Introduccion a la Dinamica de la Partıcula.

Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica

Facultad de Ingenierıa Mecanica, Electrica y ElectronicaUniversidad de Guanajuato.

Salamanca, Gto. 36730, Mexico

August 6, 2009

Abstract

Estas notas tienen por objetivo enfatizar los conceptos fundamentales que se aplican enel estudio de la Dinamica de la Partıcula. De modo que el lector centre su atencion en esosfundamentos y no se pierda en los detalles, no tan importantes, que se necesitan para “resolver”problemas.

1 Fundamentos de la dinamica de la partıcula.

La Dinamica se define como aquella parte de la fısica que estudia la relacion entre el movi-miento de las partıculas y cuerpos y el tiempo, ademas, la dinamica estudia la relacioncon las fuerzas aplicadas a las partıculas y cuerpos. La dinamica emplea dos modelos paraestudiar los objetos fısicos, la partıcula y el cuerpo rıgido. El diccionario de la real academiaespanola propone la siguiente definicion de una partıcula

Definicion: Partıcula. Parte pequena de materia. Debemos anadir, inicialmente, que parapropositos de la cinematica, la partıcula es tan pequena que es imposible observar un movimientode rotacion. La rotacion es un fenomeno que depende de la orientacion de las lıneas del objeto, demodo que si es imposible dibujar lıneas en el objeto es imposible determinar si el objeto ha sufridouna rotacion.

Por otro lado, un cuerpo rıgido se define comoDefinicion: Cuerpo Rıgido. Un cuerpo rıgido es una agrupacion, usualmente continua, de

partıculas con una propiedad fundamental: La distancia entre dos partıculas cualesquie-ra del cuerpo rıgido permanece invariable; es decir, constante. Otra manera de definirun cuerpo rıgido es indicar que es un cuerpo que no admite deformacion alguna; es decir, esindeformable.

Sin embargo, desde el punto de vista de la cinematica, una partıcula es un objeto, cuyasdimensiones no son importantes, pero en el cual no existe rotacion alguna o biendonde la rotacion no es importante para el analisis del fenomeno a estudiar. Porel contrario, un cuerpo rıgido es un objeto indeformable para el cual el movimientode rotacion es importante para el analisis del fenomeno a estudiar. Evidentemente,la palabra importancia es la clave de esta distincion, pero al mismo tiempo importancia es untermino subjetivo que depende del conocimiento y experiencia de la persona que realiza el analisis.A continuacion, se presentan dos ejemplos para clarificar este punto

1

1. Considere un avion, si el objetivo del analisis es determinar el tiempo que el avion requierepara llegar de una ciudad a otra, tomando en cuenta las trayectorias, no siempre rectas,que el avion debe tomar al despegar, al orientarse para aterrizar o al evitar una tormentaelectrica, el objeto, en este caso un avion, de dimensiones considerables, puede considerarsecomo una partıcula. Si por el contrario, el objetivo del analisis es determinar la rotacionque sufre el avion cuando aterriza bajo la influencia de una tormenta y la posibilidad de quelas alas del avion, impacten la pista y provoquen un accidente, es entonces evidente que elmismo objeto, el avion, debe considerarse como un cuerpo rıgido.1

2. Considere ahora un auto deportivo, si el objetivo del analisis es determinar a que velocidadel auto se “despistara”, es decir, se saldra de la pista, sin voltearse, al tomar una curva, elobjeto, en este caso el auto, puede considerarse como una partıcula. Si por otro lado, elobjetivo del analisis es estudiar la posibilidad de que el auto se vuelque al tomar otra curva,el mismo objeto, el auto, debe considerarse como un cuerpo rıgido.2

A grandes rasgos, los temas que se estudiaran en la dinamica de las partıculas son:

1. Cinematica de las partıculas. La cinematica estudia las relaciones entre la posicion de lapartıcula y el tiempo, incluyendo sus derivadas; es decir, la velocidad y la aceleracion de lapartiıcula. Esta parte de la dinamica es puramente matematica y no requiere de la aplicacionde ley fısica alguna. La cinematica de la partıcula se divide en los siguientes temas

(a) Traslacion rectilınea.

(b) Traslacion curvilınea.

• En el plano.– Coordenadas cartesianas.– Componentes normal tangencial.– Coordenadas radial transversal.

• En el espacio.– Coordenadas cartesianas.– Coordenadas cilındricas.– Coordenadas esfericas.

2. Cinetica de las partıculas. La cinetica estudia la relacion entre las fuerzas aplicadas auna partıcula y el movimiento resultante. Esta parte de la dinamica requiere la aplicacionde leyes fısicas, en particular la segunda ley de Newton y se divide en los siguientes temas

(a) Aplicacion de la segunda Ley de Newton para determinar el movimiento de una partıculacuando esta sujeta a una fuerza o a un conjunto de fuerzas.

(b) Aplicacion del metodo del trabajo y la energıa al movimiento de una partıcula.

(c) Aplicacion del metodo del impulso y el ımpetu al movimiento de una partıcula.

Ahora dirigiremos nuestra atencion a la cinematica de la partıcula, si como se establecio, elobjetivo de la cinematica de la partıcula es estudiar las relaciones entre la posicion de la partıculay el tiempo, incluyendo sus derivadas; es decir, la velocidad y la aceleracion de la partıcula.

1Aun mas, en algunos casos, como cuando se analiza la vibracion de las alas del avion debido a las turbulenciasgeneradas por el estado del clima a una altura muy elevada, el mismo objeto, el avion, debera modelarse como uncuerpo deformable.

2Nuevamente, si el objetivo del analisis es determinar los efectos del impacto del auto, aun cuando sea a bajavelocidad, el auto debera modelarse como un cuerpo deformable.

2

Entonces, es necesario un sistema de referencia con respecto al cual describir y estudiar esasrelaciones. Mas aun, la descripcion de esas relaciones depende del sistema de referencia empleado.A continuacion se define el concepto de un sistema de referencia de manera explıcita.

Definicion: Sistema de Referencia. Un sistema de referencia es una persona con una reglay un reloj. La regla y el reloj de la persona le permiten —aquı el lector debe usar la imaginacion—observar y cuantificar el movimiento de una o varias partıculas, de manera que si una partıculaarbitraria se denomina P , la persona es capaz de determinar la funcion vectorial �rP , como funciondel tiempo; es decir,

�rP = �rP (t), (1)

donde el vector �rP , conocido como vector de posicion de la partıcula P , va desde un origen prede-terminado por la persona, por ejemplo, el centro de su mano, a la partıcula P .

Es importante senalar que en el concepto de sistema de referencia no existe indicacion algunaacerca del tipo de sistema coordenado empleado por la persona, que define el sistema de referencia,para descomponer el vector.3 En otras palabras, la persona esta en libertad de emplear coordenadascartesianas, cilındricas o esfericas. Vea la figura 1.

Figure 1: Sistema de Referencia con Tres Posibles Sistemas Coordenados.

