МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании

кафедры высшей математики

«11» июня 2011 г.

«Решение нелинейных уравнений

средствами Microsoft Excel» Методические указания и упражнения

(для бакалавров 1-го курса)

Ростов-на-Дону

2011

УДК 621

Решение нелинейных уравнений средствами Microsoft Excel: методическое ука-

зания и упражнения(для бакалавров 1-го курса). – Ростов н/Д : Рост. гос. строит.

ун-т, 2011. – 54 с.

Рассмотрены наиболее часто встречающиеся численные методы решения не-

линейных уравнений: 1) метод половинного деления (дихотомии); 2) метод хорд;

3) метод касательных (метод Ньютона); 4) метод простых итераций, их реализа-

ция на Visual Basic for Application (VBA).

Лабораторные работы должны подготовить студентов к последующим эта-

пам учебной деятельности – умению решать инженерные задачи с помощью

персональных компьютеров. Задания содержат задачи по методам вычислений, с

которыми сталкивается специалист, занимающийся конструкторской и расчет-

ной деятельностью.

Электронная версия методических указаний находится в библиотеке,

ауд. 224.

УДК 621

Составитель: канд. физ.-мат. наук, доц. В.В.Шамраева

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А.Власков

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 189

Подписано в печать 12.07.11. Формат 6084/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 4,3. Тираж 20 экз. Заказ 391

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.

Ростовский государственный

строительный университет, 2011

3

Введение

Рассматривается решение нелинейного уравнения

f(x)=0. ( 1)

Ясно, что любое нелинейное уравнение можно свести к виду (1).

Определение 1. Корнем уравнения (1) называется такое значение x=v аргумента,

при котором это уравнение обращается в тождество, т.е. f(v)=0.

Корни уравнения (1) могут быть действительными и комплексными. В даль-

нейшем будет идти речь только о вычислении действительных корней. Геомет-

рически корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения,

точки касания или другой общей точки графика функции y=f(x) и оси Ox (рис. 1).

a) б) в)

Рис. 1. x=v – корень уравнения f(x)=0:

а) x=v – абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) и оси Ox;

б) x=v – абсцисса точки касания графика функции y=f(x) и оси Ox;

в) x=v – иной случай

Определение 2. Если функция f(x) имеет вид многочлена, то уравнение (1) назы-

вается алгебраическим.

Линейное, квадратное и биквадратное уравнения являются примерами алгеб-

раических уравнений.

Приведѐм некоторые свойства алгебраических уравнений:

1. Всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень (дейст-

вительный или комплексный).

2. Всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет не более n корней.

3. Всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами может

иметь лишь четное число комплексных корней.

4. Всякое алгебраическое уравнение нечѐтной степени с действительными коэф-

фициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

Определение 3. Если f(x) включает в себя тригонометрические или экспоненциальные

функции, то (1) называется трансцендентным, например xlg x = 1 или cos x = x3.

Решение квадратных и биквадратных уравнений, наипростейших тригономет-

рических и степенных, известно. Для кубических уравнений вводятся формулы

Кардано. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Бо-

лее того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени

4

неразрешимо в элементарных функциях. Итак, не всякое уравнение может быть

решено точно. Однако в прикладных задачах это не является необходимым. К

примеру, при изготовлении деталей многих точных механизмов допустимое от-

клонение от нормы измеряется тысячными долями миллиметра, или при измере-

нии диаметра трубы газопровода допускается погрешность до 1 мм. Задачу оты-

скания корней можно считать практически решенной, если мы сумеем опреде-

лить корни с заданной точностью .

В общем виде задача заключается в следующем:

Во-первых, установить, имеет ли уравнение (1) действительные корни, и если

имеет, то сколько. Во-вторых, определить значение действительного корня урав-

нения (1) или точно (если это возможно и если имеет смысл), или с погрешно-

стью, не превосходящей заданного, достаточно малого >0. Иными словами, ес-

ли v[a,b] - истинное значение корня уравнения (1), т.е. f(v)=0, то требуется оп-

ределить такое число x*, что | x

*-v|<.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные.

Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда

обеспечивают получение точного решения x=v (примером такого рода является

формула корней квадратного уравнения). В итерационных методах процедура

решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. По-

лученное решение x*

всегда является приближенным, хотя может быть сколь

угодно близким к точному решению v. Итерационные методы наиболее универ-

сальны и удобны для реализации на ЭВМ.

Основными, наиболее употребляемыми, итерационными методами решения

нелинейных уравнений являются: 1) метод половинного деления (дихотомии);

2) метод хорд (метод секущих); 3) метод касательных (метод Ньютона); 4) метод

простых итераций.

Алгоритм реализации любого итерационного метода состоит из двух частей:

1) отделение корней – отыскание некоторого приближенного значения корня

или содержащего его отрезка (при этом выделяются области, содержащие

только один корень, и рассматривается вопрос о кратности корней);

2) уточнение корня – построение итерационного процесса, позволяющего

уточнить значение корня.

Что касается отделения корней, тут нет формальных методов, отрезки опреде-

ляются или табуляцией, или исходя из физического смысла, или аналитическими

методами. Уточнение корня выполняется различными итерационными метода-

ми, суть которых в последовательном уточнении начального приближения корня

x0 – x1, x2, … , xn. Если значение xi, i=1,2, … с ростом n приближается к истин-

ному значению корня v, то процесс сходится. Выходом из итерационного про-

цесса являются условия: |f(xn)|< и | xn - xn-1 |< . Всюду далее будем предпола-

гать достаточным выполнения одного из этих условий. Это означает, что все

функции в следующих далее лабораторных работах являются не слишком «кру-

тыми» и не слишком «пологими» вблизи истинного корня.

5

1. Отделение корней

Часто при решении уравнения важно знать заранее, имеет ли оно корни, и если

имеет, то где они, примерно, располагаются. В общем случае отделение корней

уравнения (1) базируется на известной теореме о существовании корня непре-

рывной функции из математического анализа:

Теорема (о существовании корня непрерывной функции). Если функция f(x)

непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков,

то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения (1).

Определение непрерывной функции и некоторые свойства рассматриваются и

доказываются в [5] (лекция 4, с.15).

Коротко прокомментируем эту теорему. Во-первых, требование непрерывно-

сти функции f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. При наличии хотя бы

одной точки разрыва утверждение теоремы становится неверным. Для примера

рассмотрим график функции

12, 0 ;

2( )

12, 1

2

x x

f x

x x

(рис. 2). Здесь, мы имеем гра-

фик разрывной функции, которая принимает на концах отрезка [0,1] значения

разных знаков (f(0)=-2<0; f(1)=3>0), но не имеющей корней.

Рис. 2. Пример разрывной функции, принимающей на отрезке [0,1]

значения разных знаков, но не имеющей на этом отрезке корней

Во-вторых, гарантируя существование решения уравнения (1), теорема не по-

зволяет определить число его корней. К примеру, рассмотрев функцию

f(x) = sin8x - 0,5 (еѐ график приведен на рис.3), видно, что она непрерывна на

всей числовой оси, на концах, скажем отрезка [1,2], принимает значения разных

знаков – имеет на этом отрезке, три корня.

Рис. 3. Пример функции f(x)=sin8x-0,5, имеющей на отрезке [1,2] три корня

6

Иногда число корней можно установить с помощью дополнительных исследова-

ний. А именно, приведем следующие следствия из теоремы о существовании

корня непрерывной функции:

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], принимает на его

концах значения разных знаков и монотонно возрастает (убывает), то на этом

отрезке существует единственный корень уравнения (1).

Необходимым и достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке

является сохранение знака еѐ производной (см.[5], теорема 16, c.31). Поэтому ес-

тественно следующее следствие:

Следствие 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема

внутри [a,b], принимает на его концах значения разных знаков и f’(x)>0

(f’(x)<0) внутри [a,b], то на отрезке [a,b] существует единственный корень

уравнения (1).

Рассмотрим в качестве примера функцию f(x)=x-ex-2

, график которой приведѐн на

рис.4. Эта функция непрерывна на [0,1], дифференцируема внутри [0,1],

f(0) = -e-2

= -0,13534<0, f(1)=1-e-1

= 0,632121>0. Производная этой функции имеет

вид: f’(x)=1 - ex-2

. В интересующей нас области изменения переменной x[0,1]

производная положительна. Следовательно, функция f(x)=x-ex-2

на отрезке [0,1]

монотонно возрастает и может иметь только один корень.

Рис. 4. Пример функции f(x)=x-e

x-2, непрерывной на отрезке [0,1],

принимающей на концах отрезка значения разных знаков и

монотонно возрастающей на этом отрезке

Заметим, что сохранение знака второй производной функции f(x) на отрезке

(при прочих условиях), также будет означать существование единственного кор-

ня f(x) на этом отрезке. А именно, справедливо следующее следствие:

Следствие 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дважды дифферен-

цируема внутри [a,b], принимает на его концах значения разных знаков и

f ’’ (x)>0 (f ’’ (x)<0) внутри [a,b], то на отрезке [a,b] существует единственный

корень уравнения (1).

7

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться кор-

ни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону с выбранным шагом h

(обычно выбирают в качестве h единицу) для обнаружения перемены знаков f(x),

т.е. f(x)f(x+h)<0.

Следует заметить, что иногда удается выяснить картину расположения корней

уравнения (1) с помощью эскиза графика функции f(x). То есть, отделение кор-

ней уравнения (1) можно выполнить графически, построив график функции f(x),

по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересе-

чения его с осью Ох. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение

(1) в эквивалентном виде

f1(x)=f2(x) ( 2)

с таким расчетом, чтобы графики функций y = f1(x) и y = f2(x) строились проще,

чем график f(x). Корень уравнения (2) представляет собой абсциссу точки пере-

сечения графиков y=f1(x), y= f2(x).

Лабораторная работа № 1 на тему: «Отделение корней

нелинейного уравнения аналитически и графически»

Цель работы:

Изучить процедуру отделения корней.

Постановка задачи: Для нелинейного уравнения

1) отделить корни аналитически;

2) отделить корни графически.

3) протабулировав исходное уравнение и его производную в табличном про-

цессоре MS Excel, убедиться в наличии или отсутствии корней внутри

найденного вами отрезка.

Содержание отчета:

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

2. Теоретическое описание аналитического отделения корней и нахождение

промежутков, содержащих искомые корни.

3. График данной функции. Вывод – промежутки, содержащие корни.

4. Табулирование заданной функции и еѐ производной в табличном процес-

соре MS Excel. Вывод – о наличии или отсутствии корней внутри найден-

ного вами промежутка. Сравнение с результатами, найденными в п.2, 3.

Варианты заданий приведены в табл.1 (см.с.10).

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №1

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные

Для нелинейного уравнения 3x-2x-4=0

1) отделить корни аналитически;

2) отделить корни графически;

3) протабулировать заданную функцию и еѐ производную в табличном про-

цессоре MS Excel.

8

2. Теоретическое описание аналитического отделения корней

Обозначим f(x)=3x-2x-4. Данная функция определена, непрерывна и диффе-

ренцируема на всей числовой оси, т.е. для x(-,). Разобьѐм всю область до-

пустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только

один корень или не содержится ни одного. Поскольку все точки экстремума

(точки максимума или минимума) функции находятся в множестве ее крити-

ческих точек, то находим производную f’(x)= 3x

ln3-2. Вычислим корень про-

изводной: 3xln3-2=0; 3

x=

2

ln 3; lg3

x=lg

2

ln 3; xlg3=lg2-lg(ln3);

x=lg 2 lg(ln3) 0,301029996-0,040844453

0,545323732 1lg3 0,477121255

.

Заметим, что данная функция убывает на (-,1) (f’(x)<0 для x(-,1)) и воз-

растает на (1, +) (f’(x)>0 для x(1, +)).

Составим таблицу знаков функции f(x) (Sgn f(x)), полагая x равным:

a) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним;

b) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

x - 1 +

Sgn f(x) + - +

f(-100)=3-100

-2(-100)-4>0; f(1)=31-21-4<0; f(100)= 3

100-2100-4>0.

Так как происходит две перемены знака функции, то уравнение имеет два

действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следу-

ет уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не

больше 1. Для этого составим новую таблицу знаков функции f(x):

x -2 -1 0 1 2

Sgn f(x) + - - - +

f(-2)= 3-2

-2(-2)-4=0,111111>0; f(-1)=3-1

-2(-1)-4=-1,66667<0;

f(0)=30-20-4=-3<0; f(2)= 3

2-22-4=1>0.

Таким образом, аналитическое отделение корней показывает, что корни

заключены в следующих промежутках: x1[-2,-1], x2[1,2].

3. График данной функции.

Для построения графика функции f(x)=3x-2x-4 можно использовать либо таб-

личный процессор MS Excel, либо любой другой способ. График заданной

функции будет выглядеть следующим образом:

Можно было переписать уравнение 3

x-2x-4=0 в эквивалентном виде 3

x=2x+4

и построить графики функций y=3x , y=2x+4:

9

В любом случае, корни уравнения y=f(x) это абсциссы точек пересечения

графика y=f(x) с осью Ох, либо абсциссы, в которых графики функций y1 и y2

пересекаются.

Из графиков видно, что уравнение имеет два корня: x1[-2,-1], x2[1,2].

4. Табулирование заданной функции и еѐ производной в табличном процессоре

MS Excel. Вывод - наличие или отсутствие корней внутри найденного вами промежутка.

Найдем значения функции f(x)=3x-2x-4 и еѐ производной f’(x)= 3

x ln3-2 при

различных значениях аргумента, меняющегося с фиксированным шагом. Шаг

выбирают небольшим, так чтобы таблица значений функции отражала еѐ по-

ведение на интервале табуляции. В нашем случае возьмем в качестве шага из-

менения аргумента, например, 0,5. Из п.2 и 3 настоящей лабораторной работы

(см. выше) нам известно, что корни уравнения 3x-2x-4=0 находятся в проме-

жутках [-2,-1] и [1,2]. Поэтому протабулируем x от -2,5 до 2,5 с шагом 0,5. От-

метим, что эта последовательность значений представляет собой арифметиче-

скую прогрессию. Предположим, что заголовки таблицы x, f(x) и f’(x) записа-

ны в ячейках A1, B1 и С1 соответственно. Ввести в ячейки диапазона ряд последователь-

ных значений, образующих арифметическую прогрессию, можно двумя способами.

Первый способ: В ячейки А2 и А3 введите первый и второй члены арифметиче-

ской прогрессии. В данном случае это -2,5 и -2 соответственно.

Выделите диапазон ячеек А2:А3.

Расположите указатель мыши на маркере заполнения выделен-

ного диапазона и протяните его вниз (в данном случае на диапазон

А4:А12) до тех пор, пока не получится числовой ряд нужной длины.

Второй способ: В ячейку А2 введите первый член арифметической прогрессии.

Выберите команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия.

В появившемся диалоговом окне Прогрессия в группе Рас-положение выбираем переключатель по столбцам, а в груп-

пе Тип – переключатель арифметическая. В поле Шаг вве-

дите значение 0,5, а в поле Предельное значение – 2,5.

Нажмите кнопку ОК.

Диалоговое окно Прогрессия закроется, а на рабочем листе

автоматически будет построена требуемая прогрессия.

Далее, в ячейку В2 введите формулу исходной функции: =3^A2-2*A2-4, а в

ячейку С2 формулу еѐ производной: =3^A2*LN(3)-2. Выделив диапазон

10

ячеек В2:С2, расположите указатель мыши на маркере заполнения выделен-

ного диапазона и протяните его вниз на диапазон В3:С12. Процесс создания

таблицы значений функции завершен (рис.5).

Рис. 5. Результат табуляции функции f(x)=3

x-2x-4 и еѐ производной

Проанализируем полученный результат табуляции функции f(x)=3x-2x-4.

Из рис.5 видно, что значения функции f(-2) = 0,11111>0, f(-1)=-1,666<0 и

f’(x)<0 для всех x из [-2,-1]. Согласно следствию 2 (см. с. 6), делаем вывод, что

на [-2,-1] существует единственный корень.

Аналогично рассуждая применительно к отрезку [1,2], получим, что на этом

отрезке существует ещѐ один корень данного уравнения.

Полученные значения совпадают с результатами, найденными в пунктах 2, 3.

Таблица 1

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ для лабораторной работы №1

№

вар.

Уравнение №

вар.

Уравнение

1 3x-1

-4-x=0; 11 2lgx-2

x+1=0;

2 2x-lgx-7=0; 12 ex+x+1=0;

3 2ex=5x-2; 13 Sin(x+1)=0,5x;

4 x4-x-1=0; 14 x

3-6x=8;

5 5sinx=x-1; 15 3x+2x-3=0;

6 2arctgx-3x+2=0; 16 arctg(x-1)+2x=0;

7 2x4-x

2-10=0; 17 3

x-2x+5=0;

8 2x-3x-2=0; 18 3x

4+4x

3-12x

2-5=0;

9 x22

x=3; 19 arctgx-

3

1

3x=0;

10 x3-3x

2+9x-8=0; 20 xlgx-1,2=0.

11

2. Уточнение корней нелинейного уравнения при помощи некоторых

численных методов

2.1. Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного

деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней урав-

нений, представленных в виде (1).

Пусть функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о существовании

корня непрерывной функции (см. с. 5). Предположим вначале, что мы находимся

в условиях следствия 1 этой теоремы. Тогда на отрезке [a,b] (предполагаем, что

a<b) существует единственный корень уравнения (1).

Метод половинного деления заключается в следующем:

Возьмем середину отрезка x0=(a+b)/2. Если f(a)f(x0)0, то корень явно принад-

лежит отрезку от a до x0 и, в противном случае, от x0 до b (рис.6). Отбрасываем

―пустой‖ отрезок (не содержащий корня) и проводим соответствующие переобо-

значения концов отрезка. К примеру, на рис.6 после первого деления отрезка

[a,b] пополам его серединой x0, мы переходим к отрезку [a,x0] и, следовательно, в

качестве нового конца отрезка естественно выбрать b=x0.

Рис. 6. Несколько этапов применения метода деления пополам

Полученный отрезок снова делим пополам точкой x1 и выполняем действия

сначала и т.д. Каждый такой шаг уменьшает в два раза длину отрезка, в границах

которого заведомо имеется корень уравнения (1). Процесс деления отрезка про-

должаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет про-

тивоположные знаки, не будет меньше заданного числа . Любая точка такого

отрезка подходит в качестве решения поставленной задачи. Удобно за прибли-

женное значение корня принять середину отрезка [a,b], т.е. число 2

n

a bx

. Реа-

лизация алгоритма метода половинного деления представлена на блок-схеме в

прил. (см. с.52). Так как каждое очередное вычисление середины отрезка xn и

значения функции f(xn) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке

[a,b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется усло-

вием (b-a)/2n<, или n>log2((b-a)/). Например, при исходном единичном интер-

12

вале и точности порядка 6 знаков (~ 10-6

) после десятичной точки достаточно

провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Мы вначале предполагали,

что на [a,b] существует единственный корень. Вообще говоря, если выполнены

условия теоремы о существовании корней непрерывной функции (см. с.5), то

уравнение (1), может иметь несколько корней (см., к примеру рис.3). Описан-

ный выше алгоритм метода деления пополам позволит все-таки получить один

из этих корней. Это следует из того, что после деления отрезка пополам мы все-

гда выбираем из двух меньших отрезков такой, в котором обязательно имеется

корень уравнения (1). Как правило, перед тем как прибегать к помощи подобных

алгоритмов, пытаются определить границы a и b настолько точно, чтобы в от-

резке [a,b] содержался ровно один корень (см. следствие 1 или 2).

2.2. Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки зна-

чений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональ-

ное деление интервала. Название метода происходит из того, что конструируе-

мые по ходу дела прямые являются хордами по отношению к графику функции.

Итак, пусть функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании

корней непрерывной функции (см. с.5) и, тем самым, найден отрезок [a,b], со-

держащий по крайней мере один корень. Получим формулу для двухшагового

метода хорд. Вычисляем значения функции на концах отрезка, и строим "хорду",

соединяющую точки А(a,f(a)) и В(b,f(b)). В методе хорд процесс итераций состо-

ит в том, что в качестве приближения к корню уравнения (1) принимают значе-

ние x0 точки пересечения хорды, соединяющей точки А(a,f(a)) и В(b,f(b)) c осью

абсцисс. Уравнение хорды выписывается как каноническое уравнение прямой

между этими точками:

(a) a.

(b) (a) b a

y f x

f f

( 3)

Для точки пересечения с осью абсцисс x=x0, y=0 получим уравнение:

0

b aa (a).

(b) (a)x f

f f

Сравнивая знаки произведений f(a)f(x0) и f(b)f(x0), на-

ходим произведение, которое меньше 0, и сужаем интервал до [a,x0] или [x0 ,b].

Проводим соответствующие переобозначения концов отрезка. Продолжаем про-

цесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближе-

ниями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности)

|b-a|<. Метод называется двухшаговым, так как для его реализации требуется

не одно, а два начальных приближения (начало отрезка а и конец отрезка b).

На практике чаще применяется одношаговый метод хорд. Потребуем, чтобы

функция f(x) удовлетворяла условиям следствия 3 теоремы о существовании

корней непрерывной функции (см. с. 6). Также, как и выше, заменяем функцию

f(x) на каждом шаге итерационного процесса поиска хордой, пересечение кото-

13

рой с осью абсцисс дает приближение корня x0. При этом в процессе поиска се-

мейство хорд можно строить:

а) при фиксированном левом конце хорд;

б) при фиксированном правом конце хорд.

Метод обеспечивает быструю сходимость, если f(x0) f ''(x) > 0, поэтому хорды

фиксируются на том конце интервала [a,b], где знаки функции и ее кривизны

совпадают.

Рассмотрим случай (рис.7), когда первая и вторая производные имеют

одинаковые знаки на [a,b], т.е. ( ) ( ) 0f ' x f '' x , x[a,b]. Это означает, что либо

f '(x) > 0 и f ''(x) > 0, то есть функция возрастает и выпукла вниз на этом отрезке

(рис.7 а)), либо f '(x) < 0 и f ''(x) < 0, то есть функция убывает и выпукла вверх на

этом отрезке (рис.7 б)). В этом случае граница b зафиксирована, а x0=a. Пусть,

далее, x1 - точка пересечения хорды (3) с осью Оx. Так как y = 0, то

1

(b a) (a)a ,

(b) (a)

fx

f f

и x1 может считаться приближенным значением корня.

a) б)

Рис. 7. Случай, когда ( ) ( ) 0f ' x f '' x

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1( x1,f(x1)) и B(b,f(b)),

вычисляется следующее приближение корня:

).()()(

1

1

112 xf

xfbf

xbxx

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

0 1

ba ; ( ).

(b) ( )

nn n n

n

xx x x f x

f f x

( 4)

Другой случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

( ) ( ) 0f ' x f '' x ,x[a,b] (рис.8). В этом случае, либо f '(x) < 0 и f ''(x) > 0, то

есть функция убывает и выпукла вниз на этом отрезке (рис.8 а)), либо

f '(x) > 0 и f ''(x) < 0, то есть функция возрастает и выпукла вверх на этом отрезке

(рис.8 б)). Тогда все приближения к корню x=v выполняются со стороны правой

14

границы отрезка [a,b] (конец а неподвижен, рис.8) и вычисляются по формуле

(5):

0 1

ab; ( ).

( ) (a)

nn n n

n

xx x x f x

f x f

( 5)

a) б)

Рис. 8. Случай, когда ( ) ( ) 0f ' x f '' x

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции f(x)

и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка

[a,b] изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй

производной. Формула (4) используется в том случае, когда (b) ( ) 0f f '' x . Если

справедливо неравенство (a) ( ) 0f f '' x , то целесообразно применять формулу (5).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не бу-

дет получен приближенный корень x* с заданной степенью точности . В качест-

ве приближенного значения корня следует взять x*= xn . Реализация алгоритма

метода хорд представлена на блок-схеме в прил.2. При оценке погрешности при-

ближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f '(x)| на промежутке [a, b],

которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности

вычисления корня:

| ( ) |

| | nn

f xx

m или ,

|)(|

m

xf n

где - заданная погрешность вычислений.

2.3. Уточнение корней методом касательных (метод Ньютона)

Метод касательных, связанный с именем Ньютона, является одним из наибо-

лее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень

проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень v на отрезке [a,b],

.1n n n

x x x

15

дифференцируема на этом отрезке, и еѐ производная f’(x) не обращается на нем

в нуль.

Возьмѐм произвольную точку x0 отрезка [a,b] и запишем в ней уравнение ка-

сательной к графику функции f(x):

y=f(x0)+ f’(x0) (x- x0).

Полагая в этом уравнении y=0, находим абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox:

01 0

0

( ).

( )

f xx x

f x

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику

функции y=f(x) при x=x1 и найдѐм для неѐ точку пересечения x2 с осью Ох:

12 1

1

( ).

( )

f xx x

f x

Продолжая этот процесс, получим последовательность {xn}, определенную с по-

мощью рекуррентной формулы

1

( ), 0,1,2,...

( )

nn n

n

f xx x n

f x

( 6)

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено усло-

вие: |xn+1 - xn| < . При выполнении этого неравенства итерационный процесс

уточнения корня следует прекратить и в качестве искомого приближенного зна-

чения корня x* взять x

*= xn+1. Реализация алгоритма метода касательных пред-

ставлена на блок-схеме в прил. 3.

Геометрически с помощью этого метода предлагаем построить касательную к

кривой y=f(x) в выбранной точке x=xn, найти точку пересечения еѐ с осью абс-

цисс и принять эту точку за очередное приближение к корню (рис.9).

Рис. 9. Геометрическая иллюстрация метода касательных (метода Ньютона)

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь

при выполнении некоторых условий и при их нарушении либо дает расходящий-

ся процесс (рис.10), либо приводит к другому корню (рис.11).

16

Рис. 10. Расходящийся процесс Рис. 11. Приближение к другому корню

Теорема (о сходимости метода касательных). Пусть функция f(x) дважды не-

прерывно дифференцируема на [a,b], причем еѐ производные удовлетворяют не-

равенствам

| f ’(x)|m>0, | f ’’(x)|M, x[a,b].

Предположим, что корень x=v уравнения (1) является внутренней точкой от-

резка [a,b], т.е. a<v<b. Тогда, найдется такое : 0<min(v-a,b-v), что при лю-

бом выборе начального приближения на отрезке [v-,v+][a,b] существует

бесконечная итерационная последовательность (6) и эта последовательность

сходится к корню v.

Обычно, на практике, за начальное приближение x0 принимается такое значение

из отрезка [a,b], для которого выполняется следующее условие:

f(x0) f ’’(x)>0. ( 7)

Чаще всего выбирают х0=a или x0=b в зависимости от того, для какой из этих то-

чек выполняется условие (7).

Метод Ньютона эффективен для решения тех уравнений, для которых значе-

ние модуля производной |f'(x)| близ корня достаточно велико, т.е. график функ-

ции y=f(x) в окрестностях данного корня имеет большую крутизну.

Метод Ньютона является наиболее быстрым среди численных методов вычис-

ления корня функционального уравнения. На практике необходимая точность

достигается буквально после выполнения нескольких (не более 10) итераций.

2.4. Уточнение корней методом простой итерации

Если каким-либо способом получено приближенное значение x0 корня уравне-

ния (1), то уточнение корня можно осуществить методом простых итераций. Для

этого уравнение (1) представляют в виде

x=(x). ( 8)

Возьмѐм произвольное значение x0 из области определения функции (x) и будем

строить последовательность чисел {xn}:

xn+1=( xn), n=0,1,2,… ( 9)

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока |xn+1 – xn| < , и в качестве ис-

комого приближенного значения корня x* следует взять x

*= xn+1.

17

Для формулировки условий сходимости итерационной последовательности (9)

нам нужно вспомнить один результат из математического анализа (формула ко-

нечных приращений Лагранжа). Предположим, что функция (x) дифференци-

руема на [a,b]. При сделанных предположениях о дифференцируемости справед-

лива следующая формула, называемая формулой конечных приращений Лагранжа

(см. [5], теорема 15, с.29)

( x2)- ( x1)= ’()(x2- x1), [x1, x2][a,b].

Используя эту формулу, существование корня уравнения (8) можно установить с

помощью предварительного исследования (8) с применением такого факта

Теорема (о сходимости метода простой итерации). Пусть x=v – корень уравне-

ния (8) и пусть функция (x) имеет в окрестности корня [v-, v+], >0, произ-

водную ’(x), удовлетворяющую условию

|’(x)|q<1. ( 10)

Тогда при любом выборе x0 на отрезке [v-, v+] существует бесконечная ите-

рационная последовательность {xn} (9) и эта последовательность сходится к

корню x=v, который является единственным решением уравнения (8) на отрезке

[v-, v+].

Сформулированная теорема имеет очень простой смысл. Будем говорить, что

функция осуществляет отображение точки x на точку y=(x). Тогда условие

(10) означает, что отображение является сжимающим: расстояние между точ-

ками x1 и x2 больше, чем расстояние между их изображениями y1=(x1) и y2=(x2).

Корень v является неподвижной точкой отображения , он преобразуется сам в

себя: v=(v). Поэтому каждый шаг в итерационном процессе (9), сжимая рас-

стояния, должен приближать члены последовательности {xn} к неподвижной точке v.

Таким образом, итерационный процесс (9) сходится, если на отрезке [a,b], со-

держащем корень v и его последовательные приближения, выполнено условие

(10). Важно отметить следующее. Если выполнено условие (10), но |’(x)| близко

к 1, то метод итераций применить можно, но итерационная последовательность

(9) сходится медленно, для получения достаточной точности нужно вычислить

большое число членов последовательности. Если же |’(x)| мало, существенно

меньше единицы, то итерационная последовательность сходится быстро, и в

этом случае применение метода простых итераций выгодно. В качестве x0 можно

взять произвольное значение из интервала, содержащего корень. Реализация ал-

горитма метода простой итерации представлена на блок-схеме в прил. 4. Отме-

тим, что условие (10) является достаточным, но не необходимым. То есть, суще-

ствуют функции, для которых условие (10) не выполнено, а итерационный про-

цесс (9) сходится.

Отметим также, что для приведения нелинейного уравнения (1) к виду (8),

чтобы выполнялось условие (10), существует много способов. Иногда использу-

ют следующий приѐм: заменяют f(x)=0 на x=x-kf(x). То есть (x)=x-kf(x) и ’(x)=

=1-kf ’(x). Из решения неравенства (10), а именно |’(x)| < 1, или |1-kf ’(x)| < 1,

18

получают неравенство 0<k<2

M, где

[ , ]max | ( ) |x a b

M f x

. Для определения опти-

мального значения k используют условие |1-kM|=|1-km|, где [ , ]

max | ( ) |x a b

M f x

,

[ , ]min | ( ) |x a b

m f x

. При этом k=2/(M+m).

Геометрическая интерпретация процесса представлена на Рис. 12.

а) б) в)

Рис. 12. Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Здесь на первых двух рисунках (а, б) показано одностороннее и двустороннее

приближение к корню, на третьем (в) — расходящийся процесс (|’(x)| > 1).

2.5. Сравнение эффективности методов

Заметим, что существуют и другие методы (наискорейшего спуска, Эйткена-

Стеффенсена, Вегстейна, Рыбакова и т.д.) уточнения корней, обладающие высо-

кой скоростью сходимости. Ситуация, когда одну и ту же математическую зада-

чу можно решать с помощью разных методов, является довольно типичной. В

таких случаях естественно возникает необходимость сравнения методов между

собой. При оценке эффективности численных методов существенное значение

имеют различные свойства:

1) универсальность;

2) простота организации вычислительного процесса и контроля за точностью;

3) скорость сходимости.

Посмотрим с этой точки зрения на разработанные методы решения уравнений:

1. Наиболее универсальным является метод половинного деления: он требует

только непрерывности функции f(x). Во многих случаях это преимущество

может оказаться существенным.

2. С точки зрения вычислительного процесса все предложенные методы очень

просты. Однако и здесь метод половинного деления обладает определенным

преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a,b], на кон-

цах которого непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков.

Процесс будет сходиться к корню уравнения f(x)=0, причем на каждом шаге он

дает для корня двустороннюю оценку, по которой легко определить достигну-

тую точность. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от

того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

19

3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случае,

когда подсчет значений функции f(x) сложен и требует больших затрат ма-

шинного времени, это преимущество становится определяющим.

Итак, мы видим, что ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения

уравнений не однозначен. Он существенно зависит от того, какую дополнитель-

ную информацию о функции f(x) мы имеем и, в соответствии с этим, каким свой-

ствам метода придает наибольшее значение. При обосновании метода итераций

и метода Ньютона на функции (x) и f(x), а также на выбор начального прибли-

жения x0 накладывались определенные ограничения. Однако при решении кон-

кретных задач проверить их выполнение часто бывает трудно и даже невозмож-

но. Функция может не задаваться в виде простой формулы, а находиться в ре-

зультате численного решения некоторой математической задачи, получаться из

измерений и т.д. В таких случаях применимость метода приходится проверять

«экспериментально»: начинают расчет и следят за поведением первых членов

последовательности {xn}. Если по ним видно, что процесс сходится, то расчет

продолжают, пока не достигнут нужной точности. В противном случае вычисле-

ния прекращают и анализируют полученные данные, пытаясь установить причи-

ну расходимости и в соответствии с ней выбрать другой метод решения задачи.

