lenguaje matematico

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO PORTUGUESA JUAN DE JESS MONTILLA

Informe de investigacin UNIDAD 1: Lenguaje

Leonardo Jess Melndez Sulbaran C.I.V-18.671.986

Seccin: 132

Acarigua, 22 de julio de 2014

Contenido Introduccin ....................................................................................................................................... 4

Elementos del lenguaje ...................................................................................................................... 5

Axioma ........................................................................................................................................... 5

Postulado ....................................................................................................................................... 5

Definicin ....................................................................................................................................... 5

Proposicin .................................................................................................................................... 5

Escolio ............................................................................................................................................ 5

Lema ............................................................................................................................................... 5

Teorema ......................................................................................................................................... 5

Corolario ........................................................................................................................................ 5

Tipos de lenguaje ............................................................................................................................... 5

Lenguaje Natural: ........................................................................................................................... 5

Lenguaje Artificial: .......................................................................................................................... 5

Mencin y usos de los signos ............................................................................................................. 6

Genricos ....................................................................................................................................... 6

Aritmtica y lgebra ....................................................................................................................... 6

Lgica proposicional ....................................................................................................................... 7

Lgica de predicados ...................................................................................................................... 8

Teora de conjuntos........................................................................................................................ 9

Funciones ..................................................................................................................................... 10

Nmeros....................................................................................................................................... 10

rdenes parciales ......................................................................................................................... 11

Geometra eucldea ...................................................................................................................... 12

Combinatoria ............................................................................................................................... 12

Anlisis funcional.......................................................................................................................... 12

Clculo .......................................................................................................................................... 12

Ortogonalidad .............................................................................................................................. 13

lgebra matricial .......................................................................................................................... 13

Teora de rejas .............................................................................................................................. 14

Funcin del lenguaje ........................................................................................................................ 14

Proposiciones ................................................................................................................................... 14

Lenguaje objeto y metalenguaje ...................................................................................................... 15

Objeto de la lgica ........................................................................................................................... 15

Designado y denotado de un signo .................................................................................................. 15

Designado: ................................................................................................................................... 15

Bibliografa ....................................................................................................................................... 17

Introduccin La enorme utilidad de las matemticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no

hay explicacin para ello. No es en absoluto natural que existan leyes de la naturaleza, y mucho

menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje

de las matemticas para la formulacin de las leyes de la fsica es un regalo maravilloso que no

comprendemos ni nos merecemos. Eugene Wigner (premio Nobel en 1963)

Para aprender Matemticas hace falta conocer su idioma, sus palabras clave, los objetos que se

utilizan y las herramientas necesarias para manejar esos objetos.

Elementos del lenguaje

Axioma Enunciado o frmula que se admite sin demostrar.

Postulado Supuesto que se establece para fundar una demostracin, una teora o un cuerpo de doctrina.

Definicin Declaracin del significado de un trmino o signo, es decir, del uso que de l se va a hacer.

Proposicin Enunciado de una verdad demostrada, o que se trata de demostrar.

Escolio Proposicin aclaratoria.

Lema Proposicin que es preciso demostrar antes de establecer un teorema.

Teorema Proposicin que afirma una verdad demostrable. Consta de tres partes: hiptesis (lo que se

supone), tesis (lo que se va a demostrar) y demostracin (la prueba de la tesis).

Corolario Proposicin que se deduce por s sola del demostrado anteriormente.

En otros trminos los elementos del lenguaje tambin pueden ser los siguientes: Smbolos

matemticos, Frase matemtica, Objetos matemticos, Nmeros, Letras, Nmeros y Letras.

Tipos de lenguaje

Lenguaje Natural: Es la lengua o idioma hablado o escrito por humanos para propsitos generales de comunicacin.

Son aquellas lenguas que han sido generadas espontneamente en un grupo de hablantes con

propsito de comunicarse, a diferencia de otras lenguas, como puedan ser una lengua construida,

los lenguajes de programacin o los lenguajes formales usados en el estudio de la lgica formal,

especialmente la lgica matemtica.

Lenguaje Artificial: Es un idioma que ha sido total o parcialmente construido, planeado o diseado por seres humanos

a partir del estudio de las lenguas naturales. Los lenguajes de programacin y los lenguajes

matemticos son lenguajes formales y no son considerados ideolenguas porque no son idiomas.