Dependiendo del estado de movimiento de la persona que define el sistema de referencia, esposible clasificar los sistemas de referencia en

1. Sistemas de referencia fijos

2. Sistemas de referencia moviles

(a) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslacion.

(b) Sistemas de referencia sujetos a movimiento de rotacion.

3Desafortunadamente, como los sistemas coordenados cartesianos son los mas frecuentemente usados, los estu-diantes de la cinematica asumen, de inmediato y de manera erronea, que un sistema de referencia implica necesa-riamente el empleo de coordenadas cartesianas.

3

(c) Sistemas de referencia sujetos a movimiento general, una combinacion de traslacion yrotacion.

Dependiendo de si la persona esta en reposo o en movimiento y si ese movimiento es de traslacion,rotacion o una combinacion de ambos. Inicialmente, emplearemos sistemas de referencia fijos ydespues sistemas de referencia sujetos a movimiento de traslacion. Puesto que en la cinematica dela partıcula no se analiza movimiento de rotacion, parecerıa logico suponer que en la cinematicade las partıculas no se emplean sistemas de referencia sujetos a rotacion; no obstante, los sistemasde referencia sujetos a rotacion aparecen tambien en el estudio de la cinematica y cinetica de lapartıcula.

2 La cinematica de partıculas sujetos a movimiento de tras-lacion rectilınea.

En esta seccion se analizara la cinematica de las partıculas sujetas a movimiento de traslacionrectilınea. Como se indico en la seccion 1, el objetivo de la cinematica de las partıculas es elestudio de las relaciones entre la posicion de la partıcula y el tiempo, incluyendo sus derivadas; esdecir, la velocidad y la aceleracion de la partıcula. Para tal fin, debemos seleccionar un sistema dereferencia, fijo, con el objeto de conocer el vector de posicion de la partıcula P como funcion deltiempo; es decir, vea la ecuacion (1), dada por

�rP = �rP (t),

Sin embargo, si el movimiento de una partıcula es rectilıneo, es posible dejar de lado el caractervectorial de la ecuacion (1), y seleccionando el origen asociado al sistema de referencia fijo un puntoa lo largo de la trayectoria, recta, de la partıcula, escribir

sP = sP (t). (2)

donde sP determina la posicion de la partıcula respecto al origen del sistema de referencia, que eneste caso, debe indicar una direccion de la lınea que se considerara positiva, vea la figura 2. Es puesevidente que una partıcula sujeta a movimiento de traslacion rectilınea tiene un grado de libertad,pues para determinar la posicion de la partıcula, es unicamente necesario conocer la variable sP .

Figure 2: Sistema de Referencia en Traslacion Rectilınea.

Entonces, es posible definir las dos tareas principales de la cinematica de partıculas sujetas atraslacion rectilınea:

1. Analisis del movimiento de una partıcula sujeto a traslacion rectilınea. Es decir, a partirde la ecuacion sP (t), determinar la velocidad, vP (t), y la aceleracion, aP (t), de la partıcula,entre otras cosas.

4

2. Derivacion de la ecuacion de movimiento de una partıcula sujeto a traslacion rectilınea. Esdecir, a partir de la ecuacion de la aceleracion de la partıcula, aP (t), determinar la ecuacionde movimiento de la partıcula, sP (t).

2.1 Analisis del movimiento de una partıcula sujeto a traslacion rec-tilınea.

Considere una partıcula, P , cuyo movimiento de traslacion rectilınea esta representado, respectoa un sistema de referencia, por la ecuacion (2)

sP = sP (t).

Entonces, la velocidad de la partıcula, P , estara dada por

vP (t) =d sP (t)

d t= sP (t), (3)

y la aceleracion de partıcula, P , estara dada por

aP (t) =d vP (t)

d t=

d2 sP (t)d t2

= sP (t). (4)

2.2 Derivacion de la ecuacion de movimiento de una partıcula sujeto atraslacion rectilınea.

En esta seccion supondremos que conocemos la ecuacion de la aceleracion de una partıcula, aP =aP (t), y a partir de esta ecuacion trataremos de encontrar la ecuacion de movimiento del sistema;es decir sP = sP (t). En el caso mas general, la aceleracion puede ser una funcion del tiempo, dela posicion y de la velocidad; es decir

aP = aP (t, sP , vP ) = aP

(t, sP (t),

d sP (t)d t

)=

d2 sP (t)d t2

. (5)

La ecuacion (5) representa una ecuacion diferencial de segundo orden, que puede ser no lineal,y que en general no tiene una solucion en forma cerrada, pero que si satisface las condiciones deexistencia y unicidad de la ecuacion diferencial, tiene una solucion que puede obtenerse de formanumerica. Esta ecuacion diferencial se escribe, de manera generica, como

d2 sP (t)d t2

= aP

(t, sP (t),

d sP (t)d t

). (6)

Como un ejemplo de solucion numerica de estos problemas de la cinematica de una partıculasujeta a traslacion rectilınea, considere el programa Simulink c©, mostrado en la figura 3, querepresenta la solucion del siguiente problema de cinematica de una partıcula sujeta a traslacionrectilınea donde su aceleracion esta dada por

d2 sP (t)d t2

= 5 − t2 − 2 sen(t)d sP (t)

d t− 25 sP (t) (7)

sujeta a las condiciones iniciales, para t = 0, d sP (0)d t = 0 y sP (0) = 2. Es importante notar que la

ecuacion diferencial no es lineal, y muy probablemente, esta ecuacion diferencial no tiene solucionen forma cerrada. El programa Simulink c© es, fundamentalmente, un programa para resolver

5

Figure 3: Programa Simulink c© para la Solucion de un Problema de Traslacion Rectilınea.

numericamente ecuaciones diferenciales ordinarias. La siguiente figura, 4, muestra los resultadosde este problema

A continuacion, se presentaran tres casos especiales, que permiten encontrar la solucion en formacerrada. Sin embargo, el metodo numerico mostrado en el ejemplo anterior puede emplearse paraverificar la solucion de en forma cerrada obtenida mediante los metodos ilustrados a continuacion.

1. La ecuacion de la aceleracion es funcion exclusiva del tiempo. En este caso

aP = aP (t). (8)

Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP0 y sP (t) = sP0. La ecuacion (8)puede escribirse como

d vP

d t= aP (t), o d vP = aP (t) d t. (9)

0 5 10 15 20 25 30−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tiempo, segundos

Vel

ocid

ad, u

.l./u

.t.

0 5 10 15 20 25 30−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Tiempo, segundos

Des

plaz

amie

nto,

u.l.

Figure 4: Solucion de un Problema de Traslacion Rectilınea.

