folleto raz. matematico

Braulio Gutiérrez Pari Cepre UPeU

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Razonamiento Matemático CEPRE - UPeU - Juliaca -

Razonamiento Lógico

I. Relación de tiempos Consiste en reemplazar cada expresión

por su equivalente numérico. II. Calendarios Año Común: Costa de 365 días (52

semanas y 1 día) Cada año común avanzamos un día

Año Bisiesto: Un año, es el tiempo que demora en dar la vuelta alrededor del sol ( 365 días y 6 horas aprox.) Un año bisiesto tiene 366 días (se incluye el 29 de febrero)

Cada año bisiesto avanzamos dos días - Son años bisiestos los años múltiplos de

4, excepto los años de fin de siglo ( Los que terminan en ..00) que para ser bisiestos deben ser múltiplos de 400

Ejemplos:

- En un año común, si el año empieza

un día jueves debe terminar también un día jueves (el mismo día)

- En un año bisiesto, si el año empieza

un martes debe terminar un miércoles (un día más que el empiezo)

meses días multiplo.

Enero 31

Febrero 28,29

Marzo 31

Abril 30

Mayo 31

Junio 30

Julio 31

Agosto 31

Setiembre 30

Octubre 31

Noviembre 30

Diciembre 31

III. Relación de Parentesco Aquí se recomienda hacer un esquema

con las personas que intervienen en el problema, empezando de atrás hacia adelante.

365 = 7 +1 0

366 = 7 +2 0

2 008 =

2 004 =

2 000 =

1996 =

400 o

4 o

4 o

4 o

7+ 3 o

7+ 1 o

7+ 3 o

7+ 2 o

7+ 3 o

7+ 2 o

7+ 3 o

7+ 3 o

7+ 2 o

7+ 3 o

7+ 2 o

7+ 3 o

hace “n”… anteayer ayer Hoy mañana Pasado … dentro de días mañana “n” días -n -2 -1 0 +1 +2 +n

Antes Después Anterior Posterior Precede Siguiente

OBSERVACIONES


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Ejemplar 1 Hay 27 bolas de billar todos de igual

tamaño pero una de ellas pesa más que las otras. ¿En cuántas pesadas como mínimo puede encontrarse dicha bola con ayuda de una balanza de dos platillos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución *Se divide las 27 bolas en tres grupos de 9 10 PESADA: se coloca 9 en cada platillo

- Luego si la balanza esta en equilibrio quiere decir que la bola pesada se encuentra en el tercer grupo.

- Si no hay equilibrio, entonces se

retira el grupo que tiene mayor peso.

Ahora tenemos 9 bolas *Se divide las 9 bolas en 3 grupos de 3 20 PESADA: se coloca 3 en cada platillo

- Luego si la balanza esta en equilibrio quiere decir que la bola pesada se encuentra en el tercer grupo.

- Si no hay equilibrio, entonces se

retira el grupo que tiene mayor peso.

Ahora tenemos 3 bolas *Se divide las bolas en 3 grupos de 1 30 PESADA: se coloca 1 en cada platillo

- Luego si balanza se queda en equilibrio, quiere decir que la bola pesada se encuentra en el grupo que sobra.

Por lo tanto para ubicar la bola que pesa más es necesario hacer 3 pesadas como mínimo.

Rpta. C Forma práctica para encontrar la bola más pesada Las “x” bolas deben de estar atrapados en el intervalo de 3 n -1 y 3 n Ejemplar 2 Una persona forma dos torres con 9 dados como en la figura adjunta. ¿Cuántos puntos en total no son visibles para él?

Para “x” bolas, número de pesadas “n”

3 n -1 < x # 3 n

OBSERVACIÓN


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A) 49 B) 55 C) 60 D) 58 E) 59

Resolución

No olvide, caras opuestas en un dado suman 7 No son visibles para él 55 puntos Rpta: B Ejemplar 3 Si las 6 caras del siguiente cubo se

pinta, ¿Cuántos cubitos quedan con las dos caras pintadas?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 15 E) 22

Resolución

Si en cada arista hay dos cubitos con dos caras expuestas, entonces en todo el cubo habrá 12x2 = 24 cubitos con dos caras pintadas. (No olvide que un cubo tiene 12 aristas)

Rpta: C

Ejemplar 4 Pamela nació el 10 de este mes. Sabiendo que este mes tiene más días viernes, sábados y domingos que el resto de días de la semana, además el último

día del mes próximo cae lunes. ¿Qué día de la semana caerá el cumpleaños de dicha persona dentro de 20 años?. (Si no estamos en fines de siglo). A) Lunes B) martes C) sábado D) viernes E) Jueves

Resolución Se trata del mes de Enero, además en el mes siguiente el último día es lunes que se trata del mes de Febrero que trae 29 días por lo que ese año es bisiesto Dentro de 20 años hay 5 años bisiestos 15 años comunes por lo que debemos avanzar 15 +10 =25 días. 25 días = 3 semanas + 4 días Domingo + 4 = jueves

3

7

7

7

7

3

7

7

7 ENERO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

FEBRERO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

10 de enero Año bisiesto

nació Domingo


20 años


nació Domingo


25 dias = + 4 días

Jueves

0

7

SEÑOR, muéstrame tus caminos, y enséñame tus sendas (Sal 25:4)


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Problemas I 1. Ana, Emma y Lilia pertenecen a la

banda de músicos del colegio. Una toca la flauta, otra toca el saxofón, y la otra toca los tambores. Ana es una estudiante de cuarto grado. Ana y la saxofonista practican después del colegio. Emma y la flautista son estudiantes de quinto grado. ¿Quién toca los tambores?

A) Ana B) Emma C) Lilia

D) Ana y Lilia E) N.A 2. Ernesto dice la verdad los días lunes,

miércoles y viernes, pero miente los demás días de la semana. Un día Ernesto dijo: “Mañana yo diré la verdad”. ¿Qué día era cuando dijo esto?

A) Sábado B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) lunes 3. Dado el siguiente arreglo de dados. ¿Cuántos puntos suman las caras no

visibles? A) 89 B) 36 C) 60 D) 61 E) 58 4. Con la finalidad de estudiar para la

prueba de razonamiento lógico, cuatro compañeras del quinto grado A se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente es decir a la misma distancia

Si sabemos que Eliana les comento que

deben practicar bastante. Teresa se sienta junto y a la derecha de Vicky. Flor no se sienta junto a Vicky. Luego podemos afirmar:

A) Eliana y Teresa se sientan juntas B) Vicky y Eliana no se sientan juntas C) No es cierto que Eliana y teresa no

se sientan juntas

D) Flor se sienta junto y a la derecha de Eliana

E) Teresa se sienta junto y a la izquierda de Flor.

5. Karin, Ursula, Tania y Liliana

participaron en un concurso de equitación. Cuando un periodista que había llegado tarde les preguntó en qué puesto habían llegado, respondieron así:

Karim : “Liliana fue primera y Ursula fue segunda”

Ursula : “Liliana fue segunda y Tania fue tercera”

Liliana : “Tania fue última y Karim fue segunda”

Si cada una dijo una verdad y una

mentira. ¿Cuál fue el orden en el que quedaron

en este concurso? A) L,K,T,U B) K,T,U,L C) T,U,L,K D) U,L,K,T E) L,T,U,K 6. La policía detuvo a tres sospechosos del

robo de un auto. Al ser interrogados respondieron:

- Andrés : Bruno se llevo el auto - Bruno : Eso es verdad - Carlos : Yo no me lleve el auto Si al menos uno de ellos mentía y al

menos uno decía la verdad. ¿Quién robó el auto?

A) Andrés B) Bruno C) Carlos

D) Nadie E) Bruno y Carlos 7. En una carrera participan cuatro

personas A, B, C, D. En la tabla se muestra el momento de partida.

• Se sabe que ninguno de ellos llegó en la posición que partieron.

• Participantes con letras consecutivas no llegaron juntos.

• B no gano la carrera.

1º 2º 3º 4º

A B C D


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¿Quién gano la carrera? A) A B) B C) C D) A o B E) D 8. Anteayer tenía 25 años, el próximo año

tendré 28 años. Si el día de ayer cumplí años. ¿Qué fecha será dentro de 3 días?

A) 4 enero B) 2 enero C) 5 enero D) 3 enero E) 6 enero 9. En cierto año, el mes de enero tuvo

exactamente 4 martes y 4 sábados. Ese año. ¿Qué día fue el 23 de enero?

A) Jueves B) Viernes C) miércoles D) martes E) sábado 10. Carlota y Pepe nacieron el 18 de

enero y 20 de marzo de 1980, respectivamente. Si en el 2 006 estas fechas fueron miércoles y lunes. ¿Qué día nacieron estas personas?

A) Lun-Mar B) Vier-Sáb C) Vier-Jue D) Dom-Lun E) Mart-Mierc 11. Cincuenta hombres y dos niños tienen

que cruzar un río en una canoa, en cada viaje sólo pueden ir uno de los hombres o los dos niños; pero no un hombre y un niño a la vez; ¿Cuál es el menor número de veces que la canoa tendrá que cruzar el río, en cualquier sentido, para que se trasladen todas las personas?

A) 101 B) 51 C) 201 D) 301 E) 158 12. En cierto año Andrea dijo Hoy sábado

es mi cumpleaños, y el año pasado fue jueves. Si anteayer fue cumpleaños de Susy, y el año pasado fue miércoles. ¿Qué día cumple años Susy?

A) 1 Marz B) 28 Febr C) 29 Febr D) 3 Marz E) 27 Febr 13. Tongo (de 100 kg) y dos muchachos

(de 50 kg cada uno) tienen que cruzar un río en una canoa, la cual a lo más puede soportar 110 kg. ¿Cuántas veces

como mínimo la canoa debe cruzar el río, para que pasen todos?

A) 4 B) 5 C) 3

D) 6 E) 2 14. Se deben colocar monedas en los

vasos que se muestran en la figura, de tal manera que en cada vaso haya 1,2,3,4 y 5 monedas respectivamente. ¿Cuántas monedas se necesitan como mínimo?

A) 18 B) 5 C) 3 D) 25 E) 15 15. Cuántas circunferencias, como

máxima, se pueden colocar alrededor de las circunferencias que se muestran en la figura?

(Obs Todas las circunferencias son del mismo tamaño)

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 16. Ubicar los números 2,3,4,5,6,7,8 y 9

en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Dar como respuesta el menor valor de “a+b+c+d”

A) 4 B) 8 C) 12 D) 14 E) 16

a d

b c


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Problemas II 1. En un cierto mes, el primero y el último

día fue Sábado. ¿Qué días de la semana fue 21 de Mayo de dicho año?

A) Domingo B) Lunes C) Jueves D) Viernes E) Sábado 2. El 1o de Enero de 1943 fue un día

Jueves. ¿Qué día de la semana fue el 1o de Mayo del mismo año?

A) Sábado B) Domingo C) Viernes D) Lunes E) Martes 3. En cierto mes se observó que había

más días Lunes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será el 24 de dicho mes?

A) Sábado B) Domingo C) Lunes D) Martes E) Miércoles 4. Si el día de ayer fuese como mañana,

entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser martes. ¿Qué día de la semana será el día anterior al mañana del ayer del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hace 30 días a hoy

A) Sábado B) Jueves C) Lunes D) Miércoles E) Domingo 5. Cierto mes del año , el primer y

último día cayó lunes. ¿Qué día cayo el 30 de agosto de dicho año?

A) Domingo B) miércoles C) martes D) Sábado E) viernes 6. Si mañana fuera como ayer, el hoy

estaría tan distanciado del lunes como el hoy del domingo. ¿Qué día es el ayer del día que sigue al pasado mañana del anteayer del posterior día a hoy?

A) Jueves B) Viernes C) Sábado D) Domingo E) Lunes

7. En un año bisiesto.¿Cuántos días lunes

y martes habrá como máximo y cual es el último día?

A) 53, 52, Lunes B) 52, 52, martes C) 52, 53, Domingo D) 53, 53, martes E) 51, 53, Lunes 8. ¿Qué mes será cuando transcurran 110

meses desde el mes que sigue al que subsigue al anterior mes del posterior mes del que esta antes al que está después de Diciembre?

A) Febrero B) Abril C) Mayo D) Junio E) Julio 9. En una reunión se encuentran 250

personas. ¿Cuántas personas, como mínimo deberán llegar para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas con la misma fecha de cumpleaños?

A) 115 B) 116 C) 117 D) 118 E) 119 10. Cierto tipo de gusano tiene la

particularidad de duplicarse cada minuto, si colocamos 1 gusano en un recipiente de forma cúbica de 1 cm. de lado, éste se llenaría en 20 min. ¿Qué tiempo demoraría en llenarse si colocamos 8 gusanos en un recipiente de forma cúbica de 2 cm. de lado?

A) 20 min. B) 19 min. C) 18 min. D) 21 min. E) 40 min. 11. El mañana del pasado mañana del

anteayer del martes es el ayer del pasado mañana de anteayer de hoy. ¿Qué día es hoy?

A) lunes B) martes C) miércoles D) Jueves E) viernes

20ab


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12. Una de la 27 esferas de billar (todos de igual tamaño) pesa más que las otras. Para averiguar cual es, alquilé una balanza de platillos al precio de S/. 5 por cada pesada. ¿Cuánto tuve que pagar como mínimo, si llegue a reconocer a la esfera más pesada?

A) S/. 5 B) S/. 10 C) S/. 15 D) S/. 35 E) S/. 45 13. Tenemos 21 esferas de idéntica

apariencia, una de ellas es ligeramente más pesado que las otras. ¿En cuántas pesadas como mínimo puede encontrarse dicha esfera con ayuda de una balanza de dos platillos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 14. Se tiene 6 vasos que contienen 5

canicas cada una; en cinco vasos las canicas pesan 5 gramos cada una y en un vaso las canicas pesan 6 gramos cada una. ¿Cuántas pesadas como mínimo deben hacerse en una balanza de un solo platillo, para saber qué vaso contiene a las canicas que pesan más?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5 15. Se distribuye en el siguiente arreglo los

números del 1 al 20 de modo que la suma de los números ubicados en cada lado sea constante. Dé como respuesta al valor de dicha suma.

A) 21

B) 42

C) 52

D) 24

E) 25

16. Jessica es la hija de la esposa del hijo de mi madre. ¿Qué parentesco tengo con la esposa del hijo de mis padres?

A) mi prima B) mi esposa C) mi madre D) mi cuñada E) mi hermana 17. Si el padre de José es el hermano de

mi hermano gemelo.¿Qué es respecto a mí, la abuela del gemelo de José?.

A) Abuela B) hermana C) madre D) tía E) nuera 18. ¿Qué día de la semana nació una

persona que cumplió 33 años el sábado 1ro de marzo del 2 008?

A) Lunes B) Martes C) miércoles D) Jueves E) sábado 19. ¿Qué día de la semana caerá el 28 de

Mayo del 2 025, si en 2 004 es viernes? A) Lunes B) Martes C) miércoles D) Jueves E) viernes 20. Elvis nació el domingo 7 de febrero de

1960. ¿Qué día de la semana será el cumpleaños de su prima Adela en 2008, si nació 17 días después que Elvis?

A) Domingo B) Lunes C) Jueves D) Viernes E) sábado 21. Si yo soy el hijo de la esposa del hijo

único de la abuela de Patricia, entonces el primo de Patricia es mi;

A) Hermano B) Primo C) Cuñado D) tío E) Padre 22. Si el ayer del ayer del ayer …(100

veces) de mañana del pasado mañana de ayer es lunes, ¿Cuál es el día que está 1 día antes, del que está 2 días antes, del que está 3 días antes, …, del que está 10 días antes que el ayer del anteayer del ayer de mañana?

A) Lunes B) Martes C) miércoles D) Jueves E) sábado

.


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Problemas III 1. Un viajero llega a una isla en la que

todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingo mientras que los demás días mienten. El viajero mantiene una conversación con un nativo de la isla.

- Viajero: Qué día es hoy - Nativo: Es Sábado - Viajero: Qué día de la semana será mañana. - Nativo: miércoles. ¿Qué día de la semana es realmente? A) Jueves B) Lunes C) viernes D) Sábado E) martes 2. En el siguiente gráfico distribuya los

números consecutivos del 1 al 15, de tal manera que la suma de estos en c/u de las 3 columnas A, B y C y la fila D sea la misma e igual a “S” de cómo respuesta el mínimo valor de “S”

A) 30

B) 31

C) 32

D) 33

E) 34

3. La hermana del hijo de la hermana del

hijo de la hermana de mi padre es mi: A) hija B) tía C) sobrina D) nieta E) hermana 4. Cuatro amigas: María, Lucía, Irene y

Leticia se sientan en una mesa circular de seis asientos. Se sabe que lucia no se sienta frente a María ni junto a ella,

Irene se sienta a la derecha de María y frente a Lucia. Leticia no se sienta frente a un lugar vacío. Entonces se cumple que:

I. Leticia se sienta junto a Lucia. II. Irene se sienta junto a Leticia

III. María se sienta frente a Leticia A) I y III B) I y II C) II y III D) solo II E) solo I 5. Sabiendo que: * Roberto nació 2 años después que

Alex, pero 5 años antes que Mario * César nació 2 años después que

Roberto * Pedro nació después que Roberto. Podemos afirmar como verdadero A) Pedro es el menor B) Mario no es el menor C) César es mayor que Pedro D) Pedro es mayor que Mario E) Mario es menor que César 6. Si el día que está 6 días después, del

que está 5 días antes del que está 4 días después del que está 3 días antes del que está 2 días después del que está 1 día antes de hoy es lunes. ¿Qué día será 8 días antes del que está 7 días después del que está 6 días antes ... del que está 1 día después a hoy?

A) Domingo B) lunes C) martes D) Sábado E) viernes 7. Nancy nació el día Domingo 2 de marzo

del año de 1 975. ¿Qué día de la semana festejó sus 15 años?

A) Miércoles B) lunes C) jueves D) Sábado E) viernes 8. ¿Cuántos miércoles hay como máximo y

cuántos como mínimo en un año? De cómo respuesta la suma de ambos resultados.

A) 108 B) 103 C) 105 D) 106 E) 104 9. Coloque los números del 1 al 12 en

cada arista del cubo mostrado

A C

B

D


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De tal manera que la suma de los

números en cualquier cara sea la misma. De cómo respuesta dicha suma.

A) 18 B) 13 C) 15 D) 36 E) 26 10. En la figura distribuir los números 21

,23, 25 , . . . ,215 de modo que el producto de los números que se hallan en cada lado sea 220. Dé como respuesta el producto de los números que van en los casilleros sombreados.

A) 216 B) 248 C) 232 D) 246 E) 234

11. Roberto, Carola, Teo y Alicia están

sentados alrededor de una mesa discutiendo sobre sus deportes favoritos. Roberto se halla frente al que practica el trote, Carola a la derecha del que juega frontón, Alicia frente a Teo, el golfista a la izquierda del tenista. Si a la derecha de Teo hay un hombre. ¿Qué deporte practica cada uno?

1. Roberto a. Fronton 2. Carola b. Trote 3. Teo c. Tenis 4. Alicia d. Golf. A) 1d – 2b – 3c – 4a B) 1a – 2b – 3c – 4d C) 1b – 2a – 3d – 4c D) 1c – 2a – 3b – 4d E) 1c – 2b – 3d – 4a 12. Si se sabe que: Diana es hija de

Lourdes, quien a su vez es madre de Katty. Quien es hija de la hermana de Martha. Si Estela es hermana de Katty y

Diana no es su madre, podremos afirmar que:

I. Diana y Martha son hermanas. II. Lourdes es madre de Estela. III. Martha es tía de Estela. A) I B) II C) I y II D) I y III E) II y III 13. Se tiene la siguiente información

acerca de tres jóvenes. Andrés nunca quiso ser abogado, el

médico y el ingeniero no se llevan bien, Rossy y Andrés salen a jugar basket, Rossy y Pedro son amigos desde el colegio. Según esto, ¿Qué profesión tiene Rossy?

A) Médico B) abogada C) ingeniería D) médico o abogado E) médico o ingeniero 14. Percy, Felipe y Víctor viven en tres

ciudades diferentes: Puno, tacna y arequipa, estudiando carreras de ingenierías:: Sistemas, electrónica y industrial. Además se sabe que: Percy no vive en tacna, Felipe no vive en arequipa, el que vive en tacna no estudia electrónica, el que vive en arequipa estudia industrial, Felipe no estudia sistemas. ¿Dónde vive Victor y qué estudia?

A) Arequipa - Sistemas B) Arequipa - Electrónica C) Tacna - Sistemas D) Puno - Industrial E) Arequipa - Industrial 15. Tres profesores, uno de matemática,

uno de Lenguaje y otro de biología, se encuentran conversando.

- El matemático le dice a Juan: mañana es mi boda y el biólogo será mi testigo.

- Miguel, que ya cumplió bodas de plata, le da consejos a Humberto.

¿Quién es matemático y quién es el testigo respectivamente?

A) Humberto – Miguel B) Juan – Miguel C) Humberto – Juan D) Miguel – Juan E) Miguel – Humberto


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Razonamiento Inductivo-Deductivo

I. Razonamiento Inductivo Es aquel tipo de razonamiento que

basado en el análisis de casos particulares nos permite hacer conclusiones generales.

II. Razonamiento Deductivo Es aquel tipo de razonamiento que

partiendo de casos generales ya comprobados se llega a verificar los casos particulares.

I. “32” es un número de dos cifras y

además entre 1 y 1 existe un cero. La cantidad de ceros entre uno y uno es uno menos que la cantidad de cifras del primer factor.

Ejemplares. 32 (1 0 1) = 3232

32 (1 0 1 0 1 ) = 323232

32 (1 0 1 0 1 0 1 ) = 32323232

345 (1 0 0 1 ) = 345345

345 (1 0 0 1 0 0 1 ) = 345345345

II. Regla práctica para elevar al cuadrado

un número formado por dígitos “1” Sus respectivas sumas de cifras son:

Caso 1 Caso 2 Caso General Caso 3

INDUCCIÓN

Caso 1 Caso Caso 2 General Caso 3

DEDUCCIÓN

1211 2 1 cifras 2

=

213122 1 1 1 cifras 3

=321

32141232 1 1 1 1 cifras 4

=321

876543219123456782 1 1 1.... 1 cifras 9

=43421

4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 81 = 9 2

OBSERVACIONES


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III. Regla práctica para elevar al cuadrado

un número formado por dígitos “3” Sus respectivas sumas de cifras son: IV. Regla práctica para elevar al cuadrado

todo número que termina en ..5

V. De cuántas maneras diferentes se

puede leer la palabra “CHAVO” uniendo letras vecinas

C H H A A A V V V V O O O O O

RESOLUCIÓN

Analizando algunos casos particulares

*

*

*

* Para 5 letras = 2 4 = 16 otra manera: (Triángulo de pascal) 1 20

1 1 21

1 2 1 22

1 3 3 1 23

1 4 6 4 1 24

16

8888888911111111082=43421

cifras 9

33....33

10892=

cifras 2 3 3

111088892=321

cifras 4

3333

1108892=

cifras 3 333

18 = 2 9 27 = 3 9 36 = 4 9 81 = 9 9

25 12 5 3 2 =

25 420 5 20 2 =

25 10100 5 100 2 =

X 4

X 21

X 101

1 letra C 1 = 2 0

2 letras C H H 2 = 2 1

3 letras C H H A A A 4 = 2 2


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42025164025 −

Problemas I 1. Halle el máximo número de puntos de

intersección. A) 85 B) 96 C) 108 D) 98 E) 120 2. Hallar “n” en 1!(2)2+2!(3)2+3!(4)2+…+30!(31)2 = n! – 2! A) 30 B) 29 C) 31 D) 32 E) 33 3. De cuántas formas distintas se puede

leer la palabra “ PROBLEMAS ” A) 80 B) 50 C) 40 D) 90 E) 70 4. De cuantas maneras diferentes se

puede leer la palabra “ANILINA”, uniendo letras vecinas.

A) 225 B) 256 C) 217 D) 218 E) 220 5. En el campeonato de fútbol “Ciudad de

la Esperanza” participan 20 equipos. Si todos juegan contra todos a una rueda. ¿Cuántos partidos se jugarán?

A) 190 B) 290 C) 180 D) 210 E) 240 6. De cuantas maneras diferentes se

puede leer la palabra “SOMOS”, uniendo letras vecinas.

A) 324 B) 243 C) 256 D) 128 E) 228 7. De cuántas maneras distintas se

pueden leer la palabra “CARRANZA” uniendo letras vecinas

A) 96 B) 180 C) 160 D) 102 E) 328 8. Halle el total de palabras “ BRUS ” A) 180 B) 150 C) 400 D) 900 E) 148 9. Halle A) 150 B) 301 C) 200 D) 117 E) 350

1 B R U S 2 B R U S

3 B R U S 4 B R U S

20 B R U S

1 2 3 4 9 10

A A N N A I I A N L N A I I A N N A A

L L L L L B B B B

E E E E

O O O

M M M

R R

A A

P

S

S S S S S O O O

M O O O

S S S S S

C A A R R R A A A A N N N N N Z Z Z Z Z Z A A A A A A A


-13 -


2

cifras 20

2

cifras 20222...220222...222 A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 321321

2

cifras 100cifras 100cifras 100 333...3 222...2 111...1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 321321321

543211234567876

8888891111111088

321

48476

cifras 2613 . . 131313.

cifras 26

37 . . .373737...131313373737

13133737

1337E ++++=

10. De cuantas maneras diferentes se puede leer “ CORREA ”

A) 48 B) 50 C) 44 D) 52 E) 60 11. Calcule la suma de cifras del valor de

A. A) 150 B) 152 C) 155 D) 156 E) 160 12. De cuántas maneras diferentes se

puede leer la palabra “RAZONA” A) 64 B) 63 C) 127 D) 31 E) 32 13. ¿cuántos triángulos menos que

Hexágonos hay en el siguiente gráfico? A) 120 B) 90 C) 130 D) 150 E) 100

14. ¿Cuántos puntos de corte hay en total en la figura?

A) 240 B) 900 C) 232 D) 800 E) 80 15. Halle la suma de cifras de A) 960 B) 900 C) 600 D) 690 E) 666 16. Halle A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 8 17. Halle “E” A) 13 B) 26 C) 37 D) 50 E) 67 18. ¿De cuántos cuadriláteros de una

región simple se pueden contar en total en la Fig. (20)

A) 754 B) 761 C) 750 D) 751 E) 852

O O

E E E E A A A A A

R R R

C

A A A A A

R R R O O

E E E E

R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R

18 19

20

1 2

3

1 2 3 29 30

Fig. (1) Fig. (2) Fig. (3)


-14 -


3 156 7155x156x15 M +=

3 144 5143x144x14 N +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++++=

79

1 1 ....

4

1 1

3

1 1

2

1 1 M

43421

876

cifras 50

cifras 50

25 . . 252525.16 . . .161616...

252525161616

25251616

2516 N ++++=

321321321321100cifrascifras 100cifras 100cifras 100

22...22 11...11 11...11 22...22 E −=

12345 . . . . . 2

)(999...999 JAIME :Si

cifras 100

=+ 321

2

cifras 100

2

cifras 10001111...11121111...111 A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 4342143421

Problemas II

1. En la figura, Halle la diferencia entre la

cantidad de palitos diagonales y palitos horizontales utilizados en total

A) 1 745

B) 1 195

C) 1 215

D) 1 225

E) 1 275

2. Halle el valor de “M + N” en A) 296 B) 304 C) 298 D) 302 E) 300 3. Halle el valor de “M + N” en

A) 20 B) 30 C) 56 D) 40 E) 60 4. Halle el valor de “E” en

Dé como respuesta la suma de cifras de A) 150 B) 180 C) 100 D) 121 E) 300

5. Hallar “n” en 1x1! + 2x2! + 3x3! + … +20x20! = n! - 1 A) 20 B) 21 C) 22 D) 19 E) 23 6. Halle J + A + I + M + E A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 7. En una circunferencia se ubican 20

puntos distintos. ¿Cuántos arcos se pueden formar con dichos puntos?

A) 400 B) 290 C) 190 D) 380 E) 100 8. ¿Cuál es la suma de cifras del

producto? M = ( 1030 + 1 )( 1015 – 1 )( 1015 + 1 ) A) 549 B) 531 C) 530 D) 540 E) 900 9. Efectué y dé como respuesta la suma

de cifras de: A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 10. Al tomar una hoja cuadriculada de 20

cuadraditos por lado y trazar una de sus diagonales principales. ¿Cuántos triángulos se forman?

A) 420 B) 210 C) 840 D) 320 E) 144

1 2 3 …. 48 49 50

E


-15 -


400 110x70900 960 x 1020 M

+

+=

ab . . . 2) 999 x1. . .1x3x5x7x ( =2b) a b x a ( E Calcular ++=

999 . . . 9999 x 54 . . . 545454 Ecifras 150cifras 1004342143421=

m25 2) p n m ( Si =++

npm 4mp p2n mn3 E Halle +++=

abcd 2) d c b a 4( :Si =+++

b ad c M Halle

++=

11. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer “SAN JUANITO”

A) 1016 B) 1800 C) 1600 D) 1024 E) 3225 12. Cuántos cuadriláteros en total se

contarán en la figura número 20? A) 667 B) 861 C) 700 D) 675 E) 600 13. ¿De cuántas maneras se puede leer la

palabra “INGRESO” A) 15 B) 16 C) 32 D) 36 E) 20 14. ¿De cuántas maneras distintas se

puede leer la palabra “RECONOCER” si se pueden repetir letras?

A) 255 B) 156 C) 322 D) 364 E) 256

15. Calcular el valor de “M” A) 11 B) 15 C) 13 D) 10 E) 16 16. Sabiendo que A) 200 B) 290 C) 280 D) 298 E) 289 17. Halle la suma de cifras de “E” A) 900 B) 800 C) 820 D) 1 350 E) 1 530 18. A) 1 870 B) 1 980 C) 2 088 D) 2 230 E) 2 400 19. A) 7/9 B) 4 C) 7 D) 5 E) 9/8 20. Calcule el total de bolitas en la figura A) 6 440 B) 6 400 C) 8 100 D) 4 890 E) 8 846

O T I O S N T A A I O S N U N T A J A I O S N U N T A J A I O S N U N T A A I O S N T I O T O

O O

E E E E R R R R R

C C C

N

I N G R N G R E G R E S R E S O

80 bolitas

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

, , . . .


-16 -


Planteo de Ecuaciones

Plantear una ecuación significa que el enunciado de cualquier problema es interpretado, comprendido para luego expresarlo en una ecuación matemática, la cual dará la solución al problema planteado.

A continuación veamos algunos ejemplos de la traducción de ciertos enunciados dados y su respectiva representación matemática.

Una vez más < > el doble Dos veces más < > el triple Tres veces más < > el cuádruplo El triple <> dos veces más <> 2 veces mayor. Ejemplo: Perdí el triple de lo que aún

tengo; de no ser así, cuando compre un libro de S/. 30 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta. ¿Cuánto tenía?

Resolución

Perdí = 3x aún tengo (no perdí) = x tenía = ( 3x + x ) = 4x cuando no perdí cuando perdí 5x = 60 x = 12 ˆ tenía = 4(12) = S/. 48

Enunciado Expresión Matemático “A” excede a “B” en 5 A – B = 5 “M” es excedido por “N” en 3 N – M = 3 El doble de lo que ten- tengo x: go aumentado en 5 2x + 5 El doble, de lo que ten- tengo x: go aumentado en 5 2 ( x + 5 ) “A” gana 4 soles más “A” = x + 4 que “B” “B” = x “A” es a “B” como 3 es “A” = 3K a 5 “B” = 5K Cuatro menos dos numero x: veces un número 4 – 2x Cuatro menos de dos número x: veces un numero 2x – 4 suma de los cuadrados números x, y de dos números x2 + y2

El cuadrado de la suma números x,y de dos números ( x + y )2

“A” es dos veces que A = 2x “B” B = x “A” es dos veces más A = 3x que “B” B = x He comprado tantas camisas como soles # S/. c/u = x cuesta cada uno # camisas= x La suma de tres núme- número:x ros consecutivos (x-1)+x+(x+1)

Sobra falta

4x – 30 = 30 - x

OBSERVACIONES


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Problemas I 1. Una persona regala 10 céntimos por

cada sol que tiene. Si al final le quedan 108 soles ¿Cuántos soles regaló?

A) 24 B) 240 C) 12 D) 120 E) 1200 2. Una sandia pesa 4 Kg más media

sandia; ¿Cuánto pesa sandia y media? A) 6 Kg B) 8 Kg C) 10 Kg D) 9 Kg E) 12 Kg 3. Los animalitos que tiene Patricio son

todos perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 4. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y

al vender 15 regalo 1. ¿Cuánto debo comprar para ganar 24 manzanas?

A) 164 B) 180 C) 176 D) 178 E) 45 5. Beto compra 6 naranjas por S/. 4 y

vende 4 naranjas por S/. 6. ¿Cuántas naranjas tendrá que vender para ganar S/. 180?

A) 216 B) 172 C) 144 D) 156 E) 112 6. Luchín compró artefactos a 4 por S/.130

y los vende a 7 por S/. 270. si debe ganar S/. 510. ¿Cuántos artefactos tiene que vender?

A) 34 B) 44 C) 54 D) 64 E) 84 7. Por un par de zapatillas y un par de

zapatos he pagado S/. 148. Si el precio de las zapatillas era S/. 16 menos. ¿Cuánto costaron las zapatillas?

A) 23 B) 18 C) 20

D) 15 E) 66 8. Cuando se posa una paloma en cada

poste hay 3 palomas volando. Pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cuántas palomas hay?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) 11 9. Arturo tiene 2 veces más de lo que tiene

Raúl, si Arturo le da S/. 18 a Raúl entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen los dos?

A) 13 B) 72 C) 20 D) 12 E) 10 10. El costo de un libro es la mitad del

costo de una lámpara; si una persona compra 5 libros y 3 lámparas pagando un total de S/. 1 320. ¿Qué costo tiene un libro?

A) 120 B) 125 C) 30 D) 35 E) 40 11. El costo de un pantalón es igual al

doble del costo de una camisa, menos S/. 5. Si una persona compra 5 pantalones y 6 camisas pagando un total de S/, 359. ¿Cuánto cuesta una camisa?

A) 24 B) 30 C) 25 D) 35 E) 48 12. Si el número de sillas es igual al de

mesas, el número de bancas es igual a la mitad del número de sillas. Si entre sillas, mesas y bancas, se tiene 30 cosas. ¿Cuántas bancas hay?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 13. Un muchacho debe pintar 42 piezas de

porcelana, por lo cual cobra S/. 9 por cada una, pero en caso de romper una


-18 -


le sería descontado S/. 5. Al terminar su trabajo recibe solo S/. 14. ¿Cuántas piezas logró pintar?

A) 16 B) 18 C) 40 D) 20 E) 10 14. En una prueba de 20 preguntas, la

pregunta correcta vale 5 puntos, la incorrecta vale -2. Si Roberto logró 40 puntos. Indicar el número de preguntas correctas. (5 preguntas dejó en blanco)

A) 15 B) 14 C) 1 D) 10 E) 20 15. Tito tiene 20 manzanas y decide

venderlos a S/. 2 cada uno, luego de vender algunas de ellos, se decide vender el resto a S/. 1 cada uno. Si obtiene en total S/. 35 ¿Cuántas manzanas vendió a S/. 2 ?

A) 19 B) 15 C) 12 D) 13 E) 11 16. Patricio tiene 18 monedas y tiene S/.58

entre monedas de S/.5 y S/. 1. ¿Cuántas monedas de S/. 5 tiene?

A) 18 B) 10 C) 15 D) 5 E) 8 17. Me falta para tener S/. 486 el doble de

lo que me falta para tener S/. 384. ¿Cuánto tengo?

A) 228 B) 282 C) 243 D) 218 E) 214 18. En una fiesta a la que asistieron 53

personas, en un momento determinado 8 mujeres y 15 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta?

A) 23 B) 18 C) 20 D) 15 E) 10 19. En un salón de clases se reparten 210

cuadernos. Al primer alumno le toca un cuaderno, al segundo dos cuadernos, al tercero tres cuadernos y así sucesivamente. ¿Para cuántos alumnos

alcanzaron los cuadernos que se disponen?

A) 15 B) 18 C) 20

D) 21 E) 25 20. Se han comprado cierto número de

libros por S/. 100. Si el precio por ejemplar hubiera sido un sol menos, se tendría 5 ejemplares más por el mismo precio, ¿Cuántos libros se compró?

A) 25 B) 28 C) 20

D) 21 E) 25 21. Alex y Bruno están jugando a los

naipes, acuerdan que el que pierde dará al otro S/. 2. Si después de 13 juegos consecutivos Alex ha ganado S/. 10. ¿Cuántos juegos ha ganado Bruno?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8 22. Gasté los 2/3 de lo que no gaste y aún

me quedan S/. 20 más de lo que gaste. ¿Cuánto tenía?.

A) S/.100 B) S/.120 C) S/.80 D) S/.90 E) S/.110

23. Aún tengo tanto como mitad de lo que

he perdido, de no haber perdido, me hubiera sobrado tanto como hoy me falta para comprar un zapato de S/.30. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) S/.20 B) S/.15 C) S/.60 D) S/.30 E) S/.45

24. En un corral hay conejos y gallinas; Si

el doble de ojos es 20 menos que el doble de patas. ¿Cuántos conejos hay?

