Konzultace č. 9 dynamika – dostředivá a odstředivá síla

Dynamika zkoumá zákonitosti pohybu těles se zřetelem na příčiny (síly, silové účinky), které pohyb

vyvolaly.

Znalosti dynamiky umožňují řešit kinematické a silové poměry u pohybujících se těles na základě

uvažování setrvačních sil, které při nerovnoměrném pohybu tělesa vznikají.

Základní zákony dynamiky

- zákon setrvačnosti - zákon zrychlující síly - zákon akce a reakce

Dalšími zákony, které se zde využívají, jsou

- zákon o změně hybnosti - zákon o zachování mechanické energie

zákon setrvačnosti

- Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit.

zákon zrychlující síly

- závislost mezi silami působícími na pohybující se boa a kinematickými veličinami je dána Newtonovým pohybovým zákonem Fv = m . a, Síla Fv , která je rovna výslednici všech působících sil, je tzv. zrychlující síla

Z hlediska kinematiky i dynamiky je nejjednodušším pohybem přímočarý pohyb bodu

- rychlost i zrychlení mají směr dráhy bodu - při vedení bodu se jedná z hlediska statiky o nucený pohyb, vedení bodu způsobí odpor proti

pohybu, jehož příčinou jsou hnací síly

obecně vyjádříme: 1

. .n

ti n

i

F F ma

,

kde 1

n

ti

i

F

je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně

odporu prostředí

.nF . smykové tření ( -součinitel smykového tření )

Takto sestavená rovnice se nazývá pohybová rovnice.

- svislý pohyb volného bodu

při tomto pohybu působí pouze vlastní tíha, kterou v tomto případě považujeme

za zrychlující sílu, jež je projevem zemské přitažlivosti a udílí bodu gravitační

zrychlení g

pohybová rovnice má potom tvar: G = m . g

Příkladem je např. svislý vrh vzhůru, který probíhá v atmosféře, proti pohybu

působí i odpor prostředí: - G – FO = m . a -m.g – FO = m .a

Je – li pohyb ve vakuu, potom FO je rovno nule, potom a = - g, pohyb je s konstantním

zrychlením.

Pro svislý pohyb dolů s odporem je pohybová rovnice ve tvaru: G – FO = m . a m.g – FO =

m .a

Pro pohyb bodu po nakloněné rovině

1)pohybová rovnice: G. sin - FT = m . a,

kde FT – třecí síla

2)složková rovnice ve směru kolmém na nakloněnou rovinu:

– G. cos + Fn = 0

Fn = G. cos ,

kde Fn je normálová síla

Ze statiky je známo: FT = Fn . ; G = m . g,

kde - součinitel smykového tření

upravíme – li rovnici: m. g .sin - m . g . . cos = m . a

dostaneme: g (sin - .cos ) = a

Kromě těchto pasivních odporu je třeba také přihlédnout k odporům prostředí, které

označíme FO, které působí proti směru pohybu:

pohybová rovnice má následující tvar: 1

. 0n

ti O

i

F F m a

Tato rovnice uvádí, že jsme uvedli bod do rovnovážného stavu tím, že jsme připojili

k působícím silám sílu stejné velikosti jako je zrychlující síla, ale opačně orientovanou (zákon

akce a reakce). Tato síla se označuje Fs a nazývá se setrvačná síla.

zákon akce a reakce

- působí – li jedno těleso na druhé silou, pak působí druhé těleso na první stejně velkou silou, ale opačného směru

zákon o změně hybnosti

- hybnost H je definována jako součin hmotnosti tělesa a jeho rychlosti: H = m. v - H je vektorová veličina - zrychlující síla způsobí přírůstek hybnosti, který se rovná rozdílu hybností na konci a na

počátku pohybu

H = H – H0 = m (v – v0)

- Hybnost těžiště tělesa ( těžišti přisuzujeme celou hmotnost tělesa) je rovna vektorovému součtu

hybností všech bodů tělesa a to v každém okamžiku: m . vT = 1

.n

i i

i

m v

,

kde vT – okamžitá rychlost těžiště

vi – okamžité rychlosti jednotlivých hmotných bodů tělesa

mi – hmotnosti jednotlivých hmotných bodů

n – počet bodů tělesa

Podle 2. pohybového zákona platí: Fi = mi . iv

t

, což vyjadřuje časovou změnu hybnosti pro i-tý bod.

