Rozdzia 2

Dynamika

Dynamika jest dziaem mechaniki opisujacym ruch ukadu materialnego

pod wpywem si dziaajacych na ten ukad.

Dynamika opiera sie na trzech zasadach Newtona:

1. Zasada bezwadnosci:

Punkt materialny, na ktry nie dziaaja zadne siy lub wszystkie

dziaajace nan siy znosza sie, pozostaje w spoczynku lub porusza

sie ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgledem ukadu odniesienia.

Ukad odniesienia, w ktrym suszna jest ta zasada nazywamy i-

nercjalnym. Punkt w tym ukadzie nie moze udzielic sobie przyspieszenia.

2. W ukadzie inercjalnym zmiana ruchu punktu materialnego jest

proporcjonalna do siy dziaajacej i odbywa sie w kierunku dzia-

ania tej siy.

F = ma.

Rwnanie to jest podstawowym rwnaniem dynamiki.

3. Zasada akcji i reakcji.

Kazdemu dziaaniu towarzyszy rwne, lecz przeciwnie skierowane

przeciwdziaanie.

41

4. Pod wpywem ukadu si punkt materialny uzyskuje przyspiesze-

nie rwne sumie geometrycznej przyspieszen, jakie uzyskaby w

wyniku niezaleznego dziaania kazdej z si.

5. Zasada powszechnego ciazenia.

Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 dziaaja na siebie z sia

proporcjonalna do iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalnie

do kwadratu odlegosci tych mas

F = km1m2r2

,

gdzie k- staa grawitacji.

2.1 Zasada dAlemberta dla punktu

Wyobrazmy sobie, ze pchajac wzek nadajemy mu przyspieszenie a.

Dziaamy oczywiscie sia F = ma. Na podstawie trzeciej zasady wzek

przeciwdziaa z sia B = ma. (Pomijamy opory). Sia B nazywa sie

sia bezwadnosci lub sia dAlemberta.

Podobnie na kamien zawieszony na sznurku i poruszajacy sie po

okregu dziaa sia dosrodkowa Fr = man, a sia odsrodkowa jest sia

bezwadnosci, itp.

Stad wniosek, ze

F = B (akcja i reakcja)XFi + (ma) = 0.

Zasada dAlemberta

W ruchu punktu materialnego ukad si czynnych i reakcji wiezw rwnowazy

sie z pomyslana sia bezwadnosci.

XFi +

XRi + (ma) = 0

42

Przykad 1 Rozpatrzmy ruch masym zawieszonej na koncu liny rozwi-

jajacej sie z bebna. Szukamy napiecia liny.

G sia ciezkosci (czynna),

S sia napiecia nici (reakcja),

B sia bezwadnosci.

Rzutujac wszystkie siy na os liny mamy

S G+B = 0,

S mg +ma = 0,

S = m (g a) .

Gdy spadek ciaa bedzie swobodny, wwczas g = a i napiecie S = 0.

2.2 Ped masy

Zgodnie z druga zasada dynamiki mozemy napisac ruch ciaa:

ma =X

Fi.

Pamietajac jednak, ze

a =dvdt

mamyddt(mv) =

XFi.

Wielkosc mv = p nazywamy pedem lub iloscia ruchu punktu material-

nego.

Rwnaniedpdt=X

Fi

43

wyraza zasade pedu dla punktu materialnego. Pochodna pedu punktu

materialnego jest rwna sumie si dziaajacych na dany punkt.

Rwnanie powyzsze jest oglniejszym sformuowaniem drugiej zasady

dynamiki (jest prawdziwe w mechanice relatywistycznej).

Jezeli terazP Fi = 0, to p = 0 p = const. Jest to zasada

zachowania pedu dla punktu.

Jezeli na punkt materialny nie dziaaja zadne siy, to ped punktu

jest zachowany, jest stay.

2.3 Kret punktu materialnego

Kretem lub momentem pedu punktu materialnego wzgledem punktu O

nazywamy wektor rwny iloczynowi wektora poozenia r przez ped p

poruszajacego sie punktu.

Kodef.= r mv.

Skadowe kretu w ukadzie x, y, z:

Kox = m (yz zy) ,

Koy = m (zx xz) ,

Koz = m (xy yx) .

Zbadajmy zmiane kretu Ko w czasie

d Ko

dt=

drdtmv + r d

dt(mv) ,

d Ko

dt= v mv| {z }

=0

+ r ma,

d Ko

dt= Mo.

44

Powyzszy zwiazek wyraza zasade kretu punktu materialnego:

Pochodna wektora kretu wzgledem czasu jest rwna momentowi g

wnemu wszystkich si dziaajacych na dany punkt.

jezeli teraz Mo = 0, toKo = 0 Ko = const. Jest to zasada zachowa-

nia kretu punktu materialnego:

Jezeli moment gwny si dziaajacych na poruszajacy sie punkt jest

wzgledem jakiegos bieguna rwny zeru, to kret poruszajacego sie punktu

wzgledem tego bieguna jest zachowany, jest stay.

