RksYgGb;rM yuvCn nigkILa

emeronsegçb nig lMhat;KMrUsRmab;CaCMnYydl;sisSfñak;TI 12

2014-2015

រមភកថ

េនះរគនែតជជនយដលអនកសក គណតវទយថន កទ១២ បែនត ពែមនជឯក រេពញេលញ សរមបកមមវធសក ថន កទ១២ទងមលេនះេទ។

កនងជពកនមយៗៃនេមេរៀនេយើងបនែចក ជពរែផនក ែផនកទ I: សេងខបេមេរៀនេដើមបឲយអនកសក ចងចនវអវែដលេរៀនរចជនយមនយ នងរទសតបទ

សខនៗ សរមបេធវើល ត។ ែផនកទ II: ល តគរ

េយើងបនបញច លវធ រសតមល ឋ នសរមបេធវើល តងយៗេទ មល បទរមងជ ករពនយលេដើមបអនវតតន។

កនងករសក អនកមនរតវពយយមេមើលចេមលើយរបសល តគរេទ។ អនកសក រតវ ន េ យយកចតតទក កនវរបធនល តនមយៗែសវងរកវធកនងករេ ះរ យេនកនងរក សរពង មរេបៀបេផ ងៗ េហើយ កសណរខលនឯងថ េតើល តេនះ ចេ ះ រ យបនបនម នរេបៀប នងេរបើនយមនយ ឬរទសតបទអវខលះ? េធវើែបបេនះេទើបអនក ច យលបនសជេរម នងចងចបននវេមេរៀន ឬរបមនតែដលអនកបនេរៀនរច។

េរកយេពលេធវើដេ ះរ យេលើរក សរពងរច រតវចមលងេ យហមតចតេលើរក ស អ តេ យសរេសរឲយមនរេបៀបេរៀបរយចបសពវរគប េទើបេផទ ងផទ តជមយចេមលើយ

ែដលមន។ េធវើែបបេនះអនកនងទទលេជគជយេហើយ ចបនចេមលើយែដលលអជង នងខល ជងចេមលើយែដលមនកនងគរេទេទៀត។

េដើមបឲយេសៀវេភេនះកនែតលអរបេសើរ េយើងខញ រងចទទលកររះគន នងែកលមអបែនថមអព េ ករគ អនករគ នងអនកសក ទង យេ យកតេ មនស រក យបផត។

រកមអនកេរៀបេរៀង

វធ រសតសរមបេ ះរ យវញញ គណតវទយ

I. េផតើមៃនវញញ នេ យយកចតតទក ក នងយតៗនវវញញ ទងមល។ កណតេពលេវ អតបរមែដលអនករតវេរបើសរមបេ ះរ យ សរេសរចល នង

េមើលេឡើងវញរមជមយអរ ពនទេនកនងវញញ ។ េយើងរតវចបេផតើមជមយល ត ែដលអនកយលថងយ។

II. េពលេធវើវញញ

កលបងេ ះរ យកនងរក សរពង។ េរកយេពលេ ះរ យចប ចមលងចល កនងរក សកចចករ។ េបើមនទនេ ះរ យចបរតវេមើលេឡើងវញកនងរក សរពង េបើយលថរតមរតវេហើយបនតចមលងេ យផចតផចងជពេសសចេមលើយៃន លសណរមនែដល ចជយ អនកឲយេ ះរ យសណរបនត។

េបើអនករបទះនងសណរ ែដលមន ចេ ះរ យបនរតវរក រក សសកនង រក សកចចករ នងបនតេ ះរ យសណរបនទ បៃនល តេ យអនមតលទធផល ផតលពខងេលើ។

សមកេភលចថ លចេមលើយរតវែតមនករពនយល។

III. ករេរៀបចរក សកចចករ សរេសរចេមលើយ មសណរនមយៗេ យបងហ ញលទធផលែដលទទលបន

ឲយចបស ស នងេគរព មករកណតសរេសររបសវញញ ។ សរេសរឲយបនចបស េជៀស ងករេមើលមនយល។ ករសងរកបរតវេគរព មឯក ែដលបនកណត។ េគមនរតវេភលចថបនទ តបះ

ចជយ ឲយគររកបបនលអ។ របធរណមរតរតវេ ចណចចបចែដលមនេនកនងសរមយបភលរបសអនក។

1

បញជអតថបទ លមតនៃអៃគមៃ ........................................................................................................ 3

I.មមម ៀៃសមខេប ......................................................................................................... 3

1.បរមាណវធមលលមត ........................................................................................ 3

2. លមតនៃអៃគមៃបណតា ក ............................................................................... 3

3. លមតតាមកា មបរៀបមធៀប ............................................................................... 3

4. លមតនៃអៃគមៃជបបរទះញកញាប ............................................................. 4

5. លមតនៃអៃគមៃបមកាណមាបត .................................................................... 4

6. លមតនៃអៃគមៃអចសបណខសសែល ............................................................ 4

7. លមតនៃអៃគមៃមោកា តមៃសែ ................................................................... 4

II.លហាតគ .............................................................................................................. 4

មេ មេ ៃខ បែមទេនៃអៃគមៃ .................................................................................19

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................19

1.មេ មេនៃអៃគមៃ .............................................................................................19

2.បែមទេនៃអៃគមៃ ..........................................................................................21

II. លហាតគ ............................................................................................................22

អខមតបកាលកណត ...................................................................................................31

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................31

II.លហាតគ .............................................................................................................31

សកាអមេ ភាែ ៃខ សខសសែមកាខ ...........................................................................39

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................39

2

II.លហាតគ .............................................................................................................40

ចៃៃកផលច ...................................................................................................................56

I. មមម ៀៃសមខេប .......................................................................................................56

II.លហាតគ .............................................................................................................58

មកាៃក ..........................................................................................................................69

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................69

1.បា រា បល .............................................................................................................69

2.មអលប ................................................................................................................70

3.អសែបល .............................................................................................................70

II.លហាតគ .............................................................................................................71

សមកា ឌមផ ាខសសែល ................................................................................................78

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................78

1.សមកា ឌមផ ាខសសែលលដាបទ1 .....................................................................78

2.សមកា ឌមផ ាខសសែលលមៃសអែលដាបទ 2 ......................................................79

II.លហាតគ .............................................................................................................80

បរបប ..........................................................................................................................83

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................83

II.លហាតគ .............................................................................................................84

ផលគណនៃែ វចទ កនខលហ ៃខ អៃេតាៃ ...........................................................89

I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................89

II.លហាតគ .............................................................................................................90

3

លមតនៃអៃគមៃ I.មមម ៀៃសមខេប

1.បរមាណវធមលលមត ប ើ lim f x

x a L 0L 0L 0 0

ប ើ lim g xx a

0M

0 0

ប ោះ lim x xf g

x a

L M L 0 ?

ប ោះ lim x xf g

x a

L M L 0 ? ?

ប ោះ lim x xf g

x a

L M

0 ? 0

ប ោះ

lim

x

g x

f

x a L

M 0 0 ? ? ? ?

កណតសមគា ល : រាងមនកណតគ :0

; 0 ; ;0

2. លមតនៃអៃគមៃបណតា ក នយមនយ : បយើងមគន u ជាអនគមនកណតបលើ

I នង g ជាអនគមនកណតបលើ u I ។

អនគមន ណតា កននu បោយ g បគសរបសរ g uជាអនគមនកណតបលើ I បោយ g u x g u x ។

ប ើ u នង g ជាអនគមនដែលមគន limx

u x

នង limx

g x

ប ោះ limx

g u x

។

3. លមតតាមកា មបរៀបមធៀប ប ើ f x g x នង ប ើ lim

xg x

ប ោះ lim

xf x

ប ើ f x g x នង ប ើ limx

g x

ប ោះ limx

f x

ប ើ h x f x g x នង ប ើ limx

h x L

នង limx

g x L

ប ោះ

limx

f x L

ប ើ f x L g x នង ប ើ lim 0x

g x

ប ោះ limx

f x L

4

កណតសមគា ល : បគអាច កសរាយែចគនា កាលណត x ឬ កាលណត x a (a ជាចននពត)

4. លមតនៃអៃគមៃជបបរទះញកញាប

លមតតតង +∞ : 1lim lim ; lim 0

n

n    x     x xx  ; x     

x

លមតតតង 𝟎 : 𝒏 ជាចននគតរឡាទ វជជមគន នងគ 0

0

1lim   x

x

n

x

𝒏 ជាចននគតរឡាទ វជជមគន នងបសស 0

0

1lim   x

x

n

x

𝒏 ជាចននគតរឡាទ វជជមគន នងបសស 0

0

1limx

x

n

x

5. លមតនៃអៃគមៃបមកាណមាបត

0 0

lim 1        ; lisin 1 cos

m 0x x

x x    

x x

6. លមតនៃអៃគមៃអចសបណខសសែល

lim

x

    xe ;      lim 0      ;     lim  

xx

    x     x

ee  

x

ប ើ 0n ប ោះ lim

x

n    x

e

x នង lim 0

n

x    x

x

e

7. លមតនៃអៃគមៃមោកា តមៃសែ

lim ln x

    x

; 0

lim ln x

    x

   ; l

lim 0n x

x

    x

0

im 0lnl x x

 x

; 0

lnlimx

x

x

ប ើ 0n ប ោះ 0

lim 0 ;ln

ll m 0nix

x xx

n

n    x     x        

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត។

5

1. 2

2

2 3

1

x xf x

x

; គណ lim f x

    x

ចបមលើយ

a. ចប ោះតគ 0x ;

2

2 2 2

22

22

1 3 1 32 22 3

11111

f

xx x x x x xxx

xxx

b. បគបាន 1lim 0

    x x ;

2

1lim 0

     x x

ែបចាោះ 2

1 3lim 2 2

x x x នង

2

1lim 1 1

x x

វបាក lim 2

    x

f x

2.

2

1

1

xxf

x

គណ lim    x

f x ; 1

lim ; lim     x    x

f x           f x

ចបមលើយ

ក.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

f

    x     x     x     x

xx x x

xx xx x

x x

1lim 0

    x x

ខ.

2 22

2

11

1 1lim lim

2 11lim lim

21 1

f

    x     x     x     x

xx x x

xx xx x

x x

1lim 0

    x x  

គ.

21 1

1limlim

1f

   x    x

xx

x

1

lim 1 2

   x

x នង 2

1lim 1 0

    x 

x បោយ 2

1 0 x   ចប ោះ 0  x

6

ែបចាោះ 1

lim f

   x

x

3.គណ លមតខាងបតកាម :

ក. 1

1m

1li

x

x

x ; ខ.

32

2im

2

8l

x

x

x ; គ.

0

1li

1m

sin x

x

x x

ចបមលើយ

ក. 1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 211lim lim li

1lim

1 1m

x x x x

x xx x     

x xx x x x

ខ. 32

2im

2

8l

x

x

x

បយើងែងថា 3 3 2 2 a b a b a ab b ែបចាោះ 3 28 2 2 4 x x x x

តាង

3 2

2 2 2 22 2

8 2 2 4 2 2f x

x xx 

x x x x x

2

2 4

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

2

2 2 4 2 2

x

x x x x

2

1

2 4 2 2

x x x

3 22 2

lim l2 2 1 1

8 482 4im

2 2

x x

x

x x x x

គ. 0

1li

1m

sin x

x

x x

តាង

1 1

sin s

1 11 1

1 1in xf

x

x x x xx x  x

x x

2

   1 1sin xx

x

x

1 1sin

2

x

x  

x x

7

0 0

2lim l

s 1 1im

inf

x

x x

xx   

x x

0 0

lim lim2

1sin 1x

x x

x    

x x ;

0 0

sinlim lim

sin1

x

x

x x

x

x

1

4. គណ 2 24lim 1 1

    x

x x  

បយើងប ើញ 24lim 1     

    x

x ; 2lim 1

    x

x  

ជារាងមនកណត x បយើងឧ មគ 1x

2 2

2 2

1 14 1 4 4

x x x

x x

បោយ 1x ; x x នង 2

2

14 1 4 x x

x

ែចគនា ដែរ 2 2

2 2 2

1 1 11 1 1 1

x x x x

x x x

ែបចាោះ 2 2

2 2

1 14 1 1 4 1f x x x   x  x

x x

2 2

1 14 1

x   

x x

lim

    x

x នង 2 2

1 14 1 2 1 1lim

    x   

x x

វបាក limx

x

 f

5.កណតលមតតតង 1 ននអនគមន f កណតបលើ 1, 1 បោយ 2

3 1

1f

xx

x

ក. 2

1 1  3 1 4lim lim 1 0

   x     xx  ; x

ខ.សកាសញញា នន 2 1x បោយបត ើតារាងខាងបតកាម

𝒙 − ∞ − 𝟏 𝟏 +∞ 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟎 − 𝟎 +

8

គ. 2

   1

   1

li  m  1 0x

x

x នង 2

    1

    1

li  0m 1x

x

x

វបាក     1

    1

limx

x

 f x នង     1

    1

limx

x

 f x

6. បគមគនអនគមន 3 2 1

1

x x xf x

x

គណ

ក. limx

f x

ខ. limx

f x

គ. 1

limx

f x

ចបមលើយ

ក. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

ខ. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

គ. 3 2

1lim 1 0x

x x x

នង 1

lim 1 0x

x

លមតបនោះមគនរាងមនកណត 00

223 2 1 11 11

1 1 1

x xx x xx x xf x

x x x

ែបចាោះ 2

1 1lim lim 1 2x x

f x x

7. បគមគនអនគន 3 2

2

3 1 3 3

4 3

x x a x af x

x x

(a ជាចននពតដែលឲយ)

ក. limx

f x

ខ. limx

f x

គ. 3

limx

f x

. 1

limx

f x

ចបមលើយ

ក. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

ខ. 3

2lim lim limx x x

xf x x

x

9

គ. តាង

N xf x

D x ដែល 3 23 1 3 3N x x x a x a

2 4 3D x x x

3

lim 0x

N x

នង 3

lim 0x

D x

; លមតបនោះមគនរាងមនកណត 00

2 23 1 3 1 3 1 3N x x x a x a x x a x

23 1x x a

3 1D x x x

2 2

3 3 3

3 1 1 8lim lim lim

3 1 1 2x x x

x x a x a af x

x x x

. 2

1lim 1x

x a a

នង 1

lim 1 0x

x

1

limx

f x

មគនសញញា អាសរសយបៅសញញា នន a នង 1x

ប ើ 0a 2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

ប ើ 0a 2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

2

1 1

1lim lim

1x x

x af x

x

ប ើ 0a 2

1 1 1

1lim lim lim 1 2

1x x x

xf x x

x

8. បគមគនអនគមន 3 2 2 5x x x

f xx x

កណតបលើ (0, )

ក. ងហា ញថា ចប ោះ 5

2x បគបាន

3xf x

x x

ខ. គណ 3

limx

x

x x

គ. ទាញយកតនមលនន limx

f x

10

ចបមលើយ

ក. ប ើ 5

2x បគបាន 2 5 0x នង 2 2 5 0x x

(បត ោះ 2 0x នង 2 5 0x ) ែបចាោះ 3 32 2 5x x x x

បោយ 3 32 2 5

0,x x x x

x xx x x x

ខ. ចប ោះ 3 3 25

;12

11

x x xx

x x xx

xx

, 2limx

x

នង

1lim 1 1x x

ែបចាោះ

3 2

lim lim1

1x x

x x

x x

x

គ. បយើងប ើងថាចប ោះ 5

2x ,

2xf x

x x

បោយ 3

limx

x

x x

បយើងអាចទាញបានថា lim

xf x

9. លហាតគរ

ក. គណ 0

sin5lim

5

x

xx បយើងតាង 5X x

បគបាន 0

sin1lim

X

X

X ែបចាោះ

0

sin5lim 1

5

x

x

x

ខ. គណ 4 4

2sin 2sin

lim l4 4

4

im

4

x x

x x

π πx x

តាង  ;   4

X x π

4π

x ប ោះ 0X

ែបចាោះ 0

4

2sinsin

lim l4

2 2 1 2

4

im

x

X

X

x

π Xx

  

11

គ.គណ

0 0

5 5

5 5

2sin52sin5lim lim

5 5 5 5

x

x x x

xx

x x

 

       

0

52s 5lim

in5x

         x

  x   

x

0 0

sin5lim(10 ) 5 5

5lim

x

xx

x

x  10 2 5 20 5

.គណ 3

3 cosli

n

3

msix x

π

x

 

πx

បយើងបាន 3 13 cos sin 2 cos sin

2 2x x x x

   2 sin cos cos sin

3 3x x

π π  

2sin 2sin3 3

x x

π π  

3 3

sin3 cos s

lim limin 3

33

2

xx x

xx

π πx x

π

          

ππ

តាង ;3 3

X x x

នាឲយ 0X

ែបចាោះ 0 0

3

sin sinlim lim 2li

3 cos sin2 2

3

mXx x

x

X

X X

π X          Xx

        

10. លហាតគរ

ក.គណ 0

cos2lim

2

1x

x

x បយើងតាង 2X x

0 0 0

lim li1 cosc

m limos 1 1 cos

0XX X

X X X

X X X     

12

ខ.គណ 2

cos2

2

lim

1x

x

πx

បយើងតាង 2

X x

; ប ើ 2

x

ឲយ 0X

ែបចាោះ 0 0

2

cos 1cos 1 1 cos

lim lim l2

0i

2

m

xX X

X Xx

π X Xx

π

π

គ. គណ

2

0 0

coslim lim

cos 1 cos 11

cos 1 cos 1

xx x

x x x x

x x

cos 1 0x ឬ cos 1x ឬ 2 ,x k k

បយើងបាន

2

0 0 0

cos 1c 10

cos 1

os 1 coslim lim lim

x

x

x x

x xx

x x x 

11.គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម

ក. 2

2

sin 1lim

1 sinx

x

x

ខ.