A) 8 B) 7 C) 3

D) 4 E) 5 25. Se desea repartir manzanas

equitativamente entre cierto número de niños sobrando 3 manzanas; pero si les da 2 manzanas más a cada uno faltarían 7 manzanas. ¿Cuántos niños son?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8


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Problemas II

1. Entre 24 personas deciden pagar en

partes iguales una deuda, pero resulta que 8 de ellos solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando de esta manera a que cada uno de los restantes agregue a su cuenta S/.6. ¿A Cuánto asciende la deuda total?

A) S/. 240 B) S/. 500 C) S/. 680 D) S/. 160 E) S/. 576 2. Un microbús parte de la ciudad ”A” a la

ciudad “B”, llegando al paradero final con 53 pasajeros. Se sabe que el valor de cada pasaje es S/. 3. y que se ha recaudado S/. 195. Si en cada paradero que bajaba un pasajero y subían 3. ¿Con cuántos pasajeros partió del paradero inicial?

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 35 3. Un microbús llego a su paradero final

con 50 adultos, 30 niños y una recaudación de S/. 200. El pasaje de un adulto es de S/. 2 y de un niño S/. 1. Además en cada paradero subían 5 adultos junto con 2 niños y bajaban 2 adultos junto con 3 niños. ¿Con cuántos pasajeros partió del paradero inicial?

A) 80 B) 70 C) 60 D) 55 E) 66 4. En un establo hay vacas, Ovejas y

gallinas; se observa que el número de patas de gallinas es el triple de la cantidad de vacas y la cantidad de patas de Ovejas es 5/2 de la cantidad de patas de vacas. Si la diferencia entre el número de patas y el número de cabezas es 120. ¿Cuántas gallinas hay en total?

A) 49 B) 36 C) 25 D) 20 E) 15

5. Roberto quiso comprar cierta cantidad

de revistas con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada revista había bajado en S/. 2, compró 4 revistas más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada revista y el número de revista que compró suman 16. ¿Cuánto gastó en la compra de revistas?

A) S/. 18 B) S/. 15 C) S/. 60 D) S/. 48 E) S/. 72 6. Un terreno cuadrado está sembrado con

árboles equidistantes entre si, se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro. ¿Cuántos árboles hay en total?

A) 529 B) 576 C) 625 D) 676 E) 826 7. Un tren con 325 turistas tiene que ir de

“A” a “B” (distantes 150 km). Los de primera clase pagan 4 céntimos por km. Y los de segunda 2 céntimos por km. ¿Cuántos turistas iban en la primera clase, si la recaudación al llegar a “B” fue de S/. 1 296?

A) 102 B) 103 C) 104 D) 105 E) 107 8. Se desea colocar estacas en un terreno

de forma cuadrada colocándolas a igual distancia una de la otra en ambos sentidos. La primera vez le faltaron 27 y la segunda vez pone una menos en ambos sentidos y sobra 38. ¿Cuántas estacas tenía el terreno?

A) 1 061 B) 1 062 C) 1 052 D) 1 040 E) 1 072 9. Cierta cantidad de alumnos se reúnen

para ir de paseo, viene un bus y se lleva 110 hombres, quedando la relación entre hombres y mujeres restantes como 2 es a 10. En el siguiente bus se van 80 mujeres y la relación de hombres y


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mujeres que quedan es de 3 a 7. ¿Cuántos alumnos (hombres y mujeres) no fueron de paseo?

A) 90 B) 210 C) 190 D) 100 E) 390 10. De una reunión de hombres y mujeres

se retiran 15 mujeres, y quedan así dos hombres por cada mujer. Después se retiran 45 hombres y quedan entonces cinco mujeres por cada hombre. ¿Cuántos hombres había al inicio?

A) 90 B) 100 C) 80 D) 40 E) 50 11. José tiene S/. 200 más que Betto pero

S/. 300 menos que Luís. Ana tiene S/. 200 menos que Felipe pero S/. 400 más que Darío. Claudia tiene la mitad de lo que tiene Mario y este tiene S/. 300 menos que lo que tiene Pedro. Si José, Ana y Claudia tienen la misma cantidad de dinero y entre todos tienen S/.11 200. ¿Cuánto tiene la persona con menos dinero?

A) S/. 500 B) S/. 600 C) S/. 700 D) S/. 800 E) S/. 1 000 12. Un terreno de forma cuadrada está

sembrado con árboles equidistantes entre si por 2 m. se sabe que en el interior hay 1 841 árboles más que en el perímetro. ¿Cuál es dicho perímetro? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 13. Se divide un terreno rectangular en 99

parcelas cuadradas de 64 m2 cada uno. En cada esquina de las parcelas, se coloca un poste, empleándose en total 120 postes. ¿Cuál es la diferencia entre la medida del largo y el ancho del terreno rectangular?

A) 8 B) 16 C) 10 D) 12 E) 24 14. En un cuarto hay 90 focos encendidos

y en otro cuarto un número igual de

apagados: Si se apagan 6 focos del primer cuarto, se encienden 4 del otro. ¿Cuántos focos se encendieron hasta que hubo igual cantidad de focos encendidos en ambos cuartos?

A) 48 B) 24 C) 32 D) 36 E) 40 15. Pablo vende una canasta de peras y

otra de naranjas con igual número de frutas cada una. La canasta de naranjas se vende en 150 soles menos que el de peras. Sabiendo que siete naranjas valen tanto como cinco peras y que todo se vende por S/. 70. ¿Cuál es el número de frutas de cada canasta?

A) 75 B) 80 C) 70 D) 83 E) 90 16. En una balanza de dos platillos se

tiene 38 naranjas que pesan 25 gr. cada uno y 77 naranjas que pesan 10 gr. cada uno. ¿Cuántas naranjas se deben intercambiar para que se encuentren en equilibrio, sabiendo que de ambos lados se saca la misma cantidad de naranjas?

A) 5 B) 16 C) 8 D) 12 E) 6 17. Un profesor debe encargar resolver

cierto número de problemas a sus alumnos. Si encarga un solo problema a cada alumno sobran n problemas, pero si encarga n problemas a cada alumno, se quedan n sin resolver. Si alumnos y problemas suman menos de 15. Indique cuántos alumnos hay en total.

A) 10 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 18. Una persona compró cierta cantidad de

libros por un valor de S/. 60. Se le extraviaron 3 de ellas y vendió el resto en S/. 2 más de lo que le había costado cada uno, ganando en total S/. 3. ¿Cuántos libros compro?

A) 15 B) 60 C) 35 D) 20 E) 12


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Problemas III 1. Una vendedora tenía dos cajas de

manzanas donde las cantidades estaban en la relación de 3 a 2, primera y segunda caja respectivamente; por cada 5 manzanas que sacaba de la primera caja, de la segunda sacaba tres para ponerla en la primera y una la tiraba por estar malograda. Cuando había 90 manzanas en la primera, había 20 manzanas en la segunda caja. ¿Cuántas manzanas había inicialmente en la primera caja?

A) 120 y 80 B) 135 y 90 C) 126 y 64 D) 114 y 76 E) 144 y 96 2. En dos oficinas A y B de un ministerio

había en el año 1 942 cierto número de empleados. En 1 943 se aumentaron 5 empleados a A y 6 a B, resultando esta con el doble número de funcionarios que A. En 1 944 se aumentaron 2 a B y quedaron 4 cesantes en A, resultando esta oficina con la tercera parte de funcionarios que B. ¿Cuántos empleados habían en las dos oficinas en 1 944?

A) 40 B) 22 C) 31 D) 39 E) 42 3. Se tiene dos cajas que contienen

lapiceros, el segundo contiene el doble que el primero; cuando se saca igual cantidad de ambos, lo que contiene el segundo es el triple del primero, si agregamos 27 lapiceros a lo que queda en el primero obtendremos tantos lapiceros como tenía el segundo al inicio. ¿Cuántos lapiceros tiene la primera caja?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 4. Una persona dispone sus canicas

formando un cuadrado y observa que le sobran 36 y si pone dos filas más a cada lado del cuadrado le faltan 136

canicas para completar el cuadrado.

¿Cuántas canicas hay? A) 1 717 B) 1 800 C) 1 885 D) 1 972 E) 1 628 5. Una moneda circular tiene 13 mm de

radio. ¿Cuántas de estas monedas son necesarias para cubrir una longitud en línea recta de 4,42 m, colocándolas uno junto a la otra?

A) 54 B) 17 C) 170

D) 34 E) 160 6. En un salón de clases se reparten 210

cuadernos. Al primer alumno le toca un cuaderno, al segundo dos cuadernos, al tercero tres cuadernos y así sucesivamente. ¿Para cuántos alumnos alcanzaron los cuadernos que se disponen?

A) 15 B) 18 C) 20

D) 21 E) 25 7. Para pavimentar un patio cuadrado se

emplean losetas de 50x50 cm. Si el patio tuviera 1 metro más por cada lado se habrá necesitado 140 losetas más. ¿Cuánto mide cada lado del patio?

A) 12 m. B) 15 m. C) 16 m. D) 17 m. E) 19 m. 8. Un jardinero quiere plantar árboles

igualmente esparcidos en un terreno cuadrado de 234 m. de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuera de 6m., faltarían 908 árboles. Determine la distancia que debe haber entre ellos de manera que le sobren 331 árboles.

A) 10 B) 9 C) 14 D) 12 E) 13 9. Cuando tú tengas el dinero que él tiene,

él tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos y le será suficiente para comprarse un automóvil de $ 3 600 y


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aún quedarse con $ 400. Si tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá en ese entonces. ¿Cuánto dinero tengo?

A) $ 7 000 B) $ 7 500 C) $ 7 600 D) $ 6 000 E) $ 2 500 10. Compre cierto número de libros a 5 por

S/. 6, me quedé con la tercera parte y vendí el resto a 4 por S/. 9, con lo cual obtuve una ganancia de S/. 9. ¿Cuántos libros compré?

A) 15 B) 20 C) 30 D) 18 E) 25 11. Se tiene 2 recipientes de vino. Del

primero se hecha al segundo tanto como había en éste. Luego, del segundo se hecha al primero tanto como había quedado en éste último, finalmente del primero se hecha al segundo tanto como había en éste después de la segunda operación. Al final en el primer recipiente quedó 160 L y en el segundo 120 L. ¿Cuánto más de vino había en uno que en el otro recipiente, al inicio?

A) 43 L B) 110 L C) 92 L D) 88 L E) 122 L 12. Bruno razonaba así: “con los alumnos

que tengo puede formar un triángulo equilátero compacto, pero si aumentáramos 66 alumnos más, se podría formar con todos los alumnos un cuadrado compacto, en cuyo lado el número de alumnos es el mismo que hay en el lado del triángulo anterior”. ¿Cuántos alumnos hay?

A) 70 B) 78 C) 72 D) 82 E) 76 13. Yo tengo el triple de la mitad de lo que

tú tienes más 10 soles. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo?

A) S/. 52 B) S/. 53 C) S/. 54 D) S/. 55 E) S/. 56

14. En dos habitaciones hay un total de 90 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados; resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente?

A) 50 B) 40 C) 45 D) 55 E) 60 15. Para ganar S/. 270 en la rifa de un

artefacto se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75, originando así una pérdida. ¿Cuál es el mínimo valor entero al que se vendió cada boleto?

A) S/. 18 B) S/. 17 C) S/. 19 D) S/. 20 E) S/. 15 16. Un carnicero antes de iniciar la venta

diaria razonaba: “Si vendo cada kilogramo de carne a S/. m compro una batidora y me sobraría S/.a, pero si vendo cada kilogramo a S/.n me faltarían S/.b”. ¿Cuántos kilogramos de carne pensaba vender el carnicero?

17. Un padre deja una herencia a sus hijos

de S/. (2mn), pero “m” de éstos hijos renuncian a lo que le corresponde; y cada uno de los restantes se benefician con S/. n más. Si cada hijo recibe la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos hijos son los beneficiados?

A) 2m B) m+n C) 2n-1 D) 2m+1 E) m 18. En un zoológico se observa 2

avestruces por cada 4 águilas y 5 jirafas por cada 3 águilas, si en total se contaron 114 cabezas. Halle el número de patas de los avestruces.

A) 36 B) 38 C) 40 D) 62 E) 32

a + b ab a + 2b 3m + 2n m + n 2n – m 2a + b a + b mn m - n

A) B) C) D) E)


-23 -


Problemas VI 1. Si un objeto costara S/. “n”, podría

comprar “m” de ellos con S/. 480 y si el precio de cada uno aumentase en S/. 20, podría comprar dos objetos menos con la misma cantidad de dinero. Halle “m+n”.

A) 60 B) 66 C) 68 D) 69 E) 70 2. Si un microbusero recaudó S/. 200,

habiéndose distribuido 120 boletos entre pasaje entero y medio pasaje; el primero cuesta S/. 2 y el segundo S/. 1. Determine, cuántos de los pasajeros eran universitarios, sabiendo que supera en 8 al número de niños y éstos también pagan medio pasaje al igual que los universitarios.

A) 16 B) 24 C) 40 D) 32 E) 38 3. Lo que me debe Alberto es 6 veces más

de lo que me debe Carlos y lo que me debe Betto es el cuádruplo de lo de Carlos, si le prestara S/. 4, S/. 5 y S/. 6 a Carlos, Betto y Alberto ahora me deberían en total S/. 51. ¿En cuánto excede lo que me debe Alberto al exceso de lo que me debe Carlos respecto de lo que me debe Betto?

A) S/. 15 B) S/. 30 C) S/. 12 D) S/. 17 E) S/. 31 4. Una persona fue a una pastelería con

S/. 23 que le alcanzaban para comprar exactamente 4 pasteles y 6 alfajores. Al parecer los pasteles eran mas ricos, por lo que invierte el pedido recibiendo de vuelto S/. 1. ¿Cuál es el costo de un pastel?

A) S/. 1 B) S/. 1.5 C) S/. 2.5 D) S/. 3 E) S/. 2 5. Me falta “a” soles para comprar “m”

pares de zapatos y me sobraría “b” soles si comprara (m-1) pares. Luego, el costo de un par de zapatos es:

6. La cantidad de nuevos soles que tiene

Alex es mayor a S/. 197 pero menor que S/. 205. Si los reparte entre sus tres hijos de tal modo que Beto obtiene 15 soles más que José; y Toño recibió el doble de lo que recibió Beto. ¿Cuántos soles recibió José, si es una cantidad entera la que reciben todos?

A) 39 B) 47 C) 54 D) 56 E) 108 7. Cierto número de personas alquilan un

camión en 320 soles, en el momento de la salida faltan 2 personas y por eso los demás tienen que pagar cada uno 8 soles más. ¿Cuántas personas había inicialmente?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 11 8. Se tiene 180 caramelos para ser

distribuidos en partes iguales a un grupo de alumnos. Si se retirasen 3 alumnos los restantes recibirán 8 caramelos cada uno, más que en el caso en el cual en vez de retirarse llegasen 3 alumnos y se repartiesen los caramelos entre todos ellos en forma equitativa. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 9. En un examen de 140 preguntas con

duración de 3 horas, un postulante dedicaba 60 minutos para leer y responder 40 preguntas, y de cada 10 sólo acierta 5. ¿Cuántos no acertó o dejó de responder?

A) 80 B) 70 C) 60 D) 20 E) 30 10. Se tiene 3 montones de canicas,

donde las cantidades son

A) a+b 3(a-b) 4

B) C) a-b

4(a+b) 3

D) (a+b) 2

E)


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proporcionales a 6, 7 y 11. Si del montón mayor se toman 12 canicas para distribuirlo entre los restantes al final los tres montones tendrán la misma cantidad. ¿Cuántas canicas hay en total?

A) 90 B) 92 C) 94 D) 55 E) 96 11. De los S/. 245 que dispongo para sus

propinas de mis hijos, sólo me quedan S/. 5; pero 5 de ellos son adultos y no aceptan, por lo que me sobraría S/. 155. ¿Cuántos hijos tengo?

A) 10 B) 6 C) 8 D) 12 E) 9 12. De una reunión de hombres y mujeres

se retiran 15 mujeres, y quedan así dos hombres por cada mujer. Después se retiran 45 hombres y quedan entonces cinco mujeres por cada hombre. ¿Cuántos hombres había al inicio?

A) 90 B) 100 C) 80 D) 40 E) 50 13. Bruno tiene cierta cantidad de dinero, si

compra “N” caramelos le sobrarían “S” soles; pero si compra “S” caramelos necesitará “A” soles más. ¿Cuánto dinero tiene Bruno?

14. Un ómnibus viaja del punto “A” a “B”,

cobrando un pasaje único de S/. 50. En cada paradero, por cada pasajero que bajaba, subían 4; si al paradero final llegó con 75 pasajeros y una recaudación de S/. 4 420 incluido el seguro de cada pasajero que es de S/. 2. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial?

A) 42 B) 43 C) 45 D) 32 E) 38

15. Jaime compró tantos artículos como soles pagó por cada uno. Si al vender todo lo comprado recibe en soles el doble del número de artículos, aumentado en cuatro. Calcule la ganancia máxima obtenida por Jaime.

A) S/. 8 B) S/. 6 C) S/. 5 D) S/. 2 E) S/. 4 16. El comandante de un destacamento

observa que haciendo marchar a sus soldados de modo que en cada fila formen 4, le resultan 132 filas más que si en cada fila formasen 6. ¿Cuántos hombres tiene el destacamento?

A) 1 156 B) 1 056 C) 792 D) 1 670 E) 1 584 17. Gasto 50 soles y el triple del dinero

que me queda es mayor que 147 soles. Si al doble del dinero que tenía antes de gastar es menor que 202, ¿Cuánto dinero me queda si éste es un número entero de soles?

A) S/. 40 B) S/. 50 C) S/. 80 D) S/. 100 E) S/. 120 18. Hugo y Carlos juegan sobre la base de

que el perdedor entregará S/. 10 al ganador. Después de 60 jugadas, Hugo resultó ganando S/. 280. ¿Cuántas jugadas de las 60 ganó cada uno?

A) 20 y 40 B) 30 y 30 C) 35 y 25 D) 44 y 16 E) 10 y 50 19. Una persona debe vender todo su

stock de televisores para cubrir algunos gastos extras. Si vende cada TV a su precio normal ganará S/. 4 000; pero si remata cada TV en S/. 90 menos, perdería S/. 2 300. ¿Cuántos TV tiene?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 50

A) S - N (AS - S) N B)

E) ( NA - S2 ) S - N

D) ( NA + S2 ) S - N

C) ( NS - A2 ) S + N

Encomienda a Jehová tu camino, y confía en él; y él hará (Sal 37:5)


-25 -


Problema Sobre Edades

I. Cuando interviene la edad de un solo

sujeto II. Cuando interviene las edades de dos o

más sujetos • La diferencia de edades en cualquier

tiempo es la misma (Constante) • La suma de edades en forma de aspa

de valores ubicados simétricamente es la misma (Constante)

Del cuadro:

a) Diferencia b) Suma en aspa Pasado , presente 15 + 15 = 10 + 20 = 30 Presente , Futuro 20 + 25 = 15 + 30 = 45 Pasado , Futuro 15 + 25 = 10 + 30 = 40

- Del cuadro se observa que cuando nació “B” el sujeto “A” tenía 5 años, pues la diferencia de edades es 5 años.

- y Cuando “B” tenga 55 años, “A”

tendrá 60 años, pues debe mantenerse la diferencia de 5 años

•

c) Relaciones con el año de nacimiento

- Si la persona ya cumplió años en el presente

- Si la persona aún no cumple años en el presente

-5 +7 Pasado Presente Futuro

A 2 7 14

15 – 10 = 20 – 15 = 30 – 25 = 5 Pasado Presente Futuro

Año Edad año nacimiento actual actual + =

Año Edad año nacimiento actual actual + = - 1

-5 +10 Pasado Presente Futuro

A 15 20 30

B 10 15 25

30 40 60

60 75 105

-5 +10 Pasado presente futuro

A 28 33 43

B

C

D

E

F

No le digas a Dios cuán grande son tus problemas, dile a tus problemas:

¡Cuán grande es Dios!


-26 -


Problemas I 1. La edad de un padre y sus tres hijos

suman 72 años. Dentro de 6 años, él tendrá el doble del hijo mayor; dentro de 12 años, tendrá el doble de la edad del segundo, y dentro de 18 años, tendrá el doble de la edad del tercero. ¿Cuál es la edad del padre?

A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 2. Carlos le dice a Diana: “Yo tengo 3

veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, La suma de nuestras edades será 35 años”. ¿Cuál es la edad de Carlos?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 3. Mary dice: “En el año 2018 tendré 4

veces más que la edad que tenía en 1986”. ¿Qué edad tiene actualmente Mary, Si estamos en el 2012?

A) 27 años B) 28 años C) 34 años D) 30 años E) 19 años 4. Cuenta mi abuelita que a un antepasado

mío le ocurrió algo muy curioso y es que tuvo “a” años en el año a3. Además me contó que este antepasado mío vivió hasta el año 1 800. ¿En qué año nació mi antepasado?

A) 1 720 B) 1 718 C) 1 716 D) 1 725 E) 1 750 5. Cinco días de mi cumpleaños dije: Si yo

hubiera nacido 6 años antes, hoy tendría la tercera parte de la edad de mi madre si es que ella hubiese nacido 15 años antes. Si cuando cumpla años, tendré la mitad de la edad de mi madre, si es que ella hubiese nacido 10 años después. ¿Cuántos años tiene mi madre?

A) 42 años B) 50 años C) 38 años D) 30 años E) 52 años

6. En Junio del 2012, 20 alumnos

procedieron a sumar los años de nacimiento de cada uno y por otro lado se sumo las edades también de cada uno, dando como resultado global 40115. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplieron años en el presente?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. En el año “a” un profesor sumó los años

de nacimiento de “n” estudiantes y luego las edades de todos ellos; enseguida sumó ambos resultados y obtuvo “R”. ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dicho grupo?

A) R – an B) an – R C) R – a(n – 1) D) R – a(n – 2) E) R – n(a – 1) A) 1998 B) 1999 C) 1997 D) 1996 E) 1995 9. Las edades actuales de dos jóvenes se

encuentran en la relación de 3 a 4; pero hace “n” años estaban en la relación de 5 a 7 y dentro de 3n años sumarán 60 años. ¿Hace cuántos años una edad era una vez más que la otra?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 17 E) 14 10. La edad de un elefante será dentro de

55 años, un cubo perfecto; hace 65 años su edad era la raíz cúbica de ese cubo. Indicar la suma de cifras de la edad de dicho paquidermo.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 7 11. Hace 5 años, la edad de un padre fue

cuatro veces la edad de su hijo; y dentro de 5 años será solamente el doble de la

8. Tania nació en 19nm y en 19mn cumplió (m+n) años. ¿En qué año cumplió mn años?


-27 -


de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo?

A) 25 B) 44 C) 50 D) 30 E) 5 12. La suma de las edades de un hombre

y su esposa es 6 veces la suma de las edades de sus hijos; hace 2 años, esta suma era 10 veces la de sus hijos y, dentro de 6 años, será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 13. Sandra le dice a Pepe: Yo tengo el

doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tienes: Además la suma del triple de la edad que tienes con la que yo tendré cuando tengas lo que yo tengo es 280 años. ¿Qué edad tiene Sandra?

A) 80 años B) 70 años C) 60 años D) 50 años E) 55 años 14. La edad de un padre es “n” veces más

que la edad de su hijo, cuya edad es “a” años. ¿Dentro de cuántos años su edad será solamente “m” veces la edad del hijo?

15. La edad que tendré dentro de “a” años

es a lo que tenía hace “a” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a” años? Si mi edad actual es 40 años.

A) 60 años B) 61 años C) 62 años D) 59 años E) 58 años 16. Luis observó en cierto año del presente

siglo, que el cuadrado de su edad era igual al año de su nacimiento, y que la edad de su primo Pedro era igual a la suma de las cifras del año en que él había cumplido 20 años. Qué edad

tendrá Pedro cuando Luis cumpla 80 años?

A) 56 años B) 55 años C) 57 años D) 58 años E) 59 años 17. Cuando tenía la edad que tú tenías

cuando tenía 20 años, tú tenías 10 años. ¿Cuántos años tenía cuando tú tenías 12 años?

A) 16 años B) 18 años C) 19 años D) 17 años E) 15 años 18. La edad de una persona será dentro

de 3 años un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años?

A) 14 B) 22 C) 30 D) 40 E) 37 19. Si al año en que cumplí 16 años le

sumo el año en que cumplí 12 y le resto la suma de los años en que nací con el año actual, se obtiene 6. ¿Qué edad tengo?

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 32 20. Una persona en el mes de Junio sumó

a los años que tiene todos los meses que ha vivido y obtuvo 263. ¿En que mes nació?

A) Ene. B) Nov. C) May. D) Mar. E) Jul. 21. Hace 30 años las edades de Lucho y

Mario estaban en la relación de 5 a 3, hace 12 años estaban en la relación de 4 a 3 y dentro de “n” años estaban en la relación de 7 a 6. ¿En que relación estarán sus edades dentro de (n/2) años?

A) 13/11 B) 13/15 C) 7/13 D) 10/7 E) 6/5

a(n+m+1) a(n - m) a(n + 1) m - 1 m - 1 m - 1 a(n - m - 1) a(n - m + 1) m + 1 m - 1

A) B) C) D) E)

Todo lo puedo en Cristo que me fortalece. (Fil 4:13)


-28 -


Problemas II 1. En junio del 2012, tres amigos Andrés,

Bruno y Carlos suman sus edades a los años de su nacimiento, obteniendo como respuesta 6016. Si Andrés nació en Mayo y Bruno en Octubre. ¿En qué mes nació Carlos?

A) Abril B) Mayo C) Julio D) Marzo E) Enero 2. Dentro de “2a” años tendré 3 veces más

de los años que tuve hace “a” años. Si los años que tuve, tengo y tendré suman 84 años. ¿Qué edad tengo?

A) 43 años B) 24 años C) 40 años

D) 36 años E) 12 años

3. En 1998, la edad de Alex era tres veces más la edad de Beto y en 2006 la edad de Alex fue una vez más la edad de Beto. Halle la edad que Beto tendrá en 2013.

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 4. Hace 10 años tenía la mitad de la edad

que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años?

A) 10 B) 13 C) 12 D) 15 E) 14 5. Yo tengo el doble de la edad que tú

tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Pero, cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 99 años. ¿Qué edad tengo?

A) 36 B) 40 C) 48 D) 32 E) 44 6. Si Magaly tiene ahora 2 años más que

sus dos hijos juntos, y hace 8 años tenía 3 veces la edad del hijo menor y dos veces la del hijo mayor, en ese entonces. ¿Qué edad tenía el hijo mayor hace 5 años?

A) 33 años B) 30 años C) 34 años D) 32 años E) 35 años 7. En junio del 2012, Humberto calcula los

promedios de las edades actuales junto con el promedio de los años en que nacieron sus cuatro hermanos, obteniendo 9,75 y 1995,5 respectivamente. ¿Cuánto de sus hermanos todavía no cumplieron años en el presente?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ninguno 8. Cinco días antes de mi cumpleaños dije:

Si yo hubiera nacido 6 años antes, hoy tendría la tercera parte de la edad de mi madre si es que ella hubiese nacido 15 años antes. Si cuando cumpla años, tendré la mitad de la edad de mi madre, si es que ella hubiese nacido 10 años después. ¿Cuántos años tiene mi madre?

A) 42 B) 50 C) 38 D) 30 E) 52 9. Carlos y Rita se casarón hace 6 años

cuando sus edades estaban en la proporción de 13 a 11. Tuvieron su primer hijo hace 4 años cuando sus edades estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo terminará la secundaria a los 15 años. ¿Qué edad tendrá entonces su padre?

A) 43 B) 42 C) 36 D) 40 E) 38 10. La suma de las edades de una pareja

de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si actualmente el hijo ha cumplido 25 años. ¿Qué edad tenía el hijo cuando las edades se los tres sumaban 95 años?

A) 25 B) 29 C) 15 D) 12 E) 22


-29 -


11. Las edades de una pareja de esposos

es 6 veces la suma de las edades de sus “n” hijos; hace 2 años, esta suma era 10 veces la de sus hijos y, dentro de 6 años, será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 12. Manuel tiene 3 sobrinos. Si hace 2

años la edad de Manuel fue 8/3 de la suma de las edades que tenía sus sobrinos; y dentro de 5 años la edad de Manuel será sólo 3/2 de la suma de las edades que tendrán en ese entonces sus sobrinos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de los cuatro?

A) 27 años B) 85 años C) 42 años D) 83 años E) 32 años 13. Hilda le dice a Marilú: “Cuando yo

tenía tu edad, Clarisa tenía 10 años” y Marilú le responde: “Cuando yo tenga tu edad, Clarisa tendrá 26 años”. Clarisa añade: “si sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja, resultará el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de la mayor?

A) 30 años B) 31 años C) 40 años D) 41 años E) 39 años 14. En el mes de junio de 2012 se le pidió

a 8 alumnos que sumen los años que tienen a los años en los cuales nacieron y dicho resultado fue 16045. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en ese momento?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 15. El abuelo, el hijo y el nieto tienen

juntos 100 años. El abuelo dice: “Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días y mi nieto tiene tantos meses como yo años. La edad del abuelo es: (considere 1 mes <> 30 días)

A) 61 años B) 59 años C) 60 años D) 80 años E) 70 años

16. A Tongo le preguntan por edad y

responde: Si al año en que cumplí “a” años le suman el año en que cumpliré “b” años, y si a éste resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán “c” de resultado. ¿Qué edad tiene Tongo?

A) a + b + c B) a + b - c C) a – b + c 17. La suma de las edades de una pareja

de esposos, cuando nació su primer hijo, era la tercera parte de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 35 años. ¿Qué edad tenía éste cuando las edades se los tres sumaban 89 años?

A) 18 B) 23 C) 26 D) 28 E) 32 18. Andrés y Beatriz tienen edades cuya

suma es 4 veces más que la suma de las edades de sus “n” hijos; hace 3 años esta suma era 9 veces la suma de las edades de sus hijos y dentro de 2 años será 3 veces mayor que la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 19. Yo tengo la edad que tú tendrás

cuando yo tenga el triple de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si hace 5 años nuestras edades sumaban 35 años. ¿Cuántos años tengo?

A) 24 B) 29 C) 26 D) 28 E) 20 20. Las edades de 3 hermanos (Raúl,

Jaime y Bruno) hace 2 años estaban en la misma relación que los números 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5; 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor?

A) 10 B) 13 C) 14 D) 12 E) 15

D) E) a + b + c a + b - c 2 2


-30 -


e = v x t

21e vv

dt

+=

2

2

1

1

v

e

v

e=

2

1

2

1

e

e

v

v=

t

eV =

1

2

2

1

tt

vv

=

Problemas Sobre Móviles

En esta parte se estudia el movimiento desarrollado por un cuerpo cuando éste lleva una rapidez constante

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

Es aquél movimiento cuya trayectoria es rectilínea, en la cual el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales, siendo su velocidad constante

Donde:

UNIDADES DE LA VELOCIDAD m/s, Km/h, cm/s, pies/s. 1 Km < > 1 000 m 1 h < > 3 600 s TIEMPO DE ENCUENTRO: ( te )

En cada segundo ambos móviles se aproximan ( v1 + v2 )

TIEMPO DE ALCANCE: ( ta )

El primer móvil en cada segundo descontará al segundo móvil ( v1 - v2 ) ALGUNAS RELACIONES PARA ESPACIOS IGUALES ( e1 = e2 ) e1 = e2 v1t1 = v2t2 PARA TIEMPOS IGUALES ( t1 = t2 )

t1 = t2

d

V1

1 2

V2 te te

v1te v2te

V1

1

V2

2

d v1ta

v2ta

ta

ta

t1

1

V2

2

V1

t2

21a vv

dt

−= v1 > v2

1

V2

2

V1

e1

e2

t

e

v


-31 -


Problemas Sobre Móviles 1. El auto que se muestra en la figura

realiza un MRU; si de A hasta B emplea 2 s y de B hasta C emplea 3 s, determine x.

A) 2 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 9 m 2. Un camión de 20 m de longitud emplea

2 s en ingresar a un túnel de 130 m. Determine durante cuántos segundos permanece completamente dentro del túnel

A) 10 s B) 15 s C) 11 s D) 9 s E) 13 s 3. El helicóptero y el auto realizan MRU. A

partir del instante mostrado determine la distancia que los separa transcurridos 2 s.

A) 60m B) 150m C) 10m D) 70m E) 130m 4. Un ciclista realiza un MRU. Determine

el tiempo que emplea el ciclista al ir de B hasta C.

A) 1 s B) 3 s C) 2 s D) 5 s E) 7 s 5. Dos atletas “A” y “B” separados 60m van

uno al encuentro del otro. A partir del instante mostrado. ¿Cuánto tiempo transcurre para que los atletas estén separados 10 m por primera vez?

A) 5 s B) 10 s C) 15 s D) 20 s E) 25 s 6. Dos móviles “A” y “B” pasan

simultáneamente por el costado del poste, ambos con rapidez constante de 4 m/s y 6 m/s respectivamente. Determine luego de Cuánto tiempo equidistan del punto “Q” (Ambos se dirigen hacia “Q”).

A) 22 s B) 25 s C) 24 s D) 26 s E) 28 s 7. A partir del instante que se muestra,

determine a qué distancia del punto P el móvil “A” alcanza a “B”

A) 180m B) 200m C) 250m D) 150m E) 220m

6 m x

A B C

120 m

30 m/s

5 m/s

V

6 m A B C 4 m

3 S

60 m

3 m/s 2 m/s

120 m

Q

150 m P

30 m/s 5 m/s


-32 -


8. Para conocer la longitud de un puente un estudiante mide el tiempo en que un tren de 200 m lo cruza completamente con rapidez constante de 20 m/s, obteniendo este 22 s. ¿Cuál es la longitud del puente calculada por el estudiante?

A) 180m B) 200m C) 215m D) 240m E) 265m 9. Todos los días una persona sale de su

casa a la misma hora, y llega a su trabajo a las 8 horas 30 minutos. Cierto día triplicó su velocidad y llegó a las 7 horas 30 minutos. ¿A qué hora sale normalmente de su casa?

A) 7:30 a.m B) 7:05 a.m C) 7:00 a.m D) 6:45 a.m E) 6:30 a.m 10. Un tren de “e” metros de longitud se

demora 6 segundos en pasar frente a un observador y 24 segundos en pasar por un puente de 900m de largo. ¿Cuál es la longitud del tren?

A) 200 m B) 400 m C) 250 m D) 300 m E) 350 m 11. Dos ciclistas de los cuales uno es más

veloz que el otro en 2 m/s, parten de un mismo punto y corren en sentido contrario en una pista circular de 300m. Si se encuentran 20 segundos después, hallar la rapidez del más veloz en m/s

A) 6,5 B) 7 C) 7,5 D) 8,5 E) 9 12. Cuando una persona está parado

sobre una escalera mecánica en movimiento sube en 60 s. pero si caminara sobre la escalera en movimiento emplearía en subir 20 s. ¿En cuánto tiempo esta persona bajaría caminando sobre la misma escalera en movimiento?

A) 50 s B) 60 s C) 64 s

D) 70 s E) 80 s 13. El lobo feroz observa a Caperucita

desde una distancia “d” que separa a ambos, luego empieza a perseguirla hasta alcanzarle, después que Caperucita a recorrido una distancia que excede en 15m a la que los separaba al comienzo. Si sus rapideces son 6m/s y 4m/s respectivamente. Hallar la distancia que recorrió el lobo feroz.

A) 20m B) 30m C) 55m D) 45m E) 50m 14. Un auto sale de la ciudad “A” a las 5pm

y llega a la ciudad “B” al día siguiente a las 2pm. Otro auto sale de la misma ciudad a las 7pm y llega a “B” al día siguiente a las 9am. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó al primero?

A) 7pm B) 7:30pm C) 7:70am D) 11pm E) 11:30pm 15. Para cruzar un puente, un tren debe

recorrer 240m, con una rapidez constante de 36 Km/h. ¿Qué tiempo, en segundos, emplea durante dicho recorrido?

A) 20s B) 24s C) 10s D) 22s E) 28s 16. La rapidez de una lancha en aguas

tranquilas es 10 km/h. Si la lancha recorre 24 km rio arriba y 24 km río abajo en un tiempo total de 5 h. ¿Cuál es la rapidez de la corriente del río?

A) 10 km/h B) 5 km/h C) 3 km/h D) 2 km/h E) 6 km/h 17. Una escalera mecánica se mueve

hacia arriba a una rapidez constante. Si Bruno sube caminando sobre ella, emplea 1 minuto; pero si baja por ella, emplea 100 segundos. ¿Qué relación hay entre la rapidez de la escalera y la rapidez de Bruno.

A) 3/5 B) 1/4 C) 2/5 D) 7/3 E) 4/5

200 m


-33 -


18. Un camión si lleva carga viaja a 50 km/h y si no lleva carga viaja a 80 km/h. Si el camión recorrió 14 900 km. En 280 horas. ¿Cuántas horas del recorrido tuvo carga?