Pro n bodů tělesa: 1 1

n ni

i i

i i i

vF m

t

,

což vyjadřuje 1. impulsovou větu: Časová změna celkové hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších

sil.

- impulz síly I je definován jako součin síly a času, po které tato síla působí: I = F.t Grafické znázornění impulzu:

1) Je – li působící síla stálá, je velikost impulzu síly rovna ploše vyšrafovaného obdélníka.

2) Při proměnné síle je impulz síly znázorněn plochou nepravidelného tvaru; vypočteme – li střední (průměrnou) sílu Fs, je grafickým znázorněním obdélník o stranách t a Fs.

- tento zákon stanoví, ž změna hybnosti za určitý čas je rovna impulzu síly působící na toto

těleso za stejný čas

- matematické vyjádření: m . v2 – m . v1 = F . t m. (v2 – v1) = F . t, kde v1 – počáteční rychlost tělesa, resp. rychlost tělesa v určitém bodě 1*m.s-1]

v2 – konečná rychlost tělesa, resp. rychlost tělesa v určitém bodě 2 *m.s-1]

F – síla stálé velikosti působící na těleso po čas t *N+

t – čas působení síly F na těleso *s+

pozn.: tento vztah platí za předpokladu neměnné hmotnosti, na které působí ve směru pohybu síla

stálé velikosti a jehož rychlost na počátku působení síly je v1 a na konci v2.

Př. 1)

Střela o hmotnosti m1 = 8 kg opouští hlaveň rychlostí v1 = 600 m.s-1. Jakou zpětnou rychlostí se

pohybuje hlaveň děla o hmotnosti m2 = 400 kg?

Řešení: m1 . v1 = m2 . v2 v2 = 1 1

2

.m v

m tj. v2 =

8.6002.6 12

400

v2 = 12 1.m s

Př.2)

Nákladní automobil o hmotnosti 8 000 kg jedoucí rychlostí 36 km.h-1 zabrzdí na dráze 20 m.

Vypočtěte střední brzdní sílu.

Řešení: Střední brzdná síla Fs .t = m . v Fs = .m v

t

Doba brzdění t: t = v

a

platí: s = 2

2

v

a a =

2

2

v

s t =

2

2

2

v s

v v

s

Střední brzdící síla Fs = 2. . .

2 2

mv mv mv

st s

v

Fs =

236000

8000.3600

200.100 200002.20

Fs = 20 000 N = 20 kN

Odstředivá a dostředivá síla

- při rovnoměrném otáčivém pohybu bodu kolem pevné osy je směr rychlosti v bodu v libovolném místě trajektorie tohoto bodu totožný se směrem tečny v tomto bodě. Má – li se bod pohybovat po kružnici, musí na něj působit síla, která jej udržuje na kruhové trajektorii a působí do středu O. Ve směru normály působí dostředivé zrychlení an.

- víme, že 2

n

va

R , kde v – obvodová rychlost

v = R . , kde - úhlová rychlost tj. 2.na R

dostředivá síla je dána vztahem: FCd = m . an = m . R . 2

Tato síla vyvozuje podle 3. pohybového zákona reakční sílu

odstředivou stejné velikosti jako je dostředivá, ale opačného smyslu.

odstředivá síla je dána vztahem FC = m . an = m . R . 2

Jednotkou je 1 N.

Stejně jako odstředivou sílu hmotného

bodu můžeme vypočítat odstředivou sílu

tělesa, dosadíme – li za poloměr R

vzdálenost e těžiště T tělesa od osy otáčení a za hmotnost m hmotnost

celého tělesa. FC = m . e . 2

Kde se setkáme s odstředivou sílou? Např. při jízdě na kole, při odstřeďování prádla v pračce,

roztočením kuličky upevněné na motouzu, atd.

Př. 3

Lopatka parní turbíny má hmotnost 0,08 kg. Turbína koná 50 otáček za sekundu. Vypočtěte

odstředivou sílu lopatky, pohybuje – li se její těžiště po kruhové trajektorii o

průměru 1m.

