b a b

- --

- -

-+ - éé ù é ùé ùêê ú ê úê ú -+ - êê ú ê úê úêê ú ê úê ú= +êê ú ê úê ú

-+ -êê ú ê úê úê ú ê úê ú-+ -ë ûë û ë û ë

( )u k

ùúúúúú

ê úû yazılır.

Çıkış denklemi olarak,

[ ]

1

20

( )

( )( ) 0 0 ... 0 1 ( )

...

( )n

x k

x ky k b u k

x k

é ùê úê ú= +ê úê úë û elde edilir.

ÖRNEK: ( 2) ( ) 1.7 ( 1) 0.72 ( )y k u k y k y k+ = + + - fark denklemi ile verilen sistemi durum

denklemlerini gözlenebilir kanonik form’ da elde ediniz.

elde edilen 2

2 2

( ) 1

( ) 1.7 0.72

Y zz

U z z z z

-

-=

- +idi. pay ve payda

2

2

z

z

-

- ile çarpılır ve

2

1 2

( )

( ) 1 1.7 0.72

Y z z

U z z z

-

- -=

- + içler dışlar çarpımı yapılır.


8

1 2 2( ) 1.7 ( ) 0.72 ( ) ( )Y z z Y z z Y z z U z- - -- + = =>

2 1 2( ) ( ) 1.7 ( ) 0.72 ( )Y z z U z z Y z z Y z- - -= + -

Durum değişkenleri tanımlanır…………

1

2

1 1

( )

( )

( ) 1.7 ( ) ( ) 0.72 ( )

X z

X z

Y z z Y z z U z Y z- -ì üï ï

= + -í ýï ïî þ

ý( ) 0.72 ( ) ( ) 0.72 (( ) 0.72 ( ïï)( ) 0 72 (( ) 0 72 (1 1 ( )( )( )1 1 ( )( )1 1

ï ýý ( ) ( )

ïï

( )X z( )( )

ïî þ1 ( )X z1 ( )( )ï ïï ï( )X z( )( ) ïï( )X z( )( )

olarak tanımlanır=>

11( ) ( ( ) 0.72 ( ))X z z U z Y z-= - 1. Durum değişkeni.

12 1( ) (1.7 ( ) ( ))X z z Y z X z-= + 2. Durum değişkeni.

ve 2( ) ( )Y z X z= tir. Çıkış denklemi.

1( )X z ve 2 ( )X z te Y(z) yerine koyulur ve eşitliklerin " iki tarafı z ile çarpılır ise;

1 2( ) ( ) 0.72 ( )zX z U z X z= -

2 2 1( ) 1.7 ( ) ( )zX z X z X z= + ters z-dönüşümü yapılır ise,

1 2( 1) ( ) 0.72 ( )x k u k x k+ = - 1. Durum denklemi.

2 2 1( 1) 1.7 ( ) ( )x k x k x k+ = + 2. Durum denklemi.

2( ) ( )y k x k= Çıkış denklemi.

gözlenebilir kanonik form’ vektör-matris formunda;

1 1

12 2

( 1) ( )0 0.72 1( )

( 1) ( )1 1.7 0

x k x ku k

x k x k

+ -é ù é ùé ù é ù= +ê ú ê úê ú ê ú+ ë û ë ûë û ë û

[ ] 1

2

( )( ) 0 1

( )

x ky k

x k

é ù= ê ú

ë û elde edilir.

Yada,

1 220 1 2

1 2 1 21 2

( )

( ) 1 1.7 0.72 1

b b z b zY z z

U z z z a z a z

- --

- - - -

+ += =

- + + + genel teriminden katsayılar yazılır ise

0 1 2

1 2

0, 1

1.7, 0.72

b b b

a a

= = =

= - = dir. Doğrudan gözlenebilir kanonik form genel matrisinde katsayılar

yerlerine yazılır.


9

•Durum değişkenlerinin sırası değiştirilir ise , ˆ ( )x k yeni durum değişkenleri olmak üzere;

11

2

ˆ ( ) 0 0 . 1( )

ˆ ( ) 0 0 . 1 0...

. . .( )

ˆ ( ) 1 0 0 0 n

n

x kx k

x k

x kx k

é ù é ùé ùê ú ê úê úê ú ê ú= ê úê ú ê úê úê ú ê ú ë û

ë ûë û

ù1é xúùù

ú ê ú= êêê

úúú

ê ú. . .ê úê ú

êêê

úúú

ê úê úê ú. . .

êê0 00 00 0

tanımlanır ise;

^1 1 1 0

1 12 2 2 0

^

0

1 0 . 0ˆ( 1) ( )

0 1 . .... ...

. . . . 1 ...ˆ ( )

( 1) 0 0 . 0 nn n n n

a b a bx k x k

a b a b

x kx k a b a b

- -é ù é ùé ù+ é ùê ú ê úê ú - -ê úê ú ê úê ú = +ê úê ú ê úê úê úê ú ê úë ûê ú+ - -ë û ë û ë û

[ ]

1

20

ˆ ( )

ˆ ( )( ) 1 0 ... 0 ( )

...

ˆ ( )n

x k

x ky k b u k

x k

é ùê úê ú= +ê úê úë û

· Elde edilen durum ve çıkış denklemleri de GÖZLENEBİLİR KANONİK FORM’ dur.

KÖŞEGEN KANONİK FORM (Diagonal Canonical Form):

( )( )

( )

Y zG z

U z= darbe transfer fonksiyonu ile verilen sistemin kutupları farklı ise (katlı değil ise)

durum-uzay gösterimi köşegen kanonik formda gösterilebilir.

darbe transfer fonksiyonu; 1

0 11

1

...( )

( ) ...

n nn

n nn

b z b z bY z

U z z a z a

-

-

+ + +=

+ + + olarak düzenlenir ise ve tüm payda

kökleri (kutuplar) farklı olduğuna göre, ( )

( )

Y z

U z basit kesirlere ayrılmış olarak aşağıda verildiği

gibi yazılabilinir.

1 20

1 2

( )...

( )n

n

cc cY zb

U z z p z p z p= + + + +

- - - bu ifade,

1 20

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n

n

cc cY z U z b U z U z U z

z p z p z p= + + + +

- - -

( )nX z2 ( )X z1( )X z

durum değişkenleri olarak tanımlanır ise;

!NOT: Gözlenebilir kanonik formda elde edilen durum denklemlerinde nxn sistem matrisi Kontrole dilebilir kanonik formda elde edilen nxn sistem matrisinin Transpoze'sidir.


10

1

1

1( ) ( )X z U z

z p=

-

2

2

1( ) ( )X z U z

z p=

-

...

1( ) ( )n

n

X z U zz p

=-

bu denklemlerden sırası ile,

1 11 1 11( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k pzX z x k up X z z kU= + => + = + 1. durum denklemi

2 22 2 22( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k pzX z x k up X z z kU= + => + = + 2. durum denklemi

...

( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )n n nn n n x k p x k u kzX z p X z U z= + => + = + n. durum denklemi olarak ifadeler yazılır.

çıkış denklemi;

0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nY z b U z c X z c X z c X z= + + + + =>

0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n ny k b u k c x k c x k c x k= + + + + olarak elde edilir.

durum denklemlerini vektör-matris formda aşağıda verilmiştir.

1 11

2 22

2

( 1) ( )0 ... 0 1

( 1) ( )0 ... 0 1( )

... .... . ... . ...

( 1) ( )0 . ... 1n n

x k x kp

x k x kpu k

x k x kp

+é ù é ùé ù é ùê ú ê úê ú ê ú+ê ú ê úê ú ê ú= +ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú

+ ë ûë ûë û ë û

Ve çıkış denklemini [ ]

1

21 2 0

( )

( )( ) ... ( )

...

( )

n

n

x k

x ky k c c c b u k

x k

é ùê úê ú= +ê úê úë û yazılır.

ÖRNEK: ( 2) ( ) 1.7 ( 1) 0.72 ( )y k u k y k y k+ = + + - fark denklemi ile verilen sistemin durum

denklemlerini köşegen kanonik formda elde ediniz.

verilen fark denkleminden transfer fonksiyonu elde edilir ise;

2

( ) 1 1

( ) 1.7 0.72 ( 0.9)( 0.8) 0.9 0.8

Y z A B

U z z z z z z z= = = + =>

- + - - - -A=10, B=-10 dur


11

( ) 10 10( ) ( )

( ) 0.9 0.8

Y zU z U z

U z z z= -

- - basit kesre ayrılır.

( ) 10 10( ) ( )

( ) 0.9 0.8

Y zU z U z

U z z z= -

- -

1( )X z 2 ( )X z

1

( )( )

0.9

U zX z

z=

-=> 1 1( ) ( ) 0.9 ( )zX z U z X z= +

2

( )( )

0.8

U zX z

z=

-=> 2 2( ) ( ) 0.8 ( )zX z U z X z= + ters z dönüşümü alınırsa;

1 1( 1) ( ) 0.9 ( )x k u k x k+ = + 1. Durum denklemi

2 2( 1) ( ) 0.8 ( )x k u k x k+ = + 2. Durum denklemi.

1 2( ) 10 ( ) 10 ( )y k x k x k= - Çıkış denklemi.

durum denklemlerini vektör-matris formda

1 1

2 2

( 1) ( )0.9 0 1( )

( 1) ( )0 0.8 1

x k x ku k

x k x k

+é ù é ùé ù é ù= +ê ú ê úê ú ê ú+ ë û ë ûë û ë û yazılır.

çıkış denklemi [ ] 1

1

( )( ) 10 10

( )

x ky k

x k

é ù= - ê ú

ë û olarak elde edilir.

Jordan Kanonik Form: Verilen transfer fonksiyonunda , 1z p= 'de m katlı kök olsun ve

diğer kutuplar birbirinden farklı olsun. Bu şartlar altında durum denklemi ve çıkış denklemi aşağıda verildiği gibidir.

1 1 1

2 1 2

1

1 1 1

( 1) 1 0 0 0 0 ( )

( 1) 0 1 0 0 0 ( )

.

( 1) 0 0 0 0 0 ( )

( 1) 0 0 0 0 0 ( 1)

( 1) 0 0 0 0 0 0 ( 1)

m m

m m m

n n n

x k P x k

x k P x k

x k P x k

x k P x k

x k P x k

+ + +

+é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú+ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú

+ =ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú+ +ê ú ê ú ê úê ú ê ú êê ú ê ú ê+ +ë û ë û ë û

ù é (1 1 11 1 11 1 10 0 0 (0 (01 1 11 1 11 1 11 1 1

ú ê1 1 11 1 1(1 1 11 1 1(1 1 11 1 11 1 11 1 1

ú ê0 0 0 ( )00 0 0 (0 (0 ú ê2 1 22 1 2 ( )2 1 22 1 20 0 0 (2 1 22 1 22 1 22 1 2 )0 0 0 (0 (000 ú êú êúú ê ú êú .ú ê ú êú ê ú êú

ú ê ú êú ê ú êú ê ú ê .

ú êú êú ê

ú ê0 0 (0 ú ê (m mm m1 0 0001 0 0 (0 0 (01 0 000 001 0 0 (000

ú ê

ú ê0 0 (0 0 (00 0 (0 0 (0ú ê1 1 1(1 1 1m m mm m m ((1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1((1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 10 0 (0 0 (0001 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

ú êú êú êú ê

ú ê ú ê úú ê ú êú ê ú êú ê ú ê

ú ê ú êú ê ú êú ê ú ê

ú ê

ú êû ën n nn n nú ê

0

0

.

( )1

1

1

u k

é ùê úê úê úê ú

+ ê úê úê ú

ú ê úú ê úë û

úúúú

úúú


12

[ ]

1

21 2 0

( )

( )( ) ... ( )

...

( )

n

n

x k

x ky k c c c b u k

x k

é ùê úê ú= +ê úê úë û

Kaynak: discrete time control systems Katsuhiko Ogata

11 20 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( )

m mm m

m

c cc cY z b U z U z U z U z U z

z p z p z p z p+

-+

= + + + + +- - - -

+ 2

2

( ) ... ( )m n

m n

c cU z U z

z p z p+

+

+ +- -

1

1

1( ) ( )

( )mX z U z

z p= =>

-

1

2 1

( ) 1

( )

X z

X z z p=

-

2 11

1( ) ( )

( )mX z U z

z p -=

- 2

3 1

( ) 1

( )

X z

X z z p=

-

... ...

1

1( ) ( )mX z U z

z p=

- 1

1

( ) 1

( )m

m

X z

X z z P- =

-

kalan (n-m) adet durum değişkenler;

1

1

1( ) ( )m

m

X z U zz p+

+

=-

2

2

1( ) ( )m

m

X z U zz p+

+

=-

1( ) ( )n

n

X z U zz p

=-


1

LİNEER DÖNÜŞÜMÜN DURUM DENKLEMLERİNE UYGULANMASI

Benzerlik Dönüşümü

Ayrık-zaman sistemlerin durum modellerinin elde edilmesinde farklı modellerin , kontrol

edilebilir kanonik form, gözlenebilir kanonik form, köşegen kanonik form vb…. gibi elde

edilebilineceği daha önce ifade edilmiştir.

Benzerlik dönüşümü yardımı ile verilen bir sistemin çok farklı sayıda ayrık-durum modeli

elde edilebilinir.

Durum denklemleri; ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ve

Çıkış denklemi ( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= + olarak verilsin.

Bu denklemlere lineer dönüşüm, '( ) ( )x k Px k= uygulansın. '( 1) ( 1)x k Px k+ = + olur.

P nxn® matris olmak üzere, '( )x k yeni durum vektörüdür.

Burada, P matrisi tersi alınabilir ve nxn boyutlu sistem matrisi A ile aynı boyutta matris olmak zorundadır. Lineer dönüşümü durum denklemlerine uygularsak,

'( 1) '( ) ( )Px k APx k Bu k+ = + " taraf 1P- ile çarpılır ise,

1 1'( 1) '( ) ( )

( ) '( ) ( )

x k P APx k P Bu k

y k CPx k Du k

- - ü+ = +ý

= + þ yeni durum denklemleri, elde edilir.

1 1, , ,p p p pA P AP B P B C CP D D- -= = = = olarak tanımlanırsa,

'( 1) '( ) ( )

( ) '( ) ( )

p p

p p

x k A x k B u k

y k C x k D u k

+ = + üïý

= + ïþ olarak yeni durum denklemleri yazılır.

A matrisinin karakteristik denklemi;

1 2( )( )...( ) 0nzI A z z z z z z- = - - - = dır

Özellik: 1P A P A- = olduğu hatırlanır ise,

Böylece tersi olan her P matrisi için farklı durum modeli elde edilebilinir. Lineer

dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.


2

pA matrisinin karakteristik denklemi;

1 1pzI A zP IP P AP- -- = - 1P zI A P-= -

= zI A- Görüldüğü her iki sistem matrislerine ait karakteristik denklemler eşittir.

ÖRNEK:

0.8 1 0( 1) ( ) ( )

0 0.9 1x k x k u k

é ù é ù+ = +ê ú ê ú

ë û ë û

[ ] 1

2

( )( ) 1 0

( )

x ky k

x k

é ù= ê ú

ë û

Durum değişken modeli verilen sistemin lineer benzerlik dönüşümü yardımı ile yeni durum

denklemini elde ediniz.

Çözüm: Lineer dönüşüm matris , 2x2 boyutunda tersi alınabilen P matrisi keyfi olarak

seçilir.

1 1

1 1P

-é ù= ê úë û

olarak seçilsin. [ ]1

Tcof P

PP

-é ùë û=

1 0.5 0.5

0.5 0.5P- é ù

= ê ú-ë û

1 0.5 0.5 0.8 1 1 1 1.35 0.55

0.5 0.5 0 0.9 1 1 0.45 0.35p pA P AP A- -é ù é ù é ù é ù= = => =ê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë û ë û

1 0.5 0.5 0 0.5

0.5 0.5 1 0.5pB P B- é ù é ù é ù= = =ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û

[ ] [ ]1 1

1 0 1 11 1pC CP

-é ù= = = -ê ú

ë û

yeni durum denklemini yazarsak;

' '1.35 0.55 0.5( 1) ( ) ( )

0.45 0.35 0.5x k x k u k

é ù é ù+ = +ê ú ê ú-ë û ë û

[ ] '( ) 1 1 ( )y k x k= -


3

20.8 10 1.7 0.72 0

0 0.9

zzI A z z

z

- -- = = => - + =

-

İki karakteristik denklem eşittir.

21.35 0.550 1.7 0.72 0

0.45 0.35p

zzI A z z

z

- -- = = => - + =

-

Lineer Dönüşüm İle Sistem Matrisi A’nın Köşegen Hale Getirilmesi

Lineer Dönüşüm sistem durum denklemlerinin öz-değerlerini değiştirmez. A matrisini

diagonal (köşegen) hale getiren özel lineer dönüşüm matrisi elde edilecektir.

Tanım: A matrisi nxn boyutlu ve öz-değerleri 1 2, ,..., nl l l olsun. Öz-vektörler her bir öz-

değer için tanımlanırlar ve nx1 boyutludur. " hangi bir il öz-değerine ilişkin öz-vektör iöz

ise

[ ] 0iö i iö i iöAz z I A zl l=>= - =

denkleminin çözümleri olan ( )iz nxn boyutundaki vektördür. Her öz-değer için bir öz-vektör

bulunur.

1l için [ ]1 11 21 1...TöT nz v v v=

2l için [ ]2 12 22 2...TöT nz v v v=

...

nl için [ ]1 2 ...TnöT n n nnz v v v=

nxn boyutlu A matrisinin bütün öz-değerlerinin basit ve gerçel olması koşulu halinde öz-

vektörlerden oluşan P lineer dönüşüm matrisi ;

Böylece tersi olan her P matrisi için farklı durum modeli elde edilebilinir. Lineer

dönüşümde sistemin karakteristik denklemi değişmez.


4

21

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

ÖTÖT nÖT

n

n

öz

n nn

ZZ Z

v v v

v v vP

v v v

é ùê úê ú

= ê úê úê úê úë û

1. sütun 1. öz-vektör, 2. sütun 2. öz-vektöre ....... aittir.

özP ’e Benzerlik dönüşüm ya da model matris denir.

ÖRNEK:

1 1

2 2

3 3

( 1) 0.5 0 1 ( ) 0

( 1) 0 0.5 1 ( ) 0 ( )

( 1) 0 0 0.7 ( ) 1

x k x k

x k x k u k

x k x k

+é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ = - +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú+ -ë û ë û ë û ë û

[ ]1

2

3

( )

( ) 0 0 1 ( )

( )

x k

y k x k

x k


Durum denklemi ile verilen sistem lineer benzerlik dönüşümü ile sistem matrisi

A’ yı köşegen hale getiriniz.

ÇÖZÜM:

Önce A matrisinin Öz-değer ve Öz-vektörleri bulunur.

A-matrisinin karakteristik denklemi; 0zI A- = dır. Karakteristik denklem kökleri öz-

değerlerdir.

0.5 0 1

0 0.5 1 0 ( 0.5)( 0.5)( 0.7) 0

0 0 0.7

z

z z z z

z

- -

+ - = = - + + = =>

+

öz-değerler;

1 1

2 2

3 3

0.5

0.5

0.7

z

z

z

l

l

l

= =

= = -

= = -

Her bir öz-değere ilişkin öz-vektörler aşağıda sırası ile hesap edilir.


5

1 1

11

1 21

31

öz

z

v

z v

vl=


2 2

12

2 22

32

öz

z

v

z v

vl=


3 3

13

3 23

33

öz

z

v

z v

vl=


Öz-vektörler belirlensin. [ ] 0i iözI A zl - =

[ ]1 1 0.5 0i iözz I A zl l= = => - = =>

11 11

21 21

31 31

1 0 0 0.5 0 1 0 0 1

0.5 0 1 0 0 05 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 0.7 0 0 1.2

v v

v v

v v

ì ü -é ù é ù é ù é ù é ùï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê úÞ - - = - = =>í ýê ú ê ú ê ú ê ú ê úï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë û ë ûî þ

31 0v- = 21 31 0v v- = 311.2 0v = denklemleri değerlendirilir ise,

31 0v = 21 0v = olur. Ve 11v 'i gelişi güzel alınabilirş

11v =1 olsun,

1 0.5l = öz-değeri için öz-vektör 1

1

0

0özz


dir.

--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------

2 2 0.5zl = = - için ,

12 12

22 22

32 32

1 0 0 0.5 0 1 1 0 1

0.5 0 1 0 0 05 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0.7 0 0 0.2

v v

v v

v v

ì ü - -é ù é ù é ù é ù é ùï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê úÞ - - - = - = =>í ýê ú ê ú ê ú ê ú ê úï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë û ë ûî þ

12 32 0v v- - = , 32 0v- = ve 320.2 0v = denklemleri sırası ile değerlendirilir.

ise 12 32 0v v= = , 22 1v = gelişi güzel seçilir,

2 0.5l = - öz-değeri için öz-vektör 2

0

1

0özz


--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------

3 3 0.7zl = = - öz-değeri için öz-vektörü belirlersek;

13 13

23 23

33 33

1 0 0 0.5 0 1 1.2 0 1

0.7 0 1 0 0 05 1 0 0.2 1 0

0 0 1 0 0 0.7 0 0 0

v v

v v

v v

ì ü - -é ù é ù é ù é ù é ùï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê úÞ - - - = - - = =>í ýê ú ê ú ê ú ê ú ê úï ïê ú ê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë û ë ûî þ

13 331.2 0v v- - = , 23 330.2 0v v- - = denklemler yazılır. 23 335v v= - , 33 131.2v v= - denklemleri

sırası ile değerlendirilir. 33 0.24v = seçilir ise 13 0.2,v = - 23 1.2v = - olur.


6

3 0.7l = - öz-değeri için öz-vektör 3

0.2

1.2

0.24özz

-é ùê ú= -ê úê úë û

--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------

21

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

. . ... .

...

ÖTÖT nÖT

n

n

öz

n nn

ZZ Z

v v v

v v vP

v v v

é ùê úê ú


olduğu göz önüne alınarak öz-vektörler yerlerine yazılır ve

1 0 0.2

0 1 1.2

0 0 0.24özP

-é ùê ú= -ê úê úë û

öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi yada model matris elde edilir.

1

0.21 0

0.240 1 5

10 0

0.24

özP ve-

é ùê úê ú

= =>ê úê úê úë û

' 1 ' 1( 1) ( ) ( )

( ) '( ) ( )öz öz öz

öz

x k P AP x k P Bu k

y k CP x k Du k

- -+ = +

= +

1

1

0.21 0

0.5 0 1 1 0 0.2 0.5 0 00.240 1 5 0 0.5 1 0 1 1.2 0 0.5 0

1 0 0 0.7 0 0 0.24 0 0 0.70 0

0.24

öz öz

A P

P

P AP

-

-

é ùê ú -é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú= - - = -ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë ûê úë û A P

ë û ë û ëë ú ê ú êú ê ú êêê 0 0 0.7 0 0 0.24 00 7 0 0 0 24 00 7 0 0 0 24 00 7 0 0 0 24 00000 0 7 0 0 0 24 00

11P--

ë ûû0.24.2ê úê úú

0 24

1

1

0.2 0.21 0

00.24 0.240 1 5 0 5

1 1 10 0

0.24 0.24

öz

P

P B

-

-

é ù é ùê ú ê úé ùê ú ê úê ú= =ê ú ê úê úê ú ê úê úë ûê ú ê úë û ë û

1P-

ë ûë û0.240.24ê úê úê ú

0.240.240.240.24

1 0 0.2

[0 0 1] 0 1 1.2 [0 0 0.24]

0 0 0.24öz

C

P

CP

-é ùê ú= - =ê úê úë û

[0 0 1] 0C

] 0] 0[0 0 1] 0ê ú] 0] 0] 0] 0] 0] 0] 0] 0

ê ú0 0ê úê úê úê ú0 0

P

ë ûê úê ú0 0 0.24ê úê ú0 0

Öz-vektör hesabında lineer bağımlı denklemlerden dolayı öz-değerler için hesap edilen

öz-vektörlerde bazı değerler keyfi seçilmek zorundadır. Dolayısı ile her seçilen değere

bağlı olarak özP dönüşüm matrisi değişecektir. Ancak sistem matrisi A yine diagonal

(Köşegen) olacaktır. 1

öz özP AP- aynı kalır ancak

1özP B-

ve özCP matrisleri değişir.


7

1

1

' '1 1

' '2 2

' '3 3

0.2( 1) 0.5 0 0 ( ) 0.24( 1) 0 0.5 0 ( ) 5 ( )

( 1) 0 0 0.7 ( ) 1

0.24P AP

P B

x k x k

x k x k u k

x k x k-

-

é ùê úé ù é ù+ é ùê úê ú ê úê ú+ = - + ê úê ú ê úê úê úê ú ê úê ú+ -ë ûë û ë û ê úë û1P AP1P APP AP

ë3 33 3(3 33 3(3 33 33 3((3 33 33 33 33 3ë û3 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 30 0 0 70 0 0 70 0 0 70 0 0 73 33 33 33 33 33 33 33 33 30 00 003 33 33 33 33 3

1P B1P BP B

ë û0.24ê úê ú0 24

durum denklemleri ve

'1

'2

'3

( )

( ) [0 0 0.24] ( )

( )

x k

y k x k

x k

é ùê ú

= ê úê úë û

çıkış denklemi elde edilir.