6

e integrando, respecto al tiempo, se tiene que

vP (t) =∫

aP (t) d t + C1, (10)

donde C1 es una constante de integracion, que se determina por medio de la condicion inicial,para t = 0, vP (t) = vP0. Suponga que despues de encontrar el valor de C1, se tiene que

vP = vP (t) (11)

La ecuacion (11) puede escribirse como

d sP

d t= vP (t), o d sP = vP (t) d t. (12)

e integrando, respecto al tiempo, se tiene que

sP (t) =∫

vP (t) d t + C2, (13)

donde C2 es una constante de integracion, que se determina por medio de la condicion inicial,para t = 0, sP (t) = sP0. Despues de encontrar el valor de C2, se tiene que

sP = sP (t) (14)

2. La ecuacion de la aceleracion es funcion exclusiva de la velocidad. En este caso

aP = aP (v). (15)

Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP0 y sP (t) = sP0. La ecuacion (15)puede escribirse como

d vP

d t= aP (vP ), o

d vP

aP (vP )= d t. (16)

e integrando, respecto al tiempo, se tiene que

t =∫

d vP

aP (vP )+ C1, (17)

Sustituyendo la condicion inicial t = 0, vP (t) = vP0, es posible conocer la constante deintegracion C1. De manera que es, al menos teoricamente posible, escribir la siguienteecuacion

t = f(vP )

suponga, que de esta ecuacion es posible despejar vP , entonces, es posible escribir

vP = f−1(t) (18)

Por lo que, finalmente, la ecuacion (18), puede espresarse como

d sP

d t= f−1(t), o d sP = f−1(t) d t.

Finalmente, integrando respecto al tiempo, se tiene que

sP =∫

f−1(t) d t + C2

Sustitiyendo la condicion inicial para t = 0 sP (t) = sP0, es posible determinar la constantede integracion C2 y escribir

sP = h(t). (19)

7

3. La ecuacion de la aceleracion es funcion exclusiva de la posicion. En este caso

aP = aP (s). (20)

Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0, vP (t) = vP0 y sP (t) = sP0. A primera vista,este problema, aparece mucho mas complicado, pues, de inicio, la unica relacion que tenemoses la ecuacion (4)

aP =d2 sP

d t2=

d vP

d t

Sin embargo, de la ecuacion (3)

vP =d sP

d t

Es posible escribir

d t =d sP

vP

De manera que sustituyendo este ultimo resultado, en la ecuacion (4), se tiene que

aP (s) =d vP

d t=

d vP

d sP

vP

=vP d vP

d sP(21)

Integrando la ecuacion, se tiene que, al menos teoricamente es posible escribir

aP (s) d sP = vP d vP o12v2

P =∫

aP (s) d sP + C1

Sustituyendo la condicion inicial para vP (t) = vP0, sP (t) = sP0, se puede determinar laconstante inicial C1. Ademas, se tiene que

vP =

√2∫

aP (s) d sP + C1

de manera que, es posible integrar nuevamente y obtener

d sP√2∫

aP (s) d sP + C1

= d t (22)

Integrando, respecto al tiempo, la ecuacion (22), se tiene que

t =∫

d sP√2∫

aP (s) d sP + C1

+ C2

La condicion inicial, para t = 0, sP (t) = sP0 permite determinar la constante de integracionC2 y resolver el problema. De modo que es, al menos teoricamente posible escribir

t = g(sP ) o sP = g−1(t) (23)

8

3 Movimiento Uniforme y Movimiento Uniformemente Ace-lerado.

Dentro de la cinematica de la partıcula sujeto a movimiento de traslacion rectilınea existen dostipos especiales de movimiento que por su importanacia, requieren de un tratamiento aparte ydetallado. Esos movimientos se denominan:

1. Movimiento Uniforme. Este movimiento se define como el movimiento de una partıcula,P , sujeta a traslacion rectilınea que ocurre con velocidad constante.

2. Movimiento Uniformemente Acelerado. Este movimiento se define como el movimientode una partıcula, P , sujeta a traslacion rectilınea que ocurre con aceleracion con-stante.

A continuacion, se analizan cada uno de estos movimientos

3.1 Movimiento Uniforme

Si la velocidad de la partıcula, P , es constante; es decir

vP (t) = vP ,

donde vP es constante, sujeto a la condicion inicial t = 0, sP (0) = sP0, se tiene que

aP (t) =dvP (t)

d t=

dvP

d t= 0. (24)

La conclusion es que la aceleracion de este movimiento es nula. Por otro lado, la posicion de lapartıcula P , se determina integrando la ecuacion, dado por

d sP

d t= vP (t) = vP , o d sP = vP d t.

Integrando la ecuacion, se tiene que

sP =∫

vP d t = vP t + C1.

Sustituyendo la condicion inicial t = 0, sP (t) = sP0, se tiene que

sP0 = vP 0 + C1, Por lo tanto C1 = sP0

y, entoncessP (t) = sP0 + vP t. (25)

La grafica 5 muestra las funciones para la velocidad y el desplazamiento de una partıcula sujetaa movimiento uniforme.

3.2 Movimiento Uniformemente Acelerado

Si la aceleracion de la partıcula, P , es constante; es decir

aP (t) = aP ,

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Figure 5: Graficas de la Velocidad y de la Posicion para una Partıcula Sujeta a MovimientoUniforme.

donde aP es constante, sujeto a la condicion inicial t = 0, vP (0) = vP0 y sP (0) = sP0, se tiene que

aP (t) =dvP (t)

d t= aP . (26)

Por otro lado, velocidad de la partıcula P , se determina integrando la ecuacion, dado por

d vP

d t= aP , o d vP = aP d t.

Integrando la ecuacion, se tiene que

vP (t) =∫

aP d t = aP t + C1.

Sustituyendo la condicion inicial t = 0, vP (0) = vP0, se tiene que

vP0 = aP 0 + C1, por lo tanto C1 = vP0

y, entoncesvP (t) = vP0 + aP t. (27)

De manera semejante, posicion de la partıcula P , se determina integrando la ecuacion (27),dada por

d sP

d t= vP0 + aP t, o sP (t) =

∫(vP0 + aP t) d t.

Integrando la ecuacion, se tiene que

sP (t) = vP0 t +12aP t2 + C2

Sustituyendo la condicion inicial t = 0, sP (0) = sP0, se tiene que

sP0 = vP0 0 +12aP 02 + C2, por lo tanto C2 = sP0

y, entonces

sP (t) = sP0 + vP0 t +12aP t2. (28)

10

Sin embargo, en este caso, es posible encontrar otra ecuacion que relaciona la posicion y lavelocidad de la partıcula. Recordando la ecuacion (21)

aP =vP d vP

d sP

sujeto a la condicion inicial t = 0, vP (0) = vP0 y sP (0) = sP0, entonces es posible integrar∫aP d sP =

∫vP d vP o aP sP =

12v2

P + C3.

Entonces, sustituyendo la condicion inicial vP (0) = vP0 y sP (0) = sP0, se tiene que

aP sP0 =12v2

P0 + C3, por lo tanto C3 = aP sP0 − 12v2

P0

La sustitucion de esta constante arbitraria conduce a

aP (sP − sP0) =12(v2

P − v2P0

)(29)

Las ecuaciones (27, 28, 29) permiten analizar el movimiento de una partıcula sujeto a movimientouniformemente acelerado, las graficas de la aceleracion, velocidad y posicion se muestran en la figura6

Figure 6: Graficas de la Velocidad y de la Posicion para una Partıcula Sujeta a MovimientoUniformemente Acelerado.

