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ELETTROMAGNETISMO
MODELLO IDEALE:
1. QUANTITA' DI BASE: SORGENTI E CAMPI
2. REGOLE DI OPERAZIONE: CALCOLO VETTORIALE
3. RELAZIONI FONDAMENTALI: EQUAZIONI DI MAXWELL
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QUANTITA' DI BASE••SORGENTISORGENTI
CARICA ELETTRICA A RIPOSO O IN MOVIMENTO• E' una proprietà fondamentale della materia• Esiste sotto forma di multipli della carica dell'elettrone:
e = 1,60·10-19 CCORRENTE ELETTRICA
i = dq / dt ADENSITA' DI CORRENTE J
• Misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente
••CAMPICAMPI
ELETTRICO
MAGNETICO
Intensita' Di Campo Elettrico E [ V / m ]Densità di Flusso Elettrico D [ C / m2]Induzione Magnetica B [ T = V·s / m2 ]Intensità di Campo Magnetico H [ A / m ]
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RELAZIONI FONDAMENTALI
0=⋅∇
=⋅∇
∂∂
+=×∇
∂∂
−==×∇
B
D
tDJH
tBErotE
ρ
0=⋅
=⋅
⋅∂
∂+=⋅
Φ−=⋅
∂∂
−=⋅
∫
∫
∫∫
∫∫
S
S
S
S
dSB
QdSD
dStDIldH
dtddS
tBldE
Forma IntegraleForma Differenziale
L. Faraday
L. Ampére
L. Gauss
L. Gauss
( )
∫ ∫
∫∫
⋅=⋅∇
⋅=⋅⋅∇
V S
S
SdAdVA
dASdA l l TEOREMA DI STOKES
TEOREMA DELLA DIVERGENZA
EQUAZIONI DI MAXWELL
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IPOTESI SUI MEZZI MATERIALICONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI
Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari:γ conduttività [ S / m ]ε permettività [ F / m ]µ permeabilità [ H / m ]
EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO:
D = ε E B = µ HCOSTANTI UNIVERSALI:
•Velocità della luce nel vuoto c ≅ 3·108 m / s •Permeabilità del vuoto µ0 = 4π · 10-7 H / m•Permettività del vuoto ε0 = 1/(36π) · 10-9 F / m
sm4587922991
00
==εµ
c
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RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI Es:
∫
∫
⋅=
⋅=
ldHI
ldEV BAAB
CAMPO MAGNETICO STAZIONARIOCAMPO MAGNETICO STAZIONARIO
BP
r
I
rI
H
HB
rI
B
πµ
πµ
22 =⇒
=
=Legge di Legge di BiotBiot--SavartSavart
TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONETEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE
INldHUm ⋅=⋅= ∫ (Ampére-spire)
Applicando il Teorema di Stokes
JHrot = Legge di Ampére in forma localeLegge di Ampére in forma locale
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FLUSSO DI INDUZIONE
sdB
∫ ⋅=Φ S sdB
APPLICANDO L'INTEGRALE AD UNA SUPERFICIE CHIUSA:
B E' SOLENOIDALE
0=⋅∫s sdB Legge di GaussLegge di Gauss
APPLICANDO IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA: 0=Bdiv• Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso
concatenato → Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa
REGOLA DI MAXWELL• Il verso positivo dell'asse della bobina è quello in
cui avanza una vite destrogira che ruota nel verso positivo di percorrenza del filo
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MEZZI NORMALI•DIAMAGNETICI µ r < ≅ 1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …)•PARAMAGNETICI µ r > ≅ 1 (Mg, Al, Mn, …)•AMAGNETICI µ = µ0 = 4π·10-7 H/m•MEZZI ANOMALI
FERROMAGNETICI µ r >> 1 (Fe, Ni, …)
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µ r è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro
B = f (H) NON LINEARE
SATURAZIONE
HC
-Br
Br
-HC
B
HHmax
-Hmax
tan-1µ0
HC: forza coercitivaBr: induzione residua
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UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN CICLO DI ISTERESI, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' UN CICLO DI ISTERESI, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.Dimostrazione
∫ ⋅=
⋅==
⋅⋅=⋅⋅⋅=Φ⋅⋅=Φ⋅=
Φ+Φ→Φ
dBHL
dBHv
dLdL
vdBHAdBlHdINdIdL
d
vol
vol
C
CCC Un incremento del flusso concatenato, dà luogo a:
incremento del lavoro speso per unità di volume
incremento di lavoro volumico speso nel ciclo
Poché H e B sono variabili di stato, tale lavoro non si ritrova sotto forma di energia magnetica accumulata nel materiale, ma viene convertito in CALORE DI ISTERESI.