Durum Denklemlerinden Transfer Fonksiyonunun Elde Edilmesi:

Durum denkleminin z-dönüşümü alınırsa;

( ) (0) ( ) ( )zX z zX AX z BU z- = + transfer fonksiyonu elde edilirken ilk

koşullar sıfır alınır. (0)X ;

[ ] ( ) ( )zI A X z BU z- = =>

[ ] 1( ) ( )X z zI A BU z

-= -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y k Cx k Du k Y z CX z DU z=>= + = + ( )X z ifadesi ( )Y z te yerine

koyulur.

[ ] 1( ) ( )Y z C zI A B D U z

-= - +

[ ] 1( )

( )

( )

YT z c zI

U zB

zA D

-= = - +

Sisteme ait durum denklemi, ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ve çıkış denklemi

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= + olarak verilsin.

( ) ( ) (0)Z f t T zF z zF+ = -

1

1

0

( ) ( ) (0) (1) ... ( 1)

( ) ( )

n n n

nn n k

k

Z f t nT z F z z F z F zF n

z F z z F k z

-

--

=

+ = - - - - -

= - å HATIRLATMA!


8

1 ( ) ( )

[ ( )] ( )( )

T

AdjA

zI A G z H z

cof zI A B zI A D G zT z C

- +

- + -= =

[ ( )]T

AdjA

B( )]( )]T

ÖRNEK:

1.35 0.55 0.5( 1) ( ) ( )

0.45 0.35 0.5x k x k u k

é ù é ù+ = +ê ú ê ú-ë û ë û

[ ]( ) 1 1 ( )y k x k= - durum denklemi ile

verilen sistemin transfer fonksiyonunu elde ediniz.

[ ]1.35 0.55

0.45 0.35

zzI A

z

- -é ù- = ê ú-ë û

2 1.7 0.72zI A z z- = - +

cof:kofaktör [ ]0.35 0.45

0.55 1.35

zcof zI A

z

- -é ù- = ê ú-ë û

[ ][ ]1

Tcof zI A

zI AzI A

- é ù-ë û- =-

2

0.35 0.551

0.45 1.351.7 0.72

z

zz z

-é ù= ê ú- -- + ë û

D=0 olduğundan;

[ ] [ ]1

2

0.35 0.55 0.51( ) 1 1

0.45 1.35 0.51.7 0.72

zT z C zI A B

zz z

- -é ù é ù= - = - ê ú ê ú- -- + ë û ë û

2

1( )

1.7 0.72T z

z z=

- +

Durum Denklemlerinin Çözümü :

İlk durumlar x(0) ve u(j) j=0,1,2,... biliniyor ise,

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = +

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= +

lineer-zamanla değişmeyen durum denklemlerinin çözümünü elde etmeye çalışılsın.

! 1 ( ) ( )zI A G z H z- = + Karakteristik Denklem.


9

Çözüm elde edilirken sırası ile k=0,1,2,... değerleri verilsin.

k=0 (1) (0) (0)x Ax Bu= +

k=1 (2) (1) (1)x Ax Bu= +

2 (0) (0) (1)A x ABu Bu= + +A= A

k=2 3 2(3) (0) (0) (1) (2)x A x A Bu ABu Bu= + + +

Çözüme devam edilirse, k. terim için

1( 1 )

0

( ) (0) ( )k

k k j

j

x k A x A Bu j-

- -

=

= +å elde edilir.

eğer ( )kA kf= olarak tanımlanırsa, ( )kf Durum geçiş matrisi olarak adlandırılır.

Bu ifade y(k)' da yerine koyulur ise,

Çıkış ifadesi elde edilir.

ÖRNEK:

0 1 0( 1) ( ) ( )

2 3 1x k x k u k

é ù é ù+ = +ê ú ê ú- -ë û ë û

ve (0) 0, ( ) 1x u k= = k=0,1,...

[ ]( ) 3 1 ( )y k x k= olarak verildiğine göre x(k) ve y(k) değerlerini ardışıl olarak elde ediniz.

0 1 0 0(1) (0) (0) (1)

2 3 1 1x x u x

é ù é ù é ù= + => =ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë û

1

0

( ) ( ) (0) ( 1 ) ( ) ( )k

j

y k C k x C k j Bu j Du kf f-

=

= + - - +å

1

0

( ) ( ) (0) ( 1 ) ( )k

j

x k k x k j Bu jf f-

=

= + - -å ifadesi elde edilir.


10

[ ]0

(1) 3 1 (1) 11

y yé ù

= => =ê úë û

0 1 0 1(2) (1) (1)

2 3 1 2x x u

é ù é ù é ù= + =ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û

[ ]1

(2) 3 1 (2) 12

y yé ù

= => =ê ú-ë û

2(3) (3) 1

5x y

-é ù= = -ê úë û

5(4) (4) 5

10x y

é ù= =ê ú-ë û

Formül kullanarak hesaplansın. 2 0 1 0 1 2 3

2 3 2 3 6 9A

- -é ù é ù é ù= =ê ú ê ú ê ú- - - -ë û ë û ë û

k=2 için hesap yapalım.

12 1

0

(2) (0) ( )j

j

x A x A Bu j-

=

= +å

=

1

1 0

0 1

2 3 0 0 1 0 0 1 0

6 9 0 2 3 1 2 3 1

BİRİMMATRİSIA

é ùê úë û

é ùê ú- -é ù é ù é ù é ù é ù

+ + ê úê ú ê ú ê ú ê ú ê ú- - - -ë û ë û ë û ë û ë ûê úê úë û

é ù1 0ê úé ùé ù

ë û0 1ê úê ú0 1

é ù

ë û1111112 32 32 32 322úúúúú

İRİM İSI11AA

ë û ë û2 3 12 3 1222 3 12 3 12 3 12 3 122222 3 12 32 3 122

=1 0

03 1

é ù é ù+ + =>ê ú ê ú-ë û ë û

1(2)

2x

é ù= ê ú-ë û

[ ] [ ]2

11

(0)

2 3 0 0 1 0(2) 3 1 3 1 1

6 9 0 2 3 1

j

jC

xA

y

f

f

-

=

- -é ù é ù é ù é ù= +ê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë û ë û

å

f

é ù é ù2 3 02 3 0

2 (0)xA

ë û ë û6 9 06 9 0êê 6 9 06 9 06 9 06 9 0


11

[ ] [ ]0 1 0 0

2 0 3 11 0 1 1

fé ù é ù é ù

= + - +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

[ ]0

0 3 1 (2) 11

yé ù

= + => =ê úë û

Durum Geçiş Matrisinin z-Dönüşüm Metodu ile Elde Edilmesi:

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + olarak verilsin. Durum geçiş matrisi sitemin serbest davranışı ile

ilgilidir. u(k)=0 alınır.

( 1) ( ) ( ) (0) ( )x k Ax k zX z zX AX z+ = - ==> =>

[ ] 1( ) (0)X z z zI A X

-= - ve

[ ] 11 1( ) ( ) (0)x k X z z zI A X-- -= = - [ ] [( ) ] [ ]1 1 [( )( ) ]1 11 11 1 -1 11 11 11 1 [( )( )( ) elde edilir.

genel çözüm ile karşılaştırılır ise ,

01

0

0

( ) ( ) (0) ( 1 ) ( )

olduğ

olur

nk

da

j

un

x k k X k j B u jf f-

=

= + - -å ( )

olduğdu ndaun

((

0

0

olur

jj=å ve

( ) ( ) (0)x k k xf= dır.

Ve [ ] 11( ) (0)x k z zI A X

--= -[[[[1 [1 [ denklemi ile

karşılaştırılır =>

ÖRNEK:

Durum geçiş matrisi sitemin serbest davranışı ile ilgilidir.

u(k)=0 alınır (kaynak

yok).

[ ] 11( )k z zI Af--= -z zI1 z zI1 z zI

Durum Geçiş Matrisi elde edilir.

[ ] 11( ) (0)x k z zI A X--= -11


12

0 1

2 3A

é ù= ê ú- -ë û

verildiğine göre durum geçiş matrisini bulunuz.

[ ]1

2 3

zzI A

z

-é ù- = ê ú+ë û

ise 2 3 2 ( 1)( 2)zI A z z z z- = + + = + +

[ ] 1

2 1 1 1( 3) 11 1 2 1 2

2 2 2 1 2( 1)( 2)

1 2 1 2

z z z z zzI Azz z

z z z z

-

é ù- -ê ú+é ù + + + +- = = ê úê ú- - -+ + ë û ê ú+ +ê úë + + + + û

[ ] 11 1

2

1 2 1 2( )2 2 2

1 2 1 2

z z z z

z z z zk z zI Az z z z

z z z z

f-- -

ì üé ù- -ï ïê úï ï+ + + += - = ê úí ý- -ê úï ï+ +ê úï ïë + + + + ûî þ

[ ] 11 1[ ] 1z zI A[1 11 1[1 11 11 11 1] 11 11 1[ ïïïê z 1 2z 1 21 21 21 21 21 21 21 2=] z zI Az zI A[ zêê z 1 21 21 21 21 21 2íïïê

2 2z zz1 21 21 2

2 2êê

2 2ïííê 2 22 22 2-22 22 2

2( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

2( 1) 2( 2) ( 1) 2( 2)

k k k k

k k k k

é ù- - - - - -= ê ú- - + - - - + -ë û

Hatırlatma: ters z-dönüşüm için

( )

11

11

1( ) ( ) ( )

1 ! i

mnm k

im z zi

dx kT z z X z z

m dz

--

- ==

é ù= -ë û-å

a bA

c d

é ù= ê úë û

1 1 d bA

c aad dc- -é ù= ê ú-- ë û

Hatırlatma:


13

Sürekli-zaman Durum Denklemlerinden Zamanla Değişmeyen Ayrık-zaman Durum Denklemlerine Geçiş

Sürekli sistem durum denklemleri;

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= +( ) (x( ) ((((

( ) ( ) ( )y t Cx t Du t= + olarak verilsin.

( )x t Ax Bu- =( )x t Ax( )( ) AxAx şeklinde yazıp her iki tarafı Ate- ile çarparsak;

( ( ) ) ( )At Ate x t Ax e Bu t- -

*

- =( ) )( ) )( ) )( ( ) )e ((At ( ( ) ))) )At (*

( ) )( ) )( ) )( ) )( ) )) not:

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

At At At

At

de x t Ae x t e x t

dt

e x t Ax t

- - -

*

-

ì é ù = - +ë ûïïíï= -ïî

( )((dt

*

ë û( )éé ( )( )( )( )e x( )(( )( )( )

( ) (x( ) (x( )( )( )olmak üzere,

( ) ( )At Atde x t e Bu t

dt- -é ù =ë û yazılabilir.

Bu ifadenin 0-t aralığında integrali alınır ise,

0

( ) (0) ( )t

At Ae x t x e Bu dt t t- -= + ò

ve her tarafı Ate ile çarparsak;

( )

0

( ) (0) ( )t

At A tx t e x e Bu dt t t- -= + ò

( )kf Durum geçiş matrisinin matris özellikleri:

1)

0(0) I Af = =

2) 1 2 1 2

1 2 1 2( ) ( ) ( )k k k kk k A A A k kf f f++ = = =

3)1 1( ) ( )k kk A A kf f-- -é ù- = = =ë û veya

1( ) ( )k kf f -= -

( )Ate tf= tanımlanır ve durum geçiş matrisi olarak isimlendirilir.


14

0 0t ¹ için 0

0 0(

( ) ( )0

)

( ) ( ) ( )t

tA t t

t

A t

t

x t e x t e Bu dt

f

t t-

-

-= + ò

Çıkış ifadesi ise, elde edilen x(t) genel çözüm y(t) ifadesinde yerine koyulur ise,

Ayrık-zaman Durum denklemlerinin elde edilmesi:

İki örnekleme zaman aralığını kT t kT T£ < + düşünelim. Bu amaç için 0t kT= ve

t kT T= + alınır ve bu aralıkta kontrol işareti ( ) ( )u u kTt = sabit kabul ederek ( ZOH’lu

yaklaşım)

[ ] [ ]( 1)

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )k T

kT

x k T kT T kT x kT k T Bu kT df f t t+

+ = + - + + -ò

[ ] [ ]( 1)

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )k T

kT

x k T T x kT k T Bu kT df f t t+

+ = + + -ò

0

( ) ( ) (0) ( ) ( )t

x t t x t Bu df f t t t= + -ò 0 0t = için genel çözüm elde

edilir.

0

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

t

y t C t t x t t Bu d D t u tf f t t té ù

= - + - +ê úê úë û

ò elde edilir.

u(kT)

t0 t

kT(k+1)T

u(t)


15

[ ]( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k T Bu kT d T x kT T u kTf t t f g+ - = +

( )u kT giriş örnekleme aralığında sabit alındığından, integral ifadesi;

[ ]( 1)

( ) ( 1)k T

kT

T k T Bdg f t t+

= + -ò olarak tanımlanır;

( 1)( 1)( )

k TA k T A

kT

T e e dtg t+

+ -= ò dir.

( 1)( 1)( )

k TA k T A

kT

T e e Bdtg t+

+ -= ò veya örnekleme aralığı için k=0 alınır ise 0 t T£ £ aralığı

için;

0

( )T

AT AT e e d Btg t-é ùê úë ûòATeATeAT éT

eeëêê ®

( ) Att ef = ve ( ) ATT ef = olduğu hatırlanır ise,

( ) ( )t T

T tf f=

= dir ve

Sürekli zaman durum denklemlerinden ayrık zaman durum denklemleri

Sürekli zamanda Durum Geçiş matrisinin elde edilmesi:

Sistemin durum geçiş matrisi sadece serbest davranışı ile ilgilidir. Çözümde u(t)=0 alınır.

0

( )T

AT AT e e d Btg t-é ùê úë ûòATATeAT éT

eeëêê

olarak elde edilir.

[ ]( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x k T T x kT T u kT

y kT Cx kT Du kT

f g+ = +

= + elde edilir.


16

( ) ( ) ( ) (0) ( )x t Ax t sx s x Ax s= Þ - = Þ( ) (x( ) (( ) (((( ( ) ( ) (0)sx s Ax s x- = Þ

[ ] 1( ) (0)x s sI A x

-= - elde edilir. Ters Laplace alınır ise,

[ ] 111( (0)) )( () xx s tx I xt s A- -- é ù= -ë û= Þ 1- é[s AIIë[s AIIéé[sIIéé[sIII ( ) 1 ( )- Þ 1 ( )s (

serbest davranış için elde edilen çözüm x(t) ile u(t)=0 için genel çözüm için elde edilen

x(t) karşılaştırılır ise,

( ) ( ) (0)x t t xf= olduğu görülür.

Buradan,

Sürekli zaman sistem durum geçiş matrisinden ayrık zaman sistem matrisi ( )Tf ,

Örnek:

Sürekli zamanda;

[ ]

1 1

2 2

1

2

( ) ( )1 2 1( )

( ) ( )0 2 0

( )( ) 1 0

( )

x t x tu t

x t x t

x ty t

x t

-é ù é ùé ù é ù= +ê ú ê úê ú ê ú-ë û ë ûë û ë û

é ù= ê ú

ë û

ù1 1( )( )1 11 11 11 11 1x1 1( )( )( )1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

ú1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

ú( )( )==

û2 22 22 22 22 2x2 2( )(( )2 22 22 22 2( )( )( )( )x ( )( )( )( )( ) ë2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2ú ==

durum denklemleri ile verilen sistemin Ayrık-zaman

durum denklemlerini elde ediniz.

Sürekli zaman durum geçiş matrisi,

[ ] 11( ) Att sI A ef--= - =[sI A[[1 sI A[1 sI AsI A[ dir.

Ayrık zaman durum geçiş matrisi,

( ) ( )t T

T tf f=

=

ile elde edilir.


17

Çözüm:

Önce, sürekli zaman durum geçiş matrisi, ( )tf elde edilir.

[ ] [ ] 1

1 21 2 1 ( 1)( 2)

0 2 10

2

s s s ssI A sI A

s

s

-

é ùê ú+ -é ù + + +ê ú- = Þ - =ê ú+ ê úë ûê ú+ë û

NOT:( )

2

1 ( 2) 1 2

A B

s s s s= +

+ + + +=

2 2

1 2s s-

+ + dir.

A=2, B=-2

2

2

1 1(2 2

( )0

)t t t

tsI A

e e et

ef

--

- -

-

- é ù-= = ê ú

ëé ù-ë û

û

1 1- é1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

ëë(ééé(sI AsI Aéé1 11 11 11 11 11 1((1 11 11 1sI AI1 11 11 11 11 1((sI AI

durum geçiş matrisi olarak elde

edilir.

ÖZELLİK: (0) If = olmalıdır. 1 0

(0)0 1

fé ù

= ê úë û

olur.

2

2

2 2( )

0( ) ( )

T T T

Tt T

e e eT

eT t ff f

- - -

-=

é ù-Þ = ê ú

ë û=

İşlem basamakları kısaca aşağıda verildiği gibidir.

1) ( )tf ,sürekli zaman durum geçiş matrisi bulunur, sonra t=T verilerek ayrık zaman

durum geçiş matrisi ( )Tf elde edilir..

2) ( )Tg ifadesi, 0

( )T

AT AT e e d Btg t-é ùê úë ûòATeATeAT éT

eeëêê

ile

hesaplanır.

( )Tf ve ( )Tg ifadeleri kullanılarak ayrık-zaman durum denklemleri,

[ ]( 1) ( ) ( ) ( ) ( )x k T T x kT T u kTf g+ = + olarak elde edilir.


18

2

2

2 2)

0(

T T TA

T

T

e e ee

et

t

f t- - -

-

-=-

é ùê= ú

û=

-

ë-

22

20

20

2 12 2(

0

2( )

0)

0

T T T TA

T

Te e eT e d B

e

e e eT d

e

t t t

ttf tg t

- - --

-

ì üé ù é ù- é ùï ï= = í ýê ú ê ú ê ú

ï ïë ûë ûë û î

é ù-ê ú

þë ûò ò

( )2

2

0

2

0

0

2

02 2

0

2 2

0

T T

T

Te d e

ee

ed

de

e

ed

t t t

t t t

tt

t t

t

t

é ù-ê ú

ê úê úê úê ú

é ù-=ê ú

ë û

ë û

ò ò

òò =

2

2

0

2

10

2

Te e e

e

t t t

t

é ù-ê úê úê úë û

22

2 2

0

212 2

100 0

2

T

T T T

T

e e ee e e

e e

t t t

t

- - -

-

é ù-é ù- é ùê ú= ê ú ê úê ú ë ûë û ê úë û

22

2 2

1 2 112 2

1 100 0

2 2

T T TT T T

T T

e e ee e e

e e

- - -

-

é ù- - -é ù- é ùê ú= ê ú ê úê ú- ë ûë û ê úë û

2

2

1 2 11

1 100

2 2

T T T T T T

T T

e e e e e e

e e

- - - -

- -

é ù- - - + - - +é ùê ú= ê úê ú- ë ûê úë û

1( )

0

TeTg

-é ù-= ê úë û

[ ][ ]

21 1

22 2

( 1) ( )2 2 1( )

( 1) ( )0 0

T T T T

T

x k T x kTe e e eu kT

x k T x kTe

- - - -

-

é ù+ é ù é ù- -é ù= +ê ú ê ú ê úê ú+ ë ûë û ë ûë û

Aynı ( )Tg bağıntısı ikinci yoldan elde edilebilir.

( )

0 0

( )T T

AT A A TT e e Bd e Bdt tg t t- -= =ò ò

değişken değiştirmesi yapılır ise, T t l- = dersek, d dt l- = (T sabit) ve

0 Tt l= Þ =


19

0Tt l= Þ = sınır değerler göz önüne alınır ve d dt l= - yazılır

( )0

0

( )T

A A

T

T e d B e d Bl lg l læ ö

= - = ç ÷è ø

ò ò bağıntısı elde olunur.

22

2 20

1 2 112 2

( ) 1 100 0

2 2

T T TT

T

e e ee e e

T d Be e

l l l

lg l

- - -- - -

- -

é ù- - -æ öé ù- é ùê ú= = Þç ÷ê ú ê úç ÷ ê ú- + ë ûë ûè ø ê úë ûò

1( )

0

TeTg

-é ù-= ê úë û


1

DURUM UZAY KARARLILIK ANALİZİ

Kararlılık analizi BIBO kriteri kullanılarak yapılabilir (bounded input,bounded output). Sınırlı giriş için sınırlı çıkış üreten sistem kararlıdır. Durum-uzay kararlılık analizi yöntemlerinden birisi transfer fonksiyonundan yararlanarak yapılmasıdır.

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k Du k

+ = +

= +

ile verilen sistemin transfer fonksiyonu;

[ ] 1( )( )

( )

Y zT z C zI A B D

U z

-= = - +

,

[ ] 1zI A

-- ifadesini açarak yazılır ve kapalı çevrim

transfer fonksiyonuna eşitlenir ise

[ ]( )

( ) ( )( )

1 ( ) ( )

Adj A

Tcof zI A B zI A D G z

T z CzI A G z H z

- + -= =

- +[ ]

( )Adj A( )( )

T

elde edilir. Bu ifadelerden kararlılık

analizi için gerekli olan karakteristik denklem,

1 ( ) ( ) d t(( e ) 0) G z H zF z zI A+ = - == olduğu görülebilir. F(z)=0 karakteristik

denklem kökleri aynı zamanda öz-değer olarak adlandırılır.

ÖRNEK:

0.43 0

0.037 0.64A

é ù= ê ú-ë û

sistem matrisi ile verilen ayrık-zaman sisteminin kararlılığını

inceleyiniz.

i) 0.43 0

00.037 0

det(6

). 4

z

zzI A

-é ù= =ê ú-ë û

-

1 2( 0.43)( 0.64) 0det( ) 0.43 0.64 .zI A z ve z diz rz- = == - - = Þ

karakteristik denklem

köklerinin tümü birim daire içindedir. SİSTEM KARARLIDIR

.

0.43 0.64zs

zjw


2

Jury kriteri ile karalılık analizi yapılabilir;

Karakteristik denklem

2( ) 1.07 0.2752 0F z z z= - + = ,olmak üzere, karakteristik denklem derecesi n=2 dir.

Gerek koşullar

i) (1) 0 (1) 0.2052 0'F F dır> Þ = >

ii) 2( 1) ( 1) ( 1) 2.3452 0'F F dır- - Þ - = >

Yeter koşullar

i) n-1=1 tane koşul sağlanmalıdır. 0na a> , olmalıdır.

1 > 0.2752 ‘dır. Gerek ve yeter koşul sağlandığından kapalı-çevrim transfer fonksiyonunun tüm

kutupları birim daire içindedir. SİSTEM KARARLIDIR.

Liapunov Kararlılık Kriteri

Non-lineer sistemlerin kararlılığın incelenmesinde en önemli teorilerden birisi Rus

Matematikçi Alexander Mikhailovich Liapunov tarafından gösterilmiştir(1892). Liapunov

’un 2. Kararlılık kriteri, dinamik bir sisteme ilişkin diferansiyel denklemin çözümünü elde

etmeksizin denklemin biçiminden dinamik sistemin kararlı olup olmadığının saptanmasını

sağlar. Liapunov , sistemin içinde biriktirilen enerji ile sistemin dinamiği arasında bağlantı

kuracak bir fonksiyon tanımlanmıştır. Eğer toplam enerji, sistem denge durumuna

ulaşıncaya kadar sürekli azalır ise bu sistem kararlıdır.

Sistemler için yazılan enerji fonksiyonları kesin pozitiftir (positive definit). Toplam enerjisi

sürekli azalan bir sistemde ise enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur.

Liapunov enerji fonksiyonunun zamana göre türevi negatif olur. Liapunov enerji

fonksiyonunun kesin pozitif olma özelliğinden ve kararlı sistemin enerji fonksiyonunun bu

özelliğinden yararlanarak 2. Kararlılık kriteri verilmiştir.

Bu kriter sadece diferansiyel denklemin yapısından kararlılık incelemesi yapma olanağı

verdiğinden Liapunov ’un ‘’Doğrudan kriteri’’ diye adlandırılır. Bu teorem, eğer uygun bir

Liapunov fonksiyonu bulunabilirse kararlılık hakkında bir şey söyleyebilir. Eğer fonksiyon

bulunamazsa bir şey söyleyemez.

Liaponov’un 2. Kararlılık Kriteri:

Bir kontrol sistemine ait dinamik denklem,


3

bütün t’ler için ( , )dx

f x tdt= (0, ) 0f t = biçiminde verilmiş olsun.

