Dynamika układów elektrycznych

dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie

Modele elektryczne opisują zjawiska zachodzące podczasprzemieszczania się ładunków elektrycznych pomiędzypunktami obwodu o różnych potencjałach

Natężenie prądu i(t) [A] jest to szybkość przepływu ładunkuelektrycznego q(t) przez przewodnik o danym przekroju

i(t) =dq(t)dt

Napięcie u(t) [V ] jest to różnica potencjału pomiędzy dwomapunktami obwodu elektrycznego

Napięcie jest przyczynkiem do przepływu prądu w obwodzie

Idealne i rzeczywiste źródła energii elektrycznej

Źródło napięciowe

Idealne

e(t)

u(t)

i(t)− +

Idealne źródło napięcia wytwarzawartość napięcia niezależnie odobciążenia

u(t) = e(t)

Rzeczywiste

e(t)

u(t)

Ri(t)− +

Rzeczywiste źródło napięcia po-siada pewną rezystancję we-wnętrzną więc wytwarza wartośćnapięcia zależną od obciążenia

u(t) = e(t)−Ri(t)

Źródło prądowe

Idealne

is(t)

u(t)

i(t)− +

Idealne źródło prądu wytwarzaprąd o natężeniu niezależnym odnapięcia

i(t) = is(t)

Rzeczywisteis(t)

u(t)

R

i(t)

− +

Rzeczywiste źródło prądowe po-siada pewną rezystancję we-wnętrzną więc wytwarza prąd onatężeniu zależnym od napięcia

i(t) = is(t)−u(t)R

Podstawowe elementy elektryczne

Rezystancja (opór czynny)

u(t)

Ri(t)+ −

Opór idealnego rezystora

R =u(t)i(t)

gdzie R – rezystancja [Ω]

Konduktancja G = 1R – przewodność

Rezystancja typowego elementu metalowego

R = ρl

A

gdzie A – przekrój, l – długość, ρ – opór właściwy

Rezystancja przewodników niemetalicznych zależy od punktu pracy izwykle jest nieliniowa

Pojemność elektryczna

u(t)

Ci(t)+ −

Ładunek zgromadzony na okładkach

q(t) = Cu(t)

gdzie C – pojemność [F ]

Korzystając z definicji natężenia prądu otrzymujemy

i(t) = Cdu(t)dt

lub u(t) =1C

∫i(t)dt

Naładowany kondensator to magazyn energii

Pojemność C idealnego kondensatora jest wartością stałą i zależy odkształtu i wymiaru okładzin oraz przenikalności dielektrycznejmateriału pomiędzy okładkami

W rzeczywistych układach związek pomiędzy ładunkiem i napięciemmoże być nieliniowy – pojemność C zależy od punktu pracy

Indukcyjność własna

u(t)

eL

L

i(t)+ −

Strumień pola magnetycznego przeni-kający cewkę

Φ(t) =µzA

li(t)

gdzie µ – przenikalność magnetyczna,A – pole przekroju, z – liczba zwojów,l – długość

Zmienny strumień Φ(t) powoduje powstawanie w każdym zwoju siłyelektromotorycznej (zachodzi zjawisko samoindukcji)

e(t) = −z dΦ(t)dt= −µz

2A

l

di(t)dt= −Ldi(t)

dt

gdzie L – indukcyjność własna [H]

Jeżeli natężenie prądu rośnie to samoindukcja powodujegromadzenie się energii w polu magnetycznym cewki

Indukcyjność L jest jedynym parametrem idealnej cewki

Jeśli ośrodkiem jest element ferromagnetyczny to przenikalnośćzależy od natężenia pola magnetycznego H, a indukcyjność odnatężenia prądu

L(i) =µ(H)z2Al

, H =zi(t)dt

Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym jest zatem elementemnieliniowym

Indukcyjność wzajemna

e2(t)e1(t)

Rozważmy parę cewek sprzężonychmagnetycznie – strumień magnetycznyΦ1(t) wytwarzany przez prąd i1(t) pły-nący przez pierwszą cewkę częściowoprzenika także drugą cewkę