0

2 tan sinlimx

x x

x

ចបមលើយ

ក. តាង 2sin 1

1 sin

xf x

x

តតង

2

បយើងប ើញមគនរាងមនកណត 0

0

បយើងបាន 2 sin 1 sin 1sin 1

1 sin 1 sin

x xxf x

x x

2 2 2

sin 1 sin 1lim lim lim sin 1

sin 1x x x

x xf x x

x

ែបចាោះ 2

lim 2x

f x

ខ. តាង 2 tan sinx x

f xx

, តតង 0 បយើងប ើញមគនរាងមនកណត 0

0

13

2 tanx sin x

f xx x

, 0 0

sin tanlim lim 1x x

x x

x x

ែបចាោះ 0

lim 2 1 3x

f x

12. បគមគនអនគមន 2 sinf x x x x កណតបលើ ។

ក. បគកតសមគា លប ើញថាចប ោះតគ , 1 sin 1x x , រកអនគមន g x ដែលតគ

0,x f x g x ។ ទាញយក limx

f x

។

ខ. រកអនគមន h x ដែលតគ 0,x f x h x ។ ទាញយក limx

f x

។

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន 2 sinf x x x x

ចប ោះតគ : 1 sin 1x x

1 sin 1x

ប ើ 0x បគបាន : sinx x x x

2 2 sin 2x x x x x x x

3x f x x

ែបចាោះ g x ដែលតតវរកគ g x x

lim limx x

g x x

, បយើងទាញបាន limx

f x

ខ. ប ើ 0x បគបាន 1 sin 1x បោយគណ x ដែលវជជមគនបគបាន :

sinx x x x ឬ 2 2 sin 2x x x x x x x ឬ 3 2 sinx x x x x

ែបចាោះ h x ដែលតតវរកគ h x x

lim limx x

h x x

បយើងទាញបាន limx

f x

13. បគមគនអនគមន 2 1sinf x x

x កណតបលើ * ។ បោយកតសមគា លប ើញចប ោះតគ x មនសនយ

1sin 1

x ។ គណ

0limx

f x

។

14

ចបមលើយ

ប ើ 10, sin 1x

x ែបចាោះ 2 21

sinx xx

បោយ 2

0lim 0x

x

បយើងបាន : 0

lim 0x

f x

14.លហាតគរ

គណ លមតខាងបតកាម :

a. 2 lnlim xx

     x

b. 2  im lnl x x

    x 

c. 0

lnlim

x

x

  x

d. 3

2 

lnlim

x

x     x

ចបមលើយ

a. តាង 2 lnxf x x

2lim x

     x

នង lim ln x

     x

ែបចាោះ lim f x

     x

b. តាង 2 lnxf x x 2lim

     xx នង lim ln x

     x

វាមគនរាងមនកណត

2 2

2ln 1

ln xx

xf x x x

2 2

2l

lnlim lim limn . 1x

xx x

x

    x     x    x

2

lnlim1 0

x

x

    x       = +                  

c. តាង ln

fx

xx

កណតបលើ (0, )

0 0 0 0 0

lim lim lim1

lim ln lim1

lnf x f x xx x

x

x   x   x   x   x 

15

d. តាង

3

2

lnf

xx

x កណតបលើ (0, )

3

lim ln x

    x

  នង 2lim x

    x

វាមគនរាងមនកណត

បែើបមបើគណ លមតបនោះបយើងតាង 3

2x X ែបចាោះ2

3X x នង lim X

     x

3

2

33

3 3

2 33

2

3ln

3

2

lnl2 n

XXX

xX

fX

X

3 3

2lim

3

lnlim

x

Xxf

X

    X ដត l

im 0n

lX

X

     X

ែបចាោះ 0lim f x

     x

15. បគមគនអនគន f កណតបលើ (1, ) បោយ 3 1

ln1

xf x

x

។

គណ 1

limx

f x

នង limx

f x

។ ចបមលើយ

បយើងតាង lnf x u x ដែល u x កណតបលើ (1, ) បោយ 3 1

1

xu x

x

បយើងបាន 1

lim 3 1 4x

x

នង 11

lim 1 0x

xx

ែបចាោះ

1limx

u x

វបាក 1 1

lim limlnx x

f x u x

ចប ោះតគ x នន (1, ) បយើងបាន

13

11

xx

u x

xx

1 13 3

lim lim lim 311

11x x x

xx xu x

xxx

ែបចាោះ lim lim ln ln3x x

f x u x

16. គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម :

16

ក. 1lim ln

2x

x

x

; 1

lim ln2x

x

x

;

22

1lim ln

2x

x

x

x

;

11

1lim ln

2x

x

x

x

ខ. 0

lim 1 lnx

x x

; lim 1 lnx

x x

គ. 0

2ln 1lim

2x

x

x

; 2ln 1lim

2x

x

x

ចបមលើយ

ក.តាង 1

ln2

xf x

x

1lim 1

2x

x

x

បយើងបាន lim 0

xf x

1lim 1

2x

x

x

បយើងបាន lim 0

xf x

22

1lim

2x

x

x

x

បយើងបាន

22

limx

xf x

11

1lim 0

2x

x

x

x

បយើងបាន

11

limx

xf x

ខ. តាង 1 lnf x x x

0lim 1 1x

x

, 0

limlnx

x

បយើងបាន 0

limx

f x

lim 1

xx

, lim ln

xx

បយើងបាន lim

xf x

គ. តាង 2ln 1

2

xf x

x

0

lim 2ln 1x

x

, 00

lim2 0x

xx

បយើងបាន

0limx

f x

2ln 1 2ln 1 ln 1

2 2 2 2

x x xf x

x x x x x

lnlim 0x

x

x នង 1

lim 02x x

បយើងបាន lim 0x

f x

17.លហាតគរ

a. lim 1x

e x

x    b.

2lim

e

x

x

     x

c. 0

lime e

x

x x

x d. 1

limx

x

     x

e

ចបមលើយ a. តាង 1xxf x

e ;lim lim 1

x

     x      xe            x

វាមគនរាងមនកណត ∞ − ∞

17

1

1 1x

xe

f e xe

e

x x

x x

11

lim limx

f x ee e

x

x x     x      xlim lim

11

xe

e e

x

x x     x      x

lim 0x

e

x     x    ; l

10im

e

x     x ; lim li1 m

11 ;

xe

e e

x

x x     x      x              

ែបចាោះ lim f x

     x

b.2

lime

x

x

     x តាង 2 2

1 

ex

xf e

x

xx ដត 0lim e

x

     x នង

2im 0l

1 x

     x

ែបចាោះ 0lim f x

     x

c.តាង xxe

xx

ef

0 0 0 0

lim lim lim lim1x xe

f xe

e ex x

x x

 x x x x 

0

lim 2x x

xe e

នង

0

0

1limx

xx

បយើងបាន 0

0

limx

x

f x

0

lim 2x x

xe e

នង

0

0

lim1

x

xx

បយើងបាន 0

0

limx

x

f x

d.តាង 1 1e e

xx x

fx

x x

lim lim lim1e

f xx x

x

   x    x    x

ដត limx

e

x

x

នង 1lim 0x x

បយើងបាន lim f x

     x

18. គណ លមតននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 1

0lim x

xe

; ខ.

1

lim x

xe

; គ. 3lim x

xxe x

ចបមលើយ

ក. បយើងតាង 1

u xxf x e e ដែល 1

u xx

0 00 0

1lim lim

x xx x

u xx

បគបាន lim 0X

Xe

18

ែបចាោះ

0 00 0

lim lim 0x x

u x

x xf x e

0 00 0

1lim lim

x xx x

u xx

នង lim X

Xe

ែបចាោះ

0 00 0

lim limx x

u x

x xf x e

ខ. 1

lim lim 0x x

u xx

បោយ 0

0lim 1X

Xe e

ែបចាោះ lim lim 1

u x

x xf x e

គ. បយើងតាង 3xf x xe x

កាលណត x , f x មគនរាងមនកណត

ចប ោះតគ 0x , 3

21

xef x x

x

បោយ

2lim

x

x

e

x ប ោះបយើងបាន

2

lim 1x

x

e

x

បលើសពបនោះបៅបទៀត 3lim

xx

បយើងអាចទាញបានតាមលមតនន

លគណ , limx

f x

។

19. កណតលមតននអនគមនខាងបតកាម

ក. lim ln 1 x

xe

, ខ. lim ln 1 x

xe

, គ.

0lim lnx

xe x

, . lim lnx

xe x

ចបមលើយ

ក. lim 1 1x

xe

បយើងបាន lim ln 1 0x

xe

ខ. lim 1 x

xe

បយើងបាន lim ln 1 x

xe

គ. 0 0

limln , lim 1x

x xx e

បយើងបាន

0lim lnx

xe x

. lim ln , lim x

x xx e

បយើងបាន lim lnx

xe x

19

មេ មេ ៃខ បែមទេនៃអៃគមៃ

I.មមម ៀៃសមខេប

1.មេ មេនៃអៃគមៃ a.រ មនាបលើបែរបវ

ដែនកណតននអនគមន 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ

𝑎 0 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℝ) 𝑛𝑥𝑛−1

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ∗ 1

𝑥 −

1

𝑥2

𝐷𝑓 = (0,+∞) នង 𝐷𝑓′ = (0,+∞)

√𝑥 1

2√𝑥

លកខខណឌ

អនគមន អនគមនមគនបែរបវកណតបលើចប ល ោះ 𝐼

អនគមន 𝑢 នង 𝑣 មគនបែរបវ បៅបលើចប ល ោះ 𝐼 នង λ ចននបេរ

𝑢 + 𝑣 𝑢′ + 𝑣′ 𝑢. 𝑣 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ λ. 𝑢 λ. 𝑢′

អនគមន 𝑢 នង 𝑣 មគនបែរបវ បៅបលើចប ល ោះ 𝐼 នង 𝑣 ≠ 0 បលើ 𝐼

1

𝑣 −

𝑣′

𝑣2

𝑢

𝑣 𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′

𝑣2

អនគមន ណតា ក: 𝑢 មគនបែរបវបលើ 𝐼, 𝑣 មគនបែរបវបលើ 𝑢(𝐼)

𝑣 ∘ 𝑢

(𝑣′ ∘ 𝑢) × 𝑢′

𝑢 មគនបែរបវបលើ 𝐼 , 𝑢 > 0 បលើ 𝐼

√𝑢 𝑢′

2√𝑢

𝑢𝑛 (𝑛 ∈ ℝ) 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′

20

b.បែរបវ ននអនគមនតតបកាណមគតត

ដែនកណត 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ

cos x sin x sin x cos x

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ − {𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} tan x 2

2

11 tan

cosx

x

𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} cot x 2

2

11 cot

sinx

x

sinu cosu u cosu sinu u tanu 2

21 tan

cos

uu u

u

cotu 2

21 cot

sin

uu u

u

ប ើ f x មគនបែរបវ នា ទ រហតែលលោ n បយើងកណតតាងបោយ ( )nf x ដែល 1n n

f x f x

។

C.បែរបវ ននអនគមនអចសបណងដសយល នង បោការតបនដព

ដែនកណត 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓′ = ℝ 𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑢 𝑢′𝑒𝑢 𝐷𝑓 =]0,+∞[

ln x 1

𝑥

lnu 𝑢′

𝑢

d. អនវតានននបែរបវ

បលបឿនននចល មយបៅខណ t គ ds

v t s tdt

ដែល s t ជាចមគា យចរបៅខណ t ។

សទោះននចល មយបៅខណ t គ dv

a t v tdt

ដែល v t ជាបលបឿនននចល បៅខណ t ។

21

2.បែមទេនៃអៃគមៃ a.តពមទវននអនគមនជ ត ទោះញកញា ( k ជាចននបេរ)

អនគមន 𝑓(𝑥) តពមទវ 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 (𝑛 ≠ −1) 𝐹(𝑥) =

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

√𝑥 𝐹(𝑥) = 2√𝑥 + 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥2 𝐹(𝑥) = −

1

𝑥+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥𝑛 (𝑛 ≥ 2) 𝐹(𝑥) = −

1

(𝑛 − 1)𝑥𝑛−1+ 𝑘

𝑓(𝑥) =1

𝑥 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| + 𝑘

sinf x x cosF x x k cosf x x sinF x x k 0, cosa f x ax b

1

sinF x ax b ka

0, sina f x ax b

1cosF x ax b k

a

2

2

11 tan

cosf x x

x tanF x x k

2

11 cot

sinf x x

x cotF x x k

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑘

b.ត មគណវធបលើតពមទវ ( c ជាចននបេរ)

អនគមន តពមទវ 𝑓 + 𝑔 𝐹 + 𝐺 + 𝑐 𝜆𝑓 𝜆𝐹 + 𝑐

𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢𝑣 + 𝑐 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑢

𝑣+ 𝑐

(𝑣′ ∘ 𝑢) × 𝑢′ 𝑣 ∘ 𝑢 + 𝑐

22

𝑢𝑛𝑢′ 𝑢𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑐

𝑢′

𝑢𝑛 (𝑛 ≠ 1) −

1

(𝑛 − 1)𝑢𝑛−1

𝑢′

√𝑢 2√𝑢

II. លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត។

1.គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 + 2 ខ.𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)5

គ.𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 . 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + √1 + 𝑥2)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 + 2 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 9𝑥2 − 4

ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)5 បយើងតាង 𝑢 = 2𝑥 − 1 ឬ 𝑢′ = 2

𝑓(𝑥) = 𝑢5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5𝑢5−1. 𝑢′ = 5𝑢4 × 2 = 10𝑢4 ឬ 𝑓′(𝑥) = 10(2𝑥 − 1)4

គ. 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 បយើងតាង 𝑢 = 1 + 𝑥2 ឬ 𝑢′ = 2𝑥

𝑓(𝑥) = √𝑢 ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑢′

2√𝑢

𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥2 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

2√1+𝑥2 = 𝑥

√1+𝑥2

. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + √1 + 𝑥2) បយើងបត ើរ មនា (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑣 = 𝑥 + √1 + 𝑥2 ⇒ 𝑣′ = 1 +2𝑥

2√1+𝑥2= 1 +

𝑥

√1+𝑥2

𝑓′(𝑥) = 1(𝑥 + √1 + 𝑥2) + 𝑥 (1 +𝑥

√1+𝑥2)

= (𝑥 + √1 + 𝑥2) +𝑥(√1+𝑥2+𝑥)

√1+𝑥2= (𝑥 + √1 + 𝑥2) (1 +

𝑥

√1+𝑥2)

= (𝑥+√1+𝑥2)(√1+𝑥2+𝑥)

√1+𝑥2 = (𝑥+√1+𝑥2)

2

√1+𝑥2

2. គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម:

ក. 2cosf x x ខ. 2cosg x x

23

គ. 2 2cosh x x . 2 cos 3 1k x x x

ចបមលើយ

ក. 2cosf x x មគនរាង 𝑢2(𝑥) បោយ cosu x x

បគបាន (𝑢2)′ = 2𝑢𝑢′

𝑓′(𝑥) = 2𝑢(𝑥). 𝑢′(𝑥) = 2(cos𝑥)(− sin𝑥) = −2sin 𝑥 cos𝑥 = −sin 2𝑥

ខ. 2cosg x x មគនរាង cos v x បោយ 𝑣(𝑥) = 𝑥2

តាមបែរបវននអនគមន ណតា កបយើងបាន

2cos sin 2 2 sing x v x v x v x x x x

គ. 2 22 2 2cos cosh x x x g x

កាងសណរ ខ បយើងបាន 22 sing x x x

2 2 22 2cos 2 sin 2 sin 2h x g x g x x x x x x

. 2 cos 3 1k x x x

បយើងបត ើរ មនា (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ នង cos sinu u u

𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑢′ = 2𝑥 cos 3sin 3 1v u v x

22 cos 3 1 3sin 3 1f x x x x x 22 cos 3 1 3 sin 3 1x x x x

3.គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 − 𝑥𝑒𝑥 ខ. 𝑔(𝑥) = 10𝑥

𝑒𝑥+1

គ. 1 2lnh x x x . 2

lnx xk x

x

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 − 𝑥𝑒𝑥 បយើងបាន 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − (1 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥) = −𝑥𝑒𝑥

ខ. 𝑔(𝑥) = 10𝑥

𝑒𝑥+1 ប ោះ 𝑔′(𝑥) = 10(𝑒𝑥+1)−10𝑥(𝑒𝑥)

(𝑒𝑥+1)2

24

ែបចាោះ 𝑔′(𝑥) = 10(𝑒𝑥+1−𝑥𝑒𝑥)

(𝑒𝑥+1)2

គ. 1 2lnh x x x បយើងបាន ℎ′(𝑥) = −1 −2

𝑥=

−𝑥−2

𝑥

. 2

lnx xk x

x

បយើងបត ើរ មនា

2

u u v uv

v v

2

4 3 3

11 2 ln

1 2 2ln 1 2lnx x x x

x x x x xxk x

x x x

4.គណ បែរបវ នា ទ ននអនគមន 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 4)5

ចបមលើយ

បយើងប ើញ 𝑓(𝑥) = (𝑢(𝑥))5 បោយ 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 4 នង 𝑢′(𝑥) = 3

𝑓′(𝑥) = 5(𝑢(𝑥))4𝑢′(𝑥) = 5(3𝑥 + 4)4 × 3

𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′= 4 × 5(3𝑥 + 4)3 × 32

𝑓(3)(𝑥) = 3 × 4 × 5(3𝑥 + 4)2 × 33 𝑓(4)(𝑥) = 2 × 3 × 4 × 5(3𝑥 + 4) × 34

𝑓(5)(𝑥) = 2 × 3 × 4 × 5 × 35 = 5! × 35 𝑓(6)(𝑥) = 0 ចប ោះ 𝑛 > 5 𝑓(𝑛)(𝑥) = 0

5. គណ បែរបវននអនគមន 3 1

ln1

xf x

x

ចបមលើយ

3 1

ln1

xf x

x

តាង 𝑢(𝑥) = 3𝑥+1

𝑥−1

បយើងបាន 𝑓(𝑥) = ln(𝑢(𝑥)) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥)

𝑢(𝑥) = 3𝑥+1

𝑥−1 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 3(𝑥−1)−(3𝑥+1)

(𝑥−1)2 = −4

(𝑥−1)2

𝑓′(𝑥) = −4

(𝑥−1)2

3𝑥+1

𝑥−1

= −4

(3𝑥+1)(𝑥−1)

25

6. គណ បែរបវននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 ខ. 𝑔(𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥

គ. ℎ(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥2 . 𝑘(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥

ង. 𝑙(𝑥) = 𝑥2𝑒−𝑥 ច. 𝑓(𝑥) = 𝑒(1−1

𝑥)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(1 + 𝑥)

ខ. 𝑔(𝑥) = 𝑥3𝑒𝑥 ⇒ 𝑔′(𝑥) = 3𝑥2𝑒𝑥 + 𝑥3𝑒𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥(3 + 𝑥)

គ. ℎ(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥2 ⇒ ℎ′(𝑥) =𝑥2𝑒𝑥−𝑒𝑥∙2𝑥

𝑥4 =𝑥𝑒𝑥(𝑥−2)

𝑥4

ែបចាោះ ℎ′(𝑥) =𝑒𝑥(𝑥−2)

𝑥3

. 𝑘(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥 ⇒ 𝑘′(𝑥) =𝑒𝑥−𝑥𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2 =

𝑒𝑥(1−𝑥)

(𝑒𝑥)2

ែបចាោះ 𝑘′(𝑥) =1−𝑥

𝑒𝑥

ង. 𝑙(𝑥) = 𝑥2𝑒−𝑥 ⇒ 𝑙′(𝑥) = 2𝑥𝑒−𝑥 + 𝑥2(−𝑒−𝑥)

= 2𝑥𝑒−𝑥 − 𝑥2𝑒−𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥(2 − 𝑥) ែបចាោះ 𝑙′(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥(2 − 𝑥)

ច. 𝑓(𝑥) = 𝑒(1−1

𝑥) បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 1 −

1

𝑥 នង 𝑢′(𝑥) =

1

𝑥2

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑒𝑢(𝑥) =1

𝑥2 𝑒(1−1

𝑥)

7.បគមគនអនគមន f កណតបលើ បោយ

52

1

3f x

x

នង អនគមន g កណតបលើ

1,0 បោយ

53

1 1

1g x

x x

ក.គណ f x

ខ.គណ g x ។ ងហា ញថា 0g x ចប ោះតគ 1x នង 0x ។

26

ចបមលើយ

ក.

