Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-1 Appunti del corso di Geometria dei Galleggianti 1 Marco FERRANDO Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-2 I Geometria delle masse In questo capitolo verranno esposti i procedimenti che consentono di calcolare: aree,momentistatici,posizionideibaricentri,momentidinerzia,ellissi(principaliecentrali) dinerzia di figure piane; volumi, momenti statici, posizioni dei baricentri di solidi di forma qualsiasi. AAree, volumi e loro centri A1Richiami di teoria dei vettori Si richiama dalla teoria dei vettori quanto riguarda la definizione e la determinazione del Centro A di un sistema piano di vettori iV applicati in Ai, paralleli ed equiversi. OAnVnV1iV =ViVi1A1 AiAVmAm Il centro il punto A del piano dove si pu pensare applicato un sistema equivalente costituito da un unico vettore V, parallelo ed equiverso ai vettori iVdel sistema, la cui intensit data da iiVed ilcuimomentorispettoadunqualsiasipuntoOdelpianougualeallasommadeimomentidei singoli vettori( )i iV Arispetto allo stesso punto O. Si ha quindi: ii=V V (A.1) i ii = OA V OA V (A.2) Passando alle grandezze scalari la (A.1) pu essere riscritta nella forma seguente: i i ii i i= = = V V V V

Trasponendo in forma scalare anche la (A.2) il primo membro diviene: sin = OA V OA V Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-3 mentre il secondo membro, essendo i vettori equiversi oltre che paralleli, assume la forma seguente: sini i i i i i ii i i = = OA V OA V OA V

I prodottisini i OAesin jj OA rappresentano le distanze di e dj delle rette dazione dei vettori Vi e Vj dal punto O. VjdjjAjOiVidiAi Il segno delle distanze di e dj resta determinato dal segno degli angoli i ed j come illustrato nella figura seguente: sinj < 0 dj < 0 sin i > 0 di >0 A questo punto possibile calcolare la distanza d da O della retta dazione del risultanteV: sinsini i iiiid= = OA VOAV Naturalmente la summenzionata retta dazione sar parallela alla direzione dei vettori iV . Se si immagina di mutare la direzione dellintero sistema di vettori applicati si pu determinare la nuova retta dazione del risultante. Essa sar parallela alla nuova direzione dei vettori componenti il sistema ed incontrer la prima nel punto A centro del sistema. Questa situazione illustrata nella fi-OAOAVij jVjOVjdjdiOAjiAii ViMarco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-4 gura seguente ove la configurazione tratteggiata corrisponde a quella dopo la rotazione, 11VVnVVAnVV1A' 'VVA11VVn' '' 'VV A2Teorema dei momenti statici Solitamente si usa assumere come riferimento una coppia di assi cartesiani X ed Y; possibile allo-ra determinare le coordinate del centro A del sistema di vettori rispetto a questa coppia (XY). Si ha una ulteriore semplificazione se come punto O (polo) si sceglie lorigine degli assi stessi come illu-strato nella figura seguente. In detta figura, per semplicit, si rappresentato solo uno degli n vettori che costituiscono il sistema. XiYAYiViVAiXAXAYO Utilizzando la notazione illustrata nella figura si ottiene: iiV V = (A.3) A i i ii iA i i ii ix V xVy V yV== (A.4) dalle quali si ricavano le equazioni: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-5 An+1VnAiViVV1A1Vn+1A1An i iiAiii iiAiixVxVyVyV==(A.5) che forniscono le coordinate del centro A del sistema di vettori applicati rispetto al riferimento as-sunto. Ricordando che quantit come i prodotti i ixV(o i iyV ) prendono il nome di momenti statici (o mo-menti del 1 ordine) delle grandezze iVrispetto ad un asse y (od x), le (A.4) possono essere rappre-sentante dal seguente enunciato che va sotto il nome di Teorema dei momenti statici: Il momento statico rispetto ad un asse della grandezza iiV V =, applicata nel centro A del siste-ma, uguale alla somma dei momenti statici delle grandezze componenti calcolati sempre rispetto allo stesso asse. opportuno notare che il momento statico calcolato rispetto ad un asse baricentrico nullo. A3Estensione allo spazio del Teorema dei momenti statici Quantostatofinoraillustratosipu generalizzare per un sistema di vettori paralleli ed