การสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว

Axisymmetric Free Vibration of Fluid-Filled Membrane

วรพนธ เจยมมปรชา1, *

Weeraphan Jiammeepreecha1, * 1 สาขาวชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตรและสถาปตยกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน

ถนนสรนารายณ ต าบลในเมอง อ าเภอเมอง จงหวดนครราชสมา 30000 1 Department of Civil Engineering, Faculty of Engineering and Architecture, Rajamangala University

of Technology Isan, Suranarai Rd., Nai-Muang, Muang, Nakhon Ratchasima, 30000, Thailand *E-mail: weeraphan.ji@rmuti.ac.th, Tel. 091-779-0935, Fax. 044-233-074

บทคดยอ

บทความนน าเสนอการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวรปทรงกลมทมฐานรองรบเปนแบบยดแนนภายใตการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร การค านวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะอาศยหลกการของเรขาคณตเชงอนพนธ การสรางฟงกชนพลงงานของระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดและของเหลวทบรรจจะอาศยหลกการของงานเสมอนในเทอมของคาการเสยรปและใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในการค านวณหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด โดยการจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดดวยชนสวนของคานแบบ 1 มต แบงเปนชนสวนยอยๆ ในระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม ผลการวเคราะหเชงตวเลขจะพบวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายใตเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรและคาแรงดนภายในเรมตนจะใหโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนใกลเคยงกบโครงสรางเปลอกบางแบบไมไดบรรจของเหลวทพจารณาผลของแรงดดจากงานวจยเดม

ABSTRACT Axisymmetric free vibration of fluid-filled clamped membrane under constraint volume is presented in this paper. Differential geometry is introduced in order to compute the membrane geometry. Energy functional of the membrane and internal fluid are derived in terms of displacement from the principle of virtual work. Natural frequencies and mode shapes of the fluid-filled membrane can be obtained using finite element method. The membrane is simulated using one-dimensional beam elements described in spherical polar coordinates. Numerical results indicate that the axisymmetric mode shapes of the fluid-filled membrane under constraint volume condition and initial internal pressure are similar to the empty shell as well as available data in the existing literatures. 1. บทน า

การสนของโครงสรางเปลอกบางรปครงทรงกลม (Spherical Cap) มความส าคญเปนอยางมากในงาน

ทางดานวศวกรรมโครงสรางและวศวกรรมนอกชายฝงทะเล [1-3] เนองจากเปนโครงสรางทมน าหนกเบาและสามารถตานทานแรงกระท าจากภายนอกไดเปนอยางด

โดยเฉพาะอยางยงแรงกระท าจากลม, แผนดนไหว หรอคลนทะเล เปนตน ซงเปนแรงกระท าแบบพลศาสตรทมการ เป ลยนแปลงตามเวลา ดงน นในการออกแบบโครงสรางดงกลาวจงมความจ าเปนทจะตองพจารณาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนของโครงสราง เพอเปนการปองกนความเสยหายทเกดขนอนเนองจากปญหาการสนพอง (Resonance) ซงจะเปนผลท าใหโครงสรางเกดความเสยหายจนไมสามารถใชงานตอไปได ดงนนจงไดเรมมการศกษาเกยวกบการสนของโครงสรางเปลอกบาง โดยเรมตนจากงานวจยของ Kalnins [4] ซงไดท าการศกษาผลของแรงดดทมตอคาการสนแบบอสระตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางรปทรงกลมแบบตน (Shallow Shell) กบแบบลก (Deep Shell) โดยใชฟ งกชนลา เจนเดอ ร (Lagendre Function) ในการวเคราะหปญหา ตอมา Ross [5] ไดเสนอวธการวเคราะหแบบประมาณ (Approximate Analysis) เพอค านวนหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางโดยใชฟงกชนเดยวกน ซงจะพบวามค าตอบใกลเคยงกนกบงานวจยของ Kalnins [4] จากนน Niordson [6] ไดท าการศกษาการสนอสระแบบสมมาตรและแบบไมสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเป ลอกบาง รปทรงกลมโดยใชสมการ เ ชงอนพนธ (Differential Equation) ทถกเขยนใหมในรปแบบคงทไมเปลยนแปลง (Invariant Form) พรอมดวยเงอนไขขอบเขตแบบจลนศาสตรและแบบสถตศาสตร นอกจากน Artioli และ Viola [7] ไดท าการวเคราะหการสนอสระของโครงสรางเปลอกบางภายใตการแปรเปลยนเงอนไขของฐานรอง รบและมม ทรอง รบ สวนโคงส าห รบโครงสรางเปลอกบางโดยวธ Generalized Differential

Quadrature (G.Q.D.) และเป รยบ เ ทยบค าตอบกบงานวจยของ Singh และ Mirza [8] ส าหรบการสนในโหมด ท ไ มสมม าตรต ามแนวแกน (Asymmetric

Modes) จะพบวาใหผลลพธใกลเคยงกนและยงสอดคลองกบผลจากการวเคราะหในงานวจยของ Lee [9] ทได

ท าการศกษารปแบบการสนของโครงสรางเปลอกบางโดยใชวธ Pseudospectral

จากงานวจยดงกลาวขางตน จะพบวางานวจยสวนมากจะท าการศกษาเฉพาะคาการสนของโครงสรางเปลอกบางทรวมผลของพลงงานความเครยดเนองจากแรงดดและแรงดงโดยใชทฤษฎเชลล (Shell Theory) เทานน แตส าหรบในกรณของโครงสรางเปลอกบางทมความหนานอยมากเมอเทยบกบความยาวรศมของโครงสรางทมคาพลงงานความเครยดทเกดจากแรงดดจงมคานอยมากสามารถใชทฤษฎเมมเบรน (Membrane Theory) ในการวเคราะหปญหาแทนได โดยจะคดเฉพาะพลงงานความเครยดจากแรงดงเทานน โดยทโครงสรางลกษณะดงกลาวนจะเรยกวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด สามารถพบไดจากงานวจยของ Phadke และ Cheung

[10], Wang และคณะ [11], และ Jiammeepreecha

และคณะ [12, 13] ซงโครงสรางดงกลาวมการศกษาเรองการสนนอยมาก

ส าหรบวตถประสงคของงานวจยในครงนคอเพอศกษาพฤตกรรมการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดรปครงทรงกลมทบรรจของเหลวภายใตเ งอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร และเนองจากเปนการพจารณาเฉพาะการสนแบบสมมาตรตามแนวแกน ดงน น เสนโคง เมอร ร เ ดยน (Meridional Curve) จงถกน ามาใชเปนเสนโคงของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดเพอท าการศกษา ซงลกษณะปญหาดงกลาวจะสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน (Variational Form) โดยใชทฤษฎของเมมเบรน [14] การหาผลลพธเชงตวเลขส าหรบคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนสามารถค านวณไดโดยใชหลกการของงานเสมอน [15] และวธไฟไนตเอลเมนต [16] 2. แบบจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

สมมตฐานทใชในการวเคราะหการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

66

8536678 วารสารวศวกรรมศาสตร

ม ห า ว ท ย า ล ย เ ช ย ง ใ ห ม

Received 19 August 2016 Accepted 20 December 2016

การสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว

Axisymmetric Free Vibration of Fluid-Filled Membrane

วรพนธ เจยมมปรชา1, *

Weeraphan Jiammeepreecha1, * 1 สาขาวชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตรและสถาปตยกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน

ถนนสรนารายณ ต าบลในเมอง อ าเภอเมอง จงหวดนครราชสมา 30000 1 Department of Civil Engineering, Faculty of Engineering and Architecture, Rajamangala University

of Technology Isan, Suranarai Rd., Nai-Muang, Muang, Nakhon Ratchasima, 30000, Thailand *E-mail: weeraphan.ji@rmuti.ac.th, Tel. 091-779-0935, Fax. 044-233-074

บทคดยอ

บทความนน าเสนอการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวรปทรงกลมทมฐานรองรบเปนแบบยดแนนภายใตการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร การค านวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะอาศยหลกการของเรขาคณตเชงอนพนธ การสรางฟงกชนพลงงานของระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดและของเหลวทบรรจจะอาศยหลกการของงานเสมอนในเทอมของคาการเสยรปและใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในการค านวณหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด โดยการจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดดวยชนสวนของคานแบบ 1 มต แบงเปนชนสวนยอยๆ ในระบบพกดเชงขวแบบทรงกลม ผลการวเคราะหเชงตวเลขจะพบวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายใตเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรและคาแรงดนภายในเรมตนจะใหโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนใกลเคยงกบโครงสรางเปลอกบางแบบไมไดบรรจของเหลวทพจารณาผลของแรงดดจากงานวจยเดม

