Universidad Autnoma de Guadalajara Campus Tabasco

FACULTAD DE INGENIERA

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Reporte Parcial de Experiencia de Aprendizaje

PROFESOR: Ing. Lorenzo Velasco Martnez

MATERIA: Geometra Analtica

ALUMNA: Liliana Vaca Alemn - 2080145

EvaluacinSeccinPonderacinABCD

Objetivos5

Introduccin5

Contenido65

Conclusin Personal10

Bibliografa y Anexos5

Presentacin10

Total100

Comentarios de la Revisin______________________________________________________________________________________________________________________________________________

El reporte debe cumplir con excelente organizacin de las ideas, ortografa, texto justificado, encabezados diferenciados y numeracin de las figuras, tablas y dibujos, entre otros aspectos.

Objetivos A travs de los conocimientos adquiridos en clase, poder resolver los ejercicios marcados por el profesor acerca de las ecuaciones de las curvas cnicas.

Introduccin ElipsesLa elipse es la curva que se obtiene al seccionar una superficie cnica mediante un plano oblicuo que corta a una sola rama. Es una curva cerrada y tiene dos ejes de simetra. Sus puntos cumplen todos ellos la propiedad de que sumadas sus distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos y situados sobre su eje mayor, da una distancia constante e igual a la longitud de dicho eje. ParbolasLa parbola es la seccin de un cono de revolucin con un plano que corta slo una de sus ramas y que es paralelo a una de las generatrices.

HiprbolasLa hiprbola es la seccin de un cono de revolucin con un plano que corta sus dos ramas y que es paralelo al eje del cono. Se llama hiprbola equiltera a la hiprbola cuyos semiejes son iguales.

CONTENIDOCurva BraquistcronaCmo se obtiene?Si tenemos dos puntos A y B, a diferente altura, cul es la forma ms rpida de conectarlos? Es decir, si los unimos mediante una rampa y tiramos por ella una pelotita, qu forma debe tener para que tarde el menor tiempo posible en bajar por su propio peso?Una primera respuesta intuitiva es que la rampa sea una lnea recta:Sin embargo, nada ms lejos de la realidad. Aunque la lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos, no es la ms rpida. La pelota llegar antes si construimos un tobogn de la siguiente forma.De hecho, con ese tobogn no slo llega antes que con una lnea recta, sino antes que con cualquier otra curva. Pero, cal es esta curva tan especial? Pues se trata de la cicloide.La cicloide es la curva que genera un punto de una circunferencia que rueda sobre una lnea recta, es decir, lo que dibujara un rotulador pegado a la rueda de tu bicicleta, mientras te das un paseo pegado a la pared. En la Wikipedia aparece esta bonita animacin con la que se ve ms claro:

Nuestro tobogn entre A y B es entonces una cicloide invertida. Incluso si los puntos A y B estn situados de manera que haya que bajar para luego volver a subir, la cicloide ser el camino ms corto. Por eso se la llama tambin braquistcrona (del grigo ms corto y tiempo).

Determinacin de las ecuaciones paramtricas de la cicloideEn relacin con la figura 1, que representa un modelo de generacin de la curva cicloide, consideramos lo siguiente:

un punto de una circunferencia de radio descansa inicialmente en el origen de coordenadas de un sistema de referencia cartesiano dado. La circunferencia se hace girar uniformemente sin deslizamiento hasta que el punto alcanza la posicin (la circunferencia habr dado una vuelta completa). Se desea obtener entonces las ecuaciones paramtricas de la curva que describe el punto al girar la circunferencia. La curva descrita por el punto se denomina cicloide.

Figura 2: Determinacin de las ecuaciones paramtricas de la cicloide. Para un punto genrico de la curva cicloide se tendr, segn la figura 2 que

donde denota el ngulo que forman el segmento vertical por el centro de la circunferencia y el segmento variable . Sugerimos al lector comprobar que las mismas expresiones para e son vlidas para ngulos cualesquiera.

