Optimización avanzadaAT-484

Ejercicios de modelado

1. Una compañía que produce bicicletas quiere determinar su plan de producción para los próximos meses. Los pronósticos de ventas (en miles de unidades) para los siguientes meses del año se muestran en la siguiente tabla:

EneFeb

MarAbr

MayJun

JulAgo

SepOct

Nov Dic

30 15 15 25 33 40 45 45 26 14 25 30Tabla 1. Demandas pronosticadas de bicicletas (miles de unidades)

La compañía tiene capacidad para producir hasta 30,000 bicicletas por mes, sin embargo, es posible que pueda aumentar su producción mensual hasta en un 50% utilizando tiempo extra, pero esto incrementa los costos de producción por unidad de $32 a $40.

Actualmente la compañía cuenta con 2,000 bicicletas en el almacén. Los costos de almacenamiento ascienden a $5 por bicicleta almacenada al final del mes. Se puede asumir que la capacidad de almacenamiento es ilimitada. ¿Cuántas bicicletas deben producirse cada mes y cuántas bicicletas deben mantenerse en inventario al final de cada mes para minimizar el costo total, de manera tal que se satisfagan las demandas pronosticadas? Formular el problema.

2. Una nueva oficina postal requiere un número diferente de empleados de tiempo completo en días diferentes de la semana. El número mínimo requerido de empleados de tiempo completo se proporciona en la Tabla 2. De acuerdo con la normativa del sindicato al que están afiliados los empleados de la oficina postal, se establece que cada empleado debe trabajar 5 días consecutivos y después descansar dos días. Por ejemplo, si un empleado trabaja de lunes a viernes, entonces, forzosamente deberá descansar sábado y domingo. La oficina postal desea contratar al menor número posible de empleados que cubran las necesidades de la oficina. Formular el problema.

Día de la semana Número de empleados requeridos1 = lunes 172 = martes 133 = miércoles 154 = jueves 195 = viernes 146 = sábado 167 = domingo 17

Tabla 2. Requerimiento diario de empleados en la oficina postal

3. Una compañía está considerando cuatro proyectos de inversión. El proyecto 1 proporciona un beneficio (valor presente neto) de $16,000; el proyecto 2 proporciona un beneficio de $22,000; el proyecto 3 proporciona un beneficio de $12,000; y el proyecto 4 proporciona un beneficio de $18,000. Todos los proyectos requieren de un cierto flujo de efectivo en el momento presente. El proyecto 1 requiere de un flujo de efectivo de $5,000; el proyecto 2 requiere de un flujo de efectivo de $7,000; el proyecto 3 requiere de un flujo de efectivo de $4,000; y el proyecto 4 requiere de un flujo de efectivo de $3,000. En este momento se dispone únicamente de $14,000 para invertir en los proyectos. Formular el problema para seleccionar los proyectos de inversión que proporcionan el beneficio máximo.

4. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar carga: el compartimiento frontal, el compartimiento central y el compartimiento trasero. Estos compartimientos tienen los siguientes límites con respecto al espacio y el peso de la carga que pueden transportar (ver Tabla 3):

CompartimientoPeso máximo

(toneladas)

Volumen máximo

(metros cúbicos)1 10 68002 16 87003 8 5300

Tabla 3: Características de los compartimentos

Asimismo, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe guardar la misma proporción con respecto a su capacidad máxima (en toneladas), para mantener un balance de carga adecuado.

Se pueden embarcar las siguientes cargas en el siguiente vuelo (ver Tabla 4):

Carga Peso (toneladas) Volumen (metros cúbicos/tonelada) Beneficio ($/tonelada)1 18 480 3102 15 650 3803 23 580 3504 12 390 285

Tabla 4: Características de las cargas

Se puede embarcar cualquier proporción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada una de las cargas debe ser embarcada y cómo deben distribuirse las cargas en los diferentes compartimientos, de manera tal que se maximice el beneficio.

5. Un jugador interviene en un juego que requiere invertir su dinero entre cuatro opciones diferentes. El juego tiene tres resultados posibles. La Tabla 5 proporciona la ganancia o pérdida correspondiente por unidad monetaria depositada en cada una de las cuatro opciones para los tres resultados posibles.

ResultadoGanancia (o pérdida) por dólar invertido en cada opción

1 2 3 41 -3 4 -7 152 5 -3 9 43 3 -9 10 -8

Tabla 5: Ganancias o pérdidas por dólar

Suponga que el jugador cuenta con un total de $500, con los cuales puede jugar únicamente una vez. El resultado de juego no se conoce a priori, y en vista de esta incertidumbre el jugador decide que quiere determinar la asignación que maximice su rendimiento mínimo. Formular el problema para determinar cuánto debe invertir en cada opción. Nota: el rendimiento del jugador puede ser negativo, cero o positivo.