1,2, ve 3 şartlarını sağlayan bir skaler fonksiyon (değeri skaler olan fonksiyon, f=f(p), p’y

bağlı olarak f’nin değeri skalerdir.) bulunabilir ise, bu sistemin başlangıç noktasındaki

kararlılığı düzgün asimtotik kararlılık özelliğindendir. İlave olarak *

x ®¥ için v(x,t)

sonsuza giderse, sistem düzgün asimtotik geniş anlamda kararlıdır denir. 1/2* Tx x xé ù= ë û v(x,t)

skaler Liapunov fonksiyonunun bulunması için doğrudan doğruya bir yol olmadığı ve v(x,t)

‘nin elde edilmesinin zorluğu göz önünde bulundurulmalıdır.

1 2, ,..., nx x x ’nin fonksiyonu olan skaler fonksiyon v(x)

1- i) v(x)>0, 0x ¹

ii) v(0)=0 1/2* Tx x xé ù= ë û vektörün normu denir.

İse v(x) ‘’Kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır.

2- i) ( ) 0v x ³ , 0x ¹

ii) v(0)=0

ise v(x) ‘’Yarı kesin pozitif fonksiyon’’ olarak adlandırılır.

3- Eğer –v(x) ‘’Kesin pozitif fonksiyon ‘’ ise v(x) ’’Kesin negatif fonksiyondur’’.

v(x,t) , Lyapunov fonksiyonu ağıdaki 3 şartı sağlamalıdır.

1- Sürekli ve birinci mertebeden türevi olmalı.

2-Kesin pozitif fonksiyon olmalıdır.

3-( , )dv x t

dt kesin negatif olmalıdır.


4

ÖRNEK: 1 20, 0x x= = da kararlı olan sistemin, kararlılığını Liapunov 2. Kriteri yardımı

ile inceleyiniz.

2 21 1 2 1

2

( )

2

dx x x xx

dt

+= - -

2 22 1 2 2

1

( )

2

dx x x xx

dt

+= -

ÇÖZÜM:

( )v x ® Liapunov fonksiyonu ve 2 21 2( )v x x x= + olarak seçelsin.

1)

1 2

1 2

) ( ) 0, 0, 0

) (0) 0, 0, 0

i v x x x

ii v x x

> ¹ ¹ üý

= = = þ

olduğundan v(x) skaler fonksiyonu ‘’kesin pozitiftir’’

2)

1 21 2

( )2 2

dxdv x

dt

dxx x

dt dt= +

2 2 2 21 2 1 1 2

1 2 2 1 2

( ) ( )2 2

2 2

x x x x xx x x x xì ü ì ü+ +

= - - + - Þí ý í ýî þ î þ

2 2 2 22 2 4 2 2 2 2 41 2 1 1 21 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2

( ) ( )2 2 2 2

2 2

x x x x xx x x x x x x x x x x x

+ += - - + - = - - - -

4 2 2 41 1 2 2( 2 )x x x x= - + +

2 2 21 2

( )( )

dv xx x

dt= - + kesin negatif fonksiyondur.

Yukarıdaki tanımda ifade edildiği fibi seçilen v(x,t) skaler fonksiyonu koşulları

sağlandığından ve x®¥ için ( )v x ®¥ ’da olacağından sistem başlangıç denge durumunda

geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır.


5

ÖRNEK: Bir sarkaç sistemini ele alalım ve karalılığını Liapunov kararlılık kriteri ile

inceleyelim.

mxD

qD

l

sinmg q

q l

mg

x

Sarkacı net hareket ettiren kuvvet,

F ma=å dır. Şekilden x l qD = D yazılır ve

xl

t t

qD D=

D D

olarak düzenlenir ise, dx d

ldt dt

q= elde edilir ve

2 2

2 2

d x dl

dt dt

q= olarak yazılabilir.

Newtonun 2. Kanunu yazılırsa, k hava ile sürtünme katsayısı (sönüm katsayısı) olmak üzere,

2

2sin 0

d x dxm k mg

dt dtq+ + =

2

2sin 0

d dml kl mg

dt dt

q qq+ + =

2

2sin 0

d k d g

dt m dt l

q qq+ + =

Sarkaç sistemin dinamik denklemi elde edilir. Bu ifade yardımı ile önce durum değişkenleri

tanımlanır sonra durum denklemleri elde edilir;


6

i) Durum değişkenleri tanımlanır.

1x q= konum

12

dx dx

dt dt

q= = hız

tanımlanan durum değişkenleri 2

2sin

d k d g

dt m dt l

q qq= - - ifadesinde yazılır ise,

22

2

dxd

dt dt

q= olmak üzere, 2

2 1

( )sin

dx t k gx x

dt m l= - - 2. Durum denklemi.

12

( )dx tx

dt= 1. Durum denklemi.

1

1

22 1

( )0 1

( )

( )( ) sin

dx tx tdt

g kx tdx t x

l mdt

é ùé ùê ú é ùê ú=ê ú ê úê ú- - ë ûê ú ê úë ûê úë û

1)

Sistemin denge noktası için x1=0 ve x2=0’dır. Türevleri, eğer 1 0dx

dt= ve 2 0

dx

dt= => orjin

(0,0) sistem için denge noktasıdır.

12 1 20 , ( 0 )

dxx x x için

dt= = = =

1 2, (0,0)dx dx

dt dt

æ ö =ç ÷è ø

’dır,

1 2

2 sin (0) (0) 0x x

dx g k

dt l m= - - = ’ dır.

Orjin denge noktasıdır.

2)

Orjinde asimtotik kararlımıdır, yoksa sadece kararlımıdır?

Asimtotik kararlılık testi için Lyaponov fonksiyonu


7

(0) 0

( ) 0 ( sin )

( )0 ( sin )

v

v x ke pozitif

dv xke negatif

dt

= üý

> þ

<

kesin pozitif şartlarını sağlar ise sarkaç sistemi asimtotik kararlıdır. Eğer,

( )0

dv x

dt£ şartını sağlar ise sadece kararlıdır.

i) Önce Lyaponov fonksiyonunu yazmaya çalışalım. LF (Liapunov fonk.) sisemin Lyaponov fonksiyonu potansiyel ve kinetik enerjileri cincinden yazılacak,

a) Sarkaç sisteminin kinetik enerjisi;

q

2

2

1

21

( )2

k

k

E mV

dE m l

dt

q

=

= Þ

*

( )

V Çizgisel Hız

V w l

dw açısal hız

dV l

dt

dt

q

q=

®

= ®

=

Sarkaç sisteminin Kinetik enerjisi

2 21( )

2k

dE ml

dt

q=

b) Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi => pE mgh=


8

q

qcosqq

h

cosh l l q= - Þ

(1 cos )h l q= -

Sarkaç sisteminin potansiyel enerjisi (1 cos )pE mgl q= -

Sarkaç sistemini toplam enerjisi;

T k pE E E= +

2 21( ) (1 cos )

2T

dE ml mgl

dt

qq= + -

Lyaponov fonksiyonu, durum değişkenleri cinsinden,

2 22 1

1( ) ( ) (1 cos )

2TV x E x ml x mgl x

¯= = + - olarak elde edilir.

Liapunov fonksiyonu

1- x=0 için 1 2 (0) 00 ' .x x dırV == = Þ

1 20, 0 '( 0 .)Vx x dırxÞ >¹ ¹ kesin pozitif bir fonksiyondur.

2- Liapunov fonksiyonu 1. Türevi alınır.

1 2

1 2

( ) x xdV x V V

dt x t x t

d dd dd d d d

æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷è ø è ø

(zincir kuralı uygulayarak, ( )dV x

dt elde edilir)

1

1

( )sin

V xmgl x

x

dd

= 12

xx

t

dd

=

22

2

( )V xml x

x

dd

= 22 1sin

x k gx x

t m l

dd

= - - tüm türevler ( )dV x

dt de yerine konulur=>

21 2 2 2 1

( )sin * ( sin )

dV x k gmgl x x ml x x x

dt m l= + - -


9

2 21 2 2 1 2sin * sin *mgl x x kl x mgl x x= - -

2 22

( )dV xkl x

dt= -

Asimtotik kararlımıdır? ( )

0dV x

dt< olmalıydı.

( )0

dV x

dt< ’e bakılır ise , tüm x değerleri

için ( )

0dV x

dt< değildir. x=0 için göz önüne alınır ise

( )0

dV x

dt£ ‘dır.

!DİKKAT:

Liapunov ’a göre sistem sadece kararlı gözükmektedir, asimtotik kararlı değildir. Ancak

sarkaç sistemini göz önüne aldığımızda, sarkaç, zamanla sönüm katsayısından dolayı, enerjisi

zamanla azalacak (0,0) orjin’de denge noktasında duracaktır. Ve asimtotik olarakta kararlıdır.

Zamanla Değişmeyen Sistemlerin Liapunov Fonksiyonu;

dxAx

dt=

olarak verilsin,

Liapunov fonksiyonu,

( ) TV x x px= olarak seçilsin ve 1. mertebeden türevi alınır ise,

( ) TTdV x dx dx

Px x Pdt dt dt

= + dx

Axdt= olduğu göz önüne alınır ise,

( )T TAx px x pAx= +

T T TA x px x pAx= +

( )( )T T

Q

dV xx A p pA x

dt= +

Q

A p pA x( )(T T((((((T T(((

V(x) skaler fonksiyonunun Liapunov fonksiyonu olabilmesi için

( )dV x

dt nin kesin negatif

olması gerekmektedir. Bunun için Q kesin pozitif olmak üzere

( ) TdV xx Qx

dt= - biçiminde yazılabilir.


10

TA p pA I+ = - yapılarak çözüm bulunur.

Örnek:

1) 4 3

1 1

dxx

dt

-é ù= ê ú- -ë û

sistemin kararlılığını belirleyiniz.

Simetri p matrisi; TA p pA Q+ = - ve Q I= matrisi olarak seçelim.

11 21 11 21

12 22 12 22

4 1 4 3 1 0

3 1 1 1 0 1

p p p p

p p p p

- - - -é ù é ùé ù é ù é ù+ =ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - - -ë û ë û ë ûë û ë û

denklem çözülürse;

(p matrisi kesin pozitif ise sistem asimtotik olarak kararlıdır)

[ ]11 12 12 22 11 12 12 224 3 4 3p p p p p p p p- - + - - - + -

11 12 11 12

12 22 11 12

11 12 12 22

12 22 12 22

4 4 1

4 3 0

3 3 0

3 3 1

p p p p

p p p p

p p p p

p p p p

- - - - = -

- - + - =

- + - =

- + - = -

9 1

70 701 32

70 70

p

-é ùê ú

= ê ú-ê úê úë û

1

2

90

709 32 1 1

070 70 70 70

D = >

D = - >

Minörler pozitiftir. Sistem asimtotik olarak kararlıdır.

Örnek:

2) 2 0

1 1

dxx

dt

-é ù= ê ú-ë û

kararlılığı inceleyiniz.

TA p pA Q+ = - ve Q I= matrisi olarak seçelim.

11 21 11 21

12 22 12 22

2 1 2 0 1 0

0 1 1 1 0 1

p p p p

p p p p

- - -é ù é ùé ù é ù é ù+ =ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë ûë û ë û

11 12 11 12

22 22 12

22 22

1 12 2 13 62 01 1

16 2

p p p p

p p p p

p p

é ù- + - + = - ü ê úï- + - = = ê úý

ê úï- - = - þ ê úë û

1

2

10

31 1 1 1

03 2 6 6

D = >

D = - > sistem asimtotik

kararlıdır.


11

ÖRNEK:

.

1 1 2

.

2 1 2

2

4

x x x

x x x

= - -

= - sistemin denge durumunda kararlılığını inceleyiniz. (stability of the

equilibrium state)

ÇÖZÜM:

Denge noktası orjindedir veya x=0’dır.

1

1

22

1 2

1 4

dxxdtxdx

dt

é ùê ú - - é ùé ù

=ê ú ê úê ú-ë û ë ûê úê úë û

'

'

A p pA I

p p

+ = -

=

11 21 11 21

12 22 12 22

1 1 1 2 1 0

2 4 1 4 0 1

p p p p

p p p p

- - - -é ù é ùé ù é ù é ù+ =ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - - -ë û ë û ë ûë û ë û

11 12

11 12 22

12 22

63 72 2 120 602 5 0

7 114 8 1

60 60

p p

p p p p

p p

-é ù- + = - ü ê úï- - + = = ê úý

-ê úï- - = - þ ê úë û

1

2

630

2063 11 7 7

020 60 60 60

D = >

D = - >

P matrisi kesin poazitif matristir.

Sistem orjinde asimtotik olarak kararlıdır. Liyaponov fonksiyonu,

[ ] 11 2

2

23 7

60 60( ) '7 11

60 60

xV x x px x x

x

-é ùê ú é ù

= = ê ú ê ú- ë ûê úê úë û

2 21 1 2 2

123 14 11

60x x x xé ù= - +ë û ve türevi ise 2 2

1 2

( )dV xx x

dt= - - dir.


12

EK Bilgi:

Quadratik Form (Karesel Form): nxn gerçek simetrik A matrisi ve gerçek n-

boyutlu x vektörü olmak üzere,

1 1

n nT

ij i ji j

x Ax a x x= =

=åå

ij ija a= dir.

Gerçek quadratik form olarak adlandırılır.

ÖRNEK:

[ ]2 2 41 1 2

1

1 2 3

3

1 3 2 3 2

1 1 2

1 1 0

2 0

2 4

8

8Tx

x

T

A

x x x x x x x x

x

x x x

x

Ax x

-é ù é ùê ú ê ú= - =ê ú ê úê

- +

ú ê úë û ë

+ +

û

[ ]1 2 3

T

[ 1 2 ]1 2 31 2 31 2

22

[ ][ ]ê 11[ ]êê 111111

êêêë 22êêê 3

xA

3x3ë û ëë 2 022 8êê ú êú ê ûúúëë 22êêêê

Quadratik form için kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):

Tx Ax quadratik formun kesin pozitif olabilmesi için gerek ve yeter koşul

11 12 13

11 1211 21 22 23

21 2231 32 33

0, 0, 0,..., 0

a a aa a

a a a a ve Aa a

a a a

> > > > olmalıdır.

Quadratik form kesin negatiflik kriteri (sylvester kriteri):

11 12 13

11 21 22 23

31 3

11

2

12

21 2233

, 0, ,.0 0 ..,

a a a

aa

a a a

a a a

a

a a< <>

0 ( )

0 ( )

A n çift

A n tek

>

< ij jia a= gerçek

simetrik matris için, dikkat minörler içinde, n tek ise det<0, n çift ise det>0 dır.

Quadratik form için yarı kesin pozitiflik kriteri (sylvester kriteri):

0,ija ³

0,

aii aij aik

aji ajj ajk

aki akj akk

³ …, 0A =

i j k< <

Quadratik form için yarı kesin negatiflik kriteri (sylvester kriteri):


13

0,ija £

0ii ij

ji jj

a a

a a³ 0,

aii aij aik

aji ajj ajk

aki akj akk

£ …, 0A = i j k< <

ZAMANLA DEĞİŞMEYEN AYRIK-ZAMAN LİNEER SİSTEMLERİN LYPONOV KARARLILIK ANALİZİ

Ayrık-zaman sistem, ( 1) ( )x k Gx k+ = ile tanımlı olsun.

x=0 denge noktasıdır.

Liapunov fonksiyonu olarak, ( ( )) ( ) ( )TV x k x k px k= olarak seçelim. P kesin pozitif gerçek

simetrik matristir.

( ( )) ( ( 1)) ( ( ))V x k V x k V x kD = + -

( 1) ( 1) ( ) ( )T Tx k px k x k px k= + + - ve ( 1) ( )x k Gx k+ = olduğu düşünülür ise,

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T T

T T T

Gx k p Gx k x k px k

x k G pGx k x k px k

= -

= -

( ( )) ( ) ( )T TV x k x k G pG p x ké ùD = -ë û

Asiptotik kararlılık için V(x(k)) kesin pozitif seçilmelidir. Bunun için ( ( ))V x kD kesin

negatif olmalıdır.

( ( )) ( ) ( )TV x k x k Qx kD = -

( )TQ G pG p= - - kesin pozitif olmalıdır.

( )TG pG p Q- = - p’nin kesin pozitif olması gerek ve yeter koşuldur

ÖRNEK:

1 1

2 2

( 1) ( )0 1

( 1) ( )0.5 1

G

x k x k

x k x k

+é ù é ùé ù=ê ú ê úê ú+ - -ë ûë û ë û

G

ë2 22 2 (2 22 2 ((2 22 22 2 ((ë û2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2

sistemin orjin kararlılığını belirleyiniz.

Q I= seçelim.

TG pG p Q- = -


14

11 21 11 21

12 22 12 22

0 0.5 0 1 1 0

1 1 0.5 1 0 1

p p p p

p p p p

- é ù é ùé ù é ù é ù+ = -ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë ûë û ë û

Eğer p matrisi kesin pozitif ise orijin x=0 da geniş anlamda asimtotik olarak kararlıdır.

22 11

12 22 12

11 12

11 80.25 15 50.5( ) 08 24

2 15 5

p p

p p p p

p p

é ù- = - ü ê úï- + - = = ê úý

ê úï- = þ ê úë û

, 11 12 22

11 8 24, ,

5 5 5p p p= = =

1) 11

05> dır.

2) 11 24 8 8

det( ) ( ) 85 5 5 5

p p= = - =

1 ve 2 den ‘’p’’ kesin pozitif matristir.


1

KONTROLEDİLEBİLİRLİK VE GÖZLEMLENEBİLİRLİK

KONTROLEDİLEBİLİRLİK

Eğer bir sistemin tüm durumları her hangi bir ilk değerden istenen bir değere sonlu zamanda

getirilebiliniyor ise o sistemin tüm durumları kontrol edilebilir denir. Herhangi bir durum

değişkeni kontrol işaretinden bağımsız ise, bu durum değişkenini kontrol etmek imkansızdır.

Bundan dolayı bu sistemin tüm durumları kontrol edilemez. Kontrol edilebilirlik, özdeğer

atama (kutup yerleştirme), optimal kontrol, sistem tanımlama v.b gibi birçok kontrol problem

çözümü için gerek koşuldur.

Tanım: ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + sistemi, eğer u(0),u(1),...,u(N-1) sonlu N adet girişleri ile

sistemin durum değişkenleri x(0) ilk değerinden son durum x(N-1)'e getirilebiliniyorsa sistem

kontrol edilebilir denir. Yukarıda verilen tanım ancak, ( )u k genliğinin sınırsız olması

durumunda geçerlidir. Eğer ( )u k genliği sınırlı ise, örnekleme N adetten daha fazla olması

gerekmektedir.

Bu teoreme göre, açık çevrim ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + sisteminin tüm durumları kontrol

edilemiyor ise, A sistem matrisinin en az bir adet öz değeri kontrol kuralı u(k) ile değiştirilemez. Bu

gibi durumlarda tüm öz-değerlerin atanabilmesi için geri besleme kuralında integral ve türev

terimleri bulunan dinamik kontrolör kullanılmak zorundadır. Dinamik kontrolör sistem derecesine

artırmaktadır.

Şekilde verilen kontrol sisteminde u(k) kontrol işaretinin üst blokta(moda) herhangi bir

etkisi olmamaktadır. Bundan dolayı sistemin tüm durumları kontrol edilemez.

zz-0.9

zz-0.8

Y(z)u(z)

Tüm durumları kontrol edilemeyen sistem.


2

Tüm durum değişkenlerinin Kontrol edilebilirlik şartının elde dilmesi:

Lineer zamanla değişmeyen ayrık zaman sistem,

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ve (0)x biliniyor.

( ) ( )y k Cx k=

sisteminde k=0,1,2…..N için x(k+1) yazarsak,

0 (1) (0) (0)k x Ax Bu= = +

21 (2) (1) (1) (0) (0) (1)k x Ax Bu A x ABu Bu= = + = + +

........................

1( ) (0) (0) ... ( 2) ( 1)N Nx N A x A Bu ABu N Bu N-= + + + - + - ifadesi

1

( 1)

( 2)(0) ...

...

(0)

N N

u N

u NA x B AB A B

u

-

-é ùê ú-ê úé ù= + ë û ê úê úë û

1

( 1)

( 2)... ( ) (0)

...

(0)

KontrolEdilebilirlikMatrisi

N N

u N

u NB AB A B x N A x

uV

-

-é ùé ù ê ú-ê ú ê ú = -ê ú ê úê úë û ê ú

ë û

B AB 1 (

ú....B AB .......B AB

êúúúúVúúúúêêê şeklinde düzenlenir ise,

x(N) ve x(0) bilindiğine göre, N adet bilinmeyenin çözülebilmesi için N adet denklem gereklidir.

Durum vektörü x(k) nın derecesi n'dir. Çözümünün olabilmesi için katsayı matrisinin

[ ]rank V n=

olmalıdır.

Bir ayrık sistemin tüm durumlarının kontrol edilebilmesi için kontrol edilebilirlik matris [ ]V

‘nin rankının tam olması gerekir. Sistemin derecesi n ise [ ]rank V n= olmalıdır.


3

Sonuç olarak,

ÖRNEK:

0.2 0 1( 1) ( ) ( )

1 0.8 1

A B

x k x k u k-é ù é ù

+ = +ê ú ê ú-ë û ë û

A

é ù0 2 00 2 0

[ ]( ) 1 1 ( )

C

y k x k= - )

C

1 1 (1 1 (

Durum denklemi ile verilen sistemin kontrol edilebilirlik testini yapınız:

0.2 0 1 0.2

1 0.8 1 0.2AB

- -é ù é ù é ù= =ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û ë û

[ ]1 0.2

1 0.2V B AB

-é ù= = ê ú-ë û

, 2x2 matris tersi alınamaz. Matrisin rank=1

[ ] 1rank V = dir.

Sistem derecesi n=2’ dir. Sistemin 2 adet durum değişkeni mevcuttur. Ancak Kontrol edilebilirlik

matrisi [ ] 1rank V = dir. Ancak bir durum değişkeni u(k) işareti ile kontrol edilebilir.

matrisinin tersi alınamaz. Matrisin rank=1 sistemin tüm durum değişkenleri kontrol

edilemez.(matrisin tersi alınamaz).

1[ ] [ ... ]Nrank V rank B AB A B n-= = şartı tüm durum değişkenlerin kontrol

edilebilirlik için gerek ve yeter koşuldur.


4

z-düzleminde tüm durumların kontrol edilebilirlik şartı:

Darbe transfer fonksiyonunda, tüm durumların kontrol edilebilirlik gerek ve yeter koşul için

darbe transfer fonksiyonunda pay ve payda arasında yok etme oluşmamalıdır. Oluşur ise

sistem yok edilen mod doğrultusunda kontrol edilemez.

ÖRNEK: 2

( ) 0.2 0.2 1

( ) 0.16 ( 0.8)( 0.2) 0.8

Y z z z

U z z z z z z

+ += = =

+ + + + +

Bu yok etmeden dolayı sistem durum değişkenleri tümüyle kontrol edilemez.

Aynı sonuç durum değişkenleri ile de elde edilir. Sistem durum ve çıkış denklemleri,

[ ]

1 1

2 2

1

2

( 1) ( )0 1 1( )

( 1) ( )0.16 1 0.8

( )( ) 1 0

( )

x k x ku k

x k x k

x ky k

x k

+é ù é ùé ù é ù= +ê ú ê úê ú ê ú+ - - -ë û ë ûë û ë û

é ù= ê ú

ë û

ile gösterilebilir.

[ ] [ ]1 0.8

10.8 0.64

0.8 0.64

0.8 0.64

V B AB rank V-é ù

= = Þ =ê ú-ë û

-é ù= ê ú-ë û

’dir. Kontrol edilemez.

KONTROLEDİLEBİLİRLİK

( )( ) ( )

dx tAx t Bu t

dt= + durum denklenminde,

1( ) ( )z t P x t-= olmak üzere lineer

dönüşüm yapılır ise, 1P AP-L = ,

* 1B P B-= , *C CP= olur.

*( )( ) ( )

dz tz t B u t

dt= L + , 1 2 3, , ,......i ndiag diagl l l l lL = =

durum denkleminde L matrisi diagonal matris olmak üzere, tüm ( )x t durum

değişkenlerinin kontrol edilebilmesi için, *B matrisinin hiç bir

sıfır değerli satırı olmamalıdır.


5

1

1

22

( )( )1 0 0

( )( )( ) 0 2 1


dt

æ öç ÷ - æ öæ ö æ ö

= +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ è ø è øè øç ÷è ø

(Sistem matrisi diagonal (köşegen) formunda !!!!)

11

( )( )

dx tx t

dt= - , 1( )x t durum değişkeni ( )u t girişinin bir fonksiyonu değildir. Bundan

dolayı 1( )x t durum değişkeni ( )u t girişi tarafından etkilenemez.

Dolayısı ile , 1( )x t durum değişkeni kontrol edilemez.

22

( )2 ( ) ( )

dx tx t u t

dt= - + ( )u t girişi 2 ( )x t durum değişkenini ektilediğinden 2 ( )x t değişkeni

( )u t girişi ile kontrol edilebilir.

Yukarıda çözülen örnek tekrar ele alınıp kontrol edilebilirliği incelenecektir.