2.4 Dynamiczne rwnania ruchu punktu

Wychodzimy z wektorowej postaci

F = ma.

Uwzgledniajac

F = Fxi+ Fyj + Fzk,

a = xi+ yj + zk.

Mamy

mx = Fx, my = Fy, mz = Fz

lub

mx =X

Fix, my =X

Fiy, mz =X

Fiz.

Poniewaz sia w oglnym przypadku jest funkcja:

F = F (r,v, t)

45

stad oglna postac rwnan bedzie

mx = Fx (x, y, z, x, y, z, t)

my = Fy (x, y, z, x, y, z, t)

mz = Fz (x, y, z, x, y, z, t)

.

Sa to rzniczkowe rwnania drugiego rzedu. Konieczne jest dwukrotne

cakowanie i wwczas pojawi sie 6 staych cakowania (3 rwnania). Aby

te stae wyznaczyc konieczne sa warunki poczatkowe- musi ich byc tyle,

ile staych. Dla t = to mamy

x = xo, x = xo,

y = yo, y = yo,

z = zo, z = zo.

Wykorzystujac warunki poczatkowe otrzymujemy rozwiazania rwnan:

x = f1 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)

y = f2 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)

z = f3 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)

Sa to kinematyczne rwnania ruchu.

46

2.5 Przykady cakowania rwnan ruchu

1. Ruch pod wpywem siy F = 0, z warunkami poczatkowymi: t =

0,r = vo, r = ro.

ma = 0,

mr = 0,r = 0,r = 0 + c,r = vo,

r = vot+ c1,

r = vot+ ro.

Jest to ruch jednostajny

2. Ruch pod wpywem staej siy F = const., z warunkami poczatkowymi:

t = 0,r = vo, r = ro.

mr = F ,r =

1

mF,

r =

1

mFt+ c,

r =

1

mFt+ vo,

r =1

2mFt2 + vot+ c1,

r =1

2mFt2 + vot+ ro.

Sa to wzory na ruch jednostajnie zmienny (przyspieszony lub

opzniony).

47

2.6 Drgania

2.6.1 Drgania swobodne punktu

Aby wystapiy drgania, punkt musi poruszac sie ruchem prostoliniowym

pod wpywem siy F przyciagajacej ten punkt do staego punktu O

zwanego srodkiem drgan.

Sia sprezystosci jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = kx, k- staa sprezystosci.

Rwnanie ruchu bedzie miao postac

mx = F,

mx = kx

lub

x+kmx = 0.

Oznaczmykm= 2.

Otrzymujemy rwnanie rzniczkowe drgan swobodnych

x+ 2x = 0, - czestosc ruchu.

Otrzymane rwnanie jest rwnaniem liniowym, jednorodnym drugiego

rzedu.

Rozwiazanie:

dokonujemy podstawienia x = et

2et + 2et = 0,

= .

48

Caka oglna

x = Aet +Bet.

Korzystajac z wzorw Eulera

sint =et et

2,

cost =et + et

2,

mamy

et = cost+ sint

et = cost sint.

Stad

x = A cost+A sint+B costB sint,

x = (A+B) cost+ (AB) sint.

Oznaczajac A+B = C1 oraz (AB) = C2, mamy

x = C1 cost+ C2 sint.

Podstawiamy C1 = a sin, C2 = a cos.

x = a sin cost+ a cos sint,

x = a sin (t+ ) - rozwiazanie (2.1)

Staa a- amplituda (maksymalne wychylenie), - faza poczatkowa ruchu,

drgan, (t+ )- faza drgan.

Ruch okreslony wzorem 2.1 jest okresowy o okresie

T =2,

=

rkm, T = 2

rmk

49

20151050

1

0.5

0

-0.5

-1

t

x

t

x

2.6.2 Drgania tumione

Drgania tumione wystepuja w osrodku stawiajacym opr. Siy oporu

sa proporcjonalne do predkosci

R = vx = x - sia tumiaca

Rwnanie ruchu:

mx = kx x

x+ 2nx+ 2x = 0

gdzie =q

km , 2n =

m .

Poniewaz rwnanie charakterystyczne jest kwadratowe, to moga zajsc 3

przypadki rozwiazan: > 0, = 0, < 0. Rwnanie charakterysty-

50

czne ma postac:

2 + 2n+ 2 = 0,

= 4n2 42 , = 2

pn2 2 ,

1 =2n 2

n2 2

2= n

pn2 2 ,

1 =2n+ 2

n2 2

2= n+

pn2 2

Rozpatrzmy przypadki

1. Mae tumienie > n < 0. Mamy rozwiazania zespolone

(podobnie jak przy drganiach swobodnych).

