geometria piano spazio - santoro

Prof. Raffaele SANTORO

Classi 6-7 (5 periodi per settimana)

Seconda Edizrone

Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1994195

Tutti i diritti riservati.

Riproduzione vietata con qualsiasi mezzo.

Ind ice

Capitolo I

Matrici e Determinanti..... ...................1

Gapitolo 2

PunÍi, vettori e relte nel piano (richiami) ............ ..,..........23

Gapitolo 3

Trasformazioni nel piano. Aspetto unalitico e matriciale........., .....37

Capitolo 4

Punti, vettori, piani e rette nello spazio .............55

Capitolo 5

Equazione della sfera e applicazioni........ .........95

Gapitolo 6

Isometrie nello spafio. Aspetto analitico e matriciale............ .........107

Appendice

Problemi supplementari ......1 19

Prefazione alla 2^ edizione

Le ragioni della nascita della prima edizione di questo corso di Geometria restano valide: I'assenza,nel panorama editoriale italiano, di un corso di Geometria dello spazio con I'ausilio dello strumentovettoriale e matriciale, come previsto dal programma di Matematica delle classi 6-7 (5 periodi persettimana) delle Scuole Europee.

Tuttavia, la disponibilità di un corso 'su misura ' per le Scuole Europee ha spinto alcuni colleghi avolersi sobbarcare la fatica di una traduzione della prima edizione in altre lingue. Sono così compar-se, in ordine di tempo, una versione in francese (a cura del collega J.P. MASCLE, Luxembourg), unaversione in danese (a cura del collega J. THORSEN, Luxembourg) ed una versione in tedesco (a curadel collega D. KOzuNG, Bruxelles II). A tutti questi colleghi va un sentito ringraziamento, ancheperchè hanno condiviso con me la filosofia dei 'diritti d'autore' di questo corso: il prezzo di ognicopia viene fissato aggiungendo al costo di riproduzione 100 FB da inviare ai Comitati Unicef.

Questa seconda edizione esce per rimediare ad alcune omissioni e per tener conto dei suggerimenti di

alcuni colleghi. Questi i cambiamenti piu importanti:o per il capitolo terzo: omotetie e proiezione ortogonale su un retta;. per il capitolo quarto: maggior peso alle proprietà geometriche di rette e piani nello spazio;o per tutti i capitoli: aumento del numero degli esercizi proposti e correzione di errori residui.

Anche se, owiamente, i colleghi possono seguire l'itinerario di studio che ritengono più opportuno,

mi permetto di suggerire un itinerario che mi sembra ottimale per trarre il massimo profitto da questo

corso:Classe 6. Capitolo 1 (Matrici e determinanti).. Capitolo 2 (Punti, vettori e rette del piano - Richiami).. Capitolo 4 (Punti, vettori, piani e rette dello spazio).

Classe 7. Ripasso dei capitoli 1,2 e 4 (visti in Classe 6).o Capitolo 5 (Equazione della sfera e applicazioni). Capitolo 3 (Trasformazíoni del piano - Aspetto analitico e matriciale).. Capitolo 6 (Trasformazioni dello spazio - Aspetto analitico e matriciale).o Risoluzione di tutti i problemi previsti nell'Appendice.

Resta I'auspicio che il corso, nelle sue diverse versioni, possa servire, oltre che per la preparazione al

Bac Europeo, anche per la preparazione all'esame d'ingresso in alcune Università e come punto di

partenzadi un primo corso di Geometria per l'Università.

Luxembourg, Luglio 1994

Raffaele SANTORO

Capitolo I

2 SOMMA DI DUE MATRICI DELLO STESSO TIPO.. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 MOLTIPLICAZIONE DI UNA MATRICE PER UN NUMERO REALE.... ............. 3

4 DETERMINANTE DI UNA MATRTCE QUADRATA """"""""""' 4

Io caso: maîrice 2x2... . . . . . . . . . . . """"""""""""" 4

2o caso: matrice3xJ... . . . . . . . . . . . """"""""""""" 5

3o csso: matrice nxn (con n> 3). """""""""' 7

5 PRoDorro DI DUE MATRICI.. . . . . """"""""""" ' 9

6 RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI CON LA REGOLA OT CN.IUNN. ........ I I

7 MATRICE INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA.. ............. 13

Io caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . " " " " " " " " 13

2o cuso: n = 3 . . . . . . . . . . . . " " " " " " " " 14

3o caso: n > 3... . . . . . . . . . """""""" 16

8 RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE CON IL CALCOLO MATRICIALE """"""""""" 18

9 ANELLo DELLE MA'IIIcI QUADRATE DI oRDtNE N.""""""""' """""""" 19

2 Cap. 1. Matrici e determinanti

1 Definizioni

una matrice reale (a elementi in R, insieme de numeri reali) è una tabellarettangolare mxn (m righe e n colonne) di numeri reali. Sono matrici reali, adesempio:

La matrice A è una matrice rettangolare 3x I avente 3 righe e I colonna. La matrice Bè una matrice quadrata 2x2 avente due righe e due colonne. La matrice c è unamatrice rettangolare 2x3 avente 2 righe e 3 colonne.

In generale, una matrice A con m 'ighe e n colonne si indica così:

dove 4,,(da leggere 'a uno uno'), ar, (daleggere 'a uno due'), ..., a* (da leggere 'aemme enne') sono gli elementi della matri ce. La matrice A, a volte, è anche indicatacon [a.,], oppure (a,,), do'ue 4,, è un generico elemento della matrice (l'elemento s-simo della riga r-sima).

Se rn : n,lamatrice si dice matrice quadrata di ordine n e, inquesto caso, glielementi ar,az2, ..., an, si dicono elementi delladiagonale principale.

Una matrice quadrata con gli elementi della diagonale principale tutti uguali a I e glialtri elementi tutti uguali a 0 si dice matrice unitaria. Ad esempio la matrice unitaria 3x 3 è

Una matrice, anche non quadrata, con tutti gli elementi uguali azero si dice matricenulla. Ad esempio, la matrice

é la matrice nulla2x2.

,:[+] ,=(: -]),,=[', i;')

III

)

a t t a t z a r n

Qzt azz Q2n

(

I

.ao,l 0^2 A^,

l o o ì, : i o r o i\0 0 1)

(o 'ì\0 0)

R.SANTORO'. Geometria

'= [-: j] = 'o=(: -l r)

E s e m p i o ( t 3 ì ( t , ì

t" '=[_1 - l" '=[ i _or]

' . " '* inarec:A+B'

Risulta:

( t 3 ì j 2 ì ( ' - ' r + z l ( o s ìC : i 2 - + i + i 3 o i = i 2 + 3 - 4 + o i = i s - 4 i

[ - ' t ) [ t 4 ) [ - ' * ' t - 3 ) [ o - 2 )

Cap. 1 . Matricie determinanti 3

Una matrice Ain cui si scambiano tra di loro le righe con le colonne dà luogo adun'altra matrice 'A che si chiama trasposta di l. Così, ad esempio:

2 Somma di due matrici dello stesso tipo

Sia A,n,n I'insieme delle matri ci mxn.In questo insieme si definisce I'operazione ' + '

(somma) che associa a due matrici A eB una terza matrice C : A + B.tale che:

Soluzione:

E facile rendersi conto che la struttura (A.,nr+) è una struttura di gruppo commu-

tativo, dove I'elemento neutro è la matrice nulla mxn e la matrice inversa ai e = la^f, , f

' l , . Iè la matrice A' : l-aul (tale matrice prende anche il nome di matrice oppostct di A e

viene indicata con -A). Qui le propietà di gruppo derivano dalla definizione stessadella somma di due o più matrici come somma degli elementi corrispondenti dellematrici da sommare: dal momento che I'insieme di numeri reali, rispetto all'operazio-

ne somma é una struttura di gruppo commutativo, anche (Am"nr+) sarà una struttura di

gruppo commutativo.

3 Moltiplicazione di una matrice per un numero reale

Se .1 = fr,,] O una matrice di A*"n, si definisce prodotto della matrice A per il numero

reale k quella matrice, B, i cui elementi sono gli elementi di,4 moltiplicati per fr:

(u -1",,],8 = [r,"]) + c:b,,]=b,,*b,,1

kA = kb ,"f= W ,,1= [ó," ] = B.

R.SANTORO: Geometria

4 Cap. 1'. Matricie determinanti

Esempio (t 2 -31Se I =[Z

I 0 J, determinare le matrici -2A e 3A.

l a , , a , . ld e t A = 1 " ' ' l =

o , r o z z - a z r a t zlar t azz l

Soluzione:

La moltiplicazione di una matrice di A,n,n per un numero reale è un'operazione esternaad An,,,n, in quanto risulta essere un'applicazione / di RxA*,n in A,n"n:

/ : R x A , n , n ) A , n , n .

Si può considerare la struttura (4.*n ,R, *), dove'+'indica la somma (operazione

interna) di due matrici di A*n e 'R' sta ad indicare I'operazione esterna di moltiplica-

zione degli elementi di A,n,n per un elemento di R (insieme dei numeri reali e insiemedegli operatori). E facile rèndersi conto allora che la struttura

(A'n,.n ,R, *) è una struttura di spazio vettoriale reale.

I 'vettori' di questa struttura sono le matrici di An.,,n

4 Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di una matrice quadrata è un numero associato alla matrice stessa.Tale numero si ottiene a partire dagli elementi della matrice applicando determinateregole di calcolo.In questa sede si considereranno principalmente i casi delle matrici quadrate di ordinen con n:2 o n: 3 e si farà un rapido cenno a come calcolare il determinante di unamatrice quadrata con n > 3.

10 caso: matrice2x2.

(o , , a , , lSia A:l I la matrice. Si definisce determinante di I il numero:

\4zr azz)

Risulta subito:(-z -4 61 3 6 -el-zA=l-+ -2 oJ'" =[.u 3 o )


Cap. 1: Matricie determinanti S

Esempio (-t 2l (z _tìse'a =[

: t , , l t u=[r

4 ) 'calcolare detAe detB'

l - r t ld e t A = l ^ l l = - l . t - 3 . 2 - - t - 6 = - 7 ;

I 3 r l

a " t a = 1 2 . - . t l =

2 . 4 - 1 . ( - r ) = 8 + l = 9 .l l 4 l

20 caso: matrice 3x3.

(o, , arz o, r ì

Sia I :lo^ azz a* i

la matrice. Si defrnisce determinante di A il numero:

\asr ay arr)

lo, e,, o,.,I | || "

' z ' ' l l o , a r r l l o^ a r r l l o , a r r l

de f A = lq , e . , , a r " r l = a , , l - - - ' l -

a , r l ' ' ' " 1+

a , ^ l ' ' " l =

I - - "1 "

lay arr l ' ' la ! or r l ' - la | an llqt t Qzz anl

= orr(arrar, - atzazz) - arr(a.rrar, - arrazz) + arr(arrar, - atrazr) =

= qttq2zo, - AttA3zQT - Cl.nA2tAT + AnA3tQ2.. + OBA2tA3z - ABA3IA22

Soluzione: Si ha:

Ci sono 6 modi diversi per calcolare il determinante di una matrice 3x3, aseconda della riga o della colonna che si sceglie per sviluppare il calcolo. Ineffetti, si prendono gli elementi di una riga o di una colonna, moltiplicati per ilsegnante (-1)'*' (r è il numero di riga e s il numero di colonna dell'elemento),ciascuno moltiplicato ancora per il determinante 2x2 che si ottiene eliminandodal determinante dr partenza la riga e la colonna dell'elemento considerato; sisommano i 3 risultati ottenuti.

Esempio (t 2 -11

Calcolare il determinante della matrice o =lt t o I[ r - 2 3 )

Soluzione: Sviluppando secondo gli elementi della prima riga, si ha:

l r r - r ll ^ '

' l l r o l l l o l l : r ldetr :13 i î l : ' l r t l - ' l ' : l - ' l r -z l :

l l - 2 3 l= 1 . 3 - 2 . 9 - 1 . ( - 7 ) = 3 - 1 8 + 7 = - 8

Oppure (sviluppando secondo gli elementi dellaterzacolonna):


6 Cap. 1: Matricie determinanti

I r 2det,4 =

13 I

11 -2

= -1. ( -7) + 3. ( -5) = 7 - 15 = -8

Dall'esempio precedente si vede subito che, per il calcolo del determinante,conviene scegliere la riga o la colonna contenente il massimo numero dielementi nulli.

E facile rendersi conto che:o il determinante di una matrice unitaria è uguale a Io il determinante di una matrice nulla è uguale a zeroo il determinante di una matrice avente almeno una riga o una colonna

di elementi nulli è uguale azeroo il determinante di una matrice avente due righe o due colonne di

elementi rispettivamente uguali o proporzionali è uguale ̂ zero

- r l' l l l l l l t z l l r 2 l

î l : - ' l ' - r l -o l ' - r l * '1 , r l=a tì l- l

Nel caso delle matrici 3x3 esiste una regola pratica, per il calcolo del lorodeterminante, chiamata regola di Sarrus: si riscrivono le prime due colonnedel determinante come quarta e quinta colonnafittizie, in modo da potereffettuare sei prodotti diversi in diagonale (da sinistra a destra, i primi tredall'alto verso il basso, gli ultimi tre dal basso verso I'alto) secondo lo schemaseguente:

lo,,

hÈIl valore del determinante é allorq dato dalla somma di 6 prodotti, di 3 fattoriciascuno, in diagolale; i singoli addendi sono presi col proprio segno seprovenienti dalla prima serie di prodotti, con il segno opposto al proprio seprovenienti dalla secondq serie.Effettuando tali prodotti si ha che:

lo , , arz a, r la , Qtz

det A =la^ azz arrla^ az2 =

lo' atz orrlo, otz

= anaz2a$ + AnAnA3r + aBct2tq32 - a3ra22q1 - ata\a| - aVaztan .

Ad esempio, calcolando il determinante della matrice I dell'esempioprecedente con la regola di Samrs, si ha:

d e t A : 1 . 1 . 3 + 2 . 0 ' I + ( - 1 ) . 3 . ( - 2 ) - 1 . 1 . ( - 1 ) - ( - 2 ) . 0 . 1 - 3 . 3 . 2 : 3 + 6 + I - l 8 : -8 .


Cap. 1: Matricie determinanti 7

30 caso: matrice nxn (con n > 3\.

La regola di calcolo enunciata sopra per un determinante 3x3 vale in generaleanche per un determinante nxn (con n > 3). In questo caso ci sono 2n modidiversi per il calcolo del determinante e tutti questi modi conducono allo stessorisultato.Non è il caso, in questa sede, di sviluppare una teoria completa del calcolo deideterminanti, in quanto lo studente che continuerà gli studi scientificiall'Università avrà modo e occasione di studiare una tale teoria. Ci si limita,qui, solo a citare alcuni risultati importanti, omettendone la faciledimostrazione:

1. Se lutti gli elementi di una riga o di una colonna dí una malrice sonomoltiplicati per un numero reale k il valore del determinante dellamalrice viene moltiplicato per k

2. Se tutti gli elernenti di una md*ice nxn sono moltiplicdtÌ per h il valoredel determinante della matrice viene moltîplicato per W.

3. Scambiando fra di loro gli elementi di due righe o dî due colonine di unamatrice, il determinante della matrice cambia,di segno.

4. Sostituendo gli elementi di una riga di una maftice con la somma deglielementi di questa riga con gli elementi corrispondenli di un'altra rigadella matrice, il valore del determinante della matrice non cambia. Stessacosa per gli elementi di una colonna.

Le proprietà 1. 3. e 4., in particolare, sono molto importanti in quantoconsentono, con passaggi successivi, di trasformare un determinante in unaltro per cui gli elementi di una riga (eccetto uno) o gli elementi di unacolonna (eccetto uno) sono nulli, facilitando il calcolo del valore deldeterminante.Esempio

Soluzione:

1 2 r 3 - r l

Calcolare il determin*t" D = ll :, i :l

14 | 2 -31A questo determinante si applicano le proprietà precedenti perfàr comparire nella seconda linea 3 elementi nulli.Moltiplicando gli elementi dell'ultima colonna per -2 si ha(proprietà 1.: il de-terminante viene moltiplicato per -2,

dunque bisogna dividere il nuovo determinante per -2):

1 2 r 3 z l111 4 o -41-tlt -2 t -ol1 4 | 2 6 l

D _



Sostituendo gli elementi dell'ultima colonna con la sommadegli elementi delle colonne 2 e 4 precedenti si ha (proprietà4. ) :

Sostituendo agli elementi della seconda colonna gli elementidati dalla somma dei corrispondenti elementi delle precedentic o l o n n e l e 2 s i h a :

A questo punto, essendo gli elementi della seconda riga tuttinulli (eccetto il primo), si può concludere il calcolo deldeterminante di ordine 4 con il calcolo di un solo determinantedi ordine 3:

Il procedimento può sembrare artificioso, ma risulta utile in quanto, nell'esem-pio precedente, con i successivi passaggi si è potuto calcolare un determinantedi ordine 4, che richiedeva il calcolo di 3 (era già presente uno 0 nella secondariga) determinanti di ordine 3 con il calcolo di 2 determinanti di ordine 2 (masi sarebbe potuto fare meglio!). Inoltre, con un po' di pratica, si possonosaltare alcuni passaggi (da fare mentalmente).

1 2 1 3 3 ll l l 4 0 0 l'=-tlt -2 r -61 '

t l1 4 | 2 7 l

Si moltiplicano ora gli elementi della prima colonna per -4, ilvalore del determinante risulta allora:

1D : *

l - s | 3 3 lr ( r l l - + 4 o o lD--;l-ùl-n -2 ' -rl

l - 1 6 1 2 7 l

-8 -7 ' ' l- 4 0 o o l-r2 -r4 r -ul- 1 6 - 1 5 2 7 l

t - 7 3 0 t1 l I= - - l _ 1 4 | 7 l :L t I

l-15 2 -sl

| - " " l| - t 1 1 l

l l - lD=r(- lX-4)l-14 t -ul

l - 1 5 2 7 l

í l r 7 l l - tq=-tl-7 12 -sl-3 1-rs

7 l l r .. l i= - ;(-7 (-re) - 3.r 7s): r-"1) L



5 Prodotto di due matrici

La definizione del prodotto di due matrici è piuttosto complicata in quanto, in primoluogo, non sempre tale prodotto è consentito secondo lo schema classico riga-colonna.Pertanto si comincia a vedere, con questo schema, il prodotto di due matriciquadrate di ordine 2:

+ atrby

+ arrbu

Il risultato è la matrice C, i cui elementi sono dati da:c,, = a,tbt, + a,rbr, .Nello schema adottato riga-colonna, un elemento della matrice prodotto, c"*, èdunque uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga r-sima dellamatrice A per i corrispondenti elementi della colonna s-sima della matrice B.

Lo schema può essere generalizzato al caso del prodotto di due matrici quadrate diordine n (n > 2).In questo caso, gli elementi della matrice prodotto C sono dati da:

arrbr, + orrbrr\t = l

arrbr, + arrbrr)o u =(7"", """,,)

?;,", u;,,,) =(:,",uu,,:,

cr, = arrbr, * arzbzr+...+ornbn = I arib*.l = _

Lo schema seguente può aiutare avisualizzare come si ottiene la matrice prodotto:

a t t

a z t

atz ar . , arn

ozz Q2, 42,

fi,, a; " r; ' a;)

(u,,ib , 'I

lu,,t ;

r

Lo,bu,

\îLo,bu,

l = r l , = nsr s-

Lo,b,, Lo,b,,i= l i= li:n i=tl\- sr

Lo,b,, Lo,b,,i= l i= l

b,,

bD

b,z

ui.,,

to,,b,,r

Lo,b,,,= l

r4lI bnj" ' lb*l

I" ' l

b^]

br,

ót, I

t -u - lI

b,,, )

5

Lo,,b,,,

[]o,o'i=n i=nsr sa

Lo,,b,, Lo,,b,,i= l i= l

La^,b,,

La definizione riga per colonna si può anche estendere alle matrici non quadrote, ma

con una restrizione importante; il numero delle colonne della prima matrice deve

essere uguale al numero delle righe della seconda matrice. In tal caso, il prodotto di

una matrice A (mxp) per una matrice B @xn) è una matrice C (mxn). Simbolicamente:

I=n l= l lr- sr

Lo,,b,, Lo,,b,,i= l i= l



Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

Esempio 4

Soluzione:

E facile rendersi conto che, in generale, il prodotto di due matrici non è commutativo'.

A . B + B . A

Se si hanno due matrici quadrate dello stesso ordine, A e B, si dimostra che:

det(A'B):detA'detB ,

cioè: l/ determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinantidelle due matrici.

A, . , ' 8 , . , :C ,^^(m*p) -(prn) -(mxn)

( t r l Í - r ìcatcolare.:

[_, tJ [, 3 )

( r . t + z . z t . ( - 1 ) + 3 . 3 1 0 8 lRisul ta: c:

[ -z.r*r . , -2.(-r)*r . :J: [o 5)

( r - l 2 \ ( 3 t ìCalcolare.:

[t, , ,) l: :r)

Risulta:

" : ( t .3+( - l ) . ( -2 )+2 .2 1 .1+( - l ) .4+2 f - r l ' l _ [e -s l

\ 3 . 3 + 2 . ( - 2 ) + 1 . 2 3 . 1 + 2 . 4 + 1 . ( - l ) ) - \ t 1 0 ) '

f ' lCalcolare C: (l z -t)

i t"

i\-J,/

Risulta: c : (t .2 +2. I + (-l). (-3))= (7)

( r z r l [ ' r ]Calcolare r: i-, I -l

i i r i\ l 0 2 ) \ - r )

( t t + 2 . 2 + 3 ( - r ) ì l r ì

Risu r ta : , : i - 2 .1+1 .2+( - l ) . ( -1 ) i = i I i( t . t + 0 . 2 + 2 . ( - r ) ) \ - t )


Cap. 1 . Matricie determinanti 11

6 Risoluzione dei sistemi l ineari con la regola di Gramer

Un sistema lineare di2 equazioni in 2 incognite è un sistema del tipo:

l o , , r + e , . V = b ,

t r r , t . o , r , r= i , ( l ) '

dove a,,, ar, at2, azt, a22, b, e br, sono numeri reali.Un sistema del tipo (l) è risolto quando si trova una coppia (xy) di numeri reali chesoddisfa entrambe le equazioni.Esistono diversi metodi di risoluzione di un sistema del tipo (1) (sostituzione,confronto, riduzione), già studiati negli anni passati. Ma esiste anche un quartometodo che utilizza il calcolo di opportuni determinanti.

Questo è il metodo o regola di Cramer, che fornisce subito la soluzione del sistemadato:

I o , , , + q , , v = b ,I r l

1 ----\

l a r rx+azz l=bz

lu' o"llb, ar',|

v _ | - - - , _^ - l l -

lo t , o t r l

lat azzl

lo" u'llo^ btl

brar, - bra,

aÍazz - aztatz

brar, - bra^

at tqzz - az tq rz

| 1"" b,l

l'=F-r,l:I laz r azz l

con D : a ,ezz -a r ra r r *0 .

EsempioRisolvere il sistema lineare { z * + y = z

l x+ 3Y = -1

Soluzione: Applicando al regola di Cramer precedente, si ha subito:

1 3 1 lt ll-1 3l

f : -" - 12 t l I e+ l 10 ̂l t 3 l l " = 6 { = l = '---l f

l t r l - i - 2 - 3l -

" ì l v = - = - l

I t - t l l ' sY : D r l

t l11 3l



L'aspetto piu interessante della regola di Cramer consiste nel fatto che questa égenerulizzabile alla risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite. peresempio, nel caso di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite, si ha:

' l *=4' b i ^ - Dl a r í + a r z ! * Q n Z = , I D

) q a x + q z z ! * Q z t Z = b , = l r r = É Q )

(43 l x+ an ! *a . .2 =b ,

l , = O ,

l . ,dove:

lo,, Qtz b,lo, =lo, ezz brl

la' etz brl

It, an o,l lo,,=lu, ezz au!, D, =la,lb, etz aul lo'

lo,,D =1o,,

i|o,,,

f*-zt,+r=] 3 x + y - z =| 4 x - y : 2

a , . o , . l, r l

azz arrl , D,I

Qz- , c l . r l

:, o,,lb2 orrl,

4 ar.l

con D + 0 (D viene chiamato determinante dei coefficienti del sistema lineare).

Le (2) fomiscono chiaramente la regola di Cramer per la risoluzione di un sistemalineare di 3 equazioni lineari in 3 incognite: ciascunà incognita è uguale ad una.frazione che ha al denominatore il determinante dei coffiienti del sistema ed alnumeratore lo stesso determinante, che ha al posto dei iofficienti dell,incognita chesi sta calcolando i termini noti (o i secondi membri) det sritema stesso.

Discussione dei casi possibili:

l . D * 0

2 . D : 0

Esempio I

Soluzione:

Il sistema si dice determinato ed ammette una soluzione unica, cioèuna tema di valori (x, y, z) che verifica le 3 equazioni del sistema.

Il sistema può non avere soluzioni (sistema impossibile) oppure puoavere infinite soluzioni (sistema indeterminato).

Due esempi rappresentativi di cio che può succedere quando D:0chiariranno meglio le idee.

Discutere il seguente sistema lineare:

I

Per questo sistema il determinante dei coefficienti é nullo ( D:0).Facendo la somma, membro a membro, delle prime due equazioni, siottiene l'equazione 4* - y: 4, che è in contraddizione conlarcrzaequazione del sistema. Essendo le sue equazioni contraddittorie fra diloro, il sistema risulta impossibile.



Esempio 2

Soluzione:

7 Matrice inversa di una matrice quadrata

Se l indica una matrice unitaria di ordine n e A è una matrice quadrata di ordine n, sichiama matrice inversa della matri ce A lamatrice A-r tale che:

A . A - 1 _ A - t . A _ IIl calcolo diretto di l-r non sempre è facile. Anzi è tanto più difficile quanto piùgrande è n: basti pensare che, per determinar e A'r conmeiodo diretto, è necessariorisolvere n sistemi lineari di n equazioni con n incognite ciascuno.Per tale ragione, in questa sede, il calcolo sarà limitato ai casi n:2 en : 3 con ilmetodo diretto e si indicherà una regola generale (senza dimostrazione) nel casogenerale.

l o c a s o : n = 2 .

I r - 2 y t z = lRisolvere il sistema lineare: ll* + y _ z = 3 .

| 4 x - Y = 4Il determinante dei coefficienti é nulro (D:0). In questo caso,sommando membro a membro le prime due equaziàni, si ottieneproprio laterza equazione del sistema, che risulta p"r"iò inutile. Ilsistema dato è equivalente allora al sistema

) * - Z y * z = ll 3 x + y - z = 3 '

ridotto alle sole prime due equazioni del sistema precedente.Quest'ultimo sistema, potendosi scrivere:

, ll x = l + ; zJ l

1 4 'l V = - zr - 7

ammette infinite soluzioni, una per ogni valore assegnabile a z.Dunque il sistema è indeterminato.

Siano

(o, , 4, ' l ( , v lA=lor, ,

o ' r ' r ) " l - '=1, " r )

dove x, y, z e t sono gli elementi incogniti della matri ce A-l da determinare.La definizione di matrice inversa consente di scrivere, dall'uguagl ianzadi duematrici, due sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Deve essere:

(o, , o, \ ( , / l ( t o lfo, ' o,I1, tJ=[o I-



(a,rx+arrz a,rY+a.,rt \ ( t 0l f . f f l\orrr+orr, azr!*orrr)=\o rJ =

l tzl

Risolvendo separatamente i due sistemi (l) e (2) con la regola di cramer, si ha:

I t r o , , lI lo o',',1 u,.I v -

- - l

( o,,, + cr,.z =, I I:" :"1- aet 't

6 ) J " ' �l a 2 t x + a z z z = 0 i I o , ,

1 l

l__ lo r , o l -azr

i f ' r atzl det,a

L l4z ' azz l

(det A + 0)

I o , , y * t t , . Í = 0( 2 ) 1 ' � "

, =' lau! * arrt = |

lo a, ' ,1t - ll l e , . l -a . -

u r = , t t l

- . . 1 2

' larr Q't l det At - tlan azzl

lo,, olt " l

, - l a r , l l - Q ,I lo,, tl o,

I r = r--_---

i lo t r o tz l det At i tI lazr azzl

-"rr ì

q r , ) '

Nel caso n: 2 e facile ricordare come determinare la matrice inversa di unamatrice dataA con queste osservazioni:

o gli elementi della diagonale principale della matrice I si devono scambiareo gli elementi della seconda diagonale della matrice I devono cambiare di

segnoo tutti gli elementi vanno divisi pcr il determinante della matrice l.

2o caso : n :3 .

Siano

atz

Qzz

atz

( o,,

Quindi la matrice O-' =lW

\d"t,4

-a.,, \

d e t A l | ( o netr l= d.t ,< l-o.,

d"t il

",, ì , ?,,

xrz "','ìo r r i e A - t = l * r , x zz * r . 1 ,a.r) \x:r xtz xrr)

Io , ,A = i a ,

[. ';,

R.SANTORO. Geometria

Cap. 1: Matricie determinanti 1S

dove le xU sono le incognite da determinare per definire l-r.

La definizione di matrice inversa (,q. î = 1) consente di scrivere, dallauguaglianza di due matrici, tre sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite:

Risolvendo separatamente i sistemi (l), (2) e (3), si ha (purché d,etA * 0):

t lo, , erz " , , ì l r , r xrz " , , ì

| o oì f rr llo t t

azz qzt l ' l x l xzz r l i= i 0 I 0 i = J tZ l

\a' otz orr/ ("., , xtz rrr) [O 0 | ) l t : l

det A

lo,, I o,, lIo, o ",.1lo' o ";,1

det A

1",, atz 1l

lol azz 0l

lo, otz 0l

I or r " r , * arzxzt * ar rxr , = 1

(1 ) l a l x t t

*azzxz r+avx3 t=0 =+

[4 : rxr r I Azzxzr I QrrXr , = 0

(

lanxn * arzxzz + arrxrt = 0

lazf in+a22x22+ctBx, = I =

lqyxn + a32x22 + errxr, = 0

forr*r, + Qt2xz3 * Lrrxr, = 0

(3) lrarrxr, + a22xB + arx'- 0 =,

[a:rxr: * Qzzxzz * arrxr.. = |

^ l l -

n 2 l -

^ 3 | -

det A

lt an o,rll0 a, a,^ l

lo etz ";llo, a,. lI

-- '-l

_ l a z z a n l _ A r t

detA detA

lo',, a,,l-t - '- l_ la t r ay l _

-4,

detA detA

lo, a' ,1t - - - lla , o . , l 4 , "

detA detA

(2)

| -4 , ,l v

i " detA

| 4. .l vl ^ 1 1 - -

| " de tA

| -4,.l v

| . " detAI 4 , ,l Y

| ' ' de tA

| -4 , .\ w

1^" -

det Ai A. -I Y

l^t ' -

det Iln generale, quindi, si ha:

ìr _(-r)r+s A,,ers___MI__ (Notare: Xrr, A rr)

rldove Ay e il determinante che si ottiene dal determinante di I eliminando lariga s-sima e la colonna r-sima.