Лабораторная работа № 2 на тему: «Уточнение корней нелинейного

уравнения при помощи некоторых численных методов»

Цель работы:

1. Получение практических навыков в организации итерационных процессов.

2. Знакомство с численными методами решения алгебраических и трансцен-

дентных уравнений.

3. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения данных.

4. Овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений по-

средством программирования ячеек рабочего листа MS Excel.

Постановка задачи:

1. Убедиться в наличии или отсутствии корней внутри предложенного вам

отрезка и в сходимости итерационного процесса, получаемого при реали-

зации выбранного метода (в применимости метода).

2. Для конкретного варианта найти корень уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b]

с точностью =0,0001 при помощи следующих численных методов:

а) метод половинного деления;

б) метод хорд;

в) метод касательных;

г) метод простой итерации;

используя программирование ячеек рабочего листа. (Решение нелинейного

уравнения каждым из указанных численных методов оформить на отдель-

ном рабочем листе программы MS Excel и дать ему соответствующее название.)

20

Содержание отчета : 1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

2. Доказательство того, что внутри предложенного вам отрезка существует

единственный корень данного уравнения.

3. Описание метода:

а) половинного деления;

б) хорд;

в) касательных;

г) простой итерации;

решения нелинейного уравнения с анализом сходимости итерационного

процесса, его блок-схема и зарисовка фрагмента рабочего листа (в качестве

имени рабочего листа выбрать название соответствующего численного ме-

тода) с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для

каждого из соответствующих численных методов. Посчитать количество

итераций для каждого из численных методов.

4. Результаты работы для каждого из указанных численных методов выписать в

следующем виде (вывод итоговой оценки для корня должно быть выведено лишь с вер-

ными цифрами (число верных цифр после десятичной точки имеет порядок Lg(1/)):

Решение

уравнения

f(x)=0

Название численного метода

метод

половинного

деления

метод хорд

метод

касательных

метод

простой

итерации

Вычисленное

значение

корня

Число

итераций

5. Проанализировать полученные результаты.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №2

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные:

Найти корень уравнения e-x-x=0 на отрезке [0, 1] с точностью =0,0001 при

помощи методов половинного деления, хорд, касательных и простой итерации, используя

программирование ячеек рабочего листа. Имеем: f(x)= e-x-x, a=0, b=1, =0,0001.

2. Доказательство того, что внутри отрезка [0, 1] существует единственный

корень уравнения e-x-x=0.

Доказательство этого факта проведите и оформите самостоятельно. (При доказательстве

можно использовать любой из пунктов 2, 3 или 4 лабораторной работы №1.)

21

3. Описание метода решения нелинейного уравнения с анализом сходимости

итерационного процесса, его блок-схема и зарисовка фрагмента рабочего

листа с указанием формул, которые необходимо ввести для каждого из со-

ответствующих численных методов.

а) метод половинного деления

Описание метода см. в п. 2.1 (для конкретного варианта дать описание

метода самостоятельно).

Блок схема метода половинного деления представлена в прил.1

(см. с.52).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые

необходимо ввести для метода половинного деления: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

D1

E1

F1

A2

B2

C2

D2

E2

F2

G2

A3

B3

C3

n

а

b

xn

f(a)

f(xn)

0

0

1 =(B2+C2)/2

=EXP(-B2)-B2

=EXP(-D2)-D2

=ЕСЛИ(C2-B2<0,0001;"стоп";"далее")

=A2+1

=ЕСЛИ(E2*F2<0;B2;D2)

=ЕСЛИ(E2*F2<0;D2;C2)

Далее, выделив диапазон D2:G2, расположите указатель мыши на маркере

заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:G3, расположить указатель мыши

на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех

пор, пока в столбце G не появится сообщение «стоп», что означает что

корень найден и его значение находится в столбце D.

В данном случае это сообщение появится в ячейке G16, а значение корня с

точностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке D16. Ниже приведен

фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью

0,0001 методом деления пополам уравнения e-x-x=0.

22

б) метод хорд

Описание метода см. в п. 2.2 (для конкретного варианта дать описание

метода самостоятельно).

Поскольку f(0)=1 и (0) 1f , а значит (0) (0) 0f f '' , то согласно пра-

вилу (см.с.14), по которому определяется тот конец отрезка, который бу-

дет неподвижен, и выбор формулы, имеем:

0 1

01; ( ).

( ) (0)

nn n n

n

xx x x f x

f x f

Блок схема метода хорд представлена в прил.2 (см. с.53).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые

необходимо ввести для метода хорд: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

D1

E1

A2

B2

C2

D2

E2

A3

B3

F3

n

xn

f(xn)

a

f(a) 0

1

=EXP(-B2)-B2

0

=EXP(-D2)-D2

=A2+1

=B2-(B2-$D$2)*C2/(C2-$E$2)

=ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку С2, расположите указатель мыши на маркере за-

полнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:F3, расположить указатель мыши на

маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в

столбце F не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

23

В данном случае сообщение появится в ячейке F7, а значение корня с точ-

ностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке В7. Ниже приведены

фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью

0,0001 методом хорд уравнения e-x-x=0.

в) метод касательных

Описание метода см. в п. 2.3. (Для конкретного варианта дать описа-

ние метода самостоятельно.)

Для обоснования сходимости метода касательных проверим выполне-

ние условия (7) на концах отрезка [0,1]. Поскольку, f ’’(x)>0, x[0,1], а

f(0)=1>0, f(1)= -0,63212<0, то f(0)f ’’(x)>0, x[0,1] и в качестве начального

приближения x0 следует взять x0=0. Формула для вычисления первого шага

итерационного процесса выглядит следующим образом:

0 001 0 0 0 0

0

( ), где ( ) , ( ) 1.

( )

x xf xx x f x e x f x e

f x

Блок схема метода касательных представлена в прил.3.

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые не-

обходимо ввести для метода касательных: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

D1

A2

B2

C2

D2

A3

B3

E3

n xn

f(xn)

f’(xn)

0

0

=EXP(-B2)-B2

=-EXP(-B2)-1

=A2+1

=B2-C2/D2

=ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив диапазон C2:D2, расположите указатель мыши на маркере

заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

24

И окончательно, выделив диапазон A3:E3, расположить указатель мыши

на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока

в столбце E не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке E6, а значение корня с точ-

ностью 0,0001 равно 0,5671 и находится в ячейке В6. Ниже приведены

фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью

0,0001 методом касательных уравнения e-x-x=0.

г) метод простой итерации

Описание метода см. в п. 2.4 (для конкретного варианта дать описание

метода самостоятельно).

Данное уравнение (e-x-x=0) приведем к виду (8):

x = e-x или x=(x), где (x)= e

-x.

Так как ’(x)= - e-x, |’(x)|=| e

-x |<1, x(0,1] то условие (10) выполнено;

процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального приближе-

ния середину отрезка, т.е. 0

0 10,5

2x

, вычисления последующих при-

ближений проведем по формуле 1 ( ), где ( ) .nx

n n nx x x e

Блок схема метода простой итерации представлена в прил.4 (см. с.54).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые

необходимо ввести для метода простой итерации: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

A2

B2

C2

A3

B3

D3

n

xn

( xn) 0

0,5

=EXP(-B2)

=A2+1

=C2

=ЕСЛИ(ABS(B2-B3)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку C2, расположите указатель мыши на маркере за-

полнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

25

И окончательно, выделив диапазон A3:D3, расположите указатель мыши на

маркере заполнения и пробуксируйте его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в

столбце D не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке D16, а значение корня с

точностью 0,0001 равно

0,5671 и находится в ячейке

B16. На рисунке справа при-

ведены фрагмент рабочего

листа и результат нахожде-

ния корня с точностью

0,0001 методом простой ите-

рации уравнения e-x-x=0.

4. Результаты работы для каждого из указанных численных методов выпи-

сать в следующем виде (вывод итоговой оценки для корня должно быть вы-

ведено лишь с верными цифрами (число верных цифр после десятичной точки

имеет порядок Lg(1/)):

5. Полученные результаты проанализировать самостоятельно.

Решение

уравнения

e-x

-x=0

Название численного метода

метод

половинного

деления

метод хорд

метод

касательных

метод

простой

итерации

Вычисленное

значение

корня

0,5672 0,5672 0,5671 0,5671

Число

итераций 14 5 4 14

26

3. Нахождение корней нелинейного уравнения средствами MS Excel

Программа MS Excel имеет средства (готовые программы), с помощью кото-

рых можно без программирования решать нелинейные уравнения.

Для решения нелинейных уравнений в программе MS Excel имеются следую-

щие средства:

циклические ссылки;

подбор параметра;

поиск решения.

3.1. Нахождение корней с помощью циклических ссылок

Определение 4. Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на

эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно - через це-

почку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл).

На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации

итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В

обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей си-

туации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как цик-

лические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два вы-

хода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисле-

ния по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторе-

ний цикла должно быть конечным).

Для включения режима циклических вычислений надо выполнить следующие

действия:

щѐлкнуть мышкой по кнопке меню Сервис;

в раскрывшемся меню щѐлкнуть мышкой по строке Параметры;

в диалоговом окне Параметры щѐлкнуть мышкой по вкладке Вычисле-ния;

включить флажок Итерации;

при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предель-ное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответст-

венно);

выбрать вариант ведения вычислений: автоматически или вручную.

(При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный резуль-

тат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат

каждой итерации (при нажатии клавиши F9);

щелкнуть мышкой по кнопке <OK>.

Реализация решения нелинейного уравнения этим средством (на конкретном

примере) будет приведена в образце выполнения лабораторной работы №3

(см. с. 29).

27

3.2. Нахождение корней с помощью подбора параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны

значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться

средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню

Сервис. При подборе параметра MS Excel изменяет значение в одной конкрет-

ной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячей-

ку, не дадут нужного результата. Программа Подбор параметра позволяет по-

лучить требуемое значение в определенной ячейке, которую называют целевой,

путем изменения значения (параметра) другой ячейки, которую называют

влияющей. При этом целевая ячейка должна прямо или косвенно ссылаться на

ячейку с изменяемым значением.

Количество итераций и точность (относительная погрешность) устанавлива-

ются следующей последовательностью команд:

щѐлкнуть мышкой по кнопке меню Сервис;

в раскрывшемся меню щѐлкнуть мышкой по строке Параметры;

в появившемся диалоговом окне Параметры щѐлкнуть мышкой по вкладке

Вычисления;

во вкладке уменьшить относительную погрешность до 0,000001 (окно Отно-сительная погрешность);

в окне Предельное количество итераций, при желании, можно увели-

чить количество итераций. Однако это едва ли улучшит искомый результат.

Если MS Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать

кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вы-

числение, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и

просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется

кнопка Продолжить - для возврата в обычный режим подбора параметра.

Реализация решения нелинейного уравнения c помощью подбора параметра (на

конкретном примере) будет приведена в образце выполнения лабораторной ра-

боты №3 (см. с.29).

3.3. Нахождение корней с помощью поиска решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска опре-

деленного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра.

Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Ре-

шатель), доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск реше-ния. Программа Поиск решения позволяет получить результат на основе изме-

нения значения нескольких ячеек. Кроме того, при выполнении поиска решения

можно задать условия – ввести ограничения. При поиске решения так же, как и

при подборе параметра, целевая ячейка должна содержать формулу и быть пря-

мо или косвенно связанной с ячейками с изменяемыми значениями. В момент

постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен вы-

бор одного из вариантов:

28

найти максимум целевой функции;

найти минимум целевой функции;

добиться того чтобы целевая функция имела фиксированное значение.

Поиск решения является одной из надстроек MS Excel. Если в меню Сервис

отсутствует команда Поиск решения, для еѐ установки необходимо выбрать

команду Сервис\Надстройки. На экране отобразится диалоговое окно Над-стройки. В списке Список надстроек выберите Поиск решения и нажмите

кнопку <OK>. Если в этом списке нет средства Поиск решения, тот его надо

сначала инсталлировать с диска Microsoft Office. Для этого достаточно повторно

запустить программу установки Microsoft Office и убедиться, что выбран пара-

метр установки надстройки Поиск решения.

Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Парамет-ры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск реше-ния), показаны на рис.13.

Рис. 13. Настройка параметров Поиска решения

Реализация решения нелинейного уравнения c помощью поиска решения (на

конкретном примере) будет приведена в образце выполнения лабораторной ра-

боты №3 (см. с. 29).

Лабораторная работа № 3 на тему «Решение нелинейных

уравнений средствами программы MS Excel»

Цель работы: 1. Получение практических навыков в организации итерационных процессов.

2. Знакомство с численными методами решения алгебраических и трансцен-

дентных уравнений.

3. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения

данных.

4. Овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений

средствами программы MS Excel.

Постановка задачи:

Найти корень нелинейного уравнения f(x)=0 с точностью =10-4

на заданном от-

резке [a,b] средствами MS Excel, тремя возможными способами:

1) с использованием циклических ссылок, применяя следующие численные методы:

29

а) метод половинного деления;

б) метод хорд;

в) метод касательных;

г) метод простой итерации,

2) с помощью средства Подбор параметра;

3) используя возможности Поиска решения при ограничениях корень, больше,

либо равен a и корень меньше, либо равенb.

Содержание отчета : 1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

2. Описание метода решения, зарисовка фрагмента рабочего листа с указани-

ем формул, которые необходимо ввести для каждого из соответствующих

численных методов, и блок-схема для него.

3. Результаты работы для каждого из способов решения нелинейных уравне-

ний средствами программы MS Excel выписать в следующем виде (вывод

итоговой оценки для корня должно быть выведено лишь с верными циф-

рами (число верных цифр после десятичной точки имеет порядок Lg(1/)):

Решение

уравнения

e-x

-x=0

С помощью циклических ссылок С

помощью

подбора

параметра

С

помощью

поиска

решения

методом

половинного

деления

методом

хорд

методом

касательных

методом

простой

итерации

Вычисленное

значение

корня

4. Проанализировать полученные результаты и сравнить с результатами пре-

дыдущей лабораторной работы.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №3

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

Найти корень нелинейного уравнения e-x-x=0 с точностью =10

-4 на заданном

отрезке [0,1] средствами MS Excel.

Имеем: f(x)= e-x-x, a=0, b=1, =0,0001.

2. Описание метода решения, зарисовка фрагмента рабочего листа с указанием

формул, которые необходимо ввести для каждого из соответствующих чис-

ленных методов. Для соответствующего численного метода привести блок-

схему:

1) с использованием циклических ссылок, применяя следующие численные мето-

ды (краткое изложение метода решения нелинейного уравнения с помощью

циклических ссылок см. в п. 3.1 (с. 26) (ознакомиться и дать описание метода

самостоятельно)).

30

Включаем режим циклических вычислений (см. п.3.1, с. 26).

а) метод половинного деления.

В ячейки рабочего листа заносим формулы либо значения, приведенные в

таблице, расположенной ниже: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

D1

E1

A2

B2

C2

D2

E2

a b xn b нач f(xn) =ЕСЛИ((EXP(-A2)-A2)*(EXP(-C2)-C2)<0;A2;C2)

=ЕСЛИ(B2=0;D2;ЕСЛИ((EXP(-A2)-A2)*(EXP(-C2)-C2)<0;C2;B2)) =(A2+B2)/2

1

=EXP(-C2)-C2

Заметим, что в ячейку E2 помещаем формулу, задающую вычисление зна-

чения функции в точке xn, что позволит следить за процессом решения. На

первом шаге вычислений в ячейку B2 будет помещено значение, соответ-

ствующее концу отрезка, на котором существует корень заданного уравне-

ния, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах. Начало

отрезка не задавалось, поскольку итерационный вычислительный процесс

начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке A2 и равного

нулю.

Если отрезок, содержащий корень, иной, то изменится содержимое

ячейки D2, соответствующее начальному концу отрезка, и если начальное

значение начала отрезка не нулевое, то потребуется ввести дополнитель-

ную ячейку a нач, подобно b нач, с соответствующей формулой. (В слу-

чае необходимости проделать самостоятельно.)

Для нашего уравнения после ввода формул в соответствующие ячейки

в ячейке C2 появится значение 0,567143, что и является корнем уравнения

(см. рис. ниже).

Блок-схема, реализующая метод половинного деления, приведена в

прил.1 (см. с.52).

б) метод хорд.

Рассуждая также, как и в лабораторной работе №2, показываем, что в на-

шем случае, неподвижным остаѐтся начало отрезка, равное 0. Поэтому ре-

куррентная формула, задающая вычисления по методу хорд, выглядит сле-

дующим образом:

1

00 (0).

( ) (0)

nn

n

xx f

f x f

31

В ячейки рабочего листа заносим формулы либо значения, приведенные в

таблице, расположенной ниже: Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

A2

B2

C2

x0 xn f(xn) 1

=ЕСЛИ(B2=0;A2; 0-(B2-0)*(EXP(0)-0)/(EXP(-B2)-B2-EXP(0)+0))

=EXP(-B2)-B2

Заметим, что в ячейку C2 помещаем формулу, задающую вычисление зна-

чения функции в точке xn, что позволит следить за процессом решения. На

первом шаге вычислений в ячейку B2 будет помещено значение, соответ-

ствующее концу отрезка, на котором существует корень заданного уравне-

ния, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах. Начало

отрезка остается неподвижным.

Для нашего уравнения после ввода формул в соответствующие ячейки

в ячейке B2 появится значение 0,56714329, что и является корнем уравне-

ния (см. рис. ниже).

Блок-схема, реализующая метод хорд, приведена в прил.2 (см. с.53).

в) метод касательных.

Используя рассуждения, приведенные в лабораторной работе №2, приме-

нительно к методу касательных делаем вывод, что в качестве начального

приближения x0 следует взять x0=0.

Рекуррентная формула (3) задаѐт вычисления по методу касательных. В

нашем случае эта формула для вычисления первого шага итерационного

процесса выглядит следующим образом: 0

0

01 0 .

1

x

x

e xx x

e

В ячейки рабочего листа заносим формулы либо значения, приведен-

ные в таблице, расположенной ниже. Ячейка Формула либо значение

A1

B1

A2

B2

xn f(xn) =A2-(EXP(-A2)-A2)/(-EXP(-A2)-1)

=EXP(-A2)-A2

Заметим, что в ячейку B2 помещаем формулу, задающую вычисление зна-

чения функции в точке xn, что позволит следить за процессом решения. В

нашем случае начальное приближение x0 не задавалось, итерационный

вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого

в ячейке A2 и равного нулю. (Если итерационный процесс начинается с

другого начального значения, отличного от нулевого, то следует поступать

32

подобно тому как это было описано выше для метода хорд, когда x0 было

равным 1. Оформить этот случай при необходимости самостоятельно.)

Для нашего уравнения после ввода формул в соответствующие ячейки в

ячейке A2 появится значение 0,56714329, что и является корнем уравне-

ния (см. рис. ниже).

Блок-схема, реализующая метод касательных, приведена в прил. 3

(см. с.54).

г) метод простой итерации.

В лабораторной работе №2 показано, что данное уравнение для его сходи-

мости (выполнения условия (10)) необходимо привести к виду

x=e-x. Взяв в качестве начального приближения середину отрезка, т.е.

x0=0.5, вычисления последующих приближений проведем по формуле

1 .nx

nx e

В ячейки рабочего листа заносим формулы либо значения, приведенные в

таблице, расположенной ниже:

Ячейка Формула либо значение

A1

B1

C1

A2

B2

C2

x0 xn fi(xn) 0,5

=ЕСЛИ(B2=0;A2; EXP(-B2))

=EXP(-B2)-B2

Заметим, что в ячейку C2 помещаем формулу, задающую вычисление

значения функции в точке xn, что позволит следить за процессом реше-

ния. На первом шаге вычислений в ячейку B2 будет помещено значение,

соответствующее начальному приближению, а затем уже начнется счет

по формуле на последующих шагах.

Для нашего уравнения после ввода формул в соответствующие ячейки

в ячейке B2 появится значение 0,56714329, что и является корнем урав-

нения (см. рис. ниже).

Блок-схема, реализующая метод простой итерации, приведена в

прил.4 (см. с.54).

2) с помощью средства Подбор параметра.

Установите количество итераций и точность вычислений (см. п. 3.2, с. 27).

В ячейке А1 и А2 вводим x= и f(x)= соответственно. В ячейку B2 введем

формулу для вычисления значения функции, стоящей в данном уравнении

33

слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на

ячейку B1, т.е. =EXP(-B1)-B1

В окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке введем

ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение - ожидаемый результат, в

поле Изменяя значения ячейки - ссылку на ячейку, в которой будет хра-

ниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не мо-

жет быть формулой).

После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат

подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить,

то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в

поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое бы-

ло в ячейке B1 до использования команды Подбор параметра, нажмите

кнопку Отмена.

В ячейке B2, появится значение 0,5671384, что и является корнем

уравнения.

Замечание. Если уравнение имеет не единственный корень на [a,b] или

этот отрезок отличен от [0,1], то в качестве начального значения в ячейке

B1 необходимо задать другое значение, не равное 0 (либо начало отрезка a,

либо его конец b, либо середину (a+b)/2). Часто случается так, что подбо-

ром параметра все корни уравнения не удаѐтся найти. Именно в этих слу-

чаях эффективнее применять Поиск решения.

3) используя возможности Поиска решения при ограничениях корень, больше,

либо равен 0 и корень меньше, либо равен1.

В ячейке А1 и А2 вводим x= и f(x)= соответственно. В ячейку B2 введем

формулу для вычисления значения функции, стоящей в данном уравнении

34

слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячей-

ку B1, т.е. =EXP(-B1)-B1

Устанавливаем необходимые опции, управляющие работой Поиска ре-

шения (см. п.3.3, с.27), задаваемые в окне Параметры (окно появляется, ес-

ли нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения). После открытия

диалога Поиск решения (см. п. 3.3, с.27) необходимо выполнить следующие

действия:

в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей фор-

мулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем приме-

ре целевая ячейка - это B2, а формула в ней имеет вид:

=EXP(-B1)-B1;

для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель

максимальному значению в положение , для минимизации используется

переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем

переключатель в положение значению и вводим значение 0;

в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов

целевой функции (B1), разделяя их знаком ";" (или щелкая мышью при

нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического

поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;

в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограниче-

ния, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера

B1<=1, B1>=0 (см. рис. ниже);

для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель

Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

В ячейке B2, появится значение 0,567143447, что и является корнем уравнения.

3. Результаты работы для каждого из способов решения нелинейных уравнений

средствами программы MS Excel выписать в следующем виде:

35

4. Численные методы решения нелинейных уравнений средствами VBA

Напомним некоторые наиболее важные для выполнения следующей лабора-

торной работы факты.

4.1. Начальные сведения: VBA-проект, редактор VBA, модуль

VBA-код хранится в проектах. Разработка проекта на языке VBA выполняет-

ся практически полностью в редакторе VBA. Чтобы создать проект VBA, ис-

пользуется один из следующих методов: а) автоматическая запись макроса, а за-

тем его редактирование; б) создание макроса в редакторе VBA; с) создание про-

екта в редакторе VBA.

Для активизации редактора выполните команду меню Excel: Сервис\Макрос\Редактор Visual Basic (Tools\Macro\Visual Basic Editor);

Вернуться из редактора в приложение Excel можно одним из следующих действий:

щелкнуть на кнопке Excel панели задач; выполнить команду меню редактора

Excel: Вид\Microsoft Excel (View\Microsoft Excel); щелкнуть на кнопке

на панели инструментов редактора.

Чтобы закрыть редактор VBA и вернуться в рабочую книгу, достаточно за-

крыть главное окно или выполнить команду меню: Файл\Закрыть.

Проект в свою очередь состоит из всех модулей, форм и связанных с прило-

жением объектов, относящихся к некоторому документу, вместе с самим доку-

ментом. Excel сохраняет проекты в рабочих книгах (xls).

Определение 5. Модуль – это именованная единица, состоящая из одной или

нескольких процедур, а также объявлений, относящихся ко всем процедурам в

модуле.

Каждый модуль имеет две области: общую область (в ней помещаются операто-

ры присваивания переменных, которые являются общими для всех процедур и

функций этого модуля) и области подпрограмм (в ней помещается код програм-

мы). Стандартные модули (видимы в проекте) содержат программный код, пред-

назначенный непосредственно для выполнения. Такой модуль в проект добавля-

ется либо программистом, либо Excel-ем при создании макроса. Среди объект-

ных модулей (не видимы в проекте) выделяют модули форм, куда записываются

коды процедур обработки событий формы и элементов управления, размещен-

Решение

уравнения

e-x

-x=0

С помощью циклических ссылок С

помощью

подбора

параметра

С

помощью

поиска

решения

методом

половинного

деления

методом

хорд

методом

касательных

методом

простой

итерации

Вычисленное

значение

корня

0,5671 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671

36

ных на ней, и модули рабочих листов, куда помещаются процедуры обработки

событий рабочих листов и элементов управления, размещенных на них.

Программирование – это составление алгоритмов и программ для решения

различных задач на компьютере. Очевидно, что если задачи сложные, то облег-

чить их решение можно, разделив эти задачи на более простые части (подзада-

чи). Для простых частей сложной задачи легче составить алгоритмы и написать

программы, которые называются процедурами (см. далее определение 6). Хотя

VBA и допускает размещение всех процедур в одном модуле, имеет смысл раз-

местить процедуры в нескольких модулях в соответствии с выполняемыми эти-

ми процедурами задачами, чтобы с ними было проще работать.

4.2. Процедуры

Определение 6. Процедура – это последовательность совместно выполняемых

инструкций (команд), имеющая имя.

Классификация имеющихся процедур представлена на рис.14. В лаборатор-

ной работе № 4 будут использоваться процедуры-подпрограммы, встроенные и

определяемые процедуры-функции.

Рис. 14. Классификация процедур

4.2.1. Процедуры-подпрограммы (Sub)

Общие процедуры

Общие процедуры имеют стандартное оформление:

[Область видимости] Sub ИмяПроцедуры (СписокПараметров)

[раздел описаний (переменных и констант)]

тело процедуры (операторы) End Sub

Для области видимости можно указать либо Public, если процедура глобальная, либо

Private, если процедура локальная. Процедура локальная (Private), если она доступна

(видна) только внутри данного модуля и не может быть вызвана из других модулей; процедура

глобальная (Public), если она доступна (видна) из других модулей.

Оператор Sub - объявление процедуры, задается имя, указывается список параметров, пе-

редаваемых при вызове процедуры из программы (может отсутствовать). Тип каждого из аргу-

Процедуры

Подпрограммы

(Sub)

Свойства

(Property) Функции

(Function)

Процедуры обработки

событий (event procedures)

Общие процедуры

(General procedures) Встроенные Определяемые Функции

модулей

классов

37

ментов задается следующим за именем аргумента сочетанием As тип, где тип может быть

любым допустимым в VBA типом данных или классом объекта. Каждому оператору Sub обя-

зательно соответствует End Sub.

Раздел описаний (переменных и констант) не является обязательным в про-

цедурах. Но если в верхней части окна модуля вы увидите оператор Option

Explicit, то вы обязаны описывать все переменные и константы.

Тело процедуры - набор последовательно выполняемых операторов на языке VBA. В про-

грамме можно не только использовать процедуры данного программного модуля, но и ссылать-

ся на процедуры других модулей текущей рабочей книги, а также процедуры других рабочих

книг. Примечание. Если в нескольких рабочих книгах имеется ряд процедур с определенным

именем, следует указать имя файла рабочей книги и имя модуля в этой книге при вызове проце-

дуры.

Заметим, что макрос в VBA является процедурой типа Sub, не имеющей (т.е.

не требующей) параметров. Процедуры пользователя типа Sub, у которых нет

параметров, выполняются (также, как и макросы) либо из редактора VB, либо из

VBA-приложения, а кроме того их можно вызвать из другой процедуры.

Выполнить же процедуру типа Sub, у которой аргументы есть, можно толь-

ко вызвав еѐ из другой процедуры.

Т.о., при написании собственной процедуры вы можете воспользоваться процедурами (и

макросами), написанными другими пользователями. В свою очередь ваша процедура может

быть использована в других приложениях.

Если процедура имеет аргументы, то она будет требовать эти аргументы при выполнении

своей работы. Вызывается процедура с помощью оператора Call, вслед за которым должно

следовать имя процедуры и список еѐ параметров в скобках. Вместо входных параметров могут

стоять их значения. Допускается и бесскобочная запись оператора вызова (при этом ключевое

слово Call – имя оператора – не используется).

Процедуры обработки событий

Процедуры обработки событий связаны с конкретными объектами и событиями и выпол-

няются, когда эти события происходят. Событие (event) – это нажатие командной кнопки, вы-

полнение директивы меню, открытие или закрытие таблицы Excel и т.п. Имя такой процедуры

состоит из имени объекта и события, которые объединяются символом подчеркивания.

Процедуры обработки событий имеют следующий синтаксис:

Private Sub ИмяОбъекта_Событие ( )

тело процедуры (операторы)

End Sub

Объединяет общие процедуры и процедуры-события то, что в их определе-

ниях используется ключевое слово Sub. Принципиальное отличие общей проце-

дуры от процедуры-события состоит в том, что для общей процедуры пользова-

телю нужно придумать имя, а имя процедуры-события создаѐт сама система

VBA.

38

4.2.2. Процедуры-функции (Function)

Встроенные функции

Встроенные функции VBA обеспечивают сложные виды обработки данных, избавляя

пользователя от разработки собственных программ. Как правило, встроенные функции VBA

возвращают отдельные значения (не массивы). По назначению встроенные функции объеди-

няются в следующие группы: финансово-математические; функции преобразования типа; ма-

тематические функции; функции статуса; функции обработки строк; функции даты и времени;

функции для работы с массивами; функции для работы с файлами; системные функции; прочие

функции. Разберем некоторые наиболее часто употребляемые функции.

Функции преобразования типов

Пусть, к примеру, требуется сложить два числа, значения которых вводятся с

помощью управляющих элементов TextBox. Если вычисления будут выполняться

программой, код который имеет вид:

TextBox3.Text = TextBox1.Text + TextBox2.Text

то результат вычисления будет неверным, так как в этом случае выполнится объ-

единение строк. Например, если исходными значениями будут 100 и 200, то по-

лучится результат 100200, что, конечно, не является результатом арифметиче-

ского сложения.

Для того, чтобы получить правильный результат, предварительно нужно пре-

образовать исходные величины строкового типа в числовые целого типа (или

другого числового типа). Это преобразование может быть выполнено с помощью

функции CInt. Тогда фрагмент кода для выполнения сложения будет иметь вид:

TextBox3.Text=CInt(TextBox1.Text)+ CInt(TextBox2.Text)

При выполнении этого кода будет получен правильный результат – 300. Также правиль-

ный результат будет получен, если фрагмент кода будет следующий:

TextBox3.Text = Val(TextBox1.Text) + Val(TextBox2.Text)

В последнем фрагменте для преобразования типов применена функция Val.

Математические функции

Математические функции предназначены для выполнения типовых математи-

ческих расчетов. Перечислим основные математические функции:

Примеры функций Значение

Val(Строка) Преобразует строку цифровых символов в число

CStr(Число) Преобразует числовое выражение или строку в

строку

CInt(Выражение) Преобразует числовое выражение или строку в

число типа Integer

Cvar(Выражение) Преобразует числовое выражение или строку в

число типа Variant и др.

39

Примеры функций Значение

Abs(x) Абсолютная величина числа x

Cos(x) Косинус от значения параметра, заданного в радианах

Sin(x) Синус от значения параметра, заданного в радианах

Sqr(x) Квадратный корень из числа x

Rnd[(x)] Возвращает псевдослучайное число одинарной точ-

ности в интервале от 0 до 1. Необязательный пара-

метр, устанавливает то, как генерируется следую-

щее псевдослучайное число

Int(x) Выделение целой части числа x

Tan(x) Тангенс числа x

Atn(x) Арктангенс от значения параметра, заданного в радианах

Exp(x) Число e, возведенное в указанную степень x, где e – основа-

ние натурального логарифма

Log(x) Натуральный логарифм числа x и др.

Фрагмент кода вычисления значения квадратного корня числа 100 может иметь

следующий вид: x=100

y=Sqr(x)

В результате выполнения этого кода переменная y получит значение 10.

Заметим, что для того чтобы вычислить логарифмы отличные от натурального

следует применить известную формулу: ln

logln

a

xx

a . Для вычисления обратных

тригонометрических функций применяют такие формулы:

;01,1

arctg

,10,1

arctg

arcsin

2

2

xx

x

xx

x

x

2

2

1arctg ,0 1;

arccos1

arctg , 1 0;

xx

xx

xx

x

1arctg , 0,

arcctg1

arctg , 0.

xx

x

xx

Системные функции

К системным функциям, относятся функции, действия которых напрямую

зависит от работы системы Windows. К таким функциям и относятся:

Функция InputBox – для ввода данных пользователем через системное окно;

Функция MsgBox – для выдачи сообщений пользователю через системное окно.