ABSTRACT Axisymmetric free vibration of fluid-filled clamped membrane under constraint volume is presented in this paper. Differential geometry is introduced in order to compute the membrane geometry. Energy functional of the membrane and internal fluid are derived in terms of displacement from the principle of virtual work. Natural frequencies and mode shapes of the fluid-filled membrane can be obtained using finite element method. The membrane is simulated using one-dimensional beam elements described in spherical polar coordinates. Numerical results indicate that the axisymmetric mode shapes of the fluid-filled membrane under constraint volume condition and initial internal pressure are similar to the empty shell as well as available data in the existing literatures. 1. บทน า

การสนของโครงสรางเปลอกบางรปครงทรงกลม (Spherical Cap) มความส าคญเปนอยางมากในงาน

ทางดานวศวกรรมโครงสรางและวศวกรรมนอกชายฝงทะเล [1-3] เนองจากเปนโครงสรางทมน าหนกเบาและสามารถตานทานแรงกระท าจากภายนอกไดเปนอยางด

โดยเฉพาะอยางยงแรงกระท าจากลม, แผนดนไหว หรอคลนทะเล เปนตน ซงเปนแรงกระท าแบบพลศาสตรทมการ เป ลยนแปลงตามเวลา ดงน นในการออกแบบโครงสรางดงกลาวจงมความจ าเปนทจะตองพจารณาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนของโครงสราง เพอเปนการปองกนความเสยหายทเกดขนอนเนองจากปญหาการสนพอง (Resonance) ซงจะเปนผลท าใหโครงสรางเกดความเสยหายจนไมสามารถใชงานตอไปได ดงนนจงไดเรมมการศกษาเกยวกบการสนของโครงสรางเปลอกบาง โดยเรมตนจากงานวจยของ Kalnins [4] ซงไดท าการศกษาผลของแรงดดทมตอคาการสนแบบอสระตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางรปทรงกลมแบบตน (Shallow Shell) กบแบบลก (Deep Shell) โดยใชฟ งกชนลา เจนเดอ ร (Lagendre Function) ในการวเคราะหปญหา ตอมา Ross [5] ไดเสนอวธการวเคราะหแบบประมาณ (Approximate Analysis) เพอค านวนหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางโดยใชฟงกชนเดยวกน ซงจะพบวามค าตอบใกลเคยงกนกบงานวจยของ Kalnins [4] จากนน Niordson [6] ไดท าการศกษาการสนอสระแบบสมมาตรและแบบไมสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเป ลอกบาง รปทรงกลมโดยใชสมการ เ ชงอนพนธ (Differential Equation) ทถกเขยนใหมในรปแบบคงทไมเปลยนแปลง (Invariant Form) พรอมดวยเงอนไขขอบเขตแบบจลนศาสตรและแบบสถตศาสตร นอกจากน Artioli และ Viola [7] ไดท าการวเคราะหการสนอสระของโครงสรางเปลอกบางภายใตการแปรเปลยนเงอนไขของฐานรอง รบและมม ทรอง รบ สวนโคงส าห รบโครงสรางเปลอกบางโดยวธ Generalized Differential

Quadrature (G.Q.D.) และเป รยบ เ ทยบค าตอบกบงานวจยของ Singh และ Mirza [8] ส าหรบการสนในโหมด ท ไ มสมม าตรต ามแนวแกน (Asymmetric

Modes) จะพบวาใหผลลพธใกลเคยงกนและยงสอดคลองกบผลจากการวเคราะหในงานวจยของ Lee [9] ทได

ท าการศกษารปแบบการสนของโครงสรางเปลอกบางโดยใชวธ Pseudospectral

จากงานวจยดงกลาวขางตน จะพบวางานวจยสวนมากจะท าการศกษาเฉพาะคาการสนของโครงสรางเปลอกบางทรวมผลของพลงงานความเครยดเนองจากแรงดดและแรงดงโดยใชทฤษฎเชลล (Shell Theory) เทานน แตส าหรบในกรณของโครงสรางเปลอกบางทมความหนานอยมากเมอเทยบกบความยาวรศมของโครงสรางทมคาพลงงานความเครยดทเกดจากแรงดดจงมคานอยมากสามารถใชทฤษฎเมมเบรน (Membrane Theory) ในการวเคราะหปญหาแทนได โดยจะคดเฉพาะพลงงานความเครยดจากแรงดงเทานน โดยทโครงสรางลกษณะดงกลาวนจะเรยกวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด สามารถพบไดจากงานวจยของ Phadke และ Cheung

[10], Wang และคณะ [11], และ Jiammeepreecha

และคณะ [12, 13] ซงโครงสรางดงกลาวมการศกษาเรองการสนนอยมาก

ส าหรบวตถประสงคของงานวจยในครงนคอเพอศกษาพฤตกรรมการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดรปครงทรงกลมทบรรจของเหลวภายใตเ งอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร และเนองจากเปนการพจารณาเฉพาะการสนแบบสมมาตรตามแนวแกน ดงน น เสนโคง เมอร ร เ ดยน (Meridional Curve) จงถกน ามาใชเปนเสนโคงของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดเพอท าการศกษา ซงลกษณะปญหาดงกลาวจะสามารถเขยนไดในรปแบบการแปรผน (Variational Form) โดยใชทฤษฎของเมมเบรน [14] การหาผลลพธเชงตวเลขส าหรบคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนสามารถค านวณไดโดยใชหลกการของงานเสมอน [15] และวธไฟไนตเอลเมนต [16] 2. แบบจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

สมมตฐานทใชในการวเคราะหการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

66 67

853

ในการศกษาครงนคอวสดของโครงสรางมคณสมบตยดหยนแบบเชงเสน, ความหนาของโครงสรางมคาคงทไมมการเปลยนแปลงทงกอนและหลงการเสยรป และเงอนไขของฐานรองรบจะเปนแบบยดหมนและยดแนนอยางสมบรณ ถาพจารณาสภาวะพนผวของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทง 3 สภาวะดงแสดงในรปท 1

รปท 1 เวคเตอรระบต าแหนงของโครงสรางเปลอกบาง ไรแรงดด

จากรปจะเหนไดวา ทสภาวะเ รมตนจะเปนสภาวะทโครงส รางไ มไดบรร จของ เหลวและปราศจากค าความ เค รยด ( Initial Unstrained State) หรอ IUS

จากนนเมอโครงสรางถกบรรจของเหลวและคาแรงดนภายในเกดขนเนองจากของเหลวเปนคาคงทเทากนตลอดความยาวเสนเมอรรเดยนโดยไมมการเปลยนแปลงตามความลกจะเรยกวาสภาวะดงกลาววา สภาวะอางอง (Reference State) หรอ ES1 ซงจะสามารถค านวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสรางไดทสภาวะน แตเนองจากคาความเครยดเรมตนและระยะการเสยรปทสภาวะนมคานอย จงใชวธการวเคราะหโครงสรางเปลอกบางแบบด ง เ ดม (Traditional Shell Analysis) [17] ในการ

ค านวณ ส าหรบสภาวะสดทายคอสภาวะการเสยรป (Deformed State) หรอ ES2 ของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวภายใตแรงกระท าจากภายนอก

2.1 รปทรงเรขาคณตของโครงสรางเปลอกบาง พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

(ES1) ดงแสดงในรปท 2 ซงจะนยามไดดวยสมการ

( , )X X , ( , )Y Y และ ( , )Z Z โดยท และ คอค าพาราม เตอรของพ นผว (Surface

Parameters) ทว ดตามแนวเสนพกดเมอรร เดยนและลองจจด ตามล าดบ

รปท 2 พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด ส าหรบกรณทพนผวมความสมมาตรตามแนวแกนจะเกดการเปลยนแปลงเฉพาะเสนเมอรรเดยนเทานน ดงนนจงก าหนดให ( , )r r เปนเวคเตอรระบต าแหนงบนพนผวอางองทจด P ซงจะสามารถนยามไดดวยสมการ ˆˆ ˆcos sinr r i r j z k (1) เมอ ( )r r และ ( )z z ถาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดเกดการเสยรปจะท าใหพนผวอางองเคลอนทไปยงต าแหนงใหมทเวลา t ใดๆ ดงแสดงในรปท 1 ดงนนเวคเตอรระบต าแหนง ( , , )R R t บนพนผวทเกดการเสยรป (ES2) โดยอางองจากต าแหนงของเวคเตอร