16 Cap. 1. Matricie determinanti

A* sichiama anche minore dell,elemento a,,, di A,

C rr: (-I)'*tA., si chiama anche minore complementare ocofattore dell'elemento a., di A.

Concludendo, la matrice inversa di A è data da:

3 0 c a s o : n > 3

La formula precedente può essere estesa al caso generale di una genericamatrice quadrata di ordine n (con n22):

. (c,, C, c,,ìt'= rfilc,', ;,:, .;, I\C,, Cn Crr)

dove, al solito, Crr:(-l)r*tA*

La matrice dei cofattori di una matrice I si dice matrice aggiunta dellamatrice A (e si indica con r*). Allora, si puo anche dire che la matrice inversadella matrice A è uguale alla matrice aggiunta della matrice traspost a di Adiviso il determinante di A:

t-t ("q\/t

det A

sempre che sia detA + 0.

Da quanto precede risulta che, per ogni n,larnatrice inversa di unamatrice quadrata I di ordine n esiste solo se detA+O.Tali matrici si dicono regolari o non singolari.Una matrice A per cui detl : 0 si dice. invec e" singolare.Quindi: una mallice singolare non ammeÍte inver;o.

Esempio | (t _11Datalamatrice U=lr.

,-J , determinareA-1.

Risulta subito che (essend o detA: 5): A-t =:( t-

ll .^ - s [_2 t ) '

Soluzione:


Cap. 1: Matricie determinanti 1Z

Datatamatrice ^ =lr1 ; Íl , 0.,.", inare A-r .( - r 2 3 )

Esempio 2

Soluzione:

- 9 - 1 0 : - 1 9

;*" si vede dagli esempi precedenti, il metodo dei cofattori risulta abbastanzaefficace in quanto, essendo del tutto meccanico, riduce le possibilità di enori dicalcolo.

Si ha:

lz t - ' l_ l r -31 .1, , l_aet,a=lr o ,a- lr r l -r l_, 2l_

l - r 2 3 llo 2l

n , t = 1 , . l = - 4 = C , t = - 4

t - " l

I r 2 l4,, =l-t :l= s = Cn = -5

t r 0 tA " = l _

, , l = 2 + C , , = )|

- - l

I r - 3 lA r , = 1 . " l = 9 = C r , - - 9

l z J l

l t - ? lA r r = l - . ^ - l = : > C r r = 3

l - r 3 ll z r ln " = l - t

2 l = 5 = C r r - - 5I t - 3 l' 4 . , = l o

, l = '= c r , =2j . r r lt z - J l

o ' r = l r 2 l = t = c t z = - 7

lz r ln ' = l r o l = - 1 e C n = -

(-+ -s 2lDunque: A- t = _al _, , , lt n ,

, - 5 - t )


8 Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale

Un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite (ma il discorso può estendersi ancheal caso generico di un sistema lineare di n equazioni in n incognite):

(la t f l + an! - t or rz = b,

lrorr* + azz! * arrz = b, (1)

l a \ x+ay ! *a r r z=b ,

può scriversi sotto la forma matriciale

A.X: B Q\

dove:

(o,, atz o,, ì f'rl lr, IA = l o , a , , a , . l , x = l u l . g = l t , l .

[r' o, o'r-r) lt) l;r)

La matrice Xdelle incognite del sistema lineare si può determinare, a partire dalla (2),moltiplicando ambo i membri dell'equazione matriciale a sinistr a per l-r (suppostoche A, matrice dei coefficienti del sistema, sia regolare, supposto cioè che il sistemasia determinato):

A-t.(A.X): A-t.B = (A-I.A\X: A-t.B > I.X: A-t.B =

l8 Cap. 1. Matrici e determinanti

X _ A - I

Dunque, per risolvere il sistema (1), supposto determinato (cioè con det A ;e 0), bastamoltiplicare A-t per B ed avere la matricexdelle incognite da determinare.

Resta, in ogni caso, la difficoltà del calcolo della matrice inversa (in matematica nonci sono vie speciali per i re!), come risulta dall,esempio che segue:

Esemp io l z * *y -3y= l

Risolvere il sistema lineare: 1 x +22 = 3

L-x + 2y +32 = -2

Soluzione:

Ir sisrema si puo scrivere sotto ra ,",^^'1,1 ; ; ì i ; ì : í ' ] ì ."[ - r 2 3) \ , ) l -z)

cui si ha ancora (utllizzando il calcolo della matrice inversa fattonell'esempio del paragrafo precedente):


Cap. 1: Matrici e determinanti 19

(ts I

l ' ì 2 : : ì l : ì , ( - : - s ' ì t ' ì l î |i y i = i I 0 2 it;l-[-, ; ;) i:j=-#l; j, _"ii:,)=i;li

t e )(consiglio metodologico: in casi come questi é sempre bene fare laverifica dei risultati sostituendo la soluzione trovata nelle equazionidel sistema dato. Nel caso in cui la verifica non dia i risultati sperati ébene rifare i calcoli!)

9 Anello delle matrici quadrate di ordine n

Sia An,n I'insieme delle matrici quadrate di ordine n. In An,n si sono definite dueoperazioni interne: la somma e la moltiplicazione di due móiiici. Se si considera lastruttura algebrica (An,n , *, .), è facile convincersi, da quanto visto finora, che dettastruttura costituisce un anello non commutativo e unitario,le cui proprietà possonoriassumersi così:

. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ,

2 . A + A o = A o * A = A

3 . A + ( - A ) = ( - A ) + A = A o4 . A + B : B + A

5 . A . ( B . C ) : ( A . B ) . C

6 . A . ( B + C ) = A . B + A . C7 . ( A + B ) . C = A . C + B . C

8 . 1 , , . A = A . 1 , ,

(A, e A,,n matricenulla)

(- A . 4,", matrice opposta)

(1, e 4,,, , matrice unitaria di ordine n)

dove le matrici A, B e C sono sempre matrici arbitrarie di An,n.L'anello (An,n , *, ') non è un dominio d'integrità,in quanto vi sono divisori dellozero, esistono, cioè, matrici non nulle tali che il loro prodotto è una matrice nulia,come nel caso delle matrici

per cui risulta:

0 -11 (" t r \' :

[ , - : ) "u: [ ; ; )

(z -lì fz 3) (o olz B=[: - ; ) l^ o. , l=[o o).

nonostante A e B siano manifestamente delle matrici non nulle.



l0 Esercizi

Date re matrici: ^ =(: _t,),, =

[j, ]) , oo.,-inare:

a) A+ 8,2A, - 38, det A, d ,et Bb) A. B, At , 82 , det7A. B), det A .d,et Bc ) A - ' , B - t , t r - t . 8 , A . B - 1 .

2 Date le matrici:

l z 3 ì ( r r 2 r Q o - ' ì ( to = l : ^ ' i ' " = [ . o - r r J ' t = i ' I r i ' ' = i '

\ r z ) \ l _ 2 3 ) [ +determinare (ove possibile):a ) A . B , A . C , B , C , C . Db) det C, det D, det(C. D)c) C- ' , D- t , C- t .D .

3 Applicando la regola di cramer, risolvere i sistemi lineari:l z * - r * . ' (I

z = l l x _ 2 y + 3 2 = 4

a ) 1 x + 3 y + 2 2 = 0 , b ) 1 2 x + ) t t z = _ 2 .

| 3 x + y - z = 2 l 4 x + y _ 2 2 : 3

( t - r 2 l ( z r o l7 Da te l ema t r i c i A=10 1 3 i ea= i r 2 - 3 l , ca r co ra re :

[ r | 3) \ -2 o t )a) AB. BAb) detl, detB, det(AB), det(BA)c) A't. B' l

- 2 3 lIt - r i

7 ) )

Determinare il parametro kin modo che la ̂ ^rrr""(r) X Í'ì .,*,,,

[ - r 3 k )singolare.

sono date le matric ( o' a'l ( t' ó'l

' ' n =l-o, o',)

" u = [-4

-í,) 'suo'do che det(A'B) :

detA.detB,dimostrare che: (af * oiY|i *b:)= Q,b, - orbr'J * Qrb, + o,br'J .

Dare la matrici .r =(l 2l (s 7\

[, ì) , u =ll sJ , alrnot,rare che è AB*BA+A'B+AB'+

A'B'+B'A'(dovc A'indica la matrice trasposta di A),ma che il determinante diciascun prodotto è sempre 4.



( r 2 2 lt - - - - li 3 3 3 l| ) 1 î l

Data la matrice I ai 3 3 3 i ,i 2 2 I I( l - l

a )a) dimostrare che il minore complementare di ciascun elemento coincide con

I'elemento stesso;b) calcolare il determinante della matrice;c) determinare la matrice inversa di quella data.

Dimostrare che

l r - r - r z : 112 Risolvere il sistema: j ," - 3y +22 =2 , distinguendo i vari casi che possono

f - 4 x + 4 y + a z : apresentarsi al variare del parametro a.

13 Applicando la regola di cramer, risolvere il sistema di equazioni:

| * * y + z + t = 7

) , - y + z + t = 0

l x + y - z + t : - l

f " * y + z - t : o

14 Risolvere il sistema dell'esercizio precedente con il metodo matriciale visto nelparagrafo 8.

1 - 2 32 - 1 42 3 - 4

3 - 4 5

-41" l-]l = -roo.

- ì l" l6 l

t 0

l l

l r 0 _ 2 3 l

cur.oru,.., l] : i -]l

l ; ; ; ; iRisolvere i sistemi proposti nell'esercizio 3 con il metodo matriciale visto nelparagrafo 8.

t l15 Calcolare la matrice inversa della matri ce A =tt 2

\-tvalori del parametro a esiste.

o o ì

i I Precisando Per quali


22 Cap.1: Matricie determinanti

( t - 2 o l ( t 2 o l I , l ( z \16 sonodate lemarr ic i : n= lo -2 r l ,a= lo , ,1 , *= l t r l "u : I ; I(.-r | | (. ' ol 1",) [-'J

a) Risolvere il sistema(A.B)X: B.b) Si può dire che la matrice X, soluzione del sistema precedente, é anche

soluzione del sistema (B .AV: B?

17 Spiegare se è possibile affermare che la struttura (e,,,,,*, .), dove e,-,, éI'insieme delle matrici quadrate regolari, é una struttura di corpo noncommutativo o no.

18 Dimostrare che è nullo un determinante avente due righe o due colonne dielementi corrispondenti propor zionali.

19 Dimostrare le proprietà dei determinanti enunc iate apaginaT.

20 Determinare, nel piano xoy, il luogo dei punti per i quali risulta nullo ildeterminante:

l u - v - l it ' Il o x r ll - * ' Y 1 l

2l Determinare, al variare del param etÍo a,le soluzioni del seguente sistema lineareomogeneo:

l 2 x - a y * z = 0

\ x + 3 y * a z = 0

l x - 4 Y = Q

22 Per le affermazioni che seguono, dire quali sono vere e quali sono false,giustificandone la risposta (A e B sono matrici quadrate di ordine n):a) keR = det(fr1): lt detA.b) (deta : detB : 0) = det(l+B):0.c) {det(l+ B):0, det(A-B):0} = o defA: 0 o detB : 0.


Capitolo 2

(Richiami)

I Rrcnllq,Ndr sul,I,o spAzlo VETToRIALE V2................. .........242 DpenonNzA E TNDTPENDENZA LINEARE rN V". B.q.sr nr V"................ . . 2 63 PrANo AFFTNE E RELAZTONE Dr CHASLES. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2g4 Pnonorro ScALARE Dr DUE vETToRr Dt V"............5 PrANo Euclmno (RrcHrAMr Dr GEOMETRTA ANALrrrcA DEL prANo)............................................30

DistanTafra due puntÍ e punto mediofra due punti doti.............. ......... JIEquazione di una rettu nel piano................... .................... 31Angolo fra due rette...... ............ 32

28

ó ESERCIZI . . .34

24 Cap.2: punti, vettyr e re,lte det piano (richiami)

I Richiami sullo spazio vettoriale Vz

Nel piano n, è possibile considerare una,coppia di punti (A, B) tale che (A, B);c(B, A)se A;cB' Tale coppia è un elemento dell'insième prodottà nxn. In questo insiemeprodotto si puo considerare larelazione fr definita da:

(A, B)n(C, D) e> (A, B) è equipollente a (C, D) (V (A, B), (C, D)enxn).

Latelazione di equipollenzaappena definita consente di confrontare tutte le coppie dipunti (bipunti) di nxn. Due bipunti (A, B) e (C, D) sono equipollenti se e solo se sonoverificate le seguenti condizioni:

a) (AB)//(CD) (le rette (AB) e (CD) sono parallele)b) AB : cD (i segmenti [AB] e [cD] hanno la stessa lunghezza)c) i segmenti [AB] e [CD] hanno lo stesso verso.

La telazione di equipollenza fr, così definita in nxr,è una relazione di equivale nza e,come tale, induce in nxn una partizione in classi di equivalenza. L'insieme delle classidi equivalenza, o insieme quoziente, aff, è l,insieme V, dei vettori del piano. In

pratica, il vettore a = ÀÉ rappresenta non solo il bipunto (A,B), ma anche tutti ibipunti equipollenti ad (A,B). Nel seguito si eviterà questì precisazione e si parleràsolo di vettore a = ÀÉ.

rl vettore nullo Ó è il vettore che rappresenta tutti i bipunti del tipo (A, A), (8, B),ecc. :

ó : A A :+

Se d = AB, il vettore -d (vettore opposto di

B É : . . . .

d) rappresenta il bipunto (B,A):

- d = B I = - G .

In v2, insieme dei vettori del piano, si definisce una operazione

interna' +'(detta somma vettoriale) tale che, se d = G .^ +v

6 : BC, il vettore a +E elvettored = Àd,

ae+Èd=Àd oppure: d+i =Ò

Dalla costruzione precedente risulta anche immediata la proprietà commutativa dellasomma vettoriale:

d + b : 6 + d

Da tale proprietà risulta pure il significato geometrico del vettore somma: se irappresentanti geometrici di d e 6 hanno la stessa origine, si costruisce il


Cap.2: Punti, vettori, rette det piano (richiami) 25

parallelogramma avente come coppia di lati opposti proprio i vettori d e 6: il vettoresomma Ò è la diagonale del parallelogramma uscente dall'origine comune dei vettoria e D .

A

Dunque:

Dalla figura a lato si 'vede' la proprietà associativa dellasomma vettoriale definita in V2:

.i --------) (-' -) + -

d + ( b + A ) = A B + l B C + C D l : A B + B D = A D\ /

l - l + + + -(a +6)+a =

[7Í+ Eó

). cB = aè*tn = AD

A + ( 6 + e ) = @ + 6 ) + e .

Analogamente si può giustificare l'esistenza dell'elemento neutro, il vettore nullo. apartire dalla definizione:

d = A B = i É * E É = a * ó

Infine, si ha ancora:

ó =i; =E*Ei = d + (-d) .

Riassumendo, la struttura algebrica (Vz, +) risulta essere una struttura di gruppoabeliano, in quanto sono valide le proprietà (V A, 6 , Ò ey ,):

LL A + 6+ A) = @ + 6) + e (proprietàassociativa)2 . d + Ó = Ó + d = d3 . d + ( - d ) = ( - d ) + d = ó4 . d + 6 = 6 + d

(esistenza elemento neutro: 0 )(esistenza, V d, del suo vettore opposto -d)(proprietà commutativa).

La moltiplicazione di un vettore A diVzper un numero reale k è un vettore kdcheha:

. stessa direzione di Z

. lunghezza ltcl volte lalunghezzadi d

. stesso verso di d se k> 0, verso opposto di quello di d se k<0.

Questa operazione è una operazione esterna aY rinquanto risulta un'applicazione

/ : RxV, + Vz .

L'insieme dei numeri reali R, si chiama insieme degli operatori ed i suoi elementi sonogli operatori.


26 Cap. 2: Punti, vettorie rette detpiano (richiami)

Per la moltiplicazione esternaayrvalgono le seguenti proprietà (vu, B eR ed ,6 eYr ) :

a. o(Ba) = (crB)d (proprietà associativa del prodotto degli operatori)b. a(d + 6): aa + a6 (p. distributiva rispetto alla somma dei vettori)c' (u + B)d = ad + Fd (p. distributiva rispetto alla somma degli operatori)d. 1'd = d (esistenza elemento neutro '1' degli opÉratóri)

Se si considera la struttura algebrica (V2, R, +), dove ' + ' indica I'operazion e internadi somma di due vettore di v, e' R. ' indica I'insieme degli operatori per lamoltiplicazione esterna di un vettore per un numero reale, valgono pèr tale struttura leproprietà viste prima separatamente (da l. a4. e da a. a d.) e per questo prende il nomedi spazio vettoriale dell'insieme dei vettori del piano.

2 Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Base di v2.

Se due vettori d, 6 e V, sono tali che 6 = kd (k è un numero reale), dalla defin izionedi moltiplic azione di un vettore per un numero reale risult a che d e 6 hanno la stessadirezione, o anche che i vettori d e 6 sono collineari.

Larelazione precedente può anche scriversi: kA - 6 = Ó. Si dice anche che, in questocaso, i vettori d e 6 sono lìnearmente dipendenti, inquanto è possibile trovare duenumeri rcah, k e -1, certamente non entrambi nulli, tali che risulti: kd - 6 :ó.

Se, invece, è impossibile trovare due numeri reali o e 0, non entrambi nulli,tali che:

u d + B b : 0

si dice che i vettori d e 6 sono linearmente indipendenli. Ovviamente due vettorilinectrmente indipendenti sono anche non collineari.

Si può estendere la nozione di dipendenza o indipendenza lineare di due vettori ad uninsieme di n vettori {dr,dr,...,d,}, si dice che tali vettori sono linearmenteindipendenti se la relazione

ard , + u rd , + . . . r a .d .n = Qè valida solo con (ur, a2,... , on) : (0, 0, . . . , 0), cioè con gl i operatoÍi a.1, a2,... , dntutti ntúh.

E facile rendersi conto che, in V2, il numero massimo di vettori linearmenteindipendenti è uguale a2.Tale numero si chiama anche dimensione dello spaziovettoriale V".


Cap.2: Punti, veftori, rette det piano (richiami) 27

Allora, se si sceglie una qualunque coppia di vettori linearmente indipendenti(dr,ér) , qualunque vettore AdiV) può scriversi come combinazione lineare di è, eèz :

d = x é r + y è ,

dove x e y si chiamano componenti numeriche o componenti scalari di Z rispetto allacoppia di vettori (ér,èr).

L'interpretazione geometrica di quanto appena detto è immediata:

I

A t = X e t I: - . ? f > d = d t * d r : x é r + y è ,a z = l e z )

Le componenti numeriche di Q sono I e 0; lecomponenti numeriche di è, sono 0 e 1.

La coppia di vettori (ét,é) prende anche il nome di base di V2.(-)

Cambiando la base di V2, cambiano anche le componenti numeriche di un vettore datodi V2 rispetto alla nuova base.

Si è già visto la condizione di dipendenzalineare fra due vettori. Questa condizioneassume una forma particolare se i vettori sono espressi rispetto ad una data base. Ineffetti. siano

d = arè, + aré, e 6 = bré, +brè,

due vettori (non nulli) linearmente dipendenti. Allora risulta, ad esempio, che 6 - kA,da cui anche:

b,è, + brè, =

b , - b ,at a2

(*) Facendo riferimento alle sue componenti numeriche rispetto ad una data base, un vettore A di V 2

può anche scriversi: , =()oppure t(]) ' in tal caso, it 'vettore' 0)

" chiama anche vettore-

l"lcolonna, essendo

['r,,| *" matrice avente 2 righe e I colonna.

k@rè, + arér) + bré, + bré, = @r)a, * @r)è, + {uu:rr:fl,

+

= b,a, -bra, = g - ItU:,

";rl: O

Dunque, infine:

i = a r é r + a r é ,= | A e b linearmentedipendenti lato

lu'a r l

; ,1: o: bré, + bré,


28 Cap.2: Punti, vettorte rette det piano (richiam|

Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Studiare lad. l. dei vettori d = 2í _ aj " 6 = _í +Zj .

I due vettori sono linearmente dipendenti in quanto risulta:lz -41

l_f 2l=4-4=0 (o ancheperché a = _26).

Stud ia re lad . l . de i ve t to r i ó = i _a j e à =Z í +3 j .

I due vettori sono linearmente indipendenti in quanto risulta:Ir -41l Z 3 l = 3 * 8 = 1 1 * 0 .

3 Piano affine e relazione di Chasles

E' possibile stabilire un'applicazione 4 tra l'insieme delle coppie di punti del piano(appartenenti all'insieme nxn) e I'insieme dei vettori di v,:

f, rlxr: + yz

T1:(4, B) --> n

L'applicazione v risulta essere suriettiva ma non iniettiva.

Il piano z collegato, dall'appli cazione V, allo spazio vettoriale V2 si chiam a pianoffine.

Se si prende un punto O del piano affine n come privilegiato, risulta, per qualunquecoppia (A,B) di punti di nxn'.

.\_r n

+ -------+ +

O A + A B = O B------) -) --_____)AB = OB-OA

=

(relazione di Chasles).o

4 Prodotto scalare di due vettori di V2

Dati due vettori di V2, si può defrnire un'operazione che fa conispondere a questivettori un numero reale:

f :Y2xY2-+ R .

Tale operazione viene denotata con' . ' ed è definita in base alle proprietàformali cuideve soddisfare:


Cap.2: Punti, vettori, refte det piano (richiam| 29

l . a . 6 = 6 . a2 . (ud ) .6 =a (d b )3 . a . ( 6 + d ) = a . 6 + d . d

4 . d .6 = 0 ( cond +óe6 +ó )e a t í .

Se i vettori d e 6 sono riferiti ad una base (a,,ar):

d = ard, + arè, e 6 = brè, + bré,

allora le proprietà formali del prodotto scalare sopra richiamate consentono discrivere:

d . 6 = (a,é, + arèr). (b,è, + brèr) =

= arbrè, .è, + arbrè, .é, + arbrèr.è, + arbrèr.è, == arbrè., .è, + (arb, + arbr)èr.è, + arbrè, .é, .

conoscendo il valore numerico di èt .è1, di at .é, e di è2 .è2 èpossibile alloradeterminare il prodotto scalare a'6 .lnpratica, si usa scegliere una base (l ,j) taleche:

jL l . l = 1 , i . j : o e j . j =Í t *

I

Una base che soddisfa alle condizioni precedenti si dice anche base ortonormata. Intal caso si ha:

= arl + arji r - ! . , ' - l = d ' 6 = a , b r + a ,= brl + brj

In una base ortonormata si può definire la norma o il modulo di un vettore d come ilnumero:

E' possibile dimostrare (Esercizio 5) che:

d'6 =llallllFllcorla ,6) - cos(d,6) = ,1,,;ub -r|4rill'il

-

Esempio I

Soluzione:

Calcolare il prodotto scalare dei vettori: d = 2i - aj " 6 = -l +2j .

Si ha subito : d. 6 = 2eD + (\2= -10e I'angolo fra i due vettori è un angolo ottuso, esattamente 180.(perché?).

- l l t -a l l = , l a ' a -


30 Cap. 2: punti, vettolie re,lgdetpiano (richiami)

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

P2

-tl

Dati i vettori d =-31+4j e d =2r +37-, calcolare il loro prodottoscalare e I'angolo da essi formato.

S i h a :è . à : 4 . 2 + 4 . 3 = 6e I'angolo fra i due vettori è dato da:

P(x,y)

(*) In realtà, si può fare la stessa cosa anche nel piano affine, solo che le relazioni metriche che sideducono sono più complicate.

0o =arccosJ 6'lg +rcJl +9

= arccos5;TJ = 8o24'42" '

verif icareche ivettoriè =3í -aj " Ì =al+37- sono ortogonali.

Infatti il loro prodotto scalare é uguale a 0.

- ---O P : O P , + O P = x l + y j ( 1 )

Dalla (1) si calcola facilmente la norma del vettore óF:

5 Piano Euclideo (richiami di Geometria Analit ica der piano)

Nel piano affine n, scelto un punto privilegiato o e una base (a, ,ar)diy2,ratema(o,ar,ar) si chiama anche riferimento ffine del piano.Se si sceglie una baseortonormatu Q,j), il piano affine, munito del riferimento ortonormato (o,i,7-), sichiama anche piono euclideo.

Nel piano euclideo(*) , è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tran e RxR:ad ogni punto P si fa corrispondere una coppia (x, y) dinumeri reali e viceversa

f : p<+(x, y).Inoltre, è anche possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra n edi vettori delpiano uscenti dal punto O

-

Le biiezion i r e sfanno sì che,".""l;,|",:1|fro, o siano le componenti scalari del

vettore óF rispetto alla base (1,7-) . La figura sottostante illustra le due biiezioni dicui sopra:

x ' + y 2uÉll=


Cap.2: Punti, vettori, yette det piano (richiam| 31

Distanza fra due punti e punto medio fra due punti dati

Dati due punti A(x,, !) eB(xr, !2), dararelazione di chasles e dalra (r) si ha:

€ € -AB = OB - OA = (xri + yrj) - ef + y,j) = (x, _ x.,)í + (y, _ y,)j ,

da cui (applicando la definizione di norma di un vettore):

ll--.-ll

llÀÉll= 10, -,5 .r", -; e)il tl

Se 1è il punto medio tra A e B, non è difficile dimostrare che le sue coordinatesono (Esercizio 2):

Equazione di una retta nel piano

Larettar passa per A(xs, -yd ed hala direzione del vetto: - l''lre ù =

[ , J .come nel ta

figura seguente:

Un punto P(x,y) appartiene ad r se e solo se*

il vettore AP è parallelo al vettore i:

+

Per<> AP : ) t ù

La (3) può essere anche considerata come l'equazione vettoriale della retta r.Dalla (3) si ha anche:

(x-xo)I +(y-y) j =?'(u, î +ur j )=?,u, í +Lur j ,

da cui ancora:

{ry,ry)

5 ) .

[ , - - ' o = ? ' u ,ì " -l ! - l o = L u z

x : x o + ) u u ,

! = !o+?uu, (4)

Le (a) si chiamano anche equazioni parametriche dellaretta r.

Dalle (4), per eliminazione del parametro î,, si ha:

x - x o ! - l o

lrl uz* - ury - (urxo - urlo) = (s)


32 Cap.2: Punti, vettorie rette det piano (richiami)

La (5) è l'equazione cartesiana (meglio una equazione cartesiana) della retta r.

Dalla (5), ponendo:

U 2 = Q r - U l : b e

- ( u z x o - u r l o ) = c ,

si ha:

Se si considera ir vettore ffiu'jll,. .n.

U .n = UtUz - LtrU, = 0

il che implica che i vettori ù e rt sono ortogonali. ciò significa anche che,data la retta di equazione ax + fiy + c : 0, questa ha come veftore direttore Il

(-r\ t"lvettore O =[o J

e come vettore normale il vettore ,:l-U)

Angolo fra due rette

Siano a1x * bù + cr :0aa2x * bzy + cz:7 leequazioni r ispet t ive del lerette r1 e 12.I ,'411gslo cr fra queste due rette è uguale all'angolo fra i due vettori

(o, \ (a"\normali fi, =l | | e fr, =l ,' | . Risulta subito che :

\ D r ) -

\ b z )

coscr = cos(4 ,rz) =cos(z, ,frr) = Sfu =lai + bi "la; + b;

n n t A t Q )

] f,t = a"rCCOS

Esempio I

Soluzione:

Sono dati i punti A(-3,2), B(1, 3) e C(2, -l). Determinare:--.--ll_ll

a) AB,llABlli l t l

b) Le coordinate del punto medio di [AB].c) L'equazione della retta passante per C e avente come vettore

direttore 78.

d) L'equazione della retta per C e normal e adZÉ.

a) Il vettor. ÀÉ = (1+3)i+(3- 2)j = al +j e la suanormaèll-l ll lasll : J 4' +1' = Jt7 .i l t l

ara, + brb,

al +b,'� ^loi *8


Esempio 2

Soluzione:

Sono dati i punti P(3,2) e e(-3,1).a) Scrivere l'equazione della retta (pe)b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r ortogonale a (pe) e

passante per A(1,-3).c) Determinate le coordinate del punto H d'intersezione tra r e (pe).d) Calcolare la distanza AH.

b) II punto medio di [AB] è ,l-3^* t.t l l = rl-r. l l .\ 2 2 ) - \ " ù '

c) L'equazione cartesiana della retta per c(2, -r) avente come vettore

direttore il veuore G = lo') u,\ 1 /

x - 2 y + l4 : I

= x - 4 y - 6 = 0 .

d) Il vettore normale di questa retta è t = [_ta)

. Dunque l.equazione

cartesiana della retta passante per C e normale aaiÈ é :x - 2 y + l

1 =

n > 4 x + y - 7 = 0 .r - a

a) Essendo+ l-olP Q = l , l . s i h a

\ - l , /

x - i v - 2( PO\: _ 6 {

= x - 6 y + 9 = 0 .

I r lb) Essendo | . | ,tr vettore normale a (pe), si ha

\-ol

l x = l + ) "r ' 1"

l v = - 3 - 6 1 . 'c) Per trovare le coordinate di H bisogna innanzitutto risolvere

I'equazione:

( 1 + ) " ) - 6 ( - 3 - 6 ? " ) + 9 = 0 + ) " : - 2 83 7

e sostituire questo valore di.l nelle equazioni parametriche di r:f z s sl r - l _ _ _

- - l ^ - ' - 1 7 - . r ( g 5 7 1H'1 ---r FI

-' I"

i . 16g 57 - " \37 '37

)l - J - f - = -r 3 7 3 7

d) La distanza richiesta (distanza di A dalla retta (pe)) é:

AH=ll4l=ffi=[#Fg28: - J 3 7J I


34 Cap.2. Punti, vettorie rette det piano (richiami)

6 Esercizi

1 Dati i punti A(-1, 3), B(2,1), e C(3, -2),

a) determinare:- l l l l - l l l l - l lo"ll'llu'll'llo'll'

b) calcolare AB.AC e AÉ.ei:c) determinare le equazioni cartesiane e parametriche delle rette (AB) e (AC).