Część strumienia przepływającego przez drugą cewkę

Φ′1(t) = Φ1(t)− Φr(t) =M12i1(t)

gdzie M12 – indukcyjność wzajemna, Φr – strumień rozproszony

Zmiana natężenia prądu i1(t) powoduje indukowanie siłyelektromotorycznej w drugiej cewce

e2(t) = −z2dΦ′1(t)dt= −M12

di1(t)dt

Opisy zastępcze elementów elektrycznych

Do analizy układów elektrycznych stosuje się metody operatorowe

model operatorowy rezystora

u(t) = Ri(t)⇒ U(s) = RI(s)⇒ R = U(s)I(s)

model operatorowy kondensatora

i(t) = Cdu(t)dt⇒ I(s) = sCU(s)⇒ U(s)

I(s)=1sC= xC

gdzie xC – reaktancja pojemnościowa

model operatorowy cewki

u(t) = Ldi(t)dt⇒ U(s) = sLI(s)⇒ U(s)

I(s)= sL = xL

gdzie xL – reaktancja indukcyjna

uogólnione porawo Ohma

U(s) = Z(s)I(s) lub I(s) = Y (s)U(s)

gdzie Z(s) – impedancja, Y (s) – admitancja

Połączenie równoległe RC

Uogólnione prawo Ohma

Z(s) =U(s)I(s)

Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach

UC(s) = UR(s) = U(s)

Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy

I(s) = IR(s) + IC(s)

Stąd

Z(s) =U(s)

IR(s) + IC(s)=

U(s)U(s)R + sCU(s)

=RU(s)

U(s) + sRCU(s)

Ostatecznie

Z(s) =R

1 + sRC

Połączenie równoległe RL

Uogólnione prawo Ohma

Z(s) =U(s)I(s)

Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach

UL(s) = UR(s) = U(s)

Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy

I(s) = IR(s) + IL(s)

Stąd

Z(s) =U(s)

IR(s) + IL(s)=

U(s)U(s)R +

U(s)sL

=sRLU(s)

sLU(s) +RU(s)

Ostatecznie

Z(s) =sRL

R+ sL

Połączenie szeregowe RC

Uogólnione prawo Ohma

Z(s) =U(s)I(s)

Przez oba elementy płynie ten sam prąd

IC(s) = IR(s) = I(s)

Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy

U(s) = UR(s) + UC(s)

Stąd

Z(s) =UR(s) + UC(s)

I(s)=I(s)R+ 1

sC I(s)I(s)

= R+1sC

Ostatecznie

Z(s) =sRC + 1sC

Połączenie szeregowe RL

Uogólnione prawo Ohma

Z(s) =U(s)I(s)

Przez oba elementy płynie ten sam prąd

IC(s) = IR(s) = I(s)

Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy

U(s) = UR(s) + UL(s)

Stąd

Z(s) =UR(s) + UL(s)

I(s)=I(s)R+ sLI(s)

I(s)= R+ sL

OstatecznieZ(s) = R+ sL

Alternatywnie można skorzystać ze wzorów na impedancjęzastępczą

dla połączenia szeregowego

Z(s) = Z1(s) + Z2(s)

dla połączenia równoległego

Z(s) =Z1(s)Z2(s)Z1(s) + Z2(s)

Ćwiczenie

Wyznaczyć impedancje zastępcze szeregowych i równoległychpołączeń elementów R, L i C

Transformator

Transformator bez obciążenia

u2

R2

L2

M

u1

i1

L1

R1

R0

M – indukcyjność wzajemnaR1, R2 – rezystancje uzwojeńL1, L2 – indukcyjności uzwojeńi1 – prąd w uzwojeniu pierwotnymu1 – napięcie po stronie pierwotneju2 – napięcie po stronie wtórnejR0 =∞

Równanie uzwojenia pierwotnego

u1(t) = R1i1(t) + L1di1(t)dt

Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzystrumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)

u2(t) =Mdi1(t)dt

W dziedzinie operatoroweju1(s) = (R1 + sL1)i1(s)u2(s) = sMi1(s)

Eliminując i1(s)

u1(s) =R1 + sL1sM

u2(s)

Stąd transmitancja transformatora bez obciążenia

G(s) =u2(s)u1(s)