Z

Deformedstate (ES2)

Referencestate (ES1)

Initial unstrainedstate (IUS)

Y

X

rE

rG

ds

n

*n*ds

0ds0r

r0q

R

q

Parallelcircle

Axis of symmetry

Longitudinaldirection

Reference surface(ES1)

Meridional direction

Z

Y

X

nr

r

r

dr r d r d

P

r

ij

k

ri

ว. เจยมมปรชา

68

ในการศกษาครงนคอวสดของโครงสรางมคณสมบตยดหยนแบบเชงเสน, ความหนาของโครงสรางมคาคงทไมมการเปลยนแปลงทงกอนและหลงการเสยรป และเงอนไขของฐานรองรบจะเปนแบบยดหมนและยดแนนอยางสมบรณ ถาพจารณาสภาวะพนผวของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทง 3 สภาวะดงแสดงในรปท 1

รปท 1 เวคเตอรระบต าแหนงของโครงสรางเปลอกบาง ไรแรงดด

จากรปจะเหนไดวา ทสภาวะเ รมตนจะเปนสภาวะทโครงส รางไ มไดบรร จของ เหลวและปราศจากค าความ เค รยด ( Initial Unstrained State) หรอ IUS

จากนนเมอโครงสรางถกบรรจของเหลวและคาแรงดนภายในเกดขนเนองจากของเหลวเปนคาคงทเทากนตลอดความยาวเสนเมอรรเดยนโดยไมมการเปลยนแปลงตามความลกจะเรยกวาสภาวะดงกลาววา สภาวะอางอง (Reference State) หรอ ES1 ซงจะสามารถค านวณหารปทรงเรขาคณตของโครงสรางไดทสภาวะน แตเนองจากคาความเครยดเรมตนและระยะการเสยรปทสภาวะนมคานอย จงใชวธการวเคราะหโครงสรางเปลอกบางแบบด ง เ ดม (Traditional Shell Analysis) [17] ในการ

ค านวณ ส าหรบสภาวะสดทายคอสภาวะการเสยรป (Deformed State) หรอ ES2 ของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวภายใตแรงกระท าจากภายนอก

2.1 รปทรงเรขาคณตของโครงสรางเปลอกบาง พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

(ES1) ดงแสดงในรปท 2 ซงจะนยามไดดวยสมการ

( , )X X , ( , )Y Y และ ( , )Z Z โดยท และ คอค าพาราม เตอรของพ นผว (Surface

Parameters) ทว ดตามแนวเสนพกดเมอรร เดยนและลองจจด ตามล าดบ

รปท 2 พนผวอางองของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด ส าหรบกรณทพนผวมความสมมาตรตามแนวแกนจะเกดการเปลยนแปลงเฉพาะเสนเมอรรเดยนเทานน ดงนนจงก าหนดให ( , )r r เปนเวคเตอรระบต าแหนงบนพนผวอางองทจด P ซงจะสามารถนยามไดดวยสมการ ˆˆ ˆcos sinr r i r j z k (1) เมอ ( )r r และ ( )z z ถาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดเกดการเสยรปจะท าใหพนผวอางองเคลอนทไปยงต าแหนงใหมทเวลา t ใดๆ ดงแสดงในรปท 1 ดงนนเวคเตอรระบต าแหนง ( , , )R R t บนพนผวทเกดการเสยรป (ES2) โดยอางองจากต าแหนงของเวคเตอร

Z

Deformedstate (ES2)

Referencestate (ES1)

Initial unstrainedstate (IUS)

Y

X

rE

rG

ds

n

*n*ds

0ds0r

r0q

R

q

Parallelcircle

Axis of symmetry

Longitudinaldirection

Reference surface(ES1)

Meridional direction

Z

Y

X

nr

r

r

dr r d r d

P

r

ij

k

ri

ระบต าแหนง ( , )r r บนพนผวทอางองทต าแหนงเดยวกนคอ ( , , ) ( , ) ( , , )R t tr q (2) เมอ ( , , )q q t คอเวคเตอรของการเคลอนทซงขน กบเวลา t ใดๆ จะมคาดงสมการตอไปน

ˆ( , , )rrq t

E Gu v nw (3)

เมอ u , v และ w คอคาการเสยรปตามแนวเสนเมอรรเดยน, แนวเสนลองจจดและแนวตงฉากกบเสนเมอรรเดยน ตามล าดบ แตเนองจากเปนปญหาของการวเคราะหแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด ดงนนเทอมของ ( / )r vG ในสมการท (3) จะมคาเปนศนย ส าหรบตวหอย และ จะแสดงถงอนพนธยอยตามแนวระบบพกดของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

จากหลกการเรขาคณตเชงอนพนธ (Differential

Geometry) จะสามารถค านวณหาคาความยาวสวนโคงของพนผวอางอง (ES1) และความยาวสวนโคงของพนผวการเสยรป (ES2) ไดดงสมการตอไปน

2 2 22ds dr dr Ed Fd d Gd (4)

2 * 2 * * 22ds dR dR E d F d d G d (5) โดยท dr r d r d และ dR R d R d คอผลรวมเชงอนพนธของความยาวชนสวน ( , )r r

และ ( , , )R R t ตามล าดบ ส าหรบคาเมตรกซเทนเซอร (Metric Tensor) ของพนผวอางอง (ES1) และพนผวการเสยรป (ES2) ดงแสดงในสมการท (4) และ (5)

ตามล าดบ จะสามารถค านวณหาไดดงน E r r F r r G r r (6)

* * *E R R F R R G R R (7)

จากรปท 2 ก าหนดให n เปนเวคเตอรหนงหนวยในแนวตงฉากกบพนผวอางอง (ES1) ซงสามารถหาไดดงน

ˆˆ ˆcosˆ sinr r rZ i rZ j rr kn

Dr r

(8)

โดยท 2 2 2D r r EG F r r Z จากหลกการเรขาคณตเชงอนพนธจะไดคาเมตรกซความโคง (Metric Curvature) ของพนผวอางอง (ES1) ดงน

ˆ ˆ ˆr n r gnf re n (9)

ดงน นคาความโคงหลก (Principal Curvatures) ของพนผวอางอง (ES1) จะสามารถหาไดจากสมการ

2 2

2 2

22

ed fd d gdEd Fd d Gd

(10)

ในกรณของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมความสมมาตรตามแนวแกนจะพบวาเสนโคงหลกจะซอนทบกบเสนพกด แสดงวาคา 0F f ดงน นจากสมการท (10) จะไดคาความโคงหลกดงนคอ 1 /e E และ

2 / Gg ส าหรบคาความเรวและความเรงของโครงสราง

เปลอกบางไรแรงดดจะสามารถหาไดโดยการอนพนธสมการท (2) เทยบกบเวลาดงสมการตอไปน

ˆ( , , )rrV R t

Eu v nw

G (11)

ˆ( , , )rra R t

Eu v nw

G (12)

โดยท ตวยก (·) จะแสดงถงอนพนธยอยเทยบกบเวลา t

2.2 ความสมพนธระหวางความเครยดกบการเสยรป เ มอพจารณาความยาวชนสวนใดๆ บนพนผวท

สภาวะเรมตน (IUS) และทสภาวะการเสยรป (ES2) จะมระยะ 0ds และ *ds ตามล าดบ ดงน นความสมพนธ

68 69

853

ระหวางความ เค รยดกบการ เ ส ย รปตามนยามของความเครยดแบบโททอลลากรองจ (Total Lagrange

Strains) จะสามารถเขยนไดดงสมการตอไปน

2 2

0 2 20 0

L ds dsds ds

(13)

เมอ 0 และ คอคาความเครยดเรมตนแบบออยเลอร (Initial Eulerian Strains) และคาความเครยดทเพมขน (Added Strains) ตามล าดบ ส าหรบกรณของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมความสมมาตรตามแนวแกนจะปราศจากคาความเครยดเฉอน (Shearing Strains) ดงนนจากสมการท (13) จะสามารถเขยนคาความเครยดแบบ