equiversiapplicati,manontuttiappartenentiallo stesso piano. Sitrattadicomporreilvettorerisultantedel sistemapianoconunodeivettorinon appartenentialpianoedeterminareunnuovo risultanteche,compostoconunaltrodeivettori non appartenenti al nuovo piano ecc.. Ilprocedimentosopraillustratovienesvoltoper via analitica utilizzando le relazioni seguenti: iiV V = A i iiA i iiA i iiVx V xVy V yVz V z=== dalle quali possibile ricavare le coordinate Ax , Aye Azdel centro del sistema complessivo. Vale la pena di osservare che i vettori iVpossono rappresentare masse concentrate, masse elemen-tari, elementi di linee, di superficie, di volume ecc.. Irisultati sin qui ottenuti verranno utilizzati per determinare aree, centri delle aree di figure piane, Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-6 YA(A2) m2(A )nmnY(A) MX(A )imiXA(A m1 1)OXiYivolumiecentrodivolumisolidi,avendocura,oveoccorra,disostituireilsimbolo alsimbolo A4Centro di un sistema di masse concentrate Siadatoilsistemadinmassemiconcentratenei puntiAidiunpianoerappresentatoinfigura.Si cerca il sistema equivalente costituito da una sola massa M: iiM m = applicata nel punto A: ( ) ,A Ax y AInbasealteoremadeimomentistaticipossiamo scrivere le relazioni: A i iiA i iiMx m xMy m y== che permettono di calcolare le coordinate del centro A del sistema: i iiAiii iiAiim xxmm yym== Nel caso in cui il sistema sia tridimensionale si avr: A i iiA i iiA i iiMx m xMy m yMz m z=== mentre le coordinate del centro del sistema saranno date dalle espressioni: i iiAiii iiAiii iiAiim xxmm yymm zzm=== Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-7 YAwiFYdAXXOXFiYF izXxBywiAB dayBx dz BBddwzziOYZA5Area e centro Fi di una figura piana Aw

In questo caso nellapplicare il teorema dei momenti statici avremo le seguenti corrispondenze rispetto al caso del paragrafo precedente: iwiAwm dAM A La misura dellarea sar data dalla relazione: w wwA AA dA dxdy = = LecoordinatedelcentroFidellafigurapiana vengonodeterminatesempreconlausiliodel Teoremadeimomentistaticichevieneapplicato nella forma integrale: www Fi yAw Fi xAA x xdA SA y ydA S= == = Si potr quindi scrivere: wiwiwA yFwAwAxFwAxdASxAdAydASyAdA= == = A6Volume e coordinate del centro B di un solido qualsiasi In questo caso nellapplicare il teorema dei momenti statici avremo le seguenti corrispondenze rispetto al caso del paragrafo 1.4: iim dwM Ilvolumedelsolidofinoalpianougualealla somma(integrale)dituttiivolumielementarid. Ponendo come di consuetodw dxdydz =si ottiene: dw dxdydz = = Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-8 Il volume infinitesimod pu essere espresso nella forma: w wA Ad dw dz dA = = consentendo di esprimere il volume nella forma seguente: ( )o o w oz z zwz z A zd dz dA A z dz = = = Per determinare le coordinate del centro B del volume consideriamo i momenti statici yzdM , xzdM , e xydMdel volume infinitesimodw rispetto ai piani coordinati yOz, xOz ed xOy; essi val-gono rispettivamente: yzxzxydM xdwdM ydwdM zdw=== Applicando il teorema dei momenti statici per ciascuna delle precedenti relazioni si ottiene: B yzxzBB xyx dM xdwy dM ydwz dM zdw = = = = = = dalle quali si ricavano le coordinate Bx, By, Bz:

BBBxdwxydwyzdwz=== A7Compendio delle formule per aree, volumi e coordinate dei loro centri A questo punto opportuno riepilogare le espressioni ricavate fino a questo punto. Per la figura piana( )W iA zsi ha; area: ( )w ww iA AA z dA dxdy = = (A.6) momenti statici: ( )( )w ww wy iA Ax iA AS z xdA xdxdyS z ydA ydxdy= == = (A.7) coordinate del centro( )iF zdellarea( )W iA z : Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-9 ( )( )( )( )( )( )y iF iw ix iF iw iS zx zA zS zy zA z==(A.8) Per il volume( ) zottenuto intersecando un solido con un piano posto a quotaz si ha: volume: ( ) ( )0 o w oz z zwz z A zz dw dxdydz d dz dxdy A z dz = = = = = (A.9) momenti statici: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 00 00 0wwwz zyz yz A zz zxz xz A zz zxy wz A zM z xdw xdxdydz dz xdxdy S z dzM z ydw ydxdydz dz ydxdy S z dzM z zdw zdxdydz zdz dxdy zA z dz = = = == = = == = = = (A.10) coordinate del centro( ) B z del volume( ) z : ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )000ooozyz yzB zwzzxz xzB zwzzwz xyB zwzS z dzM zx zzA z dzS z dzM zy zzA z dzzA z dzM zz zzA z dz = == == =(A.11) Si noti che nessuna delle formule sopra elencate ancora risolvibile in quanto sono presenti ancora integrali di superficie sia nelle formule concernenti le grandezze relative ad aree sia in quelle con-cernenti grandezze relative a volumi. In queste ultime gli integrali di volume sono stati trasformati in integrali semplici definiti di funzioni integrande che rappresentano ancora integrali di superficie. A8Osservazioni sulle relazioni tra le grandezze. Per il solido dato si immagini di poter calcolare, come verr illustrato successivamente, i valori del-le singole funzioni integrande (integrali di superficie) che compaiono negli integrali semplici defini-ti delle formule del paragrafo precedente. Si immagini inoltre di poterne tracciare i grafici in funzione dellaltezza z del piano che interseca il solido. Si ricorda che il valore degli integrali semplici definiti si ottiene calcolando larea sottesa dalla fun-zione integranda. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-10 Nella figura seguente sono riportati in grafico i valori assunti, al variare della quotaz del piano , da alcune delle grandezze fin qui calcolate. zaBzz0BAW(z)XYZ Z Z ZAWSxSyzAWO O O OAW Sy zAWSx A titolo di esempio valela pena osservare che il volume del solido compreso al di sotto del piano ,cheindicheremocon( ) z ,erappresentatosulgraficodi dalsegmentoevidenziato,si calcola con la formula: ( ) ( )0zWzz A z dz = edequivaleallareaombreggiatasottesadaldiagrammadellafunzioneintegranda( )WA z tragli estremidiintegrazione.Ildiagrammadi WA infunzionediz semprecontenutonelprimo quadranteinquanto,alpi,lareapuesserenullacomeillustratoinfiguraneiduecasiincuiil piano risultatangentealsolidoinunpunto.Nelcasoincuiilsolidopresentasseunaodue superfici parallele al piano(ad esempio le superfici inferiore e/o superiore) il diagramma di WAinizierebbe e/o finirebbe con un valore diverso da zero. I diagrammi di xSe di ySpossono assumere valori sia positivi sia negativi in quanto il segno delle distanzexedydipende dalla posizione relativa tra il solido e lorigine del sistema di riferimento rispetto al quale si sono calcolati i momenti statici. Per quanto riguarda landamento del diagramma di , poich: ( ) ( )ozwzz A z dz = si pu scrivere: ( )( )Wd zA Zdz=Per quei valori dizove si verificasse( ) 0WA z =la curva( ) z avrebbe tangente parallela allasse z . Inoltre, dal momento che in base allequazione precedente si ha: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-11 ( ) ( )22WdA z d zdz dz=la tangente alla curva( )WA zrappresenta la derivata seconda della curva( ) z . Per cui ove la tan-genteallacurva( )WA z risultasseparallelaallassezsi avrebbeunvalorenulloperladerivatase-conda della funzione( ) z ed essa presenterebbe un flesso come illustrato nella figura. Sullabasedelleosservazioniillustrateinquestoparagrafosipuoperareuncontrollo sullandamentodellegrandezzericavateperaccertarsidinonaverecommessogrossolanierroridi calcolo BMomenti del 2 ordine B1Momenti del 2 ordine per un sistema di masse concentrate Si consideri il sistema piano di masse imapplicate nei punti Ai rappresentato in figura. Sidefiniscemomentodinerziadellamassami rispettoadunasseilprodottodellamassaperla sua distanza dallasse elevata al quadrato. Sidefinisceprodottodinerzia(omomento centrifugorispettoagliassixy)dellamassami rispettoadunacoppiadiassiilprodottodella massa per le sue distanze dagli assi. Imomentidinerziavengonosolitamenteindicati dallaletteraIportanteapedicelaletterachecon-traddistinguelasserispettoalqualeilmomento vienecalcolato.Questaconvenzionesiapplica anchealprodottodinerziacheperhaundoppio pedice in quanto calcolato rispetto ad una coppia di assi. Per il sistema in esame si avr: [ ][ ][ ]22000X i iiY i iiXY i i iiI m yI m xI m x y= >= >= < = > Si ritiene opportuno sottolineare che i momenti dinerzia assumono sempre valore positivo, mentre ilprodottodinerziapuassumerevaloripositivi,negativionulliinconseguenzadellaposizione relativa del sistema