Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico

Capítulo 01

Introdução a Probabilidade

Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

http://epoli.pbworks.com/

Bibliografia

Bibliografia :

• Spiegel, M. Probabilidade e Estatística. Mc Graw Hill,1993.

Experimentos Aleatórios

Experimentos que mesmo sendo realizados inúmeras vezes sob condições idênticas não apresentam o mesmo resultado.

Exemplos: Ao se jogar uma moeda { Cara, Coroa } ou dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Espaços amostrais

Conjunto de todos resultados possíveis de um experimento.

Cada resultado é chamado de ponto amostral. O espaço amostral pode ser representado

graficamente como abaixo.

Os pontos representam as possibilidades ao se jogar uma moeda duas vezes.Sendo 0 equivalente a cara e 1 coroa.

(0,0) (1,0)

(0,1) (1,1)

Eventos

Evento é um subconjunto do espaço amostral. Consiste em um elemento do espaço.

Pode se chamar evento simples ou evento elementar quando consiste em um único ponto do espaço.

Conceito de Probabilidade

A chance de um evento ocorrer ou não pode ser medida, calculada. Geralmente um numero entre 0 e 1 e atribuído, sendo respectivamente a certeza que não ocorrerá e a certeza de que ocorrerá.

Conceito de Probabilidade

Existem 2 formas de se obter tal estimativa:

Processo clássico: se divide o número (h) de maneiras diferentes em que o evento pode ocorrer pelas (n) maneiras possíveis, todas igualmente prováveis.

Processo da freqüência: após um número grande de repetições (n), se observa que ocorreram (h) eventos desejados.

Para os dois casos a probabilidade e ( ). n

hP

Axiomas da probabilidade

Para cada evento A associamos um número real P(A) que é a função de probabilidade do evento, desde que sejam obedecidos os seguintes axiomas:

Axioma 1 – Para todo evento: P(A) ≥ 0

Axioma 2 – Para o evento certo S : P(S) = 1

Axioma 3 – Para um número qualquer de eventos mutuamente exclusivos:

)P(A)P(A )(A P )P(A )A A A P(A n321n321

Alguns teoremas importantes

Teorema 1: , então

Teorema 2:Para todo evento 0 ≤ P(A) ≤ 1

Teorema 3:P( ) = 0, evento impossível tem probabilidade 0.

21 AA

P(A2) P(A1)

Alguns teoremas importantes

Teorema 4: Se A' e complemento de A então:

Teorema 5: Se são eventos mutuamente excludentes, então:

n 21n21 A , ,A ,A e A A A A

P(A) -1 )P(A'

)P(A...)P(A)P(A P(A) n21

Alguns teoremas importantes

Teorema 6: Sendo A e B dois eventos quaisquer, então:

Teorema 7: Para dois eventos A e B quaisquer:

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B')

B)P(A– P(B) P(A) B)P(A

Alguns teoremas importantes

Teorema 8: Se A deve resultar em um dos eventos excludentes A1, A2, … An , então:

P(A) = P(A ∩ A1) + P(A ∩ A2)+... + P(A ∩ An)

Atribuições de Probabilidade

Dado um espaço amostral composto por tais eventos elementares A1, A2, ..., An. Então P(A1 ) + P(A2) +... +P(An) = 1

Se admitirmos probabilidade igual para todos os eventos podemos representar da seguinte forma: P(Ak) = 1 / n , k = (1, 2,..., n)

Se A for formado por h desses eventos, então:P(A) = h/n

Probabilidade Condicional

• Considerando A e B serem dois eventos tal que P(A) > 0.

• Denote P(B | A) ser a probabilidade da ocorrência de B, na hipótese de A ter ocorrido.

• Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço amostral. O que leva à definição:

P(A)

B)P(A A) | P(B

Teoremas Sobre Probabilidade Condicional

• Teorema 1:Para três eventos quaisquer A1, A2, A3:

P(A1∩A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3| A1 ∩A2)

• Teorema 2:Se um experimento A deve ter como resultado

um dos eventos mutuamente excludentes A1, A2, ..., An então:

P(A) = P(A1)P(A | A1)+P(A2)P(A | A2)+...+P(An)P(A | An)

Eventos Independentes

• Se a probabilidade de ocorrência de B não é afetada pela ocorrência de A, dizemos que A e B são eventos independentes

P(B)P(A) B)P(A

Teorema (ou regra) de Bayes

• Sejam A1, A2, ... An eventos mutuamente excludentes, onde um dos eventos deve ocorrer. Então, se A é um evento, temos:

)A|)P(AP(A

)A|)P(AP(A A)|P(A

jj

kkk

Análise Combinatória

• Método de contagem usado para calcular o número de possibilidades existentes em problemas de grande espaço amostral.

Princípio fundamental da contagem

• Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

k k k k T n321

Arranjos Simples (Permutações)

• Arranjos simples são agrupamentos de elementos distintos, que a ordem faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:

– Como no exemplo a ordem r = n ( 0! = 1)– Logo:

{ 312, 321, 132, 123, 213, 231 }

r)!– (n

n! Prn

6 3)!– (3

3! P33

Combinação simples

• Quando a ordem não importa, mas cada elemento pode ser contado apenas uma vez (Exemplo: 123 = 321 = 132 = 213 ...)

• O número de combinações costuma-se designar o coeficiente binomial pelo fato de aparecerem no desenvolvimento binomial

r)!-(n r!

n! C

r

nrn

Coeficientes Binomias

Os números da formula de cominações são frequentemente chamados de coeficientes binomiais porque eles surgem na expansão binomial

nnnnn yn

nyx

nyx

nxyx

211

21)(

Aproximação de Stirling para n!

• Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

nnennn 2!