gara - newmark beam - bozza 01

Modello di trave composta

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Modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione deformabile

1 INTRODUZIONE Le strutture composte in acciaio-calcestruzzo sono concepite per sfruttare al meglio le

propriet dei materiali, in particolare dellacciaio a trazione e del calcestruzzo a compressione. Gli impalcati composti sono, ad esempio, molto utilizzati nel campo delle strutture da ponte, in cui risultano nettamente competitivi, rispetto ai sistemi in cemento armato precompresso, per luci medie (superiori a 40 m) o quando la tortuosit dei tracciati stradali non consente il trasporto e quindi lutilizzo di travi prefabbricate in c.a.p. prefabbricate di grande luce. Il sistema composto altres utilizzabile in edifici con solai di grande luce e in tutti i casi in cui si vogliono conseguire risultati di resistenza e leggerezza.

Le travi composte sono generalmente formate da una trave in acciaio, per esempio con sezione a doppia T, completata superiormente con una soletta in calcestruzzo. Laccoppiamento delle due parti dato dalla connessione di interfaccia che pu essere realizzata con elementi metallici come, ad esempio, i pioli Nelson che vengono saldati nella flangia superiore della trave e rimangono immersi nel getto della soletta. La connessione riveste pertanto un ruolo fondamentale nel comportamento della struttura in quanto lunico elemento tramite il quale le due parti si scambiano forze di interazione longitudinali. Grazie a questo meccanismo la trave si comporta come trave composta nei confronti delle sollecitazioni esterne. Tale comportamento possibile se la connessione sufficientemente resistente per trasmettere le interazioni di taglio, ed ovviamente influenzato dalla rigidezza k della connessione stessa. Si consideri, ad esempio, la trave composta di figura 1, semplicemente appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito.

Nel caso limite di connessione con rigidezza nulla (k = 0), ossia in assenza di connessione, le due parti si appoggiano semplicemente luna sullaltra scambiandosi per contatto solo forze verticali; in assenza di attrito, non si hanno forze di interazione longitudinali. La trave si comporta come due travi sovrapposte in regime di flessione parallela; il momento esterno equilibrato dai due momenti interni offerti dalle singole parti mentre le risultanti assiali di ciascuna parte sono nulle. Gli spostamenti verticali e le curvature delle due parti sono uguali; allinterfaccia si ha uno scorrimento longitudinale.

Nel caso limite opposto di connessione rigida (k = ), le due parti collaborano luna con laltra formando una sezione unica. Allinterfaccia le forze di interazione longitudinali equivalgono alle forze di scorrimento che possono essere stimate con semplici considerazioni di equilibrio (Jourawsky). La trave si comporta come una semplice trave con sezione mista; il momento esterno equilibrato non solo dai due momenti interni offerti dalle singole parti ma anche da un contributo offerto dalle forze assiali di compressione sulla parte superiore, la soletta in calcestruzzo, e di trazione su quella inferiore, la trave in acciaio, che forniscono un importante contributo al momento interno grazie al braccio di leva interno. Gli spostamenti verticali e le curvature delle due parti sono, anche in questo caso, uguali ma notevolmente inferiori rispetto al caso precedente in assenza di connessione; lo scorrimento allinterfaccia nullo. Nelle travi in cui la rigidezza della connessione ha valori intermedi rispetto ai due casi limite appena esaminati, il comportamento fortemente influenzato dal valore della rigidezza sia in termini di distribuzione di tensioni, e quindi di risultanti interne, sia in termini di spostamenti.


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Ac = 1.2 m2

Ic = 0.004 m4 Ec = 35034 MPa fck = 35 MPa = 0.15 As = 0.1219 m2 Is = 0.0587 m4 Es = 2.1 x 105 MPa

Gs

6015

80

970

B=6000

200Gc

800

630

600

25 m

p=100 kN/m

Fig. 1. Esempio di trave a sezione composta: geometria, schema statico, caratteristiche meccaniche

Fig. 2. Comportamento di trave composta nei due casi limite di connessione infinitamente deformabile

(k = 0) e infinitamente rigida (k = ) Per descrivere con sufficiente adeguatezza il comportamento di questa tipologia di impalcati

non ci si pu basare sul pi semplice dei modelli di trave, il modello di Eulero-Bernoulli; questo, essendo basato sullipotesi di mantenimento della sezione piana, non in grado di cogliere aspetti cinematici importanti quali, oltre alla deformabilit della connessione, ad esempio la deformabilit della soletta in calcestruzzo per effetto shear-lag, la deformabilit a taglio e a torsione, la deformabilit trasversale. Nella pratica progettuale si ricorre generalmente ad una modellazione agli elementi finiti con elementi shell dellintero impalcato, che pu prevedere anche la modellazione della connessione con link deformabili o elementi beam. Questi modelli, seppur capaci di predire accuratamente il comportamento dellimpalcato, sono tuttavia complessi da costruire, si riferiscono ad un singolo caso, non si prestano ad uno studio parametrico, forniscono risultati in forma non sintetica di non rapida interpretazione, ecc. Unalternativa la messa a punto di modelli analitici a trave arricchiti rispetto al modello di Eulero-Bernoulli.

In questa relazione viene rielaborato il cosiddetto modello di Newmark [1] che prende il nome dal primo autore di un articolo scientifico nel quale viene presentato, si ritiene per la prima volta, un


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modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione flessibile uniformemente distribuita su una linea; il modello cinematico basato sullaccoppiamento di due elementi modellati come travi di Eulero-Bernoulli e connessi allinterfaccia tramite una connessione che permette lo scorrimento longitudinale relativo (slip) e la trasmissione di forze longitudinali tra le due parti, mentre ne blocca leventuale distacco (uplift). Il modello si basa pertanto sullipotesi di conservazione delle sezioni piane per quanto riguarda ciascuna parte considerata indipendentemente dallaltra, mentre la sezione composta presenta uno scorrimento relativo longitudinale allinterfaccia. Il modello trascura lingobbamento della soletta per effetto shear-lag, la deformabilit a taglio della sezione, linflessione trasversale e la torsione. Il comportamento dei materiali considerato elastico lineare. Nella realt la connessione manifesta quasi subito un comportamento non lineare che comunque non cambia sostanzialmente il comportamento qualitativo della struttura.

0

10

20

30

40

50

v [mm] v' [ ] 64

0

-4-6

-2

2

Ns = Nc [kN]

0

1000

2000

3000

4000

5000

[mm] 64

0

-4-6

-2

2

0 40

80

120

160

200 0 5 2015 25 m10

Mc [kNm] 0

2000

4000

6000

8000

100000 5 20 15 25 m10

Ms [kNm]

Fig. 3. Comportamento della trave composta di figura 1 per 8 diversi valori di rigidezza della connessione,

da pressoch infinitamente deformabile (k = 101 kN/m2) a infinitamente rigida (k = 108 kN/m2)

[1] Newmark, N. M., Siess, C. P., and Viest, I. M. (1951). Test and analysis of composite beams with incomplete interaction. Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 9(1), 75-92.


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2 CINEMATICA

2.1 Geometria e sistema di riferimento

Si sceglie un sistema di riferimento globale zyx ,,,0 tale che lasse della trave parallelo alla direzione z e il piano di simmetria della trave giace sul piano coordinato yz. La figura 1 si riferisce al caso di impalcato monotrave.

0

0 X

Y

Z

i j

k

L

Gs

Gch

X

Y

yc

ys

(a) (b)

B

Fig. 1. Geometria della trave e sistema di riferimento: (a) trave composta; (b) sezione trasversale

Posizione di un generico punto P della trave

kjir zyxzyx ,, sc AAyx , e z [0, L] (2.1) 2.2 Campo di spostamenti

Con riferimento alle tre direzioni indicate dai versori i j e k, si definiscono gli spostamenti della soletta di calcestruzzo, con il pedice c, e della trave di acciaio, con il pedice s:

Soletta in calcestruzzo

kju tzvyytzwtzvtzyx cc ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2.2a) Trave in acciaio

kju tzvyytzwtzvtzyx ss ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2.2b) dove v lo spostamento verticale, uguale per tutti i punti della sezione, wc e ws sono le componenti di spostamento longitudinale della soletta in cls. e della trave in acciaio rispettivamente.