e della coppia di assi cartesiani di riferimento. B2Momenti del 2 ordine per una figura piana Sia data la figura piana rappresentata in figura. XYOxiyimi(Ai)Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-12 XYdAAwFxyyFxFxiyiOXiYi Con riferimento allelemento infinitesimo di area da e sulla base delle definizioni del paragrafo pre-cedente si pu scrivere: 22xyxydI y dAdI x dAdI xydA===(B.1) Per quanto riguarda lintera figura wAsi ha: 22WWWxAyAxyAI y dAI x dAI xydA===(B.2) Lacoppiadiassicartesianidiriferimentopuesseresceltaarbitrariamente.Consideriamoquindi una nuova coppia di assi cartesiani xi ed yi, paralleli ai precedenti, avente origine nel centro F della figura wA . Qualunque coppia di assi cartesiani aventi origine nel centro di una figura viene definita una coppia di assi centrali dinerziaRispetto alla nuova coppia di assi le (B.1) divengono: 22iii ix iy ix y i idI y dAdI x dAdI x y dA===(B.3) mentre le (B.2) si trasformano nelle: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-13 22iWiWi iWx iAy iAx y i iAI y dAI x dAI x y dA===(B.4) B3Teorema del trasporto o di Huyghens Evidentemente poich tra i due sistemi di coordinate appena utilizzati esiste un legame espresso dal-le: i Fi Fx x xy y y= = le (B.4) potranno essereriscritte sostituendo ad ixed iyle quantit ottenute dalle relazioni prece-denti. Ad esempio la prima delle (B.4) diverr: 2 2( )iW Wx i FA AI y dA y y dA = = Sviluppandoilquadratodelbinomiochecostituiscelafunzioneintegrandaedapplicandolepro-priet degli integrali si ottiene: 2 22iW W Wx F FA A AI y dA y ydA y dA = + Questultima relazione, tenendo conto delle(A.6), delle (A.7) e delle (B.2) pu essere riscritta nella forma: 22ix x F x W FI I y S A y = +Facendo uso delle (A.8) lespressione precedente diviene: 22ix x F W F W FI I y A y A y = +che assume la seguente forma finale: 2ix x W FI I A y = Il procedimento pu essere ripetuto per le altre relazioni (B.4), dando luogo alle relazioni: 22iii ix x W Fy y W Fx y xy W F FI I A yI I A xI I A x y= = = (B.5) In maniera del tutto analoga si possono riscrivere le (B.2) tenendo conto che: F iF ix x xy y y= += + ottenendo ad esempio: 2 2( )W Wx F iA AI y da y y dA = = + Sviluppandoilquadratodelbinomiochecostituiscelafunzioneintegrandaedapplicandolepro-priet degli integrali si ottiene: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-14 2 22W W Wx i F i FA A AI y dA y y dA y dA = + + che pu essere riscritta nella forma: 22ix x F x W FI I y S A y = + +Ricordando che i momenti statici di un sistema calcolati rispetto ad assi centrali dinerzia sono nulli si ha0xS =e pertanto si ottiene: 2ix x W FI I A y = +Il procedimento pu essere ripetuto per le altre relazioni (B.2) ottenendo: 22iii ix x W Fy y W Fxy x y W F FI I A yI I A xI I A x y= += += +(B.6) QuantoemersonelcorsodelpresenteparagrafopuessereriassuntodalseguenteTeoremadi Huyghens: Il momento dinerzia di una figura piana rispetto ad un qualunque asse x giacente nel suo piano, eguale al momento dinerzia rispetto allasse centrale dinerzia parallelo a quello dato, aumentato del prodotto dellarea della figura per il quadrato della distanza tra i due assi. Un importante corollario del teorema di Huyghens il seguente: Tra tutti i momenti dinerzia di una figura, calcolati rispetto ad un fascio di assi paralleli, il minimo risulta quello calcolato rispetto allasse centrale dinerzia. B4Centro relativo allasse x (o y) di un sistema di masse concentrate. Siconsideriilsistemadimasseconcentratemi applicate nei punti Ai

Sidefiniscecentrorelativoadunarettailcentro delsistemadivettori,applicatineipuntiAi,che rappresentanoimomentistaticideglielementi componentiilsistemacalcolatirispettoallaretta data. ConsiderandoadesempiolasseXpossibile associare un vettore ixSal momento statico i im ydiciascunadellemasseconcentratecalcolato rispetto allasse X. Applicandoilteoremadeimomentistaticial nuovosistemadivettori ixS ,applicatineipunti Ai,possibileottenerelecoordinatedelsuo centro xR cheappuntoilcentrorelativo allasse X del sistema di masse mi: XYOxiyiAiA1A2AnAn-1RyRxMarco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-15 XYAwO 2xxxi