6. En la planeación de la producción mensual de un cierto producto, una compañía puede operar cada mes con dos tipos de turno: 1) turno normal (sin pagar tiempo extra) o 2) turno extendido (pagando tiempo extra), siempre y cuando se decida producir en ese mes. Si en un mes se trabaja con turno normal se incurre en un costo de $100,000 y se pueden producir hasta 5,000 unidades del producto. Por el contrario, si en un mes se trabaja con turno extendido se incurre en un costo de $180,000 en ese mes y es posible producir hasta 7,500 unidades del producto. Notar que para cualquier tipo de turno, ya sea normal o extendido, el costo mensual es fijo y por tanto ese costo es independiente de la cantidad producida. Se estima que si de un mes al siguiente se cambia de turno normal a turno extendido se incurre en un costo adicional de $15,000. Por el contrario, si de un mes al siguiente se cambia de turno extendido a turno normal no se incurre en costo extra alguno. El costo de mantener una unidad del producto en inventario es de $2 por unidad por mes (el costo de mantenimiento de inventario se calcula a partir del inventario final de cada mes) y se cuenta con 3,000 unidades del producto en el almacén. Se sabe también que durante el mes 0 la planta trabajó con el esquema de turno normal. Al final del mes 6 es necesario que se mantengan por lo menos 2,000 unidades del producto en el almacén. La demanda del producto para los próximos 6 meses es la siguiente (ver Tabla 6):

Mes 1 2 3 4 5 6

Demanda6,00

06,500 7,500 7,000 6,000 6,000

Tabla 6. Demanda de productos

De acuerdo a ciertas restricciones del sistema de producción, si se decide producir el artículo en cualquier mes, por lo menos deben de producirse 2,000 unidades. Formular el problema.

7. Un fabricante de juguetes está planeando producir dos nuevos modelos de juguetes. El costo de preparación de las instalaciones productivas y la utilidad por unidad para cada tipo de juguete se proporcionan a continuación (ver Tabla 7):

Modelo Costo de preparación ($)

Utilidad ($)

1 45,000 122 76,000 16

Tabla 7. Costos fijos y utilidades

La compañía cuenta con dos plantas de producción para la producción de los nuevos modelos de juguete. Para prevenir que los costos de preparación de las instalaciones sean duplicados, es posible que se deba utilizar una sola de las plantas para la producción de cada uno de los nuevos modelos de juguete. Las tasas de producción (en unidades/hora) para cada uno de los juguetes en las dos plantas disponibles para su producción son las siguientes (ver Tabla 8):

Modelo 1 Modelo 2Planta

152 38

Planta 2

42 23

Tabla 8. Tasas de producción

El tiempo de producción disponible para la fabricación de los dos nuevos modelos de juguete es de 480 y 720 horas para las plantas 1 y 2, respectivamente. El gerente de producción desea saber qué modelos producir, en qué cantidades y en dónde debe producirlos. Formular el problema para poder contestar a las preguntas anteriores.

8. Una fábrica trabaja 24 horas al día, los siete días de la semana y produce 4 productos diferentes (1, 2, 3 y 4). Puesto que las instalaciones solo permiten producir uno de los artículos a la vez, la fábrica opera un sistema en el que se produce un solo producto cada día y, al siguiente día, se puede producir el mismo producto o producir uno diferente. Las tasas de producción (en unidades por hora) se muestran en la Tabla 9:

Producto 1 2 3 4

Unidades/hora 100 250 190 150

Tabla 9. Unidades por hora

Debido a actividades de cambio de herramental, al cambiar de un producto a otro se pierden horas productivas. En la Tabla 10 se muestran las horas necesarias para cambios de herramental por cambios de un producto a otro:

Del producto

Al producto

1 2 3 4

1 -------- 6 3 4

27

--------

8 5

3 6 3 ------- 4

42 5 3

-------

Tabla 10. Tiempos para cambio de herramental (horas)

Además, en la Tabla 11 se muestran los siguientes datos para la elaboración del plan de producción de la semana entrante:

ProductoCantidad disponible

(unidades)

Unidades de demanda para cada día de la semana

1 2 3 4 5 6 7

1 5000 1500 1700190

01000 2000 500 500

2 7000 4000 500100

03000 500 1000 2000

3 9000 2000 2000300

02000 2000 2000 500

4 8000 3000 2000200

01000 1000 500 500

Tabla 11. Inventario inicial y demandas pronosticadas

No se permiten paros de producción, es decir, cada día se debe fabricar algún producto. Tampoco se permiten faltantes en el inventario. Al final del día 7 se deben tener en inventario al menos 250 unidades de cada producto. Si el costo por mantener inventario (de un día al siguiente) es de $1.50 por unidad para los productos 1 y 2, y de $2.50 por unidad para los productos 3 y 4, formular el problema para determinar el programa de producción de costo mínimo.

9. Una empresa de enlatado de alimentos opera dos plantas de enlatado de conservas. Los productores agrícolas están dispuestos a suministrar frutas frescas en las siguientes cantidades y precios: Productor 1: 210 toneladas a $11.00/tonelada. Productor 2: 310 toneladas a $10.00/tonelada. Productor 3: 420 toneladas a $9.00/tonelada.