0.2 0 1( 1) ( ) ( )

1 0.8 1

A B



A

é ù0 2 00 2 0

[ ]( ) 1 1 ( )

C

y k x k= - )

C

1 1 (1 1 (

A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu öz-değerler için elde edilen öz-vektörlerden

oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagonal hale getirilir.

0 0.7071

1 0.7071p

é ù= ê úë û

------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.

1 0.8 0

0 0.2p AP- é ù

= ê ú-ë û

1 0

1.4142p B- é ù

= ê úë û

1 1( 1) ( ) ( )x k P APx k P Bu k- -+ = +


6

1 1

2 2

( 1) ( )0.8 0 0( )

( 1) ( )0 0.2 1.4142

x k x ku k

x k x k


1( )x k durum değişkeni u(k) kontrol işareti ile kontrol edilememektedir.

GÖZLENEBİLİRLİK:

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +

=

Gözlenebilirlik, ölçülemeyen durum değişkenlerinin elde edilmesinde kullanılır. Bazı geri

beslemeli gerçek zaman kontrol sistem uygulamalarında, bir kısım durum değişkenlerinin

ölçümü için o durum değişkenlerine doğrudan erişemeyebilir. Bu durumda, geri besleme

kontrol işaretini oluşturmak için ölçülemeyen durum değişkenlerinin kestirilmesi

gerekmektedir. Durum kestirmekte gözlemlenebilirlik önemli rol oynar.

zz-0.9

zz-0.8

Y(z)u(z)

Yukarıda verilen şekilde, sistemde üst blok’un çıkışa etkisi olmadığından o mod’a ait durum

gözlenemez (durum değişkeni hesap edilemez).

Tüm durum değişkenlerinin Gözlenebilirlik için gerek ve yeter şartlarının elde

edilmesi;

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + durum denkleminde ( ) 0u k = alınır (nedeni aşağıda

açıklanacaktır).

Durum denklemi ile verilen sistemin herhangi ilk durumu x(0) , N adet sonlu y(0),

y(1),…….,y(N-1) ölçümden tüm (0)x durum değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem

tümüyle gözlenebilir denir.


7

k=0,1,2,…..,N-1 için

[ ]( 1) ( )x k Ax k+ = ve ( ) ( )y k cx k=

Yazılır ise,

2

1

(1) (0)

(2) (1) (0)

...

( 1) (0)N

x Ax

x Ax A x

x N A x-

=

= =

- =

1

(0) (0)

(1) (1) (0)

...

( 1) ( 1) (0)N

y Cx

y Cx CAx

y N Cx N CA x-

=

= =

- = - =

Elde edilir. X(N-1) ifadesi y(N-1) de yerine koyulur ise, matrisel formda,

1

(0)

(1)(0)

... ...

( 1) N

y C

y CAx

y N CA

O

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú=ê ú ê úê ú ê ú

-ë û ë û

Oë û

1NCACAúú1NCACACACA

elde edilir.

1

...N

C

CAO

CA -

é ùê úê ú=ê úê úë û

NOT: Gözlenebilirlik şartının elde edilmesinde Serbest davranışın alınma sebebi;

11

0

( ) (0) ( )

( ) ( ) ( )

kk k j

j

x kT A x A Bu jT

y kT Cx kT Du kT

-- -

=

= +

= +

å

A,B,C,D matrisleri ve u(kT) girişleri bilinmektedir. Bundan dolayı çıkış denklemi;

11

0

( ) (0) ( ) ( )k

k k j

j

SabitBilinenDeğerlerdir

y kT CA x CA Bu jT Du kT-

- -

=

= + +å0j

SabitBilinenDeğerlerdirDe

=å

elde edilir. Çıkış denkleminde

11

0

( ) ( )k

k j

j

CA Bu jT Du kT-

- -

=

+å

terimi sabitlerden oluşmaktadır ve bilinmektedir.

Tüm durumların gözlenebilmesi için, [ ]O Gözlenebilirlik Matrisi olmak üzere,

gerek ve yeter koşul [ ]rank O n=


8

Bilinen bu sabit değerler gözlenen y(kT) değerinden çıkarılabilinir.

ÖRNEK:

0.2 0 1( 1) ( ) ( )

1 0.8 1

A B



A

é ù0 2 00 2 0

[ ]( ) 1 1 ( )

C

y k x k= -[ ] )

C

[ ]1 1 (1 1 ([ ][

Durum denklemi ile verilen sistemin Gözlenebilirlik testini yapınız:

[ ] [ ]0.2 0

1 1 0.8 0.81 0.8

CA-é ù

= - = -ê ú-ë û

1 1

0.8 0.8

CO

CA

-é ù é ù= =ê ú ê ú-ë û ë û

n=2 sistem derecesi. rank[O]=1 dir. Sistemin tüm

durumları gözlemlenemez sadece 1 adet durum gözlenebilir.

Z-düzleminde gözlenebilirlik şartı:

Tüm durumların gözlenebilir olması için, transfer fonksiyonunda kutup-sıfır yok etmesi

bulunmamalıdır. Eğer, kutup-sıfır yok etmesi oluşur ise, çıkışta yok edilen mod gözlenemez.

ÖRNEK:

[ ]0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 4 5 1

6 11 6 1

A B C

é ù é ùê ú ê ú= = =ê ú ê úê ú ê ú- - -ë û ë û

u(kT), tüm durumların gözlenebilirliğinde bir etkisi yoktur. Basitçe u(kT)=0 yazabiliriz.

2

4 5 1

6 7 1 det( ) 0, ( ) 2

6 5 1

C

C CA O rank O

CA

é ù é ùê ú ê ú= = - - - Þ = =ê ú ê úê ú ê ú-ë û ë û

dir. İki adet durum gözlenebilir.

Transfer fonksiyonu bulunur;

( ) ( 1)( 4)

( ) ( 1)( 2)( 3)

Y z z z

U z z z z

+ +=

+ + +, (z+1) çarpını pay ve paydada birbirini yok eder. y(kT)

ölçümleri ile bu (z+1) durum değişkeni hesap edilemez.


9

GÖZLENEBİLİRLİK

1

1

22

( )( )1 0 1

( )( )( ) 0 2 1


dt

æ öç ÷ - æ öæ ö æ ö

= +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ è ø è øè øç ÷è ø

( ) 1

2

( )( ) 2 0

( )

x ty t

x t

æ ö= ç ÷

è ø

Yukarıdaki denklemler iki diferansiyel denkleme ayrılabilir.

11

( )( ) ( )

dx tx t u t

dt= - + 1( )x t durum değişkeni sadece ( )u t ye bağlıdır.

22

( )2 ( ) ( )

dx tx t u t

dt= - + 2 ( )x t durum değişkeni sadece ( )u t ye bağlıdır.

1( ) 2 ( )y t x t= ( )y t çıkışı sadece sadece 1( )x t ’ye bağlıdır. 2 ( )x t ’nin çıkışa

her hangi bir etksi yoktur. Bundan dolayı çıkış 2 ( )x t durum

değişkenine ait bilgi içermez. Sonuç olarak ( )y t ölçümü ile 2 0( )x t

belirlenemez. Sisteme ait Tüm durum değişkenleri gözlenemez.

ÖRNEK: Aşağıda durum denklemi verilen sistemin gözlenebilirliğini sistem matrisini

diagonal forma getirerek inceleyiniz.

0.2 0 1( 1) ( ) ( )

1 0.8 1

A B



A

é ùé 0 2 00 2 0

[ ]( ) 1 1 ( )

C

y k x k= -[ ] )

C

[ ]1 1 (1 1 ([ ][

A matrisini özdeğerleri z1=0.8 ve z2=-0.2 dir. Bu öz-değerler için elde edilen öz-vektörlerden

oluşan dönüşüm matrisi p elde edilir ve A matrisi diagonal hale getirilir.

*( )( ) ( )

dz tz t B u t

dt= L + , 1 2 3, , ,......i ndiag diagl l l l lL = =

*( ) ( ) ( )y t C x t Du t= + Çıkış denklemi olmak üzere, tüm ( )x t durum değişkenlerinin

gözlenebilmesi için, C matrisinin hiç sıfır değerli sütünü olmamalıdır.


10

0 0.7071

1 0.7071P

é ù= ê úë û

------> Öz-vektörlerden oluşan dönüşüm matrisi.

0 0.7071[ 1 1] [1 0]

1 0.7071CP

é ù= - =ê ú

ë û

[ ] 1

2

( )( ) 1 0

( )

x ky k

x k

é ù= ê ú

ë û 2 ( )x k durum değişkeninin ( )y k çıkışına etkisi yoktur. ( )y k

nın ölçülmesi ile 2 ( )x k hesap edilemez.

Örnek:

C1

R1 C2

R2U(s) Y(s)

Devresi göz önüne alınsın, ( )

( )

Y s

U s ifadesi yazılır ise,

2 1 1

1 2 2 2 1 1

( 1)( )

( ) ( 1) ( 1)

R R C sY s

U s R R C s R R C s

+=

+ + + olarak elde edilir. 1 1 2 2R C R C= olarak alınır ise,

2 2 2

1 2 2 2 2 2

( 1)( )

( ) ( 1) ( 1)

R R C sY s

U s R R C s R R C s

+=

+ + + ise

2

1 2

( )

( )

RY s

U s R R=

+ olur…………..

Devredeki kondansatör 1C ve 2C gerilimleri kontrol edilemez. Giriş ve çıkış verilerinden

kondansatör ilk gerilim değerleri hesap edilemez.

Görüldüğü gibi devrede 1 1 2 2R C R C= alınır ise, Devre durum değişkenleri kontrol edilemez ve

gözlenemez.


1

DURUM-UZAYI TASARIM METODLARI:

1) KONTROLEDİLEBİLİR KANONİK FORMA DÖNÜŞTÜRME:

Herhangi bir ayrık-zaman sistem durum denklemlerinin kontrol edilebilir kanonik forma

dönüştürülmesi:

r(k)x(k)

y(k)r(k) y(k)X (k)

c

x(k)=Tx (k)c

KontroL edilebilir

Kanonik Form

( 1) ( ) ( )x k Ax k Br k+ = + ( 1) ( ) ( )c c c cx k A x k B r k+ = +

( ) ( )y k Cx k= ( ) ( )c c cy k C x k=

Kontrol edilebilirlik dinamik sistem matrisleri; 1

1

c

c

c

A T AT

B T B

C CT

-

-

=

=

=

, ,c c cA B C katsayı matrisleri Transfer fonksiyon katsayılarından elde edilebilir.

Transfer fonksiyonu:

1( ) ( )T z C zI A B D-= - + ifadesinden elde edilebilir.

1

1 1 0det( ) ... 0n nnI A I A a a al l l l l--- = - = + + + + =

karakteristik

denklem katsayılarından,

0 1 2 2 1

0 1 0 . 0 0

0 0 1 . 0 0

. . . . . ...

. . . . 0 1

.

c

n n

A

a a a a a- -

é ùê úê úê ú=ê úê úê ú- - - - -ë û matrisi elde edilir.


2

0

0

...

1

cB

é ùê úê ú=ê úê úë û matrisi standart formda yazılır.

,c cA B matrislerine karşılık kontrol edilebilirlik matrisi cV ,

,A B matrislerine karşılık kontrol edilebilirlik matrisi V , olmak üzere

1... nV B AB A B-é ù= ë û

1...... nc c c c c cV B A B A B-é ù= ë û

dir.

cV Kontrol edilebilirlik matrisinde 1

cA T AT-= ve 1

cB T B-= yazılır ise,

1 11 1 1... ... nc

I

V T B T ATT B B AB A BT- - -- -é ù é ù= =ê ú ë ûë û

Elde edilen ifade aşağıda verildiği gibi düzenlenebilir…

cV TV= den dönüşüm matrisi ,

T dönüşüm matrisi ile, kontrol edilebilir kanonik form için,

1

cV T V-= dir

1

cT VV -= olarak elde dilir.

,A B ve ,c cA B matrisleri bilindiğinden T dönüşüm matrisi elde edilir.

cC CT= yardımı ile hesaplanır.


3

ÖRNEK:

[ ]0.5 0 1

, , 2 0.51 0.2 1

A B C-é ù é ù

= = =ê ú ê úë û ë û

katsayı matrisleri ile verilen ayrık-zaman

sistem durum denklemlerini kontrol edilebilir kanonik formda elde ediniz.

Önce karakteristik denklemi yazılır;

i)

1

2

20

0.5 0det 0

1 0.2

0.7 0 1 0

0

.

zzI A

z

z z

z aza

-é ù- = =ê ú- -ë û

+

= =-

+= =

+

Karakteristik denklem katsayılarından Kontrol edilebilir Kanonik form sistem matrisi ,

0 1

0 1 0 1

0.1 0.7c cA Aa a

é ù é ù= Þ =ê ú ê ú- - -ë ûë û

yazılır.

Ve standart olarak 0

1cBé ù

= ê úë û

olarak yazılır.

Hatırlatma: Kontrol edilebilir Kanonik form

02

21

1

11 ...( )

( ) ...

n nn

nn

n

b z b z bY z

U z z a a az z

-

- -

+ + +=

+ + + + Transfer fonksiyonu ile verilen sistemin

kontrol edilebilir kanonik formu,

1 1

1 2 1

2 2

( 1) 0 1 0 ...0 ( ) 0

( 1) 0 0 1 ...0 ( ) 0( )

. . . . .... . .

( 1) ... ( ) 1n nn n n

x k x k

x k x ku k

x k xa a a a k- -

+é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú

+ê ú ê ú ê ú ë ûë û -ë û- - - ë û

21 2

1 0( ) ... nn nF z z z za a a- -= + + + =+ Karakteristik denklem………….

çıkış denklemi ise,

[ ]

1

21 2 1 0

( )

( )( ) ...

.

( )

n n n

n

x k

x ky k b b b b b

x k

- -



4

cC ’nin belirlenmesi; Önce dönüşüm matrisi 1

cT VV -= hesaplanır. Sonra cC CT= elde

edilir.

[ ]1 0.5 0 1 1 0.5

det( ) 1.31 1 0.2 1 1 0.8

V B AB V V Vé- - ù - -é ù é ù é ù

= = Þ = Þ = =ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë ûë û

0.50.5]B AB]

éB ABAB] ê

éé

ëêê

1111ë 1111111111

[ ] 10 0 1 0 0 1 0.7 1

1 0.1 0.7 1 1 0.7 1 0c c c c c cV B A B V V -é ù -é ù é ù é ù é ù= = Þ = Þ =ê úê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë ûë û

00]c c c c c c]A B ]A BA B ]c c c c c cc c c c c c]c c c1c c cc c cc c cc c cc c cc c cc c cc c cc c c0 1000111 ë 0.100 10000 10000 100000

1 1 0.5 0.7 0.2 1

1

1

1 0.8 .5 11 0cT VV T- - - -é ù é ù= = Þê ú ê ú-ë û

-é ù= ê úëû ûë

ve

[ ] [ ]0.2 1

2 0.51.5 1

0.35 1.5c cC CT C-é ù

= = Þê ú = - --ë û

2.yol => Transfer fonksiyonundan;

[ ]1

1 0.5 0 1( ) ( ) 2 0.5

1 0.2 1

zT z C ZI A B

z

-

- - -é ù é ù= - = Þê ú ê ú- -ë û ë û

2

1.5 0.35( )

0.7 0.1

zT z

z z

- -=

- + ;transfer fonksiyonu katsayılarından , ,c c cA B C matrisleri,

HATIRLATMA: 1

0 11

1

...( )

( ) ...

n nn

n nn

b z b z bY z

U z z a z a

-

-

+ + +=

+ + +

1 1

2 2

1 1

( 1) 0 1 ... 0 ( ) 0

( 1) 0 0 ... 0 ( ) 0( )

... ... ... ... ... ... ...

( 1) ... ( ) 1n n n n

x k x k

x k x ku k

x k a a a x k-

+é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú

+ - - - ë ûë û ë û ë û

[ ]1

0 1 1 0

( )

( ) ... ...

( )n n

n

x k

y k b b a b a b

x k

é ùê ú= - - ê úê úë û

n>m

20 1 2

21 2

( )b z b z b

T zz a z a

+ += Þ

+ +

1

2

0

1.5

0.35

0

b

b

b

= -

= -

=

1

2

0.7

0.1

a

a

= -

=

0 1

0.1 0.7cAé ù

= ê ú-ë û

0

1cBé ù

= ê úë û

2 0 2 1 1 0[ ]cC b b a b a b= - -

[ ]0.35 0*0.1 1.5 ( 0.7)*0- - - - -

[ ]0.35 1.5cC = - -


5

Durum Uzayında Tasarım

Kutup Yerleştirme Tasarım Metodu:

Lineer zamanla değişmeyen ayrık-zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. Bütün

x(k), durumlarının bilindiği ve erişebildiği kabul edilsin.

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +( )x k

Bu sisteme, lineer durum geri-besleme kontrol kuralı olarak ( ) ( )u k Kx k= - uygulansın ve

kapalı-çevrim sistem ( 1)x k +

( )( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k Ax k B x kKx x kk A BK- -+ = + Þ + = olur.

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +

( )x k

K-

Lineer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem

Kontrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sisteminin

performansını iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performansı iyileştirme yollarından biri kutup

yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanılarak, açık çevrim sisteminin davranışı önemli


6

ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızını arttırabilir

veya azaltabilir, sürekli hal hatasını arttırabilir, azaltabilir, sistem bant genişliğini daraltabilir,

genişletebilir. Tüm bu nedenlerden dolayı, kutup yerleştirme yöntemi pratikte yaygın olarak

kullanılmaktadır.

Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

1 2, ,..., nl l l ’ ler açık-çevrim sisteminin öz-değerleri olsun ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ’nın

ve

1 2, ,..., nl l lÙ Ù Ù

‘ler ise ( )A BK- kapalı-çevrim sistem matrisinin istenen öz-değerleri olsun.

Kompleks özdeğerler, kompleks eşlenik çiftler halindedir.

Aynı zamanda, p(z) ve ( )p zÙ

sırası ile karakteristik polinomlar (karakteristik denklem)

olsun.

Açık çevrim sisteminin karakteristik denklemi;

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n n

i

p z z zI A z a z a z al --

=

= - = - = + + + + =Õ

Kapalı çevrim sisteminin (durum geri-beslemeli) karakteristik denklemi;

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n n

i

p z z zI A BK z a z a z alÙ Ù Ù Ù Ù

--

=

= - = - + = + + + + =Õ

(*)

( )p zÙ

denklemini sağlayacak olan K matrisinin bulunması gerekmektedir.

Teorem: Açık-çevrim sisteminin tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalı-

çevrim sistem ( )A BK- matrisinin öz-değerlerini herhangi bir 1 2,...,, nl l lÙ Ù Ù

öz-değerlerine

atayan bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır.

2 1... n


S B AB A B A B-é ù= ë û Tüm durumların kontrol edilebilmesi için ,

Kontrol edilebilirlik matrisinde, [ ]rank S n= olmalıdır.

Bu teoreme göre, açık-çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol edilemediği durumlarda,

durum geri besleme kuralı ile A matrisinin en az bir tane öz-değeri değiştirilemez olarak kalır.

Bu gibi durumlarda, bütün öz değerlerin atanabilmesi için, geri-besleme kuralı olarak dinamik


7

kontrolör uygulanmalıdır. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dinamik kontrolörler

sistemin derecesini arttırdıklarından dezavantaja sahiptirler.

Tek girişli sistem ele alınsın. B matrisi kolon vektör b, K matrisi satır vektör Tk ye

dönüşür.

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

T n ni n n

i

p z z zI A Bk z a z a z alÙ Ù Ù Ù Ù

--

=

= - = - + = + + + + =Õ

Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nın belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştır.

En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verilen basit yöntem ile çözülür.

1. Yol:

1( )T Tk w s a aÙ-

é ù= -ë û S; kontrol edilebilirlik matrisi

1 11 1

22 2

1 ...

0 1 ..., ,

.... . ... . ...0 0 ... 1

n

n

n

n

a aa a

aa aw a a

aa

Ù

-Ù

Ù-

Ù

é ùé ùé ù ê úê úê ú ê úê úê ú ê ú= = =ê úê ú ê úê úê ú ê úê úë û ë ûê ú

ë û

2. Yol: eğer verilen sistem matrisi faz-değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,

1 1

2

1 2 1

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 01 ...

0 0 0 ...0 1 ...,

. . . ... .. . ... .

0 0 0 ... 10 0 ... 1

...

n

n

n n n

a a

aA veya A

a a a a

-

-

- -

é ùê úé ù ê úê ú ê úê ú= = ê úê ú ê úê ú ê úë û ê ú- - - -ê úë û

ve

0

0

0

...

0

1

b

é ùê úê úê ú


Ve 2 1... nS B AB A B A B-é ù= ë û T Tw s I= I dır (olur)

0 0 0 1

0 0 1 0

. . . .

1 0 0 0

I

æ öç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷è ø

Iç0 0ç0 0çç0 0

=ççç ve ( ) 1

I I-=) 1

I I)- dır.


8

11

1

1

,......

n n

nn

a a

aaa a

aa

Ù

ÙÙ

--

Ù

é ùé ùê úê úê úê úê ú= =ê úê úê úê úê úë ûê ú

ë û

olmak üzere, 11

1 1

( )....

nn

nn

a a

a aK I a a

a a

Ù--

é ù-ê úê ú-

= - = ê úê úê ú-ë û

( )I (Ù ê

=)I ( êêê

durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir.

3. Yol:

K matrisinin hesaplanmasında diğer bir yöntem Ackerman tarafından önerilmiştir.

1 ( )T Tk e s p AÙ

-= 2 1... nS B AB A B A B-é ù= ë û

kontrol edilebilirlik matris,

[ ]0 0 ... 0 1Te =

( ) ( )p A p zÙ Ù

Þ karakteristik denkleminde z A= koyularak elde edilir.

11 1( ) ...n n

n np z A a A a A a IÙ Ù Ù Ù

--= + + + +

Genel olarak, çok girişli sistem durumunda K matrisinin belirlenmesi biraz karışıktır(zordur).

TK qp= olarak q ve p n-boyutlu matrisler olmak üzere,

T TA BK A Bqp A pb- = - = - , Bqb = çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur.

Kontrol edilebilirlik matrisi, 1... nS A Ab b b-é ù= ë û olmak üzere yöntemlere

başvurulabilir.

Metod4: Kapalı çevrim karakteristik denklem ile istenen karakteristik denklem

karşılaştırılır ve katsayılar eşitlenerek durum geri belsem vektörü k elde edilir.,

( 1) ( ) ( )Ak kBKx x+ = -

11 1det( ( )) ( ) ... 0n n

n nzI p z z a z a z aA BKÙ Ù Ù Ù

--- = = + + + + =-

-----------------------------------------------------------------------------------------

ÖRNEK: Ayrık-zaman durum denklem katsayılar matrisi aşağıda verilmiş olan sistem için


9

0 1

1 0A

é ù= ê ú-ë û

ve 0

1b

é ù= ê úë û

olduğuna göre, kapalı çevrim sistem öz-değerlerinin 1 1lÙ

= - ve

2 0.5lÙ

= olabilmesi için durum geri besleme katsayı vektörü k’yı bulunuz.

21( ) 0 0 1 0

1

zp z zI A z

z

-= - = Þ = Þ + = açık-çevrim sistemin karakteristik denklemi

2 21 2 1 2( ) ( )( ) ( 1)( 0.5) 0.5 0.5p z z z z z z z z a z al l

Ù Ù Ù

= - - = + - = + - = + + istenen karakteristik

denklem (Kapalı-çevrim karakteristik denklem) 1 0.5a = ve 2 0.5a = -

Metod1: sistem faz değişken kanonik formunda olduğu için

2 2

1 1

0.5 1 1.5

0.5 0 0.5

a ak k

a a

Ù

Ù

é ù- - - -é ù é ùê ú= Þ = =ê ú ê úê ú -ë û ë û-ê úë û

2 2

1 2

1 2

: 1

0, 1

Not z a z a z

a a

ì + + = + Þí

= =î

Metod2:

11 1 0

0 1 0 1

aw

é ù é ù= =ê ú ê úë û ë û

ve 0 0 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0s s

é ùé ù é ù é ù= Þ =ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë ûë û

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0T Tw s

é ù é ù é ù= =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

ve 1 0 1( )

1 0T Tw s - é ù

= ê úë û

1 0 1 0.5 0 1.5( ) ( )

1 0 0.5 1 0.5T Tk w s a a

Ù- ì ü -é ù é ù é ù é ù

= - = - =í ýê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë ûî þ

Metod3: Ackerman yaklaşımı ile durum geri besleme katsayı matrisi Tk ‘nın çözüm,

2( ) 0.5 0.5p z z z

Ù

= + - polinomda z yerine A matrisi yazılır ise,

2

1 2( )p A A a A IaÙ

= + + elde edilir.