52

1

3f x

x

កណតបលើ

បយើងតាង 5 4 4

2 2 23 5 2 3 10 3u x x u x x x x x

42

2 10 62 2

10 31 10

3 3

x xu x xf x f x

u x u x x x

ែបចាោះ

62

10

3

xf x

x

ខ.

53

1 1

1g x

x x

កណតបលើ 1,0

បយើងតាង 2

3 6 4

1 3 3xh x h x

x x x

4

5 10 6

5 11 5

1 1 1

xk x k x

x x x

64

3 5

1g x h x k x

x x

'

64

3 5

1g x

x x

បលើ 1,0 បយើងបាន

4

30

x នង

6

50

1x

ែបចាោះ 0g x (ល កននពរចននអវជជមគនោចខាត)

8. បគមគនអនគមន f កណតបលើ បោយ 21f x x x x ។ សរាយ ភលថា ចប ោះតគ x ជា

ចននពត 0f x ។

ចបមលើយ

តគ x , 21f x x x x

បយើងបាន 2

2

21 1 1

2 1

xf x x x x

x

27

2

2 2

2 2

11 1 1

1 1

x x xxx x x x x

x x

2

2 2

2 2

11 1 1

1 1

x x xx x x x

x x

22

2

1

1

x xf x

x

ងហា ញថា តគ ចននពត x , 0f x

តគ x បលើ , 21 0x

តគ x បលើ , 2

21 0x x ដនា 21x x មនអាចបសមើ 0 បទ

ពបត ោះប ើ 21 0x x ប ោះបគបាន 21x x ែបចាោះបោយបលើកអងាទាងពរជាកាបរ 2 21x x ជាករណមនអាច។

វបាក 0f x

9.គណ បែរបវទ n ននអនគមន

ក. sinf x x ខ. cosg x x

ចបមលើយ

ក. sinf x x cos sin2

f x x x

sin sin sin 22

f x x x x

ែបចាោះបគអាចគតថា : ( ) sin2

nf x x n

P

តាមបគនលការណននវចារអនមគណរម :

P ពតចប ោះ 1n បយើងឧ មគ P ពតចប ោះ n បយើងសរាយ ញញជ កថាពតចប ោះ 1n

28

1sin cos

2 2

n nf x f x x n x n

sin sin 12 2 2

x n x n

ែបចាោះ P ពតចប ោះ 1n ជាការសនាោា ន : ចប ោះតគ x នងចននគត 1n

បគបាន បែរបវទ n នន sinf x x គ ( ) sin2

nf x x n

ខ. គណ បែរបវទ n នន cosg x x

cosg x x sin cos2

g x x x

cos cos cos 22

g x x x x

ែបចាោះបយើងគតថា cos2

ng x x n

Q

តាមបគនលការណននវចារអនមគណរម :

Q ពតចប ោះ 1n បយើងឧ មគថា Q ពតចប ោះ n បយើងសរាយ ញញជ កថា Q ពតចប ោះ 1n

1cos sin

2 2

n ng x g x x n x n

cos cos 12 2 2

x n x n

ែបចាោះ Q ពតចប ោះ 1n ជាការសនាោា ន : ចប ោះតគ x នង ចននគត 1n

បគបាន បែរបវទ n នន cosg x x គ cos2

ng x x n

10. ប ើ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 កណតតពមទវននអនគមន 𝑓(𝑥) ដែល វាយកតនមល 4 ចប ោះ 𝑥 = 1 ។

តពមទវទបៅ 𝐹(𝑥) =𝑥4

4−

𝑥3

3+ 𝑥2 − 𝑥 + 𝑘

𝐹(1) = 4 =1

4−

1

3+ 1 − 1 + 𝑘 បយើងបាន 𝑘 =

49

12

29

ែបចាោះតពមទវតតវកណតគ 𝐹(𝑥) = 𝑥4

4−

𝑥3

3+ 𝑥2 − 𝑥 +

49

12

11. រកតពមទវននអនគមនខាងបតកាម :

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2 ខ. 𝑓(𝑥) = 1

(𝑥−1)2 គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥

√1+𝑥2

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2 តពមទវនន 𝑥2 គ 𝑥

3

3 ; តពមទវនន 1

𝑥2 គ −1

𝑥

បយើងបានតពមទវនន 𝐹(𝑥) = 𝑥3

3−

1

𝑥+ 𝑘

ខ. 𝑓(𝑥) =1

(𝑥−1)2 តាង 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 1

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

(𝑢(𝑥))2 ែបចាោះ 𝐹(𝑥) = −

1

𝑢(𝑥)+ 𝑘 ឬ 𝐹(𝑥) = −

1

𝑥−1+ 𝑘

គ. 𝑓(𝑥) =𝑥

√1+𝑥2 បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 1 + 𝑥2 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 2𝑥

𝑓(𝑥) = 2𝑥

2√1+𝑥2=

𝑢′(𝑥)

2√𝑢(𝑥)

ែបចាោះ 𝐹(𝑥) = √1 + 𝑥2 + 𝑘

12. រកតពមទវននអនគមនខាងបតកាម :

ក. 𝑓(𝑥) = 2

3−𝑥 ខ. 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

𝑥2+𝑥+1

គ. 1

lnf x

x x .

ln xf x

x

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 2

3−𝑥 តាង 𝑢(𝑥) = 3 − 𝑥 នង 𝑢′(𝑥) = −1

𝑓(𝑥) = −2 × 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥)

ែបចាោះ តពមទវ នន 𝑓(𝑥) គ 2ln 3F x x k

ចប ោះ 𝑥 ∈ (3,+∞) ; |3 − 𝑥| = 𝑥 − 3 បគអាចបាន 2ln 3F x x k

ខ.𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥2+𝑥+1 បយើងតាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 + 1

30

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 2ln 1F x x x k

ដតចប ោះតគ 𝑥 ∈ ℝ , 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ែបចាោះ 2ln 1F x x x k

គ. 1

lnf x

x x តាង lnu x x នង 𝑢′(𝑥) =

1

𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ ln lnF x x k

𝑥 ∈ (1,+∞) , ln 0x ែបចាោះ ln lnF x x k

𝑥 ∈ (0,1) , ln 0x ែបចាោះ ln lnF x x k

. ln x

f xx

តាង lnu x x នង 𝑢′(𝑥) = 1𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑢(𝑥) បយើងបាន 21

ln2

F x x k

13. គណ តពមទននអនគមនខាងបតកាម

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒(−2𝑥−1) ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒(𝑥2+𝑥) គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒(𝑥2+3)

ចបមលើយ

ក. 𝑓(𝑥) = 𝑒(−2𝑥−1) តាង 𝑢(𝑥) = −2𝑥 − 1 នង 𝑢′(𝑥) = −2

𝑓(𝑥) = −1

2𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) = −

1

2𝑒(−2𝑥−1) + 𝑘

ខ. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒(𝑥2+𝑥) តាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 + 1

បយើងបាន 𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) = 𝑒(𝑥2+𝑥) + 𝑘

គ. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒(𝑥2+3) តាង 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 3 នង 𝑢′(𝑥) = 2𝑥

បយើងបាន 𝑓(𝑥) =1

2𝑢′(𝑥) ∙ 𝑒𝑢(𝑥) ែបចាោះ តពមទវនន 𝑓(𝑥) គ 𝐹(𝑥) =

1

2𝑒(𝑥2+3) + 𝑘

31

អខមតបកាលកណត

I.មមម ៀៃសមខេប

អនគមន f មគនតពមទវF បលើចប ល ោះ I នងa នងb ជាធាតរ ស I

ប ោះ b b

aaf x dx F x F b F a

0a

af x dx

អនគមន f មគនតពមទវបលើ I នងa នងb ជាធាតរ ស I

ប ោះ b a

a bf x dx f x

អនគមន f មគនតពមទវបលើ I ។ តគ , ,a b c ធាតរ ស I ( )a b c

b c c

a b af x dx f x dx f x dx

អនគមន f នង g មគនតពមទវបលើ I ។ តគ ធាត ,a b រ ស I នងតគ នន

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

b b

a af x dx f x dx

អនគមន f នង g ជាអនគមនជា បលើ I នងមគនបែរបវ បលើ I នង ,a bជាធាតរ ស I

b bb

aa af x g x dx f x g x f x g x dx

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត។

1.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម

ក. 1

3

01x dx ខ. 1

42

1dx

x

គ. 2

21

1dt

t

ចបមលើយ

ក. 1

41

3

00

1 51 1

4 4 4

xx dx x

ខ.1

1

4 322

1 1 1 1 7

3 3 24 24dx

x x

32

គ.2

2

211

1 1 1 11

2 2dt

t t

2.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម

ក.4

2

1du

u ខ.

1

1e

dtt

គ.1

02 xe dx

ចបមលើយ

ក.44

2 2

12 4 2 2du u

u

ខ. 11

1ln 1

e edt t

t

គ. 1 1

002 2 2 1x xe dx e e

3.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម

ក. 5

2

12 3I x x dx ខ. 3

21

2 1

1

xI dx

x x

គ.3

2

2I dx

x .

23

3

xI xe dx

ចបមលើយ

ក. 5

52 3 2

11

12 3 3

3I x x dx x x x

125 1 160

25 15 1 33 3 3

ខ. 3

21

2 1

1

xI dx

x x

តាង 2 1u x x x ឬ 2 1u x x

បយើងបាន

3 33 2

1 11ln | | ln | 1|

u xI dx u x x x

u x

3

2

1ln 1x x

(ពបត ោះ 2 1 0x x ចប ោះតគ x )

13ln13 ln3 ln

3I

33

គ. 33

2 2

24 4 3 2I dx x

x

. 2 2

33

9 9

33

1 1 10

2 2 2

x xI xe dx e e e

4. ក.កណតចននពត ,a b បែើមបឲយ 1

2 2

x bf x a

x x

ខ. 2

1I f x dx

ចបមលើយ

ក. 1 2

2 2 2

x b ax a ba

x x x

បយើងបាន 1

2 1

a

a b

ឬ

1

1

a

b

ែបចាោះ 1

12

f xx

ខ.គណ 2 2

1 1

11

2I f x dx dx

x

2 2 2 2

1 11 1ln | 2 |

2

dxdx x x

x

1 2ln 2 ln3 1 2ln 2 ln3

5.ក.កណតចននពត ,a b បែើមបឲយ

2 2

2

11 1

x a bf x

xx x

ខ.គណ 0

1I f x dx

ចបមលើយ

2 2 2 2

12

11 1 1 1

a x b ax a bx a bf x

xx x x x

បយើងបាន 1

2

a

a b

ឬ

1

1

a

b

ែបចាោះ

2

1 1

1 1f x

x x

34

ខ.គណ

0 0 0

21 1 1

1 1

1 1I f x dx dx dx

x x

00

11

1ln | 1|

1x

x

0

0

11

1 1 1ln 1 ln1 ln 2 1 ln 2

1 2 2x

x

6.បគឲយអនគមន f កណតបលើ ( ,1) បោយ

1

12

2

1

x

xf x ex

ក. vជាអនគមនកណតបលើ ( ,1) បោយ 1

1

x

xv x e

។ គណ v x ។

ខ.កណតតពមទវនន f បលើ ( ,1)

គ. ជាចននពតដែល 0 1 ; កណត g f x dx

.រកលមតនន g កាលណត ខតបៅរក 1

ចបមលើយ

ក. គណ v x

1 1 1

1 1 12 2

1 1 1 1 2

1 1

x x x

x x xx x

v x e v x e ex x

ខ.កណតតពមទវនន f បលើ ( ,1)

បយើងបាន

1

12

2

1

x

xv x e f xx

ឬ f x v x

ែបចាោះ v x ជាតពមទវមយនន f x បលើ ( ,1) ពបត ោះ v x f x

គ. (0,1) កណត g f x dx v x

បយើងបាន [ ]g v v v v

1 1 1 1

1 1 1 1g e e e e

.គណ 1 1

1 1

1 1lim limg e e

35

. 1

1 0lim 0

1 2

ែបចាោះ

1

01

1 0lim lim 1X

Xe e e

. 1

lim 1 2

នង 1

1

lim 1 0

ែបចាោះ 1

1

1lim

1

វបាក 1

1

1lim lim 0X

Xe e

. ែបចាោះ 1 1

1 1

1 1lim lim 1 0 1g e e

បយើងបាន 1

lim 1g

7.គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម:

44

0sinI xdx

នង 44

0sin cosJ x xdx

ចបមលើយ

គណ អាងបតតកាល 44

0sinI xdx

2 2 1 cos2cos2 1 2sin sin

2

xx x x

24 21 1

sin 1 cos2 1 2cos2 cos 24 4

x x x x

បយើងែងថា 2cos4 2cos 2 1x x ែបចាោះ 2 1 cos4cos 2

2

xx

បយើងបាន 4 1 1 cos4 1 3 cos4sin 1 2cos2 2cos2

4 2 4 2 2

x xx x x

3 1 1cos2 cos4

8 2 8x x

44 4

0 0

3 1 1sin cos2 cos4

8 2 8I xdx x x dx

4 4 4

0 0 0

3 1 1cos2 cos4

8 2 8dx xdx xdx

4 4 4

0 0 0

3 sin 2 sin 4 3 1

8 4 32 32 4

x xx

គណ អាងបតតកាល 44

0sin cosJ x xdx

36

បយើងសបងាតប ើញថា 4sin cosx x ជាបែរបវននអនគមន 51sin

5f x x

5

44 54

00

1 1 2 2sin cos sin

5 5 2 40J x xdx x

8.បគមគនអាងបតតកាល: 2 44

0sin cosI x xdx

នង 2 44

0cos sinJ x xdx

គណ I J ; I J ; I នង J ។

ចបមលើយ

2 4 2 4 2 4 2 44 4 4

0 0 0sin cos cos sin sin cos cos sinI J x xdx x xdx x x x x dx

2 2 2 2 2 24 4

0 0sin cos cos sin sin cosx x x x dx x xdx

4

24 4

0 00

1 1 1 1 1sin 2 1 cos4 sin 4

4 8 8 4 8 4 32xdx x dx x x

2 4 2 44 4

0 0sin cos cos sinI J x xdx x xdx

2 2 2 2 24 4

0 0

1sin cos cos sin sin 2 cos2

4x x x x dx x xdx

តាង 2sin 2 cos2f x x x មគនតពមទវ 31sin 2

6F x x

ែបចាោះ 3 4

0

1 1sin 2

24 24I J x

គណ I នង J

បោយ 32

1

24

I J

I J

បយើងបាន 1

64 48I

នង 1

64 48J

9. គណ អាងបតតកាលខាងបតកាម :

1

lne

I xdx ; 1

lne xJ dx

x ; 2 1

ln

e

ek dx

x x

37

ចបមលើយ

គណ 1

lne

I xdx

បត ើអាងបតតកាលបោយដាកបោយតាង

1

lnu x x u xx

; 1v x v x x

u x v x v x u x u x v x

1

ln lnx x x xx

1 1 1

1ln ln

e e e

I xdx x x dx xdxx

1 11

ln 1 1ee e

x x dx e x e e

1ln 1

e

I xdx

គណ 1

lne xJ dx

x បយើងកតសមគា លប ើញថា ln 1

lnx

xx x

តាង 1

lnf x x f xx

ែបចាោះ ln x

f x f xx

ដែលមគនពមទវ

21

2F x f x

វបាក តពមទវនន ln x

x គ

21ln

2x

2

11

ln 1 1ln

2 2

ee x

J dx xx

គណ 2

ln

e

e

dxk

x x

បយើងកតសមគា លប ើញថា ln1

ln ln

x

x x x

តពមទវនន f

f

គអនគមន ln f ។ ែបចាោះ តពមទវននអនគមន 1

lnx x គ

អនគមន ln ln ln lnx x ប ើបយើងឧ មគ 1x

2 2

ln ln ln ln 2 ln lnln

e e

ee

dxk x e e

x x

38

ln ln 2 ln 1 ln 2e

10.ក.រកតពមទវននអនគមន 3sinf x x ។

ខ.ទាញយក 32

0sinx xdx

(បោយបត ើអាងបតតកាលបោយដាក)

ចបមលើយ

ក. 3 2 1 cos2 1 1sin sin sin sin sin sin cos2

2 2 2

xx x x x x x x

1

sin cos sin sin2

a b a b a b

ែបចាោះ 1 1

sin cos2 sin3 sin sin3 sin2 2

x x x x x x

3 1 1 3 1sin sin sin3 sin sin sin3

2 4 4 4x x x x x x

វបាក : តពមទវនន 3sinf x x គ 3 1

cos cos34 12

F x x x c

ខ.បយើងតាង 32

0sinJ x xdx

បយើងបត ើអាងបតតកាលបោយដាក

1u x x u x

3 3 1 3 1sin sin sin3 cos cos3

4 4 4 12v x x x x v x x x

3 3 1sin cos cos3

4 12u x v x u x v x u x v x x x x x

2

32 2

0 00

3 1 3 1sin cos cos3 cos cos3

4 12 4 12J x xdx x x x x x dx

2 2

0 0

3 1cos cos3

4 12xdx xdx

2 20 0

3 1 3 1 28 7sin sin3

4 36 4 36 36 9x x

39

សកាអមេ ភាែ ៃខ សខសសែមកាខ

I.មមម ៀៃសមខេប 1.អនគមនសនទាន

ក.អនគមន 2ax bx c

ypx q

ដែល 0, 0p a នង 2

0 0 0ax bx c ចប ោះ 0

qx

p

រកដែនកណត qD

p

ទសបៅអបេរភាព

- គណ បែរបវ

2

2

2apx aqx bq cpy

px q

អាសមតត : ទ តដែលមគនសមការ qx

p ជាអាសមតតឈរ ។

- ប ើ ky mx n

px q

ប ោះ ទ ត y mx n ជាអាសមតតបតទត ។

- តកា ជាអដព លដែលចតឆលោះជាចណចត សពវរវាងអាសមតតទាងពរ ។

- ប ើ 0y មគនឬសពរខសគនា ប ោះអនគមនមគនអត រមគបធៀ មយនងអ ប រមគបធៀ មយ ។

- ប ើ 0y គនម នឬសប ោះអនគមនគនម ន រមគបទ ។

- ប ើ 0y មគនឬសឌ ប ោះអនគមនគនម ន រមគបទ ។

ខ.អនគមន 2

2

ax bx cy

px qx r

ដែល , ,a b c ខសពសនយ នង 0p

អនគមនមគនលកខណោះមយចននែចខាងបតកាម :