Scorrimento allinterfaccia trave-soletta

htzvtzwtzwtz cs ;;;; (2.3)


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Z

ys

yc

wck

vj

vj

v'

v'

wsk

Fig. 2. Componenti di spostamento della sezione trasversale

2.3 Deformazioni In accordo con la teoria lineare, le uniche componenti di deformazione non nulle sono le

seguenti:

;,, vyywtzyx cccz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2.4a) vyywtzyx sssz ;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2.4b)

3 CONDIZIONE DI BILANCIO La condizione di bilancio viene imposta tramite il principio dei lavori virtuali (P.L.V.),

uguagliando il lavoro interno ed esterno compiuto per una variazione virtuale ammissibile del campo di spostamento introdotto in precedenza.

3.1 Lavoro interno e risultanti delle sollecitazioni interne il lavoro compiuto dalle tensioni interne per una generica deformazione virtuale compatibile

con il campo di spostamento introdotto:

L

csz

L

Asssz

L

Acccz

L

z

L

Aczcz

L

Aczcz

Vijij

Vi

zvhwwq

zavyywzavyyw

zqzaza

VVL

sc

sc

0

00

000

d

d d d d

dd dd d

d duS

(3.1)

Highlight

Highlight


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L

csz

L

sss

L

ccci zvhwwqzvMwNzvMwNL000

ddd (3.2)

L lunghezza dellimpalcato; Nc e Ns sollecitazione normale su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; Mc e Ms momento flettente su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio;

cw e sw deformazione normale longitudinale virtuale degli elementi in calcestruzzo e acciaio; v rotazione rispetto lasse X;

qz forza longitudinale per unit di lunghezza allinterfaccia trave-soletta, con direzione Z.

3.2 Risultanti interne delle tensioni

cA

czc atzN d; cA

czcc ayytzM d; (3.3a,b)

sA

szs atzN d; sA

szss ayytzM d; (3.3c,d)

dove: Ac dominio di integrazione della sezione trasversale della soletta; As dominio di integrazione della sezione trasversale della trave in acciaio.

3.3 Lavoro esterno e risultanti delle sollecitazioni esterne il lavoro compiuto dalle azioni esterne per un generico spostamento virtuale compatibile

con il campo di spostamento introdotto:

AVV

e aavL ddd ususub (3.4)

LssccL sszcczye vMwNwNvTzvmwpwpvpL 00

d (3.5) dove: b forze di volume; V volume dellimpalcato; s forze di superficie;

V superficie laterale dellimpalcato; A superficie delle sezioni trasversali per z = 0 e z = L; u campo degli spostamenti virtuali.


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3.4 Risultanti delle azioni di volume e di superficie applicate lungo la trave composta

sscc Ay

Ay

Ay

Aysycyy lsablsabtzptzptzp dddd;;; (3.6a)

cc A

zA

zcz lsabtzp dd; (3.6b)

ss A

zA

zsz lsabtzp dd; (3.6c)

sscc A

zcA

zsA

zcA

zcsc lsyyabyylsyyabyytzmtzmtzm dddd;;; (3.6d)

py azione verticale (lungo y) distribuita sullimpalcato; pcz azione assiale longitudinale distribuita lungo la soletta in calcestruzzo; psz azione assiale longitudinale distribuita lungo la trave in acciaio; m azione flettente distribuita sulla trave.

3.5 Risultanti delle sollecitazioni esterne applicate sulle sezioni trasversali finali della trave

sc A

yA

y asastT dd (3.7a)

cA

zc astN d (3.7b)

sA

zs astN d (3.7c)

sc A

zsA

zc asyyasyytM dd (3.7d)

T la risultante delle azioni di taglio applicate sulla sezione composta;

cN la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo; sN la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della trave in acciaio;

M la risultante dei momenti flettenti agenti sulla sezione composta.

3.6 Equazione di bilancio Il PLV fornisce

0uusubuS

dddVVV

avV (3.8a)

Sticky Notemanca il termine relativo alle facce di estremit


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congr. , ,

d

d

00

0

sc

Lsscc

L

ysszccz

L

cszscsscc

wwv

vTvMwNwNzvpvmwpwp

zvhwwqvMMwNwN

(3.8b)

3.7 Equilibrio locale (in termini delle risultanti delle tensioni interne) Integrando per parti e invocando il lemma fondamentale del calcolo variazionale si ottiene:

Equazioni differenziali

czzc pqN (3.9a)

szzs pqN (3.9b)

mpqhMM yzsc (3.9c)

Condizioni al contorno

0 ccc wNN cw , 0, L (3.10a) 0 sss wNN sw , 0, L (3.10b) 0 vMMM sc v , 0, L (3.10c) 0 vmThqMM zsc v , 0, L (3.10d)

Le equazioni di campo (3.9) esprimono lequilibrio del concio di trave. Le prime due assicurano lequilibrio alla traslazione longitudinale, in direzione Z, della soletta e della trave in acciaio considerate separatamente; la terza, lequilibrio in direzione Y della trave composta. Le condizioni al contorno (3.10) descrivono in forma sintetica le condizioni essenziali e naturali nelle due sezioni di estremit della trave. Si ha la condizione essenziale nel caso di spostamento imposto, nella sezione di estremit, ovvero per variazione di spostamento nulla (sj 0, essendo sj uno degli spostamenti wc, ws, v', v). Viceversa, nel caso di spostamento libero, essendo la variazione di spostamento non nulla (sj 0), le condizioni naturali richiedono lannullarsi del termine fra parentesi quadra, il quale esprime la reazione del vincolo nella direzione dello spostamento. Infatti, se la variazione dello spostamento nulla il vincolo esercita una reazione diversa da zero, nella direzione del vincolo; viceversa se il vincolo non idoneo ad esercitare reazione nella direzione del vincolo, pu aversi una variazione non nulla dello spostamento in quella direzione.


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4 ANALISI VISCO-ELASTICA

4.1 Legame costitutivo (tensioni e forze di connessione in funzione degli spostamenti) Si ipotizza: comportamento elastico lineare per la connessione a taglio, con rigidezza ,

legame viscoelastico lineare per la soletta in calcestruzzo con funzione di rilassamento ,tR ; legame elastico lineare per la trave di acciaio con modulo di Young sE . Soletta in calcestruzzo

tt

ccc

t

tcczcz vyywtRtRtzyx

00

d ,d ,;,, (4.1)

Trave in acciaio

vyywEEtzyx sssssszssz )(;,, (16) Connessione flessibile

vhwwtztzq csz ;; (17) 4.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)

tt

cccA

czc wAtRatzNc 0

d ,d ; (18a)

tt

cA

czc vItRaytzMc 0

d ,d ; (18b)

)(d ; ssssA

szs wAEatzNs

(18c) vIEaytzM ss

Aszs

s

d ; (18d)

4.3 Inerzie

cA

c a yI d2 (19a)

sA

s ayI d 2 (19b)

4.4 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Equazioni differenziali


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czcst

tccc pvhwwwAtR

0

d , (20a)

szcsssss pvhwwwAE )( (20b)

mpvItRvIEhvwwh yt

tcsscs

0

d, (20c)


0d ,0

cctt

ccc wNwAtR cw , 0, L (21a)

0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (21b) 0d,

0

vMvIEvItR sstt

c v , 0, L (21c)

0d,0

vmThvwwhvIEvItR cssstt

c v , 0, L (21d)

4.5 Condizione di equilibrio locale (in funzione degli spostamenti e della funzione di viscosit) Utilizzando lequivalenza che caratterizza gli integrali di Volterra [CEB, 1984]:

tt

GtRtH0

d, tt

HtJtG0

d, (22a)

dove i nuclei J e R devono soddisfare la relazione integrale

t

t

dtJtRttRttJ0

0000

,,,,1 (22b)

il problema pu essere riformulato in funzione della funzione di viscosit invece di quella di Rilassamento. Equazioni differenziali