Tampoco se considera ideolengua a la evolucin histrica, y por lo tanto no planeada

conscientemente, de cualquier lengua natural.

Mencin y usos de los signos

Genricos

Smbolo Nombre se lee como Categora

igualdad igual a todos

x = y significa: x e y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o

ente.

1 + 2 = 6 3

definicin se define como todos

x := y o x y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que

puede tambin significar otras cosas, como congruencia)

P : Q significa: P se define como lgicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (x)); A XOR B : (A B) (A B)

Aritmtica y lgebra


adicin Ms aritmtica y lgebra

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

sustraccin menos aritmtica

9 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado ser 5. El smbolo 'menos'

tambin se utiliza para denotar que un nmero es negativo. Por ejemplo, 5 + (3) = 2

significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 36 = 51

multiplicacin Por aritmtica

7 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado ser 42.

4 6 = 24 4 * 6 = 24 4 6 = 24

divisin entre, dividido por aritmtica

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo

ser de tamao siete.

Sumatoria suma sobre ... desde ... hasta ... de aritmtica

k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

k=14 k = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

productorio producto sobre... desde ... hasta ... de aritmtica

k=1n ak significa: a1a2an

k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 4 5 6 = 360

Lgica proposicional


implicacin material o en un

solo sentido implica; si .. entonces;

por lo tanto lgica proposicional

A B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero tambin; si B es verdadero

entonces nada se dice sobre A.

puede significar lo mismo que , o puede ser usado para denotar funciones, como

se indica ms abajo.

x = 2 x = 4 es verdadera, pero 4 = x x = 2 es, en general, falso (ya que x podra

ser 2)

doble implicacin si y slo si; sii, syss lgica proposicional

A B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2 x + 3 = y

conjuncin lgica o interseccin

en una reja y

lgica proposicional, teora

de rejas

la proposicin A B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es

falsa.

n < 4 n > 2 n = 3 cuando n es un nmero natural

disyuncin lgica o unin en una

reja o,

lgica proposicional, teora

de rejas

la proposicin A B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son

falsas, la proposicin es falsa.

n 4 n 2 n 3 cuando n es un nmero natural

negacin lgica no lgica proposicional

la proposicin A es verdadera si y slo si A es falsa.

una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un colocado a la izquierda.

(A B) (A) (B); x S (x S)

Lgica de predicados


cuantificador universal para todos; para cualquier;

para cada

lgica de

predicados

x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x

n N: n n

cuantificador existencial existe por lo menos un/os lgica de

predicados

x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

n N: n + 5 = 2n

cuantificador existencial con marca de

unicidad existe un/os nico/s

lgica de

predicados

! x : P(x) significa: existe un nico x tal que P(x) es verdadera.

! n N: n + 1 = 2

reluz tal que lgica de

predicados

x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

n N: n + 5 = 2n

Teora de conjuntos


delimitadores de conjunto el conjunto de ... teora de

conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

notacin constructora de

conjuntos

el conjunto de los elementos ... tales que

...

teora de

conjuntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)}

es lo mismo que {x : P(x)}.

{n N : n < 20} = {0,1,2,3,4}

conjunto vaco conjunto vaco teora de

conjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; es la misma cosa.

{n N : 1 < n < 4} = {}

pertenencia de conjuntos en; est en; es elemento de; es miembro

de; pertenece a

teora de

conjuntos

a S significa: a es elemento del conjunto S; a S significa: a no es elemento del

conjunto S

(1/2)1 N; 21 N

subconjunto es subconjunto de teora de

conjuntos

A B significa: cada elemento de A es tambin elemento de B

A B significa: A B pero A B

A B A; Q R

unin de conjuntos la unin de ... y ...; unin teora de

conjuntos

A B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y tambin todos

aquellos de B, pero ningn otro.

A B A B = B

interseccin de conjuntos la interseccin de ... y ...; interseccin teora de

conjuntos

A B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en

comn.

{x R : x = 1} N = {1}

complemento de un

conjunto menos; sin

teora de

conjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se

encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones


aplicacin de funcin; agrupamiento de funciones

para aplicacin de funcin: f(x) significa: el valor de la funcin f sobre el elemento x

para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del parntesis.