20 1 0 1 0.5 0 1.5 0.5

( ) 0.51 0 1 0 0 0.5 0.5 1.5

p AÙ -é ù é ù é ù é ù

= + - =ê ú ê ú ê ú ê ú- - - -ë û ë û ë û ë û

1 1 0 1[ ]

1 0s b Ab- - é ù

= = ê úë û

[ ]0 1Te = dir.


10

[ ]1 0 1 1.5 0.5( ) 0 1 [ 1.5 0.5]

1 0 0.5 1.5T Tk e s p A

Ù- -é ù é ù

= = = -ê ú ê ú- -ë û ë û

Metod4:

( 1) ( ) ( )Ak kBKx x+ = -

[ ]1 11 2

2 2

( 1) ( )0 1 0 - k k

( 1) ( )1 0 1

x k x k

x k x k

+ é ùé ù é ùé ù é ù= ê úê ú ê úê ú ê ú+ -ë û ë ûë û ë ûë û

1 1

2 1 2 2

( 1) 0 0 ( )0 1 -

( 1) k k ( )1 0

x k x k

x k x k

é ù+é ù é ù é ùé ù= ê úê ú ê ú ê úê ú+ -ë ûë û ë û ë ûë û

1 1

2 1 2 2

( 1) 0 1 ( )

( 1) 1 k -k ( )

cA

x k x k

x k x k

+é ù é ù é ù=ê ú ê ú ê ú+ - -ë û ë û ë û

A

ë û ë2 1 2 22 1 2 (2 1 2 22 1 2k -k (- (-2 1 2 22 1 22 1 2 22 1 21 k k (k (1 k k1 k k1 k k112 1 22 1 22 1 21111

1 2

0 10det( ) 0

1 k -k0c

zzI A

z

é ùé ù- = - =ê úê ú - -ë û ë û

1 2

10

1 k k

z

z

-é ù= =ê ú+ +ë û

22 1k 1 k 0z z= + + + =

21

22k 1 0 0.k .5 5 0zz z z+ + + + -= =

2k 0.5= ve 11 k 0.5+ = - ise 1k 1.5= -

1 2[ ] [ 1.5 0.5]Tk k k= = - olarak elde edilir.

Elde edilen durum geri besleme matrisi K değerleri yerlerine yazılır.

( )( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k Ax k B x kKx x kk A BK- -+ = + Þ + =

( 1) ( ) ( )Ak kBKx x+ = -

[ ]1 11 2

2 2

( 1) ( )0 1 0 - k k

( 1) ( )1 0 1

x k x k

x k x k



11

[ ]1 1

2 2

( 1) ( )0 1 0 - -1.5 0.5

( 1) ( )1 0 1

x k x k

x k x k


1 1

2 2

( 1) ( )0 1 0 0 -

( 1) ( )1 0 1.5 0.5

x k x k

x k x k

+ é ùé ù é ùé ù é ù= ê úê ú ê úê ú ê ú+ - -ë û ë ûë û ë ûë û

1 1

2 2

( 1) ( )0 1

( 1) ( )0.5 0.5

cA

x k x k

x k x k

+é ù é ùé ù=ê ú ê úê ú+ -ë ûë û ë û

A

ë2 22 2 (2 22 2 (2 22 22 2 ((ë û2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2

Kapalı çevrim sistem elde edilir.

1det( ) 0

0.5 0.5c

zzI A

z

-- = =

- + ise 2

1 20.5 0.5 0 1, 0.5z z z z+ - = = - = tir.

Referans girişli kontrol sistemi: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum

uzay modeli vektör matris formunda

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +

= verilsin. Sisteme ait kontrol blok diyagram


1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

( )u k C ( )y k

Sistem

Kontrol edilen sisteme aşağıda verildiği gibi durum geri-besleme ile beraber ( )r k referans

işaret uygulansın.


12

1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

K-

( )r k0K

( )u k

C ( )y k

Sistem

Referans giriş li durum geribeslemeli sistem.

( )u k

K-

Sistem ( )y k( )r k0K

( )v k

Referans giriş li durum geri-beslemeli kompakt olarak verilmiş sistem.

Referans girişli durum geri-beslemeli sistem ait kontrol işareti yazılır ise,

0( ) ( ) ( )u k K r k Kx k= - olarak ifade edilir. Bu ifade durum denkleminde yerine yazılır

0( 1) ( ) ( ) ( )x k Ax k BK r k BKx k+ = + - Þ

0( 1) ( ) ( ) ( )x k A BK x k BK r k+ = - + olarak elde edilir.

Karakteristik denklem ,

0zI A BK- + =

olarak yazılır.

Tüm durum geri-beslemesi ile, sistemin karakteristik denklemi değiştirilebilir, ancak sistemin

sürekli hal kazancıda değişir. Bundan dolayı, sistemde ayarlanabilir, 0K , kazancı gereklidir.

0K , birim basamak giriş için ( ) 1y ¥ = olacak şekilde ayarlanmalıdır.

ÖRNEK:


13

[ ] 1

2

0 1 0( 1) ( ) ( )

0.16 1 1

( )( ) 1 0

( )

x k x k u k

x ky k

x k


é ù= ê ú

ë û

ise, kapalı çevrim kutuplarının 1 20.5 0.5, 0.5 0.5z j z j= + = - olması istenmektedir.

2( 0.5 0.5)( 0.5 0.5) 0.5zI A BK z j z j z z- + = - - - + = - + Þ

[ ]0.34 2K = - olarak elde edilir. ( )1

zR z

z=

-birim basamak giriş için

K, kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır; 1

0

( ) ( )G A BK

G z C zI G H

H BK

ÙÙ Ù

-

Ù

ü= - ïÞ = -ý

ï= þ

[ ] 00

00 1 0 0 1 00.34 2

0.16 1 1 0.5 1 1G H K ise H

K

Ù Ù Ù é ùé ù é ù é ù é ù= - - = = = ê úê ú ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û ë û ë û

[ ] 02

0

01( ) 1 0 ( )

0.5 1 0.5

z KG z G z

Kz z z

- é ùé ù= Þ =ê úê ú- - +ë û ë û

00

2 21

( ) 1( ) lim( 1)( ) 0.5 0.5z

zKKY z zy z

R z z z z z®

-= Þ ¥ = - Þ- + - +

001 0.5

0.5

KK= Þ =


14

1z I-

( 1)x k +( )x k

( )y k

Sistem

0

1

æ öç ÷è ø

B

0 1

0.16 1

æ öç ÷- -è øA

( )1 0

C

( )u k( )r k0.5

( )v k

0.34

2-Durum geribeslemesi

Bilgi notu:

Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık zaman durum denklemleri,

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = +

( ) ( )y k Cx k= olarak verilsin.

( ) ( )u k Kx k= - durum geri-besleme kontrol kuarlı olsun, yerine koyulur ise.

( 1) ( ) ( ( ))x k Ax k B Kx k+ = + -

[ ]( 1) ( ))x k A BK x k+ = - elde edilir.

Yukarıda verilen sisteme lineer dönüşüm ve durum geri-besleme kontrol kuralı uygulansın.

'( ) ( )x k Tx k= ve ' 1( ) ( )x k T x k-=

' 1( 1) ( 1)x k T x k-+ = + lineer dönüşüm ve geri-besleme

uygulanır ise,

' 1 ' 1( 1) ( ) ( )x k T ATx k T Bu k- -+ = +

'( ) ( )y k CTx k= olur.

Kontrol kuralına lineer dönüşüm uygulanır ise,

( ) ( )u k Kx k= -

'( ) ( )u k KTx k= - '( ) ( )u k fx k= - elde edilir. f KT= dir.


15

Lineer dönüşüm ve durum geri-besleme uygulandıktan sonra elde edilen karakteristik denklem lineer

dönüşümsüz durum geri-beslemeli sistemin karakteristik denklemi ile aynıdır. Aşağıda ispatı

verişmiştir.

' '( 1) ( ) ( )c cx k A x k B u k+ = + ;lineer dönüşüm uygulanmış durum denklemleri.

'( ) ( )cy k C x k=

Lineer dönüşümden sonra '( ) ( )u k fx k= - durum geri-beslemesi uygulanır ise

' ' '( 1) ( ) ( ( ))c cx k A x k B fx k+ = + -

[ ]' '( 1) ( )c cx k A B f x k+ = - elde edilir.

Dönüşümden sonra karakteristik denklemler değişmeyeceğinden,

det( ) det( ) 0c czI A BK zI A B f- + = - + = olmalıdır. NOT: özellik, 1P A P A- = dır.

det( ) 0c czI A B f- + = ifadesini açıp yukarıda verilen özellik göz önüne alınır ise,

1 1 1det( ) det( ) 0c czI A B f zT IT T AT T Bf- - -- + = - + =

1 1 1 0zT IT T AT T Bf- - -= - + = ve f KT= yazılır ise,

1 0T zI A BK T-= - + =

0zI A BK= - + = olur.

Buradan, lineer dönüşüm uygulandıktan sonra durum geri besleme matrisi f elde edilir. Bu

matristen, dönüşüm uygulanmamış sistem durum geri besleme matrisi

1TK f T -= ile elde edilir.

Tf : f ’nin Transpozu


1

Durum Uzayında Tasarım

Kutup Yerleştirme Tasarım Metodu:

Lineer zamanla değişmeyen ayrık-zaman sistem, x(k+1)=Ax(k)+Bu(k) ile verilsin. Bütün

x(k), durumlarının bilindiği ve erişebildiği kabul edilsin.

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +( )x k

Bu sisteme, lineer durum geri-besleme kontrol kuralı olarak ( ) ( )u k Kx k= - uygulansın ve

kapalı-çevrim sistem ( 1)x k +

( )( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k Ax k B x kKx x kk A BK- -+ = + Þ + = olur.

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +

( )x k

K-

Lineer durum geri-besleme kuralı ile kapalı çevrim sistem

Kontrolör matrisi (statik durum geri-besleme katsayı matrisi) K, kapalı-çevrim sisteminin

performansını iyileştirecek şekilde seçilebilir. Performansı iyileştirme yollarından biri kutup

yerleştirme yöntemidir. Bu metod kullanılarak, açık çevrim sisteminin davranışı önemli

ölçüde iyileştirilebilir. Bu metod kararsız bir sistemi kararlı yapabilir, cevap hızını arttırabilir

veya azaltabilir, sürekli hal hatasını arttırabilir, azaltabilir, sistem bant genişliğini daraltabilir,

genişletebilir. Tüm bu nedenlerden dolayı, kutup yerleştirme yöntemi pratikte yaygın olarak

kullanılmaktadır.


2

Kutup yerleştirme veya kutup atama problemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

1 2, ,..., nl l l ’ ler açık-çevrim sisteminin öz-değerleri olsun ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ’nın

ve

1 2, ,..., nl l lÙ Ù Ù

‘ler ise ( )A BK- kapalı-çevrim sistem matrisinin istenen öz-değerleri olsun.

Kompleks özdeğerler, kompleks eşlenik çiftler halindedir.

Aynı zamanda, p(z) ve ( )p zÙ

sırası ile karakteristik polinomlar (karakteristik denklem)

olsun.

Açık çevrim sisteminin karakteristik denklemi;

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n n

i

p z z zI A z a z a z al --

=

= - = - = + + + + =Õ

Kapalı çevrim sisteminin (durum geri-beslemeli) karakteristik denklemi;

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n n

i

p z z zI A BK z a z a z alÙ Ù Ù Ù Ù

--

=

= - = - + = + + + + =Õ

(*)

( )p zÙ

denklemini sağlayacak olan K matrisinin bulunması gerekmektedir.

Teorem: Açık-çevrim sisteminin tüm durum vektörleri kontrol edilebilir ise kapalı-

çevrim sistem ( )A BK- matrisinin öz-değerlerini herhangi bir 1 2,...,, nl l lÙ Ù Ù

öz-değerlerine

atayan bir durum geri-besleme matrisi, K, vardır.

2 1... n


S B AB A B A B-é ù= ë û Tüm durumların kontrol edilebilmesi için ,

Kontrol edilebilirlik matrisinde, [ ]rank S n= olmalıdır.

Bu teoreme göre, açık-çevrim sisteminin Tüm durumlarının kontrol edilemediği durumlarda,

durum geri besleme kuralı ile A matrisinin en az bir tane öz-değeri değiştirilemez olarak kalır.

Bu gibi durumlarda, bütün öz değerlerin atanabilmesi için, geri-besleme kuralı olarak dinamik

kontrolör uygulanmalıdır. Türev ve inregral terimleri ihtiva eden dinamik kontrolörler

sistemin derecesini arttırdıklarından dezavantaja sahiptirler.

Tek girişli sistem ele alınsın. B matrisi kolon vektör b, K matrisi satır vektör Tk ye

dönüşür.


3

11 1

1

( ) ( ) ... 0n

T n ni n n

i

p z z zI A Bk z a z a z alÙ Ù Ù Ù Ù

--

=

= - = - + = + + + + =Õ

Denkleminin k ya göre çözümü tektir. K nın belirlenmesinde birçok yöntem amaçlanmıştır. En popüler yöntem Bass ve Gura ya göredir ve aşağıda verilen basit yöntem ile çözülür.

1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

( )u k C ( )y k

Sistem

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +

( )x k

K-

Açık-çevrim sistem Kapalı-çevrim sistem

1. Yol: a ve w matrisleri açık-çevrim sistem karakteristik denklem polinom

katsayılarından,

11 1

22

1 ...

0 1 ...,

.... . ... .

0 0 ... 1

n

n

n

aa a

aaw a

a

-

-

é ùé ùê úê úê úê ú= =ê úê úê úê ú

ë û ë û

matrisleri ve

a matrisi ise kapalı-çevrim sistem karakteristik denklem polinom katsayılarından

1

2

...

n

a

aa

a

Ù

Ù

Ù

é ùê úê úê ú=ê úê úê úë û

sırası ile elde edilir. Bu katsayılar matrisleri kullanılarak statik durum geri-besleme

matrisi K,

S, kontrol edilebilirlik matrisi olmak üzere,

1( )T TK w s a aÙ-

é ù= -ë û , 2 1... nS B AB A B A B-é ù= ë û

ifadesi ile hesap edilir.

Açık-çevrim sistem karakteristik denklem:

11 1

1

( ) ...( ) 0n

n ni n n

i

z zI A z a z a z ap z l --

=

- = - = + + += + =Õ

(Olması istenen ) Kapalı-çevrim sistem karakteristik denklem:

11 1

1

( ) .( ..) 0n

T n ni n n

i

z zI A Bk z a z a z ap z lÙ Ù Ù Ù

--

=

Ù

- = - + = + + += + =Õ


4

2. Yol: eğer verilen sistem matrisi faz-değişken (Kontrol edilebilir) kanonik formda ise,

1 1

2

1 2 1

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 01 ...

0 0 0 ...0 1 ...,

. . . ... .. . ... .

0 0 0 ... 10 0 ... 1

...

n

n

n n n

a a

aA veya A

a a a a

-

-

- -

é ùê úé ù ê úê ú ê úê ú= = ê úê ú ê úê ú ê úë û ê ú- - - -ê úë û

ve

0

0

0

...

0

1

b

é ùê úê úê ú


Ve 2 1... nS B AB A B A B-é ù= ë û T Tw s I= I dır (olur)

0 0 0 1

0 0 1 0

. . . .

1 0 0 0

I


Iç0 0ç0 0çç0 0

=ççç ve ( ) 1

I I-=) 1

I I)- dır.

11

1

1

,......

n n

nn

a a

aaa a

aa

Ù

ÙÙ

--

Ù

é ùé ùê úê úê úê úê ú= =ê úê úê úê úê úë ûê ú

ë û

olmak üzere, 11

1 1

( )....

nn

nn

a a

a aK I a a

a a

Ù--

é ù-ê úê ú-


( ))( )I ((((Ù êê

==))I (( êêêê

durum geri besleme matrisi kolayca hesap edilebilir.

3. Yol:

K matrisinin hesaplanmasında diğer bir yöntem Ackerman tarafından önerilmiştir.

1 ( )T Tk e s p AÙ

-= 2 1... nS B AB A B A B-é ù= ë û

kontrol edilebilirlik matris,

[ ]0 0 ... 0 1Te =

( ) ( )p A p zÙ Ù

Þ karakteristik denkleminde z A= koyularak elde edilir.

11 1( ) ...n n

n np z A a A a A a IÙ Ù Ù Ù

--= + + + +

Genel olarak, çok girişli sistem durumunda K matrisinin belirlenmesi biraz karışıktır(zordur).

TK qp= olarak q ve p n-boyutlu matrisler olmak üzere,


5

T TA BK A Bqp A pb- = - = - , Bqb = çok girişli sistem tek girişli sisteme indirgenmiş olur.

Kontrol edilebilirlik matrisi, 1... nS A Ab b b-é ù= ë û olmak üzere yöntemlere

başvurulabilir.

Metod4: Genel Kutup Yerleştirme

n. Dereceden sistem modeli; ( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + olsun.

Kontrol işareti, ( ) ( )u k Kx k= - ve 1 2[ ... ]nK K K K= olmak üzere,

( 1) ( ) ( )Ac

x k A BK x k+ = -( ) ( )Ac

( ) ((((( olur.

İstenen kutup yerleri; 1 2, ,..., nz l l l= olmak üzere Kapalı çevrim sistem karakteristik

polinom,

1 2( )( ).( ) 0..( )cc nzI A z z zz zI A BK l l la = - + - -= - = =-

olsun.

Bu denklemde n adet 1 2, ,..., nK K K bilinmeyen ve sağ tarafta ise n adet bilinen polinom

katsayıları mevcuttur. Katsayılar eşitlenerek bilinmeyen katsayılar 1 2, ,..., nK K K hesaplanır.


6

ÖRNEK:

R L

Uort

E

BmC

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

U(t)

Kİf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

Konum

Hız

1

s(s+1)s1-e

-sT

T=0.1sn

u(s)u(s)* u(s)

Y(s)

Şekilde servo sisteme ait açık-çevrim kontrol blok diyagramı ve aşağıda durum uzay modeli

verilmiştir.

[ ]

1 0.0952 0.00484( 1) ( ) ( )

0 0.905 0.0952

( ) 1 0 ( )

x k x k u k

y k x k


ë û ë û

=

u(k) = - K x(k) durum geri-beslemesi ile yerleşme zamanı (%2) 4st sn= ve %16Aşım @

( 0.46)x = olması istenmektedir. Durum geri-besleme matrisi K’yı hesaplayınız.

istenen yerleşme zamanı ve aşımı sağlayacak olan kapalı-çevrim kutupları;

4 1 1%2, 4 1 2.17 / , 0.46

0.46s n n n n

n

t w w w w rad snw

x xx x

= = Þ = Þ = Þ = Þ = =

2 21 0.46*2.17*0.1 2.17* 1 0.46 *0.11,2

nn jw Tw T jz e e e exx -- - -= = Þ1jw 1njw 1nnjwn 1 2.17*1 21 21 21 2.17*1 21 21 2.17*1 21 21 21 2.17*j1 21 2

1,2 1,2 1,2 1,20.905 11.04 0.888 0.1745z z jl l= = Ð± Þ = = 0.1745j

Olması istenen karakteristik denklem 1,2l kullanılarak;

21 2( ) ( )( ) ( 0.888 0.1745)( 0.888 0.1745) 1.776 0.819 0z z z z j z j z za l l= - - = - - - + = - + =

2( ) 1.776 0.819 0z z za = - + = İstenen Karakteristik denklem


7

Durum geri-besleme matrisi K dört farklı yoldan sırası ile aşağıda elde edilecektir.

1.YOL : Geri-besleme matrisi, 1( )T TK w s a aÙ-

é ù= -ë û ifadesi ile hesap edilecektir.

21 0.0952det( ) det 1.905 0.905 0

0 0.905

zzI A z z

za

æ - - öé ù= - = = - + =ç ÷ê ú-ë ûè ø

Açık-çevrimden elde edilen katsayılar matrisleri

11 1

22

1 ...

0 1 ...,

.... . ... .

0 0 ... 1

n

n

n

aa a

aaw a

a

-

-

é ùé ùê úê úê úê ú= =ê úê úê úê ú

ë û ë û

1 1.905

0 1w

-é ù= ê úë û

1.905

0.905a

-é ù= ê úë û

Kapalı-çevrimden elde edilen katsayı matrisi

1

2

...

n

a

aa

a

Ù

Ù

Ù


1.776

0.819a

-é ù= ê úë û

Kontrol edilebilirlik matrisi: [ ]0.00484 1 0.0952 0.00484

0.0952 0 0.905 0.0952S B AB

é ùì üé ù é ù é ù= = ê úí ýê ú ê ú ê ú

ê úë û ë û ë ûî þë û

0.0048 0.0139

0.0952 0.0862S

é ù= ê úë û

11 0 0.0048 0.0952 1.776 1.905

1.905 1 0.0139 0.0862 0.819 0.905K

-æ ö æ - - öé ù é ù é ù é ù

-ç ÷ ç ÷ê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë ûè ø è ø=

4.51

1.12K

é ù= ê úë û

2 2

1 2( ) 1.905 0.905 0z z z z a z aa = - + = + + = Açık çevrim Karakteristik

denklem

2 2

1 2( ) 1.776 0.819 0c z z z z a z aa = - + = + + = İstenen Kapalı çevrim



8

2.YOL: Durum denklemleri faz kononik şekline getirilerek, durum geri-besleme matrisi

11

1 1

( )....

nn

nn

a a

a aK I a a

a a

Ù--

é ù-ê úê ú-


( )I ((Ù ê

=)I (( êêê

ifadesi ile hesap edilecektir.

[ ]

1 0.0952 0.00484( 1) ( ) ( )

0 0.905 0.0952

( ) 1 0 ( )

x k x k u k

y k x k


ë û ë û

=

Durum denklemleri verilen sistem kontrol edilebilir kanonik form (faz-değişken kanonik form) dönüştürülür. Verilen sistemin karakteristik denkleminden

faz-değişken Kanonik formun sistem matrisi elde edilir.

2 1

0 1

0.905 1.90

1

5

0c cAA

a a

é ù=

é ù= Þê ú- - -ë

êëû

úû

ve standart olarak 0

1cBé

=ù

ê úë û

olarak

yazılır.

22

11

0.905 0.819

1.905 ( 1.776)

a aK

a a

é ù- -é ù= =ê ú ê ú- - -ê ú ë û-ë û

0.086

0.129K

é ù= ê ú-ë û

1cT VV -=

0.0048 0.0139

0.0952 0.0862V S

é ù= = ê ú

ë ûelde edilmişti.

2 2

1 2( ) 1.776 0.819 0c z z z z a z aa = - + = + + = İstenen Kapalı çevrim


2 2

1 2( ) 1.905 0.905 0z z z z a z aa = - + = + + = Açık çevrim Karakteristik

denklem


9

[ ] 10 0 1 0 0 1

1 1.905 0.905 1 1 1

1.905 1

1 0.905 cc c c c cV B A B V V -é ùé ù é ù é ù= = Þ = Þê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë ûë

-é ù= ê úëû û

0 00]c c c c c]A B ]A B ]c c c c cc c c ]

11c c1c cc cc cc cc cë1.9051.91 9051 91 91 91 9051 91 91 9c cc cc cc c1 9051 91 91 9

1 0.0048 0.0139 1.905 1

0.0952 0.0862 1 0

0.0047 0.0048

0.0952 0.0952cT VV T- -é ù é ù= = Þê ú ê ú

é ù= ê ú-ë ëû ë ûû

1

1 0.086 0.0047 0.0048

0.129 0.0952 0.0952

T

Tk K T

-

- é ù é ù= = ê ú ê ú- -ë û ë û

4.51

1.12Tk

é ù= - ê ú

ë û

NOT: Elde edilen dönüşüm matrisi nin doğruluğunu onaylamak için, verilen durum denklemini

kontrol edilebilir kanonik forma dönüştürülsün.

1 1( 1) ( ) ( )c cx k T ATx k T Br k- -+ = +

( ) ( )c cy k CTx k=

1

10.0047 0.0048 1 0.0952 0.0047 0.0048

0.0952 0.0952 0 0.905 0.0952 0.095

0 1

0.905 1.905

2T AT

-

- é ù é ù é ù= ê ú ê ú ê ú- -ë û ë

é ùê ú-ë

û û

=û

ë

1

10.0047 0.0048 0.00484

0.0952 0.0952 0.0

1

9

0

52T B

-

- é ù é ù= ê ú ê ú

é

-ë û ë û

=ù

ê úë û

[ ]

[ ]

0.0047 0.00481 0

0.0952 0

0.0047 0.0

.0952

048

CTé ù

= ê ú-ë û

=

[ ]1 0.0952 0.00484

( 1) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( )0 0.905 0.0952

x k x k u k y k x ké ù é ù

+ = + =ê ú ê úë û ë û

Dönüşümden sonra kontrol edilebilir kanonik (faz-değişken kanonik )form aşağıda

verilmiştir.

[ ]0 1 0

( 1) ( ) ( ) ( ) 0.0047 0.0048 ( )0.905 1.905 1c c c cx k x k r k y k x k

é ù é ù+ = + =ê ú ê ú-ë û ë û


10

3. YOL: Ackerman ifadesi, 1 ( )T Tk e s p AÙ

-= ile durum geri besleme matrisinin bulunması.