En definitiva, para la cicloide representada en las figuras 1 y 2, obtenemos las ecuaciones paramtricas (1)

Por otro lado si se despeja el parmetro de la segunda ecuacin anterior podemos representar en forma explcita la variable , para valores , en funcin de la variable por medio de la relacin

o bien

En este caso, la variable no puede ser expresada como funcin de la variable en trminos de funciones elementales.

AplicacionesEn el diseo de los dientes de los engranajes se emplean curvas cicloides (as lo propuso Grard Desargues en el ao 1630). En Fsica se puede ver que un pndulo que tenga por lmites una curva cicloide es iscrono y el centro de gravedad del pndulo describe a su vez una cicloide.Un uso prctico es el diseo de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronutica, pues se requera una forma apropiada de salir deslizndose desde un avin en caso de emergencia.Pero la cicloide tiene ms propiedades interesantes. Huygens descubri que, adems de braquistcrona, es tautcrona. Es decir, si volvemos a nuestro tobogn con forma de cicloide invertida, y lanzamos ahora dos pelotas, stas llegan al mismo tiempo al punto ms bajo de la cicloide (despreciando el rozamiento). Podemos decir que el mayor recorrido que tiene que recorrer una de ellas se compensa con una mayor aceleracin al estar la pendiente ms inclinada. Por tanto, da igual desde donde nos tiremos por nuestro tobogn que tardaremos lo mismo en llegar al suelo.

Curva TautcronaUna breve introduccin

Una curva se dice tautcrona (o iscrona) si tiene la propiedad de que un objeto material que se desplace uniformemente en cada por efecto de la gravedad y sin rozamiento a travs de ella hasta un punto dado de la misma, lo hace en el mismo tiempo independientemente de la posicin inicial del objeto. Del griego, tauto significa igual, mientras que cronos significa tiempo. Nuestro primer objetivo en este escrito ser verificar que la curva cicloide posee la mencionada propiedad tautcrona.

Christiaan Huygens fue pionero en demostrar que la curva cicloide satisface la propiedad tautcrona y en su obra Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae (Pars, 1673) da una demostracin geomtrica de este hecho. En este escrito veremos cmo Huygens aplica el hecho de que la evoluta de una curva cicloide es otra cicloide en la construccin de pndulos iscronos. Ya en 1690, Jakob Bernoulli publicara un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautcrona de la cicloide haciendo uso del clculo diferencial e integral. La propiedad tautcrona de la cicloide Consideremos las ecuaciones paramtricas de la curva cicloide (1)

y supongamos que un objeto corresponde al punto de la cicloide, con . Entonces el tiempo que tarda el objeto en ir desde hasta el punto mnimo es independiente de su posicin, esto es, de . De hecho veremos que .

. Para ello consideramos dos puntos y sobre la curva cicloide, de modo que , se mantiene fijo y vara entre y (ver Figura 1).

Figura 1: Tiempo de cada a lo largo de un arco de cicloide.. Si denota la longitud de arco a lo largo de la curva entonces se tendr que

Si denota la velocidad de cada del cuerpo, entonces segn la ley de conservacin de la energa mecnica se tendr que , esto es, .

.En consecuencia, el tiempo que el objeto tarda en ir de a ser .

. Sin embargo, y por tanto .

. Efectuando el cambio de variable llegamos a que .

. Ahora, efectuando el cambio de variable , se obtiene que .

.As pues, el tiempo de cada es independiente de la posicin inicial del objeto material y dicho tiempo vale . (2)

. Nota: Ver en la Figura 1 que si el cuerpo se desplazara en cada libre desde la posicin hasta el punto mnimo de la cicloide , entonces el tiempo de cada vertical cumplira esto es, .

. Luego, y la razn entre el tiempo de descenso mnimo a lo largo de una cicloide y el tiempo de cada a lo largo del eje vertical es igual a la razn entre la semilongitud y el dimetro de la circunferencia que genera la cicloide. ..