4 Sistemas de Referencias Moviles.

Hasta este punto, los unicos sistemas de referencia que hemos usado son sistemas de referenciafijos, sin embargo, el estudio de la cinematica de la partıcula permite introducir de manera muynatural a sistemas de referencia movil sujetos a traslacion rectilınea.

Considere la siguiente situacion, suponga que dos autos de carrera, denominados A y B, estancompitiendo entre sı a lo largo de una pista recta. Ambos autos estan siendo observados desde unabase fija, denominada C, sin embargo, el auto A que esta perdiendo la carrera, tambien observa elmovimiento del auto B que esta ganando la carrera, vea la figura 7

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Figure 7: Sistemas de Referencia, Fijos y Moviles, en Traslacion Rectilınea.

La base fija C, junto con una persona con regla y reloj, representa un sistema de referencia fijo,desde el cual se observa el movimiento de los autos A y B, mediante las ecuaciones

sA(t) = sA(t) y sB(t) = sB(t)

y mediante estas ecuaciones es posible determinar las velocidades y aceleraciones de los autos A yB respecto al sistema de referencia fijo representado por el punto C. Estas posiciones, velocidadesy aceleraciones se denominan absolutas.. Por otro lado, el conductor del auto A junto con unreloj y una regla, puede analizar el movimiento del auto B respecto de si mismo, el desplazamientoesta dado por

sB/A(t) = sB(t) − sA(t). (30)

A partir de esta ecuacion, es posible determinar la velocidad y aceleracion del auto B tal comolo percibe el conductor del auto A, la posicion, velocidad y aceleracion del auto B tal como loobserva el conductor del auto A se denominan la posicion, velocidad y aceleracion del autoB respecto a un sistema de referencia, sujeto a traslacion rectilınea con la posicion,velocidad y aceleracion del carro A. Como esta descripcion es demasiado largo, frecuentementese abusa del lenguaje y se denominan la posicion, velocidad y aceleracion del auto B relativaal auto A.

Derivando repetidamente la ecuacion (30), se tiene que

vB/A(t) =d sB/A(t)

d t=

d sB(t)d t

− d sA(t)d t

= vB(t) − vA(t) (31)

y

aB/A(t) =d2 sB/A(t)

d t2=

d2 sB(t)d t2

− d2 sA(t)d t2

=d vB(t)

d t− d vA(t)

d t= aB(t) − aA(t) (32)

Las cantidades vB/A(t) y aB/A(t) se denominan la velocidad, y la aceleracion, del autoo partıcula B relativa al auto o partıcula A. Estas expresiones son un abuso del lenguajey la determinacion correcta debiera ser la velocidad, y la aceleracion, del auto o partıculaB tal como se observa desde un sistema de referencia movil, sujeto a traslacion, conuna velocidad y aceleracion igual a la del auto o partıcula A. Obviamente, esta oraciones demasiado larga y frecuentemente abusamos del lenguaje; sin embargo, habra ocasiones en lascuales la expresion simplificada puede ocasionar confusion, de manera que debemos estar siemprealerta de esa posibilidad.

12

5 Movimientos Dependientes.

Un ultimo analisis necesario durante el estudio de la cinematica de partıculas sujetas a traslacionrectilınea, es el estudio de partıculas cuyos movimientos no son independientes. Las direccionesde movimiento de las partıculas pueden no ser iguales pero las partıculas estan conectadas porcorreas inextensibles que ocasionan que el movimiento de las partıculas no sean independientes.Este tema permite una introduccion elemental al concepto de grado de libertad de un sistemamecanico. Desafortunadamente, el numero de posibles variaciones es tan grande que no permite untratamiento unificado y en este caso, conviene ilustrar los conceptos mediante ejemplos especıficos.

Considere el sistema mec anico mostrado en la figura 8, que consta de dos partıculas sujetasamovimiento de traslacion rectilınea pero que estan conectados mediante una cuerda inextensible.

Figure 8: Sistema de dos Partıculas Sujetas a Movimientos Dependientes.

La posicion del sistema mecanico queda completamente determinada si se conocen las posi-ciones, o coordenadas, de las partıculas A y B; es decir, sA y sB. Sin embargo, las posiciones deestas dos partıculas no son independientes pues estan conectadas por una cuerda inextensible, lalongitud L de la cuerda puede escribirse en terminos de las coordenadas d sA y sB esta dada por

L = (sB(t) − 2 a) + π r + (sB(t) − sA(t) − 2 a) + π r + (d − sA(t) − a) + π r + (d − sA(t) − a)= 2 sB(t) − 3 sA(t) + 2 d − 6 a + 3 π r (33)

donde L, d, a y r son parametros, y no varian con el tiempo. De este muy simple ejemplo, se puedededucir que el numero de grados de libertad del sistema mecanico, denotado F , y definido comoel numero mınimo y suficiente de variables necesarias para determinar el estado, eneste caso la posicion del sistema, esta dado por el numero de variables menos el numero deecuaciones. Es decir

F = V − E = 2 − 1 = 1, (34)

donde V es el numero de variables, sA(t), sB(t) y E es el numero de ecuaciones, en este caso laecuacion (33).

Derivando respecto al tiempo la ecuacion (33), y puesto que la cuerda es inextensible, la longitudde la cuerda es constante, se tiene que

0 =dL

d t= 2

d sB(t)d t

− 3d sA(t)

d t= 2vB(t) − 3vA(t). (35)

13

y

0 =d2 L

d t2= 2

d2 sB(t)d t2

− 3d2 sA(t)

d t2= 2aB(t) − 3aA(t). (36)

Estas ecuaciones, (35, 36), junto con las ecuaciones correspondientes al movimiento uniformey movimiento uniformemente acelerado, permiten resolver las posibles incognitas que puedan pre-sentarse en estas situaciones.

Es perfectamente posible, que una situacion involucre al mismo tiempo movimientos dependi-entes y movimientos relativos, como muestra el sistema mecanico ilustrado en la figura 9.

Figure 9: Sistema de Cuatro Partıculas Sujetas a Movimientos Dependientes.

La posicion del sistema mecanico esta completamente determinado si se conocen las posicionessA, sB, SC , y sD. Sin embargo, los cuatro cuerpos estan unidos mediante tres cuerdas inextensiblescuyas longitudes estan dadas por:

1. Cuerda 1, que une los cuerpos A y B.

L1 = sA + sB − 2 a + π r. (37)

2. Cuerda 2, que une los cuerpos B y D.

L2 = sB + 2 sD − 4 a + 2 π r. (38)

3. Cuerda 3, que une los cuerpos B, C y D.

L3 = sC/B + sC/D − 2 a + d + π r = 2 sC − sB − sD − 2 a + d + π r, (39)

donde d, a y r son parametros, y no varian con el tiempo. Nuevamente, se puede deducir queel numero de grados de libertad del sistema mecanico, denotado F , y definido como el numeromınimo y suficiente de variables necesarias para determinar el estado, en este caso la

14

posicion del sistema, esta dado por el numero de variables menos el numero de ecuaciones. Esdecir

F = V − E = 4 − 3 = 1, (40)

donde V es el numero de variables, sA(t), sB(t), sC(t), sD(t) y E es el numero de ecuaciones, eneste caso las ecuaciones (37, 38, 39).