2 Dimostrare , utilizzando i vettori, la formula che dà le coordinate del puntomedio fra due punti dati.

3 Data la retta r(A, /), con A(2, -3), o =?r),scrivere:

a) le equazioni parametriche di r;b) I'equazione della retta t passante per A e ortogonale a r;

c) le coordinate di B tale che ÀÉ = Í;d) le coordinate dei punti D, eDr, appartenenti allarettar tali che

l l - - - - - l l l l . - , ,l lAD,l l=l lAD,l l=z ,i l l l t i t l

e) le coordinate del punto C, tale che il quadrilatero ABC,D, sia un rettangolo.

4 Dati i punti A(1, 1), B(3, 0) e C(0,2),

a) determinur. ÀÉ. Àd;

b) calcolare I'angolo tra i vettori ÀÉ " Àótc) Scrivere le equazioni parametriche della retta (AB) e I'equazione cartesiana

della retta (AC).

d) scrivere I'equazione della bisettrice dell'angolo tra i vettori ÀÉ " Àè.

5 Dimostrare che: d .E =llall.ll6lll""s1a,6';l(suggerimento: dopo aver scomposto uno dei due vettori secondo duecomponenti aventi rispettivamente la direzione del secondo vettore e quella adessa normale, utllizzare le proprietà formali del prodotto scalare...)

6 Ad ogni numero reale m, si fa corrispondere la retta r*di equazione cartesiana(m-3 )x + ( \ -m)y + 3m + I : 0 .

a) Disegnare rt e rz.b) Dimostrare che tutte le rette r^passano per lo stesso punto.c) Sia t la retta di equazione cartesiana x -3y +2 = 0. Esiste unarettar*

parallela a t? Esiste una retta r. perpendicolare a t?d) Per m+3,r^interseca I'asse Ox in K; è sempre possibile associare amtn

numero reale m' tale che rr, intersechi Ox in K', simmetrico di K rispetto ado?


Cap.2: Punti, vettori, rette det piano (richiam| 35

10

Dimostrare che la distanza delda:

punto P(xo,yo) dalla retta r.. ox + by + c: 0 è data

d ( P , r ) = l a x o + b y o + c l

(Suggerimento: scrivere le equazioni parametriche della retta per P e ortogonalea r; questa retta ha il vettore direttore collineare con il vettore normale della rettar; dunque...).Applicazione numerica: P(1,-3) e r: 2x - y + t : 0.

Dati i punti A(x1y ),B(xz,yz) e c(4y) dimostrare che l'area s del triangoloABC è data da:

l, l', v 'llt:ltl*' lz tll

I lt, lt 1ll

Aoplicazione numerica: A( 1, I ), B(-3,2), C(5,-3).

Applicando la definizione di circonferenza, scrivere l'equazione cartesiana dellacirconferenza avente centro in C(1, -3) e raggio uguale a 2. Dimostrare cheI'equazione ottenuta è un'equazione del tipo x2 + y2 + ax + by* c : 0.

Data la circonferenza C diequazione x' + y' + 2x - 6y + | = 0,a) determinare le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio;b) scrivere le equazioni delle tangenti alla circonfeîenza parallele alla retta

x - ! = o :c) scrivere I'equazione della retta passante per i due punti di tangenza delle due

tangenti precedenti e verificare che detta retta è ortogonale alla rettax - Y = o '

d) scrivere le equazioni delle tangenti alla circonfeîenzauscenti dal punto P(5,2)e) calcolare I'angolo fra le due tangenti precedenti.

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1,0), B(4,0) ec(5,1)

Generulizzare I'esercizio precedente e dimostrare che l'equazione dellacirconferenza passante per i punti A(xvy),8(xz,y) e C(4y) (supposti nonallineati) si puo scrivere sotto la forma:

l x ' + y ' x vt '

l*i * ri x, ltlri * yi xz lzl r )lx; + y; x3 lt

1 1

12

- 0

a 2 + b 2


36 Cap. 2: Punti, vettyt e rele:Wiano (richiami)

13 Scrivere I'equazione cartesiana della parabola avente fuoco in F( I , 1 ) e comedirettrice la retta 2, - y * I : 0. [Si ricorda che la parabola è it iuogo geometricodei punti del piano aventi uguale distanza do un punto fisso, il fuoco,"e dq unaretta.fissa, lQ direttrice. Il punto della parabota che ha una distanzq dal fuocouguale alla semidistanza di quest'ultimo dalla direttrice si chiama vertice dellaparabolal

14 Dimostrare che I'equazione di una parabola avente asse parallelo all,asse y è delt ipo:

! = a x 2 + b x + c .

[Si ricorda che I'asse di una parabola è la retta condotta per il vertice dellaparabola e perpendicolare alla sua direttrice].Applicazioni numeriche :a) il vertice della parabola év(2,-3) e la parabola passa per A(0,r).b) la parabola passa per A(- I ,3), O(0,0) e B(4,1).c) la parabola passa per A(r,0), B(3,0) ed ha vertice di ordinata 2.

15 E' data la parabola di equazion a y : -x2 + 5x - 6 ed il puntoa) Rappresentare la parabola e determiname le coordinate del

e l'equazione della direttrice.b) Scrivere le equazioni cartesiane delle

parabola.c) Scrivere l'equazione cartesiana della

rette tangenti condotte da P alla

retta passante per i punti di tangenza.

P(3,5).vertice, del fuoco

16 E' data laparabola di equazione y = x2 -3x+2.a) Determinare le coordinate del venice e le intersezioni della parabola con gli

assi cartesiani.b) Disegnare la parabola.c) Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola nei punti in cui questa

interseca I'asse delle x.d) Scrivere l'equazione della parabola simmetrica di quella data

delle x.rispetto all'asse

d) Scrivere I'equazione della parabola simmetrica di quella data rispetto all'assedelle y.


Capitolo 3

I IsoMErRrE DEL prANo rN sÉ (RrcurAMr)............ ............... Jg2 SruurrRrA oRTocoNAL8................ .............3g3 TRAsLAzroNE................ ............414 RorAzroNE ATTORNO An O .............. ............ 42

5 SIMMETRIA CENTRALE... ........... 43

6 CONSIDERAZIONI GENERALI SULLE ISoMETRIE.. ..............437 OlrorrrrB DEL prANo...

............468 PRoTnzroNE oRToGoNALE SU UNA RETTA PASSANTE pnn o.......... .......49

38 Cap. 3; /so metrie net pianoAspetto anatitico e matriciale

1 lsometrie del piano in sé (Richiami)una trasformazione del piano n in sé è un'applic azione f chefa corrispondere ad unpunto P di n un altro punto p,di n:

I punti U tali che /(U): g

f : n - > n/ : p + p '

si chiamano puntì uniti dellatrasformazione.

Esistono diversi tipi di trasformazioni del piano in sé che hanno proprietà particolari,come la conservazione del rapporto tra le lungh";r;;;ifimenti corrispondenti(similitudini)' o che mantengono un punto fisso, o altre chJ conservano re distanze deisegmenti e le misure degli angoli (isàmetrie). In questa r.a. ,i considereranno solo realcuni tipi di trasformazioni, s=enza 4." un loro studio p*i.or*" dal punto di vistaill1ff::geometrico.

Al conrrario si approfondirannà solo gri aspetri anaritico e

Sia / è una trasform azionetale che Vpen, Veez, .f(p) : p,, ,f(e) : 0,, ii.l,ll = li"Olluna tale trasformazione si chiama isometriudel piano in sé.

ll ll ll ll

le simmetrie ortogonali, le rota_

Nel seguito' saranno studiate, sempre dal punto di vista analitico e matriciale, alcunedi queste isometrie.

Negli ultimi due paragrafi si studieranno due trasform azionidel piano in sé che nonsono delle isometrie.

2 Simmetria oÉogonale

Una simmetria ortogonale, rispetto ad una retta r,è un'applic azione f di nin n tale cheVPen trasforma P in P' (,f(p) : p') e il punto p' è tale che:

l. La retta (PP')J_r2. (PP')ìr: {H}3 . P H : H P '4 . P e r = + P ' : P

E facile rendersi conto che gti unici punti uniti in questa trasformazione sono i puntidella retta r, che è anche una retta globalment" .rrritu U?):r).Inoltre ogni retta s, taleche sJr, è tale che "f(s):s, cioè ogni retta ortogonale all'asse della simmetria è unaretta globalmente unita (anche se non sono uniti i suoi singoli punti). Dunque tutte lerette ortogonali all'asse di simmetria sono globalmente unite.


Cap. 3: lsometrie nel t'_. prano. Aspetto anatitico e matriciate 3g

Nel piano, munito di una base ortonormata (o,i ,j) @iano euclideo), si considera raretta r avente equazione cartesiana -/ = tang . x f. iassa per o e forma un angolo .gcon il vettore di base i;. Allora si ia (le condizioni precedenti sono tradotte incondizioni analitiche con Ie notazioni dellahgura sottostante):( - l

lI. oPJ = crf - ì

loP,r)=,9 -q

r - \l t . oPJ=s +s - f , r : 2s _a

{x = OPcosa

{x,= Op,cos(2S _ct )|"Y = OPsina [-y': Op'sin(2,g -c[ )

lill.'#:;::1Xff:"1',X.1ff conro che op': op e sviluppando re espressioni trigono-

{x'= OPcoscr cos2$ + Opsina sin2,g = xcos2.9 +ysin2,g

l-y'= oPcosa sin2g -opsincr cos2s = xsin2.g -ycos2.9 ( l)

Le telazioni (l) sono le equazioni della simmetria ortogonalee possono essere scrittesotto forma matriciale :

l"'l_fcos2s sin2$ Y"lV')- [sin29 -"oszs zb)

(r')

1rcos2S sin2$ ILa matrice | ^^^.,., | è la matrice della trasformazione edil suo\ s i n 2 9 - c o s 2 S ) - * " *

determinante vale: - cos, 2$ - sin2 2$ = _l .

Nel caso in cui I'asse della simmetria non passa per o, ma ha equazione-/ = tans 'x + n, le equazioni matriciali della trasformazione sono:

fr'l (cos2$ sin2$ Y"l ( sin2s ')

\y')= [sin2,9 -cos2$ )-)- (z"o.rs ) ' Q)

Infatti (posto m= tan$ ) si ha successivamente:I y'-y Ij ,L_"

= -; (esprime la condizione che (PP')lr)j x '+x y'+

l*T *, = T

(esprime la condizione che il punto medio di [pp,] e r)

J *Y'-*y = --tr'+x I x'+my'= x-ttqt!\** * mx'+2n = y + y' - \**'-r, = -*t + y -2, =


40 Cap. 3: tsometrie._ nel piano. Aspetto anatitico e matriciale

-x-my+m.x__my+2mn l_m2 2m 2mn- t -m2 =Qpr+im, y-#

_ - m x + y + 2 n - m x - m 2 y _ 2 m l _ m 2 2 n- l -m' =T;7*- t ** , l -#

Le ultime espressioni di x' e y' forniscono le equazioni richieste deila trasfo rmazione.Dette equazioni possono trasformarsi nelra forma rzl ri"rri.rra con qualchetrasformazione trigonometrica. Si ha:

cos2$ =cos '$ -s in2g = - - -L - -_ tan2S, 7-m21+ tan r .9

- l+ ta r i s =1* ;

s in2$ =2s in$cosg : , r t -L = 2 *l + t a n , S l + m 2

cos '$ - 11 + t a n 2 , g l + m z

con queste notazioni trigonometriche le equazioni precedenti possono scriversi:

{ .1 '= ' :" :1n *rsin2$ -rsin2,e

,1" ' l - fcos2s sin2s l f l _-( s in2s ,)f/ '= rsin2,9 -ycos2$ -2ncos2s o

[y/ =

[sin2$ _"orzs][.r)-"1r"'ru nl

o anche:

lr'l (cos2$ sin23t t - l\y ') (sin2$ -cos2S

Scrivere la matrice della simmetria ortogonale rispetto alla rettaY = {3x.

-rrinzs f"l-2ncos2-,lij

Soluzione: L'equazione dell'asse della simmetria può scriversi anche:! = x tan60o.

Dunque = 60o e lamatrice richiesta è:

(cosr2o" s inr2o' l í - l +ìI t - t z z I\s inl20" -cosl20t- i1!

I i\ z 2 )In ogni caso, per non fare inutili sforzi di memoria, é sempre preferi-bile scrivere le equazioni della simmetria ortogonale, applicando, nelcaso concreto, la definizione geometrica di simmetria ortogonale chesi traduce nelle due condizioni analitiche viste sopra nel caso generale.


La composizion.e di due simmetuie ortugonali adassi paralleli dà una traslazion:eai vetàre A, if ."imodulo è due volte la distanzl fra i due assi,/ paralleli, Ia cui d,r17iol: è p".p."Oi"o lare aquella./ 1"j.9r: assi paraileli ed it di;;" dipende

, :,1t:1]1" o.t prodotto "p"r","rì" delle due

\ " .

s immetr ie c./ ,/../ ./ simmerria;li,'{xix"il1î,lTrJ,fl?;îetria di,/ ,/ asse.r mand.a l,"in f.,. óun*",ru composizione delle../

**::::;e ad assi.paralleli r e s manda p in p,.Essendo la composi zionedi due irr_"ììJ", *,irr." ì"

;t::;:;:;ttorenuilosidice,.",'j;il'ff i:ffJ'11".j':;:,i:::;:i::í ji{:::n"

o e matriciale 4l

3 Traslazione

una traslazione di vettore D è un'appl icazione f di nin n tale che vpen trasforma pin P' (cioé,f(p) : p') e il punto p;Jilf. "f,"

l f '=6 . (1)Nel piano euclideo avente riferimento ortonormat o (o,í ,i),ra (1) diventa:

, (2)

Le equazioni della traslazione (2) possono scriversi sotto forma matriciale:

o anche:

òF- oF - f i 3 { ' , ' - ' = u '

- {x '= x + ur

( r , \ l ! - ! = u ' U ' = ! + u 'd o v e | . , ' l = n . p ( x , y ) e p ' ( x ' , y , ) .

\uz )

0=[Scrivere le equazioni della traslazione di vettore t : (;t)

l"'l f"l (u,\(.-u'J=ly)*lr,) <+

{ x ' = x - l

1y ' : y+3 '

?:,nEsempio

Soluzione:

l_) -

X , (u.+ l

\uz

1 0

0 1x

Risulta subito:


4 Rotazione attorno ad OUna rotazione è la composizione di duengura,rasimmetriadiasse,;;"d^;i"í,f i:':r{f :;rT!r:!r:':,#:i:ííi#ll"

.p, f,r"ey: la composi zionedelle due isometrie':.

-<--, l1:r:t,lTtdenti r e s manda p in p,. Se o è il,' -,.--1, _' ounto d,inters#r"".:iff;;ii": i;?J"',\ c fra i due assi, la-rotazione (come À immediato' iio, J

dimostrare) è tale che il p"ft" ò junito e; I nA- '

" e matriciale

-- ..,..... .rp t

, PÓp.'= 2a = .g,.qua-lunque sia la coppia dipunti corrispondenti p sp,.

--l

Nel piano euclideo, di riferimento ofonorm ato (o,i, j) , se g è r,angoro orientatodella rotazione e p(x, y) e p(x,,n') .orro-àue punti corrispondenti, si ha:

{x = OPcosa

l-y = OP sincr

{x'= Op'cos(S

l,y'= OP'sin(S

E infine:

*cr )=OPcoscr cos.g*u )=OPs inc cos ,g

- OP sincr sins+ OPcosa sin$

' r '=.trcos,9 -ysin$

! '= xsinS +ycos.9Le(l)rappresentano|eequazionidella,oro'affiscrittesottoforma matriciale:

(1 ' � )

dove il determinante della matrice- sin.9 \^^_ o I della trasformazione vale:cos.9 /

( l )

cost $ + sin2,9Esempio 2

Soluzione:

: * 1 .

az: l"ot$I s in$

o (7:4k)

Scrivere le equazioni della rotazione attorno ad o di un angolo di 30".

Dato che sin30o:1e cos30" =Jj2

- - - - - " )

richieste:, si hanno subito le equazioni

La rotazione, essendo ra composi zionedi due isometrie, è una isometria.

LJ!,r!purro

-sins)[x ')

cos.9 /(y/

/ r \ / ^

l x l l c o s $| | - l

\y ' ) \s ins


o e maîiciale 43

F=l[y'= -yl onnure

( t ) .

I r '+*)-z

= *o

i l'+l =

l j = l o

{ x '= - x +2xo

1y'= _y +2yo<+ 0CIl=(; -in.,e) .,)

o anche:

lr'l (_t o 2"" fLl[ r j=( .o - r , ; , \ i )

Le (l) e le (l') forniscono le equazioni di una simmetrio centrale.In entrambi i casi lamatrice della simmetria centrale, essendo questa una partico lare rotazioHe, è la stessaed ha determinante uguale a f l.

6 Gonsiderazioni generali sulle isometrie

Da quanto visto finora si evince che le equazioni di una isometria nel piano euclideosono equtvioni del tipo:

{:,'=:'*::,v+c, *11:l=f ,, :,)(-ì*f.", I - f.l=f,", b, ',f'll ! ' = a r x + b r y + c ,

- [ y ' l - [ " , 4 ) \ y ) , \ r , ) - ( y , J = [ o , b 2 , r \ i )

si chiama matrice della isometria edè sempre tale che

detM: +l

Lamatrice ,:(: , ' ;r)

5 Simmetria centrafe

La simmeftia centrale rispe,tt1 ad O può essere consideratci:ff ;;W:l::;::;i":r:;A,"; j,Zliii;1:í#!;"yí,:{#i::(t:scrlvono subito (cosl80o: -1, sinlSói: Oi,

na centrale rispefto ad O si

l,'l (-r laÌ[y/

=l o -r)lr)

In una simmetria centrale il segmento che unisce una coppia di punti corrispondentiha proprio il centro della simr;erii,o"li^, punto medio.Si può' allora, utilizzarequesta definizione per general izzaree considerare lasimmetria cenrrare f1n;tto "d;;;;i;!r'r,-r', .h.;í;;rto medio delra coppia dipunti corrispondenti p(r, y) "y,1*i, y{Ounque deve esseie:

..P'(x',y')


"o e matriciale

t;îi:;t::,:;:;isometrie Msoddisfano aila condizione detM:r1 e sono deue

Segue una'finestra sulla defini zionegenerale e re proprietà di una matrice ortogonare:Una matuic,

Per le matrici

Una isometria con îletM = +lUna isometria con detM= _l

valgono le seguenti proprietà:

viene chiamata isometria diretta.viene chiamata isometria inversa.

La composizione di dueisom elrje f , e f ,.dimatrici rispettive M, e Mre una isometriaffi.t"rt.e

M: MrMz(ra verifica ,1r.í" rur.iuta per.r*irro ar retrore: Esercizio

Allora, essendo det(M rMr) : detM r. d,etM2,risulta che:

' il prodotto di due isometrie dirette è una isometria diretta' il prodotto di due isometrie inverse è una isometria diretta' il prodotto di una isometria diretta e di una inversa è una isometriainversa

Se 5 è I'insieme deile-isometrie del piano la struttura (s,") è un gruppo non abeliano,chiamato gruppo delle isometrie dàl piano.

Le considerazioni precedenti, assieme alla ricerca dei punti uniti disono di grande aiuto nella classificazione di una isometria di cui siequazioni.

una isometria,conoscono le

In€ffetti' dal punto di vista dei punti uniti, le isometrie possono classificarsi in questo

Una isometria diretta senza punti uniti è una traslazione o una glissosimmetria(composizione di una traslazione e di una simmetria ortogonale o viceversa)

una isometria non identica con un solo punto unito è una rotazione (o unasimmetria centrale che, in ogni caso, è un caso particolare di rotazione)


mahciate 43o una isometria non identica con almeno due punti uniti è una simmetriaortogonale' essendo la retta pul*n* per i due puniiurriti |asse dera simmetuia.o Una isometri

identica. - ---a avente almeno tre punti uniti non allineati è la trasform azione

Infine un cenno aile trasformazioni invorutorie.

Una trasformpunro"oin"ial'lll'if h[",#itii',;i"::;:#ff;:;:erimmaginediunper una trasformazion. inuoiuiorì

li!;"1ry*ìor""n;;;;;i;;:,ì'.1;::ff î#ì*Íil'ilì!?;'1#fi ,Sono trasformazioni involutorie lrcentrale.

rrrvwrulurrenstmmefuiaorfugonaleelasimmefuia

Esempio I

Soluzione:

Studiare la trasform azioneT definita dalle equazioni:L t J :l r = ; x + ; y

\ L Z

i , J i Il y = t x - t y

( r J : lt _ _ - l

La matrice di T è , =l ^rn

2' i. nirutt adetM:_l, dunque T è una

l " _ 1 1isometria inversa. ,u -)1,.. t;irscriversi anche:

(cos(2.30") s in(2.30") IM = l - ' ^ -x - " " / |

\s in(2.30") _cos(2 .30\ ) ,

dunque è la matrice di una simmetria ortogonale rispetto alla retta r di

equazione ! = xtan3y.: fr.

La stessa conclusione può aversi con la ricerca dei punti uniti. Tarericerca porta alla soluzione del sistema di equazioni:

t;equazioni che sono equivalenti all'unica y = Y x (retta r) il che

Jsignifica che ci sono infiniti punti uniti, tutti i punti della retta r.Questo conferma, per altra via, che T è una isometria ortogonalerispetto alla retta r.

[ '=:r. f r .- f ' - l i r=ol, =t. j,

- [-J5' +3v = s


46 Cap. 3: tsometrie. ._..._ nel piano. Aspetto anatitico e matriciale

Esempio 2

Soluzione:

Studiare la trasform azjone T definita dalle equazioni:1 , 2 6J r = j " - . yi " A )[ r ' = , * * ] l

Dunque T è una isometria diretta. potrebbe essere una rotazione.Infatti se a è un angolo tale che coscr, = 2 ^ ^,- . Jt

scrivere:

)v^v lqrv wrrv rrurL.r. = J

" slnc[ =;, Msi puo

(cosa - sincr )M = l I\srno coscr /

Dunque T è una rotazionedi angolo a (= 4g") attorno ad O.La ricerca dei punti uniti porta ullu rolu)ione del sistema Ji equazioni:

Allora I'unico punto unito è (0, 0). Dal momento che la rotazione èI'unica isometria diretta avente un solo punto unito, questo confermache la trasformazione T è una rotazrone ai centro ó " urrgoto .,.

La matrice di T è/( z J j l

M=l 7 -T l

i r s 2 ir . t l )e risulta detM: *1.

I _

l 2 J 5l ' = l j -TY - [ r+J i y=s I x=oi , _ J5 =

l . f r , *y=o = ly=o-l y = î x + a y

7 Omotetie del piano

una omotetia piana di centro Q e rapport o k (k * 0) éuna trasform azionedel piano zin z che associa al punto p il punto pi tale che:


-..- --> Q é il centro dell'omotetia

----=/ k è rl rapporto di omotetiaI o P ' = k o p l ( l )

Cap. 3: lsometrie net , .__.._ .._, ptano. Aspetto analitico e matriciale 47

.9

0 < k < ' 1 . . ̂ ,'.-r

Geometricamente:o Se k < 0, il centro dell,omotetia e é compreso tra p e p,.. Se k> 0, il punto p_é comprero * ó . p, (f >l) oppure il puntoP' é compreso tra e e p (,t.f ).

--

o Una omotetia trasforma:l. una rettar in una rettar, parallelaad r2. una semiretta [Or) in unui"_ir.itafO,r ) parallela ad [Or) e

:[T;"*.sso verso di r se k> 0,;".rJ;;;;ì;l!u"no

3. un angolo in un angolo di uguale ampiezza4. un segmento in.un segm"rrtJpu.utt"lo al primo5. un vettore d nel vettire kd6. un segmento dilunghezza a inun segmen to dilunghezza

It la7. il punto medio di un segmento nel punto medio delsegmento immagine8. una circonferenza di centro C e raggio a jnuna

circonferenza di centro C, (immagine di C nell,omotetia) eraggio lkla.

..P

Ad esempio' per dimostrare la proprietà 5., si può procedere così:Se P e Q sono due punti del piano allineati o no .oi n e p, e e, sono rispettivamentei loro corrispondenti nell'omotetia di centro sJ e rapporto É, si ha:'ì- + l

C ) P ' = f O P l - - + / \

_-_. , __ | = e'p'= op'-od' = r eiF- /rod: ,[Ae_.rd l= /, oÉf )Q'= koQJ \ - /

La dimostrazione della proprietà 6. è una conseguenza immediata della precedente,passando dai vettori alle norme dei vettori.

Casi particolari e ounti uniti:o

a l'unico punto unito dell'omotetia é il suo centro s)o tutte le rette passanti per e sono globalmente unite

o Se fr: l, I'omotetia é la trasformazione identica e, quindi, tutti i punti sono uniti. Se È: -1, I'omotetia é una simmetria centrale di centro e

Analiticamente:Sia Q(x6y6),P(x,y) ep'(x, y,).

La definizione (l) si puo scrivere:

S e f r ; c 1 ,


"o e matriciale

x'= lec + (l - k)ay'= lW + (l - k)yo

oppure, infine:

(3)

se' in particolare, ' centro dell'omotetia coincide con o(0,0), ra (3) si riscrive:

Soluzione:

Le equazioni (3') rappresentano re equazioni di una omotetia di centro o(0,0) erapporto k. La matrice dell,omotetia è:

M = [ k 0 l

il cui determinante é, in generare, diverso ):=fl""rformemente al fatto chel'omotetia non é una isometria.

Nota bene: Le proprietà geometriche dell'omotetia enunciate (o dimostrate) primapossono tutte essere verificate analiticamente, a partire dalle equazioni(2) deil'omotetia stessa. Negli "."-pi"rr" ,"r.rorro si vedranno alcunedi queste verifiche. Altre soi., """J;;;^:;lEsempio r -;)'s.*",;

;'il;ì;;; ;:iì?"il:i".,ìJ.I?*:Tiíl_,, " rapporro k :Ul Oeterminare

f ,:qri1: le coordinate dei punti immagine,nell'omotetia, di A(3,2) e di B(0,_2).

c) Verificare le proprietà 1., 5. e 6.

(3')

a) Applicando la (2) si ha successivamente:

(r)_(- , o , f . ì fx,=-2x+3(y'./- t. o -2 ulrr)= lr,= _2y _e

b) A ' : {x '= -6+ 3 = -3

v ) ^ . l y , = _ 4 _ 9 = _ 1 3

= A ' ( - 3 , - 1 3 )

l x '=3"" 1r'= 4-9=-5 = B'(3'-5)

")iÉ= E), Ai, =ff) = -,[_;)= -,iÈ ={llt'll =,-',llrlll (A'B') / t (AB)

k 00 k

xI

R SANTORO.. Geomitria

Cap. 3: lsometrie net__..- .._, prano. Aspetto analitico e matriciale 4g

Esempio 2

Soluzione:

Drta una generica omotetia di centro o(0,0) e di rapporto È,dimostrare

a) una retta r: y = mx +n, si trasforma nella retta r, : y = mx + nparallela ad rb) la circonferenzadi centro c(xo,yo)e raggio À si trasforma neracirconferenza avente come ..nió' punto c'(fu0,tryù, omotetico diC, e raggio lÉlR.

a) Le equazioni dell,omotetia sono:

, [ x ,I x ' = k x l x = -i . ' I kly,: b

- ì ,,

. che. sostituite nell,equazione di r, danno:l V = -r - k

, v ' x 'r : - = *

k * 7 7 1 7 , ' ; y , : m x , + l c n o a n c h e r , : y : m x + n

parallela a r (stesso coefficiente angolare).

b) L'equazione della circonferenza è:

G_*, f + (y_ ! , f =R,L'equazione della circonferen zaimmagine é:

( x l ' ( v \ '\ l - ' , ) * l î - r , ) = R2 =>

@ - a,)' + (y - t y,Í =(rloI '

il che dimostra quanto richiesto.

8 Proiezione ortogonare su una retta passante per oLa proiezione ortogonale p su una retta r é unatrasformazione del piano n nella Íetta rche trasforma un punto P di n in un punto P' di r in modo che il vettore Fi sia orto-gonale alla retta r. In simboli:

l . p : n - + r2 . p : P - + P ' ( 1 )

------J

3. PP'-Lr


50 Cap. 3. tsometrie. _ ._"..- nel piano. Aspetto analitico e matriciate

Geometricamente:

Lt' *l t :

azione p é un, applic azione suriettiva.z' r punrr delra retta r sono punti uniti e la retta r é ancheglobarmente unita.3' Se (P,P') e (e,e') sono coppie aiprnri "ooirpona".,ti,ìe rette (pp,) e (ee,) sonoparal I el e (sono entrambe pèrpendiiol ari allar,.r r; ;;;i; ;r.4' Due segmenti diversi perìunghe t:tu " p"rdirezione possono avere la stessa

ilil"';l;:::1il:':Xl$:Jii:::T,,i1 : : "voi :.i :iù:r,i rp er " 6qf a"' umenre ar ratto che ra proiezione *#Hì:iT:r;:;n*JTîíÌ;n:ru.

Analiticamente:

scegliendo un sistema di riferimento in modo che la retta rpassaper l 'origine O degli assi, sia ax + by:0la suaequazione, P(x,y) un generico punto del piano e p, (x, y,) lasua immagine sulla retta r.Essendo ù = -bí + aj unvettore direttore di r e.-PP' : (x'-x)í + o'-y)i, per le condizioni (r), deve essere:

a x ' + b y ' =- b ( x ' - " )

0

+ a ( y ' - y ) = 0

<>

, $-ox + qy

Iax'+by,= g+ 1l-bx'+ay,:

, b 2 a b. t r = - l - - r - T - . -

A - + b - A ' , 1 6 z !

, q b q 'Y - - - ) r x * - ; - ;

a 2 + b 2 ^ -

o ' ; b ,

l"'ll ll l

tr,- l a 2 + b 2 a ' + 6 ' | |

.b, _"ó y"_l

- a b a ' f l7.r' 7+F N)

(2)

Le equazioni (2) rappresentano le equazioni della proiezione ortogonale sulla retta r diequazione cartesiana ax + by: 0. L; matrice della trasformazione é:

( F -ab I- . - - - - l

7 r _ l a r + b , a r + b r l" ' - l - a b Q ' I\7 *u, ir.u, 1

il cui determinante è, in generale, diverso da -r 1, non essendo la proiezione ortogona-le su una retta una isometria.

Casi oarticolari:o Proiezione ortogonale sullaprima bisettricey : x. In questo caso, q= I e ó : _1.