Si f(x) := x, entonces f(3) = 3 = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4

mapeo funcional de ... a funciones

f: X Y significa: la funcin f mapea el conjunto X al conjunto Y

Considrese la funcin f: Z N definida por f(x) = x

Nmeros


nmeros naturales N nmeros

N significa: {1,2,3,...}, pero vase el artculo nmeros naturales para una convencin

diferente.

{|a| : a Z} = N

nmeros enteros Z nmeros

Z significa: {...,3,2,1,0,1,2,3,4,...}

{a : |a| N} = Z

nmeros racionales Q nmeros

Q significa: {p/q : p, q Z, q 0}

3.14 Q; Q

nmeros reales R nmeros

R significa: {limn an : n N: an Q, el lmite existe}

R; (1) R

nmeros complejos C nmeros

C significa: {a + bi : a, b R}

i = (1) C

raz cuadrada la raz cuadrada de; la principal raz cuadrada

de nmeros reales

x significa: el nmero positivo cuyo cuadrado es x

(x) = |x|

infinito infinito nmeros

es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los nmeros reales;

ocurre frecuentemente en lmites

limx0 1/|x| =

valor absoluto valor absoluto de nmeros

|x| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) entre x y [[zero], se le

llama tambin mdulo]

|a + bi | = (a + b)

rdenes parciales


comparacin es menor a, es mayor a rdenes parciales

x < y significa: x es menor a y; x > y significa: x es mayor a y

3 < 4 5 > 4


comparacin es menor o igual a, es mayor o igual a rdenes parciales

x y significa: x es menor o igual a y; x y significa: x es mayor o igual a y

x 1 x x

Geometra eucldea


pi pi Geometra euclideana

significa: la razn de la circunferencia a su dimetro.

A = r es el rea de un crculo con radio "r"

Combinatoria


factorial factorial combinatoria

n! es el producto 12...n

4! = 24

Anlisis funcional


norma norma de; longitud de anlisis funcional

x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

x+y x + y

Clculo


integracin integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ... clculo

ab f(x) dx significa: el rea, con signo, entre el eje-x y la grfica de la funcin f entre x =

a y x = b

0b x dx = b/3; x dx = x/3

derivacin derivada de f; f prima clculo

f '(x) es la derivada de la funcin f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en

ese lugar.

Si f(x) = x, entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2

gradiente del, nabla, gradiente de clculo

f (x1, , xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, , df / dxn)

Si f (x, y, z) = 3xy + z entonces f = (3y, 3x, 2z)

derivada parcial derivada parcial de clculo

Con f (x1, , xn), f/xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables

mantenidas constantes.

Si f(x, y) = xy, entonces f/x = 2xy

Ortogonalidad


perpendicular es perpendicular a ortogonalidad

x y significa: x es perpendicular a y; o, ms generalmente, x es ortogonal a y.

lgebra matricial


perpendicular traspuesta matrices y vectores

(a,b) con al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de

izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigacin se

utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Teora de rejas


fondo el elemento fondo teora de rejas

x = significa: x es el elemento ms pequeo.

Funcin del lenguaje Las funciones del lenguaje se refieren al uso de la lengua que hace un hablante. Son los diferentes

objetivos, propsitos y servicios que se le dan al lenguaje al comunicarse, dndose una funcin del

lenguaje por cada factor que tiene ste, en donde la funcin que prevalece es el factor en donde

ms se pone nfasis al comunicarse.

Las funciones del lenguaje son herramientas que sirve para la comunicacin, cumple una funcin de

acuerdo con lo que la gente quiera lograr. Se distinguen 3 funciones: Informar: el hablante utiliza el

lenguaje para transmitir informacin, para comunicar conocimiento. Expresar: el hablante no

comunica conocimiento, sino que comunica sus sentimientos, emociones, estados de nimo u

opiniones. Dar directivas: el hablante lo utiliza para obtener resultados, para que su oyente haga o

deje de hacer algo, para provocar o impedir una determinada accin o conducta por parte del

receptor. Hay dos formas q son actos del habla por los q el emisor intenta q el receptor haga algo.