Rozwiazanie

x = entC1 cos

p2 n2t+C2 sin

p2 n2t

C1 = a sin

C2 = a cos

Ostatecznie

x = aent sinp

2 n2t+ .

Jezeli t, to x 0 - drgania zanikaja.

Okres

T =2

2 n2, t =

p2 n2

51

5037.52512.50

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

x

y

x

y

2. Duze tumienie < n > 0. Mamy rozwiazania rzeczywiste-

nie bedzie drgan.

x = entC1e

n22t + C2e

n22t

.

Korzystajac z wzorw na funkcje hiperboliczne

cosh (kt) =ekt + ekt

2,

sinh (kt) =ekt ekt

2

oraz postepujac podobnie jak przy drganiach swobodnych mamy

C1 =B1 +B2

2,

C2 =B1 B2

2

x = entB1 cosh

pn2 2t

+B2 sinh

pn2 2t

.

52

Wprowadzajac

B1 = a sinh,

B2 = a cosh

otrzymujemy

x = aent sinhp

n2 2t+ .

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgan.

3. Tumienie krytyczne = n = 0.Rozwiazanie

x = ent (C1 + C2t)

Tutaj rwniez mamy brak okresowosci- brak drgan.

2.6.3 Drgania wymuszone

Jezeli na punkt dodatkowo dziaa sia wymuszajaca okresowa- wys-

tepuja drgania wymuszone.

Sia wymuszajaca S = H sin (pt), gdzie p - czestosc siy wymuszajacej.

Rwnanie ruchu tych drgan

mx = kx+H sin (pt)

x+ 2x = h sin (pt)

=

rkm, h =

Hm.

Rozwiazanie tego rwnania skada sie z caki oglnej rwnania jednorod-

nego

x1 = a sin (t+ )

53

i caki szczeglnej rwnania niejednorodnego, ktra zakadamy tu w

postaci

x2 = B sin (pt) .

Staa B wyznaczamy wstawiajac x2 do rwnania drgan

Bp2 sin (pt) + 2B sin (pt) = h sin (pt) .

Stad

B =h

2 p2 .

Rozwiazanie ostateczne tych drgan

x = x1 + x2,

x = a sin (t+ ) +h

2 p2 sin (pt) .

Jest to zozenie dwch drgan: wasnych i wymuszonych.

Widzimy, ze amplituda drgan wymuszonych

B =h

2 p2

zalezy od czestosci drgan wymuszonych. Jezeli p , to B i

wystepuje rezonans.

W przypadku rezonansu rozwiazanie drgan bedzie miao postac

x = a sin (t+ ) h2

t cos (t)

54

21.510.50

5

3.75

2.5

1.25

p/w

|A|

p/w

|A|

302520151050

1

0.5

0

-0.5

-1

xx

2.7 Momenty bezwadnosci

Momentem bezwadnosci punktu materialnego wzgledem paszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat

55

odlegosci tego punktu od paszczyzny, osi lub bieguna

I = mr2.

Momentem bezwadnosci ukadu punktwmaterialnych wzgledem paszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy sume momentw bezwadnosci wszystkich

punktw wzzgledem tej paszczyzny, osi lub bieguna:

I =Xi

mir2i .

Jezeli teraz mamy brye i potniemy ja na elementy mi, to

Ii =Xi

r2imi.

W granicy dla osrodka ciagego otrzymujemy

I =ZVr2dm.

Kazdy moment bezwadnosci mozna przedstawic w posatci iloczynu

masy caego ukadum przez kwadrat pewnej odlegosci i zwanej promie-

niem bezwadnosci

I = mi2,

stad

i =

rIm.

Rwniez kazdy moment bezwadnosci mozna przedstawic w postaci

iloczynu pewnej masy mred przez kwadrat pewnej przyjetej odlegosci

k.

I = mredk2.

Stad

mred =Ik2.

56

W zaleznosci od tego, czy ukad jest linia, powierzchnia czy brya

okreslamy dm:

dm = ldl, dm = SdS, dm = dV,

I = l

Zlr2dl, I = S

ZSr2dS, I =

ZVr2dV.

1. Moment bezwadnosci wzgledem paszczyzny

Ixy =ZVz2dm, Iyz =

ZVx2dm, Izx =

ZVy2dm.

2. Moment bezwadnosci wzgledem osi ukadu

Ix =ZV

y2 + z2

dm, Iy =

ZV

z2 + x2

dm, Iz =

ZV

x2 + y2

dm.

3. Moment bezwadnosci wzgledem punktu (biegunowy)

IO =ZV

x2 + y2 + z2

dm

2.8 Momenty dewiacyjne

Mamy dwie paszczyzny i i punkt m1 odlegy o r1 i 1 od tych

paszczyzn. Momentem zboczenia punktu materialnego wzgledem paszczyzn

wzajemnie prostopadych nazywamy

D = m1r11.