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SI E' TROVATO SPERIMENTALMENTE CHE IL LAVORO MASSICO ASSORBITO IN UN CICLO E'
nMvol BdL ⋅=η Formula di Formula di SteinmetzSteinmetz
η : dipende dal materialen : 1,8 ÷ 2,2
MATERIALIFERROMAGNETICI
DOLCI (Cicli di isteresi stretti)
DURI (Cicli di isteresi larghi)
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MATERIALI DOLCIECCETTO CHE PER LE PERDITE PER ISTERESI, IL COMPOR-TAMENTO PUO’ ESSERE DESCRITTO MEDIANTE LACURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONECURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE: LUOGO DEI PUNTI VERTICI DEI CICLI DI ISTERESI SIMMETRICI
B
H
GINOCCHIO
CURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE
Si possono utilizzare anche i dati in forma tabellare. Es: ACCIAIO FUSO 6425 0002,00
14410 0001,80
36535001,60
93012001,40
15506201,20
20004001,00
23702700,80
28201700,60
28601400,50
26601200,40
24001000,30
1780900,20
1140700,10
µ rH [A / m ]B [Wb / m2]
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CIRCUITI MAGNETICI
• UN BIPOLO INDUTTIVO E' UN COMPONENTE CON 2 MORSETTI CHE NON DA' LUOGO A DISSIPAZIONE DI ENERGIA ED E' IDONEO AD IMMAGAZZINARE ENERGIA SOTTO FORMA DI ENERGIA MAGNETICA NEL SUO INTERNO E NEL MEZZO CIRCOSTANTE
• ATTRAVERSATO DA CORRENTE, GENERA LINEE MAGNETICHE CHIUSE CHE COSTITUISCONO IL FLUSSO MAGNETICO
• LO SPAZIO ENTRO CUI SI CHIUDONO LE LINEE MAGNETICHE RAPPRESENTA IL CIRCUITO MAGNETICOCIRCUITO MAGNETICO
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• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DOLCI
• SI RICONOSCE UN'ANALOGIA TRA CIRCUITI ELETTRICI E CIRCUITI MAGNETICI
• LE DIFFERENZE SOSTANZIALI SONO:In un circuito magnetico con f.m.m. concentrata il flusso varia da sezione a sezioneNON ESISTONO BUONI ISOLANTI MAGNETICI
CIRCUITO MAGNETICO INERTE
I N
1Φ 2Φ 3Φ
Se µr >> 1 si può immaginare chei flussi siano canalizzati nel nucleo ferromagnetico. E' un'ipotesi semplificativa
Per ogni tubo di flusso: Um = R mΦ → Φ = Gm UmPer ogni superficie chiusa: ΣΦ = 0Per ogni percorso chiuso: Σ Um = Σ I
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N
I
L
ININS
dl
INdlS
IN
IN
m ⋅=⋅Φ⇒⋅=⋅⋅
⋅Φ
⇓
⋅=⋅⋅
Φ⇓
⋅=⋅
⇓
⋅=⋅
∫
∫
∫
∫
RL
L
L
L
µ
µ
µdlB
dlH (L. Ampére)
Analogia con la Legge di Ohm
R m = Riluttanza
Gm = 1/R m = Permeanza
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ANALOGIA
CIRCUITI MAGNETICICIRCUITI MAGNETICI
F.M.M. (f )
PERMEANZA G m
RILUTTANZA R m
FLUSSO Φ
Um = R m Φ
ΣΦ = 0
Σ Um = ΣR m Φ
CIRCUITI ELETTRICICIRCUITI ELETTRICI
F.E.M. (E)
CONUTTANZA G
RESISTENZA R
CORRENTE I
U = RI
ΣI = 0
ΣV = Σ RI
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ESEMPIO3Φ2Φ1Φ
N1 lt N2
I1 I2
lg lg
lc
Ag Ag
Ac
3Φ2Φ
1ΦN1I1
R cR c
R t
R c
R g R g
R c
R gR g
N2I2'
'
( ) ( )( ) ( )
=Φ⋅+−Φ⋅+=Φ⋅++Φ⋅+
=Φ−Φ−Φ
⋅=−
⋅=⋅=⋅=
2232
1131
321
0
2222
0
1;'2
1;1;1
ININ
AAAA
tcgc
tcgc
t
tg
c
tcc
g
gg
c
cc
RRRRRRRR
lR
llR
lR
lR
''
'µµµµ
E' UN SISTEMA NON LINEARE
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IPOTESI SUI CIRCUITI MAGNETICI
• SI TRASCURANO GLI EFFETTI DI BORDO
• LA LUNGHEZZA DI CIASCUN TRATTO SI CONSIDERA COINCIDENTE CON LA LINEA MEDIA
• IL NUCLEO DI MATERIALE FERROMAGNETICO VIENE CONSIDERATO UN TUBO DI FLUSSO