โททอลลากรองจไดในเทอมของเมตรกซเทนเซอรดงน

*

00

1 12

L E TE

(14)

*

00

1 12

L G TG

(15)

เ มอ 0E และ 0G คอค า เมตรกซ เทนเซอร (Metric

Tensor) ของพนผวทสภาวะเรมตน (IUS) โดยท 0 0F

เนองจากเปนโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดแบบสมมาตร ดงนนจะไดวา 0 0 0 0 01 2 1 2D E G D (16)

จากสมการท (14) และ (15) จะสามารถเขยนไดในรปแบบเมตรกซดงน 0

L T (17)

โดยท *

00

1 11 12 2

E EE E

(18)

*

00

1 11 12 2

G GG G

(19)

และ [T] คอเมตรกซในแนวทะแยงระหวางชนสวนกบวส ด (Diagonal Material-Element Matrix) ซ งจะสามารถเขยนไดดงน

0

0T

TT

(20)

โดยท 0 0

11 2

ETE

(21)

0 0

11 2

GTG

(22)

ก าหนดให A E และ B G ดงน นถาแทนสมการท (7) ลงในสมการท (18) และ (19) จะเขยนคาความเครยดทเพมขนในเทอมของการเสยรปไดดงน

11 eu w L gA E (23)

2B gu w L g

GD

(24)

โดยท u w ug w (25) 1 0 / 1/A 0L e E (26) 2 / / 0 0L D g GB (27) 2.3 พลงงานความเครยดของระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

พลงงานความเครยดส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมคณสมบตยดหยนแบบเชงเสนทวไป จะสามารถแสดงไดดงสมการ

2

1

2

00

1 2

TL LU C t D d d

(28)

โดยท 2

111

EC

(29)

เมอ C คอเมตรกซคณสมบตของวสดโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด, h คอความหนาของโครงสราง, E คอโมดลสยดหยน และ v คออตราสวนปวสซอง ถาแทนคาสมการท (16) และ (17) ลงในสมการท (28) จะไดวา

2

10 0

1 2

T TU C d

(30)

โดยท 02 TC T C T h D (31) จากสมการท (30) จะสามารถจดรปแบบใหมไดในรปแบบทเหมาะสม [18] ดงสมการ

2

1

1 2

TU g c k g d

(32)

โดยท

01

2 0

TL

c CL

(33)

2 2

1 1

T

ij i ji j

k C L L

(34)

จากสมการท (34) จะพบวาเมตรกซ k เปนเมตรกซสมมาตร ดงนนการแปรผนของพลงงานความเครยด U สามารถค านวณไดจากสมการ

2

1

TU g c k g d

(35)

2.4 พลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจ

ก าหนดใหคาแรงดนภายในทสภาวะอางอง (ES1) มคาเปนสดสวนโดยตรงกบคาความเครยดโดยปรมาตรดงน

00 0

0

W

W

Vp kV

(36)

เ มอ 0k คอโมดลสเชงปรมาตรของของเหลว (Bulk

Modulus), OWV คอปรมาตรของของเหลวทสภาวะเรมตนปราศจากคาความเครยด (IUS), OWV คอการเปลยนการเปลยนแปลงปรมาตรของของเหลวภายในทบรรจจากสภาวะเรมตน (IUS) ไปยงสภาวะอางอง (ES1)

ดงน นคาพลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจจะสามารถแสดงไดดงสมการ

2

00 0

0

12

WW

W

V Vk VV

(37)

เ มอ V คอการเป ลยนแปลงปรมาตรภายในของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดกบปรมาตรของเหลวภายในทบรรจจากสภาวะอางอง (ES1) ไปยงสภาวะการเสยรป (ES2) ซงจะมคาดงสมการ

2

1

2

0

13

V R R R r r r d d

(38)

แทนคาสมการท (1) และ (2) ลงในสมการท (38) จากนนจดรปใหมจะไดคาการแปรผนของการเปลยนแปลงปรมาตรของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดกบปรมาตรของของเหลวภายในทบรรจ V ดงน

2

1

TV g v d

(39)

เ ม อ 1 2 3 4v v v vv ค อ เ วค เตอ รของการเปลยนแปลงปรมาตรมคาดงสมการตอไปน

1 2

2 ( ( )3

ˆ) Bev B r n r rA

(40)

22 ˆ ˆ( ) (3

)Ag Bev r n r n ABB A

(41)

3 (3

2 ˆ)v B r n (42)

4 (3

2 )Bv r rA

(43)

เมอแทนคาสมการท (36) ลงในสมการท (37) จากนนจะไดคาการแปรผนของพลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจ ดงสมการตอไปน

0p V (44)

ว. เจยมมปรชา

70

ระหวางความ เค รยดกบการ เ ส ย รปตามนยามของความเครยดแบบโททอลลากรองจ (Total Lagrange

Strains) จะสามารถเขยนไดดงสมการตอไปน

2 2

0 2 20 0

L ds dsds ds

(13)

เมอ 0 และ คอคาความเครยดเรมตนแบบออยเลอร (Initial Eulerian Strains) และคาความเครยดทเพมขน (Added Strains) ตามล าดบ ส าหรบกรณของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมความสมมาตรตามแนวแกนจะปราศจากคาความเครยดเฉอน (Shearing Strains) ดงนนจากสมการท (13) จะสามารถเขยนคาความเครยดแบบ

โททอลลากรองจไดในเทอมของเมตรกซเทนเซอรดงน

*

00

1 12

L E TE

(14)

*

00

1 12

L G TG

(15)

เ มอ 0E และ 0G คอค า เมตรกซ เทนเซอร (Metric

Tensor) ของพนผวทสภาวะเรมตน (IUS) โดยท 0 0F

เนองจากเปนโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดแบบสมมาตร ดงนนจะไดวา 0 0 0 0 01 2 1 2D E G D (16)

จากสมการท (14) และ (15) จะสามารถเขยนไดในรปแบบเมตรกซดงน 0

L T (17)

โดยท *

00

1 11 12 2

E EE E

(18)

*

00

1 11 12 2

G GG G

(19)

และ [T] คอเมตรกซในแนวทะแยงระหวางชนสวนกบวส ด (Diagonal Material-Element Matrix) ซ งจะสามารถเขยนไดดงน

0

0T

TT

(20)

โดยท 0 0

11 2

ETE

(21)

0 0

11 2

GTG

(22)

ก าหนดให A E และ B G ดงน นถาแทนสมการท (7) ลงในสมการท (18) และ (19) จะเขยนคาความเครยดทเพมขนในเทอมของการเสยรปไดดงน

11 eu w L gA E (23)

2B gu w L g

GD

(24)

โดยท u w ug w (25) 1 0 / 1/A 0L e E (26) 2 / / 0 0L D g GB (27) 2.3 พลงงานความเครยดของระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

พลงงานความเครยดส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมคณสมบตยดหยนแบบเชงเสนทวไป จะสามารถแสดงไดดงสมการ

2

1

2

00

1 2

TL LU C t D d d

(28)

โดยท 2

111

EC

(29)

เมอ C คอเมตรกซคณสมบตของวสดโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด, h คอความหนาของโครงสราง, E คอโมดลสยดหยน และ v คออตราสวนปวสซอง ถาแทนคาสมการท (16) และ (17) ลงในสมการท (28) จะไดวา

2

10 0

1 2

T TU C d

(30)

โดยท 02 TC T C T h D (31) จากสมการ ท (30) จะสามารถจดรปแบบใหมไดในรปแบบทเหมาะสม [18] ดงสมการ

2

1

1 2

TU g c k g d

(32)

โดยท

01

2 0

TL

c CL

(33)

2 2

1 1

T

ij i ji j

k C L L

(34)

จากสมการท (34) จะพบวาเมตรกซ k เปนเมตรกซสมมาตร ดงนนการแปรผนของพลงงานความเครยด U สามารถค านวณไดจากสมการ

2

1

TU g c k g d

(35)

2.4 พลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจ

ก าหนดใหคาแรงดนภายในทสภาวะอางอง (ES1) มคาเปนสดสวนโดยตรงกบคาความเครยดโดยปรมาตรดงน

00 0

0

W

W

Vp kV

(36)