A) 220 h B) 278 h C) 240 h D) 255 h E) 250 h 19. Dos móviles parten simultáneamente

desde un punto P hacia otro punto Q. Uno va a 35 m/s y el otro a 56 m/s. Si

después de cierto tiempo están distanciados 294 m y en ese instante, el más rápido dista de Q 120 m, calcule la distancia entre los puntos P y Q.

A) 490 m B) 610 m C) 787 m D) 894 m E) 904 m 20. Dos ciclistas tienen que ir de una

ciudad A a otra ciudad B; el primero lleva una rapidez que excede en 3 km/h a la del segundo. Si el primero y el segundo tardan 4 y 6 horas respectivamente. ¿Cuál es la distancia que separa la ciudad A de la ciudad B?

A) 36 km B) 45 km C) 50 km D) 32 km E) 35 km 21. Abel salió en su carro con una

velocidad de 40 km/h. Dos horas después, María salió del mismo lugar. Si ella manejó por la misma carretera a 50 km/h. ¿Cuántas horas había manejado María cuando alcanzó a Abel?

A) 2h B) 4h C) 8h D) 3h E) 5h 22. Un atleta va corriendo a razón de 7 m/s

y logra cruzar un puente en 20 s. Si un camión, viajando a 54 km/h, lo hace en 10 s; ¿Cuál es la longitud del camión?

A) 30m B) 25m C) 20m D) 15m E) 10m 23. Un automóvil parte de la ciudad A

hacia B, a la rapidez de 12 km/h, y en el mismo instante un peatón sale de la ciudad B hacia A con una rapidez de 4 km/h. En el momento del encuentro, el

peatón sube al automóvil y vuelve a su casa, mira el reloj y observa que ha tardado una hora menos en la vuelta que en la ida. ¿Cuántos kilómetros mide la distancia AB?

A) 120 km B) 100 km C) 160 km D) 24 km E) 48 km 24 Dos móviles pasan por un mismo punto

y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Delante de ellos a 300 m hay un poste. ¿Después de qué tiempo los móviles equidistaran del poste?

A) 28 s B) 12 s C) 32 s D) 30 s E) 15 s 25. Dos móviles parten simultáneamente al

encuentro, el uno del otro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcular el espacio recorrido por el más rápido hasta el momento del encuentro?

A) 286 B) 240 C) 108 D) 220 E) 114 26. Andrea sale todos los días de su

academia a las 2:00 p.m y a esa misma hora es recogida por su padre, que llega en su auto para llevarla a casa; pero un día, Andrea salió a las 1:38 p.m y fue caminando al encuentro de su padre quién, encontrándolo en el camino, dio vuelta a casa llegando, por eso, 20 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Andrea?

A) 14 m B) 10 m C) 11 m D) 12 m E) 13 m 27. Karen recorre 36 km en 8 horas: los 12

primeros kilómetros lo hace con una rapidez superior a 2 km/h a la rapidez con que recorrió el resto del recorrido. Calcule la rapidez con la que recorrió el primer trayecto.

A) 4 km/h B) 6 km/h C) 8 km/h D) 10 km/h E) 12 km/h


-34 -


Cronometría

FUNDAMENTO TEÓRICO Son cuatro tipos de problemas que con mayor frecuencia encontramos en este tema: 1. Campanadas Veamos un ejemplo Un campanario demora 6 segundos en tocar 4 campanadas. ¿Cuánto tiempo empleará para tocar 8 campanadas? Resolución Se deduce que entre campanada y campanada demora I = 2 seg. Luego, para tocar 8 campanadas: Campanadas t = 2 (7) = 14 segundos Forma Práctica: Haciendo uso de la relación entre el número de intervalos y el tiempo empleado.

Resolviendo: 3x = 7x6 2. Tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir 3. Adelantos y atrasos Involucran problemas sobre relojes que por mal funcionamiento se adelantan o atrasan Hora exacta = Hora atrasada + atraso Hora exacta = Hora adelantada – adelanto

1 2 3

I I I1oC 2oC 3oC 4oC

“t”

t = (# interv.) (Duración interv.)

# intervalos = # camp. - 1

2seg 2seg 2seg 1 2 3 4

6 seg.

2seg 2seg 2seg 2seg 2seg 2seg 2seg

1 2 3 4 5 6 7 8

“t” = ?

4 3 6 s 8 7 x s

# Campan. # Interv. tiempo

-1 D.P

x = 14 segundos

tiempo tiempo que falta transcurrido transcurrir

Hora exacta

00 hr (1 día <> 24 hr) 24 hr

Siempre que el problema trate Sobre un día completo

Atraso adelanto

Hora exacta

Hora indicada por hora indicada por Un reloj atrasado un reloj adelantado

Hora hora real Indicada (exacta)

= - atraso

Hora hora real Indicada (exacta)

= + adelanto

M A R C A D A

H O R A


-35 -


observación: - Para que un reloj defectuoso que se

adelanta o atrasa vuelva a marcar la hora correcta, deberá acumular un adelanto o atraso total de 12 h < > 720 min.

- Para que dos relojes defectuosos que se

adelantan o atrasan vuelva a marcar la misma hora es necesario que exista una diferencia entre lo que marcan de

12 h < > 720 min. Ejemplo: Dos relojes se sincronizan a las 4:00 a.m, uno de ellos se adelanta 90 segundos cada hora y el otro se atrasa 45 segundos cada 60 minutos. ¿Cuánto minutos estarán separados a las 16 h los minuteros de los relojes? RESOLUCIÓN Primer reloj segundo reloj Adelanta en atrasa en 90s 1h 45s 1h en una hora: En una hora se separa 135 segundos, además como desde las 4:00 a.m hasta las 16 h hay 12 horas tenemos: < > 27 min 4. Angulo formado por las manecillas del reloj

Un reloj de manecillas posee 12 divisiones horarias y cada una de éstas tiene 5 pequeñas divisiones que indican los minutos, además la circunferencia representa 360o y está dividida en 60 pequeñas divisiones. Luego: Relaciones importantes ANGULO ENTRE HORARIO Y MINUTERO Se presentan dos casos - Cuando el horario adelanta al minutero - Cuando el minutero adelanta al horario

1 div < > 1 min < > 6o

m 211 0H α −= 3

12 11

10

9

8

7 6

3

2

1

5

4

. αH

m

α

12 11

10

9

8

7 6

3

2

1

5

4

. H

m

12 11

10

9

8

7 6

3

2

1

5

4

.30o

30o 30o 30o 30o

H m

60

135 s

Atraso adelanto

Hora exacta

45 s 90 s

x12 x12

Tiempo transcurrido separación 1h 135 s

12h 1 620 s

∴ Estarán separados 27 minutos

0H - m 211 α 3=

Tiempo Giro del Giro del Giro Horario horario minutero en minutos 60 min 30o 360o 5 min 2 min 1o 12o min x min (6x)o min o X

12 X 2

o

1 6


-36 -


Problemas I 2. ¿Cuánto tiempo tardará en tocar 6

campanadas un reloj que toca (x2 + 2x + 2) campanadas en (x+1)

segundos? A) 50 B) 51 C) 60 D) 100 E) 101 4. ¿Qué ángulo forman entre sí las

manecillas del reloj a las 11,45 horas? A) 165o B) 168o 30‘ C) 181.5o D) 180o E) 182o 30‘ 5. ¿Qué hora es si hace 5 horas faltaba,

para acabar el día, el doble el tiempo que faltará para acabar el día, pero dentro de 5 horas?

A) 9:00 a.m B) 3:00 a.m C) 4:00 a.m D) 5:00 a.m E) 6:00 a.m 6. Si fuera tres horas más tarde de lo que

es, faltaría para acabar el día los 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas más temprano; ¿Qué hora es?

A) 7:00am B) 6:20am C) 6:00am

D) 8:00am E) 7:14am 7. Ya pasaron las 4:00 a.m. pero aún no

son las 5:00 de esta mañana, dentro de 10 minutos faltarán para las 5:00 a.m. la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 3 a.m. hasta hace 25 minutos. ¿Qué hora es?

A) 4:25 a.m B) 4:33 a.m C) 4:38 a.m D) 4:28 a.m E) 4:50 a.m 8. Un reloj que se atrasa 5 minutos en

cada hora, es sincronizado al mediodía (12m). ¿Qué tiempo, como mínimo, deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta?

A) 6 días B) 9 días C) 7 días D) 8 días E) 10 días 9. Dos relojes se sincronizan a las 8 am;

uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuarto de hora y el otro se atrasa 45 segundos cada hora, ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8:00pm. Los minuteros de los dos relojes?

A) 23min B) 42min C) 18min

D) 32 min E) 21 min

10. En cierto planeta ABA, el día dura 16 horas y cada hora tiene 18 minutos. ¿Qué hora será en un reloj de este planeta, cuando un reloj de la tierra marque las 5:40 p.m.?

A) 11:14 B) 12:14 C) 11:24 D) 9:14 E) 8:14 11. Cuando son las 6:00 a.m. un reloj

empieza a adelantarse a razón de seis minutos cada hora. ¿Qué hora será cuando este reloj marque las 9:57 p.m. del mismo día?

A) 8:30 a.m. B) 9:30 a.m. C) 10:30 a.m. D) 9:30 p.m. E) 8:30 p.m.

1 4 1. ¿Qué hora será dentro de 5 h. Se sabe

que en estos momentos el tiempo

transcurrido es excedido en 5 horas por

lo que falta transcurrir del día?

A) 2:20pm B) 1:45pm C) 3:25pm D) 2:45pm E) 3:20pm

A) (6x-6) s B) 5(x - 1) s C) 5(x + 1) s

s 1)(x

5 E) s 1)(x

6 D)+−

a73. Un reloj da campanadas cada 52 minutos. ¿Cuántas campanadas dará en 100 minutos?, sabiendo que si al número de campanadas que da en 52 minutos se le divide por 9, este resulta un entero.


-37 -


12. ¿Qué hora es según el gráfico?

A)10h 34

B) 10h 32

C)10h 33

D) 10h 33 8/11

E) 10h 32 8/11

13. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 5h 11’

B) 5h 09’

C) 5h 06’

D) 5h 07’

E) 5h 08’ 14. “Tontin” al ver la hora confunde el

minutero por el horario y viceversa y dice: “son las 4h 48 min. ¿Qué hora es realmente?

A) 9:20 B) 9:18 C) 9:24 D) 9:22 E) 9:26

15. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

A) 7: 36

B) 7: 37

C) 7: 38

D) 7: 39

E) 7: 40 16. ¿A qué hora entre las 4 p.m. y las 5

p.m., las agujas del reloj están en sentido opuesto?

A) 4 h 54 m 32 8/11s B) 4 h 54 m 6/11s C) 4 h 56 m 30 s D) 4 h 7 m 0 s E) 4 h 56 m 4 1/11s

17. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 11:15 p.m. señala las 11:27 p.m.?

A) 4:15 a.m. B) 3:15 a.m. C) 2:15 a.m. D) 5:15 a.m. E) 5:15 p.m. 18. ¿A qué hora, entre las 4 y las 5 pm, el

minutero adelanta a la marca de las 9 tantos grados como los 3/4 del ángulo barrido por el horario desde las 4 en punto?

A) 4:36 pm B) 4:39 pm C) 4:40 pm D) 4:47 pm E) 4:48 pm

19. Estando sincronizado un reloj “A” y un

reloj “B”, se sabe que el reloj “A” se adelanta 3min. Cada 2 horas y el reloj “B” 2 min. Cada hora. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el reloj “B” esté adelantado 80 minutos respecto al reloj “A”?

A) 75 h B) 70 h C) 80 h D) 120 h E) 160 h 20. ¿Qué hora es? Sabiendo que la mitad

del tiempo que falta transcurrir para que sean las 8 pm. Es igual a la tercera parte del tiempo transcurrido a partir de las 2:00 am. más la sexta parte del tiempo que falta transcurrir para que sean las 8 pm.

A) 2:00am. B) 3:00am. C) 11:00am. D) 7:00am. E) 12:00am. 21. En una mañana soleada, una torre de

6m de longitud proyecta una sombra de 6m de largo. ¿Qué fracción del día ha transcurrido?

A) 5/8 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/8 E) 3/7 22. En una tarde soleada, un poste de 8

metros de longitud proyecta una sombra de 6 metros de largo. ¿Qué hora es en ese preciso instante?

A) 2:14 p.m. B) 2:19 p.m. C) 2:30 p.m. D) 2:28 p.m. E) 3:05 p.m.

α

α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.

α

3α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.

12

7 6

3

2αo

.α’


-38 -


Problemas II 1. Un reloj que se atrasa 3 min. cada hora

y otro que se adelanta 7 min cada hora se sincronizan a las 10: 00 am. ¿Dentro de cuánto tiempo como mínimo marcarán juntos la misma hora?

A) 2 días B) 3 días C) 4 días D) 5 días E) 6 días 2. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 36

B) 2h 36 2/7

C) 2h 36 1/5

D) 2h 36 3/7

E) 2h 36 5/7 3. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 34 2/5

B) 2h 34 2/7

C) 2h 34 1/5

D) 2h 33 2/7

E) 2h 34 1/7 4. A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? A) 9:35 B) 9:36 C) 9:37 D) 9:38 E) 9: 34 5. Un reloj se adelanta 2 min, cada 8 min.

Si ahora marca las 2 h y 15 min y hace 3 horas que se adelanta. La hora correcta es:

A) 1 h 30’ B) 2h 30’ C) 1h 15’ D) 4 h 15’ E) 1 h 20’

6. Un reloj se atrasa 5 min cada 45 min si

ahora marca las 4 h 10 min y hace 6 h que se atrasa. La hora correcta es:

A) 4 h 30 ‘ B) 4 h 15’ C) 3 h 50’ D) 4 h 50’ E) 5 h 10’ 7. Qué hora es si faltan para las 5 p.m. la

quinta parte del tiempo que transcurría desde la 1 h 54 min p.m.?.

A) 3 : 39 B)4 : 29 C)2 : 35 D) 4 : 39 E)2 : 25 8. Una persona emplea exactamente una

hora en ir de su casa al colegio si sale a las 7 a.m. de su casa y para llegar al colegio le faltan 10 minutos menos de los que ya ha caminado, diga. ¿Qué hora es?.

A) 7 h 30’ B) 7 h 40’ C) 7h 35’ D) 7 h 50’ E) 7h 10’ 9. Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta

oscura noche. Si hubieran pasado 25 minutos más, faltarían para las 5 horas los mismo minutos que pasaron desde las 3 horas hace 15 minutos ¿Qué hora es?.

A)3 h45’ p.m B) 4h 20’ a.m. C) 3h 55’ a.m. D) 3h 55’ p.m. E) N.A. 10. Un reloj se atrasa 15 segundos cada

hora.¿Cuántos minutos deben transcurrir para que se atrase media hora?.

A) 600 B) 6000 C) 720 D) 7200 E) 900 11. Un reloj marca la hora exacta un día a

las 6 p.m. Si se adelanta 4 minutos cada 6 horas a partir de dicha hora. ¿Cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta otra vez?

A) 44 días B) 42 días C) 40 días

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

. α

2α

α

3α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.


-39 -


D) 46 días E) 45 días 12. Suponiendo que las agujas de un reloj

se mueven sin saltos. ¿Cuánto tardará la aguja de minutos en alcanzar a la horaria si el punto de partida fue a las 4 en punto?.

A) 20 3/11 min B) 21 9/11 min C) 22 7/11 min D) 23 1/2 min E) 25 min 12 seg. 13. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el

minutero y el horario forman un ángulo que sea la quinta parte del ángulo externo, antes que el minutero pase sobre el horario?.

A) 4h 11 9/11m B) 4h 11 19/11m C) 9h 10 9/11 m D) 4 h 10 10/11m E) 4h 11 m 14. ¿A qué hora inmediatamente después

de las 3 p.m. el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta la marca de las 12.

A) 3: 30 B) 3: 32 C) 3:34 D) 3: 36 E) 3: 38 15. “Tontin” al ver la hora confunde el

minutero por el horario y viceversa y dice: “son las 9h 29 min. ¿Qué hora es en realidad?

A) 5:45 B) 6:50 C) 4:48 D) 5:48 E) 6:52 16. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 4

horas. ¿Cuánto habrá adelantado al cabo de una semana?.

A) 2h 12m B) 2h 6m C) 2h 8m D) 2h 2m E) N.A.

17. La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9:00 a.m es la tercera parte del tiempo que falta para las 7:00 p.m ¿Qué hora es?

A) 11 am B) 1 pm C) 4 pm D) 2h 20m E) 2 p.m

18. Hallar “α” en el gráfico. A) 120o

B) 110o

C) 130o

D) 142o

E) 135o

19. Se sincroniza 2 relojes a las 2 am. Uno

de ellos se adelanta 12 segundos cada 24 minutos y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. En un instante la diferencia entre la hora del reloj adelantado y la hora que marca el reloj atrasado es 20 minutos. ¿Qué hora es realmente?

A) 2:00 p.m B) 6:00 p.m C) 6:00 a.m D) 4:00 p.m E) 5:00 p.m 20. El tiempo transcurrido del día es los

4/5 del tiempo que falta por transcurrir. ¿Qué ángulo estarán formando las manecillas de un reloj en ese instante?

A) 60o B) 80o C) 65o

D) 70o E) 85o

21. Son más de las 1:00 pm sin ser las 2:00 pm y el tiempo transcurrido del día es igual al triple del tiempo que falta a partir de este instante para que sea las 6:00 pm ¿Qué hora es?

A) 1:15 p.m B) 1:20 p.m C) 1:30 p.m D) 1:35 p.m E) 1:45 p.m 22. En un reloj los minutos marcados son

en valor numérico equivalentes al ángulo formado por el minutero y el horario, además son menos de las 4. ¿Qué hora es?

A) 3:25 B) 3:20 C) 3:40 D) 3:45 E) 3:50

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

. 120o

α


-40 -


;...;;20

1

11

3

7

4

;...;;5

21

2

7

3

5

Problema Sobre Fracciones

FRACCIÓN: Se denomina así a la división indicada de la forma: Donde:

• a y b son enteros positivos • Al dividir “a” entre “b” el resultado no

es exacto REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente a una fracción, debemos considerar lo siguiente: Unidad (1) :Es la totalidad de una cantidad referencial (podría ser una naranja, un cuaderno, un lápiz, etc.) Ejemplo : 2/5 indica que debemos tomar 2

de 5 partes El todo (Unidad) <> 5 partes iguales Para graficar una fracción en el cual el numerador es mayor que el denominador, es necesario considerar la unidad varias veces Ejemplo: Representar gráficamente 7/3

Por la comparación de su valor respecto de la unidad a) Fracción Propia: Son aquellas en la cual el numerador

es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad

Ejemplos b) Fracción Impropia Son aquellos en la cual el numerador es

mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad.

Ejemplos NOTA: De las fracciones impropias se derivan

los números mixtos

b

a Fracción =

numerador denominador

b

a Fracción =

No de partes iguales que se considera No de partes iguales en que se divide la unidad

5

2 F =

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Tomamos 2 partes iguales

5 partes iguales

3

7

3

72=

Unidad (1) Unidad (1) 1/3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

b

a :f a < b , f < 1

b

a :f a > b , f > 1

3

1

3

258=

25 3

24 8

1


-41 -


3

18

S/.40 32

47

75

58

8

1=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

)240(

Se denomina número mixto,

porque tiene una parte entera y una

parte fraccionaria.

RELACIÓN PARTE-TODO Se denomina así a la comparación

geométrica de una cantidad asumida como PARTE, respecto de otra cantidad asumida como TODO

Ejemplo 1 ¿Qué parte de 32 es 5 ? Ejemplo 2 ¿Qué parte es 5 de 20 ? Ejemplo 3 ¿Qué parte más es 15 de 9? Ejemplo 4 ¿Qué parte menos es 6 de 18? GANANCIAS Y PÉRDIDAS SUCESIVAS Con respecto a un total (unidad), es

posible que se gane o pierda una parte (fracción), quedando entonces aumentada o disminuida nuestra cantidad inicial.

4 / 7 menos <> 3 / 7 3 / 5 más <> 8 / 5 Ejemplo: Un jugador tenía S/. 240 pierde y

gana alternadamente en cinco juegos de la siguiente forma 1/3; 3/4; 2/7; 3/5 y 7/8. ¿Con cuánto de dinero se quedó finalmente?

Resolución Tenía inicialmente S/. 240 Considerando lo que queda cada vez

que se pierde y lo que tengo cada vez que gano tenemos:

Lo que queda al final

TODO de hace que Lo

PARTE de hace que Lof =

es, son, representa

de, del ,respecto de

32

5f =

4

1

20

5f ==

3

2

9

6

9

9-15f ===

3

2

18

12

18

6-18f ===

3

2

3

1

Pierdo queda

8

5

8

3

10

3

10

7

n

m-n

n

m

-

3

4

3

1

gano tengo

8

11

8

3

10

17

10

7

n

mn

n

m +

+

x3

13x

3

2−si pierdo mas S/ 3 queda

x7

35x

7

4+si pierdo menos 5 queda

x7

53x

7

12+si gano mas S/.3 tengo

x9

44x

9

13−si gano menos 4 tengo

OBSERVACIONES


-42 -


10

31 =1,3

100

34 =34,0

100

345 =45,3

1000

826 =826,0

A: en 1 hora llena 1/6 del tanque B: en 1 hora llena 1/12 del tanque

NÚMEROS DECIMALES Es la expresión en forma lineal de un valor

determinado que consta de dos partes; una parte entera y una parte decimal separadas ambas por una coma:

Fracción Generatriz I) DECIMAL EXACTO ; ; II) DECIMAL PERIÓDICO PURO ; ; ; III) DECIMAL PERIÓDICO MIXTO ; ;

REDUCCIÓN A LA UNIDAD Es aquel procedimiento que consiste en

homogenizar lo hecho por cada elemento en una unidad de tiempo.

Ejemplar 1 a) b) c) d) Ejemplar 2 Un caño A llena un tanque en 6 horas y

otro caño B lo llena en 12 horas. Funcionando juntos. ¿En qué tiempo se llenará el tanque?

Resolución

En 1 hora cada uno de los caños llena Ambos caños en 1 hora llenan Por lo que todo el tanque lo llena en 4

horas

decimal oNb

a f =:

Exacto Periódico Puro Periódico mixto

3 5 , 2 0 0 9 Parte parte entera decimal

coma decimal

99

85 =85,0

999

5 =005,0

33

71

99

15 2 =+= 215,

9

32

9

3-35 ==5,3

9

44 , 0 =)

9

9-97 9 =7,

9900

32-328532 =85,0

90

18-183 =83,1

90

2-2424 , 0 =

99900

235-235421 2 =35421,

990

3-381 7 +=+= 7381,07381,

5

1 Si Raúl hace una obra en 5 días

en un día hará de la obra

8

1 Un caño llena un tanque en 8 horas

en una hora llenará del tanque

9

1 En 1 h. un caño llena del tanque

Todo el tanque se llenará en 9 horas

12

5 Bruno hace en un día de la obra

Toda la obra lo hará en días 5

12

4

1

12

3

12

1

6

1==+ del tanque

La lucha es ardua y dificultosa, pero cuando nuestros objetivos son claros y nobles, al final del camino siempre nos espera el triunfo


-43 -


Problemas I

1. José gasta 1/3 de su dinero, luego

gasta 1/4 del resto y por último gasta 1/5 del nuevo resto. Si al final le quedaron S/. 360. ¿Qué cantidad de dinero, en soles gastó en total José?

A) S/. 630 B) S/. 800 C) S/. 900 D) S/. 630 E) S/. 540 2. En una reunión de 80 personas los tres

quinto menos 2 personas son varones. ¿Qué fracción representa la diferencia entre varones y mujeres?

A) 5/32 B) 17/32 C) 3/20 D) 3/4 E) 33/40 3. Una persona, cada día gasta la mitad de

lo que tiene más S/. 2. Si después de 3 días le quedan S/. 30. ¿Cuánto tenía al inicio?

A) 300 B) 330 C) 438 D) 240 E) 268 4. Bruno gastó su dinero en tres días. El

primer día gasto 1/3 del total y 8 soles más, el segundo día gastó 1/3 de lo que quedaba y 8 soles más, y por último el tercer día gastó 1/3 del nuevo resto y 8 soles más. ¿Cuánto gastó Bruno en los tres días?

A) 57 B) 58 C) 59 D) 60 E) 63 5. Si gaste 2/3 de lo que no gaste, luego

del resto, perdí 4/5 de lo que no perdí, y del nuevo resto, regalé 1/9 de lo que no regalé y al final me quedé con S/. 36. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

A) S/. 100 B) S/. 110 C) S/. 120 D) S/. 140 E) S/. 150 6. Tengo una cierta cantidad de manzanas

de los cuales vendí 3/4 de los que no vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se

malograron. ¿Cuántas manzanas tenía

al comenzar, si al final me quedaron 8 manzanas, sin contar las malogradas?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 21 7. Un depósito lleno contiene 30 litros de

alcohol, del cual se extrae 1/5 de su contenido y se llena con agua, enseguida se extrae 1/4 de la mezcla y también se llena con agua. ¿Cuántos litros de agua hay en el depósito finalmente?

A) 12 B) 24 C) 18 D) 6 E) 14 8. De una mezcla alcohólica donde 20

litros es agua y 10 litros es alcohol. Se extrae 15 L de la mezcla y se reemplaza por agua, luego del resto se extrae la quinta parte y se vuelve a reemplazar por agua. Finalmente del nuevo resto se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua. ¿Cuánto de agua queda al final?

A) 12 L B) 27 L C) 18 L D) 16 L E) 20 L 9. Un jugador pierde 1/5 de su dinero,

luego 2/3 de lo que le quedaba y finalmente los 2/7 de lo que aún le queda, con lo cual solamente tiene 400 soles ¿Qué cantidad de dinero gastó?

A) 2100 B) 1900 C) 1700 D) 1750 E) 8400 10. Una persona ha perdido 4/7 de lo que

tenía mas S/. 2, si aún le quedan S/. 10. ¿Cuánto tenía al comienzo?

A) 18 B) 28 C) 30 D) 32 E) 27 11. Juan gastó la mitad de su dinero

comprando 6 pantalones, seguidamente ganó en el tragamonedas la mitad de lo que le quedó; pero luego pierde tres veces consecutivas 1/3 de lo que tenía


-44 -


después de cada juego; quedándose con S/. 240. ¿Cuál es el precio de un pantalón?

A) S/. 90 B) S/. 99 C) S/. 98 D) S/. 95 E) S/. 94 12. Tenemos un tanque con 2 llaves; la 1ra

lo llena en 4 horas, la 2da lo desagua en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierta la primera llave?

A) 30 B) 20 C) 10 D) 32 E) 15 13. Dos obreros de diferentes rendimientos

trabajan en una misma obra que ellos pueden hacerla juntos en 12 días de trabajo. Después de 4 días de trabajo se retira uno de ellos y el otro termina el trabajo en 12 días. El de menor rendimiento en cuánto tiempo hará la obra entera?

A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48 14. “A”, “B” y “C” trabajando juntos pueden

hacer una obra en 15 días, “A” y “B” lo pueden hacer en 20 días, “A” y “C” en 30 días. Si los 5 primeros días trabajan los tres obreros, los 10 días siguientes sólo trabajan “A” y “C” y los días que quedan sólo trabaja “C” hasta concluir la obra. ¿En cuánto tiempo se terminó toda la obra?

A) 20 B) 30 C) 36 D) 35 E) 32 15. Un estanque puede ser llenado por

un caño “A” en 15 horas y por un caño “B” en 10 horas y puede se vaciado por un caño “C” en 18 horas, si “A” y “B” trabajan juntos durante tres horas y luego se cierran y se abre “C”; en cuanto tiempo “C” habrá vaciado el estanque.

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

16. Un estanque de agua tiene dos caños de desagüe, la 1ra ubicada en el fondo que vacía todo el depósito en 8 horas y la 2da a media altura y vacía su parte correspondiente en 6 horas. Si estando lleno el depósito, se abren los dos caños. ¿Qué tiempo demorará en quedar vacío?

A) 6h B) 6,4h C) 6,6h D) 6,9h E) 6,2h 17. La parte no fumable de un cigarro es

1/4 de la longitud del cigarro, un fumador consume los 7/8 de la parte fumable, sabiendo que en cada “pitada” consume 1/64 de la parte fumable. ¿Cuántas pitadas dio el fumador?

A) 48 B) 64 C) 56 D) 49 E) 81 18. A y B pueden hacer una obra en 9

días. Si después de 3 días de trabajar juntos; se retira “A”, y “B” termina lo que falta de la obra en 15 días. En cuantos días puede hacer toda la obra “A” sólo?

A) 10 B) 15 C) 25 D) 30 E) 13 19. Un caño “A” llena un tanque en 6

horas y un desagüe “B” lo descarga en 10 horas. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque, Si “B” se abre 2 horas después de estar abierto “A”?

A) 8 B) 12 C) 10 D) 14 E) 16 20. “A” y “B” pueden hacer una obra en 24

días, trabajando juntos durante 6 días; al cabo de los cuales se retira “B” y “A” termina lo que falta de la obra en 30 días ¿En cuánto tiempo terminará la obra “B” trabajando sólo?

A) 40 B) 60 C) 80 D) 90 E) 120

No le digas a Dios cuán grande son tus problemas, dile a tus

problemas: ¡Cuán grande es Dios!


-45 -


Problemas II 1. Andrés gasta 2/3 de su dinero que lleva

más S/. 4, luego gasta 1/6 del dinero que le quedaba más S/. 6 y por último gasta los 3/7 del nuevo resto más S/. 4. Si aún le quedan S/. 4. ¿Cuánto de dinero tenía?

A) S/.86 B) S/.85 C) S/.84 D) S/.82 E) S/.81 2. Una persona pierde durante tres días

consecutivos, 1/3; 1/4; 3/8 de lo que tiene. Si todavía le quedan S/. 20. ¿Cuánto gasto?

A) S/.24 B) S/.44 C) S/.22 D) S/.45 E) S/.39 3. Una persona vende 2/9 de caramelos

menos 5; si se añadiera 37 caramelos a los que quedan tendría en la bolsa 1/6 más que al principio. ¿Cuántos caramelos tenía en la bolsa?

A) 98 B) 130 C)150 D) 96 E) 108 4. En una reunión familiar los 2/3 de los

asistentes son varones. Los 3/5 del número de mujeres son casadas y las 8 restantes son solteras. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

A) 36 B) 48 C) 45 D) 50 E) 60 5. Pepe compra cierto número de

manzana, la mitad de dicho número, lo compra a 5 por S/. 6 y la otra mitad a 6 por S/. 7. Luego vende los 3/5 del total a 3 por S/. 5 y las demás a 4 por S/. 7. Halle el número de manzanas que vendió, Si ganó en total S/. 930.

A)2 000 B) 900 C)1 800 D) 180 E) 360

6. Un caño “A” llena un estanque es 20

minutos; otro caño “B” desagua el mismo en 25 minutos. Se abre el primer caño y luego de 5 minutos, el segundo caño. ¿A los cuántos minutos de abierto el segundo caño habrían llenado los dos el estanque?

A) 1h 15m B) 1h 30m C) 45m D) 1h E) 55m 7. Se presentan los grupos A, B y C para

hacer una obra, estos tienen 20 obreros, 5 obreros y 12 obreros respectivamente y pueden hacer la obra en 12 días, 18 días y 10 días respectivamente, se toman 2 del primero, 3 del segundo y 1 del tercero. ¿En cuántos días hacen toda la obra, éste nuevo grupo?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20 8. Al dejar caer al suelo una pelota, cada

vez que rebota se eleva 2/5 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 16 cms. ¿De qué altura cayó inicialmente?

A) 123 B) 135 C) 200 D) 250 E) 240 9. Al dejar caer al suelo una pelota, cada

vez que rebota pierde 1/4 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 27 cms. ¿De qué altura cayó inicialmente?

A) 32 B) 64 C) 16 D) 20 E) 30 10. Se deja caer una pelota desde una

altura de 20mts. Cada vez que toca el suelo rebota hasta 3/4 de su altura máxima anterior. Calcular la distancia total que recorre la pelota hasta antes de llegar al reposo.

A) 100 B) 120 C) 130 D) 135 E) 140


-46 -


78.0...45.034.023.0

7.0...4.03.02.0))))

))))

++++

++++=F

11. Una persona realiza 3 apuestas consecutivas y en cada una pierde 1/3 de lo que tenía antes de apostar más S/. 200, quedándose al final con S/. 200. ¿Cuánto perdió en total?

A)2 100 B)2 000 C)1 800 D)1 900 E)2 200 12. El día de ayer recibí los 3/4 de lo que

recibiré hoy; pero lo que recibiré ahora será los 5/3 de lo que recibiré mañana. Cuánto recibo mañana si en los tres días obtengo 9 400 soles?

A)1 800 B)2 000 C) 2 400 D) 2 800 E) 3 200 13. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si

se quiebran 30 y queda todavía 5/8 del lote. ¿De cuántos vasos constaba el ,lote?

A) 620 B) 650 C) 670 D) 720 E) 750 14. Se vendieron 1/5 de las entradas para

una función de cine, en el día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por vender 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine?

A) 72 B) 84 C) 90 D) 108 E) 112 15. Un alumno hace 1/3 de su asignatura

antes de ir a una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer?

A) 1/2 B) 1/6 C) 1/12 D) 2/3 E) 7/12 16. Hallar la fracción equivalente de: A) 5 /2 B) 5/6 C) 3/2 D) 3/4 E) 3/7

17. Una pelota cae desde una altura se 54 m y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de la altura de la cual cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelota hasta tocar por cuarta vez la superficie.

A) 160m B) 206m C) 208m D) 190m E) 186m 18. De un total de 149 litros de alcohol, el

primer día se vende “x” litros, el segundo día se vende la tercera parte del resto, tercer día se vende la cuarta parte de lo que queda y el cuarto día se vende la quinta parte del nuevo resto. Si todavía queda “x” litros. Hallar el valor de “x”.

A) 40 B) 20 C) 10 D) 70 E) 80 19. Dos ciudades “A” y “B” tienen en la

actualidad 33 024 y 1 032 habitantes respectivamente. Se sabe que la disminución anual de “A”, es de 1/8 de sus habitante, Si “B” tiene un aumento anual de 3/4 de sus habitantes ¿Dentro de cuánto tiempo, las dos poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?

A) 4 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 20. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y

gana 1/3 de lo que le queda. Si su dinero ha disminuido en 12 dólares. ¿Cuánto tenía al principio?

A) $ 108 B) $ 120 C) $ 132 D) $ 144 E) $ 54 21. Los 4/5 de las aves de una granja son

palomas; los 5/6 del resto son pavos y los 8 restantes son patos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

A) 320 B) 560 C) 420 D) 240 E) 244

Las aspiraciones actúan como “resortes psíquicos” que impulsan con fuerza irresistible hacia la meta propuesta.


-47 -


5

210(40)

100

x=

Regla de Porcentaje EL TANTO POR CUANTO Consideremos el siguiente ejemplo Una persona agrupa sus bolitas de 5 en 5, de modo que en cada grupo de 5 haya 2 bolitas de color negro. Esto significa que: 2 por cada 5 son negras < > Es decir En general: EL TANTO POR CIENTO Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad) dividida en 100 partes iguales.

APLICACION DEL TANTO POR CIENTO Ejemplo 1 ¿Qué tanto por ciento de 40 es 10?

Resolución

Sea el x%, entonces x% de 40 es 10 x = 25 por lo tanto es el 25% RELACION PARTE-TODO Se denomina así a la relación: GANANCIAS Y PÉRDIDAS Respecto de una cantidad asumida como el 100%

5

2 El 2 por 5 < >

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1El 2 por 5

Tanto cuanto

2 partes iguales

Total <> 5 partes iguales

n

mEl m por n < >

Tanto cuanto

100

mEl m por ciento < > m % < >

ba

x 100

El a % de b < >

Nota: de o del multiplicación

x100%

TODO dehace que Lo

PARTE dehace que Lo

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

es, son, representa

de, del, respecto de

Pierdo queda 20 % 80 %

40 % 60 %

3,5 % 96,5 %

13 % 87 %

m % ( 100 – m) %


-48 -


30 % más < > 100% + 30 % = 130 % 60 % menos < > 100% - 60 % = 40 % DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplar 1 A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 20 %

Resolución

Consideremos la cantidad inicial 100: Descuento único: 28 % Ejemplar 2 A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 40 %

Resolución

Consideremos la cantidad inicial 100: Aumento único: 68 %

En general: • El descuento único que reemplace a “n”

descuento sucesivos del a %, b %, c % ,…, n % es dado por: • El aumento único que reemplace a “n”

aumentos sucesivos del a %, b %, c % ,…, n % es dado por: VARIACIÓN PORCENTUAL Se utiliza para calcular el aumento o disminución porcentual de una cantidad En los cálculos de variación

porcentual, las constantes se pueden obviar y los cálculos serán más sencillos.

APLICACIONES COMERCIALES

(PORCENTAJES)

FORMAS DE VENDER UN ARTÍCULO

La regla de porcentajes es modelada a aplicaciones mercantiles, de donde se puede deducir las siguientes expresiones.