Derivando las ecuaciones (37, 38, 39) repetidamente respecto al tiempo, se tiene que

0 =dL1

d t=

d sA(t)d t

+ 3d sB(t)

d t= vA(t) + vB(t) (41)

0 =dL2

d t=

d sB(t)d t

+ 2d sD(t)

d t= vB(t) + 2 vD(t) (42)

0 =dL3

d t= 2

d sC(t)d t

+d sB(t)

d t− d sD(t)

d t= 2 vC(t) + vB(t) − vD(t). (43)

y

0 =d2 L1

d t2=

d2 sA(t)d t2

+ 3d2 sB(t)

d t2= aA(t) + aB(t) (44)

0 =d2 L2

d t2=

d2 sB(t)d t2

+ 2d2 sD(t)

d t2= aB(t) + 2 aD(t) (45)

0 =d2 L3

d t2= 2

d2 sC(t)d t2

+d2 sB(t)

d t2− d2 sD(t)

d t2= 2 aC(t) + aB(t) − aD(t). (46)

Estas ecuaciones, (41, 42, 43, 44, 45, 46 ), junto con las ecuaciones correspondientes al movimientouniforme y movimiento uniformemente acelerado, permiten resolver las posibles incognitas quepuedan presentarse en estas situaciones.

6 Problemas Propuestos.

Problema 1. El movimiento de una partıcula se define mediante la relacion s(t) = t3−6 t2+9 t+5,donde s se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el momento para el cual la velocidad es0, b) la posicion, la aceleracion y la distancia total recorrida cuando t = 5 s.

Solucion. Primeramente derivaremos con respecto al tiempo la ecuacion de la posicion paraencontrar las ecuaciones de la velocidad y la aceleracion.

v(t) =d s

d t= 3 t2 − 12 t + 9 (47)

y

a(t) =d2 s

d t2=

d v

d t= 6 t − 12 (48)

Por lo tanto, la posicion, velocidad y aceleracion de la partıcula para t = 5s. estan dados por

s(5) = s∣∣∣t=5

= 25 ft. v(5) = v∣∣∣t=5

= 24 ft./s. a(5) = a∣∣∣t=5

= 18 ft./s2

La grafica de la posicion como funcion del tiempo esta dado por la figura 10De la figura, puede observarse que la direccion del movimiento de la partıcula cambia de di-

reccion, por lo tanto, es necesario determinar los valores de tiempo para los cuales la velocidad se

15

10

20

40

Tiempo t, s.

651

Posicion s, ft30

0

60

43

50

2

Figure 10: Grafica de la posicion de la partıcula versus el tiempo.

hace 0, y el movimiento, puede, cambiar de direccion. Igualando la ecuacion de la velocidad a 0,las raices de la ecuacion son

t1 = 1 s. y t2 = 3 s.

Para determinar la distancia recorrida por la partıcula durante el intervalo 0 ≤ t ≤ 5, se tieneque

Δ(s) = |s(5) − s(3)|+|s(3) − s(1)|+|s(1) − s(0)| = |25 − 5|+|5 − 9|+|9 − 5| = 20ft.+4ft.+4ft. = 28 ft.

Problema 2. La aceleracion de una partıcula se define mediante la relacion

a = −k√

v,

donde k es constante. Si x = 0 y v = 25 ft/s para t = 0, y v = 12 ft/s. cuando x = 6 ft., determinea) la velocidad de la partıcula cuando x = 8 ft., b) el tiempo requerido para que la partıcula quedeen reposo.

Solucion. Puesto que

a =d v

d t,

se tiene qued v

d t= −k

√v o

d v

v12

= −k d t.

16

Integrando la ecuacion, se tiene que

v−12 +1

− 12 + 1

= −k t + C1 = 2√

v

Para determinar la constante de integracion C1, sustituiremos la condicion inicial v = 25 ft/s parat = 0, por lo tanto

−k 0 + C1 = 2√

25 = 10, de donde C1 = 10.

La ecuacion de la velocidad resulta4

2√

v = −k t + 10.

Resolviendo para la velocidad, se tiene que

v =14k2t2 + 5 k t + 25

Integrando la velocidad con respecto al tiempo, se tiene que

x =112

k2t3 +52

kt2 + 25 t + C2,

donde C2 es otra constante de integracion, para encontrar los valores de la constante de integracionC2, se empleara la condicion inicial x = 0 para t = 0, por lo tanto

0 =112

k203 +52

k02 + 25 0 + C2, de donde C2 = 0.

y la ecuacion de la posicion, se reduce a

x =112

k2t3 +52

kt2 + 25 t

A fin de encontrar el valor de la constante k, es necesario emplear la condicion frontera v =12 ft/s. cuando x = 6 ft.. Primero se determinaran los valores del tiempo, para los cuales v =12 ft/s., estos estan dados por la solucion de la ecuacion

12 =14k2t2 + 5 k t + 25 o

14k2t2 + 5 k t + 13 = 0.

Los dos posibles soluciones de esta ecuacion son

t1,2 =10 ± 4

√3

k,

donde la primera solucion emplea el signo positivo y la segunda solucion emplea el signo negativo.

1. Si se sustituye la primera solucion t1 = 10+4√

3k en la ecuacion de la posicion, de manera que

x = 6 ft., se obtiene la ecuacion

6 =112

k2

(10 + 4

√3

k

)3

+52

k

(10 + 4

√3

k

)2

+ 25

(10 + 4

√3

k

)

4Desde el punto de vista matematico, no hay restriccion alguna respecto a emplear√

25 = −5, sin embargo, aquıse presentaria un problema de interpretacion fısica.

17

simplificando la ecuacion, se obtiene

6 =23−125 + 24

√3

k

y la solucion para la constante k resulta ser

k1 = −1259

+8√

33

Sustituyendo este valor en las ecuaciones de velocidad y posicion de la partıcula se tiene que

s1(t) =17353972

t3 +50081

t3√

3 − 62518

t2 − 203

t2√

3 + 25 t (49)

v1(t) =17353324

t2 +50027

t2√

3 − 6259

t − 403

t√

3 + 25 (50)

La grafica de la velocidad v1(t), esta dada por la figura 11, a pesar de la cercania de la graficacon el eje horizontal, puede probarse que la velocidad de la partıcula nunca es 0.

0.0

Velocidad v, ft/s.

0.50

Tiempo t, s.

20

10

1.0

Figure 11: Grafica de la velocidad de la partıcula, primera solucion, respecto al tiempo.