Momentem zboczenia wzgledem dwch wzajemnie prostopadych paszczyzn

nazywamy wyrazenie

D =ZVrdm.

57

W ukadzie kartezjanskim

Dxy =ZVxydm,

Dyz =ZVyzdm,

Dzx =ZVzxdm.

Twierdzenie 2 (Twierdzenie Steinera) Moment bezwadnosci wzgle-

dem dowolnej osi jest rwny momentowi wzgledem osi rwnolegej prze-

chodzacej przez srodek masy powiekszonemu o iloczyn masy cakowitej

ukadu przez kwadrat odlegosci obu osi.

Il = Is +md2.

Dowd. Wzgledem osi l

Rysunek 2-1:

Il =X

mir02i ,

58

Wzgledem osi s

Is =X

mir2i .

Miedzy r0i i ri zachodzi zaleznosc

r02i = r2i + d

2 + 2dri cosi = r2i + d2 + 2dxi.

Stad

Il =X

mir2i +X

mid2 +X

2mixi,

Il = Is +md2 + 2dX

mixi,

Il = Is +md2 + 2dZVxdm,

gdzieRV xdm jest momentem statycznym.

Poniewaz punkt S jest srodkiem masy, toRV xdm = 0. Otrzymujemy

zatem

Il = Is +md2.

2.9 Moment bezwadnosci wzgledem osi nachy-

lonej dowolnie wzgledem osi ukadu

Zakadamy znajomosc momentw Ix, Iy, Iz oraz Dxy, Dyz, Dzx.

Z rysunku mamy

r = sin,

r2 = 2 sin2 = 2 2 cos2 .

Rzut promienia na os l jest rwny sumie rzutw skadowych tego

59

Rysunek 2-2:

60

promienia na ta os

cos = x cos+ y cos + z cos .

Stad

r2 = 2 (x cos+ y cos + z cos )2 .

Uwzgledniajac, ze

2 = x2 + y2 + z2

i

cos2 + cos2 + cos2 = 1

otrzymujemy

r2 = x2 + y2 + z2 x2 cos2 + y2 cos2 + z2 cos2

2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos

= x2cos2 + cos2

+ y2

cos2 + cos2

+ z2

cos2 + cos2

2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos.

Grupujac wzgledem cosinusw

r2i =y2 + z2

cos2 +

z2 + x2

cos2 +

x2 + y2

cos2

2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos.

Poniewaz moment bezwadnosci wzgledem osi

I =ZVr2dm,

to otrzymujemy

I = Ix cos2 + Iy cos2 + Iz cos2

2Dxy cos cos 2Dyz cos cos 2Dzx cos cos.

61

2.10 Elipsoida bezwadnosci

Rysunek 2-3:

Na osi l odkadamy odcinek OQ (os ta moze sie zmieniac w przestrzeni

bo liczymy I dla caego peku osi)

Okreslamy OQ co do dugosci

OQ =kI

Okreslamy miejsce geometryczne punktw Q

x = OQ cos, y = OQ cos, z = OQ cos ,

cos =xI

k, cos =

yI

k, cos =

zI

k.

Wstawiajac to do wzoru na moment I mamy

Ixx2 + Iyy2 + Izz2 2Dxyxy 2Dyzyz 2Dzxzx = k2

62

Jest to rwnanie elipsoidy bezwadnosci.

Elipsoida bezwadnosci nazywamy miejsce geometryczne punk-

tw, ktrych odlegosci od poczatku ukadu sa odwrotnie proporcjon-

alne do pierwiastka z momentu bezwadnosci wzgledem osi przechodzacej

przez dany punkt i poczatek ukadu.

Mozna tez przyjac ukad wsprzednych taki, ze D = 0. Wtedy

I1x2 + I2y2 + I3z2 = k2,

gdzie I1,2,3 - gwne momenty bezwadnosci.

Osie gwne D = 0,

Osie centralne gwne- gwne przez srodek masy,

Osie gwne- to osie elipsoidy.

2.10.1 Poozenie osi gwnej

Takimi osiami sa:

1. kazda os symetrii,

2. kazda prosta do paszczyzny symetrii,

3. kazda prosta, na ktrej leza srodki mas warstw elementarnych,

otrzymanych przez podzia ciaa paszczyznami prostopadymi do

tej prostej.

2.11 Praca, energia, moc, pole si

Jesli na jakis punkt dziaa sia P i punkt przesuwa sie o s, to mwimy,

ze P wykonaa prace

L = P s = Ps cos.

63

W ukadzie wsprzednych

L = P s = Pxsx + Pysy + Pzsz

Zazmy teraz, ze na punkt dziaa sia wypadkowa

P =X

Pi,

L = P s =X

Pi s = P1 s+ P2 s+ ...

Wynika stad twierdzenie, ze praca wypadkowej rwna jest sumie prac

poszczeglnych si.

