Frecuencias cuasinormales del campode Dirac en Schwarzschild de SitterO. del Angel & A. Lopez Ortega

Informacion de contacto:Departamento de Fısica, ESFM-IPN,Edificio 9, UPALM, Mexico D.F., C.P.07738, MexicoEmail:octaviodelangelG@gmail.coomalfreloport@gmail.com

ResumenCalculamos numericamente las frecuencias cuasinormales de oscilacion

del campo sin masa de Dirac cuando se propaga en el agujero negro D −dimensional de Schwarzschild de Sitter para D = 5, 6, 7, 8. Estudiamos paraD fijo la dependencia de las frecuencias con el valor de la constante cos-mologica y tambien exploramos la dependencia de dichas frecuencias cuasi-normales con la dimension del espacio tiempo.

IntroduccionPara conocer algo acerca de la estabilidad, ondas gravitacionales y

evaporacion de Hawking de agujeros negros, se tiene que empezar delanalisis de sus perturbaciones. Una vez que un agujero negro es pertur-bado este responde a la perturbacion emitiendo ondas cuya evolucionen el tiempo puede ser convenientemente dividida en tres etapas:1. Un periodo relativamente corto de radiacion que depende de las

condiciones iniciales.2. Posteriormente un periodo de oscilaciones amortiguadas, denomi-

nadas modos cuasinormales. Por modos cuasinormales nos refe-rimos a los modos de oscilacion de frecuencia compleja de las per-turbaciones de un agujero negro.

3. Para un tiempo largo los modos cuasinormales son suprimidos porun decaimiento que depende de una potencia del tiempo.

Ademas las ecuaciones de movimiento que describen las perturba-ciones de un agujero negro se reducen a una sola ecuacion diferen-cial de segundo orden que es similar a la ecuacion unidimensional deSchrodinger para una partıcula colisionando con una barrera de poten-cial [1].

Metodo WKBLa motivacion para el uso de la aproximacion WKB en el estudio

de los modos cuasinormales de agujeros negros es la similitud aludi-da anteriormente entre las ecuaciones de la teorıa de perturbacionesde agujeros negros y la ecuacion de Schrodinger unidimensional parauna barrera de potencial. En ambos casos la ecuacion principal tienela forma [2, 3]

d2Ψ/dr2∗ + Q(r∗)Ψ(r∗) = 0 (1)

donde ψ representa la parte radial de la perturbacion y Q = ω2 − V ,con V denotando el potencial efectivo y r∗ es llamada la coordenadatortuga.

Figura 1: Potencial −Q(r∗).

La situacion fısica que tenemos es la de un campo ψ en las regionesI y III de la Fig. 1 y que se aproxima mediante combinaciones defunciones que representan ondas entrantes y ondas salientes, (aproxi-madas a tercer orden en la expansion WKB). Esas funciones debenser igualadas a traves de la region II . Para un modo cuasinormal deun agujero negro, la condicion de frontera que impone solo ondas sa-lientes conduce a una restriccion en los valores de los coeficientes dela expansion de Taylor de Q(r∗) en (r∗)0 y que determina que las fre-cuencias cuasinormales son iguales a

ω2 = [V0 + (−2V ′′0 )1/2Λ]− i(n +1

2)(−2V ′′0 )1/2(1 + Ω) (2)

con

α ≡ n +1

2

n =

0, 1, 2, ..., Re(E) > 0−1,−2,−3, ..., Re(E) < 0

(3)

aquı las primas denotan diferenciacion con respecto a r∗ , y n es elnumero de modo. El subındice 0 en una variable denota su valor en(r∗)0 . Ademas las cantidades Λ y Ω estan dadas por

Λ =1

(−2V ′′0 )1/2

1

8

(V

(4)0

V ′′0

)(1

4+ α2

)− 1

288

(V ′′′0

V ′′0

)2

(7 + 60α2)

(4)

Ω =1

(−2V ′′0 )

5

6912

(V ′′′0

V ′′0

)4

(77 + 188α2)− 1

384

(V ′′′20 V

(4)0

V ′′30

)(51 + 100α2)

+1

2304

(V

(4)0

V ′′0

)2

(67 + 68α2) +1

288

(V ′′′0 V

(5)0

V ′′20

)(19 + 28α2)

− 1

288

(V

(6)0

V ′′0

)(5 + 4α2)

(5)

donde

V(n)

0 =dnV

drn∗

∣∣∣∣r∗=r∗(rmax)

Metrica para el agujero negro de Schwarzs-child de Sitter

La metrica de fondo que esD−dimensional y esfericamente simetri-ca esta dada por

ds2 = −f (r)dt2 + h(r)dr2 + r2dΩ2D−2. (6)

Para el agujero negro de Schwarzschild de Sitter f (r) toma la forma

f (r) = h−1(r) = 1− 2M

rp−1− λr2 (7)

dondeM es la masa del agujero negro, p = D−2 y λ esta relacionadacon la constante cosmologica. La metrica en (6) describe un agujeronegro con un horizonte cosmologico si λ satisface la condicion [4]

p− 1

p + 1

1

(p + 1)2p−1

> λ > 0 (8)

para el campo de Dirac el potencial efectivo que entra en la Ec. (1)toma la forma [5]

V1,2 = ±dWdr∗

+ W 2 (9)

donde W =√fr

(l + p

2

)y√fhddr ≡

ddr∗

, aquı l es el numero quedetermina el momento angular.