Řešení: FC = m . R . 2

= 2n FC = m . 2

D . 42 . n2

FC = 0,08 . 1 . 2 , 3,142 . 502

FC = 0,16 . 3,142 . 2500

FC = 3 943,8 N

Př. 4

Řemenice o hmotnosti 120 kg koná 6 otáček za sekundu. Jaká je nevyvážená odstředivá síla, leží – li

těžiště řemenice ve vzdálenosti 2 mm od osy otáčení.

Řešení: FC = m . e . 2

= 2n FC = m .e . 42 . n2

FC = 120 . 0,002 . 4.3,142.62

FC = 0,240 . 4 . 3,142 . 36

FC = 340,75 N

IV. Dynamika 1.1 Dynamika přímočarého pohybu

IV – 1. Určete , jak velká hnací síla F musí působit na vozidlo tíhy G a jaké bude jeho

zrychlení, jestliže za čas t dosáhne rychlosti v.

(G = 3 000 N, t = 20s, v = 100 km.h-1, v(t = 0) = 0)

Řešení:

Platí zde pohybová rovnice přímočarého pohybu zrychleného: ,

protože neuvažujeme odpor, dostáváme formulaci d´Alembertova principu o setrvačné

síle zrychlované hmoty( , kde Fs je setrvačná d´Alembertova síla

působící proti smyslu zrychlení resp. zpoždění.

F = ma = m . =

F =

Zrychlení na základě vztahu: a = dostaneme hodnotu 1,39 m . s-2

IV – 2. Určete velikost zrychlení a konečnou rychlost vozidla tíhy G, na které působí po

dobu t síla F.

(G = 2 000 N, t = 30 s, F = 800 N, v(t = 0) = 0)

Řešení:

v = at

F = m . a = m . =

v =

v = = 117,7 [m . s-1]

a =

a =

IV – 3. Určete zrychlení a rychlost vozidla v bodě 2 podle obr.

( m = 100 kg, v1 = 0 m .s-1, F = 100 N, Fod = 5 N,

L = 1 000 m)

Řešení:

F – Fod = m . a

a = a = = 0,95 [m .s-2]

L = t =

v = a .

v = = 10 [m . s-1]

IV – 4. Určete zrychlení a rychlost vozidla v bodě 2 podle obr.

( m = 300 kg, v1 = 5 m .s-1, F = 200 N, Fod = 10 N, L = 0,5 km, =45°)

Řešení:

Fx – Fod = m . a F. cos - Fod = m . a

Fy – G = 0 Fy = G

a = a = =

[m . s-2]

v2 = v1 + a.t = t

L = L =

2a.L = v22 – v1

2 v2 =

v2 = = = 21,5 [m . s-1]

IV – 5. Určete velikost zatížení lan výtahu při rozjezdu se zrychlením a, rovnoměrném

pohybu rychlostí v a dojezdu se zpožděním a. Výpočet proveďte pro pohyb směrem

nahoru i dolů.

( G1 = 5 000 N, G2 = 800 N, a = 4m . s-2, v = 0,5 m .s-1)

Řešení:

Pohyb směrem nahoru: Pohyb směrem dolů:

F – (G1 + G2) = m . a F + G1 + G2 = m . a

F = m .a + G1 + G2 F = m .a – G1 – G2

F = m. a + m1 . g + m2 . g F = (m1 + m2) (a – g)

F = (m1 + m2) (a + g) F = 581 . 5,81 =

3 376 * N+ …. Při rozjezdu

F = (510 + 81) . (9,81 + 4)

F = 581 . 13,81 = 8 024 *N+ …. Při rozjezdu

F = 5 700 N při rovnoměrném pohybu (vzhůru i dolů)

F + G1 + G2 = m . a F – (G1 + G2) = m . a

F = m .a – G1 – G2 F = m .a + G1 + G2

F = (m1 + m2) (a – g) F = m. a + m1 . g + m2 . g

F = 581 . 5,81 = 3 376 * N+ …. Při dojezdu F = (m1 + m2) (a + g)

F = 581 . 13,81 = 8 024 *N+ ….Při dojezdu

IV – 6. Určete velikost zákluzové rychlosti hlavě děla podle obr.

