Fisica per MedicinaLezione 17 - Campo magnetico II

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

7 dicembre 2016

Campo magnetico e correnti

Flusso e circuitazione del campo magnetico

Induzione elettromagnetica

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Forza su un filo percorso da corrente I

B ⃗

Fi⃗qi

vi⃗L⃗

Se un filo percorso da corrente (indicato da ~L) èimmerso in un campo magnetico, ogni caricasente una forza

~Ftot =∑

i

~Fi =∑

i

qi

(~vi × ~B

)(1)

= Q⟨~v⟩× ~B (2)

= Q~L

∆t× ~B (3)

= I~L× ~B (4)

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Forza su un filo percorso da corrente II

I

B ⃗

Fm⃗ax

F=⃗0

F ⃗ I

I

α

Se abbiamo dei fili con diverse orientazionirispetto al campo magnetico, questi subirannodelle forze con diversi moduli.

~Ftot = I~L× ~B (5)

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Indice

Campo magnetico e correnti

Flusso e circuitazione del campo magnetico

Induzione elettromagnetica

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Esperimento di Ørsted I

I

B ⃗r

rB ⃗

L’esperimento di Ørsted fu la prima evidenzasperimentale che una corrente di caricheelettriche genera un campo magnetico. Le lineedi campo sono delle circonferenze attorno al filoche conduce la corrente, sono disposte su pianiperpendicolari al filo stesso. La direzione delcampo segue la regola della mano destra.

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Esperimento di Ørsted II

II=0

Si può osservare il fenomeno ponendo delle bussole attorno ad un filo.Quando sul filo non scorre corrente, le bussole si allineano col campomagnetico terrestre; quando sul filo scorre corrente queste si allineanosecondo il campo magnetico locale.

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Legge di Biot-Savart

I

B ⃗r

rB ⃗

La legge di Biot-Savart descrive il campomagnetico attorno ad un filo percorso da corrente.Può essere espressa come

d~B(~r)

=µ0

4πIr2 d~L× ~ur (6)

ove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, I èla corrente che scorre sulla porzione di filo dL e ~rè la distanza tra la porzione di filo ed il puntoconsiderato. Per un filo di lunghezza infinitadiventa

~B(~r)

=µ0

2πIr~uL × ~ur (7)

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Permeabilità magnetica e costante dielettrica del vuotoRicordiamo la costante dielettrica del vuoto:

ε0 = 8.854 · 10−12 C2

N m2 (8)

Ricordiamo la permeabilità magnetica del vuoto:

µ0 = 4π · 10−7 NA2 = 1.257 · 10−6 N

A2 (9)

Ricordiamo la velocità della luce nel vuoto:

c = 2.9979 · 108 ms

(10)

Relazione tra c, ε0 e µ0Vi è un’importante relazione che lega le tre costanti fondamentalidell’elettromagnetismo:

c =1

√ε0µ0

(11)

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Esperimento di Ampere I

Ia Ib

d

F ⃗ F ⃗L

Ia -Ib

F ⃗F ⃗

Ampere dimostrò come due fili percorsi dacorrente si attraggono o respingono, in funzionedella direzione della corrente che scorre su diessi. Quindi il campo magnetico generato da unfilo è lo stesso tipo di campo magnetico in gradodi esercitare delle forze sulle cariche in moto.

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Esperimento di Ampere II

Ia Ib

d

F ⃗ F ⃗L

Ia -Ib

F ⃗F ⃗

La forza di Ampere è

F =µ0

2πLIaIb

d(12)

ove Ii sono le correnti dei fili, L la lunghezza deidue fili e d è la distanza tra i fili.

Per determinare la direzione si usal’espressione della forza di Lorentz

~F = q~v × ~B (13)

v ⃗B ⃗

F ⃗

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Esperimento di Ampere III

Ia Ib

F ⃗ F ⃗Fk⃗

La definizione dell’ampere è data dalla misuradella forza tra due fili:

L = 1 m, d = 1 m, Ia = Ib = 1 A (14)

ottenendo una forza di

F =µ0

2πLIaIb

d(15)

=4π · 10−7 N/A2

2π1 m · 1 A · 1 A

1 m(16)

= 2 · 10−7 N (17)

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Indice

Campo magnetico e correnti

Flusso e circuitazione del campo magnetico

Induzione elettromagnetica

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Flusso del campo magnetico

B ⃗ ⍺

ds ⃗r ⃗

Come per il campo elettrico, èpossibile calcolare il flusso delcampo magnetico su di unasuperficie

dΦ = ~B · d~s (18)

ove d~s è un elemento di superficieinfinitesimo.Integrando si ottiene il valore sututta la superficie S

Φ =

∫S

~B · d~s (19)

Il flusso del campo magnetico peruna superficie chiusa è semprenullo.