AplicacionesEl pndulo iscrono de Huygens El hecho de que la evoluta de una cicloide sea otra curva cicloide junto con la propiedad de tautocrona tiene una curiosa aplicacin a la construccin de pndulos iscronos, esto es, pndulos cuyo periodo de oscilacin es independiente de la amplitud con la que se realice el movimiento del pndulo.

Consideremos un punto genrico perteneciente a la cicloide de ecuaciones paramtricas (3) y denotemos por al punto de interseccin de la normal (4) trazada desde con la evoluta de ecuaciones (6). Adems, llamemos al vrtice de la evoluta ms prximo a , esto es, el punto de coordenadas () ms prximo a (ver Figura 3). Entonces se verifica que la suma de la longitud del segmento que une y con la longitud del arco de evoluta que une y es constante; ms concretamente, (7)

siendo el radio de la circunferencia que genera la cicloide original.

En efecto, si , pertenece a la cicloide original (3) entonces corresponde a la interseccin de la recta normal por a la cicloide con la evoluta (6). Por tanto,

Adems el arco de curva a lo largo de la evoluta (6) viene dado por

En definitiva, las dos igualdades anteriores permiten deducir la anteriormente anunciada propiedad (7).

Pndulo Iscrono

A mediados del siglo XVII era bien conocido que si a un pndulo de trayectoria circular se le variaba la amplitud de oscilacin entonces dejaba de medir correctamente el tiempo (puesto que se altera tambin el periodo de su oscilacin). Pensemos por ejemplo en un pndulo circular sometido a alteraciones en su oscilacin que se halle ubicado en un barco en movimiento o en cualquier mvil que describa un movimiento variado. Por entonces, los avances cientficos requeran urgentemente relojes precisos para realizar mediciones en reas tan diversas como la Fsica, la Astronoma y muy especialmente la navegacin. Al respecto de la navegacin, un problema fundamental era el llamado problema de la longitud, que trataba sobre la determinacin de la posicin de barcos en alta mar. La latitud poda ser calculaba sin excesiva dificultad mediante observacin astronmica. La altura del sol sobre el horizonte al medioda permite obtener la distancia en grados de latitud desde el ecuador. De este modo, midiendo la elevacin del Sol o, en el caso del hemisferio norte terrestre, midiendo la posicin de la estrella Polar en una noche, poda determinarse la latitud con cierta exactitud. No obstante, el problema del clculo de la longitud resultaba mucho ms complejo. Notemos que una estrella en particular no puede tomarse como referencia por s sola por cuanto la esfera celeste est en continuo movimiento de rotacin. Para poder determinar la longitud resultaba necesario medir la posicin de una cierta estrella en un instante determinado, lo cual requiere dos mediciones: una relativa al tiempo local y otra relativa a la del tiempo en el lugar de referencia. A mediados del siglo XVII era prcticamente imposible conocer la hora local y la hora de referencia al mismo tiempo ante la imprecisin de los relojes en alta mar a causa de las continuas perturbaciones. Dicho de otro modo, era necesario disponer de un reloj de una precisin suficiente para poder determinar la longitud. Cuando se tiene un reloj preciso, entonces la diferencia de tiempo entre el momento en que el sol alcanza su punto ms alto en un lugar y el momento en que lo alcanza en otro lugar puede entonces usarse para obtener la distancia angular entre esos dos lugares.

Conclusin Personal

La experiencia de aprendizaje que se llev a cabo cumpli los objetivos establecidos. A pesar de que es un tema sencillo puede tornarse un poco complicado sino se tienen buenas bases en algebra por muy ridculo que suene, pero muy cierto. En estos temas igual hay que tener cuidado y checar los datos que nos dan y saberlos interpretar.Tambin en esta experiencia se aprendi que las curvas cnicas pueden tener muchas aplicaciones y que nos han servido a lo largo de la historia en pro de la humanidad.

Bibliografa

Lehman, Charles H. (2008). Geometra Analtica (2da edicin). Mxico: Limuisa.

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