Le (2) si scrivono:

';,==a:.**1',*[,ì ii *)R.SANTORO: Geometria

Cap. 3: lsometrie net r ._. ptano. Aspetto analitico e maticiale 51

' i:óí::tilffflale

sulla seconda bisettricev : - x. rn questo caso, a: l e ó : r.

' ;:t,".'i:JA;ifffle

sull'asse delle x (di equazio ,e y:0). rn questo caso, A: 0 e

Ix,=x l", l (t oyxll-u'= o €)

[r',/=lo ú,r)'

;$:LJA;Tffilt""rill'asse dellev (di equazione.r:0). rn questo caso,4: 1 e

]":= o <, (o)=(o oy,l

ly'= y (y'l-(o t)yy)

Esempio Sono dati i punti A(2,2)e B(3,-r) e la retta r di equazione y :2x.a) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonul" sulla retta r.b) Determinare l,immagine ÀG del vettore ÀÉ.

c) verificare che il vettore ÀE o collineare con il vettore direttoredella retta r.

r,=ti,l;,-0?, t

Soluzione: a) Le equazioni della proiezione ortogonale sono date da,e (2),ponendo a:2 e b: - l :

l , | 2), '=,x +!r

l , , l ( % 2/\r ' ,l "| , 2 4 €) lr,)=l zi 'ùl: I[r'= i * *it \-Y / \7s Hv)

( d t r \ ( r r \b) Si ha , ' l ; , ; ) , r G.; l = AÉ, = _t _2jc) Essendo ù = I + 2j il vettore direttore della retta r, risulta

AG'= -d.

Resta comunque valido il principio che non é necessario ricordare amemoria le (2): basta ripetere, nel caso specifico, il procedimentoseguito per dedurle nel caso generale.


52 Cap. 3: tsometrie,_ nel piano. Aspetto anatitico e matriciale

9 Esercizi

N'B' Per gri esercizi 2, 3, .,13, 14 e ..6, si consigria ro studente di non ricordare a

fr:#:r;:j,t #:-ute, ma di rifure it ragionamenlto ?a*o.in- pr"rndnrra per trovare te

1 Scrivere le equazioni della traslazione di vettore , =( ,

)\ - ) l

2 scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto ailarettay: )y.

3 Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto a\a retta y : _x t 2.

4 Date le rette r: y: x es:./ : x _1, scriverea) le equazioni delra simmetria ortogonale o, rispetto a,aretîar;b) le equazioni deila simmetria ortogonale o, rispetto alla retta s;c) le equazioni dclla isometria ol"o2. Coru ríprà osservare?

5 Scrivere le equazioni delle rotazionirispetto ad o e di angolo 45o, 60o. 90".

6 Studiare e classificare le trasformazioni caratterizzate dalle matrici:( r J 3 l ( q 3 l, I t ; - _ l

M , = l T 2 . 1 " u , = 1 1 . s l' i v 3 l i - - ' 1 3 4 |( t - t ) \ t i )Dimostrare che la matrice dell'isometria composizione di due isometrie è ugualeal prodotto delle matrici delle due isometrie (fare attenzione all,ordine con cui siesegue la composizione delle due isometrie e, quindi, all,ordine del prodottodelle due matrici).

Data la traslazione t di vettore

3x, determinare:a) le matrici di t, di o, di o.ot e di toob) il valore dei determinanti delle matrici

isometria corrispondente.precedenti per classificare il tipo di

Sono date le rette r: y:2x, s: y: 4x.a) Determinare I'angolo tra le rette r e s.b) Determinare le equazioni della simmetria ortogonale o, rispetto allarettar.c) Determinare le equazioni della simmetria ortogonale o, rispetto alla retta s.d) Determinare le equazioni della isometria o,oor. cosa sÍ può concludere?

E dato il punto Q(1,-2).a) Determinare le equazioni della rotazione di centro c) e angolo 30o.

(z\o = [ t j 'la simmetria ortogonale o di €rsse y:

l 0


b) Determinare due simmetrie ortogonali la cui composizione sia uguale allarotazione precedente.

l1 sono date re trasform azionidel piano in sé definite da'e matrici:( a 1 I

,^= la ' - l ̂ , - (o - ' l' ^ - i ! f l " ' = [ - r o ) '\ z - t )

a) Caratter jzzare geometricamente le trasformaz ioni To e Tu.b) Determinare la trasformazionec) Se una circonre îenzar,u "quu,il:1il']b?; 3 ='^",::ilil'#í"

immagine nella trasfo rmazione Ts o To.

( t r ' l12 E d'atalamatrice M =l ì^

? ! "*trasformazione del piano in sé vienei v 3 1 l

definita dalla matri "";.' t )

cap.3'. lsometrie net piano. Aspetto anatitico e manciare s3

a) caratterizzare il tipo di trasform azionee individuare gli eventuali punti uniti.b) Determinare come si trasform a la retta y : 2x, nellatÀsformazione di matriceM.c) Determinare come si trasforma, nelra trasformazione di matrice M,I'equazione della circonferenzadi centro c(-r,3) e raggio uguare a 4.

a) scrivere le equazioni deil'omotetia di centro (1,4) e rapporto k: 3.b) Se A(1,-3), B(3,-0ì e C(2,2),disegnare il triangolo ABó e la sua immagine,nell 'omotetia, A,B'C,c) Determinare l'immagine, nell,omotetia, della retta2x _ y + | :0.d) Determinare I'equazionedella circonferenzaimmagine della circon ferenzaavente centro in (2,0) e raggio uguale a 4.e) calcolare il rapporto delle aree racchiuse dalle due circonfe renze.

Data una generica omotetia di centro (0,0) e rapporto k, verifrcare analiticamenteche:a) il punto medio dell'immagine di un segmento coincide con l,immagine delpunto medio del segmento.b) il perimetro del triangolo immagine A'B'c' é É volte il perimetro del

triangolo ABC.c) l'area del triangolo immagine A'B,c, e È voltel'area del triangolo ABC.

Sono date le omotetie fr1 di centro (0,0) e rapporto kt:3 e h, dicentro (0,0) erapporto kz: -2.b) Determinare le matrici delle omotetie h1, h2, hph2, h2oh1.c) Come é possibile scrivere le ultime due matrici della domanda precedente?

13

t4

1 5


54 Cap' 3: rsometrie net piano. Aspetto anatitico e matriciare

t 6 a) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale sulla retta di equazionecartesianay : -3x.

t Îli ;T*t

A(3,4) e B(-1,2), determinare le coordinate delle roro immagini

c) Verificare che le rette (AA,) e (BB,) sono parallele.

d) Verificare che il vettore ÀG e parallelo allaretta y : -3x.

a) scrivere le equazioni le equazioni della proiezione ortogonale sulla retta die q u a z i o n e x + 2 y * 1 : 0 .b) Dati i punti A(3,4) e B(-1,2), determinare le coordinate delle roro immaginiA ' e B ' .

scrivere le equazioni della proiezione ortogonale suila retta ax + sy * c : 0.

Sono date I'omotetia h, di centro (0,0) e rapporto k: -2e la proiezioneortogonalep sulla rettay: -2x.a) Scrivere le equazioni di h e dip, determinando anche le matrici che le

definiscono.b) scrivere le equazioni delle trasformazioni piane ltop e poh determinando

anche le matrici che le definiscono.c) Scrivere le matrici delle ultime due trasformazioni in funzione delle matrici

d i h e d i p .

Nel piano euclideo di origine O sono dati i punti A(1,0), B(0,1), al:,+1.\ ) 5 )

( a ?\D l - - . : l .

\ 5 . 5 // \

/ + + \

a) Mostrare che I OC,OD | é una base ortonormata.\ /

b) Determinare le equazioni dell'isometria f definita in modo che:( O ) : O , f ( A ) : C e f ( B ) : O .

t 7

l 8

l 9

20


Capitolo 4

I Rrcxlnul otGeomernh ELEMENTARE DELLo spAzto ......56lncidenza fra piani.... ............56Parallelismo tra rette - Dírezione ...........57Refúe sghembe"""""' ...........s7Perpendícolarità e oftogonalità fra rette..... .............sTlncidenza tra retta e piano......

................gglnO.ol2fra due piani incidentie piani ortogonati.. ...-.................5gProiezione oftogonale su un piano .......5gTeorema dette tre perpendicotari.............. ................602 Spnzro vETToRIALEV3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Spazio affine e relazione di Chasles. ........................60Dipendenza e indipendenza rineare. Dimensione div'. gase aivg..............................atProdotto scalare in vr.......... ...................6JCoseni direttori di un vettore .................65Esercizi"" '

. . . . . . . . . .663 CoonorHlrE NELLo spAzto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Esercizi""' ......-...694 EQUAZIoNE DI UN PIANo NELLo sPAzIo ........69

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .735 EeuAztoNt Dt UNA RETTA NELLo spAzto........ ..................14

Esercizi..... ..........7g6 DrsreNze Dt uN puNTo DA uN ptANo ............g0

Applicazione: forma normare di Hesse deil'equazione cartesiana di un piano............g1Esercizi" ' - . . . . . . . . . . .g2

7 Pnooorro vETToRtALE Dt DUE vETToRt...... ....................g3Distanza di un punto da una retta.......... ..................E5Esercizi..... ..........gT

8 PRoDorro Mtsro Dr3 verroRr... .................8gProprietà del prodotto misto di tre vettori................ ..................8gDistanza fra due rette sghembe.............. ..................ggEsercizi . . . . . . . . . . . . . . .g1

56 Cap.4. punti, vettori, pianie rette nello spazio

I Richiami di Geometria erementare deilo spazio

Questo paragrafo ha solo lo scopo di riassumere brevemente le nozioni elementari digeometria dello spazio, nozioni che saranno d'aiuto nella comprensione dei metodivettoriali usati per risolvere problemi concreti o teorici nello spazio euclideo.

Risulteranno altresì-d'aitÍo I'intuizione fisicadei vari enti geometrici spaziali (punti,piani, rette, ...), laddove questa possa sàstituire validamenie un,arida conoscenzateorica. così un tavolo, un foglio di carta non piegato, una lavag flà, ...possono darebenissimo una rappresentazione concretadeil'èntà geometrico astratto piano.Importante, comunque, è ritenere che, da un punto di vista formale, tre punti nonallineati dello spazio, o due rette parallele e-distinte o due rette incidenti in un puntodefiniscono un piano:

1 li / l /

i:z'"/ /'>ì<-,,/< / /"/ :r,/Il piano unico passante per i tre punti non allineati A, B e C si indica anche comepiano (ABC), mentre il piano della figura a destra, individuato dalle due rette r e sincidenti in A, si indica con (rAs).

IIT] iitt",tati di geometria giana sono applicabili in ciascun piano dello spazio; inpartrcorare, due punti distinti p e e di un piano definiscono la retta (pe) d;l piano

considerato

Incidenza fra piani

Due piani o sono parallelí e distinti, o sono coincidenti, o sono incidenti:

i n/

c /

: ! /

'rz rI/ 'r'

1 1'"r

IncidentiTE{\TE2: î

[ , , ,

Paralleli e distintin11n2: O

CoincidentiT(,1^îC2: TÍl: î82

L'intersezione di due piani incidenti individua e definisce una retta nellospazio. In realtà, nello spazio, una retta è il fulcro di una stella infinita di piani,esattamente come nel piano un punto è il fulcro di un fascio infinito di rette.


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette nelto spazio 57

Nel piano, bastano due rette incidenti per individuare il punto. Analogamente,nello spazio, bastano due piani della stella per individuare in modo univoco laretta.

Parallelismo tra rette - Direzione

Nello spazio, due rette r e s sono parallele se:o Sono coincidenti. appartengono ad uno stesso piano e r-rs: A

Nello spazio, l'insieme di tutte le infinite rette parallele ad una data rettaindividua una direzioae. euindi é possibile definire, in questo modo, infinitedirezioni dello spazio. In termini più rigorosi, nell'insieme delle rette dellospazio, si introduc e la relazione di parallelismo tra rette. euesta relazione éuna relazione di equivalenzaed induce, nell'insieme di definizione, una parti_zione in classi di equivalenza ogni classe di equivalenza é una direzione dellospozio.

Rette sghembe

Sono sghembe due rette che, pur non avendo punti incomune, non sono parallele e non hanno, quindi, ununico piano di appartenenza.E possibile dimostrare che, date due rette sghembe r es, esiste un unico piano contenente r e parallelo a s edun unico piano contenente s e parallelo a r; inoltre,questi due piani sono paralleli.

Perpendicolarità e ortogonalità fra rette

Nello spazio, due rette incidenti (e appartenenti, allora, adformanti un angolo retto si dicono perpendicolari.

uno stesso piano)

siano r e s due rette dello spazio. per un punto o dello spazio si conduconodueret te , laret tar 'para l le laadre laret tas 'para l le laas.Leret ter 'e^r ,sonoincidenti e complanari. se risulta che le rette r'e r, sono perpendicolari, sidice che le rette r e s sono ortogonali.

se due rette r e .r sono ortogonali, ogni parallela ad r è ortogonale ad ogniparallela ad s e viceversa.

Dunque la perpendicolarità fra rette dello spazio é un caso particolare dellaortogonalità fra rette dello spazi o: nello spazio, due rette perperdicolari sonodue rette complanari che hanno direzioni ortogonali.


58 Cap.4: punti, vettori, pianie rette nello spazio

Nella figura a lato è disegnato una scatola.avente la forma di un parallelepipedo. Da questafigura è possibile ritrovare alcune situazioni giàdescritte o altre da vedere ancora. A

(ABC) e (FGH),(AFD) e (BGC),(AFB) e (DEC),...(AF) ,(BG), (CH) e (DE);(AB), (DC), (EH) e (FG);(EF), (HG), (CB) e (DA);

/

i,r'' "

G

Rette sghembe: 3Bì: ttSÌ((EH) e (AG),...

Rette perpendicolari: (AF) e (FG),(BG) e (cE),...

Rette orrogonali: (DE) e (FG),(AF) e (cH),...

Dunque due rette r e.r possono essere:

incidenti (rÒs: {A}). In questo caso individuano univocamente il piano rAs.

non incidenti (rns : Z). Bisogna distinguere due casi:

- le due rette sono complanari e sono quindi parallele.

- le due rette sono non complanari e si dicono sghenbe.

Incidenza tra retta e piano

una retta può essere: parallela ad un piano, giacente sul piano o appartenenteal piano, incidente il piano, come nelle figure che seguono:

/'1 i

B,;.Piani paralleli:

Rette parallele:

F t

// /

/ /l t j

Retta parallela al pianorîtn: o

/ -z;'/'

/r /

ra \

/ \/ \ p

/ "

1 l "

/

\Retta appartenente al piano Retta incidente il piano

rnn : {P}

Come è chiaro dalla figura a destra, una retta incidente un piano n interseca ilpiano n in un solo punto P.

r r ì f i : r


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette netto spazio Sg

Questa circostanza consente di definire I'orto_gonalità tra retta r e piano 7r: una retta r inci_dente un piano n in p è perpendicolare a 7r setutte le rette giacenti sul piano a e passantiper P formano con r un angolo retto (oppuresono pe{pendicolari ar).Yanotato che lorette /i 4(incidenti in P) r e a individuano un piano, il i a/piano (rPa), ed è su questo piano che si verifica Ila perpendicolarità di r e a. Analogamente per Itutte le altre rette di n passanti per p. ILa retta perpendicolare a n in p è unica. viceversa, il piano perpendicorare ar i n P è u n i c o .

Angolo fra due piani incidenti e piani ortogonali

Siano r.1e, n2due piani incidenti inr. Per un punto p qualunque di r siconduce un piano zr perpendicolarea r. Risulta:

7 T l f l T [ : a e n 2 f l n : b .

/ Sul piano (apb) si misura I'angolo/ qPó. Tale angolo definisce anche

I'angolo (detto pure angolo diedro)tra i due piarú n1e n2.

se I'angolo diedro è retto i due piani si diconop erpendicolari o ortogonali.

si puo anche dire che due piani sono ortogonali se e soltanto se un pianocontiene una retta ortogonale all'altro piano. Due piani ortogonali,evidentemente, sono sempre secanti.

Se due piani secanti n1e n2sono ortogonali ad un terzod'intersezione tra 11 e n2 é ortogonale al piano z1 .

piano n3la retta r

Proiezione ortogonale su un pianoDato un punto P ed un piano n, si dice proiezioneortogonale di P su n, I'applicazione che fa corri_spondere a P il punto d'intersezione p, della rettaortogonale condotta da P su n ed il piano n stesso.Per abuso di inguaggio si dice anche che p' é la

1

proiezione ortogonale di p su n.Analogamente si può proiettare ortogonalmente sul piano un segmento, unaretta o una figura qualunque. Nella figura di sopra, ad esempio, la proiezioneortogonale del segmento tpel é il segmento [p'e']en e la proiezione ortogonaledella retta (PQ) é la retta (P'Q')ezr.


60 Cap.4'. punti, veftori, pianie rette neilo spazio

Teorema delle tre perpendicolariSia n un piano, O un punto del piano e r unctretta giagente sul piano e non pqssante per O. Ilpunto H é la proiezione ortogonale di O su r.Per O si conduce la retta d perpendicolare qlpiono n. Allora ogni retta congiungente unpunto qualunque p di d con il punto H è per_pendicolare alla retta r.

PI, +t*

,/ ol t r

A___<'nd

DimostrazioneruustrazlOng:

Il teorema é certamente vero se il punto p coincide con O, in quanto, inquesto caso, (oH) é ortogonale ar per definizione di proiezione ortogonale.

Sia, allora, P*o' Il piano (poH) é ortogonale alla retta r,in quanto d (che eortogonale ad ogni retta del piano n) é ortogonale a r, e (OH), perdefinizione di proiezione ortogonale, é perpendicolare a r. I)unque ogniretta del piano (PoH) é ortogonare a r; in particolare lo é ra retla(pH) diquesto piano.

Per riprendere l'esempio del parallelepipedo di pagina 5g, si possono ancoramettere in evidenza i seguenti enti geometrici:Rette e piano perpendicolari: retta (EF) e piano (EFG),

Piani perpendicolari:retta (AB) e piano (GBC), ...(ABC) e (FAB),(FEH) e (EHC),((DBG) e (FEH), ...

2 Spazio vettoriale V3

Sia X l'insieme dei punti dello spazio. L'estensione della definizione di V2 puo farsisubito a V3, insieme dei vettori dello spazio, dove un vettore di V3 è una'ciasse diequivalenza rispetto alla relezione di equipollenza definita nell,insieme 2x2 deibipunti dello spazio.Anche per v3 è possibile definire vna operazione interno, r ,, rispetto a cui (v3, +) èun gruppo abeliano ed una operazione esterno,la moltiplic azione di un vettore per unnumero reale, le cui proprietà sono del tutto identiche a quelle viste per V2. In talmodo, si può dire che Ia struttura (V.,R,+; é una struttura dí spazio vettoriale reale.

Spazio affine e relazione di Chasles

E' possibile stabilire un'applicazione q tra I'insieme delle coppie di puntidello spazio (appartenenti all'insieme xx)) e I'insieme dei vettori di v.:V.2x2 + V:n : (A ,B) -+ i

L'applicazione 7 risulta essere suriettiva ma non iniettiva.


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette neilo spazio 61

Lo spazio X collegato, dall'appli cazione ry, allospazio vettoriale V3 si chiama spazio ffine"Se si prende un punto O del piano affine 7r comepunto privilegiato, risulta, per qualunque coppia(A,B) di punti di Xx):

Relazione diChasles- - +

O A + A B = O B =

Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione di v3. Base di v3

In V3 due vettori de 6sono collineari o linearmente dipendenti se 6 = kàoppure se esiste una coppia di numeri

TSli (1r, 0) * (0, 0) tale che

d + p b = 0 .In v3, tre vettori d,6 ed sono linearmente indipendenli se la relazione

d + 8 6 + y d = dè possibile solo con la terna di numeri reali (o , 0 ,y ) : (0,0,0).

E facile verificare che il numero massimo di vettori linearmente indipendentidi V3 è uguale a 3: questo significa che la dimensione di V3 è 3.

É possibile, allora, scegliere una qualunque terna (èr,Ar,4) di vettorilinearmente indipendenti di v3 come base di vj. un vettore adiv 3si puòscrivere come combinazione lineare dei vettori di base:

a - x é r + ! è z + z è 3

I numeri x, y e z si chiamano componenti numeriche di d rispetto alla basescelta. Cambiando la base le componenti numeriche cambiano.(*)

(*) Facendo riferimento alle sue componenti numeriche rispetto ad una data base, il vettore d di V, Ruò

Ir l l , l l*l- l l - l l r lanchescr ivers id= l ) loppur .A l l l : in ta lcaso i l ve t to re ly l r l ch iamaanchevenore-co lonna,

[.,/ (..J [.jl"ì

essendo | ) lunumatriceavente3 righee I colonna. Potrebbeanchescriversi d comeunamatrice

[ .Javente I riga e 3 colonne: d : (x, y, x); in tal caso il 'vettore' (x, y, z) si chiamerebbe vettore-riga.A seconda dei casi. sono utilizzate entrambe le notazioni.

' \ re

o


62 Cap.4'. punti, vettori, piani e rette netto spazio

d = @, + ar)+ d, = xé, + yè, + zè.

E' possibile dimostrare che, dati due vettori:

d : ard, + arè, + arè, ,6 = bré, + brè, + bré3 ,

questi sono collineari se e solo se:

lo, o,l lo,It, b,l= -lb,q,) lo, a, l

u,l=lu: ,,1= o'Dati tre vettori

d = arè, + arè, + arèr,6 = brè, + brè, + brèr,è = crè, * crè, + cré,

di V3, vale il seguente teorema:

+ ,

e,b,c sono coplanar iP' a2

olr, b2lct c2

""1, lb . l =

Ic " l

J l

In effetti, se i tre vettori sono coplanari, sono anche linearmente dipendenti e,quindi, la combinazione lineare

d , d + 8 6 + y d = ó

é possibile con una terna (cr ,F ,y)*(0,0,0), il che significa, sostituendo lecomponenti dei tre vettori, che:

4(grd, + arè, + arer)+ F (n,e, + bré, + brer)+y G,é, + crè, +r,à, )= ó =

(oo, + Bb, +yc,), *(oo, + Bb, +ycrh, *@o. + Bb, +ycrh = ó +


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette netto spazio 63

luo, + gb., +yc, = g

]aa, + Bb, +yc, = g

lua, + Bb, +yc, : g

Il sistema precedente é un sistema lineare omogeneo (cioé con i secondimembri tutti uguali a zero). euesto sistema può fornire una soluzio ne diversada q_uella banale { (o, g,y ) = (o,o,o) } se e solo se il determinante deicoefficienti è uguale azero,quindi se e solo se:

Attenzione! Mentre in v2 vettori collineari e vettori linearmente dipendentisignificano ia sressa.oy,Tv3 ra dipend,enzai;;ilue vettori o di trevettori puo significare che i.aué vettori sono colrineari o che i tre ve;; ;;"lll,^T-T1.

si aj;e T:h:,nel prim.o caso, che i qfri.iliuppurt.ogono auastessa retta vettoriare (sottospazio vettoriare, di dimensione 1, di ùr;, ner

àH:Íj#Ì""ffi"l:*Htrff il:l-:î""1y'"'*il;"''J,,"Jfi'i"'Dal punto di vista geometrico:'

:::: ":.rn: parallele ad un determinaro vettore fanno parre defla stessaretta vettoriale di V3 (direzione orientata)

o tutti i piani paralleli ad uno stesso piano.individuato da due rette parallele adue vettori diversi di v3 appart"ngàno allo stesso'fi; vettoriale di v.

Prodotto scalare in V3

Il prodotto scalare di due vettori di v3 è un'operazione esterna a v3 ed èun'applicazione che fa corrispondere a due vettori di v3 un numero reare:

Tale operazione viene denotata Í;Ji:*;$.ir.. con le stesse proprietàformali del prodotto scalare di due vettori di v2, che qui si richiamano:

l . d . 6 = 6 . a2. (ua).6 =o(a.E3 . a . ( 6+e )=a . i +d .d4 . d .E = 0 (cond *ó e E +óy e a t6

f Per denotare il.prodotto scalare fra due vettori, il simbolo di tale operazione, il

lp.unlo.a mela altezza, é obbligatorio e non va omesso né sostituito con altro

lstÎbolo (ad.esempio x), in quanto questa notazione é ormai standardjzzata ed

ladottata sui libri di tutto il mondo, in qualunque lingua.

o . lb:l =,;l

Io,lu,l,),

a2

b2

c2



Se i vettori d = arér+ardr+arér,6 =brér+brèr+brè, sono definiti rispetto ad

lT bT" (è,,ér,èr) , allorale proprietà formali sopra richiamate consentono

di scrivere:

d . 6 = (a,è, + arè, + orèr). (b,a, + brè, + b3a3)== arbrè, .è, + (a,b, + arbrY, .é, + arbrè, .è, + (arb, + arbr[, .è, *+ (arb, + arbrY, è, + arbrè, .è,

Scegliendo una base Q,j,E) oÉonormare, una base cioè tale che:

? T r a 1 - - - _ lr . t = l , l . l : l , k . k _ ,

î . j = 0 , í . 8 = 0 , j . 8 = 0

si ha che:

espressione molto piu semplice rispetto alla precedente.(*)

Rispetto ad una base ortonormata si può definire la norma o modulo di unvettore d = arí + arj + arÉ il numero:

l lal l - JdA -J; ' , +ú+a'Anche in V3 si dimostra che:

d . 6 =llallll6llcosla,6;

da cui si ha:

(') In questo caso, il prodotto scalare dei vettori d e 6 si scrive anche in modo efficace come ilprodotto del vettore-riga d per il vettore-col"""ur?,a

a .E = Q, a2 ùl;,1= Q,u, + a,b, + a,b,)t - l\ó,/

o = o Jf r - ?o = D J

+ arj + a3k

+br j +48> d . 6 = a f t r + a r b r + a r b ,

a t b t + a r b r + a 3 b 3cos(d, b): nrt i l l r* l l

:i lailll_ rr o ? + a l + a l b? *b] +bi


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette nelto spazio 65

Coseni direttori di un veftore

Sia /o un vettore unitario, un vettore quindi avente norrna uguale a l: llnll= 1.Se le componenti di /, rispetto alla base ortono rmata (,i,r1, sono )r,, u),ur' tale che ù = urí + urj + urí e se si indicano cor cù1, 02, 03 gri angoli che il

;:ff ù formaconivettori dellabase rrr , =@,1)r, =p,-iyrr:Q,r),

I - cosor . i * cosc r l2 . j +cosa l . . t

cos2 or * cos2 @z *cos2 o: = I .

Quanto detto sopra giustihca il fatto che ur= coso)r ,t)2 = cos;32,a/, : coSCù, sichiamano coseni direttori di Z.

se d = arí + arj + art nonè un vettore unitario, allora i suoi coseni direttorisono dati da:

con

COS(ù. = -:2::' ^ lo? +o | +a l ' '

cos61. = ----gr---' ^lol + a', + al

Esempio I

Soluzione:

Dimostrare che i vettori d =èr+2ér-è, e 6 -2èr èr+é., sono l. i .

Infatti I'uguaglianza

Q,+2èr-èr)* F Qe,-èz*a,F óe (cr + 2pb, +Q" - p)a, +(--cr * p >, : ó

l u + 2 0 : 0conduce a risolvere il sistema lineare 12" _ F = 0, che

[--cr +0 =0

cosor = lltm

= ut ,cos(o, =lffi= ur,"oSú), =

ffi= u,


66 Cap.4: punti, vettori, pianie rette neilo spazio

Esempio 2 Dimostrare che i vettori d. =-ét*èr.-2è, e 6 -_3èr+3èr_6e sonol.d.

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

Esempio 4

Soluzione:

I matti r isulta 6 =3d.

Dat i i ve t to r i d =èr - .è?*èr ,6 =2èr+èr+è, e è =3dt+2è, ,dimostrare che sono l.d.

Infatti risulta:

l r - r r l j r - r r l1 2 I 1 l = 1 3 o 2 l = 0 ,13 o 2l l: o 2l

oppure basta notare che d = d + 6

Nella base ortonormata Q,j,E) sono dati i vettori d :í + j _ZÈ ,6 =f +j * E, d = 2i + i - E .Determinare:a) d.6,d.e ,llall,l ltl l, ttattb) i coseni direttori di d.

a) d-6 = 1+1- 2=0 (idue vettori sono ortogonali)d . d = 2 + l + 2 = 5

l la l l : ' f i11*4=76l l t l l :ú+1+t=Jt

l l a l l = /4a1*1 -u6î/

O ) c o s o r = J 6 , .I

coso2 = J6'- l

coso3 = J6'

Esercizi

1 ver i f icare se i vet tor i d = 4-3d2+èr , 6 =2èr+3è2 -è3, è =èr +6a2 -24a duea due e tutti assieme sono l.d. oppure no.

2 Dati i vettori d = èt - 3èz ! èr, 6 = 2é, + 3é, - è3, a = )r,ér + a2 - è3,determinare l,in modo che i vettori d,6,e siano coplanari.


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette netto spazio 67

3 In una base ortonormata Q,j,È) sono dati i vettori:a = l + . i + 8 , 6 = _ f + j * 8 , e = l + j _ 8 , d = 2 1 + 3 j _ Ea) calcolare d . 6, a . e,llall,lltll, itutt.b) Calcolare I'angolo fra i vettori 6 e e .c) Determinare i coseni direttori di D.d) Verificare che d,6 e d sono coplanari.e) Determinare i vettori í,j,8 rispetto alla base (a,6,e).f) Determinare re componenti numeriche del vettore J rispetto alla base(a,6,e) .

Nello spazio, è data una base ortonormat " Q,j,E). Sono dati, inortre, trev.ettori l.i. (ù,i,rZ) legati alla base Q ,j ,tj dalle relazioni:

l ù = u , l + r r j + u r E1 í = r , í + r r j + r r |l - . ? -l w = w Ì + * r j + w r k

a) Esprimere il vettore i = xrî + xrj +xrf, rispetto alla base (ùp,n) .b) Ripetere il cambiamento di base mediante il prodotto di matrici opportune.

Dimostrare la condizione di collinearità fra due vettori dello spazio.