Работа этих функций сопровождается появлением на экране одного из двух окон: Окна ввода

(InputBox) и окна сообщения (MsgBox). Надписи на кнопках, названия полей и другие эле-

элементы диалоговых окон могут отображаться на экране в английском или русском варианте,

в зависимости от настроек Windows.

Рассмотрим синтаксис функции Окно ввода1:

1 У этой функции могут быть и другие аргументы, но мы даѐм упрощенный вариант синтаксиса, который исполь-

зуется в большинстве случаев

40

InputBox(Пригл [, Загол] [, НачЗнач])

Окно ввода содержит сообщение, указывающее, какие данные должен ввести пользователь,

поле текста для ввода данных и две кнопки OK и Отмена, которые используются для подтвер-

ждения или отмены ввода данных. Закончив ввод данных, пользователь должен щелкнуть на

одной из кнопок. Если щелчок был сделан на кнопке OK, то значением функции является текст,

находящийся в поле ввода. Если щелчок был сделан на кнопке Отмена, то значением функции

является пустая строка, независимо от того, что напечатал пользователь.

Параметры функции имеют следующий смысл: Пригл – это любой текст, который дол-

жен, по замыслу программиста, находиться в Окне ввода. Его назначение – служить подсказ-

кой пользователю, какую информацию он должен ввести в специальное поле ввода, находя-

щееся в этом окне. Загол – это надпись в строке заголовка. Если параметр не указан, то в ка-

честве заголовка используется имя приложения. НачЗнач – строка, помещаемая в тексто-

вое поле (если параметр не указан, то поле текста будет пустым).

Для преобразования введенной строки в другой тип данных используйте функ-

ции преобразования типов: Val( ), CInt( ), Cvar( ) и другие.

В качестве примера на рис. 15 приведено окно, созданное с помощью оператора:

A = InputBox(―Введите значение:‖, ―Пример окна InputBox‖)

Рис. 15. Пример Окна ввода

Окно сообщения создаѐтся функцией MsgBox, которая имеет такой синтаксис2:

MsgBox(Текст [, Опция] [, Загол])

Это традиционная форма синтаксиса, когда функция возвращает значение,

которое затем как-то используется (например, присваивается переменной). Зна-

чение, возвращаемое функцией, зависит от выбора пользователя, а именно от

выбора кнопки, которой закрывается это окно.

Есть другая, более простая и чаще применяемая форма синтаксиса, когда

функция не возвращает никакого значения, а действует просто как оператор – выдаѐт инфор-

мацию в Окне сообщения. В этом случае в записи функции отсутствуют скобки (круглые):

MsgBox Текст [, Кнопки] [, Загол]

Текст – это строка сообщения, ради получения которого данная функция и

применяется. Эта строка текста должна быть заключена в двойные кавычки.

Текст может содержать до 1024 символов! Для того, чтобы этот текст выда- 2 У этой функции могут быть и другие аргументы, но мы даѐм упрощенный вариант синтаксиса, который исполь-

зуется в большинстве случаев

41

вался не сплошной длинной строкой, его можно разбить на небольшие «пор-

ции», между которыми вставляются специальные «невидимые» символы – пе-

реноса и возврата к левому краю страницы.

Если не указан аргумент Кнопки, то VBA предполагает, что в диалоговом ок-

не сообщения присутствует только кнопка OK. В [ ] показаны возможные ус-

тановки для этого аргумента.

Параметр Загол задает строку, которая является заголовком окна сообщения. Если пара-

метр отсутствует, то в качестве заголовка используется имя приложения.

В качестве примера на рис. 16 приведено окно, созданное с помощью оператора:

MsgBox "Нужно ли продолжать вычисления?", 4 + 32 + 256, "Вопрос"

Рис. 16. Пример Окна сообщения

Действие функции MsgBox таково: когда доходит очередь до еѐ выполнения,

на экране появляется Окно сообщения. Если используется бесскобочная форма

синтаксиса, нажатие одной из кнопок на этом окне просто завершает работу

функции. А если используется форма со скобками, то значение функции при-

сваивается какой-нибудь переменной.

Определяемые функции

Отличие определяемых функций от встроенных заключается в том, что их

имена не являются зарезервированными (ключевыми) словами языка.

Синтаксис функции пользователя имеет вид:

[Область видимости] Function ИмяФункции(СписокПараметров) As ТипДанных

тело функции (операторы)

ИмяФункции = ВозвращаемоеЗначение

End Function

Как видно, определение функции очень похоже на определение процедуры.

Как и у процедуры, Область видимости функции (необязательный аргумент) –

это одно из ключевых слов: Public или Private. Function – ключевое слово, ука-

зывающее на то, что это функция; ИмяФункции – имя функции; СписокПара-

метров – список параметров (может отсутствовать); As – ключевое слово, пред-

варяющее значение типа данных; ТипДанных – тип данных возвращаемого зна-

чения; ВозвращаемоеЗначение – значение, возвращаемое функцией; End Func-

tion – ключевые слова, указывающие на окончание блока функции.

Обращение к функции производиться из процедуры или из другой функции. Если в функции

предусмотрено рекурсивное обращение, то еѐ можно вызывать из неѐ самой. Если функция за-

писана в модуле, то еѐ можно вызвать из Excel с помощью мастера функций (Excel сохранит еѐ

42

в категории «Пользовательские»). При вызове из процедуры или из функции в программном

операторе указывается имя функции и передаваемые ей параметры.

4.2.3. Создание процедур и (или) определяемых функций

Для создания процедуры или функции пользователя нужно выполнить такие

действия:

Если в проекте нет модуля, то создать его, выполнив команду меню редактора

VB: Вставка\Модуль;

Выполнить команду меню редактора VB: Вставка\Процедура;

В открывшемся диалоговом окне Вставка процедуры (рис. 16) установить

переключатель либо Подпрограмма, либо Функция (в зависимости от того,

что вы создаете);

Рис. 17. Окно Вставка процедуры

В окне Имя ввести имя подпрограммы (функции);

Установить соответствующий переключатель Область определения;

Щелкнуть на OK. После выполнения этих действий в окне модуля появится

заготовка подпрограммы (функции) (заголовок и окончание), между которы-

ми нужно поместить код тела подпрограммы (функции);

Ввести список параметров подпрограммы (функции), их типов данных, а для

функции также указать тип возвращаемого функцией значения;

4.3. Объявление переменных

Определение 7. Переменные — это объекты, предназначенные для хранения

данных. В различные моменты времени переменные могут хранить различные

значения. В переменных можно запоминать какие-либо значения и извлекать их

из них.

Переменную можно представить как простейший объект программы сле-

дующим образом: имя переменной связывает переменную с некоторой областью

памяти. Имена переменных позволяют различать их в программе, осуществлять

доступ к различным участкам памяти для записи данных и их извлечения.

Перед использованием переменных в программе их нужно объявлять (декла-

рировать). При объявлении переменной необходимо указать, что объявляется пере-

менная, задать имя переменной и указать ее тип. Тип определяет способ представле-

ния переменной. В переменных можно хранить практически любые типы данных:

число, строку текста, экземпляр объекта, элементы управления и т. д. В Visual Basic

43

различают две группы типов данных: основные (иногда их называют базовыми или

встроенными) и типы данных, определяемые пользователем.

Для эффективного использования памяти необходимо правильно выбирать тип

переменной. В табл.2 приведены базовые типы переменных Visual Basic, необходимая

для их размещения память и диапазон возможных значений.

Таблица 2

Базовые типы переменных Visual Basic

Тип

Хранимая

информация

Занимаемая

память

Интервалы значений

Целочисленные типы

Вуtе

Целые числа

1 байт

от 0 до 255

Воо1еап

Логические

значения

2 байта

Тrue (Истина) или False

(Ложь)

Integer

Целые числа

2 байта

от -32768 до 32767

Long Integer

Длинные целые

числа

4 байта

+/- 2.1Е9

Типы с плавающей точкой

Single

Вещественные

числа одинар-

ной точности с

плавающей точкой

4 байта

От -3.402823Е38 до

-1.401298Е-45 для отрицательных чисел

и от 1.401298Е -45 до 3.402823Е38 для

положительных

Double

Вещественные

числа двойной

точности с пла-

вающей точкой

8 байт

от -1. 79763 13486232Е308

до -4.94065645841247Е-324

для отрицательных чисел и от

4.94065645841 247Е-324 до

1. 79763 13486232Е308 для по-

ложительных

Строковые типы

String (стро-

ка фиксиро-

ванной дли-

ны)

Текстовая ин-

формация (стро-

ка)

1 байт на

каждый сим-

вол

От 1 до 65400

String (стро-

ка перемен-

ной длины)

Текстовая ин-

формация (стро-

ка)

10 байт + 1

байт на ка-

ждый символ

От 0 до двух миллиардов

символов

Объектные типы

Object

Рисунок или ссылка на

любой другой объект

4 байта

Ссылка на объект

44

Окончание табл. 2

Тип

Хранимая

информация

Занимаемая

память

Интервалы значений

Типы Variant

Variant Значения любого

из перечис-

ленных типов

данных

16 байт для

чисел, 22

байта + 1

байт на каж-

дый символ

для строк

Любое числовое или

строковое значение

Прочие типы

Decimal

Десятичное чис-

ло

14 байт

Целое — 29 знаков Веществен-

ное — 27 знаков после запятой

Date Информация о

дате и времени

8 байт

от 1 января 1000 г. до 31-го

декабря 9999 г.

Currency

Числа, имеющие до

15 цифр до деся-

тичной точки и 4

цифры после нее

(ден. единицы)

8 байт

От -922337203685477.5808 до

922337203685477.5808

Декларация переменных может быть явной или неявной. Для явного опреде-

ления переменных существует два способа. Первый предпочтительный способ,

предполагает использование следующего синтаксиса:

[Static | Private | Public] Dim ИмяПеременной [ As Тип]

где Dim (Размер) — ключевое слово, которое сообщает Visual Basic, что деклари-

руется переменная и резервируется область памяти для ее хранения; ИмяПеремен-

ной — имя переменной (идентификатор, не входящий в перечень ключевых

слов Visual Basic); As (Как) — ключевое слово, которое сообщает Visual Basic,

что определяется тип данных для переменной; Тип — тип данных для объявляемой

переменной; Private (Частный), Public (Общий) — ключевые слова, опреде-

ляющие область видимости переменной; Static (Статический) — ключевое

слово, которое определяет, сохраняет ли переменная свое значение при завер-

шении блока программы (процедуры, функции) и выходе из него.

Следует отметить, что хороший стиль программирования предполагает использование

явной декларации с помощью ключевых слов Dim, Private, Public, Static. Неявное объ-

явление переменных без необходимости применять не следует, так как в последующем можно

получить неверный результат (дело в том, что VBA по-разному обрабатывает данные разных

типов, а в случае отсутствия описания ко всем данным будет применен один тип – Variant).

Чтобы избежать неприятностей необходимо в общей области программного

модуля помещать оператор Option Explicit.

45

Примеры декларации переменных:

Dim x As Integer, M$, B&

Dim y As Integer

Оператор Option Explicit в новом модуле появляется не всегда, а толь-

ко тогда, когда в диалоговом окне Параметры (Options) на вкладке Редактор

(Editor) установлен флажок опции Явное описание переменных (Require Variable

Declaration). Диалоговое окно открывается в редакторе командой Сер-вис\Параметры (Tools\Options). Если в верхней части окна модуля вы увидите оператор Option Explicit, то

вы обязаны описывать все переменные и константы. Если вы попытаетесь ис-

пользовать их без объявления, то при компиляции будет выдана ошибка.

Лабораторная работа № 4 на тему

«Программирование некоторых численных методов

решения нелинейных уравнений на VBA»

Цель работы: 1. Получение практических навыков в организации итерационных процессов.

2. Знакомство с численными методами решения алгебраических и трансцен-

дентных уравнений.

3. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения

данных.

4. Овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений

средствами программы MS Excel.

Постановка задачи:

Предварительно локализовав отрезок, содержащий первый положительный ко-

рень нелинейного уравнения f(x)=0, разработать проект VBA, позволяющий

уточнить его с заданной точностью, используя: а) метод половинного деления; б)

метод хорд; в) метод касательных; г) метод простой итерации.

Выбор метода решения нелинейного уравнения осуществить с помощью элемен-

тов управления OptionButton, помещѐнных на пользовательскую форму (User-

Form). Элементы управления OptionButton сгруппировать с помощью элемента

управления Frame. Для каждого из перечисленных выше численных методов

спроектировать отдельную пользовательскую форму (UserForm) на которой раз-

местить необходимые объекты (элементы управления Label – для подписи на

форме комментариев для пользователя; элементы управления TextBox – для вво-

да точности, и вывода найденного корня и числа итераций, за которое удалось

найти требуемое значение корня с заданной точностью; элементы управления

CommandButton – для выхода, вычисления корня и перехода на следующую и

(или) предыдущую формы). Необходимые вычисления оформить процедурами

функциями.

Содержание отчета : 1. Постановка задачи для конкретного варианта.

46

2. Описание процесса отделения отрезка, содержащего положительный корень

для конкретной функции из своего варианта (см. лаб. раб. №1).

3. Обоснование сходимости (применимости метода) каждого из перечисленных

в условии итерационных процессов в применении к конкретной функции и

найденному отрезку.

4. Эскизы всех пользовательских форм (UserForm) с подписанными именами на-

несѐнных на них элементов управления.

5. Тексты программ и блок-схемы всех необходимых процедур с указанием на-

звания модуля в которых они сохранены.

6. Результаты работы для каждого из методов решения нелинейных уравнений

выписать в следующем виде:

Решение

уравнения

f(x)=0

Название численного метода

метод

половинного

деления

метод хорд

метод

касательных

метод

простой

итерации

Вычисленное

значение кор-

ня

Число

итераций

7. Расписать структуру полученного проекта.

8. Отразить на схеме взаимосвязь имеющихся модулей.

9. Проанализировать полученные результаты и сравнить с результатами пре-

дыдущих лабораторных работ.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №4

1. Постановка задачи для конкретного варианта.

Предварительно локализовав отрезок, содержащий первый положительный ко-

рень нелинейного уравнения e-x-x=0, разработать проект VBA, позволяющий

уточнить его с заданной точностью, используя: а) метод половинного деления;

б) метод хорд; в) метод касательных; г) метод простой итерации.

Выбор метода решения нелинейного уравнения осуществить с помощью элемен-

тов управления OptionButton, помещѐнных на пользовательскую форму (User-

Form). Элементы управления OptionButton сгруппировать с помощью элемента

управления Frame. Для каждого из перечисленных выше численных методов

спроектировать отдельную пользовательскую форму (UserForm) на которой раз-

местить необходимые объекты (элементы управления Label – для подписи на

форме комментариев для пользователя; элементы управления TextBox – для вво-

да точности, и вывода найденного корня и числа итераций, за которое удалось

найти требуемое значение корня с заданной точностью; элементы управления

CommandButton – для выхода, вычисления корня и перехода на следующую и

предыдущую формы). Необходимые вычисления оформить процедурами функциями.

47

2. Описание процесса отделения отрезка, содержащего первый положительный

корень для конкретной функции из своего варианта.

Этот пункт проделать самостоятельно (см. лаб. раб. №1). Мы воспользуемся

результатами предыдущих лабораторных работ (2 и 3). Имеем: f(x)= e-x-x, на-

чало отрезка a=0, конец отрезка b=1.

3. Обоснование сходимости (применимости метода) каждого из перечисленных

в условии итерационных процессов в применении к конкретной функции и най-

денному отрезку. (Этот пункт также проделать самостоятельно (см. лаб. раб. №2).)

4. Эскизы всех пользовательских форм (UserForm) с подписанными именами на-

несѐнных на них элементов управления.

а) UserForm1

б) UserForm2

в) UserForm3, UserForm4, UserForm5 спроектируйте аналогично UserForm2.

(Все элементы управления и их имена аналогичны тем, что размещены на

UserForm2. Поменять только свойство Caption соответствующих форм на

название того метода который в данный момент реализуется.)

5. Тексты программ и блок-схемы всех необходимых процедур с указанием на-

звания модуля в которых они сохранены.

Ниже приводятся тексты всех необходимых процедур. Блок-схемы тех проце-

дур, в которых реализуются тот или иной численный метод решения нелиней-

ных уравнений приводятся в прил 1-4. Естественно, что они требуют адапта-

Label1

OptionButton1

OptionButton2

OptionButton3

OptionButton4

CommandButton1 CommandButton2

Frame1

Label1

Label2

Label3 CommandButton2

CommandButton1 CommandButton3

TextBox1

TextBox2

TextBox3

48

ции под написанные ниже тексты программ. Недостающие блок-схемы офор-

мить самостоятельно.

а) Модуль UserForm1 Private Sub CommandButton1_Click()

UserForm1.Hide

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

UserForm1.Hide

If OptionButton1.Value = True Then

UserForm2.Show

ElseIf OptionButton2.Value = True Then

UserForm3.Show

ElseIf OptionButton3.Value = True Then

UserForm4.Show

ElseIf OptionButton4.Value = True Then

UserForm5.Show

End If

End Sub

Private Sub UserForm_Initialize()

OptionButton1.Value = True

End Sub

б) Модуль UserForm2 Private Sub CommandButton1_Click()

UserForm2.Hide

UserForm1.Show

End Sub

Private Sub CommandButton3_Click()

UserForm2.Hide

UserForm3.Show

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Dim c As Single

Dim n As Integer

a = 0

b = 1

eps = Val(TextBox1.Text)

n = 0

Do While (b - a)>= eps

xn = (a + b) / 2

n = n + 1

If f(a)*f(xn)<= 0 Then b = xn Else a = xn

Loop

TextBox2.Text = xn

TextBox3.Text = n

End Sub

Private Sub UserForm_Initialize()

TextBox2.Enabled = False

TextBox3.Enabled = False

End Sub

49

в) Модуль UserForm3

Процедуры обработки событий для CommandButton1 и 3, а также пользова-

тельской формы (Initialize) написать самостоятельно. Private Sub CommandButton2_Click()

a = 0

xn=1

eps = Val(TextBox1.Text)

n = 0

Do

xn = xn - f(xn) * (xn - a) / (f(xn) - f(a))

n = n + 1

Loop While Abs(f(xn)) >= eps

TextBox2.Value = xn

TextBox3.Value = n

End Sub

г) Модуль UserForm4

Процедуры обработки событий для CommandButton1 и 3, а также пользова-

тельской формы (Initialize) написать самостоятельно. Private Sub CommandButton2_Click()

xn=0

eps = Val(TextBox1.Text)

n = 0

Do Until Abs(f(xn)) < eps

xn = xn - f(xn) / производная_f(xn)

n = n + 1

Loop

TextBox2.Value = xn

TextBox3.Value = n

End Sub

д) Модуль UserForm5

Процедуры обработки событий для CommandButton1 и 3, а также пользова-

тельской формы (Initialize) написать самостоятельно. Private Sub CommandButton2_Click()

a=0

b=1

eps = Val(TextBox1.Text)

xn = (a + b) / 2

n = 0

Do

xn = fi(xn)

n = n + 1

Loop Until Abs(f(xn))< eps

TextBox2.Value = xn

TextBox3.Value = n

End Sub

е) Module1 Public Function f(ByVal x As Single) As Single

f = Exp(-x) - x

50

End Function

Public Function производная_f(ByVal x As Single) As Single

производная_f = -Exp(-x) - 1

End Function

Public Function fi(ByVal x As Single) As Single

fi = Exp(-x)

End Function

6. Результаты работы для каждого из методов решения нелинейных уравнений

выписать в следующем виде:

7. Расписать структуру полученного проекта.

8. Отразить на схеме взаимосвязь имеющихся модулей.

9. Проанализировать полученные результаты и сравнить с результатами пре-

дыдущих лабораторных работ.

Решение

уравнения

e-x

-x=0

Название численного метода

метод

половинного

деления

метод хорд

метод

касательных

метод

простой

итерации

Вычисленное

значение

корня

0,5672 0,5672 0,5671 0,5671

Число

итераций 14 5 4 14

Модуль UserForm1

Модуль UserForm2 Модуль UserForm3 Модуль UserForm4 Модуль UserForm5

Модуль1

51

Таблица 3

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ для лабораторных работ №2, №3, №4

№

вар. Уравнение a b №

вар. Уравнение A b

1 cos x = x - 4; 3 4 11 arctg(x2 +

1

x)=x; 1 2

2 0,5 – x = ln(x+1); 0 1 12 x2x – 1 = 0; 0 1

3 sin(x + 1) = 0,5x; 1 2 13 ln(x + 2) = (1 - x)3; 0 1

4 2arctg x = x - 3; 5 6 14 xx + 9x = 20; 1 2

5 1 2lg ;

2

xx

4 5 15 (x - 3)cosx - ½ = 0; 4 5

6 tg(0,58x+0,1)=x2; 0 1 16 lg(x + 1) = 10

-x; 0 1

7 3x + 2x = 2; 0 1 17 tg

3(x + 4,5) = x - 1; 2 3

8 1 + x5 = 3x; 1 2 18 5

x = e

-x + 1; 0 1

9 ln x = sin x; 2 3 19 x – 1 = x0,15

; 2 3

10 2( 1) ;2

xex 0 1 20 ln x =

1

x. 1 2

Таблица 4

Ответы к лабораторной работе №1

№

вар. Ответ №

вар. Ответ

1 [-4,3]; [2,3]; 11 [0.1,1]; [4,5];

2 [3,4]; 12 [-2,-1];

3 корней нет; 13 [1,2];

4 [-1,0]; [1,2]; 14 [2,3];

5 [-3,-2]; [-1,0]; [2,3]; 15 [0,1];

6 [1;2]; 16 [0,1];

7 [-2,-1]; [1,2] 17 корней нет;

8 [-1,0]; [3,4]; 18 [-3,-2]; [1,2];

9 [1,2]; 19 [-1,-0.1]; [0.1,1];

10 [1,2]; 20 [2,3].

52

Таблица 5

Ответы к лабораторным работам №2, №3, №4

№

вар. Ответ №

вар. Ответ №

вар.

Ответ №

вар.

Ответ

1 3.0088; 6 0.7904; 11 1.1402; 16 0.6582;

2 0.2650; 7 0.3027; 12 0.6412; 17 2.6518;

3 1.3800; 8 1.2146; 13 0.0956; 18 0.3352;

4 5.8001; 9 2.2191; 14 1.8662; 19 2.1192;

5 4.6815; 10 0.2133; 15 4.9691; 20 1.7632.

Корень уравнения, приведенный в качестве ответа, найден при помощи метода половинного

деления с заданной точностью

Использованная литература

1. Костомаров Д.П., Корухова Л.С., Манжелей С.Г. Программирование и

численные методы. – М.: МГУ, 2001. – 224 с.

2. Беляев Б.А., Власков Г.А., Медведева Т.А., Цвиль М.М. Численные мето-

ды с программированием на Паскале. – Ростов н/Д: РГСУ, 1995.

3. Воробьѐва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математи-

ке: учеб. пособие для техникумов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа,

1990. – 208 с.

4. Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet в экономике и финансах. - СПб.: БХВ-

Петербург, 2001.

5. Белявский Г.И., Павлов И.В. Теория пределов и дифференциальное исчис-

ление (курс лекций и контрольное задание №2 по высшей математике для сту-

дентов всех форм обучения). – Ростов н/Д: РГСУ, 2003.

6. Шамраева В.В., Зиньковская Н.П. Объектно-ориентированное программи-

рование для Microsoft Excel. – Ростов н/Д: РГСУ, 2006. – 100 с.

53

Приложение 1

Блок-схема вычислений с помощью метода половинного деления

Приложение 2

Блок-схема вычислений с помощью метода хорд

54

Приложение 3

Блок-схема вычислений с помощью метода касательных

Приложение 4

Блок-схема вычислений с помощью простой итерации

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании

кафедры высшей математики

«11» июня 2011 г.

Методическое указание

по дисциплине «Информатика» для бакалавров 1, 2-го курсов ДТИ, ИИЭС

к практической работе

Решение математических задач средствами Microsoft Excel

Раздел 4. Программное обеспечение информационных процессов

Ростов-на-Дону

2011

2

УДК 681.3.06

Методическое указание по дисциплине «Информатика» для бакалавров

1, 2-го курсов ДТИ, ИИЭС к практической работе «Решение математических

задач средствами Microsoft Excel». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. –

30 с.

Содержится материал, необходимый для освоения курса «Информатика»

для бакалавров инженерно-технических специальностей. Приведены задания,

вырабатывающие навыки работы с формулами и функциями, создания

различных видов диаграмм.

Электронная версия методических указаний находится в библиотеке,

ауд. 224.

УДК 681.3.06

Составитель: канд.физ.-мат.наук, доц. Л.А.Кладенок

Рецензент:

канд.физ.-мат.наук, доц. С.А.Никитин

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 185

Подписано в печать 12.07.11. Формат 6084/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 2,2. Тираж 20 экз. Заказ 387

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

Ростовский государственный

строительный университет, 2011

3

Лабораторная работа

на тему «Решение с использование MS Excel задач на транспорте »

Цель работы: получит устойчивые знания работы с формулами и встроенными

функциями, создавать различные виды диаграмм.

Задание 1. Каков общий пробег автомобиля ГАЗ-53А за пять дней и

среднесуточный пробег автомобиля по фиксированным в путевом листе

показаниям спидометра? Построить гистограмму пробега по дням.

Пробег 1 2 3 4 5 6

При выезде, км 15555 15850 16700 16780 16820 16880

При возврате, км 15850 16700 16780 16820 16880 16900

Аналитическое решение

Вначале вычисляется ежесуточный пробег автомобиля как разность

показаний спидометра при выезде и возврате.

Затем, просуммировав ежесуточный пробег, можно найти общий пробег,

а разделив общий пробег на дни работы, – среднесуточный пробег.

Решение в Excel

1. Создайте новую Рабочую книгу, сохраните ее под именем Задача 1,

занесите на рабочий лист таблицу с исходными данными (рис.1).

2. В ячейку B9 занесите формулу =B6-B5, позволяющею рассчитать пробег

за сутки, и распространите ее на ячейки C9:G9.

3. Первый способ расчета общего пробега состоит в простом суммировании

ячеек диапазона B9:G9. Занесите в B10 формулу =B9+C9+D9+E9+F9+G9

4. Второй способ заключается в использовании специальной функции

ВставкаМатематическиеСУММ и диапазона ячеек. Занесите в B10

формулу =СУММ(B9:G9).

5. Среднесуточный пробег можно вычислить по формуле =B10/6. Занесите

эту формулу в ячейку B12.

6. Более правильным для расчета среднесуточного пробега будет

использование специальной функции ВставкаСтатистическиеСРЗНАЧ,

возвращающей среднее значение для выбранных ячеек. Занесите в ячейку B13

формулу =СРЗНАЧ(B9:G9) (рис. 2).

Рис.1

4

7. Во многих случаях существует более простой способ выполнения

расчетов, так как Excel предлагает большой набор специализированных

функций. Так можно вычислить общий пробег, не делая промежуточных

расчетов ежедневных пробегов. Для этого следует использовать специальную

формулу массива {СУММ}, которая возвращает сумму диапазонов ячеек и

автоматически выполняет промежуточные действия.

8. При помощи контекстного меню вставьте строку между 11 и 12. Значения

«Средний пробег», сместятся на 13-ю строку. В ячейку А1 снести «3 способ».

Для создания формулы массива занесите в ячейку B12 формулу

=СУММ(B5:G5-B4:G4), затем нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

9. Построим гистограмму.

Этап 1. Выбор типа диаграммы На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Гистограмма, вид — Обычная. После чего

нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 2. Указание диапазона В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных B5:G6. Нажать кнопку Далее.

Этап 3. Введение заголовков В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: Пробег. Затем аналогичным образом ввести в

рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия:

дни и км. Нажать кнопку Далее.

Рис. 2

5

Этап 4. Завершение. Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 3).

Задание для самостоятельной работы

Построить ГистограммуПирамидальнуюПростою для Задачи 1.

Задание 2. В результате подсчета число вошедших и вышедших

пассажиров по одному пейсу для одного автобусного маршрута были получены

следующие данные:

Название перегона Вошло Вышло Длина перегона

Перегон 1-2 14 0 0,5

Перегон 2-3 5 14 0,7

Перегон 3-4 7 5 0,3

Перегон 4-5 8 4 0,8

Перегон 5-6 2 3 0,4

Перегон 6-7 1 9 0,5

Конечная 2 -

Определить по этим данным среднюю длину поездки пассажира. Построить

круговую Перевозки пассажиров и кольцевую диаграммы Пассажирооборот

участка.

Рис.3

6

Аналитическое решение

Расчет средней длины поездки пассажира выполняется по формуле

Q

Plср ,

где P – п ассажирооборот, Q – число перевезенных пассажиров.

Решение в Excel

1. Занесите исходные данные на рабочий лист (рис. 4).

2. Выполните расчет числа пассажиров, перевезенных по перегонам, для

этого занесите в ячейку E6 формулу =E5+B6-C6 и распространите ее в

диапазон Е7:Е11

3. Выполните расчет пассажирооборота по участкам, занесите в ячейку

F6 формулу =D6*E6 и распространите ее в диапазон F7:F11.

4. В ячейку B13 занесите с помощью мастера функций формулу

=СУММ(B6:B11) и распространите ее в С13. Эти формулы рассчитывают

количество перевезенных пассажиров, суммируя число вошедших и вышедших

соответственно.

5. Для расчета суммарного пассажирооборота по маршруту занесите с

помощью мастера функций в ячейку F12 формулу =СУММ(F6:F11).

6. Расчет средней длины поездки пассажира выполняется по формуле

=F12/B13, которая заносится в ячейку F13 (Рис.5).

Рис.4

7

7. Более простым способом расчета средней длины поездки пассажира,

исключающим выполнение промежуточных расчетов, является использование

формулы =СУММПРОИЗВ(D6:D11;E6:E11)/СУММ(B6:B11), которая с

помощью мастера функции заносится в ячейку F15 (Рис.6)

8.1. Построим круговую гистограмму.

Этап 1. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Круговая, вид — Круговая диаграмма. После

чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 2. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных Е5:Е11. Нажать кнопку Далее.

Этап 3. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: Перевезено пассажиров. Нажать кнопку Далее.

Этап 4. Завершение. Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 7).

Рис.6

Рис.5

8

8.2. Построим кольцевую гистограмму.

Этап 1. Выбор типа диаграммы На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Кольцевая, вид — Крольцевая диаграмма.

После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 2. Указание диапазона В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных F5:F11. Нажать кнопку Далее.

Этап 3. Введение заголовков В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: Перевезено пассажиров. Нажать кнопку Далее.

Рис.7

9

Этап 4. Завершение Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 8).

Задание 3. Автотранспортное предприятие выполняет грузовые перевозки

для разовых клиентов. Для расчета стоимости перевозки используются

различные виды тарифов на перевозки.

Вид тарифа зависит от объема заказанной услуги и пробега автомобиля.

Если грузооборот P составляет менее 1300 ткм, то используется тариф за тонну,

если более, то – тариф за километр. В табл.1 приведены значения для

различных значений показателей:

Таблица 1 Название тарифа Тариф за тонну Тариф за километр

Объем

перевозок, т

Тариф. Руб./т Пробег, км Тариф. Руб./т

1-й вид тарифа От 0 40 От 0 25

2-й вид тарифа От 20 30 От 30 20

3-й вид тарифа От 100 20 От 150 15

Договорной тариф От 500 - От 1000 -

Рассчитать стоимость перевозки грузов для следующих клиентов (табл.2)

Рис. 8

10

Таблица 2 Показатель Клиент

1 2 3 4

Объем перевозок (Q), т 200 115 300 120

Грузоподъемность (q), т 5 10 8 6

Средняя длина груженной

ездки (1ег), км

8 14 4 8

Коэффициент

использования

пробега (b)

0,5 0,65 0,5 0,61

Коэффициент

использования

грузоподьемности (g)

0,9 0,7 0,8 0,6

Построим цилиндрическую гистограмму для стоимости оплаты перевозок для

всех клиентов.

Аналитическое решение

Грузооборот и общий пробег автомобилей рассчитываются по формулам:

геQlP ; q

QlL ге

o ; ok LTS .

В зависимости от величины грузооборота выбирается вид тарифа и

используется одна из формул расчета стоимости перевозки.

Себестоимость перевозок при тарифе за один километр ok LTS , где kT – тариф

за один километр, руб/км.

Себестоимость перевозок при тарифе за одну тонну QTS т , где тT – тариф за

тонну, руб/т.

Решение в Excel

1. Занесите на рабочий лист исходную таблицу тарифов (рис.9)

Рис.9

2. Показатели по клиентам занесите в том же виде, в каком они

представлены в условиях задачи (рис.10).

11

Рис.10

3. Используя исходные формулы, выполните расчет грузооборота и

общего пробега по каждому клиенту. Занесите в ячейку B22 формулу

=B15*B17 и распространиnе ее в C22:E22. В ячейку B23 занесите формулу

=B15*B17/(B16*B19*B19) и распространите ее в C23:E23.