តគ តកា តាងអនគមនបនោះមគនអាសមតតបែកមយជានចច ។ ចននអាសមតតឈរគអាសរសយនងចននឬសរ សសមការ 2 0px qx r ។

ប ើ 2 4 0q pr គនម នអាសមតតឈរបទ នងតកា មគនដមកដតមយ ។

ប ើ 2 4 0q pr មគនអាសមតតឈរមយ 2

qx

p នង តកា មគនដមកពរោចគនា ។

ប ើ 2 4 0q pr មគនអាសមតតឈរពរ 2

qx

p

នង តកា មគនដមក ោចគនា ។

2.អនគមនអចសបណងដសយល

40

ល ននការសកាអបេរភាព នង សងតកា ែចគនា បៅនងអនគមនសនទានដែរ ។

បគនល e : បគនល e ដែលបគបត ើមគនតនមល 2.718281e ។ អនគមនអចសបណងដសយលបគនលe ចប ោះតគ ចននពត x អនគមន f កណតបោយ xf x e បៅថាអនគមនអចសបណងដសយលបគនល e ។

បែរបវ : xy e បយើងបាន x xy e e

u xy e បយើងបាន u x u x

y e u x e

ការអនវតានអនគមនអចសបណងដសយល

រ មនាការតបាកសមគស : 1

nt

rA p

p

ដែល p ជាតបាកបែើម r អតតាការតបាកត ចាឆា n ជា

ចននែងននការទទាតការតបាកកាងមយឆា បហើយ A ជាចននតបាកសរ កាងរយោះបពល t ឆា ។ ប ើចននែងននការទទាតបតចើនអននា ឬ ការទទាតជា នា ទ ប ោះរ មនាននការតបាកសមគសកណតបោយ rtA pe ដែលកាងប ោះ A ជាតបាកសរ p ជាតបាកបែើម rជាអតតាការតបាកសមគស នង t ជាចននឆា ោកតបាក ។

3.អនគមនបោការត

ល ននការសកាអបេរភាព នង សងតកា ែចគនា បៅនងអនគមនសនទានដែរ ។

បោការត : បោការតបនដពននចននវជជមគន k គជានទសសនា x នន xe ដែល xe k បគកណតសរបសរ lnx k បហើយ lnx k សមមល xe k ។

អនកមនបោការត : ប ើ 0x អនគមនបោការតបនដពនន x កណតបោយ lny x ។

លមត : ប ើ 0, 0n x ប ោះ 0

lim lnx

x

; lnlim 0

nx

x

x

បែរបវ : ប ើ lnf x x ប ោះ 1

f xx

ដែល 0x ។

ប ើ lng x u x ប ោះ

u xg x

u x

ដែល 0u x ។

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត។

1.សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f ដែល 4

2 3

xf x

x

ចបមលើយ

ដែនកណតរ សអនគមន f បយើងតាង 3

2D

ពបត ោះ 3

2 3 02

x x

41

4 41 14 1

lim lim lim332 3 2

22x x x

xx x x

xx

xx

4 41 14 1

lim lim lim332 3 2

22x x x

xx x x

xx

xx

បយើងប ើញថា :

1 11

2 2 2 3f x

x

ែបចាោះ {

ប ើ 𝑥 >3

2 បនោះ 𝑓(𝑥) >

1

2

ប ើ 𝑥 <3

2 បនោះ 𝑓(𝑥) <

1

2

3 3

2 2

4lim lim

2 3x x

xf x

x

(

3

2

3 11lim 4 4

2 2x

x

នង 3

2

lim 2 3 0x

x

)

3 3

2 2

4lim lim

2 3x x

xf x

x

(

3

2

3 11lim 4 4

2 2x

x

នង 3

2

lim 2 3 0x

x

)

បយើងកតសមគា លប ើញថាតាមលមតខាងបលើ ទ តដែលមគនសមការ 3

2x ជាអាសមតតឈរ នង

1

2y ជាអាសមតតបែក ។

អបេរភាព : 4

2 3

xf x

x

បយើងបាន

2

11

2 3f x

x

ឲយបយើងបានតគ

3

; 02

x D f x

ែបចាោះ អនគមន f ជាអនគមនចោះបលើ D ។

តារាងអបេរភាព : x 3

2

f x f x

1

2

1

2

សងតកា នន f x បយើងសងអាសមតតឈរ

មគនសមការ 3

2x នង អាសមតតបែក

42

1

2y , បយើងបៅចណច

: 4, 0A x y 4: 0,

3B x y : 1, 5C x y : 2, 6D x y

2.សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f ដែល 2

2

2 7 5

5 7

x xf x

x x

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : សមការ 2 5 7 0x x មគន 25 4 7 3 0 ពមគនឬសបទ ។ ែបចាោះ ដែនកណតនន f គ D ។

2

2 2 2

22

2 2

7 5 7 52 2

2 7 5lim lim lim lim 2

5 7 5 75 71 1

x x x x

xx x x x x x

f xx x

xx x x x

lim 2x

f x

ែបចាោះ ទ ត ដែលមគនសមការ 2y ជាអាសមតតបែកននតកា រ សអនគមន f ។

អបេរភាព : 2

2

2 7 5

5 7

x xf x

x x

បត ើ

2

u u v uvy y

v v

បយើងបាន

2

22

3 6 8

5 7

x xf x

x x

បយើងសកាសញញា នន f x :

20 6 8 0f x x x បយើងបាន 4x នង 2x នង 2 1, 4 3f f 0f x បៅចប ល ោះ (2,4) ; ' 0f x កាលណត 2x ឬ 4x

តារាងអបេរភាព x 2 4 f x 0 0 f x

2 3

1 2

ទតាងតកា c ននអនគមន f នង ។ បយើងបត ៀ បធៀ f x នង 2 ។ បយើងបាន

2

3 92

5 7

xf x

x x

43

វបាក :

ចប ោះ 2

3 93, 0

5 7

xx

x x

ែបចាោះ 2f x នង តកា c បៅពបលើអាសមតត ។

ចប ោះ 3, 2x f x តកា c កាតអាសមតត តតងចណច 3,2 ។

ចប ោះ 2

3 93, 0

5 7

xx

x x

តកា c បៅខាងបតកាមអាសមតត ។

តកា c កាត : 0x ox f x

បយើងបាន 1x ឬ 5

2x

បគអាចបត ើ 1 1f នង

54

2f

សងតកា នន f x

3.សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f ដែល 2

2

1

3 2

xf x

x x

។

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : សមការ 2 3 2 0x x មគនឬស 1x ឬ 2x ែបចាោះដែនកណត D នន f គ

1,2D ។ lim 1

xf x

នង lim 1

xf x

ទ ត ដែលមគនសមការ 1y ជាអាសមតតបែកននតកា

c រ ស f ។ 2

1lim 1 2x

x

នង 2

1lim 3 2 0x

x x

បយើងបាន 2 3 2 0x x កាលណត (1,2)x 2 3 2 0x x កាលណត ( ,1) (2, )x

បយើងបាន 1 1

lim , limx x

f x f x

2 2

lim , limx x

f x f x

បយើងបាន ទ តដែលមគនសមការ 1x នង 2x ជាអាសមតតឈរននតកា c ។

អបេរភាព :

44

2

2

1

3 2

xf x

x x

មគនរាង u

yv

បយើងបត ើរ មនា 2

u v uvy

v

បយើងបាន

2

22

3 2 3

3 2

x xf x

x x

1 10

03

f x x

ឬ 1 10

3x

0f x ចប ោះ 1 10 1 10

3 3x

0f x ចប ោះ 1 10

3x

ឬ 1 10

3x

1 106 2 10

3f

នង 1 106 2 10

3f

x 1 10

3

1 1 10

3

2

f x 0 0 f x 1

6 2 10

6 2 10

1 សងតកា នន f x

តកា c នន f x បានមកពការកណតចណចនងបមគណតបា ទសនន ទ ត ោះ ។ តតងចណច 1

0,2

A x y

បយើងបាន 3

04

f ។ ទតាងននតកា c បធៀ នង ទ ត ដែលមគនសម

ការ 1y បយើងបាន 2

3 11

3 2

xf x

x x

វបាក :ចប ោះ 1 13

x ឬ ចប ោះ

2 x បយើងបាន 1 0f x ឬ 1f x តកា c បៅបលើ ទ ត ។

ចប ោះ 1

, 13

x f x

c នង មគនចណចរម

ចប ោះ 1

3x ឬ 1 2x , 1 0f x ឬ 1f x បយើងបានតកា c បៅពតកាម

45

4.បគមគនអនគមន f ដែល 22 2

1

x xf x

x

ក.កណតចននពត , ,a b c ដែល , 1

cf x ax b

x

។

ខ.ទាញ ងហា ញថា ទ ត ដែលមគនសមការ 2 1y x ជាអាសមតតបតតទននតកា c តាងអនគមន f

ខាង នង ខាង ។

គ.សកាទតាងនន នង c ។

.សកាអបេរភាព នង សងតកា ននអនគមន f ។

ចបមលើយ

ក.កណតចននពត , ,a b c ដែល 1

cf x ax b

x

2

1

ax b a x b cf x

x

2 2

1 11

2 1

a ac

f x ax b b a bx

b c c

ខ.តាមចបមលើយ (ក) បយើងបាន 1

2 11

f x xx

បយើងបាន 1

2 11

f x xx

1lim 0

1x x

នង 1

lim 01x x

ែបចាោះ lim 2 1 0

xf x x

នង

lim 2 1 0x

f x x

ែបចាោះ ទ ត ដែលមគនសមការ 2 1y x ជាអាសមតតបតទតនន

តកា c តាងអនគមន f ។

គ.សកាទតាង នង c : 1

2 11

f x xx

ចប ោះ ( , 1)x បយើងបាន 10

1x

វបាក c បៅពបលើ

ចប ោះ ( 1, )x បយើងបាន 10

1x

វបាក c បៅពបតកាម

46

.សកាអបេរភាព នង សងតកា ននអនគមន 22 2

1

x xf x

x

ដែនកណត 1D ទសបៅអបេរភាព

បែរបវ

2

2

2 4 3

1

x xf x

x

x D , 22 4 3 0x x នង

21 0x ។

វបាក : 0f x តគ x D

1

lim lim 2 11x x

f x xx

,

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

1 1

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

,

1 1

1lim lim 2 1

1x xf x x

x

តារាងអបេរភាព

x 1 f x f x

សណងតកា

សងអាសមតត ដែល មគនសមការ 2 1y x បយើងបៅចណចដែលតកា c កាត y oy គ

0, 2, 0 3x y f បយើងបៅចណចដែលតកា c កាត x ox គ 22 2 0x x

1 17; 0

4x y

ឬ 1 17

; 04

x y

2; 4x y

5.បគមគនអនគមន f កណតបោយ 3 1

ln1

xf x

x

។ សកាអបេរភាពនងសងតកា ននអនគមន f x ។

47

ចបមលើយ

ដែនកណតននអនគមន f : 3 1ln

1

x

x

មគននយលោះតតាដត 3 1

01

x

x

x 1

3 1

3 1x 0 1x 0

3 1

1

x

x

0

ែបចាោះ 1( , ) (1, )

3D

ទសបៅអបេរភាព

3 1

ln ln1

xf x u x

x

,

2

3 1 4

1 1

xu x u x

x x

បយើងបាន

2

4

1 4

3 1 3 1 1

1

u x xf x

xu x x x

x

បយើងប ើញបៅបលើ 1( , ) (1, )

3D , 0f x ប ោះ f x ជាអនគមនចោះបលើ D ។

3 1lim 3

1x

x

x

នង 3 1

lim 31x

x

x

3 1lim ln ln3

1x

x

x

បយើងបាន ដែលមគនសមការ ln3y ជាអាសមតតបែក

1 1

3 1 3 1lim lim ln

1 1x x

x x

x x

,

1 1

3 3

3 1 3 1lim 0 lim ln

1 1x x

x x

x x

ទ តដែលមគនសមការ 1x នង 1

3x ជាអាសមតតឈរ ។

តារាងអបេរភាព x 1

3 1

f x f x ln3

ln3

សណងតកា

48

3 1

0 ln 01

xf x

x

ឬ 3 11 1

1

xx

x

6.បគមគនអនគមន g កណតបលើ ( 3,3)

បោយ 3

ln3

xg x

x

ក.សកាភាពគ នង បសសននអនគមន g

ខ.a.គណ លមតនន g តតង 3 នង 3

b.សកាអបេរភាពនន g បលើ [0,3) រចសងតារាងអបេរភាពបលើ ( 3,3)

គ.បលើតតមយអរតណរបមបគមគន c ជាតកា ននអនគមន g កាងតតមយបនោះ ។

a.កណតសមការ ទ ត ោះ T បៅនងតកា c តតងចណច o ។

b.សងតកា c នង ទ ត ោះ T កាងតរយបនោះ ។

.សកាសញញា នន g x បៅតាមតនមលនន x ។

ង.a. គណ បែរបវននអនគមន h x xg x ។

b.គណ 1

0g x dx ។

ចបមលើយ :អនគមន g កណតបលើ ( 3, 3) បោយ 3

ln3

xg x

x

ក.សកាភាពគ នង បសសននអនគមន g

ប ើ ( 3, 3)x , 3

3

x

x

វជជមគន , ប ើ ( 3, 3)x ប ោះ x បៅបលើ ( 3, 3)

បយើងគណ 3 1 3

ln ln ln33 3

3

x xg x g x

xx x

x

ចប ោះតគ ( 3, 3)x ; g x g x ែបចាោះ g ជាអនគមនបសស

ខ.a.គណ លមតនន g តតង 3 នងតតង 3

3 3

3 3lim limln

3 3x x

x x

x x

ទ តដែលមគនសមការ 3x ជាអាសមតតឈរននតកា c

49

3 3

3 3lim 0 lim ln

3 3x x

x x

x x

ទ តដែលមគនសមការ 3x ជាអាសមតតឈរននតកា c

b.សកាអបេរភាពនន g x បលើ [0, 3)

3

3

xx

x

មគនបែរបវបលើ (3, 3) ែបចាោះ

3ln

3

xg x

x

មគនបែរបវបលើ (3, 3)

តាង

2

3 6

3 3

xu x u x

x x

2

6

3 6

3 3 3

3

u x xg x

xu x x x

x

បយើងប ើញថា 3 3x x វជជមគនបលើ (3, 3)

ែបចាោះ g x វជជមគនបលើ (3, 3) នង g បកើនបលើ (3, 3)

តារាងអបេរភាព

គ.a.កណតសមការ ទ ត ោះ T បៅនងតកា c តតង o ។

បយើងបាន 6 2

09 3

g

សមការ ទ ត ោះ T គ

0 0 0y g x g

ឬ 2

3y x

b.សងតកា c នង ទ ត ោះ T

. សកាសញញា នន g x បៅតាមតនមលនន ( 3, 3)x

x 3 3 g x g x

50

បយើងប ើញថា g ជាអនគមនបកើនបលើ (3, 3) នង 0 0g

ចប ោះ 0, 0 0x g x g , ចប ោះ 0; 0 0x g x g

ង.a. គណ បែរបវននអនគមន .h x x g x

3 6ln

3 3 3

x xh x g x xg x

x x x

ែបចាោះ

3 6ln

3 3 3

x xh x

x x x

b.គណ 1 1

0 0

3ln

3

xI g x dx dx

x

បយើងបត ើលទធ លខាងបលើបយើងបានតពមទវនន

3 6ln

3 3 3

x x

x x x

គអនគមន 3

ln3

xx

x

1 1 1

0 0 0

3 6 6ln

3 3 3 3 3

x x xg x dx dx dx

x x x x x

11 1

0 00

6

3 3

xg x dx xg x dx

x x

11 1

2

20 0 0

6 2 83 3 ln 9 3ln

3 3 9 9

x xdx x

x x x

1

0

8 81 3ln ln 2 3ln

9 9g x dx g ។

7. កាង លងត ោ បោយតរយអរតណរបម , ,o i j ; (ឯកតា:2cm) ។

បគមគនអនគមន f នង g កណតបលើសណចននពត បោយ:

xf x x e នង 1 xg x x e នងបគតាង c នង c តកា ននអនគម f នង g បនោះ។

ក.a.កណតលមតននអនគម f នង g តតង នង ។

b. ងហា ញថា ទ ត ដែលមគនសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c ។

c.សកាអបេរភាពននអនគមន f នង អនគមន g បលើ ។

d.សងតារាងអបេរភាពននអនគមន f នង អនគមន g ។

51

ខ.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង h x f x g x

a. ងហា ញថាតគ ចននពត x , 1h x g x ។

b.ទាញយកទសបៅអបេរភាពននអនគមន h បលើសណចននពត ។

c.សរាយ ញញជ កថាតកា c នង c មគនចណចត សពវដតមយគតដែលមគនអា សសរ សវាតាងបោយ

បៅបលើចប ល ោះ [1,2] ។ ចរកណតតនមលអមនន amplitude 110 ។

d.សកាបៅតាមតនមលនន x ទតាងបធៀ គនា រវាង c នង c ។

គ.សង ទ ត នងតកា c នង c ។

.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង 0

x

x h t dt

a.បត ើអាបតតកាលបោយដាកគណ x ។

b.ទាញយកជារាងកបនាមសនទាននន នទតកឡាជា 2cm ននដែនដែលអមបោយតកា c នង c ,

អកសអរបោបណ នង ទ តដែលមគនសមការ x ។

ចបមលើយ:

បគមគនអនគមន f នង g កណតបលើ បោយ xf x x e នង 1 xg x x e ; c នង

c ជាតកា តាងអនគមនទាងពរបនោះ។

ក.a.កណតលមត f តតង នង

តតង

1 ;x

x ef x x e x

x

បយើងែងថា lim

x

x

e

x , lim 1

x

x

e

x

នង limx

x

, ែបចាោះ lim 1x

x

ex

x

នង lim

xf x

តតង lim 0x

xe

ប ោះបយើងបាន lim x

xx e

នង lim

xf x

កណតលមតនន g តតង នង តតង

lim 1 ; lim x

x xx e

ប ោះបយើងបាន lim 1 x

xx e

limx

g x

52

តតង lim 0x

xe

នង lim 0x

xxe

, x xg x e xe ប ោះបយើងបាន lim 0

xg x

ទ ត x ox ដែលមគនសមការ 0y ជាអាសមតតនន c ។

b. ងហា ញថា ទ ត ដែលមគនសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c ។

បយើងសកាលមតនន f x x ។ xf x x e បយើងបាន lim 0x

f x x

ទ តដែល

មគនសមការ y x ជាអាសមតតននតកា c តតង ។

c.សកាអបេរភាពននអនគមន f

xf x x e បយើងបាន 1 xf x e -ចប ោះ 0x , 0f x -ចប ោះ 0x , xe ធជាង 1 , ែបចាោះ f x អវជជមគនោចខាត នង f ជាអនគមនចោះោចខាតបៅបលើ (0, ) ។ -ចប ោះ 0x , xe តចជាង 1 , ែបចាោះ f x វជជមគនោចខាត នង f ជាអនគមនបកើនបៅបលើ ( ,0) ។ សកាអបេរភាពននអនគមន g 1 xg x x e បយើងបាន 1x x xg x e x e xe , g x មគនសញញា ែច x

