Dynamika bryły sztywnej

Materiały uzupełniające

Dynamika ciała sztywnegoRuch prostoliniowy• Przemieszczenie x• Prędkość • Przyspieszenie • Masa M• Siła • Praca • Energia kinetyczna

Ruch obrotowy• Przemieszczenie kątowe θ• Prędkość kątowa• Przyspieszenie kątowe • Moment bezwładności I• Moment siły • Praca • Energia kinetyczna

dt

dxv

dt

d

dt

dv

dt

d

MaF I dW FdxW

2

2

1Mv 2

2

1 I

Dynamika ciała sztywnego c.d.Ruch prostoliniowy

• Moc • Pęd

Ruch obrotowy

• Moc• Moment pędu

PI

FvP

Mv

Wielkości wymienione w poprzedniej tabeli: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, przemieszczenie kątowe, prędkość i przyspieszenie kątowe, moment siły, moment pędu są - wektorami. Masa, moment bezwładności, energia kinetyczna, praca – są skalarami.Dynamika ruchu obrotowego nie wprowadza nowych pojęć, jej parametry θ, ω, α odpowiadają parametrom x, v i a ruchu postępowego.

Odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment 𝛕 siły F, działającej na punkt materialny:

Fr

𝛕Fr

Odpowiednikiem pędu jest moment L pędu :

prL

Lp

rθ

Dynamika ciała sztywnego zajmuje się ruchem układu punktów materialnych tworzących ciało sztywne, które może się obracać wokół osi pod wpływem przyłożonej siły. Położenie punktu P względem osi obrotu, w którym przyłożona jest siła, definiuje wektor r.

F

r P

x

y Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z

Moment bezwładności IW dynamice ruchu obrotowego (obrót ciała sztywnego) masę ciała zastępujemy układem elementów masy mi rozłożonych w przestrzeni, odległych o ri od wybranej osi obrotu – zastępujemy sumą iloczynów pomnożonych przez kwadrat odległości. Moment bezwładności definiujemy następująco:

2iirmI

Przykład 1Mierząc energie poziomów rotacyjnych cząsteczki fluorowodoru HF stwierdzono, że jej moment bezwładności I względem środka masy 0 wynosi 1.37•10-47 kg•m2. Określić odległość r między dwoma atomami H i F, jeżeli odpowiednie masy wynoszą:mH

= 1.67 • 10-27 kgmF

= 3.17 • 10-27 kg

rF rHmH

mF

0

rrr

rr

rmrmx

rmrmI

FH

FH

FFHHśrm

FFHH

0

22Moment bezwładności

Położenie środka masy, korzystne jest umieszczenie w punkcie o współrzędnej równej zero.

Odległość atomów H i F

0

22

FFHH

FFHH

rmrm

rmrmI

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi

Rozwiązując otrzymujemy:

mrrr FH10108.0

Przykład 2Obliczyć energię kinetyczną E ruchu obrotowego pokazanego na rysunku łożyska kulkowego, którego wewnętrzny wałek o promieniu r i długości h obraca się z prędkością kątową ω, a n kulek toczy się bez poślizgu. Wszystkie elementy łożyska wykonane są z materiału o gęstości ρ. Promień każdej kulki wynosi a.

a

r

Chwilowa oś obrotu kulki o promieniu a

Energia kinetyczna wewnętrznego wałka o momencie bezwładności I0

242220 4

1

4

1

2

1 hrmrIEw

Prędkość liniowa kulki i walca są równe w punkcie styku.

k

k rar

2

prędkość kątowa kulki

Energię kinetyczną kulki liczymy względem chwilowej osi obrotu, promień obrotu r + 2a

ar

rk 2

Moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu Ik i energia Ek

ar

raE

amamamaI

k

k

215

14

15

28

5

7

5

2

225

5222

Całkowita energia kinetyczna łożyska

ef

ef

kw

I

IE

ar

anhrrnEEE

2

22

522

2

1

215

14

Efektywny moment bezwładności łożyska

Przykład 3Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu siły ciężkości wewnątrz walca o promieniu R. znaleźć równanie ruchu walca wychylonego w chwili początkowej z położenia równowagi o kąt φ0. Kiedy to o trzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać?

a

R

φ

O

O’

Środek małego walca porusza się względem osi obrotu O, po torze będącym wycinkiem kołowym o promieniu R – a z chwilową prędkością kątową ω1 i z prędkością liniową v.

aRdt

daRv

dt

d

1

1

Mały walec względem osi O’ porusza się z prędkością kątową ω2 .

a

aR

dt

d

a

v

2

Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi O i względem osi O’.

22

22

0

21 I

II

IEk

I – moment bezwładności względem osi O, I0 – względem osi)’

aRmII 0

Całkowita energia kinetyczna wynosi:

22

2

3

1

4

3aaR

dt

dmEk

Energia potencjalna:

coscos1

cos

aRhaR

hR

ale

ahmgEp

ejmechanicznenergii

zachowaniazasadązzgodnieconstEE

aRmgE

kp

p

.

cos1

Na tej podstawie można napisać

dt

daRmg

dt

dE

aaRdt

d

dy

dm

dt

dE

EEdt

d

p

k

pk

sin

3

1

2

3

0

22

2

2

Otrzymujemy równanie ruchu, trudne do rozwiązania

sin

0sin3

1

3

12

222

to

małajestdrgańamplituda

aRgdt

daaR

jeżeli

Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego

22

22

2

31

3

20

aaR

aRg

dt

d