2. Si se sustituye la segunda solucion t2 = 10−4√

3k en la ecuacion de la posicion, de manera que

x = 6 ft., se obtiene la ecuacion

6 =112

k2

(10 − 4

√3

k

)3

+52

k

(10 − 4

√3

k

)2

+ 25

(10 − 4

√3

k

)

18

simplificando la ecuacion, se obtiene

6 =23

125 + 24√

3k

y la solucion para la constante k resulta ser

k2 =1259

− 8√

33

Sustituyendo este valor en las ecuaciones de velocidad y posicion de la partıcula se tiene que

s2(t) =17353972

t3 − 50081

t3√

3 − 62518

t2 +203

t2√

3 + 25 t (51)

v2(t) =17353324

t2 − 50027

t2√

3 − 6259

t +403

t√

3 + 25 (52)

La grafica de la velocidad v2(t), esta dada por la figura 12, en este caso puede probarse quela velocidad es igual a 0 para los siguientes valores del tiempo

t1 = 1.078723893 s., t2 = 1.078753224 s. (53)

0.0

Velocidad v, ft/s.

1.25

10.0

2.5

7.5

5.0

Tiempo t, s.

1.00.5 0.75

Figure 12: Grafica de la velocidad de la partıcula, segunda solucion, respecto al tiempo.

Puesto que en el primer caso, para el cual k1 = − 1259 + 8

√3

3 la velocidad nunca se hace igual a0, debe entenderse que la solucion buscada, por el problema, es la segunda. Entonces, ya es posibledeterminar que la velocidad se hace igual a 0 para t1 = 1.078723893 s.

19

1.4

10.0

5.0

0.00.6

Tiempo t, s.

2.01.81.6

Posicion s, ft.

12.5

7.5

1.2

2.5

0.80.40.0 0.2 1.0

Figure 13: Grafica de la posicion de la partıcula, segunda solucion, respecto al tiempo.

La grafica de la posicion s2(t), esta dada por la figura 13,Finalmente, substituyendo s2(t) = 8 ft. y resolviendo para el tiempo, t, se tiene que

t = 0.5617573873 s., (54)

y por lo tantov2

∣∣∣t=0.5617573873 s.

= 5.741918929 ft/s. (55)

Problema 3. La aceleracion de una partıcula esta dada por a = −k s2, donde a esta en m/s2,k es una constante y s esta en m. Determine la velocidad de la partıcula como una funcion de suposicion s. Evalue la expresion para s = 5 m si k = 0.1m−1s−2 y las condiciones iniciales parat = 0 se tiene que s0 = 3 m y v0 = 10 m/s.

Solucion. Puesto que la aceleracion puede escribirse como

a = vd v

d s,

se tiene que

−k s2 = vd v

d s, o − k s2d s = v d v

Integrando la ecuacion, se tiene que

12v2 = −1

3k s3 + C1,

20

donde C1 es una constante de integracion que se determinara empleando las condiciones inicialess0 = 3 m y v0 = 10 m/s. La sustitucion de esta condicion inicial conduce a

12102 = −1

3k 33 + C1, de donde C1 = 50 + 9 k

de manera que la ecuacion de la velocidad como funcion de la posicion esta dada por

12v2 = −1

3k s3 + 50 + 9 k, (56)

Si ademas, se sustituye el valor de k = 110 , se tiene que

12v2 = − 1

30s3 + 50 +

910

= − 130

s3 +50910

o v2 = − 115

s3 +101810

De modo que la ecuacion de la velocidad, en terminos de la posicion, esta dada por

v = ±√− 1

15s3 +

101810

. (57)

La grafica de esta funcion cuando se toma el signo positivo, esta dada por la figura 14

9.6

10.0

Posicion s m.

6543210

Velocidad v m/s.

9.8

9.4

Figure 14: Grafica de la velocidad de la partıcula versus la posicion.

En particular, si s = 5 m, se tiene que

v = ±9.667816m./s.

Problema 4. Una partıcula que se mueve en lınea recta encuentra una fuerza que frena sumovimiento y que ocasiona que su velocidad disminuya de acuerdo a la relacion v(t) = 20 e−

t10 ft/s.

21

donde t es el tiempo en segundos durante el cual la fuerza actua. Determine la aceleracion a dela partıcula cuando t = 10s. y encuentre la distancia que la partıcula ha recorrido durande eseintervalo de 10s.. Grafique v como funcion del tiempo t para estos 10 primeros segundos.

Solucion. Para encontrar la ecuacion de la aceleracion, es necesario derivar la ecuacion de lavelocidad como funcion del tiempo; es decir

a(t) =d v(t)d t

= − d

d t

(20 e−

110 t)

= 2 e−110 t

De manera que la aceleracion, para t = 10, esta dada por

a(10) = a(t)∣∣∣t=10

= −2 e−110 10 = −2 e−1 = −2

e= −0.735758

La grafica de la velocidad como funcion del tiempo esta dada por la figura 15,

Velocidad v, ft/s

15

5

10

20

Tiempo t, s.

201050 15

Figure 15: Grafica de la velocidad de la partıcula versus el tiempo.

Finalmente, para determinar la distancia recorrida, se integrara con respecto al tiempo laecuacion de la velocidad, bajo las condiciones iniciales, para t = 0, s = 0. Puesto que la velocidadpuede escribirse como

v(t) =d s(t)d t

= 20 e−t10

entoncesd s = 20 e−

t10 d t o s(t) = −200 e

−110 t + C1

donde C1 es una constante de integracion que se determina a partir de las condiciones inicialest = 0, s = 0, por lo que

C1 = 200.

22

La ecuacion de la posicion de la partıcula esta dada por

s(t) = 200[1 − e

−110 t]. (58)

La grafica de la posicion de la partıcula como funcion del tiempo, esta dada por la figura 16,

Tiempo t, s.

50

2.5 10.07.50

Posicion s, ft.

100

5.00.0

Figure 16: Grafica de la posicion de la partıcula versus el tiempo.

Finalmente, puesto que la posicion de la partıcula es una funcion monotonica creciente, ladistancia recorrida por la partıcula, durante los primeros 10 segundos, es igual a la posicion de lamisma partıcula para t = 10s., es decir

Δ(s) = s∣∣∣t=10

= 200[1 − e

−110 10

]= 200

(1 − e−1

)= 126.424ft.

Problema 5. En una carrera de 400 m., un atleta acelera de modo uniforme durante losprimeros 130 m y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros130 m. es de 25 s. determine a) su aceleracion, b) su velocidad final, c) el tiempo en que completala carrera.

Figure 17: Representacion grafica del problema 5.

Solucion. Una representacion grafica del problema se muestra en la figura 17, el movimientosP1(t) es uniformemente acelerado, mientras que el movimiento sP2(t) es uniforme. La solucion deestos problemas requiere de

23

1. Un sentido positivo en la direccion de la lınea recta asociada a la traslacion rectilınea.

2. Un origen del sistema coordenado.

3. Un origen del tiempo.

Para este problema, el sentido positivo es el mismo de la direccion de movimiento de la carrera5.El origen de posicion se selecciona en el punto de partida de la carrera y el origen de tiempo seselecciona cuando el corredor empieza su movimiento.

Entonces, es posible determinar las dos etapas de movimiento del atleta.

1. Primera etapa. Movimiento uniformemente acelerado.

aP (t) = a.