4. Для определения вида используемого тарифа необходимо проверить

условие: если грузооборот меньше 1300, то используется тариф за тонну, если

больше – за километр.

5. Выделите ячейку B26 и запустите Мастер функций (кнопкой на панели

инструментов). Выберите функцию Логические и функцию ЕСЛИ. На

следующем шаге укажите параметры: Условие B22>$D$12, Значение если

истина – 2, Значение если ложь – 1. В результате в ячейке B26 ,будет формулы

=ЕСЛИ(B22>$D$12;2;1). Распространите ее в диапазон С26. Результат расчета

по формуле показывает вид используемого тарифа. Если результат равен 1, то

используется тариф за тонну, если 2, то тариф за километр (рис.11).

Рис.11

6. Произведите построение таблицы, в которой рассчитывается

стоимость перевозки по каждому тарифу. Для этого, используя Мастер

функций, занесите в ячейку B29

=ЕСЛИ(И(B$15>$B6;B$15<=$B7);$C6*B$15;0). Распространите формулу в

ячейки B29:E31. В ячейку B32 занесите формулу

=ЕСЛИ(И(B$23>$D6;B$23<=$D7);B$23*$E6;0) и распространите ее в

диапазон B32:E34 (рис.12).

12

Рис.15

7. В заключение выполните расчет платы за перевозку. Используя

Мастер функций, занесите в ячейку B37 формулу

=ЕСЛИ(B26=1;СУММ(B29:B31);СУММ(B32:B34)). Распространите ее в

C37:E37. По полученной формуле вычисляется общая сумма оплаты за

перевозки в зависимости от вида тарифа. Результаты расчетов помещаются в

диапазон B37:E37.

8. Построим цилиндрическую гистограмму

Этап 1. Выбор типа диаграммы На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Цилиндрическаяя, вид — Гистограмма со

столбцами в виде циоиндров. После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом

окне.

Этап 2. Указание диапазона В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных D37:G37. Нажать кнопку Далее.

Этап 3. Введение заголовков В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: Оплата за перевозки. Нажать кнопку Далее.

Этап 4. Завершение Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 13).

13

Лабораторная работа

на тему «Построение графиков функций»

Цель работы: научиться использовать автозаполнение, создавать двумерные

графики математических функций.

Задание 4. Построение графика функций в прямоугольной

системе координат

Основные сведения

Прямоугольная(Декартова) система координат на плоскости

образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси

координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на

каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и

единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих

осей. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси

OX против часовой стрелки на 90° еѐ положительное направление совпало с

положительным направлением оси OY.

Рис.13

14

Положение точки A на плоскости

определяется двумя координатами x и y .

Координата x равна длине отрезка OB,

координата y — длине отрезка OC в

выбранных единицах измерения. Точки B и C

определяются проекциями точки A на оси

OX и OY соответственно. Координата x

называется абсциссой точки A, координата

y — ординатой точки A (рис.14).

Записывают так: A(a, b).

Пусть необходимо построить график

функции y=y(x) на некотором интервале

],[ ba . Напомним, что графиком функции

называется множество всех точек

координатной плоскости, абсциссы которых

равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям

функции.

1. Необходимо разбить отрезок ],[ ba на некоторое количество интервалов -

n , причем, чем больше n , тем точнее будет построен график функции.

Обозначим границы этих промежутков bxhaxhaxax n ,...,2,, 210 ,

где h – интервал разбиения, который вычисляется по формуле: 2

abh

.

2. Затем из формулы )(xyy находится значение )( ii xyy и на плоскость

наносится точка с координатами ),( ii yx , где ni ,...,1,0 .

3. Полученные точки соединяются плавной линией.

Упражнение. Построить график предлагаемой функции в прямоугольной

системе координат 5/)12306022( 356 xxxxy х [-4; 5].

Решение

Этап 1. Математическая часть Задача построения графика в прямоугольной системе координат связана с

приведением функции к виду y=f(x).

Также необходимо выбрать шаг разбиения отрезка. Шаг рассчитывается по

формуле n

abh

)(

, где a – начало отрезка, b – конец отрезка, n – количество

точек разбиения. В нашем случае количество точек разбиения отрезка для

построения графика достаточно n=20.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Рис.14

15

Этап 2. Ввод данных

Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями

«х», а второй соответствующими показателями «у». Для этого в ячейку А1

вводим слово Аргумент, в столбце А будут располагаться значения x. В ячейку

В1 — слово Функция, в столбце B будут располагаться значения функции в

точках x. В ячейку С1 — букву «a», в ячейке C2 внесем значение начала

отрезка -4. В ячейку D1 — букву «b», в ячейке D2 внесем значение конца

отрезка 5. В ячейку E1 — букву «n», в ячейке E2 внесем количество точек

разбиения отрезка 20. В ячейку F1 — букву «h», в ячейке F2 внесем вычисления

шага =(D2-C2)/E2.

В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона

=C2, в ячейке отразится -4. В ячейку A3 вводится формулу вычисления

следующей точки отрезка =A2+$F$2, в ячейке отразится -3. Затем, выделим

ячейку А2 и откопируем до 22 строки.

Вводим значения функции. В ячейку В2 необходимо ввести

=(22*A2^6-60*A2^5-30*A2^3+12*A2)/5. Автозаполнением копируем эту

формулу в диапазон В2:В22.

В результате должна быть получена таблица данных для графика.

Этап 3. Выбор типа диаграммы На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую

среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в

диалоговом окне.

Этап 4. Указание диапазона В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле

Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести

указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку

мыши и не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке,

содержащей выносимые на диаграмму данные (B22), затем отпустить левую

кнопку мыши. Выделиться диапазон B1:B22.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных.

Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в

положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 5. Ввод подписей по оси X (горизонтальной)

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных

диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем

мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере —

Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в

нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку

подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть

16

указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X

подписи (А22), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку

Далее.

Этап 6. Введение заголовков.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: График в декартовой системе координат. Затем

аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y

(значений) соответствующие названия: ось абсцисс и ось ординат.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 7. Завершение. Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 16).

Рис. 16. Диаграмма функции, заданной в декартовой системе координат

Этап 8. Переименование листа. Навести курсор на закладку Лист1, правой

клавишей мыши (ПКМ) вызвать контекстное меню, выбрать пункт

Переименовать, удалить старое название листа и с клавиатуры набрать новое

График1, набрать Enter.

17

Задание 5. Построение графика функции, заданной в

полярной системе координат

Основные сведения

Полярная система координат — система координат, ставящая в

соответствие каждой точке на плоскости пару чисел ; .

Основными понятиями этой системы являются точка отсчѐта (полюс) и

луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата определяет расстояние от точки до полюса,

координата — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и

рассматриваемую точку. Координата берѐтся со знаком «+», если угол от оси

до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в

противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное

число координат вида n 2; , которым соответствует одна и та же точка

при любых натуральных n . Для полюса 0 , угол произвольный.

Формулы перехода

От полярной системы координат к декартовой:

.sin

,cos

y

x

От декартовой к полярной системе координат:

.sin,cos

,

2222

22

yx

y

yx

x

yx

Упражнение. Построить график предлагаемой функции, заданной в полярной

системе координат 2cos21 φ [-π;π].

Решение

Этап 1. Математическая часть

Задача построения графика, заданного в полярной системе координат связана с

вычислением

.sin

;cos

y

x

Также необходимо выбрать шаг разбиения отрезка. Шаг рассчитывается по

формуле n

abh

)(

, где a – начало отрезка, b – конец отрезка, n – количество

точек разбиения. В нашем случае количество точек разбиения отрезка для

построения графика достаточно n=20.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

18

Этап 2. Ввод данных

Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х,

а второй – соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим

«Fi», в столбце А будут располагаться значения φ. В ячейку В1 — r, в столбце

B будут располагаться значения ρ в точках φ. В ячейку С1 — букву «x». В

ячейку D1 — букву «y». В ячейку E1 — букву «a», в ячейке E2 внесем значение

начала отрезка -π.

Для того можно воспользоваться Мастер функции. Табличный курсор

необходимо поставить в ячейку E2 и на панели инструментов Стандартная

нажать кнопку ВставкаФункции (fx). В появившемся диалоговом окне

Мастер функций (шаг 1 из 2) слева в поле Категория указаны виды функций

– Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию =ПИ().

Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно ПИ. Нажимаем кнопку ОК.

В ячейке E2 появляется 3,14159. Теперь необходимо добавить минус.

Установить курсор на ячейку E2. Нажать клавишу F2, для входа в режим

редактирования. Установить минус после равно.

В ячейку F1 — букву «b», в ячейке F2 внесем значение конца отрезка π. В

ячейку G1 — букву «n», в ячейке G2 внесем количество точек разбиения

отрезка 20. В ячейку H1 — букву «h», в ячейке H2 внесем вычисления шага

=(F2-E2)/G2.

В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона

=E2, в ячейке отразится -3,14159. В ячейку A3 вводится формулу вычисления

следующей точки отрезка =A2+$H$2, в ячейке отразится -2,82743. Затем,

выделим ячейку А2 и откопируем до 22 строки.

Вводим значения функции ρ. В ячейку В2 необходимо ввести

=1+2*COS(-2*A2). Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон

В2:В22.

В ячейку C2 вводится значение x — =B2*COS(A2). Затем, выделим ячейку C2 и

откопируем до 22 строки.

19

В ячейку D2 вводится значение x — =B2*SIN(A2). Затем, выделим ячейку D2 и

откопируем до 22 строки.

В результате должна быть получена таблица данных для графика.

Этап 3. Выбор типа диаграммы

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Точечная, вид — Точечная диаграмма со

значения (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем

кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 4. Указание диапазона

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле

Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести

указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (С2), нажать левую кнопку

мыши и не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке,

содержащей выносимые на диаграмму данные (D22), затем отпустить левую

кнопку мыши. Выделиться диапазон С2:D22.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных.

Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в

положение «в столбцах» (черная точка должна стоять около слова столбцах).

После появления требуемой диаграммы в окне шаблона необходимо нажать

кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

20

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: График2. Затем аналогичным образом ввести в

рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия:

ось абсцисс и ось ординат.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 17).

Рис. 17. Диаграмма функции, заданной в полярной системе координат

Этап 7. Переименование листа. Навести курсор на закладку Лист2, правой

клавишей мыши (ПКМ) вызвать контекстное меню, выбрать пункт

Переименовать, удалить старое название листа и с клавиатуры набрать новое

График2, набрать Enter.

21

Задание 6. Построение графика функций, заданной

параметрически

Основные сведения

Параметрическое задание функции

Даны два уравнения:

).(

),(

ty

tx

(1)

где t принимает значения, содержащиеся на отрезке 21,TT . Каждому значению

t соответствуют значения x и y (функции и предполагаем

однозначными). Если рассматривать значения x и y как координаты точки на

координатной плоскости Oxy , то каждому значению t будет соответствовать

определенная точка плоскости. Когда t изменяется от 1T до 2T , эта точка на

плоскости описывает некоторую кривую. Уравнение (1) называется

параметрическим уравнением этой кривой, t – параметром, а способ задания

кривой уравнением (1) – параметрическим.

Упражнение. Построить график предлагаемой функции, заданной

параметрически

ttty

ttx

4cossin

3sincos1, 2,1;0t .

Решение

Этап 1. Математическая часть

Задача построения графика функции, заданного парметрически состоит в

задании x и y.

Также необходимо выбрать шаг разбиения отрезка. Шаг рассчитывается по

формуле n

abh

)(

, где a – начало отрезка, b – конец отрезка, n – количество

точек разбиения. В нашем случае количество точек разбиения отрезка для

построения графика достаточно n=30.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

Этап 2. Ввод данных

Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х,

а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим «t»,

в столбце А будут располагаться значения t. В ячейку В1 — x, в столбце B

будут располагаться значения x в точках t. В ячейку С1 — букву «y». В ячейку

22

D1 — букву «a», в ячейку D2 внесем начало отрезка 0. В ячейку E1 — букву

«b», в ячейке E2 внесем значение конец отрезка =1,2*ПИ().

Для этого можно воспользоваться Мастер функции. Табличный курсор

необходимо поставить в ячейку E2 и на панели инструментов Стандартная

нажать кнопку ВставкаФункции (fx). В появившемся диалоговом окне

Мастер функций (шаг 1 из 2) слева в поле Категория указаны виды функций

– Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию =ПИ().

Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно ПИ. Нажимаем кнопку ОК.

В ячейке В2 появляется 3,14159. Теперь необходимо добавить минус.

Установить курсор на ячейку E2. Нажать клавишу F2, для входа в режим

редактирования. После равно внести «1,2*».

В ячейку F1 — букву «n», в ячейке D2 внесем значение конца отрезка 30. В

ячейку G1 — букву «h», в ячейке G2 внесем количество точек разбиения

отрезка =(E2-D2)/F2.

В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона

=E1, в ячейке отразится 0. В ячейку A3 вводится формула вычисления

следующей точки отрезка =A2+$G$2, в ячейке отразится 0,125664. Затем,

выделим ячейку А2 и откопируем до 32 строки.

Вводим значения x. В ячейку В2 необходимо ввести

=1+COS(A2)*SIN(3*A2). Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон

В2:В32.

В ячейку C2 вводится значение y — =A2-SIN(A2)*COS(4*A2). Затем выделим

ячейку C2 и откопируем до 32 строки.

В результате должна быть получена таблица данных для графика.

Этап 3. Выбор типа диаграммы

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — Точечная, вид — Точечная диаграмма со

23

значения (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем

кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 4. Указание диапазона

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле

Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести

указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (B2), нажать левую кнопку

мыши и не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке,

содержащей выносимые на диаграмму данные (C32), затем отпустить левую

кнопку мыши. Выделиться диапазон B2:C32.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных.

Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в

положение «в столбцах» (черная точка должна стоять около слова столбцах).

После появления требуемой диаграммы в окне шаблона необходимо нажать

кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: График2. Затем аналогичным образом ввести в

рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия:

ось абсцисс и ось ординат.

После чего нажать кнопку Далее.

24

Этап 6. Завершение Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 18).

Этап 7. Переименование листа Навести курсор на закладку Лист2, правой

клавишей мыши (ПКМ) вызвать контекстное меню, выбрать пункт

Переименовать, удалить старое название листа и с клавиатуры набрать новое

График3, набрать Enter.

Рис. 18. Диаграмма функции, заданной в параметрически

25

Задание 7. Построение графика кусочно-непрерывной функций

с использованием логической функции «=Если()»

Основные сведения

В MS Excel используются логические функции. Логическими называются

функции, возвращающие одно значение, если заданное условие при

вычислении дает значение ИСТИНА, и другое значение, если ЛОЖЬ. В

MS Excel используются функции И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ:

Функция =И() возвращает значение ИСТИНА, если все аргументы имеют

значение ИСТИНА; возвращает значение ЛОЖЬ, если хотя бы один аргумент

имеет значение ЛОЖЬ.

=И(логическое_значение1; логическое_значение2; ...)

Логическое_значение1, логическое_значение2, ... — это от 1 до 30

проверяемых условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо

ЛОЖЬ.

Пример: =И(A2=5) результатом будет значение ИСТИНА, если A2=5 и

ЛОЖНО, если A2 равно любому другому числу.

Функция =ИЛИ() возвращает ИСТИНА, если хотя бы один из аргументов

имеет значение ИСТИНА; возвращает ЛОЖЬ, если все аргументы имеют

значение ЛОЖЬ.

=ИЛИ(логическое_значение1;логическое_значение2; ...)

Логическое_значение1, логическое_значение2, ... — от 1 до 30 проверяемых

условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

Пример: =ИЛИ(A2<=-6;A2<6) результатом будет значение ИСТИНА, если

A2=1 (или любому другому числу в интервале от -6 до 6), и ЛОЖНО, если

A2=10.

Функция =НЕ() меняет на противоположное логическое значение своего

аргумента. Функция НЕ используется в тех случаях, когда необходимо быть

уверенным в том, что значение не равно некоторой конкретной величине.

=НЕ(логическое_значение)

Логическое_значение — величина или выражение, которые могут принимать

два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

26

Пример: =НЕ(A2=F7) A2=-10, F7=0, результатом будет значение

ИСТИНА, хотя 72 FA .

Функция =ЕСЛИ() используется при проверке условий для значений и

формул.

=ЕСЛИ(лог_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь)

Лог_выражение — это любое значение или выражение, принимающее

значения ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, В5=25 — это логическое выражение;

если значение в ячейке В5 равно 25, то выражение принимает значение

ИСТИНА. В противном случае — ЛОЖЬ.

Значение_если_истина — это значение, которое возвращается, если

лог_выражение равно ИСТИНА. Например, если этот аргумент — строка

«Next» и лог_выражение равно ИСТИНА, тогда функция ЕСЛИ отобразит

текст «Next».

Значение_если_ложь — это значение, которое возвращается, если

лог_выражение равно ЛОЖЬ. Например, если этот аргумент — строка

«Другое» и лог_выражение равно ЛОЖЬ, то функция ЕСЛИ отобразит текст

«Другое».

Пример: =ЕСЛИ(ИЛИ(A2<=-6;A2<6);”Next”;”Другое”) Если в

ячейке A2 число из промежутка [-6;6), то результатом в

ячейке появится значение )”Next”, иначе – ”Другое”.

Задание. Построить график предлагаемой функции в прямоугольной системе

координат 10;10,

6),12(

66),cos(

610,100

6

1000

3

23

x

xxtn

xx

xxx

y .

Решение

Этап 1. Математическая часть

Задача построения графика такого вида функции состоит в использовании

функции «=Если()».

Рассчитываем шаг разбиения отрезка по формуле n

abh

)( , где a – начало

отрезка, b – конец отрезка, n – количество точек разбиения. В нашем случае

количество точек разбиения отрезка для построения графика достаточно n=20.

Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ► Лист).

27

Этап 2. Ввод данных

Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х,

а второй – соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим

слово Аргумент, в столбце А будут располагаться значения x. В ячейку В1 —

слово Функция, в столбце B будут располагаться значения функции в точках x.

В ячейку С1 — букву «a», в ячейке C2 внесем значение начала отрезка -10. В

ячейку D1 — букву «b», в ячейке D2 внесем значение конца отрезка 10. В

ячейку E1 — букву «n», в ячейке E2 внесем количество точек разбиения

отрезка 40. В ячейку F1 — букву «h», в ячейке F2 внесем вычисления шага

=(D2-C2)/E2.

В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона

=C1, в ячейке отразится -10. В ячейку A3 вводится формулу вычисления

следующей точки отрезка =A2+$F$2, в ячейке отразится -9. Затем, выделим

ячейку А2 и откопируем до 42 строки.

Вводим значения функции. В ячейку В2 необходимо ввести

=ЕСЛИ(И(-10<=A2;A2<-6);(A2^3/1000-6*A2^2/100);

ЕСЛИ(ИЛИ(A2<=-6;A2<6);COS(A2);TAN(A2^3+12))).

Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В42.

В результате должна быть получена таблица данных для графика.

Этап 3. Выбор типа диаграммы

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер

диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):

Тип диаграммы выберем тип — График, вид — График с маркерами (левую

среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в

диалоговом окне.

28

Этап 4. Указание диапазона

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник

данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле

Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле

Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести

указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку

мыши и не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке,

содержащей выносимые на диаграмму данные (B42), затем отпустить левую

кнопку мыши. Выделиться диапазон B1:B42.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных.

Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в

положение «в столбцах» (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 5. Ввод подписей по оси X (горизонтальной)

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных

диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем

мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере —

Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в

нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку

подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть

указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X

подписи (А42), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку

Далее.

Этап 6. Введение заголовков.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для

этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем

29

мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести

с клавиатуры в поле название: График в декартовой системе координат. Затем

аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y

(значений) соответствующие названия: ось абсцисс и ось ординат.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 7. Завершение. Если внешний вид диаграммы нас устраивает, то

необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае нажать кнопку Назад

и внести необходимые изменения на нужном этапе.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 19).

Рис. 19. Диаграмма функции, заданной в декартовой системе координат

Этап 8. Переименование листа. Навести курсор на закладку Лист1, правой

клавишей мыши (ПКМ) вызвать контекстное меню, выбрать пункт

Переименовать, удалить старое название листа и с клавиатуры набрать новое

График4, набрать Enter.

30

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Гельман И.Я. Решение математических задач средствами Excel:

практикум. – СПб., 2003.

2. Сарафанова Е.В., Трегубов В.Н., Копцев Б.П. Решение транспорных задач

с помощью Excel XP и программирование на VBA. – Москва; Ростов н/Д:

МАрТ» 2006.

Дополнительная

1. Информатика / под ред. Н.В.Макаровой. – М., 2000.

2. Информатика: Базовый курс / под ред. С.В.Симонович. – СПб., 2001.

3. Савельев А.Я. Основы информатики. – М., 2001.

4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. – М., 2000.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Утверждено на заседании кафедры высшей математики

«28» августа 2012г.

Методические указания по дисциплине «Информатика»

к лабораторной работе по теме:

Матричные операции и решение СЛАУ в MS Excel

для обучающихся на 1,2-м курсах но направлениям подготовки

190700 «Технология транспортных процессов», 270800 «Строительство»,

280700 «Техносферная безопасность»

Часть 2

Ростов-на-Дону2013

УДК 681.517.07

Методические указания по дисциплине «Информатика» к лабораторной работе по теме: «Матричные операции и решение СЛАУ в MS Excel» для обучающихся на 1, 2-м курсах по направлениям подготовки 190700 «Технология транспортных процессов», 270800 «Строительство», 280700 «Техносферная безопасность» . Часть 2 ,- Ростов н/Д : РГСУ, 2013. - 16 с.

В предлагаемых методических указаниях содержится материал, необходимый для освоения курса «Информатики» для обучающихся на технических направлениях подготовки (специальностях).

Методические указания содержат руководство по выполнению лабораторных работ, задания для самостоятельной работы студентов и приложение.

Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224

УДК 681.517.07

Составители: канд.физ.-мат.наук, доцент Л.А.Кладенок, канд.физ.-мат.наук, доцент О.В.Назарько, канд.физ.-мат.наук, доцент Н.А.Сайфутдинова, ассистент А.Н.Шишкова, ассистент С.К.Макаров

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, доцент С.А.Никитин

Редактор МА.Матекина

Темплан 2013 Г-» поз. 89

Подписано в печать 19.04.13. Формат 60x84/16. Ризограф. Бумага писчая.

Уч.-изд.л.0,7. Тираж 100 экз. Заказ / C/fo /

Редакционно-издательский центрРостовского государственного строительного университета344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.

© Ростовский государственный строительный университет, 2013.

3

где

Итерацноннные методы решения СЛАУ

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений АХ = Ь,

матрица размерности

/«11 «12 К «1/и ^«12 «22 к «2/иМ М м м

ч« 1ш «2* к «mm )X - (х1,х2,...,хт) — вектор решения, b - (bt,b2,...,bm)T _ вектор правых частей:

а их1+ а пх 2 + . . .+ а шхт= Ь 1,

а 7 \Х \ + а 22Х 2 + ■■• + а 2тХ т ~ ^ 2 >

(1)

Численные методы решения данной системы принято разделять на два

класса: прямые методы («точные») и итерационные.

Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение

системы уравнений (1) за конечное число арифметических операций.

К прямым методам относятся метод Крамера, метод Гаусса и ряд других

методов. Основным недостатком прямых методов является то, что для

нахождения решения необходимо выполнить большое число операций.

Суть итерационных методов состоит в том, что решение системы (1)

находится как предел последовательных приближений Х ^ = (х ^ ,х ^ ,К ,х ^ )

при и —> со, где п - номер итерации. Применение итерационных методов

требует задания начального значения неизвестных Х ^ = ,*1°*)

(обычно берут х /0) = 0 для i=l,2,...,m) и точности вычислений £ > 0 .

Вычисления проводятся до тех пор, пока не будут выполнены оценки

I < G, V;' = l ,т .

Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что

точность искомого решения задается.

4

Различные итерационные методы отличаются формулами расчета

очередного приближения. Для получения расчетных формул выполним

следующие действия: из i-го уравнения системы (1) выразим х , :

Эти равенства являются основными для расчетных формул методов

Якоби и Зейделя.

Данная формула используется для вычисления последующего приближения

Особенностью метода Зейделя является то, что при вычислении х'1+|

используются уже полученные .

Условием сходимости метода Зейделя является диагональное

преобладание матрицы Л, т.е. ,«„|> , i * j, (4)

и хотя бы для одной строчки должно быть строгое неравенство. Для метода

простой итерации условие может быть строгим, т.е. |аа] > i (4.а)

Задание 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений :

а и V -Н J-'+l

Метод, Якоби:

X - (х, , Xj х ”+ ) по известному приближению

д4") = , координаты которого поставляются в правую часть.

1 Г «-I m \Метод Зейделя: х\п+'] = — b, - •” > i-h 2 ,...,m . (3)

а п V. /=i J=<+1

1) методом простой итерации (методом Якоби)^

2) Методом Зейделя.

Точность для обоих методов е = 10"4.

3) Проанализировать полученные результаты

нахождения корней СЛАУ методом простойитерации и методом Зейделя.

5

4,2х, -1,Зх2+х3 -0,25х4 = -1,56 1,42л:, - 10,3х2 + 0,25х3 - 2,5х4 = 2,5

2,2х, + 1,75х2 - 4,5х3 - 0,15х4 = -1 ,5

1,4л:, - 1,3х2 + З,2х3 - 9,5х4 = 0,5

Образец выполнения

1) Решение СЛАУ методом простых итераций (методом Якоби) (рис.2).

1 шаг. Проверка сходимости метода простой итерации (рис.1).

4,2х, -1,3;с2 +*3 -0,25х4 =-1,56 1,42х, -1 0,3х2 + 0,25х3 - 2,5х4 = 2,5

Для решения СЛАУ 2,2х, + 1,75х2 - 4,5х3 -0,15х4 = -1,5 ПрИ П0М°ЩИ MS Excel1,4х, - 1,3х2 + З,2х3 - 9,5х4 = 0,5

нам необходимо проверить сходимость методов постой итерации по

формуле (З.а).

Сравним модули диагональных элементов с суммой модулей остальных

элементов. Вычислим суммы модулей не диагональных элементов:

|-1,3| + |1| + |-0,25|=|2,55||1,42| + |0,25| + |-2,5| = |4,17||2,2|+|1,75|+|-0,15| = |4,1|

|1,4| + |-1,3| + |3,2| = |5,9|,

сравним результаты с модулями диагональных элементов;

|4,2| > 2,55 |- i °,3| > 4Д 7 (5)|-4,5|>4,1

|-9,5|> 5,9.

Неравенства верны, выполняются строгие неравенства во всех четырех случаях.

Следовательно, метод Якоби можно применять.

6

Эту поверку можно сделать в Рабочей книге MS Excel. Откроем новый Лист

Рабочей книги. Переименуем его в «Проверка». В ячейку А1 внести надпись

«Матрица А».

В ячейки A2:D5 вносим матрицу коэффициентов системы

U ,2 -1 ,3 1 -0 ,2 5 '

1,42 -10 ,3 0,25 -2 ,5

2,2 1,75 - 4 ,5 -0 ,1 5

v 1,4 -1 ,3 3,2 - 9 , 5 , .

В диапазон F2:F5 внесем формулы (5):

F2:=ABS(A2)>=ABS(B2)+ABS(C2)+ABS(D2),

F3:=ABS(B3)>=ABS(A3)+ABS(C3)+ABS(D3),

F4:=ABS(C4)>=ABS(A4)+ABS(B4)+ABS(D4),

F5:=ABS(D5)>=ABS(A5)+ABS(B5)+ABS(C5).

В ячейках F2.F5 должна появиться надпись «ИСТИНА» (рис.1).

Значит, мы можем применять наши методы простой итерации и Зейделя.

2 шаг. Выразим х,,х2,х3,х4.

х ^ = (-1,56 + 1,32х'"-|) - + 0,25х<"ч))/4,2;

х<"> = -(2,5 - 1,42х1<"”') - 0,25хз"_1) + г ^ х ^ / Ю .З ;

*<"> = - ( - 1 ,5 - 2 ,2xl"->) - l,75xjn_l) + 0,15х4',_|))/4,5;

х<л) = -(о ,5 -1 ,4х |<л“'> + 1,Зх<лЧ) -3,2х<лЧ))/9,5.

Начальные приближения: ^|<0) = 0; х ^ = 0; х(0) = 0; х(0> = 0 .

3 шаг (рис.2). В ячейку А1 внести надпись «и», в ячейку В1 внести надпись

«x /n~lj»y в ячейку С1 внести надпись «Х2(п1)», в ячейку D1 внести надпись «х/"'

/;», в ячейку Е1 внести надпись « х /‘/'\>, в ячейку F1 внести надпись «Х/л», в

ячейку G1 внести надпись «х/» , в ячейку Н1 внести надпись «х /» , в ячейку II

внести надпись «х /» , в ячейку J1 внести надпись «ep sl», в ячейку К1 внести

надпись «eps2», в ячейку L1 внести надпись «eps3v>, в ячейку Ml внести

надпись «eps4», в ячейху N1 внести надпись «Eps».

7

В столбцах В-Е будут храниться значения на шаге п-1, в столбцах F-I

вычисляются значения на шаге п, в столбцах J-M будем смотреть достигнута ли

необходимая точность, если да, то будет надпись «Stop», если нет - «next». В

ячейке N2 будет храниться необходимая точность - 0,0001.

□ Microsoft Excel - СЛАУ-мет

j i g ] файл Qpa»«* Вид Вставкд Формат Сервис Данные Окно . Справка

jd * o e e ! # a V ) y i e - ^ |« - « - ! % V. • « si!te«ll ~~ -.■ДС'Д! « У з i s д зе_д|а> у. «£ 'А У е к g ' А - . -

Объект 1 : » : ■ = В Н Е Д Р т Ы Ё д и » 11оп 3~;~) " '

A J В с D Е - SiiiF1 М атри ц а А2 4,2 -1,3 1 -0,25 И С Т И Н А

3 1,42 - -10,3 0,25 ■ -2,5 И С Т И Н А

4 : 2,2 1,75 -4,5 -0,15 И С Т И Н А

5 1,4 -1,3 3,2 -9,5 И С Т И Н А67 о

'4,2.-е, - 1,3.v2 + х j - 0,25 .v< = —1,5( 1,42 л-, - 10 ,Зл-2 + 0,25 л-, - 2,5.x-., = 2,2.-е, + 1,75 х 2 - 4,5.-е., - 0,15 .г, = 1,4.-е, - 1,3.v, + 3 ,2 .V, - 9,5.-е. = 0,5

о

89 2,510 -1,511 112 о 0 о

13Рис.1

Заполним ячейки для вычисления:

А2:=0;

В2:=0;

С2:=0;

D2:=0;

Е2: =0;

F2: = (-1,56+1,3 *C2-D2+0,25*E2)/4,2;

G2: = -(2,5-l,42*B2-0,25*D2+2,5*E2)/10,3;

Н2: = -(-1,5-2,2*В2-1,75*С2+0,15*Е2)/4,5;

12: =-(0,5-l,4*B2+l,3*C2-3,2*D2)/9,5;

J2: =ECJTH(ABS(F2-B2)<$N$2;"Stop";"next");

K2: =ECJM(ABS(G2-C2)<$N$2;"Stop";"next");

L2: =ECJM(ABS(H2-D2)<$N$2;"Stop";"next");

М2: =ECJffl(ABS(I2-E2)<$N$2;"Stop";"next");

A3:=l; B3:=F2; C3:=G2; D3:=H2; E3:=I2; ячейки J2:M2 копируем в J3:M3.

Выделяем диапазон A2:A3 и при помощи автозаполнения протянуть до 20-й

строки.

Выделяем диапазон ВЗ:МЗ и копируем до появления в столбцах J-M надписи

«Stop». В нашем случае остановка произойдет в 11 строке. Корни находятся в

ячейках F 1 1 ,G 11 ,H 11,111.

4 шаг. Сделаем проверку.

В ячейку А28 внести надпись «Проверка», в ячейку А29 внести надпись

«Матрица А», в ячейку Е29 внести надпись «вектор х», в ячейку F29 внести

надпись вектор Ь».

f 4,2 -1 ,3 1

Внесем в ячейки АЗО:ЕЗЗ основную матрицу/1,42 -1 0 ,3 0,25

2,2 1,75 -4 ,5

1,4 -1 ,3 3,2

-0 ,2 5

-2 ,5

-0 ,15

-9 ,5

в ячейки ЕЗО:ЕЗЗ внесем полученные решения: E30:=F11; E31:=G11; Е32:=Н11;

E33:=I11.

Выделим диапазон F30:F33. Внесем в ячейку Н30:=

1,56003'2,500207

MyMHO)K(A30:D33;E30:E33)—>Ctrl+Shift+Enter. Появится вектор -1,49981

0,500078

равный вектору Ь.

9

Рис.2

Ответ:

'-0 .4645 -0.2867 -0.0025

. — .0.0827

с точностью Е — 10-4

, получено на девятом шаге.

2) Решение СЛАУ методом Зейделя (рис.6).

Образец выполнения

1 шаг. Проверка сходимости метода Зейделя (рис.З).

