1. Divisione di due polinomi in una sola variabile
Prof. A.Giardina

2. Cosa significa dividere due polinomi
Siano
A(x)e B(x)
due polinomi nella stessa incognita x
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3. Cosa significa dividere due polinomi
A(x)
con il
Dividere il polinomio
B(x)
significa
polinomio nonnullo
trovare un polinomio Q(x), detto quoziente, e un polinomio R(x), detto resto,percui risulti:
A(x) = B(x)Q(x)+ R(x)
e
gradoR(x) < grado B(x)
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4. Cosa significa dividere due polinomi
Note
A(x) = B(x)Q(x)+ R(x)
La relazione
implica che la divisione A(x):B(x)si pu eseguire quando il grado del polinomio dividendo A(x) maggiore o uguale al grado del polinomio divisoreB(x)
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5. Cosa significa dividere due polinomi
Note
A(x) = B(x)Q(x)+ R(x)
La relazione
implica che la divisione A(x):B(x)si pu eseguire quando il grado del polinomio dividendo A(x) maggiore o uguale al grado del polinomio divisoreB(x)
Se R(x) = 0il polinomio A(x)si dice divisibile per il polinomio B(x)e risulta
A(x) = B(x)Q(x)
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6. Come eseguire una divisione tra polinomi
A(x)
La divisioneverr impostata nel modo seguente
B(x)
-------
-------
Q(x)
R(x)
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7. Come eseguire una divisione tra polinomi
Per eseguire la divisione tra due polinomi intanto necessario ordinarli secondo le potenze decrescenti della variabile e, se necessario, completarli.
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8. Come eseguire una divisione tra polinomi
Per eseguire la divisione tra due polinomi intanto necessario ordinarli secondo le potenze decrescenti della variabile e, se necessario, completarli.
Porto adesso un esempio per spiegare il procedimento di esecuzione di una divisione.
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9. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Siano
A(x) = 3 4x4+2x3 -5x
B(x)= x2-5x+2
Vogliamo eseguire la divisione
A(x):B(x)
ovvero la divisione
(3 4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2)
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10. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step1
(3 4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2)
Innanzi tutto disponiamo i due polinomi ordinandoli e completandoli
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11. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step1
(3 4x4 +2x3 -5x):(x2-5x+2)
In questo caso necessario ordinare e completare soltanto il polinomio A(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
Il monomio nullo 0x2stato aggiunto per rendere completo il polinomio A(x)
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12. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step2
Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x).
Si ottiene -4x4:x2 = -4x2che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
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13. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step2
Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x).
Si ottiene -4x4:x2 = -4x2che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
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14. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step2
Dividiamo il primo termine -4x4 di A(x) per il primo terminex2di B(x).
Si ottiene -4x4:x2 = -4x2che rappresenta il primo termine del quoziente Q(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
-4x2
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15. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step3
Si moltiplica il primo termine -4x2di Q(x)con ciascun termine di B(x) e i prodotti ottenuti, cambiati di segno, si riportano sotto A(x) incolonnando i termini simili
4x4+2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2
-[-4x2*B(x)]
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16. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step4
Si calcola il primo resto parziale R1(x) sommando termine a termine A(x) con [-4x2B(x)]
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2-5x +3
R1(x)
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17. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step5
Si ripete quanto prima fatto a partire dallo Step 2 , prendendo per in considerazione R1(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2-5x +3
R1(x)
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18. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2-5x +3
R1(x)
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19. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
-[-18x*R1(x)]
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20. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
-[-18x*R1(x)]
-82x2+31x +3
R2(x)
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21. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
-[-18x*R1(x)]
-82x2+31x +3
R2(x)
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22. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x -82
-[-4x2*B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
-[-18x*R1(x)]
-82x2+31x +3
R2(x)
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23. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x -82
-[-4x2B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
-[-18xR1(x)]
- 82x2+31x +3
R2(x)
+82x2-410x +164
-[-82R2(x)]
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24. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Step6
La divisione avr termine quando il grado del resto risulter minore del grado del divisore B(x)
4x4 +2x3 +0x2-5x +3
x2-5x+2
B(x)
A(x)
+4x4-20x3+8x2
-4x2-18x -82
-[-4x2B(x)]
-18x3+8x2 -5x +3
R1(x)
+18x3-90x2+36x
Q(x)
-[-18xR1(x)]
-82x2+31x +3
R2(x)
+82x2-410x +164
-[-82R2(x)]
-379x +167
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R(x)
25. Esempio di esecuzione di una divisione tra polinomi
Dividendo il polinomio A(x) = 3 4x4+2x3 -5x con il polinomio B(x)= x2-5x+2 abbiamo trovato:
Il quoziente
Q(x) = -4x2-18x -82
eIl resto
R(x) =-379x +167
Grado di R(x)=1
Grado di B(x)=2
Ovvero:
Grado di R(x) < Grado di B(x)
Prof. A.Giardina
26. Verifica della divisione tra due polinomi
Se il polinomio Q(x)e R(x) sono veramente il quoziente e il resto della divisione A(x):B(x), allora deve essere verificata la relazione
B(x)Q(x)+ R(x)= A(x)
cio il valore dell'espressione
(x2-5x+2)(-4x2-18x -82)+(-379x +167)
deve essere uguale a3 4x4+2x3 -5x = A(x)
Prof. A.Giardina
27. Verifica della divisione tra due polinomi
Infatti
Prof. A.Giardina
28. Verifica della divisione tra due polinomi
Infatti
Resta dunque verificato che Q(x)e R(x)
rappresentano il quoziente e il resto della
della divisioneA(x):B(x)
Prof. A.Giardina
29. Fine
Prof. A.Giardina