(mh = 500 kg, ms = 10 kg, vs = 800 m.s-1)

Řešení:

mh . vh = ms . vs vh =

vh = [m . s-1]

IV – 7. Určete velikost síly F, kterou působí proud vody na pevnou desku podle obr.

(v = 10 m. s-1, d = 20 mm, v = 1 000 kg. m-3)

Řešení:

F . t = m . v

F =

F = [N]

IV – 8. Určete sílu, jíž působí člověk o hmotnosti m na podlahu kabiny výtahu, která se

rozjíždí se zrychlením a.

(m = 80 kg, a = 0,7 m .s-1)

Řešení:

F – G = m . a F = m (a + g)

F = 80 . (0,7 + 9,81) = 840,8 [ N]

IV – 9. Určete čas t, po který musí působit síla F na těleso o hmotnosti m, má – li se jeho

počáteční rychlost v1 zdvojnásobit.

(F = 200 N, m = 75 kg, v1 = 16 m. s-1)

Řešení:

F . t = m (2v1 – v1) t =

t = =6 [s]

IV – 10. Určete velikost tažné síly automobilu o hmotnosti m a tíze G, dosáhne – li z klidu

za čas t rychlosti v při odporu proti pohybu Fod.

(m = 1 200 kg, v = 27, 8 m .s-1, t = 20 s, Fod = 0,0102 G)

Řešení:

F – Fod = m a

F = Fod + m . F = m (0,0102 g + )

F = 1 200 .(0,0102 . 9,81 + ) = 1 788 [N]

IV – 11. Určete průměrnou velikost brzdící síly Fb automobilu o hmotnosti m jedoucího

rychlostí v, jestliže zabrzdí na dráze s.

(m = 8 . 103 kg, v = 10 m.s-1, s = 20 m)

Řešení:

F =

F = [N]

IV – 12. Určete brzdnou dráhu s automobilu o tíze G jedoucího rychlostí v, působí – li na

něj brzdná síla Fb.

( G = 1,42 . 104 N, v = 18,9 m .s-1, Fb = 4,98 . 103)

Řešení:

Fb . t = m . v F . = m . v s = =

s = = = 51, 9 [m]

IV – 13. Určete velikost zrychlení a tělesa o hmotnosti m, působí – li na něj dvě síly podle

obr.

(m = 240 kg, F1 = 430 N, F2 = 255 N, = 121°)

Řešení:

F2 =

F =

F = m . a a =

a = 1,54 m .s-2

IV – 14. Určete velikost rychlosti v tělesa o hmotnosti m, na které působí síla F po čas t.

(m = 50 kg, F = 700 N, t = 4s)

Řešení:

F . t = m . v v =

v = 56 m . s-1

IV – 15. Určete velikost hnací síly F, která působí na těleso o hmotnosti m a za čas t mu

udělí rychlost v.

(m = 1 120 kg, t = 21 s, v = 16,9 m.s-1)

Řešení:

F . t = m . v

F = 901,3 N

IV – 16. Určete brzdnou dráhu s a dobu brzdění t, jestliže vlak o tíze G jedoucí rychlostí

v je brzděn silou Fb.

(v = 72 km.h-1, Fb = 0,1 G)

Řešení:

Fb . t = m . v

t = t = 20,4 s

s = s = 204 m

IV – 17. Určete brzdnou dráhu s a dobu brzdění t, jestliže vlak o tíze G jedoucí rychlostí

v je brzděn silou Fb.

(v = 72 km.h-1, Fb = 0,1 G)

Řešení:

Fb = m . a Fb =

0,1 G =

0,1 g . t = v t =

t = = 20,4 [s]

s = s = 204 [m]

II – 1 Zjistěte, jak velká hnací síla F musí působit na vozidlo a jaké bude mít zrychlení a,

požadujeme – li, aby za čas t dosáhlo vozidlo rychlosti v. Odpory vozidla proti pohybu

neuvažujte.

(G = 3 000 N; t = 20s; v = 100 km.h-1)

Řešení:

Potřebnou hnací sílu vypočteme ze vztahu: F – Fs = 0

F – m.a = 0

F = m . a

F =

F = 424,7 N

Zrychlení vozidla: v = at a =

a = 1,39 m .s-2

II – 2 Zjistěte velikost zrychlení a konečnou rychlost vozidla, jestliže na něj po čas t

působí ve směru pohybu síla F. Tíha vozidla je G.