Gano resulta 20 % 120 %

40 % 140 %

0,8 % 100,8 %

13 % 113 %

m % ( 100 + m) %

100 90 72

dscto 10% (100) dscto 20% (90) queda 90% (100) queda 80%(90)

Se descontó: 100-72= 28 %

100 120 168

aumto 20% (100) aumto 40% (120) tengo 120%(100) tengo 140%(120)

Se aumentó: 168-100= 68 %

DU = 100% - (100 - a)%(100 - b)%…(100 - n)%

AU = (100 + a)%(100 + b)%…(100 + n)% -100%

x100%

inicialValor

ndisminucióo Aumento

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=Variación Porcentual

OBSERVACIONES


-49 -


Pv = Pc + G Pv = Pc - P

Pf = Pv + Descuento

GB = GN + gastos

Donde: Pv = Precio de Venta Pc = Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida GB = Ganancia Bruta GN = Ganancia Neta Observaciones:

La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio fijado ( Pf )

La ganancia ( G ) o pérdida ( P ) se expresa como un porcentaje del precio de costo ( Pc )

EJEMPLOS: 1. Un computador se vende ganando el

30% de su costo; si el precio de venta fue S/. 3 900. Hallar su costo

A) S/. 3 500 B) S/. 3 800 C) S/. 2 500

D) S/. 3 000 E) S/. 3300

Resolución Datos Pv = S/. 3 900 G = 30% Pc 2. Un articulo se vende perdiendo el 12 %

de su costo; si el precio de venta fue S/. 682. Halle su costo

A) S/. 765 B) S/. 775 C) S/. 8 30

D) S/. 8 84 E) S/. 854

Resolución Datos Pv = S/. 682 P = 12% Pc 3. ¿Qué precio se fijó para la venta de un

artículo, si luego de sufrir un descuento del 15%, se vendió en S/. 544?

A) S/. 640 B) S/. 740 C) S/. 667

D) S/. 534 E) S/. 745

Resolución Datos Pv = S/. 544 descuento = 15% Pf 4. Una persona vende café tostado a S/.

24 el Kg. Ganando el 20% sobre el precio de costo, sabiendo que al tostarlo se pierde el 20% de su peso. ¿A qué precio se ha comprado el Kg. de café sin tostar?

A) S/. 20 B) S/. 38 C) S/. 25

D) S/. 32 E) S/. 16 Resolución

Datos: Café tostado Pv = S/. 24 el Kg. G = 20% Pc

Pv = Pc + G 3 900 = Pc + 30% Pc 3 900 = 130%Pc 3 900 = 130/100 Pc Pc = S/. 3 000 clave D

Pv = Pc - P 682 = Pc - 12% Pc 682 = 88%Pc 682 = 88/100 Pc Pc = S/. 775 clave B

Pf = Pv + descuento Pf = 544 + 15% Pf 544 = Pf - 15% Pf 544 = 85%Pf 544 = 85/100 Pf Pf = S/. 640 clave A


-50 -


Problemas

Por lo tanto Precio de un Kg. de café sin tostar es: = 80%20 =S/. 16 Clave E 5. Un libro lo vendo con un descuento

equivalente al 40% del precio de costo, ¿Qué tanto por ciento debe rebajarse al precio fijado para que gane un equivalente al 60% del precio de costo?

A) 10% B) 20% C) 25%

D) 30% E) 45%

Resolución Asumiendo que Pc = S/. 100

%10020040

100%fijadoP

dscto:Piden X=

= 20 % clave B

1. Se vende una bicicleta en S/. 250;

ganando el 25% del costo. ¿Cuál fue su costo?

A) S/. 150 B) S/. 170 C) S/. 190

D) S/. 155 E) S/. 200

2. Un artículo se vendió en S/. 63;

perdiendo el 30% del precio del costo. ¿Cuánto costo?

A) S/. 15 B) S/. 18 C) S/. 20

D) S/. 90 E) S/. 25 3. ¿Cuál es el precio fijado de un libro que

se vendió en S/. 160, habiéndose hecho un descuento del 20%?

A) S/. 200 B) S/. 170 C) S/. 190

D) S/. 188 E) S/. 210 4. Se vende un objeto en S/. 680,

perdiendo el 15% del costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9%?

A) S/. 872 B) S/. 800 C) S/. 820

D) S/. 888 E) S/. 810 5. Un comerciante vende los últimos libros

a S/. 300 cada uno. En una ganó el 25% y en la otra perdió 25% ¿Cuál afirmación es correcta?

A) ganó S/. 40 B) Perdió S/. 40 C) No gano ni perdió D) Perdió S/. 50 E) ganó S/. 50

6. Se vende dos artículos iguales en S/. 96

cada uno. En uno se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió? ¿Cuánto?

A) ganó S/. 8 B) Perdió S/. 16 C) No gano ni perdió D) Perdió S/. 8

E) ganó S/. 16 7. Se compró un celular a S/. 110 y se

vendió haciendo un descuento del 20%. Y aún así se ganó S/. 10. Halle el precio fijado.

A) S/. 150 B) S/. 160 C) S/. 170

D) S/. 180 E) S/. 190 8. Un artículo se vende con una ganancia

del 20% del precio de venta más el 25% del precio de costo. Al final se ganan S/. 180. ¿Cuánto es el precio de costo?

A) S/. 300 B) S/. 380 C) S/. 350

Pv = Pc + G 24 = Pc + 20% Pc 24 = 120%Pc 24 = 120/100 Pc Pc = S/. 20 el Kg. de café tostado

Pc Ganancia dscto S/. 100 S/. 60 S/.40 60%(100) 40%(100)


-51 -


D) S/. 320 E) S/. 330 9. Compré un DVD con S/. 630; en cuanto

debe aumentar este precio, para que durante la venta realice una rebaja del 10% y aún así se gane el 40% del costo?

A) S/. 350 B) S/. 380 C) S/. 250

D) S/. 320 E) S/. 330 10. Al precio fijado de un artículo se le

hace un descuento del 10% y al momento de venderlo se gana el 30% del costo, el cual fue S/. 80. Halle el valor del precio fijado.

A) S/. 260 B) S/. 280 C) S/. 250

D) S/. 220 E) S/. 230 11. Al comprar un artículo le ofrecen dos

descuentos sucesivos del 20% y 20%, se ha pagado S/. 128. ¿Cuál es el precio del artículo?

A) 250 B) 300 C) 350 D) 200 E) 150 12. A una persona al comprar un artículo le

hacen dos descuentos sucesivos del 40% y 30%; ahorrándose S/. 1 160. ¿Cuál era el precio inicial del artículo?

A)1 800 B)1 900 C) 2 000 D) 2 300 E) 2 450 13. Si los lados de un triángulo equilátero

disminuyen en 30%. ¿En cuánto disminuye su área?

A) 30% B) 70% C) 49% D) 51% E) N.A 14. Si la base de un triángulo aumenta en

30% y la altura relativa a dicha base disminuye en un 60%. ¿En que tanto por ciento varía su área?

A) 30% B) -60% C) -48% D) 48% E) -30%

15. Para aumentar en un 125% el área de un circulo, su radio se debe multiplicar por

A)3/5 B)1/2 C)3/2 D)7/4 E)1/9 16. Un comerciante vende dos artículos a

S/. 90 cada uno. En el primero gana el 25% y en el segundo pierde 25%. ¿Ganó o perdió en la venta y cuanto?

A) No gana ni pierde B) perdió S/. 12 C) Gano s/.12 D) perdió S/. 25 E) Ganó S/. 25 17. Un equipo de sonido al venderse se le

descuenta el 10%, luego se le recarga el 10% pero se le vuelve a descontar el 10% vendiéndose en S/. 8910. ¿Cuál era el precio original?

A) 10 000 B) 14 000 C) 12 000 D) 11 000 E) 7 000 18. Tres descuentos sucesivos del 50%;

70% y 20%. ¿A qué descuento único equivalen?

A) 88% B) 84% C) 94% D) 90% E) 78% 19. Tres incrementos sucesivos del 10%;

20% y 50%. ¿A qué aumento único equivalen?

A) 70% B) 95% C) 80% D) 98% E) 88% 20. Luego de hacerle dos descuentos

sucesivos del 20% y 10%, un televisor cuesta S/. 288. ¿Cuál era su precio original?

A) 300 B) 400 C) 350 D) 320 E) N.A 21. De un total de 600 personas el 40%

son hombres y el resto mujeres, de los cuales el 20% se encuentra con sus respectivas parejas. ¿Cuántos hombres se encuentran sin parejas?

A) 150 B) 120 C) 240


-52 -


D) 300 E) 360 22. Un boxeador decide retirarse cuando

tenga el 80% de triunfos en su carrera. Si lleva realizadas 100 peleas, de las cuales ha perdido el 25% de ellas. ¿Cuántas peleas como mínimo debe realizarse, para poder retirarse?

A) 25 B) 18 C) 20 D) 10 E) 15 23. Andrés le dice a Memo: “Entre tu

dinero y el mío hacemos S/. 1 125, pero si hubieras recibido 30% menos de lo que te corresponde, tendrías lo que yo tendría si recibiera 20% menos” ¿Cuánto tiene cada uno?

A) 700 y 425 B) 725 y 400 C) 525 y 600 D) 685 y 440 E) 785 y 340 24. Se tiene la misma cantidad de naranjas

de dos clases distintas, que se vende a dos por un sol las de primera y tres por un sol las de segunda, si se vendieran todas las naranjas a 5 por dos soles. ¿Se ganará o perderá y en qué porcentaje?

A) Gana 4% B) pierde 4% C) pierde 5% D) no gana ni pierde E) gana 5% 25. ¿En qué porcentaje disminuye el área

de un círculo si se disminuye en 40% su radio?

A) -64% B) +64% C) +34% D) -34% E) -30% 26. En una granja, el 30% del número de

patos es el 20% del número de pavos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de patos?

A) 30% B) 25% C) 75% D) 50% E) 36% 27. El 20% mas del 30% menos del costo

de un artículo equivale a S/. 84. ¿Cuál es el costo de dicho artículo?

A) 101 B) 110 C) 100 D) 120 E) 130

28. Una persona gasta el 20% de lo que tiene; luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto: quedándose con tan sólo S/. 42. ¿Cuánto tenía al principio?

A) 125 B) 100 C) 40 D) 80 E) 120 29. Si la base de un rectángulo aumenta

en 10% y el área no varía. ¿En que tanto por ciento disminuye la altura?

A) 9% B) 10% C) 11% D) 100/11% E) 100/13% 30. Si la base de un triángulo aumenta en

30% y la altura relativa a dicha base disminuye en 30%, el área del triángulo varía en 54m2. Hallar el área original del triángulo.

A) 540 B) 660 C) 600 D) 720 E) 690 31. En qué porcentaje aumenta el área de

un triángulo equilátero, si el lado aumenta en 50%

A) 135% B) 185% C) 125% D) 155% E) 184% 32. Si el perímetro de una región circular

aumenta en 20%. ¿En qué porcentaje aumenta su área?

A) 30% B) 32% C) 48% D) 44% E) 20% 33. Si la base de un rectángulo aumenta

sucesivamente en 20% y 20%; y su altura disminuye en 20% y 20% sucesivamente, ¿En qué tanto por ciento varía su área?

A) 7,84% B) 6,88% C) 5,84% D) 8,74% E) N.A

Nuestra vida es lo que nuestros pensamientos hacen de ella


-53 -


Operaciones M. I

1. Se define: además x>0. Calcule n, en:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Se define: Calcule el valor de “x” en

A) 1 B) -1 C) 1/2 D) 1/3 E) 0 3. Se define Además:

A) 1 B) 3 C) -1 D) 5 E) 2

4. Se define Hallar el valor de “n” en

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Se define Calcular “x” en A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 6. Halle: A) 100 B 50 C) -50 D) 0 E) 199 7. Si se cumple 3 ♥ 3 = 30 3 ♥ 0 = 3 0 ♥ 3 = 3 Halle 3033 ♥ 303 A) 30333 B) 33333 C) 3000 D) 3x10

4 E) 30300 8. Si ; Hallar A) 15/17 B) 17/13 C) 15/22 D) 13/25 E) 13/17 9. Si

Hallar A = ( 4 # 2 ) ( 4 # 2 ) A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2n

12nn

−=

= N 2 x 3 x 4 x…x 25

x+3 = x2 (1-3x) + (1+3x2 ) x

n = 90

2n + 3 = 6n + 4

5n – 2 = 10n – 3

3x+1 = 58

x+1 + x = x + 6

x+1 - x = x

x = x + 2

Calcular 2

2x + 1 = 2x + 3

2

2 = 2n

2x - 3 = 336

n = n(n+1)(n+2)

44 344 21sumandos n

....... 4 3 2 1 n +−+−=

99 + 100

a # b = ab

b # a


-54 -


3

13 ∗

10. Se define Halle A) 5 B) -5 C) 15 D) 8 E) 12 11. Si A) 6 B) 7 C) -7 D) -2 E) 2 12. Se define en R; A)80 B)85 C)90 D)95 E)75 13. Si

A) 333 B) 313 C) 303 D) 323 E) 343

14. Se define la operación en Z A) -14 B) -24 C) - 4 D) 10 E)14 15. a,bЄ R+

A) 2 B) 1 C) 2000 D) 8 E) 8000 16. a,b ∈ R+

A) 200 B) 4800 C) 2400 D) 3200 E) 1600 17. Si una función constante tal que: = 8 ; Calcule A) 12 B) -12 C) -6 D) 8 E) 16 18. Se sabe que Halle A) 97 B) 98 C) 99 D) 100 E) 101 19. Si

A)12 B)14 C)22 D)24 E)18

20. Se define Hallar “m” en A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5

m n = m2 ( n m ) +1∗∗

1 2 = 3 ∗ 3 4 = 7 ∗ 5 7 = 6 ∗

Halle 3 1 ∗

Además 7 = 15

Calcule 67

x + 3 = x + 4

x + 2 = x + 3

Además 1 = 30

Calcule 203

x = x + 5 + 2

Además 10 = 10

Calcule 70

ab = a

b

Además 800 = 5

Hallar 2000

Además 1600 = 6

Hallar 48

ab b = a

1-

7 5

3

+

+

x

x2 + 3x - 2 = ( x + 1 )( x + 2 )

… 0 +1 +2 +3 + … +10

N = 2 N + 6 ; N >0

Además x2 – 6 = 66

Calcule 2x

x + 1 = x2 – 6 x + 9

2m+1 = 441

++2011 2012 2013


-55 -


b) !(1010

∗∑=1b

Operaciones M. II

1. Se define Calcule A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 2. si ; Calcule

A)2700 B)1200 C)2100 D)7500 E)4800 3. Se define Calcule A)1000 B)3600 C)1600 D)6400 E)1440 4. Se sabe que Halle A) 3504 B) 3500 C) 3496 D) 3506 E) 3502 5. Si A) 20 B) 27 C) 26 D) 30 E) 28

6. Se define Halle A) 46 B) 47 C) 43 D) 74 E) 52 7. Si A) 30 B) 42 C) 70 D) 95 E) 102 8. Se define en N

; Hallar

A)620 B)626 C)636 D)646 E)656

9. Se define en R

Calcule

A)1/90 B)1/99 C)1/100 D)100 E)99

x = 9x + 4

x = 12x + 10

5

a = 8a + 7

b = 16b + 15

Halle 2

a = (a-1)(a+1)

a = a2 – 4a + 5

Hallar: 3 + 5

25 Operadores

. . . 1 +2 +4 +6 . . .

x2 - 2 = x2 - 1

x = 1 - 1

x

99 Operadores

. . . 2 +1 +1 +1 . . . +1

a ( a b ) = b3 ∗

40 Operadores

. . . 0 +0 - 4 -12 - 24 . . .

x-1 = 3x

30 Operadores

. . . 1 +3 +1 - 5 -15 . . .

2x-1 = 4 x

n = 3 n-1 3

1 1y =

500 x 4


-56 -


10. Si

Halle A) B)

C) D) E) 140

11. Se define en N

A) 120 B)130 C)240 D)250 E) 260

12. Si

A)40 B)52 C)62 D)82 E)60

13. Se define

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

14. Sabiendo que

A)50 B)140 C)60 D)74 E)76

15. Dada las siguientes operaciones

A)100 B)101 C)102

D)103 E)104

16. Se define

Hallar

A)40 B)43 C)30 D)80 E)90

17. Si

A) 82 B) 90 C) 72

D) 62 E) 52

18. Si

A)80 B)85 C)90 D)95 E)75

20 Operadores

. . . 2 -7 -7 . . .

20 2 - 140 2 - 140

2 + 7 2

X2 - 3 = x ( x + 4 )

x

x - 5 = x – 9 ; Hallar

125 Operadores

. . . 6 +6 +6 . . .

n+1 = 2 n + 1

2

Calcular: 101 Si además

= 1 1

2

Además 9 = 2

Calcule 24

x + 5 = x + 1

E = . . . 4 . . .

50 Operadores

E = . . . 3 . . .

20 Operadores

x = x – 3 ; x+1 = 2x

x = 2 x + 5 ; Hallar

n-2 = n n n . . . .

x - 5 = x + 1 x - 1

x = x + 5

Calcular “n” en :

2 x 4 x 6 x . . . .x 2n = 101

x = ( x – 2 )2 + 1

x = x2 - 1

Halle E = 9 + 10

x = x2 – 4 x + 5

x = x2 + 1

Halle E = 9 + 3


-57 -


Operaciones Matemáticas

PROPIEDADES En el conjunto “A” definamos el operación #.

1. CLAUSURA O CERRADURA Ejemplar Se define en IR, A = 1, 2, 3 Es cerrado pues:

- Los elementos de entrada 0 A - Los resultados 0 A

2. CONMUTATIVA

- La adición y la multiplicación son conmutativos

- La resta y la división no son conmutativos

Ejemplar Se define en IR, a # b = b + a – ab

¿conmutativo?

Resolución a # b = b + a – ab b # a = a + b – ba por lo que se cumple: a # b = b # a ; ˆ conmutativo

EN LA TABLA Criterio de la Diagonal Se debe verificar 1ro. Las entradas deben tener el mismo

orden. 2do. Trazar la diagonal a partir del operador

y verificar la simetría respecto a esto. Ejemplar Se define en IR, A = 1, 2, 3 ¿Conmutativo? Sí es conmutativo, pues solo falta

ordenar y verifica el criterio de la diagonal.

3. ELEMENTO NEUTRO “e” Ejemplar Se define en ù , a # b = a + b – 2 Hallar el elemento neutro Resolución

Operador Fila de entrada 2o

# a b c operando

columna a a b c de b b c a entrada c c a b resultados 1o

operando

œ a, b 0 A a # b 0 A

# 1 2 3

1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1

œ a, b 0 A a # b = b # a

# 1 2 3

1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3

›! e0 A'œ a0 A a # e = a

e # a = a


-58 -


Por lo tanto elemento neutro es 2

EN LA TABLA Criterio de la Intersección Se debe verificar 1ro. La conmutatividad 2do. Ubicar en los resultados una columna

igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. La intersección de la columna y fila mencionada nos da el elemento neutro (e).

ˆ e = a 4. ELEMENTO INVERSO a-1

Ejemplar Se define en IR Hallar 5-1 + 3-1 Resolución 10) Hallar el elemento neutro “e” e = 2

20) Hallar la inversa “a -1” ˆ 5-1 + 3-1 = 4/5 + 4/3 = 32/15 Ejemplar Se define en A= 1 , 2 , 3. Hallar E = (1-1 # 2-1 ) #3-1

Resolución

10) Hallar el elemento neutro “e” e = 1 20) Hallar la inversa “a -1” 1-1 = 1 ; 2-1 = 3 ; 3-1 = 2 Reemplazando en E = ( 1-1 # 2-1 ) # 3-1

Tenemos: E = ( 1 # 3 ) # 2 E = ( 3 ) # 2 ˆ E = 1

a # e = a ; e # a = a a + e – 2 = a e + a – 2 = a e = 2 e = 2

# a b c

a a b c

b b c a

c c a b

a # a-1 = e

a b

2 a # b =

a a -1

2 = e

a # a-1 = e

a e

2 = a

a # e = a

4

a a -1 =

# 1 2 3

1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2

# 1 2 3

1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2

# 1 2 3

1 2 3

2 2 3

3 3 2

1 1

1


-59 -


Problemas I

1. Si la tabla es conmutativa # a b c d

a b d

b c d a

c b c

d a b d

Calcule N = [ (d # a-1 ) -1 # b -1 ] # c -1 Donde a-1 elemento inverso de “a”

A) d B) c C) b D) a E) N.A

2. Se define en Z+

# 1 3

1 1 3 3 3 31 Hallar 1331 # 3133 A) 13311 B) 31113 C) 133331 D) 311311 E) 11331 3. Se define la operación # 2 3 4

3 4 7 10 6 10 13 16 9 16 19 22 Hallar 25 # 20 A) 102 B) 120 C) 118 D) 100 E) 140 4. Se define la operación “♥” mediante la

siguiente tabla ♥ 5 6 8 11

4 21 24 30 39 6 22 25 31 40 10 24 27 33 42 18 28 31 37 46 Calcular 40 ♥ 20 A) 80 B) 84 C) 90 D) 94 E) N.A 5. Se define una operación matemática

mediante la tabla

♥ 2 4 6

246 462 246 624 Calcular [ (2 ♥ 4 ) ♥6 ] ♥[ (6 ♥ 4 ) ♥2 ] A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 6. Se define la operación “♥” mediante la


1 3 5 7 9 2 7 9 11 13 3 11 13 15 17 4 15 17 19 21 Calcular 21 ♥ 20 A) 121 B) 111 C) 100 D) 80 E) 96 7. En A = 0,1,2,3 se define la operación

“♥” mediante la siguiente tabla ♥ 0 1 2 3

0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0 Calcular “x” en: ( 3 ♥ x) ♥ ( 2 ♥ 0 ) = ( 3 ♥ 3 ) ♥ 0 A) 1 B) 2 C) 5 D) 3 E) 4 8. Se define la operación “♥” mediante la


0 -0 -1 -2 -3 1 3 2 1 0 2 6 5 4 3 3 9 8 7 6 Calcular 27 ♥ 62 A)21 B)18 C)19 D)34 E)25 9. Se define la operación “♥” mediante la


2 6 8 10 12 4 18 20 22 24 6 38 40 42 44 8 66 68 70 72


-60 -


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ

−

Δ

−

=8

11

4

11

2

1M

1

16

11

8

11

4

1M

−

Δ

−

Δ

−

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Calcular 16 ♥ 332 A) 556 B) 567 C) 588 D) 602 E) 608 10. Se define la operación # 3 6 9

3 4 2 0 6 10 8 6 9 16 14 12 Hallar 25 # 120 A) -10 B) -30 C) -20 D) -75 E) -80 11. Se define en IR Además a-1: elemento inverso de “a” Halle: A) 2 B) 6 C) 4 D) 8 E) 5 12. De la tabla Halle A) 1/2 B) 1/6 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/5 13. Se define la operación “#” mediante la

siguiente tabla # 1 3 5 7

2 2 -4 -10 -16 4 6 0 -6 -12 6 10 4 -2 - 8 8 14 8 2 - 4 Calcular “x” en: ( x + 2 ) # 20 = 11 A) 30 B) 31 C) 33 D) 35 E) 43

14. Si a # b = a + b + 2 Hallar E = ( 1-1 # 2-1) # 3-1 Donde a-1: elemento inverso de “a” A)-14 B) 24 C) 34 D) 44 E) 52 15. Se define la operación # # 1 2 3 4 1 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 4 1 2 Halle E = [ ( 1-1 # 2)-1 # ( 2-1 # 3)-1 # 4-1]-1

donde a-1: elemento inverso de “a” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5 16. Se define en la tabla la operación #

# 3 1 4 2 1 2 4 3 1 2 3 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 3 2 4

I. La operación es conmutativa

II. El elemento neutro es 3 III. ( 3-1 # 2-1 ) # ( 4 # 1-1 ) = 4-1 Son verdaderos

A) I. II B) I C) I, III D) II E) III 17. Si a # b = Hallar “x” en ( x -1 # 18-1 ) # 6-1 = 16 Donde a-1: elemento inverso de “a” A) 10 B) 8 C) 5 D) 6 E) 12 18. Se define en R Calcular: P= ( 3-1 # 1-1 ) # ( 4-1 # 2-1 ) Donde a-1: elemento inverso de “a” A) -20 B) - 6 C) 14 D) 8 E) 15

a2 # b = a2 + b +2

ab 12

∆ 5 2 7 2 20 8 28 5 50 20 70 7 70 28 98

a ª b = 4ab


-61 -


2137

2164

219110ct +

=+

=+

==

Sucesiones Sucesión: Es todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras) TIPOS DE SUCESIONES Entre los más importantes tenemos: 1. Sucesiones Numéricas 2. Sucesiones Literales 3. Sucesiones Gráficas 1. Sucesión Numérica: N° ordinal 1° 2° 3° 4° . . . n° Términos t1 ; t2 ; t3 ; t4 . . . tn Sucesiones numéricas importantes a) Sucesión Lineal (o de primer orden) Dada la progresión aritmética (P.A.)

Donde: t2 = t1 + r t3 = t1 + 2r

t4 = t1 + 3r

tn = t1 +(n-1) r Fórmula de recurrencia o El término enésimo se calcula así Donde: t1 : Primer término tn : término enésimo o último término n : Número de términos r : razón aritmética to : término anterior al primero ( to = t1 - r) Algunas propiedades - En toda progresión aritmética se cumple

que la suma de términos extremos es constante

Término central t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19

- Si el número de términos de una

progresión aritmética es impar, entonces existirá un único término central (tc) cuyo valor es igual a la semisuma de los extremos t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19

- Con una cantidad impar de términos b) Sucesión geométrica Dada la progresión geométrica (P.G)

Donde: t2 = t1 q t3 = t1 q

2

t4 = t1 q3

tn = t1 qn-1

El término enésimo se calcula así Donde: t1 : Primer término tn : término enésimo o último término n : Número de términos q : razón geométrica

nt; . . . ;4t ;3t ;2t ;1t

+r +r +r ...

1)r(n1tnt −+=

otrnnt +=

20 20 20

20 20 20

Suma constante

pares) de (Suma-impares) de (suma ct =

nt; . . . ;4t ;3t ;2t ;1t

xq xq xq ...

1-nqtnt 1=


-62 -


49x17622x35211x70488ct ====

Algunas propiedades - En toda progresión geométrica se

cumple que el producto términos extremos es constante término central t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 11 ; 22 ; 44 ; 88 ; 176 ; 352 ; 704

- Si la progresión geométrica tiene en

número impar de términos, entonces el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de extremos. t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 11 ; 22 ; 44 ; 88 ; 176 ; 352 ; 704

- Con una cantidad impar de términos c) Sucesión cuadrática (o de segundo orden) Sea la sucesión de 2do orden

t1, t2, t3, t4, ... ,tn Fórmula general:

a,b y c : constantes n Є a los naturales

d) Sucesión polinomial de mayor orden Son de la forma

El término enésimo de la sucesión se da por la siguiente expresión

Sabemos que:

1nnC n;

n1C 1;

n0C ===

Donde

2. Sucesiones Literales: Es el conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio como es:

• Lugar que ocupa la letra en el alfabeto

• Iniciales de palabras conocidas • Formación de palabras

No se consideran las letras: CH; LL, a no ser que se indique lo contrario.

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J

10

K 11

L 12

M 13

N 14

Ñ 15

O 16

P 17

Q 18

R 19

S 20

T 21

U 22

V 23

W 24

X 25

Y 26

Z 27

3. Sucesiones gráficas: Están formadas por figuras ordenadas de acuerdo a criterios lógicos que determinan cada término de la sucesión.

7744 7744 7744

Producto constante

pares de producto

impares de producto ct =

7744 7744 7744

cbn2

annt ++=

. . ;.5t ;4t ;3t ;2t ;1t ;0t

l m n p q ...

r r r r ...

a + b =

2a =

c =

1n3rC

1n2mC

1n1aC

1n0C1tnt

−+

−+

−+

−=

nt; . . ;.5t ;4t ;3t ;2t ;1t

a b c d ...

m n p ...

r r ...

k 1x2x3x...x

factores k""

2).......1)(nn(nnkC

4484476−−

=


-63 -


2 5 10 17 z+1

1 ; 2 ; 3 ; 4 ;…..; 31 7 11 15 19 w+5

Problemas I 1. Andrea forma triángulos agregando

cada vez dos palitos de fósforo como en la figura adjunta.

¿Cuántos triángulos formará con 71 fósforos si se sigue con la secuencia de la figura?

A) 30 B) 34 C) 35 D) 36 E) 43 2. Halle el valor de z + w

A) 1080 B) 961 C) 1183 D) 1083 E) 1193 3. Una persona dice que la suma de los “n”

primeros términos de una sucesión está dada por la siguiente expresión:

Sn = n(2n + 3) ¿Qué término ocupa el lugar 30 en dicha sucesión?

A) 120 B) 121 C) 111 D) 125 E) 124 4. Si la suma de los “n” primeros términos

de una P.A. están definidas por Halle la suma de los términos entre el

lugar 10 y el lugar 20 A) 396 B) 390 C) 423 D) 382 E) 406

5. Dada la siguiente progresión aritmética: 111; ………….,514 Si dicha progresión tiene términos

y su razón es “r”. Hallar b+r A) 11 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 6. En la siguiente sucesión hallar el

número de términos. 2 ; 9 ; 16 ; 23 ; . . . ; 345 A) 50 B) 56 C) 12 D) 15 E) 150 7. Si tn = 4n

2- 2, representa los términos

de lugar impar; y tn = 4n2+ 4n -1,

representa los términos de lugar par, ambos de una nueva sucesión. Halle el valor de E = t20 – t15

A) 192 B) 180 C) 205 D) 210 E) 185 8. Lorena cierto día empezó a leer un libro

de la siguiente manera: el primer día lee 27 páginas, el segundo día lee 24 páginas, el tercer día 21 páginas, y así sucesivamente. Si en el octavo día termina de leer el libro. ¿Cuántas páginas leyó ese día?

A) 4 B) 13 C) 6 D) 5 E) 3 9. En una progresión aritmética el 7mo

término vale 40 y el 15vo término es 56. Halle el vigésimo término.

A) 72 B) 76 C) 66 D) 62 E) 64 10. Dadas las sucesiones, Hallar cuántos

términos comunes tienen ambas sucesiones.

16 ; 18 ; 20 ; 22 ; 24 ; . . . ; 124

3b

Sn = n (3n+1)

2

3 5 7 9 fósforos fósforos fósforos fósforos


-64 -


13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; . . . ; 250 A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 11. Dadas las sucesiones, Hallar cuántos

términos comunes tienen ambas sucesiones.

5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; . . . ; 239 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; . . . ; 572 A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 12. Cuál es el primer término negativo: 695 ; 689 ; 683 ; 677 ; . . . A) -1 B) -5 C) -6 D) -3 E) -4 13. Cuál es el primer término positivo: -641 ; -628 ; -615 ; . . . A) 13 B) 8 C) 9 D) 6 E) 4 14. En la siguiente sucesión, halle el

primer término negativo de 3 cifras. 120 ; 113 ; 106 ; 99 ; . . . A) - 102 B) - 101 C) - 103 D) - 104 E) - 105 15. ¿Cuál es el cuarto término que termina

en 5 en la siguiente sucesión? 1 , 10 , 25 , 46 , . . . A) 145 B) 505 C) 865 D) 735 E) 1 585 16. Dada la siguiente sucesión de 20

términos, calcular cuántos términos terminan en la cifra 5.

5 ; 11 ; 21 ; 35 ; 53 ; . . . A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 17. Se sabe que tres términos

consecutivos de la sucesión: 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; . . . . Suman 371

Calcular el tercer término de los tres mencionados. A) 146 B) 123 C) 102 D) 164 E) 136 18. Halle el número de términos de 3 cifras

existentes en: 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; 40 ; … A) 20 B) 22 C) 25 D) 27 E) 23 19. Cinco hermanos deciden hacer un

regalo a su madre, aportando de menor a mayor, cantidades que aumenta en progresión aritmética, observándose que el hermano intermedio dio el doble del primero, pero 30 soles menos que el hermano mayor. ¿Cuánto aportó el menor de todos?

A) S/. 20 B) S/. 45 C) S/. 30 D) S/. 60 E) S/. 25 20. Si el primer y quinto término de una

P.G. Creciente son 2 y 162, halle el sexto término.

A) 486 B) 324 C) 382 D) 643 E) 202 21. El quinto término de una progresión

geométrica es 48 y el primer término 3, entonces la suma de los tres primeros términos de lugares pares es.

A) 124 B) 128 C) 126 D) 120 E) 136 22. El 6to término de una P.G. Es 48 y el

12vo término es 3 072. Halle el 3er término.

A) 2 B) 4 C) 8 D) 6 E) 12 23. Hallar el segundo término negativo de

la sucesión. 213 ; 207 ; 201 ; 195 ; . . . A) -7 B) -8 C) -9 D) -10 E) -11


-65 -


Problemas II

7 13 19 25 X

1 ; 2 ; 3 ; 4 ;....; 40 12 5 -2 -9 Y

1. Walter y Betty leen una obra. Walter lee

52 páginas cada día y Betty lee 8 páginas el primer día, 16 páginas el segundo día, 24 páginas el tercer día, y así sucesivamente. Si empezaron el 16 de Marzo y terminaron de leer cuando llegan a la misma página. ¿En qué fecha terminaron?

A) 25 de marzo B) 27 de marzo C) 28 de marzo D) 10 de abril E) 11 de junio 2. En un salón de clase el profesor decide

que cada niño que llegue tarde realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada: a las 8:01 se realiza 2 abdominales, a las 8:02 se realiza 5 abdominales, a las 8:03 9 abdominales; a las 8:04, 14 abdominales; y así sucesivamente. Si Raúl llega a las 8:59. ¿Cuántos abdominales deberá realizar?

A) 1 829 B) 1 809 C) 1 869 D) 1 729 E) 1 089 3. Halle el valor de X + Y A) -20 B) 20 C) 40 D) 60 E) 55 4. Hallar el valor de “n” en la siguiente

sucesión: (x+2) ; (x+4)

2 ; (x+8)4 ;… ; (x+90-n)

n+6

A) 22 B) 35 C) 28 D) 16 E) 26 5. Halle el término que ocupa el lugar 20

en 1 ; 6/5 ; 11/7 ; 2 ; 27/11 ; . . . A) 421/32 B) 402/41 C) 372/13 D) 401/42 E) 404/40 6. Sea la progresión aritmética: (a + b) ; (2a - b) ; (2a + 3b) ; . . .

donde la razón es igual a ( a – 2 ).

Calcule la diferencia entre los términos de lugares 31 y 22.

A) 50 B) 36 C) 40 D) 45 E) 60 7. Alba empezó a leer un novela de la

siguiente manera: El primer día 3 páginas, el segundo día 4 páginas, el tercer día 7 páginas, el cuarto día 8 páginas más que el segundo día, y así sucesivamente. Si el décimo tercer día terminó de leer la novela. ¿Cuántas páginas leyó. Dicho día?

A) 147 B) 127 C) 136 D) 149 E) 150 8. Hallar el número de términos: 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; . . . ; 1891 A) 26 B) 30 C) 36 D) 24 E) 25 9. Una persona se dedica a la venta de

revistas. El primer día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer día 14, el cuarto día 21 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 630 revistas. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?

A) 13 B) 20 C) 40 D) 60 E) 25

10. Dada la siguiente sucesión 32 ; 39 ; 46 ; 53 ;60 ; 67 ;. . .; 844 31 ; 40 ; 49 ; 58 ;67. . .; 1 150 Calcular cuántos términos son comunes

a ambas sucesiones: A) 20 B) 20 C) 13 D) 60 E) 55 11. Calcular el tercer término de tres cifras

en la siguiente sucesión. 3 ; 6 ; 11 ; 18 ;. . . A) 159 B) 120 C) 130 D) 146 E) 55


-66 -


12. La suma de los “n” términos de una

sucesión está dada por la siguiente expresión:

Sn = n(2n + 9) Calcular el primer término de 3 cifras en

dicha sucesión: A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104 13. En una progresión aritmética de 42

términos de 42 términos el primer término es 22 y el último 309. Halle la diferencia entre el trigésimo quinto y el vigésimo segundo término de dicha sucesión.

A) 260 B) 169 C) 101 D) 91 E) 71 14. Pedrito observó que cada día que

pasaba se disminuía el número de artículos que vendía. El primer día vende 131; el segundo día vende 127; el tercer día 123, el cuarto día 119 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 3 caramelos. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?

A) 13 B) 20 C) 40 D) 60 E) 33 15. Cuántos de los siguientes términos son

de 4 cifras? -3 ; 0 ; 7 ; 18 ; 33 ; . . . A) 50 B) 42 C) 48 D) 40 E) 46 16. En la siguiente sucesión. ¿Cuántos de

sus términos terminan en cifra 3? 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; . . . ; 242 A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 12 17. Si la suma de 6 términos consecutivos

de la sucesión 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; . . .; es 399. Calcule el valor del tercer término de los 6 términos mencionados:

A) 62 B) 67 C) 64 D) 59 E) 65

18. En la siguiente progresión geométrica,

halle el valor de k. (3k+1);(k-3);(2k+9) A) 7 B) 3 C) 2 D) -7 E) 5 19. De 21 términos de una P.G., se sabe

que el término central es 1/2. Halle el producto de los 21 términos.