• L'INDUZIONE VIENE CONSIDERATA COSTANTE TRATTO PER TRATTO
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PROBLEMI
•• PROBLEMA DIRETTOPROBLEMA DIRETTO: Trovare le amperspire necessarie a generare un assegnato valore di induzione (es: al traferro)
•• PROBLEMA INVERSOPROBLEMA INVERSO: Trovare il valore dell'induzione (al traferro) note le amperspire di eccitazione
ELETTROMAGNETI: RELE', IMPIANTI DI SOLLEVAMENTO ROTTAMI, …Sono dispositivi con funzioni sia di protezione che di manovra
CIRCUITI PER MAGNETI PERMANENTI
CIRCUITI MAGNETICI PER MACCHINE ELETTRICHE: Trasformatore, Macchine Asincrone, …
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PROBLEMA DIRETTO:NOTO IL FLUSSO RICAVARE LE AMPERSPIRE
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
NI
Φ
t
Hp: Φ costante in tutto il nucleo
( )
⋅+
⋅Φ=+Φ=
tf
ft A
tA
NI0µµ
lRR f
Noto Φ:
→Φ
=
=→Φ
=
ff
tt
tt
AB
BHA
B0µ
Si legge µ
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PROBLEMA INVERSO:NOTE LE AMPERSPIRE RICAVARE IL FLUSSO
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
Φ
NI1Φ
2Φ3Φ
VΦ
( )1NI ( )2NI ( )3NI
( )VNI
GRAFICAMENTE:
CARATTERISTICA DIMAGNETIZZAZIONE TOTALEDEL CIRCUITO
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ESEMPIO
la a
l
I
t
N
Calcolare il coefficiente di autoinduzione della bobina di N = 1000 spire
Hp: non ci sono flussi dispersi
As/m75002300700400250180HWb/m21,61,41,21,00,80,6B
Tabella di magnetizzazione del ferro al silicio
t = 3 mma = 20 mml = 50 mmI = 2 A
ΦRf Rt
NIlf = 4l = 200 mm = 0,2 mS = a·a = 400 mm2 = 4·10-4 m2
µ0 = 4·π· 10-7 H/mNI = 2000 As
continua…
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BHtBHNI fff ⋅+=+⋅= 32,23872,00µ
l
3819,7175001,63342,2523001,42864,797001,22387,324001,01909,862500,81432,391800,6
(NI)tHB
Interpolando:
mH H
Wb
163163,0
102633,3
8158,08,02,086,195932,2467
86,19592000
4
==Φ
=
⋅=⋅=Φ
=+⋅−
−=
−
INL
SB
B
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Φ Flusso PrincipaleΦd1 Flusso Disperso PrimarioΦd2 Flusso Disperso SecondarioΦ1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria Φ2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
L1 L2
i1 i2
v1v2
M
+=
+=
dtdiL
dtdiMv
dtdiM
dtdiLv
22
12
2111
+=
+=
2212
2111
ILjIMjV
IMjILjV
ωω
ωω
2dΦ1dΦ
Φ
N1 N2
1I 2I
Φ+Φ=Φ
Φ+Φ=Φ
22
11
d
d
Φ+Φ=Φ
Φ+Φ=Φ
2222
1111
dc
dc
NN
NN
continua…
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Φ+Φ=Φ
Φ+Φ=Φ
2222
1111
dc
dc
NN
NN
ma:
( )( )( )
=Φ=Φ
+=Φ
2222
1111
2211
ININ
ININ
dd
dd
m
GG
G Gm permeanza del circuito magneticoGd1 permeanza costante (percorso in aria)Gd2 permeanza costante (percorso in aria)
( ) ( )( ) ( )
++=Φ++=Φ
⇒2222221122
1111221111
INNININNINNININN
dmc
dmc
GGGG
( )( )
=+=+=
m
md
md
NNMNLNL
GGGGG
21
2222
12
11 Induttanza propria del circuito 1Induttanza propria del circuito 2Mutua induttanza
poniamo:
⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ
⇒1222
2111
IMILIMIL
c
c
continua…
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⋅+⋅=Φ⋅+⋅=Φ
1222
2111
IMILIMIL
c
c
Se siamo in condizioni dinamiche:
⋅+⋅=Φ
⋅+⋅=Φ
dtdiM
dtdiL
dtd
dtdiM
dtdiL
dtd
c
c
122
2
211
1
⋅+⋅=
⋅+⋅=⇒
dtdiM
dtdiLv
dtdiM
dtdiLv
1222
2111
Si possono definire le induttanze di dispersione dei due circuiti.