10

Для решения СЛАУ

4,2х, -1,3*2 + *з -0,25х4 = -1,56 1,42х, - 10,3х2 + 0,25х3 - 2,5х4 = 2,5 2,2х, +1,75х2 -4,5х3 -0,15х4 = -1,5 1,4х, - 1,3х2 + З,2х3 - 9,5х4 = 0,5

при помощи MS Excel,

нам необходимо проверить сходимость методов постой итерации и метода

Зейделя для данного СЛАУ по формуле (2).

Сравним модули диагональных элементов с суммой модулей остальных

элементов. Вычислим суммы модулей не диагональных элементов:

|-1,3|+|1| + |—0,25| = |2,55||1,42|+|0,25| + |-2 ,5 | = |4,17||2,2| + |1,75|+|-0,15| = |4Д|

|1,4|+|-1,3|+|3,2| = |5,9|,

сравним результаты с модулями диагональных элементов;

|4,2|>2,55 |-10,3|>4,17 (6)|-4 ,5 |*4 ,1 1 J

|-9 ,5 |*5,9 .

Неравенства верны, выполняются строгие неравенства во всех четырех случаях.

Следовательно, метод Зейделя можно применять.

Эту поверку можно сделать в Рабочей книге MS Excel. Откроем новый Лист

Рабочей книги. Переименуем его. Назовем «Проверка».

В ячейку А1 внести надпись «Матрица А».

В ячейки A2:D5 вносим матрицу коэффициентов системы

f 4,2 -1 ,3 1 -0 ,2 5 ^

1,42 -10 ,3 0,25 -2 ,5

2,2

1,4

1,75

-1 ,3

-4 ,5

3,2

-0 ,1 5

-9 ,5В диапазон F2:F5 внесем формулы (6):

F2:=ABS(A2)>ABS(B2)+ABS(C2)+ABS(D2);

F 3 :=АВ S (В 3 )> АВ S(A3)+ABS(C3)+АВ S (D3);

11

F4:=ABS(C4)>ABS(A4)+ABS(B4)+ABS(D4);

F5:=ABS(D5)>ABS(A5)+ABS(B5)+ABS(C5).

В ячейках F2:F5 должна появиться надпись «ИСТИНА» (рис.З).

Значит мы можем применять наши методы простой итерации и Зейделя.

х,(л) = (-1,56 + 1,3х'"‘|) - х ^ ’) +0,25х‘л“1))/4,2;

х'л) = -(2 ,5 - 1,42х1(л'1) - 0,25х‘,"1) + 2,5х<лЧ))/10,3;2 шаг. Выразим = у _ + 0 , 5,<~»)/4,5;'

*<"> = - (о,5 - 1,4х1<лЧ) + 1,3х'л_1) -3 ,2 х 'л"'))/9,5.

начальные приближения: ^(0) - - 0;Хз0) - 0;х40) — 0 .

Рис.З

3 шаг. В ячейку А1 внести надпись «и», в ячейку В1 внести надпись «х/”'7'1», в

ячейку С1 внести надпись «х /”'77», в ячейку D1 внести надписмос/"'77», в ячейку

Е1 внести надпись « х / '77», в ячейку F1 внести надпись «х"», в ячейку G1 внести

надпись «х / », в ячейку Н1 внести надпись «х/», в ячейку II внести надпись

«х/», в ячейку J1 внести надпись «epsl», в ячейку К1 внести надпись «eps2», в

ячейку L1 внести надпись «eps3», в ячейку Ml внести надпись «eps4», в

ячейку N1 внести надпись «Eps».

В столбцах В-Е будут храниться значения на шаге п-1, в столбцах F-I

вычисляются значения на шаге п, в столбцах J-M будем смотреть достигнута ли

необходимая точность, если да, то будет надпись «Stop», если нет - «next». В

ячейке N2 будет храниться необходимая точность - 0,0001.

Заполним ячейки для вычисления:

А2:=0;

В2:=0;

С2:=0;

D2:=0;

Е2: =0;

F2: = (-1,56+1,3 *C2-D2+0,25*E2)/4,2;

G2: =-(2,5-1,42*F2-0,25*D2+2,5*E2)/10,3;

Н2: = -(-1,5-2,2*F2-1,75 *G2+0,15 *E2)/4,5;

12: =-(0,5-l,4*F2+l,3*G2-3,2*H2)/9,5;

J2:=ECmi(ABS(F2-B2)<$N$2;"Stop";"next");

K2: =ECJHl(ABS(G2-C2)<$N$2;"Stop";"next");

L2: =ECJM(ABS(H2-D2)<$N$2;"Stop";"next");

М2: =ECJlM(ABS(I2-E2)<$N$2;"Stop";"next");

A3:=l;

B3:=F2;

C3:=G2;

D2:=H2;

E2:=I2;

ячейки J2:M2 копируем в J3:M3.

Выделяем диапазон A2:A3 и при помощи автозаполнения протянуть до 20-й

строки.

Выделяить диапазон D3:M3 и копируем до появления в столбцах J-M надписи

«Stop». В нашем случае остановка произойдет в 11 строке. Корни находятся в

ячейках F7, G7, Н 7 ,17.

13

Внесем ячейки АЗО:ЕЗЗ основную матрицу:

4 шаг. Сделаем проверку.

В ячейку А28 внести надпись «Проверка», в ячейку А29 внести надпись

«Матрица А», в ячейку Е29 внести надпись «вектор х», в ячейку F29 внести

надпись «вектор Ь».

'4,2 -1,3 1 -0 ,25 '

1,42 -10,3 0,25 -2 ,5

2,2 1,75 -4 ,5 -0 ,15

1,4 -1,3 3,2 -9 ,5

в ячейки ЕЗО:ЕЗЗ внесем полученные решения: E30:=F7; E31:=G7; Е32:=Н7;

Е33:=17.

Выделим диапазон F30:F33. Внесем

Н30:= т-МНОЖ(АЗО:ПЗЗ;ЕЗО:ЕЗЗ) ->Ctrl+Shift* Enter.

f - 1,56001Л

2,500207

-1,49981

0,500078

Ответ:

- 0.4645 4 -0.2867 -0.0025

-.0.0827

в ячейку

Появится вектор

, при округлении до сотых равный вектору Ъ.

с точностью £ — Ю -4 ,получаем на пятом шаге ,

3) Проанализировать полученные результаты нахождения корней СЛАУ

методом постой итерации и методом Зейделя.

Для этого задания нам необходимо провести вычисления с разными значениями е (Например, в=10"’, е=10'2, е=10'3, е=10'5). Занесите значения в таблицу и сделайте вывод: при использовании какого метода быстрее получаем ответ?

Таблица 1

8 № итерации М.Якоби

№ итерации М.Зейделя

0,10,01

14

0,001 9 50,0001

0,00001

Рис.4

Приложение 1

Форматирование числовых данных в Excel

Общий числовой формат используется по умолчанию. В большинстве

случаев числа, имеющие общий формат, отображаются так, как они были

введены с клавиатуры.

В процессе работы общий числовой формат используют для отказа от других

числовых форматов. Для установки общего формата проще всего

воспользоваться раскрывающимся списком Числовой формат (рис. 5).

Форматирование чисел: установка разделителя групп разрядов

Оформление числовых данных с разделителем групп разрядов позволяет

отображать в ячейке пробелы между группами разрядов: тысячи, миллионы,

миллиарды и т. д.

15

1. Выделите ячейку или диапазон ячеек.

2. Нажмите кнопку Ф ормат с разделителем группы Число вкладки Главная

(рис. 6).

Рис. 5. Установка основных числовых форматов

Рис. 6. Формат с разделителем разрядов

Форматы дробных чисел: изменение разрядности десятичных дробейИзменение разрядности позволяет изменять количество знаков после запятой,

отображаемое в ячейке.

1. Выделите ячейку или диапазон ячеек.

16

2. Нажмите кнопку Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность

группы Число вкладки Главная (рис. 7). Одно нажатие соответствующей

кнопки увеличивает или уменьшает на один знак количество отображаемых

знаков после запятой.

Рис. 7. Формат дробной части

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельман И.Я. Решение математических задач средствами Excel:

практикум. СПб, 2003.

2. Сарафанова Е.В., Трегубов В.Н., Копцев Б.П. Решение транспорных задач

с помощью Excel ХР и программирование на VBA - ИД «МАрТ»,

Москва - Ростов-на-Дону, 2006.

М инистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Утверждено на заседании кафедры высшей математики

«28» августа 2012г.

Методические указания по дисциплине «Информатика»

к лабораторной работе по теме:

М атричные операции и решение СЛАУ в MS Excel

для обучающихся на 1,2-м курсах по направлениям подготовки

190700 «Технология транспортных процессов», 270800 «Строительство»,

280700 «Техносферная безопасность»

Ч асть 1

Ростов-на-Дону2013

УДК 681.517.07

Методические указания по дисциплине «Информатика» к лабораторной работе по теме: «Матричные операции и решение СЛАУ в MS Excel» для обучающихся на 1, 2-м курсах по направлениям подготовки 190700 «Технология транспортных процессов», 270800 «Строительство», 280700 «Техносферная безопасность». Часть 1.— Ростов н/Д : РГСУ, 2013. - 16 с.

В предлагаемых методических указаниях содержится материал, необходимый для освоения курса «Информатики» для обучающихся на технических направлениях подготовки (специальностях).

Методические указания содержат руководство по выполнению лабораторных работ, задания для самостоятельной работы студентов и приложение.

Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224,

УДК 681.517.07

Составители: канд.физ.-мат.наук, доцент Л.А.Кладенок, канд.физ.-мат.наук, доцент О.В.Назарько, канд.физ.-мат.наук, доцент Н.А.Сайфутдинова, ассистент А.Н.Шишкова, ассистент С.К.Макаров

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, доцент С.А.Никитин

Редактор М. А. Матекина

Темплан 2013 г., поз. 88

Подписано в печать 19.04.13. Формат 60x84/16. Ризограф. Бумага писчая.

Уч.-изд.л.0,7. Тираж 100 экз. Заказ 2 2 6 / у 5

Редакционно-издательский центрРостовского государственного строительного университета344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.

© Ростовский государственный строительный университет, 2013

Лабораторная работа по теме «Матричные операции в Excel»

Цель работы: научиться использовать матричные функции MS Excel.

Матричные операции в Excel

I. Умножение матрицы на число. Матрицу' А - (Q 2 J умножить на число 9.

1) Ввести матрицу А в диапазон А 1 :В2, число 9 в ячейку С 1.

2) Выделить диапазон D1 :Е2 под новую матрицу.

3) В Строке формул набрать =С1*А1:В.2

4) Нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, в

И. Вычисление определителя матрицы. Вычислить определитель матрицы

1) Ввести матрицу А в диапазон А 1 :В2.

2) Выделить ячейку G1 .

3) В основном меню выбрать Вставка-+Функция->

-^Математические ->МОПРЕД.

4) В появившемся диалоговом окне при помощи курсора мыши ввести

диапазон А1:В2.

5) Нажать Enter, в ячейке G1 появится посчитанный определитель

матрицы, равный 4.

III.Сложение и вычитание матриц.

1) Ввести матрицу А в диапазон А1:В2, ввести матрицу в

диапазон D1 :Е2.

диапазоне D1 :Е2 появится матрица

III. 1. Даны матрицы 4 = . Найти С=А+В.

3

2) Выделить диапазон G1 :Н2 под новую матрицу .

3) В Строке формул набрать =A1:B2+DJ:E2 .

4) Нажать, удерживая, комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, в диапазоне

( 6 9G 1 :Н2 появится матрица К } Q

III.2. Получить матрицу С, вычитанием матрицы В - 1 я из А ~4 10 и з ^ Р _1 1 8 J И3 0 21) Ввести матрицу А в диапазон А1:В2, ввести матрицу В в диапазон

D1:E2.

2) В Строке формул при помощи мыши ввести =A1:B2-G1:H2.

3) Нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, в

(2 -Г |диапазоне D1 :Е2 появится матрица Q 2 .

IV. Нахождение обратной матрицы. Получить обратную матрицу А '1, где

л Л 2 - 11̂ 0 2

1) Ввести матрицу А в диапазон А1 :В2.

2) Выделить диапазон D4:E5 под новую матрицу .

3) В меню выбрать Вставка—.>Функция—>Математические—>МОБР.

4) В появившемся диалогом окне в поле Массив ввести диапазон А1 :В2.

5) Нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, в

(0,5 0,25диапазоне D4:E5 появится матрица I Q Q5

V. Умножение матриц. Получить матрицу С, умножив матрицу А на матрицу

В, т.е. С=А*В. 4 = |

1) Ввести матрицу А в диапазон А1:В2, матрицу В ввести в

диапазон D1:E2.

(2 -П О’' 3-4—

в=\1° 2 ) ’ 1-1 ч

2) Выделить диапазон А4:В5 под новую матрицу .

3) В основном меню выбрать Вставка—̂ Функция —>

—>Математические —>МУМНОЖ.

4) В появившемся диалогом окне "в поле Массив 1 ввести диапазон А1 :В2,

в поле Массив2 ввести диапазон D1:E2.

5) Нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, в

9 124!диапазоне А4:В5 появится матрица ̂_ 2

\\.Транспонирование матрицы.

' 2 7 Г

Транспонировать матрицу А = 4 -2 58 0у

1) Ввести матрицу А в диапазон А1:СЗ

2) Выделить диапазон А5:С7 под новую матрицу.

3) В основном меню выбрать Вставка -* Функция -> Ссылки и массивы->

-* ТРАНСП. В появившемся диалоговом окне в поле Массив 1 ввести

диапозонА1:СЗ.

4) Нажать, удерживая, комбинацию клавиш Ctrl+Sift+Enter, в диапазоне

'г 47 - 2 8

. 1 5 ОА5:С7 появится матрица А =

Задания для самостоятельной работы

Выполнить действия над матрицами:

1. ЗАВ+(А-В)(А+2ВТ) , где А ='2 5 -Г Т -2 0'0 - 2 1 В =/ 1 0 2

0 1 , О О з.

5

'2 0,5 2 ' ' 1 - 2 1'

2. ЗВ(А+В)-\А\(А-'+2ВТ), где А = 1 0 -1 В =/ -0,5 1 5

, 1 - 2 ч -1 2

'2 0,5 2 ' ' \ - 2 1'

3. ЗВГ(А-В)+\В\(4АГ+ В 1), где ^ = 1 0 -1 В =/ -0,5 1 5

J - 2 1 , , -1 2 3,

Прим.: \А \ - опеделитель матрицы А. |Б| - опеделитель матрицы В.

Лабораторная работа по теме: « Методы решения систем линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ)»

Цель работы: изучить методы решения СЛАУ (формулы Крамера и

матричный метод) и их реализация в MS Excel.

Метод Крамера

Метод Крамера является одним из способов решения систем линейных

алгебраических уравнений. Создан Габриэлем Крамером в 1750 году.

Пусть дана система " линейных алгебраических уравнений с п

altx t + апх2 + ...+аих„=Ь1, a2tx i +a22x2 +...+alnx„ =b2,

неизвестными: ( и

амх ,+ а п1хг +...+ ап„хп =Ьп.

1. Если определитель системы п -го порядка

6

А =

I а„

не равен нулю, то система (1) имеет единственное

_ А, Д2 Л„решение: *i - — > хг *„ , где л ,-определитель полученный из А

заменой '-ого столбца на столбец свободных членов системы ( 1) (см.[1], стр. 18,

теорема 4).

Например:• А, =Ьг ап

Таким образом, суть решения СЛАУ методом Крамера сводится к

вычислению ” + 1 определителя и нахождению решения системы по формулам

Крамера.

Матричный способ решения СЛАУ

Пусть дана система п уравнений с п неизвестными:

' а 11х1 + аахг + ... + аь,х„ = Ь 1г

а2\х\ + а22х2 +... + а2пхп = Ь2,\ )

апЛ + а „ 2х2 +... + а„пх п =Ь„.

Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (1) в

виде: А х = Ь , где А=а 2] а22

\ а п\ ani

•*1и

2л- матрица, состоящая из

коэффициентов при неизвестных системы ( 1), которая называется матрицей

системы;

X,

v*«y

■ вектор-столбец, составленный из неизвестных системы;

Ъ =

Л У

• вектор-столбец, составленный из свободных членов системы.

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. ее

определитель отличен от нуля, то матрица А имеет обратную. Тогда решение

системы линейных алгебраических уравнений сводится к нахождению

обратной к матрице А, и умножением полученной А '1 на матрицу Ь, т.е.

Х = А~{Ь.

Задание 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя

способами: 1) по формулам Крамера;

2) матричным способом.

4,2х, - 1,3х2 + х3 - 0,25х4 = -1,56

1,42х, - 1 0,3х2 + 0,25х3 - 2,5х4 = 2,5

2,2х, + 1,75х2 - 4,5х3 - ОД 5х4 = -1,5 1,4х, - 1,3х2 + З,2х3 - 9,5х4 = 0,5

Образец выполнения.

1) Решение СЛАУ по формулам Крамера (рис.1).

1 шаг. В ячейку А1 ввести надпись «Матрица А», в ячейку D1 ввести надпись

«вектор Ь», в ячейку F1 внести надпись «Определитель:». Предварительно

набрать в MS Word с помощью редактора Microsoft Equation данную СЛАУ. В

ячейку Н1 из редактора MS Word скопировать СЛАУ.

вносим матрицу коэффициентовВ ячейки A2:D5

4,2 -1,3 1 -0 ,2 5

1,42 -10,3 0,25 -2 ,5

2,2 1,75 -4 ,5 - 0 ,1 5 ’

1,4 -1,3 3,2 -9 ,5

системы

в ячейки Е2:Е5 вносим вектор правых частей системы:

М .5 6 ^

2.5

- 1.5

0.5

2 шаг. В ячейке G2 найдем определитель основной матрицы, для этого в

основном меню выбрать: Вставка—хРункция->Математтеские->

->МОПРЕД. В появившемся диалоговом окне ввести диапазон A2:D5 (для

этого выделить диапазон A2:D5 с помощью мышки), нажать Enter. В ячейке G2

появится посчитанный определитель матрицы -1996,46.

3 шаг. Для подсчета д > ячейках A7:D10 запишем в матрице А, заменим первый

столбец столбцом сводных членов. Для этого:

1) Внесем ячейку А7:=Е2, В7:=В2, С7:=С2, D7:=D2;

2) Выделим диапазон A7:D7 и откопируем значения до 10-й строки.

В ячейке F7 найдем определитель полученной матрицы:

Вставка—>Функция->Математические->МОПРЕД. В появившемся

диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A7:D10-> Enter, в ячейке

F7 появится посчитанный определитель матрицы 927,3689.

4 шаг. Для подсчета Д2 в ячейках A12:D15 запишем матрицу, полученную из

матрицы А, заменой второго столбца столбцом свободных членов. Для этого:

1) Внесем ячейку А12:=А2, В12:=Е2, С12:=С2, D12:=D2;

2) Выделим диапазон A12:D12 и откопируем значения до 15-й строки.

В ячейке F12 найдем определитель полученной матрицы:

Вставка —̂ Функция —̂ Математические -+МОПРЕД. В появившемся

диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A12:D15-* Enter, в

ячейке F12 появится посчитанный определитель матрицы 572,4787.

5 шаг. Для подсчета д з в ячейках A17:D20 запишем матрицу чисел из

диапазона A2:D5, полученную из матрицы А, заменой третьего столбца

вектором свободных членов. Для этого:

1) Внесем ячейку А17:=А2, В17:=В2, С17:=Е2, D17:=D2;

2) Выделим диапазон A17:D17 и откопируем значения до 20-й строки.

В ячейке G17 найдем определитель полученной матрицы:

Вставка-.>Функция—>Математические—>МОПРЕД. В появившемся

диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A17:D20—э Enter, в

ячейке G17 появится посчитанный определитель матрицы 5,0217.

6 шаг. Для подсчета Д4 ячейках A22-.D25 запишем матрицу чисел из диапазона

A2:D5, полученную из матрицы А, заменой четвертого столбца вектором

правых частей системы. Для этого:

1) Внесем ячейку А22:=А2, В22:=В2, С22:=С2, D22:=E2;

2) Выделим диапазон A22:D22 и откопируем значения до 25-й строки.

В ячейке G22 найдем определитель полученной. матрицы:

Вставка—>Функция—>Математические—>МОПРЕД. В появившемся

диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A22:D25—> Enter, в

ячейке G22 появится посчитанный определитель матрицы 165,094.

7 шаг. Найдем корни и сделаем проверку.

В ячейку А27 внести надпись «Проверка», в ячейку А28 внести надпись

«Матрица А», в ячейку Е28 внести надпись «вектор х», в ячейку F28 внести

надпись «вектор b».

Внесем ячейку А29:=А2, В29:=В2, С29:=С2, D29:=D2; выделим диапазон

A29:D29 и откопируем до 32 строчки.10

Рис.1

Внесем ячейку E29:=G6/$G$2, E30:=G10/$G$2, E31:=G14/$G$2,

0.4645)

E32:=G22/$G$2. Получим искомый вектор * =-0 .2 8 6 7

-0 .0 0 2 5

-.0 .0827

(рис.1).

Выделим диапазон F29:F32. Внесем ячейку

F29:= МУМН0Ж(А29:032;Е29:Е32)—> Ctrl+Shift+Enter. Появится вектор

Л-1.56^

2.5

-1 .5

ч 0.5 ,

Ответ:

, равный вектору b (рис.1).

е- 0.4645^1 -0.2867 -0.0025

-0.0827

11

2) Реш ение СЛ АУ с мат ричны м методом (рис.2).

1 шаг. В ячейку А1 внести надпись «Матрица Л», в ячейку Е1 внести надпись

«вектор Ь». В ячейку Н1 из редактора MS Word скопировать СЛАУ (набранное

при помощи редактора Microsoft Equation).

вносим матрицу коэффициентов системыВ ячейки A2:D5

4,2 -1,3 1 -0 ,2 51,42 -10,3 0,25 -2 ,52,2 1,75 -4 ,5 -0 ,15

1,4 -1,3 3,2 -9 ,5

в ячейки Е2:Е5 вносим вектор правых частей системы:

'- 1 . 5 6 '

2.5

-1 .5

0.5

2 шаг. В ячейку А 8 внести надпись «Обратная матрица А». Выделить диапазон

A9:D12. Для получения обратной матрицы выполнить команду

Вставка->Функция->Математические—+МОБР. В появившемся диалогом окне

в поле Массив ввести диапазон A2:D5-> Ctrl+Shift+Enter. В диапазоне A9:D12

Д).2206 -0.0197 0.04696 -0.0014)0.0166 -0.0996 0.0163 0.02550.1121 -0.0481 -0.1909 0.0127

. 0.0680 -0.0055 -0.0596 - 0.1047;

появится обратная матрица: А

Проверим правильность нахождения обратной матрицы. В ячейку F8 внесем

надпись «Проверка обратной матрицы». Выделим диапазон F9:112, внесем в

ячейку F9:= MyMHO)K(A2;D5;A9:D12)-> Ctrl+Shift+Enter. Появится единичная

матрица.

3 шаг. Найдем корни.

12

В ячейку А15 внести надпись «корни». Выделить диапазон А16:А19, внесем в

ячейку А 16:= МУMHO)K(A2:D5;A9:D12)-> Ctrl+Shift+Enter. Появится вектор

(рис.2):

0.4645'

-0 .2867

-0 .0025 '

0.0827,

6 шаг. Сделаем проверку.

В ячейку А21 внесем надпись «Проверка», в ячейку А22 внесем надпись

«Матрица Л», в ячейку Е22 внести надпись «корни», в ячейку F22 внесем

надпись «вектор Ь». '

Внесем в ячейку А23:=А2, В23:=В2, С23:=С2, D23:=D2, выделим диапазон

A23:D23 и откопируем до 26 строчки.

Внесем в ячейку Е23:=А16 и откопируем до 26 строчки.

Рис.2

13

Выделим диапазон

F23:= МУМНОЖ(А23:В26;Е23:Е26)

— 1.56Л

2.5

-1 .5

ч 0.5

Ответ:

, равный вектору Ъ (рис.2).

-0 .4 6 4 5 ' . -0 .2 8 6 7

-0 .0 0 2 5

-0 .0 8 2 7

F23:F26. Внесем в ячейку

Ctrl+Shift+Enter. Появится вектор

Приложение 1

Работа с формулами в MS Excel (M icrosoft Office 7)

1. Выделите ячейку, в которую требуется ввести формулу.

2. Щелкните по кнопке нужной категории функций в группе Библиотека

функций и выберите нужную функцию.

3. В окне Аргументы функции в соответствующем поле (полях) введите

аргументы функции. Ссылки на ячейки можно вводить с клавиатуры, но

удобнее пользоваться выделением ячеек мышью. Для этого поставьте курсор в

соответствующее поле и на листе выделите необходимую ячейку или диапазон

ячеек. Для удобства выделения ячеек окно А ргументы функции можно

сдвинуть или свернуть. Текст, числа и логические выражения в качестве

аргументов обычно вводят с клавиатуры. В качестве подсказки в окне

отображается назначение функции, а в нижней части окна отображается

описание аргумента, в поле которого в данный момент находится курсор.

Следует иметь в виду, что некоторые функции не имеют аргументов.

14

4. В окне Аргументы функции (рис. 3) нажмите кнопку ОК.

Например, в таблице на рис.4 в ячейке А6 необходимо создать формулу для

округления до двух знаков после запятой значения в ячейке А5:

1. выделите ячейку А6 ;

2. щелкните по кнопке категории Математические в группе Библиотека

функций и выберите функцию ОКРУГЛ (рис.4).

Рис. 3. Вкладка Формулы

Рис. 4. Выбор функции

15

Рис.5. Ввод аргумента функции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов И.В., Цвиль М.М. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Раздел 1: линейная алгебра. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2006.

2. Гельман И.Я. Решение математических задач средствами Excel:

практикум. СПб, 2003.

3. Сарафанова Е.В., Трегубов В.Н., Копцев Б.П. Решение транспорных задач

с помощью Excel ХР и программирование на VBA - ИЦ«МАрТ»,

Москва - Ростов-на-Дону, 2006.

4. Петров К.Н. http://testprof.msk.ru. Учебник Microsoft Excel 2007.

16

1

»

« »

08.03.01 -

2015

2

Microsoft Excel -

. , .

- , , . , -

( IV, 256 ) ( 1 65536).

, D12 - , -, D .

. , , .

. 1: 1 ,

24

1: 100 100 A1:D4 16 ,

1: 65536 ( ) ( )

A6:IV6 ( ) ( - 6:6)

A1:IV65536

10: 20 7:7 5:10 D:D H:J

: 1.

Ctrl+Enter. 1) , , 2) , (

-), 3) Ctrl+Enter.

. 2. . Excel

, . . -

( ) ( -, ) ( . 1 ). -

3

, ( . ).

, -. -

, , .

. , ,

1 , , 0,5. Enter

1. . « » ( . 2 ) -

: 1) « », – ( 1); 2) « -

», ( ). ( , -

, , ), . - , 2 .

3. . , ,

. - Alt+Enter. Excel -

. 1

. 2 . 2

4

- ( )

, . -

. , .

. . -

, -.

Shift, -.

F8, , . -

, F8. , Enter.

Excel .

, -

, . . Excel .

( ), -. , -

, - . ,

-.

. Ctrl ,

, . , ( -

F8 Shift). Shift+F8, , .

.

. Ok Excel -.

Excel , Excel,

, . «=».

, , ) ( . . 1),

5

Excel . ).

1. MS Excel -

: : :

+ = : ( -) - >

^ < ; ( ) * >=

/ <= % <>

Excel -,

: • ; • , ; • (^), (*) -

(/), - (+) (-). ,

. -

, - ( . . 2).

2. – , Excel -

.

/0! . -

? , . Excel

, -

! , .

! , ( ). -

# , .

, , # , - #

! . # ! ,

! ,

6

. - #### .

MS Excel

Excel , . :

( 1;...; N). -

, .

. ,

1; 2; 4) Excel, A1, B2 4.

, . ,

1: 3; 2: 4) , .

-:

1: 3; 2; 4: 7). , (), . -

, =C MM(KOPEH (16);COS(A1* ())).

. 3-7. 3.

1 ) x - , -

, .

:

,1,0,1

000

xxx

2 -

=ABS(x) x - , -,

3 1;...;xn) 30n ; -

, 4 (x1;...; n) 5 -

) 0x

6 - x

) x

7 ) 0x . x , -

7

8 ;y)

x/y 9 -

) . -

yx , 10 -

1;...;xn) 29n . xi ,

. : i>0 11

(x1;...;xn)

4.

1 =LN( ) >0, 0x

# ! 2 =LOG10(x) >0, <0 -

# ! 3 -

=LOG( ) >0, 0x

# !

10 4 ) xe 5 ; ) ax

5.

. -

Excel

1 () 14 -

2 ) 3 ) 4 sin x =SIN(x) - 5 cos x =COS(x) - 6 tg x =TAN(x) - 7 arctg x =ATAN(x) -

- /2 /2 8 arcsin =ASIN(x) : 11 x . -

- /2 /2

9 arccos x =ACOS(x) : 11 x . - 0 -

10 arctg x =ATAN2(x;y) -

, (0,0)

8

( , ). z - z . ,

; ,

# /0! : - .

Excel : =SINH(x), =COSH(x), =TANH(x), =ASINH(x), =ACOSH(x), =ATANH(x).

6.

1 ; ) = 0 - -

; >0 - -

=-2, -

); <0 - -

=2, -). <5 -

), >= 5 -

( ) 2 -

; )

,

3 -

(x; ) ,

4

) -

; >0 - ; <0 -

5 -

) -

; > 0 - ; < 0

- 6

,

(x;n) , -

. n .

-

! 7

, ;n)

, -

9

. .

-

! 8 -

)

9

, )

. -

, -

7.

1 () , - [0; 1]. , , -

. -, -

2 ; ) , - [ ; ]

8.

1 -

1; -2;…)

, .

, .

2 -1; -2;…)

, .

,

3 -)

. -

, .

4 -; 1; 2)

, 1,

2)

.

10

«=» , , ( .

3). , ,

: 1) ; 2) xf

. - ,

.

. .

, -. k

Enter. 1. 4 : (6,7) -

Enter. 6. . , 4 : (-

6,7) Enter, -7 . :

. 2. A3 15, 3 - 7. 5

: 3/ 3). - 2. 5 : 3; 3). - 1.

: ( ; -). ) , -

. 3

11

. , -. ,

. 3. A3 123,4174, 5; 6; 7 -

: 3;2); 3;0); 3;-1). Enter 5; 6; 7 -

: 123,42; 123; 120. : ( ;

) ( ; ), .

4. A3 123,4174, 5 3;2); 6 - 3;2). -

123,41 123,42.

, x y . -

. Excel .

. 5. 2 A3 : " " " " ( -

, ). 2 3. 2,

2, , Enter. -

3, - . 2 3 2.

, = 2 = 2. 5 : =(2+ )/(2* )

Enter, 1. .

6. 43log2 .

2. ( ) «=», . -

xf « » « ». « - 1 2»,

: « » - , , ,

LOG. : LOG , -) - . -

« », « - 2 2». « » 3, « »

, 2 ( , -, 10). -

1,584962501. « » 2. , .

12

- , 4, : =LOG(3;2) 2 -

+4. : =LOG(3;2)+4. Enter. : 5,58496.

7. 6

siny .

: 2; xf ; « » : « » -

« » - SIN; k. « » « » ()/6, k. 2 .

- « ».

8. )(cos xtgy 4

x .

x , , 4/ , 2. 2 : =(TAN(COS(A2)))^(1/2). : 0,85451.

9. )4/()4/(sin)6/sin( 2 tgy . 2 :

=SIN( ()/6)+SIN( ()/4)^2+ N( ()/4), Enter. . 2. 10. 225225cos tg .

2 =COS( ()/l80*225)+ N( ()/180*225), - Enter.

11. 3log10lg24log 22 553y . - 2 =3^(LOG(4;2))-5^(2-

LOG(10))+5^(LOG(3;2)), Enter. 12. , -

, .

: 2,222,12

xxxxy .

2 4; 2; « xf »; « » -

: « » - , « » - ; k. . « -

» 2<2;A2^2+1;2*A2+2), -.

10, 2 k.

Excel

-: = 2+3, .

.

13

. Excel : , , -

. : 1 , R1C1.

1

1. ( - IV, 256 ) ( 1

65536). , 77. , .

. Excel -. . 1 1 -

1 2, 2 1+ 1 . 1 ). Enter 2 3.

2 , , 3: 5. , 3, 4, 5 2+ 2, 3+ 3,

4+ 4 . , -

( , : -). , -

( , , -

). , , -.

-

. : • $ ( . 1 ) ( -

). • .

F4, -, .

, 2. 1 1 - 1 2, 2 =$ $1+$ $1. -

. 2 =, 1 F4, =$A$1.

: +, 1 F4.

. 1 . . 1 .

14

Enter 2 3. - 2 , ,

3: 5. , 3, 4, 5 =$ $1+$ $1, =$ $1+$ $1, =$ $1+$ $1 .

-

. . 1. . $

, , - .

2. . $ -, , -

- . : =$B1+$D7, =B$1+D$7.