Wezmy teraz pod uwage prace elementarna siy na uku ds

dL = Pds cos

Poniewaz

|dr| = ds,

to

dL = P |dr| cos = P dr

Stad

dL = Pxdx+ Pydy + Pzdz

Aby wyznaczyc caa prace wykonana na uku\A1A2 trzeba dL scakowac

L =Z\A1A2

P dr =Z\A1A2

Pxdx+ Pydy + Pzdz

Praca jest rwna cace krzywoliniowej po uku\A1A2. Sia P jak wiemy

moze byc postaci P = P (r,v, t). Jezeli dane sa rwnania ruchu r =

64

r (t), tzn.

x = x (t) ,

y = y (t) ,

z = z (t) .

Wwczas

dx = x0dt,

dy = y0dt,

dz = z0dt.

Stad

L =Z t2t1(Pxx+ Pyy + Pz z) dt =

Z t2t1

P vdt

W szczeglnym przypadku, jesli sia P zalezy tylko od poozenia punktu

A na torze, wwczas miare rzutu siy na styczna P cos mozna wyrazic

od wsprzednej ukowej (dugosci uku) s:

L =Z s2s1

P cosds

Prace wykonana przez sie w jednostce czasu nazywamy moca siy

M =dLdt= P dr

dt= P v,

M = P v = Pv cos.

Jednostki pracy i mocy

1. 1J = 1Nm = 1kg m2

s2 = 107 ergw

2. 1W = 1Js

3. 1kGm = 1kG 1m = 9.81J

65

4. 1kGms

1kM = 75kGms

= 75 9.81Js= 736W

2.12 Przykady obliczania pracy si

1. Praca siy ciezkosci

L =Z\A1A2

Pxdx+ Pydy + Pzdz,

Px = Py = 0, Pz = mg

L = mgZ\A1A2

dz = mg (z1 z2) = mgh

2. Praca siy sprezystej

Px = kx

dL = Pxdx = kxdx

L = kZ x2x1

xdx =k2

x21 x22

3. Praca siy centralnej

Sia centralna to sia, ktrej kierunek bez wzgledu na punkt przyoze-

nia przechodzi przez ten sam punkt. Punkt przyozenia nazywa

sie srodkiem si centralnych (przyciaganie- odpychanie)

Zgodnie z zaozeniem mamy

P = P (r)

dL = P (r) cosds

66

Z trjkata AA0A znajdujemy

dr = AA = ds cos ( ) ds cos

Stad

dL = P (r) dr,

dL = Z r2r1

P (r) dr

Wynika stad, ze praca siy centralnej nie zalezy od drogi, lecz od

odlegosci od punktu.

2.13 Praca si i praca w polu si

Jezeli w kazdym punkcie pewnego obszaru dziaa sia zalezna od r i t,

P = P (r, t), to mwimy, ze w tym obszarze jest okreslone pole si.

Jesli siy te sa niezalezne od czasu, to pole jest stacjonarne. Wwczas

P = P (r)

Px = Px (x, y, z) , Py = Py (x, y, z) , Pz = Pz (x, y, z) .

Praca w tym polu si

L =ZA1A2

[Px (x, y, z) dx+ Py (x, y, z) dy + Pz (x, y, z) dz]

Na og praca ta zalezy od drogi.

Istnieja jednak pola, w ktrych praca zalezy jedynie od skrajnych poozen.

Tego typu pole nazywamy zachowawczymi lub potencjalnymi.

W polu potencjalnym mozna zdefiniowac pewna funkcje skalarna za-

67

lezna od poozenia zwana potencjaem pola:

P = gradV,

Px = Vx

, Py = Vy

, Pz = Vz

.

dL = Pxdx+ Pydy + Pzdz = Vx

dx+Vy

dy +Vz

dz= dV,

L = ZA1A2

Vx

dx+Vy

dy +Vz

dz=

ZA1A2

dV = V1 V2,

gdzie Vi, i = 1, 2- potencja w punkcie i.

Praca zatem nie zalezy od toru, czyli w tym polu

L =I

P dr = 0.

Warunki istnienia potencjau

Pxy

= 2V

xy,

Pyx

= 2V

yx,

Pxy

=Pyx

Podobnie uzyskujemy dalsze dwa warunki

Pxz

=Pzx

,

Pyz

=Pzy

.

Warunki powyzsze wynikaja z warunkw koniecznych i wystarczajacych

na to, by wyrazenie podcakowe byo rzniczka zupena. W polu po-

tencjalnym wyrazenie to, dzieki potencjaowi, jest rzniczka zupena.

Jesli V (x, y, z) jest potencjaem pola, to funkcja

V 0 = V (x, y, z) +C

68

jest rwniez potencjaem (staa addytywna C peni role poziomu odniesienia).