เ มอ 0k คอโมดลสเชงปรมาตรของของเหลว (Bulk

Modulus), OWV คอปรมาตรของของเหลวทสภาวะเรมตนปราศจากคาความเครยด (IUS), OWV คอการเปลยนการเปลยนแปลงปรมาตรของของเหลวภายในทบรรจจากสภาวะเรมตน (IUS) ไปยงสภาวะอางอง (ES1)

ดงน นคาพลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจจะสามารถแสดงไดดงสมการ

2

00 0

0

12

WW

W

V Vk VV

(37)

เ มอ V คอการเป ลยนแปลงปรมาตรภายในของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดกบปรมาตรของเหลวภายในทบรรจจากสภาวะอางอง (ES1) ไปยงสภาวะการเสยรป (ES2) ซงจะมคาดงสมการ

2

1

2

0

13

V R R R r r r d d

(38)

แทนคาสมการท (1) และ (2) ลงในสมการท (38) จากนนจดรปใหมจะไดคาการแปรผนของการเปลยนแปลงปรมาตรของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดกบปรมาตรของของเหลวภายในทบรรจ V ดงน

2

1

TV g v d

(39)

เ ม อ 1 2 3 4v v v vv ค อ เ วค เตอ รของการเปลยนแปลงปรมาตรมคาดงสมการตอไปน

1 2

2 ( ( )3

ˆ) Bev B r n r rA

(40)

22 ˆ ˆ( ) (3

)Ag Bev r n r n ABB A

(41)

3 (3

2 ˆ)v B r n (42)

4 (3

2 )Bv r rA

(43)

เมอแทนคาสมการท (36) ลงในสมการท (37) จากนนจะไดคาการแปรผนของพลงงานความเครยดของของเหลวทบรรจ ดงสมการตอไปน

0p V (44)

70 71

853

โดยท 0 0/ Wk V V คอคาการปรบเปลยนแรงดนภายในจากสภาวะอางอง (ES1) ไปยงสภาวะการเสยรป (ES2) จากความสมพนธของค า 0p และ จะไดเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรดงสมการตอไปน

0 0

0VVk p

(45)

2.5 งานเสมอนเนองจากแรงเฉอยของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

งานเสมอนเนองจากแรงเฉอยของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะสามารถค านวณไดจากสมการ

2

1

2 { } { }s sI uu ww h Dd

(46)

เมอ s คอความหนาแนนของวสดโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด, u และ w คอองคประกอบส าหรบเวคเตอรความเรงของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด 2.6 ผลรวมของงานเสมอน

ผลรวมของงานเสมอนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายในจะสามารถแสดงไดดงสมการ

U I (47) ดงน นเมอแทนคาสมการท (35), (39), (44) และ (46)

ลงในสมการท (47) จะไดวา

2

10 Tg c p v k g d

2

1

2 { } { }s swuu w Ddh

(48)

จากสมการท (47) จะไดวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวจะสมดลทสภาวะอางอง (ES1) นนคอ และ g มคาเปนศนย ดงนนจะไดวา

2

10 0Tg c p v d

(49)

เงอนไขดงกลาวขางตนจะตองเปนจรงและใชในการหาคาความเครยดเรมตน ( 0 )

3. วธไฟไนตเอลเมนต

การใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในการแกปญหาการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะสามารถท าไดโดยการแบงโครงสรางออกเปนชนสวนยอยตามแนวพกด ดงแสดงในรปท 3

รปท 3 ชนสวนทวไปและระยะพกด

ดงน นเ มอพจารณาชนสวนใดๆ จะไดวาคาการประมาณการเคลอนท ณ จดตาง ๆ บนชนสวนยอยสามารถท าไดโดยการก าหนดใหแตละจดขวของชนสวนยอยมดกรอสระเทากบ 4 และใชฟงกชนโพลโนเมยลอนดบทสาม (Cubic Polynomial) เปนฟงกชนการเคลอนทเพอหาฟงกชนรปราง (Shape Functions) และประมาณคาการเสยรปในแนวสมผสและแนวตงฉากกบเสนเมอรรเดยน u และ w ตามล าดบ ดงสมการตอไปน { } [ ]{ }g d (50) เ มอ { }g คอเวคเตอรการเคลอนทท จดตอ , [ ] คอเมตรกซฟงกชนรปรางโพลโนเมยลอนดบทสาม และ { }d คอเวคเตอรของดกรอสระทจดตอ ซงสามารถเขยนไดดงน ( ) ( ) ( ) ( )Tg u w u w (51)

k

ri

1

2

u

w

Axis of Symmetry

(0) (0) (0) (0) |d u w u w

| ( ) ( ) ( ) ( ) Tu w u w (52)

1 2

1 2

1, 2,

1, 2,

0 0 |0 0 |

0 0 |0 0 |

N NN N

N NN N

3 4

3 4

3, 4,

3, 4,

| 0 0| 0 0| 0 0| 0 0

N NN N

N NN N

(53)

ดงนนเมอแทนคาสมการท (50) ลงในสมการท (48) จะไดดงน

2

10 TTd c p v d

2

1

TTd k d d

2

1

2 T Tu s uu h Dd

2

1

2 T Tw s ww h Dd

(54)

จากหลกการของงานเสมอน [15] จะสามารถเขยนสมการการเคลอนของโครงสรางเปลอกบางไดจากสมการท (54) ดงน k fdm d (55) เมอ m คอเมตรกซมวลของชนสวนยอย (Element

Mass Matrix), k ค อ เ มต ร ก ซส ตฟ เนสของ ชนส ว น ย อ ย ( Element Stiffness Matrix), f ค อเวคเตอรของแรง (Force Vector), d คอเวคเตอรการเ ค ล อ น ท ( Displacement Vector) แ ล ะ d ค อ

เวค เตอรความเรง (Acceleration Vector) ซงจะมคาดงน

2

1

2 Tu s um h Dd

2

1

2 Tw s w h Dd

(56)

2

1

Tk k d d

(57)

2

10 Tf c p v d

(58)

เ น อ งจ าก ด ก ร อส ระ เฉพาะ ท (Local Degree of

Freedom) d จะเหมอนกบดกรอสระรวม (Global

Degree of Freedom) D ดงน นผลรวมของงานเสมอนส าหรบระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดสามารถรวมไดโดยตรงโดยใชสมการท (54) ซงจะเขยนไดดงน K FM D D (59)

จากสมการท (45) จะไดสมการเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร ดงน

T

0 0

V VD 0k p

(60)

จากสมการท (55) และ (56) จะสามารถเขยนรวมไดในรปเมตรกซสมมาตรดงน M D Κ D F (61) โดยท

T

M | 0

0 | 0

M (62)

0T

0

K | V

V | V / k p

K (63)

0p V C

0

F (64)

ว. เจยมมปรชา

72

โดยท 0 0/ Wk V V คอคาการปรบเปลยนแรงดนภายในจากสภาวะอางอง (ES1) ไปยงสภาวะการเสยรป (ES2) จากความสมพนธของค า 0p และ จะไดเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรดงสมการตอไปน

0 0

0VVk p

(45)

2.5 งานเสมอนเนองจากแรงเฉอยของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด

งานเสมอนเนองจากแรงเฉอยของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะสามารถค านวณไดจากสมการ

2

1

2 { } { }s sI uu ww h Dd

(46)

เมอ s คอความหนาแนนของวสดโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด, u และ w คอองคประกอบส าหรบเวคเตอรความเรงของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดด 2.6 ผลรวมของงานเสมอน

ผลรวมของงานเสมอนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายในจะสามารถแสดงไดดงสมการ

U I (47) ดงน นเมอแทนคาสมการท (35), (39), (44) และ (46)

ลงในสมการท (47) จะไดวา

2

10 Tg c p v k g d

2

1

2 { } { }s swuu w Ddh

(48)

จากสมการท (47) จะไดวาโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวจะสมดลทสภาวะอางอง (ES1) นนคอ และ g มคาเปนศนย ดงนนจะไดวา

2

10 0Tg c p v d

(49)

เงอนไขดงกลาวขางตนจะตองเปนจรงและใชในการหาคาความเครยดเรมตน ( 0 )

3. วธไฟไนตเอลเมนต

การใชระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตในการแกปญหาการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะสามารถท าไดโดยการแบงโครงสรางออกเปนชนสวนยอยตามแนวพกด ดงแสดงในรปท 3