Dalle
⋅=⋅=Φ=Φ⋅=⋅=Φ=Φ
222222222
11112
1111
ILINNILINN
dmddcd
dmddcd
GG
==
⇒2
222
12
11
mdd
mdd
NLNL
GG
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ESEMPIO N1 = 75 spireN2 = 100 spireR = 105 H-1
R = 50 ΩC = 150 µFE = 10 Vf = 50 Hz
CΦBΦ
AΦ
N2 N1 e(t)RC
Calcolare la potenza attiva e reattiva erogate dal generatore sinusoidale e(t). Sia R la riluttanza di ogni tronco. Hp: trascurare i flussi dispersi.
22IN2Φ R
R R
22IN 1Φ
2I 1I
Φ⋅−Φ⋅=⋅Φ⋅−Φ⋅=⋅
2111
1222
22
RRRR
ININ
Φ⋅−
⋅−Φ⋅=⋅
⋅−Φ=Φ
222
211
2221
22
2
RR
R
RININ
IN
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222222211 3242 Φ⋅+⋅−=Φ⋅−Φ⋅+⋅−=⋅ RRR INININ
⋅+
⋅=
⋅+
⋅+
⋅−=Φ
⋅+
⋅=Φ
RRRRR
RR
32
332
322
32
31122112222
1
22112
INININININ
ININ
⋅+
⋅=Φ=Φ
⋅+
⋅=Φ=Φ
RR
RR
32
3
32
31
21221
111
222121
222
ININNN
ININNN
c
c
==
==
==
H 025,03
H 0667,032
H 0375,032
21
22
2
21
1
R
R
R
NNM
NL
NL
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ωL1 = 2π f L1 = 11,78 Ω ; ωL2 = 20,94 Ω ; ωM = 7,85 Ω1 / ω C = 21,22 Ω
L1 L2
M1I 2I R
CE
⋅−⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅=
22122
211
0 ICjIRIMjILj
IMjILjE
ωωω
ωω
( )
VAR W 264,8769,0264,8769,068,8483,0010
68,8483,028,0500
85,710
28.05094.20085,778,1110
*1
121
21
==+=°∠⋅°∠=⋅=
°−∠=∆−
=
⋅−+⋅=⋅+⋅=
QPjIES
jj
IIjIj
IjIj
&
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0 0
0 0
cost)21
21(
)21
21(
)()(
2
1
221
22221
211
22221
211
22122111
2211
≥≥
≥−≥
+++=
++=
=+++=
Φ+Φ=
LL
MLLW
ILIMIILW
ILIMIILd
dILMdIIMdIdILIdL
dIdIdL
m
m
cc
ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI
Passività
lavoro elettrico assorbito ai morsetti in una trasformazione elementare
differenziale esatto della funzione di stato
stato zero
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Dalla:
coefficiente di accoppiamento
Se
Se
accade se Gm=0 cioe’ se:•i due induttori sono a grande distanza•gli assi sono disposti perpendicolarmente
accade quando l’accoppiamento e’ perfetto: cioè tutto il flusso concatenato con uno dei due circuiti si concatena anche con l’altro
1 0
0 0
10 0
21
21
221
===
==
=
≤≤≥−
kLL
kMLL
Mk
kMLL
dd
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CIRCUITI EQUIVALENTI
Ponendo:
induttanza di dispersione primaria
induttanza di dispersione secondaria
induttanza di magnetizzazione
( )( )
×
++=
++=
=
=
=
++=++=
2
11
2
12
22222
21
21
21111
21
2222
112
1
22221212
221112
11
NNI
NNINILΦ
INNINILΦ
LN
LN
LN
ININNΦINNINΦ
mdC
mdC
mm
dmd
dmd
mmdmC
mmmdC
G
G
G
G
G
GGGGGG
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rapporto spire
grandezze secondarie riferite al primario
DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE
2
1
21
22
22
21111
12
12
1
2
2
122
2
122
1
2
2
1
2
12
2
1
21
21111
NNn
nIIL
nILnnΦ
IILILΦ
INNI
NN
NNN
NNIL
NN
NN
NNΦ
NN
INNILILΦ
mdC
mdC
mdC
mdC
=
++=
++=
+⋅+⋅⋅=
++=
G
1dL2
2dLn
mL1cΦ nII 2
1 +2cn Φ⋅
2cn Φ⋅nI2
22
dLnnI21I
n