-ចប ោះ 0x , 0g x -ចប ោះ 0x , 0x , ែបចាោះ g x អវជជមគនោចខាតនង g ជាអនគមនចោះោចខាតបលើ (0, ) ។ -ចប ោះ 0x , 0x , ែបចាោះ g x វជជមគនោចខាតនង g ជាអនគមនបកើនោចខាតបលើ ( ,0) ។

d.តារាងអបេរភាពនន f នង g

ខ.ចប ោះតគ ចននពត x បគបាន h x f x g x

a. ងហា ញថាតគ ចននពត x , 1h x g x

x 0 f x 0 f x

1

x 0 g x 0 g x

1 0

53

បយើងបាន 1 1 1 1x x xh x f x g x e xe e x g x

ចប ោះតគ x , 1h x g x

b.ទាញយកទសបៅអបេរភាពនន h បលើ

បយើងប ើញបៅចបមលើយខាងបលើ g មគនអត រមគតតង 1x ែបចាោះតគ *x , 1g x បយើងទាញ

បានតគ *x , 1 g x វជជមគនោចខាតនងសនយតតង 0x , h ជាអនគមនបកើនោចខាតបលើ ។

c.សរាយ ញញជ កថាតកា c នង c មគនចនចត សពវដតមយ ។

បែើមបរកចណចត សពវនន c នង c បយើងរកចននននឬសរ សសមការ

0f x g x f x g x ឬ 0h x ។ បយើងសកាលមតនន h តតង នង

បែើមបរកចបមលើយននសមការ 0h x ។

តតង

2x x x x

x

xh x f x g x x e e xe e x

e

lim 0xx

x

e , lim 2

xx

នង lim x

xe

, ែបចាោះ lim

xh x

តតង lim

xf x

នង lim 0

xg x

បយើងបាន lim

xf x g x

ែបចាោះ limx

h x

នង limx

h x

h ជាអនគមនមគនបែរបវបលើ នង បកើនោចខាតបលើ នង h ។ បយើងទាញបាន hជាអនវតានមយទលមយព បៅកាង ។ 0 ជាធាតមយនន ែបចាោះវាមគន ដតមយគតនន ដែល 0h ។ សមការ 0h x មគនឬសដតមយគតគ ។ តកា c នង c មគនចណចត សពវ

ដតមយគតដែលមគនអា សស ។ បទៀងផទទ តថា [1,2] ។ បយើងគណ : 1 1 1 1 1.71h f g e , 2 22 2 2 2 2h f g e e

បយើងបាន 1 0 2h h h , h ជាអនគមនបកើនបលើ បយើងទាញបាន 1 2 ឬ [1,2] ។ សកាតនមលអមនន ដែលមគន amplitude 110 : 1.6 0.3h , 1.7 0.05h

1.6 0 1.7h h ែបចាោះ 1.6 1.7 ។

d.សកាបៅតាមតនមលនន x ទតាងបធៀ គនា រវាង c នង c ។

បយើងតតវសកាសញញា នន f x g x ែបចាោះគសញញា នន h x ។ h ជាអនគមនបកើនបលើ នង

54

0h , តគ x , 0h x នងតគ x , 0h x ។

ែបចាោះបយើងអាចសនាោា នបានថា :

ចប ោះ , 0x f x g x ែបចាោះ តកា c បៅបតកាម c ។ ចប ោះ , 0x f x g x ែបចាោះ តកា c បៅបលើ c ។

គ.សង ទ ត នងតកា c នង c

.ចប ោះតគ ចននពត x បគតាង 0

x

x h t dt

a.គណ x

0 0

x xt t tx h t dt t e e te dt

0 0 0 0

2 2x t x x

t t t tt e te dt tdt e dt te dt

ែបចាោះ 2 2

0 0 00

2 2 12 2

xx xx

t t x tt xx e te dt e te dt

0

xtI te dt តាង 1u t t u t , t tv t e v t e

0 00

1xx x

t t x t x xI te e dt xe e xe e

2 2

2 1 1 3 12 2

x x x x xx xx e xe e xe e

ចប ោះតគ x , 2

3 12

x xxx xe e

b.គណ ជា 2cm នទតកឡាននដែនដែលអមបោយ c នង c , អកសអរបោបននង ទ តដែលមគន

សមការ x ។ ឯកតា 2cm ែបចាោះឯកតាតកឡានទគ 24cm ។ បៅបលើ [0, ] បយើងប ើញតកា

c បៅបតកាម c ។ នទតកឡាដែលតតវរកគ 0

S g x f x dx

ឯកតានទតកឡា។

2

04S f x g x dx cm

55

2

2 24 4 3 32

S cm e e cm

បយើងចងបានកបនាមសនទាននន បយើងតតវ បាត e ដែល បទៀងផទទ ត f g

ែបចាោះ 1e e ឬ 22

e e

(ពបត ោះ 2 )

2 2

2 234 3 3 4 3

2 2 2 2S cm cm

3 22 4 2 12

2S

56

ចៃៃកផលច

I. មមម ៀៃសមខេប ក.ចននកលចកាងទតមងពជគណត

-ចននកលច 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 បៅថាទតមងពជគណតននចននក លច។

𝒂 បៅថាដាកពត បហើយ 𝒃 បៅថាដាកនមតា ដែល 𝒂 នង 𝒃 ជាចននពត នង 𝒊𝟐 = −𝟏 ។

-ប ើ 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑖𝑏1 នង 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 ប ោះបគបាន

𝑧1 = 𝑧2 ⇔ (𝑎1 = 𝑎2) នង (𝑏1 = 𝑏2) 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 + 𝑏2) 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎1 − 𝑎2) + 𝑖(𝑏1 − 𝑏2) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2) + 𝑖(𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2)

1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a ib a ibz a ib a a bb a b a bi

z a ib a b a b a b

-ចននកលចឆល សននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 តាងបោយ 𝑧 = 𝑎 − 𝑖𝑏

-ចននកលចទយននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 តាងបោយ −𝑧 = −𝑎 − 𝑖𝑏

ចននក លចកាង លងក លច z a ib តាងបោយចណច M មគនកអរបោបន ,a b កាងតតមយ

អរតណរបម xoy ។ ចប ោះ z a ib អាចតាងបោយវចទរ ,OM a b បគថា OM ជាវចទររ

ភាពននចននកលច z a ib ។ ចណចកាងតតមយតាងចននកលច លងដែលត ោ បោយតតមយបនោះបៅ

ថា លងកលច ។ អកស x ox ជាអកសដាកពត បហើយអកស y oy បៅថាអកសដាកនមតា ។ ល កនន

ចននកលចមគនរ ភាពជាល កវចទរកាង លងកលច ។

ខ.ចននក លចកាងទតមងតតបកាណមគតត

-ប ើបគមគនចននក លច 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ប ោះម ឌលនន 𝑧 តាងបោយ

𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 -ប ើ 𝑧 ជាចននកលចប ោះ |𝑧| = |𝑧| = |−𝑧|

-ប ើ 𝑧1 នង 𝑧2 ជាចននកលចប ោះបគបាន |𝑧1 ∙ 𝑧2| = |𝑧1| ∙ |𝑧2|

57

|𝑧1

𝑧2| =

|𝑧1|

|𝑧2| ; |𝑧1 + 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2|

-វចទរ 𝑂𝑀 ជារ ភាពននចននកលច 𝑧 តាង 𝜑 ជាមតច តនន (𝑂𝑥 , 𝑂𝑀 )

𝜑 បៅថាអាគយម ងននចននកលច 𝑧 ។ បែើមបគណ ម 𝜑 បយើងតតវបោោះ

សរាយត ពនធសមការ :

{cos𝜑 =

𝑎

√𝑎2+𝑏2=

𝑎

𝑟

sin𝜑 =𝑏

√𝑎2+𝑏2=

𝑏

𝑟

𝑧 = 𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) បៅថាទតមងតតបកាណមគតតននចននកលច 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏

-ប ើ 𝑧1 = 𝑟1(cos𝜑1 + 𝑖 sin𝜑1) នង 𝑧2 = 𝑟2(cos𝜑2 + 𝑖 sin𝜑2) ប ោះបគបាន

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2[cos(𝜑1 + 𝜑2) + 𝑖 sin(𝜑1 + 𝜑2)] 𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2[cos(𝜑1 − 𝜑2) + 𝑖 sin(𝜑1 − 𝜑2)]

𝑧𝑛 = [𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)]𝑛 = 𝑟𝑛[cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑)] ; 𝑛 ជាចននគតរឡាទ

ដមលងវលជវញគលតតមយនន លងកលចជាទបៅមគនចននកលច cos sinz i

ប ើ M z ជារ ភាពនន M z តាម ដមលងវលចត O (O ជាគលតតមយ) នងម ប ោះ

cos sinz i z ។

គ.សវយគណ n នង ឬសទ n ននចននកលច

(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)𝑛 = cos(𝑛𝜑) + 𝑖 sin(𝑛𝜑) (តទសា ទែមរ)(Moivre)

-ប ើ 𝑧 = 𝑟(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) ជាចននកលចមនសនយ បហើយ 𝒏 ជាចននគតវជជមគន

ប ោះ 𝑧 មគន 𝑛 ឬសទ 𝑛 គ 𝑤0, 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛−1 កណតបោយ :

2 2cos sinn

k

k kw r i

n n

ដែល 0,1,2, , 1k n

. អនវតានចននកលចកាងធរណមគតត

-ជាទបៅ ប ើ 1A z នង 2B z ជារ ភាពននចននកលច 1z នង 2z ប ោះចមគា យ

2 1 1 2AB z z z z ។

-ជាទបៅ ប ើបគមគន 1z នង 2z ជាចននកលចដែលមគនរ ភាពបរៀងគនា 1A z នង 2B z បហើយ

ចណច P z ជារ ភាពននចននក លច z ដែល P សថតបៅបលើ AB បហើយដចក AB តាមលបធៀ

58

:m n ប ោះបគបាន 1 2

1

z zz

ដែល m

n ។

- ជាទបៅ ប ើ A z , 1B z នង 2C z បងកើតបានតតបកាណ ABC ប ោះបគបាន

2

1

z zAC

AB z z

បហើយ 2

1

argz z

BACz z

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត ។

1.គណ 𝑧1 + 𝑧2 , 𝑧1 − 𝑧2 , 𝑧1𝑧2 នង 𝑧1

𝑧2

ក. 𝑧1 = −3 ; 𝑧2 = 2 − 𝑖 ខ. 𝑧1 = √3 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = −𝑖√2

គ. 𝑧1 = 2 − 𝑖√3 ; 𝑧2 = 2 + 𝑖√3

ចបមលើយ

ក. 𝑧1 + 𝑧2 = −1 − 𝑖 𝑧1 − 𝑧2 = −3 − (2 − 𝑖) = −3 − 2 + 𝑖 = −5 + 𝑖

𝑧1𝑧2 = −3(2 − 𝑖) = −6 + 𝑖3

𝑧1

𝑧2 = −3

2−𝑖 = −3(2+𝑖)

4−𝑖2 = −3(2+𝑖)

4+1 = −3

5 (2 + 𝑖) = − 6

5− 𝑖

3

5

ខ. 𝑧1 = √3 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = −𝑖√2 𝑧1 + 𝑧2 = (√3 + 𝑖√2) + (−𝑖√2) = √3 𝑧1 − 𝑧2 = (√3 + 𝑖√2)— 𝑖√2 = √3 + 𝑖√2 + 𝑖√2 = √3 + 𝑖2√2 𝑧1𝑧2 = (√3 + 𝑖√2)(−𝑖√2) = (√3)(−𝑖√2) + (𝑖√2)(−𝑖√2) = −𝑖√6 − 𝑖2(√2)

2= 2 − 𝑖√6

𝑧1

𝑧2 = (√3+𝑖√2)

(−𝑖√2) = (√3+𝑖√2)(−𝑖√2)

(−𝑖√2) = −𝑖√6+(𝑖√2)(−𝑖√2)

2𝑖2

= (−𝑖√6+2)

−2= −1 + 𝑖

√6

2

គ. 𝑧1 = 2 − 𝑖√3 , 𝑧2 = 2 + 𝑖√3 𝑧1 + 𝑧2 = (2 − 𝑖√3) + (2 + 𝑖√3) = 4 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − 𝑖√3) − (2 + 𝑖√3) = −𝑖2√3

59

𝑧1𝑧2 = (2 − 𝑖√3)(2 + 𝑖√3) = 4 − 𝑖2(√3)2 = 4 + 3 = 7

𝑧1

𝑧2 = (2−𝑖√3)

(2+𝑖√3) = (2−𝑖√3)(2−𝑖√3)

(2+𝑖√3)(2−𝑖√3) = 4−2×2(𝑖√3)+(𝑖√3)

2

7 = 4−𝑖4√3−3

7

= 1−𝑖4√3

7 = 1

7− 𝑖

4√3

7

2.សរបសរចននកលចខាងបតកាមជាទតមងពជគណត 𝑎 + 𝑖𝑏

ក. 𝑧 = √2+𝑖√2

√2−𝑖√2 ខ. 𝑧 = (3 + 𝑖)(5 − 2𝑖)

គ. 𝑧 = (4 − 7𝑖)3 . 𝑧 =6−7𝑖

1+𝑖

ចបមលើយ

ក. 𝑧 = √2+𝑖√2

√2−𝑖√2 = (√2+𝑖√2)(√2+𝑖√2)

(√2−𝑖√2)(√2+𝑖√2) = 2+𝑖4−2

2+2 = 𝑖

ខ. 𝑧 = (3 + 𝑖)(5 − 2𝑖) = 15 − 6𝑖 + 5𝑖 − 2𝑖2 = 17 − 𝑖

គ. 𝑧 = (4 − 7𝑖)3

បយើងបត ើឯកលកខណោះភាព (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 𝑧 = (4 − 7𝑖)3 = 43 − 3 × 42 × 7𝑖 + 3 × 4 × (7𝑖)2 − (7𝑖)3 = 64 − 336𝑖 − 588 + 343𝑖 បយើងបាន 𝑧 = −524 + 7𝑖

. 𝑧 = 6−7𝑖

1+𝑖 = (6−7𝑖)(1−𝑖)

(1+𝑖)(1−𝑖) = 6−6𝑖−7𝑖+7𝑖2

1−𝑖2 = −1−13𝑖

2 = −1

2−

13

2𝑖

3.សរបសរចននកលចខាងបតកាមជាទតមងតតបកាណមគតត

ក. 𝑧 = √3 + 𝑖 ខ. 𝑧 = 1 + 𝑖

គ. 𝑧 = 1 − 𝑖√3 . 𝑧 = −1

2+ 𝑖

√3

2

ចបមលើយ

ក. 𝑧 = √3 + 𝑖 = 2(√3

2+ 𝑖

1

2)

បយើងអាចទាញបាន 3cos

2 នង 1

sin2

𝜑 =𝜋

6

60

ែបចាោះ 2 cos sin6 6

z i

បយើងបាន 𝑧 មគនម ឌល 2 នង អាគយម ង 𝜋6

រប ៀ មយ ងបទៀតតាមរ មនា

𝑟 = √(√3)2+ 12 = √4 = 2

3cos

2

a

r , 1

sin2

b

r បយើងបាន 𝜑 =

𝝅

𝟔

ែបចាោះ z = 2 (cos𝛑

𝟔+ isin

π

6)

ខ. 𝑧 = 1 + 𝑖 𝑟 = √12 + 12 = √2

{cos𝜑 =

𝑎

𝑟=

1

√2=

√2

2

sin𝜑 =𝑏

𝑟=

1

√2=

√2

2

⇒ 𝜑 =𝜋

4

ែបចាោះ 𝑧 = √2 (cos𝜋

4+ 𝑖 sin

𝜋

4)

គ. 𝑧 = 1 − 𝑖√3

𝑟 = √1 + (√3)2

= √4 = 2

{cos𝜑 =

1

2

sin𝜑 = −√3

2

⇒ 𝜑 = −𝜋

3

ែបចាោះ 𝑧 = 2[cos (−𝜋

3) + 𝑖 sin (−

𝜋

3)]

. 𝑧 = −1

2+ 𝑖

√3

2

𝑟 = √(−1

2)2+ (

√3

2)2

= √1

4+

3

4= √1 = 1 , {

cos𝜑 =−

1

2

1= −

1

2

sin𝜑 =√3

2

1=

√3

2

⇒ 𝜑 =2𝜋

3

ែបចាោះ 𝑧 = cos2𝜋

3+ 𝑖 sin

2𝜋

3

4. បគមគនចននកលច 𝑍 = 𝑧+2−𝑖

𝑧+𝑖

បគឲយ 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 នង 𝑧 ≠ −𝑖

61

ក. សរបសរ 𝑍 ជាទតមងពជគណតជាអនគមននន 𝑎 នង 𝑏

ខ. រកទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបឲយ 𝑍 ជាចននពត

គ. រកទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបឲយ 𝑍 ជាចនននមតា

ចបមលើយ

ក. សរបសរ 𝑍 ជាទតមងពជគណតជាអនគមននន 𝑎 នង 𝑏

𝑍 = 𝑎+𝑖𝑏+2−𝑖

𝑎+𝑖𝑏+𝑖 = (𝑎+2)+𝑖(𝑏−1)

𝑎+𝑖(𝑏+1) = [(𝑎+2)+𝑖(𝑏−1)][𝑎−𝑖(𝑏+1)]

[𝑎+𝑖(𝑏+1)][𝑎−𝑖(𝑏+1)]

= 𝑎(𝑎+2)−𝑖2(𝑏−1)(𝑏+1)+𝑖𝑎(𝑏−1)−𝑖(𝑎+2)(𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2

= 𝑎(𝑎+2)+(𝑏−1)(𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2+ 𝑖

−2(𝑎+𝑏+1)

𝑎2+(𝑏+1)2

ខ. 𝑍 ជាចននពតលោះតតាដតដាកនមតាបសមើ 0 បយើងបាន −2(𝑎 + 𝑏 + 1) = 0 នង (𝑎 ≠ 0នង𝑏 ≠ −1)