3 Coordinate nello spazio

P"J

É

Nello spazio tridimensionale, per fissare unriferimento, bisogna avere un punto fisso O ed unaterna di vettori Q,j,E), unitari e mutuamente

P oftogonali, tali che ciascuna coppia di vettoriD individui un piano ortogonale al terzo vettore.l 1

L

La figura puo dare un'idea di una scelta possibile.Analogamente a quanto visto nel piano, nello

T ) . rtsO spazio I, munito del riferimento (O,l-, j,E), adogni punto p di I corrisponde una tema (x, y, z) di

R3 e viceversa. Inoltre, ad ogni punto pel corrisponde uno ed un solo vettore OÉ.V3 avente origine in O. Quindi si possono riassumere queste biiezioni con la relazione

O P - x f + yj + zk e P(x,y,z)

Dalla (l) si evince che le componenti numeriche del vettor" OF rispetto alla baserispetto al riferimen to (O;,i:,.8)


68 Cap.4: punti, veftori, pianie rette nelto spazio

,:Tiffi ,îîT*Hff ffi t,irff*agliodellascomposizionedervettoreòFrispet-

òF_ òF',+òF, _ òF,+ oÉ,+ oF, _ xf + yj + zE .La norma o modulo del vettore OÉ e d,ata d,a:

(2)

Dati due punti A(xr, !1, z1) e B(x2, !2, z2), d,a|arelazione di chasres e dalla (1) si ha:

da cui: ÀÈ = oÈ- òi = (tri * y,j + ,rE)_6,I * y,j + z,E

(3)La(3) e (2) forniscono la norma del vettore ÀÉ:

Esempio

Soluzione:

(4)

Dati i punti A(2, -3, l), B(3,4, _2) e C(0,1, 3), determinare- + - -

AB,AC ,AB'AC, i coseni direttori di ÀÉe l'angolo tra i vettori ÀÈe+

A C .

Si ha:

AB : (3 -2)i + (4 + Zfi + 1_Z_ l)[ : i + zj _ :[Àó : (0 -2)i + (1 + :f + 1: - l)[ : -2i + 4-1 +2É.- +

AB. AC = l. (-2) + 7 . 4+ (-3) . 2 = -2 +2g _ 6 : 20

Coseni direttori di ÀÉ:1 1 7 _ z

coso ,= - - -vvùwr - útlElr-

= ,5n

."o.r, = J5g

,coscù3 = J3'

.

Se cr è I'angolo tra i vettori ÀÉ, Àó, risulta:

ll=:ll /ll-- ll' ll---llo.ll = illloo,ll *lloT,ll .llòF, ll = {.,;V. *,, rr u[ i l i l l l l l l l


- -

9ap.4'. Punti, vettori, pianie rette netto spazio 6g

Esercizi

1 Nel lo spazio X sono dat i i punt i A(1,1,2), B(_1,1, 3) e C(2, l , _I) .a) Rappresentare i punti e, g " C.

b) Determinare i vettori ÀÈ, Àd . ed.c) Calcolare le norme dei vettori G, Àd " gd.

d) Calcolare i coseni dirertori di G, Àd " Èd.e) calcolare il seno deil'angolo fra i vettori ÀÈ " Àd.

2 Nello spazio X sono dati i punti A(_1,2, 1), B(1,3, _2) e C(0, _1,2\.a) Determinare i vertori G, Àè " gd.

b) Catcolare i prodotti scalari ÀÈ Àd " ÀÈ. Bè.c) catcolare gli angoli delle coppie di vertori rÀÉ, Àdl " (G, Édl.d) Determinare due vettori unitari i e fri ortogonali ua Ge ortogonali tra di

e) Determinare un vettore ùunitarjo di G.

f) Esprimere i venori ÀÉ , Àd " gd rispetto alra base (n J ,n) e calcolare,rispetto a questa base, i prodotti scalari ÀÉ Àè " Àd.Èè. corrr.ontare coni risultati ottenuti in b). Cosa si può concludere?

4 Equazione di un piano nello spazio

Dalla geometria elementare si sa che due rette incidenti distinte determinano univoca-mente un piano' Anche tre punti non allineati determinano univocamente un piano.Inoltre, per due punti A e B dello spazio passa una ed una sola retta: questa retta può

essere carattetizzata'-ad esempio, dal punto A e dal vettore ÀÉ, "he prende il nome divettore direttore della retta.

Questi richiami di geometria elementare sonosuffi ci enti per caratter izzar e anal iticamente(scriverne I'equazione) un piano.Siano r e s due rette incidenti in A(xs, !s, zs) er ' - l \ - / \or cul z(r/r u2 ur)e l f t , v2 vr) sono irispettivi vettori direttori. Si sa che, in unpiano, 3 vettori sono sempre linearmentedipendenti. Dunque si puo dire che il punto pappartiene al piano n indivi-duato dalle rette r

e.r se e solo se il vettore ÀÉ e linearmente

,rA-,


elto spazio

dipendente con i vettori Zdi questi:

e ù, o anche che si può scrivere come combinazione lineare

P e r o a F = ) " ù + p i . ( l )La (l) si puo considerare come'equazione vettoriare di n.Passando alre componenti dei vettori N,n e i rispetto alra base ( , i ,È), si ha:

(l x - x nl -

7,-r,| 7 - t

x - x o + ) " u r + t r w ,

y = l o + ) " u r + 1 t v ,

z = z o + ) " u r + 1 1 v ,(2)

! - l o t - r o lU 1 U . l -': "; i

0 (3)

La (3) costituisce I'equazione cartesiana (*) di n. Mabisogna scrivere tale equazionediversamente' sviluppando il determinante per esempio secondo gli elementi dellaprima riga:

8 - ,rYvrr, - vrur)-(y - ,rYv,r, - r,ur)+Q - royv,r, -u,rr): g

(*) In realtà, si dovrebbe dire un'equazione cartesiana di n, perchè re equazioni -x + 2y - 3z + ) : g "2x - 4y + 6z - 4: 0 sono equazioni cartesiane di uno stesso piano. per àbuso di linguaggio, si usa, inquesto corso, anche I'espressione I'equazione cartesiana di n.

G-r,I *(y-y,)i *Q-r,\i =t"(g,í +u,j +u,E)+,Lr(u,,-+ ,,j +v,E)=

da cui: =(tru,* pr,)* eur* t ur)i *6rr+ rLvr't

= )"u, + trtv,=Lu, + py2 <>= )ult, * fry:

Le (2) rappresentano. leequazioni parametriche di n (i parametri sono l, e p).AIle stesse equazioni (1) ; (2) si #iva se si vogliono ,..ìrr.r" l,equazione vettoriale ole equazioni parametriche deípiano n fassante per 3 punti A, B e c. Basta, infatti,considerare le rette, incidenti in A, (AB) e (AC), di vettori direttori rispettivi ù =Re l : À d

Dalle equazioni (2), per eliminazione deiparametri À e p, si può scrivere l,equazionecartesiana di n' Dal punto di vista del calcolo, detta eliminazione risulta alquantolaboriosa e si indicherà qui una strada arternatíva" piJ;I";re per scriveredirettamente I'equazione cartesian a di n.

Infatti, la condizione (l) di dipendenzalineareo di coplanarità dei vettori R,ae ú sipuò anche esprimere dicendo che deve essere nullo il àeterminante delle componenetiscalari dei vettori ÀÈ, a e ú (un vettore per linea del determinante):

l * - *r e n e l u l

l r ,


Cap. 4: Punti, vettori. ,, pianie refte nelto spazio 71

da cui:

Qrr, - vrur\ + (!,u, _ urv rb + Qrr, _ vrur\-Qr r , -v ru r \ , _Qru , _u ,v rbo _Q, r : '_v tuz lo = o

g )

L'equazione (4), dirett a d,erivazione della Í3ì,

è ?n:gra l,equazione cartesian a di n. Mache fatica ricordare la ()l m .rrettiJetta fatica e oet tuuoiirutile. La (4) è stata scrinasolo per notare che l'equazion" "u.t"ri*u oi un piano ,, Jrrr,.quurione der tipo:

con:+ b y + c z + d = (5)

g = u 2 t t - v 2 U 3 ,

b = v r t t . - u r r tg = U 1 V z - V t U z

d = -(!rrr, - v ru r\, - Q ru, - urv r)! o _

@rr, _ v rurh o

(6)

In pratica, quindi, per determinare l'equazione cartesiana di un piano n passante perA(xs, !s, zs) e avente come vettori direttori ù(u, tt2 ur) e n(,, ,, ;t, ;"udouula relazione (3)' si sviluppa' determinante e si ottiene unlequazione del tipo (5).

E facile rendersi conto che, se si considerailvettore fi(a b "), con e, b, e c datida l l e re laz ion i (6 ) , r i su l t ache f r ' ù=0e f r . i - 0 ( * ) , i l ches ign i f i cache i l ve t to rezèortogonale sia a ú che a ù, cioè che il vettore Z è ortogonale al piano n avente comeve t to r i d i re t to r i ùe i .

(*) Infatti si ha:

fr . ú = au, + bu, * cît, = Qrr, - vrurb, + Qrr, _ urvrb, + Qrr, _ vrur\, _= utuzv3 - utvzlt3 + vtu3uz _ ul3u2 + uy2î,h _ ví121t3 = 0

Analogamente: f i : ovt +bv, + ct, =...- e.

Casi particolari:

' Se d : 0, il piano ax + by + cz :0 passa per l'origine o degli assi cartesiani.. Se o: 0, il piano by + cz + d = 0 risulta parallelo all,asse x.. Se b : 0, i l piano ca +cz + d =0risultaparal lelo al l ,assey.. Se c:0, i lpiano ax+by+d=0 risultaparal lelo al l ,assez.' Se (t: 0, b = O),i lpiano cz +d- 0 e z = -4 @ *0)risultaparal lelo al l ,assex

e all'asse y, dunque al piano xoy.llpiano ,iruttta anche perpendicolare all,asse z.. S e ( a : 0 , c : O ) , i l p i a n o b y + d = 0 d

è y - - h

@+ 0) risultaparallelo all'assexe all'asse z, dunque al piano xoz.rlpiano risultl-anche perpendicolare all,assey.

' Se (b : 0,c : 0), i l piano ax +d: 0 <+ * =-4 @*O)risultaparal lelo al l ,asseyoisulti anche perpendicolare all,asse x.


72 Cap.4: punti, vettori, pianie refte nello spazio

L'ultima osservazione consente di scrivere l,equazione di un piano zr, ortogonale ar

#LJf b c) e passante per ' punro A(xs, !s, zs). Tarepiano ha equazione

ax + by + cz - axo - byo _ czn = Qo anche:

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

Esempio 4

Soluzione:

da cui:

Esempio t 3if:îtlî::?l3::ìî:

*n"'iana der piano n passante per A(1, r, r),

Si hache Z = , ig - -z ì +28 e i = At =21 + j _zÈ.Per la (3) I'equazione dàl piano " :(aÀèl è data da:

i ' - t y - t , - t ll o _ 2 2 l = 0 .l z t _ 2 1

(x - tX+ - 2) - (v - ù-q + (z -tXo + 4) : o =+x + 2 y + 2 2 _ 5 = 0

Scrivere le equazioni parametriche del piano dell,esempio l.

Considerando la (2) e i dati dell'esempio l, si ha subito:

f x = l+2t r t

1 y = 1 - 2 ) " + pl z = l + D , _ 2 p

Scrivere I'equazione del piano passante per A(r, -2,3) enormale alvettore frQ I -l).

L'equazione richiesta è:2 x + y - z - 1 . 2 - ( - 2 ) . 1 - 3 . ( - l ) : 0 > 2 x + y _ z + 3 = 0 .

Determinare I'angolo diedro compreso tra i piani n t:x + y -22+ 1 : 0e n r : 2 x - y + 3 2 = 0 .

L'angolo cx tra i due piani è uguale all'angolo tra i vettor i rt, e fr.r,normali ai suddetti piani. Visto che fr, (t 1 _2) " fire _1 3), siha:

f r , . f r , t . Z + 1 . ( _ t ) + ( _ 2 ) . 3 _ s 5C O S C I , = ; : - L " = - : _

l l n , l l l l n r l l J l+ t+4" ,14+ t+9 JOJA Z . , l 2 r ,

da cui infine: u= 123".


Cap.4: Punti, vettori, piani e refte neilo spazio 73

Esempio 5

Soluzione:

Esercizi

Determinare I'equazione del giang,r2 passante per A(1, _1,2) eparallelo al piano ri x - y + 2z _3 :b.

Essendo nr//n7, i due piani hanno lo stesso vettore normale. Dunque sipuò scrivere che:n 2 : x - y + 2 2 + d = 0 ,

dove d è un parametro da determinare in modo che A e n^.Imponendo questa condizione si ha: I _ r f rj + zt';; :rò, ou c11i d =-6. Dunque:

opp ure s i puo c erc are r " rr :À;,:";{ i r' í"; rÍ ;jo d irettam e'te,

n r : ( x - 1 ) - ( y + l )+2 (z -2 ) = 0 + . rE 2 :x _ y +22 _6 = 0 .

(o,r.j). (o.t,E) eScrivere le equazioni cartesiane dei ,,piani coordinati,,:(o,j,E) .

Scrivere le equazioni parametriche e quella cartesiana del piano n :(A,ù.,i),doveA( -2 , r , 3 ) , ù ( r _ t Z )e tQ I l ) .

Dato I insieme di piani n^:lx+ y - z +l = 0 (À numero reare), determinare:a) il piano dell'insieme n^ parallelo al piano x * y _ z:0b) il piano dell'insieme n, avente come vettore normale il vettore

n(r 2 -2)c) il piano dell'insieme 7rr passante per A(1, l, _3).

Determinare le equazioni parametriche e quella cartesiana del piano n passanteper A(-1, 2, -3), B(1, -1 ,2) e parallelo al vettore di base i .

Da t i i pun t i A (1 , 1 ,2 ) ,8 ( -1 ,1 , 3 ) e C(2 , l , _ l ) ,a) Determinare le coordinate del punto D(x, y,z) in modo che il quadrilatero

ABCD sia un parallelogramma.b) Se t è il vettore normale al piano n: (ABC), determinare |equazione del

. plano îr passante per A e avente come vettori di base i vettori ÀÉ e n .

c) Determinare I'angolo tra i piani n e n,.d) Determinare I'area del triangolo ABC.

Determinare le equazioni parametriche del piano rr passante per A(2, -4, -3),B(3,2,1) e paral lelo al vettore ù(_t 5 3)


74 Cap.4: punti, veftori, pianie rette netto spazio

5 Equazioni di una retta neflo spaziouna retta r nello spazio è individuata da due piani secanti oppure da un punto Ae r eda un vettore di direzione ù.Nella prima ipotesi ti,d:I" scrivere l'equazione della retta r come l,insieme delle dueequazioni cartesiane dei due piani incid'enti, equazioni che devono essere verificatecontemporaneamente; quindi si scriverà il sistéma delle due equazioni. Ad esempio. sei due p ian i inc ident i sono 7rr :x-y+z-2=0 enr :2x* y-z= 0, l ,equazione del larettar si scriverà:

f * - y + z - 2 = 0" \ r * + y - z = o

Nella seconda ipotesi, se A(xo, !s, zs) e ù(y, u2 ,r), un

punto P(x, y, z)er se e solo se il vettore ÀÉ e collineare conil vettore Z:

P e r < > N = 7 6

L'ultima relazione definisce anche l'equazione vettoriar e di ù.

Passando alle componenti scalari, la (1) diventa:

( l )

l * - * o = ? r u , f x = x o + ? " u ,I I

7 Y - y o = ) " u r € l l = h + À . u ,l z - zo = ) "27 . ' l z = z r+?uu ,

Le (2) definiscono le equazioni parametriche di r.

Eliminando il parametro 1,, le (2) si possono scrivere:

(2)

x - x o _ 1 - l o z _ z ou,r uz 1t3

(3)

Le equazioni (3), prese come 2 equazioni diverse

l ' - * ' - ! - l oI U, tt2

l " - r o = t - r ol 4 t t 3

rappresentano le equazioni di due piani incidenti in r e sono, quindi, le equazionicartesiane di r (owiamente è possibile determinare altre coppie di piani incidenti in r).


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette neilo spazio 7S

Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Dunque:

Si ha successivamente:

= z y

y - J z

sazio

2P ,

scrivere le equazioni parametriche della retta rortogonare al piano ndi equazione x + 2y - z * 3:0 e passante per il punto A(3, _I,2).Determinare, inoltre la distanza di a aA pìurro ,r.

Il vettore D(l 2 -t) e ortogonale al piano zr ed è quindi il vettoredi direzione della retta r. Dunque le equazioni parametriche di r sono:(

l x : 3 + î "I

r : 1Y : - l +2 ) " .

l z : 2 - tUn valore particolare di 1, determina un punto particolare di r.Per determinare la distanza di A da n, basta deierminare il punto Bindividua{o da rn n:

(: + i ,)+ 2(-t +2),)-(2- f)+ 3 = 0 => $,+ 2= 0 = i . = _1

I 1 8 3

l r - ?r 3 3

_ t , 2 t _ f * 5 7 ì= B : ] != - r - : - - i + r l i , _ . - . tI J 3 \ 3 ' 3 ' 3 ) 'I z = 2 * ! = 1l a a\ J J

.(-;.')r.(ii l [ 4 1l l=r /o*t* t=e infine:

_ ì - l _ 2 . l _- 2 ) k = - ; I _ ; j * ; E ./ J J ' 3

J6a 'J

, ì=(}-r) '

d(A,n)= llaì

Dati i piani n ,:x -2y + z -2 = 0 e n r:2x + y _ z = 0 , determinare unvettore direttore e le equazioni parametriche della retta r: n1c\r82.

per

T Z -

y - z

' + 4 =

ni so

I

, 0 1 e

v+

,.1

3z

io

4;)

2.aJ

-2

,x

x -

2f t = 2 y - z + 2

o " \ r ( z r - z+2 )+y -z :oé

l x :2y-z+2 t l -=?.

r :1 3 4 <>r : { 4[ / = i,_i

l;= ;r.4uazioni parametriche di r, che p

lv'ì I'l: t tore

1tlt i .oanche a' j : j .ne

\ t i t 5 /

l"(l x

r :1 -t ) l

l e q

( :At -

\ i

Le ultime

il punto .r

3; ) u)

e u n

vettore direttore.


76 Cap.4.. punti, vettori, piani e rette netto spazio

Esempio 3

Soluzione:

Esempio 4

Soluzione:

Sono dati il piano n:2x + y -32 +2= 0 e la retta r passante per A(r,2, -l) e avente come vettore direttore il vettore il(_l 2 3) .Determinare I'angolo o compreso tra la retta r ed iì piano n.

L'angolo cr richiesto è l'angolo complementare tra ù e fre 1 -3) ,vettore normale a n. Si ha:f r . ù _ 2 + 2 _ 9 g

COSCI, : l t_- ! , , ,J = =--- - : .=

__W | | u | ^ i l + 4 + 9 J 4 + l + 9 1 4

.

da cui a = 130". In realtà si puo considerare.angolo supplementeredi quello trovato e quindi soJ. si sarebbe ottenuto direttamente 50oconsiderando il vettore opposto a È oppure il vettore opposto a d.

Dato il punto A(2, -.1,3) e la rctta r passante per B(l ,3, _2)e aventevettore direttore ùQ l -1) , determinare la distanza di A da r.

Il procedimento da seguire è il seguente: da A si conduce il piano nortogonale a r; si determina il punto H intersezione di r e n: la

distanza richiesta è la norma di ÀÈ. In questo modo si ha:I x : l + 2 XI

r : \ ! = 3 + 1 " , n : 2 x + y - z _ 2 . 2 + l . l _ ( _ 3 ) . ( _ l ) = 0 = +lz = -2 -?u

n : 2 x + l - z = 0

H:

x = l + 2 ? v

! = 3 + ? 'z = -2 - ) "

z(r + zx) +(: + r) - (- 2 - ?ò = o

I sl X = - -i 6I 1 1I y = -

= H:4 o-l )

l 6l ^ 7l r ! = - -r 6

= ,'(-

Dunque:

8 l 16 ' 6

+

AH

) ì, -

6)

2 0 = 1 7 = 2 3 -- - - i + - i - - - k6 6 ' 6


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette nello spazio Z7

Esempio 5

Soluzione:

Data la retta r passante per A( I ,0, 1 ) e avente come vettore direttoreùQ I 3) e laretfas passante per B(2,r,0) e avente come vettore

direttore i(3 -t 2),a) verificare che r e s sono sghembeb) trovare la minima distanÀtra r e s.

a) Bisogna verificare che r es non sono parallele e non sono incidenti,bisogna verificare, cioè, che non esiste un piano che contenga le duerette.Primo metodo.Le due rette r e s non sono parallele, in quantocertamente non sono collineari i roro vettori direttori ù e i.Le equazioni parametriche di r e., sono:

l x = r + z x l x = 2 + 3 vr : 7 y = ) y s : l y = 1 - U

t ll z : l + 3 ) u l z = 2 p

Se le due rette fossero incidenti dovrebbero esistere due valori

1o . uo dei parametri tali che:

l 1+no =2+3p ,

, 1 \ : l - p o

f l + 3 \ = 2 F o

Le condizioni di sopra esprimono un sistema di 3 equazioni in 2incognite. Perchè il sistema fornisca univocamente i valori di l.o e po,bisogna poter ricavare questi valori da2 delle 3 equazioni e verificareche con i valori trovati di l,o e po anche laterzaequazione risultavera. Quindi, prendendo le prime due equazioni del sistemaprecedente, si ha:

con questi valori di l"o e po il 1'membro dellaterzaequazione valel7/5, mentre il2" membro della stessa equazione vale 2/5. euestosignifica che il sistema è impossibile e che le rette r e.s non sonoincidenti.Secondo metodo (piú rapido). Basta verificare che i vettori+

AB, ù e i non sono coplanari. per questo basta calcolare ildeterminante delle loro componenti (dopo aver calcolato il vettore

l +I z t , - 3 F o = 1 l \ = ,l \ * u o : t = l I

l r o = s

= i + j - E ) ,t - t lI 3 l = t * 5 + 5 = 1 5 * 0 ,

- 1 2 l

ÀÉ

I

2

J


che, essendo diverso da 0, dimostra che i tre vettori non sonocoplanari e, dunque, che le due rette r e., sono sghembe.

b) Si co.nsidera il piano n passante per A e avente come vettoridirettori ù e i. eualunque punto della retta s ha distan za darpiano nuguale alla minima distanzadelle due rette sghembe. Si ha:

l r - t y ,_ t l" ( a . a , r ) l 2 | , l = o + x + y _ z : o .

t ll 3 _ 1 2 l

Si .considera

orala retta t passante per Be s e ortogona le a n:l x = 2 + ) "

t : \ y : 1 1 7 t ( \ n = { p } =

lz = -?u

f * = 2 + xIl v = l + 1 ,

P: l -

lz = -?u

1 2 + ? , + l + 1 " - ( - t ) : 0

h": _tl ' = t= t ' J r=o = P ( l ' o ' l ) :A '

l z = l

Dunque la distanza richiesta tra le due rette sghembe è:l l - - . - - l l l l -_ l ll lepll = lleall = J+ r + I = ú1 .i l i l l l t l

Nota: La circostanza che ra distanzarichiesta sia proprio uguare ai l t ll l - l l

ll'Oll U del tuno casuale. Infatti, prendendo il punto Br(5, 0, 2)es e

considerando la retta /, passante per B, e ortogonale a n,si ha (r,nn :{ P ' } ) ,

l x = 5 + î " l x : 4

- l y = x l r = - tP':l 'r=z-t" 3 P, t\:=t = P,(+.-r.:)

f ( 5+2 , ) + ) , - (2 -À )=0 l l , = - t

La distanzaè allora, lbl,ll= Jl+ t+ I = úi .i l t l


Esercizi

I Dati i punti a(l:?, -3) e B(-2, 3, 4), determinare le equazioni parametriche ecartesiane di (AB).

2 Sono dati i punti A(0,0,1), B(1,0,0) e C(l,1,1).a) Scrivere le equazioni parametriche della retta (AB).b) Scrivere un'equazione cartesiana del piano faàCl.c) Determinare le equazioni parametriche delli retta passante per A eperpendicolare al piano (ABC).d) Calcolare l'angolo tra le rette (AB) e (AC).

l x - y + 2 2 - l = 03 Data la retta r:i

l 2 x + y - z + 2 = 0 'a) Scrivere le equazioni parametriche di rb) Calcolare la distanza di p(-l ,3, 5) da r.

4 Sono dati i punti A(0, l, _l), B(_3, 4,2),ivettori ùQ f _f), l(f _l _l)e le rette r(A,ù) e s(B,ú).a) Dimostrare che / e,s sono incidenti e determinare il loro punto comune.b) Calcolare I'angolo tra le rette r e s.

5 Date le rette r(A,ù) e s(B,ù), dove: A(1, l , l) ,r(1 o -2),

ùQ - t 3) ,n62,3,4) e

dimostrare che r e s sono sghembe e determinare la loro minima distanza.

f x = 1 + ) ,Sono da t i i l p i ano n :x +2y + z -4 :0e la re t ta , ,

] 1 ,=3 ( î . eR . )

l z = 3 _ ? "a) Determinale un sistema di equazioni parametricne aet piano n1 che contiene

r ed é perpendicolare a n.b) una retta t é tale che passa per 0(0,0,0), é ortogon ale a r ed interseca n in p

e n' in Q in modo che o é il punto medio del segmento tpe]. Scrivere unsistema di equazioni parametriche della rctta t.

c) La retta r, passa per o ed ha come vettore direttore d(r 5 1).Determinare la perpendicolare comune alle rette r e rt e calcolare ladistanza fra queste due rette.

Sono dati la retta r dell'esercizio 5 ed il piano TÍ,;x - y +32* I = 0.a) Determinare il punto d'intersezio ne p tra r e n.b) Determinare I'equazione del piano n1 passante per r ed ortogonale a n.c) Determinare la retta rr: nt ^ TE .d) Calcolare I'angolo trar e n.


80 Cap.4: punti, vettori, pianie rette neilo spazio

I x = 6 - 2 ] u8 E data la retta ,,

ll = 5 _ 51, (1, e R) ed il punto A(6,_5,3).

1 z = _ 2 + 4 ) ua) Dimostrare che Aer.b) scrivere un'equazione cartesiana del piano fi contenente r e A.c) Scrivere le equazioni parametrich^e deìla retta s ferpendicolare (e quindisecante) a r e passante per 0(0,0,0).d) Calcolare l,angolo fra il piano n e laretta s.

6 Distanza di un punto da un piano

Il procedimento seguito per l'Esempio r del paragrafo precedente può esseregenetalizzato per ottenere una formula che cònserrt" ai "ut"olare direttamente ladistanza di un punto A da un piano n.Sia A(xo, ls, zs) il punto e n:qx + by + cz + d : 0il piano. Si deve calcolare la distanza

l l-lld(A,n ): l laU11,l t t l

dove H è il punto d'intersezione della rettar(A,rt) con il piano n e rt ilvettore normale a n:f r (a b c) .

Dunque le equazioni parametriche di r sono:

l x = x o + ? u o

i l = l o + ) ' b -

lz = zo +?vc

./n

Sia 1,, il valore di l, che dà il punto H della retta r:H G o * \ o , y r + ) . b , z o * 4 . ì + rA Go,yo,,o)

' 'l+ AH = (4"Ì *6r)i *(4")t .

Per determinare il valore di 1", basta imporre che Hen:oGo+\o)*bfuo*\a)* "Qo+)rc)+d= o +

1,,(o' *u' + c2)= -Mo - blo - czo - d > )\ = -axo +ubyp-l czo=+ d

Infine, sostituendo il valore di ),, nella 1t;, ,i ta, at +b'+c2

laxo+byo+czo+dl 11 - - , lax^+by^+cz^+dl-Z;F;a-ra-+b-+c- =ffil l-l l

llo"ll=


Cap.4: Punti,glori, pianie rette netto spazio g1

Concludendo:

Soluzione:

d(A.n1=@'Ps:3:4, l a ' + b 2 + c 2

(2)

Applicazione: forma normare di Hesse deil'equazione cartesiana di un piano.

Se A=Q(Q,0,0), la (2) fornisce la distanza p di O d,a n:tdlp= -7 ; : -

, _ t_ + d=+p^ ,1a2+b2+c r .t l a ' + b ' + c

L'equazione del piano si scrive allora:

ax+by + cz * pJF + b, + r, : 0 =)c t b c- F -

, = - f f i 1 : T p - +l u - + b ' + c ' ^ , 1 a ' + b t + c t - J a r + b - + c -

.r coscr, + /cosB +zcosy = I (3)

dove a,B,y sono gli angoli che il vettore ù,normareal piano, forma con griassi coordinati; coscr, cosB, cosy sono i coseni direttori di r.

La (3) si chiama anche formo normale di Hesse dell'equazione cartesiana diun piano' L'indeterminazione nel segno della (3) deriva dal fatto che se d è unvettore normale al piano, lo è anche il vettore -d. euindi , se si cambia irsegno di p, si devono cambiare anche i segni dei coseni direttori di ù, inquanto si suppone di prendere il suo vettore opposto.

Se il vettore normale d è unitario, la (3) si scrive anche:a x + b y + c z = t p .

Esempio 1 Dato i lpunto A(3,2, -4)edl ' ins iemedip ian i x_y + 2z * f , :e ,determinare il numero reale d in modo che il punto A abbia distanzauguale a2 dal corrispondente piano del fascio.

Tutti i piani del fascio hanno lo stesso vettore normale fr(ldunque sono piani paralleli. perchè la distanza di A da unàpiani sia uguale a2 deve essere

- 1 2 ) ,di questi

13. I + 2. (- t)+ (-4) .2 + dlH =2 + l t + a l=2J6 = d = 7 t2J6 .

Jt t * ( - l )2 +22 |

Dunque ci sono due piani del fascio che soddisfano alla condizionerichiesta:

r c i x - y + 2 2 + 7 + 2 J 6 : 0 e n ) : x - y + 2 2 + 7 _ 2 J 6 = 0 .


82 Cap.4: punti, vettori, pianie rette netto spazio

Esempio 2

Soluzione:

Esercizi

^ 3/ À _ + _J14

Dato il piano n:2x + y -32+ l = 0 ed un suo punto A(0, _1, 0),determinare i punti B appartenenti alla normare n per A ar piano talill-llche llABll= 3 .

i l i lGeometricamente, tali punti su'a normale sono due, da parti opposterispetto al piano. , v.ettore frQ r -3) normale "i ot " .o il puntoA consentono di scrivere le equazioni parametriche delra normaref*='^n,f, = -1"+ i . I punti B allora hanno coordinate B(n,_l+1,, _3À).

lz = -3)u

ll-llPerché iiABll= 3 deve essere:

I I I I1o metodo:

l z . z i ,+ ( - r+ i , ) - r ( - : 1 , )+ r i=? ___r l l 4 r l _2 _ I 3

v4+ I + 9 -- =' =

^/i?= = '3 + ^ = tJE=

-2o metodo: AB = 2)"1 + ?,j _ SXEl t 1 2l l - l l

llABii = 32 = (zx)' + t +(-:1.;' = e =+ r4t = e >i l t lIn entrambi i casi si trovano due punti B:

" [-+,-r-+,+l " u"( *._r *_1 _:l' \ l t4 J t4 ' J t4 ) - " r \ " ,n4 , - '

J t+ , JA ) .