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t

tcz

t

tcsccc ptJvhwwtJwA

00

d ,d , (23a)

szcsssss pvhwwwAE )( (23b)

tt

y

t

tcs

t

tssc mptJhvwwtJhvtJIEvI

000

d,d,d, (23c)


0d,0

ctt

cccc wNtJwA cw , 0, L (24a)

0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (24b) 0d,

0

vMvIEtJvIt

tssc v , 0, L (24c)

0d,0

vmThvwwhvIEtJvIt

tcsssc v , 0, L (24d)

4.6 Tensioni attive (espresse in funzione delle caratteristiche di sollecitazione) Le tensioni possono essere espresse in funzione delle risultanti interne. Dalle espressioni delle

sollecitazioni in funzione degli spostamenti (18) si ricava

c

ct

tcc A

t;zNt;zt;zw,tR 0

d (25a)

c

ct

t It;zMv,tR

0

d (25b)

ss

ss AE

t;zNw (25c)

ss

s

IEt;zMv (25d)

Sostituendo le (25) nelle (15, 16, 17) si ottiene

Soletta in calcestruzzo


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yI

MAN

c

c

c

ccz (26a)

Trave in acciaio

ss

s

s

ssz yyI

MAN (26b)

Connessione flessibile

sszz Npq (26c)

5 ANALISI ELASTICA

5.1 Legame costitutivo Oltre al comportamento elastico della connessione con rigidezza e della trave di acciaio con

modulo elastico Es si considera che si comporti in modo elastico lineare anche la soletta in calcestruzzo con modulo di Young cE . Quanto segue pu essere desunto semplicemente dal caso viscoelastico considerando t = t0. Risulta:

cEttR 00 , (27) Soletta in calcestruzzo

vyywEEzyx ccccczccz ,, (28) Trave in acciaio

vyywEEzyx ssssszssz )(,, (29) Connessione flessibile

vhwwzzq csz (30) 5.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)

ccccA

czc wAEazNc

d (31a) vIEayzM cc

Aczc

c

d (31b) )(d ssss

Aszs wAEazN

s

(31c) vIEayzM ss

Aszs

s

d (31d)


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5.3 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Equazioni differenziali

czcscccc pvhwwwAE (32a) szcsssss pvhwwwAE )( (32b)

mpvIEIEhvwwh yccsscs (32c)


0 cccccc wNwAE cw , 0, L (33a) 0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (33b) 0 vMvIEIE ccss v , 0, L (33c) 0 vmThvwwhvIEIE csccss v , 0, L (33d)

5.4 Tensioni reattive Generalmente, a causa della non completezza del campo di spostamenti, le tensioni attive

sopra ricavate non sono sufficienti a garantire lequilibrio globale per il quale sono necessarie anche le tensioni reattive. Mentre per una trave generica, le condizioni di equilibrio locale non sono sufficienti per calcolare le tensioni reattive ed il problema rimane indeterminato, nel caso di travi in parete sottile, possibile calcolare lo stato tensionale reattivo partendo dallespressione delle tensioni assiali z date dal legame costitutivo, secondo una procedura che procedura costituisce una generalizzazione del metodo di Jourawski.

Ipotizzando che le tensioni tangenziali yz e le forze di massa bz e di superficie fz sono nulle, lequazione di equilibrio locale in direzione Z fornisce

0

zx

zxz zzxz Cxzt;z,y,xt;z,y,x

d (34) Analogamente, ipotizzando che le tensioni tangenziali xy e le forze di massa by e di superficie

fy siano nulle, lequazione di equilibrio locale in direzione X fornisce

0

zxxzx xxzx Cxz

t;z,y,xt;z,y,x d (35)

Le costanti di integrazione Cx e Cz dipendono dalle condizioni al contorno lungo i bordi laterali. Nel caso di bordi laterali liberi le condizioni al contorno sono

0 bxxz t;z,y,x (36a)

Cross-Out


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0 bxx t;z,y,x (36b) Le tensioni normali longitudinali z sono costante nella direzione X. Pertanto la tensione

tangenziale xz lineare e la tensione normale trasversale sx una funzione parabolica. Nel caso in esame, anche linterazione trave-soletta composta, oltre che dalla parte attiva qz,

anche da una parte reattiva qy che pu essere dedotta attraverso condizioni di equilibrio.

dz

qyqz

mspsz

MsdMs

NsdNsTsdTs

Ns

Ms

Ts

psyh

Fig. 3. Forze sullelemento di trave in acciaio

Pertanto, considerando lelemento di trave in acciaio, le condizioni di equilibrio alla

traslazione verticale e alla rotazione forniscono la relazione

szsysy mhqpMq (37)

che pu essere espressa in termini di funzioni di spostamento come

ssydcsssy mpfhvwwhvIEq (38)

Sticky Notecostanti

Highlight


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6 SOLUZIONE IN FORMA CHIUSA PER LANALISI ELASTICA

6.1 Sistema differenziale modificato Sostituendo le equazioni (32a) e (32b), derivate una volta, nellequazione (32c) derivata due

volte, si ottiene il sistema differenziale seguente:

)(1

112

csccczszss

cc

ccyy

ss

cc

cc

tottot

cc

ss

cc

cc

AEppAEAE

AEhmpmp

AEAE

AE

EIv

EIhAE

AEAE

AEv

(39a)

vEImpphAhE

w totyszss

ss 1 (39b)

vEImpphAhE

w totyczcc

cc 1 (39c)

avendo definito ccsstot IEIEEI 6.2 Ipotesi sui carichi e notazioni quadratica zc quadratica zs (40a,b) costante yy pzp linearezm (40c,d) linearezpcz linearezp sz (40e,f)

costanteT costantecN (40g,h)

costantesN costanteM (40i,l)

Tali funzioni possono essere espresse come segue:

pyy czp (41a) mm czbzm mbzm (41b,c) pszpszsz czbzp pszsz bzp (41d,e) pczpczcz czbzp pczcz bzp (41f,g)


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cccc czbzaz 221 ccc bzaz cc az (41h,i,l)

ssss czbzaz 221 sss bzaz ss az (41m,n,o)

Dove (con = c,s) sono le deformazioni imposte alla soletta in calcestruzzo (pu simulare una precompressione) e alla trave in acciaio.

6.3 Sistema differenziale modificato semplificato in base alle ipotesi nelle equazioni (36)

)(11

12

csccczszss

cc

ccy

ss

cc

cctot

tot

cc

ss

cc

cc

AEppAEAE

AEhmp

AEAE

AEEI

vEI

hAEAEAE

AEv

(42a)

vEImpphAhE

w totyszss

ss 1 (42b)

vEImpphAhE

w totyczcc

cc 1 (42c)

6.4 Soluzione in forma chiusa del sistema differenziale Il sistema differenziale lineare (42) pu essere semplicemente integrato e si ottengono le

seguenti espressioni degli spostamenti:

24)(

1

1

11

26

4

2

65

2

4

3

321

zAEppAEAE

AEAEhmp

hAEEI

hAEAEAEAE

AE

CzCzCzCeCeCEI

hAEzv

csccczszss

cc

ss

ccy

cctot

cc

ss

ccss

cc

qzqz

tot

cc

(43a)


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6

1

)(

1

12

3

2

2

2

2

2

32

2

121

zAE

phAE

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAE

AEppAEAE

EIhAE

hmp

hAEEI

hAEAEAEEI

hAEwzwzwqeCqeCAEAEzw

ss

szscc

tot

cc

ss

cc

tot

cc

ss

cc

csccczszss

cc

tot

ccy

cctot

cc

ss

cctot

ccsss

qzqz

ss

ccs

(43b)

6

1

)(

1

12

3

2

2

2

2

2

32

2

121

zAE

phAE

EIhAE

EIhAE

AEAE

AEppAEAE

EIhAE

hmp

hAEEI

hAEAEAEEI

hAEwzwzwqeCqeCzw

cc

czccc

tot

cc

tot

cc

ss

cc

csccczszss

cc

tot

ccy

cctot

cc

ss

cctot

ccccc

qzqzc

(43c)

dove

t

cc

aa

cc

cc EIhAE

AEAE

AEq

201 [q] = [L-1] (44)


0 cccccc wNwAE cw , 0, L (45a) 0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (45b)


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0 vMvIEIE ccss v , 0, L (45c) 0 vmThvwwhvIEIE csccss v , 0, L (45d)

6.5 Equazioni aggiuntive A causa delle derivazioni il sistema differenziale modificato (39) non equivalente al sistema

originario (32). Le quattro condizioni aggiuntive che assicurano lequivalenza tra i due sistemi, considerando le ipotesi sui carichi (40), si possono ottenere sostituendo le soluzioni del sistema modificato (43a,b,c) nel sottoriportato sistema (46) formato dalle tre equazioni del sistema originario (32) pi una quarta equazione ottenuta derivando una volta la (32c), ed imponendo il passaggio in z = 0 (metodo di Cauchy).

czcscccc pvhwwwAE (46a) szcsssss pvhwwwAE )( (46b)

mpvIEIEhvwwh yccsscs (46c) 0 vIEIEhvwwh ccsscs (46d)

Si ottengono, infine, le seguenti espressioni.