ែបចាោះ ទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបឲយ 𝑍 ជាចននពតគ 𝑎 + 𝑏 + 1 = 0 នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

គ. 𝑍 ជាចនននមតាលោះតតាដតដាកពតបសមើ 0 បយើងបាន 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎 − 1 = 0 នង (𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

ែបចាោះ ទ កទនងរវាង 𝑎 នង 𝑏 បែើមបឲយ 𝑍 ចនននមតាគ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎 − 1 = 0នង(𝑎 ≠ 0 នង 𝑏 ≠ −1)

5. ក. បោោះសរាយបៅកាង ℂ សមការ 𝑧2 − 2√2𝑧 + 4 = 0

បយើងតាង 𝑧1 ជាឬសរ សសមការដែលដាកនមតាវជជមគននង 𝑧2 ជាឬសមយបទៀត។

ខ. a.កណតម ឌល នង អាគយម ងននចននកលច 𝑧1 នង 𝑧2

b.កណតម ឌល នង អាគយម ងននចននកលច (𝑧1

𝑧2)2

ចបមលើយ

ក. បោោះសរាយបៅកាង ℂ សមការ 𝑧2 − 2√2𝑧 + 4 = 0

Δ = (2√2)2− 4 × 1 × 4 = 8 − 16 = −8 = (𝑖√8)

2= (2𝑖√2)

2

𝑧1 = 2√2+2𝑖√2

2 = √2 + 𝑖√2 ; 𝑧2 = 2√2−2𝑖√2

2 = √2 − 𝑖√2

ខ.a.កណតម ឌល នង អាគយម ង 𝑧1 នង 𝑧2

𝑧1 = √2 + 𝑖√2 ; |𝑧1| = 𝑟1 = √2 + 2 = 2 នង {cos θ1 =

√2

2

sinθ1 =√2

2

⇒ 𝜃1 =𝜋

4

62

បយើងបានទតមងតតបកាណមគតតនន 𝑧1 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑠𝑖𝑛

𝜋

4)

𝑧2 = √2 − 𝑖√2 ; |𝑧2| = 𝑟2 = √2 + 2 = 2 នង {cos θ2 =

√2

2

sin θ2 = −√2

2

⇒ 𝜃2 = −𝜋

4

បយើងបានទតមងតតបកាណមគតតនន 𝑧2 = 2(cos(−𝜋

4) + 𝑖 sin(−

𝜋

4))

b. កណតម ឌល នង អាគយម ងនន (𝑧1

𝑧2)2

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2[cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2)]

𝑧1

𝑧2 = 2

2[cos (

𝜋

4− (−

𝜋

4)) + 𝑖 sin (

𝜋

4− (−

𝜋

4))] = cos

𝜋

2+ 𝑖 sin

𝜋

2

(𝑧1

𝑧2)2 = (cos

𝜋

2+ 𝑖 sin

𝜋

2)2

= cos𝜋 + 𝑖 sin𝜋

(𝑧1

𝑧2)2 មគនម ឌល |(𝑧1

𝑧2)2

| = 1 នង អាគយម ងបសមើ 𝜋

6. កណត cos3 នង sin3 ជាអនគមននន cos នង sin ។

ចបមលើយ

បយើងបត ើតទសា ទែមរ : cos sin cos sinn

i n i n

𝑛 = 3 បយើងបាន 3

cos sin cos 3 sin 3i i

មយ ងបទៀត 3 3 2 2 3cos sin cos 3 cos sin 3cos sin sini i i

បត ោះ (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

3 3 2 2 3cos sin cos 3cos sin 3cos sin sini i

បយើងបាន 3 2 3 2 3cos3 cos 3cos sin cos 3 cos 1 cos 4cos 3cos

2 3 2 3 3sin3 3cos sin sin 3 1 sin sin sin 3sin 4sin

7. ក.គណ 𝑖𝑛 ចប ោះតនមលននចននគតរឡាទ 𝑛 ≥ 1 ។

ខ.ទាញរកតនមល 𝑖2014

63

ចបមលើយ

ក. ចប ោះ 𝑛 = 1 𝑖 = 𝑖

ចប ោះ 𝑛 = 2 𝑖2 = −1

ចប ោះ 𝑛 = 3 𝑖3 = 𝑖2 × 𝑖 = −1 × 𝑖 = −𝑖

ចប ោះ 𝑛 = 4 𝑖4 = 𝑖3 × 𝑖 = −𝑖2 = 1

ចប ោះ 𝑛 = 5 𝑖5 = 𝑖4 × 𝑖 = 1 × 𝑖 = 𝑖

បយើងប ើងមគនខ បសមើ 4 សតមគ សវតននសវយគណរ ស 𝒊

ែបចាោះ ប ើ 𝑛 = 4𝑘 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមគនប ោះ 𝑖4𝑘 = 1

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 1 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមគនប ោះ 𝑖4𝑘+1 = 𝑖

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 2 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមគនប ោះ 𝑖4𝑘+2 = −1

ប ើ 𝑛 = 4𝑘 + 3 ចប ោះ 𝑘 ជាចននគតរឡាទ វជជមគនប ោះ 𝑖4𝑘+3 = −𝑖

ខ.ទាញយកពលទធលខាងបលើគណ 𝑖2014

តាមវធដចកអ លែ 2014 បោយ 4 បយើងបាន 2014 = 503 × 4 + 2

ែបចាោះ 𝑖2014 = 𝑖4𝑘+2 ដែល 𝑘 = 503

វបាក 𝑖2014 = −1

8.បោោះសរាយបៅកាងសណចននកលច ℂ សមការ (𝐸): (𝑧2 + 1)(𝑧2 + 2) = 0 ចបមលើយ

(𝐸): (𝑧2 + 1)(𝑧2 + 2) = 0 បោយគតែល 𝑖2 = −1

(𝐸) ⇔ (𝑧2 − 𝑖2)(𝑧2 − 2𝑖2) = 0 ⇔ (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖)(𝑧 + 𝑖√2)(𝑧 − 𝑖√2) = 0

បយើងបានឬសរ សសមការ 𝑧1 = 𝑖 ; 𝑧2 = −𝑖 ; 𝑧3 = −𝑖√2 ; 𝑧4 = 𝑖√2

9.បគកណតបៅកាងសណចននក លច ℂ សមការ (𝐸): 𝑧3 + 8 = 0

ក.កណតចននពត , ,a b c បែើមបឲយ 3 28 2z z az bz c

ខ.បោោះសរាយសមការ 3 8 0z

គ.សរបសរជាទតមងតតបកាណមគតត ឬស 1 2 3, ,z z z រ សសមការ E

64

ចបមលើយ

ក.កណតចននពត 𝑎, 𝑏, 𝑐 បែើមបឲយ 𝑧3 + 8 = (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4 )

(បត ើឯកលកខណោះភាព 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

(𝑧 + 2)(𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐) = 𝑎𝑧3 + (𝑏 + 2𝑎)𝑧2 + (𝑐 + 2𝑏)𝑧 + 2𝑐 𝑧3 + 8 = 𝑎𝑧3 + (𝑏 + 2𝑎)𝑧2 + (𝑐 + 2𝑏)𝑧 + 2𝑐

បយើងបាន {𝑎 = 1

𝑏 + 2𝑎 = 0𝑐 + 2𝑏 = 0

2𝑐 = 8

ឬ {𝑎 = 1

𝑏 = −2𝑐 = 4

𝑧3 + 8 = (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4) ខ.បោោះសរាយសមការ 𝑧3 + 8 = 0

𝑧3 + 8 = 0 ⇔ (𝑧 + 2)(𝑧2 − 2𝑧 + 4) = 0 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧2 − 2𝑧 + 4 = 0

⇔ 𝑧 = −2 ឬ (𝑧 − 1)2 = −3 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ (𝑧 − 1)2 = (𝑖√3)2

⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧 − 1 = 𝑖√3 ឬ 𝑧 − 1 = −𝑖√3 ⇔ 𝑧 = −2 ឬ 𝑧 = 1 + 𝑖√3 ឬ 𝑧 = 1 − 𝑖√3 ចបមលើយរ សសមការគ : 𝑧1 = −2 ; 𝑧2 = 1 + 𝑖√3 ; 𝑧3 = 1 − 𝑖√3

គ.សរបសរជាទតមងតតបកាណមគតត ឬសរ សសមការ (𝐸) 𝑧1 = −2 = 2(−1 + 𝑖0) = 2(cos 𝜋 + 𝑖 sin𝜋) 𝑧2 = 1 + 𝑖√3 = 2(

1

2+ 𝑖

√3

2) = 2 (cos

𝜋

3+ 𝑖 sin

𝜋

3 )

𝑧3 = 1 − 𝑖√3 = 2(1

2− 𝑖

√3

2) = 2[cos(−

𝜋

3) + 𝑖 sin(−

𝜋

3)]

10.បោោះសរាយសមការ 3 8 0z

ចបមលើយ

3 38 0 8z z ឬ 3 8z

8 8 0i មគនម ឌល 2

8 0 8r

បោយ 8cos 1

8

a

r

នង 0

sin 08

b

r បយើងបាន

វបាក : 8 8 cos sini

65

ឬសទ 3 នន 8 កណតបោយ 3 2 28 cos sin

3 3k

k kw i

, 0,1,2k

ប ើ 0

1 30 2 cos sin 2 1 3

3 3 2 2k w i i i

ប ើ 11 2 cos sin 2k w i

ប ើ 2

5 52 2 cos sin 1 3

3 3k w i i

11.ក.សរបសរជាទតមងពជគណតចននកលច 2

1 2i នង 3

3 2i

ខ.សរបសរជាទតមងពជគណតល ក S ដែល :

2 2 2 2 3 2 2001 2 2002S i i i i i

ចបមលើយ

ក. 2 2

1 2 1 4 2 1 4 4 3 4i i i i i បគបាន 2

1 2 3 4i i

3

3 2 27 3 9 2 3 3 4 8 9 46i i i i

បគបាន 3

3 2 9 46i i

ខ.សរបសរជាទតមងពជគណតននល ក S មគន 2002 ត ដែល ដ កជាពល ក :

'

2002 2 2 3 2001 2002

S

S i i i i i

'S ជាល កតននសវ តតគនា ននសវ តនពវនាដែលមគនលសងរមបសមើ i

'2002 2002

2003 1001 20050032

i iS i i

ែបចាោះ 4004 2005003S i

12.បគមគនចននក លច 1 2 3z i នង 2 4 5z i ដែលមគនរ ភាព 1A z នង 2B z

ក.រកចននក លចតាងបអាយវចទរ AB

ខ.រកចននក លចដែលមគនរ ភាពចណចកណតា ល I នន [AB]

ចបមលើយ

66

ក.បយើងកណតសរបសរ z AB ចននកលចតាងបអាយវចទរ AB

2 1 4 5 2 3 6 8B Az AB z z z z i i i

ខ.បយើងកណតសរបសរ z I ចននកលចដែលមគនរ ភាព I

1 2 2 3 4 5 2 21

2 2 2 2

A Bz z z z i i iz I i

13.បៅកាង បគមគនសមការ 2 4cos 4cos2 2 0z z ដែល ( , ) ។

ក.កណតតនមលនន បែើមបឲយចបមលើយរ សសមការជាចននពត ។

ខ.បគឲយ 5

6

។ បោោះសរាយសមការខាងបលើបោយឲយចបមលើយជាទតមងតតបកាណមគតត ។

ចបមលើយ

ក.បែើមបឲយចបមលើយរ សសមការជាចននពតវាតតវដត 0 ។

បយើងគណ :

22 24 4cos 4 4cos2 2 16cos 16cos2 8b ac

ដត 2cos2 2cos 1

ែបចាោះ 2 2 216cos 32cos 16 8 16cos 8

21 1 116 cos 16 cos cos

2 2 2

2 20 cos ,

2 2

ឬ 3 3

, ,4 4 4 4

ខ. 5 3cos

6 2

តាមសណរខាងបលើបយើងបាន : 2

2 23 316cos 8 16 8 16 8 4 4

2 4i

សមការមគនឬសកលចពរឆល សគនា

67

1

34 2

23

2 2

ib

z ia

; 2 1 3z z i

បយើងបានសណចបមលើយ 3 , 3 iS i

សរបសរ 1z ជាទតមងតតបកាណមគតត

2

2

1 3 1 2z

តាង1 អាគយម ងនន 1z

1

1

1

1

3cos

2

1sin

2

a

z

b

z

បយើងបាន 1 26

k

; k

ទតមងតតបកាណមគតតនន 1 2 cos sin6 6

z i

សរបសទតមងតតបកាណមគតតនន 2z

2 1 1 2z z z , អាគយម ងនន 2 1 1argz arg 2z z k ; k

បយើងបានទតមងតតបកាណមគតតនន 2z គ 2 2 cos sin

6 6z i

។

14. ក.គណ 2 3 4 5, , ,i i i i រចរក ni ជាអនគមនននតនមលចននគត រឡាទ វជជមគន n ។

ខ.សរបសរ1i ជាទតមងពជគណត រចសរបសរ 1

ni ជាអនគមននតនមលចននគត រឡាទ វជជមគន n ។

ចបមលើយ

ក. បយើងបាន :

2 3 2 4 3 2 5 41, , 1,i i i i i i i i i i i i i

បយើងសបងកតប ើញថា , 1,i i នង1 បកើតប ើងវញែដែលៗ ។

ងហា ញថាតគ ចននគតរឡាទ វជជមគន p ; 4 4 1 4 2 4 31, , 1,p p p pi i i i i i

ចប ោះតគ ចននគតរឡាទ វជជមគន p : 4 4 1 1p

p pi i

68

4 1 4 1 11p pi i i i i 4 2 4 2 1 1 1p pi i i

4 3 4 3 1p pi i i i i

ខ. 2 1i ឲយ 1i i បគបាន 1 ii បគអាចសរបសរ 1i i

បោយ 11 nn

ni i

i

, 1

1n n n

ni i

i

បយើងបាន 4 4

4

11 1

p p

pi

i ; 4n p

4 1 4 1

4 1

11 1

p p

pi i i

i

; 4 1n p

4 2 4 2

4 2

11 1 1 1

p p

pi

i

; 4 2n p

4 3 4 3

4 3

11 1

p p

pi i i

i

; 4 3n p

69

មកាៃក I.មមម ៀៃសមខេប

1.បា រាបល ក.សមការសាងោននបា រា លដែលមគនកពលជាគលអកសកអរបោបន

កពល កណ ទ តតបា ទស សមការសាងោ ពណ

0,0

,0p

x p

2 4y px

អកសឆលោះជាអកសអា សស 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0x 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

0,0

0, p

y p

2 4x py

អកសឆលោះជាអកសអរបោបន 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0y 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0y

ខ.សមការសាងោននបា រា លដែលមគនកពលខសពគលអកសកអរបោបន

កពល

កណ

ទ ត តបា ទស

សមការសាងោ

ពណ

,h k

,h p k

x h p

24y k p x h

អកសឆលោះជាអកសបែក 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0x 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

,h k

,h k p

y k p

24x h p y k

អកសឆលោះជាអកសឈរ 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0y 0p បា រា លដ រភាពតបៅរក ទស 0x

70

2.មអលប ក.សមការសាងោននបអល ដែលមគនចតជាគលអកសកអរបោបន

ចត អកសធ កណ កពល សមការសាងោ

0,0

បៅបលើអកស អា សស

,0c

,0a

2 2

2 21

x y

a b

0a b ដែល2 2 2c a b

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0, c

0, a

2 2

2 21

x y

b a

0a b ដែល2 2 2c a b

ខ.សមការសាងោននបអល ដែលមគនកពលខសពគលអកសកអរបោបន

ចត អកសធ កណ កពល សមការសាងោ

,h k

ជាអកសបែក

,h c k

,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b

0a b ដែល2 2 2c a b

,h k

ជាអកសឈរ

,h k c

,h k a

2 2

2 21

x h y k

b a

0a b ដែល2 2 2c a b

3.អសែបល ក.សមការសាងោននអដព លដែលមគនចតជាគលអកសកអរបោបន

ចត

អកសទទង

កណ

កពល

សមការ សាងោ

អាសមតត

0,0

បៅបលើអកសអា

សស

,0c នង ,0c

,0a នង ,0a

2 2

2 21

x y

a b

2 2 2c a b

b

y xa

នងb

y xa

71

0,0

បៅបលើអកសអរបោបន

0,c នង 0, c

0,a នង 0, a

2 2

2 21

y x

a b

2 2 2c a b

a

y xb

នងa

y xb

ខ.សមការសាងោននអដព លដែលមគនចតខសពគលអកសកអរបោបន

ចត អកសទទង កណ កពល សមការសាងោ អាសមតត

,h k សរស នងអកសអា សស

,h c k

នង ,h c k

,h a k

នង ,h a k

2 2

2 21

x h y k

a b

2 2 2c a b

b

y k x ha

នង

b

y k x ha

,h k

សរស នងអកសអរបោបន

,h k c

នង ,h k c

,h k a

នង ,h k a

2 2

2 21

y k x h

a b

2 2 2c a b

a

y k x hb

នង

a

y k x hb

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត ។

1.រកសមការសាងោនន

បា រា ល ដែលមគន

កណតតងចណច 0, 1F

នង ទ តតបា ទស 1y ។

សងតកា ។

ចបមលើយ

កណF សថតបៅបលើអកសអរបោបន

ប ោះអកសឆលោះជាអកសអរបោបន។ បោយកពលសថតបៅបលើអកសឆលោះនងជាចណច

កណតា លរវាងកណនងចនចត សពវរវាង ទ តតបា ទសនងអកសឆលោះប ោះកពលមគនកអរបោបន (0,0) ។

បយើងបានកពលជាគល អកសកអរបោបន ែបចាោះបា រា ល មគនសមការ 2 4x py ,

72

0, 0, 1 1F p F p បយើងបាន 2 4x y បា រា លកាតតាមចណច 2, 1 ; 2, 1 ។

2.បា រា លមយមគនកពលបៅតតងចណច 0,0O នងកណF សថតបៅបលើអកសអា សស។

ក.រកសមការសាងោននបា រា លប ើវាកាតតាមចណច 8,8A ។

ខ.រកតនមលនន1x ប ើចណច 1, 4B x សថតបៅបលើបា រា ល។ សងតកា ។

ចបមលើយ

ក.បា រា លមគនកពល 0,0O

នងកណសថតបៅបលើអកស

អា សសប ោះ អកសអា សស

ជាអកសឆលោះននបា រា ល។

សមការននបា រា លមគន

រាង 2 4y px , 8,8A បៅ

បលើបា រា លបយើងបាន

28 4 8 2p p

ែបចាោះ សមការសាងោននបា រា លគ

2 8y x , : ,0 2,0F p

ខ.រកតនមលនន1x

1, 4B x បៅបលើបា រា លដែលមគនសមការ 22

1 18 4 8y x x ឬ1 2x

3.រកសមការសាងោននបា រា លដែលមគនកពល 2,1 នង កណតតងចណច 4,1 ។ សងតកា ។

ចបមលើយ

អកសឆលោះននបា រា ល ជាអកសបែក

(កពលនង កណមគនអរបោបនែចគនា )