Los costos de envío por tonelada se proporcionan en la Tabla 12:

HastaPlanta 1 Planta 2

Des

de

Productor 1

$3.00 $3.50

Productor 2

$2.00 $2.50

Productor 3

$6.00 $4.00

Tabla 12. Costos de transporte desde agricultores hasta plantas

Las capacidades de las plantas y los costos de mano de obra se muestran en la Tabla 13.

Planta 1 Planta 2Capacidad 460 toneladas 560 toneladasCosto de mano de obra $26.00/tonelada $21.00/tonelada

Tabla 13. Capacidades y costos de mano de obra

Las frutas en conserva se venden en $50.00/tonelada a los distribuidores. La compañía puede vender a este precio todo lo que puede producir.

El objetivo es encontrar la mejor mezcla de las cantidades aportadas por los tres productores a las dos plantas, de manera que la empresa maximice sus beneficios.

10. Considerar la producción de latas para envasado que son producidas mediante un proceso de corte de láminas de aluminio. Cada lata se produce utilizando dos tapas y un cuerpo principal (ver figura 1).

Se tienen cuatro patrones diferentes de corte y dos tamaños diferentes de láminas de aluminio como se muestra en la figura 2.

Se dispone además de la siguiente información (ver Tabla 14):

Patrón de corte1 2 3 4

Tipo de lámina de aluminio 1 1 1 2Número de cuerpos principales

1 2 0 4

Número de tapas 7 3 9 4Desperdicio (m2) 0.130 0.112 0.157 0.252Tiempo de corte (min) 1.5 1.7 2 2

Tabla 15. Información de patrones de corte

Cada lata se vende en $2. El costo del desperdicio de material es de $1.50 por m2, se dispone de 2500 horas productivas por semana, y el proveedor de láminas de aluminio puede entregar 300 láminas del tipo 1 y 450 del tipo 2 por semana.

No hay inventario inicial de tapas ni de cuerpos principales. Por cada cuerpo principal no utilizado al final de la semana se incurre en un costo de mantenimiento de inventario de $0.15 Por cada tapa no utilizada al final de la semana se incurre en un costo de mantenimiento de inventario de $0.10. Formular el problema.

11. Una fábrica de productos electrónicos produce un amplificador en una línea de ensamble con cuatro estaciones de trabajo. Cada amplificador se ensambla mediante 12 operaciones que tienen ciertas restricciones de precedencia (es decir, algunas operaciones no se pueden hacer hasta que se hayan hecho todas las operaciones que le preceden). La Tabla 15 indica la duración de cada una de las operaciones de ensamble (en minutos) y la lista de sus predecesores inmediatos. El administrador de la producción desearía distribuir las tareas entre las distintas estaciones de ensamble,

respetando todas las restricciones de precedencia, para que la línea de ensamble esté balanceada y de esta manera el tiempo de ciclo (tiempo que transcurre entre la producción de dos amplificadores sucesivos) sea lo más pequeño posible. Cualquier operación necesita ser asignada a una estación de ensamble. Cualquier estación de ensamble puede hacer una operación a la vez sin interrupción.

Operacion Descripción Duración

Predecesoras

1 Preparar la caja del amplificador 3 –2 Ensamblar circuito impreso con módulo de potencia 6 13 Ensamblar circuito impreso con pre-amplificador 7 14 Ensamblar filtro del amplificador 6 25 Ensamblar circuito “push-pull” 4 26 Conectar el circuito impreso 8 2,37 Ensamblar circuito integrado de pre-amplificador 9 38 Ajustar conexiones 11 69 Ensamblar disipador del circuito “push-pull” 2 4,5,8

10 Ensamblar malla de protección 13 8,1111 Ensamblar protección electroestática 4 712 Poner cubierta 3 9,10

Tabla 16. Operaciones y predecesoras

12. El departamento de una universidad debe hacer la programación de los exámenes finales de los cursos que imparte dicho departamento. Cada examen tiene una duración de dos horas. Se necesita determinar el número de días necesario para la realización de dichos exámenes en los siguientes periodos de tiempo: 8:00 a 10:00, 10:15 a 12:15, 14:00 a 16:00 y 16:15 a 18:15. que dan como resultado cuatro periodos de dos horas por día que deben servir para programar los exámenes de los cursos en distintos salones de clase. Para cada uno de los cursos, se proporciona una lista de los cursos que son incompatibles (ver Tabla 16), es decir, cursos que no pueden se pueden programar al mismo tiempo porque están siendo por cursados por uno o varios estudiantes. Se requiere formular el problema para determinar el número de días mínimo de días necesarios para la realización de los exámenes de los 11 cursos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 - X - - X - X - - X X2 X - - - X - X - - X X3 - - - X X X X - X X X4 - - X - X X X - - X X5 X X X X - X X X X X X6 - - X X X - X - X X X7 X X X X X X - X X X X8 - - - - X - X - - X X9 - - X - X X X - - X X10 X X X X X X X X X - X11 X X X X X X X X X X -

Tabla 16. Incompatibilidades entre cursos