Condizioni aggiuntive

032

11 CEIAEhww

AEAE

tot

cccs

ss

cc (47a)

')(1

1

1124

2

22

mpAEppAEAE

AEAEhmp

EIhAE

AEAEAE

AECEI

AEhwwAEAEh

ycsccczszss

cc

ss

ccy

tot

cc

ss

ccss

cc

tot

cccs

ss

cc

(47b)

0152

33

szssss

cc

tot

cccs

ss

cc pAEwAECEI

AEhwwAEAE (47c)

0152

33

czcccc

cc

tot

cccs

ss

cc pAEwAECEI

AEhwwAEAE (47d)


19/47


zvhzwzwz cs (48) Momento totale agente

cccccyczccc

cccctotcsc

wCzwCAhEmphpAhEzwAhEvEIhNMMzM

2413

2

2

)( (49)


20/47

7 METODO GENERALE PER LANALISI VISCOELASTICA

7.1 Introduzione Il sistema integro-differenziale (??) con associate le condizioni al contorno (??) descrive con

rigore matematico il problema fisico in esame. La sua integrazione in forma chiusa, tuttavia, particolarmente complicata, se non impossibile nel caso di funzioni di viscosit generiche. Il problema pu essere risolto, in modo approssimato, discretizzando opportunamente lasse temporale ed applicando il metodo generale al passo (step-by-step) [Bazant, 1972]; questo consente di trasformare il sistema integro-differenziale in una successione di sistemi differenziali. A questo punto generalmente conveniente definire una discretizzazione anche dellasse geometrico per risolvere numericamente le equazioni differenziali, ad esempio col metodo degli elementi finiti o delle differenze finite.

7.2 Discretizzazione temporale La discretizzazione dellintervallo temporale [t0, tf] in nt parti consente lapplicazione del ben

noto metodo generale di step-by-step. Gli integrali di sovrapposizione nel tempo vengono approssimati con serie finite di somme utilizzando la regola dei trapezi

tn

iiii

t

t

t,tJt,tJHH,tJ1

121d

0

(7.1)

dove la variabile di integrazione nel tempo, H una generica funzione del tempo t e iH Hti Hti1 lincremento della funzione H valutata fra gli istanti ti e ti1. 7.3 Equazione di bilancio

congr. , ,

d

d

0

sc

Lkksskcck

Lykksszkcczk

Lcszkskcksskcck

wwv

vTvMwNwNzvpvmwpwp

zvhwwqvMMwNwN

(7.2)

7.4 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)

1

0 ,

k

i ikc

cikckckckcck E

NEwAEN (7.3a)

1

0 ,

k

i ikc

cikckckcck E

MEvIEM (7.3b)

sksssk wAEN (7.3c)

vIEM ksssk (7.3d)

Highlight

Highlight


21/47

dove

12

ikikkic t,tJt,tJ

E (7.4a)

11112

ikikikikic t,tJt,tJt,tJt,tJ

E (7.4b)

7.5 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Sottraendo termine a termine le equazioni (??) e (??) calcolate allistante tk1 da quelle relative

allistante tk, si ottiene un sistema differenziale, con le associate condizioni al contorno, che permette di determinare lincremento di ciascuna funzione di spostamento nellintervallo di tempo tk tk1. Il sistema risolvente discretizzato rispetto al tempo assume la seguente forma:

Equazioni di campo ( k 1,, nt)

1

1 11

1

k

icziidicisi

icczk

kkc

kdkckskkkc

kcskckc

pfvhwwE

pE

vhwwE

fSwA f (7.5a)

szkkdkckskskss pfvhwwwAE (7.5b)

1

1 1

1 1

k

iiyii

Tdicisiiss

ic

kykkkc

kTdkckskkss

kkckc

mpfvhwwhvIEE

mpE

fvhwwhvIEE

vI (7.5c)

1

1

1112

k

ii

ick

kkc

kdkcskck bE

bE

fIfIwS cc (7.5d)

Condizioni al contorno (k 1,, nt)

011 11

ck

ici

icck

kkckkcskckc wNE

NE

wA fS

cw , 0, L (7.6a)

0 sskskss wNwAE sw , 0, L (7.6b)

Highlight

Highlight


22/47

011 11

vMvIEEMvIEEvIk

iiiss

ickkss

kkckc

v , 0, L (7.6c)

0 1

1

1

1

vTmvIEfvhwwhE

TmvIEfvhwwhE

vI

k

iiiissidicisi

ic

kkksskdkckskkkc

kc

v , 0, L (7.6d)

011 11

fEEfIwS

k

ii

ick

kkckcskck

f , 0, L (7.6e) Se il carico viene applicato allistante iniziale t0 e mantenuto costante, il sistema integro-

differenziale (23), con le condizioni al contorno (24), si trasforma in una successione di nt + 1 sistemi differenziali; il primo sistema, per t t0, coincide con quello del problema elastico (33) e (34) con Ec0 1 Jt0, t0; i successivi, allistante generico tk con k 1,, nt, presentano termini che tengono conto della completa storia di deformazione della struttura fino a quellistante, ossia termini che dipendono dalle soluzioni dei precedenti sistemi, rendendo cos necessaria una soluzione a cascata.

Poich gli integrali presenti nelle equazioni sono integrali di Stieltjes, gli effetti di discontinuit della generica funzione H sono colti automaticamente scegliendo una suddivisione dellintervallo temporale in modo da far coincidere un istante ti con listante in cui si verifica la discontinuit e, successivamente, imponendo ti1 ti. In tal modo possibile cogliere automaticamente gli incrementi elastici degli spostamenti incogniti dovuti ad un carico applicato allistante generico tk, con k 0,, nt, essendo

kkc t,tJE kk1 (7.7a)

01 icE

(7.7b)

La discretizzazione dellintervallo di tempo t0, tf in nt parti, viene eseguita secondo i criteri fissati da Bazant (1972) con una successione esponenziale caratterizzata da istanti molto ravvicinati allinizio dellanalisi. Ci consente di cogliere al meglio gli effetti della viscosit e del ritiro che nei primi periodi sono particolarmente accentuati. Si pu utilizzare la seguente successione di istanti temporali:


23/47

fn

tmm

k

tt

n,...,ktttt

.tt

tt

t

12 10

010

001

01

00

(7.8)

con

010

1011

tttt

logn

mm ft

(7.9)

dove il tempo espresso in giorni.


24/47

8 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI 8 D.O.F. Definendo una discretizzazione anche dellasse geometrico consente di risolvere

numericamente le equazioni differenziali del sistema risolvente, ad esempio col metodo degli elementi finiti.