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derivando le e assumendo il funzionamento in regime sinusoidale:
Ricordando che IL TRASFORMATORE IDEALE
n:1
TRASPARENTE ALLE POTENZE
++=
++=
nIILj
nILjnVn
nIILjILjV
md
md
21
22
22
21111
ϖϖ
ϖϖ1I
1djX
1V mjX
22
djXn nI2
nI
I 21 +
2Vn ⋅
1I
1V
2I
2V2
1
21
211
NN
nI
nI
VnV=
−=
=
( ) 0*1
1*11
*22
*1121 =−⋅+=+=+= In
nVIVIVIVSSStot &&&
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TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE
n:1
Un’impedenza applicata ai morsetti secondari di un trasformatore ideale puo’ essere sostituita da un’impedenza ai morsetti primari senza che il funzionamento complessivo venga alterato, eviceversa.RIASSUMENDO:
per portare una grandezza secondaria al primario:
2n
per portare una grandezza primaria al secondario:
2I2V
1I
1V'222
1
12
1
1
2
22
1
11
Zn
Z
IV
nInnV
IVZ
&&
&
=
=⋅==
2Z&2
2'2 ZnZ && =
22'
22'
22'
2 :;; ZnZnIIVnV && === Impedenza:Corrente:Tensione
12"11
"11
"1
1:;;1 Zn
ZInIVn
V && === Impedenza:Corrente:Tensione
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Estendendo questi concetti al circuito equivalente prima ricavato:
n:1
n:1
TRASFORMATORE INDUTTIVO:Reattanza di dispersione primariaReattanza di dispersione secondariaReattanza di magnetizzazioneRapporto di trasformazione
1I1djX
22
djXn
1V mjXnI
I 21 +
2Vn 2V
2I
1I1djX
1V mjX '21 II + '
2V
'2I 2djX
2I
2V
:1dX:2dX:mX
:n
nI2
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Poiche’ e’:
si ha:
n:1
( )( )
=+=+=
===
m
mmd
mmd
mm
mdd
mdd
NNMNLNL
NLNLNL
GGG
GG
GGG
21
2222
1211
21
2222
1211
−=−=−+=
=⋅⋅=
nMLnLnnMLNNNL
nMNNNN
NNL
d
mmmdd
mm
22
22
121
211
211
111
2
2
1
GGG
G
1I nML −1 nMLn −22
nI2
nM nI
I 21 +
2Vn 2V
2I
1V
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Ricordando il significato delle varie induttanze
( )
secondariodispersoflusso:primariodispersoflusso:
principaleflusso:magneticocircuitodelpermeanza:
2222
1111
2211
ININ
ININ
mdd
mdd
m
m
GG
GG
=Φ=Φ
Φ
+=Φ
1dΦ2dΦ
Φ
n:1
1dL 2dL
mL
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Se i flussi dispersi sono nulli:
n:1 ACCOPPIAMENTO PERFETTO
TRASFORMATORE PERFETTO
Se circuito aperto
n:1TRASFORMATORE IDEALE
mL
NL mmm ∞→=∞→ GG 21
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IN REGIME SINUSOIDALE
n:1
EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE INDUTTIVO
1I1dLjϖ
1E−1V mLjϖ2En−
22
dLjn ϖ
2Vn
nI2
2I
2V
+−==
+−=
−=Φ−=
Φ−=
nIILjEnE
nILjnEnVn
EILjVNjENjE
m
d
d
2121
22
222
1111
22
11
ϖ
ϖ
ϖϖϖ
nNN
EE ==
2
1
2
1
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n:1
Si definiscono f.e.m. primaria e secondario quelle generate negli avvolgimenti primario e secondario dal flusso principale:
Con questa definizione le equazioni del trasformatore induttivo diventano
la f.e.m. prodotta dal flusso principale e’ vista come f.c.e.m. indotta, mentre le f.e.m. dovute ai flussi dispersi sono viste come c.d.t.