[ ]0 0 ... 0 1Te = ise [ ]0 1Te = dir.

0.0048 0.0139

0.0952 0.0862S

é ù= ê úë û

ise 1 95.0347 15.3358

105.0107 5.3388S - -é ù

= ê ú-ë û dir.

11 1

2

( ) ...

1 0.0952 1 0.0952 1 01.776 0.819

0 0.905 0 0.905 0 1

n nn np z A a A a A a I

Ù Ù Ù Ù-

-= + + + +

é ù é ù é ù= - +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

0.043 0.0123( )

0 0.0307p zÙ é ù

= ê úë û

[ ]95.0347 15.3358 0.043 0.0123

0 1105.0107 5.3388 0 0.0307

Tk-é ù é ù

= ê ú ê ú-ë û ë û

[ ]4.51 1.12Tk = elde edilir.

4.YOL: Genel kutup yerleştirme yöntemi ile durum geri-besleme matrisinin bulunması.

[ ]1 2K K K= durum geri besleme matrisi kullanılarak istenen karakteristik denklem elde edilir.

[ ]1 2

1 0.0952 0.00484det( ) det

0 0.905 0.0952c

zzI A BK K K

za

æ - - öé ù é ù= - + = +ç ÷ê ú ê ú-ë û ë ûè ø

1 2

1 2

0.00484 0.004841 0.0952det

0.0952 0.09520 0.905

K Kz

K Kz

æ ö- - é ùé ù= +ç ÷ê úê ú-ë û ë ûè ø

1 2

1 2

1 0.00484 0.00484det

0.0952 0905 0.0952

z K K

K z K

æ ö- +é ù= ç ÷ê ú- +ë ûè ø

Durum geri beslemeli sistem karakteristik denk lem aşağıda verilmiştir.


11

( )c za ve ( )za polinom katsayıları eşitlenir ( ) ( )c z za a=Þ

1 2 1 2

1 2 1 2

0.00484 0.0952 1.905 1.776 0.00484 0.0952 0.1290

0.004684 0.0952 0.905 0.819 0.004683 0.0952 0.086

K K K K

K K K K

+ - = - Þ + =

- + = Þ - = -

1

2

( )

(

4.51

1.12 )

pozisyon için

hız

K

K için

=

= olarak elde edilir.

R L

Uort

E

BmC

Vsin

(wt)

IGBT

sürücü

U(t)

Kİf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

Ko

nu

m

Hız

ADC

ADC

1.12

DAC

Sayısal İşlemci

Durum Geribeslemesi

4.51K1

K2

D(t)

(t)q

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş donanım.

1

1s +

1

s1 sTe

s

-

1.12

4.51K1

K2

Kon

um

Hız

Sayısal İşlemci X (t)2

X (t)1

(t)q

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş kontrol blok diyagramı.

21 2 1 2(0.00484 0.0952 1.905) 0.004684 0.( ) 0952 0.905 0c z z K K z K Ka + + - += + - =

Olması istenen kapalı-çevrim Karakteristik denklem

Durum geri beslemeli karakteristik denklem. 2 2

1 21.905 0.905 0( ) z z z a zz aa - + = + + ==

Açık çevrim Karakteristik denklem


12

1zI-

Sistem

0.00484

0.0952

B

1 0.09520 0.905

A

1 0

C

1.12

4.51Durum geri-besleme

x(k+1)x(k) y(k)u(k)

K 2

K 1

Kon

tro

l işa

reti

X (k):hız2

X (k):Konum1

Durum geri beslemeli DC makine kontrolüne ait basitleştirilmiş ayık-zaman kontrol blok diyagramı.

1 2(0) (0) 2 (0) (0) 0.75x ve x Vq= = = =

için hız ve konumun zamana göre değişimi.

Elde edilmiş olan durum geri-besleme kontrol işareti servo sisteme uygulanarak elde edilen kapalı-

çevrim sisteme ait yeni durum denklemi aşağıda verilmiştir.

Kontrol işareti,

[ ] [ ]1 2

2

1

2

1 ( )4.51 1.12

( )

( )( )

( )

x ku k K K

x k

x k

x k

é ù= - =

é ù- ê ú

ëê úë ûû

dir.


13

[ ] 1

2

( )1 0.0952 0.00484( 1) ( ) 4.51 1.12

( )0 0.905 0.0952

x kx k x k

x k

æ öé ùé ù é ù+ = + -ç ÷ê úê ú ê ú

ë û ë û ë ûè ø

1

2

( )1 0.0952 0.0219 0.0054( 1) ( )

( )0 0.905 0.4299 0.1071

x kx k x k

x k

é ùé ù é ù+ = - ê úê ú ê ú

ë û ë û ë û

0.9781 0.0898( 1) ( )

0.4299 0.7979

cA

x k x ké ù

+ = ê ú-ë ûA

ë û0.4299 0.7979ê úê ú0 4299 0 7979-

cA Durum geri-beslemeli kapalı-çevrim sistem matrisidir. İstenen karakteristik denklem elde edilip

edilmediği doğrulaması ise aşağıda yapılmaktadır.

Tasarımın başlangıcında istenen kriterleri sağlayacak olan karakteristik denklem

Olarak elde edilmiştir. Tasarım sonunda elde edilen sistem matrisi kullanılarak kapalı-çevrim karakteristik denklem,

0.9781 0.0898det( ) det

0.4299 0.7979c c

zzI A

za

æ - - öé ù= - = ç ÷ê ú-ë ûè ø

2 1.776 0.819 0c z za = - + = olarak elde edilir ve olması istenen karakteristik denklem ile aynı

olduğu görülmektedir, sonuç olarak tarsımın doğruluğu gösterilmiştir.

MATLAB komutu: Aşağıda verilen sisteme durum geri beslemesi uygulanacaktır.

[ ]

1 0.0952 0.00484( 1) ( ) ( )

0 0.905 0.0952

( ) 1 0 ( )

A B

C

x k x k u k

y k x k


ë û ë û

=A BA B

ë û ë ûû0 0.905 0.09520.905 0.0.905ê ú ê úê ú ê ú0 0 905 0 09520 905 00 905 00 905 005

P: Olması istenen kapalı-çevrim kutupları. p=[0.888+0.1745i 0.888-0.1745i] K=acker(A,B,p) veya K=place(A,B,p)

K = 4.5149 1.1255 olarak elde edilir.

2( ) 1.776 0.819 0z z za = - + = İstenen Karakteristik denklem

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +

( )x k

K-

NOT:

Place komutu ile

değeri sıfır olan katlı

kutuplar verilemiyor.

Acker komutu ile

verilebilir.


14

ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME

Kontrol edilen sistemde durum geri-beslemesi ile sistemin dinamik davranışı

düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu

durumda, sistem kazancının bir olmalıdır. Bu amaç için referans giriş ile beraber bir kazanç

terimi ilave edilmeli ve hesaplanmalıdır. Kazanç hesabı için önerilen iki yol aşağıda

verilmiştir

I.YOL: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum uzay modeli vektör matris

formunda

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +



1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

( )u k C ( )y k

Sistem



1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

K-

( )r k0K

( )u k

C ( )y k

Sistem

Referans giriş li durum geri-beslemeli sistem.


15

( )u k

K-


( )v k




0( 1) ( ) ( ) ( )x k Ax k BK r k BKx k+ = + - Þ



0zI A BK- + =

olarak yazılır.



0K , birim basamak giriş için ( ) 1y ¥ = olacak şekilde ayarlanmalıdır.

II. YOL: Referans girişi takip edebilen statik durum geri besleme ele alınacaktır.

Referans giriş, r olsun; ( ) ( )e k r y k= - kontrol hatasıdır.

( )u k

K-

Sistem ( )y k( )r k ( )v kN

( )x k

e(k)

( ) ( )u k Kx k N r= - +


16

( ) 0e k = olduğunda ( )x k durum vektörünün sürekli hal değeri ,ssx ve ( )u k kontrol

vektörünün sürekli hal değeri ssu olsun.

K-

SistemN

e(k)=0

xss

ussr y = r

ss

v(k)

Amacımız, istenen sürekli hal ölçülen çıkış değerini sağlayan, statik durum geri besleme

kuralı ( ) ( )u k Kx k= - yı ayarlamaktır. Bu ise kontrol kuralında durum vektör ofseti

(denkleştirme, kaydırması) ile yapılır.

Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden ssKx çıkar ve sürekli rejim için gerekli olan ssu ilave

edilerek kontrol işareti,

( ) ( ( ) )ss ssu k K x k x u= - - + olarak yazılır.

Böylece ölçülen çıkış değeri y , referans giriş r ’e eşit olur.

( 1) ( ) ( )

( 1) (( ( )) ) ss ss

x k Ax k Bu k

x k Ax K x k x Buk B

+ = +

+ = - +- burada u(k) yerine yazılır =>

Sürekli halde, ( 1) ( ) ssx k x k x+ = = olur…

ss ss ssx Ax Bu= + veya ss ss ssBu x Ax= - yerine konulur ise, ( )ssx Steady State sürekli hal®

1( )x k 1( 1)x k +

Sürekli rejimde1 1( ) ( 1)x k x k= +

k

X(k)

( 1) ( ) ( ( ) )

( 1) ( )( ( ) )ss ss ss

ss ss

x k Ax k BK x k x x Ax

x k x A BK x k x

+ = - - + - Þ

+ - = - -


17

Bu denklem, statik durum geri-beslemesinin ( ( ) )ssx k x- durum vektörüne uygulandığı gibi

yorumlanabilir. ( )ssx x k= olduğunda ( )r y k= ‘dır. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi

kontrol sistemi çıkışının r ’ye yakınsamasını sağlar. Önkompanzatör ilavesi sistemin

kutuplarını etkilemez. Sürekli hal cevabı göz önüne alınır ise,

ss ss ss

ss ss

ss

x Ax Bu

y Cx

y r

= +

=

=

olur.

0 ( ) 0ss ss ss ss ssAx x Bu A I x Bu- + = Þ - + =

0ss ssCx u r+ = ve ( ) 0ss ssA I x Bu- + = denklemleri ile arttırılmış durum vektörü,

0

0ss

ss

xA I B

uC r

- é ùé ù é ù=ê úê ú ê ú

ë û ë ûë û yazılabilir.

Buradan,

10

0ss

ss

x A I B

u C r

--é ù é ù é ù

=ê ú ê ú ê úë û ë ûë û

elde edilir. Ve u(k)’da yerine yazılır =>

( ) ( ) ss ssu k Kx k Kx u= - + + önce u(k) düzenlenir.

[ ]

[ ]1

( )

01

0 1

1

( )

ss

ss

N

A I B

xKx k K

u

KxC

k K r-

-é ù é ùê ú ê úë û ë

é ù= - + ê ú

ë û

= - +û

[ ]1

N

1ë û ë00Cêê 0000C ûúú

( ) ( ( ) )ss ssu k K x k x u= - - +

( ) ( )u k Kx k N r= - +

[ ]1

01

0 1

A I BN K

C

--é ù é ù

= ê ú ê úë û ë û

olarak elde edilir.

ÖRNEK:

0 1 0( 1) ( ) ( )

0.16 1 1x k x k u k


ve [ ] 1

2

( )( ) 1 0

( )

x ky k

x k

é ù= ê ú

ë û

ise, kapalı çevrim kutuplarının 1 20.5 0.5, 0.5 0.5z j z j= + = - olması istenmektedir.


18

Çıkışın istenen referans değere gidebilmesi için Durum geri –besleme matrisi K ve giriş

kazancı 0K ’ı hesaplayınız.

Açık-çevrim karakteristik denklem:

2 21 20.16 0zI A z z z a z a- = + - = + + =

İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem:

2 21 2( 0.5 0.5)( 0.5 0.5) 0.5 0zI A BK z j z j z z z a z a- + = - - - + = - + = + + =

Sistem matrisi faz değişken kanonik formdadır.

2 2

1 1

0.5 0.16 0.34

1 1 2

a ak k

a a

Ù

Ù

é ù- -é ù é ùê ú= Þ = =ê ú ê úê ú - - -ë û ë û-ê úë û

Durum geri-besleme matrisi, [ ]0.34 2K = - olarak elde edilir.

Ön Kompanzatör kazancı farklı iki yoldan hesaplanabilir.

I. YOL: Transfer fonksiyonu ve son değer teoremi kullanılır.

( )1

zR z

z=


K, kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır; 1

0

( ) ( )G A BK

G z C zI G H

H BK

ÙÙ Ù

-

Ù

ü= - ïÞ = -ý

ï= þ

[ ] 00

00 1 0 0 1 00.34 2

0.16 1 1 0.5 1 1G H K ise H

K


[ ] 02

0

01( ) 1 0 ( )

0.5 1 0.5

z KG z G z

Kz z z

- é ùé ù= Þ =ê úê ú- - +ë û ë û

00

2 21

( ) 1( ) lim( 1)( ) 0.5 0.5z

zKKY z zy z

R z z z z z®

-= Þ ¥ = - Þ- + - +

001 0.5

0.5

KK= Þ =

II. YOL: Elde dilmiş olan kazanç ifadesi doğrudan kullanılır.

[ ]0

10

10 1

A I BN K K

C

--é ù é ù


=

ifadesi kullanılır.


19

[ ][ ]

1

0

0 1 1 0 00

0.16 1 0 1 10.34 2 11

1 0 0

KN

-é ùé ù é ù é ù

- é ùê úê ú ê ú ê ú- -= - ë û ë û ë û ê úê úëê úû

=û

ë

[ ]

1

0

1 0 0 0

0.34 2 1 0.16 2 1 0

1 0 0 1

N K

--é ù é ù

ê ú ê ú= - - -ê ú ê úê êû ë

=

ú úë û

0 0.5N K= =

1z I-

( 1)x k +( )x k

( )y k

Sistem

0

1

æ öç ÷è ø

B

0 1

0.16 1

æ öç ÷- -è øA

( )1 0

C

( )u k( )r k0.5

( )v k

0.34


Bilgi Botu:


( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = +



( 1) ( ) ( ( ))x k Ax k B Kx k+ = + -



'( ) ( )x k Tx k= ve ' 1( ) ( )x k T x k-=


uygulanır ise,


20

' 1 ' 1( 1) ( ) ( )x k T ATx k T Bu k- -+ = +



( ) ( )u k Kx k= -




verişmiştir.


'( ) ( )cy k C x k=


' ' '( 1) ( ) ( ( ))c cx k A x k B fx k+ = + -







1 0T zI A BK T-= - + =







1

ÖNKOMPANZASYONLU (Referans Girişli) STATİK DURUM GERİBESLEME

Kontrol edilen sistemde durum geri-beslemesi ile sistemin dinamik davranışı

düzenlenebilmektedir. Sistem cevabının istenen bir referans değere gitmesi istenebilir. Bu

durumda, sistem kazancı bir olmalıdır. Bu amaç için referans giriş ile beraber bir kazanç

terimi ilave edilmeli ve hesaplanmalıdır. Kazanç hesabı için önerilen iki yol aşağıda

verilmiştir

I.YOL: Kontrol edilmek istenen sisteme ait ayrık-zaman durum uzay modeli vektör matris

formunda

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +



1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

( )u k C ( )y k

Sistem



1z I-

A

B

( 1)x k +( )x k

K-

( )r k0K

( )u k

C ( )y k

Sistem

Referans giriş li durum geri-beslemeli sistem.


2

( )u k

K-


( )v k




0( 1) ( ) ( ) ( )x k Ax k BK r k BKx k+ = + - Þ



0zI A BK- + =

olarak yazılır.



Bbirim basamak giriş için 0K kazancı SON DEĞER teoreminden ( ) 1y ¥ = olacak şekilde

ayarlanmalıdır.

II. YOL: Referans girişi takip edebilen statik durum geri besleme ele alınacaktır.

Referans giriş, r olsun; ( ) ( )e k r y k= - kontrol hatasıdır.

( )u k

K-

Sistem ( )y k( )r k ( )v kN

( )x k

e(k)

( ) ( )u k Kx k N r= - +


3

( ) 0e k = olduğunda ( )x k durum vektörünün sürekli hal değeri ,ssx ve ( )u k kontrol

vektörünün sürekli hal değeri ssu olsun.

K-

SistemN

e(k)=0

xss

ussr y = r

ss

v(k)

Amacımız, istenen sürekli hal çıkışın ölçülen değeri ssy ’i sağlayan, statik durum geri besleme

kuralı ( ) ( )u k Kx k= - yı ayarlamaktır. Bu ise kontrol kuralında durum vektör ofseti

(denkleştirme, kaydırması) ile yapılır.

Sürekli rejim için Kontrol işaret’ inden ssKx çıkartılır ve sürekli rejim için gerekli olan ssu ilave

edilerek kontrol işareti,

( ) ( ( ) )ss ssu k K x k x u= - - + olarak yazılır.

Böylece ölçülen çıkış değeri y , referans giriş r ’e eşit olur.

( 1) ( ) ( )

( 1) (( ( )) ) ss ss

x k Ax k Bu k

x k Ax K x k x Buk B

+ = +

+ = - +- burada u(k) yerine yazılır =>

Sürekli halde, ( 1) ( ) ssx k x k x+ = = olur…

ss ss ssx Ax Bu= + veya ss ss ssBu x Ax= - yerine konulur ise, ( )ssx Steady State sürekli hal®

1( )x k 1( 1)x k +

Sürekli rejimde1 1( ) ( 1)x k x k= +

k

X(k)

( 1) ( ) ( ( ) )

( 1) ( )( ( ) )ssBu

ss ss ss

ss ss

x k Ax k BK x k x x Ax

x k x A BK x k x

+ = - - + - Þ

+ - = - -Bu

ss ss ssA Þss ss ssx Axx Axss ss ssss ss ss


4

Bu denklem, statik durum geri-beslemesinin ( ( ) )ssx k x- durum vektörüne uygulandığı gibi

yorumlanabilir. ( )ssx x k= olduğunda ( )r y k= ‘dır. Ön kompanzatörün uygun seçilmesi

kontrol sistemi çıkışının r ’ye yakınsamasını sağlar. Önkompanzatör ilavesi sistemin kutuplarını etkilemez. Sürekli hal cevabı göz önüne alınır ise,

ss ss ss

ss ss

ss

x Ax Bu

y Cx

y r

= +

=

=

olur.

0 ( ) 0ss ss ss ss ssAx x Bu A I x Bu- + = Þ - + =

0ss ssCx u r+ = ve ( ) 0ss ssA I x Bu- + = denklemleri ile arttırılmış durum vektörü,

0

0ss

ss

xA I B

uC r

- é ùé ù é ù=ê úê ú ê ú

ë û ë ûë û yazılabilir.

Buradan,

10

0ss

ss

x A I B

u C r

--é ù é ù é ù

=ê ú ê ú ê úë û ë ûë û

elde edilir. Ve u(k)’da yerine yazılır =>

( ) ( ) ss ssu k Kx k Kx u= - + + önce u(k) düzenlenir.

[ ]

[ ]1

( )

01

0 1

1

( )

ss

ss

N

A I B

xKx k K

u

KxC

k K r-

-é ù é ùê ú ê úë û ë

é ù= - + ê ú

ë û

= - +û

[ ]11

NN

11ë û ëë00CCêê 00000000C ûúú

( ) ( ( ) )ss ssu k K x k x u= - - +

( ) ( )u k Kx k N r= - +

[ ]1

0

01

0 1

A I BN K K

C

--é ù é ù

= = ê ú ê úë û ë û

olarak elde edilir.


5

ÖRNEK:

0 1 0( 1) ( ) ( )

0.16 1 1x k x k u k


ve [ ] 1

2

( )( ) 1 0

( )

x ky k

x k

é ù= ê ú

ë û

ise, kapalı çevrim kutuplarının 1 20.5 0.5, 0.5 0.5z j z j= + = -

olması istenmektedir.

Çıkışın istenen referans değere gidebilmesi için Durum geri –besleme matrisi K ve giriş

kazancı 0K ’ı hesaplayınız.

Açık-çevrim karakteristik denklem:

2 21 20.16 0zI A z z z a z a- = + - = + + =

İstenen Kapalı-çevrim karakteristik denklem:

2 21 2( 0.5 0.5)( 0.5 0.5) 0.5 0zI A BK z j z j z z z a z a- + = - - - + = - + = + + =

Sistem matrisi faz değişken kanonik formdadır.

Karakteristik denklem katsayılarından, 1 1a = - , 2 0.5a = , 1 1a = - 2 0.16a = - yazılabilir.

2 2

1 1

0.5 0.16 0.34

1 1 2

a ak k

a a

Ù

Ù

é ù- -é ù é ùê ú= Þ = =ê ú ê úê ú - - -ë û ë û-ê úë û

Durum geri-besleme matrisi, [ ]0.34 2K = - olarak elde edilir.

Ön Kompanzatör kazancı farklı iki yoldan hesaplanabilir.

I. YOL: Transfer fonksiyonu ve son değer teoremi kullanılır.

( )1

zR z

z=


Kontrol kuralı 0( ) ( ) ( )u k Kx k K r k= - + durum geri-besleme durum denkleminde yerine

koyulur ,

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ise 0(( 1) ( ) ( ) ( ))x k Ax k B Kx k K r k- ++ = +

0( 1) ( ) ( ) ( )

HG

x k A BK x k BK r kÙÙ

+ = - +( ) ( )( ) ( )( ) ( )Ù

( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

Durum denklemlerine ait katsayılar matrisleri kullanılarak transfer fonksiyonu hesaplanır.


6

1

0

( ) ( )G A BK

G z C zI G H

H BK

ÙÙ Ù

-

Ù

ü= - ïÞ = -ý

ï= þ

durum geri-beslemeli ve ön-kompanzatör girişli

sisteme ait kapalı-çevrim transfer fonksiyonu.

[ ] 00

00 1 0 0 1 00.34 2

0.16 1 1 0.5 1 1G H K ise H

K


[ ] 02

0

01( ) 1 0

0.5 1( )

0.5

zG z

K

KG z

zz z=

- é ùé ù= Þê úê ú- -û +ë û ë

02

( )( )

( ) 0.5

KG z

Y z

R z z z= Þ

- +=

son değer teoreminden,

0

21

1( ) lim( 1)0.5z

zK

zy zz z®

-¥ = - Þ- +

0

0 10 5

0..

5K

K= Þ = olarak elde edilir.

II. YOL: Elde dilmiş olan kazanç ifadesi doğrudan kullanılır.

[ ]0

10

10 1

A I BN K K

C

--é ù é ù


=

ifadesi kullanılır.

[ ][ ]

1

0

0 1 1 0 00

0.16 1 0 1 1[0.34 2] 11

1 0 0

N K

-é ùé ù é ù é ù

- é ùê úê ú ê ú ê ú- -= - ë û ë û ë û ê úê úë ûê û

=úë

[ ]

1

0

1 0 0 0

0.34 2 1 0.16 2 1 0

1 0 0 1

N K

--é ù é ù

ê ú ê ú= - - -ê ú ê úê êû ë

=

ú úë û

0 0.5N K= =


7

1z I-

( 1)x k +( )x k

( )y k

Sistem

0

1

æ öç ÷è ø

B

0 1

0.16 1

æ öç ÷- -è øA

( )1 0

C

( )u k( )r k0.5

( )v k

0.34


Bilgi Botu:


( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = +



( 1) ( ) ( ( ))x k Ax k B Kx k+ = + -



'( ) ( )x k Tx k= ve ' 1( ) ( )x k T x k-=


uygulanır ise,

' 1 ' 1( 1) ( ) ( )x k T ATx k T Bu k- -+ = +



( ) ( )u k Kx k= -



8



verişmiştir.


'( ) ( )cy k C x k=


' ' '( 1) ( ) ( ( ))c cx k A x k B fx k+ = + -







1 0T zI A BK T-= - + =







9

ÖRNEK: Bir önceki statik durum geri-beslemeli DC makine kontrolünde ölçülen çıkışın

aşağıda verildiği gibi referans girişi takip etmesi istenmektedir. Ön kompanzatör kazancını

hesaplayınız.

R L

Uort E

Bm

U(t)

İf=sbt

Anten

Rotor Kontrollu DC Makina

Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)K

onum

Hız

ADC

ADC

1.12

Sayısal İşlemci

Durum Geribeslemesi

4.51K1

K2

D(t)

DAC

N

r(k) referans giriş

( )tq

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

u(t)

rq ( )k

Sistemin durum modeli;

[ ]

1 0.0952 0.00484( 1) ( ) ( )

0 0.905 0.0952

( ) 1 0 ( ),

A B

C

x k x k u k

y k x k


ë û ë û

=A BA BA B

ë û ë ûë0 0.905 0.09520.905 0. 952 úúêê0 0 905 0 090 905 00 905 00 905 0 0952

Durum geri-besleme kazanç matrisi [ ]4.51 1.12K = olarak verilmiştir.