A) 2 -21 B) 2 -20 C) 2 -17 D) 2 -18 E) 2 -22 20. ¿Cuántos términos tiene la sucesión -3 ; 1 ; 5 ; 9 ; . . . ; 405 A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105 21. ¿Cuántos términos tiene la sucesión -147 ; -139 ; -131 ; . . . . ; 1 045 A) 155 B) 150 C) 153 D) 154 E) 105 22. En el siguiente esquema: Halle la suma de los números que van a los extremos de la fila 20. A) 824 B) 800 C) 808 D) 890 E) 832 23. En la sucesión siguiente 7 , 19 , 37 , 61 , 91 , . . . Halle la diferencia entre el último

término de 3 cifras y el primer término de 3 cifras.

A) 919 B) 127 C) 792 D) 797 E) 897

Fila 4 17 19 21 23

Fila 2 7 9 Fila 3 11 13 15

Fila 1 5


-67 -


1q0 ∠∠

Series y Sumatorias N° ordinal : 1° 2° 3° 4° . . . n° Sucesión : t1 ; t2 ; t3 ; t4 . . . tn

Serie : t1 + t2 + t3 + t4 +…+tn Una forma abreviada de escribir la serie numérica es utilizando la siguiente notación

∑=

==+++++

nk

akktnt4t3t2t1t ...

a) Serie aritmética Dada la serie aritmética

La suma de serie aritmética es. Donde: S: Suma o valor de la serie t1: Primer término tn: Último término n: número de términos - Si una sucesión aritmética tiene un

número impar de términos, entonces existe un único término central (tc) término central

t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 ;donde n es impar

Observaciones:

- Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A de razón “r” es “S” entonces la suma de los “n” siguientes términos de dicha P.A esta dado por:

-

n: es impar b) Serie geométrica b.1) Serie geométrica finita Dada la serie geométrica de “n” términos

La suma de serie geométrica es. Donde: S: Suma o valor de la serie t1: Primer término n: número de términos q: razón geométrica b.2) Serie geométrica decreciente infinita Dada la serie geométrica decreciente de infinitos términos

La suma de esta serie geométrica es: ; donde

n 2

nt

1t

S ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

+r +r +r ...

nt... 4t 3t 2t 1tS +++++=

nctS .=

2r.nS nS +=

Suma de los n Primeros términos De una P.A

Suma de los n últimos términos de una P.A

+ =2ntc

xq xq xq ...

nt... 4t 3t 2t 1tS +++++=

1-q

1-nq1tS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xq xq ...

∞+++++= ... 4t 3t 2t 1tS

q-1

t

nS 1=

n 2

nt

1t

S ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=


-68 -


∑∑∑===

−=42020

1kkt

1kkt

5kkt

Serie polinomial Dada la sucesión polinomial de “n” términos

La suma se calcula así

Series y Sumas Notables Suma de los “n” primeros números naturales

2

1)n(n

Sumandos n""

n...4321+

=+++++ 44 344 21

Suma de los “n” primeros números pares naturales

1)n(n

Sumandos n""

n...8642 +=+++++ 44 344 21 2

Suma de los “n” primeros números impares naturales

2n

Sumandos n""

1)-n...7531 =+++++ 444 3444 21 2(

Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos

6

1)1)(2nn(n

Sumandos n""

2n...232221++

=++++ 44 344 21

Suma de los “n” primeros números cubos perfectos

2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=+++++2

1)n(n

Sumandos n""

3n...34333231 444 3444 21

Suma de los “n” primeros productos consecutivos

3

2)1)(nn(n

Sumandos n""

1)n(n...4321.2++

=+++++ 444 3444 21 .3.

Sumatorias Sea la serie S= t1 + t2 + t3 + t4 +…+tn Abreviando la serie usaremos el operador matemático ( ∑ )

nt...4t3t2t1tn

1kkt +++++=

=∑

Se lee: sumatoria de los términos de la forma tk desde k=1 hasta k=n PROPIEDADES

1- 444 3444 211)a(n términosde Nro +−=

++++++=

=∑ nt...2at1atatn

akkt

2 - 1)Ca(nak

C +−=

=∑n

3 - ∑∑∑===

−=1-ann

1kkt

1kkt

akkt

4 - ∑∑==

=nn

akkta

akkat

5 - ∑∑∑===

+ +=nnn

akkPb

akkta

akkbPk(at )

n5rCn

4C1vn3C1pn

2C1rn1C1tnS ++++=

n.t . . ;6

t ;5

t ;4

t ;3

t ;2

t ;1

t

r r ...

. . . ;5

r ;4

r ;3

r ;2

r ;1

r

. . . ;3v ;2v ;1v

P1 ; P2 ; P3 ; P4 ; . . .

Constante


-69 -


44 344 21sumandos 20

64372013S ...++++=

444 3444 21términos 130

...3754M 3956 +++++++=

177...17129 E +++++= 24

50x50...3x972x981x99 S ++++=

4444 34444 21sumandos n""

7) x( 5) x( 3) x( 1) (x S ...+++++++=

10a 9a . . . 4a 3a 2a ana +++++=

. . . ac1 ab4 aaa ,,,

43421términos b)(2c

. . . . c b a S−

+++=

Problemas I 1. Hallar “n” en la serie (3n +2) + (3n +4) +(3n +6) +…+(5n) = 81n A) 20 B) 22 C) 25 D) 31 E) 35 2. Hallar “a + b” en la serie n + (n +2) +(n +4) +…+(7n) = an (bn+1) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 3. Hallar la suma de para x= (n-2) A) n (n+1) B) n (n-1) C) 2n (n-1) D) 2n E) 2n (2-n) 4. Calcule el valor de “a x n”, si: A) 32 B) 45 C) 40 D) 64 E) 56 5. Si la siguiente sucesión es aritmética y

creciente: Hallar la suma de S: A) 115 B) 114 C) 113 D) 116 E) 117 6. Halle el valor de S A) 12 990 B) 11 900 C) 13 500

D) 14 000 E) 14 710 7. Calcular el valor de S: A) 73 476 B) 84 575 C) 79 476 D) 88 345 E) 75 575 8. Determinar el valor de E: E = 20x1 + 19x2 + 18x3 + . . . + 1x20 A) 4 525 B) 1 245 C) 3 870 D) 1 580 E) 1 540 9. Hallar el valor de E: A) 932 B) 377 C) 923 D) 876 E) 833 10. Calcular la suma de: A) 7 479 B) 8 479 C) 7 849 D) 8 749 E) 2 665 11. Un móvil “A” sale con 600m de ventaja

sobre otro móvil “B”. “A” anda 1m en el primer segundo; 2m en el segundo, 3m en el tercero y así sucesivamente; “B” anda 1m en el primer segundo; 4m en el segundo; 7m en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuánto tardará “B” en alcanzar a “A”?

A) 16 s B) 24 s C) 18 s D) 25 s E) 30 s 12. Dos poblaciones “A” y “B” tienen en la

actualidad 9 167 360 y 143 240 habitantes respectivamente, suponiendo una disminución anual de “A” en 1/8 de sus habitantes y un aumento anual de “B” en ¾ de sus habitantes. ¿Dentro de cuántos años las dos poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?


-70 -


60x64

1

12x16

1

8x12

1

4x8

1S ++++= ...

. . . 27

25

23

21 E 432 ++++=

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 13. Hallar el valor de S A) 12/91 B) 17/101 C) 15/256 D) 13/94 E) 15/225 14. Beatriz quería comprarse un vestido y

con ese fin se propuso ahorrar el primer día S/. 12, el segundo día S/. 15; el tercer día S/. 18,…; hasta que el último día ahorró S/. 69. Si en total ahorró S/. 783, tal como se había propuesto, con la excepción de un día; ¿Qué día de ahorro se lo gastó?

A) el quinto B) el sexto C) el séptimo D) el octavo E) el cuarto 15. Calcular:

60

1728...

20

64

15

27

10

8

5

1S +++++=

A) 127 B) 128 C) 129 D) 130 E) 131 16. Calcule: A) 6 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4

17. Empleando 364 canicas se ha formado una pirámide completa de base triangular. ¿Cuántas capas tiene y cuántas canicas hay en la base?

A) 12 -78 B) 15 – 75 C) 16 -64 D) 13 -72 E) 20 – 80 18. La suma de 20 números enteros

consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los siguientes 20 consecutivos?

A) S+210 B) S+200 C) S+190 D) S+400 E) S+420

19. Las 10 piedras que se muestra en la figura deben ser amontonadas en el sitio donde se encuentra la persona y que deben ser llevadas una a una, cual debe ser el recorrido total de la personal para transportar todas las piedras.

A) 900 B) 940 C) 950 D) 960 E) 970 20. Las barras de metal que se muestra en

la figura deben ser llevadas al almacén y dejarlas en la puerta, cuál debe ser el recorrido total del niño para transportar todas las barras. Sabiendo que el niño puede transportar una sola barra a la vez.

A) 7 000 m B) 7 500 m C) 7 600 m D) 7 700 m E) 8 000 m 21. He repartido un total de 1 900

caramelos entre los 25 sobrinos, dándole a cada uno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuántos caramelos les di a los 10 últimos?

A) 985 B) 535 C) 895 D) 355 E) 1 085 22. Una persona debe regar con un balde

de agua cada uno de los 20 árboles que se muestran en la figura, si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua, y empieza estando junto al pozo.¿Cuánto debe recorrer en total, para regar todos los árboles?

A) 3 440 B) 3940 C) 3950 D) 3960 E) 4970

8m 12m 8m 8m

•

10 barras 10m 10m 10m

8m 10m 8m 8m pozo


-71 -


444 3444 21términos 21

...362516941S +−+−+−=

44 344 21términos 15

...1206046M ++++= 2

Problemas II 1. Se han colocado 220 esferas iguales,

formando una pirámide regular de base triangular. ¿Cuántas esferas hay en la base?

A) 18 B) 12 C) 15 D) 55 E) 25 2. Calcule: A) 280 B) - 210 C) 231 D) 200 E) - 200 3. Un estudiante se propone, el primer día

resolver dos problemas de RM, el segundo día el doble del día anterior, el tercer día el doble del día anterior, y así sucesivamente, durante 2 semanas. ¿Cuántos problemas resolvió en total?

A) 32 770 B) 32 769 C) 32 767 D) 32 768 E) 32 766 4. Halle el valor de: A) 23 256 B) 18 360 C) 14 280 D) 15 360 E) 20 520 5. La suma de 10 números enteros

consecutivos es 155. ¿Cuál es la suma de los siguientes 10 consecutivos?

A) 255 B) 310 C) 280 D) 265 E) 275 6. En formar una pirámide triangular

regular se usaron 56 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base?

A) 20 B) 21 C) 18 D) 16 E) 24 7. Abel desea leer un libro en un número

determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su

cometido; pero si lee una página el

primer día, tres el segundo, cinco el tercero, y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

A) 156 B) 165 C) 135 D) 142 E) 170 8. Calcule

444 3444 21términos 20

...7x9

3

5x7

3

3x5

3

1x3

3S ++++=

A) 40/41 B) 60/41 C) 40/39 D) 80/39 E) 20/39 9. Un transportista lleva el día de hoy 21

sacos de papas y decide llevar en cada día que transcurra un saco más que en el día anterior. ¿Cuántos sacos llevó en total, si el penúltimo día, llevó 39 sacos?

A) 600 B) 605 C) 610 D) 615 E) 620 10. Se ha apilado un grupo de canicas de

tal forma que se ha formado una pirámide tetraédrica de base triangular. Si solamente en la base se han colocado 55 canicas. ¿Cuántas canicas en total conforman la pirámide?

A) 220 B) 240 C) 280 D) 300 E) 250 11. Se sabe que una pelota al rebotar en el

piso pierde 1/5 de la altura desde la cual fue soltada. Si dejamos caer una pelota desde 1m de altura. ¿Qué longitud recorrerá hasta detenerse?

A) 6m B) 7m C) 8m D) 9m E) 10m 12. Raúl quiere formar una pirámide de

base cuadrada con las naranjas que posee. Si desea que la pirámide tenga 20 capas. ¿Cuántas naranjas tendrá que utilizar en las 10 últimas capas?


-72 -


A) 2 870 B) 385 C) 2 845 D) 2 485 E) 2 545 13. La masa de un péndulo recorre 36 cm.

durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Determine en cm. la distancia total recorrida por la masa hasta que se detiene por efecto de la resistencia del aire.

A) 96 B) 98 C) 102 D) 108 E) 112 14. Una escalera de ladrillos tiene 25

escalones. El escalón inferior requiere 80 ladrillos y cada escalón sucesivo requiere 3 ladrillos menos que el precedente. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir la escalera?

A) 1 126 B) 1 118 C) 1 100 D) 1 108 E) 1 092 15. Se tiene un tronco de pirámide de base

triangular que ha sido formado con esferitas. Si en la base inferior y superior se cuentan 231 y 45 esferitas respectivamente. ¿Cuántas esferitas se cuentan entre las dos bases?

A) 1 651 B) 1 771 C) 1 561 D) 3 302 E) 1 641 16. Un comerciante compra el día de hoy

21 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre dos cajas más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día se compraron 89 cajas?

A) 2 026 B) 2 610 C) 2 116 D) 2 016 E) 2 516 17. Para completar su biblioteca, Alejandro

compró por un valor de S/. 3 850, varios libros cuyos precios son: el primer libro S/.10, el segundo S/.40, el tercero S/. 90, el cuarto S/. 160, y así sucesivamente. ¿Cuántos libros compró en total?

A) 11 B) 9 C) 12 D) 20 E) 10 18. La suma de “n” números pares

consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los “n” siguientes números pares consecutivos?

A) S + n2 B) S + 2n2 C) S +3n2 D) 2S + n2 E) 2S + 2n2

19. La masa de un péndulo recorre 16 cm.

durante la primera oscilación y en cada una de las oscilaciones siguientes recorre 3/4 del espacio recorrido en la oscilación anterior. Calcular el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse.

A) 32 cm B) 128 cm C) 64 cm D) 48 cm E) 256 cm 20. Halle la suma de términos de la fila 20 A) 710 B) 810 C) 690 D) 780 E) 610 21. Uniendo los puntos medios de los

lados de un cuadrado, se obtiene un cuadrado más pequeño. Si se continúa indefinidamente este procedimiento tal como indica la figura, hallar el área de la región sombreada obtenida mediante este proceso.

A) 12 m2

B) 20 m2

C) 24 m2

D) 49 m2

E) 40 m2

Fila 4 1 5 9 13

Fila 2 1 5 Fila 3 1 5 9

Fila 1 1

m 6

m 6


-73 -


2

1)n(n +=

# total de triángulos

2

1)n(n +

1 2 3 4 . . . n

# total de cuadriláteros 2

1)n(n +=

# total de cuadriláteros 2

1)m(mx

2

1)n(n ++=

# total de cuadrados = mxn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2) + …

Recordar: Suma de los “n” primeros números naturales

Conteo de Figuras

Métodos de conteo

I. Método Combinatorio Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, para luego proceder al conteo creciente y ordenado, de figuras de 1 dígito; figuras de 2 dígitos; figuras de 3 dígitos y así sucesivamente. II. Conteo por Inducción a) Conteo de Segmentos # de segmentos b) Conteo de Triángulos

Nota: La fórmula

También sirve para contar ángulos, sectores circulares, trapecios, pentágonos…

c) Conteo de cuadriláteros

•

• d) Conteo de Cuadrados Hasta que por lo menos uno de los factores sea 1.

2

1)n(n n ...431

+=+++++= 2# total de

segmentos

1 2 3 . . . n

1 2

1 2 3 4

1 2 3

3 = 1 + 2

6 = 1+ 2 + 3

10= 1+ 2+ 3+ 4

1 2 3 . . . n

1 1

2 2

3 3

n m

2

m)nm(n

+=

# total de triángulos

1 2 3 . . . n 2

3

m

1 2 3 . . . n-1 n 2

3

m

2

1)n(n

Sumandos n""n...4321

+=+++++ 44 344 21


-74 -


# total de paralelepípedos 2

1)p(p

2

1)n(n

2

1)m(mxx

+++=

# total de Cubos = mnp+(m-1)(n-1)(p-1)+…..

# semicírculos = 2(# diámetros)

e) Conteo de Paralelepípedos f) conteo de cubos Hasta que por lo menos uno de los factores sea 1. g) conteo de semicírculos Cada diámetro determina 2 semicírculos

Ejemplo: Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo. A) 1 585 B) 1 395 C) 1 590 D) 1 495 E) 1 251

Resolución Casos particulares N0 de palitos Para

1 2 3 … n

2

3

m 1 2

p 3

1 2 3 … n

2

3

m 1 2

p 3

1

1

2

3

3

2

4 4

n

n

1 2 30 31

1 2 3 4

1 2 3

1 2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==2

2 x 1 33(1)3

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==2

3 x 2 33(3)9

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==2

4 x 3 33(6)18

1 2 3 4 ... 30 31 395 12

31 x 30 3 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

La lucha es ardua y dificultosa, pero cuando nuestros objetivos son claros y nobles, al final

del camino siempre nos espera el triunfo


-75 -


Problemas I

1.¿Cuántos triángulos existe en el

siguiente gráfico? A) 64 B) 40 C) 60 D) 80 E) 75 2. ¿Cuántos triángulos existe en: A) 145 B) 112 C) 161 D) 145 E) 165 3. Cuántos triángulos se pueden contar en

total en la siguiente figura? A) 64 B) 40 C) 60 D) 80 E) 95 4. ¿Cuántos cuadriláteros (cóncavos y

convexos) se pueden contar en la siguiente figura?

A) 250

B) 300

C) 285

D) 435

E) 450

5.¿Cuántos triángulos se encuentran como máximo?

A) 190

B) 195

C) 180

D) 200

E) 175

6. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la

siguiente figura? A) 18

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

7. ¿Cuántos triángulos existirán en cuyo interior se encuentre por lo menos un asterisco?

A) 30

B) 32

C) 33

D) 34

E) 35

8. ¿Cuántos triángulos de base cuadrada

se pueden contar en total? A) 100

B) 111

C) 112

D) 113

E) 114

9. ¿Cuántos triángulos simples habrá en

f(40) f(1) f(2) f(3) A)1400 B)1500 C)1600 D)1650 E)1800

1 3 10 112 . . .

*

**

*

. . . . . .


-76 -


10. En la figura, Halle el total de triángulos A) 71

B) 76

C) 61

D) 62

E) 63

11. ¿Cuántos triángulos se pueden contar,

en total, en la siguiente figura? A) 116

B) 158

C) 124

D) 130

E) 128

12.¿Cuántos círculos hay en la figura 23? A) 253 B) 300 C) 276 D) 552 E) 325 13. Hallar el número de cuadriláteros A) 73 B) 80 C) 83 D) 90 E) 93 14. Cuantos triángulos hay en: A) 185 B) 135 C) 188 D) 120 E) 150

15. ¿Cuántos Cuadriláteros se encuentran

en total en la siguiente figura? A) 49 B) 59 C) 69 D) 79 E) 89 16. Hallar el número total de triángulos en

la siguiente figura A) 2109

B) 2160

C) 2150

D) 2140

E) 2110

17. Hallar el número total de triángulos en

la siguiente figura A) 58

B) 80

C) 60

D) 40

E) 78

18. ¿Cuántos triángulos existe en el

siguiente gráfico? A) 240 B) 250 C) 360 D) 380 E) 354 19.- Cuántos cuadriláteros no cuadrados

(rectángulos) hay en la fig. a) 100 b) 160 c) 110 d) 105 e) 150

1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig.....

1 18

3 16 2 17

...1 2 3 4 5 19 20

...

...1 2 3 4 18 19 20

......

12

3

17

4

1918

20

29 1 2 30 ……….……

………


-77 -


Problemas II 1. ¿Cuantos triángulos hay en total? A) 183 B) 174 C) 175 D) 107 E) 130 2. ¿Cuántos paralelepípedos hay en

total En la figura? A) 2 500 B) 2 258 C) 2 255 D) 2 256 E) 2 257 3. Cuántos triángulos hay en total en la

figura? A) 42 B) 43 C) 44 D) 40 E) 46 4. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) 28

5. ¿Cuántos rombos hay en total en la

siguiente figura? A) 30 B) 36 C) 38 D) 34 E) 32 6. Si se dispone de 425 palitos y se desea

construir el siguiente castillo. ¿Sobran o faltan palitos? ¿Cuántos?

A) Sobran 10 B) Sobran 15 C) Faltan 5

D) Faltan 10 E) Sobran 5

7. Halle el total de palitos de la siguiente

figura. A) 780 B) 797 C) 879 D) 719 E) 779

1 2 19 20

1 2 3 4 17 18 19 20


-78 -


8. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos sombreados hay?

A) 600 B) 650 C) 700 D) 620 E) 625 9. ¿Cuántos palitos se requiere para

formar la figura 30?

A) 240 B) 242 C) 244 D) 246 E) 250 10. ¿Cuantos palitos se necesitan para

construir la siguiente figura? A) 3272 B) 2374 C) 7243 D) 3374 E) 3724 11. calcular el total de cuadriláteros en la

siguiente figura.

A) 30 B) 43 C) 44 D) 40 E) 46 12. ¿Cuántos triángulos hay en total en

la siguiente figura? A) 86 B) 96 C) 89 D) 95 E) 97 13. ¿Cuántos puntos de intersección hay

en total? Si en la figura se cuentan 5 151

segmentos. A) 196 B) 198 C) 200 D) 192 E) 194 14. ¿Cuántos segmentos como máximo

hay en la siguiente figura? A) 502 B) 462 C) 492 D) 522 E) 150 15. Cuántos cuadrados se cuentan en

total en la siguiente figura. A) 31

B) 42 C) 30 D) 32 E) 36

1 2 3 48 49 50

. . . ;

f(1) f(2) f(3)

1 2 3 10

1 2 3 4 . . . 48 49 50


-79 -


L

L

D

ÁREAS AREAS DE REGIONES TRIANGULARES 1. Triángulo cualquiera

2. Fórmula trigonométrica

3. triángulo equilátero

AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 1. Cuadrado

2. Rectángulo

3. Rombo

4. Trapecio

AREAS DE REGIONES CIRCULARES 1. Círculo

2

b.h Área =

h

b

h

b

α

a

b

A senα 2

a.b Área =

4 2L Área 3=

L

60o

60o

60o

L

L A

B

C

S

b

h

h

b

B

S

D

d

R L

60o 60o

L

L A

B

C

h 3

3 2h Area =

2L Área =

2

2D Área =

b.h S =

2

D.d Área =

m.h S =

h 2

b B S .⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

2R Área Π=

h

b

h m


-80 -


2. Sector circular Circunferencias tangentes PROPIEDADES - Relación de Áreas:

Consecuencias

En todo cuadrilátero En todo paralelogramo En todo trapecio

nm

A

A

2

1 =

CM : Mediana

CN : Ceviana

A B M

A1 = A2

C

m m

A1 A2

A B N m n

C

A1 A2

R

R α

360α2R Área Π=

2S S 2S4S

3S

12TA

S =

A B

A + B

Punto cualquiera

A A B

C

A1 A2

A

A1 = A2

B.C 2A =

2TA

A =

B A C

D

B.D A.C =

Baricentro

Área ∆ ABC = 6S

CG = 2GP AG = 2GN BG = 2GM

S S

S SS

G

A B

C

M N

P S

d

r R

R.r2 d =


-81 -


Problemas I

A D

C B

1. Calcular el área de la región sombreada,

si el área del triángulo ABC es 104 u2

A) 24 B) 20 C) 19 D) 26 E) 25 2. Calcular el área de la región sombreada,

si el área del cuadrado ABCD es 36 u2

A) 16 B) 12 C) 15 D) 18 E) 27

3. En la figura, Calcular el área sombreada A) 3(4-π)m2.

B) 16(4-π)m2.

C) 8(4-π)m2.

D) 12(4-π)m2.

E) 4(4-π)m2. 4. Calcular el área de la región sombreada

si “0” es el centro del cuadrado. A) 20 u2

B) 80 u2

C) 30 u2

D) 40 u2

E) 50 u2

5. En el gráfico, ABCD es un rectángulo.

Calcule el área de la región sombreada

A) 3 m2

B) 5 m2

C) 4 m2

D) 2 m2

E) 1.5 m2

6. Halle el área de la región sombreada, si

el triángulo ABC tiene área de 90 u2 A) 3 u2

B) 5 u2

C) 4 u2

D) 2 u2

E) 1.5 u2

7. Sea ABCD un trapecio. Calcule el valor

de la región sombreada A) 11 m2

B) 9 m2

C) 10 m2

D) 1 m2

E) 25/3 m2

8. Hallar el área sombreada siendo la

altura igual a 10. A) 15 n2

B) 5 n2

C) 10 n2

D) 14 n2

E) 12 n2

C A

B

N

M

•

•

A

B

C

M 4a

a

M A

B C

D

4m25m2

10m2

A

B C M

D N

4m

10m

A

B

D

C

4

4

A

B

D

C

8

8

O

1 3 5 2n-1

10

…A

B

C


-82 -


2m 3 A) 4

2m D) 6

2m 2 B) 4

2m 3 C) 2

2m 3 E) 6

a 2a

2b

b

9. En el triángulo equilátero ABC de 6 m. de lado, calcule el área de la región sombreada si AD = (1/3) AC

10. Hallar el área de la región sombreada,

si ABCD es un paralelogramo de 48 m2

A) 10 m2

B) 12 m2

C) 14 m2

D) 11 m2

E) 9 m2

11. Calcular el área sombreada formada

por dos triángulos equiláteros inscritos en una circunferencia de 1 m de radio.

A) √2 m2

B) 2√2 m2

C) √3 m2

D) 2√3 m2

E) √6 m2

12. ABCD es un paralelogramo. El área de

la región sombreada es 12 u2. Halle el área del triángulo MDC, si BN = 3(NM)

A) 32 u2

B) 30 u2

C) 28 u2

D) 40 u2

E) 36 u2

13. La figura ABCD, es un cuadrado de 200 u2 de área. Hallar el área de la región sombreada.

A) 20 u2

B) 30 u2

C) 35 u2

D) 40 u2

E) 25 u2

14. En la figura, S1 es el área de la región

triangular PQR y S2 el área de la región

triangular RCV, hallar

A) 1/2

B) 1/3

C) 1/6

D) 2/3

E) 3/4

15. ¿Qué parte es la región sombreada de

la región no sombreada? A) 1/3

B) 3/5

C) 2/3

D) 2/5

E) 1/2

16. Hallar el área de la región sombreada,

si ABCD es u rectángulo de 60 m2

A) 10 m2

B) 12 m2

C) 13 m2

D) 15 m2

E) 16 m2

A

B

D C

A

B C

D

A

B C

D M

N

A

B

D

C

V b 2b

a 5a

z

3Z

B

R

C

Q P S1

S2

S1

S2

A

B

D

C


-83 -


Problemas II 1. Hallar el perímetro de la región

sombreada, si los cuadrados tienen áreas de 25u2 ,16u2 y 36u2 respectivamente.

A) 50 u

B) 60 u

C) 100 u

D) 30 u

E) 80 u

2. Hallar el área de la región sombreada A) л r2/5

B) л r2/2

C) л r2/3

D) л r2/4

E) л r2/8

3. En la figura; encontrar la relación entre

el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada

A) 1/5

B) 4/3

C) 3/5

D) 5/4

E) 3/2

4. Hallar el área de la región sombreada

A) 2π B) 5π

C) 8π

D) 9π

E) π

5. El área del cuadrado ABCD es igual a

20u 2. Hallar el área del triángulo sombreado

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2 D) 4u2 E) 5u2 6. Determine el área de la región

sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 6 cm.

A) 12 cm2

B) 18 cm2

C) 27 cm2

D) 16 cm2

E) 9 cm2


A) π

B) 2π

C) 3π

D) 4 π

E) 5π


en la figura A) π

B) 2π

C) 4π

D) 8π

E) 16π

o

r

5a

a

4 4

A

B

D

C

8

8

8

8

D C

B A

D C

B A


-84 -


9. Halle el área de la región sombreada, si el triángulo ABC tiene área de 90 u2

A) 3 u2

B) 5 u2

C) 4 u2

D) 2 u2

E) 1.5 u2

10. En el gráfico, ABCD es un

paralelogramo. Calcule el área de la región sombreada

A) 8 m2

B) 10 m2

C) 12 m2

D) 16 m2

E) 6 m2

11. Calcular el área de la región

sombreada, si el área de la región triangular ABC es 150 u2

A) 9 u2

B) 8 u2

C) 5 u2

D) 10 u2

E) 16 u2

12. Si el área de la región triangular ABC

es 420 u2, calcular el área de la región sombreada

A) 10u2

B) 15u2

C) 20u2

D) 25u2

E) 30u2

13. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 192 u2

A) 9 u2

B) 8 u2

C) 5 u2

D) 10 u2

E) 16 u2

14. Hallar S3 ; Si S1 + S2 = 80 m2

A) 70 m2. B) 75 m2. C) 80 m2. D) 90 m2. E) 85 m2. 15. Hallar el área de la corona circular

sombreada. Formado por los círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado cuya área es 16 m2.

A) 16π B) 8π C) 3π D) 4π E) 5π 16. Si el área del paralelogramo ABCD es

60 m2, calcule el área de la región sombreada.

A) 10 m2

B) 20 m2

C) 30 m2

D) 35 m2

E) 25 m2

A

B

C

M 4a

a

A

B

C

2a

a

A

B

C

A

B C

D

A

B C

D

S

1m2

4m2

9m2

b 2b

2a

a

A

B

C

A

B C

D

E

S1 S2

S3


-85 -


b 3b

2a

a

A

B

C

A

B C

D

S2

S3 S4

S1

Problemas III 1. Hallar el área de la región sombreada A) 8 π u2.

B) 4 π u2.

C) 12 π u2.

D) 10 π u2.

E) 9 π u2 2. Hallar el área de la región sombreada A) 12π

B) 22π

C) 16π

D) 14π

E) 18π

3. Si el área de la región triangular ABC es 480 u2, Hallar el área de la región sombreada

A) 224u2 B) 216 u2 C) 215u2

D) 232u2 E) 325u2

4. En la figura ABCD es un romboide. Si

S1 = 5 u2 , S2 = 8 u2, S3 = 11 u2 , Halle S4 A) 8 u2 B) 3 u2 C) 2 u2

D) 5 u2 E) 6 u2

5. Calcular el área de la región sombreada.

o1 , o2 son centros.

A) Пm2 B) 4Пm2 C) 9П m2 D) 16П m2 E) 20П m2 6. El cuadrado ABCD de la figura tiene 6

unidades de lado y el triangulo AED es equilátero. Determine el área de la región sombreada. (Considere: П = 3 )

A) 4 u2

B) 5 u2

C) 6 u2

D) 9 u2

E) 10 u2

7. Si ABC es un triángulo equilátero, el radio mayor mide 12 cm. Hallar el área e la región sombreada.

A) 16П cm2

B) 48П cm2

C) 27П cm2

D) 75П cm2

E) 17П cm2

8. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 240 u2

A) 3 u2

B) 7 u2

C) 5 u2

D) 6 u2

E) 4 u2

12

12 A

B

D

C

18 m.

18 m.

E

A

B

D

C

A

B

C

A

B

C

8m 8m

o1 o2


-86 -


P

Q R

S

C

A D

B

9. Si ABCD es un cuadrado de lado 3 cm., calcular el área de la región sombreada.

A) 3 cm2 B) 6 cm2 C) 4 cm2 D) 9 cm2 E)12 cm2

10. Si PQRS es un paralelogramo donde. A - C = 32 m2. Calcular B - D

A) 20 m2 B) 15 m2 C) 30 m2

D) 32 m2 E) 34 m2


sombreada. Si ABCD un cuadrado de lado 24 m.

A) 72 m2

B) 36 m2

C) 24 m2

D) 12 m2

E) 48 m2


sombreada, si el área del triángulo BCD es 50 u2

A) 123 u2 B) 125 u2 C) 175 u2

D) 225 u2 E) 625 u2

13. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado cm., calcular el área de la región sombreada.

A) 3 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 5 cm2 E) 1 cm2

14. En la figura, ABCD es un cuadrado de

lado cm. Calcule el área de la región sombreada.

A) 3 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 6 cm2 E) 8 cm2

15. En la figura, se tiene 3 cuadrados iguales de lado 6 cm., siendo 0, 0’ centros de los cuadrados. Hallar el área sombreada.

A) 15 cm2. B) 16 cm2. C) 14 cm2. D) 17 cm2. E) 18 cm2. 16. Hallar el área de la región sombreada.

A) 15/4 m2 B) 35/4 m2 C) 7/4 m2

D) 17/4 m2 E) 19/4 m2

A D

C B

A

B

D

C

• •

3

A D

C B

4 3

A D

C B

0

0’

5

A

B

G E C

D

F

B

4

k

3

2K 3K 4K A

B C

D

9m

4m


-87 -


cm 42 60

)28x2(3)(15 ==l

Perímetros (2p) I. Longitud de la circunferencia II. Longitud de las líneas curvas

III. Longitud de un arco

Ejemplos

1. El minutero de un reloj tiene 15 cm. de longitud.¿Cuántos centímetros recorrerá su punta en 28 minutos? (П= 3)

A) 45 cm.

B) 50 cm.

C) 38 cm.

D) 40 cm.

E) 42 cm.

RESOLUCION

2. Hallar el perímetro de la región sombreada

A) 8( π + 2) B) 8( π + 1) C) 4( π + 1)

D) 8 π E) 6 π

RESOLUCION

d

l R

R

α

R 2P = 2ПR

Π 2

d Curva L ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

360

α R Π 2 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= l

4 cm.

4 cm.

1

2

2

2

2

1

1

1

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.15 cm

15 cm l

Tiempo recorrido (perímetros)

60 min. 2П (15)

28 min. l

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.2P = 2(2П(1)) + 2π(2) + 8 = = 8π + 8 = 8( π + 1)

∴


-88 -


Π336 A) + Π228 B) + Π226 C) +

Π248 D) + Π236 E) +

Problemas I

1. Hallar el perímetro de la región

sombreada A) 2a+3b

B) a + b

C) 2(a+b)

D) 3(a+b)

E) 3a-2b

2. Calcular el perímetro de la región

sombreada

A) 6π B) 7.5π C) 15π D) 18π E) 20π 3. Hallar el perímetro de la región

sombreada A) 3π/2

B) 6π

C) 8π

D) 9π

E) 4π/3

4. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide

4 cm. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

A) 3π

B) 6π

C) 8π

D) 9π

E) 4π


sombreada, si las semicircunferencias son iguales.

A) 6πR

B) 5πR

C) 3πR

D) 2πR

E) 4πR

6. Las líneas curvas son semicircunferencias. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

A) 3π B) 6π C) 8π D) 9π E) 4π 7. Hallar el perímetro de la región

sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide “a”

A) πa

B) π a/3

C) 4πa/3

D) 2πa/3

E) 2πa/5


sombreada.

4 cm.

4 cm.

A

B

D

C

R

24

α α

2m 2m 2m

A

B C

D

b

a

3 3

3

A

B

D

C


-89 -


7

22Π =

9. Calcular el perímetro del círculo, siendo ABCD un cuadrado de 2 cm. de lado

A) π

B) 1,5 π

C) 2 π

D) 2,5 π

E) 0,5 π


sombreada si el radio de la circunferencia es R

A) (8+4π)R

B) (8+6π)R

C) (8+5π)R

D) (8+2π)R

E) (6+4π)R

11. Si el área de la región sombreada

mide 50 cm2. Halle el perímetro de la región sombreada. Si ABCD es un cuadrado.

A) 25πcm

B) 15πcm

C) 50πcm

D) 20(π+1)cm

E) 20(π-1)cm


A) 24 π B) 32 π C) 36 π D) 48 π E) 52 π


A) 6π

B) 8π

C) 10π

D) 12π

E) 16π

14 Hallar el perímetro de la región

sombreada A) π .

B) 2 π.

C) 4 π .

D) 6 π .

E) 5 π 15 Halle el perímetro de la región

sombreada, si el lado de cuadrado ABCD mide 2 m.

16. La superficie de un hipódromo está

limitada por dos rectas paralelas y dos semicircunferencias tangentes a aquellas. Si el perímetro es 2 112m Calcular el diámetro de las circunferencias. Considere

A) 44m B) 49m C) 100m D) 99m E) 98m

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

R R

A B 36m

6

6

A

B

D

C

A

B

D

C

6 m

6m A

B

D

C

A

B

D

C

A) 4+(13+8 2)π

B) 4+(13-8 2)π C) 4-(13-14 2)π D) 4+(11+4 2)π E) 4+(12+8 2)π

1 000 m


-90 -


cm 2(Π A) )+ cm 24(Π B) )+ cm 2(Π C) )2+

cm 24(Π D) )2+ cm 24(2Π E) )+

Problemas II

8)2(42 A) +−Π 8)2(4 B) +−Π

422 C) +Π

24 D) ∏+ 5

8)2(2 D) +−Π


sombreada, si el área del cuadrado ABCD mide 25 m2

A) 10 m.

B) 12,5 m

C) 20 m.

D) 25 m.

E) 12,25 m.

2. Calcule el valor del perímetro de la

región sombreada, si las curvas son semicircunferencias.

A) (10+ 14 π) B) (14+20π) C) (10π+8) D) 12 π E) (14+5π) 3. Hallar el perímetro de la región

sombreada.

4. Si ABCD es un cuadrado de lado igual a

2cm. Halle el perímetro de la región sombreada.