(G = 2 000 N; t = 10 s; F = 800 N)

Řešení:

Vyjdeme ze vztahu: F – Fs = 0 tj. F – m.a = 0,

potom a =

a = 3, 92 m.s-2

konečnou rychlost vyjádříme ze vztahu: v = a . t

v =

v = 39,2 m.s-1

II – 3 Zjistěte rychlost a rychlení vozidla v bodě 2, působí – li na dráze L na vozidlo hnací

síla F a odpor proti pohybu Fod .(viz obr.)

(m = 1 000 kg; F = 1 000 N; Fod = 50 N; L = 1 000 m; v1 = 0)

Řešení:

Výpočet zrychlení:

F – Fod – Fs = 0

F – Fod = m .a a =

Výpočet rychlosti v2 v bodě 2:

Změna energií kinetických je rovna vykonané práci, protože v1 = 0, potom kinetická

energie v bodě 1 je nulová, tedy v bodě 2 je práce rovna kinetické energii v bodě 2

m.a . L

2a . L

a = 0,95 m.s-2

v2 = 43,59 m .s-1

II – 4 Jak velká musí být tažná síla rakety, požaduje – li se, aby za čas t dosáhla první

kosmickou rychlost v1k? Průměrná hmotnost rakety je m.

(m = 5 000 kg; v1k = 7,8 km.s-1; t = 300 s)

Řešení:

Za předpokladu, že se raketa pohybuje ve vzduchoprázdnu, působí na raketu pouze

tažná síla F a setrvačná síla Fs. Podle d´Alembertova principu musí být obě síly

v rovnováze

F – Fs = 0 F = m . a

Zrychlení rakety vypočteme ze vztahu v1k = a . t a = , potom tažná síla rakety F :

F = m .

F = 1,32 .105 N

1.2 Dynamika rotačního pohybu

IV – 18 Určete velikosti maximálních a

minimálních vazbových sil hřídele

setrvačníku podle obr., je – li

následkem nepřesné výroby a

montáže těžiště posunuto mimo osu

hřídele o hodnotu r. Hřídel koná n

otáček.

(G = 3 200 kg, a = 1,2 m, b = 0,8 m, r =

2 mm, n = 240 min-1)

Řešení:

Vazbové síly od tíhy setrvačníku určíme ze statických podmínek rovnováhy.

FA1(a + b) – G.b = 0 FA1 = FA1 = 1 280 N

FA1 – G + FB1 = 0 FB1 = G – FA FB1 = 1 920 N

Analogicky určíme velikosti vazbových sil od odstředivé síly:

FA2 (a + b) – F0 . b = 0 FA2 = 165 N

FA2 – F0 + FB2 = 0, kde F0 = m . r . 2 a = 2n FB2 = 247 N

Maximální vazbové síly Minimální vazbové síly

FAmax = FA2 + FA1 = 1 445 [N] FAmin = FA1 - FA2 = 1 114 [N]

FBmax = FB2 + FB1 = 2 167 [N] FBmin = FB1 - FB2 = 1 673 [N]

IV – 19. Určete velikost odstředivé síly nevývažku setrvačníku podle obr.

(m = 10 kg, r = 0,5 m, = 10s-1)

Řešení:

Fodstř. = m . r. 2

Fodstř. = 10 . 0,5 . 100 = 500 [N]

IV – 20. Určete, jak velký průměr d musí mít nálitek podle obr., aby byl setrvačník

vyvážený.

(m = 10 kg, r = 0,5 m, = 10 s-1, r1 = 0,4 m, b =

100 mm, = 8,9 . 103 kg . m-3)

Řešení:

d = 0,141 m

IV – 21. Určete velikost odstředivé síly F0,

která působí na vozidlo v zatáčce podle obr.

( m = 2 000 kg, v = 100 km.h-1, r = 100 m)

Řešení:

F0 = 1,54 . 104 [N]

IV – 22. Určete velikost úhlu sklonu tratě v zatáčce tak, aby

výsledná síla působící na vagon směřovala kolmo na trať.