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Circuitazione del campo magnetico

B ⃗

dγ⃗ α

Per un campo vettoriale è possibile calcolareanche la circuitazione lungo un cammino C:

dΓ = ~B · d~γ (20)

ove d~γ è un elemento infinitesimo del cammino.Integrando si ottiene il valore lungo tutto ilcammino C:

Γ =

∫C

~B · d~γ (21)

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Legge di Ampere I

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

La legge di Ampere afferma che lacircuitazione del campo magneticolungo un cammino chiuso concatenatocon delle correnti elettriche è

Γ =

∫C

~B · d~γ = µ0

∑i

Ii (22)

ove I è la corrente totale dei filiconcatenati, ovvero la somma dellecorrenti.E.g. se i1 = i2 = i3 = i allora

Γ = µ0(i1 + i2 + i3) = µ0(i + i − i) = µ0i(23)

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Legge di Ampere II

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

In analogia col teorema di Gauss per ilcampo elettrostatico si ha che

I il valore della circuitazione nondipende dalla forma del camminod’integrazione,

I se non ci sono correnticoncatenate al camminod’integrazione allora lacircuitazione è nulla.

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Analogia tra teorema di Gauss elettrostatico e legge diAmpere

q1q2

q4q3

Q = q1 + q2 + q3 + q4

E ⃗

-

-

-

+

Flusso del campo elettrico:

Φ =

∫S

~E · d~s =

∑i qi

ε0(24)

I = i1 + i2 + i3

i1 i2 i3

B ⃗

Circuitazione del campomagnetico:

Γ =

∫C

~B · d~γ = µ0

∑i

Ii (25)

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Circuitazione per un filo indefinito

I

B ⃗r

rB ⃗

Calcoliamo la circuitazione su una circonferenzacentrata attorno ad un filo indefinito. Il campomagnetico è costante e tangente a tutto ilcammino quindi

~B · d~γ = Bdγ (26)

Calcolando l’integrale su tutta la circonferenzaotteniamo

Γ =

∫C

~B · d~γ = B∫

Cdγ = B2πr (27)

(28)

e ricordando la legge di Ampere (Γ = µ0I):

B =µ0

2πIr

(29)

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Circuitazione per un solenoide indefinito

Be⃗xt=0Bi⃗nt≠0

I

Cb

Ca

A

DC

B

Calcoliamo la circuitazione su camminiconcatenati con una serie di spire circolari su cuipassa una corrente. Il campo magneticoall’esterno è nullo:

ΓCa = µ0Iext = 0; (30)

all’interno è costante. La circuitazione su CB è

ΓCb = ΓAB︸︷︷︸=0: ~B⊥d~γ

+ΓBC + ΓCD︸︷︷︸=0: ~B⊥d~γ

+ ΓDA︸︷︷︸=0: ~B=0

(31)

= BL = µ0NI. (32)

Quindi il campo è

B = µ0NL

I = µ0nI. (33)

ove n è la densità di spire.

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Indice

Campo magnetico e correnti

Flusso e circuitazione del campo magnetico

Induzione elettromagnetica

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Legge di Faraday

N

S

t=0

t=t' La legge di Faraday mette direttamente inrelazione il campo magnetico col campo elettrico.Dato il flusso del campo magnetico ΦB su di unasuperficie (non chiusa) definita da un circuitoconduttore, si ha

E = −dΦB

dt(34)

ove E è detta forza elettromotrice (f.e.m.) e simisura in volt. Sebbene sia chiamata "forza", laf.e.m. rappresenta una differenza di potenzialeche induce il movimento di cariche lungo ilcircuito.

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Differenza di potenziale

ΔV = 10 scalini

Una differenza di potenziale in un circuito elettrico può essereimmaginata come una scala su cui le cariche positive scendono. Ilterminale positivo del generatore rappresenta il punto più alto.

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Forza elettromotrice I

ΔV = ???

Una differenza di potenziale in un anello conduttore chiuso puòsembrare un concetto irreale. . . visto che non c’è generatore ditensione e non c’è un punto in cui ci si aspetti un ∆V finito.

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Forza elettromotrice II

ΔV =

E⃗

La f.e.m. in un anello conduttore chiuso indica un campo elettricotangente al conduttore stesso che spinge le cariche. Le linee di forzadi questo campo sono chiuse.

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Dinamo I

B ⃗N S

ω

N S

ω

B ⃗

A ⃗θ

Prendiamo una spira di area A che ruota, convelocità angolare costante ω, in un campomagnetico B costante ed uniforme. Il flusso delcampo è

ΦB(t) = ~B · ~A = BA cos θ = BA cos (ωt) (35)

Calcoliamo la f.e.m.

E = −dΦB

dt(t) = −BA

ddt

cos (ωt) (36)

= ωBA sin (ωt) (37)

se immaginiamo di inserire una resistenza nelcircuito abbiamo una corrente variabile pari a

I =E(t)R

=ωBA

Rsin (ωt) (38)

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Dinamo II

B ⃗N S

ω

N S

ω

B ⃗

A ⃗θ

Anche il campo magnetico terrestre(B ≈ 0.5 G = 5 · 10−5 T) è utilizzabile per indurreil movimento di cariche. Immaginiamo di avereuna spira con area A = 1 m2, calcoliamo qualedeve essere la frequenza di rotazione f per avereuna f.e.m. massima di 1 V. Calcoliamo la f.e.m.

E = ωBA sin (ωt) (39)

Il massimo lo si ha quando sin (ωt) = 1 quindi

Emax = ωBA ⇒ f =ω

2π=Emax

2πBA= 3183 Hz

(40)

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