รปท 3 ชนสวนทวไปและระยะพกด

ดงน นเ มอพจารณาชนสวนใดๆ จะไดวาคาการประมาณการเคลอนท ณ จดตาง ๆ บนชนสวนยอยสามารถท าไดโดยการก าหนดใหแตละจดขวของชนสวนยอยมดกรอสระเทากบ 4 และใชฟงกชนโพลโนเมยลอนดบทสาม (Cubic Polynomial) เปนฟงกชนการเคลอนทเพอหาฟงกชนรปราง (Shape Functions) และประมาณคาการเสยรปในแนวสมผสและแนวตงฉากกบเสนเมอรรเดยน u และ w ตามล าดบ ดงสมการตอไปน { } [ ]{ }g d (50) เ มอ { }g คอเวคเตอรการเคลอนทท จดตอ , [ ] คอเมตรกซฟงกชนรปรางโพลโนเมยลอนดบทสาม และ { }d คอเวคเตอรของดกรอสระทจดตอ ซงสามารถเขยนไดดงน ( ) ( ) ( ) ( )Tg u w u w (51)

k

ri

1

2

u

w

Axis of Symmetry

(0) (0) (0) (0) |d u w u w

| ( ) ( ) ( ) ( ) Tu w u w (52)

1 2

1 2

1, 2,

1, 2,

0 0 |0 0 |

0 0 |0 0 |

N NN N

N NN N

3 4

3 4

3, 4,

3, 4,

| 0 0| 0 0| 0 0| 0 0

N NN N

N NN N

(53)

ดงนนเมอแทนคาสมการท (50) ลงในสมการท (48) จะไดดงน

2

10 TTd c p v d

2

1

TTd k d d

2

1

2 T Tu s uu h Dd

2

1

2 T Tw s ww h Dd

(54)

จากหลกการของงานเสมอน [15] จะสามารถเขยนสมการการเคลอนของโครงสรางเปลอกบางไดจากสมการท (54) ดงน k fdm d (55) เมอ m คอเมตรกซมวลของชนสวนยอย (Element

Mass Matrix), k ค อ เ มต ร ก ซส ตฟ เนสของ ชนส ว น ย อ ย ( Element Stiffness Matrix), f ค อเวคเตอรของแรง (Force Vector), d คอเวคเตอรการเ ค ล อ น ท ( Displacement Vector) แ ล ะ d ค อ

เวค เตอรความเรง (Acceleration Vector) ซงจะมคาดงน

2

1

2 Tu s um h Dd

2

1

2 Tw s w h D d

(56)

2

1

Tk k d d

(57)

2

10 Tf c p v d

(58)

เ น อ งจ าก ด ก ร อส ระ เฉพาะ ท (Local Degree of

Freedom) d จะเหมอนกบดกรอสระรวม (Global

Degree of Freedom) D ดงน นผลรวมของงานเสมอนส าหรบระบบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดสามารถรวมไดโดยตรงโดยใชสมการท (54) ซงจะเขยนไดดงน K FM D D (59)

จากสมการท (45) จะไดสมการเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร ดงน

T

0 0

V VD 0k p

(60)

จากสมการท (55) และ (56) จะสามารถเขยนรวมไดในรปเมตรกซสมมาตรดงน M D Κ D F (61) โดยท

T

M | 0

0 | 0

M (62)

0T

0

K | V

V | V / k p

K (63)

0p V C

0

F (64)

72 73

853

i iD D

0

D D (65)

ส าหรบการวเคราะหการสนอสระแบบสมมาตรตาม

แนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวจะท าไดโดยการก าหนดให F ในสมการท (61)

มคาเปนศนย ดงน นจะสามารถเขยนใหมเปนสมการลกษณะเฉพาะ (Characteristic Equation) ไดดงน 2

n 0 Κ M (66)

ซงเปนปญหาคาเจาะจง (Eigenvalue Problem) ในทน

n คอคาความถธรรมชาต (Natural Frequency) แบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว

เนองจากเปนปญหาทมความสมมาตรตามแนวแกน ดงนนเงอนไขขอบเขตทต าแหนงปลายบนสดของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะมคาดงน

0u w (67) ส าหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาไดดงน แบบยดหมน : 0u w (68)

แบบยดแนน : 0u w w (69) 4. ผลการวเคราะหเชงตวเลข

การศกษาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวดวยวธไฟไนตเอลเมนตจ าเปนจะตองท าการตรวจสอบความถกตองของผลลพธทไดจากโปรแกรมคอมพวเตอร โดยทคณสมบตของโครงสรางเปลอกบางส าหรบการค านวณในครงนจะใชตามตารางท 1

ตารางท 1 ขอมลและคณสมบตทใชในการวเคราะห รายการ ปรมาณ หนวย

ความยาวรศมของโครงสราง ( )a 3 เมตร ความหนาของโครงสราง ( )h 0.03 เมตร

ความหนาแนนของวสด ( )s 7670 กก./ม3

โมดลสยดหยน ( )E 180x109 นวตน/ม2

อตราสวนปวสซอง ( ) 0.3 -

แรงดนภายในเรมตน 0( )p 1x107 นวตน/ม2

โมดลสเชงปรมาตรของของเหลว

0( )k

∞ นวตน/ม2

รปท 4 แสดงผลของการแปรเปลยนจ านวนชนสวนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายใตเ ง อนไขการจ ากดการเปล ยนแปลงปรมาตรท ม ตอ

คาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน n sa E ตามล าดบ ซงพบวาการแบงจ านวน

ชนสวนออกเปน 60 ชนสวนจะใหค าตอบทมความถกตองสงใกลเคยงกบผลทไดจากการแบงชนสวนทละเอยดกวาน ดงน นงานวจยชนนจงเลอกใชจ านวนชนสวนเทากบ 60

ชนสวนเทาน น หลงจากน นจงไดท าการเปรยบเทยบคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนทไดจากงานวจยนกบผลทไดจากโปรแกรมไฟไนตเอลเมนตส าเรจรป ในการสรางแบบจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมความสมมาตรตามแนวแกนโดยชนสวนแบบ MAX1

และ MAX2 ซงมการประมาณคาการเคลอนทแบบเชงเสน (Linear Membrane) และแบบฟงกชนโพลโนเมยลอนดบสอง (Quadratic Membrane) ตามล าดบ ส าหรบการจ าลองคณสมบตของของเหลวจะเลอกใชชนสวนแบบ FAX2 ซงเปนชนสวนทมคาแรงดนแบบสถต (Hydrostatic Fluid

Element) และมการประมาณคาการเคลอนทแบบเชงเสน (Linear Fluid Element) ซงผลทไดจะพบวาใหค าตอบทมความใกลเคยงกน ดงแสดงในตารางท 2

ว. เจยมมปรชา

74

i iD D

0

D D (65)

ส าหรบการวเคราะหการสนอสระแบบสมมาตรตาม

แนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวจะท าไดโดยการก าหนดให F ในสมการท (61)

มคาเปนศนย ดงน นจะสามารถเขยนใหมเปนสมการลกษณะเฉพาะ (Characteristic Equation) ไดดงน 2

n 0 Κ M (66)

ซงเปนปญหาคาเจาะจง (Eigenvalue Problem) ในทน

n คอคาความถธรรมชาต (Natural Frequency) แบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว

เนองจากเปนปญหาทมความสมมาตรตามแนวแกน ดงนนเงอนไขขอบเขตทต าแหนงปลายบนสดของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดจะมคาดงน

0u w (67) ส าหรบเงอนไขทบรเวณฐานรองรบจะพจารณาไดดงน แบบยดหมน : 0u w (68)

แบบยดแนน : 0u w w (69) 4. ผลการวเคราะหเชงตวเลข

การศกษาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวดวยวธไฟไนตเอลเมนตจ าเปนจะตองท าการตรวจสอบความถกตองของผลลพธทไดจากโปรแกรมคอมพวเตอร โดยทคณสมบตของโครงสรางเปลอกบางส าหรบการค านวณในครงนจะใชตามตารางท 1

ตารางท 1 ขอมลและคณสมบตทใชในการวเคราะห รายการ ปรมาณ หนวย

ความยาวรศมของโครงสราง ( )a 3 เมตร ความหนาของโครงสราง ( )h 0.03 เมตร

ความหนาแนนของวสด ( )s 7670 กก./ม3

โมดลสยดหยน ( )E 180x109 นวตน/ม2

อตราสวนปวสซอง ( ) 0.3 -

แรงดนภายในเรมตน 0( )p 1x107 นวตน/ม2

โมดลสเชงปรมาตรของของเหลว

0( )k

∞ นวตน/ม2

รปท 4 แสดงผลของการแปรเปลยนจ านวนชนสวนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวภายใตเ ง อนไขการจ ากดการเปล ยนแปลงปรมาตรท ม ตอ

คาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน n sa E ตามล าดบ ซงพบวาการแบงจ านวน

ชนสวนออกเปน 60 ชนสวนจะใหค าตอบทมความถกตองสงใกลเคยงกบผลทไดจากการแบงชนสวนทละเอยดกวาน ดงน นงานวจยชนนจงเลอกใชจ านวนชนสวนเทากบ 60

ชนสวนเทาน น หลงจากน นจงไดท าการเปรยบเทยบคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนทไดจากงานวจยนกบผลทไดจากโปรแกรมไฟไนตเอลเมนตส าเรจรป ในการสรางแบบจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทมความสมมาตรตามแนวแกนโดยชนสวนแบบ MAX1

และ MAX2 ซงมการประมาณคาการเคลอนทแบบเชงเสน (Linear Membrane) และแบบฟงกชนโพลโนเมยลอนดบสอง (Quadratic Membrane) ตามล าดบ ส าหรบการจ าลองคณสมบตของของเหลวจะเลอกใชชนสวนแบบ FAX2 ซงเปนชนสวนทมคาแรงดนแบบสถต (Hydrostatic Fluid

Element) และมการประมาณคาการเคลอนทแบบเชงเสน (Linear Fluid Element) ซงผลทไดจะพบวาใหค าตอบทมความใกลเคยงกน ดงแสดงในตารางท 2

(ก) ฐานรองรบแบบยดหมน (ข) ฐานรองรบแบบยดแนน

รปท 4 การลเขาค าตอบของคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบโครงสรางเปลอกบาง ไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว

ตารางท 2 การเปรยบเทยบคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบาง ไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดหมน

โหมดการสน MAX1 MAX2 งานวจยน 1 0.761 0.759 0.764 2 0.960 0.960 0.965 3 1.027 1.031 1.036 4 1.080 1.088 1.093 5 1.133 1.147 1.150

การเปรยบเทยบโหมดการสนแบบสมมาตรตาม

แนวแกนของโครงสรางเปลอกบางแบบไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดหมนจะมโหมดการสนเหมอนกบผลทไดจากโปรแกรมไฟไนตเอลเมนตส าเรจรป จะแสดงในรปท 5 นอกจากนยงพบวาโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางแบบไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวจะคลายกบโหมดการสนของโครงสรางเปลอกบางทไมไดบรรจของเหลวจากงานวจยของ Artioli และ Viola [7] ซงจะรวมผลของพลงงานความเครยดเนองจากแรงดดดวย ดงแสดงในรปท 6 ภายใตเ งอนไขของฐานรองรบแบบยดแนนเหมอนกน ตารางท 3 และ 4 จะแสดงผลการแปรเปลยนความหนาของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบ

บรรจของเหลวทสงผลกระทบตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบฐานรองรบแบบยดหมนและแบบยดแนน ตามล าดบ ตารางท 3 ผลของอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดหมน

โหมดการสน

/a h 300 200 100 50 25

1 0.796 0.781 0.764 0.753 0.746 2 1.036 1.001 0.965 0.945 0.934 3 1.166 1.103 1.036 1.000 0.981 4 1.292 1.197 1.093 1.036 1.006 5 1.426 1.296 1.150 1.070 1.026

ตารางท 4 ผลของอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดแนน

โหมดการสน

/a h 300 200 100 50 25

1 0.797 0.782 0.765 0.754 0.747 2 1.037 1.002 0.965 0.946 0.934

Number of Elements0 20 40 60 80

Freq

uenc

yPa

ram

eter

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

m = 1m = 2m = 3m = 4m = 5

m = 1m = 2m = 3m = 4m = 5

Number of Elements0 20 40 60 80

Freq

uenc

yPa

ram

eter

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

74 75

853

ตารางท 4 ผลของอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดแนน (ตอ)

โหมดการสน

/a h 300 200 100 50 25

3 1.167 1.103 1.036 1.000 0.981 4 1.293 1.197 1.093 1.036 1.006 5 1.427 1.297 1.151 1.070 1.026

ซงจะพบวาการแปรเปลยนอตราสวนความยาวรศม

ตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว ( / )a h สงผลกระทบตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน ( ) โดยตรง นนคออตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงส ร า ง จะ มค า ลดลง เ ปนส ด ส วนโดยตรงกบคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบทกๆ โหมดการสน

ส าหรบการศกษาผลของการแปรเปลยนแรงดนภายในเรมตนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทสงผลกระทบตอคาพารามเตอรความถ

ธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบฐานรองรบแบบยดหมนและแบบยดแนน จะแสดงไวในตารางท 5 และ 6 ตามล าดบ จากการศกษาจะพบวาคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน ( ) จะมคาเพมสงขนเมออตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางมคาเพมขน ซงแรงดนภายในของโครงสรางเปนแฟคเตอรทมความส าคญในการวเคราะหปญหาการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดใหมโหมดการสนสอดคลองกบโหมดการสนส าหรบโครงสรางเปลอกบาง ดงแสดงในรปท 6 ส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวและไมไดบรรจของเหลว

ส าห รบผลของการ เป ลยนแปลงเ งอนไขของฐานรองรบส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวเปนแบบยดหมนและแบบยดแนน จะพบวาสงผลตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนนอยมาก ดงแสดงในตารางท 3 ถงตารางท 6 และไมมผลตอโหมดการสน ดงแสดงในรปท 5(ก) และ 6(ข) ส าหรบเงอนไขของฐานรองรบแบบยดหมนและแบบยดแนนตามล าดบ

(ก) งานวจยน (ข) โปรแกรมไฟไนตเอลเมนตส าเรจรป

รปท 5 การเปรยบเทยบโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลว

m = 1 m = 1m = 2 m = 2

m = 3 m = 3m = 4 m = 4

(ก) โครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว (ข) โครงสรางเปลอกบางทไมไดบรรจของเหลว [7]

รปท 6 การเปรยบเทยบโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบาง

ตารางท 5 ผลของอตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดหมน

โหมดการสน

0 /p E 3x10-

5 4x10-

5 5x10-

5 6x10-

5 7x10-

5 1 0.754 0.758 0.762 0.765 0.769 2 0.947 0.954 0.961 0.968 0.975 3 1.003 1.016 1.029 1.041 1.054 4 1.041 1.061 1.082 1.101 1.121 5 1.077 1.106 1.135 1.163 1.190

ตารางท 6 ผลของอตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดแนน

โหมดการสน

0 /p E 3x10-

5 4x10-

5 5x10-

5 6x10-

5 7x10-

5 1 0.755 0.759 0.763 0.766 0.770 2 0.947 0.955 0.962 0.969 0.975 3 1.003 1.016 1.029 1.042 1.054 4 1.041 1.062 1.082 1.102 1.121 5 1.077 1.106 1.135 1.163 1.191

5. สรปผลการศกษา การศกษาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระ

แบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดรปครงทรงกลมทบรรจของเหลวภายใตเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร จะสามารถเขยนปญหาในรปแบบการแปรผนและใชวธไฟไนตเอลเมนตในการจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดดวยชนสวนของคานแบบ 1 มตในการหาค าตอบเชงตวเลขทเปนปญหาแบบคาเจาะจง

จากผลการศกษาจะสามารถสรปไดวาเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรและคาแรงดนภายในเรมตนทเกดขนเนองจากของเหลวเปนพารามเตอรทมความส าคญในการค านวณหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดใหโหมดการสนสอดคลองกบโครงสรางเปลอกบางทมผลของแรงดด นอกจากนยงพบวาการเปลยนแปลงความหนาของโครงสรางเปลอกบางกบคาแรงดนภายในเรมตนทเกดขนเนองจากของเหลวจะสงผลกระทบโดยตรงตอค าพารา ม เตอรความ ถธรรมชาต ในขณะทการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบจะสงผลกระทบนอยมาก

m = 1

m = 4m = 3

m = 2m = 1 m = 2

m = 3 m = 4

ว. เจยมมปรชา

76

ตารางท 4 ผลของอตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดแนน (ตอ)