(G = 4 . 105 N, r = 500 m, v = 80 km.h-1)

Řešení:

tg = 0,10067832 = 5,74°= 5°44´

IV – 23. Určete velikost síly v laně F a úhel sklonu podle obr.,

jestliže těleso o hmotnosti m rotuje ve vodorovné rovině.

(m = 20 kg, r = 2 m, = 10 s-1)

Řešení:

tg = 0,04905 = 2,81° tj. 2°49´

IV – 24. Určete maximální a minimální velikost síly v laně podle obr., jestliže těleso o

hmotnosti m rotuje ve svislé rovině.

(m = 20 kg, r = 2 m, v = 10 s-1)

Řešení:

Fmax = 2 196 N Fmin = 1 804 N

IV – 25. Určete velikost odstředivé síly, která působí na člověka hmotnosti m stojícího na

rovníku zeměkoule.

(m = 72 kg, r = 6 377 km)

Řešení:

Fodstř. = 2, 42 N

IV – 26. Určete velikost rychlosti letadla, které prolétává kruhovou zatáčkou o poloměru

r, jestliže známe odstředivou sílu F0 působící na pilota, jehož hmotnost je m.

(m = 80,8 kg, r = 520 m, F0 = 6 535 N)

Řešení:

v = 205,1 m . s-1

IV – 27. Určete největší velikost rychlosti automobilu, jíž může projíždět zatáčku o

poloměru r, známe – li součinitel tření f mezi vozovkou a pneumatikami.

(r = 120 m, f = 0,26)

Řešení:

v = 17,5 m . s-1 = 63 km . h-1

IV – 28. Těleso o hmotnosti m uchycené na tyči kruhového průřezu o průměru d koná

rotační pohyb podle obr. . Určete napětí , které v tyči vznikne při n otáčkách.

(m = 87 kg, d = 12 mm, r = 0,85 m, n = 226 min-1)

Řešení:

t = 366 697 557 N = 367 MPa

IV – 29. Určete minimální velikost rychlosti, kterou musí motocyklista – kaskadér

projíždět ve svislé rovině po vnitřním povrchu válce. Těžiště soustavy kaskadér –

motocykl rotuje na poloměru r.

( r = 4,1 m)

Řešení:

v = 6, 34 m . s-1 = 22,8 km .h-1

IV – 30. Určete minimální otáčky při rotaci koule upevněné na laně ve svislé rovině podle

obr.

( m = 0,4 kg, r = 1,2 m)

Řešení:

n = 0,455 s-1

II – 5 Zjistěte velikost setrvačné odstředivé síly Fo, která působí na vozidlo hmotnosti m

při projíždění zatáčky (viz obr.)

(m = 2 000 kg; v = 100 km.h-1; r = 100 m)

Řešení:

Odstředivou sílu F0, která působí na vozidlo hmotnosti m, které

projíždí zatáčku o poloměru r rychlostí v, zjistíme na základě vztahu:

F0 = 15 432 N

II – 6 Zjistěte maximální a minimální sílu F působící v laně, rotuje –li těleso hmotnosti m

ve svislé rovině rychlostí v (obr.)

(m = 20 kg; r = 1 m; v = 10 m.s-1)

Řešení:

Bude – li se těleso nacházet v bodě 2, bude na

laně působit maximální síla, daná součtem

odstředivé síly F0 a tíhy tělesa G. Naopak, bude – li

se těleso nacházet v bodě 1, bude v laně působit

minimální síla , daná rozdílem odstředivé síly a tíhy tělesa.

Fmax = F0 + G

Fmax =

Fmax = 2 196,2 N

=

Fmin = 1 804 N

Pokud chceme mít lano napnuté, musí platit, že Fmin je větší jak nula. Z této podmínky lze vypočítat minimální obvodovou rychlost

tělesa:

Fmin 0 0

Z toho plyne: vmin

Vmin = 3,13 m.s-1

II – 7 Jak velký hnací moment M musí působit na setrvačník (obr.), má – li se za čas t

rozběhnout na úhlovou rychlost .

(D = 0,5 m; b = 0,2 m; = 7,8 . 103 kg.m-3; t = 5s; = 20s-1)

Řešení:

M – Ms = 0

,

:

kde I0 =

I0 =

Úhlové zrychlení

Potřebný moment:

M = .

M = .

M = 38,3 N.m