Praca jest jednak rznica potencjaw, wiec

L = V1 V2 = V 01 V 02

Powierzchnia ekwipotencjalna

V (x, y, z) = a = const.

2.14 Rotacja pola si

Jezeli pole si jest polem wirowym, wwczas mozna wprowadzic pewna

funkcje wektorowa F , ze

rot F =

i

j

k

x

y

z

Px Py Pz

Pole jest wirowe jesli rot F 6= 0 nie jest polem potencjalnym, np. polesi wirujacej lepkiej cieczy, pole magnetyczne, itp. Linie si tego pola sa

okregami. Jesli pole jest potencjalne, to rot F = 0.

2.15 Przykady zachowawczych pl si

1. Jednorodne pole si ciezkosci

P = mg

Px = Py = 0, Pz = mgVx

= Px = 0,Vy

= Py = 0,Vx

= Px = mg.

Stad

V = mgz + C

69

Powierzchnie ekwipotencjalne- paszczyzny

L = V1 V2 = mg (z1 z2)

2. Potencja siy sprezystej

Px = cx, V = V (x)dVdx

= Px = cx

V =1

2cx2

3. Pole si centralnych- przyciaganie

P = P (r)

Px = P (r)xr, Py = P (r)

yr, Pz = P (r)

zr,

r =px2 + y2 + z2.

Potencjaem jest funkcja

V =ZP (r) dr

L = V0 V =Z

Vx

dx+Vy

dy +Vz

dz

=

Z Vr

rx

dx+Vr

ry

dy +Vr

rz

dz

=

ZVr

dr

Vx

=Vr

rx

= P (r)xp

x2 + y2 + z2= P (r)

xr= Px

70

Podobnie

Vy

= Py,

Vz

= Pz.

4. Pole si ciazenia

P = kMmr2

,

V =ZPdr = kMm

Zdrr2= kMm

r+ C,

V = kMmr

.

Rozpatrzmy ruch punktu

m..r = P

Obliczamy prace wykonana miedzy punktami A i B toru przez sie P

LAB =ZdAB P dr

LAB =ZdABm

..r dr =

ZdABm

..r

.rdt =

Z .r2.r1

m.r d

.r

=

Z v2v1

mv dv = 12mv2

v2v1

=1

2mv22

1

2mv21

Wyrazenie 12mv2- energia kinetyczna

LAB = TB TA

Zasada rwnowaznosci pracy i energii kinetycznej:

Praca wykonana przez siy dziaajace na punkt przy przesunieciu tego

71

punktu z poozenia A do poozenia B jest rwna przyrostowi energii

kinetycznej punktu

Praca w polu potencjalnym jest rwna rznicy potencjaw tego

pola si

LAB = VA VB

Z ostatnich dwch wzorw

TB TA = VA VB,

TB + VB = TA + VA

Zasada zachowania energii mechanicznej

W zachowawczym polu si suma energii kinetycznej i potencjalnej jest

staa.

Przykad ruchu w zachowawczym polu si

Ruch punktu A po krzywej w jednorodnym polu si ciezkosci. Dzi-

aaja duze siy mg i N reakcja normalna do krzywej (nie wykonuje

pracy)

T =mv2

2, T0 =

mv202

,

V = mgz, V0 = mgz0

Z zasady zachowania energii

mv2

2+mgz =

mv202+mgz0

Stad

v =qv20 + 2g (z0 z) =

qv20 + 2gh

Predkosc na torze nie zalezy od ksztatu toru, tylko od rznicy poziomw

i predkosci poczatkowej

72

2.16 Ruch srodka masy ukadu punktw

Rozpatrzmy ruch ukadu n punktw materialnych

m1r1 = P 01

m2r2 = P 02...

mnrn = P 0n

miri = P 0i

P 0i = Pi + Wi,

gdzie Pi - siy zewnetrzne,

Wi- siy wewnetrzne

Dodajemy stronami pierwsze rwnaniaPimi

ri =

PiP 0i

inaczej

Xi

mid2ridt2

=Xi

Pi +Xi

Wi

Xi

mid2ridt2

=d2

dt2Xi

miri

Srodek masy okreslony jest nastepujaco

r0 =P

imiriM

stad Xi

mid2ridt2

=d2

dt2(Mr0) =M

r0

Zgodnie z III zasada NewtonaP

iWi = 0 poniewaz wystepuja parami.

Stad ostatecznie

Mr0 =

Xi

Pi

73

Twierdzenie 3 (o ruchu srodka masy ukadu punktw materialnych)

Srodek masy porusza sie jak punkt materialny, w ktrym skupiona jest

cakowita masa ukadu i na ktry dziaaja wszystkie siy zewnetrzne.

