UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

EAP INGENIERÍA CIVIL

COMPLEMENTO MATEMÁTICO Y TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

EXAMEN PARCIAL

1. (3 ptos)Sean las rectas L1:{−46 x+36 y+2 z+10=0−10 x+18 y+14 z−8=0 L2:{−41x+33 y+z+14=0−7 x+9 y+17 z−38=0 L3: { −5 x+3 y+z+2=0

−3 x+9 y−3 z−6=0

las cuales encierran un triángulo. Calcular los vértices y los ángulos del triángulo formado por las rectas2. (3.5 ptos)Sea la recta L que pasa por (-5, -3, -8) tal que corta a

L :( 12 ,1 , 252 )+ t (2 ,2 ,2 ) . Si la dirección L1 es la normal del plano P tal que L⊂P, hallar la ecuación de la recta L3. (5 ptos)Sean las rectas L1:P=P0+t u1 t∈R L2:P=Q0+t u2 t∈R y L3:P=(1,1,0)+t (1,1,1)t∈ R donde L1 y L2 se cortan y son ortogonales. Además la proyección de P0Q0 sobre u1 es (1

2,12,12). Si {(1,1,1)}⊂L1∩L2, hallar la ecuación de una recta L tal que corta y es ortogonal a las rectas L2 y L3, y un punto de paso de L es ( 11d√6 , √6−5 , −3√6 d

2) donde d es la distancia de Q0 a L14. (3.5 ptos)Sean a, b y c vectores. Demuestre (a×b ) . (c×d )=(a . c ) (b .d )−(a .d ) (b . c )5. (5 ptos)Sean los vectores a, b y c tal que ‖a‖=3, ‖b‖=1, ‖c‖=4 y a+b+c=0a. Si L1: (h ,−2h ,h )+t (2,4,8) y L2: (h−12 ,−h ,h+10 )+t(−2,0 ,−4) donde

h=a .b+b .c+a . c, calcular la distancia entre las dos rectasb. (a×b )× (a×c )=a, calcule (a×b )× (b×c )