បយើងបត ើសមការ : 2

4y k p x h

កពល : , 2,1 2, 1V h k h k

73

កណ : , 4,1 4F h p k h p ឬ 2p សមការសាងោរននបា រា លបនោះគ

2

1 8 2y x សមការ ទ តតបា ទស 0x h p

4.រកកអរបោបនកពល កណ នង សមការ ទ តតបា ទសននបា រា លដែលមគនសមការ 2

1 4 3x y ។

សងតកា ។

ចបមលើយ

សមការបនោះមគនរាង : 2

4x h p y k ដែលមគនកណមគនក អរបោបន ,h k p

កពល ,h k នង ទ តតបា ទសមគនសមការ y k p បោយបត ៀ បធៀ

2

1 4 3x y នងសមការខាង

បលើបយើងបាន 1, 3, 1h k p

កអរបោបនកពល , 1,3h k

កអរបោបនកណ , 1,4h k p

សមការ ទ តតបា ទស

3 1 2y k p

5. រកសមការសាងោននបអល ដែលមគនកណមយជាចណច 1,0 នង ចណចកពលពរមគនកអរបោបន 2,0

នង 2,0 រចសងបអល ប ោះ ។

ចបមលើយ

បោយកពលជាចណច 2,0

នង 2,0 ប ោះចតននបអល គ

គលអកស 0,0O បហើយ

អកសធជាអកសអា សស។

74

,0 2,0 2

,0 1,0 1

a a

c c

2 2 2c a b ឬ 2 2 2 4 1 3b a c

បអល មគនសមការ : 2 2

14 3

x y

6.បគឲយសមការ 2 236 4 36x y

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការបអល ។ រកត ដវងអកសធ,អកសតច,កអរបោបនននកពល

ទាងពរ នង កអរបោបនននកណទាងពរននបអល ។

ខ. សងបអល ប ោះ។

ចបមលើយ

ក. បយើងដចកអងាទាងពរននសមការបោយ36

បយើងបាន 2 236 4

136 36

x y ឬ

2 2

2 21

1 3

x y វាមគនរាង

2 2

2 21

x y

b a , 0a b

ជាសមការបអល ដែលមគនចតជាគល អកសកអរបោបន នងមគនអកសធបៅបលើអកស អរបោបន ។

តាមសមការបនោះ បយើងទាញបាន

3a នង 1b ត ដវងអកសធ

2 2 3 6a នង ត ដវងអកសតច

2 2 1 2b កពលទាងពរមគន

កអរបោបន 0,3 នង 0, 3

បយើងបាន 2 2 2 2 23 1 8c a b

2 2c , កណទាងពរមគនកអរបោ

បន 0,2 2 នង 0, 2 2

ខ.សងបអល ដែលមគនសមការ 2 236 4 36x y

75

7. រកសមការននបអល ដែលមគនកពលទាងពរជាចណច 3,2 នង 5,2 នង មគន

អកសតចមគនត ដវង 4 ឯកតា ។ សងបអល ។

ចបមលើយ

កពលទាងពរសថតបៅ

បលើអកសបែកប ោះបអល

មគនសមការសាងោ

2 2

2 21

x h y k

a b

បោយចតននបអល ជា

ចណចកណតា លននអងកត

ភាជ កពលទាងពរប ោះបគបានកអរបោបនននចតបអល :

5 3 2 2,

2 2h k

ឬ 1, 2h k

ត ដវងអកសធ 2 2 22 5 3 2 2 8 8a

ត ដវងអកសតច 2 4 2b b

ែបចាោះ សមការសាងោននបអល គ 2 2

2 2

1 21

4 2

x y

ឬ

2 21 2

116 4

x y

8. បគមគនសមការ 2 24 16x y

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការអដព ល។

កណតកអរបោបនកពល នង កអរបោបនកណ។

ខ. រកអាសមតត។

គ.សងអដព ល។

ចបមលើយ

ក.បគមគន 2 24 16x y បយើងដចកអងាទាងពរបោយ16

76

បយើងបាន 2 24

116 16

x y ឬ

2 2

2 21

4 2

x y

បយើងបាន 4, 2a b

កអរបោបនកពលទាងពរគ 4,0 នង 4,0

2 2 2 16 4 20c a b បយើងបាន 20 2 5c

កអរបោបនននកណទាងពរគ 2 5,0 នង 2 5,0

ខ.សមការអាសមតត

by x

a នង b

y xa

ែបចាោះ 1

2y x នង 1

2y x

គ.សងអដព ល

បែើមបសងអដព លបគ

បៅកពល នង គសចត

បកាណដកងដែលមគន

បណតា យ 8ឯកតា

នងទទងត ដវង4ឯកតាបហើយចតបៅគលអកសកអរបោបន។ រចបយើងគសអាសមតតបោយ

ល យអងកតតទងននចតបកាណដកងបនោះ។ រចបយើងគសអដព ល ។

9.បគឲយសមការ 2 216 4 36y x

ក. ងហា ញថាសមការបនោះជាសមការអដព ល។

កណតកអរបោបនននកពល នង កណរ សអដព ល។

ខ.រកសមការអាសមតតននអដព ល។

គ.សងអដព លប ោះ។

ចបមលើយ

ក. បយើងដចកអងាទាងពរននសមការ 2 216 4 36y x បោយ36

77

បយើងបាន 2 216 4

136 36

y x ឬ

2 241

9 9

y x ឬ

2 2

2 21

33

2

y x

ែបចាោះវាមគនរាង 2 2

2 21

y x

a b ដែលជាសមការអដព លមគនអកសទទងបៅបលើអកស

អរបោបន បយើងបាន 3, 3

2a b កអរបោបនកពលទាងពរគ

30,

2

នង 3

0,2

2

2 2 2 23 9 45 93 9 5

2 4 4 4c a b

35

2c កអរបោបនននកណគ

30, 5

2

នង 3

0, 52

ខ.សមការអាសមតត

3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

3

12

3 2

ay x x x

b ឬ 1

2y x

គ.បែើមបសងអដព ល

បយើងបៅកពលបហើយ

គសចតបកាណដកង

ដែលមគន បណតា យ 6 ឯកតា នង ទទង3ឯកតាបហើយមគន ចតបៅគលអកសកអរបោបន។គសអងកតតទង

នង ល យអងកតតទងទាងពរបយើងបានអាសមតតទាងពររ សអដព លប ោះ។

78

សមកា ឌមផ ាខសសែល I.មមម ៀៃសមខេប

1.សមកា ឌមផ ាខសសែលលដាបទ1 នយមនយ : សមការឌបរ ងដសយលលបនដអែលោ ទ 1 បមគណបេរអម ដសន

(អងាទ 2 បសមើសនយ) ជាសមការដែលមគនរាងទបៅ 0y ay (a ជាចននបេរ)។

ចបមលើយទបៅននសមការគ axy Ae ដែល Aជាចននបេរណតមយកបាន។

បែើមបបោោះសរាយសមការឌបរ ងដសយលលបនដអែលោ ទ 1 បមគណបេរ មនអម ដសន , 0y ay p x p x បគតតវ :

- រកអនគមនចបមលើយទបៅននសមការ 0y ay តាងបោយ cy

- រកអនគមនចបមលើយពបសសននសមការ y ay p x តាងបោយ py - ចបមលើយទបៅននសមការ y ay p x គអនគមន y ដែល : c py y y ។

វធបមរមបរមលថេរ : បែើមបបោោះសរាយសមការ y ay p x ( ), 0E p x

ប ោះបគតតវ : - រកចបមលើយទបៅននសមការ 0y ay គ axy Ae ( Aជាចននបេរណតមយកបាន) - កាងចបមលើយ axy Ae ជនសចននបេរ A បោយអនគមន A x - ព axy A x e ទាញរក y រចយក y នង yជនសកាងសមការ y ay p x

បែើមបទាញរក A x បគបាន :

ax

ax ax

y A x e

y A x e aA x e

: ax ax axE A x e aA x e aA x e p x axA x e p x axA x e p x axA x e p x dx c , c ជាចននបេរណតមយកបាន ែបចាោះ ax axy e e p x dx c

ចបមលើយទបៅនន E គ ax ax axy ce e e p x dx

ដែល ax

cy ce នង ax ax

py e e p x dx ។

79

2.សមកា ឌមផ ាខសសែលលមៃសអែលដាបទ 2 នយមនយ : សមការឌបរ ងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 អម ដសន នងមគនបមគណបេរ

ជាសមការដែលអាចសរបសជារាងទបៅ 0ay by cy ដែល , ,a b cជាចននពត

នង 0a ។

ែបណតោះសរាយសមការឌបរ ងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 អម ដសននងមគនបមគណបេរ

ជាទថៅ:

-សមការឌបរ ងដសយលលបនដអែលោ ទ 2 0y by cy អាចសរបសរ

ជាសមការ 0y y y y ដែល នង ជាឬសននសមការ

សមគា ល 2 0b c ។

-សមការសមគា ល 2 0b c ននសមការឌបរ ងដសយល 0y by cy

អាចមគនឬស 2 ជាចននពតបសងគនា ឬមគនឬសឌ ជាចននពត ឬ មគនឬស

2 ជាចននក លច។

ជាទថៅ: -រកសមការសមគា ល 2 0b c ននសមការឌបរ ងដសយល 0y by cy

-ប ើសមការសមគា លមគនឬស 2 ជាចននពតបសងគនា 1 នង

2 ប ោះ សមការ 0y by cy មគនចបមលើយទបៅ x xy Ae Be ដែល A នងB ជាចននបេរណតមយកបាន

- 1 2,x xy e y e ជាចបមលើយបគនល។

ជាទថៅ: ប ើសមការសមគា ល 2 0b c ននសមការឌបរ ងដសយល

0y by cy មគនឬសឌ ជាចននពតគ 1 2 ប ោះបគបានចបមលើយ

ទបៅននសមការឌបរ ងដសយលបនោះគ x xy Axe Be ដែល A នងB ជា

ចននបេរណតមយកបាន។ 1

xy xe នង 2

xy e ជាចបមលើយបគនល។

ជាទថៅ: ប ើសមការសមគា ល 2 0b c ននសមការឌបរ ងដសយល 0y by cy

មគនឬសកលច 1 i នង

2 i ប ោះបគបានចបមលើយទបៅនន

សមការឌបរ ងដសយលបនោះគ cos sinxy e C x D x ដែលC នង

80

Dជាចននបេរណតមយកបាន។

រថបៀបថដាោះសរាយសមការឌថេរងមសែលលថនម ែលដាបទ 2 មន មមសន

y by cy p x , 0p x

- ដសវងរកចបមលើយពបសសមនអម ដសន តាងបោយ py ននសមការ y by cy p x ដែល py

មគនទតមងែចអងាទ 2 p x

- រកចបមលើយទបៅតាងបោយ cy ននសមការលបនដអែលោ ទ 2 អម ដសន 0y by cy

- បគបានចបមលើយទបៅននសមការលបនដអែលោ ទ 2 មនអម ដសន ជាល កនន cy នង py គ

c py y y ។

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត ។

1.បោោះសរាយសមការឌបរ ងដសយល 0y y

កាងលកខខណឌ 0 1y ; 0 1y ; 22y e ។

ចបមលើយ

ចបមលើយទបៅនន 0y y បយើងបាន dyy

dx ឬ

dydx

y

ែបចាោះ ln y x c ឬ xy Ae ( Aជាចននបេរណតមយ)

xy Ae ជាចបមលើយទបៅននសមការ ' 0y y

- កាងលកខខណឌ 00 1 1y Ae ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ 0y y កាងលកខខណឌ 0 1y

- កាងលកខខណឌ 00 1 1y Ae ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ 0y y កាងលកខខណឌ 0 1y

- កាងលកខខណឌ 2 2 22y e Ae e ឬ 1A xy e ជាចបមលើយពបសសននសមការ 0y y កាងលកខខណឌ 22y e

2.បោោះសរាយសមការ 2 0y y កាងលកខខណឌ 22y e

81

ចបមលើយទបៅនន 2 0y y បយើងបាន 2y y ឬ 2dy

ydx

2dy

dxy ឬ ln 2y x c

ែបចាោះ 2xy Ae ( Aជាចននបេរណតមយកបាន) ជាចបមលើយទបៅននសមការ

2 0y y ។ កាងលកខខណឌ 22y e បយើងបាន 2 2 2 2Ae e A e

ែបចាោះ 2 22 2 xxy e e e ជាចបមលើយពបសសននសមការ 2 0y y កាងលកខខណឌ

22y e ។

3.បោោះសរាយសមការ 2 2 3y y x E

ចបមលើយ

- បោោះសរាយសមការ 2 0y y ឬ 2y y

2dy

ydx

ឲយ 2dy

dxy

ln 2y x c បយើងបាន 2x

cy Ae cA e

- រកចបមលើយពបសសនន E py ax b , py a

E 2 2 3p py y x 2 2 3a ax b x 2 2 2 3ax a b x

បគបាន 2 2 1

2 3 1

a a

a b b

ែបចាោះ 1py x - ែបចាោះ ចបមលើយទបៅរ ស E គ 2 1x

c py y y Ae x

4.បោោះសរាយសមការឌបរ ងដសយល 3 4 0y y y E ។

រកចបមលើយពបសសមយននសមការ E ប ើដខសបកាងអនគមនចបមលើយកាតតាមចនច

0,1 បហើយ ទ ត ោះតតងចនចបនោះមគនបមគណតបា ទសបសមើនង 9 ។

ចបមលើយ

- បោោះសរាយសមការ :E 3 4 0y y y

82

សមការ E មគនសមការសមគា ល 2 3 4 0 ;1 21, 4

ែបចាោះ ចបមលើយទបៅរ សសសមការ E គ 4x xy Ae Be A នង B ជាចននបេរណតមយ។

- រកចបមលើយពបសសដែលដខសបកាងតាង 4x xy Ae Be កាតតាមចនច 0, 1x y បយើងបាន 0 01 Ae Be ឬ 1A B បមគណតបា ទសនន ទ ត ោះបៅដខសបកាងតតង 0, 1x y

បសមើ 9 បយើងបាន 44x xy Ae Be ជនស 0x បយើងបាន 4 9A B

1

4 9

5 10

A B

A B

B

ឬ 2B នង 1A ែបចាោះ 42x xy e e ជាចបមលើយពបសសននសមការ E កាងលកខខណឌ ដខសបកាងកាតតាមចនច 0, 1x y នង បមគណតបា ទសរ ស ទ ត ោះបៅដខសបកាងតតងចនចបនោះបសមើ 9។

83

បរបប I.មមម ៀៃសមខេប

តពតាការណលគណនន A នង B ជាត សពវននតពតាការណ A នងតពតាការណ B ។ តពតាការណល កនន A នង B ជាត ជននតពតាការណ A នងតពតាការណ B ។ តពតាការណ B នងតពតាការណ Dជាតពតាការណមនចោះសតមង កាលណតតពតាការណ

លគណនន B នង Dជាតពតាការណមនអាចមគន : B D តពតាការណ 2 ជាតពតាការណទយគនា ឬជាតពតាការណ បពញគនា កាលណតតពតាការណលគណននតពតាការណ

ទាង 2 ជាតពតាការណមនអាចមគន នងតពតាការណល កននតពតាការណទាង 2 ជាតពតាការណតបាកែ : ,A A A A S

បគបានតពតាការណ 2 ទយគនា ជាតពតាការណមនចោះសតមង។ ត បា ននតពតាការណមយ ជាលបធៀ ននចននករណសរស

នងចននករណអាច 𝑃(𝐴) = ចាននករណសរ 𝑛(𝐴)

ចាននករណអាច 𝑛(𝑆)

ត បា ននលហសណតក 𝑆 បសមើនង 1 : 𝑃(𝑆) = 1 ត បា ននតពតាការណមនអាចមគនបសមើបសមើនង 0 : 𝑃(∅) = 0 ត បា ននតពតាការណមយកាងលហសណតកជាចននដែលបៅចប ល ោះ [0,1]

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 ត បា ជាអនវតាន ដែលកណតពលហសណតក 𝑆 បៅចប ល ោះ [0,1]

𝑃 ∶ 𝑆 → [0,1] ត បា ននតពតាការណលគណ 𝐴 នង 𝐵 គ :

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 មនទាកទងគនា 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵 ដែល 𝐴 បកើតមន) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ទាកទងគនា

ត បា ននតពតាការណល ក 𝐴 នង 𝐵 គ: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណមនចោះសតមង

ត បា ននតពតាការណទយ 𝐴 គ: 𝑃(��) = 1 − 𝑃(𝐴) ប ើ 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណ 2 កាងលហសណតកមយដែល 𝑃(𝐴) ≠ 0 ប ោះត បា មគនលកខខណឌ នន

តពតាការណ 𝐵 បោយែងថា 𝐴 គ: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)

បគអាចគណ បានែចគនា 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵) (𝑃(𝐵) ≠ 0)

តាមរ មនាបនោះបគអាចទាញបានត បា ននតពតាការណលគណ 𝐴 នង 𝐵 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴|𝐵) 𝐴 នង 𝐵 ជាតពតាការណ 2 ដែលមគនត បា មនសនយ

បគថាតពតាការណ 𝐴 នង តពតាការណ 𝐵 មនអាសរសយគនា កាលណតតពតាការណទាង 2 បទៀងផទទ តលកខខណឌ ណតមយកាងចបណតមលកខខណឌ ខាងបតកាម :

84

1. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) ឬ 2. 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) ឬ 3. 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)

បគថាតពតាការណ 𝐴 នងតពតាការណ 𝐵 អាសរសយគនា កាលណត 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) រ មនាត បាសរ : 𝑃(𝐵) =

1

( | ) ( )n

i i

i

P B A P A

តទសា ទន បយស :

1

( | ) ( )( | )

( | ) ( )

k kk n

i i

i

P B A P AP A B

P B A P A

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត ។ 1.កាងបសោងមយមគន លពណតកហម 4 លពណបមម ចនន 3 នង លពណសចនន 1 ។

បគចា យកមាង លចនន 3 ។ បគសនាោា នថាត បា ដែលចា បានយក លនមយៗជាសមត បា ។

គណ ត បា ននតពតាការណខាងបតកាម :

ក. ” យ ងតចមគន លពរពណតកហម ”

ខ. ” យ ងតចមគន លពរពណែចគនា ”

គ. ” លទាង មគនពណខសៗគនា ”

ចបមលើយ :

បយើងមគន លសរ ចនន 4 3 1 8

សណ S ននដាកដែលមគនធាត រ សសណ លកាងបសោងមគន

8!8,3 8 7 56

3! 8 3 !n S C

ក.តពតាការណ Aយ ងតចមគន លពរពណតកហមគជាត ជននតពតាការណ

1A : “ មគន លពរពណតកហមនងមយបទៀតមនតកហម”

2A : ” លទាង ពណតកហម ”

បោយ 1 2A A

85

1 2

4,2 4,1 4,3;

8,3 8,3

C C CP A P A

C C

1 2

4,2 4,1 4,3

8,3 8,3

C C CP A P A P A

C C

4! 4! 4!