2.17 Ped ukadu punktwXi

mid2ridt2

=ddt

Xi

midridt=

ddt

Xi

mivi =dQdt

gdzie Q =P

imivi- ped ukadu.

dQdt=Xi

Pi- zasada pedu

Zasada zachowania pedu. Jezeli na ukad nie dziaaja zadne siy, to ped

ukadu jest stay

Xi

Pi = 0dQdt= 0 Q = const.

2.18 Kret ukadu punktw materialnych

Kretem ukadu punktw materialnych wzgledem srodka S nazywamy

KS =nXi=1

i (mivi)

Twierdzenie 4 (Zasada zachowania kretu) Pochodna wzgledem czasu

kretu ukadu obliczonego wzgledem punktu nieruchomego S lub wzgledem

srodka masy rwna jest sumie momentw si zewnetrznych dziaajacych

na ukad obliczonych wzgledem punktu S lub srodka masy.

Dowd. W ukadzie wsprzednych obieramy punkt S

Wzgledem punktu S kret ukadu wynosi

KS =nXi=1

i (mivi)

74

d KSdt

=ddt

nXi=1

i (mivi)

=nXi=1

didt (mivi) +

nXi=1

i (miai)

ale i = ri rS . Stad

didt=

ri

rS = vi vS

vi- predkosc i-tego punktu, vS- predkosc punktu S. Ponadto wiemy, ze

miai = Pi + Wi

Stad

d KSdt

=nXi=1

vi (mivi)nXi=1

vS (mivi) +nXi=1

i Pi + Wi

= vS

ddt

nXi=1

miri

!+

nXi=1

i Pi +nXi=1

i Wi

vS ddt

nXi=1

miri

!= vS ddtMr0 = vS Mv0

v0- predkosc srodka masy.Pni=1i Wi = 0. Stad

d KSdt

= vS Mv0 +nXi=1

i Pi

Jezeli S jest punktem nieruchomym, to vS = 0 i pierwszy czon =

0. Jezeli vS = v0 to S jest srodkiem masy. Wtedy v0 Mv0 = 0.Otrzymujemy zatem

d KSdt

=nXi=1

i Pi

75

Zasada zachowania kretu. Jezeli na ukad punktw nie dziaaja

zadne momenty si zewnetrznych wzgledem punktu S, to kret ukadu

wzgledem punktu S jest stay

MS =nXi=1

i Pi = 0d KSdt

= 0 KS = const.

Wezmy teraz ciao materialne, ktre obraca sie wzgledem pewnej osi

z predkoscia katowa .

v = h

h- jest ramieniem pedu elementu dm czyli vdm.

dK0 = h v dm = h2dm

K0 =Zh2dm =

Zh2dm

K0 = IL

2.19 Energia kinetyczna ukadu punktw

Energia kinetyczna ukadu punktw jest rwna sumie energii poszczegl-

nych punktw

T =X miv2i

2

W ruchu postepowym predkosci wszystkich punktw sa jednakowe wiec

T =v2

2

Xmi =

mv2

2

2.19.1 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym ciaa sz-

tywnego

predkosc v = h

dT =1

2v2dm =

1

22h2dm

76

Stad

T =1

2

Zv2dm =

1

2

Z2h2dm =

1

22Zh2dm =

1

2IL2

Twierdzenie 5 (Koeniga) Energia kinetyczna ukadu punktw mate-

rialnych rwna jest sumie energii kinetycznej, jaka miaby punkt mate-

rialny o masie caego ukadu, poruszajacy sie z predkoscia srodka masy

oraz energii kinetycznej tegoz ukadu wzgledem srodka masy.

Rozpatrzmy ruch ukadu wzgledem staego ukadu. Wiazemy na

stae z ukadem punktw ukad C, x0, y0, z0. Predkosc dowolnego

punktu o masie mi wynosi

vi = v0i + vC

v2i = vi vi = v2i

v2i = v2i =

v0i + vC

2= v2C + 2v

0i vC + v02i

= v2C + 2v0i vC + v02i

Stad

T =X miv2i

2

=1

2

Xmiv2C + 2v

0i vC + v02i

=

1

2v2CX

mi + vC X

miv0i +Xmiv02i

2

WyrazenieP

miv0i - ped ukadu w jego ruchu wzgledem ukadu C, x0, y0, z0.

Ped ten jest rwny 0, bo ukad jest sztywno zwiazany z primowanym

ukadem wsprzednych Xmiv0i = 0

77

Stad

T =1

2mv2C +

X miv02i2

Jezeli badamy energie kinetyczna bryy, to energia kinetyczna wzgle-

dem srodka masy wynosi

T 0 =1

2IL2

Stad

T =1

2mv2C +

1

2IL2

2.19.2 Praca w ruchu obrotowym

dL = Pds

dL = Phd

dL = Mld

L =Z 21

Mld

2.20 Ruch postepowy ciaa sztywnego

Rwnania ruchu jak dla punktu.

Ped bryy

Q = mvC

Kret bryy- brya sie nie obraca wzgledem srodka masy stad KC = 0.