5. Hallar EL perímetro de la región

sombreada, si AB = 10cm y M, P, N son centros

A) 13 π

B) 14 π

C) 16 π

D) 25 π

E) 15 π


sombreada si: r1 + r2 + r3 = 15 cm A) 15 π B) 30π C) 25π D) 10 π E) 18π 7. Si el área de la región sombreada

mide 32 cm2. Halle el perímetro de la

A

B

D

C

8 cm 6 cm

4 α

α

A B P M N

r3r2 r1

A

B

D

C


-91 -


A D

región sombreada. Si ABCD es un cuadrado.

A) 25πcm

B) 15πcm

C) 50πcm

D) 16(π+1)cm

E) 16(π-1)cm

8. Hallar el perímetro de la región sombreada, si las semicircunferencias son iguales.

A) 35π

B) 25π

C) 15π

D) 20π

E) 30π

9. En al figura mostrada. Halle el

perímetro de la región sombreada, si: R1 + R2 + R3 + R4 + R5 = 16 A) 24π B) 32π C) 35π D) 42π E) 3π 10. Calcular el perímetro de la región

sombreada. A) 60

B) 80

C) 50

D) 40

E) 88

11. Calcular el perímetro de la región sombreada siendo los radios de los círculos: 4; 2; 1; 1/2; . . .

A) 16 π B) 32 π C) 60 π D) 8 π E) 10 π 12. Hallar el perímetro de la región

sombreada A) 8 π B) 6 π C) 4 π D) 12 π E) 9 π


A) 1π

B) 2π

C) 3π

D) 4 π

E) 5π


sombreada. A) 12 π

B) 32 π

C) 30 π

D) 24 π

E) 34 π

5

1R2R 3R

4R

5R

8m

10m

12m

8

8

A

B

D

C

8 m.

8 m.

1 m


-92 -


( ) definido esta No ! 52

Análisis Combinatorio A) FACTORIAL DE UN NÚMERO n! Nota: - (-2)! No esta definido - por convención: 0 ! = 1! = 1 En efecto n! = n(n-1)! Para n =1; 1! = 1(1-1)! 0 ! = 1 - A! + B! ≠ (A+B)! ; si A ≠ 1 y B ≠ 1

- (A!) (B!) ≠ (AB)! ; si A ≠ 1 y B ≠ 2

; si A ≠ 1 y B ≠ 1 B) COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL n!! Nota: 2!! ≠ (2!)! ; 2!!! No existe C) PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Existen dos principios - Principio de multiplicación (y) - Principio de adición (o) El principio de Multiplicación (y) (Conocido también como “el principio fundamental del análisis combinatorio). Si un objeto “A” ocurre de “m” maneras diferentes seguido de otro evento ”B” que ocurre de “n” maneras diferentes, entonces:

Nota: Estos eventos ocurren una a continuación de la otra, originando sucesos o eventos compuestos Ejemplo: De cuantas maneras se podrá viajar de “A” a “C” en la figura adjunta El principio de Adición (o) Si un evento o suceso “A” ocurre de “m” maneras diferentes o el evento ”B” que ocurre de “n” maneras diferentes, entonces: Nota: Estos eventos ocurren bien una o bien otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en forma simultanea) Ejemplo: Una persona desea viajar de la ciudad “A” a la ciudad “B” y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 3 terrestres. ¿De cuántas maneras distintas podrá viajar? Aéreo o terrestre 4 + 3 = 7 maneras

n! = n (n-1)(n-2)….3x2x1 ; n

Si n! = 1 n = 1 v n = 0

n!! = 2x4x6x . . xn; si “n” es par

n!! = 1x3x5x . . xn; si “n” es impar

El evento “A” y “B” ocurre de mxn maneras diferentes

B A C

3 x 5 = 15 maneras

El evento “A” o “B” ocurre de m+n maneras distintas

0 o

+

n0 o

+

B A


-93 -


1−=++++n

2 nn

n3

n2

n1 CCCC - .....

1 n0C - = n

n1C - =

1 nnC - =

nk-n

nk CC - =

1-n1k-

nk CC -

kn =

D) TECNICAS DE CONTEO PERMUTACIONES. Son los diferentes ordenamientos que se pueden formas con una parte o con todos los elementos de un conjunto. - Si importa el orden de sus elementos (es decir importa el lugar que un elemento ocupa) AB ≠ BA 32 ≠ 23 Forma practica de calcular a) Permutación lineal Se ordena en línea recta De todos sus elementos Si k=n Permutación de “n” elementos De algunos elementos (Variación) k<n Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”.

b) Permutación circular En estos ordenamientos no hay primer ni último elemento. La idea es tomar un único elemento de referencia y permutar los restantes, es decir de “n” elementos solamente se mueven “n-1” elementos. c) Permutación con repeticiones K1 + K2 + K3 + . . . + Kp ≤ n COMBINACIONES. Son las diferentes agrupaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. - no importa el orden de sus elementos AB = BA 32 = 23 Forma práctica de calcular Combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”. Propiedades

-P. lineales PERMUTACIONES -P. circulares -P. con repeticiones COMBINACIONES

n k 0 ;k)!(n

n! Pn k ≤

−= ∠

n k 0 ;k)!(nk!

n! C n

k ≤≤−

=

n! n)!(n

n! Pn n =

−= n! P

n =

n k 0 ;k)!(n

n! Pn k ∠∠

−=

48476 factores k

.. . . . . 2)1)(n-n(n- P n k =

!1( )- nn P c =

k!

. . . . . 1)n(n-

factores k

n k C

876

=

K . . . KKK

n! p31

p321

Pn ...KKKK

!!!! 2=


-94 -


Problemas I 1. Una alumna tiene para vestirse: 3

blusas; 4 pantalones; 5 faldas y 6 pares de zapatos. ¿De cuántas formas se podrá vestir?

A) 160 B) 150 C) 162 D) 152 E) 158 2. Seis personas se ubican alrededor de

una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellos deben de estar siempre juntos?

A) 16 B) 36 C) 13 D) 21 E) 45 3. En la figura, cada línea representa un

camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad “1” a la ciudad “15”?

A) 320 x 15! B) 314 x 15! C) 15! D) 14! E) 314 x 14! 4. De ocho candidatos se desea elegir a

un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar?

A) 252 B) 280 C) 336 D) 348 E) 440 5. Con 4 futbolistas y 8 nadadores.

¿Cuántos grupos pueden formarse de 6 integrantes cada uno, de tal manera que en cada grupo entre por lo menos un futbolista?

A) 869 B) 696 C) 698 D) 896 E) 968 6. Cada lado de un cuadrado se ha

dividido en 4 partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir cuyos vértices sean los puntos de división?

A) 216 B) 108 C) 105 D) 210 E) 220

7. Con 7 hombres y 8 mujeres se debe

formar una comisión de 6 miembros. ¿De cuántas maneras puede agruparse la comisión que al menos incluya dos hombres?

A) 4 595 B) 4 585 C) 4 580 D) 4 410 E) 4 929 8. ¿De cuántas maneras 4 parejas de

esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar, si estas parejas siempre deben de almorzar juntos?

A) 82 B) 120 C) 132 D) 96 E) 88 9. En una clínica trabajan 8 médicos y 10

enfermeras. ¿Cuántas guardias diferentes de 4 personas se pueden realizar, si siempre hay un médico y una enfermera?

A) 2 780 B) 5 560 C) 1 390 D) 1 390 E) 2 700 10. En un corral hay 2 gallinas, 3 pollos y 4

gansos. ¿Cuántas elecciones de varias aves existen de manera que entre las escogidas haya por lo menos un ave de cada especie?

A) 288 B) 144 C) 315 D) 630 E) 280 11. Se tiene 4 libros de Aritmética y 3

libros de Biología. ¿De cuantas formas se podrán ubicar en un estante donde solo entran 5 libros y deben estar alternados?

A) 144 B) 120 C) 210 D) 216 E) 220 12. De 4 médicos y 5 enfermeras se desea

escoger un grupo de 4 personas. ¿De cuántas maneras se podrá realizar esto; si en cada grupo debe haber a lo más dos médicos?

A) 105 B) 100 C) 65 D) 45 E) 110

15 4 3 1 2


-95 -


13. En una reunión hay 8 personas. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar alrededor de la mesa 5 de las 8 personas?

A) 1 3 44 B) 2 040 C) 1 433 D) 2 320 E) 2 324 14. Con 6 hombres y 7 mujeres se

empieza una reunión. ¿De cuantas maneras se pueden acomodar alrededor de una mesa sólo a 3 hombres y 3 mujeres? Además personas del mismo sexo no están juntas.

A) 700 B) 1 400 C) 8 400 D) 4 200 E) 2 100 15. En un aula de 25 mujeres y 10

hombres, se requiere elegir un delegado, un subdelegado y dos suplentes.¿ De cuántas maneras se les puede elegir de modo que los suplentes sean hombres, delegado y subdelegado mujeres?

A) 27 000 B) 54 000 C) 48 000 D) 24 000 E) 36 000 16. En una reunión hay 8 personas. ¿De

cuántas maneras se pueden ordenar 5 de ellos alrededor de una mesa, si hay 2 de ellas (A y B) que no pueden estar en la mesa a la vez?

A) 864 B) 288 C) 924 D) 720 E) 504 17. En una reunión de 8 personas se

desea distribuir en dos grupos de 3 y 4 personas cada uno, de mondo que cada grupo haga su fogata y sus integrantes se sienten alrededor de ellas. Calcule de cuantas formas se podrán ubicar.

A) 60 B) 1 120 C) 4 032 D) 3 360 E) 840 18. tres varones y cuatro chicas van al cine

y encuentran 7 asientos juntos, en una misma fila donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?, si las cuatro chicas no quieren estar una al costado de la otra.

A) 24 B) 144 C) 72 D) 288 E) 96 19. Adolfo y Betto van al teatro con

carmen, Delis y Erika. ¿De cuantas maneras pueden acomodarse en una fila de 5 asientos juntos de tal manera que Adolfo y Betto estén siempre juntos

A) 120 B) 12 C) 24 D) 48 E) 96 20. Cuántas palabras diferentes (no

necesariamente pronunciables) se puede escribir empleando todas las letras de la palabra “ARITMÉTICA”

A) 50 400 B) 450 320 C) 453 600 D) 504 000 E) 435 600 21. La selección de Basket de un colegio

esta conformada por 15 chicas. ¿De cuantas maneras se puede conformar el equipo de 5 si se sabe que 3 de ellas se niegan a jugar en el mismo equipo?

A) 1 485 B) 792 C) 2 277 D) 2 375 E) 1 584 22. En una reunión hay 10 hombres y 5

mujeres, se van a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formaran si siempre debe haber por lo menos 2 mujeres en el grupo?

A) 100 B) 50 C) 10 D) 110 E) 120 23. Con 9 ingenieros y 7 médicos se debe

formar una delegación de 5 miembros. ¿De cuantas maneras puede formarse la delegación que al menos incluya 2 ingenieros?

A) 2 772 B) 4 032 C) 4 024 D) 3 024 E) 3 906 24. En cada lado de un cuadrado se

consideran 5 puntos incluido los vértices. ¿Cuántos triángulos que tienen como sus vértices a dichos puntos, se obtendrán como máximo al unirlos?

A) 560 B) 556 C) 520 D) 564 E) 530


-96 -


Problemas II

1. Raúl ubica nueve puntos en una hoja,

de los cuales solo tres son colineales. ¿Cuántos triángulos podrá formar Raúl, como máximo, tomando vértices los puntos indicados?

A) 58 B) 83 C) 89 D) 79 E) 71 2. ¿Cuántos paralelogramos se pueden

formar al cortar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas?

A) 160 B) 280 C) 320 D) 80 E) 180 3. Ocho puntos del plano son tales que 4

cualesquiera no están alineados, salvo 4 de ellos que sí lo están. ¿Cuántas rectas determinan?

A) 24 B) 22 C) 26 D) 23 E) 29 4. ¿De cuántas formas diferentes se puede

ir de M a N si no se pueden repetir caminos?

A) 20 B) 7 C) 8 D) 18 E) 14 5. ¿De cuántas formas diferentes se puede

ir de M a N si siempre se avanza? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

6. De cuántas formas diferentes una

persona puede ir de M a N siguiendo los caminos que se muestran en la figura?

A) 91 B) 88 C) 89 D) 90 E) 92 7. Una caja contiene 2 focos de 25 voltios;

3 de 50 voltios y 4 de 100 voltios. ¿De cuántas maneras se puede escogerse 3 de ellos?

A) 74 B) 94 C) 84 D) 104 E) 124 8. En una competencia automovilística 5

autos A; B; C; D y E ¿De cuántas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega delante del coche B?

A) 12 B) 24 C) 18 D) 36 E) 48 9. Bruno invita al cine a su novia y a los 3

hermanos de ella; al encontrar una fila de 5 butacas:

I. Podrán ubicarse de 25 maneras

diferentes. II. Podrán elegir sus lugares de 24

maneras diferentes, si es que Bruno se sienta siempre en el centro.

III. Podrán ubicarse de 48 maneras diferentes, si es que los novios se sientan juntos.

A) VFF B) FVV C) VVF D) VFV E) FVF 10. En la figura, cada línea representa un

camino. ¿De cuántas maneras distintas

N M

N M

N M


-97 -


se puede ir de la ciudad “1” a la ciudad “20”?

A) 3

20 x 20! B) 319 x 19! C) 20! D) 19! E) 3

20 x 19! 11. Ana, Betty y Cecilia, van de

campamento con 3 muchachos más. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar alrededor de una fogata, si entre 2 chicas hay un muchacho?

A) 16 B) 24 C) 12 D) 36 E) 8 12. En una tienda hay 6 camisas y 5

pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones. ¿De cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

A) 30 B) 300 C) 200 D) 400 E) 500 13. Si Elvis tiene para vestirse 6 ternos (2

iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos; 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales) ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse?

A) 420 B) 280 C) 288 D) 840 E) 620 14. De cuántas maneras diferentes puede

un padre repartir 8 regalos entre sus 3 hijos, si el mayor debe recibir 4 regalos y los menores 2 regalos cada uno.

A) 480 B) 210 C) 420 D) 540 E) 700 15. ¿Cuántos comités de 4 personas se

pueden formar con un grupo de 12 personas, de tal modo que la comisión tenga un presidente, un secretario, un tesorero y un vocal?

A) 11 880 B) 18 800 C) 11 800 D) 10 960 E) 12 420

16. Noé desea repartir 9 libros que le queda: 4 a su profesora, 3 a su primo y 2 a su amiga. ¿De cuántas maneras lo puede hacer?

A) 630 B) 1 890 C) 5 220 D) 1 260 E) 2 520 17. Dos parejas de novios van al cine con

las madres de las novias. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en 6 asientos sin que se separen las parejas?

A) 24 B) 120 C) 96 D) 48 E) 192 18. En un restaurante solo sirven 6 tipos

de jugos. Si cada cliente puede pedir uno o más de ellos, pero sin repetir ninguno. ¿Cuántos pedidos distintos puede hacer el cliente?

A) 68 B) 67 C) 63 D) 58 E) 60 19. Alrededor de una mesa circular una

madre y sus cinco hijas se disponen a sentarse para conversar. Pero sólo hay sillas para la madre y tres hijas. ¿De cuántas maneras distintas podrán ubicarse?, si las hijas que no tienen sillas se ubican de pie al lado de la madre?

A) 60 B) 480 C) 120 D) 360 E) 720 20. La cerradura de la bóveda de un banco

prestigioso consta de 3 discos con la numeración del 1 al 10. Si un ladrón desea abrir la bóveda. ¿Cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar?

A) 1 000 B) 719 C) 790 D) 896 E) 999 21. Cuántas ensaladas se puede preparar

con pepino, tomate, apio, coliflor, betarraga y lechuga?

A) 24 B) 120 C) 96 D) 48 E) 63

20 4 3 1 2


-98 -


Probabilidades

La teoría de probabilidades es el estudio de los experimentos aleatorios (Aleatorio es sinónimo de azar) Experimento Aleatorio ( “ ) Es toda prueba o ensayo que cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba. Ejemplos Los juegos de azar: Dados, monedas, barajas, loterías, ruletas son típicamente aleatorias. Espacio Muestral ( Ω ) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplos Lanzar una moneda:

Ω = C,S n (Ω) = 2 Lanzar un dado:

Ω = 1,2,3,4,5,6 n (Ω) = 6 Si el experimento es compuesto (Consiste de 2 o más partes) Lanzar 2 monedas:

C C S C S S Ω = (c,c)(c,s)(s,c)(s,s) n (Ω) = 4 n (Ω) = n (Ω1) x n (Ω2 ) n (Ω) = 2 x 2 = 4

Lanzar 2 dados:

n (Ω) = 36 n (Ω) = n (Ω1) x n (Ω2 ) n (Ω) = 6 x 6 = 36 Lanzar un dado y una moneda

n (Ω) = n (Ω1) x n (Ω2 ) n (Ω) = 2 x 6 = 12 Evento o Suceso ( A,B,...) Si “A” es un evento si y solo si, “A” esta contenido en Ω

1ra 2da

1 2 3 4 5 6

6

5 4

3

2

1

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

Ω =

“A” es un evento A Ω

1 2 3 4 5 6

S

C


-99 -


0# P(A) #1

135C

x 42

63 CC

∴ 13

5C x 4

263 CC

Definición de Probabilidad

Si “A” es un evento de un espacio muestral Ω, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” es denotado por P(A) y esta dado por: Propiedades 1) P(A)= 0; Si el evento de “A” es imposible P(A)= 1; Si el evento de “A” es seguro 2) Probabilidad por complemento P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A’): Probabilidad de que no ocurra el Evento A 3) Si “A” y “B” son eventos independientes

cuando la ocurrencia de uno no afecta al otro

4) Si “A” y “B” son eventos excluyentes 5) Si “A” y “B” son eventos no excluyentes

Ejemplar 1. En una urna donde hay 6 bolas azules, cuatro rojos y 3 blancos, si se extraen 5 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean azules y 2 rojas? Resolución 5 bolas a la vez Casos totales: Casos a favor: 3 azules y 2 rojos Ejemplar 2. En una urna hay 10 bolas azules y 6 rojas, si se extraen 3 bolas al azar una tras otra (sin reposición). ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean azules y la tercera roja? Resolución

# de casos favorables al evento “A” # de casos totales del experimento aleatorio

P(A) = = n(A) n(Ω)

P(A) =1- P(A’)

P(A 1 B) = P(A) x P(B)

P(A c B) = P(A) + P(B)

P(A c B) = P(A) + P(B) - P(A 1 B)

A A A A A A

R B

R R R

B B B

A A A R R

P( ) = = 3 azules 2 rojos

40

429

1o 2o 3o

6 R

A A R

10 A 16

56

9

14

6x

15

9x

16

10=∴ P (A, A y B) =

A B

B A


-100 -


Problemas I 1. Se lanzan simultáneamente 6 monedas

¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?

A) 15/32 B) 3/64 C) 1/64 D) 15/64 E) 2/35 2. Por el día del padre se han reunido 25

padres de los alumnos del quinto grado “A” y 30 padres del quinto “B”, sise sortea un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que el afortunado sea un padre del quinto grado “A”?

A) 6/11 B) 5/11 C) 11/25 D) 5/6 E) 1/2 3. Se cogen al azar 4 sillas entre 10 de las

cuales 6 son defectuosas. Halle la probabilidad que de las escogidas 2 exactamente sean defectuosas.

A) 1/6 B) 3/7 C) 4/35 D) 2/5 E) 2/3 4. En una urna se colocan 5 fichas

numeradas con 1,2,3,4 y 5. Si se extraen al azar dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que sus números sumen 7?

A) 1/5 B) 2/3 C) 5/7 D) 7/11 E) 1/3 5. Se lanza simultáneamente 2 dados.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a un número primo?

A) 3/5 B) 2/7 C) 1/2 D) 2/9 E) 5/12 6. Dos hombres y tres mujeres van al cine

y encuentran una fila de 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. Determine cuál es la probabilidad de que las tres chicas no se sienten juntas.

A) 3/10 B) 7/10 C) 1/10 D) 2/5 E) 3/5

7. Se lanza 3 monedas simultáneamente.

Calcule la probabilidad de no obtener exactamente 2 caras.

A) 3/8 B) 1/2 C) 5/8 D) 3/4 E) 7/8 8. En una reunión donde asistieron 80

personas; resulta que 60 bailan, 40 cantan y 10 no cantan ni bailan. Si de estas personas se elige una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que baile y cante?

A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8 D) 1/2 E) 5/8 9. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3

bolas blancas, se sacan 3 bolas de la urna, una tras otra. Halle la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca

A) 3/10 B) 3/17 C) 7/20 D) 7/40 E) 21/40 10. Tres cazadores A, B y C están

apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres acierten?

A) 27/35 B) 17/35 C) 18/35 D) 8/35 E) 99/105 11. De una caja que contiene 3 bolas

negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Halle la probabilidad de que la bola extraída no sea negra.

A) 1/3 B) 4/7 C) 5/9 D) 2/3 E) 4/9 12. Se ubica 5 personas (dos de ellas son

Pedro y Walter) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay de que Pedro y Walter no se ubiquen juntos?

A) 1/3 B) 2/5 C) 1/4 D) 1/2 E) 3/4


-101 -


13. En una caja hay 30 bolas del mismo

tamaño numeradas del 1 al 30. Si se elige 3 números al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean consecutivos?

A) 1/147 B) 1/145 C) 2/145 D) 3/406 E) 1/155 14. Determine la probabilidad de que al

extraer 2 cartas de una baraja éstas sean corazones.

A) 1/13 B) 1/2 C) 1/17 D) 3/28 E) 4/25 15. De una caja que contiene 5 focos

defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos.

A) 7/9 B) 4/11 C) 7/11 D) 8/11 E) 3/11 16. En una caja hay 30 fichas numeradas

del 1 al 30, todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este sea múltiplo de 3 ò de 5?

A) 7/15 B) 13/30 C) 1/12 D) 8/15 E) 3/11 17. Si se lanzan 3 monedas y un dado

sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga 2 caras, un sello y 6 puntos?

A) 1/16 B) 1/12 C) 5/8 D) 1/8 E) 3/16 18. En una reunión hay 10 hombres y 8

mujeres. Si se eligen 3 personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres?

A) 8/102 B) 13/102 C) 7/102 D) 15/102 E) 11/102 19. Cuatro personas se disponen a

ubicarse en una banca de 6 asientos. Halle la probabilidad de que los 2 asientos libres queden juntos

A) 1/3 B) 2/5 C) 1/4 D) 3/4 E) 5/5 20. Cinco parejas de enamorados se van

de campamento y en la noche se sientan alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que los hombres y mujeres queden alternados?

A) 7/126 B) 1/126 C) 2/123 D) 1/63 E) 5/126 21. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener una suma mayor que diez?

A) 11/12 B) 10/15 C) 13/12 D) 1/12 E) 13/15 22. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener la suma 7 u 11? A) 2/9 B) 8/35 C) 6/36 D) 1/18 E) 8/9 23. Se lanzan 2 monedas y un dado.

¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos sellos y un número impar?

A) 1/6 B) 1/7 C) 1/8 D) 1/3 E) 3/8 24. En una urna hay 10 bolas blancas y 6

negras. Se saca una al azar y no se repone. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras?

A) 3/8 B) 1/3 C) 1/8 D) 1/18 E) 1/24 25. Cinco parejas de esposos se sientan

alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que las parejas no se separen?

A) 2/945 B) 1/135 C) 1/189 D) 2/135 E) 4/135

El corazón del hombre piensa su camino; mas Jehová endereza sus pasos (Prov. 16:9)


-102 -


Distribuciones Gráficas I 1. Hallar “x” en:

A) 2 B) 3 C) 8 D) 4 E) 5

2. Determinar que valor falta:

A) 36 B) 40 C) 30 D) 35 E) 39

3. Hallar “x” en:

A) 100 B) 225 C) 9 D) 25 E) 81

4. Hallar el valor de la incógnita

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

5. Hallar la letra que falta.

A) C B) R C) N D) Q E) D

6. Hallar el valor de “x”:

A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18

7. Hallar “x”

A) 226 B) 225 C) 11 D) 13 E) 17 8. Hallar “x” en:

A) 25 B) 27 C) 17 D) 28 E) 24

9. Calcular “a+b”:

A) 25 B) 17 C) 36 D) 23 E) 49

10. En la siguiente, hallar “x”:

A) 4 B) 6 C)2 D) 5 E) 3

?

U O

N T I

1 5

2 6 3

11

4 28

2 8

3 x 1

5

1

16

4

2

64

x

4

169 16 X

11 15 3 6 5 12

16 12

14

9 7

8

4 6

?

8

12

2 6

24

30

4 8

15

X

1 3

8 4

5 5

20

5 6

1 2

4

4 5

3 8

X

81 40

11

12 24

6

a b

7

8 8 8

8

5 6 8

3

7 19 x 22

2 5

12 17 23

X

3 8


-103 -


9 327 14 21

X 7

427 256

Y

9 1 417 3 710 2 Z

11. ¿Qué figura no corresponde al grupo? A) B) C)

D) E)

12. Analice la distribución numérica y

determine el valor de “x” A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9 13. En la siguiente distribución gráfica

determine el valor de “x” A) 5 B) 6 C) 18 D) 17 E) 19 14. Coloque los dígitos del 1 al 8 en las

casillas de la rueda, de modo que: I. Los números vecinos de 7 sumen 8 II. Los números vecinos de 6 sumen 10 III. Los números vecinos de 5 sumen 11 IV. Los números vecinos de 4 sumen 9 Dé como respuesta la suma de los

números vecinos de 1 A) 5

B) 6

C) 4

D) 7

E) 9

15. Calcule: Z

5Y

2XQ ++= de las figuras:

A) 625 B) 635 C) 615 D)645 E)655 16. Determinar la suma de las cifras de los

números “a, b y c”

A) 4 B) 5 C)7 D) 6 E) 3 17. ¿Qué numero falta? A) 35 B) 45 C) 55 D) 50 E) 22

18. Hallar el valor de “x” si:

A) 30 B) 42 C) 48 D) 52 E) 51 19. Calcular el Valor de “x”

A) 13 B) 31 C) 14 D) 41 E) 51

3 17 5

45

7 2

72

9 3

x

8 4

4 21 5

2 x 8

28 20 a

14 b 6

7 5 c

41

12 16

X

11 15

71

16 18

15

x 3

13

3 7

9

2 5

10

3 4

2 11

3

4 5

7 2

11 6 13 14

7 6

10 12

x 5 6


-104 -


Distribuciones Gráficas II 1. ¿Qué número falta? A) 12 B) 13 C) 4 D) 9 E) 7

2. ¿Qué letra continúa? D ; U ; L ; D ; M ; T ; M ; . . . A) C B) S C) J D) O E) V

3. ¿Cuál es el valor de “x”? A) 18 B) 19 C) 20 D) 14 E) 17 4. Halle a - b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. ¿Qué número falta? A) 12 B) 15 C) 18 D) 30 E) 9

6. ¿Qué número debe ir en el lugar vacío? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 7. Determinar que valor falta:

A) 10 B) 2 C) 14 D) 16 E) 20 8. ¿Qué alternativa, completa de manera

adecuada la siguiente secuencia gráfica?

A) B) C) D) E) 9. Hallar a + b + c + d A) 45 B) 36 C) 54 D) 56 E) 63

193 1 2 2 1 0

114 3 1

3 4 7 2 8 3

5 7 1 13 6 x

17 20 b 15 20 5 30 16 a 18 15 21

5 3 3 10 8 11 23 20

5 6

4 8

3 ?

4 19

14 5 9

3 15

11 4 7

1 7

5 2 3

a d

c 6 b

2 ; 5 ; 4 ; 3

6 20 24

Todo lo puedo en Cristo que me fortalece. (Fil 4:13)


-105 -


10. Calcular el valor de “x” en A) 12 B) 7 C) 13 D) 8 E) 10 11. Hallar la terna que continúa en: ( D ; L ; 10) ; ( V ; M ; 14) ; ( T ; M ; 19 ) ; ( C ; J ; 25 ) A) ( C ; L ; 32 ) B) ( T ; D ; 32 ) C) ( C ; 5 ; 32 ) D) ( C ; V ; 32 ) E) ( 5 ; V ; 32 ) 12. ¿Qué número falta?

A) 12 B) 54 C) 18 D) 30 E) 9 13. Calcule el valor de “x”

A) 22 B) 11 C) 12 D) 10 E) 9 14. ¿Qué número falta?

A) 12 B) 31 C) 22 D) 15 E) 19

15. Calcular el valor de “x”

A) 59 B) 61 C) 24 D) 26 E) 25

16. Calcular el valor de “x” en A) 1 B) 0 C) 3 D) 4 E) 9 17. Hallar el valor de x

A) 16 B) 14 C) 17 D) 10 E)29

18. Hallar el valor de x A) 54 B) 45 C) 77 D) 22 E) 0

19. Hallar “x”

A) 1 B) 6 C) 7 D) 2 E) 9

5 3

6 2 6

10 6

7 1

10

12 5

9 6 x

34

19 47

46

43 47

93 13

2 12 72 110

1 3 8 x

18 24 35

41 12 ?

23 69 23

51 36

x 30

43 35 29

20 24 15 18

22

8 7

10 12

7

7 9

12 13

9

2 X

8 14

11

7 5

4 3

41

4 2

2 3

x

9 3

3 4

45

6 2

23

9 3

27

9 6

x

9 6 3

5 2 7

x 3 5


-106 -


NxbxNlogb

=⇔=

813x81log x

3=⇔=

164216log 2

4=⇔=

Logaritmos

Se denomina LOGARITMO de un

número “N” ( N > 0 ) en una base positiva “b” (b ≠ 1) al EXPONENTE al cual se debe elevar la base “b” para obtener como resultado el número “N”.

Así Siendo N >0 y b > 0 b ≠ 1 Se lee: “El logaritmo del número N en base b

es x” Ejemplos:

25152

251log 2

5=⇔−= −

1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

NNblogb =

2. LOGARITMO DE LA UNIDAD: 0 1blog =

3. LOGARITMO DE LA BASE: 1 bblog =

4. LOGARITMO DE UN PRODUCTO:

NblogMblog N)(Mblog . +=

5. LOGARITMO DE UN COCIENTE:

NlogMlogNM

blog bb −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

6. LOGARITMO DE UNA POTENCIA: (Propiedad del Sombrero)

Nlog MMNblog b .=

7. LOGARITMO DE UNA RAÍZ:

NlogM1Nblog b

M =

8. PROPIEDADES ADICIONALES: a)

a NlogaNlogNlog a babb ==

b) nmmAlog nA

=

c) mnAn A

log m =

d) NlogqppNlog bqb

=

e) (Regla de intercambio)

PblogNblog

NP =

9. CAMBIO DE BASE: De base “b” a base “k”:

bklog

NlogNblog k=

b. PROPIEDADES

a. DEFINICIÓN


-107 -


Consecuencia:

bNlog1Nlog b =

10. REGLA DE LA CADENA:

Nb

logNc

logca

logab

log =..

Base : 10

Notación: N logN 10

log =

Ejemplos:

∗ 0 1 log =

∗ 1 0,1 log −=

∗ 1 = 10 log

∗ 2 0,01 log −=

log 2 = 0,30103…

log 3 = 0,477125… log 5 = 1 – log 2 log 7 = 0,845098… PROPIEDAD: Siendo: Se cumple: Nº de cifras de N = característica + 1

Base: ...2,71828182e =

x

x x11e ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=∞→

lim

Notación: lnlnNNlne ==

Definición:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

N1

blogN

bColog

Donde: N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1

Consecuencia: NlogNColog bb −=

Ejemplos:

38

1log

8

1Colog*

2=−= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2

2255log255Colog* −=−=

Definición:

xbxb Antilog* =

Donde: x ∈ R > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Ejemplos:

3225Antilog* 52 ==

161242)( Antilog* 4 =−=−

Propiedades:

1. xx)b(antilogblog =

2. NN)b(logbAntilog =

c. SISTEMA DE LOGARITMOSDECIMALES, VULGARES O DEBRIGGS

c. LOGARITMOS IMPORTANTES

e. SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS O NATURALES

f. COLOGARITMO

g. ANTILOGARITMO

mantisa característica

bcde, a N log =


-108 -


82

log64

2

1log32

2log E +−=

Problemas

1. Calcular: A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) Más de 17

2. Calcular el valor de “x”: 05)7x3(log

2=−−

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

3. Dado el sistema: ex+y = 12 ex−y = 3 Calcular el valor de y. A) Ln 4 B) Ln 2 C) Ln 3 D) Ln 6 E) Ln 5 4. Si los números reales “a” y “b” con a

> 0 verifican la ecuación:

06aa bb2 =−+ entonces se cumple: A) balog

2= B) b2log

a=

C) ba2 = D) ab2 = E) b(-3)log

a=

5. Si: 3blog a =

24alog b =

Calcular el valor de “b”.

A) 3 22 B) 2 C) 3 24

D) 5 22 E) 5 82

6. En:

5 log22)8x3log(21)9xlog( −=−−+

Un valor de “x” es: A) 15 B) 10 C) 11 D) 12 E) 9

7. Hallar el valor de : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

zxlog

2

Si: 291logx =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

z2log64

=

A) 0 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 1/6

8. Si: 1810x =

1210y =

El valor de 6log10

es:

A) 3

x2y − B) 3

yx − C) 3

xy −

D) 3

y2x − E) 3

yx +

9. La suma de los 999 primeros términos

de la sucesión:

( ) ..... ;311log ;

211log ; 11log ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

es:

A) 1/2 B) 5 C) 7 D) 3 E) 3/2

10. Dada la ecuación: x log 4 + log log 3 = log log 81 El valor de “x” es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


-109 -


11. Si: log 2 = x ; log 3 = y

El valor de: 60 log3278log −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

En términos de “x” e “y” es:

A) -3(2y+x) B) 3(2y+x) C) -3(2y−x) D) -3(2y+1) E) -3(2x+1)

12. Si: x − y = log x

1x1010 yx −=−

Calcular: yx 1010 +

A) x−1 B) x+1 C) x D) y E) x+y

13. Si:

xlog 3 6x

22 6log3log+=+ x log10

El valor de “x” es:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

14. Si: 2ylog

4=

516

yxlog32

4=

El valor de IxI es:

A) 1 B) 2 C) ½ D) 4 E) 2

15. Si: x5log3 = , el valor de

)243(log45 es:

A) 4x

6+

B) 3x

4+

C) 2x

5+

D) 5x

4+

E) 3x

5+

16. El valor de: log (2 x 4 x 6 x …. X 20) – log (9!)

es:

A) 10+10 log (2) B) 1+10 log (2) C) 10 log (2) D) log (2) E) log (10!)

17. Calcular: )7loganti(log 24

A) 1 B) 1/2 C) 3/2 D) 5/2 E) 7/2

18. Calcular “x” si: 5,1xlog100 =

A) 10 B) 100 C) 1000 D) 1/10 E) 10

19. Resolver: 2)(x Ln)1x( Ln12 Ln −=−−

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20. Calcular “x” si: n logm xlog −=

A) m

n10 B) nm10 − C) n

m10

D) m.n10 E) nm

10

21. Resolver: 3 log)3x2( logx log2 +−=

A) 6 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5

22. Resolver:

x47log23log2x5log2

735 =+ A) 2 B) 10 C) 11 D) 15 E) 20


-110 -


23. Calcular el logaritmo en base

nm a a de mn a a . ( a ; m ; n > 0 ; a ≠ 1 )

A) m/n B) n/m C) m.n D) m E) n

24. Calcular:

3 2loganti04,0logcoS 55 +=

A) 2 B) 4 C) 5 D) 1 E) 3

25. Resolver: ( )( ) 0 x Ln Ln Ln =

A) e B) ee C) 1

D) 0 E) e

26. Resolver: 31

10101010

xx

xx=

+

−−

−

A) 2log B) 2 C) 2 log D) 4 log E) 2

27. Calcular:

27log

147log57log 2

5

5 2R +=

+

A) 4 B) 6 C) 7 D) 3 E) 9

28. Si:

2)1xlog(

)2xlog( )3xlog(=

−++−

Calcular: )1x(log )3x( +−

A) 2/3 B) 3/2 C) 2

D) 1/2 E) 3

29. Calcular “x”, si: m1mlog1xlog

x

m =+

+

A) m B) m C) mm

D) 2m E) 2m

30. Si: )c(loglog 1)p(loglog xxxx +=

Calcular “x” en:

)b(loglog)b(loglog xlog pxcxb =+

A) b B) 1/p C) p D) a E) 1/b

31. Si: a27log12 = . Calcular:

16log6

A) 3a24a12

+− B)

2a34a12

+− C)

2aa3

+−

D) a34a12

+− E)

a34a12

−+

32. Calcular:

1z1

1y1

1x1E

++

++

+=

Si: ablogz ;ac log y; bclogx cba ===

A) 1/3 B) 3 C) 1 D) -3 E) -1/3

Encomienda a Jehová tu camino, y confía en él; y él hará (Sal 37:5)


-111 -


, . . . . , 1614 ,

65 ,

129 ,

21

60,9tn)

=

TEST I 1. A una fiesta asistieron 245 personas. La

primera dama bailó con 6 caballeros, la segunda con 9, la tercera con 14, y así sucesivamente hasta que la última bailó con todos ellos. ¿Cuántas damas había en la fiesta?