i i i ixyi iRxi i i xi ixxi i i i i i ii i i xRxi i i i i xi i iS x m y xIxS m y SS y m y y m yIyS m y m y S= = == = = = ROperando in maniera analoga possibile ottenere le coordinate di yRcentro relativo allasse Y: 2yyyi i i i i i iyi i iRyi i i i i yi i iyyi i i i ixyi iRyi i i yi iS x m x x m xIxS m x m x SS y m x yIyS m x S= = = == = = RB5Centro relativo allasse x (o y) di una figura piana. Quantoespostonelparagrafoprecedentepu essereestesoadunafigurapianasostituendoil simbolo WAal simbolo i. Omettendo,perbrevit,ipassaggimatematicisi perviene al risultato seguente: yxx yyxyRRyxx yxy xR Rx yIIxxSSI Iy yS S== = = R R B6Raggio dinerzia di un sistema piano Considerando ad esempio il sistema piano di masse rappresentato nella figura seguente si definisce raggio dinerzia del sistema rispetto allasse X la grandezza: xxIM =La relazione sopra riportata pu essere riscritta elevando entrambi i membri al quadrato in modo da evidenziare una importante propriet del raggio dinerzia; si pu scrivere dunque: 2x xI M =Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-16 XYOAiA1A2AnAn-1RxAyAyRxche esprime la seguente propriet del raggio dinerzia: il momento dinerzia di un sistema piano di masse, calcolato rispetto ad una retta x eguale al prodotto del quadrato del corrispondente rag-gio dinerzia per la massa risultante del sistema. Ricordandoladefinizionedelladistanzadallasse Xdelcentrorelativodelsistemarispettoallasse X xxRxIyS=e le relazioni 2x xx AI MS y M == si pu scrivere: 2xxAyy=R ed anche: :xx x Ay y =R ottenendo una seconda importante propriet del raggio dinerzia ovvero: il raggio dinerzia rispetto ad una retta medio proporzionale tra le distanze dalla retta del centro del sistema e del centro re-lativo alla retta. Per la figura piana sussistono ovviamente relazioni analoghe B7Assi principali dinerzia Vediamooracomevarianoimomentidel2 ordinealvariaredellagiacituradegliassidi riferimento. ConriferimentoallafiguralecoordinatedidA rispetto agli assi x e y risultano: ' cos sin' cos sinx x yy y x = + = Ilmomentodinerziarispettoallassexdato dalla relazione: 2''wxAI y dA = laquale,sostituendoadyilvalorefornitodalle relazioni tra le coordinate appena scritte, assume la forma seguente: ( )2'2 2 2 2cos sincos sin 2 sinww w wxAA A AI y x dAy dA xydA x dA = = + dalla quale si ricava: xx'yy'dAAwoMarco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-17 2 2'cos sin 2 sinx x xy yI I I I = +Con procedimento analogo si possono calcolare gli altri due momenti. Si ottiene quindi: 2 2'2 2'' 'cos sin 2 sinsin sin 2 cos1sin 2 cos 22x x xy yy x xy yx y x y xyI I I II I I II I I I = += + + ( = + (B.7) Ottenuteleleggidivariazionedeimomentidel2ordineinfunzionedellangolointeressante cercare langolo per il quale le grandezze Ix ed Iy sono minime o massime. Consideriamo a que-sto scopo la funzione Ix=Ix() e calcoliamone la derivata rispetto a . ( )'2 sin cos 2 cos 2 2 sin cossin 2 2 cos 2xx xy yy x xydII I IdI I I = += Pertrovareperqualesihaunestremorelativodellafunzione(massimoominimo)necessario imporre lannullarsi della derivata prima della funzione stessa, si ottiene quindi: ( )( )sin 2 2 cos 2 0sin 2 2 cos 2y x xyy x xyI I II I I = = Il valore cercato * pu quindi essere ricavato dalla relazione: *22xyy xItgI I =(B.8) Per stabilire se lestremo relativo sia un massimo od un minimo come noto sarebbe necessario ri-correre alla derivata seconda della funzione. In corrispondenza dellangolo * il prodotto dinerzia risulta nullo. Una coppia di assi cartesiani per cui i due momenti dinerzia risultano rispettivamente massimo e minimo ed il prodotto dinerzia nullo viene definita coppia di assi principali dinerzia. Langolo*individuaquindilagiacituradegliassiprincipalidinerziadellafiguraapartiredagli assi dati. B8Assi principali centrali dinerzia Non essendo stata fatta alcuna ipotesi per la coppia di assi di partenza, la trattazione del paragrafo precedente ha valore del tutto generale. Essa pu quindi essere applicata anche nel caso in cui la coppia di assi cartesiani di partenza sia una coppia di assi centrali dinerzia, avente quindi origine nel centro F della figura Aw. Con riferimento alla figura seguente sar quindi possibile ricavare langolo * che gli assi principali dinerzia formano con gli assi centrali di partenza. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-18 xydAAwx'y'F Questa coppia di assi principali dinerzia ha la particolarit di passare anche per il centro F della fi-gura.Questiassivengonoquindidenominatiassiprincipalicentralidinerzia,esarannoindicati con 1xed 1y . Ovviamente anchegliassi principali centrali dinerzia godono della propriet degli assi principali, quindi si avr 1 10x yI = . Ovviamenteanchenelcasodiassicentralidinerziavalgonolerelazioni(B.7)e(B.8),pertantoi valori di 1xIe di 1yIpossono essere ricavati in base a xI, yIed xyIponendo = *. Per quanto ri-guarda 1 1x yIil suo valore nullo. La prima delle (B.7), applicata al caso in esame, fornisce: 12 * * 2 *cos sin 2 sinx x xy yI I I I = +Ricordando che: 2 21 cos 2 1 cos 2sin cos2 2 += =la relazione precedente diviene: 1* **1 cos 2 1 cos 2sin 22 2x x xy yI I I I + = +che, riordinata, si trasforma nella: ( ) ( )1* *1 1cos 2 sin 22 2x x y x y xyI I I I I I = + + Ricordando ancora che: 2 2tan 1sin cos1 tan 1 tan = =+ + si ricava lespressione seguente: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-19 ( ) ( )1*2 * 2 *1 1 1 tan 22 21 tan 2 1 tan 2x x y x y xyI I I I I I = + + + + Sostituendooraalnumeratoredelterzoterminedelsecondomembrodellarelazioneprecedenteil valore fornito dalla (B.8) ed invertendo il segno del secondo termine si ricava: ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )12 * 2 *22 * 2 *222 *22222 *21 12 21 tan 2 1 tan 241 12 21 tan 2 1 tan 241 12 21 tan 241 12 21 tan 2y x xy xyx x yy xy x xyx yy xy x xyx yy xy x xyx yy xI I I II I II II I II II II I II II II I II II I = + + +| | |= + + |+ +\ .| | + |= + | +\ . ( + ( = + + a questo punto si utilizza ancora la relazione (B.8) ottenendo: ( )( )( )( )( )( )( )12222222222241 12 24141 12 24y x xyx x yxyy xy xy x xyx yy x xyI I II I III II II I II II I I ( + ( = + | | | + |\ . ( + ( = + + che, semplificata, fornisce finalmente la relazione : ( ) ( )1221 142 2x x y y x xyI I I I I I = + +In maniera del tutto analoga si ricava la: ( ) ( )1221 142 2y x y y x xyI I I I I I = + + +In conclusione si potr scrivere: ( ) ( )11221 142 2xx y y x xyyII I I I II = + +`) Una volta in possesso dei momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi principali centrali dinerzia possibile ottenere i momenti dinerzia rispetto ad una qualunque coppia di assi centrali in funzione dellangolo . Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-20 x1y1dAAwxyF Con riferimento alla figura si pu scrivere: 1 11 1cos sincos sinx x yy y x = + = Dalla definizione di momento dinerzia si ha: 2wxAI y dA = e, utilizzando le formule di rotazione degli assi , si ottiene: ( )1 1 1 121 12 2 2 21 1 1 12 2cos sincos sin 2 sincos sin 2 sinww w wxAA A Ax x y yI y x dAy dA x y dA x dAI I I = = += + Ricordandoperchelacoppiadiassix1y1unacoppiadiassiprincipalicentralidinerziaperla quale si ha 1 10x yI =potremo scrivere: 1 12 2cos sinx x yI I I = +Ripetendo il procedimento per gli altri due momenti si ottiene infine: 1 11 11 12 22 2cos sinsin cos1sin 22x x yy x yxy x yI I II I II I I = += + ( = (B.9) Conriferimentoallafiguraprecedenteedutilizzandolerelazioni(B.9)possibiledeterminare landamentodeimomentidelsecondoordine,calcolatirispettoadunacoppiadiassixyruotata dellangolo rispetto agli assi principali centrali dinerzia x1y1, al variare dellangolo . Tale anda-mento schematizzato nella figura seguente. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-21 x1y1AwFy1x10 0.5 1 1.5 2 2.5/ / / /Ix, Iy, IxyIX IY IXY Si ricordi che x1 ed y1 sono assi principali centrali dinerzia e che pertanto si ha Ix1 minimo, Iy1 mas-simo ed Ix1y1 nullo. B9Ellisse centrale dinerzia di una figura piana Ricordando la definizione di raggio dinerzia, la prima delle (B.9) pu essere riscritta nella forma: 1 11 12 2 2 2 22 2 2 2 2cos sincos sinx w x w y wx x yA A A = += + Ricordandoche,perconvenzione, 1xI ilminimodeimomentiprincipalicentralidinerziasia-vr1 1x y < . possibilecostruireunellisseche abbiacomesemiassiidueraggi dinerzia 1 11 1x yx yw wI IA A = =Lequazione dellellisse sar dunque: 1 12 21 12 21y xx y + =Questa ellisse prende il nome di ellisse centrale dinerzia della figura piana. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-22 dd't1t2A BCDE FMx1y1PP'Ftxy'y'xxUna importante propriet dellellisse centrale dinerzia la seguente: Ilraggiodinerziarispettoadunarettabaricentricadatodalsemidiametrodellellisseadessa coniugato. La ricerca del diametro coniugato pu essere fatta in base alla seguente definizione: il diametro d coniugato di d rispetto allellisse se esso biseca tutte le corde parallele a d. Inconseguenzadelladefinizioneprecedentedi pu anche dire che: il diametro d coniugato di drispettoallellissesecongiungeipuntidi tangenza allellisse con due rette parallele a d. Nellafigurasonoillustrateleprocedureper lindividuazione del diametro d coniugato di d. Infattidpuessereindividuatocongiungendoil puntomedioMdellacordaGH,parallelaaldia-metro d AB, con il centro dellellisse F che, per definizione,bisecalacordaABcheancheun diametro dellellisse. Inalternativadpuessereindividuato congiungendoipuntiCeDditangenzacon lellisse delle due parallele t1 e t2 al diametro d. Lellisse centrale dinerzia pu quindi essere definita come il diagramma polare della variazione del raggio dinerzia della figura piana: ''xxwIA =rispetto ad un asse centrale x che ruoti attorno al centro della figura. Nella figura il segmento FP, giacente sulla retta y coniugatadellaxrispettoallellisse,rappresentail raggio dinerzia x della figura rispetto alla retta x; si ha cio: 2' 'x x wI A =Inquestocaso,per,ledistanzedallassexsono valutatesecondoladirezioney,coniugatadix,e non in direzione normale ad x. Risulta quindi: 2' 'wxAI y da = Dallageometriaproiettivasideducechelangolo chelarettay,coniugatadellaxrispetto allellisse,formaconlarettayallaxespresso dalla relazione seguente (vedi Appendice I): arctan tanyxII | |= |\ . Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-23 Volendo ottenere: 2wxAI y dA = in cui le y sono valutate in direzione ad x occorre utilizzare la relazione: ( ) ' cos y y = che consente di scrivere: ( )( )2 22 2' coscos 'wwxAAI y dAy dA = = dalla quale si ottiene infine: ( )2' cosx xI I = Esprimendo la relazione precedente in funzione dei raggi dinerzia si otterr: ( )2 2 2' cosx w x wA A = che fornisce: ( ) ' cosx x = Sulla base di questultima relazione si pu ottenere il momento dinerzia desiderato: ( )2 2' cosx x wI A = Si illustra ora il procedimento per determinare il momento dinerzia della figura Aw rispetto alla ret-ta x essendo nota lellisse centrale dinerzia. dix1y1FEBDCtxiy'i'xi'xixAwn Si tracciano, parallelamente ad x, la retta xi per F e la retta t tangente allellisse. Individuato il punto C di tangenza per esso e per F si traccia la retta yi coniugata di xi rispetto allellisse. In questa ma-niera il raggio dinerzia xi risulta determinato. Come si mostrato in precedenza il raggio dinerzia xi consente di valutare il momento dinerzia Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-24 Ixi, calcolato misurando le distanze in direzione yi, dalla relazione: 2' 'i ix x wI A =Il momento Ix pu essere ottenuto applicando, sempre in direzione yi, il teorema di Huyghens: 2' ' 'ix x w iI I A d = +Dividendo la relazione precedente per Aw si ottiene: 2 2 2' ' 'ix x id = +Se sulla normale n ad yi si riporta un segmento FD eguale a xi e si congiunge D con E, punto di intersezione di yi con x, si ottiene il triangolo rettangolo FED. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene: 2 2 2ED EF FD = +che, per come stato costruito il triangolo, pu essere riscritta nella forma: 22 2' 'ix iED d = +si pu quindi concludere che: 22'xED =Volendoottenereilmomentodinerziarispettoadxperdistanzevalutatenormalmenteallassex occorre proiettare sia xi sia di sulla normale ad x. Si ottiene: ( )2' cosx xI I = e, tenendo conto che( ) 90 = , lespressione precedente pu essere riscritta nella forma: 2' sinx xI I =B10Appendice I Direzioni coniugate rispetto ad unellisse Considerato il cerchio sul piano xy delle proiezioni ortogonali avente centro nellorigine O, si vuol vedere come si corrispondono coppie di diametri tra loro perpendicolari, quando il cerchio, median-te operazioni di proiezione e/o sezione diviene unellisse. Un esempio di queste operazioni pu es-sere la rappresentazione assonometrica del cerchio, ad esempio unassonometria cavaliera. Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-25 xMPyNQrrr'r'OB2A2B1A1