R1C1 R1C1

(Row) (Column). R1C1, «R» , « » - . , R1C1 -

: 1, 1. R1C1 $A$1 1.

. . .

, R[-3] ( ,

). R[2] [2] ( ,

). R2 2 ( ,

). R[-1] ( , ), R ( ).

R1C1.

, .

, =R[2]C[-1]+R[2]C R3C2 ( . 2) -: ,

, , . =R1C1+R1C2 R3C1 -

, -.

: 1. :

15

R2C6 - , ; R5C3 - , .

2. : RC - ; RC[1] - ; RC[-2] - ; R[3]C - ; R[-1]C - ; R[1]C[-1] - ,

.

Excel . -

. - , -

. , , .

- , . , ,

.

, . , . 3 2 - 1 1. . 3 , , -

2 3.

.

. 2. R1C1

16

, ,

: I. – 1) , . )(xfy ( , ), 2)

, . )()(tyytxx

.

II. )(rr , r - , - .

. , -

, .

, =1 ( . 1). -

, – , – . , -

-: 1) – , 2) ,

– , 3) .

– . r= -

. , - .

, , . ,

+2 n, n Z. , - .

. 3 .

. 3 .

. 1

17

, r=0, . . (r, ) . -

: (r, ). .

23;4 .

:

23

.

, ( . 2). ,

-

: 2

;4 2

7;4 . -

2

.

-

.

, . , ) – ,

(r, ) – . - OMN

sin,cos ryrx (1)

, . -

-.

: , -. (1)

. )sin(cos 22222 ryx , . 222 yxr , -

22 yxr (2)

(1)

22cos

yx

xrx

, 22

sinyx

yry (3)

. 2

. 3

18

xytg (4)

(3) (4). - .

, , y.

: - xy 2sin , ]1,0[x .

1. 1 , 1 .

2. - , 2,

0 1 0,05 (

). 3. 2 :

=SIN( () *A2)^2 4.

3: 22. 5. -

, . 6. ( -

-,

« »: ) . 7. - « » -

. . 4). 8. .

. 9. )(xyy , : , : . -

.

. 4

19

10. . 5.

: )cos1(3r . 1. .

),(r ),( yx , : cosrx , sinry . 2. : 1: fi, 1: r, 1: , D1: . 3. (fi)

0 2 10/ ( : - ( 0,314, 6,28)).

4. 2 =3*(1+COS(A2)). - 2

5. 2 =B2*COS(A2) 2 .

. 5

. 6

20

6. D2 = 2*SIN( 2) 2 . 7. C2:D22 , . 8. . 6.

,

: ttyttx

3sincossin2cos

1. . 2. : 1: t, 1: , 1: . 3. t

0 2 10/ ( : ( 0,314, 6,28)).

4. 2 =COS(2*A2)*SIN(A2) - 3: 22. 5. 2 =COS(A2)*SIN(3*A2) - 3: 22. 6. 2: 22 ,

. 7. . 7.

: )(xy , -

]5,3;1[ .

2,114

247,0,lnsin47,0,1,3

)(2

2

xxx

xxxxxarctg

xy .

-, , 01,0 , 02,0 . . -

( ).

. 7

21

: 1. A1 X. 2. 1 f1. 3. 1 f2. 4. D1 f3. 5. E1 F(x). 6. -0,2 2,41 0,03.

, « » . , , 47,0x , 2,0

. , -, 2x . 41,2x .

7. B2 1- : =ATAN(3,1*A2) B.

8. 2 2- : =SIN(A2)^2*LN(A2) .

9. D2 3- : (A2^2+4*A2+11) D.

10. 2 : 2<0,47; 2; 2>=2;D2; 2))

. 11. ,

CTRL) . 12. . 8.

. 8

22

, ,

– ). -: 0222 22 FEyDxCyBxyAx (1)

A , B C .

, , , , , .

: 1) pxy 22 , p - , ,

; 2) pyx 22 - -.

1. xy 82 . 82p , . 4p ; - Ox ( x );

( 08 ). Excel

y x : xxy 228 , , 0x . x , . x , 0 6.

2. yx 82 . 82p , . 4p ; - Oy ( y );

( 08 ).

y x : 2

81 xy , , x - .

x -, , -5 +5.

, -

1F 2F , , -, . -

:

12

2

2

2

by

ax , 222 bac , ca

12

2

2

2

by

ax , 222 bac , ca .

c - , - .

xky .

3. 11625

22 yx .

1. , 2x «+»,

23

2y «-», , Oy ( ), Ox ( -

)0,( a , )0,(a - -). : 252a , ,

0a , 5a ; 162b , , 0b 4b .

2. y x : 12516

22 xy , 25

2516

22 xy ,

25)25(16 2

2 xy , 2554

25)25(16 2

2xxy .

3. x , . : 0252x , 252x , 5,5 xx . ,

5x ( . x 5 , , 8), - 5x ( . x -8 -5).

4. 11625

22 xy .

1. , 2y «+», 2x «-», , Ox (

), Oy ( - ),0( b , ),0( b -

). : 162a , 4a , 252b , 5b .

2. y x : 11625

22 xy , 16

1625

22 xy ,

16)16(25 2

2 xy , 1645

16)16(25 2

2xxy .

3. x , . . Rx .

x , , -5 5.

, ( a2 ), , -

, c2 . -

: 12

2

2

2

by

ax ( 222 cab ).

ca , 10ac , .

10 e .

5. 1416

22 yx .

1. 162a , 42b , 4a , 2b . , 44 x ,

24

22 y .

2. y x : 16

14

22 xy , 16

142

2 xy ,

16164

22 xy ,

416 2

2 xy , 2

164

16 22 xxy .

3. : 016 2x , 162x , 162x , 44 x , .

,

. , -

, . : 222 Ryx - -

R, 222 )()( Rbyax - - R ),( ba .

MS Excel - )(xfy

. ). 6. 2xy

]3;3[x 5,0h . . 1. . 1

( ), 1. 2. ( ).

. ( 1 4): -: , -

. , . -

-2: 14 1 Excel.

: 1!$ $2:$ $14. -

. . -

2: 14. - 3.

. . , , -

2. -, ( ).

. 1. 1

25

7. 2yx ]6;0[x 25,0h .

y x : xy . -: Ox

y ), – Ox ( y ). . 1. . 2 ( ), -

1. 2 « 2)», 2 – «= - 2)» «= - 2».

. 2

26

2. ( ). . - ( 1 4):

: , - . - , .

2: 26 2 Excel. : 2!$ $2:$ $26.

. .

2: 26. . :

2: 26. Y: -2: 26. 3.

. . .

, .

8. x

y 1 ]2;1,0[x

1,0h . . 1. . 3 ( ), -

4. 2. ( ). . -

( 1 4): : , – .

: 3!$ $2:$ $21. - .

. ,

. 3 . 4

27

, 4. . 5,

x

y 1

.

9. 11625

22 yx . 3).

, 6. , 4 .

5. 11625

22 xy . 4).

, 7. , 2 ,

. 6. 422 yx .

1. y x : 22 4 xy , 24 xy . y , .

24 xy . 2. x , .

: 04 2x , 42x , 42x , 22 x . 3. ,

8. . 6.

. 5

28

29

. 7

. 6

30

Excel

1. 1.1. Excel 2. 2: 4 -

33 :

141424113

1.2. 6. 1.3. : …

. « » . 1) 1.4. « », -

, , -.

1.5. « ». 1.6. 6 : -72 . 2).

2. 2.1. 2: 3 :

772911

2.2. B7:C9. 2.3. : … .

.3) 2.4. « » .

2.5. CTRL + SHIFT + ENTER. . 4. 3.

. 1 . 2

31

3.1. 2: 4 1. 3.2. A7:C9.

3.3. .

.5) 3.4. « » . 3.5. CTRL + SHIFT + ENTER. . 6. 4.

. 3 . 4

. 5 . 6

32

4.1. 3: 5 : 321162321

. . 7.

4.2. E3:F5 : 023121

4.3. - 9: 11

. 4.4. :

…

. .4) 4.5.

« 1» -

, . -

3: 5. 4.6. -

2» ,

. E3:F5 .

4.7. CTRL + SHIFT + ENTER.

5. -

5.1. 18: 20 :

9511730

341.

5.2. E18:G20 :

215063252

.

5.3. - I18: 20. =A18:C20+E18:G20

). 5.4. CTRL + SHIFT + ENTER.

. 7

33

6.

. 1182731

10 .

1. B7 =B3*$A$4 ( $ -

=B3*A4 F4)

2. B7 B7:C9.

, -

, . n n , ija , ib

( mi ,...,2,1 , nj ,...,2,1 ) - , , , -.

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

....................................................

......

2211

22222121

11212111

(1)

(1) . (1) :

BXA (2) - , :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

X - ( ) :

nx

xx

X...

2

1

- ( ) :

nb

bb

B...

2

1

(2) :

34

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211

(1), : , .

, (1) ( ). ,

nnA , 0A . -

1A . (2) 1A , -

: BAXAA 11 , BAXE 1 , XXE

BAX 1 (3)

, (2) ( X )

.

1. 4054723

yxyx

.

: .

35

1. 22 ) A6:B7

5423

A

407

B D6:D7.

2. 10: 11 1A . 10: 11 :

13043,0173913,0086957,0217391,0

3. 1A D10:D11 X.

D10:D11 X . 5x - D10, 4y - D11.

. X BXA .

.

2. 1600223

90022700435

321

321

321

xxxxxx

xxx

. 1.

1. 33 ) 7: 9.

36

16009002700

B E7:E9.

2. 11: 13 1A . 3. 1A E11:E13

X:

200300200

X

2001x E11, 3002x - E12, 2003x - E13.

, -. X

BXA .

3. : 623132732

zyxzyxzyx

.

: iix , - A -

, i - , A

37

i ni ,1 , n - . :

Excel . 1. 6: 8 ( -

). 2. D6:D8 . 3. (1-3), 1-

, 2- 3- . 1: 1) 10, 11, 12

6, = 7, = 8; 2) 10, 11, 12 = 6, = 7, 8; 3) 10, 11, 12 =D6, =D7, =D8.

, .

4. 6, 10, 14 18 -.

5. 21, 22, 23 , -, 21 10/ 6.

VBA 1. VBA

. .

Abs(x) - . Sin(x) - . -

. Cos(x) - .

. Tan(x) - .

. ) - =2,718282 .

Log(x) - . VBA .

axxa ln

lnlog .

Sqr(x) - . Atn(x) - . .

, - :

21arcsin

x

xarctgx , x

xarctgx21arccos ,

xarctgarcctgx 1

-.

2. VBA :

+ -

38

* ^ / \

-)

-15 \ 4 = -3

mod -

-)

-17 mod 4 = -1

: 1) , 2) ^ ( ), 3) ( ), 4) * / ( ), 5) \ , 6) mod ,

7) + - ( ). 3. VBA

, , -. VBA :

Integer 2 32768 32768 Single

(7 )

4 1.401298 45 3.402823 +38

Double

8

String 10 + 1 -

0

Variant 16 , 22 + 1 -

VBA .

+ ( + ), , +12 , 14 , 78 . , ,

, , 17.34 , 37.891 ( - ). , Ex-

cel , , . , , -

. , 12,753 510 3,16 1210 12.735 5

3.16 12 . , , , , , .

4.

. - , .

– -. , -

39

, . -

Dim i,j As Integer Dim x,y As Single

i j , -.

, , -, , Const. ,

Const e=2.718281828 , :

Const pi=3.141592654 ,

: Dim pi As Single pi = 4 * Atn( 1 )

5. VBA x :

1. Excel , Range,

Cells. , 4 ( , 4 - 2 - -) -12,77 . = Range("B4").Value

= Cells(4,2).Value

, -12.77. 2. InputBox: x = InputBox (" ")

x : 1. 4 ( , 4 - -

3 - ) : Range("C4").Value =

Cells(4,3).Value =

2. MsgBox: MsgBox " =" &

- UserForm. 6. . UserForm

Office -. VBA ( -

) ( UserForms). " -" : MsgBox InputBox.

ToolBox, -

.

40

. : -

Visual Basic Insert UserForm ( ).

UserForm1. ,

.

(Toolbox) .). ,

. ,

, View ToolBox -.

.

Label TextBox

CommandButton ListBox

ComboBox ScrolBar

SpinButton OptionButton

Checkbox

-

41

ToggleButton Frame

Image MultiPage TabStrip

RefEdit

. , -

, -.

7. VBA .

: If < > Then

1> Else

2> End If

, 1, , End If.

, 2, , End If .

: If > Then

> End If

, -, End If .

, -, End If .

< , > , = , <> , <= , >= .

. , VBA .

- " " " ", And Or .

, " " " ". ]3;1(x

> -1 And <= 3 , );7(]4;(x <=

42

4 Or x > 7.

, --

. ( ). , .

For - Next. For = [ Step ]

Next [ ]

, -. ,

+1.

Do While - Loop . Do While < - >

Loop

. , . . -

, . , ,

.

Do - Loop While . Do

Loop While < - >

, .

.

Do Until - Loop . Do Until < - -

>

Loop Do While - Loop , -

, .

Do - Loop Until. Do

Loop Until < - >

Do - Loop While, -

43

, .

. 1n

nxy .

nx , - , . -

, x , - .

, 2x 10 14222 321 . 101624 .

Public Sub 1() Dim n, e As Integer Dim y As Integer x = InputBox(" ") e = InputBox(" ") n = 1 a = x ^ n y = a Do While Abs(a) <= e n = n + 1 a = x ^ n y = y + a Loop MsgBox y - a End Sub Public Sub 2() Dim n, e As Integer Dim y As Integer x = InputBox(" ") e = InputBox(" ") n = 1 a = x ^ n y = a Do n = n + 1 a = x ^ n y = y + a Loop While Abs(a) <= e MsgBox y - a End Sub Public Sub 3() Dim n, e As Integer Dim y As Integer x = InputBox(" ") e = InputBox(" ") n = 1

44

a = x ^ n y = a Do Until Abs(a) > e n = n + 1 a = x ^ n y = y + a Loop MsgBox y - a End Sub Public Sub 4() Dim n, e As Integer Dim y As Integer x = InputBox(" ") e = InputBox(" ") n = 1 a = x ^ n y = a Do n = n + 1 a = x ^ n y = y + a Loop Until Abs(a) > e MsgBox y - a End Sub

VBA. .

VBA - ( ) .

. -

. . -, .

- ,

. , , - ( ). -

, . -, , ,

.

, .

. ( ), , . , -

, , , – ,

– . - 60. -

45

( ), – .

: 2, 4, 6, ..., N .

,

, . 204 , - , , - .

: .

) VBA

- .

. , ). -

, , -.

, , . Dim As. -.

.

VBA : [Public | Private] Dim ) As

Dim - , , ; - , ; - ( ) -

, ( , - . -

); As - , ; - , VBA - ,

. :

Dim Array1(7) As Integer 8 : Dim Array1(0 To 7) As Integer

-. , 0 - . -

:

Dim Array3 (3 10) As String 3. -

, : Dim Array4 (-3 To 4) As String Dim arrB(1 10) As Integer Dim A(-10 10) As String Dim a(1 5) As Single Dim b(–1 To 3) As Integer

46

2 . , -: (1) (2) (3) (4) (5); b ,

: b(–l) b(0) b(l) b(2) b (3)

, , . : Const m = 1, n = 10 Dim a(m To n) As Single

, : nm . nm , -.

, . , -

: Dim Array2(4,5) As Integer 5 6 Dim c(1 To 2, 1 To 4) As Single

, :

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

, ,

Option Base 1

, , .

, -. , .

. 1. Dim, -

. . 2. -

ReDim, , . , -

ReDim -.

: Dim MyArray () As String ReDim [Preserve] ) [As ]

ReDim - , , ; Preserve - , ,

; - - ( 60).

Dim MyArray () As String ' ReDim strMyArray (9) ' 10

0) ReDim MyArray (3 9, 1 To 9) "

,

47

, -

.

ByRef -. ,

– ByRef . '

(i0,j0)) Public Sub vvodvec(ByVal i0, j0, m As Integer, ByRef x() As Variant) Dim i As Integer For i = 1 To m x(i) = Cells(i0, j0 + i - 1).Value ' ' x(i)=Cells(i0+i-1,j0). Value ' Next i End Sub

' (i0,j0))

Public Sub vivodvec(ByVal i0, j0, m As Integer, ByRef x() As Variant) Dim i As Integer For i = 1 To m Cells(i0, j0 + i - 1).Value = x(i) ' ' Cells(i0+i-1,j0). Value = x(i) ' Next i End Sub

VBA . -,

( ). , .

S=S+A[i] S=0. - P=P*A[i], P = 1.

,

) ; ) ; ) ,

. - 1kk , 0k .

48

1)

: 1. )(),...,1( naa 2. , : 0s 3. 1i 4. )(ia 5. i 6. 3 ni . 7. .

:

= 0 i 1 n

= + )(ia

:

A(i)

s = 0

i = 1, 6 s

s = s + A(i)

49

Private Sub () Dim i As Integer Dim s As Single Dim A(1 To 6) As Integer For i = 1 To 6 A(i) = Val(InputBox(" " & i & "- ")) Cells(2, i) = A(i) Next i s = 0 For i = 1 To 6 s = s + A(i) Next i MsgBox " " & s

End Sub

)

, .

A(i)

s = 0

i < 6 s

s = s + A(i)

i = i + 1

50

, , . .

: 1, , .

Private Sub CommandButton1_Click()

Const n As Integer = 13 Dim M(1 To n) As Single Dim i As Integer Dim v As Single

Range("a1").Activate For i = 1 To n M(i) = Cells(i, 1).Value Next i

v = InputBox(" ") Res = -1 For i = 1 To n If M(i) = v Then Res = i End If Next i If Res = -1 Then MsgBox (" !") Else MsgBox (" " & Res & " " & v ) End If End Sub

)

( , - , )

. : - ( ).

, ( -) .

: « » - , . « » ( -

51

, , ), to sort , sors

».

. :

- ( ); - (" " ); - ; - ( " " ); - " " ( ).

:

, ; ;

, . -

. " " " " -

. " " - " " -

. , " " " " .

-

.

( -)

{3,6,1,2,9,5} . , , . -

. , -, .

: 3, 6, 1, 2, 9, 5 ( ) : ( )

( - 1), -

. : 3, 6, 2, 9, 5

: 1

- 2. -

: : 3, 6, 9, 5

52

: 1, 2

« » . 6, 9, 5 1, 2, 3 6, 9 1, 2, 3, 5 9 1, 2, 3, 5, 6

: 3, 6, 1, 2, 9, 5 : 1, 2, 3, 5, 6, 9.

, « » -

: .

, . ,

, . -.

N . , , -

, : . -

: -.

k k , - N-k. , k . -

, . : 3, 6, 1, 2, 9, 5.

(1) - . 3, ? :

1. , : 1 | 6, 3, 2, 9, 5.

: - - , - .

-

2- 6- ( - N ) - , -:

1, 2 | 3, 6, 9, 5.

(3) - , . , ,

53

: 1, 2, 3 | 6, 9, 5.

, - k. , k, k+1, ..., N -

. k .

, ? - "N", . N-1 . ,

. ? , . ?

. ! N .

, -:

, - . .

, . ,

, , -.

, .

:

i 1 1n ‘ i : ni,... i

M(1) M(2) M(3) M(4) M(5) M(6) 3 6 1 2 9 5

Min ,

Pos , , i .

?

1) ( 1i ) (Min). , 1.

Min=M(1) Pos=1 2) ( .

j , 2j , ) 3) (2)>M(1), M(3), . j

1.

54

4) (2)< (1), -.

:

Min=M(1), . Min = 3 1) i

Pos = i , . 1i

2j , . 1ij M(2)<Min ( ), , j -

, M(3)

M(3)<Min ( ), , Min=M(3) Pos=3 2) -

-, ,

temp temp=M(1) M(1)=M(3) M(3)=temp

-

Min=M(2), . Min=6 . VBA

(M - 1, n - – -

, 1 1: 13, -

16: 28, -1)

Private Sub CommandButton1_Click()

Const n As Integer = 13

Dim M(1 To n) As Single Dim i As Integer Dim j As Integer Dim Pos As Integer 'Pos – ,

i Dim Temp As Single Dim Min As Single

55

Range("a1").Activate For i = 1 To n M(i) = Cells(i, 1).Value Next i

For i = 1 To n - 1 Min = M(i) Pos = i For j = i + 1 To n If M(j) <= Min Then Min = M(j) Pos = j Temp = M(i) M(i) = M(Pos) M(Pos) = Temp Else GoTo 1 End If 1: Next j Next i

Range("a15:a30").Clear Range("a15").Activate For i = 1 To n Cells(i + 2 + n, 1).Value = M(i) Next i

End Sub .

, . . ? ,

, , - ( ). ,

. , , -.

, .

, -, ,

. ., , , -.

1N - - N , N , - 1N , . . ,

2)1)(2(23...)1( NNNN ,

2

2N .

56

N .

N , 2

2N N ,

, , 2

2N -

, N - . , 2

2N

C - , N ), . -, 2N N :

N 10 1000 10 000 1 000 000 2N 10 1000 000 100 000 000 1 000 000 000

000

, N , -!

, . -

, , .

57

–

. .

. , 40, 11, 83, 57, 32.

-.

4- 5- - 3257 , . -

40, 11, 83, 32, 57. 3- 4- : 3283 . 40, 11, 32, 83, 57. .

: 11, 40, 32, 83, 57.

. -. 1n

. , – ,

, , ( ) . -

. «

» ( ) « » .

- , , . - -

, . , , . .

, , ( ) « » (

), . ( - « » )

( ). – , 1n .

1 1n 2 n . – 1 1n .

: 1) 1i ( ) 2) iinn AAAA ,,...,, 11 3) 1ii 4) 1ni , 2)

: 1) 1nj 2) 1jA jA 3) 1jj 4) ij , 2)

58

2) , : 1) jj AA 1 , jAX , 1jj AA , XA j 1 Private Sub Puzir2() ' Const n As Integer = 10 Dim M(1 To n) As Single Dim Temp As Single Dim i As Integer Dim j As Integer ' Range("a1").Activate For i = 1 To n M(i) = Cells(i, 1).Value Next i ' For i = 1 To n - 1 j = n - 1 Do If M(j + 1) < M(j) Then Temp = M(j) M(j) = M(j + 1) M(j + 1) = Temp End If j = j - 1 Loop While j >= i Next i ' Range("a15:a30").Clear Range("a15").Activate For i = 1 To n Cells(i + 2 + n, 1).Value = M(i) Next i End Sub

59

( ) - « » 1- : 40 11

11 40 40

83 83 57

57 83 32

32 83

83 « »

2- : 11 11

40 40 40

57 57 32

32 57

3- : 11 11

40 40 32

32 40

4- : 11 11

32 32

: 11, 32, 40, 57, 83

60

( ) – « -» 1- : 40 11

11 11 40

83 32 32

57 32 83

32 57

11 « »

2- : 40 32

32 32 40

83 57 57

57 83

3- : 40 40

57 57 57

83 83

4- : 57 57

83 83

: 11, 32, 40, 57, 83

61

– -: , – .

- , , . . , ,

75 (5 , 7 ). )

1) : For i=1 To 5 For j=1 To 7 M(i,j)=InputBox (« ») Next Next 2) Excel ( A1:G5 Excel) For i=1 To 5 For j=1 To 7 M(i,j)=Cells(i,j) Next Next

. i ( 1), j , .

i . - 1 ( 1ii _ j , .

.

62

VBA -

. , -

(M - 1, n - - – ,

1 1: 13, 16: 28, -

1)

Private Sub CommandButton1_Click()

Const n As Integer = 13 Dim M(1 To n) As Single Dim Temp As Single Dim i, ii As Integer Dim Flag As Boolean

Range("a1").Activate For i = 1 To n M(i) = Cells(i, 1).Value Next i

Do Flag = False For i = 1 To n - 1 ii = i + 1 If M(i) < M(ii) Then Temp = M(i) M(i) = M(ii) M(ii) = Temp Flag = True Else: GoTo 1 End If 1: Next i Loop Until Flag = False

Range("a15:a30").Clear Range("a15").Activate For i = 1 To n Cells(i + 2 + n, 1).Value =

M(i) Next i End Sub

63

1.

-. :

0)(xf (1) )(xf x .

(1) x , )(xf . x

(1). (1) . -

, . -

, - (1) .

(1) : .

, (1).

( , ).

, -

(1) . .

2. (1) .

, )(xfy )(xfy -

, . )()()( 21 xxxf . )(xfy , )(11 xy )(22 xy .

.

1. 0sin2 xx 2

1 )( xx xx sin)(2 . 1).

: 01x , -

: 2

;5

.

(1), -

, , ],[ ba :

64

• (1);

• -.

--

. 1.

],[ ba )(xf -

,

, -

- (1).

, ],[ ba )(xf ,

(1). , (1), -

, )(xf , . , -

, -.

)(xf . , )(xf ,

0)(xf , , 0)(xf ( . 2). , , (1), -

x , )(xf . , ],[ ba )(xf -

, 0x . , . 0)( 0xf , . (1) -

, )(xf ( . 3, ) ( . 3, b), )(xf

. .

2. 012 35 xx . , 12)( 35 xxxf 24 65)( xxxf -

. )(xf . ,

)(xf . 065 24 xx , 0)65( 22 xx .

65

: 01x , 56

2x , 56

3x .

, )(xf :

56; , 0;

56 ,

56;0 , ;

56

)(xf : 012lim)(lim 35 xxxf

xx

011252162

31257776

56f

01)0(f

011252162

31257776

56f

, 0;56 ,

12)( 35 xxxf . , .

3. 0sin2 xx . xxxf sin)( 2 xxxf cos2)( -

. , 0x 0)0(f , . .

)(xf . 0cos2)( xxxf .

:

41x , 0

22

2)( 1xf

22x , 00)( 2xf .

, )(xf : 2

;4

4

x : 0707,0616,022

16)(

2

xf 2

x :

0707,0465,222

4)(

2

xf , 2

;4

)(xf -

. .

3. (1) ],[ ba ,

66

xx ˆ . , c -

abc . c

, ],[ ba 11 ;ba , - abab 11 .

( ) ],[ ba - (1) , c -

: abc , . ],[ ba . -

( . 4), . 2

abac .

0)(cf , , cx̂ . 0)(cf , , )(xf a , c b , -

, . ,

(1).

4. 01052 2 xx [1;2], -

. 1,0 .

5,12

1212

aba . : 02105,15)5,1(2)5,1( 2f ,

031052)1(f , 010108)2(f . ( ) : ]5,1;1[];[ 11 ba . 1,05,015,1c , . -

25,12

15,11 . :

0625,01025,15)25,1(2)25,1( 2f : ]5,1;25,1[];[ 22 ba . 1,025,025,15,1c

375,1225,025,1c . :

0656,010875,6781,310375,15)375,1(2)375,1( 2f : ]375,1;25,1[];[ 33 ba ; 1,0125,025,1375,1c .

312,12125,025,1c . :

0003,010312,15)312,1(2)312,1( 2f : ]312,1;25,1[];[ 44 ba . 1,0062,025,1312,1c ,

. , .

3,1x̂ .

67

, ,

nnn

abab

2

n ; nb , na - n . 4n , :

1,00625,02

124

.

5. 0sin2 xx

2;1,0

0,1. :

ix 2

1 )( ii xxy ii xxy sin)(2 0,1 0,010 0,100 0,2 0,040 0,199 0,3 0,090 0,296 0,4 0,160 0,389 0,5 0,250 0,479 0,6 0,360 0,565 0,7 0,490 0,644 0,8 0,640 0,717 0,9 0,810 0,783 1,0 1,000 0,841 1,1 1,210 0,891 1,2 1,440 0,932 1,3 1,690 0,964 1,4 1,960 0,985 1,5 2,250 0,997

, 9,0;8,0 .

.

4. ( ) , , ],[ ba ,

(1). c -

, )(, afaA )(, bfbB )(xf , . 5). .

, , :

68

abax

afbfafy

)()()( (2)

(2) 0y cx ),

abac

afbfaf

)()()(

c ,

)()()(

afafbf

abac .

, ],[ ba . a , c b , -

. ,

, . 1nn xx .

6. 01052 2 xx -

]2;1[ 01,0 . :

2727,1)3(38121)(

)()(af

afbfabac

, 2727,11x . 03)1(f , 08)2(f , 03967,0)2727,1(f , [1,2727;

2]. :

3071,1)3967,0(3967,082727,122727,1c

3071,12x . 01,0034,02727,13071,112 xx , -. 00476,0)3071,1(f , [1,3071; 2].

:

3112,1)0476,0(0476,083071,123071,1c

3112,13x . 01,0004,03071,13112,123 xx , . -

3112,1x̂ .

5.

( ) cx (1) ],[ ba )(xf

))(,( zfz , az , bz . z .

. 6 ))(,( afaA . -, ))(,( bfbB ],[ ba .

, ,

69

)(xf - )(xf -.

, )(xf );

, .

)(xf - ),

, .

2. )(xf - )(xf ],[ ba )(xf .

( ) )(xf ],[ ba , ],[ ba : 0)(xf .

, , ). ( ) , 2 -

0)(xf . . 7 )(xf .

. 7, )(xf , 0)(xf . ,

c d

70

az , 0)(af . . 7, b )(xf , 0)(xf . -

bz , 0)(bf . . 7, )(xf , 0)(xf .

az , 0)(af . , . 7, d )(xf , 0)(xf . -

bz , 0)(bf . , )(xf -

z, )(zf )(zf . ,

zx : ))(()( zxzfzfy

, 0y zx , :

)()(

zfzfzc

( ) , (1), - a, b . ,

, 1nn xx .

7.

01052 2 xx [1; 2] 01,0 . :

54)( xxf , 04)(xf . : 03)1(f , 08)2(f .

, 2z . - :

3846,11382

)2()2(2

ff

3846,1c : 07574,0103846,15)3846,1(2)3846,1( 2f .

, z=1,3846. :

3127,15358,107574,03846,1c

|1,3127 1,3846| = 0,0718 > 0,01, . = 1,3127:

00103,0103127,153127,12)3127,1( 2f , 3127,1z . :

3117,12510,100108,03127,1c

|1,3117 1,31271 = 0,001 <0,01, : 3117,1x̂ .

71

6.

],[ ba , (1).

, ],[ ba )(xf -, )(xf

.

: -, )(xf .

8. ;

2

0sincos xxx . xxxxf sincos)( :

xxxf cos)( , xxxxf sincos)( .

0)(xf , x2

,

. ( ) :

531,2611,1571,12

12

2/2/12/

2)(

)()(af

afbfabac

( ) , -

2

; :

824,2318,0142,31)()(

ffc

, : [2,531; 2,824].

7.

],[ ba (1). :

)(xx (4) ],[ baz ],[)( baz 1)(x , -

(4) ],[0 bax .

(1) -

)(1 kk xx , :

kk xx 1 -

72

(4). (1) -

.

9. 01052 2 xx [1; 2] 01,0 .

:

5252 xx , 5

25 xx

:

5254

5525)(

xxx

15

254

5

x 5

25 x ]1;0[x

525

1 kk xx .

: 5,10x . -

: 3165,1x̂ .

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании

кафедры высшей математики

«11» июня 2011 г.

Методическое указание

по дисциплине «Информатика» для бакалавров 1, 2-го курсов ДТИ, ИИЭС

Теория информации

Ростов-на-Дону

2011

УДК 681.3.06

Методическое указание по дисциплине «Информатика» для бакалавров

1, 2-го курсов ДТИ, ИИЭС по теме «Теория информации». – Ростов н/Д:

Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 32 с.

Представлен материал, необходимый для освоения курса

«Информатика» по теме «Теория информации» для студентов инженерно-

технических специальностей. Содержатся основные сведения раздела 2:

Технические и программные средства реализации информационных

процессов, раздела 10: Основы защиты информации и сведений,

составляющих государственную тайну, раздела 11: Методы защиты

информации. В каждой части содержатся контрольные тестовые вопросы.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 681.3.06

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. Л.А.Кладенок

ассист. Л.И.Сенникова

Рецензент:

канд. физ.-мат. наук, доц. В.В.Шамраева

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 184

Подписано в печать 12.07.11. Формат 6084/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 2,9. Тираж 20 экз. Заказ 386

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

3

1. Информация, ее представление и измерение

Понятие информации является наиболее сложным для понимания и обычно

во вводных курсах информатики не определяется, принимается как исходное

базовое понятие, понимается интуитивно, наивно. Часто это понятие

отождествляется неправильным образом с понятием "сообщение".

Понятие "информация" имеет различные трактовки в разных предметных

областях. Например, информация может пониматься как:

абстракция, абстрактная модель рассматриваемой системы (в математике);

сигналы для управления, приспособления рассматриваемой системы (в

кибернетике);

мера хаоса в рассматриваемой системе (в термодинамике);

вероятность выбора в рассматриваемой системе (в теории вероятностей);

мера разнообразия в рассматриваемой системе (в биологии) и др.

Рассмотрим это фундаментальное понятие информатики на основе понятия

"алфавит".

Формальное определение алфавита: алфавит – конечное множество

различных знаков, символов, для которых определена операция конкатенации

(приписывания, присоединения символа к символу или цепочке символов); с ее

помощью по определенным правилам соединения символов можно получать слова

(цепочки знаков) и словосочетания (цепочки слов) в этом алфавите (над этим

алфавитом).

