FIGURY FIGURY PRZESTRZENNEPRZESTRZENNE

GRANIASTOSŁUPYGRANIASTOSŁUPY

Graniastosłup (wielościan)Graniastosłup (wielościan) jest figurą przestrzenną, której jest figurą przestrzenną, której obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, obie podstawy są równoległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne a ściany boczne są równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość. graniastosłupa są równoległe i mają jednakową długość.

WysokośćWysokość graniastosłupa jest to graniastosłupa jest to odcinek prostopadły do podstaw i odcinek prostopadły do podstaw i zawarty między obydwoma podstawami.zawarty między obydwoma podstawami.

PrzekątnaPrzekątna graniastosłupa jest to graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nie odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące na jednej ścianie (np.: BDleżące na jednej ścianie (np.: BD11).).

Graniastosłupy dzielimy na:Graniastosłupy dzielimy na:

PROSTEPROSTE POCHYŁEPOCHYŁE

dalej

Graniastosłupy prosteGraniastosłupy proste

Graniastosłup prostyGraniastosłup prosty to taki to taki graniastosłup, w którym graniastosłup, w którym wszystkie ściany boczne są wszystkie ściany boczne są prostokątami. prostokątami. Graniastosłupem prostym Graniastosłupem prostym jest m.in. sześcian, jest m.in. sześcian, prostopadłościan.prostopadłościan.

Wzór na objętość graniastosłupa Wzór na objętość graniastosłupa prostego: prostego: - pole powierzchni- pole powierzchni - wysokość graniastosłupa- wysokość graniastosłupa

P

h

PhV

Wzór na pole powierzchni siatki Wzór na pole powierzchni siatki graniastosłupa prostego:graniastosłupa prostego:

- pole powierzchni pole powierzchni - wysokość graniastosłupawysokość graniastosłupa

- obwód podstawy- obwód podstawy

PlhS 2

l

hP

SześcianSześcianSześcian (inaczej heksaedr)Sześcian (inaczej heksaedr) – wielościan foremny o sześciu – wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12 ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 4 przekątne. krawędzi, 8 wierzchołków i 4 przekątne.

a

Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym.Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym.Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, hipersześcianu, prostopadłościanu i prawidłowego, hipersześcianu, prostopadłościanu i romboedru.romboedru.

a

- długość jednej krawędzi sześcianu- długość jednej krawędzi sześcianu

Wzór na objętość sześcianu:Wzór na objętość sześcianu:

Wzór na pole powierzchni:Wzór na pole powierzchni:

Wzór na długość przekątnej sześcianu:Wzór na długość przekątnej sześcianu:

26aS

3aaaaV

3ad

ProstopadłościanProstopadłościan

Graniastosłup prosty, którego podstawy są Graniastosłup prosty, którego podstawy są prostokątami nazywamy prostokątami nazywamy prostopadłościanem. prostopadłościanem. Prostopadłościan ma trzy wymiary: długość, Prostopadłościan ma trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość (szerokość i wysokość (aa, , bb, , cc). Każdy ). Każdy prostopadłościan ma 6 ścian (4 ściany boczne prostopadłościan ma 6 ścian (4 ściany boczne i 2 podstawy), 8 wierzchołków i 12 krawędzi. i 2 podstawy), 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Pole powierzchni całkowitejPole powierzchni całkowitej

Objętość prostopadłościanu:Objętość prostopadłościanu:

   - krawędzie - krawędzie podstawypodstawy

- krawędź boczna - krawędź boczna - przekątna - przekątna

prostopadłościanu prostopadłościanu

abcV

acbcabPc222

dc

ba,

Graniastosłupy pochyłeGraniastosłupy pochyłe

Graniastosłup pochyłyGraniastosłup pochyły to taki to taki graniastosłup, w którym krawędzie graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do boczne nie są prostopadłe do podstaw, ale są do siebie podstaw, ale są do siebie równoległe.równoległe.W graniastosłupie pochyłym długość W graniastosłupie pochyłym długość wysokości jest mniejsza od długości wysokości jest mniejsza od długości krawędzi bocznej.krawędzi bocznej.Pole powierzchni i objętość takiej Pole powierzchni i objętość takiej figury obliczam z takiego samego figury obliczam z takiego samego wzoru, jak dla graniastosłupa wzoru, jak dla graniastosłupa prostego.prostego.