8.1 Campo di spostamenti approssimato Le funzioni di forma che approssimano il campo di spostamenti sono lineari per i due

spostamenti longitudinali e cubica per lo spostamento verticale.

cwc zzw wN sws zzw wN vN zzv v (8.1a,b,c) dove

2

1

c

cc w

ww

2

1

s

ss w

ww

2

2

1

1

v

v

v (8.2a,b,c)

sono i vettori che raggruppano gli spostamenti nodali dellelemento finito, e

,1wN (8.3a) 32323232 ,23,2,231 eev LLN (8.3b)

sono le matrici delle funzioni di forma degli spostamenti, avendo indicato con = z / Le lascissa adimensionale.

w1 w2

v1v2 12 (a) (b)

Le Le

Elemento finito ad 8 gradi di libert (8 d.o.f.): (a) spostamenti assiali della soletta e della trave di acciaio; (b) spostamento verticale della sezione composta

8.2 Teorema dei Lavori Virtuali La condizione di equilibrio determinata con il PLV pu essere riscritta in base alla

approssimazioni introdotte sulle funzioni di spostamento:

vk

wk

wk

k

sk

k

vvvwvw

vwwwww

vwwwww

s

c

sc

ssscs

csccc

ttt

vww

KKKKKKKKK c

(8.4)

Cross-Out

Sticky Note possibile


25/47

dove le sottomatrici che compongono la matrice di rigidezza sono:

eL

ckc z''AE dwTww

Twww NNNNK cc (8.5a)

eL

zdwTwwwww NNKK cssc (8.5b)

eL

vwTv zh dNNKK

Twvw cc

(8.5c)

e

ssL

vwTv zh dNNKK

Twvw (8.5d)

eL

ss z''EA dwTww

Twww NNNNK ss (8.5e)

eL

ssckc z''hIEIE dvTvv

Tvvv NNNNK (8.5f)

e i sotto-vettori delle forze nodali sono

eLczk

k

i ikc

cickckck zpE

NAE d1

0 ,

Tw

Tww NNt c (8.6a)

zpeL

szkk d Tww Nt s (8.6b)

eL

ykk

n

i ikc

cikck zpmE

ME d1

0 ,

Tv

Tv

Tvv NNNt (8.6c)

Da notare che nei vettori delle forze nodali sono presenti, oltre ai termini dipendenti dai carichi (pcz, psz, py) e dalle deformazioni imposte ( c , s ), anche termini che tengono conto della storia delle tensioni dovuta al comportamento viscoso.

Integrando, si ottiene

BAww KKK cc ee

ckc LL

AE (8.7a)

Bwwww KKK cssc eL (8.7b)

CvTv hKKK cc ww (8.7c)


26/47

CvTv hss KKK ww (8.7d)

BAww KKK ss ee

ss LLAE (8.7e)

Ee

De

sscc

Lh

LIEIE k KKKvv

2

3 (8.7f)

e

1

1 11

11

11

2 1k

ici

c

cckkcc

ezckk NE

EEALpi

k

cwt (8.8a)

11

2e

zskkLp

swt (8.8b)

1

1

101

01

0101

6

6

12

k

i eci

c

ck

e

eeykk L

MEEm

L

LLpi

kvt (8.8c)

dove

1111

AK

2112

61

BK

ee

eeC LL

LL6666

121K (8.9a,b,c,)

2

22

2.36

323636

2

e

e

eee

ee

D

LsymL

LLLLL

K

2

22

4.336

34336336

301

e

e

eee

ee

E

LsymL

LLLLL

K (8.9d,e)

e

ee

L

Tv

L

LLze

6

6

12dN da controllare! Sul vecchio file era

e

ee

L

Tv

L

LLze

12

12

12dN


27/47

9 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI 10 D.O.F. Lelemento finito di trave composta con coneesione flessibile ad 8 d.o.f. appena derivato ha

problemi numerici di locking della curvatura. Nel seguito si presenta un elemento finito simile, con un maggior numero di gradi di libert, 10 d.o.f., che non presenta problemi di locking.

9.1 Campo di spostamenti approssimato Le funzioni di forma che approssimano il campo di spostamenti sono paraboliche per i due

spostamenti longitudinali e cubica per lo spostamento verticale.

w z zc w c N w sws zzw wN v z zv N v (9.1a,b,c) dove

wcc

c

c

www

1

2

3

3

2

1

s

s

s

s

www

w v

v

v

1

1

2

2

(9.2a,b,c)

sono i vettori che raggruppano gli spostamenti nodali dellelemento finito, e

Nw 1 3 2 2 4 42 2 2 , , or 222 44,2,231 wN (9.3a) 32323232 ,23,2,231 eev LLN (9.3b) sono le matrici delle funzioni di forma degli spostamenti, avendo indicato con = z / Le lascissa adimensionale.

w1 w3 w2

v1v2 12 (a) (b)

Le Le Le

Elemento finito ad 8 gradi di libert (10 d.o.f.): (a) spostamenti assiali della soletta e della trave di acciaio; (b) spostamento verticale della sezione composta

9.2 Teorema dei Lavori Virtuali La condizione di equilibrio determinata con il PLV pu essere riscritta in base alla

approssimazioni introdotte sulle funzioni di spostamento:

vk

wk

wk

k

sk

k

vvvwvw

vwwwww

vwwwww

s

c

sc

ssscs

csccc

ttt

vww

KKKKKKKKK c

(9.4)

dove le sottomatrici che compongono la matrice di rigidezza sono:


28/47

eL

ckc z''AE dwTww

Twww NNNNK cc (9.5a)

eL

zdwTwwwww NNKK cssc (9.5b)

eL

vwTv zh dNNKK

Twvw cc

(9.5c)

e

ssL

vwTv zh dNNKK

Twvw (9.5d)

eL

ss z''EA dwTww

Twww NNNNK ss (9.5e)

eL

ssckc z''hIEIE dvTvv

Tvvv NNNNK (9.5f)

e i sotto-vettori delle forze nodali sono

eLczk

k

i ikc

cikckck zpE

NAE d1

0 ,

Tw

Tww NNt c (9.6a)

zpeL

szkk d Tww Nt s (9.6b)

eLykk

n

i ikc

cikck zpmE

ME d1

0 ,

Tv

Tv

Tvv NNNt (9.6c)

Da notare che nei vettori delle forze nodali sono presenti, oltre ai termini dipendenti dai carichi (pcz, psz, py) e dalle deformazioni imposte ( c , s ), anche termini che tengono conto della storia delle tensioni dovuta al comportamento viscoso.

Integrando, si ottiene

BAww KKK cc ee

ckc LL

AE (9.7a)

BAww KKK ss ee

ss LL

AE

(9.7b)

16.24214

301

symLecssc wwww KK

(9.7c)


29/47

4484487636

3676

601

eLTwvvw

Tvwvw sscc

KKKK da controllare (9.7d)

ee

ee

ee

LLLL

LLh

4484487636

3676

601T

wvvwTvwvw sscc

KKKK cos era nel vecchio file

2

222

2

22

3

4.336

34336336

302.

662323636

2

e

e

eee

ee

e

e

e

eee

ee

e

sscc

LsymL

LLLLL

Lh

LsymL

LLLLL

LIEIE k

vvK (9.7e)

e

1

1 2

1

445115

61

411

6011

k

i ci

ci

c

cezckkkcck N

N

EELpEA

i

k

cwt (9.8a)

411

6e

zskkLp

swt (9.8b)

1

1 2

1

011

011

1

0101

12

12

12

k

i ci

ci

e

e

ec

ck

e

eeykk M

M

L

LLE

Em

L

LLp

i

kvt da controllare (9.8c)

1

1 2

11

0101

6

6

12

k

i ci

ci

ec

ck

e

eeykk M

MacontrollatnonLE

Em

L

LLp

i

kvt cos nel vecchio file

con

16.

87817

31

sym

AK

16.24214

301

symBK (9.9a,b)


30/47

10 SOLUZIONI IN FORMA SIMBOLICA La soluzione in forma simbolica viene determinata considerando ipotesi ulteriormente

semplificate sulle deformazioni imposte (funzioni lineari) (45) e sui carichi assiali distribuiti su trave di acciaio e soletta in calcestruzzo (psz e pcz costanti e m lineare) (46). La soluzione dipende complessivamente da dodici costanti di integrazione, 6 per v(z), 3 per ws(z) e 3 per wc(z). Tali costanti si determinano tramite le otto equazioni al contorno e le quattro equazioni aggiuntive che risultano semplificate rispetto a quelle precedentemente calcolate. Nel prosieguo si riportano le nuove ipotesi sui carichi e si determinano nuovamente le soluzioni e le condizioni aggiuntive. Successivamente vengono determinate le espressioni delle 12 costanti di integrazione e quindi le espressioni analitiche (in forma chiusa) delle funzioni di spostamento relativamente ad alcuni casi specifici (trave semplicemente appoggiata, doppiamente incastrata e mensola con carico uniformemente distribuito).