Dati i due piani paralleli n ,:2x + 3y _ z +2 = 0 e n ,:2x + 3y _ z + 5 = 0 ,a) scrivere la forma normale di Hesse dei due pianib) determinare la loro distanzac) scrivere una formula generale per calcolare la distanza fra due piani

paralleli, di cui si conosce la forma normale delle loro equazioni.

Dati il punto A(2, -3,-5) e I'insieme di piani mx + 2y _ 3z + 2ry_ I : 0 ( unpiano per ogni valore del parametro reale m), determinare il parameto m inmodo che il piano corrispondente abbia distanzada A uguale a l.

Per I'esercizio precedente si troveranno due valori di z corrispondenti a duepiani secanti.a) calcolare la distanza di A dalla retta r intersezione dei due piani.b) Calcolare I'angolo fra i due piani.

4 Sono da t i duep ian i n i x -22 +2= 0 e n r : 2x +3y + z+5= 0 .a) I due piani n, e 7r2 sono perpendicolari?b) calcolare le distanze delpunto A(1, -3, 0) dai due piani Tt e r'ze dalla loro

retta intersezione.


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette neilo spazio g3

c) Determinare un'equ azione cartesiana der piano n, passante per A e formanteun angolo di 45. con ciascuno dei duepi""i;, ;;;.

5 Sono dat i duepiani r Í , ix _ z +2 =0 e nr :2x + y + z +5 =0.a) Determinare I'angolo tra i due piani.b) Determinare |insieme dei punti p1x, y, z) postiad uguale distanza tra i duepiani.c) si troveranno'.per la domanda precedente, due piani, chiamati pianibisettori dei piani dati. Dimostiare che questi piani bisettori sonoperpendicolari.

7 Prodotto vettoriale di due vettori

se il prodotto scalare di due vettori fa corrispondere a due vettori un numero reale, ilprodotto vettoriale di due vettori fa corrispondere a due vettori un terzo vettoreortogonale al piano dei primi due.In termini più precisi, dati due vettori d e 6, che individuano il piano vettoriale z, sidefinisce prodotto vettoriale di z per d (denotat o d x 6)il vettore che ha per norma:

'tll= pllpllsin(àJ

per direzione la direzione della normale a n e per verso,vite destrorsa se si vuole sovrappoffe d a 6,come nella

axb

(1 )

il verso di avanzamento dellafigura seguente:

Dunque, dal momentola direzione ma solo il

che scambiando I'ordine dei vettori non cambia nè il moduloverso, risulta subito evidente la proprietà:

d x b = - b x d (2)

Dalla definizione (l) del modulo del prodottovettoriale di due vettori risulta il significatogeometrico di tale modulo: rappresenta I'areadel parallelogramma costruito sui duevettori:

ne


Se uno dei due vettori eouroî,kiJ;Jflllh:,(ÎJJ,e ar vetrore nuroInoltre, si puo scrivere che: d, ót = ó e d eÀ sono "lril*, (e questo comprendea n c h e i l c a s o d = ó o i = ó ) .

Dalla figura sottostante risulta che l,area del triangolo ABc è data da:A ' : I B C . A H = f u . h

2 ) -

Richiami di trigonometria

cffia aMa, dal triangolo rettangolo AHC, risulta che h: bsiny; dunque:

A,= labsiny .L'areadel triangolo è uguale ut ,"-firodotto delle misure di due lati per ilseno dell'angolo compreso fra i due iati.Per un-parallelogramma, formato da due triangoli uguali, l,area precedenteva moltiplicata per 2. euindi:

A = absin.r

Nota: Il prodotto vettoriale fra due vettori viene molto utllizzatoin fisica (peresempio per il momento di una fotza,per il momento angolare, per esprimerela forza che un campo magnetico esercita su una caricain movimento, ecc..;.

Sono facili da dimostrare le seguentipr oprietà del prodotto vettoriale di due vettori:

84 Cap.4: punti, veftori, pianie rette nelto spazio

r . @a)"u =*Q"6) (Linearità - m è unnumero reale)

2. @ * 6)" e : (d x d)+ (t ' u) (Distributività rispetto alla somma

a +J . q x D - - b x a

vettoriale)

(Antisimmetria)

Se i,7-,f rorro i vettori di base tali che

I:-.i,ltE,/-ri, llill: llr-li= lltlj . ori""tati come in figura(base diretta), risulta facilmente che:

I x j = 1 , j x i = - 8 , i r i = dI t E = - j , E * i = j , j * j : ó- i ? : -

J x K = 1 , k x j = - 1 , k x k = 0


Cap. 4: Punti, vettori.. piani e rette neilo spazio g5

Le proprietà precedenti e la conoscenza del prodotto vettoriale di due vettori di baseconsentono di scrivere un'espressione analitica molto ."rrìji." (e facile a".i"*o*"1per il prodotto vettoriale di due vettori espressi in una basà ortonormata simile allaprecedente. Infat t i , se d= ar i +ar j +or| e È =br i +br j +b.E,siha:

d x E = ( g , í * a r j + o r i ) r ( t , í + b r j + b r l )= a.,b, l xi + arbrî x j + arb^í x E +arb,j xl + arbrj x j + arbrj x E +arbrÈ x l + arbrÈ x j + arbrE x E =

= a,brE + a,brCt-)* arb,(_E)+ arbrl +

= Qrb, - orbrÍ * Qrb, _ o,brf * Q,b,

Dunque:

sua base llf ll per la

richiesta:

arbrj + arbr(-r=) =

I r j E l- arb,F =lo, a2 ,rl

lb, b2 brl

d = a í + a , j * o r l f - . l l it =u,; *b;; *b,'E |

= dxu =1", o2lb' b2

ETa z l

brl(3)

Distanza di un punto da una retta

Come applicazione immediata del prodotto vettoriale di due vettori si puodeterminare una formula che consente di calcolare direttamente la distanza diun punto da una retta nello spazio.

Sia r la retta, passante per A e avente comevettore direttore il vettore ù; sia p il punto dicui si vuole calcolare la distanza pH àa r.L'area del parallelogramma in colore dellafigura a fianco può calcolarsi in due modi

l l - l ldiversi: come llen" Dll e come prodono della

l l r l

suaattezzapH. Dunque rHllall : llt"

oll,o. cui la formula

l l - l lllo" oll

(4)llrll

d(P,r)= PH =

R.SANTORO: Geometia

86 Cap.4.. punti, vettori, pianie rette nello spazio

EsemPio I cul.olare d xb e

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione: Risulta:-A P = r

- 2 j + E e 6 = 2 i + j - z E .

l l - t t

l l u l l = , t++ l+ l =J6

I Iu"f l l ,sed=3íRisulta subito che:

l *

- I t i k la x b = 1 3 - 2 r J = s i + r t j + 7 8 +

12 1 _31l l - - l l

l l a xb l l= J25+ t2 t+49 = JTgs .

Per rendersi conto dell'efficacia della formula (3), si ricaveranno gristessi risultati per altravia. Si determina innaviíutto t,"qu-ione delpiano n avente come vettori direttori d e 6. o"rr"rit-oJà(0,0,0):l x v z l

n :13 -2 I l : o + n :5x+11y+72 =0 .12 I _31

un vettore z normale a n è il vettore 5i + 1 rj + 78, che risultaproprio essere il vettore d x 6 trovato prima; ma la circostanza è solofortuita, in quanto il vettore z così trovato è solo collineare al verovettore dx6.Resta il problema di determinare il vero verso de vettore d x 6 ed ilsuo vero modulo.se si osservano le urtime due righe del determinante che definisce 7r equelle del determinante che definis ce d x6, queste sono re stesse(come. deve essere per definizione di prodotto vettoriare di duevettori). Il trucco da osservare per avere dall'equazione di î un vettorenormale rt : d r 6 e quello di non semplificare in alcun modoI'espressione dell'equazione cartesiana di n.

Calcolare la distanza di p(2,-1,3) dalla retta r(A, ù),dove A(l ,3,_2) eùQ I - l )

- 4 j + 5 kj * * - l

l ' i k l= l r - 4 t i = - i + t r i + e E

12 1 -rl

€A P x ù

Infine, applicando

d(P,r) =# =

Risultato che concordacon quello trovato, per al-tra via e con gli stessi dati,ne l l 'Esemp io4de lg4 .


la (4), si ha:

!n" ,r'6

Cap. 4: punt| vettori.. ptante rette nello spazio 87

Esempio 3Dato il venore unitario n :(! ? ?l A^" :

[J ] _, , determinare due vettori

unitari i e ú' tali che i vettori ((ù,i,r7) costituiscano una baseortonormata.

Soluzione:

Esercizi

I Dati i vettoria ) a x D

g 6 x dQ d x eQ 6 x Ò

Sia ù = al +pj +yE, con a,F,y costanti reali da determinare in modoche íIù " lltll' : , cioè tali che:f 1 ) ' )

J f " * r l * ; y : 0 ^ [ u = - 2 8 - 2 y1 ' J J

[ o , * F , +y , = t -

] { - tO -2y ) ' +g '+ À? = r c )

1u = -28 -2v

l s p ' * 8 y 0 + 5 y 2 - t = 0Risolvendo la seconda equazione del sistema precedente rispetto a 0in modo che il discriminante sia nullo (prendendo per questo , : *),si ha: 3

l tl a = - : J SI 1 5l r r

{ o = - l V s = o 2 r ; = 4 - ; * { ! E

I l , = -Gv ) /

t s vs ' ' 3t J 5l Y = .I J

lnfine risulta:

W = U x V =

L'unitarietà di út e la sua ortogonalità con gli altri due vettori dellabase risulta dall'unitarietà e dall'ortogonalità di ù e i, nonchè dalladefinizione di ù xi .

di

=!^rti -i*iJ E2 2; ;J J

t f7+ r ; V )- - v )1 5 3

r;V )

e l a

;L

IaJ

.)

l 5

d =l -Zj + 8,6 = 2i + j -38 e d =i +d, determinare:


BB Cap.4: punti, vettori, pianie rette nello spazio

Sono dati il punto A(2, -3,1) e la retta rintersezione dei pianix + 2 y - z + 4 = 0 e 3 x + y + 4 z _ l = 0 .a) Scrivere le equazioni parametriche di r.b) Calcolare la distanza di A da r.

Sono dati i punti AÍl., 1., 0), B(_1, 2, t) e C(3,2, _t).a) Tenendo conto del significato-geoíetrico del prodotto vettoriale di duevettori, calcolare I'area del triangolo ABCb) calcolare la stessa area senzail prodotto vettoriale precedente.

Sono date le rette r(A, ù) e r,(A,, ù,).a) considerare il vettore i = ù x z'. Giustificare ' fatto che i piani n(A,ù,i)e n'(A' ,ù'' ,i) sono secanti secondo una retta s che interseca

ortogonalmente r e r,.b) Mostrare che la retta s è l'unica che soddisfa ai requisiti precedenti.

Dimostrarc le propietà del prodotto vettoriale di due vettori.

8 Prodotto misto di 3 vettori

Il prodotto misto di 3 vettori è un'espressione in cui sono presenti sia il prodottoscalare che il prodotto vettoriale di due vettori. Le uniche espressioni compatibili conla definizione di detti prodotti sono del tipo:a.(E x r ) oppure (a " 6) .e .

Risultato di un tale prodotto misto di tre vettori è un numero reale, in quanto sicalcola prima il prodotto vettoriale di due vettori ed il vettore risultante viene moltipli-cato scalarmente per il terzo vettore.Risulta subito evidente che:

Se si tiene conto del significato geometrico delprodotto scalare di due vettori e del modulodel prodotto vettoriale di due vettori, il valoreassoluto del prodotto misto di tre vettori èuguale al volume del prisma che si può co_struire con i tre vettori uscenti da uno stes_so punto. Infatti:

llt' tll dà I'area di base del prisma,t -l - O x Cl a ' t - ,I l lb x óllt i l t l

dà l' altezza del pri sma;

innne llt " dilla ffil

= lli "il#i# =V b" a)l aa' vorume der prisma

d x E = 0 e 6 .d x 6 ) = O

Éxd


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette netto spazio g9

Proprietà del prodotto misto di tre vettori

Il prodotto misto di tre vettori gode di 4 proprietà fondamentali:

' Il prodotto misto di tre vettori non cambia se si permutano circolarmente itre vettori. Così, per esempio, risulta: U .Q " U)= Q " t) e

' Il prodotto misto di tre vettori cambia di segno se si scambiano due fattori.. proprietà di trilinearità:

Q.ù)G " à)= u.g , a>b .g " a)(*a) 9"à)=-p g"4J (m è unnumero reale)

' Il prodotto misto di tre vettori è nullo se e soro se i tre vettori sonocomplanari (o linearmente dipendenti). In purti"ot*" il prodotto misto didue vettori è nullo se due dei tre vettori sono collineari.

E facile dimostrare che, rispetto ad una base ononormata

Dalla (l) precedentt t-911 significato geometrico del prodotto misto di tre vettori siritrova la condizione di dipen denzalineare o complanarità di tre vettori:

8,i,0), risulta:

a . l, lu,l (r)c . l

J l

d = arí + orj + orÈ) t^

6=b,,t.u;;+b,"8f =u p-uyl?, ;ò : c t i + " r j + t r t I l r , c 2

cl2

b2

c2

C l = A J

, f 7

D = o t l

+ T

c = c J

+ ori + orÉ) la,

+ bri + trí |

linearmentedipendenti o fa,+ rrj + c.E ) lr,

a. la . l =o,r l

Distanza fra due rette sghembe

Come applicazione irnmediata del prodottomisto di tre vettori si può determinare unaformula che calcola direttamente la minimadistanza fra due rette sghembe.Siano r(A,ú) e s(B,il) le due rette sghembe.A partire da A si riporta un rappresentantedel vettore i.Il valore assoluto del prodotto misto

a È 1; x ;) è uguale al volume del prisma



costruito con i vettori AB, ù e i. Lo stesso volume si può carcolare comeprodotto di d(r,s), altezzadel prisma, per llù x ill, areadi bur. del prisma.Dunque:

d(r.s)l!ux ilil= Itu ,r,

ri,

l - _ l

lAB.(r x rld(r,s) =

ì, ",[] e)

da cui, infine:

Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

Calcolare il prodotto misto dei vettori d :21 _ j * È6 = - l + 3 j - E e ó = 2 i - 3 j + 2 8 .

Applicando la (1), si ha subito:

Determinareilnumero rearemaffinchèivettori d =2mi -i +È.6 =-l +j -E e ò =2í -3j +mE sianocomplanari.In virtu della (2), il determinante delle componenti numeriche dei trevettori deve essere nullo. Dunque:

l r * - l 1 l

l -1 I -11= 01 2 - 3 m l

2 m 2 - 7 m + 3 = 0

+ 2m- @- Z)* (-**2)+ I = 0 =>

> m _ l x J a , g - u _ 7 + 5 : t y ,4 4 l :

l z _ r 1 lu . Q " u ) = l - t , - t l : 2 . e + 1 . 0 + 1 . ( _ 3 ) = t s

1 2 _ 3 2 l

calcolare la distanza fra le rette sghembe r(A,ù) e s(B,ù), dove A(r,-2,1), ù8 I -3), 8(0,1,2) e ù(t _1 l).

Si ha:

A B : - i + 3 j + k

Se il numerutor.

:::1"r_:1T,-.h", in effetti le- due rette non sono sghembe (it prisma visro/ \ r r Prrò lprima é appiattito sul piano delle due rette). Dunque'si puo scrivere:

"".(O:O): 0 = rctte r(A,ù) e s(B,i) coptanari


Cap. 4: Punti, veftori, piani e rette netto spazio g1

l i j k lùxn=12 I _31 =_2 i_s j_zÈ

1 1 _ r t ll l - - + l l

l l n x n l l = J 4 + 2 5 + 9 = J 3 8

AB. (ù x i )= -1.2 +3. (_5) + l . 3 = _16.

Dunque la distanzarichiesta è:

d( r ,s ) - l -16 l =g=a^noJ38 J :s le

' " " '

2 Cosa si puo dire dei punti O, A, B e C nei casi seguenti:

a) òÈ.ód = o

b) òÉ' ód: ó- ( - _- l

c ) OA. l OBx OC l :0 .\ /

3 Date le rette ,:{t +2v - z +2 = 0 . f:= :' j^t

12* _ y + 4z +3 = o o* l : : r^ ;^

Esercizi

Determinare il volume del prisma individuato dai vettori d =r + 7 - E .b = Z l + 3 j + E e è = - f + 7 + q E .

, determinare la minima

dis tanzatrares.

calcolare il volume del tetraedro avente come vertici ipunti 0(0,0,0), A(0,1,0), B(1,0,0) e D(1,2,1).Suggerimento: ricordare che il volume del tetraedro èuguale ad I/6 del volume del ...

5 Generalizzare il risultato dell'esercizioprecedente nelcaso in cui tre spigoli non complanari del tetraedrosono rappresentati dai vettori d : qrl * o, j= + arí ,6 = brí +br j +brt e ò = cr í +cr j +c.d, come nel lafigura a lato.



utilizzare I'espressione (3) del prodotto misto di tre vettori per giustificare irmetodo del determinante p"r r".irr..e l'equazione cafesiana di un pianopassante per un dato punto A e avente due dati vettori di base.

Dimostrare le proprietà del prodotto misto di tre vettori.

utilizzando una delle proprietà dell'esercizio precedente, decidere se i puntiA(1,2,0), B(0,6,2), CCl,0,_6) e D(l,3,1) sono complanari o no.

Teorema di pappoa) Sono dati i punti A, B e C appartenenti allarettar e i punti A,, B,e C,appartenenti alla retta r'. r e r' sono incidenti. verificare íarerarione:J + +

B'Ax BA'+ B7A" CÈ'+AÌC" Aò, : ó .

b) Dedune dal risultato precedente il teorema di pappo:A,B,C al l ineati ìA ' . 8 ' .C 'a l l i nea t i I(BC' ) / l (B 'c) |

+ (en ' ) I l (A 'B) '

(AC') I t(A'C) I

l0 Dimostrare le proprietà del prodotto misto di 3 vettori.

lt = Z *ZX lx = -5+ tOp

11 Sono date le rette: r,,1, = l + 4). (l.e R) " ,r,ly = _5 + 6p (p. R).f z = 8 + 3 1 , l z : 6 + p

a) Dimostrare che le rette 11e r2individuano il piano zr di equazionex - 2 y + 2 2 - 1 7 : 0

l x = a , - 2 t

b) E data la retta ,rt]y = ctz + u2t (re R).

l z = 5 + u r ti) Per quali valori di ap a2, u2, u3 ra rette r1e 13 sono coincidenti?ii) Per quali valori degli stessi parametri le due rette sono solo parallele?

12 (Bac 94 - Parziale) Sono dati il piano n: -x + y t z * 2 : 0e il punto A(1,2,3).a) Scrivere l'equazione della retta r passante per A e perpendicolare a n.b) Mostrare che la retta r e l'ase (oz) nonsono compianari.

13 (Bac 91 - Parziale) Sono dati il piano n.. x * 2y + 2, _ Ig :0 e le rette

n lq I'l I'l ("\ rq, , l r l= l r l+ r , l o l r r .m l " ̂ . n , l r l= l ' l . u l z l o .R .óeR)\z) (q/ (ri l,) (8/ V)

a) Una retta s, interseca n perndicolarmente. Scrivere delle equazioni di sb) Calcolare i valori dei parametri a e ó in modo che le proiezioni ortogonali

di r e di ftio6 sn n coincidano.


Cap.4: Punti, vettori, pianie rette netto spazio g3

14 Sono dati il punto A(1,0,0), la retta ,'.! = + =', ed il piano n: x - y : 0.z - l J

a) Scrivere l'equazione del piano nr : (Ar). Gli ossrcizi dalt4.al24

b) Determinare il vettore direttore della retta r' : TcÒTt1. ililYlltY"tip:ti-c) Calcolare l'angolo compreso tra le rette r e r' . i:ilrffil:t-e

di tutto

15 Scrivere le coordinate dei punti appartenenti alla retta ,,* :' -t :':-3 "2 5

che hanno distanza uguale u Jl dul piano n: x * y - z: 0.

16 Scrivere l'equazione dellarettaappartenente al piano 7r1iX * y + z- 3:0,parallela al piano îÍ2i xÍ y -22:0 e che ha una distanza dal punto A(1,1,0)uguale a 3.

l7 Sono dati i punti A(2,-1,3) , B(5,3,-2) e C(1,1,3).

a) Determinare ABx AC.b) Scrivere l'equazione del piano (ABC).c) Calcolare I'area del triangolo ABC.d) Calcolare la misura dell'altezza del triangolo uscente dal vertice A.

l8 Dato i l tetraedro di vert ici A(2,1,- l),B(4,1,- l), C(3,3,-1) e D(4,5, JtS - t ; ,calcolare:a) il volume del tetraedro;b) l'altezza del tetraedro uscente dal punto D;c) l'angolo che lo spigolo CD forma con la faccia ABC.

19 Sono date le rette:

f x = 3 + ) 'I l x = 7 + 3 ) " ( x = l + 2 ? uI l " | | ^r , : l l - l + -7 ' . rz: j l t = ) , . \ r1, : -2 + Ì"

l - - ' , ' ' | . z = 3 + ? ' l z = ll z = l + L

a) Verificare che le tre rette sono coplanari e determinare un'equazione delpiano cui appartengono.

b) Determinare le coordinate dei vertici del triangolo ABC che le tre rettedelimitano.

c) Calcolare l'area del reiangolo ABC.

20 Scrivere I'equazione della retta che passa per A(2,3,-1) ed interseca

[ x + v - 2 2 + l = 0perpendicolarmente la retta ,,7r* _ y +, = 0

( 2 x + v - 3 2 = 0 l x - 3 2 - - 02l Dato un punto P(-1,2,-2) e le rette 4'J

' , r, :4 - - ^,' t r * y

+ z - 1 = 0 ' ' ' ' l Z r + y - l = 0scrivere I'equazione della rettar passante per P ed intersecante le rette r1 a 12.


94 Cap. 4'. Punti, vettori, pianie rette netto spazio

22 Dato il piano 7T: x + 2y -3 z +2 : 0, calcolare la misura degli angoli che i treassi coordinati (Ox), (Oy) e (Oz) formano con n.

23 Sono da te l e re t t - . l z * - ! =0^ I * = ' , ^ ^

r"t \r :0 e rz:1, =: ' : : ' t " tettar l interseca l 'asse x

lz = 3 +2)uin A e l'assey in B. Larettar, interseca il piano xz inc ed il piano yz inD.a) Determinare le coordinate dei punti di 11 che hanno una distanza assegnata

h dallarctta 12 (precisare per quali valori del parametro h 1l problemaammette soluzioni reali).

b) Calcolare il volume del tetraedro ABCD.

24 Una casa ha una forma come nello schema di sotto (non in scala).Sapendo che OA : 10, OC :23, OD: 4 e che i quattro piani del tetto formanoun angolo di 45' con il piano Oxy, calcolare'.a) le coordinate dei punti H e I;b) la lunghezzadegli spigoli DH e HI;c) I'algolo cr tra i piani (DEH) e EFIH;d) la distanzatra le rette (DH) e (FI);e) l'angolo B tra la retta (DH) e il piano (OAED);

fl la distanzal'ra il punto F e la retta (DH).

B

H

D /,,

,/

E C

c-/


Capitolo 5

Luogo dei punti P tali che AP' BP - 0..............2 PoSzIoNE DI UN PIANO E DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA SFERA.. .............98

3 PostzloNr RELATIVE DI DUE SFERE ....................101

96 Cap. 5: Eguazione deila sfera e appticazioni

î Equazione della sfera

La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno distanza costante r da unpunto fisso C. C è il centro della sfera, r è 1l raggio della sfera. Nello spazio euclideo di

P

, k c

\ J

riferimento Qj,j,È), .. C(!r,yr,rr) èil centro della

sfera e P(x,y,z) un punto generico della sfera, deve esserel l - l l2

l lt.l l = 12, da cui:

(" -"0)' + (y - yof + Q - rof = r'

La (l) definisce I'equazione cartesiana della sfera di centroCQo.yo.zo) e raggio r .

Sviluppando i quadrati della (l) si ha:

* ' + y ' + z ' - 2 x o x - 2 y o y - 2 z o z + t 3 + y 3 + 2 3 - 1 2 = 0 ( Z ) .

La(2) è un'equazione del tipo:

, ' + y' + zt + ax +by + cz + d = 0 (3),

(1 ) .

(4).

q

2b2c

2I

1

xo

la : -2xo

l b = - 2 v ^dove:

l c = - 2 z o

l a = x l +

/o

y l + z ' o - r '

a t + b ' + c ' - 4 d

La (3), assieme alle (4), definisce I'equazione di una circonferenza di centro

Esempio I Scrivere I'equazione della sfera di centro C(2,-1,3) e raggio r: 3.

Soluzione: L'equazione richiesta è:

(" -z)' * (y *1)' *('-3)' = s ,da cui, sviluppando i quadrati:

x ' + y ' + z ' - 4 x + 2 y - 6 2 + 5 = 0 .


9gp. S: Equazione della sfera e appticazioni g7

Esempio 2

Soluzione:

Data I'equazione x2 + y' + z2 + 5x - 6y +32 - l= 0, determinare ecaratterizzare il luogo geometrico che rappresenta.

1 -= : " J 7 4 .

2

Si tratta dell'equazione di una sfera avente centro t" {-;

,t,-:) "

r - -

r a g g i o r = = J z s + 3 6 + 9 + 4z

Luogo dei punti P tali che ÀÉ.BF = 0

Un'altra definizione della sfera deriva dalla circostanzache ogni triangolo inscrittoin una semicirconferenzaè rettangolo. Allora si può definire la sfera di diametro[AB] come il luogo dei punti M tali che I'angoloAMB è retto o, anche, tali che

A P . B P = 0 .Dal punto di vista analitico, se A(xryr,zr),8(xryr,zr) Ae P(xy,z),la condizione precedente si scrive:

( r - r , ) ( , - * r ) * (y - y , ) (y - yr ) * ( t - " , ) ( , - zr ) :0

da cui, sviluppando:

"' + y' + z' -(*, + *r)* -(y, + yr)y -(t, * rr)" + xéz + yty2 + zrz, = 0,

equazione che è proprio del tipo (3).

owiamente, dall'ultima equazione, si deduce che il centro della sfera è

n ( x , + x , / * l z z , + z r \! t - - t .

t t l ) l '\ ! L - , /

corrispndente proprio al punto medio del segmento [AB], ed il suo raggio è datoda

t l

; J(r, - , ,) ' +(y, - y,) ' *(r , - r ,) ' .

corrispondente propri" " 1"U.


98 Cap.5: Equazione detta sfera e appticazioni

2 Posizione di un piano e di una retta

Geometricamente sono possibili tre casi riguardantirispetto ad una sfera di centro C e raggio r:

rispetto ad una sfera

la posizione relativa di un piano n

Il pianocomune

ln

El-rrz

ws;aEai;ll retta J secante

tali che:ll----lll lnnll= zl t t l

Il piano n è esterno alla sfera e non ci sono punticomuni tra sfera e piano. In questo caso si ha:;-=-;=-

l d (C ,n ) > r l

è tangente alla sfera e c'è un solo puntotra piano n e sfera. In questo caso si ha:

@@"l:4

Il piano è secante la sfera. L'intersezione è unacirconferenza di centro H (intersezione tra normale an per C e piano n ) e raggio ̂ R dato da:

I - - a - . ^ , - .R = ,l ,' - d'(C,r). In questo caso si ha:

@@,r4Considerazioni analoghe si possono fare per la posizione relativa di una retta s rispetto aduna sfera di centro C e raggio r:

retta s esterna alla sfera.

retta s tangente alla sfera (un punto di tangenza).

la sfera. Si hanno due punti d'intersezione A e B

Esempio I Data la sfera,S di equazionex' + yt + ,, -2x +3y +22_ 2 = 0 ed i lpiano n di equazione .r - y + 2z- 5 = 0, studiare la posizione di nrispetto ad S.

- d2 1c, sy


Cap. 5: Equazione della sfera e appticazioni g9

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

/ t

Sha centro CI1_1- - - \ - ' 2 '

\ 1- l I e r a g g i o r = : J 4 + 9 + 4 + 8 = a ./ - -

2 2 '

l t * 1 - r - r rd(C,n) =

ìi=/ =

*=]A. l, d.,r,que n è secante la

sfera s e risulta són : una circonfeîenzadi centro H e raggio R, dove:

^ i too -s4 =!26\ / 1 6 t 6 4

2 5 9 . 6

4 1 6

H:

Per determinare le coordinate di H, si considera la retta t(C,n),passante per C e I a n. Un vettore normale an è fr(l -l 2),dunque si possono scrivere le equazioni parametriche della retta t:l x = I + ) "

l 31y

= -, - 7,,. Sicomme {H}: /nn, si ha ancora:

lz = -l-+2t"

x : l + 1 "a1

y = - : - L' 2

z = - l + Z ) v > H :

/ t \, a l

I + l " - l -= - ) , | +2 ( - l +21 . ) - s = o\ 2 )

Dunque 11._2.11 .' \ 4 4 2 , )

Sono date la sfera Z: x2 + y' + r' -2x + k :0 (k e R.) e la rettax - 1 Y - 3 1

| . - - L -

L -

2 4Determinare per quali valori di k la sfera X esiste.Determinare per quale(i) valori di k la sfera X é tangente alla rettar. In tal caso determinare anche le coordinate del(i) punto(i) ditarìgenza.

Il centro di > è C(1,0,0) ed il suo raggio R é dato da:1 _

R = l J q _ + k = ^ 1 1 _ k .2

La sfera esiste (é reale) se 1 - È > 0, cioé se È < 1.Il punto A(1,3,2)er; si ha allora (ú é ll vettore direttore di r):

1 _ -

.̂t

,7

A.+

9V : - -' 4

I2

a)b)

a)

b)


100 Cap.5: Equazione detta sfera e appticazioni

Esempio 3

Soluzione:

- - f = 3 j + 2 È , ù = 2 1 + 4 j + f , c i " ù = - 5 1 + q i - a El l - l lllCAx r.rll

d(c , r ) - l l - t t =g=^8.llull J2t v 3

d(C,r): R (condizione ditangenzatra la retta e la sfera) =+

[ T u 8l T = 4 r - k = ; = t - k = O = - ; .