1i1dL
22
dLn
1e−1v mL2ne−
2nv
ni2
2i
2v
;dtdNe
dtdNe
ϕϕ2211 −=−=
+−==
−−−=
−=
nii
dtdLnee
ni
dtdLnnenv
edtdiLv
m
d
d
2121
22
222
11
11
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Trasformatore Reale
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Caratteristiche costruttive
Nucleo:realizzare l’accoppiamento attraverso un circuito magnetico di
materiale ferromagnetico e quindi di bassa riluttanza:riduce le linee di flusso dispersoper la sua elevata permeabilità magnetica relativa consente una drastica riduzione della corrente di magnetizzazione richiesta per sostenere il flusso principale
Forme costruttive piu’ comuni
Nucleo a colonne Nucleo a mantello (o corazzato)
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lamierini di acciaio speciale (da trasformatore) da alcuni millimetri (piccolissima potenza) a 0.35-0.5 mmlamierini isolati mediante carta (0.03 mm) o vernici per piccolitrasformatori (fino a qualche kVA) si affida l’isolamento allo strato di ossidodrogaggio con silicio (qualche percento): cifra di perdita ˜ 1 W/kg (per 1 Wb/m2 e 50 Hz) (le lamiere normali arrivano a 3 W/kg)
giunto piallato giunto intercalato
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per piccole potenze < 1 kVA
nucleo bobinato a colonne nucleo bobinato a mantello
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Avvolgimenti
rame o alluminiosezione circolare o a piattina
Configurazioni
concentricoalternato
AT ATBTBT BT
BT
BT
AT
AT
concentrico alternato
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Raffreddamento
Esistenza o meno di un fluido intermediarioEsistenza o meno di mezzi che attivano la trasmissione del calore
aria raffreddamento naturale1) 2)
olio forzato o artificiale
a) aria- naturale convezione naturale+ irraggiamentoalette metalliche intorno agli avvolgimentisolo per piccole potenze e tensioni modeste: S<150-200 kVA V<10 kV
b) aria-artificiale ventilatorimedie potenze
c) olio-naturale cassone pieno d’olioS=5-6000 kVA V fino a 70 kV
d) olio-artificiale circuito idraulico + scambiatore di caloreS= 10 – 400 MVA V>70 kV
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Hp:Ferro Ideale
Rame Ideale
Pfe=0accoppiamento perfetto
Pcu=0
TRASFORMATOREIDEALE
Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale
∞→µ
1I 2I−
1V 2V
( )
Φ=−=Φ=−=
=
222
111
11 cos
NjEVNjEV
tVtv M
ϖϖ
ϖ
MMM
MMM
fNNfNE
fNNfNE
Φ=Φ=Φ=
Φ=Φ=Φ=
2222
1111
44.42
22
44.42
22
πϖ
πϖ
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FERRO NON IDEALERiluttanza del circuito magnetico non nulla (permeanza finita)Legame flusso-amperspire non lineare (isteresi)Perdite per isteresi e correnti parassite non nulle
Corrente magnetizzante non nullaCorrente magnetizzante non sinusoidale (deformata)Potenza dissipata nel nucleo sotto forma di calorePresenza di flussi dispersi che si chiudono prevalentemente in aria
RAME NON IDEALEResistività del rame diversa da zero
Potenza attiva dissipata negli avvolgimenti sotto forma di calore
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CIRCUITO EQUIVALENTE