10.1 Ipotesi sui carichi e notazioni

lineare zc lineare zs (46a,b) costante yy pzp linearezm (46c,d) costantezpcz costantezp sz (46e,f) costanteT costantecN (46g,h)

costantesN costanteM (46i,l)

Tali funzioni possono essere espresse come segue:

yy pzp (47a) mm czbzm mbzm (47b,c) szsz pzp 0 zpsz (47d,e) czcz pzp 0 zpcz (47f,g) ccc czbz cc bz 0 zc (47h,i,l) sss czbz ss bz 0 zs (47m,n,o)


31/47

Sistema disaccoppiato con le nuove assunzioni

mpEIAE

AEAE

vEI

hAEAEAE

AEv y

totss

cc

cctot

cc

ss

cc

cc

111

20 (48a)

vEImpAhE

w totyss

s 1 (48b)

vEImpAhE

w totycc

c 1 (48c)

Soluzioni in forma chiusa del sistema differenziale (48)

241

11

26

4

2

65

2

4

3

321

zhAEmp

EIhAE

AEAEAE

AE

CzCzCzCeCeCEI

hAEzv

cc

y

tot

cc

ss

ccss

cc

qzqz

tot

cc

(49a)

61

1

2

3

2

2

32

2

121

zhAEmp

EIhAE

AEAEEI

hAE

wzwzwqeCqeCAEAEzw

cc

y

tot

cc

ss

cctot

cc

sssqzqz

ss

ccs

(49b)

61

1

2

3

2

2

32

2

121

zhAEmp

EIhAE

AEAEEI

hAE

wzwzwqeCqeCzw

cc

y

tot

cc

ss

cctot

cc

cccqzqz

c

(49c)


32/47

Condizioni aggiuntive

032

11 CEIAEhww

AEAE

tot

cccs

ss

cc (50a)

01

2

2

4

2

22

tot

cc

ss

cc

cc

y

tot

cc

cc

tot

cccs

ss

cc

EIAEh

AEAE

AhEmp

EIAEh

AEC

EIAEh

wwAEAE (50b)

0152

33

szssss

cc

tot

cccs

ss

cc pAEwAE

CEI

AEhww

AEAE (50c)

0152

33

czcccc

cc

tot

cccs

ss

cc pAEwAECEI

AEhwwAEAE (50d)

10.2 Caso A Trave semplicemente appoggiata con carico uniformemente distribuito

10.2.1

00sw 0Lv

00v


0)(000 cccccc NwAEw 00 LcccccLc NwAEw (A1a,b)

0000 ss ww 0)(0 LsssssLs NwAEw (A1c,d)

0000 MvEIv tot 00 LtotL MvEIv , (A1e,f)

0000 vv 00

LLvv (A1g,h)


33/47

Espressioni delle costanti

)1(1

1

)1(1

)1(1)1(1

)1(1)1(1

)1(1

)(

1)1(

22

2

0

22

2

0

22

222

2

00

2

0

22

2

2

22

22

22

4

2

1

ql

tot

cc

ss

cc

css

ccql

ss

cclc

ss

ccs

ql

tot

cc

ss

cc

slss

ql

tot

cc

ss

cccc

szczss

cc

ql

tot

cc

ss

cccc

ctot

ccc

ss

cc

ql

tot

cc

ss

cccc

ltot

ccql

ql

tot

cc

ss

ccss

sl

ql

tot

cc

ss

cccc

ss

ccqlcl

tot

cc

ss

cccc

ql

ytot

cc

eEI

hAEAEAEq

AEAELe

AEAE

AEAE

eEI

hAEAEAEq

L

eEI

hAEAEAEqAE

PPLAEAE

eEI

hAEAEAEhqAE

hNMEI

hAENAEAEh

eEI

hAEAEAEhqAE

MEI

hAEe

eEI

hAEAEAEqAE

N

eEI

hAEAEAEqAE

AEAEeN

EIhAE

AEAEhAEeq

mpEI

hAE

C

(A2a)

)1(1

1

)1(1

1

)1(1)1(1

)1(1)1(1

)1(1

1

1)1(

'

22

2

222

0

22

2

2.

22

2

2

22

2

00

2

0

22

2

0

2

22

22

2

20

2

24

2

2

ql

tot

cc

ss

cc

cql

ss

ccql

ss

ccql

lcss

ccqlc

ql

tot

cc

ss

cc

sql

lslqql

ql

tot

cc

ss

cccc

szczss

ccql

ql

tot

cc

ss

cccc

ctot

ccc

ss

cc

ql

tot

cc

ss

cccc

qll

tot

ccql

ql

tot

cc

ss

ccss

qlsl

ql

tot

cc

ss

cccc

ss

ccqlc

ql

ss

ccqlcl

tot

cc

ss

cccc

ql

ytot

ccql

eEI

hAEAEAEq

LeAEAEe

AEAEe

AEAEe

eEI

hAEAEAEq

Leee

eEI

hAEAEAEqAE

PPLAEAEe

eEI

hAEAEAEAEhq

hNMEI

hAENAEAEh

eEI

hAEAEAEhqAE

MeMEI

hAEe

eEI

hAEAEAEqAE

eN

eEI

hAEAEAEqAE

AEAEeNe

AEAEeN

EIhAE

AEAEhAEeq

mpEI

hAEeC

(A2b)


34/47

tot

cc

ss

cccc

ss

cclclco

ql

tot

cc

ss

cc

scss

cc

ss

cc

lcss

ccc

ss

czsz

ss

cc

tot

cc

ss

cccc

y

EIhAE

AEAEhLAE

AEAEMMhNhN

eEI

hAEAEAEq

LLAEAE

AEAE

AEAE

AEPP

AEAE

EIhAE

AEAEhAE

mpLC

2

0

22

2

0

23

1

1)(

)1(1

11

)(11

'2

(A2c)

tot

cc

ss

cc

slscss

cc

lc

ss

cc

ss

ccc

tot

cc

ss

ccsscc

clslccsscccosscc

sstot

cc

ss

cc

czsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

EIhAE

AEAE

LLAEAE

AEAE

AEAE

EIhAE

AEAEhAEAE

NNhAEAEAEhNAEAEM

AEEI

hAEAEAE

PPL

EIhAE

AEAEhAE

qmpEI

hAEC

2

0

20

22

12

4

1

1

1

)()(

1

)(

1

'

(A2d)

tot

cc

ss

cc

ls

tot

cc

ss

cc

css

ccs

tot

cc

ss

cc

ss

cc

lccss

cc

lcss

ccc

tot

cc

ss

ccss

sl

tot

cc

ss

cccc

ss

cc

ss

cccl

tot

cc

ss

cccc

ss

ccc

tot

cc

ss

cccc

ss

cc

tot

cc

tot

cc

ss

cccc

ss

cc

tot

ccl

tot

cc

ss

ccss

czsz

ss

cc

tot

cc

tot

cc

ss

cccc

y

EIhAE

AEAE

L

EIhAE

AEAEq

qLAEAE

EIhAE

AEAEqL

AEAE

AEAE

AEAEqL

EIhAE

AEAEAE

LN

EIhAE

AEAELqAE

AEAEqL

AEAEN

EIhAE

AEAELqAE

AEAEqLN

EIhAE

AEAEhLqAE

AEAEqL

EIhAEM

EIhAE

AEAEhLqAE

AEAEqL

EIhAEM

EIhAE

AEAEAEq

PPLq

qAEAEqL

EIhAEL

EIhAE

AEAEhAE

mpC

222

22

22

00

22

2

22

22

22

220

22

222

0

22

222

22

22

2

222

25

1213

3

16

161212

12

16

1216

13

13

13

13

16

16

13

))(3(

24

112

1

'

(A2e)