Per l'unico punto ditangenzasi trova (dopo qualche calcoro che si

lascia come esercizio al lettore) il punro tf -+,+,1')\ J J J , /

Datalasfera S: x2 + y' + z' + 4x -2y +22 -2 = 0 ele rette a(,1,a),t (A, l ) ,con A(5, -1 ,3) ,8( -2,3,1) , ùe 2 _f ) v( f 2 l ) ,a) Verificare che Sna: Ob) verificare che Snb: {p,e}e determinare le coordinate di p e e.c) Determinare le equazioni dei piani îEr e n2tangenti a S in p e e

rispettivamente.

La sfera S ha centro C(-2,1,- l)e raggio , = !ú6+4 +4 + S =2Ji .

a) Risulta:-AC = -7í +zf - +E

t *

l i j kR,rn= l - t 2 -4

I1 2 2 _ l

l l - - - - - - l ll loc' ull= Jî6+ns+3u = Jsssi l i l

l l n l l=J++++r=2.l l - l ll lac"r,rl l

d(C,a)= ll- ,o-ll- Js-8s >2Jl .

l l r l l 3 ' - " - 'dunque la retta a è esterna alla sfera S e si ha: Saa: A.

b) Risulta:

BÉ = -2j -28

= 6l -tsj -rl i ,


Cap. 5: Equazione della sfera e applicazioni 1O1

t -

l r j E l+ l IBCxù=l 0 -2 -21=2í +z j -z i

t ll - 1 2 1 l

l l - - - - - l l

l l "c ' i l l= J4+4+4 :2J1,l l { l = Ji ++ + r : Jeil tl

ll;a, rllDunque: a(c,t)= ll ,,=,,

ll =": = +: Jl .2Jt ,il chellvll .J 6 ^12

significa che la retta b è secante la sfera e Snó : {p,e}. perdeterminare le coordinate dei punti p e e si scrive I'equazione

lx = -2 -? , .

parametrica della retta b: l, : , + 2)u esi sostituiscono x, y e z

l z = 1 + 1 "nell'equazione di S:

(-z -t)' * Q + 2x)' + (r + À)' * 4(-2 - x)- 2Q + 2?,).r+2(r+)r)-. = 0 =>

67,2 + l2)' =o = llr = o

lL, = -2Infine, sostituendo questi due valori di l, nelle equazioniparametriche di b, si trovano le coordinate di P e Q:l " = 0 = P ( - 2 , 3 , 1 ) = B

) ' : -2 = Q(0.-1.- l )

c) Un vettore normale di n1 è Pt, e un vettore normale di n2 è Qd.Dunque si ha:

Pd = -zj -28, &= -zl +2jr _ - l

n , l P , P C l : - 2 y - 2 2 - 0 ( - 2 ) - 3 ( - 2 ) - l ( - 2 ) : 0 - y + z + 8 : 0\ . /

l - ìn r l Q , Q C l ' - 2 x + 2 y - 0 ( - 2 ) - ( - l ) 2 - ( - l ) 0 : 0 + x - y - l : 0

\ /

3 Posizioni relative di due sfere

Analogamente a quanto succede per due circonferenze nel piano, due sfere nello spaziopossono essere esteme I'una all'altra, interna I'una all'altra, secanti, tangenti internamenteo tangenti internamente. Le figure che seguono illustrano le diverse situazioni chepossono presentarsi:


102 Cap.5: Equazione della sfera e applicazioni

Da notare che, per tutte

delle due sfère.

Esempio

Le due sfere sono esterne I'una all'altra perché:d > R + r

Le due sfere sono interne I'una all'altra perché:d < R - r

Le due sfere sono tangenti esternamente perché:d : R * r

Le due sfere sono

e perché il centrogrande.

tangenti internamente perché:d : R - r > 0

della sfera più piccola è interno alla sfera più

Le due sfere sono secanti esternamente perché:R < d < R l _ r

e perché il centro della sfera più piccola è estemo alla sferapiù grande.L'intersezione delle due sfere fornisce una circonferenza.

Le due sfere sono secanti internamente perché:R - r < d < R

e perchè il centro della sfera più piccola è interno alla sfera più

grande.L'intersezione delle due sfere fornisce una circonfeîeîza.

le figure precedenti, R> r e dè uguale alladistanza frai centri

Sono date le sfere 51 e 52 di equazioni rispettive:

S , : x 2 + y 2 + z ' - 2 x - 3 = 0

S r : x 2 + y 2 + z ' - 4 x - 4 y + 2 2 + 8 = o


Cap. 5: Equazione della sfera e applicazioni 103

Soluzione:

Verificare che le due sfere sono secanti e determinare centro C eraggio r della circonferenza intersezione.

Il centro di ̂ S1 è C1(1,0,0) ed il suo raggio 11 è uguale a 2.Il centro di 52 è C2(2,2,-I) ed il suo raggio 12 è uguale a 1.

Ladis tanzatra i duecentr i è datada: C,C, =" . f i+4+l =JE <r , +r ,ed inoltre C2, avendo distanza da C1 maggiore del raggio di 51, èesterno a 51. Dunque le sfere sono secanti esternamente.Per determinare il piano n di giacitura della circonferenza intersezionesi sottraggono membro a membro le equazioni di 51 e 52 e si ha:2 x + 4 y - 2 2 - 1 1 : 0 .Il centro C della circonferenza intersezione è allora datodall'intersezione din con la retta (C{ù.Si ha:

f t I f x : l + } .c ld"= l z l . (c ,c , ) , l v :zx

t _ t ' ' l '\.-U lz = -?u

Sostituendo nell'equazione di n, si ha:

2( l+?u)+4(2?" )

f':Dunque: a'1, =

Il t =

* 2 ( - ? " ) - 1 1 = O = f . = 1 .4

t * ? = 74 4

î î t / n f f \2 ! = ! + c f 1 . 1 . - i l .

4 2 \ 4 2 4 )aJ- 4

Il raggio della circonferenza è: r =

4 Esercizi

| (Bac 90 - Parziale) Sono dati i punti A(6,-6,6), B(-6,0,6) e C(-2,-2,11).

a) Determinare l'equazione della sfera X di centro B e passante per A.

b) Determinare un'equazione del piano n tangente a X in A.

c) Determinare le coordinate del piede H della perpendicolare condotta daC an.

d) Determinare le coordinate del punto d'intersezione delle rette (AD) e (BC).

2 Dati i punti A(1,-3,2),8(4,2,-1), C(5,7,3) e D(0,1,-1), determinare I'equazione della

sfera che passa per questi Punti.

3 É datala sfera x di equazione: xt + y2 + z' -4x +2y +2 = 0 '

a) Determinare le coordinade del centro C e la la misura del raggio R di >'

b) Stabilire se il punto 0(0,0,0) è interno o esterno a X'

; s4 Jro= " 1 + - - = - .

\ j 1 6 4


104 Cap. 5: Equazione della sfera e applicazioni

c) Determinare la distanza di C dalla retta r(O,i ), dove úQ -l 1)puntid) La retta r interseca la sfera? Se si, determinare le coordinate dei

d'intersezione.

l 4 x - z = oSono date laretta nl;_2',

=;e la sfera L: x2 + y' + t ' + 4y -82 - 6l = 0

a) Scrivere delle equazioni parametriche di r.

b) Scrivere delle equazioni della retta s parallela a r e passante per il centro C della

sfera I.c) Calcolare la distanzatra r e s.

d) Qual é I'intersezione di s e di X?

(Bac 92 - Parziale) Sono dati i punti A(1,1,1), B(2,2,1), C(2,3,0) e il vettore

r(-1 o z).a) n e il piano contenente la retta (AB) e parallelo al vettore ú . Scrivere una

equazione cartesiana di n.b) Scrivere un sistema di equazioni parametriche della refra r giacente sul piano n,

passante per B e perpendicolare al vettore i.

d) t é la sfera tangente a n inA e passante per C. Verificare che la retta (BC) é

tangente alla X.

Dat i i p ian i para l le l i n ' :3x+ 4y -22+ 5:0 erc2 ' .3x+ 4y -22+ l :0 , determinare

I'equazione àella sfera con il centro sulla retta r(A,il) e tangente ai piani T1 a rE2,

con A(1 .1 . - \ e uQ 0 1) .

Dat i i p ian i inc ident i n1 :x+3y - 4z+2:0 en2:2x -y + z * 3 :0 ' determinare i

luoghigeometrici dei centri delle sfere tangenti àrc1e'n2e aventi raggio uguale a 2'

E dato il fascio di sfere di equazione: x' + y' + t' -2mx +3y + 3y -22- 1 = 0,

determinar e m inmodo che la sfera corrispondente sia tangente al piano

n : x + y + z - 1 : 0 .

Determinare la circonfe Íeîzad'intersezione (dunque coordinate del centro e misura

del raggio) t ra lasferadicentroC' (2, -3,5)eraggiougualea5coni lp ianodie q u a z i o n e x * ! - z - 2 : 0 .

Sono dati la sfera 2:x2 + y' � + r ' -4x -2y - l= 0 ed i l piano rc"x - y +22 : 0'

a)Calco lare lecoord inaredelcentroCei l raggiooRdel lasferax 'b) Determinare le equazioni cartesiane dei piani tangenti alla sfera E e paralleli a n

e determinare anche le coordinate dei punti di tangenza.

c) Scrivere un sistema di equazioni parametriche della retta r parallela al piano n e

tansente alla sfera X nel punto A(1,-1,1)'

l 0


Cap. 5: Equazione della sfera e applicazioni 105

d) >' é la sfera di centro 0(0,0,0) e che passa per il punto B(1,2,-2) della sfera X.Scrivere un sistema di equazioni parametriche della retta t tangente comune in Balle due sfere E e E'.

e) Calcolare la distanza tra le rette (AB) e I'asse (Oz).

l l Sono dat i lasfera l d i equazione r ' + y ' +z ' -2x+3y +42- l :0 , laret tarpassante per A(1,1,1) e avente vettore direttore di componenti (-2,1,2), il piano n diequaz ionex -y -22+ l :0 .a) Studiare la posizione relativa di n rispetto a I.b) Determinare un piano parallelo a n e tangente a I.c) Studiare la posizione relativa di r rispetto a X.d) Determinare le equazioni del fascio di rette parallele a r e tangenti a X.

f x = l l * = - p12 Sono date le rette r: j! = -l + l, e s: j"v = -2 + aV ()", p, a appartenenti ad R.).

lz = -2)' lz = 2pa) Determinare per quale valore di a le rette r e s sono secanti.b) Con il valore di a trovato nella domanda precedente, determinare l'equazione del

piano n definito dalle rette r e s.c) Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio uguale a 3 e che sono

tangenti al piano n nel punto A(1,-1,0).

13 Sono date le sfere

S , : x 2 + y ' + t ' - 3 x + 4 y - 2 2 + 1 = 0 e S r : x 2 + y ' + z ' - 5 x + 2 y + 1 : 0 .Studiare la posizione dell'una rispetto all'altra. In caso d'intersezione, determinaregl i e lement i car atterizzanti I' insieme intersezione.

14 E dato il tetraedro di vertici 0(0,0,0), A(3,0,3), 8(0,3,0) e C(3,3,3). DeterminareI'equazione della sfera inscritta nel tetraedro.

rR : centro,r[:('6 - rXJt. r), {6

- rXJT + r),,q - t)'ì e raggio' " ' " " ^ ' " " " 1 2 ' 2 ' 2 ) - - - " -

" l G rJ ( V J - l

lf = f " ,

]

15 Sono dati i l piano n:2x-y+32-1= 0 edil punto c(-1,0,1)en. Sul piano n si

considera la circonfefenza di centro C e raggio 2.

a) Determinare le equazioni delle sfere aventi raggio 3 e secanti il piano nsecondo

la circonferenza data.

b) Determinare le equazioni dei piani tangenti ad una delle sfere precedenti, e pas-

santi per la retta r(A,ú) dove i(l -l 2 e A(1,-10,2)'


106 Cap. 5. Equazione della sfera e applicazioni

16 E data la sfera di centro O e raggio R. Sia C la circonferenza intersezione di della

sfera con il piano xOy. Sia P il punto di C tale che l'angolo tra i vettori i e óil siauguale a cr. Sia Q(xo,/o,zo) un punto della sfera.a) Determinare, nel riferimento xOy, I'equazione della retta tangente in P a C.b) Determinare I'equazione del piano tangente alla sfera in Q.

17 É data lasfera Edi equazione . r ' + y2 + z t -2x-4y +22-3:0.a) Determinare le coordinate del centro C e la misura del raggio R di t.

b) Determinare la distanza di C dalla retta r(A,ù), dove 4(4,3,5) e il(l I 0 .

Verificare che la retta r è esterna alla sfera.c) Determinare le equazioni dei piani nt e r;zpassanti per r e tangenti a E.d) Determinare le coordinate dei punti di tangenza (T, e Tr) di n, e n2 con X e la

distanza T,Tr.e) Determinare un'equazione del piano n. tangente alla sfera dalla parte opposta

rispetto alla retta r e parallelo alla retta r, in modo che il piano (C, ú),intersecato con i piani lrp n2 e n, , individui un triangolo isoscele.

fl Determinare un'equazione dei piani Tc4e Tc5tali che, assieme ai piani TE1,7r2a rt3

formino un prisma retto, a base triangolare, in cui la sfera risulta inscritta. [Si fa

notare che i piani T4 e 'trs sono perpendicolari allaretta rlg) Calcolare il volume del prisma.


Capitolo 6

3 PRoIEzIoNE oRToGoNALE SU UN PIANo.......... 108

4 SIMMETRIA oRToGoNALE RISPETTO AD UN PIANO.. ...............I IO

5 SImurrnrA oRTocoNALE RrspETTo AD UNA R8TTA.......... tt2

6 Sruurrnrn CENTRALI. l l 5

7 RorAZroNE ATTORNO AD uN AssE Frsso ........... .....................115

8 Esnnczr . . . . . . . . . . . .1 1 7

108 cap. 6: lsometrie netto s\azb. Aspetto anatitico e matriciate

I Considerazioni generali

Anche nello spazio si possono considerare delle trasformazioni generiche o delletrasformazioni che conservano le distanze e gli angoli (isometrie).

Per le isometrie, le definizioni date nel paragrafo I del capitolo 3 e le considerazionigenerali svolte nel paragrafo 6 dello stesso capitolo sono valide anche nello spazio, con idovuti adattamenti.

Data la maggiore complessità rispetto al piano, si considereranno qui in modo particolaredelle situazioni semplici rispetto agli assi di riferimento od ai piani di riferimento.

2 Traslazioni nello spazio

(u ' \una traslazione di vettore o =l r,

I nello spazioè una isometria dello spazio in sè che fa

\r, )

corrispondere al punto p(x, y, z) il punto p,(x,, y,, z) taleche FF =za v ettoriale implica che :

fx'-x : u,

1r ' -r : î t2 elz'-z = u,

fx '= x *u , l r ' l ( t

l:,' =:::,'-l;,J=l;0 0

1 0

0 1

ú . L'ultima uguaglian-

. l x \* l l , lu' ll" I

l l z Iu"l, )

3 Proiezione ortogonale su un piano

Una proiezione ortogonale su un piano n è una trasformazione (non isometrica) delloP, spazio in sè che associa ad un punto p dello spazio un punto p'

del piano n taleche il vettore FF lrr, come risulta dallafigura a lato.

Le considenzioni (e la dimostrazione) del paragrafo 5 del ca-pitolo 4, sono sufficienti a far scrivere le equazioni analitiche

della trasformazione. Infatti, da un punto di vista analitico, se n: ax + by + cz + 4 : g.

P(x, y,x) e P'(x', !', z),la condizion" pF In consente di scrivere:


cap.6: lsometrie neilo spazio Aspetto anatitico e matriciate 10g

u t _ u a x + b y + c z4 - ^ ---j---:;----

. aa - + 0 ' + c '

. ,1_ , , ax+ by + cz) - ) ---r----;) -- , D,

a - + b ' + c "

o t _ - a x + b y + c z---i------ì-----

e

a ' + b ' + c '

l . t r \

\b' + c' )x - aby - qcz _ ad

a 2 + b ' + c 2t I a 1 \-aDx+ \a ' +c ' ) y_bcz_bd

a 2 + b ' + c 2o anche:J y'=

,, _ -acx - bcy +(a2 + bt)z - cd

a'*b1; , -

relazioni che possono riscriversi sotto forma matriciale:

lr ' l (b, + c' _ab _ac| | r l -l y ' I = | - s b a r + c , _ b cr , l a , + b r + c r l

'

\z ) [ -or -bc a2 +b2

La matrice M dellatrasformazione è

' l x \-qd )l I-bd l l v l_,d ll, I' \ t

)

, (b, +c, _ab _qc I

M = -=----l -ab q= + c. -bc Iq ' +b ' * t ' [ '

- qc -bc a ' +b2 )

Lo studente verifichi che la matrice Mha determinante nullo: d,etM:0. La circo stanzanon deve meravigliare se si pensa al fatto che, dato un punto p, di n, esistono infinitipunti P dello spazio che hanno come proiezione ortogoìale su n lo stesso punto p'.Dunque, se dal sistema di equazioni precedenti si voÉssero ricavare le coórdinat e x, y e zdel punto P, si troverebbero infinite soluzioni (sistema indetermin ato: d,etM:0). Si puodire anche che la trasformazione non è invertibile e questo si traduce profrio nét zuto "t "la matrice Mè singolare.

Nota:non è necessario imparare a memoria le formule precedenti; è importante, piuttosto,che lo studente sappia rifare, caso per caso, le considerazioni ed icalcoli checonducono alla loro dimostrazione.

Casi particolari

1. Proiezione ortogonale rispetto al piano (O,f ,j):p(x, y, x) + p'(x, y, 0).2. Proiezione ortogonale rispetto al piano (.O,í ,É): p(x, y, x) > p,(x, 0, z).3. Proiezione ortogonale rispetto al piano (O,j ,E): p(x, y, x) = p,(0, y, z).


110 Cap' 6: rsometrie neilo spazio. Aspetto anatitico e mat,ci,e

Esempio scrivere le equazioni della proiezione ortogonale rispetto al pianon : x ' y I 2 z : 0 .

Soluzione: Anche se resta valida la Nota precedente, per brevità, applicandodirettamente le formule ricavate in precedèn za sihaó";;;o contoche, in questo caso, a : I , b : -I , g :2 e d : 0\:

, 5 1 1x = - - x * - V - - z6 6 " 3

, 1 5 I! = à * * A Y * t ,

, l 1 l, = - j * * j y * r ,

')(llx"\ ( s, o anche: I u' l= ll r

l " _ , | 6 l\ z ) \ - 2

1 -

5 2

2 2

4 Simmetria ortogonale rispetto ad un pianoUna simmetria ortogonale rispetto ad un piano n è una trasformazione isometrica dello

spazio in sè che associa ad un punto p dello spazio un punto p,dello spazio tale che:

l. la retta (PP') è ortogonale a n2. il punto medio H del segmento [pp'] appartiene a n.

Le condizioni di cui sopra' sono sufficienti per dedurre le equazioni analitiche di taletrasformazione' se n: ax + by + cz + d: 0,p1*y,*) ep'(x;y',2), allora si può scrivere:lx'-x = )"aI

|y' -y = ),"b , (1) che esprimono la condizione l.;

lz'-z = ?,"c

x '+x . v t +v z t + ,"; * b; * "; + d = 0 (2). che esprime la condizione 2.

Le (l) si possono riscrivere:

I x ' + x = 2 x + ] " a

j l' + l = 2 y + tub = a(x' + t) + b(y' + y) + c(z' + z) = o(2, + ),a) + b(2 y + xb) + "(2, + xc),

lz' +z = 2z + ?,"c

e, sostituendo nella (2), si ha:

a(2x+?,a)+b(2y+t"b)+c(22+l"c)+ 2d =0e f , = - z* \bv. I t ' ! ^d (3)

e, infine, sostituendo nelle (1) il valore dato dalla (3) per ,i**n!, * n


cap. 6: lsometrie netto spazio Aspetto anatitico e matriciate 1i1

x ' = x - 2

z l - - t , ax+by+cz+d

?

a ' + b ' + c '

Le (a) possono riscriversi anche sotto

I ) - a r \

\-a- + b' + c' )x -2aby _2acz _2ad

a' +b ' + c '- 2abx +(o' - b' + r')y -2bcz -2bd

a2 +b2 + c2- 2acx -2bcy + (a' + b, - rr)r - 2cd

a t + b 2 + c 2

forma matriciale:

ax+by+cz+d

;1u15 a

ax+by+cz+d ,h +

a 2 + b 2 + c 2 u <

x t =

y ' = (4)

f r ' l _ r (a, -b, -c ' 2ab 2ac

I 1' I =

a;F;al zar -a' + b2 - c2 2bc\z ) | 2ac 2bc -a, -b , +c,

La matrice della trasformazione è

_ r ( o ' - b ' - c 2 2 a b 2 a c IM =

;z *u1;l zat -a' + b2 - c, 2bc I\ 2ac 2bc _et _b, +c, )e risulta detM: -1, il che significa che la simmetria ortogonale è una isometria inversa.

Nota: non è necessario imparare a memoria le formule (a) e (5) precedenti; è imponante,piuttosto, che lo studente sappia rifare, caso per caso, le cònsiderazioni ed i calcoliche conducono alla loro dimostrazione.

Casi particolari

l. Simmetria ortogonale rispetto al piano (O,i ,j):

f x ' = x l " ' l ( t o o ) / x )

1r . ' = r ,oanche : l r ' l = l o I o l l , llz ,= -z \r , ) [o o _ 1)1, )

2. Simmetria ortogonale rispetto al piano (O,í,È),

lx,= x l r ' l ( t o ol l r ll t ' = - t . o a n c h e : l r ' l = l o - l o l l , ll z , = z \ r , ) l . 0 0 1 ) l z )

3. Simmetria ortogonale rispetto al piano (O,j,E),

l x ,= -x l r ' l ( _ r 0 Oyx l

] t ' = t . o a n c h e : l r ' l = l o r o l l l ll z , = z \ r ' ) [ o o t ) l r )

:n[t)


112 cap.6. lsometrie netb spazio. Aspetto anatitico e matriciate

Esempio

Soluzione:

PP'I t = (x' -x)u, + (y' -y)u, * (2, -z)u, =

[t l ' ] e r =

Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto al pianon : x + 2 y * 2 : 9 .

Anche se resta valida la Nota precedente, applicando, per brevità,direttamente le formule precedenti (con a = l, b :2, c : I ed: 0), siha subito:

5 Simmetria ortogonale rispetto ad una retta

Si chiama simmetria ortogonale rispetto ad una retta r,la trasform azioneisometrica chead ogni punto P dello spazio,non appartenente ad r,associa ilpunto P' dello spazio tale che il segmento [pp'] ha larctta rcome asse di simmetria nel piano (p,r). Se il punto p appar_tiene alla rettaÍ, allora il punto p' coincide con p: i puntidella retta / sono punti uniti.

Dal punto di vista analitico, sep(xy,z),p'(x,y',2') e la retta r èdefinita dal vettore direttore ù = @, ttz z, ) e dal punto

A(xsys,zs), applicando la definizione precedente, si ha che:

) ) 1- l* : a*-aY- i '

, ' :- i,-+r-2, .o anche: |,;: ' ì= {:, - i : l l [; l_ r 2 z 1", ' ) ' l - ; - ; r ' ) l : l, = - : x - r y + j z

lX : xo +Xu,

r: jY = yo +Xur,punto medio di

lZ = zo +?vu,

Dalle (2) si ha:

fx'+x =2xo +2?"u,

l* '-, = - 2x +2xo +2?uu,

jl' +l = 2y, +2?,"u, = 1 r'

- y - - 2y +2y, +2)"u,

lz' +z = 2zo +2),"u, lt '-t = - 2z +2zo +2),"u,

( l )x'+x

y ' + v= v^ + 1,"u.

2 " w L

z t 1 - z

2 " r

= xol-?vu,

(3)

(2)


cap' 6: lsometrie netto speSg Aspetto anatitico e matriciate 113

Sostituendo le (3) nella (l), si ha ancora:

(-Zx +2xo +2)"u,)t, + (-Zx +2!o +2),ur)t, + (_Zx +2zo +2),urltr: 0 =>

(t - *o)u, +(y - yo)u, + (, - r)r, = L(ul + ú + rÒ =

^ _(* - *)r , *(y - y)u, *( , - r r )u,

ul +ul +ul

E, infine, sostituendo il valore di 1. dato dalla (4) nelle (3), si ha:

I f , - t ) u , + ( y - y r ) u , + ( , - z o ) u ,I x ' = - x + 2 x n + 2 \ ' '| @u'

l r '= - , +2yo +r( ' - " ) ' ' * ( ! - Y-o)" *( ' - ' ) ' , " ,I W u 2 =| , ,- -, -+) z tr9-lr)", +(y - yo)u, +(, - ,o)u,f

- - 7 - - r r i

t- @^

, _("1 - u l - ú)* *2u,ury +2ururz +2(ut , * ú)ro -2urury, -2uru.zo

ul +uj +ul

, _2u,urx +(-ul + ui - " i )y +2ururz -2u,urxo +z(ui + ui)yo -2ururzo) a îui +u; +u;

^ ^ / t r r \2u,urx +2urury + (-,r, ' - uj + u1), -2u,urxo -2ururyo +2(ul + ul)rou l + u ; + u ;

(4)

(5)

Nota: non è per nulla necessario (!) ricordare a memoria le (5); è importante, nei casiconcreti, saper rifare il ragionamento ed i calcoli che conducono alle (5), comerisulta anche dall'esempio alla fine del paragrafo.

Casi particolari

l. Simmetria ortogonale rispetto all'asse xPonendo nel le (5) : ur : | , u2: 0 , u3 : 0 , xo: lo : z0:0, s i ha:

f x ' = x l r ' l ( t 0 0 l l x lt t l t i l lj t ' : - t o a n c h e : l , ' l = 1 0 - l 0 l l , ll z '= -z l ' ' ) [o o - t ) l ' )


114 cap.6. lsometrie netto spazb. Aspetto anatitico e matriciate

2.Ponendo nelle (5):

,ur - 0, u2: l, u3 : 0, x0: !0: Z0:0, si ha:

l x '= -x l " ' l (_ r o oy ;1 " " v r

7r_ , '= , oanche: l y ' l= l o I o l l , ll z ' : - z 1 , , ) l o o - r ) \ , )

3 .Ponendo nelle (5): i l t:O, u2: 0, i l3 : l, xo: lo: z0:0, si ha:

lx ,=-x l , ' l r t o oY;1""7r . '=- , oanche: l , ' l= l o - l r l l , ll z ' = z l r ) [ o o r ) 1 , )

Esempio

Soluzione:

scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto alla retta r di^ _ _ _ _ _ : _ _ - x - 1 y + 2equazrone:

2 =T=t .

Laretta r passa per A(1, -2, 0) ed ha come vettore direttoreùQ. 3 1) Applicando il procedimento descritto nel paragrafo (o,direttamente, le (5)), lo studente troverà facilmente le sesuentiequazioni della trasformazione :f , 3 6 2 2 2l x = - - . r + - V + - z + -| 7 7 ' 7 71 6 2 3 1 61 ! : _ x + - y + - z - -l - 7 7 ' 7 l l1 , 2 3 6 4l z = - X + - V - - z + -| 7 7 ' 7 7

della matrice M dellatrasformazione vale:6 2 l1 i lr r l r: : I = +[r-rx-z t)- 6(-42) +2(a)l=Y = t,| / l ' / " ' r

3 4 33 6 1i

-i ldi una isometria diretta.

Il determinantel c

l rt - -t 7t '

t 6d e t M = l :

t 7t . tt -l 7

dunque si tratta


cap' 6: lsometrie netto spazio Aspetto anatitico e matriciate 11s

6 Simmetrie centrali

una simmetria centrale.di centro cù(xsys,zs)è una isometria dello spazio in sè che associaad ogni punto P(xy,z) il punto p'(x,y,g'),in modo che f) è il punto medio del segmentoPP'].La definizione consente di scrivere subito che:

1 0 0- 1 0

0 - lè la matrice della trasformazione e risulta d,etM: _1.

inltlLamatr ice t=[

:

Caso particolare

Il centro della simmetria è 0(0,0,0). In questo caso le equazioni precedenti siscrivono:

- l 00 - 1

0 0

7 Rotazione attorno ad un asse fisso

La rotazione di un angolo 0 nello spazio attorno ad una retta fissa r è una isometria che facorrispondere ad un punto P un punto p' cosìdefinito: condotto per P il piano n perpendicolare allarctta r e detto O il punto d'intersezione di n con r, p'il corrispondente di P nella rotazione, definita nelpiano n, di centro O e angolo 0; I'angolo p'Op :0 eOP': OP. I punti dell'asse," sono punti uniti.Analogamente a quanto visto nel piano, si può dimo-strare che la composizione, nello spazio, di due sim-

metrie ortogonoli rispetto a due piani T 1 € îÍ2, la cui intersezione fornisce la retta r, è unarotazione attorno alla retto r, con angolo doppio dell'angolo formato dai piani rE 1 e Tr2.Vale anche il viceversa, nel senso che ogni rotazione di angolo 0 nello spazio rispetto aduna retta r è sempre uguale al prodotto di due simmetrie ortogonali rispetto a due piani

,,ll]fx '= -x /x ' \ (t t t lj t ' = - t o l r ' l = llz '= -z \ t ' ) ( .

x + x '- 2

= * o l x ' =

4=,, * ];:==-;:1r.;, *[;,1=[;' -0, ;, i r , l z '= -z+2zo l r , ) [ . o o _1

2 "

-d -----P'


116 cap. 6: lsometrie netto spazio. Aspetto anatitico e matriciare

c,he formano un angolo uguale a 0/2 e la cui intersezione è proprio la rettar. La sceltadel primo piano è arbitraria

In questa sede si vedranno solo i casi particolari di rotazione rispetto agli assi coordinati,in quanto questi casi sono molto piu semplici da trattare dal punto di vista matematico.

