FACULTAD DE INGENIERÍA
PROFESOR: 
Evaluación
7resen"a$i5n *(
 T."al *((
Comentarios de la Revisión  ___________________________________________________________________________________   ___________________________________________________________ 
 
 
  Objetivos
C.n.$er : a0li$ar las 0r.0ie4a4es 4el sis"ema 4e l.s n?mer.s $.m0le3.s= A4em%s@ a4uirir la Baili4a4 0ara "raa3ar $.n l.s n?mer.s $.m0le3.s=
!ntroducción
Espacio vectorial
En ma"em%"i$as@ un es0a$i. !e$".r ia l es una es"ru$"ura a lgera i$a $rea4a a 0ar " i r 4e un $.n 3un". n. !a$ í. @ una .0era$ i5n in "erna l l ama4a suma@ 4 en i 4 a 0 ar a l .s e l em en ". s 4 el $ .n 3 un ". : u na . 0e ra $i 5n e ;" er na l lama4a 0r.4u$".@ 4e n i4a e n"re 4i$B. $.n3un" . : un $uer0. ma"em%"i$. @ $um0l ien4. una ser ie 4e 0r.0ie4a4es . reuis i ".s in i$ ia les=
Un espacio vectorial s.re un $uer0.  $.m. el $uer0. 4e l.s n?mer.s reales  . l.s n?mer.s $.m0le3.s es un $.n3un".  n. !a$í.@ 4."a4. 4e 4.s .0era$i.nes1
C.n la .0era$i5n in"erna "al ue1
* "enga la 0r.0ie4a4 $.nmu"a"i!a@ es 4e$ir
' "enga la 0r.0ie4a4 as.$ia"i!a@ es 4e$ir
> "enga elemen". neu"r.  @ es 4e$ir
+ "enga elemen". .0ues".@ es 4e$ir
: la .0era$i5n 0r.4u$". 0.r un es$alar1
.0era$i5n e;"erna "al ue1
ue "enga la 0r.0ie4a4 4is"riu"i!a1
Re0.r"e 4e E;0erien$ia A0ren4iza3e & -emes"re Ag.s". & Di$iemre '(** >
) 4is"riu"i!a 0.r la 4ere$Ba1
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros,
entonces:
Unicidad del vector opuesto de la propiedad4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores
opuestos de , entonces, como el neutro es único:
Unicidad del elemento en el cuerpo K :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:
Subespacio 'ectorial
C.m. se Ba !is". 0r.ar ue un $.n3un". es un es0a$i. !e$".rial es un "raa3. ar4u.= -in emarg.@ Ba: si"ua$i.nes en las ue la 0ruea se re4u$e $.nsi4eralemen"e1 Cuan4. el $.n3un". es"% $.n"eni4. en un $.n3un". ma:.r ue :a es un es0a$i. !e$".rial= En es"e $as.@ $.m. ".4as las 0r.0ie4a4es 4e l.s a;i.mas Ba$en re9eren$ia a elemen".s 4el $.n3un". : 0.r "an". a elemen".s al $.n3un". ma:.r ue :a es es0a$i. !e$".rial : 0.r $.nsiguien"e se !eri$an= Deni$i5n *,='
-ea # #@H@ un es0a$i. !e$".rial= Un su$.n3un". U 4e # U # ue n. es !a$í. se 4i$e sues0a$i. !e$".rial . sim0lemen"e sues0a$i. 4e # si U $.n las mismas .0era$i.nes 4e suma : mul"i0li$a$iK.n 0.r es$alares ue es"Kan 4eni4as en # @ 0er. res"ringi4as a !e$".res 4e U @ es un es0a$i. !e$".rial= A 0esar ue en la 4e9un$i5n 4e sues0a$i. es"% im0lí$i"a la !eri$a$i5n 4e l.s a;i.mas@ el siguien"e resul"a4. 4a la $la!e 0ara la !eri$a$i5n 4e ue un $.n3un". se sues0a$i.=
Re0.r"e 4e E;0erien$ia A0ren4iza3e & -emes"re Ag.s". & Di$iemre '(** +
 