OSTROSŁUPYOSTROSŁUPY

PC

OstrosłupOstrosłup – bryła geometryczna w postaci wielościanu, – bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.WzoryWzoryna objętość:na objętość:

                                                                                                          na pole powierzchni:na pole powierzchni:

gdzie:gdzie:– – długość wysokości ostrosłupa, długość wysokości ostrosłupa,

– – pole powierzchni bocznej (suma pól ścian pole powierzchni bocznej (suma pól ścian

bocznych), bocznych),

– – pole podstawy ostrosłupa, pole podstawy ostrosłupa, – – pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,pole powierzchni całkowitej ostrosłupa,– – objętość ostrosłupa. objętość ostrosłupa.

Pb

hV PP

3

1

PPP Pbc

h

V

PP

STOŻKISTOŻKIStożek (dawniej Stożek (dawniej konuskonus)) – bryła ograniczona przez – bryła ograniczona przez powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.płaszczyzny podstawy.

WALECWALEC

WalecWalec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to wówczas jest to walec prostywalec prosty..

Walec kołowyWalec kołowy prosty prosty jest bryłą geometryczną powstałą w jest bryłą geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. Podstawą walca oraz jego górną częścią jest koło, a jego Podstawą walca oraz jego górną częścią jest koło, a jego szerokość jest w każdym miejscu taka sama.szerokość jest w każdym miejscu taka sama.

PRZEKRÓJ OSIOWYPRZEKRÓJ OSIOWY

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.Przekrojem osiowym walca jest prostokąt.

PRZEKRÓJ POPRZECZNYPRZEKRÓJ POPRZECZNY

Przekrojem poprzecznym walca jest koło.Przekrojem poprzecznym walca jest koło.

NA KONIEC…NA KONIEC…Zadanie 1Zadanie 1Bryły przedstawione na poniższych rysunkach to:Bryły przedstawione na poniższych rysunkach to:

                                                                                                                                                                                                                                                                                   

a) I - stożek, II - walec, III - ostrosłup, IV - graniastosłupa) I - stożek, II - walec, III - ostrosłup, IV - graniastosłupb) I - walec, II - ostrosłup, III - stożek, IV - graniastosłupb) I - walec, II - ostrosłup, III - stożek, IV - graniastosłupc) I - walec, II - stożek, III - graniastosłup, IV - ostrosłupc) I - walec, II - stożek, III - graniastosłup, IV - ostrosłupd) I - walec, II - stożek, III - ostrosłup, IV - graniastosłupd) I - walec, II - stożek, III - ostrosłup, IV - graniastosłup

Zadanie 2Zadanie 2Które z poniższych zdań są fałszywe?Które z poniższych zdań są fałszywe?

a) Ściany boczne graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.a) Ściany boczne graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.b) Ściany boczne graniastosłupów prostych są zawsze prostokątami.b) Ściany boczne graniastosłupów prostych są zawsze prostokątami.c) Podstawy graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.c) Podstawy graniastosłupów i ostrosłupów mogą być dowolnymi wielokątami.d) Podstawą walca i stożka jest koło.d) Podstawą walca i stożka jest koło.

Zadanie 3Zadanie 3Łączna długość krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 7cm, 2dm i 60mm wynosi:Łączna długość krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 7cm, 2dm i 60mm wynosi:

a) 99cma) 99cmb) 33cmb) 33cmc) 276cmc) 276cmd) 132cmd) 132cm

Zadanie 4Zadanie 4Na wykonanie szkieletu sześcianu zużyto 48cm drutu. Na wykonanie ścian tego sześcianu potrzebna jest Na wykonanie szkieletu sześcianu zużyto 48cm drutu. Na wykonanie ścian tego sześcianu potrzebna jest tektura o łącznej powierzchni:tektura o łącznej powierzchni:

a) 16cm²a) 16cm²b) 288cm²b) 288cm²c) 96cm²c) 96cm²d) 48cm²d) 48cm²

Zadanie 5Zadanie 5Objętość sześcianu o polu powierzchni całkowitej 150cm² wynosi:Objętość sześcianu o polu powierzchni całkowitej 150cm² wynosi:

a) 150cm³a) 150cm³b) 25cm³b) 25cm³c) 625cm³c) 625cm³d) 125cm³d) 125cm³

ODPOWIEDZIODPOWIEDZI1.1.

2. 2.

3.3.

4. 4.

5.5.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

• www.wikipedia.plwww.wikipedia.pl

• www.gwo.plwww.gwo.pl

• www.zobaczycmatematyke.krk.plwww.zobaczycmatematyke.krk.pl

• www.figuryprzestrzenne.pl www.figuryprzestrzenne.pl

• „„Encyklopedia matematyki” GREGEncyklopedia matematyki” GREG