3 2 4 4 28 12! 2! 3! 3!

56 56 56 56 56 2

ខ.តពតាការណ B ” យ ងតចមគន លពរពណែចគនា ”

តពតាការណ B អាចដចកជាពរករណ

1A : “ លពរពណតកហម នងមយបទៀតមនតកហម ”

បយើងបាន

1

4,2 4,1

8,3

C CP A

C

2A : “ លទាង ពណតកហម ”

2

4,3

8,3

CP A

C

3A : “ លពរពណបមម នងមយបទៀតមនបមម ”

3

3,2 5,1

8,3

C CP A

C

4A : “ លទាង បមម ”

4

1

8,3P A

C

បោយ 1 2 3 4, , ,A A A A មនចោះសតមងគនា ពរៗបគបាន

4,2 4,1 4,3 3,2 5,1 1 44 11

8,3 56 14

C C C C CP B

C

គ.តពតាការណC “មគន លទាង ពណខសៗគនា ”

តពតាការណបនោះ បយើងយក លមយកាងពណនមយៗគបយើងយក លតកហម 1

កាង 4 ជបរ ើស, លបមម 1 កាង 3 ជបរ ើស, លស 1 កាង 1ជបរ ើស

86

4 3 1 12 3

8,3 56 14P C

C

2.កាងថាា កបរៀនមយមគនសសស 30 កដែលកាងប ោះ 14 កជា រ។ កាងចបណតម

សសសទាងប ោះ រ 8 ក នង រស 4 កជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន។

សសសែនទបទៀតបៅបតៅអបនាវាសកោា ន។ បគបតជើសបរ ើសសសសមគា កកាងថាា កបនោះ

បោយនចែនយ។ កណតតពតាការណខាងបតកាម :

A : “ សសសដែលបតជើសបរ ើសជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន ”

B : “ សសសដែលបតជើសបរ ើសជាសសស រស ”

ក.-គណ ត បា ននតពតាការណ A រចរកត បា ននតពតាការណ B

ខ.-គណ ត បា |P B A មគននយថាត បា ននការបតជើសបរ ើសសសស រស

បោយែងថាជាសសសបៅកាងអបនាវាសកោា ន។

-កណតត បា ននតពតាការណ A B

ចបមលើយ

ក.បយើងអាចសបងខ សមមតកមមខាងបលើកាងតារាងខាងបតកាម

សសស ចនន រ ចនន រស សរ កាងអបនាវាសកោា ន 8 4 12 បតៅអបនាវាសកោា ន 6 12 18

សរ 14 16 30

វបាក 12 2

30 5P A

បោយមគន រ 14 ែបចាោះ សសស រសមគន 16

16 8

30 15P B

ខ.-សសស រសចនន 4 កបៅកាងអបនាវាសកោា ន

4 1

|12 3

P B A

87

-កណតត បា ននតពតាការណ A B

1 2 2|

3 5 15P A B P B A P A

3.កាងដលបងប ៀរ 32 សនលកបគែកយកសនលកប ៀមយសនលកបោយនចែនយ។

បគកណតតពតាការណ :

A : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជារ ប ោះែង ” B : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជាអាត ” C : “ សនលកប ៀរដែលែកយកបានជាសនលកអាត នង តកហម ”

រកត បា ននតពតាការណ , ,A B C ។

ចបមលើយ 32n S

រកត បា 8,1 8 1

32 32 4

CP A

រកត បា 4,1 4 1

32 32 8

CP B

រកត បា P C

សនលកប ៀតកហមមគន 16 សនលកែបចាោះត បា បែើមបបានសនលកប ៀតកហមគ 16,1 1

32 2

C

1 1 1

8 2 16P C

4.បៅកាងធងមយបគមគន ែល 12 ដែលបគសរបសរបលខព 1 ែល 12។ បគចា យក ែល 3

បចញពធងតពមគនា បោយនចែនយ។ រកត បា ននតពតាការណខាងបតកាម :

A : “ បគចា បាន ែលទាង មគនបលខសទធដតដចកោចនង 3 ” B : “ បគចា បាន ែលដតមយគតមគនបលខដចកោចនង 3 ” C : “ បគចា បាន ែលមគនបលខតាមលោ បកើនជាសវ តនពវនាដែលមគនលសងរម 3d ”

D : “ បគចា បាន ែលមគនបលខតាមលោ បងកើតបានសវ តធរណមគតតមគនលបធៀ រម 1

2q ”

ចបមលើយ: បយើងបានសណបលខបលើ ែល 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 សណននដាកដែលមគន ែល

S មគន 12! 12! 12 11 10

12,3 2203! 12 3 ! 3!9! 6

n S C

ពហគណនន 3 គ 3,6,9,12 បែើមបអាចបានតពតាការណ A បយើងយក ែល កាងចបណតម ែល3,6,9,12

88

ែបចាោះ

4,3 4 1

12,3 220 55

CP A

C

រកត បា P B គបយើងយក ែលមយកាងចបណតម ែលដែលមគនបលខ3,6,9,12 នងយកពរបទៀតកាងចបណតម 8 បសងបទៀត។

4,1 8,2 112 28

12,3 220 55

C CP B

C

រកត បា P C បគបរៀ ជាសវ តដែលមគនលសងរម 3d 1,4,7 , 2,5,8 , 3,6,9 , 4,7,10 , 5,8,11 , 6,9,12

ែបចាោះ 6 3

220 110P C

រកត បា P D

, ,a b c ជាចននតាមលោ ននសវ តធរណមគតត ដែលមគនលបធៀ រម 1

2q ។

បគបាន 1 1 1,c

2 2 4b a b a

, ,a b c ជាចននគតធមមជាត ដែល a តតវដតជាពហគណនន 4 ែបចាោះ a អាចយកតនមល4,8 ឬ 12 ។ បយើងបានសវ ត គ: 4,2,1 , 8,4,2 , 12,6,3

វបាក: 3

220P D ។

89

ផលគណនៃែ វចទ កនខលហ ៃខ អៃេតាៃ

I.មមម ៀៃសមខេប ប ើ �� = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 �� នង 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 �� ជាវចទរកាងលហ។ លគណននវចទរ ��

នង 𝑣 គជាវចទរកណតបោយ

�� × 𝑣 = (𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2) 𝑖 − (𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1) 𝑗 + (𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1) �� ។ ប ើ �� , 𝑣 នង �� ជាវចទរបៅកាងលហ នង 𝒄 ជាចននពត ប ោះបគបាន :

ក. �� × 𝑣 = −(𝑣 × �� ) ខ. �� × (𝑣 + �� ) = (�� × 𝑣 ) + (�� × �� ) គ. 𝑐(�� × 𝑣 ) = (𝑐 �� ) × 𝑣 = �� × (𝑐 𝑣 ) ឃ. �� × 0 = 0 × �� = 0

ង. �� × �� = 0 ច. �� ∙ (𝑣 × �� ) = (�� × 𝑣 ) ∙ �� ។ ប ើ �� នង 𝑣 ជាវចទរមនសនយបៅកាងលហ នងតាង 𝜃 ជាមរវាង �� នង 𝑣 ប ោះបគបាន :

ក. �� × 𝑣 អរតកណតលបៅនង �� ង នង 𝑣 ង។ ខ. |�� × 𝑣 | = |�� | ∙ |𝑣 | ∙ sin𝜃 គ. ប ើ �� × 𝑣 = 0 ប ោះ �� នង 𝑣 ជាវទរកលបនដអែនងគនា ។ .|�� × 𝑣 | =នទតកឡារ សត បល តកាមដែលសងបលើវចទរ �� នង 𝑣 ។ ង. 1

2|�� × 𝑣 | =នទតកឡារ សតតបកាណដែលសងបលើវចទរ �� នង 𝑣 ។

បគមគនវចទរ �� , 𝑣 នង �� បៅកាងលហ ។ លគណចតមោះនន �� , 𝑣 នង �� តាមលោ គជាចននពតដែលកណតបោយ �� ∙ (𝑣 × �� ) ។

ប ើបគមគនវចទរ �� = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3�� , 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3��

នង �� = 𝑤1𝑖 + 𝑤2𝑗 + 𝑤3�� ប ោះ �� ∙ (𝑣 × �� ) = |

𝑢1 𝑣1

𝑤1

𝑢2 𝑣2 𝑤2

𝑢3

𝑣3

𝑤3

|។

𝑉 ជាមគឌរ សត បលពដ តដែលសងបលើវចទរ �� , 𝑣 នង �� គ 𝑉 = |�� ∙ (𝑣 × �� )| នង 𝑤 ជាមគឌរ សបតតតាដអែតគ : 𝑤 =

|�� ∙(�� ×�� )|

6

បាននយថា យកមគឌរ សត បលពដ តដចកនង 6 ។ សមការបា រា ដមតនន ទ ត 𝐿 កាតតាមចណច 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) បហើយសរស នងវចទរ

𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) គ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 , 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 , 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

ឬ {𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

(𝑡 ∈ ℝ)

សមការឆលោះនន ទ ត 𝐿 គ : 𝒙−𝒙𝟎

𝒂=

𝒚−𝒚𝟎

𝒃=

𝒛−𝒛𝟎

𝒄 ។

សមការសាងោនន លងដែលកាតតាមចណច 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) នងមគនវចទរណរមគ ល �� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) គ 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 ។

សមការទបៅនន លងគ : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (ដែល 𝑑 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) )។

90

មរវាង លងពរគ : cos 𝜃 = |�� 1.�� 2|

|�� 1||�� 2| ដែល �� 1 នង �� 2 ជាវចទរណរមគ លនន លង ។

ចមគា យរវាងចណច 1 1 1, ,P x y z នង 2 2 2, ,Q x y z បៅកាងលហគ

2 2 2

2 1 2 1 2 1d x x y y z z ។

សមការសាងោននដសែវ ចត 0 0 0, ,C x y z កា r គ 2 2 2 2

0 0 0x x y y z z r សមការទបៅននដសែវ : 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 02 2 2 0,x y z x x y y z z k k x y z r ចមគា យពចណច Q បៅ លង ដែលចណច Q មនបៅកាង លង កណតបោយ

𝐷 = |𝑃𝑄 ∙�� |

|�� | ឬ 𝐷 = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ដែល P ជាចណចបៅកាង លង នង �� ជាវចទរ

ណរមគ លនន លង ។

ចមគា យពចណច Q បៅ ទ ត L កាងលហកណតបោយ 𝐷 = |𝑃𝑄 ×�� |

|�� | ដែល �� ជា

វចទរតបា ទសនន ទ ត 𝐿 នង 𝑃 ជាចណចបៅបលើ ទ ត 𝐿 ។

II.លហាតគ កណតសមគា ល : អាកសកាតតវខត ងបោោះសរាយលហាតបោយខលនឯង ចដណកចបមលើយសតមគ ដតបទៀងផទទ ត ។

1.បគបអាយវចទរ �� = −𝑖 + 𝑗 + 2�� ; 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 − 3�� ។ រកវចទរ

ក. �� × 𝑣 ខ. 𝑣 × �� គ. �� × ��

ចបមលើយ

ក. �� × 𝑣 = |𝑖

−12

𝑗 12

��

2−3

| = |12 2

−3| 𝑖 − |

−12

2

−3| 𝑗 + |

−12

12| ��

= (−3 − 4)𝑖 − (3 − 4)𝑗 + (−2 − 2)�� = −7𝑖 + 𝑗 − 4��

ខ.𝑣 × �� = |𝑖 2

−1

𝑗 21

��

−32

| = |21 −32

| 𝑖 − |2

−1 −32

| 𝑗 + |2

−1 21 | ��

= (4 + 3)𝑖 − (4 − 3)𝑗 + (2 + 2)�� = 7𝑖 − 𝑗 + 4��

គ. �� × �� = |𝑖

−1−1

𝑗 11

��

22

| = |11 22| 𝑖 − |

−1−1

22| 𝑗 + |

−1−1

1 1

| ��

= (2 − 2)𝑖 − (−2 + 2)𝑗 + (−1 + 1)�� = 0 2.រកវចទរឯកតាដែលអរតកណតលបៅនងវចទរ �� = 𝑖 − 𝑗 + 2�� , 𝑣 = 2𝑖 + 𝑗 − ��

ចបមលើយ : លគណវចទរ �� × 𝑣 អរតកណតលបៅនងវចទរ �� នង 𝑣 គ

91

�� × �� = |𝑖 12

𝑗

−11

��

2−1

| = (1 − 2)𝑖 − (−1 − 4)𝑗 + (1 + 2)�� = −𝑖 + 5𝑗 + 3��

បោយ |�� × 𝑣 | = √(−1)2 + 52 + 32 = √1 + 25 + 9 = √35

ប ោះបយើងបានវចទរឯកតាដែលអរតកណតលបៅនងវចទរ �� នង 𝑣 គ

�� ��

|�� ×�� | = − 1

√35𝑖 +

5

√35𝑗 +

3

√35��

វចទរបនោះជាវចទរឯកតាពបត ោះ | �� ×��

|�� ×�� || = √

1

35+

25

35+

9

35= 1

3.បគមគនចណច 𝐴(−1,2,3) ; 𝐵(1, −6,−1) ; 𝐶(2,2,2) បៅកាងលហត ោ បោយ

តតមយយអរតណរមគ ល(0, 𝑖 , 𝑗 , �� ) ។ គណ លគណវចទរ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ។

ចបមលើយ

បយើងបាន 𝐴𝐵 = 2𝑖 − 8𝑗 − 4��

𝐴𝐶 = 3𝑖 − ��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 23

𝑗

−80

��

−4−1

| = 8𝑖 − (−2 + 12)𝑗 + 24�� = 8𝑖 − 10𝑗 + 24��

4.បៅកាងលហត ោ បោយតរយអរតណរមគ ល (0, 𝑖 , 𝑗 , �� ) បគមគនចណច

𝐴(1,3,4) ; 𝐵(2,5,6) ; 𝐶(3,4,3) ; 𝐷(2,2,1) ។

ងហា ញថាចតបកាណ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ជាត បល តកាម រចរកនទតកឡាននត បល តកាមបនោះ ។

ចបមលើយ : តជងឈមននចតបកាណបនោះមគនវចទរ 𝐴𝐵 នង 𝐷𝐶

𝐴(1,3,4) ; 𝐵(2,5,6) វចទរ 𝐴𝐵 = 𝑖 + 2𝑗 + 2��

𝐶(3,4,3) ; 𝐷(2,2,1) វចទរ 𝐷𝐶 = 𝑖 + 2𝑗 + 2��

បយើងបាន 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶

ែបចាោះ ចតបកាណ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ជាត បល តកាមដែលមគន 𝐴𝐵 នង 𝐴𝐷 តជងជា ។

𝐴(1,3,4) ; 𝐷(2,2,1) វចទរ 𝐴𝐷 = 𝑖 − 𝑗 − 3��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 = |𝑖 11

𝑗 2

−1

��

2−3

| = (−6 + 2)𝑖 − (−3 − 2)𝑗 + (−1 − 2)��

92

= −4𝑖 + 5𝑗 − 3�� បយើងបានតកឡានទត បល តកាមគ

|𝐴𝐵 × 𝐴𝐷 | = √(−4)2 + 52 + (−3)2 = √16 + 25 + 9 = √50 = 5√2 ឯកតានទតកឡា

5.គណ មគឌត បលពដ តដែលមគនវចទរ �� , �� នង �� ជាវមគតត :

�� = 𝑖 + 3𝑗 + �� , 𝑣 = 5𝑗 + 5�� , �� = 4𝑖 + 4�� ចបមលើយ : បយើងែងថាមគឌរ សត បលពដ ត 𝑉 = |�� ∙ (𝑣 × �� )|

�� ∙ (𝑣 × �� ) = |104 350 154| = 1 |

5 50 4

| − 3 |0 54 4

| + 1 |0 54 0

|

= 1(20) − 3(−20) + 1(−20) = 20 + 60 − 20 = 60 ែបចាោះ 𝑉 = 60 ឯកតាមគឌ

6.រកសមការបា រា ដមតនន ទ ត កាតតាមចណច 𝐴(0,0,0) បហើយសរស នងវចទរ

�� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� រចរកសមការឆលោះនន ទ តបនោះ ។

ចបមលើយ : បយើងបាន 𝑥0 = 0 ; 𝑦0 = 0 ; 𝑧0 = 0

�� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� = (1,2,3) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ឬ 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 2 ; 𝑐 = 3

ែបចាោះ សមការបា រា ដមតនន ទ តបនោះគ

0

0

0

0

0 2 2

0 3 3

x x at t t

y y bt t t

z z ct t t

ឬ , t

សមការឆលោះនន ទ តបនោះគ 1 2 3

x y z ។

7.រកសមការ លងដែលកាតតាមចណចខាងបតកាម :

(1,2,3)A ; (3,2,1)B នង ( 1, 2,2)C

ចបមលើយ: បែើមបរកសមការ លងបគតតវរកវចទរណរមគ ល �� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ។

វចទរណរមគ ល �� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ជាលគណនន វចទរ 𝐴𝐵 នង 𝐴𝐶 ដែល :

(1,2,3)A ; (3,2,1)B បយើងបាន 𝐴𝐵 = (3 − 1,2 − 2,1 − 3) = (2,0,−2)

2

3

x t

y t

z t

93

(1,2,3)A ; ( 1, 2,2)C បយើងបាន 𝐴𝐶 = (−1 − 1,−2 − 2,2 − 3) = (−2,−4,−1)

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 2

−2

𝑗 0

−4

��

−2−1

| = −8𝑖 − (−2 − 4)𝑗 + (−8)�� = −8𝑖 + 6𝑗 − 8��

𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 ≠ 0 មគន លងដតមយគតកាតតាមចណច 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 ដែលវចទរណរមគ ល

�� = (−8,6,−8) ។

ែបចាោះ សមការ លងកាតតាមចណច 𝐴(1,2,3)

គ 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

−8(𝑥 − 1) + 6(𝑦 − 2) − 8(𝑧 − 3) = 0 ឬ −8𝑥 + 8 + 6𝑦 − 12 − 8𝑧 + 24 = 0

ឬ −8𝑥 + 6𝑦 − 8𝑧 + 20 = 0 .