 Te.rema
Un su$.n3un". n. !a$í. U 4e un es0a$i. !e$".rial # es sues0a$i. 4e # si $um0le las siguien"es $.n4i$i.nes1
El $.n3un". U es $erra4. a3. la suma=
Cualesuiera 4.s elemen".s 4e U suma4.s 4an $.m. resul"a4. un elemen". ue "amién es"% en U=
El $.n3un". U es $erra4. a3. la mul"i0li$a$i5n 0.r es$alares=
Cualuier elemen". 4e U mul"i0li$a4. 0.r $ualuier es$alar 4a $.m. resul"a4. un elemen". ue "amién es"% en U=
%ependencia e independencia lineal
En %lgera lineal@ un $.n3un". 4e !e$".res es linealmente independiente  si ningun. 4e ell.s 0ue4e ser es$ri". $.n una $.mina$i5n lineal 4e l.s res"an"es= 7.r e3em0l.@ en R>@ l.s !e$".res *@ (@ (@ (@ *@ ( : (@ (@ * s.n linealmen"e in4e0en4ien"es@ mien"ras ue '@ *@ *@ *@ (@ * : >@ *@ ' n. l. s.n@ :a ue el "er$er. es la suma 4e l.s 4.s 0rimer.=
Ejemplo En el es0a$i. "ri4imensi.nal usual1
• u : j s.n 4e0en4ien"es 0.r "ener la misma 4ire$$i5n : sen"i4.s .0ues".s=
• u : v s.n in4e0en4ien"es : 4enen el 0lan. 7=
• u@ v : ( s.n 4e0en4ien"es 0.r es"ar l.s "res $.n"eni4.s en el mism. 0lan.=
• u@ v : )  s.n in4e0en4ien"es 0.r serl. u : v en"re sí : n. ser )  una $.mina$i5n lineal 4e ell.s .@ l. ue es l. mism.@ 0.r n. 0er"ene$er al 0lan. 7= L.s "res !e$".res 4enen el es0a$i. "ri4imensi.nal=
• L.s !e$".res o !e$".r nul.@ $u:as $.m0.nen"es s.n iguales a $er. : )  s.n 4e0en4ien"es :a ue o  ( ) 
E3em0l. 4el us. 4e la 95rmula f 1
Re0.r"e 4e E;0erien$ia A0ren4iza3e & -emes"re Ag.s". & Di$iemre '(** ,
8us$am.s "res !al.res x @ y  : z  ue sa"is9agan la e$ua$i5n1
L. ue eui!ale al sis"ema 4e e$ua$i.nes siguien"e1
Da4. ue la ?ni$a s.lu$i5n es la "ri!ial ; : z (@ l.s "res !e$".res s.n in4e0en4ien"es=
Trans*ormación lineal
U@ # 4.s es0a$i.s !e$".riales s.re el mism. $uer0. O=
 T 1 U → # es una "rans9.rma$i5n . 9un$i5n lineal si : s5l. si sa"is9a$e1
*= Pu*@ u' Q U@ Tu* H u' Tu* H Tu'
'= Pu Q U@ Q O@ Tu Tu
7r.0ie4a4es
* T( ( Q #
' Tu Tu
> T es lineal si : s5l. si P*@ ' Q O@ Pu*@ u' Q U
Re0.r"e 4e E;0erien$ia A0ren4iza3e & -emes"re Ag.s". & Di$iemre '(** 6
 
Contenido
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Liliana #a$a Alem%n '()(*+,
En $.n$lusi5n@ es"e "ema 0ue4e 0are$er mu: $.m0le3. sin emrag. es un "ema sen$ill. al m.men". ue en"ien4es las 0r.0ie4a4es 4e l.s es0a$i.s !e$".riales= Es im0.r"an"e $.m0ren4er : saer a0li$ar ien las 0r.0ie4a4es 0ara ue 0.4am.s $.m0r.ar si es"am.s "raa3an4. $.n un es0a$i. !e$".rial . n.= C.m. ingenier.s es im0.r"an"e a0ren4er a "raa3ar $.n es"as Berramien"as :a ue n.s 0ermi"ir%n "ener una me3.r !isi5n en la res.lu$i5n 4e 0r.lemas ue n.s 0.4am.s en9ren"ar en el "raa3. . al m.men". 4e a0l i$ar nues"r.s $.n.$imien".s 4e la uni!ersi4a4=
• Ileana Gariela -.sa -an"iag.& '()'*/+
L.s es0a$i.s !e$".riales s.n mu: im0.r"an"es en la !i4a : en l.s "raa3.s 4e un ingenier. s.n 9un4amen"ales=
C.n el 0resen"e "raa3. $.m0r.é ue es 4e !i"al ne$esi4a4 Ba$er un an%lisis en $a4a $as. ue se n.s 0resen"en $.m0r.ar es0a$i.s !e$".riales@ 0ara así 0.4er a0li$ar $a4a 0r.0ie4a4 a4e$ua4amen"e : $.n ell. llegar a la $.m0r.a$i5n 4esea4a=
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$iblio+ra*,a
-"anle: L= Gr.ssman '((/=  Algebra Lineal  6"a e4i$i5n= Mé;i$. D=F=1 M$GraVill= 70= 6''6>6=
-"anle: L= Gr.ssman '(**= Matemticas !. "lgebra Lineal  *ra e4i$i5n= Mé;i$. D=F=1 M$GraVill= 70= *+=
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