Proposiciones Denominadas a travs de letras minsculas, las proposiciones matemticas tienen un valor de

verdad (que ser la verdad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus caractersticas, es

posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lgicos) y proposiciones

compuestas (cuentan con ms de un conector lgico). Dentro de estos grupos tambin pueden

advertirse otras clasificaciones: proposiciones relacionales, proposiciones predicativas, etc.

Puede entenderse a las proposiciones matemticas como expresiones de juicio que no pueden

resultar verdaderas y falsas de manera simultnea. Por ejemplo:

a: 9 es mltiplo de 3

Dicha expresin es una proposicin matemtica que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y,

por lo tanto, 9 es un mltiplo de 3. Como decamos lneas arriba, la proposicin matemtica tambin

puede ser falsa:

b: 7 es mltiplo de 3

En este caso, la proposicin es falsa ya que 7 no est entre los mltiplos de 3 (3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9).

Lenguaje objeto y metalenguaje Podemos hablar en castellano, en ingls, en japons o en rabe sobre personas, sobre cualquier tipo

de objetos, sobre hechos, sucesos, etc. Pero podemos hablar tambin en esas lenguas sobre otras

lenguas. As, en una clase de ingls cabe hablar en castellano, por ejemplo, sobre el ingls. Siguiendo

una convencin terminolgica muy extendida, podemos decir que, en ese contexto, el ingls es el

lenguaje-objeto es decir, el lenguaje considerado como objeto que se presenta a nuestra

consideracin y el castellano es el metalenguaje es decir, el lenguaje por medio del cual podemos

hablar acerca del lenguaje-objeto Pero obsrvese que la distincin no es absoluta. En otro contexto,

en el de una clase de castellano impartida en Escocia, pongamos por caso, el lenguaje-objeto ser

el castellano y el metalenguaje ser con toda probabilidad el ingls. De manera que el lenguaje-

objeto es la lengua o el lenguaje sobre el que se dicen cosas; el metalenguaje, la lengua en que se

las dice, cuando se est hablando sobre una lengua o lenguaje. No cabe duda de que podemos

hablar sobre una lengua utilizando para ello esa misma lengua. La mayora de las clases de gramtica

castellana que se dan en el Bachillerato si no todas se dan en castellano; es decir, se habla en

castellano acerca del castellano. As pues, en este contexto el castellano es a la vez el lenguaje-

objeto y el metalenguaje. Hay algunos autores por ahora en clara minora en la literatura filosfica

que prefieren no aplicar esta terminologa para este ltimo caso, aconsejando hablar simplemente

de uso reflexivo del lenguaje: de que el lenguaje se usa o utiliza, en el caso descrito en ltimo lugar,

reflexivamente.

Objeto de la lgica As como el objeto de estudio tradicional de la qumica es la materia, y el de la biologa la vida, el

de la lgica es la inferencia. La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir

de premisas. La lgica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y

otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lgica, y no por el contenido

especfico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razn la lgica se considera una ciencia

formal, como la matemtica, en vez de una ciencia emprica.

Designado y denotado de un signo

Designado:

Es el conjunto de caractersticas al que hace referencia el juicio.

Comprende el conjunto de notas o caractersticas que se refieren a determinados objetos o

entidades.

Se encuentra en el plano ideal, en el de los conceptos, no en el plano real.

Todo signo tiene designado, pero no todo signo tiene denotado. As, palabras como

duende, centauro, etc, tienen designado (porque sabemos lo que ellas significan), pero no

tienen denotado puesto que no hay duendes ni centauros.

Denotado:

Es el conjunto de todas las entidades que poseen las caractersticas del designado.

Est dado por el conjunto de objetos o entidades a los que hace referencia un signo.

Hay trminos que no tienen denotacin, como por ejemplo: fantasma, tiene denotacin (las

caractersticas a las que hace referencia) pero no posee denotacin, ya que suponemos que no hay

en la realidad seres que sean fantasmas.

Bibliografa Elementos del lenguaje:

http://cipri.info/resources/Lenguaje_Matematico.pdf,

http://www.buenastareas.com/ensayos/Lenguaje-Matematico/7087894.html.

Lenguaje Natural :

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_natural

Lenguaje Artificial:

http://es.wikipedia.org/wiki/Lengua_construida

Simbolos matematicos:

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos

lenguaje matematico

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