=Ms

L1s+R1=ks

Ts+ 1, k =

M

R1, T =

L1R1

W przypadku rdzenia ferromagnetycznego opis transformatora jestnieliniowy i powyższa transmitancja może opisać działanie transformatoraw punkcie pracy

Transformator z obciążeniem

u2

R2

L2

M

u1

i1

L1

R1

R0

i2M – indukcyjność wzajemnaR1, R2 – rezystancje uzwojeńL1, L2 – indukcyjności uzwojeńi1 – prąd w uzwojeniu pierwotnymi2 – prąd w uzwojeniu wtórnymu1 – napięcie po stronie pierwotneju2 – napięcie po stronie wtórnejR0 – rezystancja obciążenia

Równanie uzwojenia pierwotnego

u1(t) = R1i1(t) + L1di1(t)dt−M di2(t)

dt

Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzystrumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)

Mdi1(t)dt= R2i2(t) +R0i2(t) + L2

di2(t)dt, u2(t) = R0i2(t)

W dziedzinie operatoroweju1(s) = (R1 + sL1)i1(s)− sMi2(t)sMi1(s) = (R2 +R0 + sL2)i2(t)

Eliminując i1(s) i podstawiając i2(s) =u2(s)R0

u1(s) =(R1 + sL1)(R2 +R0 + sL2)− s2M2

sMR0u2(s)

Stąd transmitancja transformatora z obciążeniem

G(s) =u2(s)u1(s)

=MR0s

s2(L1L2−M2)+s(L1R0+L1R2+L2R1)+R1(R0+R2)

lub

G(s) =ks

T 2s2 + 2ξTs+ 1

gdzie k = MR0R1(R0+R2)

, T =√L1L2−M2R1(R0+R2)

, ξ = L1(R0+R2)+L2R12√(L1L2−M2)(R0+R2)R1

Silnik prądu stałego

Wytworzenie momentu obrotowego w silniku prądu stałegoopiera się na wykorzystaniu stałego pola magnetycznegooddziałowywującego na przewód z płynącym prądemPole magnetyczne generowane jest przez:magnes trwałyuzwojenie zasilane stałym napięciem

Na wirniku silnika umieszczone jest uzwojenie zasilanenapięciem stałym

Pole magnetyczne działa na uzwojenie twornika i powodujeobrót wirnika

Uzwojenia twornika zasilane są przez komutator, więcnastępuje zmiana kierunku zasilania uzwojeń co powodujekontynuowanie obrotu w tym samym kierunku

Silnik z magnesem trwałym

ωS

M

N

u

i

R

L

M – silnikS,N – bieguny magnesu trwałegoR – rezystancja uzwojenia twornikaL – indukcyjność uzwojenia twornikai – prąd twornikau – napięcie na zaciskach twornikaω – prędkość obrotowa

Równanie podsystemu elektrycznego silnika

u(t) = Ri(t) + Ldi(t)dt+ e(t)

gdzie e(t) – siła elektromotoryczna

Siła elektromotoryczna jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika

e(t) = Keω(t)

gdzie Ke – stała napięciowa silnika

Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika

Me(t) = Kmi(t)

gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika

Ostatecznie

u(t) =RMe(t)Km

+L

Km

dMe(t)dt

+Keω(t)

Zakładając jako zmienne wejściowe u(t) i Me(t), a jako wyjściową ω(t)model operatorowy ma postać

ω(s) =1Keu(s)−

(R+ sLKmKe

)Me(s)

Lub macierzowo

ω(s) =[1Ke

R+ sLKmKe

] [u(s)Me(s)

]

Silnik obcowzbudny

ω

iw

Lw

Rw

M

uw

u

i

R

L

uw, iw – napięcie i prąd wzbudzeniaRw – rezystancja uzwojenia wzbudzeniaLw – indukcyjność uzwojenia wzbudzeniaR – rezystancja uzwojenia twornikaL – indukcyjność uzwojenia twornikau, i – napięcie i prąd twornikaω – prędkość obrotowa