Casi particolari

l. [ (asse z).Se P(xy,z) e p,(x,y,,2,), si ha subito che:

f x ' = x c o s 0 - y s i n 0

] ! '= ,s in0 + ycos0 oppure:Il ' - o

3. Rotazione di un angolo 0 rispetto a i (asse x).

Rotazione di un angolo 0 rispetto a 7- (asse y).Se P(xy,z) eP'(x'y',2'), si ha subito che:

fx '= xcosO+zsinO lr ' l f cosO| y ' = v

| ' l I

t - oppure: I y, l= | 0

lz '=-xs inO+zcos0 \ r , ) [ -s inO

SeP(xy,z) eP'(x'y',2'), si ha subito che:

lx ' : x l ' ' l ( lI / '= lrcosO-zsinO . oppure: l r ' |

= | o

lz '= x sin0 + zcos0 lr ' ) [O

l r ' l (cosO - sin 0 ol l" Il r ' l= l s ine coso o l l , Il ' ' ) l o o t ) 1 , )

0 sineYxì

; .":,j[;]

0 0 ll"lc o s O - s l n e f l l l

sin0 cose J[2./


3

cap.6: lsometrie nerto spazio Aspetto anaritico e matriciate 112

8 Esercizi

E data larctazione R(È,30') attorno all'asse z e dianglolo +30o.a) Scrivere la matrice e le equazioni della rotazione.b) come si trasformano nelra rotazione i punti A(2,- I ,3) e B( I ,2,-5)? verificare chesi tratta di una isometria.c) Come si trasforma nella rotazione il piano î: x + y + 2z_ 3 : 0? Calcolare

I'angolo tra i piani îc e rE'(conispondente di n nella rotazione).

Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto allarettapassante perA( I ,- 1,3) ed avente come vettore direttore il vettore di componen ti (1,2,_l).comesi trasforma, in questa isometria, il punto p(3,4,_l)?

scrivere le equazioni della proiezione ortogonale rispetto alla retiapassante perA(1,-1,3) ed avente come vettore direttore il vettore di compon enti (1,2,-D. comesi trasforma il punto P(3,4,-l)? verificare che la trasformazione nrnè unaisometria.

Generalizzare la prima parte dell'esercizio precedente nel caso in cui la retta passiper A(x6y6,zs) e abbia vettore direttore di compon enti (u1,u2,u3).

scrivere le equazioni della proiezione ortogonale rispetto al piano x + y: g.

Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto al piano x + y:0.

Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale rispetto al piano 2x + y - z:0.

Sono dati i piani Tl z: 0 e n2;x - y : 0.a) Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale o1 rispetto al piano n1.b) Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale o2 rispetto al piano n2.c) scrivere le equazioni della trasformazione compostà o2o o1. còsa rapplresenta?

Scrivere le matrici delle seguenti isometrie:a) Proiezione ortogonale sul piano x - y:0.b) Rotazione di l80o attorno allarettax r y : z:0.

T 1,T2 e T3 sono isometrie dello spazio in sè. T1 è una simmetria ortogonale rispettoal piano z : 0; T2 è una rotazione attorno all'asse z di 90o tale che I'asse positivodelle x viene trasformato nell'asse positivo delle y; T3 è una rotazione di l g0"

l v = xattorno alla retta {

"

l z = 0a) scrivere le equazioni delle tre isometrie e le matrici corrispondenti.

4

8

l 0


118 cap. 6: lsometrie neilo spazio. Aspetto anaritico e matriciate

b) Determinare le matrici delle trasformazionicomposte T3T2 e T2T3 ec ar atter izzare g e ometri c amente l e tras form azioni ri surtanti.

c) Come in b) per le isometrie prodotto T3T2TI e T1T2T3.

1l Sono date le trasform azionidello spazio in sè T1 e T2 rappresentate rispettivamentedalle matrici:

t;V J

t0I;z

M t =

t l tI o

t ') )0 1 0t ; ,

- v r o 12 2

I2

0r;

t

0

I

0

aJ

1

e M r -

a) Se '= [-i]

e ú =

[ ;'] carcorare: M, ù, u, (n xr)

b) Caratterizzare geometricamente T1 e T2.c) Calcolare M1.M2 e M2.M1. Giustificare il risultato.

12 Proiezione parallela ad una retta r su un piano n.Si definisce proiezione parallela ad una retta r su un piano n la trasformazione (nonisometrica!) dello spazio in sè che trasforma il punto P dello spazio nel punto p' inmodo tale che:

' il vettore pF ria parallelo al vettore direttore ù di r: FF: l" Í , essendo l"un numero reale;

o il punto P' appartenga al piano zt.

Applicando le due condizioni della definizione precedente, determinare le equazionidella proiezione parallela alla retta r sul piano n, dove:

r : x = ! ^ l = l - , e n : 2 x - y + z - 2 : 0 ..,

R.SANTORQ: Geometria

Appendice

Premessa

I problemi proposti in questa Appendice hanno lo scopo di consentire agli allievidi cimentarsi con i diversi argomenti del programma di Geometria, senza alcunriferimento ai corrispondenti capitoli del corso.

Volutamente, non esiste alcun ordine logico né alcuna gradualità nella difficoltàdei problemi. Per questo si consiglia agli studenti di ricorrere a questi problemisolo dopo aver studiato tutto il corso e dopo aver risolto gli esercizi proposti inciascun capitolo.

I problemi proposti non hanno alcuna pretesa di originalità, anzi sono il risultatodelle proposte dell'autore e di diversi colleghi delle varie Scuole Europee, per

compiti in classe o per prove d'esame di Prèbac o di Bac negli anni che vanno dal1980 al 1994.

Onde evitare inutili ripetizioni, per tutti i problemi proposti, ove non specificatodiversamente, il riferimento nello spazio è sempre un riferimento ortonormato(o , i , j ,E) .

1 20 Appendice: Problemi supplementari

Sono dati i piani TE1, Tr2 e n., di equazioni rispettive:n t : x + ! t z : 0 ; n z : x - y + 2 2 - 5 : 0 ; n . : 6 x - 2 y - 5 2 + g 5 : 0 ;ed i punt i A(-8,1 ,7) ,8( -2, -1,2) , C( l , -32,31) , D(-17,-16,3) .a) Determinare I'equazione parametrica della retta r comune ai piani T,t e 12 e

verificare che i punti A e B appartengono ad. r.Determinare I'equazione parametrica della retta s comune ai piani n I e 13 everificare che i punti A e C appartengono ad s.

b)

c) Determinare I'equazione parametrica della retta t comune ai piani n2 e rE3 everificare che i punti A e D appartengono a t.

d) calcolare i prodotti scalari Àd.ÀÈ , Àè.AÉ , G.À8.e) calcolare la misura degli angoli tra le seguenti coppie di vettori:

_ . . . . . . - -_ €€ - ) -(AC, AB) ; (AC,AD) ; (AB,AD) .

Come possono essere interpretati questi angoli?

calcolare I'area del triangolo i cui vertici sono A(1,2,3),8(2,-l,l) e c(-2,1,-l).

Nello spazio, riferito ad un riferimento ortonormato, sono dati i punti: A(2,-1,-l),8(6,-8,0), C(2,1,2) e D(0,2,- l).

a) Trovare il prodotto vettoriale dei vettori ÀÉ " aB.b) Calcolare la minimadistanzatra le rette (AB) e (CD).

Sono dati i punti A(-5,1,1), B(1,0,-3), C(l,3,0) eD(2,3,4).Determinare:a) un'equazione cartesiana del piano (ABC);b) le equazioni parametriche della retta (CD);

c) il prodotto scalare: ÀÉ. gó;

d) un'equazione cartesiana del piano passante per D e ortogonale al vettor" cd

Edata lasferaSdiequazione x ' + y ' + z ' -2x - 2y +42 12 : 0 .a) Determinare le coordinate del centro e la misurara del raggio di S.b) Dimostrare che S è tangente al piano xy.c) La retta r è parallela all'asse x, appartenente al piano xy e passante per il punto

A(0,-3,0). Determinare I'equazione di r.d) Determinare le equazioni dei piani tangenti ad S e passanti per r.e) Determinare I'angolo dei piani di cui alla domanda d).

Sono dati i punti A(3,10,0), 8(-3,6,1), C(0,2,3) eD(6,6,2) e E(l,1,1).a) Dimostrare che i punti A, B, C e D sono i vertici di un rettangolo.

b) Calcolare I'angolo fra i vettori AB e AE

R. SANTORO'. Geometria

Appendice: Problemi supplementari 121

c) Determinare le coordinate del punto F tale che il quadrilatero ABFE sia unparallelogramma.

7 Sonodati ivettori d: 3l + aE"6 : l2i + 5i.Determinare:a) i vettori unitari di d e di 6b) il valore del numero reale B tale che (d + tJù.6 : Oc) I'equazione cartesiana del piano passante per O e normale al vettore a + Bb (B é il

valore calcolato nella domanda precedente)d) i l vettore fr : dx6e) I'equazione cartesiana del piano passante per O e avente come vettori direttori i

vettori d e 6f) I'angolo tra i due piani di cui alle domande c) e e).

8 Sono date le rette:x * 5 v + 4 z * 9

r . -

2 2 4x + l

t , Z

: y - l : z - 2

a) Mostrare che r e.r sono secanti e determinare il loro punto d'intersezione.b) Scrivere una equazione cartesiana del piano che contiene r e s.c) Calcolare la distanza di 0(0,0,0) da detto piano.

9 Sono dati i punti A(2,0,- l), B(1,-1,3), C(0,1,2) e P(5,2,-3).a) Scrivere un'equazione cartesiana del piano n, : (ABC).b) Scrivere le equazioni parametriche della retta (PC).

c) Determinare il prodotto vettoriale aF, aÉ.d) Scrivere un'equazione cartesiana del piano 7T2 passante per A e parallelo al piano

(PCB).

e) Scrivere le equazioni parametriche della retta r : îÍt (\n2.

0 La sfera S ha centro in P ed è tangente al piano n1. Dimostrare che Snn2 è unacirconferenza, di cui si determineranno le coordinate del centro e la misura delraggio.

10 Sono date le matrici:

a) Calcolare i prodotti AB e BA. Cosa si può concludere?b) Calcolare A-1, B-1, B-lA-1, (ABXB-IA-I). Cosa si puo concludere?

( t - t t ì ( z r r ìA : l - r 2 t l e B : l - l 3 1 l

\ 0 | - t ) \ 2 | 0 )

R. SANTORO: Geometria

1 22 Appendice: P rob I e m i su p pl e m e nta ri

11 sono dati i punti A(1,1,-3) e 8(-2,1,3) ed il piano n di equazionex - y + 2z - | : 0.a) Scrivere le equazioni parametriche della retta (AB) e determinare il punto

d'intersezione C di (AB) con n.b) scrivere I'equazione del piano n1 contenente (AB) e perpendic olarc a n.c) Calcolare I'angolo tra (AB) e (CA).

12 Sono dati il piano n di equazione2x + y - 3z - 4:0 ed il punto A(2,1,1).a) Se d è la retta per A e di vettore direttore ù. : (-1,1,0), determinare il punto

d'intersezione B tra d e n, la distanza AB, e la misura in gradi dell'angolo tra laretta d e il piano n.

b) Sèlasferadiequazionex ' + y ' + z ' - 8x - 6y : 0 .ProvarecheI'intersezione di S e di n è una circonferenza di cui si determineranno la misuradel raggio e le coordinate del centro.

c) Determinare il punto d'intersezione tra la circonferenza di cui sopra e la sua rettadiametrale che passa per B.

I ' l ( o I13 Sonoda t i i pun t i A ( -2 ,11 ,9 ) ,B ( -1 ,9 ,8 ) ,M(5 , -1 , -1 )ed ive t to r i U= lO 1 "6= l - t l

[rJ [r )a) Determinare I'equazione cartesiana del piano n1 che passa per A ed è parallelo ai

vet tor i de6.b) Determinare I'equazione cartesiana del piano n2che passa per A e B ed è

parallelo ad d.c) Determinare le equazioni parametriche della retta intersezione dei piani rE1 a n2.d) Calcolare la misura dell'angolo fra i piani îc1e n2.e) Determinare I'equazione cartesiana del piano 7r3, parallelo ?'tE1e passante per M.f) Determinare I'equazione della sfera tangente à'rc1e 7T3 e passante per M.g) Studiare la posizione relativa del piano n1 e della sfera della domanda preceden-

te. Determinare I'eventuale insieme intersezione.

14 Sono dati i punti A(0,0,1), B(1,0,0) e C(l,1,1).a) Determinare le equazioni parametriche della retta (AB).b) Determinare I'equazione cartesiana del piano (ABC).c) Determinare I'equazione della retta passante per A e perpendicolare al piano

(ABC).d) Calcolare I'angolo tra le rette (AB) e (AC).

15 Sono dat i ipunt i A(-1,2,3) , B(3, -2 ,1) ,C(5,7, -3) .

a) Calcolare il prodotto scalare dei vettori AB e AC .

b) Calcolare I'angolo tra i vettori AB e AC .c) Determinare I'equazione della sfera avente come diametro il segmento [AC].


Appendice: Problemi supptementari 123

16 Sono dati i punti A(1,1,0), B(2,-1,3) e C(|,3,-2).

a) Determinare il prodotto vettoriale dei vettori ÀÉ " Àd.b) Determinare I'equazione cartesiana del piano (ABC).c) Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per A e ortogonale

al piano (ABC).d) Il punto D della rettar avente ascissa 3.e) calcolare la distanza del punto D dal piano n di equazionex - y + 3z- I : 0.

17 Sono date la retta r, passante per A(l,-1,3) ed avente vettore direttore il vettore dicomponenti scalari (3 , 1 ,0), e la retta s, passante per B(0, I ,-3 ) e avente vettoredirettore il vettore di componenti scalari (3,-1,2).a) Mostrare che la distanza fra le due rette sghembe r e s é uguale allalunghezza

della perpendicolare condotta da un punto qualunque di una retta sul pianocontenente I'altra retta e parallelo alla prima.

b) Calcolare la distanza tra le rette r ed s.c) Calcolare la stessa distanza con una formula che fa riferimento al prodotto misto

di vettori opportuni.

l8 Sono dati i punti A(2,-1,- l), 8(6,-8 ,0), C(2,1,2) e D(0,2,- l).

a) Determinare i vettori ÀÉ " òd " calcolare il loro prodotto scalare.

b) Trovare il prodotto vettoriale dei vettori AB e CD .c) Spiegare il significato geometrico del prodotto vettoriale trovato in b).d) Calcolare la minima distanzatra le rette (AB) e (CD).

l9 Sono dati:. l a s f e r a S l : 1 2 + y ' + z ' - 2 x - 2 4 : 0 ,. i l p i a n o n l : 2 x - y + 2 z r 7 : 0 .a) Determinare le equazioni dei piani r'2en3paralleli a,n1a tangenti a S1.b) Calcolare il raggio e il centro della circonferenzaC: nl ^ Sr.c) Scrivere I'equazione della sfera contenente la circonferenza C ed avente raggio

minimo.

20 Sono dati:. il punto A(1,2,3). il piano n di equazione 2x + y - 2z : 5. le rette I e m defrnite da

ll l,l l,lr : l t l = l - l l * ' l t l , c o n a . ó , s e R

\z ) \a) \ l i


1 24 Appendice'. Probtemi supptementari

r ' l I ' l l l l^ ' l t I :

l o l . , 1 - z l , c o n r e R\ z ) \ 0 i \ 3 /

2 l

l) Determinare il punto B di m in modo tale che il vettore ÀÉ sia parallelo a zr.2) Determinare a e b inmodo tale che il punto c(0,-2,3) appartenga allaretta l.3) Le rette I e m si intersecano in C?

Si pone ora a:4 e b:3 ( per tutte le domande che seguono).

4) Determinare la misura dell'angolo tralaretta/ ed il piano n.5) Determinare il punto d'intersezioneD tra I e n.

6) Determinare le coordinate del punto E e I in modo che il vettore ÀÉ ,iuortogonale a /.

7) Determinare il raggio della circonferenzaintersezion e tra n e la sfera di centro Ae raggio uguale a 3.

8) Determinare la distanzatra le rette I e m.

Sono dati i vettori d: l + j -8, 6 : - i +2j edi l punto A(1,1,0).a) Determinare il prodotto vettoriale dei vettori d e 6 .b) Determinare I'equazione del piano zr passante per A ed avente come vettori

direttori i vettori d e 6 .c) Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per A e

perpendicolare an.d) Determinare I'equazione della sfera avente il centro sulla retta r. ascissa x :2 e

tangente a fi.

r , l rsì r3l I , l l4 l (2\Sonodate lere t te , , l r l= l o l+ i , l o l . r , l , l= l t l *p l r I

\, ) (.r/ lz) " l:)-t; i-"[ 'J

a) Trovare I'equazione del piano contenente r e parallelo a s.b) Calcolare la minima distanza tra le rette r e s.c) Trovare I'equazione del piano parallelo alle due rette r,s ed equidistante dalle

rette r, s.

2 3 S o n o d a t i i p i a n i n ; x * y + x - I : 0 , n 2 : x - y - z + ) : 0 e i p u n t i A ( 1 , 1 , 3 ) et / t a \

B f - 1 . 1 . 0 ì .\ 2 2 ' )

a) Scrivere le equazioni parametriche della retta r : rE,1(\ rE2.b) Scrivere I'equazione cartesiana del piano n ortogonale a r e passante per A.c) calcolare la distanza d(A,r) con un'opportuno prodotto vettoriale.d) Calcolare la stessa distanza in altro modo.

22

R. SANTORO'. Geometria

Appendice: Probtemi supplementari 125

25

e) Calcolare le distanze d(A,n1) e d(A,zr2).f) Calcolare I'angolo tra i piani îc1e n2.

Sono dati i l punto A(r,r,0), i piani îEix +2y - r+ 6 = 0 e n2.. x - y + 2z+ 3 : 0 e lar"ì r ' l (t I

ret ta s: l y l= l t l+ i , l z l .t t t t t l\ ' ) ( 0 / [ _ ' /

a) Calcolare la distanza di A da nn.b) Trovare I'equazione della retta i1 passante per A e perpendicolare al piano 2,.c) Trovare I'equazionedella rettar2passante per A e parallela ai piani n1 e n2. eualè I'angolo fra 11 e 12?d) Calcolare la minima distanza fralarefrarl e la retta 13 :7r{-\îE2.e) Trovare le equazioni delle sfere aventi il centro sulla-retta s e tangenti ai piani n1

e n2' Trovare i punti in cui queste sfere sono tangenti a n1. perchè si tratta dellostesso punto?

Sono dati i punti A(2,0,0),B(0,3,1) e C(l, l , l ) ed i l piano n:2x +y+ z _ 4:0.a) Calcolare I'angolo compreso fra i piani n e (ABO).b) Determinare le equazioni della simmetria ortogonale rispetto al piano (ABO) e le

coordinate del punto c', corrispondente di c in questa simmetria.

Sono dati i punti A(1,2,0), B(1,0,- l), C(3,4,3),V(5,2,_2).a) Verificare che il punto V non appartiene al piano (ABC) e calcolare il volume

della piramide di vertici ABCV.b) calcolare la misura dell'angolo diedro formato dalle facce ABC ed ABV.c) Determinare centro e raggio della circonfercnzapassante per A, B e c.d) Scrivere un'equazione del fascio di sfere passanti per A, B e c.e) Calcolare le coordinate del vertice V' di una piramide retta di base ABC ed

equivalente ad ABCV.

27 Sono dari i punti t( - z,- r,1l . "( 1.1.!l\ 2 ) \ 2 ' 2 ' � 4 )

a) Mostrare che I'insieme dei punti il cui rapporti delle distanze da A e da B è

uguale a2 èlasfera S di centro C( +.5.21 " ai ,un, ' 9

\ 2 ) - J t o t '

l x = 3 r + 9 [ x = 5 ] , + lb) Mostrarecheledueret te r : j l=

. o,

_ 1 e s: j y--2t"+5 sonotangent ia l la

l z = 4 t + 5 l z = 4 ) , + 1 2sfera S. Trovare i loro punti di contatto con S.

c) Calcolare I'angolo della retta s con il piano xOy.

d) Dimostrare che la distanza tra le due rette sgemb e r e sè uguale " T

26

R. SANTORO. Geometria

126 Appendice. problemi supptementari

28 si considera l'insieme E, dei piani definiti dall,equa zione:(t _ 4)x _2y + 6z _2r : 0 (/eR.)

e la retta g di equazione:

Sono date le rette r:x = y = z e r,, = !

= r.a) Scrivere le equazioni della proiezioneirtogonale sulla retta r.b) Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto allarettar.c) Scrivere le equazioni della simmetria ortogonale rispetto alla retta s.

l x : 1 + 2 k l x = 2 + hSono date le rette m:lt : 3k (Ée R) " ,,]l = _3 + 2h (he R).

l z = k l z : ha) Dimostrare che m e nnon sono complanari.b) Dimostrare che esiste un piano ed uno solo o passante per me parallelo a n e un

piano ed uno solo B passante per n e parallelo a m.Determinare le equazioni di cr e di B.

c) servendosi dei risultati di b), calcolare la distanza delle rette m e n.d) Determinare I'equazione delle sfere di raggio r :2lacui intersezione col piano Bè la circonferenzadi raggio r' : I e di centro e(2,1,4).e) La sfera S è tangente al piano B nel punto Q(2,1,4); úeterminare la sua equazione

sapendo che essa è tangente anche al piano u.

Sono dati i punti A(-2,-4,6), B(2,-6,2) ed il piano n: 4x _ 3y _ z = 24 .a) Determinare:

i) le coordinate del punto A', simmetrico di A rispetto al piano n.ii) le coordinate del punto d'intersezione della retta (A,B) con il piano yoz.

b) Scrivere le equazioni delle sfere di raggio JZA , icui centri appartengono allaretta (AB) e che sono tangenti al piano n.

l l 3 ) f , ' lI r l = I - r l * i l _ t l ( l " eR)\ z ) \ s / ( . r )

a) Determinare il pia3o di E, che è parallelo alla retta g.b) Siano Eo ed E6 i piani appartenenti ad E, che si hunio assegnando al parametro /i va lo r i aeb .

Determinare larerazione fra a e b affrnc-he sia Eo perpendicolare ad,Eu.Qual è il piano dell insieme E, che non ha un piJro ortogonut., anch,essoappartenente all'insieme E,?

c) Sia n il piano passante per il punto p(2,1,fi ) e paralle ro adET,essendo E7 ilpiano di E, conispondente a t :7.Calcolare le distanze: d(O,n), d(O,E7), d(n,E).

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Appendice: proóle mi supptementari 127

c) Determinare re coordinate del punto A',, simmetrico di A, rispetto a,aretta(AB).

d) Scrivere le equazioni delra traslazione di vettore AÀìe) Determinare i due vettori unitari perpendicolari ar piano (AA,A,,).f) Calcolare il volume del tetraedro'AA,A,,B.

BAC'80 (parziale)In un piano euclideo, avente base ortono rmata (o,i ,i),sono date re rette

Si considerano le isometrie m: y : x' n: y : % x '

o1 : simmetria ortogonale di asse mo2 : simmetria ortogonale di asse n.

a) Scrivere le matrici che rappresentano le isometrie 01, o,1 e o,10o,2.Mostrare che o1oo2 è una rotazione e calcolare il piri piccolo angolo positivo 'di questa rotazione.

b) Se B è il piu piccolo angolo positivo delle rette m e n,verificare che cr : 2F.

BAC'81 (Parziale)Sono dati i l piano g di equazionex +2y+ z+ l:0 e le rette

f x = - l l * = pd : l l t = l + ? " , d , : f ! - 2 + p ( 1 . , p e R ) .

l z = - 2 - ) u l z = - l - pa) Sia P I'intersezione di d conc e sia Q quella di d con u. Calcolare la distanza traP e Q .b) Sia M un punto della retta d. Determinare le coordinate di M in modo che esista

una sfera di centro M e tangente al piano a e alla retîa d.

BAC'82 (Parziale)

Sono dati il piano a..2x + y +22 = 0 e la (l .e R).

a) Calcolare la dinanza tra I'asse Oz e la retta d.b) A è un punto della retta d; B è un punto dell'asse oz per il quale la retta (AB) è

parallela al piano cr. Si fa variare A sulla retta d; trovare unìirt"-u di equazioniparametriche dell'insieme dei punti medi M di [AB]; precisare la natura ài questoinsieme.

c) Determinar le equazioni cartesiane dei piani che passano per I'origine O e per ilpunto C(2,0,1) e formano un angolo di 60" con il piano Oxy.

d) Determinare I'equazione di una sfera p che sia tangente in o al piano a eintercetti sull'asse oz un segmento la cui lunghezzamisuri 6 unità.

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I'l l4l r' Ir e t t a d : l r l : l o l + i l r l\z ) \3,/ \oi


128 Appendice: proóle mi supptementari

35 BAC'85 (parziale)S.ono dati i punti A(1,1,0) e B(1,_3,0)a) Determinare analiticamente :

I - la retta (AB)2 - i piani che contengono la retta (AB), che sono simmetrici rispetto al piano

liirîJ#ali che ciascuno di essi i;'-i;;riest,urtimo un angolo uguale a

A partire da questo momento e per tutto il seguito del problema, si indicano con o eB, rispettivamente, i piani di "quazione

Sia M ir punto medio ."i3#;Ji""i : fi;,iif =,

b) Trovare:I - un'equazione della sfera di diametro tCM];2 - un'equazione della sfera S, di centro c e tangente al piano cr.c) Siano Pr e Pz i punti di contatto della sfera S con i piani cr e p.Calcolare la minima distanza tra le rette (AB) e (plp).

36Sono dati i punti A(_2,1,1), B(1,_l ,0), C(0,2,1) e D(4,0,0) e le rette:d: passante per A e per B

(Z \z: passante per C e di vettore direttore ùl I I ,

t t '\-1l

r4ln: passante per D e di vettore direttore ,l ,

I( r /a) Sia v il piano che contiene la retta m e:d èparallelo ararctta n.

Calcolare I'angolo formato dalla retta d e ialpiano V.b) Sia w il piano che contiene la retta d e sul q.ràt" le proiezioni delle rette m e n

risultano parallele.Determinare un'equazione del piano W.

37 BAC'86 (Parziale)Sono dati i punti A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) e T(0,0,1.1.Si consideri la piramide OABCT, di base OABC e di vertice T.a) Provare che le rette (TB) e (AC) sono ortogonali e calcolare la loro distanza.b) Il piano passante per o e perpendicolare allo spigolo TB della piramide,

interseca questo spigolo in p e lo spigolo TC in Q.Calcolare l' ampiezza dell'angolo poe.

c) Calcolare le coordinate dei punti che appartengono alla retta (TO) ed hanno da Tdistanza uguale a lfal


Appendice: probte mi su pptementari 12g

d) Si consideri il punto o(0, o, 1- Jt) e la retta L passante per T e perpendicorareal piano (ADC).Determinare un sistem a di equazioni parametriche di L e verificare che Linterseca la base della piramide.

e) calcolare le coordinat; del punto S delra retta (TC) per il quale ra sfera didiametro [AS] risulta tangente alla retta(Bc).

Sono date le sfere S e ,S e la retta t:, S : x 2 + y ' + z ' + 4 y - 4 2 - g = 0 , , S , : x 2 + y , + 2 , _ 4 x _ 4 y + 4 2 + g = 0

t , * = ! * 2 - t - 2

a) calcolare le coordinate dei centri a"ile 3u" ,f";l mostrare che questi centri sitrovano su /.b) Mostrare che s e '9 sono tangenti. trovare le coordinate del loro punto di contattoe scrivere un'equazione del loro piano tangente.o-,rn. e in quer punto.c) calcolare il coseno di ciascuno degli angoii acuti f-ormati da / con gli assicoordinati.d) Nel piano oxy, scrivere un'equazione e calcolare il raggio del cerchiointersezione di S con il piano stesso.e) Si consideri la proiezione ortogonale dello spazio sul piano oxy: scrivere lamatrice della proiezione e un'equazione dellimmaginè di r secóndo la proiezionestessa.f) scrivere un'equazione del piano e1 che contiene larettal ed è perpendicolare alpiano Oxy.g) Trovare I'angolo tra i piani r e s1.

39 Bac'93 (parziale)In uno spazio euclideo di dimensione 3, riferito ad un sistema ortonormato di assi,si considerano le rette d1e d2:'"0=[::J .^[,'jl" l P\ I ' ldz: l t l = l o l *u l - r l r r , u e R) .

\ z ) \ 0 / \ 2 )a) Mostrare che le rette d1e d2nonsono complanari.b) Scrivere un'equazione del piano n che contiene la retta d1 ed éparallelo alla retta

d2

c) Calcolare la distranzafrale rette d, e d...

40 Bac'93 (Parziale)Nello spazio dotato di una riferimento ortonormat o Oxyz,sono dati i puntiA(1,4,5), 8(5,6,1), C(5,0,1) ed i l piano V di equazione: 4x _ y _, = i .


1 30 Appendice. problemi supptementari

a) scrivere un sistema di equazioni parametriche dell,insieme dei punti di v,equidistanti dai punti A e B.b) Scrivere un'equazione di ciascuna deile sfere di raggio ú4 , che passano per ipunti A e B ed hanno il centro sul piano V.

l x = l + 1 ,c) Si considera ora la retta n,ly = 3 +2)" i cui punti sono equidistanti da A e da B.

scrivere ,i,:lu|i"ne d"lhl;; ?*""^sfera (sfera di raggio minimo) che passaper A e B e il cui centro appartiene alla refia p.d) Sia ABCD un tetraedro divertici A, B, c, D, dove il punto D è tale che:- ra retta che passa per c e D è perpendicolare ul piuno (ABC),

- la lunghezza del segmento CD è uguale a 2Jicalcolare le coordinate del punto D (due soluzioni possibili).

4l Bac '94 (parziale)Nello spazio di dimensione 3. dotato di un sistema di riferimento ortonormato, sonodati:o il punto A(1,2,3),. i l p i anond iequaz ione : _ . r + y+z+2=0 .a) i) Scrivere un'equ azione della retta d passante per A e perpendic olare a n.

ii) Determinare le coordinate della proie zione oiogonale di A su n.b) Determinare l'angolo formato dalla retta d conil pìano di equazion a z = 0 .c) Mostrare che d e I'asse Oz non sono complanari.

42 Bac'94 (Parziale)In uno spazio euclideo di dimensione 3, dotato di un sistema di riferimentoortonormato, sono dati:o le rette I s ffia b di equazioni:

l"l lol lrl l*l (a\ toll , l u l = ' | | | I | | | | |

t " l\ , ) l ; , i

.^[ f *"" l ' , )=[f .ul 'u)@ebsonoparametr i reari)

o i l piano W di equazione x +2y +22 _lg = 0o l a s f e r a B d i e q u a z i o n e x , + y , + 2 , _ 4 x _ l 0 z + l : 0 .a) i) Mostrare che il piano W interseca la sfera B.

ii) Calcolare la lunghezza del raggio e le coordinate del centro N di questaintersezione.

b) La retta I interseca B in due punti A e B. Calcolare la lunghezzadella corda AB.c) Una rctta n appartenente a W interseca / perpendicolarmente. Trovare le equazio-

ni parametriche di r.d) Calcolare i valori dei parametri a e ó in modo che le proiezioni ortogonali si / e

r/to6suWcoincidano.


geometria piano spazio - santoro

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