[ ]

[ ]

1

1

01

0 1

00 0.0952 0.00484

[4.51 1.12] 1 00 0.905 0.0952

11 0 0

A I

A I BN K

C

-

--

-é ù é ù= ê ú ê ú

ë û ë û

é ùé ùê úé ù ê úê ú= ê ú ê ú-ë ûê úê úë ûê úë û

A IA IA I

0 00 0 09520 0952 ara işlemler yapıldıktan sonra,

4.51N = olarak elde edilir.


10

( ) 0D t =

rüzgar etkisi sıfır ve ( ) 2 ( )r t u t= referans giriş için servo sistem cevabı.

8( 8) ( 8) , 0.1 80

0.1D t u t T için k- = - = = =

rüzgar etkisi başlangıcı anı ve ( ) 2 ( )r t u t=

referans giriş için servo sistem cevabı.

ess


11

Örnekten görüleceği gibi, statik durum geri-beslemesi ile ön kompanzatörlü sistem bozucu

yoksa referans girişi iyi bir şekilde izler. Eğer bozucu mevcutsa, izleme performansı zayıftır,

sse sürekli hal hatası oluşur.

R L

Uort E

Bm

U(t)

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

Ko

num

Hız

ADC

ADC

1.12

Sayısal İşlemci

Durum Geribeslemesi

4.51K1

K2

D(t)

DAC

4.51

r(k) referans giriş

( )tq

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

u(t)

rq ( )k

DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ

Hem referans girişi takip eden hemde bozucu etkisini gideren (yok eden) durum uzay yapısı

ele alınacaktır. Başlangıç noktamız, durum vektörünü kontrol hatası ( ) ( )e k r y k= - ’yı ihtiva

edecek şekilde arttırmaktır.

pK-

SistemIK

y(k)

x(k)

u(k)x (k)ır(k)

ıx (k+1)=x (k)+e(k)

ı

Dinamik durum geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı

İntegre edilmiş kontrol hatası;

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( )I I

I I

x k x k e k e k r y k r Cx k

x k x k r k Cx k

+ = + Þ = - = - Þ

+ = + -

Arttırılmış durum vektörü,( )

( )I

x k

x k

é ùê úë û

dır. Kontrol kuralı, ( )

( )( )p I

I

x ku k K K

x k

é ùé ù= - ê úë û

ë û olur.


12

( )x k durum vektörü 1nx boyutlu ise, 1 2[ ........ ]p p p pnK K K K= dir.

Dinamik durum geri-beslemeli kontrolün karakteristik denklemi:

Arttırılmış-durum uzay modeli; ( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( )I I

x k Ax k Bu k

x k x k r k Cx k

+ = +

+ = + - ifadeleri kullanılarak aşağıda

verildiği gibi elde edilir.

( 1) ( )0 0( )

( 1) ( )1 0 1I I

x k x kA Bu k r

x k x kC

+é ù é ùé ù é ù é ù= + +ê ú ê úê ú ê ú ê ú+ -ë û ë û ë ûë û ë û

Kontrol kuralı u(k) yerine koyulur ise,

[ ]( 1) ( )0 0

( 1) ( )1 0 1P II I

x k x kA BK K r

x k x kC

+ æ öé ù é ùé ù é ù é ù= - +ç ÷ê ú ê úê ú ê ú ê ú+ -ë û ë û ë ûë û ë ûè ø

Karakteristik polinom,

[ ]0

det 01 0 P I

A BzI K K

C

ì üæ öé ù é ùï ï- - =í ýç ÷ê ú ê ú-ë û ë ûï ïè øî þ

dır.

PK ve IK ‘nın seçilmesi ile kapalı-çevrim sistem dinamiği ayarlanır.

ÖRNEK:

[ ]0.13 0 0.069

, , 1 10.46 0.63 0

A B Cé ù é ù

= = =ê ú ê úë û ë û

Artırılmış durum-uzay modeli;

1 1

2 2

( 1) 0.13 0 0 ( ) 0.069 0

( 1) 0.46 0.63 0 ( ) 0 ( ) 0

( 1) 1 1 1 ( ) 0 1I I

x k x k

x k x k u k r

x k x k

+é ù é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú ê ú+ = + +ê ú ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú ê ú+ - -ë û ë û ë û ë û ë û


[ ]1 1

2 1 2 2

( 1) 0.13 0 0 0.069 ( ) 0

( 1) 0.46 0.63 0 0 ( ) ( ) 0

( 1) 1 1 1 0 ( ) 1P P I

I I

x k x k

x k K K K x k u k r

x k x k

+ æ öé ù é ù é ù é ù é ùç ÷ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú+ = - + +ç ÷ê ú ê ú ê ú ê ú ê úç ÷ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú+ - -ë û ë û ë û ë û ë ûè ø


13

1 1 2 1

2 2

( 1) 0.13 0.069 0.069 0.069 ( ) 0

( 1) 0.46 0.63 0 ( ) ( ) 0

( 1) 1 1 1 ( ) 1

P P I

I I

x k K K K x k

x k x k u k r

x k x k

+ - - -é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ = + +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú+ - -ë û ë û ë û ë û

Dinamik durum geribeslemeli sistemin artırılmış durum-uzay modeli.

Problem; 1 2, ,P P IK K K katsayılarının hesabıdır.


1

DİNAMİK-DURUM GERİBESLEMESİ

Hem referans girişi takip eden hemde bozucu etkisini gideren (yok eden) durum uzay yapısı

ele alınacaktır. Başlangıç noktamız, durum vektörünü kontrol hatası ( ) ( )e k r y k= - ’yı ihtiva

edecek şekilde arttırmaktır.

pK-

SistemIK

y(k)

x(k)

u(k)x (k)ır(k)

ıx (k+1)=x (k)+e(k)ı

e(k)

Dinamik durum geri-besleme kontrol sistem blok diyagramı

İntegre edilmiş kontrol hatası;

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( )I I

I I

x k x k e k e k r y k r Cx k

x k x k r k Cx k

+ = + Þ = - = - Þ

+ = + -

Arttırılmış durum vektörü,( )

( )I

x k

x k

é ùê úë û

dır. Kontrol kuralı, ( )

( )( )p I

I

x ku k K K

x k

é ùé ù= - ê úë û

ë û olur.

( )x k durum vektörü 1nx boyutlu ise, 1 2[ ........ ]p p p pnK K K K= dir.

Dinamik durum geri-beslemeli kontrolün karakteristik denklemi:

Arttırılmış-durum uzay modeli; ( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( )I I

x k Ax k Bu k

x k x k r k Cx k

+ = +

+ = + - ifadeleri kullanılarak aşağıda

verildiği gibi elde edilir.

( 1) ( )0 0( )

( 1) ( )1 0 1I I

x k x kA Bu k r

x k x kC



[ ]( 1) ( )0 0

( 1) ( )1 0 1P II I

x k x kA BK K r

x k x kC

+ æ öé ù é ùé ù é ù é ù= - +ç ÷ê ú ê úê ú ê ú ê ú+ -ë û ë û ë ûë û ë ûè ø

Karakteristik polinom,

[ ]0

det 01 0 P I

A BzI K K

C

ì üæ öé ù é ùï ï- - =í ýç ÷ê ú ê ú-ë û ë ûï ïè øî þ

dır.


2

DURUM-UZAY GERİBESLEME İÇİN KUTUP YERLEŞTİRME TASARIMI

Tasarım amacı, yerleşme zamanının st ve maximum aşımın *pM değerini geçmemesidir.

1- Kapalı-çevrim kutupları 1,2jz re q±= hesaplayınız.

4

s

T

tr e-

= , *

log( )

log( )p

r

Mq p=

2- İstenen karakteristik denklemi oluşturun,

• 2 2 2( ) ( 2 cos )( 0.25 )nF z z r z r z rq -= - + -

n®durum uzay boyutu. 2 2( )( ) 2 cosj jz e z e z r z rq q q-- - = - +

3- Modellenen karakteristik polinomu, ( 1) ( ) ( )x k Ax k BKx k+ = - yı oluşturun ve açın,

• [ ]1,..., nK K K= olmak üzere,

•modellenen karakteristik denklem, det[ ( )]zI A BK- -

4- K’lar hesaplanır, istenen karakteristik denklem katsayıları ile modellenen karakteristik

denklem katsayıları eşitlenir (aynı derecedeki polinomlar) ve denklem çözülür.

5- Sonuç doğrulaması yapılır,

•kapalı-çevrim kutuplarının birim dairede içinde olup olmadığı kontrol edilir,

•Transient cevabın istenen performansı sağlayıp sağlamadığını simüle edilir.


3

Örnek: Aşağıda servo sisteme ait şekil a) donanım ve b) açık-çevrim kontrol blok diyagram verilmiştir.

R L

E

Bm

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Ko

nu

m

Hız

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

U(t)

Uort

a) Servo sistem donanımı

1

s

1

1s +

Bozucu

D(s)

u(s)Kontrol işareti

( )sq( )sWHız Konum

b) Servo sisteme ait açık-çevrim kontrol blok diyagram

istenenler:

i) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait donanım blok diyagramı çiziniz.

ii) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait Kontrol blok diyagramı çiziniz.

iii) Servo sistemde 0.46x = ve %2 kriterine göre 4st sn= olması istenmektedir. Sistemin

referans girişi takip edilebilmesi ve bozucu etkisini gidermesi istenmektedir. Servo sisteme

ait ayrık-zaman durum denklemleri 0.1T sn= için ,

[ ]

1 0.0952 0.00484( 1) ( ) ( )

0 0.905 0.0952

( ) 1 0 ( )

x k x k u k

y k x k


ë û ë û

=

olarak verilmektedir.

statik ve dinamik durum geri-besleme katsayıları 1 2, ,p p IK K K hesaplayınız.

iv) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait durum ve çıkş

denklemlerini elde ediniz.


4

v) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait ayrık-zaman Transfer

fonksiyonunu elde ediniz.

vi) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli kontrol kurallı ayrık-zaman sayısal

kontrole ait programını sembolik dilde yazınız.

ÇÖZÜM:

i) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sisteme ait donanım blok diyagramı.

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

referans giriş

R L

Uort E

Bm

u(t)

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

Konum

Hız

Sayısal İşlemci

Durum Geribeslemesi

K1

K2

D(t)

DAC

q

1

z

z -

r(k)

İntegral

KI

y(k)=x1(k)

ADC ADC

e(k)

ii) Statik ve dinamik durum geri-beslemeli servo sistem ait Kontrol blok diyagramı :


5

1

sK

onum

Hız

Sayısal İşlemci

KI1

z

z -r(k)

K2K1

1 sTe

s

-u(k) 1

1s +

u(k)

x2(t) x

1(t)

y(k)=x1(k)

u(k)

Bozucu

D(t)

iii- Statik ve dinamik durum geri-besleme katsayıları 1 2, ,p p IK K K hesap edilmesi.

pK-

SistemIK

y(k)

x(k)

u(k)x (k)ır(k)


e(k)

Yukarıda verilen sistemde, istenen kriterleri sağlayacak olan 1 2[ ]p p IK K K katsayıları

hesaplanacaktır.

1- Kapalı-çevrim sisteme ait karakteristik denklem:

[ ]0

( ) det 01 0 I

A BF z zI K K

C

ì üæ öé ù é ùï ï= - - =í ýç ÷ê ú ê ú-ë û ë ûï ïè øî þ

[ ][ ]

0

1 2

1 0

1 0.0952 0.004840 0.905 0.095

0 0

det 0 0 0

0

0

0

1 00 1

2

0

A B

I

C

z

z K K K

z

ì üæ ö æ öï ïç ÷é ù é ù ç ÷é ù é ùï ïç ÷ï ïê ú ê ú ç ÷ê ú ê ú= - - =ë û ë ûí ýç ÷ ë ûç ÷ê úï ïç ÷ ç ÷ê ú -ë û ç ÷ï ïç ÷ç ÷ è øï ïè øî þ

0AA ö1 0 0952 0

B ööö0 00484

[ ] 11 0[ ] 11 0[ ] 11 0[ ] 11 0[ ] 11 0-[ ] 11 01

C111

1 2

2 2

1 0.0952 0 0.00484 0.00484 0.00484

det 0 0.905 0 0.0952 0.0952 0.0952 0

1 0 1 0 0 0

i

i

z K K K

z K K K

z

ì üæ - - öé ù é ùï ïç ÷ê ú ê ú= - - =í ýç ÷ê ú ê úï ïç ÷ê ú ê ú-ë û ë ûè øî þ


6

1 2

1 2

1 0.00484 0.0952 0.00484 0.00484

det 0.0952 0.905 0.0952 0.0952 0

1 0 1

i

i

z K K K

K z K K

z

ì - - - - - üé ùï ïê ú= - - - - =í ýê úï ïê ú-ë ûî þ

İstenen karakteristik denklem;

0.46, % 4 2.17 /s nt sn w rad snx = = Þ =

2 21,2 1,21 0.46*2.17 2.17 1 0.46 0.9982 1.9268n ns w jw j s jx x= - - = - - Þ = -2 22 22 22 22 22 2

1,2 0.9982 1.92682 22 22 22 22 22 22 22 22 2 j1,20.46*2.17 2.17 1 0.46 0.99820.99822 22 22 22 22 22 22 22 22 22 211 2 2j 11 2 21,21 0.46 00.461 0.46 00 46*2 17 2 176*2 17 2 10 4 2 172 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21,2jw 111

(0.9982 1.9268)0.11,2 0.8883 0.1687sT jz e z e z j-= Þ = Þ = ±2 1.9268)02 1.2 1.2 1.9268)02 1.2 1.2 1.9268)0sT j2 1.2 1.

0 9050

(

.

)

r

r abs z

=

=

( ) ( 0.8883 0.1687 )( 0.8883 0.1687 )( 0.25*0.9050) 0z z j z j za = - - - + - = Þ

• 2 10.0952 2.905 0.00484 2.0029K K- - - = -

2 10.0952 0.00484 0.9021K K- - =

3 2( ) 2.0029 1.22 0.1853 0z z z za = - + - = istenen karakteristik denklem

3 21 2 3( ) 0z z a z a z aa = + + + =

Staik ve dinamik durum geribeslemeli servo sisteme ait parametrik karakterisrik

denklem.

3 22 1( ) ( 0.0952 2.905 0.00484 )F z z K K z= + - - - +

1 2(0.0015716 2.81 0.1904 0.00484 )iK K K z+ + +

1 20.0046828 0.905 0.0952 0.0046828 0iK K K+ - - + =

3 21 2 3( ) 0F z z a z a z a= + + + =

( ) ( )F z za= yazılır ve katsayılar eşitlenir ise,


7

• 1 20.0015716 2.81 0.1904 0.00484 1.22iK K K+ + + =

1 20.0015716 0.1904 0.00484 1.59iK K K+ + = -

• 1 20.0046828 0.905 0.0952 0.0046828 0.1853iK K K- - + = -

1 20.0046828 0.0952 0.0046828 0.7199iK K K- + =

1

2

0.00484 0.0952 0 0.9021

0.0001572 0.1904 0.00484 1.59

0.00484 0.0952 0.004683 0.7197i

K

K

K

- -é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú= - Þê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û

1

1

2

0.00484 0.0952 0 0.9021

0.0001572 0.1904 0.00484 1.589

0.00484 0.0952 0.004683 0.7197i

K

K

K

-- -é ù é ù é ù

ê ú ê ú ê ú= - Þê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û

1

2

156.64 51.63 53.37 0.9021

2.54 2.62 2.71 1.589

105.01 105.01 105.01 0.7197i

K

K

K

- -é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú= - - - Þê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úë û ë û ë û

1

2

20.79

8.41

3.33i

K

K

K

-é ù é ùê ú ê ú= -ê ú ê úê ú ê úë û ë û

[ ]1

1 2 2

( )

( ) ( ) ( )

( )I

I

x k

u k Kx k K K K x k

x k

é ùê ú= - = - ê úê úë û

Kontrol işareti…………….

1

2

( )

[20.79 8.41 3.33] ( )

( )I

x k

x k

x k

é ùê ú= - - ê úê úë û

Artırılmış sistem Karakteristik denkleminin elde edilmesi.

pK-

SistemIK

y(k)

x(k)

u(k)x (k)ır(k)


e(k)

Artırılmış sistem için durum denklemleri yazılır.


8

( 1) ( )0 0( ) ( )

( 1) ( )1 0 1I I

x k x kA Bu k r k

x k x kC


Şekilden görülebileceği gibi ( )u k kontrol işareti ve ( )r k ise referans giriştir. ( ) 0r k =

alınarak daha önce verilmiş olan Bass-Gura , faz kanonik form için verilmiş olan

basitleştirilmiş yöntem ve Ackerman ının önerdiği her bir yöntem ayrı ayrı uygulanarak

durum geri besleme matrisi K hesap edilebilir. Aşağıda sırası ile verilmiştir.

[ ]

0

1 1

2 2

1 0

1 0.0952 0.004840 0.90

( 1) (

5 0.0

)

( 1) (

0

0

1 0

) ( )

( 1) ( )1 0

952

A B

I I

C

HG

x k x k

x k x k r k

x k x k

æ ö æ öç ÷é ù é ù+ ç ÷é ù é ù é ùç ÷ê ú ê ú ç ÷ê ú ê ú ê ú+ = +ë û ë ûç ÷ ë ûç ÷ê ú ê úç ÷ ç ÷ê ú ê ú+ -ë û ë û ç ÷ç ÷

è øè ø

ö0A ö1 0 0952 01 0 0952

öB

÷öö

0 00484

[ ] 1[ ][ ]I I[ ][ ] 1[ ] 1[ ] 1[ ] 1[


1

Bir önceki bölümde servo sisteme ait dinamik durum geri besleme tasarımı yapılmış olup tüm

kontrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir.

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

referans giriş

R L

Uort E

Bm

u(t)

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t)X2(t)

Bozucu

(rüzgar)K

onum

Hız

Sayısal İşlemci

Durum Geribeslemesi

8.41

20.79

D(t)

DAC

q

1

z

z -

r(k)

İntegral

3.33

y(k)=x1(k)

ADC ADC

Kontrol blok diyagramından görüldüğü ve durum uzay tasarımında ifade edildiği gibi kontrol edilebilir

bir sistemde tüm kutupların istenen yere atanabilmesi için tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi

gerekmektedir.

Tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi yerine tüm durum değişkenleri gözlenebilen bir sistemde çıkış

ölçülerek sisteme ait tüm durum değişkenleri hesap edilebilir, gözlenebilir (kestirilebilir).

Tüm durumları gözlenen sisteme tüm durum geri-besleme uygulanabilir.


2

DURUM GÖZLEYİCİ (KESTİRİCİ)

R L

Uort E

Bm

U(t)

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t) X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

Ko

nu

m

Hız

Sayısal İşlemci

D(t)

qI

ADC ADC ADCDAC

K3

K2

K1

X3(t)AkımU(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

Yukarıda verilen servo sistemde tüm durum geri-besleme için üç adet durum değişkenleri

akım,konum ve hız ölçülmelidir. Aşağıda anlatılacak olan gözleyici ve tasarımı ile sadece çıkış (konum)

ölçülecek ve gözleyici ile akım,konum ve hız ani değerleri hesap edilecektir.

Genel olarak, bir sistemin tüm durumlarının ölçülmesi pratik olmayabilir, ancak ilgilenilen

sistemden elde edilen bilgilerden sistemin durumları kestirilebilinir. Genel olarak, bir sistemin

durumlarını kestiren sisteme gözleyici (observer) veya durum kestirici (state estimator) denir.

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +

=

Verilen sistemin herhangi bilinmeyen ilk x(0) durumları için, N adet sonlu y(0), y(1), y(N-1)

ölçümünden tüm (0)x durum değişkenleri hesaplanabiliyor ise, sistem tümüyle gözlenebilir

denir. Sistemin tüm durumlarının gözlenebilmesi için Gözlenebilirlik matrisi,

1

...N

C

CAO

CA -


,

( )rank O n= olmalıdır, nxnA :sistem matrisi.


3

Luenberger Gözleyici

Durum vektörleri gözlenecek olan sistem modeli,

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bu k

y k Cx k

+ = +

= nx RÎ ,

py RÎ ve

mu RÎ olarak verilsin.

Durum vektörü ( )x k ’nın, yaklaşık değeri ( )x kÙ

ile verilsin. Gözleyici modeline ait durum

denklemi,

( ) nx k RÙ

Î ve ,A B ve LÙ Ù

bilinmeyen matrisleridir.

Gözleyici, ( )u k giriş vektörü ve ( )y k çıkış vektörü, girişlerin den oluşan iki girişli bir

dinamik sistemdir. ( )x kÙ

ve ( )x k aynı boyutlu ise gözleyici tam dereceli/ tüm dereceli (full-

order) gözleyici olarak adlandırılır. ( )x kÙ

’nın derecesi ( )x k ’dan küçük ise düşük-dereceli

gözleyici olarak adlandırılır.

X(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

X(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Ly(k)

Sistem Gözleyici

C

x(k) y(k)u(k)

x(k)

Kestirilen

Durumlar

ÇıkışDurumlargiriş

Sistem ve gözleyicinin basitleştirilmiş gösterimi

Hata vektörü, ( ) ( ) ( )e k x k x kÙ

= - olarak tanımlansın.

Gözleyici tasarlama probleminin tanımı, mümkün olan en yüksek hızda ( )e k ’yı sıfır

yapacak olan ,A B ve LÙ Ù

matrislerinin belirlenmesidir.

Problemin çözümü için,

( 1) ( 1) ( 1)e k x k x kÙ

+ = + - + yazılır ve durum denklemleri yerlerine yazılır =>

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y k

Ax k Bu k A x k Bu k LCx kÙ Ù Ù

= + - - - düzenlenir =>

( 1) ( ) ( ) ( )x k Ax k Bu k Ly kÙ Ù Ù Ù

+ = + + ile verilir.


4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e k x k x xk k x k e k

ÙÙ

= - Þ = - olduğu göz önüne alınır ise,

(( ) ( ) [ ] ( )) )( ) (Ax k Bu k A Bu k Lx k e Ck x kÙ Ù

-= + - - -

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e k Ax k Bu k Ax k Ae k Bu k LCx kÙ Ù Ù

+ = + - + - - düzenlenir ise,

hata dinamiği,

( 1) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )e k Ae k A A LC x k B B u kÙ Ù Ù

+ = + - - + - olarak elde edilir.

( )e k ’nın ( )x k ve ( )u k ’dan bağımsız olarak sıfıra gidebilmesi için aşağıda verilen 3 şart

sağlanmalıdır;

1- A A LCÙ

= -

2- B BÙ

=

3- AÙ

matrisi kararlı olmalıdır. 1 ve 2 ifadeleri yerlerine koyulur ise,

)( 1) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x k x k u k Ly k Ax k Bu k Ly k LC xA L kC BÙ Ù Ù Ù

-+ = + + = + + -

Düzeltici terim, genellikle rezidül olarak adlandırılır (artık kalan, artan)

Bu sonuçlardan ( )e k aşağıda verilen fark denklemi ile yazılır.

( 1) ( )e k Ae kÙ

+ =

( 1) ( ) ( )e k A LC e k+ = - Hata dinamiği………………………..

( 1) ( ) ( ) [ ( ) ( )]Kestirici Düzeltici terim

x k A x k Bu k L y k C x kÙ Ù Ù

+ = + + - )]Kestirici Düzeltici terim

y( ) ( ) [ ( ) ( )( [ )( )( ) ( ) [ ( )( ) ( ) [ ( )( ) ( ) [ ( )(( ))

Gözleyici durum denklemine ait

sayısal gerçekleştirme diyagramı aşağıda verilmiştir. Gözleyici durum denklemi

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )x k A LC x k Bu k Ly kÙ Ù

+ = - + +

olarak düzenlenir.

( 1) ( ) ( ) [ ( ) ( )]Kestirici Düzeltici terim

x k A x k Bu k L y k C x kÙ Ù Ù

+ = + + - )]Kestirici Düzeltici terim

y( ) ( ) [ ( ) (( ) ( ) [ ( ) (( ) ( ) [ ( )( ) ( ) [ ( )( ) ( ) [ ( ) Gözleyici durum denklemi


5

1z I-

A

B( )u k

( 1)x k +( )x k

A

L

C

C

Be(k)

y(k)

Durum Gözleyici (kestirici)

Sistem

x(k)

giriş çıkış

Kestirilen durumlar

x(k)x(k)

Sürekli rejimde

1z I-

x(k)C

y(k)

Gözleyici durum denklemine ait sayısal gerçekleştirme diyagramı.

Gözleyici tasarım problemi; A A LCÙ

= - matrisinde L matrisini elde edilmesi bir kutup

yerleştirme problemine dönüşür.

Gözleyici tasarımında, L matrisinin var olabilmesi ve A A LCÙ

= - nin istenen öz değerlere

sahip olabilmesi için gerek ve yeter şart ( , )A C ’nin gözlenebilir olmasıdır.

[ ] ,rank O n= gözlenebilirlik matris rankı tam olmalıdır.

1

...GözlenebilirlikMatrisi n

C

CAO

CA -


Gözleyici’de durum geribesleme matris L’nin tasarımı:

i- 1 2, ,..., nl l l Gözlenecek sistem matrisi A ’nın özdeğerleri , ( )P z gözlenecek sistem

karakteristik denklemi olsun.