โหมดการสน

/a h 300 200 100 50 25

3 1.167 1.103 1.036 1.000 0.981 4 1.293 1.197 1.093 1.036 1.006 5 1.427 1.297 1.151 1.070 1.026

ซงจะพบวาการแปรเปลยนอตราสวนความยาวรศม

ตอความหนาของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว ( / )a h สงผลกระทบตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน ( ) โดยตรง นนคออตราสวนความยาวรศมตอความหนาของโครงส ร า ง จะ มค า ลดลง เ ปนส ด ส วนโดยตรงกบคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบทกๆ โหมดการสน

ส าหรบการศกษาผลของการแปรเปลยนแรงดนภายในเรมตนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทสงผลกระทบตอคาพารามเตอรความถ

ธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนส าหรบฐานรองรบแบบยดหมนและแบบยดแนน จะแสดงไวในตารางท 5 และ 6 ตามล าดบ จากการศกษาจะพบวาคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกน ( ) จะมคาเพมสงขนเมออตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางมคาเพมขน ซงแรงดนภายในของโครงสรางเปนแฟคเตอรทมความส าคญในการวเคราะหปญหาการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดใหมโหมดการสนสอดคลองกบโหมดการสนส าหรบโครงสรางเปลอกบาง ดงแสดงในรปท 6 ส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวและไมไดบรรจของเหลว

ส าห รบผลของการ เป ลยนแปลงเ งอนไขของฐานรองรบส าหรบโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลวเปนแบบยดหมนและแบบยดแนน จะพบวาสงผลตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนนอยมาก ดงแสดงในตารางท 3 ถงตารางท 6 และไมมผลตอโหมดการสน ดงแสดงในรปท 5(ก) และ 6(ข) ส าหรบเงอนไขของฐานรองรบแบบยดหมนและแบบยดแนนตามล าดบ

(ก) งานวจยน (ข) โปรแกรมไฟไนตเอลเมนตส าเรจรป

รปท 5 การเปรยบเทยบโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดทบรรจของเหลว

m = 1 m = 1m = 2 m = 2

m = 3 m = 3m = 4 m = 4

(ก) โครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลว (ข) โครงสรางเปลอกบางทไมไดบรรจของเหลว [7]

รปท 6 การเปรยบเทยบโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบาง

ตารางท 5 ผลของอตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดหมน

โหมดการสน

0 /p E 3x10-

5 4x10-

5 5x10-

5 6x10-

5 7x10-

5 1 0.754 0.758 0.762 0.765 0.769 2 0.947 0.954 0.961 0.968 0.975 3 1.003 1.016 1.029 1.041 1.054 4 1.041 1.061 1.082 1.101 1.121 5 1.077 1.106 1.135 1.163 1.190

ตารางท 6 ผลของอตราสวนแรงดนภายในเรมตนตอโมดลสยดหยนของโครงสรางทมตอคาพารามเตอรความถธรรมชาตแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดส าหรบบรรจของเหลวทมฐานรองรบแบบยดแนน

โหมดการสน

0 /p E 3x10-

5 4x10-

5 5x10-

5 6x10-

5 7x10-

5 1 0.755 0.759 0.763 0.766 0.770 2 0.947 0.955 0.962 0.969 0.975 3 1.003 1.016 1.029 1.042 1.054 4 1.041 1.062 1.082 1.102 1.121 5 1.077 1.106 1.135 1.163 1.191

5. สรปผลการศกษา การศกษาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนอสระ

แบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดรปครงทรงกลมทบรรจของเหลวภายใตเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตร จะสามารถเขยนปญหาในรปแบบการแปรผนและใชวธไฟไนตเอลเมนตในการจ าลองโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดดวยชนสวนของคานแบบ 1 มตในการหาค าตอบเชงตวเลขทเปนปญหาแบบคาเจาะจง

จากผลการศกษาจะสามารถสรปไดวาเงอนไขการจ ากดการเปลยนแปลงปรมาตรและคาแรงดนภายในเรมตนทเกดขนเนองจากของเหลวเปนพารามเตอรทมความส าคญในการค านวณหาคาความถธรรมชาตและโหมดการสนแบบสมมาตรตามแนวแกนของโครงสรางเปลอกบางไรแรงดดใหโหมดการสนสอดคลองกบโครงสรางเปลอกบางทมผลของแรงดด นอกจากนยงพบวาการเปลยนแปลงความหนาของโครงสรางเปลอกบางกบคาแรงดนภายในเรมตนทเกดขนเนองจากของเหลวจะสงผลกระทบโดยตรงตอค าพารา ม เตอรความ ถธรรมชาต ในขณะทการเปลยนแปลงเงอนไขของฐานรองรบจะสงผลกระทบนอยมาก

m = 1

m = 4m = 3

m = 2m = 1 m = 2

m = 3 m = 4

76 77

853

6. กตตกรรมประกาศ

ผวจยขอขอบคณ มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน ทไดสนบสนนการวจยในครงนจนส าเรจลลวงไปไดดวยด

เอกสารอางอง

[1] Yasuzawa, Y. Structural Response of Underwater Half Drop Shaped Shell. Proceedings of the 3rd International Offshore and Polar Engineering Conference 1993, Singapore, 1993.

[2] Jiammeepreecha, W., Chucheepsakul, S. and Huang, T. Nonlinear Static Analysis of Deep Water Axisymmetric Half Drop Shell Storage Container with Constrained Volume. Proceedings of the 22nd International Offshore and Polar Engineering Conference 2012, Rhodes, Greece, 2012.

[3] วรพนธ เจยมมปรชา สมชาย ชชพสกล และ Tseng Huang. การวเคราะหทางสถตศาสตรแบบไมเปนเชงเสนของโครงสรางเปลอกบางแบบครงทรงกลมทมความสมมาตรตามแนวแกนตดตงในทะเลลก. วารสารวจยและพฒนา มจธ., 2557; 37: 239 – 255.

[4] Kalnins, A. Effect of bending on vibrations of spherical shells. Journal of the Acoustical Society of America, 1964; 36(1): 74–81.

[5] Ross, E.W. Natural frequencies and mode shapes for axisymmetric vibration of deep spherical shells. Journal of Applied Mechanics, 1965; 32(3): 553–561.

[6] Niordson, F.I. Free vibrations of thin elastic spherical shells. International Journal of Solids and Structures, 1984; 20(7): 667–687.

[7] Artioli, E. and Viola, E. Free vibration analysis of spherical caps using a G.D.Q. numerical solution. Journal of Pressure Vessel Technology, 2006; 128(3): 370–378.

[8] Singh, A.V. and Mirza, S. Asymmetric modes and associated eigenvalues for spherical shells. Journal of Pressure Vessel Technology, 1985; 107(1): 77–82.

[9] Lee, J. Free vibration analysis of spherical caps by the pseudospectral method. Journal of Mechanical Science and Technology, 2009; 23: 221–228.

[10] Phadke, A.C. and Cheung, K.F. Nonlinear response of fluid-filled membrane in gravity waves. Journal of Engineering Mechanics, 2003; 129(7): 739–750.

[11] Wang, C.M., Vo, K.K. and Chai, Y.H. Membrane analysis and minimum weight design of submerged spherical domes. Journal of Structural Engineering, 2006; 132(2): 253–259.

[12] Jiammeepreecha, W., Chucheepsakul, S. and Huang, T. Nonlinear static analysis of an axisymmetric shell storage container in spherical polar coordinates with constraint volume. Engineering Structures, 2014; 68: 111–120.

[13] Jiammeepreecha, W., Chucheepsakul, S. and Huang, T. Parametric study of an equatorially anchored deepwater fluid-filled periodic symmetric shell with constraint volume. Journal of Engineering Mechanics, 2015; 141(8): 04015-04019.

[14] Langhaar, H.L. Foundations of Practical Shell Analysis, Department of Theoretical and Applied Mechanics. University of Illinois at Urbana-Champaign, Illinois, 1964.

[15] Langhaar, H.L. Energy Methods in Applied Mechanics. ISBN: 0-47151-711-9, John Wiley & Sons, New York, 1962.

[16] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E. and Witt, R.J. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 4th edition, ISBN: 0-47135-605-0, John Wiley & Sons, New York, 2002.

[17] Flügge, W. Stresses in Shells. 2nd edition, ISBN: 0-38705-322-0, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

ว. เจยมมปรชา

78