x'A'1M'P'B'2B'1y'N'A'2zQ'rrr'r'O' Alla coppia di diametri del cerchio 1 2A Ae 1 2B Bnella proiezione ortogonale corrisponde la coppia 1 2' ' A Ae 1 2' ' B Bnellassonometria. Si ricorda che nellassonometria cavaliera gli assi x ed y so-no scelti arbitrariamente, ma le scale sui due assi sono eguali. Lealtrecoppie,adesempioMN ePQnellaproiezioneortogonale,sicostruisconosecondole regoledellassonometria:siottengono' ' M N e' ' P Q nonpiedimisuradiversa.' ' M N e ' ' P Qcome 1 2' ' A Ae 1 2' ' B Bsono diametri coniugati. Vogliamo ora cercare quella coppia di diametri del cerchio tra loro perpendicolari che si mantengo-no ancora perpendicolari nellassonometria. Con riferimento alla figura seguente supponiamo di aver costruito una coppia di diametri coniugati (ad esempio 1 2' ' A Ae 1 2' ' B B ) come visto in precedenza. 1)Con centro in O si traccia una circonferenza di raggio 1' ' O A2)Si conduce per 2' Ala ad y 3)Su detta normale, a partire da 2' A , si riportano i segmenti 2' A Ee 2' A Fuguali a 1' ' O A(si ri-corda che 1 2 1 2' ' ' ' ' ' ' ' O A O A O B O B = = = ) 4)Si tracciano le rette r, passante per O ed F, ed s, passante per O ed E 5)Si costruiscono le bisettrici degli angoli

' ' r sMarco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-26 x'A'1B'2 B'1y'A'2O' FEs's'r'r'ABCD/2/2aa bb Su queste bisettrici, che risultano tra loro, si trovano i diametri coniugati del cerchio che si man-tengono ortogonali nellassonometria e che sono gli assi dellellisse corrispondente al cerchio. I va-lori dei semidiametri dellellisse sono dati da: ' ' ' '2 2O E O F O E O Fa b+ = =In questo modo possono essere identificati i punti A, B, C e D per i quali passa lellisse che pu cos essere tracciata. Piingenerale,assegnateledirezionidixedyeleeventualiscalediriduzione,siriportano 1 2' ' A A e 1 2' ' B B :essirappresentanounacoppiadidiametridellellissechesidiconoconiugati. Evidentemente la loro misura e la loro direzione relativa dipendono dalla scelta di x ed y (ovverosia dalle proiezioni parallele e dalle sezioni mediante le quali si ottenuta la rappresentazione assono-metrica). Tutte le altre coppie di diametri (perpendicolari nel cerchio) avranno direzione relativa de-terminata dalla scelta della prima coppia. Si visto infatti come la coppiaMNePQ ( MNPQ nel cerchio) si trasformi nella coppia coniugata' ' M Ne' ' P Q . La legge che definisce la posizione relativa delle coppie nel cerchio quando (attraverso operazioni diproiezioneesezione)questositrasformainunaellissesichiamainvoluzionedeidiametrico-niugati. Lequazione dellellisse con centro nellorigine degli assi x ed y : 2 211 12 22 332 0 a x a xy a y a + + + = (B.10) Laleggecheesprimelinvoluzionedeidiametriconiugati(cfr.O.ChisiniGeometriaanaliticae proiettiva pag. 424) e espressa dalla relazione: Marco FERRANDO: Appunti del Corso Geometria dei Galleggianti 1 Pagina I-27 y1x1xy'x1y1O( )22 12 11' ' 0 a mm a m m a + + + = (B.11) dove m edm sono i coefficienti angolari dei diametri coniugati ( essendo 1 1y mx =e 1 1' y m x =le equazioni delle rette x ed y che contengono i diametri). Lequazione canonica dellellisse rispetto ad x1 ed y1 : 1 12 21 12 21y xx y + = (B.12) cio: 1 1 1 12 2 2 2 2 21 10x y x yx y + =Ilconfrontodiquestultimaequazioneconla(B.10)comportache,affinchleequazioni(B.10)e (B.12) rappresentino la stessa curva, sia pure rispetto ad assi diversi, debba essere: 1 1 1 12 2 2 211 12 22 330x y x ya a a a = = = = Pertanto la (B.11) diviene: 1 12 2' 0y xmm + =che conduce alla: 1122'xymm= che fornisce infine: 11221'xymm= (B.13) Ora, con riferimento alla figura, essendo: ' tan tan2m m | |= + = |\ . od altrimenti: ' cot tan m m = =sostituendo nella (B.13) si ottiene: 11221cottanxy = ed anche: 1122tan tanyx =che fornisce infine: 11tan tanyxII =