A) 5 B) 15 C) 10 D) 25 E) 13 2. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo

se pueden contar en la figura adjunta? A) 45

B) 65

C) 66

D) 71

E) 53

3. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n Hallar el valor de: M= S30 – S29+ S28 – S27+ S26-….+S2 - S1 A) 120 B) 220 C) 110 D) 140 E) 240 4. En la sucesión ¿Qué lugar ocupa el término ? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 5. Un tren salio de su paradero inicial con

3 pasajeros y en cada estación suben dos pasajeros más de los que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron 728 pasajeros. ¿En cuántos paraderos se detuvo a recoger pasajeros?

A) 10 B) 35 C) 18 D) 20 E) 25

6. En la figura, Halle el número de

triángulos A) 84 B) 72 C) 64 D) 27 E) 38 7. Hallar el área de la región Sombreada. A) 10(3 – П ) B) 9(3 – П ) C) 36(4 – П ) D) 8(3 – П ) E) 16(4 – П ) 8. Cada cuadrado tiene como lado la base

media de un triángulo, en el cual está inscrita. Si S y R son puntos medios y la suma de todas las regiones sombreadas es 600 u2 , Halle L, si el proceso es infinito.

A) 10 u B) 20 u C) 30 u D) 40 u E) 50 u 9. Se define a * b = 2 ( b * a ) + a – b

Calcular el valor de 12 * 3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8

8

r

r

r r

D

C B

A L

L R S


-112 -


10. En la figura, Halle el total de triángulos A) 71

B) 76

C) 61

D) 62

E) 63

11. Se define Hallar el valor de a2 +b2

A) 8 B) 9 C) 4 D) 6 E) 5

12. Si

A) 82 B) 90 C) 72

D) 62 E) 52

13. Dado el gráfico. ¿Cuántos cubitos

están en contacto con 4, 5 y 6 caras e indicar la suma?

A) 56

B) 60

C) 54

D) 55

E) 52

14. Si

Hallar

A) 98 B) 99 C) 100

D) 101 E) 102

15. La edad que tendré dentro de “a” años

es a lo que tenía hace “a” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a” años? Si mi edad actual es 40 años.

A) 60 años B) 61 años C) 62 años D) 59 años E) 58 años 16. Un reloj se adelanta 2 minutos cada

hora durante 9 horas y luego comienza a atrasarse 4 minutos cada hora durante 6 horas. Si inicialmente marcaba las 7 a.m. ¿Qué hora estará marcando?

A) 9:52 pm B) 9:55 pm C) 9:56 pm D) 10:54 pm E) 9:54 pm 17. Se sigue la secuencia hasta que la

suma de los números de las esquinas, superior derecho e inferior izquierdo sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

A) 20 B) 14 C) 10 D) 12 E) 15 18. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto

durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche; al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta.

A) 15 B) 19 C) 20 D) 21 E) 21

= x 3x + 2 3x - 2

3 2

E = 3 x 5 x 7 x . . x 199

a2 + 1

2 a =

a # b = ( a + b ) ( a - b )

a # b = 5

x = x 2 - 4x+5

x = x2 - 1

Halle E = 9 + 10

1

1 3

2 4 3 96

7

85

4

2

1

; ; ;…


-113 -


321321cifras 20cifras 20

)(999...998)(999...992 M =

99999997777777x99 M =

TEST II

1. Sobre unos postes se posan varias palomas. Si sobre cada poste se posaran una sola paloma, quedarían “n” palomas volando. Pero si sobre cada poste se posaran “n” palomas, quedarían “n” postes libres. ¿Cuántos postes hay?

2. Si compro “a” manzanas más de lo que

pienso comprar, gastaría S/. “A”, en cambio si comprara “b” manzanas menos de lo que pienso comprar, gastaría tan solo S/. “B”. ¿Cuántas manzanas pienso comprar?

3. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 33 B) 2h 32 2/7 C) 2h 32 1/5

D) 2h 32 3/7 E) 2h 32 8/11 4. Calcule la suma de cifras de M A) 172 B) 174 C) 176 D) 178 E) 180

5. Halle la suma de las cifras del producto

de: A) 82 B) 81 C) 84 D) 80 E) 83 6. Se define en los IR

Halle ( 2 # 3 ) + ( 8 # 9 )

A) 20 B) 45 C) 44 D) 64 E) 65 7. Hallar el área de la región sombreada A) 8 B) 16 C) 14 D) 18 E) 8 8. Un niño da 17 saltos mientras que el

conejo da 15 saltos, y 9 saltos del niño equivale a 8 saltos del conejo. ¿Cuántos saltos debe dar el niño para alcanzar al conejo, si partieron al mismo instante.

A) 1 530 B) 1 540 C) 1 550 D) 1 520 E) 1 5 45

n(n-1) (n+1)

C) n(n+1) (n-1)

A)

(n+1) (n+2)

D) (n -1)

(n+1) E)

(n+1) n(n-1)

B)

A + B a + b

A)

Bb - Aa A - B

D) aB + bA

A - B E)

A - B a - b

B) Aa - Bb A + B

C)

α

12 11

10

9

8

7 6

3

2

1

5

4

.α

# 2 4 6 8 10

1 4 12 20 28 36

3 10 18 26 34 42

5 16 24 32 40 48

7 22 30 38 46 54

9 28 36 44 52 60

10 saltos del conejo

1 m


-114 -


9. ¿Cuál será el menor tiempo que le tomará al gusanito en ir de “B” a “G”; si la rapidez constante del gusanito es 5 cm. /s?

A) 25 seg

B) 16 seg

C) 30 seg

D) 15 seg

E) 20 seg

10. Bertha perseguida por Andrés le lleva

80 pasos de ventaja y da 6 pasos mientras que Andrés da solo 4; pero 3 pasos de él equivalen a 5 pasos de ella. ¿Cuántos dará ella a partir del momento en que parte él hasta que la alcanza?.

A) 540 B) 650 C) 620 D) 700 E) 720 11. Un caracol asciende 2 cm en el día y

resbala 1 cm en la noche, luego asciende 4 cm y resbala 1 cm, luego asciende 6 cm y resbala 1 cm; y así continúa su ascenso hasta llegar a lo alto de un árbol de 401 cm. Cuál es el recorrido total del caracol hasta cumplir su objetivo?

A) 429 B) 439 C) 438 D) 459 E) 472 12. De la siguiente gráfica mostrada: Una insecto comienza en el número 12 ,

pasa al 22, luego al 32 y así sucesivamente. Si el insecto a girado a la izquierda 20 veces; determine la suma de todos los números sobre que ha girado.

A) 58 770 B) 58 774 C) 58 773 D) 58 771 E) 58 781

13. Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglo numérico.

A) 21! B) 21!-1 C) 21!+1 D) 21!-2 E) 22!-3 14. ¿De cuántas maneras se puede alinear

10 personas, sabiendo que dos de ellas no pueden estar juntas?

A) 8 . 8! B) 8 . 10! C) 8 . 9!

D) 10 . 8! E) 9 . 8! 15. Se quiere construir dos veredas del

mismo ancho que dividan un terreno cuadrado en cuatro zonas cuadradas iguales (ver figura) si el costo por metro cuadrado de vereda es S/. 30 y se piensa invertir S/. 4 680 en ella. ¿Cuál debe ser en ancho de las veredas?

A) 3 m

B) 1,8 m

C) 3,3 m

D) 2,5 m

E) 2 m

16. De un recipiente en el cual hay 20 litros de agua, 60 litros de vino y 40 litros de alcohol. Se extrae 24 litros de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por alcohol; finalmente se extrae 1/3 de la nueva mezcla y se reemplaza con vino. ¿Cuánto de vino queda finalmente?

A) 58 B) 54 C) 64 D) 71 E) 84

40cm

60cm

gusano B

G

40cm

1! 2! 2! 3! 3! 3! 4! 4! 4! 4! 20! 20! 20! 20! 20!

132 122 112 102

142 32 22 92

152 42 12 82

162 52 62 72

40 m

Las aspiraciones actúan como “resortes psíquicos” que impulsan con fuerza irresistible hacia la meta propuesta.


-115 -


TEST III 1. Si se lanza dos dados. ¿Cuál es la

probabilidad de que la suma sea; 4 ó 6? A) 1/5 B) 1/3 C) 8/39 D) 1/32 E)2/9 2. Si compro naranjas a 5 por 6 soles y las

vendo todas a 4 por 7 soles, ganando 99 soles. ¿Cuántas naranjas he comprado?

A) 360 B) 288 C) 160 D) 432 E) 180 3. En la figura mostrada. ABCD es un

cuadrado de lado “6 u”. Halle el área de la región sombreada.

A) 2 u2

B) 4 u2

C) 6 u2

D) 8 u2

E) 5 u2

4. En una fila se ubican 4 hombres y 3

mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que se ubiquen de forma alternada?

A) 1/55 B) 1/33 C) 1/39 D) 1/32 E) 1/35 5. “A”, “B” y “C” pueden hacer un trabajo

en 10 días, “A” y “C” lo harían en 15 días, “B” y “C” lo harían en 20 días. ¿En qué tiempo lo harían ”A y “B”?

A) 16 B) 14 C) 12 D) 13 E) 15 6. Una persona sube una escalera con el

curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 19 E) 20

7. ¿Qué tanto por ciento representa el área

de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada?

A) 40% B) 60% C) 35% D) 80% E) 65% 8. Si 8 gatos atrapan a 8 ratones en 8

minutos. ¿En cuánto tiempo 4 gatos atraparán a 4 ratones?

A) 4 min B) 8 min C) 2 min D) 12 min E) 6 min 9. ¿Cuántos triángulos se pueden contar

en la siguiente figura? A) 3 775 B) 2 105 C) 5 050 D) 2 500 E) 1 275 10. Una frutera vende 60 manzanas

quedándole más de la mitad de las que tenía. Luego adquiere una docena de manzanas y vende 13, quedándole menos de la mitad de la cantidad inicial. ¿Cuántas manzanas tenía al inicio?

A) 120 B) 121 C) 152 D) 126 E) 125

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

A

B

D

C

1 2 3 47 48 49 50


-116 -


n1...32)(1... ΔΔΔΔ

paréntesis 2)(n

)( )( )( 4434421−

n

2m 2m)(nnm

Δ

Δ=

11. En una oficina trabajan 6 hombres y 4 mujeres y se escoge al azar a 7 personas. Halle la probabilidad de que entre las personas seleccionadas resulten 3 mujeres.

A) 1/9 B) 1/7 C) 1/3 D) 1/6 E) 1/2 12. Cuantos triángulos que por lo menos

tengan un corazón en su interior existen en la siguiente figura?

A) 38 B) 40 C) 42 D) 46 E) 50 13. De cuántas maneras diferentes se

puede leer la palabra “MATEMÁTICAS“ A) 1213 B) 1024 C) 1273 D) 1102 E) 1221 14. Se define en R. Calcule A) n B) 1 C) 2 D) n + 1 E) n2

15. En la siguiente sucesión. ¿Cuántos términos son de 3 cifras?

12, 19, 26, 33, 40, . . . A) 250 B) 200 C) 130 D) 150 E) 129 16. De la sucesión 1, 100, 2, 99, 3, 98, … Calcule la suma de los 21 primeros

términos. A) 1 011 B) 1 101 C) 1 021 D) 1 010 E) 1 111 17. Tres móviles parten de un mismo

punto y en el mismo sentido con velocidades de 30, 40 y 50 Km/h. Indicar el espacio recorrido por el de mayor velocidad, cuando la distancia que separa a los otros dos móviles es de 70 Km

A) 350 km B) 300 km C) 355 km

D) 400 km E) 600 km 18. ¿Cuántos triángulos se pueden

contar en la siguiente figura A) 110 B) 100 C) 36 D) 82 E) 81 19. De los animales de una persona, el

40% son cerdos; el 30% ovejas y el resto otros animales. Si se vendiera el 30% de los cerdos y el 70% de las ovejas. ¿En qué porcentaje disminuye los animales?

A) 23% B) 28% C) 33% D) 24% E) 43% 20. ¿Cuál es el quinto término que termina en 5 en la siguiente sucesión? 1 , 10 , 25 , 46 , A) 1565 B) 1525 C) 1575

D) 1505 E) 15 85

E M A T I C A S M A T I C A S

T E M A T I C A S A T E M A T I C A S

M A T E M A T I C A S

T I C A S I C A S

A T I C A S

C A S

S A S


-117 -


Recorridos Eulerianos

(Figuras de un solo trazo)

Objetivos • Conocer qué figuras admiten un recorrido

Euleriano. • Verificar si una figura se puede dibujar de

un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por una misma línea; de ser así, la figura admite un recorrido Euleriano.

• Comprender los conceptos y postulados de Euler.

Introducción En tiempos de Euler 1735, En Konigsberg

(Alemania) existía una isla llamada Kneiphof con siete puentes como en la figura adjunta. Para los habitantes del lugar, era entretenido el intentar descubrir una ruta de tal forma que pudiesen cruzar por los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida.

¿Se podrá planear cruzar los puentes, de modo que se crucen una sola vez cada uno de los siete puentes?

preliminares Vértice Par Conocido también como punto par, es aquel donde concurren un número par de líneas rectas o curvas. Vértice Impar Conocido también como punto impar, es aquel donde concurren un número impar de líneas rectas o curvas.

Tiene: 4 puntos impares ( I ) 5 puntos pares ( P ) TEOREMAS DE EULER Teorema I Toda gráfica admite un recorrido euleriano si todos sus puntos son pares: (Cualquiera que sea el punto par escogido se comienza y se termina siempre en el mismo punto)

Teorema II Toda gráfica admite un recorrido euleriano si presenta como máximo 2 puntos impares, (Debiendo empezar en un punto impar y terminar necesariamente en el otro punto impar)

NOTA: Si hay más de dos puntos impares, la figura no se puede realizar de un solo trazo.

P P P

P

P

I I

I I

P

P

Inicio-final

P

P Inicio

I I

final

OBSERVACIONES

isla isla puente


-118 -


P

Problemas I

i) La menor cantidad de puntos pares que

pueden existir en un gráfico es 1 ii) Los puntos impares siempre se presentan en

parejas, no existe figura con un número impar de puntos impares.

iii) Si tenemos una figura con más de dos

puntos impares, entonces para dibujarla tendremos que repetir trazos sobre una o más líneas comprendidas entre 2 puntos impares para que teóricamente los puntos impares se conviertan en pares. El número mínimo de líneas que deben repetirse se da cuando dejamos sólo dos puntos impares.

1. Cuántas de las siguientes figuras se pueden

dibujar sin levantar el lápiz del papel, ni pasando dos veces por la misma línea?

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 0

2. Cuál es la longitud mínima que recorrerá un

gusanito para poder explorar todas las aristas de un cubo de 8 cm de arista?

A) 120 B) 130 C) 110 D) 138 E) 144 3. Un cuadrado ABCD de 9 cm. De lado se

divide en 9 regiones iguales. ¿Cuántos centímetros de debe recorrer como mínimo para dibujarlo sin levantar el lápiz del papel?

A) 72 cm.

B) 78 cm.

C) 87 cm.

D) 81 cm.

E) 84 cm.

4. Con 28 cerillos de 5 cm. Se ha construido la

siguiente figura. ¿Cuál debe ser la menor longitud que debe recorrer la punta del lápiz sin separarlo del papel para dibujarla?

A) 140 cm.

B) 145 cm.

C) 150 cm.

D) 155 cm.

E) 160 cm.

5. Con un alambre de 96 cm. se construye una

estructura con la forma de un cubo. Una arañita tarda, como mínimo, 12 minutos en recorrer todas las aristas del cubo, caminando con una rapidez constante. Determine la rapidez de la arañita.

A) 9 cm./min B)8 cm./min C)10 cm/min D) 12 cm./min. E) 10,5 cm./min.

I I

# de lineas repetidas

# de Puntos impares - 2

2 =

C D

A B


-119 -


6. Cuál es el menor recorrido que debe realizar

un ciclista, de tal modo que recorra todas las calles?

A) 58 Km B) 56 Km C) 54 Km D) 50 Km E) 52 Km 7. Un atleta debe recorrer todas y cada una de

las avenidas interiores de una sola intención con la condición de pasar sólo una vez por cada avenida. ¿Por cuál de las 5 puertas saldrá al terminar su recorrido?

A) A

B) B

C) C

D) D

E) E 8. ¿Cuál es el mínimo recorrido que debe hacer

una hormiga para pasar por todas las aristas del sólido mostrado?

A) 72 B) 66 C) 57 D) 69 E) 60 9. Si una hormiga recorre todas las aristas de un

cubo en 3 minutos como mínimo. ¿En cuántos segundos recorrerá una sola arista?

A) 15 B) 16 C) 12 D) 18 E) 21

10. Como mínimo un gusanito emplea 5 minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de 60 cm de longitud. El tiempo que emplea en recorrer una arista es;

A) 9 s B) 8 s C) 10 s D) 12 s E) 20 s 11. El cubo mostrado está hecho de un alambre

y su arista mide 20 cm. Un caracol tarda 10 minutos en recorrer todas las aristas del cubo partiendo de cualquiera de los vértices con rapidez constante, calcule la menor rapidez del caracol.

A) 60 cm/min

B) 24 cm/min

C) 30 cm/min

D) 40 cm/min

E) 50 cm/min

12. ¿Cuántas líneas rectas como mínimo se necesita para unir 16 puntos mostrados, sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

13. Con un alambre de 100 cm se construye dos

cubos adyacentes como se muestra en la figura. Una arañita tardó como mínimo 5 minutos en recorrer todas las aristas de los cubos caminando con una rapidez constante. Calcule dicha rapidez

A) 20cm./min B) 22cm./min C) 23 cm/min D) 24 cm./min. E) 21 cm./min.

A B

C

D

E

3 3

3 3

3

3

6 Km

8 Km


-120 -


Problemas II 14. Cuántas de las siguientes figuras se pueden

dibujar sin levantar el lápiz del papel, ni pasando dos veces por la misma línea?

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 0 15. Halle el mínimo número de segmentos que

se debe eliminar para que la figura sea realizable de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 16. Halle el número mínimo de trazos (rectos o

curvos) que se debe agregar a cada figura para que puedan trazarse sin levantar el lápiz del papel ni repetir el trazo

A) 1 y 4 B) 2 y 3 C) 1 y 5 D) 2 y 4 E) 1 y 2 17. Se ha construido una rejilla con 13 varillas

de alambre tal como se muestra en la figura. Si cada varilla mide 4 cm, ¿Cuál es la menor longitud que podrá recorrer una arañita por toda la rejilla?

A) 62 cm. B) 56 cm. C) 65 cm D) 52 cm. E) 60 cm.

18. Se ha construido un prisma con 9 cerillas de

madera, tal como se muestra en la figura adjunta, si cada cerilla mide 4 cm, ¿Cuál es la menor longitud que recorre un caracol al pasar por todas las aristas del prisma?

A) 48 cm. B) 36 cm. C) 44 cm D) 40 cm. E) 52 cm 19. ¿Cuál es la menor longitud que recorre la

punta de un lápiz, sin separarla del papel, para dibujar la siguiente figura?

A) 139 cm. B) 155 cm. C) 149 cm D) 151 cm. E) 153 cm 20. ¿Cuál es el mínimo recorrido que debe

realizar la punta del lápiz para poder dibujar la siguiente figura, eso sin levantar el lápiz del papel y empezando en el punto A?

A) 234 cm. B) 244 cm. C) 254 cm D) 264 cm. E) 247 cm

3 cm 3 cm 3 cm 8cm 8 cm 8 cm

8cm 8 cm 8 cm

10 cm

10 cm

10 cm

10 cm 12 cm

12 cm

4 cm 4 cm

3 cm 3 cm 3 cm 3 cm

3 cm 3 cm 3 cm 3 cm

4 cm 4 cm

4 cm 4 cm

4 cm 4 cm

A


-121 -


OPERACIONES INVERSAS

1. Durante 4 días he gastado todo mi

dinero. Los 3 primeros días gaste la mitad y 10 soles más de lo que me quedaba cada día, y el último día gaste la tercera parte y 10 soles más y me quede sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?

A) S/. 140 B) S/.150 C) S/. 260 D) S/.100 E) S/. 250 2. Un estudiante escribe cada día la mitad

de las hojas en blanco más 25 hojas, si al cabo de 3 días agotó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?

A) 500 B) 240 C) 300 D) 350 E) 200 3. Manuel y José son dos jugadores que

acordaron que cada vez que uno de ellos pierda tendrá que duplicarle su dinero al otro. Empezaron a jugar y primero perdió Manuel, luego José de modo que ambos terminaron con S/. 80 cada uno. ¿Cuánto tenía José al principio?

A) S/. 100 B) S/.180 C) S/. 115 D) S/.48 E) S/. 60 4. “M” y “N” empiezan a jugar, “M” pierde y

le triplica el dinero a “N”, luego “N” pierde y le duplica el dinero a “M”. Si ambos terminaron a S/. 60. ¿Cuánto tuvo “M” al principio?

A) S/. 80 B) S/.120 C) S/. 90 D) S/. 65 E) S/. 88 5. Se tiene 320 monedas de S/. 5 divididas

en los grupos A, B, C, D. Del grupo A pasaron al grupo B tantos como había en éste, luego de B a C tantos como había en éste, de C a D tantos como había en éste y de D a A tantos como había en él y, así se logró que hubiera el mismo número de monedas en los cuatro grupos. ¿Cuánto dinero había inicialmente en el grupo A?

A) S/. 600 B) S/. 575 C) S/. 785 D) S/. 900 E) S/. 125 6. En un juego, cada vez que uno gana lo

premian del siguiente modo: le dan S/. 10, luego le duplican el dinero que tenga y finalmente devuelve S/. 15. Si el día de hoy Isabel ha recibido 5 premios sucesivos y ya tiene S/. 539. ¿Cuánto tenía al principio, antes del primer premio?

A) S/. 12 B) S/.20 C) S/. 17 D) S/. 38 E) S/. 8 7. Miguel, Franklin y Percy; están jugando,

con la condición de que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los dos. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que han sido nombrados, quedándose luego de haber perdido el último, con S/. 200 cada uno. ¿Cuánto tenía inicialmente Miguel?

A) S/. 325 B) S/. 100 C) S/. 215 D) S/. 275 E) S/. 175 8. Una persona participó en 3 apuestas; en

la primera duplicó su dinero y gastó S/. 30. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/. 54, en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó

S/. 72. Al final le quedó S/. 48. ¿Cuánto tenía al comienzo?

A) S/. 30 B) S/. 29 C) S/. 51 D) S/. 31 E) S/. 28 9. Se tiene 48 palitos de fósforo divididos

en tres grupos. Del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como tiene éste; luego, del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como tiene éste y lo mismo se hizo del tercero al primero, resultando al final los tres grupos con igual cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía el segundo grupo al inicio?

A) 22 B) 14 C) 12 D) 48 E) 18


-122 -


10. Tres jugadores A, B y C convienen en

que el perdedor de cada partida; duplicará el dinero de los otros dos. Pierden una partida cada uno en orden alfabético y al final cada uno se queda con 40 soles. ¿Cuánto dinero empezó el primero?

A) 35 B) 20 C) 22 D) 24 E) 65 11. Si no vendí 1/4 de las manzanas que

vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se malograron. ¿Cuántas manzanas tenía al comenzar todo el negocio, si al final me quedaron 8 manzanas, luego de botar la malogradas?

A) 60 B) 40 C) 80 D) 24 E) 36 12. Cada vez que Paola entra en una

tienda gasta 1/4 de lo que no gasta. Cierto día Paola entró en 3 tiendas en forma consecutiva, si al salir de la tercera tienda aún le quedaba S/. 64. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

A) S/. 121 B) S/. 122 C) S/. 123 D) S/. 124 E) S/. 125 13. Una persona, luego de perder los 2/5

de lo que no perdió, gana el doble de lo que perdió, quedando así con S/. 81. ¿Cuánto perdió?

A) S/. 18 B) S/. 19 C) S/. 20 D) S/. 21 E) S/. 22 14. Una persona en su primera compra

gastó 1/5 de lo que tenía, más 8 soles; en su segunda compra gastó 1/4 de lo que le quedaba, más 3 soles; en la última compra gastó 1/3 del resto, más 6 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 7 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

A) S/. 60 B) S/. 61 C) S/. 62 D) S/. 63 E) S/. 64

15. Humberto en su primera compra gastó

1/3 de lo que tenía, más 6 soles; en su segunda compra gastó 1/5 de lo que le quedaba, más 2 soles; en la última compra gastó 1/2 del resto, más 2 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 20 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? De cómo respuesta la suma de sus cifras

A) 6 B) 3 C) 7 D) 5 E) 4 16. Un tranvía con cierto número de

pasajeros. En el primer paradero deja la quinta parte; en el segundo suben 40 pasajeros; en el tercero bajan 3/8 de los que iban; en el cuarto suben 35 y en el trayecto al último paradero dejó los 7/9 de los que llevaba, llegando a este último con 30 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros inició su recorrido?

A) 180 B) 210 C) 200 D) 150 D) 300 17. Un caballo bebe agua de un estanque

que esta lleno hasta la tercera parte. Tl primer día consume 1/2 de lo que había más 4 litros; el segundo día consume 1/2 de lo que quedaba más 5 litros; el tercer día 1/2 de lo restante mas 6 litros; sobrándole 6 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

A) 124 B) 372 C) 348 D) 362 E) 248 18. Si gaste 1/4 de lo que no gaste, luego

del resto, perdí 1/3 de lo que no perdí, si al final me quedan S/. 21. ¿Cuánto tenía al inicio?

A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 38 19. Entre pollos, patos y pavos un granjero

tiene en total 75 aves. Si tuviera 7 pollos menos, 4 patos más y 12 pavos más tendría la misma cantidad de aves de cada especia. Calcule el número de pollos

A) 22 B) 14 C) 12 D) 35 E) 18


-123 -


Matemática recreativa

1. División coreana: Dividir la figura en dos partes iguales

pero sin usar rectas.

2. En el pueblo joven Cada niño debe entrar a su respectiva

casa, los caminos recorridos por cada uno de ellos no deben cruzarse ni salirse del diagrama. ¿Cómo sería el recorrido de cada uno?

3. Unir los puntos con tres líneas rectas

solamente con la condición que donde se comienza se debe terminar.

4. Unir los nueve puntos sólo con cuatro líneas rectas en forma continua.

5. El salto del caballo Colocando el número 1 en cualquier

casillero, ir llenando los cuadrados con los siguientes números consecutivos hasta el 12, siguiendo el movimiento del caballo de ajedrez.

6. La figura mostrada es un famoso templo

griego que está hecho con once cerillos. Cambia de lugar 4 cerillos de manera que obtengas 5 cuadrados.


-124 -


7. Colocar los números del 1 al 7, de tal

manera que los números de arriba sean el resultado de la suma de los dos de abajo adyacentes a él.

8. Un terreno debe dividirse en cuatro

partes de igual forma y tamaño. ¿Cómo debe hacerse la división?

9. Disponer en el siguiente cuadro los

números consecutivos desde el 1 hasta el 8, uno en cada casillero, de tal manera que dos números consecutivos nunca sean vecinos.

10. Se dan 3 números y un resultado, y

usted colocará los signos matemáticos respectivos en los recuadros, tal que satisfaga el resultado

11. Porque falta un recuadro en la parte inferior de estos dos triángulos de dimensión 13x5 (ambos triángulos tienen las mismas figuras en tamaño y forma)

100 m

50 m

50 m


-125 -


A) 28 305 B) 18 310 C) 22 305 D) 24 575 E) 23 805

O R C

R A A O

P O G R M C I N

R A A O

O R C

4. Si GABY x 9999999 = . . . 2468 Halle : G + A + B + Y A) 14 B) 18 C) 17 D) 18 E) 22

8 x 666 . . . 666Acifras 50243421=

6. Si abcde x 9999999 = . . .23467 Halle : a + b + c + d + e A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25 1 2 3 4 . . . 7 8

2 3 4 5 . . . 8 9 3 4 5 6 . . . 9 10

7 8 9 10 . . . 13 14 8 9 10 11 . . . 14 15

Ejercicios de Repaso

RAZ INDUCTIVO DEDUCTIVO 1. Hallar la suma de todos los elementos

de la siguiente matriz A) 512

B) 524

C) 624

D) 821

E) 625

2. Calcule la suma de todos los números

del siguiente arreglo:

1 3 5 7 453 5 7 9 475 7 9 11 49

45 47 49 51 89

L

L

L

M M M M O M

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3. ¿Cuántas palabras PROGRAMACIÓN

se pueden leer en total uniendo letras adyacentes?

A) 64 B) 128 C) 72 D) 256 E) 36 5. Halle la suma de cifras del resultado de

efectuar:

A) 1 500 B) 1 515 C) 1 495 D) 1 600 E) 1 425 7. Si N x 425 = …225 N x 417 = …489 Calcule las últimas tres cifras de N x 56 A) 148 B) 149 C) 150

D) 151 E) 152 8. De cuántas maneras diferentes se

puede leer la palabra “CHAVO” uniendo letras vecinas

C C C H H H H A A A A A V V V V V V O O O O O O O V V V V V V A A A A A H H H H C C C A) 108 B) 96 C) 56

D) 48 E) 56 9. Calcule el número de bolitas que se

ubican en f(14). A) 200 B) 231 C) 224 D) 189 E) 120 10. Se sigue la secuencia hasta que la

suma de los números de las esquinas, superior derecho e inferior izquierdo sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

1

1 3

2 4 3 96

7

85

4

2

1

; ; ;…

f(1) f(2) f(3) f(4) ….


-126 -


3 3 6 3 6 4 3 6 4 7 3 6 4 7 4 3 6 4 7 4 6

444 3444 21

444 8444 76

sumandos 20. . .727272727272

sumandos 20

. . .242424242424E

+++

+++=

321

876

cifras 24024 . . 2424.

cifras 240

74 . . .7474...

2424

7474

24

74E +++=

2)334.....3333(E 43421

cifras 100

=

A) 20 B) 14 C) 10 D) 12 E) 15 11. Si el número telefónico de mi colegio

“GENIOS” es 364746. De cuántas formas puedo encontrar en el arreglo mostrado dicho número telefónico.

A) 16 B) 32 C) 81 D) 27 E) 64 12. Halle el valor de: A) 24 B) 72 C) 3 D) 1/3 E) 1 13. Halle “E” A) 18 B) 16 C) 10 D) 29 E) 36 14. Halle el total de palabras “TRES ” A) 68 B) 76 C) 40 D) 90 E) 48

15. Hallar la suma de cifras del resultado de:


pueden leer la palabra “RAZONAR” uniendo letras vecinas

A) 16 B) 48 C) 128 D) 32 E) 64 17. De cuantas maneras diferentes se

puede leer la palabra “RADAR”, uniendo letras vecinas.


pueden leer la palabra “CARRETA” uniendo letras vecinas

A) 96 B) 128 C) 64 D) 32 E) 48

1 T R E S 2 T R E S

3 T R E S 4 T R E S

10 T R E S

R A A Z Z Z O O O O N N N N N A A A A A A R R R R R R R

R R R R R A A A

D A A A

R R R R R

C A A R R R E E E E T T T T T A A A A A A


-127 -


5cm

A

B 6cm

3cm

49x50

1...

3x4

1

2x3

1

1x2

1E +++=

19. Calcular el valor de:

A)50

49 B)

49

50 C)

50

51 D)

51

49 E)

50

53

RAZ. LÓGICO

21. Si para hornear una torta en una pastelería se demoran 40 minutos. ¿Cuál será la suma del tiempo mínimo y máximo empleados en hornear 6 tortas?

A) 3:20 B) 4:40 C) 5:10 D) 4:30 E) 7:00 22. Un carro puede transportar de 250 a

450 kg. Las personas que transporta pesan entre 35 kg. Y 50 kg. Si cada persona paga 15 soles. ¿Cuál es la máxima recaudación que se puede lograr?

A) 180 B) 240 C) 150 D) 40 E) 160 23. En la mano derecha tengo 5 monedas

más de lo que tengo en la izquierda. Si de la mano izquierda paso las 8 monedas para ponerlas en la mano derecha. ¿Cuántas monedas tengo en la derecha?

A) 24 B) 13 C) 10 D) 18 E) 21 24. Una persona dispone de 5 trozos de

cadena de 3 eslabones cada uno y los lleva a un herrero para que las uniera y formara con ellos una sola cadena. Si el herrero cobra S/. 5 por abrir y soldar un eslabón. ¿Cuánto debe pagar como mínimo la persona?

A) S/. 20 B) S/. 10 C) S/. 25 D) S/. 15 E) S/. 30

25. Una arañita quiere ir desde el punto “A” de un ladrillo al punto “B” ¿Cuál es el camino más corto?

A) 12 B) 10 C) 16 D) 14 E) 09 26. Si el ayer de mañana del pasado

mañana de hace 3 días, es el día que subsigue al ayer del anteayer del mañana de lunes. ¿Qué día de la semana será el inmediato anterior al día que sigue al mañana del pasado mañana del mañana de hoy?

A) Miércoles B) jueves C) viernes D) Sábado E) domingo 27. El anteayer de mañana de hace dos

días fue Lunes. Dentro de cuántos días se llegará al mañana del pasado mañana del mañana del ayer de mañana; y qué día de la semana será?

A) 3-Juev B) 3-Doming C) 4-Sábad D) 4-Lunes E) 5-Miércol 28. Cuatro hombres y dos niños tienen que

cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de los hombres o los dos niños, pero no un hombre y un niño a la vez. ¿Cuál es el número de veces que la canoa tiene que cruzar el río, en cualquier sentido, para que pasen todos?

A) 17 B) 18 C) S/. 15 D) 13 E) 30 29. Un borrachín con 7 colillas de cigarro

puede formar un cigarro. Si en un determinado momento tiene 31 colillas. ¿Cuántos cigarros podrá fumar y cuántas colillas le han de quedar al final?

A) 4 - 3 B) 5 - 0 C) 4 - 2 D) 5 - 1 E) 3 – 1


-128 -


30. Si el anteayer de dentro de cinco días

es domingo. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de hace tres días del pasado mañana de mañana?

A) Miércoles B) jueves C) viernes D) sábado E) domingo 31. Si el 1 de marzo del 2008 fue sábado.

¿Qué día de la semana será 1 de marzo de 2 025

A) Miércoles B) jueves C) viernes D) sábado E) domingo 32. Dora cumplió 67 años el día miércoles

28 de marzo de 2001. ¿Qué día de la semana nació?

A) domingo B) sábado C) jueves D) miércoles E) lunes 33. En un cierto mes, el primer día fue

lunes y el último día también. ¿Qué día cayó el 24 de agosto de dicho año?

A) Jueves B) martes C) miércoles D) domingo E) lunes 34. Andrés le dice a Bruno: “Es curioso.

Anteayer tenía 12 años y el próximo año cumpliré 15”. Bruno le responde: “mi cumpleaños es hoy”. ¿En qué fecha nació cada uno?

A) 29 de febrero y 1 de marzo B) 30 de diciembre y 1 de enero C) 31 de diciembre y 1 de enero D) 28 de febrero y 1 de marzo E) 31 de julio y 1 de agosto

35. La hermana del hijo de la hermana del

hijo de la hermana de mi padre es mi: A) hija B) tía C) sobrina D) nieta E) hermana 36. Si el padre de Luís es el hermano de

mi hermano gemelo.¿Qué es respecto a mí, la abuela del gemelo de Luís?.

A) abuela B) hermana C) madre D) tía E) nuera

37. Una arañita sube durante el día 5

metros de una torre y resbala durante las noches 3 metros. ¿Cuántos días demora en llegar a la cúspide si la torre tiene 145 metros de altura y cuántos metros ascendió en total?

A) 71- 355 B) 71- 356 C) 71-325 D) 72- 356 E) 72- 357 38. Se tiene 436 esferas del mismo color y

tamaño, pero una de ellas es más pesada que las otras. Para poder determinar cuál es ésta, utilizando una balanza de dos platillos. ¿Cuántas pesadas como mínimo deben realizarse?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 39. Se tiene la siguiente información

acerca de tres jóvenes. Andrés nunca quiso ser abogado, el

médico y el ingeniero no se llevan bien, Rossy y Andrés salen a jugar basket, Rossy y Pedro son amigos desde el colegio. Según esto, ¿Qué profesión tiene Rossy?

A) Médico B) abogada C) ingeniería D) médico o abogado E) médico o ingeniero 40. Violeta, Margarita y Azucena practican

deportes diferentes, Voley, tenis y natación, aunque no necesariamente en ese orden. Además se sabe que: • Violeta es cuñada de la voleibolista. • Azucena es soltera • La voleibolista está casada con el

hermano de la que practica natación. ¿Cuál de las siguientes alternativas

es la verdadera? A) Violeta es voleibolista. B) Margarita practica natación. C) Margarita es teniecita. D) Azucena practica natación E) Azucena es tenista.


-129 -


FRACCIONES 41. Una persona gasta en hojas los 2/3

del dinero que llevó más 4 soles, en cartulinas gasta 1/6 del dinero que le quedaba más 6 soles y en colores gasta los 3/7 del nuevo resto mas 4 soles.¿Cuántos soles llevó a la librería si ha regresado con 4 soles?

A) 94 B) 74 C ) 104 D) 84 D) 56 42. Si gaste 1/4 de lo que no gasta, luego

del resto, perdí 1/3 de lo que no perdí, si al final me quedé con S/. 21. ¿Cuánto tenía al inicio?