Condiciones iniciales, para t = 0, vP (0) = 0 y sP (0) = 0. Esta etapa finaliza cuando t = 25 s.y sP (25) = 130 m.

2. Segunda etapa. Movimiento uniforme.

vP (t) = v.

Condiciones iniciales, para t = 25 s. y sP (25) = 130 m. Esta etapa finaliza cuando sP (t) =400 m.

Entonces, es posible analizar la primera etapa del movimiento. Puesto que

d vP (t)d t

= aP (t) = a, se tiene que∫

d vP (t) =∫

a d t,

yvP (t) = a t + C1,

esta constante de integracion C1, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0, vP (0) = 0,por lo que

0 = vP (0) = a 0 + C1, por lo tanto C1 = 0.

yvP (t) = a t.

Repitiendo el proceso de integracion, se tiene que

d sP (t)d t

= vP (t) = a t se tiene que∫

d sP (t) =∫

a t d t,

y

sP (t) =12a t2 + C2,

esta constante de integracion C2, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0, sP (0) = 0,por lo que

0 = sP (0) =12a 02 + C2, por lo tanto C2 = 0.

y

sP (t) =12a t2.

5Esta seleccion supone implicitamente que la carrera ocurre en lınea recta y no en un ovalo, o bien que el ovalose ha “convertido” en una lınea recta.

24

A partir de esta ecuacion, es posible determinar el valor de la aceleracion a partir de la condiciont = 25 s. y sP (25) = 130 m., por lo tanto

130m. =12a (25 s.)2 por lo tanto a = 0.416 m/s2.

Ademas, es posible determinar la velocidad con la que el atleta, finaliza la etapa de movimientouniformemente acelerado, que es la velocidad constante de movimiento uniforme.

vP (25) =(0.416

m

s2

)(25 s.) = 10.4 m/s.

Entonces, es posible analizar la segunda etapa del movimiento del atleta. Como se indicoinicialmente, el movimiento es uniforme; es decir la velocidad es uniforme, y esta dado por

vP (t) = v = 10.4 m/s.

Sujeto a las condiciones iniciales, para t = 25 s. y sP (25) = 130 m. Integrando la ecuacion, se tieneque

sP (t) = v t + C3

esta constante de integracion C3, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 25 s.,sP (0) = 130 m., por lo que

130 m. = sP (25) = 10.4m

s25 s. + C3, por lo tanto C3 = −130 m.

ysP (t) = 10.4

m

st − 130 m.

La carrera finalizara cuando sP (t) = 400 m., por lo tanto, el tiempo del atleta para la distancia de400 m. es de

t =400 m. + 130 m.

10.4 ms

= 50.96 s.

Problema 6. Dos automoviles A y B viajan en carriles adyacentes de una carretera y ent = 0 s. tienen las posiciones y velocidades que indica la figura 18. Si el automovil A tiene unaaceleracion constante de 0.6 m

s2 y B tiene una desaceleracion constante de 0.4 ms2 , determine a)

cuando y donde A alcanzara a B, b) la velocidad de cada automovil en ese momento.

Figure 18: Representacion grafica del problema 6.

Solucion. Los movimientos sA(t) y sB(t) son, ambos, uniformemente acelerados. Nuevamente,la solucion de estos problemas requiere de

25

1. Un sentido positivo en la direccion de la lınea recta asociada a la traslacion rectilınea.

2. Un origen del sistema coordenado.

3. Un origen del tiempo.

Para este problema, el sentido positivo es el mismo de las velocidades iniciales de los au-tomoviles. El origen de posicion se selecciona en el posicion inicial del automovil A y el origen detiempo se selecciona cuando la localizacion de los automoviles es la mostrada en la figura 18.

Entonces, es posible determinar las ecuaciones de movimiento de los dos automoviles, ambosmovimientos son uniformemente acelerados

1. Automovil AaA(t) = aA = 0.6

m

s2.

Condiciones iniciales, para t = 0, vA(0) = vA0 = 15kmh = 4.16666m

s y sA(0) = 0.

2. Automovil BaB(t) = −0.4

m

s2.

Condiciones iniciales, para t = 0, vB(0) = vB0 = 23kmh = 6.38888m

s y sB(0) = sB0 = 25 m..

Entonces, es posible analizar los movimientos de ambos automoviles.

1. Para el automovil A.

d vA(t)d t

= aA(t) = aA se tiene que∫

d vA(t) =∫

aA d t,

yvA(t) = aA t + C1,

esta constante de integracion C1, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0,vA(0) = vA0, por lo que

vA0 = vA(0) = aA 0 + C1, por lo tanto C1 = vA0.

yvA(t) = aA t + vA0.

Repitiendo el proceso de integracion, se tiene que

d sA(t)d t

= vA(t) = aA t + vA0 se tiene que∫

d sA(t) =∫

(aA t + vA0) d t,

y

sA(t) =12aA t2 + vA0 t + C2,

esta constante de integracion C2, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0,sA(0) = 0, por lo que

0 = sA(0) =12aA 02 + vA0 0 + C2, por lo tanto C2 = 0.

y

sA(t) =12aA t2 + vA0 t.

26

2. Para el automovil B.

d vB(t)d t

= aB(t) = aB se tiene que∫

d vB(t) =∫

aB d t,

yvB(t) = aB t + C1,

esta constante de integracion C1, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0,vB(0) = vB0, por lo que

vB0 = vB(0) = aB 0 + C1, por lo tanto C1 = vB0.

yvB(t) = aB t + vB0.

Repitiendo el proceso de integracion, se tiene que

d sB(t)d t

= vB(t) = aB t + vB0 se tiene que∫

d sB(t) =∫

(aB t + vB0) d t,

y

sB(t) =12aB t2 + vB0 t + C2,

esta constante de integracion C2, se obtendra a partir de la condicion inicial para t = 0,sB(0) = sB0, por lo que

sB0 = sB(0) =12aB 02 + vB0 0 + C2, por lo tanto C2 = sB0.

y

sB(t) =12aB t2 + vB0 t + sB0.

El automovil A alcanzara al automovil B, cuando sA(t) = sB(t). Por lo tanto, se debe resolverla ecuacion

12aA t2 + vA0 t = sA(t) = sB(t) =

12aB t2 + vB0 t + sB0

o12

(aA − aB) t2 + (vA0 − vB0) t − sB0 = 0.

Las raices de esta ecuacion, estan dadas por

t =− (vA0 − vB0) ±

√(vA0 − vB0)

2 − 4 12 (aA − aB) (−sB0)

2 12 (aA − aB)

=− (vA0 − vB0) ±

√(vA0 − vB0)

2 + 2sB0 (aA − aB)

aA − aB

=− (4.16666− 6.38888)±

√(4.16666− 6.38888)2 + 2 (25) (0.6 − (−0.4))

0.6 − (−0.4)

= 2.22214±√−2.222142 + 50 = 2.22214± 7.41201. (59)

27

Puesto que los movimientos de ambos automoviles se han definido para cuando t ≥ 0, la soluciondeseada requiere el signo positivo y esta dada por

t1 = 9.63415 s.