Frecuencias cuasinormales en el lımite l→∞Si ahora estudiamos el caso cuando el momento angular se hace muy

grande, obtenemos una expresion para los modos cuasinormales a par-tir de la Ec. (2) a primer orden

ω2 ≈ V0 − i(n +

1

2

)(−2V ′′0 )

12 (10)

donde V0 es el maximo del potencial V1. En este lımite el potencialtoma la forma

V1

∣∣k→∞ ≈

k2(rp−1 − 2M − λrp+1)

rp+1(11)

donde k = l + p2 y el maximo del potencial ocurre en el punto

rmax∣∣k→∞ ≈ [M(p + 1)

1p−1]. (12)

Evaluando (11) en este punto, obtenemos

V0

∣∣k→∞ ≈ k2

[1− 2M2(p + 1)

[M(p + 1)]2p−1 − λ

](13)

y de la aproximacion WKB a primer orden encontramos que las fre-cuencias cuasinormales son iguales a

ω∣∣k→∞ ≈

p− 1

(p + 1)p+1p−1M

2p−1− λ1/2[

k − i(n +1

2)√p− 1

](14)

que se reducen a los lımites apropiados para el campo de Dirac pro-pagandose en un agujero negro de Schwarzschild cuando λ → 0 y2M = r

(D−2)H [5].

ResultadosEn la Fig. 2 podemos notar que a medida que el numero de momento

angular l aumenta, la parte real de la frecuencia crece mientras la par-te imaginaria tiende a un valor constante que depende de n y p paracuando λ es fijo con un valor de 0.037.

Figura 2: Dependencia de las frecuencias cuasinormales de la dimension para elcampo de Dirac propagandose en el agujero negro de SdS con λ = 0,037 para n = 0y l = 2 (cuadrado), l = 3 (cırculo), l = 4 (triangulo).

Ahora variamos λ de tal forma que se cumpla la condicion (8) y cam-biamos la dimension en el rangoD = 4, 5, 6, 7, 8 . Para cada dimensionvariamos el numero de momento angular desde l = 0 hasta l = 3 y elnumero de modo desde n = 0 hasta n = l . En la Fig. 3 notamos quepara una dimension dada la parte real de las frecuencias cuasinormalesdisminuye a medida que el parametro λ aumenta.

Figura 3: Parte imaginaria de las frecuencias cuasinormales para el campo de Diracpropagandose en el agujero negro de SdS para l = 3 y n = 0

Mientras que en la Fig. 4 observamos que la parte imaginaria crece amedida que el parametro λ aumenta.

Figura 4: Parte real de las frecuencias cuasinormales para el campo de Dirac pro-pagandose en el agujero negro de SdS para l = 3 y n = 0.

Ademas estudiamos la dependencia de las frecuencias cuasinormalescon λ para l = 1, 2, n = 0, p = 2, 3, 4, 5, 6 y encontramos un compor-tamiento similar al mostrado en las Figs. 3 y 4.

Conclusiones

Hemos calculado las frecuencias cuasinormales para el campo deDirac propagandose en el agujero negro D-dimensional de SdS conD = 4, 5, 6, 7, 8 . Determinamos como varıan estas frecuencias cuandocambiamos la dimension y la constante cosmologica. En este trabajoasumimos que la parte temporal de la perturbacion toma la forma

e−iωt = e−iωRte−iωIt (15)

donde e−iωRt representa la parte oscilatoria de la perturbacion, ademasdebido a que la parte imaginaria de las frecuencias cuasinormales quehemos obtenido son todas negativas, entonces e−iωIt representa la tasade amortiguamiento de la perturbacion, es decir, que tan rapido decaela perturbacion con el tiempo. El hecho de que la parte imaginaria dela perturbacion sea negativa significa que el agujero negro de SdS esestable bajo la perturbacion del campo sin masa de Dirac, una carac-terıstica que comparte dicho agujero negro cuando es perturbado conel campo electromagnetico o el campo escalar.

Referencias

[1] R. A. KONOPLYA, A. ZHIDENKO, Quasinormal modes of blackholes: from astrophysics to string theory, Rev. Mod. Phys. Vol. 83,pp. 793–836, July 2011.

[2] S. IYER AND C. M. WILL, Black-hole normal modes: A WKBapproach. I. foundation and application of a higher-order WKBanalysis of potential-barrier scattering, Phys. Rev. D, vol. 35,no.12, pp. 3621 – 3631, Junio 1987.

[3] S. IYER, Black-hole normal modes: A WKB approach. II. Sch-warzschild black holes, Phys. Rev. D, vol. 35, no. 12, pp. 3632–3636, Junio 1987.

[4] A. LOPEZ ORTEGA, Electromagnetic quasinormal modes ofD–dimensional black holes II, Gen. Rel. and Grav. vol. 40, no.7, pp.1379 –1401, Julio 2008.

[5] H. T. CHO, A. S. CORNELL, JASON DOUKAS, Y WADE NAY-LOR, Split fermion quasinormal modes, Phys. Rev. D 75, pp.10405-10407, May 2007.