35/47

tot

cc

ss

cc

scss

cc

lcss

cc

ss

cccls

tot

cc

ss

cccc

ss

ccccl

ss

cc

tot

cc

ss

ccss

sl

tot

cc

ss

cccc

tot

cc

tot

cc

ss

ccss

czsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

EIhAE

AEAEq

LLAEAE

AEAE

AEAE

EIhAE

AEAEqAE

AEAENN

AEAE

EIhAE

AEAEAEq

N

EIhAE

AEAEhqAE

MEI

hAE

EIhAE

AEAEqAE

PPLq

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEC

22

0

22

0

22

22

0

2

22

42

2

6

1

1

1

1

11

1

)(

1

'

(A2f)

tot

cc

ss

cc

ss

cc

tot

ccs

ss

ccc

tot

cc

ss

cc

lcctot

cc

tot

cc

ss

cccc

lclcotot

cc

tot

cc

ss

cccc

tot

ccczsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccs

EIhAE

AEAE

AEAE

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEL

EIhAE

EIhAE

AEAELhAE

MMhNhNEI

hAE

EIhAE

AEAEAE

EIhAEPP

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAELW

2

2

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

1

1

1

11

1

1)(

1

'2

(A2g)

tot

cc

ss

cc

ss

cc

tot

ccsc

ss

cc

tot

cc

ss

cc

ctot

cc

ss

cc

tot

cc

lctot

cc

ls

tot

cc

ss

cccc

ctot

cc

tot

ccclsl

tot

cc

tot

cc

ss

cccc

tot

ccczsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

EIhAE

AEAE

AEAE

EIhAE

AEAEL

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAE

EIhAED

EIhAE

EIhAE

AEAEhAE

NEI

hAEhEI

hAEMNNEI

hAEh

EIhAE

AEAEAE

EIhAEPPL

q

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEWs

2

2

2

0

222

2

0

22

0

2

2

2

22

2

1

1

1

11

1

)(1

1

1)(

1

'2

(A2h)

qCqCWs 23 1 (A2i)


36/47

tot

cc

ss

cc

scss

cc

lcctot

cc

tot

cc

ss

cccc

lclcotot

cc

tot

cc

ss

ccss

czsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccc

EIhAE

AEAE

L

LLAEAE

BEI

hAE

EIhAE

AEAE

AhLE

MMhNhNEI

hAE

EIhAE

AEAE

AE

PP

EIhAE

AEAE

hAE

mpEI

hAELW

2

0

2

2

0

2

22

2

1

11

1

)(

1

'2

(A2j)

tot

cc

ss

cc

scss

cc

lcss

ccc

tot

cc

ls

tot

cc

ss

ccsscc

tot

cccssclccccsl

tot

ccss

tot

cc

ss

ccss

czsz

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccc

EIhAE

AEAE

LLAEAE

AEAE

EIhAE

EIhAE

AEAEhAEAE

EIhAEhNAEhNAEhAENM

EIhAEAE

EIhAE

AEAEAE

PPLq

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEW

2

0

2

2

2

00

2

22

2

2

2

1

1

1

)(

1

'

(A2k)

5)(2

31

3 CEIhAEW

AEAEPWAEW

tot

ccs

ss

ccszssccc

(A2l)

Scorrimento allinterfaccia trave-soletta:

12

2

21

2

1

'

)(1

ccccc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

qzqz

tot

cc

ss

cc

WAEzAE

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAE

eCeCEI

hAEAEAE

(A3)

Momento totale agente

zcccyccWCzWCzmphAEzM 2413

2

2)( (A4)


37/47

Forma compatta

)1(11

)1(1

)1(1)1(1)1(1

)1(1)1(1)(

)1(

220

220

2222000

22

22241

ql

cql

lcs

ql

slss

qlc

szczql

c

ccql

c

lql

qls

slql

c

qlcl

ql

eBDq

LDeDD

eBDq

L

eBDqRPPDL

eBDRhqhNBMhDN

eBDqhRBMe

eBDqRN

eBDqRDeN

eqBPAC

(A5a)

)1(1

1

)1(1

1

)1(1)1(1)1(1

)1(1)1(11

)1(

22

222

022

2.

22

2

22000

220

222

20

2

42

ql

cqlqlql

lcql

c

ql

sql

lslqql

qlc

szczql

qlc

ccql

c

qll

ql

qls

qlsl

qlc

qlc

qlqlcl

ql

ql

eBDq

DLeeDeDe

eBDq

Leee

eBDqRPPDLe

eBDRhqhNBMhDN

eBDqhRMeMBe

eBDqReN

eBDqRDeNeDeN

eqBPAeC

(A5b)

BDhLRDMMhNhN

eBDq

LDLDD

RPPDPALC

c

lclco

ql

sclcc

s

czsz

1)1)((

)1(1

11)()1(2

3

0

220

(A5c)

BDLDLDD

BDhRRNNhRRRhNRRM

RBDPPLBPAqC

slsclcc

sc

clslcsccosc

s

czsz

1

1

1)()(

1)(4

0

01

(A5d)

BDL

BDqqLD

BDqL

DDDqL

BDRLN

BDLqRDqLDN

BDLqRDqLN

BDhLqRDqLBM

BDhLqRDqLBM

BDRqPPLq

qDqLBPALC

lscs

lcclcc

s

sl

c

cl

c

c

c

c

l

s

czsz

12133

16

161212

12

161216

1313

13)1(3

16)1(6

13))(3(

24)1(125

2

22

200

22

2

22

2

220

2

220

2

22

2

22

2

22

(A5e)

BDqLDLDD

BDqRDNDN

BDRqN

BDhqRBM

BDqRPPLBPAqC

sclccls

c

ccl

s

sl

cs

czsz

1

1

11

111)(6

20

20

220

24

(A5f)


38/47

BDDBD

BDL

BB

BDLhRMMhNhNB

BDRBPPBPALW

sclcc

c

lclco

c

czszs

1)1)((

1

111)(

21

0

01

(A5g)

BDDBDL

BD

DBBDB

BDhRhBNBMNNBh

BDRBPPLBPAqWs

scclcls

c

cclsl

c

czsz

11

1

11

1))(1(

1)1)((2

0

002

(A5h)

qCqCWs 23 1 (A5i)

BDLLDLBB

BDhLRMMhNhNB

BDRPPBPALW

sclcc

c

lclco

s

czszc

1

11)(

21

0

01

(A5j)

BDLDLDB

BDhRRBhNRhNRhRNBMR

BDRsPPL

BPAqW

sclccls

sc

csclccslsczszc

1

11)(

0

0022

(A5k)

5)(3 31 BCDWPWRWc sszssc

(A5l)


121 )(1 cqzqz FWzBPAFeCeCBD (A6) Momento totale agente

zccccWCzWCzPhRzM 2413

2

2)(

(A7)

Con

ccc AER sss AER

cc AEF

tot

cc

EIhAE

B2

ss

cc

AEAED

hAEmP

Pcc

y )1(1 BDA


39/47

Caso B Trave incastrata alla estremit sotto lazione di un carico uniformemente distribuito

00cw 0Lcw

00sw 0Lsw

00v 0

Lv

00v 0

Lv


0000 cc ww 00 LcLc ww (B1a,b)

0000 ss ww 00 LsLs ww (B1c,d)

0000 vv 00

LLvv , (B1e,f)

0000 vv 00

LLvv (B1g,h)


qe

AE

EIAEh

AEAEhAE

mPLe

EIAEh

eC

C ql

cc

tot

cc

ss

cccc

yql

tot

ccql

1

1

1)1(

2

22

2

5

1

(B2a)

qe

AE

EIAEh

AEAEhAE

mPL

EIAEheCe

C ql

cc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccqlql

1

1

1)1(

2

22

2

5

2

(B2b)


40/47

cc

czszss

cc

ss

ccsc

tot

cc AE

PPAEAE

qAEAE

C

EIAEh

C 2523 1)(1 (B2c)

tot

cc

ss

cc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

tot

cc

ss

cc

czszcc

ss

ccsc

tot

cc

EIAEh

AEAELq

EIAEh

AEAEhAE

mPEI

AEh

EIAEh

AEAE

PPEsAs

AE

LqAEAECLqLq

EIAEh

qC

222

2

2

24

542

2

2

4

611

1

1313)(3

6 (B2d)