Буквой или знаком называется любой элемент x алфавита X, где Xx .

Понятие знака неразрывно связано с тем, что им обозначается ("со смыслом"), они

вместе могут рассматриваться как пара элементов (x, y), где x – сам знак, а y –

обозначаемое этим знаком.

Конечная последовательность букв алфавита называется словом в алфавите

(или над алфавитом).

Длиной |p| некоторого слова p над алфавитом Х называется число

составляющих его букв.

Слово (обозначаемое символом Ø) имеющее нулевую длину, называется

пустым словом: |Ø| = 0.

Множество различных слов над алфавитом X обозначим через S(X) и назовем

словарным запасом (словарем) алфавита (над алфавитом) X.

В отличие от конечного алфавита, словарный запас может быть и

бесконечным.

Слова над некоторым заданным алфавитом определяют сообщения.

В алфавите должен быть определен порядок следования букв (порядок типа

"предыдущий элемент – последующий элемент"), то есть любой алфавит имеет

упорядоченный вид X = {x1, x2, …, xn} .

Таким образом, алфавит должен позволять решать задачу

лексикографического (алфавитного) упорядочивания, или задачу расположения

слов над этим алфавитом, в соответствии с порядком, определенным в алфавите (то

есть по символам алфавита).

Информация – это некоторая упорядоченная последовательность

сообщений, отражающих, передающих и увеличивающих наши знания.

Классификации информации:

4

Информация актуализируется с помощью различной формы сообщений –

определенного вида сигналов, символов.

Информация по отношению к источнику или приемнику бывает трех типов:

входная, выходная и внутренняя.

Информация по отношению к конечному результату бывает исходная,

промежуточная и результирующая.

Информация по ее изменчивости бывает постоянная, переменная и смешанная.

Информация по стадии ее использования бывает первичная и вторичная.

Информация по ее полноте бывает избыточная, достаточная и недостаточная.

Информация по доступу к ней бывает открытая и закрытая.

Свойства информации:

полнота;

актуальность;

адекватность;

понятность;

достоверность;

массовость;

устойчивость;

ценность и др.

Основные свойства информации, определяющие ее качество:

Объективность и субъективность. (Более объективна та информация, в которую

методы обработки вносят субъективный элемент)

Полнота информации -достаточность данных для принятия решений.

Достоверность информации — это уровень посторонних сигналов,

зарегистрированных в полезном сигнале.

Адекватность информации — степень соответствия реальному объективному

состоянию дела.

Доступность информации — мера возможности получить ту или иную

информацию.

Актуальность информации — это степень соответствия информации текущему

моменту времени.

Семантический аспект информации [semantic aspect of information] —

характеристика информации с точки зрения ее смысла, содержания. Для

восприятия информации необходимо, чтобы передаваемые сообщения в

определенной мере соответствовали тезаурусу1 знаний получателя: если они не

имеют точек соприкосновения с ним, сообщение понято не будет (так, человек, не

знающий математики, не поймет математическую формулу). Мера соответствия

сообщения тезаурусу определяет количество извлекаемой из него информации: оно

максимально, когда достигается максимальное приращение тезауруса в результате

восприятия и понимания сообщения.

Смысловую сторону информации изучает семантика, являющаяся разделом

семиотики — науки о знаках и знаковых системах.

1 Теза́урус (от греч. θησαυρός — сокровище) в современной лингвистике — особая разновидность

словарей общей или специальной лексики, в которых указаны семантические отношения (синонимы,

антонимы, паронимы, гипонимы, гиперонимы и т. п.) между лексическими единицами. Таким образом,

тезаурусы, особенно в электронном формате, являются одним из действенных инструментов для описания

отдельных предметных областей.

5

Прагматический аспект информации [pragmatical aspect of information] —

характеристика информации с точки зрения полезности, пригодности для решения

задачи. При этом оценка может быть субъективной, отражая точку зрения

получателя информации (интерпретатора). Если получатель хотя и понял

поступившую информацию, но не счел ее полезной, важной, то это означает

наличие прагматического шума — такая информация отсеивается. Проблемы

прагматического отбора информации изучает прагматика — раздел семиотики,

науки о знаках и знаковых системах. Исследования в этой области важны для

проектирования информационно-поисковых систем, систем машинного

распознавания образов, машинного перевода и др. Методы получения информации можно разбить на три большие группы.

1. Эмпирические методы или методы получения эмпирических данных.

2. Теоретические методы или методы построения различных теорий.

3. Эмпирико-теоретические методы (смешанные) или методы построения теорий

на основе полученных эмпирических данных об объекте, процессе, явлении.

Охарактеризуем кратко эмпирические методы.

1. Наблюдение – сбор первичной информации об объекте, процессе, явлении.

2. Сравнение – обнаружение и соотнесение общего и различного.

3. Измерение – поиск с помощью измерительных приборов эмпирических фактов.

4. Эксперимент – преобразование, рассмотрение объекта, процесса, явления с

целью выявления каких-то новых свойств.

Кроме классических форм их реализации, в последнее время используются опрос,

интервью, тестирование и другие.

Охарактеризуем кратко теоретические методы.

1. Восхождение от абстрактного к конкретному – получение знаний о целом или

о его частях на основе знаний об абстрактных проявлениях в сознании, в

мышлении.

2. Идеализация – получение знаний о целом или его частях путем представления в

мышлении целого или частей, не существующих в действительности.

3. Формализация – получение знаний о целом или его частях с помощью языков

искусственного происхождения (формальное описание, представление).

4. Аксиоматизация – получение знаний о целом или его частях с помощью

некоторых аксиом (не доказываемых в данной теории утверждений) и правил

получения из них (и из ранее полученных утверждений) новых верных

утверждений.

5. Виртуализация – получение знаний о целом или его частях с помощью

искусственной среды, ситуации.

Охарактеризуем кратко эмпирико-теоретические методы.

1. Абстрагирование – выделение наиболее важных для исследования свойств,

сторон исследуемого объекта, процесса, явления и игнорирование несущественных

и второстепенных.

2. Анализ – разъединение целого на части с целью выявления их связей.

3. Декомпозиция – разъединение целого на части с сохранением их связей с

окружением.

4. Синтез – соединение частей в целое с целью выявления их взаимосвязей.

5. Композиция — соединение частей целого с сохранением их взаимосвязей с

окружением.

6. Индукция – получение знания о целом по знаниям о частях.

6

7. Дедукция – получение знания о частях по знаниям о целом.

8. Эвристики, использование эвристических процедур – получение знания о целом

по знаниям о частях и по наблюдениям, опыту, интуиции, предвидению.

9. Моделирование (простое моделирование), использование приборов – получение

знания о целом или о его частях с помощью модели или приборов.

10. Исторический метод – поиск знаний с использованием предыстории,

реально существовавшей или же мыслимой.

11. Логический метод – поиск знаний путем воспроизведения частей, связей или

элементов в мышлении.

12. Макетирование – получение информации по макету, представлению частей в

упрощенном, но целостном виде.

13. Актуализация – получение информации с помощью перевода целого или его

частей (а следовательно, и целого) из статического состояния в динамическое

состояние.

14. Визуализация – получение информации с помощью наглядного или

визуального представления состояний объекта, процесса, явления.

Кроме указанных классических форм реализации теоретико-эмпирических

методов часто используются и мониторинг (система наблюдений и анализа

состояний), деловые игры и ситуации, экспертные оценки (экспертное

оценивание), имитация (подражание) и другие формы.

Информационная система – это система, в которой элементы, структура,

цель, ресурсы рассматриваются на информационном уровне (хотя, естественно,

имеются и другие уровни рассмотрения).

Информационная среда – это среда (система и ее окружение) из

взаимодействующих информационных систем, включая и информацию,

актуализируемую в этих системах.

Установление отношений и связей, описание их формальными средствами,

языками, разработка соответствующих описаниям моделей, методов, алгоритмов,

создание и актуализация технологий, поддерживающих эти модели и методы, и

составляет основную задачу информатики как науки, образовательной области,

сферы человеческой деятельности.

Информатику можно определить как науку, изучающую неизменные

сущности (инварианты) информационных процессов, которые протекают в

различных предметных областях, в обществе, в познании, в природе.

Контрольный тест №1:

1) Семантический аспект – это характеристика информации с точки зрения...

a) ее смысла

b) количества информации

c) полезности

d) структуры информации

2) Прагматический аспект информации рассматривает

a) отношения между единицами информации

b) дает возможность раскрыть ее содержание и показать отношение между

смысловыми значениями ее элементов

c) информацию с точки зрения ее практической полезности для получателя

d) определяет значение символа естественного алфавита

3) Информацию, достаточную для решения поставленной задачи, называют…

7

a) полной

b) достоверной

c) актуальной

d) объективной

4) Свойство информации, заключающееся в достаточности данных для

принятия решений, есть …

a) содержательность

b) полнота

c) достоверность

d) объективность

5) Информация достоверна, если она…

a) отражает истинное положение дел

b) полезна

c) достаточна для принятия решений

d) используется в современной системе обработки информации

6) Представление информации в виде слов определяет характер информации:

a) вербальный

b) смысловой

c) целочисленный

d) знаковый

2. Системы счисления

Можно считать, что любое число имеет значение (содержание) и форму

представления.

Значение числа задает его отношение к значениям других чисел («больше»,

«меньше», «равно») и, следовательно, порядок расположения чисел на числовой

оси. Форма представления, как следует из названия, определяет порядок записи

числа с помощью предназначенных для этого знаков. При этом значение числа

является инвариантом, т.е. не зависит от способа его представления. Это означает

также, что число с одним и тем же значением может быть записано по-разному, т.е.

отсутствует взаимнооднозначное соответствие между представлением числа и его

значением.

В связи с этим возникают вопросы, во-первых, о формах представления

чисел и, во-вторых, о возможности и способах перехода от одной формы к другой.

Способ представления числа определяется системой счисления.

Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного

набора специальных знаков – цифр.

Людьми использовались различные способы записи чисел, которые можно

объединить в несколько групп: унарная, непозиционные и позиционные.

Унарная – это система счисления, в которой для записи чисел используется

только один знак – | (вертикальная черта, палочка). Следующее число получается

из предыдущего добавлением новой палочки: их количество (сумма) равно самому

числу. Унарная система важна в теоретическом отношении, поскольку в ней число

представляется наиболее простым способом и, следовательно, просты операции с

ним. Кроме того, именно унарная система определяет значение целого числа

количеством содержащихся в нем единиц, которое не зависит от формы

представления.

8

Из непозиционных наиболее распространенной можно считать римскую

систему счисления. В ней некоторые базовые числа обозначены заглавными

латинскими буквами: 1 — I, 5 — V, 10 — X, 50 — L 100 — С, 500 — D, 1000 — М.

Все другие числа строятся комбинаций базовых в соответствии со

следующими правилами:

если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения

суммируются; если слева — то меньшее значение вычитается из большего;

цифры I, X, С и М могут следовать подряд не более трех раз каждая;

цифры V, L и D могут использоваться в записи числа не более одного раза.

Например, запись XIX соответствует числу 19, МDХLIХ — числу 1549.

Запись чисел в такой системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным

оказывается выполнение в ней даже самых простых арифметических операций.

Отсутствие нуля и знаков для чисел больше М не позволяют римскими цифрами

записать любое число (хотя бы натуральное). По указанным причинам теперь

римская система используется лишь для нумерации.

В настоящее время для представления чисел применяют, в основном,

позиционные системы счисления.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой

цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других

цифр.

Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в

которой для записи чисел используется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число

представляет собой краткую запись многочлена, в который входят степени

некоторого другого числа — основания системы счисления. Например:

.10510110510710515,575 21012

В данном числе цифра 5 встречается трижды, однако значение этих цифр

различно и определяется их положением (позицией) в числе. Количество цифр для

построения чисел, очевидно, равно основанию системы счисления. Также

очевидно, что максимальная цифра на 1 меньше основания. Причина широкого

распространения именно десятичной системы счисления понятна — она

происходит от унарной системы с пальцами рук в качестве "палочек".

Однако в истории человечества имеются свидетельства использования и

других систем счисления — пятеричной, шестеричной, двенадцатеричной,

двадцатеричной и даже шестидесятеричной. Общим для унарной и римской систем

счисления является то, что значение числа в них определяется посредством

операций сложения и вычитания базисных цифр, из которых составлено число,

независимо от их позиции в числе. Такие системы получили название аддитивных.

В отличие от них позиционное представление следует считать аддитивно-

мультипликативным, поскольку значение числа определяется операциями

умножения и сложения. Главной же особенностью позиционного представления

является то, что в нем посредством конечного набора знаков (цифр, разделителя

десятичных разрядов и обозначения знака числа) можно записать неограниченное

количество различных чисел. Кроме того, в позиционных системах гораздо легче,

чем в аддитивных, осуществляются операции умножения и деления. Именно эти

обстоятельства обуславливают доминирование позиционных систем при обработке

чисел как человеком, так и компьютером.

По принципу, положенному в основу десятичной системы счисления,

очевидно, можно построить системы с иным основанием. Пусть р — основание

9

системы счисления. Тогда любое число Z (пока ограничимся только целыми

числами), удовлетворяющее условию kpZ ( 0k , целое), может быть

представлено в виде многочлена со степенями (при этом, очевидно, максимальный

показатель степени будет равен 1k ):

1

0

00

11

22

11 ....

k

j

jj

kk

kkp papapapapaZ (1)

Из коэффициентов при степенях основания строится сокращенная запись

числа:

)....( 0121 aaaaZ kkp

Индекс р числа Z указывает, что оно записано в системе счисления с

основанием р, общее число цифр числа равно k. Все коэффициенты ja — целые

числа, удовлетворяющие условию: 10 pa j .

Уместно задаться вопросом: каково минимальное значение р? Очевидно,

1p невозможно, поскольку тогда все 0ja и форма (1) теряет смысл. Первое

допустимое значение 2p — оно и является минимальным для позиционных

систем.

Система счисления с основанием 2 называется двоичной. Цифрами двоичной

системы являются 0 и 1, а форма (1) строится по степеням 2. Интерес именно к

этой системе счисления связан с тем, что любая информация в компьютерах

представляется с помощью двух состояний — 0 и 1, которые легко реализуются

технически.

Наряду с двоичной в компьютерах используются восьмеричная и

шестнадцатеричная системы счисления.

Представление чисел в различных системах счисления

Очевидно, что значение целого числа, т. е. общее количество входящих в

него единиц, не зависит от способа его представления и остается одинаковым во

всех системах счисления; различаются только формы представления с одного и

того же количественного содержания числа.

Например: |||||1= 510 = 1012 = 516.

Поскольку одно и то же число может быть записано в различных системах

счисления, встает вопрос о переводе представления числа из одной системы в

другую.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Обозначим преобразование числа Z, представленного в p-ричной системе

счисления в представление в q -ричной системе как qp ZZ . Теоретически

возможно произвести его при любых q и р. Однако подобный прямой перевод

будет затруднен тем, что придется выполнять операции по правилам арифметики

недесятичных систем счисления (полагая в общем случае, что 0, qр ).

По этой причине более удобными с практической точки зрения оказываются

варианты преобразования с промежуточным переводом qrp ZZZ с

основанием r, для которого арифметические операции выполнить легко. Таким

удобным основанием является r = 10, т.е. перевод осуществляется через

десятичную систему счисления.

10

Преобразование qrp ZZZ

Идея алгоритма перевода предельно проста: положим начальное значение

0:qZ ; из числа pZ вычтем 1 по правилам вычитания системы р , т.e.

1: pp ZZ , и добавим ее к qZ по правилам сложения системы q, т.е.

1: qq ZZ . Будем повторять эту последовательность действий, пока не

достигнем 0pZ .

Промежуточный переход к унарной системе счисления в данном случае

осуществляется неявно — используется упоминавшееся выше свойство

независимости значения числа от формы его представления. Рассмотренный

алгоритм перевода может быть легко реализован программным путем.

Преобразование qwp ZZZ

Очевидно, первая и вторая части преобразования не связаны друг с другом,

что дает основание рассматривать их по отдельности. Алгоритмы перевода

qw ZZ вытекают из следующих соображений. Многочлен (1) для qZ может

быть представлен в виде:

,)...))((...( 0

1

0

1321 bqbqbqbqbqbZm

j

mmmj

jq

(2)

где т — число разрядов в записи qZ , а )1,...,0( mjb j — цифры числа qZ .

Разделим число qZ на две части по разряду номер i. Число, включающее

im разрядов с )( im -го по i-й, обозначим i , а число с i разрядами с )1( i -го

по 0-й — i . Очевидно, qm Zmi 10],1,0[ .

.

ii

bbbbbbZ iimmq

01121 ......

Позаимствуем из языка VBA обозначение двух операций: \ — результат

целочисленного деления двух целых чисел и mod— остаток от целочисленного

деления 13 \ 4 = 3; 13 mod 4 = 1.

Теперь если принять 11 mm b , то в (2) усматривается следующее

рекуррентное соотношение: iii b 1 из которого, в свою очередь, получаются

выражения:

qii \1 ; qb ii mod . (3)

Аналогично, если принять 00 b , то для правой части числа будет

справедливо другое рекуррентное соотношение: i

iii qb 1 , из которого

следуют: i

ii qb \ ; i

ii qmod1 . (4)

Из соотношений (3) и (4) непосредственно вытекают два способа перевода

целых чисел из десятичной системы счисления в систему с произвольным

основанием q.

Способ 1 является следствием соотношений (3), предполагающий следующий

алгоритм перевода:

11

1. Целочисленно разделить исходное число (Z10) на основании новой системы

счисления (q) и найти остаток от деления — это будет цифра 0-го разряда числа Zq.

2. Частное от деления снова целочисленно разделить на q с выделением остатка;

процедуру продолжать до тех пор, пока частное от деления не окажется меньше q.

3. Образовавшиеся остатки от деления, поставленные в порядке, обратном порядку

их получения, и представляют Zq.

Пример. Выполнить преобразование 510123 Z

Остатки от деления (3, 4) и результат последнего целочисленного деления (4)

образуют обратный порядок цифр нового числа. Следовательно, 510 443123 .

Способ 2 вытекает из соотношения (4), действия производятся в соответствии со

следующим алгоритмом:

1. Определить 1m — максимальный показатель степени в представлении числа

по форме (2) для основания q.

2. Целочисленно разделить исходное число (Z10) на основание новой системы

счисления в степени 1m ( т . е . qm - 1

) и найти остаток от деления; результат

деления определит первую цифру числа Zq.

3. Остаток от деления целочисленно разделить на gm-2

, результат деления принять

за вторую цифру нового числа; найти остаток; продолжать эту последовательность

действий, пока показатель степени q не достигнет значения 0.

Продемонстрируем действие алгоритма на той же задаче, что была

рассмотрена выше.

Определить 1m можно либо путем подбора (50 = 1 < 123; 5

1 = 5 < 123; 5

2 =

25 < 123; 53 = 125 > 123, следовательно, 21m ), либо логарифмированием с

оставлением целой части логарифма (1оg5123 = 2,99, т.е. 21m ). Далее:

45\123 22 b 235mod23 2

1 112 i

45\23 11 b 35mod23 1

0 0i

Алгоритмы перевода wg ZZ явно вытекают из представлений (1) или (2):

необходимо Zp представить в форме многочлена и выполнить все операции по

правилам десятичной арифметики.

Пример. Выполнить преобразование 105443 Z .

Решение: 10012

5 1231354254535454443 .

Необходимо еще раз подчеркнуть, что приведенными алгоритмами удобно

пользоваться при переводе числа из десятичной системы в какую-то иную или

наоборот. Они работают и для перевода между любыми иными системами

счисления, однако преобразование будет затруднено тем, что все арифметические

операции необходимо осуществлять по правилам исходной (в первых алгоритмах)

или конечной (в последнем алгоритме) системы счисления.

По этой причине переход, например, 83 ZZ проще осуществить через

промежуточное преобразование к десятичной системе 8103 ZZZ . Ситуация,

12

однако, значительно упрощается, если основания исходной и конечной систем

счисления оказываются связанными соотношением rqp , где r — целое число

(естественно, большее 1) или n

r 1 ( 1n , целое).

Контрольный тест №2:

1) Результат вычисления выражения 122 47 имеет в двоичной системе

счисления вид …

a) 10010100

b) 70040001

c) 20020001

d) 10010001

2) Результат вычисления выражения 144816 имеет в двоичной системе

счисления вид …

a) 112001

b) 122001

c) 10010001

d) 10011001

3) Если числа в двоичной системе счисления имеют вид 10012 и 1012, то их

разность в десятичной системе счисления равна …

a) 8

b) 2

c) 4

d) 900

4) Последняя цифра суммы чисел 578 и 568 в восьмеричной системе счисления

равна

a) 6

b) 3

c) 5

d) С

5) Последняя цифра суммы чисел 5516 и 5616 в шестнадцатеричной системе

счисления равна

a) 1

b) 6

c) 3

d) В

6) Укажите упорядоченную по возрастанию последовательность значений

a) 5516 558 557

b) 558 557 5516

c) 557 558 5516

d) 558 5516 557

7) В записи числа в двоичной системе счисления могут присутствовать

a) цифры от 1 до 5

b) шесть нечетных цифр

c) цифры 0 и 1

d) буквы от А до Е

13

3. Высказывания и предикаты

Информатика изучает знаковые (алфавитные) системы. Алгебра – наиболее

адекватный математический аппарат описания действий в них, поэтому

алгебраический аппарат наилучшим образом подходит для описания

информационных систем общей природы, отвлеченно от их предметной

направленности. Информационные процессы хорошо формализуются с помощью

различных алгебраических структур.

Алгеброй A называется некоторая совокупность определенных элементов X,

с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по

сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют

определенным свойствам – аксиомам алгебры.

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов

(объектов – участников этой операции).

Совокупность операций алгебры A называется ее сигнатурой, а

совокупность элементов алгебры – носителем алгебры.

Утверждение (высказывательная форма) – основная единица, неделимая с

точки зрения отражения смысла информации (семантики).

Высказывание – некоторое повествовательное утверждение, про которое

можно однозначно сказать ("сразу посмотрев на него"), истинно оно или ложно.

Эти два значения всевозможных высказываний обозначаются "истина" и "ложь",

"true" и "fаlse" или "1" и "0".

Переменная, значениями которой могут быть лишь значения "1" или "0",

называется логической переменной или булевой переменной.

Предикат – высказывательная форма с логическими переменными

(множество значений этих переменных вполне определено), имеющая смысл при

любых допустимых значениях этих переменных. Количество переменных в записи

предиката называется его местностью.

Простые высказывания или предикаты не зависят от других высказываний

или предикатов ("не разбиваемы на более простые"), а сложные – зависят хотя бы

от двух простых.

Пример. Выражение "х = у" – предикат, "х > 5" – предикат, а "7 > 5" –

высказывание.

Логической (булевой) функцией f(х) называется некоторая функциональная

зависимость, в которой аргумент х – логическая переменная с заданным

множеством изменений аргумента, а значения функции f(x) берутся из

двухэлементного множества R(f) = {1,0}.

Пример. Заданы предикаты вида р = "число х делится нацело на 3" и q = "у –

день недели". Найдем множество истинности предикатов р и q, если

x{1,4,6,16,20,24}, y{первый, второй, четверг, 1999, зима, выходной, праздник,

воскресенье}. Получаем, что R(p) = {6, 24}; R(q) ={четверг, воскресенье}.

Множество логических переменных Xyx , с определенными над ним

операциями: x – отрицания или инверсии, yx – логического сложения или

дизъюнкции, yx – логического умножения или конъюнкции называется алгеброй

предикатов (и высказываний), если эти операции удовлетворяют следующим

аксиомам:

1. Аксиома двойного отрицания: xx .

14

2. Аксиомы переместительности операндов (относительно операций дизъюнкции и

конъюнкции): xyyx , xyyx .

3. Аксиомы переместительности операций дизъюнкции и конъюнкции

(относительно операндов): zyxzyx )( , zyxzyx )( .

4. Аксиомы одинаковых операндов: xxx , xxx .

5. Аксиомы поглощения (множителем — множителя-суммы или слагаемым —

слагаемого-произведения): xyxx , xyxx .

6. Аксиомы распределения операции (дизъюнкции относительно конъюнкции и

наоборот):

zxyxzyx , zxyxzyx .

7. Аксиомы де Моргана (перенесения бинарной операции на операнды):

yxyx , yxyx .

8. Аксиомы нейтральности (взаимноинверсных множителей или слагаемых):

xyyx , xyyx .

9. Аксиома существования единицы (истина, true, 1) и нуля (ложь, false, 0), причем,

10 , 01 , 1 xx , 0 xx .

Из этих аксиом следует ряд полезных соотношений, например,

,1 xx ,00 x ,0 xx

,11x ,0 xx .1 xx

Три базовые операции алгебры предикатов определяются таблицей их

значений, так как в алгебре предикатов из-за дискретности значений логических

функций часто используется табличная форма задания функции. Булеву функцию n

переменных можно полностью определить таблицей из 2n строк.

Итак, эти операции определяются совмещенной таблицей значений вида

x y x yx yx

0 0 1 0 0

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 0 1 1

Такая таблица всех значений некоторой логической функции называется

таблицей истинности этой функции.

Пример. Составим таблицу истинности функции yxxz . Эта

таблица имеет вид

x y x yx yxx yxxz

0 0 1 0 0 1

0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 1

Следовательно, функция тождественно-истинна. Это можно было доказать

(проверить) и с помощью аксиом:

11 yyxxyxxyxxz .

Кроме указанных трех базовых операций можно с их помощью ввести еще

следующие важные операции алгебры предикатов (можно их назвать небазовыми

операциями):

15

1. Импликация yx – принимает значение ―ложно‖, тогда и только тогда,

когда первое высказывание x (посылка, причина) ―истина‖, а второе у (заключение,

следствие) – ―ложно‖. Формула перехода: yxyx . (!) Составьте

самостоятельно таблицу истинности для yxyx .

2. Эквивалентность формул yx означает совпадение их значений

истинности для всех возможных наборов входящих в них переменных. Формула

перехода: yxyxyx . (!) Составьте самостоятель-но таблицу

истинности для yxyxyx .

3. Тавтология – это формула, истинная при любой интерпретации входящих в нее

переменных. (!) Составьте таблицу истинности для xx .

4. Противоречие – это формула, ложная при любой интерпретации входящих в

нее переменных. (!) Составьте самостоятельно таблицу истинности для

xx .

Операции импликации и эквивалентности, хотя и являются часто

используемыми, но не базовые, ибо они определяемы через три введенные выше

базовые операции. Нетрудно определить их таблицы истинности (проделайте это

самостоятельно с помощью правых частей приведенных равенств).

В логических формулах определено старшинство операций, например:

скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Всегда истинные формулы называют тавтологиями.

Логические функции эквивалентны, если совпадают их таблицы истинности,

то есть совпадают области определения и значения, а также сами значения

функции при одних и тех же наборах переменных из числа всех допустимых

значений. Если это совпадение происходит на части множества допустимых

значений, то формулы называются эквивалентными лишь на этой части (на этом

подмножестве).

Задача упрощения логического выражения состоит в преобразовании его к

более простому (по числу переменных, операций или операндов) эквивалентному

выражению. Наиболее простой вид получается при сведении функции к

постоянной – 1 (истина) или 0 (ложь).

Пример. Упростим:

yxyxyxyxyxyxyxf ,

=(аксиома дистрибутивности)=

yxyxx

=(аксиома нейтральности)=

yxy

=(аксиома дистрибутивности)=

yxxyxyyyxy 1

Задача доказательства равенства двух логических выражений (функций)

состоит в установлении эквивалентности этих функций на некотором множестве

значений всех переменных, входящих в данную функцию.

Пример. Докажем равенство логических выражений: xxyxyx .

Используя аксиомы алгебры предикатов, получаем равенства

xxyxxyxyxxyxyx .

16

Левая часть равенства приведена к правой части, то есть данное равенство

доказано полностью.

Такие задачи решаются с помощью аксиом алгебры предикатов одним из

следующих способов:

правая часть равенства приводится к левой части;

левая часть равенства приводится к правой части;

обе части равенства приводятся к третьему выражению.

С помощью логических функций эффективно решают инфологические

(информационно-логические) задачи, доказывают утверждения.

Информационно-логическая (инфологическая) задача – это задача, в

которой необходимо установить некоторые информационные или логические связи

и сделать необходимые причинно-следственные логические выводы. Эти задачи

возникают в различных областях и часто являются плохо формализованными и

структурированными. Их нужно хорошо формализовать и структурировать.

Насколько хорошо будет возможно это сделать – настолько хорошо и полно будет

решена рассматриваемая проблема или задача. Рассмотрим пример

информационно-логической задачи (например, решаемой следователем, знакомым

с алгеброй предикатов).

Пример. Операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания алгебры

высказываний – аналоги союзов "и", "или", приставки "не", используемых

(возможно, интуитивно) при выражении мысли человеком.

Законы алгебры высказываний и предикатов сходны с правилами, по

которым человек делает умозаключения, доказывает, мыслит. Чтобы переложить

на ЭВМ работы мыслительного характера, эти правила необходимо строго

сформулировать, формализовать. Это позволяет осуществить алгебра логики.

Приведем некоторые аксиомы логики – науки, изучающей методы доказательства

и опровержения утверждений.

1. Аксиома исключения третьего: либо имеет место высказывание, либо его

отрицание.

2. Аксиома противоречия: высказывания и его отрицание не могут иметь места

одновременно.

3. Аксиома двойного отрицания: двукратное отрицание какого-либо утверждения

равносильно исходному утверждению.

4. Аксиома тождества: всякое высказывание тождественно самому себе.

Если высказывания x и y связаны друг с другом отношением yx , то

говорят, что высказывание y следует из высказывания x (или y – следствие x); если

множество истинности Х высказывания х содержит множество истинности Y

высказывания y, то высказывание x – условие, высказывание y – заключение, а само

соотношение yx – вывод.

Доказательство формальных математических утверждений (теорем) –

последовательность корректных выводов, ведущих от условия к заключению.

Алгебра логики помогает доказывать теоремы (дает общие подходы и методы

доказательства).

Общий подход к доказательству теорем методом от противного, обратных и

противоположных теорем можно формализовать с помощью алгебры логики.

17

Контрольный тест №3:

1) Из заданных логических функций тождественно истинной является

a) А и не А или не А

b) А и не В или А

c) А или не А или А

d) А и не А или В

2) Из заданных логических функций тождественно истинной является

a) А и не А или В

b) А и не В или А

c) А и не А или не А

d) А или не В или не А

3) Из заданных логических функций эквивалентной А является

a) А и не А или не А

b) А и не В или А

c) А и не А или В

d) А и не В и А

4) Для простого высказывания В логическое отрицание обозначается

a) B

b) B c) & B

d) B 5) Высказыванию «А не является max (A,B,C) и не является min (A,B,C)»

соответствует логическое выражение

a) (A < B) или (A > C) и (A < C) или (A > B)

b) (A > B) или (A > C)

c) (A < B) и (A > C) или (A < C) и (A > B)

d) (A < B) и (A < C)

4. Количественное измерение информации

Любые сообщения измеряются в байтах, килобайтах, мегабайтах, гигабайтах,

терабайтах, петабайтах и эксабайтах, а кодируются, например, в компьютере, с

помощью алфавита из нулей и единиц, записываются и реализуются в ЭВМ в

битах.

Приведем основные соотношения между единицами измерения сообщений:

1 бит (binary digit – двоичное число) = 0 или 1,

1 байт = 8 бит,

1 килобайт (1Кб) = 210

байт = 213

бит,

1 мегабайт (1Мб) = 220

байт = 223

бит,

1 гигабайт (1Гб) = 230

байт = 233

бит,

1 терабайт (1Тб) = 240

байт = 243

бит,

1 петабайт (1Пб) = 250

байт = 253

бит,

1 эксабайт (1Эб) = 260

байт = 263

бит.

Пример. Найти неизвестные х и у, если верны соотношения:

.байт2 Мб 2

;бит32 128

yx

xy Kб

18

Выравниваем единицы измерения информации:

.байт2 Мб 2

;бит2 2

20xx

137y7y Kб

Подставляя в уравнения и отбрасывая размерности информации, получаем:

. 2 2

;2 2

y20x

5x137y

Отсюда получаем систему двух алгебраических уравнений:

.20

;5137

yx

xy

или, решая эту систему, окончательно получаем, x = –76,5, у = –56,5.

Для измерения информации используются различные подходы и методы,

например, с использованием меры информации по Р. Хартли и К. Шеннону.

Количество информации – число, адекватно характеризующее

разнообразие (структурированность, определенность, выбор состояний и т.д.) в

оцениваемой системе. Количество информации часто оценивается в битах, причем

такая оценка может выражаться и в долях бит (так речь идет не об измерении или

кодировании сообщений).

Мера информации – критерий оценки количества информации. Обычно она

задана некоторой неотрицательной функцией, определенной на множестве событий

и являющейся аддитивной, то есть мера конечного объединения событий

(множеств) равна сумме мер каждого события.

Рассмотрим различные меры информации.