La posicion en la que el automovil A alcanza al automovil B esta dada por

sA(t = 9.63415 s.) =120.6

m

s2(9.63415 s.)2 + 4.16666

m

s9.63415 s. = 67.987 m.

donde esta posicion esta medida desde el origen indicado en la figura 18, que, en este caso, coincidecon la posicion original del automovil A. Finalmente, las velocidades de los autos en el momentoen que el automovil A da alcance al automovil B estan dadas por

vA(t = 9.63415 s.) = 0.6m

s2(9.63415 s.) + 4.16666

m

s= 9.94715

m

s= 35.809

km

h.

y

vB(t = 9.63415 s.) = −0.4m

s2(9.63415 s.) + 6.38888

m

s= 2.53522

m

s= 9.126

km

h.

Es importante notar que este problema puede resolverse, de una manera alternativa, con-siderando el movimiento relativo del automovil B cuando se observa desde un sistema de referenciasujeto a traslacion con el movimiento del automovil A. Las ecuaciones del movimiento relativo delauto B con respecto al sistema de referencia movil, sujeta a traslacion con una velocidad y unaaceleracion igual a la del auto A estan dadas, vea seccion 4, por

sB/A(t) = sB(t) − sA(t)

vB/A(t) =d sB/A(t)

d t=

d sB(t)d t

− d sA(t)d t

= vB(t) − vA(t)

aB/A(t) =d2 sB/A(t)

d t2=

d2 sB(t)d t2

− d2 sA(t)d t2

=d vB(t)

d t− d vA(t)

d t= aB(t) − aA(t)

Por lo tanto, las caracterısticas del movimiento del auto B respecto al sistema de referenciamovil asociado al auto A, estan dadas por

aB/A(t) = aB(t) − aA(t) = −0.6m

s2−(0.4

m

s2

)= −1.0

m

s2= aB/A

sujeto a las condiciones iniciales, para t = 0 s.

vB/A(0) = vB(0) − vA(0) = vB0 − vA0 = 6.38888m

s− 4.16666

m

s= 2.22214

m

s= vB/A0.

ysB/A(0) = sB(0) − sA(0) = sB0 − sA0 = 25 m.− 0 m. = 25 m. = sB/A0.

Integrando la ecuacion de la aceleracion del auto B “relativa” al auto A y determinando lasconstantes de integracion a partir de las condiciones iniciales, se tiene que

sB/A(t) =12aB/A t2 + vB/A0 t + sB/A0 = −0.5

m

s2t2 + 2.22214

m

st + 25 m (60)

El auto A alcanzara al auto B cuando sB/A(t) = 0. De manera que es necesario resolver lasiguiente ecuacion cuadratica

0 = −0.5m

s2t2 + 2.22214

m

st + 25 m

28

La solucion de la ecuacion esta dada por

t =−2.22214 m

s ±√(

2.22214 ms

)2 − 4(−0.5 m

s2

)(25 m)

2(−0.5 m

s2

) =(2.22214

m

s± 7.41201

)s. (61)

De nueva cuenta, puesto que las ecuaciones de movimiento estan definidas para t ≥ 0 s., launica solucion con significado fısico es aquella con signo positivo. Por lo tanto

t1 = 9.63415 s.

El mismo resultado obtenido analizando los movimientos de los autos de manera independiente.Problema 7. Los collarines A y B, mostrados en la figura 19, inician su movimiento desde el

reposo y se mueven con las siguientes aceleraciones aA = 2.5 t in/s2 hacia arriba y aB = 15 in/s2

hacia abajo. Determine a) el tiempo en que la velocidad del bloque C es de nuevo igual a cero, b)la distancia que se habra movido el bloque C durante ese tiempo.6.

+

d0____

______________||\/|

Figure 19: Representacion grafica del problema 7.

Solucion. Para resolver el problema haremos las siguientes selecciones:

1. Origen de posicion, la interseccion del eje de la guıa del colların A con la lınea fija que, eninstante ilustrado en la figura 19, coincide con la parte superior del colların A

2. Direccion positiva, como se indica en la figura 19.

3. Origen de tiempo, cuando ambos collarines inician su movimiento.7

Por otro lado, la ecuacion de la longitud de la cuerda esta dada por

L = sA/B+sA/C+2 sB/C+C = (sA − sB)+(sA − sC)+2 (sB − sC)+C = 2 sA+sB−3 sC+C, (62)

6Este es el problema 11.60 del libro Beer, F. P., Johnston, E. R. Jr. y Clausen, W. E. [2007], MecanicaVectorial para Ingenieros: Dinamica, Ciudad de Mexico: Mc Graw Hill

7Es importante notar que el autor no indica explıcitamente que ambos collarines inician su movimiento simul-taneamente.

29

donde C es la constante que incluye aquellas partes de la cuerda enrollada en las poleas o longitudesconstantes de los collarines. Derivando la ecuacion (62), se tiene que

0 = 2 vA + vB − 3 vC 0 = 2 aA + aB − 3 aC . (63)

Las ecuaciones de movimiento de los collarines A y B, esta dado por

aA(t) = kA t in/s2 y aB(t) = kB ,

donde kA = 2.5 in/s3, y kB = −15 in/s2, sujeto a las condiciones iniciales

Para t = 0, vA(0) = 0 in/s. sA(0) = 0 in. y vB(0) = 0 in/s. sB(0) = −d0 in.

Integrando, las ecuaciones de la aceleracion de ambos collarines con respecto al tiempo, se obtienen,despues de determinar las constantes de integracion, las ecuaciones de velocidad

vA(t) =kA

2t2 y vB(t) = kB t

Sustituyendo, estas ecuaciones en la ecuacion (63), se obtiene la ecuacion de la velocidad delbloque C,

vC(t) =2 vA + vB

3=

13

(2

kA

2t2 + kB t

)=

13(kA t2 + kB t

)(64)

La ecuacion para determinar los tiempos para los cuales la velocidad del bloque C esta dadapor

0 = vC(t) =13(kA t2 + kB t

)=

13

t (kA t + kB) ,

y los valores son

t1 = 0 s. y t2 = −kB

kA= −−15 in/s2

2.5 in/s3= 6 s.

La ecuacion (64) proporciona la velocidad del bloque C y esta sujeta a la condicion inicial, parat = 0 s., la posicion inicial esta dada por sC(0) = sC0. Por lo tanto

sC(t) =13

(13

kA t3 +12

kB t2)

+ sC0 =19

kA t3 +16

kB t2 + sC0.

La posicion del bloque C, para t = 6 s., esta dada por

sC(6) =19

kA (6 s.)3 +16

kB (6 s.)2 + sC0 =19

(2.5 in/s3) (6 s.)3 +16

(−15 in/s2) (6 s.)2 + sC0

= −30 in + sC0. (65)

De manera que la distancia recorrida por el bloque C durante esos 6 primeros segundos, estadada por

Δ sC = −30 in.

Donde el signo negativo indica que el bloque C desciende.

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