A) 34 B) 49 C) 84 D) 35 D) 28 43. Un caño “A” llena un tanque en 2 horas

y otro “B” lo vacía en 6 horas. Funcionando juntos. ¿En qué tiempo se llenará el tanque?

A) 5h B) 6h C ) 3h D) 2h D) 4h 44. Una cañería llena un estanque en 4

horas y otra la puede dejar vacío en 6 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse en estanque si la cañería de desagüe se abre 3 horas después?

A) 5h B) 6h C ) 3h D) 2h D) 4h 45. Si no vendí 1/4 de las manzanas que

vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se malograron. ¿Cuántas manzanas tenía al comenzar todo el negocio, si al final me quedaron 8 manzanas, luego de botar la malogradas?

A) 60 B) 40 C) 80 D) 24 E) 36 46. Cada vez que Paola entra en una

tienda gasta 1/4 de lo que no gasta. Cierto día Paola entró en 3 tiendas en forma consecutiva, si al salir de la tercera tienda aún le quedaba S/. 64. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

A) S/. 121 B) S/. 122 C) S/. 123 D) S/. 124 E) S/. 125 47. Una persona, luego de perder los 2/5

de lo que no perdió, gana el doble de lo que perdió, quedando así con S/. 81. ¿Cuánto perdió?

A) S/. 18 B) S/. 19 C) S/. 20 D) S/. 21 E) S/. 22 48. Una persona en su primera compra

gastó 1/5 de lo que tenía, más 8 soles; en su segunda compra gastó 1/4 de lo que le quedaba, más 3 soles; en la última compra gastó 1/3 del resto, más 6 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 7 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

A) S/. 60 B) S/. 61 C) S/. 62 D) S/. 63 E) S/. 64 49. Daniel puede hacer una obra en 15

días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días. Daniel empieza a trabajar en la obra y después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A los cuántos días de incorporación de éste se concluirá la obra?

A) 12 días B) 4 días C) 12 días D) 12 días E) 12 días 50. Gasta 2/3 de lo que no gasté y aún me

queda S/. 60 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) S/. 300 B) S/. 280 C) S/. 320 D) S/. 420 D) S/. 240 51. Si gasté los 2/5 de lo que no gasté;

regalando luego los 2/3 de lo que no regalé y presté el doble de lo que no presté. ¿Cuánto tenía al inicio si la tercera parte de lo que me queda al final es igual a S/. 10?

A) S/.180 B) S/. 210 C) S/. 150 D) S/. 200 D) S/. 300 52. Un recipiente contiene 24 litros de

alcohol y 36 litros de agua. Si se extrae


-130 -


15 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de alcohol quedan?

A) 23 B) 26 C ) 18 D) 29 D) 36 53. Tres obreros hacen un trabajo en 4

días sabiendo que el primero lo haría sólo en 9 días y el segundo en 12 días. Averiguar lo que demora el tercero trabajando solo.

A) 15 B) 17 C ) 16 D) 18 D) 20 54. Humberto en su primera compra gastó

1/3 de lo que tenía, más 6 soles; en su segunda compra gastó 1/5 de lo que le quedaba, más 2 soles; en la última compra gastó 1/2 del resto, más 2 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 20 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? De cómo respuesta la suma de sus cifras

A) 6 B) 3 C) 7 D) 5 E) 4 55. Un tranvía con cierto número de

pasajeros. En el primer paradero deja la quinta parte; en el segundo suben 40 pasajeros; en el tercero bajan 3/8 de los que iban; en el cuarto suben 35 y en el trayecto al último paradero dejó los 7/9 de los que llevaba, llegando a este último con 30 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros inició su recorrido?

A) 180 B) 210 C) 200 D) 150 D) 300

CONTEO DE FIGURAS 56. Calcule el número de triángulos con al

menos un corazón en su interior A) 14

B) 12

C) 15

D) 17

E) 18

57. En la figura. Hallar el máximo número de triángulos?

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 14

58. En la figura sólida está formado por

cubitos todos iguales, si pintamos el sólido. ¿Cuántos cubitos no tendrán ninguna cara pintada?

A) 27 B) 30 C) 20 D) 25 E) 35 59. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo

se pueden contar en la siguiente figura? A) 108

B) 120

C) 112

D) 100

E) 72 60. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? A) 70

B) 130

C) 100

D) 110

E) 85 61. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo

se pueden contar en la siguiente figura? A) 120

B) 300

C) 240

D) 264

E) 625


-131 -


1c

2s(c C)

−

− )31c

2s(c A)

−

− )1

1c

2s(c B)

−

− )2

1cs(c

D)−

+ )1

1c

3s(c E)

−

− )2

62. ¿Cuántos triángulos como máximo se pueden contar en la siguiente figura?

A) 42

B) 44

C) 34

D) 38

E) 40 63. ¿Cuántos triángulos como máximo se

pueden contar en la siguiente figura? A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

RELOJES 64. un campanario toca 6 campanadas en

15 segundos. Cuánto tardará en tocar 10 campanadas?

A) 25 s B) 26 s C) 27 s D) 28 s E) 29 s 65. Un campanario toca “c” campanadas

en “s” segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar “c2 -1” campanadas?

66. Ya pasaron las 3 sin ser las 4 de esta

tarde, dentro de 25 min. faltarán para las 5 p.m. los mismos minutos que pasaron desde las 3 hace 15 min. ¿Qué hora es?

A)3:33 p.m B)3:32 p.m C) 3:55 p.m D) 3:50 p.m E) 3:59 p.m 67. Son más de las 4 a.m pero aún no son

las 5 a.m, dentro de 10 min. faltarán

para las 5 a.m. la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 3 a.m. hasta hace 25 minutos. ¿Qué hora es?

A) 4:25 a.m B)4:33 a.m C) 4:38 a.m D) 4:28 a.m E) 4:50 a.m 68. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 33 B) 2h 32 2/7 C) 2h 32 1/5 D) 2h 32 3/7 E) 2h 32 8/11 69. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 51 B) 2h 52 2/7 C) 2h 53 1/5 D) 2h 54 6/11 E) 2h 54 8/11 70. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A)10h 32 8/11 B)10h 35 C)10h 33 7/11 D)10h 32 9/11 E)10h 32 7/11

α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.α

α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.α

α

12 11

10

9

8

76

3

2

1

5

4

.α


-132 -


PORCENTAJES

71. Tengo el 90% de lo que tenía ayer que era 20 soles más, ¿Qué tanto por ciento de lo que tuve ayer tendría mañana, si hoy perdiese 20 soles más que el 50% de lo que tengo?

A) 18% B) 54% C) 14% D) 24% D) 35% 72. Pedro le dice a Mario: “entre tu dinero

y el mío tenemos 1 125 soles, pero si tú hubieras recibido 30% menos, tendrías lo que yo tendría si hubiera recibido 20% menos” ¿Cuánto tiene Mario?

A) 180 B) 400 C) 600 D) 380 D) 186 73. ¿Cuántos litros de alcohol puro hay

que agregar en una mezcla alcohólica de 10 litros al 40% para obtener una nueva mezcla de 50% de pureza?

A) 1 B) 3 C) 8 D) 2 D) 5 74. Dos cilindros contienen un total de 800

galones. Se saca el 25% del contenido del primero y el 40% del segundo. Si después de sacar, quedan 60 galones más en el primero que en el segundo, ¿Cuántos galones hay en total en ambos cilindros ahora?

A) 620 B) 540 C) 180 D) 710 D) 480 75. ¿En qué porcentaje debe disminuirse

el lado de un cuadrado para que el área disminuya en un 51%?

A) 30% B) 40% C) 10% D) 49% D) 38% 76. El 40% de un número es el 60% de

otro. ¿Qué porcentaje de la suma es la diferencia de estos números?

A) 17% B) 12% C) 15% D) 24% D) 20% 77. Si el perímetro de un rectángulo se

reduce a la mitad, ¿En qué porcentaje a variado su área?

A) 30% B) 75% C) 80% D) 12% D) 25% 78. El 80% de “A” es igual al 40% de “B”,

¿Qué porcentaje de “B” es “A”? A) 30% B) 15% C) 50% D) 48% D) 60% 79. La edad de María es el 30% de la edad

de Ricardo, si hace 5 años la diferencia de sus edades era 14 años, hallar que porcentaje de la edad de Ricardo representará la edad de María dentro de 20 años?

A) 65% B) 35% C) 24% D) 80% D) 72% 80. Un comerciante compra 2 750 lápices

por S/. 1 000; pero resulta 359 fallados y vende el resto a S/. 7 la docena. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia?

A) 32% B) 25% C) 40% D) 30% D) 18% 81. ¿Qué porcentaje del tres por siete del

cinco por veinte del inverso de 7/2; es el dos por 49 del cuatro por cinco del triple de la mitad de 1/4?

A) 10% B) 40% C) 12% D) 30% D) 11% 82. Si el radio de un círculo se incrementa

en un 80%, ¿En qué porcentaje varía su área?

A) Disminuye 64% B) Aumenta 136% C) Aumenta 200% D) Disminuye 18% E) Aumente 224% 83. El área de un triángulo se incrementó

en un 32% cuando se aumentó la base en un 20%, ¿En qué porcentaje aumentó la altura?

A) 8% B) 11% C) 16% D) 14% D) 10% 84. En una hacienda el 30% de las vacas

son el 20% de los caballos. ¿Qué


-133 -


porcentaje del 60% del total, es el número de caballos?

A) 15% B) 130% C) 100% D) 80% D) 124% 85. En la mañana tuve S/. 69 y gasté el

38% de lo que no gasté ¿Cuánto no gaste?

A) S/. 24 B) S/. 36 C) S/. 72 D) S/. 25 D) S/. 50

ANÁLISIS COMBINATORIO

86. En cuantos ceros termina el desarrollo de

44 344 21

sumandos 40

.. . . . 241! 244! 247! E ++=

A) 40 B) 44 C) 28 D) 33 E) 32 87. Hallar el valor de E

28! 29!

28! 29! 30!E

+

++=

A) 2 7 B) 32 C) 40 D) 3 0 E) 36 88. Hallar el valor de “n” en

50

49

sumandos 1)n

. . . 5!3!

4!2!

3!1!

2!0!

=

+

++++444 3444 21

(

A) 52 B) 48 C) 84 D) 55 E) 62 89. En cuantos ceros termina el desarrollo

de

3) 600! 420! ( + A) 120 B) 168 C) 504 D) 103 E) 309 90. Si

x)!(524)(5!4!120(120) += Calcular: (x+3)! A) 6 B) 24 C) 120 D) 720 E) 3 628 800

91. ¿Qué se puede afirmar acerca del

valor de “n” de la siguiente igualdad?

24=+ n! - 1)!(n

n!n! x

A) es par B) es un cuadrado perfecto C) es mayor que 7 D) es un cubo perfecto E) es un número primo 92. Si: a! + b! = 126

Calcular 14!

b)!(ax

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 93. De 15 jugadores de fútbol, ¿De

cuántas maneras se puede conformar un equipo (11 jugadores) si se sabe que 3 de ellos, por problemas personales se niegan a jugar en el mismo equipo?

A) 198 B) 160 C) 120 D) 125 E) 210 94. Seis personas desean sentarse en una

carpeta de 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentas podrían hacerlo si dos de ellos siempre se sientan en los dos asientos centrales?

A) 120 B) 24 C) 720 D) 12 E) 48 95. En la casa de Arnaldo asistieron a una

reunión familiar 3 tíos y 3 tías, se les pide que se ubiquen en una banca, de forma alternada. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer?

A) 36 B) 720 C) 72 D) 180 E) 12 96. Si Nancy tiene para vestirse; 5

pantalones, 3 faldas, 6 blusas, 2 polos y 8 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse?

A) 510 B) 480 C) 488


-134 -


D) 540 E) 512 97. Andrea es una señorita bastante jovial

y amigable por lo que solo en una semana de estar en la academia, ha conseguido tener 10 amigos a los cuales desea invitarlos a un cumpleaños. ¿De cuántas maneras puede invitar a uno o más de ellos?

A) 55 B) 1024 C) 588 D) 1023 E) 63 98. Calcular

)!(3!

359

721!

719! )!)!((3!+

+=E

A) 1/4 B) 1/3 C) 2 D) 1/2 E) 1 99. ¿En cuantos ceros termina el

desarrollo de M= 999! + 998! + 997! + 996! + . . . + 700! A) 155 B) 124 C) 188 D) 123 E) 174 100. En una reunión hay 10 hombres y 5

mujeres; se van a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formaran sí siempre debe haber 2 mujeres en el grupo?

A) 360 B) 100 C) 72 D) 180 E) 120 101. Un equipo científico consta de 25

miembros de los cuales 4 son doctores; hallar el número de grupos de 3 miembros que se pueden formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un doctor

A) 870 B) 980 C) 900 D) 940 E) 970 102. De 11 estudiantes, ¿De cuántas

maneras diferentes se puede seleccionar un grupo de 5 estudiantes para ir de paseo, si hay dos de ellos (A y B) que no pueden estar en el mismo grupo?

A) 126 B) 252 C) 384 D) 378 E) 276 103. De cuántas maneras puede vestirse

Fernando si tiene 7 pantalones, 6 camisas y 3 pares de zapatos, todos de diferente color entre sí. Si la camisa blanca siempre lo usa con el pantalón azul y éste con ninguna otra camisa?

A) 73 B) 53 C) 93 D) 43 E) 63

104. En un torneo de ajedrez se jugaron

en total 524 partidas, y se sabe además que hubieron 2 ruedas. En la primera jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántas personas participaron?

A) 32 B) 64 C) 16 D) 30 E) 60

105. En una competencia de canotaje, un

bote es tripulado por 6 hombres de los cuales José, Gabriel y Abraham reman en el lado izquierdo y Víctor, Raúl y Adolfo en el lado derecho. ¿De cuántas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican 4 asientos?

A) 760 B) 144 C) 846 D) 576 E) 120 106. Patty tiene 3 vestidos; 4 faldas ( 2

iguales), 3 pantalones (2 iguales) y 5 blusas (3 iguales). ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?

A) 21 B) 18 C) 20 D) 24 E) 15 SUCESIONES 107. Halle el valor de a + b A) - 427 B) -327 C) -181 D) -227 E) -408

5 -2 -9 -16 b

1 ; 2 ; 3 ; 4 ;....; 60

4 7 10 13 a


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108. Observa el siguiente gráfico. Calcular el valor de a + b A) 203 B) 162 C) 172 D) 185 E) 197 109. Observa la distribución de los huevos. Calcule la suma de cifras de n. A) 10 B) 11 C) 9 D) 18 E) 13 110. En una P.A. creciente de 31 términos,

el término central es 40. Hallar la suma del primer y último término de dicha sucesión.

A) 93 B) 72 C) 62 D) 80 E) 90

111. Hallar la razón de la siguiente P.A. de 17 términos: 1/2, .............. .,-3/8

A) –8/75 B) –7/128 C) –6/85 D) –45/78 E) –1/31

112. En la sucesión siguiente: 8; 12; 16; ....... se sabe que seis

términos consecutivos de ella suman 180 ¿cuál es el último de los seis?

A) 25 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48

113. En una P.A. se sabe que el octavo término es 42 y el décimo segundo es 54. Halle la suma del cuarto término con el trigésimo término de dicha P.A.

A) 48 B) 98 C) 138 D) 276 E) 290 114. En una progresión geométrica, el

quinto término es 48 y el primer término es 3; entonces la suma de los 3 primeros términos de lugares múltiplos de 3 es:

A) 900 B) 111 C) 726 D) 876 E) 916

115. La suma del noveno y décimo séptimo término de una progresión aritmética es 82 y la relación del noveno y el vigésimo primer término es como 7 es a 27. Hallar el séptimo término.

A) 9 B) 31 C) 43 D) 11 E) 17

116. Se sabe que seis términos consecutivos de la sucesión:

8; 11; 14; 17; ......... suman 147.

Calcular el quinto término de los seis mencionados.

A) 32 B) 33 C) 43 D) 29 E) 31

117. María se dedica a vender revistas; el primer día vende 6, el segundo día vende 9, el tercer día vende 15, el cuarto día vende 24, el quinto día 36 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 1311. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?

A) 25 B) 26 C) 30 D) 40 E) 45 118. En la siguiente sucesión calcule la

suma del menor y mayor de los términos de 3 cifras:

5; 7; 11; 19; 35; 67; .........

A) 516 B) 512 C) 520 D) 646 E) 946

tramos 1 tramo 2 tramo 3 tramo 4 tramo 10

8 km 21 km 34 km 47 km a km ... b km

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4

Grupo “n”

. . .

“3n+ 28” huevos


-136 -


119. Un tren inicia su recorrido con 7 pasajeros. En cada paradero, a partir de la primera parada que realiza en su recorrido, suben 3 pasajeros. Si al llegar a la última estación (paradero final) bajaron todos (70 en total), ¿en su recorrido en cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 120. Se tiene la siguiente progresión

aritmética creciente:

1PD;4PC;PPP Indicar el vigésimo término

A) 1000 B) 999 C) 910 D) 940 E) 947

121. Dada la sucesión:

7, 15, 23, 31, 39, .................

¿Cuánto de sus términos tendrán 3 cifras?

A) 900 B) 100 C) 114 D) 112 E) 113

SERIES

122. Una hormiga recoge las migajas de

pan que hay frente a su hormiguero, ubicadas en una línea recta y equidistante entre sí 7,5 cm. La hormiga arrastra las migajas hacia su hormiguero, llevando sólo una a la vez, estando la primera a 9cm de su entrada, donde las deposita, recorriendo en total 14,04 metros. ¿Cuántas migajas recogió si partió de su hormiguero?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 123. Halle S: S = 2 + 3 + 1 + 4 + 6 + 2 + 6 + 9 + 3 + · · · . A) 200 B) 220 C) 250 D) 300 E) 330

124. Hallar la suma de las primeras 20 filas. 1 F1 2 3 F2 4 5 6 F3 7 8 9 10 F4 11 12 13 14 15 F5 A) 22 155 B) 66 465 C) 3 080 D) 44 310 E) 88 620 125. Si a 23 le sumamos los 25 números

impares siguientes. ¿En cuánto termina esta suma?

A) 2 B) 4 C) 7 D) 8 E) 10 126. Elvis desea leer un libro en un

número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido; pero si lee una página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

A) 156 B) 165 C) 135 D) 142 E) 170

127. Para construir una escalera de

ladrillos de 25 escalones, se requiere 80 ladrillos para el escalón inferior y cada escalón sucesivo requiere 3 ladrillos menos que el precedente. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir la escalera?

A) 1 126 B) 1 118 C) 1 108 D) 1 100 E) 1 092

128. En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 25.

1 → F1 3 5 → F2 7 9 11 → F3 13 15 17 19 → F4 21 23 25 27 29 → F5 A) 625 B) 325 C) 650 D) 1250 E) 3000 129. Un camionero lleva ladrillos de un

depósito a su fábrica y lleva la primera

30 sumandos


-137 -


vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si sedea acumular 2 700 ladrillos. ¿Cuántos viajes debe hacer?

A) 18 B) 15 C) 17 D) 23 E) 20

MISCELANEA 130. El número total de cubos que se

puede contar en el siguiente gráfico es

A) 18 B) 20 C) 19 D) 17 E) 21 131. Las dos primeras balanzas están

equilibradas, ¿Qué debe ir en el platillo del signo de interrogación para que la tercera balanza también esté equilibrada’:

A) B) C) D) E) 132. Hallar E en la serie

...16

2n

8

2n

4

2n

2

2n

E +−+−=

A) 5

2n

4 B) 4

2n

3 C) 3

2n

D) 3

2n

2 E) 7

2n

5

133. Calcule el menor número de

pequeños cubos que son necesarios agregar al sólido mostrado y formar así un cubo compacto.

A) 140 B) 135 C) 174 D) 152 E) 164 134. Las ruedas posteriores y delanteras

de una locomotora miden 425 cm y 250 cm en sus circunferencias, respectivamente. ¿Qué distancia deberá recorrer la locomotora, para que una de las ruedas dé 280 vueltas más que la otra?

A) 1 600 m B) 1 550 m C) 1 200 m D) 1 200 m E) 1 700 m 135. En una granja sucede algo muy

peculiar, en cada hora se venden los 2/3 del total de gallinas más 1/3 de gallina. Si se inicia la venta a las 6 a.m. y a las 12 del mediodía queda solo una gallina, la cual se vende viva. ¿Cuántas gallinas se vendieron en dicha granja esa mañana?

A) 1 092 B) 1 093 C) 2 093 D) 2 802 E) 1 091 136. José Carlos es dos veces más

rápido que César Abraham y juntos pueden hacer una obra en 12 días. Si la obra lo hiciera solamente José Carlos, este lo haría en

A) 16 días B) 18 días C) 20 días D) 15 días E) 10 días 137. Doscientos empleados deben

cobrar en total S/. 19 200 semanalmente, pero como algunos de

?


-138 -


ellos se retiran el resto tiene que cobrar S/. 160 semanal cada uno. ¿Cuántos se retiraron?

A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 138. Indique la figura que se obtiene al

plegar el papel. A) B) C) D) E)

139. En la analogía gráfica es a como es a A) B) C) D) E) 140. Se agrega al número 48 la suma de

25 números impares consecutivos. ¿En qué cifra terminará el resultado?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 141. Betty se propuso leer un libro de la

siguiente manera: El primer día 60 páginas, el segundo día 56 páginas, el tercer día 52 páginas y así sucesivamente hasta que cierto día debió acabar de leer el libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro y en cuántos días culminó la lectura?

A) 480; 16 B) 480; 15 C) 500; 15 D) 500; 16 E) 520; 15 142. ¿Cuál es el dado que continúa? ; ; ; ... A) B) C) D) E) 143. Calcula (12 - 22 - 32 + 42 ) + (52 - 62 - 72 + 82 ) +. .

.+ (20092 - 20102 - 20112 + 20122 )

A) 2011 B) 2010 C) 2012 D) -2010 E) -2012 144. Halle la relación entre las áreas S2 y S1

A) 1/5 B) 2/5 C) 2/3 D) 1/3 E) 4/5 145. Qué parte es la región sombreada de la

región no sombreada

b

2b

A

B

C

S1

S2

c 4c

3a

2a

A

B

C

b

2b

2a a


-139 -


A) 1/3 B) 4/3 C) 2/3 D) 2/5 E) ½ 146. Si el área del paralelogramo ABCD es 120

m2, halle el área de la región sombreada

A) 35 m2 B) 30 m2 C) 27 m2 D) 40 m2 E) 25 m2 147. Determinar el área de la región

sombreada. Si el érea del paralelogramo ABCD mide 48 cm2

A) 20 cm2 B) 16 cm2 C) 14 cm2 D) 12 cm2 E) 10 cm2 148. Calcule el área de la región sombreada, si

el área del triángulo ABC es 180 m2

A) 22 m2 B) 33 m2 C) 43 m2 D) 24 m2 E) 30 m2

149. Determinar el área de la región sombreada. Si el érea del paralelogramo ABCD mide 144 cm2

A) 10 cm2 B) 18 cm2 C) 14 cm2 D) 16 cm2 E) 12 cm2 150. ¿ Qué fracción representa el área de la

región sombreada respacto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios?

A) 4/5 B) 2/5 C) 2/3 D) 1/3 E) 1/2 151. Un reloj se atrasa 1/4 de minuto

durante el día, pero debido al cambio de temperatura se adelanta 1/3 de minuto durante la noche. ¿Al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que ahora que empieza la noche, marca la hora exacta?

A) 20 días B) 20,5 días C) 21 días D) 22,5 días E) 24 días 152. Raúl acostumbra subir andando por la

escalera mecánica del aeropuerto mientras funciona; sube 20 escalones con su paso y tarda así 60 segundos exactamente; mientras que su amiga sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si mañana esa escalera no funciona. ¿Cuántos escalones tendrá que subir Raúl?

A

B C

D

A

B C

D

a

A

B

C

3a

2a

A

B C

D

M

N

Q

P


-140 -


A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 153. Una persona desea dividir un terreno

de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de estacas en hileras inicialmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonces a colocar 3 menos en el largo y 2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas. Calcular el número de estacas disponibles.

A) 3120 B) 3200 C) 3000 D) 2844 E) 2780 154. Una cámara toma 6 imágenes por

segundo. Si un automóvil pasa frente a dicha cámara y esta logra tomarle 60 imágenes. Calcule la rapidez de dicho automóvil, si además tiene una longitud de 120m.

A) 5 m/s B) 7 m/s C) 14 m/s D) 8 m/s E) 12 m/s 155. Una vendedora de huevos vendió al

primero de sus compradores la mitad de ellos más medio huevo; al segundo, la mitad de lo que le quedaba más medio huevo; al tercero, la mitad de cuantos quedaron más medio huevo, así sucesivamente hasta que el séptimo comprador compró todos de la misma forma. ¿Cuántos huevos tenía la vendedora?

A) 63 B) 127 C) 128 D) 256 E) 225 156. Un caracol asciende 2 cm en el día y

resbala 1 cm en la noche, luego asciende 4 cm y resbala 1 cm, luego asciende 6 cm y resbala 1 cm; y así continúa su ascenso hasta llegar a lo alto de un árbol de 401 cm. Cuál es el recorrido total del caracol hasta cumplir su objetivo?

A) 429 B) 439 C) 438 D) 459 E) 472

157. Si

A) 64 B) 67 C) 65 D) 69 E) 68

158. Hallar el valor de “n” A) 2 B) - 3 C) 3 D) - 4 E) - 2

159. Halle el número total de triángulos en

la figura. A) 1 000 B) 1 025 C) 1 200 D) 1 225 E) 1 250 160. En la figura la rueda de 4 cm de

diámetro gira tangencialmente por la superficie desde la posición inicial A hasta el punto P. Halle el número de vueltas que da la rueda.

x = x2 – 4 x + 5

x = x2 + 1

Halle E = 8 + 4

3 2 4

2 3 3

2 1 -1

4 2 10

5 0 n

1

2

25

3


-141 -


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 161. A tiene tantas semanas como C días;

y B tantos años como C meses. Si entre A, B y C tienen 80 años. ¿Cuántos años tiene A?

A) 28 años B) 12 años C) 25 años D) 13 años E) 18 años 162. ¿Qué número corresponde a la cuarta

figura? A) 24 B) 27 C) 34 D) 32 E) 40 163. ¿Cuál de las siguientes alternativas

corresponde con la figura? A) B) C) D) E) 164. Si ABCD es un cuadrado de 24m2 de

área. Hallar el área de la región sombreada.

1. 5 m2 2. 6 m2 3. 7 m2 4. 8 m2 5. 9 m2

165. Un cuadrado ABCD de 12 cm. De lado se divide en 9 regiones iguales. ¿Cuántos centímetros se debe recorrer como mínimo para dibujarlo sin levantar el lápiz del papel?

A) 102 cm. B) 104 cm. C) 108 cm. D) 112 cm. E) 114 cm..

166. Se han vendido dos artículos al precio

de 240 soles cada uno; el primero ganando el 20% y el segundo con una pérdida del 20%. ¿Cuánto se ganó o se perdió en la venta de los 2 artículos?

A) perdió S/. 40 B) ganó S/. 40 C) perdió S/. 20 D) ganó S/. 20 E) no ganó ni perdió. 167. La expresión: 3n2 + 2n + 5 representa

la suma de los “n” primeros términos de una sucesión. Halle usted la suma del t3 y t1 de dicha sucesión.

A) 37 B) 27 C) 21 D) 28 E) 38 168. Calcule el área de la región

sombreada, si el área del cuadrado ABCD es 120 m2

A) 45 m2 B) 56 m2 C) 65 m2 D) 75 m2 E) 95 m2

A B

D C

D C

B A

D C

B A

20 15 18 . . .

P 2Π cm

Π cm 10 cm

10 cm

A 4Π cm


-142 -


169. Dado el cuadrado de lado igual

u52 calcular el área de la región sombreada.

A) 5 u2 B) 6 u2 C) 7 u2 D) 8 u2 E) 9 u2

170. Pedrito para ir de su casa a la

Academia gasta S/. 4 y de regreso S/. 2, si gastó S/. 190. ¿Donde se encuentra Pedrito?

A) En su casa B) En la Academia C) A mitad de camino a su casa D) A mitad de camino a la Academia E) No se puede determinar 171. Se compra cierta cantidad de

lapiceros con S/. 240 el ciento y se vende a S/. 36 la docena ganando en el negocio S/. 540. ¿Cuántos cientos se compro?

A) 200 B) 21 C) 30 D) 12 E) 9 172. Un comerciante compra 3 borradores

por S/. 2 y vende 4 por S/. 3. ¿Cuántos borradores debe vender para ganar S/. 15?

A) 500 B) 300 C) 240 D) 180 E) 142 173. Una señora pensó tejer 450 chalinas

en 20 días, pero tardó 10 días más por trabajar 3 horas menos por día. ¿Cuántas horas trabajó por día?

A) 8 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12 174. Calcule x+y+z 5xy = 12 ( x + y ) 5yz = 18 ( y + z ) 13xz = 36 ( x + z )

A) 16 B) 19 C) 17 D) 18 E) 20 175. Si el radio de la base de un cono se

incrementa en el 20% y la altura de dicho cono disminuye en su 25%. ¿En cuánto varía el volumen del mismo? Diga además si aumenta o si disminuye.

A) aumenta en el 92% B) aumenta en el 8% C) disminuye en el 8% D) disminuye en el 12% E) aumenta en el 12% 176. Las escalas Fahrenheit (F) y Celsius

(C) para medir temperaturas, están relacionadas por una función cuya gráfica es una recta. Si 00 C equivale a 32oF y 100o C equivale a 2120 F ¿A cuántos grados Celsius equivale 86 grados Fahrenheit?

A) 36 B) 40 C) 24 D) 25 E) 30 177. A un alambre de 26m se le dio 3

cortes, uno después de otro, de manera que la longitud de cada trozo resultante (A partir del segundo trozo) sea igual al del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuántos centímetros mide el trozo de menor longitud?

A) 320 B) 32 C) 100 D) 260 E) 26 178. Noelia trabaja 5 días seguidos y

descansa el sexto día, en cambio Sophia trabaja 4 días seguidos y descansa en quinto día. Si ambas comienzan a trabajar un día lunes. Cuántos días tiene que trabajar cada una de ellas para que les toque descansar un domingo? Dar como respuesta la suma de ambas cantidades

A) 360 B) 343 C) 240 D) 390 E) 400 179. Noelia trabaja 5 días seguidos y

descansa el sexto día, en cambio Sofía trabaja 4 días seguidos y descansa en quinto día. Si ambas comienzan a

D C

B A


-143 -


trabajar un día lunes. Cuántos días tiene que trabajar cada una de ellas para que les toque descansar un domingo? Dar como respuesta la suma de ambas cantidades

A) 360 B) 343 C) 240 D) 390 E) 400 180. Compré cierto número de libros a 5

por S/. 6, me quedé con la tercera parte y vendí el resto a 4 por S/. 9, con lo cual obtuve una ganancia de S/. 9. ¿Cuántos libros compré?

A) 15 B) 20 C) 30 D) 18 E) 25 181. Alberto decía: Yo veo que las dos

terceras partes de mis hermanos usan anteojos; sin embargo mi hermana única dice: la mitad de mis hermanos usan anteojos. ¿Cuántos miembros conforman la familia?

A) 5 B) 2 C) 7 D) 6 E) 9 182. Una señora compra 136 naranjas a

50 céntimos cada una, se le malograron varias de ellas y vende las restantes a 80 céntimos cada una; con lo cual obtiene un beneficio de S/. 20 y 80 céntimos. ¿Cuántas naranjas se malograron?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 183. Se tiene cubos 216 cm3 de volumen

cada uno. Si se sueldan alambres sobre cada arista, de longitud igual a éstas. Halle la longitud total de alambre a emplearse para soldar las aristas de tantos cubos como aristas tiene cada uno.

A) 8,64 m B) 6,84 m C) 8,56 m D) 7,56 m E) 5,12 m 184. Un terreno de forma cuadrada se

divide en parcelas cuadradas de 2m por lado, sembrándose un árbol en los vértices de dichas parcelas. Si se

sembraron 625 árboles en total. ¿Cuántos árboles se sembrarían, en total, si ahora las parcelas fueran de 3m por lado?

A) 325 B) 289 C) 829 D) 300 E) 389 185. Una liebre lleva 32 saltos de ventaja a

un galgo que le persigue, mientras que el galgo da 6 saltos, la liebre da 10; pero 8 saltos del galgo equivalen a 14 de la liebre. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?

A) 340 B) 324 C) 834 D) 384 E) 232 186. En un estante se puede colocar 24

libros de RM y 45 de RV, o 32 libros de RM y 33 de RV. ¿Cuántos libros se puede colocar como máximo, en dicho estante y qué curso debe ser?

A) 80 de RV B) 81 de RV C) 82 de RM D) 81 de RM E) 83 de RV 187. Los alumnos de las academias “A” y

“B” se encuentran en la avenida y rápidamente intercambian un saludo; cada uno de “A” saluda a cada uno de los de la “B”. Al saludarse dos varones se dan un apretón de manos, mientras que al saludarse 2 mujeres o un varón y una mujer, se dan un beso. Si en total se han producido 42 apretones y 35 besos. ¿Cuántos alumnos varones hay en total?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 188. Carlitos sube las escaleras dando

saltos de 3 escalones y baja mediante saltos de 4 escalones, dando un total de 70 saltos. ¿Cuántos saltos dará en total al subir la escalera mediante saltos de 5 escalones?

A) 64 B) 48 C) 64 D) 48 E) 24


-144 -


AA C E

AC B

DA C

EA B

AC C

RAZ. LÓGICO I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.

CC D D B

CD C C E

EC C E

BB D C

CA B A

RAZ. LÓGICO II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22.

AB E

CE E

CC B

AE C

EB A

RAZ. LÓGICO III 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

DA D C

DA B C

EE C B

BC C

AA B

RAZ. INDUC-DEDUCT. I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

DC D E

ED B D

CD E C

ED E D

BA A B

RAZ. INDUC-DEDUCT. II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

DD D C E

DE B D

CB A A

C C E B

D E A D

EDADES I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21.

CE A B A

EE B B A

AA A A E

B B D C E

A A B C C

PLANTEO I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

ED B E

BE E B

CB B E

E D D

D E A

PLANTEO II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

AC B E

AD B E

DE D A

B A A

C C C

PLANTEO III 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

CA C E

BC E B

CB D D

E A C B

A E C

PLANTEO IV 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.


-145 -


C A C B

B C B A

DD C A

CA C A

E C C D

EDADES II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

D C E B D

E B E D D

BA E E

CE C E

A A A C

CRONOMETRÍA I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22.

B D E B C

A B B B B

BC D C

BD D D

A D D B

CRONOMETRÍA II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22.

E E A B

C A C C

EB D B

AC D B

C B C B

FRACCIONES I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

CA D B D

BE C B

ED D A

EB C C

CE B A

FRACCIONES II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21.

E C D D C D

ED D E D

CC D E B

B D B A B

C A B B E B

MÓVILES 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

26. 27.

ED D A

DD D B

DD A C

BD A E

CB A C

OPERACIONES MATEMÁTICAS I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

CB D B

ED B B

BB E B

BC A

BC E

OPERACIONES MATEMÁTICAS II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

AA A C

BB C E

AC C A

BC A

BB B

OPERACIONES EN TABLAS 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

PORCENTAJES 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. 32. 33.

ED D B B D C

BA C B A C

DA C A A C D

AD D A C A A

AA C D B D


-146 -


CA B A C

DE A A D

BC C B C

AC D C

DA C A

SUCESIONES I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

CB D B B

AA D E C

AB D D C

EE E A

BC C C

SUCESIONES II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

AA D B A

BB D A A

CE C D

CC B D

AE D D

SERIES I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22.

DB D D C

CA D E

EB D B

BC C C

AA A D

SERIES II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21.

AC C A

BC C A

EA E E

DC C B

BD A

CONTEO DE FIGURAS I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

DE A

DE E

CE B

C C D

C E D

CONTEO DE FIGURAS II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

DA C E

CA A

EB E

A E C

B B D

AREAS I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.

BA D B

DA C

AC E

D A C

C E D

AREAS II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.

AD E A

CB B

DC E

C A B

C D E

AREAS III 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.

CB D E

CD D

BB B

B B B

B A B

PERÍMETROS I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.


-147 -


C B A

E D A

DB D

AB A

E A

PERÍMETROS II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

C A D A C

B B A D D

ED A B B

CA C D C

D C B C

A. COMBINATORIO I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

B A C D E

B C C C

DB D C

EB C C

D B A E

ANALISIS COMBINATORIO II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21.

D B D A D

B C C A A

BC B C C

AD C A D

E D E B A

PROBABILIDADES 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

B C B C

C E D E

EC B C

AE B B

D A B

DISTRIBUCIONES GRÁFICAS I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

AB D E

AA B A

AE D A

ED B B

BE E

DISTRIBUCIONES GRÁFICAS II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

BC C E

CE B D

EC E C

DC C

ED A

TEST I 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18.

AD B C

EA D

EA B

DE C

BE E

TEST II 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16.

ED E C

EB B A

CB B D

EA A C

CB E E

TEST III 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.

BC C C

AB C E

DD C C

BC A D

CE CE

RECORRIDOS EULERIANOS 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.


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