Возьмем меру Р. Хартли. Пусть известны N состояний системы S (N опытов с

различными, равновозможными, последовательными состояниями системы). Если

каждое состояние системы закодировать двоичными кодами, то длину кода d

необходимо выбрать так, чтобы число всех различных комбинаций было бы не

меньше, чем N:

Nd 2 .

Логарифмируя это неравенство, можно записать:

Nd 2log .

Наименьшее решение этого неравенства или мера разнообразия множества

состояний системы задается формулой Р. Хартли:

NH 2log (бит).

Пример. Чтобы определить состояние системы из четырех возможных

состояний, то есть получить некоторую информацию о системе, необходимо задать

2 вопроса. Первый вопрос, например: "Номер состояния больше 2?". Узнав ответ

("да", "нет"), мы увеличиваем суммарную информацию о системе на 1 бит

( 2log 2I ). Далее необходим еще один уточняющий вопрос, например, при ответе

"да": "Состояние – номер 3?". Итак, количество информации равно 2 битам

( 4log 2I ).

Если во множестве nxxxX ,...,, 21 искать произвольный элемент, то для

его нахождения (по Хартли) необходимо иметь не менее n2log (единиц)

информации.

19

Уменьшение Н говорит об уменьшении разнообразия состояний N системы.

Увеличение Н говорит об увеличении разнообразия состояний N системы.

Мера Хартли подходит лишь для идеальных, абстрактных систем, так как в

реальных системах состояния системы не одинаково осуществимы (не

равновероятны).

Для таких систем используют более подходящую меру К. Шеннона. Мера

Шеннона оценивает информацию отвлеченно от ее смысла:

n

i

ii ppI1

2log ,

где n – число состояний системы; рi – вероятность (относительная частота)

перехода системы в i-е состояние, а сумма всех pi должна равняться 1.

Если все состояния рассматриваемой системы равновозможны,

равновероятны, то есть npi /1 , то из формулы Шеннона можно получить (как

частный случай) формулу Хартли:

nI 2log .

Пример. Если положение точки в системе из 10 клеток известно, например,

если точка находится во второй клетке, то есть рi = 0, i = 1, 3, 4, …, 10, р2 = 1.

Получаем количество информации, равное нулю, т.е. 01log 2 I .

Обозначим величину ii pnf 2log .

Тогда из формулы К. Шеннона следует, что количество информации I можно

понимать как среднеарифметическое величин fi , то есть величину fi можно

интерпретировать как информационное содержание символа алфавита с индексом i

и величиной pi вероятности появления этого символа в любом сообщении (слове),

передающем информацию.

Положительная сторона формулы Шеннона – ее отвлеченность от смысла

информации. Кроме того, в отличие от формулы Хартли, она учитывает

различность состояний, что делает ее пригодной для практических вычислений.

Основная отрицательная сторона формулы Шеннона – она не распознает

различные состояния системы с одинаковой вероятностью.

Контрольный тест №4:

1) Минимально необходимое для записи целого числа 224

количество байт,

равно

a) 4

b) 3

c) 24

d) 5

2) Количество информации, содержащееся в одном разряде двоичного числа,

равно…

a) 2 бита

b) 2 байта

c) 1 байт

d) 1 бит

3) Укажите упорядоченную по убыванию последовательность значений

a) 4 байта, 3 байта, 30 бит

b) 3 байта, 30 бит, 4 байта

c) 4 байта, 30 бит, 3 байта

20

d) 30 бит, 4 байта, 3 байта

4) Укажите упорядоченную по возрастанию последовательность значений

a) 2 байта, 10 бит, 20 бит

b) 10 бит, 20 бит, 2 байта

c) 10 бит, 2 байта, 20 бит

d) 20 бит, 10 бит, 2 байта

5) Выберите вариант, в котором объемы памяти расположены в порядке

убывания.

a) 1010 байт, 2 байта, 1 Кбайт, 20 бит, 10 бит

b) 1 Кбайт, 1010 байт, 20 бит, 2 байта, 10 бит

c) 1010 байт, 1 Кбайт, 2 байта, 20 бит, 10 бит

d) 1010 байт, 1 Кбайт, 20 бит, 2 байта, 10 бит

6) Выберите вариант, в котором объемы памяти расположены в порядке

возрастания.

a) 15 бит, 20 бит, 2 байта, 1 Кбайт, 1010 байт

b) 15 бит, 2 байта, 20 бит, 1 Кбайт, 1010 байт

c) 15 бит, 2 байта, 20 бит, 1010 байт, 1 Кбайт

d) 15 бит, 20 бит, 2 байта, 1010 байт, 1 Кбайт

7) Выберите вариант, в котором единицы измерения информации

расположены в порядке возрастания.

a) гигабайт, мегабайт, терабайт

b) терабайт, мегабайт, гигабайт

c) мегабайт, терабайт, гигабайт

d) мегабайт, гигабайт, терабайт

8) Выберите вариант, в котором единицы измерения информации

расположены в порядке убывания.

a) гигабайт, мегабайт, килобайт

b) килобайт, гигабайт, мегабайт

c) килобайт, мегабайт, гигабайт

d) мегабайт, гигабайт, килобайт

9) Выберите вариант, в котором единицы измерения информации

расположены в порядке убывания.

a) килобайт, гигабайт, терабайт

b) терабайт, мегабайт, килобайт

c) гигабайт, мегабайт, терабайт

d) мегабайт, терабайт, килобайт

5. Информационная безопасность

Информационный процесс – процесс получения, создания, сбора,

обработки, накопления, хранения, поиска, распространения и использования

информации [1]. В результате исполнения информационных процессов

осуществляются информационные права и свободы, выполняются обязанности

соответствующими структурами производить и вводить в обращение информацию,

затрагивающую права и интересы граждан, а также решаются вопросы защиты

личности, общества, государства от ложной информации и дезинформации,

защиты информации и информационных ресурсов ограниченного доступа от

несанкционированного доступа [9].

21

С точки зрения информационного права, при выполнении информационных

процессов возникают общественные отношения, подлежащие правовому

регулированию в информационной сфере.

Информационное право рассматривается как наука, как учебная дисциплина

и как собственно система правового регулирования отношений в информационной

сфере, т.е. отрасль российского права.

Общественные отношения (социальные отношения) — различные

взаимодействия, урегулированные социальными нормами, между двумя или более

людьми, каждый из которых имеет социальную позицию, и осуществляет

социальную роль. Социологи считают общественные отношения высшей формой

социальных явлений по сравнению с поведением, действием, социальным

поведением, социальным действием и социальным взаимодействием.

Право как один из видов регуляторов общественных отношений

представляет собой особую категорию, в многотысячелетней истории

юриспруденции не раз указывалось, что универсальное определение права не

может быть дано и всегда зависит от конкретной правовой системы.

Информационная сфера представляет собой совокупность информации,

информационной инфраструктуры, субъектов, осуществляющих сбор,

формирование, распространение и использование информации, а также системы

регулирования возникающих при этом общественных отношений.

Информационная сфера, являясь системообразующим фактором жизни общества,

активно влияет на состояние политической, экономической, оборонной и других

составляющих безопасности Российской Федерации. Национальная безопасность

Российской Федерации существенным образом зависит от обеспечения

информационной безопасности, и в ходе технического прогресса эта зависимость

будет возрастать [10].

Информационная безопасность информационной системы – защищенность

информации, обрабатываемой компьютерной системой, от внутренних

(внутрисистемных) или внешних угроз, то есть состояние защищенности

информационных ресурсов системы, обеспечивающее устойчивое

функционирование, целостность и эволюцию системы. К защищаемой информации

(информационным ресурсам системы) относятся электронные документы и

спецификации, программное обеспечение, структуры и базы данных и др.

Оценка безопасности компьютерных систем базируется на различных

классах защиты систем:

класс систем минимальной защищенности (класс D);

класс систем с защитой по усмотрению пользователя (класс C);

класс систем с обязательной защитой (класс B);

класс систем с гарантированной защитой (класс A).

Эти классы имеют и подклассы, но мы их не будем здесь детализировать.

Основными типами средств воздействия на компьютерные сети и системы

являются компьютерные вирусы, логические бомбы и мины (закладки, жучки),

внедрение в информационный обмен.

Информационная безопасность [11] – защита конфиденциальности,

целостности и доступности информации:

1. Конфиденциальность: обеспечение доступа к информации только

авторизованным пользователям.

22

2. Целостность: обеспечение достоверности и полноты информации и методов

ее обработки.

3. Доступность: обеспечение доступа к информации и связанным с ней активам

авторизованных пользователей по мере необходимости.

Информационная безопасность (англ. information security) [12] — все аспекты,

связанные с определением, достижением и поддержанием конфиденциальности,

целостности, доступности, неотказуемости, подотчетности, аутентичности и

достоверности информации или средств ее обработки.

Безопасность информации (данных) (англ. information (data) security) [13] —

состояние защищенности информации (данных), при котором обеспечиваются ее

(их) конфиденциальность, доступность и целостность.

Примечание. Безопасность информации (данных) определяется отсутствием

недопустимого риска, связанного с утечкой информации по техническим каналам,

несанкционированными и непреднамеренными воздействиями на данные и (или)

на другие ресурсы автоматизированной информационной системы, используемые

при применении информационной технологии.

Безопасность информации (при применении информационных технологий) (англ. IT security) [13] — состояние защищенности информационной технологии,

обеспечивающее безопасность информации, для обработки которой она

применяется, и информационную безопасность автоматизированной

информационной системы, в которой она реализована.

Безопасность автоматизированной информационной системы [13] —

состояние защищенности автоматизированной информационной системы, при

котором обеспечиваются конфиденциальность, доступность, целостность,

подотчетность и подлинность ее ресурсов.

Пример. Многократно разославшая свой код в 2000 году вирусная программа

в Интернете могла при открытии приложения к тексту письма с интригующим

заголовком (ILoveYou – ЯТебяЛюблю) рассылать свой код по всем адресам,

зафиксированным в адресной книге данного получателя вируса, что приводило к

веерному размножению вируса по Интернету, ибо адресная книга каждого

пользователя может содержать десятки и сотни адресов.

В комплекс мер защиты информации входит и размещение

соответствующего оборудования и оргструктур в специально оборудованных (в

идеале – специально построенных) для этого помещениях. В строительных нормах

предусмотрены особые требования к таким помещениям (см., например,

Постановление Правительства Москвы от 06.05.97 N 324 "Об утверждении

Московских городских строительных норм "Здания банковских учреждений"

(МГСН 4.10-97)").

Информационная война (англ. Information war) — целенаправленные

действия, предпринятые для достижения информационного превосходства путем

нанесения ущерба информации, информационным процессам и информационным

системам противника при одновременной защите собственной информации,

информационных процессов и информационных систем. К состоянию

информационной войны может привести продолжительное информационное

противоборство.

Основные черты информационной войны:

В информационной войне не задействуются психотропные препараты,

прямой шантаж и запугивание (это характерно для терроризма), подкуп,

23

физическое воздействие и т. п. Хотя указанные воздействия могут применяться

параллельно с информационной войной, они не являются обязательным элементом.

Объектом является как массовое сознание, так и индивидуальное.

Индивидуального воздействия "удостаиваются" лица, от решения которых зависит

принятие решений по интересующим противоборствующую сторону вопросам

(президент, премьер-министр, глава МИД, дип представители, главы воинских

формирований и т.п.).

Можно сказать, что методы информационной войны воздействуют на

массовое сознание аналогично тому, как методы психотерапии воздействуют на

сознание индивидуальное.

Информационное воздействие может осуществляется как на фоне

информационного шума, так и в условиях информационного вакуума.

Навязывание чуждых целей — это то, что делает информационную войну

войною и отличает еѐ от обычной рекламы.

Средствами ведения информационной войны являются любые средства

передачи информации — от СМИ до почты и сплетен.

Информационное воздействие содержит искажение фактов или навязывает

подвергающимся ему эмоциональное восприятие, выгодное воздействующей

стороне.

Методы ведения информационных войн позволяют изменять оценку

происходящего населением территории противника, пораженческое настроение, и,

в перспективе, переход на сторону ведущего информационное воздействие. В

качестве примера можно привести "прелестные письма", в которых Степан Разин

призывал всех ищущих воли на свою сторону, выдавая себя за восстановителя

справедливости, борца с предавшей царя местной властью. С появлением средств

массовой информации и общим повышением уровня грамотности в XX веке

ведение информационной войны стало более эффективным.

Контрольные тесты № 5

1) Информационный процесс обеспечивается ...

a) коммуникационными каналами

b) программным обеспечением

c) информационными системами и средствами передачи данных

d) аппаратным (техническим) обеспечением

2) Преднамеренной угрозой безопасности информации является...

a) ошибка разработчика

b) кража

c) наводнение

d) повреждение кабеля, по которому идет передача

e) влияние погодных условий

3) Под утечкой информации понимается...

a) несанкционированный процесс переноса информации от источника к

злоумышленнику

b) непреднамеренная утрата носителя информации

c) процесс уничтожения информации

d) процесс раскрытия секретной информации

4) Информацией, подлежащей защите является...

a) информация об учреждении профессионального образования

24

b) информация о состоянии операционной системы

c) информация, приносящая выгоду

d) сведения об окружающем мире

5) Угрозой информационной войны для РФ не является...

a) несовершенство законодательной базы

b) значительная протяжѐнность территории

c) открытость границ

d) ориентированность на отечественные технические средства

6) Цена информации при еѐ утечке ...

a) информация полностью обесценивается

b) увеличивается

c) не изменяется

d) уменьшается

7) Информационное оружие не является...

a) поражающим

b) оборонительным

c) сигнализирующим

d) атакующим

8) В большей степени понятию «Информационная безопасность

автоматизированной системы» соответствует...

a) состояние автоматизированной системы, при котором она способна

противостоять только информационным угрозам, как внешним, так и

внутренним

b) состояние автоматизированной системы, при котором она способна

противостоять только внешним информационным угрозам

c) состояние автоматизированной системы, при котором она, с одной стороны,

способна противостоять воздействию внешних и внутренних

информационных угроз, а с другой – затраты на еѐ функционирование ниже,

чем предполагаемый ущерб от утечки защищаемой информации

d) состояние автоматизированной системы, при котором она, с одной стороны,

способна противостоять воздействию внешних и внутренних

информационных угроз, а с другой – ее наличие и функционирование не

создает информационных угроз для элементов самой системы и внешней

среды

9) Концепция системы защиты от информационного оружия не должна

включать...

a) процедуры оценки уровня и особенностей атаки против национальной

инфраструктуры в целом и отдельных пользователей

b) средства нанесения контратаки с помощью информационного оружия

c) механизмы защиты пользователей от различных типов и уровней угроз для

национальной информационной инфраструктуры

d) признаки, сигнализирующие о возможном нападении

10) В систему органов обеспечения ИБ в РФ не входит...

a) Правительство РФ

b) ФСБ

c) Общественная палата РФ

25

d) Государственная дума

11) Гарантом национальной безопасности РФ является...

a) чѐткая политика в сфере защиты инф. безопасности РФ

b) законодательные и иные правовые акты РФ, регулирующие правовые

отношения в cфере ИБ и защиты государственной тайны

c) бурное развитие информационных технологий, обеспечивающих

информационную безопасность РФ

d) президент РФ

6. Компьютерные вирусы

Компьютерным вирусом называется программа (некоторая совокупность

выполняемого кода/инструкций), которая способна создавать свои копии (не

обязательно полностью совпадающие с оригиналом) и внедрять их в различные

объекты/ресурсы компьютерных систем, сетей и т.д. без ведома пользователя. При

этом копии сохраняют способность дальнейшего распространения.

Компьютерные вирусы, как и биологические, ставят перед собой три задачи -

заразить, выполнить, размножиться.

Заражается компьютер вирусами при запуске на исполнение программ,

которые либо заражены вирусом (т.е. при их выполнении запускается и вирус),

либо сами являются вирусами. Вирус размножается, то есть дописывает себя везде,

где он имеет шанс выполниться. В Интернете достаточно зайти на некоторые

сайты, чтобы заполучить какой-нибудь вирус.

В последнее время широко распространился вид почтовых вирусов,

играющих на любопытстве людей. При просмотре неизвестного письма вирус не

только заразит компьютер, но и пошлет себя всей адресной книге.

Троянские программы отличаются от вирусов тем, что они вместо

разрушительных действий собирают и отправляют по известным им адресам

пароли и другую секретную информацию пользователя. Такая программа может

давать злоумышленнику полный доступ к вашим программам и данным.

Антивирусы – программы, предназначенные обнаруживать и удалять

известные им "нехорошие" программы. Например: Norton Antivirus, DrWeb, АVР

Касперского, ADInf, и т.д. При использовании таких программ главное –

постоянное обновление антивирусных баз.

Основные признаки появления в системе вируса:

замедление работы некоторых программ или операционной системы в общем;

увеличение размеров файлов (особенно выполняемых), хотя это достаточно

сложно заметить;

появление не существовавших ранее "странных" файлов, особенно в каталоге

C:\WINDOWS или корневом;

уменьшение объема доступной оперативной памяти;

внезапно возникающие разнообразные видео и звуковые эффекты;

заметное снижение скорости работы в Интернете (вирус или троянец могут

передавать информацию по сети);

жалобы от друзей (или провайдера) о том, что к ним приходят всякие

непонятные письма – вирусы любят рассылать себя по почте.

Отдельно хочется подчеркнуть, что практически все вирусы функционируют

в операционных системах семейства MS Windows и в MS DOS. В операционной

системе Linux вирусы были выявлены только в лабораторных условиях. Несмотря

26

на то, что некоторые образцы Linix-вирусов действительно обладали всеми

необходимыми способностями к размножению и автономной жизни, ни один из

них так и не был зафиксирован в "диком" виде. Использование ОС Linux защищает

от вирусов гораздо лучше, чем любые антивирусные программы в MS Windows.

Краткую классификацию вирусных программ можно разделить на классы

по основным признакам:

среда обитания;

операционная система (ОС);

особенности алгоритма работы;

деструктивные возможности.

По среде обитания вирусы можно разделить на:

Файловые вирусы либо различными способами внедряются в выполняемые

файлы (наиболее распространенный тип вирусов), либо создают файлы-двойники

(компаньон-вирусы), либо используют особенности организации файловой

системы (link-вирусы).

Загрузочные вирусы ориентированы на конкретные форматы расположения

системных данных в загрузочных секторах дисков и записывают себя либо в

загрузочный сектор диска (Вооt-сектор), либо в сектор, содержащий системный

загрузчик винчестера (Master Boot Record), либо меняют указатель на активный

Boоt-сектор.

Макро-вирусы заражают файлы-документы и электронные таблицы нескольких

популярных редакторов (форматов Word, Excel и других программ пакета MS

Office).

Сетевые вирусы используют для своего распространения протоколы или

команды компьютерных сетей и электронной почты.

Существует большое количество сочетаний. Например, файлово-

загрузочные вирусы, заражающие как файлы, так и загрузочные секторы дисков.

Другой пример такого сочетания – сетевой макро-вирус, который не только

заражает редактируемые документы, но и рассылает свои копии по электронной

почте.

Среди особенностей алгоритма работы вирусов выделяются следующие

пункты:

резидентность;

использование стелс-алгоритмов;

самошифрование и полиморфичность;

использование нестандартных приемов.

Резидентный вирус при инфицировании компьютера оставляет в

оперативной памяти свою резидентную часть, которая затем перехватывает

обращения операционной системы к объектам заражения и внедряется в них.

Резидентные вирусы находятся в памяти и являются активными вплоть до

выключения компьютера или перезагрузки операционной системы.

Резидентными можно считать макро-вирусы, поскольку они постоянно

присутствуют в памяти компьютера на все время работы зараженного редактора.

При этом роль операционной системы берет на себя редактор, а понятие

"перезагрузка операционной системы" трактуется как выход из редактора.

Некоторые вирусы оставляют в оперативной памяти небольшие резидентные

программы, которые не распространяют вирус. Такие вирусы считаются

нерезидентными.

27

В многозадачных операционных системах время "жизни" резидентного DОS-

вируса также может быть ограничено моментом закрытия зараженного DOS-окна, а

активность загрузочных вирусов в некоторых операционных системах

ограничивается моментом инсталляции дисковых драйверов ОС.

Использование стелс-алгоритмов позволяет вирусам полностью или

частично скрыть себя в системе. Наиболее распространенным стелс-алгоритмом

является перехват запросов ОС на чтение/запись зараженных объектов. Стелс-

вирусы при этом либо временно лечат их, либо "подставляют" вместо себя

незараженные участки информации.

Наиболее популярный способ борьбы с макро-вирусами – запрет вызовов

меню просмотра макросов. Один из первых файловых стелс-вирусов – вирус

"Frodo", первый загрузочный стелс-вирус – "Brain".

Самошифрование и полuморфичность используются практически всеми

типами вирусов для того, чтобы максимально усложнить процедуру

детектирования вируса. Полиморфик-вирусы (polymorphic) – это достаточно

трудно обнаружимые вирусы, не имеющие сигнатур, т. е. не содержащие ни одного

постоянного участка кода. В большинстве случаев два образца одного и того же

полиморфик-вируса не будут иметь ни одного совпадения. Это достигается

шифрованием основного тела вируса и модификациями программы-

расшифровщика.

Различные нестандартные приемы часто используются в вирусах для того,

чтобы как можно глубже спрятать себя в ядре ОС (как это делает вирус

"ЗАРАЗА"), защитить от обнаружения свою резидентную копию (вирусы "ТРVО",

"Trout2"), затруднить лечение от вируса (например, поместив свою копию в F1ash-

BIOS) и т. д.

По деструктивным возможностям вирусы можно разделить на:

безвредные, т. е. никак не влияющие на работу компьютера (кроме уменьшения

свободной памяти на диске в результате своего распространения);

неопасные, влияние которых ограничивается уменьшением свободной памяти на

диске и графическими, звуковыми и пр. эффектами;

опасные вирусы, которые могут привести к серьезным сбоям в работе

компьютера;

очень опасные, в алгоритм работы которых заведомо заложены процедуры,

которые могут привести к потере программ, уничтожить данные, стереть

необходимую для работы компьютера информацию, записанную в системных

областях памяти.

Контрольный тест №6:

1) Вирусы распространяются...

a) при копировании файла

b) при выполнении исполняемого файла

c) при чтении файла

d) при создании файла

2) Вирусы могут быть:

a) загрузочными

b) мутантами

c) невидимками

d) дефектными

28

e) логическими

а, b, c

а, c, d

c, d, e

b, d, e

3) Зараженной называется программа...

a) на съемном диске

b) используемая для распределенной обработки информации

c) имеющая небольшой объем

d) содержащая внедренную в нее программу-вирус

4) Зараженным является диск...

a) который невозможно прочитать

b) в загрузочном секторе которого находится программа вирус

c) используемый на другом компьютере

d) используемый для работы в сети

5) Основными путями проникновения вирусов в компьютер являются...

a) съемные диски и компьютерные сети

b) неправильная работа ОС

c) неправильная работа программ

d) исполняемые файлы и используемые технологии

6) Сетевые вирусы могут попасть на локальный компьютер...

a) при просмотре web-страницы

b) при вводе логина и пароля

c) при копировании файла с удалѐнного компьютера

d) при подключении к локальной сети

7) Троянской программой является...

a) программа, проникающая на компьютер пользователя через Интернет.

b) программа, заражающая компьютер независимо от действий пользователя;

c) программа, вредоносное действие которой выражается в удалении и/или

модификации системных файлов компьютера;

d) вредоносная программа, которая сама не размножаются, а выдает себя за

что-то полезное, тем самым, пытаясь побудить пользователя переписать и

установить на свой компьютер программу самостоятельно.

8) Основным средством антивирусной защиты является...

a) использование сетевых экранов при работе в сети Интернет;

b) периодическая проверка списка загруженных программ;

c) периодическая проверка компьютера с помощью антивирусного

программного обеспечения.

d) периодическая проверка списка автоматически загружаемых программ.

9) Абсолютная защита компьютера от сетевых атак возможна при …

a) использовании лицензированного программного обеспечения

b) отсутствии соединения

c) использовании новейших антивирусных средств

d) установке межсетевого экрана

29

7. Кодирование и шифрование информации

Способами защиты информации является кодирование сообщений и

шифрование информации.

Вопросами защиты и скрытия информации занимается наука кpиптология

(криптос – тайный, логос – наука). Кpиптология имеет два основных направления –

кpиптогpафию и кpиптоанализ. Цели этих направлений противоположны.

Кpиптогpафия занимается построением и исследованием математических методов

пpеобpазования информации, а кpиптоанализ – исследованием возможности

pасшифpовки информации без ключа. Термин "криптография" происходит от двух

греческих слов: криптоc и грофейн – писать. Таким образом, это тайнопись,

система перекодировки сообщения с целью сделать его непонятным для

непосвященных лиц и дисциплина, изучающая общие свойства и принципы систем

тайнописи.

Введем некоторые основные понятия кодирования и шифрования.

Код – правило соответствия набора знаков одного множества Х знакам

другого множества Y.

Кодирование – процесс преобразования букв (слов) алфавита Х в буквы

(слова) алфавита Y. Если каждому символу Х при кодировании соответствует

отдельный знак Y, то это кодирование. Если для каждого символа из Y однозначно

отыщется по некоторому правилу его прообраз в X, то это правило называется

декодированием.

При представлении сообщений в ЭВМ все символы кодируются байтами.

Пример. Если каждый цвет кодировать двумя битами, то можно

закодировать не более 22 = 4 цветов, тремя – 2

3 = 8 цветов, восемью битами

(байтом) – 256 цветов.

Сообщение, которое мы хотим передать адресату, назовем открытым

сообщением. Оно, естественно, определено над некоторым алфавитом.

Зашифрованное сообщение может быть построено над другим алфавитом.

Назовем его закрытым сообщением. Процесс преобразования открытого

сообщения в закрытое сообщение и есть шифрование.

Если А – открытое сообщение, В – закрытое сообщение (шифр) , f – правило

шифрования, то f(A) = B.

Правила шифрования должны быть выбраны так, чтобы зашифрованное

сообщение можно было расшифровать. Однотипные правила (например, все

шифры типа шифра Цезаря, по которому каждый символ алфавита кодируется

отстоящим от него на k позиций символом) объединяются в классы, и внутри

класса определяется некоторый параметр (числовой, символьный табличный и

т.д.), позволяющий перебирать все правила. Такой параметр называется

шифровальным ключом. Он, как правило, секретный и сообщается лишь тому, кто

должен прочесть зашифрованное сообщение (обладателю ключа).

При кодировании нет такого секретного ключа, так как кодирование ставит

целью лишь более сжатое, компактное представление сообщения.

Если k – ключ, то можно записать f(k(A)) = B. Для каждого ключа k,

преобразование f(k) должно быть обратимым, то есть f(k(B)) = A. Совокупность

преобразования f(k) и соответствия множества k называется шифром.

Имеются две большие группы шифров: шифры перестановки и шифры

замены.

30

Шифр перестановки изменяет только порядок следования символов

исходного сообщения.

Шифр замены заменяет каждый символ кодируемого сообщения на

другой(ие) символ(ы), не изменяя порядок их следования.

Под надежностью понимается способность противостоять взлому шифра.

При дешифровке сообщения может быть известно все, кроме ключа, то есть

надежность шифра определяется секретностью ключа, а также числом его ключей.

Применяется даже открытая криптография, которая использует различные ключи

для шифрования, а сам ключ может быть общедоступным, опубликованным. Число

ключей при этом может достигать сотни триллионов.

Пример. Один из лучших примеров алгоритма шифрования – принятый в

1977 году Национальным бюро стандартов США алгоритм стандарта шифрования

данных DES (Data Encrypted Standard). Исследования алгоритма специалистами

показали, что пока нет уязвимых мест, на основе которых можно было бы

предложить метод криптоанализа, существенно лучший, чем полный перебор

ключей. В июле 1991 года введен в действие аналогичный отечественный

криптоалгоритм (стандарта ГОСТ 28147-89), который превосходит DES по

надежности.

Криптогpафическая система – семейство Х пpеобpазований открытых

текстов. Члены этого семейства индексируются, обозначаются символом k;

паpаметp k является ключом. Множество ключей K – это набор возможных

значений ключа k. Обычно ключ представляет собой последовательный ряд букв

алфавита.

Открытый текст обычно имеет произвольную длину. Если текст большой и

не может быть обработан шифратором (компьютером) целиком, то он разбивается

на блоки фиксированной длины, а каждый блок шифруется отдельно, независимо

от его положения во входной последовательности. Такие криптосистемы

называются системами блочного шифрования.

Криптосистемы разделяются на симметричные с открытым ключом и

системы электронной подписи.

В симметричных криптосистемах, как для шифрования, так и для

дешифрования, используется один и тот же ключ.

В системах с открытым ключом используются два ключа – открытый и

закрытый, которые математически (алгоритмически) связаны друг с другом.

Информация шифруется с помощью открытого ключа, который доступен всем

желающим, а pасшифpовывается лишь с помощью закрытого ключа, который

известен только получателю сообщения.

Электронной (цифровой) подписью (ЭЦП) называется присоединяемое к

тексту его криптографическое преобразование, которое позволяет при получении

текста другим пользователем проверить авторство и подлинность сообщения. К

ЭЦП предъявляются два основных требования: легкость проверки подлинности

подписи и высокая сложность подделки подписи.

Криптография изучает, кроме криптосистем (симметричных, с открытым

ключом, электронной подписи), еще и системы управления ключами.

Системы управления ключами – это информационные системы, целью

которых является составление и распределение ключей между пользователями

информационной системы.

31

Разработка ключевой, парольной информации является типовой задачей

администратора безопасности системы. Ключ может быть сгенерирован как массив

нужного размера статистически независимых и равновероятно распределенных на

двоичном множестве {0, 1} элементов.

Пароли должен генерировать и раздавать пользователям системный

администратор по безопасности, исходя из основного принципа: обеспечения

равной вероятности появления каждого из символов алфавита в пароле.

В процессе шифрования, чтобы ключ был использован полностью,

необходимо многократно выполнять процедуру кодировки с различными

элементами. Базовые циклы заключаются в многократном применении разных

элементов ключа и отличаются друг от друга только числом повторения и

порядком использования ключевых элементов.

Все современные криптосистемы построены по принципу Кирхгоффа:

секретность зашифрованных сообщений определяется секретностью ключа.

Это означает, что если даже алгоритм шифрования будет известен

криптоаналитику, тот, тем не менее, не в состоянии будет расшифровать закрытое

сообщение, если не располагает соответствующим ключом. Все классические

шифры соответствуют этому принципу и спроектированы таким образом, чтобы не

было пути вскрыть их более эффективным способом, чем полный перебор по всему

ключевому пространству, то есть перебор всех возможных значений ключа. Ясно,

что стойкость таких шифров определяется размером используемого в них ключа.

Контрольный тест №7:

1) Электронно-цифровая подпись (ЭЦП) документа формируется на основе

a) самого документа

b) перестановки элементов ключа

c) специального вспомогательного документа

d) сторонних данных

2) Одинаковые ключи для шифрования и дешифрования имеет

____________криптология

a) симметричная

b) асимметричная

c) хеширующая

d) двоичная

Ответы на контрольные тестовые вопросы: Номер теста Ответы

№1 1а, 2с, 3а, 4b, 5а, 6а.

№2 1d, 2c, 3c, 4c, 5d, 6c.

№3 1c, 2d, 3b, 4a, 5c.

№4 1c, 2d, 3a, 4b, 5b, 6c, 7d, 8a, 9b.

№5 1c, 2b, 3a, 4a, 5b, 6d, 7c, 8c, 9a, 10c, 11d.

№6 1b, 2a,b,c, 3d, 4b, 5a, 6с, 7d, 8c, 9b.

№7 1a, 2a.

32

ЛИТЕРАТУРА

1. Государственный стандарт РФ «Защита информации. Порядок создания

автоматизированных систем в защищенном исполнении» (ГОСТ Р 51583-

2000).

2. Информатика / под ред. Н.В.Макаровой. – М., 2000.

3. Информатика: базовый курс / под ред. С.В.Симонович. – СПб., 2001.

4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: учеб. пособие для вузов.

– М.: Академия, 2000.

5. Острейковский В.А. Информатика. – М.: Высшая школа, 2001.

6. www.fepo.ru

7. Савельев А.Я. Основы информатики. – М., 2001.

8. Жмакин А.П. Архитектура ЭВМ. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006.

9. Лапина М. А., Ревин А. Г., Лапин В. И. Информационное право. – М.:

ЮНИТИ-ДАНА: Закон и право, 2004.

10. Доктрина информационной безопасности Российской Федерации" (утв.

Президентом РФ 09.09.2000 N Пр-1895).

11. Национальный стандарт РФ «Информационная технология. Практические

правила управления информационной безопасностью» (ГОСТ Р ИСО/МЭК

17799—2005).

12. Национальный стандарт РФ «Методы и средства обеспечения безопасности.

Часть 1. Концепция и модели менеджмента безопасности информационных и

телекоммуникационных технологий» (ГОСТ Р ИСО/МЭК 13335-1 — 2006).

13. Рекомендации по стандартизации «Информационные технологии. Основные

термины и определения в области технической защиты информации» (Р

50.1.053-2005).