R1: resistenza equivalente dell’avvolgimento primarioR’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondarioXd1=ϖLd1 con Ld1 induttanza di dispersione primariaX’d2=n2 Xd2 ; Xd2=ϖLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondariaG: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro)B=1/Xm; Xm=j ϖLm con Lm induttanza di magnetizzazioneI0: corrente a vuotoIm: corrente magnetizzanteE’2=nE2
1I 1dX 1R 2'dX 2'R 2'I
1E− GfI mI
0I
'2E−B '
2-V
2I−
2V1V
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mettono in conto le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti primario e secondario, che sono proporzionali al quadrato delle correnti . Devono essere inseriti in serie. G tiene conto delle perdite nel ferro per isteresi e per correnti parassite, circa proporzionali al quadrato dell’induzione e quindi del flusso
potenza volumica dissipata nel ferron=1.8-2.2
e poiche’
La potenza dissipata nella conduttanza G e’:
per questo G viene inserita in parallelo
21 RR ;
21 II e
222 dBfBfp MnM ⋅⋅⋅+⋅⋅= βη
22MMfe BP Φ≡≡
M
M
NfENfE
Φ⋅=
Φ⋅=
22
11
44.444.4 2
221 EEPfe ≡≡
22
21 'GEGEP ==
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RENDIMENTO
dipendente dal caricoindipendente dal carico
Il rendimento massimo si ha in corrispondenza alla potenza apparente nominale
Rendimenti altiCrescono al crescere della potenza nominale
Valori tipici
pu
p
pu
u
e
u
PPP
PPP
PP
+−=
+== 1η fecup PPP +≅
fe
cu
PP
η
nS S2
21cos
cosKSKS
S++
=ϕ
ϕη
MVAkVASn 501%99%92 −=−= perη
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FUNZIONAMENTO A VUOTO
Secondario aperto: non e’ percorsa da corrente
corrente a vuoto (la percentuale descresce al crescere della potenza del trasformatore)
Nell’avvolgimento primario passa
e’ fortemente sfasata in ritardo rispetto a perche’ il circuito e’ fortemente induttivo
0I 1dX 1R
1E−nV1 GfI
'2
'2
'2 djXRZ +=&
BmI
0I
20V
nII 10 %124 −=
0I
1E−0I
2202211 ;; EVNjENjE −=Φ⋅=Φ⋅= ϖϖ
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DIAGRAMMA FASORIALE
La caduta di tensione al primario e’ piccolissima (pochi %°) e puo’, in certi casi, essere trascurata
Im e’ prevalente rispetto a If
0I 1dX 1R
1E−nV1 G BfI mI
0I
20V
01IjX d
1V01IR
1E−
0IfI
mI
2E
Φ
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PROVA A VUOTOo Trascurando le perdite di eccitazione R1I0
2 rispetto a quelle nel ferro GE1
2 (rapporto di poche unità per mille)o Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso
disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale
Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento a vuoto e’ il seguente:
Ammettenza a vuoto primaria
W A
V VT
0I
11 EV −=fI
G BmI
0I
20V
mjBGY +=&
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W A
V1 V2Twattmetroamperometro voltmetro
In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti forniscono i dati sufficienti a ricavare i parametri trasversali del circuito equivalente del trasformatore: G e B
Spesso non e’ necessario effettuare la prova a vuoto in quanto i dati della prova vengono riportati nella TARGA del trasformatore
21
210
01
01
)(...