11

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n

i

P z zI A z z a z al -

=

= - = - = + + + =Õ olarak yazılabilir.

ii- 1 2, ,..., nl l lÙ Ù Ù

gözleyici sistem matrisi A A LCÙ

= - ’nin istenen özdeğer leri ve ( )P zÙ

ise

GÖZLEYİCİ karakteristik denklemi olsun.


6

11

1

( ) ( ) ... 0n

n ni n

i

P z zI A z z a z alÙ Ù Ù Ù Ù

-

=

= - = - = + + + =Õ olarak yazılabilir.

L’nin bulunması, daha önceden verilen yöntemlerden herhangi biri kullanarak yapılabilir.

L matris hesabı için aşağıda verilen yöntemlerden faydalanılabilinir.

I-YOL

i- Gözlenecek sistem karakteristik denklemi, 11( ) ... 0n n

nP z z a z a-= + + + = olmak üzere,

1 1

2

1 ...

0 1 ...

. . ... .

0 0 ... 1

n

n

a a

aw

-

-


ve

1

2

...

n

a

aa

a

é ùê úê ú=ê úê úê úë û

Karakteristik denklem katsayılarından elde edilir….

1

...N

C

CAO

CA -


gözlenebilirlik matris,

ii- Gözleyici karakteristik denklem 1

1( ) ... 0n nnP z z a z a

Ù Ù Ù-= + + + = katsayılarından

1

2

...

n

a

aa

a

Ù

ÙÙ

Ù


elde edilir.

iii- Gözleyici katsayı matrisi 1( )T TL w O a aÙ-

é ù= -ë û ifadesi ile hesaplanır.

Problem: gözleyicinin istenen öz değerlere sahip olabilmesi için L ne olmalıdır?

( )P zÙ

gözleyici karakteristik denklem seçiminde, gözleyici cevap hızı durum

değişkenleri kestirilecek sistem cevap hızından 3~10 kat daha hızlı olacak

şekilde seçilmesi tavsiye edilir.


7

II-YOL

Olması istenen gözleyici karakteristik denklem 1

1( ) ... 0n nnP z z a z a

Ù Ù Ù-= + + + = olmak üzere,

L matrisi için Ackerman eşitliği, z A= için yazılır,

Gözleyici katsayı matrisi

1

1

0

0( )

... ...

1n

C

CAL P A

CA

-

Ù

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú=ê ú ê úê ú ê úë û ë û

ifadesi ile hesaplanır.

III-YOL

Durum değişkenleri kestirilecek (gözlenecek) olan sistem durum denklemleri gözlenebilir

kanonik formunda ise,

Gözleyici katsayı matrisi 1 1

1 1

( )..........

n n

n n

a a

a aL a a

a a

Ù

ÙÙ

- -

Ù

æ ö-ç ÷ç ÷

-ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

ifadesi ile hesaplanır.

VI-YOL

Tüm durum değişkenleri gözlenecek sistemde ayrık-zaman A A LCÙ

= - matrisine ait

karakteristik denklem ile olması istenen gözleyici karakteristik denklemi karşılaştırılır ve

katsayılar eşitlenerek durum geri besleme vektörü L elde edilir.,

( 1) ( ( ) () ) ( )A LCx k x k u k LyB kÙ Ù

+ +-+ = Luenberger gözleyici durum denklemi

11 1( ) ... 0n n

n np z z a z a z aÙ Ù Ù Ù

--= + + + + = Olması istenen gözleyici karakteristik denklemi.

11 1det( ( )) ( ) ... 0n n

n nzI p z z a z a z aA LCÙ Ù Ù Ù

--- = = + + + + =- eşitlenir ve L katsayıları elde edilir.


8

Örnek:

R L

Uort E

Bm

u(t)

İf=sbt

Anten


Jm Ölçme

X1(t) X2(t)

Bozucu

(rüzgar)

D(t)

qI

X3(t)

Akım Hız Konum

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

5 , 200 , 0.1 / /bR L mH K V rad sn= W = =

21

2

10.1 / , , 0.02

50i

nK Nm A n J kgm

n= = = =

R L

Uort E

Bm

İf=sbt


Jm

ÖlçmeAnten

Bozucu

(rüzgar)

D(t)

q

y(t)

Çıkış

Sayısal İşlemcix(t)

x1(t) : akımx2(t) : konum

x3(t) : Hız

İşaret

u(t)

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

Kontrol

Yukarıda verilen servo sisteme ait

parametreler yanda verilmiştir.

Aşağıda verilen düzenekte görüldüğü

gibi Çıkış işaretini ölçerek 1( )x t ,

2 ( )x t ve 3( )x t durum değişkenlerini

kestiriniz…


9

Çözüm: Önce sisteme ait dinamik denklemler yazılır.

t-domeninde s-domeninde

S-domeni denklemler kullanılarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait kontrol blok diyagram aşağıda

verilmiştir.

1

sL R+ iK1

Js

1

s( )aE t

( )yT t

( )i t( )e t

( )mw t

n( )m tq ( )y tq

bK

1( )x t 2 ( )x t3( )x t

akım konumhız

Rotor Kontrollu DC makine

Yukarıda yazılan dinamik denklemler kullanılarak Rotor Kontrollü DC-makineye ait sürekli zaman

durum denklemler aşağıda elde edilmiştir.

( )( ) ( ) ( )ort

di tu t Ri t L e t

dt= + +

( ) ( )e iT t K i t=

( ) ( )be t K w t=

( )( ) ( )m

m y

dw tT t J nT t

dt= +

( ) ( )m eT t T t=

( )

( )mm t

d tw

dt

q=

1

2

( ) ( ) ( )y m m

nt t n t

nq q q= =

( ) ( )( ) ortU s E s

I sLs R

-=

+

( ) ( )e iT s K I s=

( ) ( )( ) e y

m

T s nT ss

Js

-W =

( ) ( )bE s K s= W

( ) ( )m eT s T s=

( )( ) m

m

ss

sq

W=

( ) ( )y ms n sq q=


10

Dinamik denklemler düzenlenir

( )( ) ( ) ( )ort b

di tu t Ri t L K w t

dt= + + ®

( ) 1( ) ( ) ( )b

ort

Kdi t Ri t w t u t

dt L L L= - - +

( )( ) ( )i y

dw tK i t J T t

dt= + ®

( )( ) ( )i

y

Kdw t ni t T t

dt J J= - ve durum değişkenleri tanımlanır

1( ) ( )x t i t= akım

2( ) ( )x t tq= konum

3

( )( ) ( )

d tx t w t

dt

q= = Açısal hız

ve durum denklemleri vektör matris formunda yazılır.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

1

22

33

( )1

0( )

( )0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 0( ) 0 0

b

ort

i

dx tKR

dt x tL L Ldx t

x t U tdt

K x tdx t

Jdt

é ùé ù é ùê ú - -ê ú ê úé ùê úê ú ê úê úê ú = +ê ú ê úê úê úê ú ê úê úê ú ë ûê ú ê úê ú ë ûë ûê úë û

Durum denklemleri

Ve Çıkış denklemi, ( ) ( ) ( )y my t t n tq q= =

[ ]1

2

3

( )

( ) 0 0 ( )

( )

x t

y t n x t

x t


elde edilir. Parametre değerleri yerlerine yazılır ise durum

denklemleri ve katsayı matrisleri elde edilir….

1

1

22

33

( )

25 0 0.5 ( ) 5( )

0 0 1 ( ) 0 ( )

50 0 0 ( ) 0( )

ort

BA

dx t

dt x tdx t

x t U tdt

x tdx t

dt

é ùê ú

- -é ù é ù é ùê úê ú ê ú ê úê ú = +ê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê ú ë û ë û ë û

ê úê úë û

A

ë û ë 350 0 0 (0 0 3êê 50 0 0 (0 00 00 0 3((3

[ ]1

2

3

( )

( ) 0 0.02 0 ( )

( )C

x t

y t x t

x t


[ ]C

[ ]0 0.02 0[ ] ((ê 22 ((2 ((

ê (êêêê (x ((

Ayrık-zaman durum denklemleri aşağıda verilen MATLAB komut yardımı ile elde edilmiştir.

MATLAB Komutu: [G H]=c2d(A,B,T) , T=0.004 sn 10

LT

R= alınmıştır.


11

Rotor Kontrollu DC makinaya ait,

1 1

2 2

3 3

( 1) 0.9047 0 0.0019 ( ) 0.019

( 1) 0.0004 1 0.004 ( ) 0 ( )

( 1) 0.1903 0 0.9998 ( ) 0.0019

G H

x k x k

x k x k u k

x k x k

+ -é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú+ = +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú+ë û ë û ë û ë û

G H

ë û ë û ë û3 33 3( ) 0.00 9( ) 0.03 33 3úú( ) 0.0019( ) 0.0( ) 0.0( ) 0.03 33 33 33 33 30.1903 0 0.9998 ( )0.9998 ( )0.1903 0 0.99980.1903 0 0.99980.1903 0 0.99983 33 33 33 33 33 3

durum ve

[ ]1

2

3

( )

( ) 0 0.02 0 ( )

( )

x k

y k x k

x k


çıkış denklemleri elde edilir.

Gözlenebilirlik testi: Sistem matrisi 3x3 tür, n=3 alınır.

[ ]

[ ]

[ ]

2

1

2

0 0.02 0

0.9047 0 0.0019

0 0.02 0 0.0004 1 0.004...

0.1903 0 0.9998

0.9047 0 0.0019

0 0.02 0 0.0004 1 0.004

0.1903 0 0.9998

GözlenebilirlikMatrisi n

CC

CAO CA

CACA -

æççççæ ö ç -æ ö é ùç ÷ çç ÷ ê úç ÷= = = çç ÷ ê úç ÷ ç ÷ ç ê úç ÷ è ø ë ûç ÷ çè øç -é ùç ê úç ê úçç ê úë ûè

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

0 0.02 0

0.000008 0.02 0.00008

0.00003046 0.02 0.000156

O

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

( ) 3rank O = tüm durumlar gözlenebilir…..

Çıkış işareti ölçülerek akım, konum ve hızı kestirilecek olan Rotor Kontrollü DC-makineye ait

karakteristik denklem,

0 0 0.9047 0 0.0019 0.9047 0 0.0019

( ) det( ) 0 det 0 0 0.0004 1 0.004 0.0004 1 0.004 0

0 0 0.1903 0 0.9998 0.1903 0 0.9998

z z

F z zI G z z

z z

ì - ü -é ù é ùï ïê ú ê ú= - = = - = - - - =í ýê ú ê úï ïê ú ê ú - -ë û ë ûî þ

Karakteristik denklem kökleri, öz değerler, 1 1z = 2 0.9958z = 2 0.9086z =

3 2( ) 2.9045 2.8094 0.9049 0F z z z z= - + - = Rotor Kontrollü DC-makine’ ye ait karakteristik

denklem,


12

Gözleyici karakteristik denklemi: Gözlenecek sistem zaman sabiteleri,

Sistem karakteristik denklemleri: Seçilen gözleyici karakteristik kökleri

1 1z = 1 0.25gz =

2 0.9958z = 2 0.249gz =

3 0.9086z = 3 0.2271gz =

0.25ng nz z= yapılmıştır.

1 2 3( ) ( )( )( ) ( 1)( 0.249)( 0.2271) 0g g gP z z z z z z z z z zÙ

= - - - = - - - =

Ackerman Formülü ile hesap:

0 0.02 0

0.000008 0.02 0.00008

0.00003046 0.02 0.000156

O

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

elde edilmişti… tersi alınır ise

1

69106.7 1.38240.4 69133.7

50 0 0

199410.6 263240.4 6913.3

O-

-æ öç ÷= ç ÷ç ÷-è ø

olarak elde edilir…

3 2( ) 1.4761 0.5326 0.0565 0P z z z zÙ

= - + - = karakteristik denkleminde z G= yazılır ve ( )P GÙ

elde edilir.

3 20.9047 0 0.0019 0.9047 0 0.0019

0.0004 1 0.004 1.4761 0.0004 1 0.004

0.1903 0 0.9998 0.1903 0 0.9998

0.9047 0 0.0019 1 0 0

0.5326 0.0004 1 0.004 0.0565 0 1 0 0

0.1903 0 0.9998 0 0 1

( )P GÙ

- -é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê úë û ë û

-é ù é ùê ú ê ú+ - =ê ú ê úê ú ê úë û ë û

=

0.0428 0 0.0008

( ) 0.0013 0 0.0023

0.0844 0 0.0006

P GÙ

- -é ùê ú= ê úê ú-ë û

3 2( ) 1.4761 0.5326 0.0565 0P z z z zÙ

= - + - = Gözleyici Karakteristik denklem….


13

1

1

00.0428 0 0.0008 69106.7 1.38240.4 69133.7 0

0( ) 0.0013 0 0.0023 50 0 0 0

... ...0.0844 0 0.0006 199410.6 263240.4 6913.3 1

1n

C

CGL P G

CG

-

Ù

-

é ù é ù- - -é ù æ öæ öê ú ê ú

ç ÷ç ÷ê úê ú ê ú= = ç ÷ç ÷ê úê ú ê ú ç ÷ç ÷ê ú- -ê ú ê ú ë û è øè øë û ë û

2950.8

71.4

5830.2

L

-é ùê ú= ê úê úë û

Gözleyici kazanç matrisi elde edilir…

MATLAB komutu ile tasarım:

z1=1; z2=0.9958; % Gözlenen sistem karakteristik denklem kökleri.

z3=0.9086; ---- Gozleyici tasarim ...................... po=0.25*[z1 z2 z3]; %Gözleyici istenen karakteristik denklem kutupları [L]=place(G',C',po)' %Gözleyici kazanç matrisi L hesabı


14

R L

Uort E

Bm

İf=sbt


Jm

ÖlçmeAnten

Bozucu

(rüzgar)

D(t)

q

y(t)

Çıkış

Sayısal İşlemci

x(t)

x1(t) : akımx2(t) : konum

x3(t) : Hız 0.9047 0 -.0019

0.0004 1 0.004

0.1903 0 0.9998

1z I-

[ ]0 0.02 0

-2950.8

71.4

5830.2

0.019

0

0.0019

G

HL

C

ADCADC

e

y(k)

y(k)

Gözleyici

u(t)

U(t)

C

Vsin

(wt)

K


IGBTsürücü

Kontrol

işareti

Gözleyici ile rotor kontrollü DC makine durum değişkenlerinin kestirilmesi…..

Durum gözleyiciye ait ayrık-zaman durum denklemi aşağıda verilmiştir.

( 1) ( ) ( ) [ ( ) ( )]x k A x k Bu k L y k C x kÙ Ù Ù

+ = + + -

[ ]1 1 1

2 2 2

3 3 3

( 1) ( ) ( )0.9047 0 0.0019 0.019

( 1) 0.0004 1 0.

2950.8

71.4

583

004 ( ) 0 ( ) [ ( ) 0 0.02 0 ( )

0.1903 00 0.9998 0.019( 1) )

.2(

x k x k x k

x k x k u k y k x k

x k x k x

Ù Ù Ù

Ù Ù Ù

Ù Ù

é ù é ù+ê ú ê ú-é ù é ùê ú ê úê ú ê ú+ = + + -ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û+ê ú

-é ùê úê úê úë ûê ú

ë û ë û

]

( )kÙ

é ùê úê úê úê úê úë û

Aşağıda verilen kontrol işaret ve bozucu girişleri için benzetim çalışması yapılmıştır.


15

Benzetim çalışması sonucunda , gözleyici ile kestirilen durum değişkenleri ile gerçek zaman durum

değişkenlerinin zamana göre değişimleri aşağıda sırası ile verilmiştir.

Gerçek zaman ve kestirilen hız


16

Gerçek zaman ve kestirilen konum

Gerçek zaman ve kestirilen akım


1

SONLU ZAMAN KONTROL (DEADBEAT CONTROL)

Sonlu zaman kontrol yalnızca ayrık-zaman sistemlere uygulanabilir. Sürekli-zaman sistemleri

için böyle bir sonlu zaman cevap (deadbeat response) yoktur. Sonlu zaman kontrolde, skaler

kontrol genliği u(k) sınırlandırılmamış ise, herhangi bir sıfır olmayan hata vektörü en fazla

n-örnekleme periyodunda sıfır yapılır. Eğer örnekleme periyodu T çok küçük seçilir ise,

yerleşme zamanı çok küçük olur, buda kontrol işaret genliğinin çok aşırı derecede büyük

olmasını gerektirir. Aksi takdirde, hata cevabını çok kısa sürede sıfıra getirme imkanı olmaz.

Sonlu zaman kontrol de örnekleme periyodu, tek tasarım, parametresidir. Bundan dolayı,

sonlu-zaman cevap isteniyor ise, sistemin normal çalışma koşullarında çok aşırı büyük kontrol

işaret genliği gerektirmemesi için tasarım ve örnekleme periyodu çok dikkatli seçilmelidir.

Fiziksel olarak kontrol işaret genliğini sınırsız büyütme imkanı yoktur. Genlik, yeteri kadar

arttırıldığında doyum olayı her zaman gerçekleşir. Kontrol işaret genliğinde doyum olayı

gerçekleştiği zaman, cevap artık sonlu-zaman cevap olmaz. Gerçek sonlu-zaman sistem

tasarımında , tasarımcı kontrol işaret genliği ve cevap hızı arasında bir tercih yapmak

zorundadır.

Sonlu-zaman cevabı:

( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + ile tanımlanan sistemi göz önüne alalım.

Durum geri-besleme ( ) ( )u k Kx k= - olmak üzere;

( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

x k Ax k BKx k

x k A BK x k

+ = + Þ

+ = - bu denklemin çözümü

( ) ( ) (0)kx k A BK x= - dır.

Eğer (A-BK) matrisinin özdeğerleri , 1,2,...,i i nl = birim daire içinde iseler, sistem

asimtotik olarak kararlıdır ve (A-BK) nın bütün özdeğerlerini sıfır seçerek, 0il = sonlu

zaman cevap elde etmek mümkündür. Sonlu-zaman cevapta yerleşme zamanı nT den küçük

veya eşittir. Sonlu zaman kontrolde olması istenen karakteristik denklem, ( ) nF z z= dir.

ÖRNEK:

2

2

( )( )

d y tu t

dt= , diferansiyel denklemi ile verilen sistemin

i) Ayrık-zaman durum denklemlerini matris formunda yazınız.

ii) Sonlu-zaman(deadbeat) kontrol için durum geri-besleme vektörü ‘’f’’ matrisini

bulunuz.


2

CEVAP:

Sürekli zaman durum denklemlerinin elde edilmesi;

1

12

( ) ( )

( ) ( )( )

y t x t

dy t dx tx t

dt dt

=

= =

2

2

( )

( )( )( ) ( )

x t

dx td dy tu t u t

dt dt dt

æ öç ÷

= Þ =ç ÷ç ÷è ø

1

1

22

( )( )0 1 0

( )( )( ) 0 0 1

A Bdx tx tdt u tx tdx t

dt

é ùê ú é ùé ù é ù

= +ê ú ê úê ú ê úë û ë ûë ûê ú

ê úë û

B

é ù00

A

éé ù0 10 1 é ( )( )

1

2

( )( ) 1 0

( )C

x ty t

x t

é ù é ù= ê ú ê úê ú ë ûë û

i) Ayrık-zaman durum denklemi;

Ayrık zaman durum denklemi çözümü

[ ]0

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )kT

x k T T x kT Bu df f l l l+ = + ò

Vektör-matris formunda

[ ]( 1) ( ) ( )x k T x kT Bu kTf+ = +

1 1 1( ) ( )

0 1t T

TT sI Af f - -

=

é ùé ù= = - = ê úë û

ë û

1 11 11 11 1é1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

ë((((((((((((((((1 11 11 11 11 11 1((((

0

1

0 1

T

b d Bl

lé ùé ù

= ê úê úë ûë ûò veya

0

1 0

0 1 1

T

b dl

lì üé ù é ù

= í ýê ú ê úë û ë ûî þ

ò

2

02

10

Tl

l

l

é ùé ùê ú= ê úê ú ë ûê úë û

ise

2 2

0

0

2 21

T

T Tb d

T

lll

l

é ù é ùé ù ê ú ê ú= = =ê ú ê ú ê úë û ê ú ê úë û ë ûò


3

22

02 2

10

T TT

b

T T

é ùé ùé ù ê úê ú= Þ =ê ú ê úê ú ë ûê ú ê úë û ë û

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Diğer yol ile çözüm….

1( )

0 1

TTf

é ù= ê úë û

olarak hesaplanmıştı….

0 0

1 1 0( ) ( )

0 1 0 1 1

T TA T

T T e d B dt tg f t t-é ù é ù-é ù é ù é ù

= =ê ú ê úê ú ê ú ê úë û ë û ë ûë û ë û

ò ò

2

0

1 02

0 1 10

T

Tt

t

t

é ùé ùé ù é ù-ê úê ú= ê ú ê úê úê úë û ë ûê úê úë ûë û

2

1 02

0 1 10

TT T

T

é ùé ù é ù-ê ú= ê ú ê úê úë û ë ûê úë û

2

12

0 1

TT

T

é ùé ù -ê ú= ê ú ê úë û ê úë û

2 22

2 2

T TT

T T

é ù é ù-ê ú ê ú= =

ê ú ê úê ú ê úë û ë û

----------------------------------------------------------------------------------------------------

[ ][ ]

2

1 1

2 2

( 1) ( )1( )2

( 1) ( )0 1

Tx k T x kTTu kT

x k T x kTT

é ùé ù+ é ùé ù ê ú= +ê ú ê úê ú ê ú+ ë û ë ûë û ê úë û

Ayrık zaman karakteristik denklemini yazarsak;

1

2 22

1( ) 2 1

0 1

z Tp z zI z z z a z a

zf

-= - = = - + = + +

- açık çevrim karakteristik

denklem ve denklemden, 12a = - 2 1a = olduğu görülür.


4

1

2 22( )p z z z a z a

Ù

= = + + istenen karakteristik denklem. Katsayılar 1 2 0a a= = dır.

11 1 2

0 1 0 1

aw

-é ù é ù= =ê ú ê úë û ë û

ve [ ]2 23

2 2

T Ts b b

T T

fé ùê ú= =ê úê úë û

2

2

2

2

T T

TT

w sT

T

é ùê úê ú=ê ú

-ê úë û

0 2 2( )

0 1 1a aÙ -é ù é ù é ù- = - =ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û

2 2

1 1

( )1 1

2 2

T T T Tf w s a a

T T

Ù

é ùê ú

= - = Þê ú-ê ú

ê úë û

durum geri-besleme matrisi, 2

1

3

2

Tf

T

é ùê ú

= ê úê úê úë û

olarak elde edilir.

Kapalı çevrim sistem matrisi;

2

2

11 1 3 2 4

20 1 1 12

2

T

TT

Tbf

T TT

T

f

é ùé ù ê úé ù é ùê ú- = - = ê úê ú ê úê ú - -ë ûë û ê úê úë û ê úë û

Kapalı çevrim karakteristik denklemi;

2

1

2 4( )1 1

2

T

Tz

p z zI bf z

zT

fÙ

é ù- -ê ú= - + = =ê ú

ê ú+ê úë û

Kontrol işareti u(kT) yi inceleyelim;

1 1

22 2

( ) ( ) 11 3( ) ( ) ;

( ) ( ) 12T x kT x kT

u kT f x kT Tx kT x kTT

é ù é ù é ùé ù= - = - =ê ú ê ú ê úê úë û ë ûë û ë û

K=0;

1

2 22

(0) 11 3 1 3 1 3(0) (0)

(0) 12 2 2

x Tu T T u

xT T T

é ù é ùé ù é ù= - = - => = - +ê ú ê úê ú ê úë û ë û ë ûë û

K=1; NOT


5

2

1 22

(1) ( )

(0)

111 3 2 4

1 1 12

2

1 1(1) (0) (0)

2

T

T T

u f x T

f bf x

T

TT

T

u x xT T

f

= -

é ù= - -ë û

é ùê ú é ùé ù= - ê ú ê úê ú - -ë û ë ûê úê úë û

= +

[ ]

2

( 1) ( )

0

( ) (0)

1;

(2 ) ( )

(2 ) (0)

(2 ) (0

...

( ) (0)

T

T

T

T T

T

nT

x k T bf x kT

k

x T bf x

k

x T bf x T

x T bf bf x

x T bf x

x nT bf x

f

f

f

f f

f

f

é ù+ = -ë û=

é ù= -ë û=

é ù= -ë û

é ù é ù= - -ë û ë û

é ù= -ë û

é ù= -ë û

K=2;

2

(2 ) (2 )

(0)

(2 ) 0

T

T T

u T f x T

f bf x

u T

f

= -

é ù= - -ë û=

1

s1 sTe

s

- 1( )x t2 ( )x t( )tq

K2

Ko

nu

m

HızSayısal İşlemci

1

s

K1

u(t)

u(k)

u(t)


6


7


8

dijital kontrol sistemleri

Documents