1122121

11

1

121

3322

223

22

2

5

ss

ccqlql

tot

cc

tot

cc

ss

cc

tot

cc

ss

ccscczsz

ss

ccql

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

AEAEeLqqLqLe

EIAEh

EIAEh

AEAE

EIAEh

AEAEPP

AEAEqeqL

q

EIAEh

AEAEhAE

mPEI

AEhLC

(B2e)

cc

tot

cc

ss

cccc

yql

tot

ccqlql

ql AE

EIAEh

AEAEhAE

mPe

EIAEh

qeqeeCC 22

2

25

6

1

121

11

)1( (B2f)

cc

szs

cc

sss AE

P

AE

AEqCw 251 (B2g)

cc

szs

cc

ss

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccs AE

LPLAEAELCq

qL

EIAEh

AEAEhAE

mPEI

AEhw 3336

1

161

52

22

2

2

2 (B2h)


41/47

53 Cws (B2i)

cc

czcc AE

PqCw 251 (B2j)

cc

czc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccc AE

LPLLCq

qL

EIAEh

AEAEhAE

mpEI

AEhw

3336

1

161

52

22

2

2

2 (B2k)

53 Cwc (B2l)


czs

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cccc

qLqLqz

qzqLqLqzqzqL

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

cc

PqC

EIAEh

AEAEhAE

mpEI

AEhzAE

eee

eeeqCeee

EIAEh

AEAEhAE

mPEI

AEhL

AEz

252

2

2252

2

1

1

11

1111

1

(B3)


222

22

5

2

22

2

6)(

122

11

22

2)(1

LmP

PAEAE

PEI

AEhzL

EIAEh

hhAE

EIAEh

AEAE

qCEI

AEh

zLhAEzmPEI

AEh

EIAEh

zM

ysz

ss

cccz

tot

cc

tot

ccccc

tot

cc

ss

ccs

tot

ccc

ccytot

cc

tot

cc

(B4)


42/47

10.3 Caso C Mensola incastrata in z = 0 con carico uniformemente distribuito

00cw

00sw

00v

00v


0000 cc ww 00 LcccccLc NwAEw C1a,b

0000 ss ww 0)(0 LsssssLs NwAEw C1c,d

0000 vv 00

LtotLMvEIv , C1e,f

0000 vv 0

0 31

Lssssz

ysccL

mTAEPh

zpCwAhEv C1g,h


tot

cc

ss

ccqlccss

ccslssclql

qllslc

ql

tot

cc

ss

ccql

cs

tot

cc

ss

ccqlcc

czss

ccsz

qlcc

tot

cc

ss

cc

ylql

ltot

cc

ql

ql

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

EIhAE

AEAEeAEqAE

AENAENeeq

e

EIhAE

AEAEeq

EIhAE

AEAEeAEq

PAEAEP

eAhEqEI

hAEAEAE

LmpmTqeMEI

hAE

eqe

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEC

222

22

223

223

232

2

242

2

1

1)1(

)()1(

)(

1)1(

)''(

1)1(

)1(1

))((

)1(1

'

(C2a)


43/47

tot

cc

ss

ccql

lslcql

tot

cc

ss

ccqlc

czss

ccsz

tot

cc

ss

ccqlcc

ql

ss

ccslcl

tot

cc

ss

ccql

csql

tot

cc

ss

ccqlcc

qlqll

qly

qll

tot

cc

ql

ql

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

EIhAE

AEAEeq

e

EIhAE

AEAEeRq

PAEAEP

EIhAE

AEAEeAEq

eAEAENN

EIhAE

AEAEeq

e

EIhAE

AEAEeAhEq

meqeMLemPeTEI

hAE

eqe

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEC

222

223

222

223

2

223

2222

242

2

2

1)1(

)(

1)1(1)1(

1)1(

)''(

1)1(

))'((

)1(1

'

(C2b)

tot

cc

ss

cccc

czss

ccsz

tot

cc

ss

cc

sc

tot

cc

ss

cccc

ss

ccyl

EIhAE

AEAEhAE

PAEAEP

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEhAE

AEAEmLmPT

C2223

11

)''(

1

1)'( (C2c)

tot

cc

ss

cc

lslc

tot

cc

ss

ccsscc

ccslsscl

tot

cc

ss

cccc

czss

ccsz

tot

cc

ss

cc

sc

tot

cc

ss

cccc

ss

ccyll

tot

cc

ss

cccc

y

tot

cc

tot

cc

ss

cccc

y

ss

cc

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEAEAE

AENAEN

EIhAE

AEAEAE

PAEAEPL

EIhAE

AEAEL

EIhAE

AEAEhAE

AEAELmLmPLTM

q

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAE

EIhAE

AEAEhAE

mpAEAELC

222

22

2

22

2

2

2

4

111

1

)''(

1

1))'((

1

'

1

'1

2

(C2d)

tot

cc

ss

cccc

czss

ccsz

tot

cc

ss

cc

cs

tot

cc

ss

cccc

yltot

cc

EIhAE

AEAEAEq

PAEAEP

qEI

hAEAEAE

EIhAE

AEAEhAEq

LmPTmEI

hAE

C2

2222

2

2

5

11

)''(

1

))'(( (C2e)

216 CCC (C2f)


44/47

tot

cc

ss

cccc

cztot

ccsz

tot

cc

ss

cc

ss

cc

ss

ccc

tot

ccs

tot

cc

ss

cccc

yltot

cc

s

EIhAE

AEAEAE

PEI

hAEP

EIhAE

AEAE

AEAE

AEAE

EIhAE

EIhAE

AEAEhAE

LmPTmEI

hAE

W

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

'1'

1

))'((

(C2g)

tot

cc

ss

cccc

tot

ccslcl

tot

cc

ss

cccc

cztot

ccsz

tot

cc

ss

cc

ss

cc

ss

cc

lctot

cc

ls

tot

cc

ss

cc

ss

cc

ss

ccc

tot

ccs

tot

cc

ss

cccc

ylltot

cc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccs

EIhAE

AEAEAE

EIhAENN

EIhAE

AEAEAE

PEI

hAEPL

EIhAE

AEAE

AEAE

AEAE

EIhAE

EIhAE

AEAE

AEAE

AEAE

EIhAEL

EIhAE

AEAEhAE

LmLmPLTMEI

hAE

Lq

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEW

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

'1'

1

))'((

21

'

(C2h)

tot

cc

ss

cccc

czss

ccsz

tot

cc

ss

cc

cs

tot

cc

ss

cccc

yltot

cc

s

EIhAE

AEAEAEq

PAEAEP

EIhAE

AEAEq

EIhAE

AEAEAhEq

LmPTmEI

hAE

W2

22

22

2

2

3

11

)''(

1

))'(( (C2i)

tot

cc

ss

cccc

tot

cc

ss

cccz

ss

ccsz

tot

cc

ss

cc

stot

cc

ss

ccc

tot

cc

ss

cccc

yltot

cc

c

EIhAE

AEAEAE

EIhAE

AEAEP

AEAEP

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEAhE

LmPTmEI

hAE

W2

2

2

2

2

2

1

11

''

1

))'(( (C2j)


45/47

tot

cc

ss

cc

lstot

cc

ss

cc

lc

tot

cc

ss

cccc

ss

ccsl

tot

cc

ss

cccl

tot

cc

ss

cccc

tot

cc

ss

cccz

ss

ccsz

tot

cc

ss

cc

stot

cc

ss

ccc

tot

cc

ss

cccc

ylltot

cc

tot

cc

ss

cccc

y

tot

ccc

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEAE

AEAEN

EIhAE

AEAEN

EIhAE

AEAEAE

EIhAE

AEAEP

AEAEPL

EIhAE

AEAE

EIhAE

AEAEL

EIhAE

AEAEhAE

LmLmPLTMEI

hAELq

EIhAE

AEAEhAE

mpEI

hAEW

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

2

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1 BDA

gara - newmark beam - bozza 01

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