)(
VBP
VfPmmfIBV
IfV
Mfe ⇒≡
=≡≡
≡=
parabola
zionemagnetizzadinormalecurva
22
21
0
1
0
GYB
VPG
VIY
m
n
n −=⇒=
=&
0P0InV1
0I0P 0P
0I
nV11V
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FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO
Se applicassimo:
Si deve applicare una tensione tale che
: Tensione di corto circuitodecresce al crescere della potenza
Se
Se
puo’ essere trascurata rispetto ad e cioe’: si trascurano le perdite nel ferro rispetto a quelle nel rame
nI1 1dX 1R 2'dX 2'R 2'I
ccV1 1E−fI
G BmI
'2E−
0'2 =V
nnccccn ; IIIIV 21211 307 volte; −=→
ccV1 nn IIII 2211 == ;
ccV1ncc VV 11 %153 −=
ncccc
nn
IIVVIIVV
10011
1011
%182.1%124−=⇒=
−=⇒=
1I 2I0I
0I
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Si trascura la potenza reattiva necessaria a sostenere il flusso principale rispetto a quella richiesta per sostenere i flussi dispersi
Il circuito equivalente diventa:
Impedenza di corto circuito primaria
nI1 1dX 1R 2'dX 2'R
))()( '''21
'21
'ccccddcc jXRXXjRRZ +=+++=&
ccV1
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PROVA IN CORTO CIRCUITO
W A
V T
e’ circa una retta passante per l’origine
dipende dalle riluttanze dei circuiti magnetici percorsi dai flussi dispersi costanti perche’ prevalentemente in aria
parabola:In corrispondenza della corrente nominale:
I dati vengono riportati nella targa:
nI1 ncc IV 11 ⇒
)( 11 IfV =ccP1V
ccP
1V
nI11I
piccolo)('
'''
cc
cccccc X
RXZ ≅&
)( 1IfPcc = 2IPP cccu ≡=
2'2''21
'
1
1' ; ccccccn
cccc
n
cccc RZX
IP
RI
VZ −=⇒== &&
cccc PV ;1
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FUNZIONAMENTO A CARICO
n:1
Note:
Nota Bene: Bm non e’ costante
1I 1dX 1R
1E−1VfI
G BmI0I
'2E−
2'dX 2'R 2'I
'2-V
2I−
2V
11IjX d
1V11IR
1E− 1I'2I
fI0I
mIΦ
2I 2V2E
22 IR
22 IjX d
22 ; IV
+=++−=
+−=+=−=−=−
++=−
'201
11111
10
2'21
'2
'2
'2
'2
'2
)()(
)(
IIIIjXREV
EjBGIIIEnEE
IjXR-VE
d
fm
d
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11IjX d
1V11IR
1E−1I
'2I
fI0I
mIΦ
2I 2V2E
22 IR
22 IjX d
-V’2
'2
'2 IR
'2
'2 IjX
+=++−=
+−=+=−=−=−
++=−
'201
11111
10
2'
21
'2
'2
'2
'2
'2
)()(
)(
IIIIjXREV
EjBGIIIEnEE
IjXR-VE
d
fm
d
DIAGRAMMA FASORIALE FUNZIONAMENTO A CARICO
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DATI DI TARGA
Circuito equivalente a Γ
Generalmente i risultati delle prove di collaudo vengono forniti in valori percentuali:
della potenza nominale
della potenza nominale
della corrente nominale
della tensione nominale
1I '2I−
'ccZ&
Y& '2V1V
1I
1V Y&
"ccZ& 2I−
2V
%%%
%
0
0
cc
cc
VIPP
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ESEMPIO DI TARGA
222
1
02
1
0
2'2''2
1'2
1'
0
0
20
1
100%;
100%
100%;
100%
%%%
%
GYBVSPG
VSIY
RZXSVPR
SVVZ
VIPP
(VA)SVVn
mn
n
n
n
ccccccn
ncccc
n
ncccc
cc
cc
n
n
−=⇒⋅=⋅=
−=⇒⋅=⋅=
=
circuitocortodiTensionevuotoaCorrenteramenelPerditeferronelPerdite
nominaleapparentePotenza
vuotoaionetrasformazdiRapporto
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ESEMPIO NUMERICO
I dati di targa di un trasformatore monofase sono:
Determinare il circuito equivalente
2.0cos%;4.0%%;8.1%%;4%;504026012
00 ======= ϕPPVHzfkVASV
kVn ccccn;;
SGYBSVIY
AV
PIIVP
oppure
GtgBtgGBS
VPGWSPP
RZXIPR
IVVZ
AUSIWSPP
mn
nn
mm
nn
ccccccn
cccc
n
cccc
nnn
cccc
; 6222
1
0
2
01
000010
06
21
000
2"2""22
'
2
20"
202
1044.51055.5
1066.62.012000
160cos
cos
;1011.1;16040000100
4.0100
%
0676.085.153
720;85.153
260100
4100
%
85.153260
40000;72040000100
8.1100
%
−−
−
−
⋅=−=⋅==
⋅=⋅
==⇒=
=→=⋅=====
Ω=−=⇒==⋅=⋅=
====⋅=⋅=
ϕϕ
ϕϕ