Równanie obwodu wzbudzenia

uw(t) = Rwiw(t) + Lwdiw(t)dt

Dla obwodu twornika otrzymujemy

u(t) = Ri(t) + Ldi(t)dt+ e(t)

gdzie e(t) – siła elektromotoryczna

Siła elektromotoryczna zależy od sprzężenia magnetycznego z obwodemwzbudzenia i prędkości obrotowej silnika

e(t) = KtΦw(t)ω(t) (∗)

gdzie Kt – stała, Φw(t) – sprzężenie magnetyczne twornika pochodząceod strumienia wzbudzenia

Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika istrumienia wzbudzenia

Me(t) = KmΨw(t)i(t) (∗∗)

gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika, Ψw – strumieńwzbudzenia

Równania (*) i (**) są nieliniowe (iloczyn funkcji zależnych od czasu),aby uzyskać opis operatorowy należy dokonać linearyzacji w punkciepracy (i0, iw0)

Dla równania (∗)∆e(t) = K1∆iw +K2∆ω

gdzie K1 = Ktω(iw0)dΦw(t)diw(t)

∣∣∣∣0, K2 = KtΦw(iw0)

Dla równania (∗∗)

∆Me(t) = K3 (i0∆iw + iw0∆i)

gdzie K3 = KmM21, M21 – indukcyjność wzajemna

Zakładając jako zmienne wejściowe u(t), uw(t) i Me(t), a jako wyjściowąω(t) model operatorowy ma postać

ω(s) =[1K2

− R+ sLK2K3iw0

(R+ sL)i0 −K1iw0K2(Rw + sLw)iw0

] u(s)Me(s)uw(s)

Zastosowania silników prądu stałego

elementy wykonawcze samolotówmotoryzacjaukłady płynnej regulacji prędkości obrotowejtrakcja elektrycznanapędy manipulatorów i robotów – możliwość płynnejregulacji prędkości kątowej

Silnik krokowy

Silnik krokowy (skokowy) to silnik przekształcający ciągsterujących impulsów elektrycznych na ciąg przesunięćkątowych lub liniowych

Silnik krokowy jest układem znacznie prostszym niż układnadążny wykonujący to samo zadanieKlasyfikacja silników krokowych:o wirniku czynnym – najczęściej wirnik wykonany jest z twardejstali, rzadziej używa się uzwojenia wzbudzeniao wirniku biernym (reluktancyjnym) – wirnik wykonany jest zblachy elektrolitycznej, jest uzębiony ale nie ma żadnegouzwojeniahybrydowe – posiadają wirnik reluktancyjny, a ponadto magnestrwały, wzmacniający przepływ wywołany impulsem sterującymdla pożądanego ustawienia zębów

Skok silnika krokowego to przesunięcie kątowe lub liniowewirnika pod wpływem działania jednego impulsu sterującego

Silnik krokowy z magnesem trwałym

N

S

S

N

1

2

1

2N S SN

1

2

1

2

S

N

N

S

1

2

1

2

2-2

1-1

u

u

t

t

wirnik stanowi magnes trwały

na stojanie znajdują się bieguny zpasmami uzwojeń 1-1, 2-2

do pasm doprowadza się odpowiedniouformowane impulsy

pod wpływem wytworzonegomomentu obrotowego wirnik obracasię o kąt skoku

Skok silnikaα =

2π2pm

gdzie p – liczba pasm uzwojeń, m – liczba par biegunów stojana

Równanie pasma uzwojenia

uj(t) = Rij(t) + Ldij(t)dt+ ej(t), dla j = 1, 2

Siła elektromotoryczna

ej(t) = Kedθ(t)dtsin(θ(t) + (j − 1)α)

gdzie Ke – stała napięciowa, θ(t) – kąt obrotu

Moment elektryczny

Me(t) = Kmi2(t) cos(θ(t))−Kmi1(t) sin(θ(t))

gdzie Km – stała momentu obrotowego

Zastosowania silników krokowych

napędy obrabiarek numerycznychnapędy drukarek, ploterówukłady zabezpieczeń w reaktorach jądrowych – sterowanieprętami bezpieczeństwa pochłaniającymi neutronytechnika pomiarowa – dokładne pozycjonowanieelementów pomiarowychrobotyka – manipulatory, pozycjonowanie robotów