Praca: L =RdAB P dr.

Energia kinetyczna T = 12mv2C

78

2.21 Ruch obrotowy ciaa sztywnego

Rwnania ruchu

dKZdt

=X

MiZ

KZ = IZ

d (IZ)dt

=X

MiZ

IZddt

=X

MiZ

IZ =X

MiZ

IZ =X

MiZ- rwnanie ruchu bryy

Rozwiazanie rwnania ruchu IZ =P

MiZ :

=MZ2IZ

t2 + 0t+ 0

Ped bryy.

Poniewaz w ruchu obrotowym srodek masy jest w spoczynku (os prze-

chodzi przez srdek masy), to ped Q = 0.

Kret bryy: KZ = IZ.

Praca: L =R 21

Mld.

Energia kinetyczna: 12IZ2.

79

2.22 Wahado matematyczne

Mz = mgl sin

ml2 = mgl sin

+mlml2

g sin = 0

+glsin = 0

2.23 Wahado fizyczne

Wahadem fizycznym nazywamy swobodnie obracajace sie ciao mate-

rialne wzgledem staego punktu.

Uzmy rwnanie ruchu

Mz = F yMz = mgs sin

Iz = mgs sin

+msIz

g sin = 0

Porwnujac to rwnanie z wahadem matematycznym

+glsin = 0

otrzymujemy

lred =Izms

dugosc zredukowana

Okres wahada

T = 2

slg 2

slredg= 2

sIzmgs

.

80

Rozwiazanie

= A cos (t+ 0) .

2.24 Reakcje dynamiczne

= const.

RA, RB reakcje dynamiczne

Korzystamy z zasady dAlemberta

Siy odsrodkowe (bezwadnosci) musza sie rwnowazyc z siami reakcji.

Rwnania beda

RAx +RBx + 2Zxdm = 0

RAy +RBy + 2Zydm = 0

rwnania si

RByl 2Zyzdm = 0

RBxl + 2Zxzdm = 0

momenty

Oznaczajac

Zxdm = mxc,

Zydm = myc,Z

yzdm = Dyz,Zxzdm = Dxz

mamy

RAx +RBx + 2mxc = 0

RAy +RBy + 2myc = 0

RByl + 2Dyz = 0

RBxl + 2Dxz = 0

81

stad

RBx = 2Dxzl

RBy = 2Dyzl

RAx = 2Dxzlmxc

RAy = 2

Dyzlmyc

RA =qR2Ax +R

2Ay

RB =qR2Bx +R

2By

Reakcje znikaja tylko wtedy, gdy

xc = 0, yc = 0, Dxz = 0, Dyz = 0.

Aby reakcje dynamiczne byy rwne zeru os obrotu musi byc centralna

gwna osia bezwadnosci.

Jesli os obrotu jest centralna osia, wwczas w ozyskach dziaaja pary

si:

xc = 0, yc = 0 =

RAx = RBx = 1lDxz2

RAy = RBy = 1lDyz2.

Przykad

Poniewaz paszczyzna Oxz jest paszczyzna symetrii krazka, wiecDyz =

0 (tyle samo masy po obu stronach paszczyzny), stad

RAy = RBy = 0.

Osie x, y sa obrcone o kat w stosunku do gwnych osi bezwadnosci

1, 2. Nalezy wyznaczyc moment Dxz.

82

Wyprowadzenie wzoru oglnego.

= x cos+ y sin

= x sin+ y cos

= z

I = Ix cos2 + Iy sin2 Dxy sin 2, = , =2 , =

2

I = Ix sin2 + Iy cos2 Dzy sin 2, = +2, = , =

2

D =Zdm =

Z(x cos+ y sin) (x sin+ y cos) dm =

=cos2 sin2

Zxydm+ sin cos

Zy2dm

Zx2dm

.

Zxydm = Dxy

i

Zy2dm

Zx2dm =

Z y2 + z2

dm

Z x2 + z2

dm = Ix Iy

czyli mamy

D = Dxy cos 2+1

2(Ix Iy) sin 2.

Jesli przyjmiemy, ze teraz Ix = I1 i Iy = I2 sa momentami gwnymi

(x, y - osie gwne), to Dxy = 0, stad

D =1

2(I1 I2) sin 2.

W naszym przypadku jest

Dxz =1

2(I1 I2) sin 2

83

stad

RAx = RBx =1

2l(I1 I2)2 sin 2.

2.25 Ruch paski bryy

Zbadajmy ped i kret bryy w ruchu paskim

dpdt

=X

Fi

p = pcdpcdt

=X

Fi

dKzdt

=X

Miz

pc = mrc = mvc

Kz = Izz

stad

mrc =

P FiIz =

PMiz

rwnania ruchu paskiego

Energia kinetyczna w ruchu paskim

T =1

2mv2c +

1

2Iz2.

84